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例如,
e z z n
n0 n !
利用间接 sizn 在 展 z0开 的法 泰求 勒 . 展
sin z1(eizeiz) 2i
21in 0(inz!)nn 0(n i!z)n
(1)n
z2n1
n0
(2n1)!
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再例如
f(z) cn(za)n n1
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练习
例3 把函 f(z)数 1 展开 z的 成 幂 . 级数 3z2
例4 求arctz在 azn0的幂级数 . 展开
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3、幂级数和函数在收敛圆周上的状况
定理4.16 如果幂级数 cn(z a)n 的收敛半径R>0,且 n0 f(z) cn(za)n,(z K :z |a|R ) n 0 则f(z)在收敛圆周C:|z-a|=R上至少有一奇点,即不可能
(e z)(n )z 0 1 ,(n 0 ,1 ,2 , )
故有 ez1zz2 zn zn
2 !
n !
n 0n !
因为ez 在复平面内处处,解析
所以级数的收敛R半径.
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f(z)n 0n 1!f(n)(z0)(zz0)n
仿照上例 , 可s得 izn 与 co z在 sz0的泰勒 . 展
2)幂级数的解析性质
设幂级数 cn(z a)n 的收敛半径为R , 那末
n0
(1) 它的和函数 f (z) , 即 f(z) cn(za)n
n0
是收敛圆 zaR内的解析函数 .
(2) f (z) 在收敛圆 zaR内的导数可将其幂
级数逐项求导得到, 即 f(z) ncn(za)n1.