高数汇总试题及部分答案

高等数学试题一、单项选择题（本大题共5小题，每小题2分，共10分）1．设f(x)=lnx ，且函数ϕ(x)的反函数1ϕ-2(x+1)(x)=x-1，则[]ϕ=f (x)（ ） ....A B C D x-2x+22-x x+2 ln ln ln ln x+2x-2x+22-x2．()002lim 1cos tt x x e e dt x -→+-=-⎰（ ）A ．0B ．1C ．-1D ．∞ 3．设00()()y f x x f x ∆=+∆-且函数()f x 在0x x =处可导，则必有（ ）.lim 0.0.0.x A y B y C dy D y dy ∆→∆=∆==∆= 4．设函数,131,1x x x ⎧≤⎨->⎩22x f(x)=，则f(x)在点x=1处（ ）A.不连续B.连续但左、右导数不存在C.连续但不可导D. 可导5．设C +⎰2-x xf(x)dx=e ，则f(x)=（ ）2222-x -x -x -x A.xe B.-xe C.2e D.-2e二、填空题（本大题共10小题，每空3分，共30分）请在每小题的空格中填上正确答案。

错填、不填均无分。

6.设函数f(x)在区间[0，1]上有定义，则函数f(x+14)+f(x-14)的定义域是__________. 7．()()2lim 1_________n n a aq aq aq q →∞++++<=8．arctan lim _________x x x→∞= 9.已知某产品产量为g 时，总成本是2g C(g)=9+800，则生产100件产品时的边际成本100__g ==MC 10.函数3()2f x x x =+在区间[0，1]上满足拉格朗日中值定理的点ξ是_________.11.函数3229129y x x x =-+-的单调减少区间是___________.12.微分方程3'1xy y x -=+的通解是___________.13.设2ln 2,6a a π==⎰则___________.14.设2cos x z y =则dz= _______. 15.设{}2(,)01,01y D D x y x y xedxdy -=≤≤≤≤=⎰⎰，则_____________.三、计算题（一）（本大题共5小题，每小题5分，共25分）16.设1x y x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，求dy.17.求极限0ln cot lim ln x x x+→18.求不定积分.19.计算定积分I=0.⎰ 20.设方程2z x 2e 1y xz -+=确定隐函数z=z(x,y)，求','x y z z 。

★高等数学试题及答案一、单项选择题（每题3分，共30分）1. 函数f(x)=x^2+2x+1的导数为：A. 2x+2B. x^2+2C. 2x+1D. 2x答案：A2. 极限lim(x→0) (sin(x)/x)的值为：A. 0B. 1C. -1D. 2答案：B3. 曲线y=x^3在点(1,1)处的切线斜率为：A. 3B. 1C. 0D. -1答案：A4. 函数f(x)=e^x的不定积分为：A. e^x + CB. ln(x) + CC. x^2 + CD. x + C答案：A5. 以下哪个级数是收敛的：A. 1+1/2+1/4+1/8+...B. 1+1/2+1/3+1/4+...C. 1-1/2+1/3-1/4+...D. 1+2+3+4+...答案：C6. 函数f(x)=x^2在区间[0,2]上的定积分为：A. 4B. 2C. 8D. 6答案：B7. 函数f(x)=|x|的原函数为：A. x^2/2 + CB. |x| + CC. -x^2/2 + CD. x|x| + C答案：D8. 函数f(x)=x^3-3x^2+2的极值点为：A. x=1B. x=2C. x=0D. x=-1答案：A9. 以下哪个函数是周期函数：A. f(x)=x^2B. f(x)=sin(x)C. f(x)=ln(x)D. f(x)=e^x答案：B10. 函数f(x)=x^3在x=0处的泰勒展开式为：A. x^3B. 3x^2 + 3x + 1C. 3x^2 + 3xD. 3x^2答案：D二、填空题（每题4分，共20分）11. 函数f(x)=x^3的二阶导数为________。

答案：6x12. 极限lim(x→∞) (1/x)的值为________。

答案：013. 函数f(x)=x^2+3x+2的最小值为________。

答案：-1/414. 曲线y=ln(x)在点(1,0)处的切线方程为________。

答案：y=x-115. 函数f(x)=x^2-4x+3的零点为________。

完整)高等数学考试题库(附答案)高数》试卷1（上）一．选择题（将答案代号填入括号内，每题3分，共30分）。

1.下列各组函数中，是相同的函数的是（）。

A）f(x)=ln(x^2)和g(x)=2lnxB）f(x)=|x|和g(x)=x^2C）f(x)=x和g(x)=x^2/xD）f(x)=2|x|和g(x)=1/x答案：A2.函数f(x)=ln(1+x)在x=0处连续，则a=（）。

A）1B）0C）-1D）2答案：A3.曲线y=xlnx的平行于直线x-y+1=0的切线方程为（）。

A）y=x-1B）y=-(x+1)C）y=(lnx-1)(x-1)D）y=x答案：C4.设函数f(x)=|x|，则函数在点x=0处（）。

A）连续且可导B）连续且可微C）连续不可导D）不连续不可微答案：A5.点x=0是函数y=x的（）。

A）驻点但非极值点B）拐点C）驻点且是拐点D）驻点且是极值点答案：A6.曲线y=4|x|/x的渐近线情况是（）。

A）只有水平渐近线B）只有垂直渐近线C）既有水平渐近线又有垂直渐近线D）既无水平渐近线又无垂直渐近线答案：B7.∫f'(1/x^2)dx的结果是（）。

A）f(1/x)+CB）-f(x)+CC）f(-1/x)+CD）-f(-x)+C答案：C8.∫ex+e^(-x)dx的结果是（）。

A）arctan(e^x)+CB）arctan(e^(-x))+CC）ex-e^(-x)+CD）ln(ex+e^(-x))+C答案：D9.下列定积分为零的是（）。

A）∫π/4^π/2 sinxdxB）∫0^π/2 xarcsinxdxC）∫-2^1 (4x+1)/(x^2+x+1)dxD）∫0^π (x^2+x)/(e^x+e^(-x))dx答案：A10.设f(x)为连续函数，则∫f'(2x)dx等于（）。

A）f(1)-f(0)B）f(2)-f(0)C）f(1)-f(2)D）f(2)-f(1)答案：B二．填空题（每题4分，共20分）。

高等数学复习题与答案解析一、 一元函数微积分概要 （一）函数、极限与连续1.求下列函数的定义域: (1) y =216x -+x sin ln ，(2) y =)12arcsin(312-+-xx .解 (1) 由所给函数知,要使函数y 有定义，必须满足两种情况，偶次根式的被开方式大于等于零或对数函数符号内的式子为正，可建立不等式组，并求出联立不等式组的解.即⎩⎨⎧>≥-,0sin ,0162x x 推得⎩⎨⎧⋅⋅⋅±±=+<<≤≤-2,1,0π)12(π244n n x n x 这两个不等式的公共解为 π4-<≤-x 与π0<<x所以函数的定义域为)π,4[-- )π,0(.(2) 由所给函数知，要使函数有定义，必须分母不为零且偶次根式的被开方式非负；反正弦函数符号内的式子绝对值小于等于1.可建立不等式组，并求出联立不等式组的解.即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<->-≠-,112,03,032xx x 推得⎩⎨⎧≤≤<<-,40,33x x即 30<≤x , 因此，所给函数的定义域为 )3,0[.2.设)(x f 的定义域为)1,0(，求)(tan x f 的定义域. 解：令x u tan =, 则)(u f 的定义域为)1,0(∈u∴)1,0(tan ∈x , ∴x ∈（k π, k π+4π）, k ∈Z ,)(tan x f 的定义域为 x ∈（k π, k π+4π）, k ∈Z .3.设)(x f =x-11，求)]([x f f ，{})]([x f f f .解：)]([x f f =)(11x f -=x--1111=x 11- (x ≠1,0),{})]([x f f f =)]([11x f f -=)11(11x--= x (x ≠0,1).4.求下列极限：（1）123lim 21-+-→x x x x , （2）652134lim 2434-++-∞→x x x x x ,解：原式=1)1)(2(lim 1---→x x x x 解: 原式=424652134lim xx x x x -++-∞→ =)2(lim 1-→x x =2.（抓大头）= 1-.（恒等变换之后“能代就代”）（3）xx x -+-→222lim 2, （4）330sin tan lim x x x →, 解：原式=)22)(2()22)(22(lim2++-+++-→x x x x x 解：0→x 时33~tan x x ,=221lim2++→x x 33~sin x x ,=41. （恒等变换之后“能代就代”） ∴原式=330lim x x x →=1lim 0→x =1.（等价）（5）)100sin (lim +∞→x x x , （6） 2121lim()11x x x→--- ，解：原式=100lim sin lim∞→∞→+x x x x解： 原式=2211212(1)lim()lim 111x x x x x x→→-+-=--- =0 + 100= 100 （无穷小的性质） 11(1)11limlim (1)(1)12x x x x x x →→-===-++．(7)215lim+-+∞→x x x ．解 : 原式=52115lim=+-+∞→xxx ．（抓大头） （8）11lim 21-+→x x x .解：因为0)1(lim 1=-→x x 而0)1(lim 21≠+→x x ，求该式的极限需用无穷小与无穷大关系定理解决．因为011lim 21=+-→x x x ，所以当1→x 时，112+-x x 是无穷小量，因而它的倒数是无穷大量，即 ∞=-+→11lim 21x x x ． （9）limx解：不能直接运用极限运算法则，因为当x →+∞时分子，极限不存在，但sin x 是有界函数，即sin 1x ≤而 0111lim1lim33=+=++∞→+∞→x x xx x x ，因此当+∞→x 时，31xx +为无穷小量.根据有界函数与无穷小乘积仍为无穷小定理，即得lim0x =.（10）203cos cos limxxx x -→ ． 解：分子先用和差化积公式变形，然后再用重要极限公式求极限原式=202sin sin 2limx x x x →=441)22sin 4(lim sin lim 0=⨯=⋅⋅∞→→x xx x x x ．（也可用洛必达法则）（11）xx x)11(lim 2-∞→.解一 原式=10])11[(lim )11(lim )11()11(lim --∞→→∞→-⋅+=-+x x x x x x x xx x x =1ee 1=-，解二 原式=)1()(2])11[(lim 2x x x x--∞→-=1e 0=．（12）30tan sin limx x xx →-．解 ：x x x x 30sin sin tan lim -→=xx x x x cos )cos 1(sin lim 30-→ 20sin (1cos )1lim cos x x x x x x→-=⋅⋅ =222sin 2limx xx →=21 （ 222~2sin ,0⎪⎭⎫⎝⎛→x x x ） ．（等价替换） 5.求下列极限（1）201cot limx x x x -→ （2）)e e ln()3ln(cos lim33--+→x x x x （3）)]1ln(11[lim 20x x x x +-→ （4）)ln (lim 0x x n x ⋅+→ （5） xxx cos 1lim ++∞→解 ：（1）由于0→x 时，1tan cot →=x x x x ，故原极限为0型，用洛必达法则 所以 xx xx x x x x x x sin sin cos lim 1cot lim 2020-=-→→30sin cos limx xx x x -=→ （分母等价无穷小代换）20cos sin cos lim3x x x x xx →--=01sin lim 3x x x→-=31-=.（2） 此极限为∞∞，可直接应用洛必达法则 所以 )e e ln()3ln(cos lim 33--+→x x x x =)e e ln()3ln(lim cos lim 333--⋅++→→x x x x x 3e e lim e 1lim 3cos 333--⋅⋅=++→→x x x x xxx e lim 3cos e133+→⋅⋅=3cos = . （3） 所求极限为∞-∞型 ，不能直接用洛必达法则，通分后可变成00或∞∞型.)]1ln(11[lim 20x x x x +-→xx xx x x x 2111lim )1ln(lim 020+-=+-=→→ 21)1(21lim )1(211lim00=+=+-+=→→x x x x x x .（4）所求极限为∞⋅0型，得nx nx xx x x 10ln lim ln lim -→→++=⋅ （∞∞型） =1111lim --→-+n x x nx =.01lim lim 0110=-=-++→+→nx n xnxx nx （5）此极限为∞∞型，用洛必达法则，得 1sin 1lim cos lim x x x x x x -=++∞→+∞→不存在，因此洛必达法则失效！ 但 101c o s 1lim 11cos 11lim cos lim =+=+=+=++∞→+∞→+∞→x xxx x x x x x x .6.求下列函数的极限：（1）42lim 22--→x x x ， （2）()⎪⎩⎪⎨⎧++=,1,1sin 2xa x x x f ,0,0><x x 当a 为何值时，)(x f 在0=x 的极限存在. 解： (1)41)2)(2(2lim 42lim 222-=+--=----→→x x x x x x x ,41)2)(2(2lim 42lim 222=+--=--++→→x x x x x x x ,因为左极限不等于右极限，所以极限不存在．（2）由于函数在分段点0=x 处，两边的表达式不同，因此一般要考虑在分段点0=x 处的左极限与右极限．于是，有a a x x a x x x f x x x x =+=+=----→→→→0000lim )1sin (lim )1sin (lim )(lim ，1)1(l i m )(l i m 2=+=++→→x x f x x ， 为使)(lim 0x f x →存在，必须有)(lim 0x f x +→=)(lim 0x f x -→， 因此 ，当a =1 时， )(lim 0x f x →存在且 )(lim 0x f x →=1．7.讨论函数 ⎪⎩⎪⎨⎧=,1sin ,)(x x xx f0>≤x x ， 在点0=x 处的连续性．解：由于函数在分段点0=x 处两边的表达式不同，因此，一般要考虑在分段点0=x 处的左极限与右极限．因而有01sin lim )(lim ,0lim )(lim 0====++--→→→→xx x f x x f x x x x ， 而,0)0(=f 即0)0()(lim )(lim 00===+-→→f x f x f x x ， 由函数在一点连续的充要条件知)(x f 在0=x 处连续．8. 求函数xx x x f )1(1)(2--=的间断点，并判断其类型：解：由初等函数在其定义区间上连续知)(x f 的间断点为1,0==x x .21lim)(lim 11=+=→→xx x f x x 而)(x f 在1=x 处无定义，故1=x 为其可去间断点.又∞=+=→x x x f x 1lim)(0 ∴0=x 为)(x f 的无穷间断点. 综上得1=x 为)(x f 的可去间断点, 0=x 为)(x f 的无穷间断点.（二）一元函数微分学1.判断：（1）若曲线y =)(x f 处处有切线，则y =)(x f 必处处可导.答：命题错误. 如：x y 22=处处有切线，但在0=x 处不可导.（2）若A ax a f x f ax =--→)()(lim（A 为常数），试判断下列命题是否正确.①)(x f 在点a x = 处可导, ②)(x f 在点a x = 处连续, ③)()(a f x f -= )()(a x o a x A -+-. 答：命题①、②、③全正确.(3)若)(x f ，)(x g 在点0x 处都不可导，则)()(x g x f +点0x 处也一定不可导. 答：命题不成立.如：)(x f =⎩⎨⎧>≤,0,,0,0x x x )(x g =⎩⎨⎧>≤,0,0,0,x x x)(x f ，)(x g 在x = 0 处均不可导，但其和函数)(x f +)(x g = x 在x = 0 处可导.（4）若)(x f 在点0x 处可导，)(x g 在点0x 处不可导，则)(x f +)(x g 在点0x 处一定不可导. 答：命题成立.原因：若)(x f +)(x g 在0x 处可导，由)(x f 在0x 处点可导知)(x g =[)(x f +)(x g ])(x f -在0x 点处也可导，矛盾.（5）)('0x f 与)]'([0x f 有区别. 答：命题成立.因为)('0x f 表示0)(x x x f =在处的导数; )]'([0x f 表示对0)(x x x f =在处的函数值求导，且结果为0.（6）设)(x f y =在点0x 的某邻域有定义，且-∆+)(0x x f )(0x f =2)(x b x a ∆+∆，其中b a ,为常数，下列命题哪个正确？①()x f 在点0x 处可导，且()a x f ='0,②()x f 在点0x 处可微，且()x a x f x x d |d 0==, ③()()x a x f x x f ∆+≈∆+00 （ ||x ∆很小时）. 答：①、②、③三个命题全正确.2.已知x x cos )'(sin =，利用导数定义求极限xx x 1)2πsin(lim 0-+→.解：xx x 1)2πsin(lim 0-+→=xx x 2sin)2πsin(lim0π-+→ =2π|)'(sin =x x = 2πcos=0. 3.求 ()⎩⎨⎧+=，，xx x f 1ln )(0<≥x x ，的导数.解： 当0>x 时，xx f +='11)( ，当0<x 时，1)(='x f ，当0=x 时，xf x f x f x f f x x )0()(lim 0)0()(lim)0(00-=--='→→， 所以 10lim )0(0=-='-→-xx f x ， 1e ln )1ln(lim 0)1ln(lim )0(100==+=-+='++→→+x x x x xx f ， 因此 1)0(='f ，于是 ⎪⎩⎪⎨⎧+=',1,11)(xx f .0,0≤>x x4.设))((),1ln()(x f f y x x f =+=，求dxdy解：)]1ln(1ln[))((x x f f y ++==,)]'1ln(1[)1ln(11d d x x x y ++⋅++=∴)1)](1ln(1[1x x +++=.5.已知arctanxy=求y ''. 解：两端对x 求导，得)(1)()(1122222'++='⋅+y x y x y xyx ，222222222221yx y y x yx yy x y y x y +'⋅+⋅+='-⋅+，整理得 x y y x y -='+)( ，故 xy xy y +-='， 上式两端再对x 求导，得22)()())(1())(1(x y x y y x y y x y x y y y x y x y y x y y y ++-'+'--'+-'=+-+'-+-'=''=2)(22x y yy x +-'，将 xy xy y +-='代入上式，得2)(22x y y x y xy x y +-+-⋅=''322)(2222y x xy y x xy +---=322)()(2x y y x ++-=. 6.求y = 323)4()3)(2)(1(⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⋅+++x x x x x 的导数x yd d 解：两边取对数：y ln =)]4ln(ln 3)3ln()2ln()1[ln(32+--+++++x x x x x , 两边关于x 求导：]413312111[32'1+--+++++=⋅x x x x x y y , ∴)413312111(32d d +--+++++=x x x x x y x y . 7.设xx x f e )(=，求)('x f .解：令xx y e =, 两边取对数得：x y x ln e ln =, 两边关于x 求导数得：xx y y x xe ln e '1+⋅=⋅)e ln e ('xx y y x x+=即 )e ln e ('e xx x y xxx+=. 8.设,sin ),(2x u u f y ==求x y d d 和22d d xy.解：xy d d =2cos 2)(x x u f ⋅⋅', 22d d xy=)sin 4cos 2)(()(cos 4)(222222x x x u f x x u f -'+⋅''. 9.xx y e 4+=, 求y)4(.解：xx y e 43+=', xx y e 122+='',xx y e 24+=''', x y e 24)4(+=.10.设cos sin x t t y t=-⎧⎨=⎩，， 求 22d d x y . 解：d (sin )cos d 1sin (cos )y t tx tt t '=='+- ，22d d d cos d cos d cos 1()()()d d d d 1sin d 1sin d 1sin d y y t t t t xx x x t t t x t t''===⋅=+++ 222sin (1sin )cos 11(1sin )1sin (1sin )t t t t t t -+--=⋅=+++. 11.求曲线⎩⎨⎧==,,3t y t x 在点（1，1）处切线的斜率. 解：由题意知：⎩⎨⎧==,1,13t t 1=⇒t ,33)()(d d 12131==''====t t t t t t xy,曲线在点（1，1）处切线的斜率为3 12. 求函数x x y tan ln e =的微分.解一 用微分的定义x x f y d )(d '=求微分， 有x x xx x x y xx x d ]sec tan 1e e [d )e (d 2tan ln tan ln tan ln ⋅+='= x xxx d )2sin 21(e tan ln +=. 解二 利用一阶微分形式不变性和微分运算法则求微分，得 x x xx x x y tan ln tan ln tan ln e d d e )e(d d +==)tan (ln d e d e tan ln tan ln x x x x x +=)tan d(tan 1e d e tan ln tan ln x x x x x x ⋅+= x xx x x x x d cos 1tan 1e d e 2tan ln tan ln ⋅+= x xxx d )2sin 21(e tan ln +=. 13.试证当1≠x 时，x xe e >.证明：令x x f x e e )(-=，易见()f x 在),(+∞-∞内连续，且0)1(=f e e )(-='xx f .当1<x 时，e e )(-='xx f 0<可知()f x 为]1,(-∞上的严格单调减少函数，即()(1)0.f x f >=当1>x 时，e e )(-='xx f 0>，可知()f x 为),1[+∞上的严格单调增加函数，即()(1)0f x f >=.故对任意 ,1≠x 有()0,f x >即 .0e e >-x x x xe e >.14.求函数344x x y -=的单调性与极值. 解：函数的定义域为),(+∞-∞.)3(3223-=-='x x x x y ， 令 ,0='y 驻点 3,021==x x 列表由上表知，单调减区间为)3,(-∞，单调增区间为),3(+∞，极小值 4)3(-=y 求函数的极值也可以用二阶导数来判别，此例中0,6302=''-=''=x y x x y 不能确定0=x 处是否取极值， ,093>=''=x y 得427)3(-=y 是极小值. 15.求3)(x x f =+23x 在闭区间[]5,5-上的极大值与极小值，最大值与最小值.解：x x x f 63)(2+=', 令0)(='x f , 得2,021-==x x ,66)(+=''x x f , 06)0(>=''f , 06)2(<-=-''f ,∴)(x f 的极大值为=-)2(f 4，极小值为0)0(=f . ∵50)5(-=-f , 200)5(=f .∴ 比较)5(),0(),2(),5(f f f f --的大小可知：)(x f 最大值为200， 最小值为50-.16.求曲线32310510x x y ++=的凹凸区间与拐点. 解：函数的定义域为()+∞∞-,,21010x x y +=', x y 2010+='',令0=''y , 得21-=x , 用21-=x 把()+∞∞-,分成)21,(--∞，),21(+∞-两部分.当∈x )21,(--∞时，0<''y , 当∈x ),21(+∞-时，0>''y , 曲线的凹区间为),,21(+∞-凸区间为),21,(--∞ 拐点为)665,21(-.17.求函数)1ln(2x y +=的凹向及拐点. 解：函数的定义域 ),(+∞-∞，,122x x y +=' 222222)1()1(2)1(22)1(2x x x x x x y +-=+⋅-+=''， 令 ,0=''y 得1±=y ， 列表由此可知，上凹区间(1,1)-,下凹区间(,1)(1,)-∞-+∞，曲线的拐点是)2ln ,1(±.的渐近线.18.求下列曲线的渐近线 （1）x x y ln = ，（2）1222-+-=x x x y ，（3）()()213--+=x x x y .解 （1）所给函数的定义域为),0(+∞.由于 011lim ln lim ==+∞→+∞→x x xx x ，可知 0=y 为 所给曲线xxy ln =的水平渐近线.由于 -∞=+→xxx ln lim0， 可知 0=x 为曲线xxy ln =的铅直渐近线.（2） 所给函数的定义域)1,(-∞,),1(∞+.由于 -∞=-+-=--→→122lim )(lim 211x x x x f x x ， +∞=-+-=++→→122lim )(lim 211x x x x f x x ， 可知 1=x 为所给曲线的铅直渐近线（在1=x 的两侧()f x 的趋向不同）.又 a x x x x x x f x x ==-+-=∞→∞→1)1(22lim )(lim 2，[]b x x x x x x x ax x f x x x =-=-+-=--+-=-∞→∞→∞→112lim ])1(22[lim )(lim 2， 所以 1-=x y 是曲线的一条斜渐近线.（3）()()∞=--+→213lim1x x x x , 故1=x 为曲线的铅直渐近线,()()∞=--+→213lim2x x x x , 故2=x 为曲线的铅直渐近线,()()2133lim lim 0121211x x x x x x x x x →∞→∞++==--⎛⎫⎛⎫-- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭, 故0=y 为曲线的水平渐近线,∴ 曲线的渐近线为：2,1,0===x x y .19.求解下列各题：（1）设某产品的总成本函数和总收入函数分别为x x C 23)(+=， 15)(+=x xx R , 其中x 为该产品的销售量，求该产品的边际成本、边际收入和边际利润.解：边际成本C M =x x C 1)('=边际收入R M =2)1(5)('+=x x R边际利润xx M M q L C R 1)1(5)('2-+=-=. （2）设p 为某产品的价格，x 为产品的需求量，且有801.0=+x p , 问p 为何值时，需求弹性大或需求弹性小.解：由801.0=+x p 得10d d -=px, 所以需求价格弹性80)10(1.080-=-⨯-=p p p p Ep Ex , 故当80-p p < 1-, 即40<p <80时, 需求弹性大; 当1-<80-p p<0, 即0<p <40时，需求弹性小.（三）一元函数积分学1. 在不定积分的性质x x f k x x kf d )(d )(⎰=⎰中，为何要求0≠k ？答：因为0=k 时，C x x x kf =⎰=⎰d 0d )(（任意常数），而不是0. 2. 思考下列问题：(1) 若C x x x f x ++=⎰sin 2d )(，则)(x f 为何？ 答：x x x f x f x cos 2ln 2)d )(()(+='⎰=. (2) 若)(x f 的一个原函数为3x ，问)(x f 为何？ 答：233)()(x x x f ='=(3)若)(x f 的一个原函数的x cos ，则dx x f )('⎰为何？答：C x C x f x x f x x x f +-=+='⎰-='=sin )(d )(,sin )(cos )(. 3. 计算下列积分：（1）)sin d(sin 5x x ⎰, （2）x x d cos 3⎰, （3）⎰+x xx x d )sin (,（4）x xe x d 2⎰, （5）⎰-21d xx x , （6）⎰-41d xx x ,（7）⎰x x x d 2ln , （8）x x d )32(2+⎰, （9）⎰-⋅dx x x 211arcsin 1, （10）⎰+x x x d arctan )1(12, （11）⎰+22d x x , （12）⎰-24d x x .解：（1）C xx x +=⎰6sin )sin d(sin 65. （2）x x x x x d cos )sin 1(d cos 23-⎰=⎰ =)sin d()sin 1(2x x -⎰ =)sin d(sin )sin d(2x x x ⎰-⎰=C xx +-3sin sin 3. （3）x x x x x xx x d sin 2d d )sin (⎰+⎰=+⎰=C x x +-cos 222. （4）C x x x x x x +=⎰=⎰222e 21)(d e 21d e 2.（5）C x x x x x x+--=--⎰-=--⎰2221221)1(d )1(21d 1.（6）C x x x x xx +=-=-⎰⎰22224arcsin 21)(1)(d 211d .（7（8）C x x x x x ++=++⎰=+⎰322)32(6)32(d )32(2d )32(.（9）C x x x x x x +==-⋅⎰⎰|arcsin |ln )arcsin d(arcsin 1d 11arcsin 12.（10）C x x x x x x +==+⎰⎰|arctan |ln )arctan d(arctan 1d arctan )1(12.（11）C x x x x x x x +=+=+=+⎰⎰⎰22arctan 22)2(d )2(1121)2(1d 212d 222. （12）⎰2-4d x x =⎰2)2(-12d x x=)2(d )2(-112xx ⎰=C x +2arcsin .4. 计算下列不定积分：（1）⎰++x xd 111，（2）x x d 162-⎰,（3）⎰+232)4(d x x ，（4）⎰-x xx d 122.解：（1） 令t x =+1, 则 =x 12-t , t t x d 2d =,于是原式=⎰+t t t d 12=⎰+-+t t t d 1112=]1d d [2⎰⎰+-t tt =C t t ++-1ln 22=C x x +++-+11ln 212. （2）令)2π2π(sin 4<<-=t t x ，则t x cos 4162=-，t t x d cos 4d =， 于是 t t t t t x x d )2cos 1(8d cos 4cos 4d 162+⎰=⋅⎰=-⎰ =C t t ++2sin 48.由右图所示的直角三角形，得81641642cos sin 22sin 22xx x x t t t -=-⋅⋅==, 故 C xx x dx x +-+⋅=-⎰2164arcsin81622. （2）令)2π2π(tan 2<<-=t t x ，则t t x t x d sec 2d ,sec 8)4(23232==+,x于是C t t t t t tx x +==⋅=+⎰⎰⎰2sin d 2cos d sec 2sec 41)4(d 23232. 由右图所示的直角三角形，得24sin xx t +=故C x x x x ++=+⎰223242)4(d .（4） 设 t x sin = ,t x cos 12=-,t t x d cos d = , 于是原式=⎰t t tt d cos cos sin 2=⎰t t d sin 2=⎰-t t d 22cos 1 =21⎰⎰-)2(d 2cos 41d t t t ==+-C t t 2sin 4121C t t t +-cos sin 2121=C x xx +--212arcsin 21． 5.计算下列积分：(1)⎰x x d 2ln , (2)⎰x x d 2arctan , (3) ⎰x x xd e4,(4)⎰x x xd 4sin e5, (5)⎰x x x d 100sin , (6) ⎰x x x d 2arctan .解：（1）)2ln d(2ln d 2ln x x x x x x ⎰-=⎰=x xx x x d 222ln ⋅⎰- =C x x x +-2ln .（2）⎰x x d 2arctan =)d(arctan22arctan x x x x ⎰- =x x x x x d )2(122arctan 2+⋅⎰-=⎰+-2241)(d 2arctan xx x x =)41(d 411412arctan 22x xx x ++-⎰ =C x x x ++-)41ln(412arctan 2.（3）x x x x x x x xx d e 41e 41de 41d e 4444⎰-==⎰⎰=C x xx +-44e 161e 41. x221x -1x t（4）5555e 1e e sin 4d sin 4d()e sin 4d(sin 4)555x xxx x x x x x ⎰=⎰=-⎰ =x x x xxd 4cose 544sin e5155⎰-=5e d 4cos 544sin e 5155xx x x ⎰-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--⎰)4cos d(5e 4cos 5e 544sin e 51555x x x xx x=x x x x xx xd 4sine 25164cos e 2544sin e 51555⎰--, 移项合并，得C x x x x xx+-=⎰)4cos 44sin 5(e 411d 4sin e55. （5）⎰---=-⎰=⎰x xx x x x x x x d )100100cos (100100cos )100100cos (d d 100sin =C xx x +-100100cos 10000100sin . （6）⎰x x x d 2arctan =⎰)2d(2arctan 2x x=⎰-)2(arctan d 22arctan 222x x x x =x x x x x d )2(1222arctan 2222⎰+⋅-=x x x x d )4111(412arctan 222⎰+-- =C x x x x ++-2arctan 8142arctan 22. 6.计算 （1）x x xd e )1(2⎰+ ， （2） 3s e c d x x ⎰． 解：（1） 选 12+=x u ，=v d x e x d ， =v xe ， x x u d 2d =, 于是原式 )1(2+=x x e ⎰-x 2x e x d ,对于⎰x x e x d 再使用分部积分法,选x u =， =v d x e x d , 则 x u d d =，=v xe ,从而⎰x xex d =x x e ⎰-x x d e =x x e C x +-e ．原式=xe =+--)e e (21C x x x )12(2++x x Cx+e （12C C =）,为了简便起见，所设 x u =,=v xe 等过程不必写出来，其解题步骤如下:⎰x xe dx =⎰x d x e =x C x x x x x x +-=-⎰e e d e e . （2）3secd x x ⎰=)(tan d sec x x ⎰=x x tan sec ⎰-)(sec d tan x x=x x tan sec ⎰-x x x d sec tan 2=sec tan x x -x x x d sec )1(sec 2-⎰=sec tan x x -⎰x x d sec 3+⎰x x d sec =sec tan x x -⎰x x d sec3+x x tan sec ln +,式中出现了“循环”，即再出现了⎰x x d sec 3移至左端，整理得3sec d x x ⎰=21[x x tan sec +x x tan sec ln +]+C ． 7. 利用定积分的估值公式，估计定积分⎰-+-1134)524(x x x d 的值.解：先求524)(34+-=x x x f 在[]1,1-上的最值，由0616)(23=-='x x x f , 得0=x 或83=x . 比较 7)1(,102427)83(,5)0(,11)1(=-===-f f f f 的大小，知 11,102427max min =-=f f ， 由定积分的估值公式，得[])1(1d )524()]1(1[max 1134min --⋅≤+-≤--⋅⎰-f x x x f ,即 22d )524(512271134≤+-≤-⎰-x x x . 8. 求函数21)(x x f -=在闭区间[-1，1]上的平均值.解：平均值⎰-=⋅⋅=---=11224π21π21d 1)1(11x x μ. 9. 若⎰=2d sin )(2x xt t x f ，则)(x f '=？解：)(x f '=242222sin sin 2sin )sin()(x x x x x x -=-'.10.已知 ⎰+=t t x xx F d 1sin )(2 ， 求 )(x F '．解：)(x F '=)2(12x x +-+x x cos sin 1⋅+=++-212x x x x cos sin 1⋅+．11. 求极限x tt x x πcos 1d πsin lim11+⎰→.解：此极限是“0”型未定型，由洛必达法则，得xtt x x πcos 1d πsin lim11+⎰→=)πcos 1()d πsin (lim11'+'⎰→x t t xx =π1)π1(lim πsin ππsin lim11-=-=-→→x x x x12.计算下列定积分（1）⎰-20d |1|x x , （2）⎰-122d ||x x x , （3）⎰π20d |sin |x x .解：（1）⎰-2d |1|x x =⎰-10d )1(x x +⎰-21d )1(x x=212122)1(2)1(-+--x x =2121+=1.（2）⎰-122d ||x x x =⎰--023d )(x x +⎰103d x x=1402444x x +--=4+41741=.（3）⎰π20d |sin |x x =⎰πd sin x x +⎰-π2πd )sin (x x=π2ππ0cos )cos (x x +-=2+2=4.13.计算下列定积分（1）⎰--2π2π3d cos cos x x x ，（2）⎰--112d 1x x .解：(1)x x x x x x d sin )(cos 2d cos cos 212π2π2π03⎰⎰-=-=34cos 34)cos d()(cos 22π0232π021=-=-⎰x x x .(2)⎰⎰⎰---=-=-112π2π2π2π222d )(cos )sin d()(sin 1d 1t t t t x x=2=+=+=⎰⎰2π02π02π02)2sin 21(d 22cos 12d )(cos t t t t t t 2π.14.计算 （1）⎰+-4d 11x xx， （2）⎰4π4d tan sec x x x ．解:（1）利用换元积分法，注意在换元时必须同时换限．令 x t =，x 2t = ，t t x d 2d = ，当0=x 时，0=t ，当4=x 时，2=t ，于是⎰+-40d 11x x x=⎰+-20d 211t t t t =⎰+--20d ]1424[t tt [].3ln 44021ln 442-=+--=tt t（2）⎰4π4d tan sec x x x =⎰4π03)(sec d sec x x43411sec 414π04=-==x ．15. 计算下列定积分：（1）x x xd e )15(405⎰+, （2）x x d )12ln(e21⎰+,（3）x x x d πcos e 10π⎰, （4）x x x x x d )e 3(133⎰++.解：（1）x x xd e )15(405⎰+=5e d )15(540x x ⎰+=⎰+-+10515)15(d 5e )15(5e x x x x =5155e 5e 51e 6=--x.(2)x x d )12ln(e21⎰+=()())12ln d(12ln e21e21+-+⎰x x x xx x xd 1223ln )1e 4ln(e 2e21⎰+--+= --+=3ln )1e 4ln(e 2x x )d 1211(e 21⎰+---+=3ln )1e 4ln(e 2()e21)12ln 21(+-x x()1e 23ln 231e 4ln )21e 2(+--++=.(3) x x xd πcose 10π⎰=ππsin d e 10πx x ⎰x x x x πde ππsin πsin e π11010π⎰-= =0x x x d πsin e 10π⎰-=)ππcos d(e 10πx x--⎰ x x x x πde ππcos πcos e π11010π⎰-==-+-)1e (π1πx x x d πcos e 10π⎰ 移项合并得x x x d πcos e 10π⎰)1e (π21π+-=. （4）x x x xxd )e 3(1033⎰++)e 313ln 34(d 3104xx x x ++=⎰⎰++-++=1034134d )e 313ln 34()e 313ln 34(x x x x xx x x=4514e 923ln 23ln 3)e 913ln 320(e 313ln 3413213253++-=++-++x x x 16.计算（1）⎰1d arctan x x ， （2）x x x d ln 2e e1⎰．解:（1）⎰1d arctan x x =10arctan x x⎰+-102d 1x x x=102)1ln(214πx +- =2ln 214-π ．（2） 由于在[1,e1]上0ln ≤x ；在[2e ,1]上0ln ≥x ，所以x x x d ln 2e e1⎰=x x x d )ln (1e1⎰-+x x x d ln 2e 1⎰=)2(d ln 21e1x x ⎰-+)2d(ln 2e 12x x ⎰=[-x x ln 22+42x ]1e 1+[x x ln 22-42x ]2e 1=41-（412e 1+212e 1）+（4e -414e +41） =21-432e 1+434e ． 17.判别下列广义积分的敛散性，如果收敛计算其值 . (1)⎰∞++022d )1(x x x, (2) ⎰∞+02d 1x x , (3)x xd e 1100⎰∞+-, (4)⎰∞++02100d xx ． 解:(1) 因为积分区间为无穷区间，所以原式=+∞→b lim ⎰+bx x x 022d )1(=+∞→b lim ⎰++b x x 0222)1()1(d 21=bb x 02])1(21[lim +-+∞→ =]21)1(21[lim 2++-+∞→b b =21， 故所给广义积分收敛，且其值为21． (2)⎰∞+02d 1x x =+∞=-=-+∞→→+∞+xx x x x 1lim 1lim )1(00,∴⎰∞+02d 1x x 发散. (3)x xd e1100⎰∞+-=1001001100e 1001)100e (0100e --+∞-=--=-x .(4)⎰∞++02100d x x =20π10arctan 1010=+∞x . 18.求曲线22)2(,-==x y x y 与x 轴围成的平面图形的面积.解：如图，由⎪⎩⎪⎨⎧-==,)2(,22x y x y 得两曲线交点（1，1）. 解一 取x 为积分变量，]2,0[∈x , 所求面积323)2(3d )2(d 213103212102=-+=-+=⎰⎰x x x x x x A . 解二 取y 为积分变量,y 的变化区间为[0，1]，32)d y -y -2(1==⎰y A . 显然，解法二优于解法一.因此作题时，要先画图，然后根据图形选择适当的积分变量，尽量使计算方便. 19. 求下列曲线所围成的图形的面积:抛物线 22xy =与直线42=-y x . 解:先画图，如图所示，并由方程⎪⎩⎪⎨⎧=-=4222y x x y ，求出交点为（2，1-），（8，2）. 解一 取y 为积分变量,y 的变化区间为[1-，2]， 在区间[1-，2]上任取一子区间[y ，y +y d ]，则面积微元 A d =y y y d )242(2-+,则所求面积为A =⎰--+212d )242(y y y = （32324y y y -+）21-=9.解二 取x 为积分变量，x 的变化区间 为[0，8]，由图知，若在此区间上任取子区间， 需分成[0，2]，[2，8]两部分完成.在区间[0，2]上任取一子区间[x ，x +x d ]， 则面积微元 A d 1=x xd ]22[, 在区间[2，8]上任取一子区间[x ，x +x d ]，2)2-y则面积微元 A d 2=[)4(212--x x ]x d , 于是得=A 1+A 2 =⎰20d 22x x +x x x d )222(82+-⎰=23322x 20+[23322x 224x x -+]82=9 .显然，解法一优于解法二.因此作题时，要先画图，然后根据图形选择适当的积分变量，尽量使计算方便. 20.用定积分求由0,1,0,12===+=x x y x y 所围平面图形绕x 轴旋转一周所得旋转体的体积. 解：如右图，所求体积⎰+=122d )1(πx x V⎰++=1024d )12(πx x x=135)325(πx x x ++=π1528. 二、 微分方程1. 验证x x C C x C y --+=e e 21为微分方程0'2''=++y y y 的解，并说明是该方程的通解. 证明： x x C C x C y --+=e e 21,x x C x C C C y ----=∴e e )('121, x x C x C C C y --+-=e e )2(''112,于是0'2''=++C C C y y y ，故C y 是0'2''=++y y y 的解.x x -e 与x -e 线性无关，∴0'2''=++y y y 中的1C 与2C 相互独立，即C y 中含有与方程0'2''=++y y y 阶数相同（个数均为2）的独立任意常数，故C y 是该方程的通解. 2. 用分离变量法求解下列微分方程:（1）22d d y x x y =, （2）21d d x yx y -=, （3）y x x x y )1(d d 2++=，且e )0(=y . 解：（1）分离变量得x x yyd d 22=,（0≠y ） 两边积分得⎰⎰=x x y yd d 122 ,x求积分得 3313Cx y +=-,从而通解为Cx y +-=33及验证0=y 也是方程的解.（特别注意，此解不能并入通解） （2）分离变量得21d d xxy y -=,（0≠y ） 两边积分得⎰⎰-=x x y y d 11d 12,求积分得 1arcsin ||ln C x y +=,即 )e (e e e 11arcsin arcsin Cx x CC C y ±==±=,从而通解为 x C y arcsin e =，验证0=y 也是方程的解. （3）分离变量得x x x yyd )1(d 2++=,（0≠y ） 两边积分得⎰⎰++=x x x y y d )1(d 12 求积分得 13232||ln C x x x y +++=, 即 )e (eee 1332232132C x x x C C C y x x x ±==±=++++,从而通解为3232ex x x C y ++=，验证0=y 也是方程的解.由e )0(=y ，得e =C ， 故特解为32132e x x x y +++=.3.求解下列一阶线性微分方程（1）x b ay y sin '=+（其中b a ,为常数）, (2)21d d yx x y +=. 解：(1)因a x P =)(， x b x Q s i n)(=， 故通解为 ⎰⎰⋅+⎰=-]d e sin [e d d x x b C y xa x a⎰⋅+=-)d e sin (e x x b C ax ax)]cos sin (e 1[e 2x x a a b C axax -++=-. (2)方程变形为2d d y x yx=-, 这是x 关于y 的一阶线性微分方程，其中2)(,1)(y y Q y P =-=,通解为：⎰⋅⎰⋅+⎰=---]d e [e d )1(2d )1(y y C x yy⎰-⋅+=]d e [e 2y y C y y)22(e 2++-=y y C y .以上是用一阶线性微分方程的通解公式求解，要熟练掌握常数变易法！ 4.求微分方程 y y x y x y xy d d d d 2+=+ 满足条件20==x y的特解.解：这是可以分离变量的微分方程，将方程分离变量，有x x y y y d 11d 12-=-， 两边积分，得=-⎰y y yd 12⎰-x x d 11，求积分得121ln 1ln 21C x y +-=-，1222)1ln(1ln C x y +-=-， 1222e )1(1C x y -=-，222)1(e 11-±=-x y C ，记 0e12≠=±C C ，得方程的解 22)1(1-=-x C y .可以验证 0=C 时，1±=y ，它们也是原方程的解，因此，式22)1(1-=-x C y 中的C 可以为任意常数，所以原方程的通解为 22)1(1-=-x C y （C 为任意常数）. 代入初始条件 20==x y得 3=C ，所以特解为 22)1(31-=-x y .5.求微分方程（1）xy yy +='，（2） x xy y x cos e 22=-'的通解.（1）解一 原方程可化为 1d d +=xyx y x y ，令 x yu =，则 1d d +=+u u x u x u ，即 x x u uu d d 12-=+ ，两边取积分 ⎰⎰-=+x x u u u d 1d )11(2， 积分得C x u u ln ln ln 1-=-，将xy u =代入原方程，整理得原方程的通解为 yx C y e = （C 为任意常数）.解二 原方程可化为11d d =-x yy x 为一阶线性微分方程，用常数变易法.解原方程所对应的齐次方程 01d d =-x yy x ，得其通解为 y C x =. 设y y C x )(=为原方程的解，代入原方程，化简得 1)(='y y C ，1ln)(C yy C =，所以原方程的通解为 1ln C y y x=，即yxC ye = （C 为任意常数）.（2）解一 原方程对应的齐次方程02d d =-xy x y 分离变量，得xy x y 2d d =，x x yy d 2d =， 两边积分，得x x y y⎰⎰=d 2d ，C x y +=2ln ，)e ln(ln e ln ln 22x x C C y =+=，2e x C y =，用常数变易法.设2e )(x x C y =代入原方程，得 x x C x x cos e e )(22='，x x C cos )(='，C x x x x C +==⎰sin d cos )(，故原方程的通解为 )(sin e 2C x y x += （C 为任意常数）. 解二 这里x x P 2)(-=，x x Q x cos e )(2=代入通解的公式得)d e cos e (e d 2d 22⎰+⎰⋅⎰=---C x x y xx x x x=)d e cos e(e 222C x x x x x +⋅⎰-=)d cos (e 2C x x x +⎰=)(sin e 2C x x +（C 为任意常数）.6.求微分方程 123='+''y x y x 的通解.解：方程中不显含未知函数y ，令P y ='，x P y d d =''，代入原方程，得 1d d 23=+P x xP x， 311d d xP x x P =+，这是关于未知函数)(x P 的一阶线性微分方程，代入常数变易法的通解公式，所以 =)(x P 1d 13d 1d e 1(eC x xxx x x +⎰⎰⎰-） =1ln 3ln d e 1(e C x x x x+⎰-）=13d 1(1C x x x x +⋅⎰）=11(1C x x +-）=x C x 121+-， 由此x y d d =x Cx121+-，⎰+-=x x C xy d )1(12=21ln 1C x C x ++， 因此，原方程的通解为 y =21ln 1C x C x++ （21,C C 为任意常数）. 7.求微分方程 )1()(22-''='y y y 满足初始条件21==x y ，11-='=x y 的特解.解：方程不显含x ，令 P y ='，y P Py d d =''，则方程可化为 )1(d d 22-=y yP PP ， 当 0≠P 时y y P P d 12d -=，于是 21)1(-=y C P .根据 21==x y，11-='=x y ，知12-='=y y 代入上式，得 11-=C ，从而得到x y yd )1(d 2-=-，积分得 211C x y +=-，再由21==x y ，求得 02=C ，于是当0≠P 时，原方程满足所给初始条件的特解为x y =-11， 当0=P 时，得C y =(常数)，显然这个解也满足方程，这个解可包含在解x y =-11中. 故原方程满足所给初始条件的特解为x y =-11，即 xy 11+=. 8.求方程0)'(''2=-y yy 的通解.解：方程不显含自变量x , 令)('y p y =原方程可变为0d d 2=-⋅⋅p ypp y , 即0=p 或p ypy=d d , 由0'==p y 得C y =.由p y p y=d d 分离变量，得yy p p d d =, 两边积分得⎰⎰=y yp p d d ,求积分得 1ln ln ln C y p +=, 即y C p 1=, 解y C y 1'= 得xC C y 1e 2=,因C y =包含于xC C y 1e2=中, 故原方程通解为 xC C y 1e2=.9.写出下列微分方程的通解：（1）0'2''=+-y y y , （2）08'=+y y . 解：（1）特征方程0122=+-r r , 特征根121==r r , 通解为x x C C y e )(21+=.（2）特征方程08=+r , 特征根8-=r , 通解为xC y 81e-=.10.求下列微分方程满足所给初始条件的特解:（1）xy y y 3e6'2''-=-+, 1)0(',1)0(==y y ,（2） x y y sin 2''=+，1)0(',1)0(==y y . 解：（1）先解06'2''=-+y y y ,。

高等数学试题库及答案doc一、选择题1. 下列函数中，哪一个是偶函数？A. f(x) = x^2B. f(x) = x^3C. f(x) = |x|D. f(x) = sin(x)答案：A2. 曲线 y = x^2 在点 (1,1) 处的切线斜率是多少？A. 0B. 1C. 2D. -2答案：C二、填空题1. 极限lim(x→0) (sin(x)/x) 的值是 __________。

答案：12. 函数 f(x) = x + 1 在 x = 2 处的导数是 __________。

答案：1三、计算题1. 求函数 f(x) = x^3 - 2x^2 + 3x 的导数。

解：f'(x) = 3x^2 - 4x + 32. 计算定积分∫(0 到 1) x^2 dx。

解：∫(0 到 1) x^2 dx = [1/3 * x^3] (从0到1) = 1/3四、证明题1. 证明函数 f(x) = e^x 是严格单调递增的。

证明：设任意 x1 < x2，则 f(x1) - f(x2) = e^x1 - e^x2。

由于e^x 是严格单调递增的，所以当 x1 < x2 时，e^x1 < e^x2，从而f(x1) < f(x2)。

因此，函数 f(x) 是严格单调递增的。

五、应用题1. 一个物体从静止开始，以初速度为零的匀加速直线运动，其加速度为 2 m/s²。

求物体在前 3 秒内的位移。

解：根据匀加速直线运动的位移公式 s = 1/2 * a * t²，代入 a = 2 m/s²和 t = 3 s，得到 s = 1/2 * 2 * 3² = 9 m。

六、论述题1. 论述微积分在物理学中的应用。

答案：微积分在物理学中有广泛的应用，例如在力学中计算物体的运动轨迹、在电磁学中分析电场和磁场的变化、在热力学中研究温度分布等。

微积分的基本原理—极限和导数，为物理学家提供了一种强大的工具，用以描述和预测物理现象的变化趋势。

高数期末考试题及答案大全试题一：极限的概念与计算问题：计算极限 \(\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x}\)。

答案：根据洛必达法则，当分子分母同时趋向于0时，可以对分子分母同时求导，得到：\[\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{\cosx}{1} = \cos(0) = 1.\]试题二：导数的应用问题：设函数 \(f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x\)，求其在 \(x=1\) 处的切线方程。

答案：首先求导数 \(f'(x) = 3x^2 - 6x + 2\)。

在 \(x=1\) 处，导数值为 \(f'(1) = -1\)，函数值为 \(f(1) = 0\)。

切线方程为 \(y - 0 = -1(x - 1)\)，即 \(y = -x + 1\)。

试题三：不定积分的计算问题：计算不定积分 \(\int \frac{1}{x^2 + 1} dx\)。

答案：这是一个基本的三角换元积分问题，令 \(x = \tan(\theta)\)，\(dx = \sec^2(\theta) d\theta\)。

则 \(\int \frac{1}{x^2 + 1} dx = \int \frac{1}{\tan^2(\theta) + 1} \sec^2(\theta) d\theta = \int \cos^2(\theta) d\theta\)。

利用二倍角公式，\(\cos^2(\theta) = \frac{1 +\cos(2\theta)}{2}\)。

积分变为 \(\int \frac{1}{2} d\theta + \frac{1}{2} \int\cos(2\theta) d\theta = \frac{\theta}{2} +\frac{\sin(2\theta)}{4} + C\)。

大学高数考试题及答案详解# 大学高数考试题及答案详解一、选择题1. 题目：函数 \( f(x) = x^2 \) 在区间 \( [0, 1] \) 上的定积分是：- A. \( \frac{1}{3} \)- B. \( \frac{1}{2} \)- C. \( \frac{3}{4} \)- D. \( \frac{2}{3} \)答案： C详解：根据定积分的计算公式，\( \int_{0}^{1} x^2 dx =\left[\frac{x^3}{3}\right]_{0}^{1} = \frac{1^3}{3} -\frac{0^3}{3} = \frac{1}{3} \)。

因此，正确答案为 C。

2. 题目：极限 \( \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} \) 的值是： - A. 1- B. 0- C. \( \frac{1}{2} \)- D. \( \infty \)答案： A详解：利用极限的性质和三角函数的极限，我们有 \( \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{\cos x}{1} = 1\)。

因此，正确答案为 A。

二、填空题1. 题目：如果 \( \int_{a}^{b} f(x) dx = 4 \)，那么\( \int_{a}^{b} 2f(x) dx = \) ________。

答案： 8详解：根据定积分的性质，如果 \( c \) 是一个常数，那么\( \int_{a}^{b} cf(x) dx = c \int_{a}^{b} f(x) dx \)。

因此，\( \int_{a}^{b} 2f(x) dx = 2 \int_{a}^{b} f(x) dx = 2 \times 4 = 8 \)。

2. 题目：函数 \( g(x) = e^x \) 的导数是 \( g'(x) = \)________。

高等数学试题及答案大全一、选择题1. 下列函数中，不是周期函数的是（）。

A. y = sin(x)B. y = cos(x)C. y = e^xD. y = tan(x)2. 函数f(x) = x^2 + 3x - 2在区间[-5, 2]上的最大值是（）。

A. 0B. 3C. 4D. 5二、填空题1. 若函数f(x) = 2x - 3在x = 1处的导数为5，则原函数在x = 1处的值为______。

2. 曲线y = x^3 - 2x^2 + x在x = 2处的切线斜率为______。

三、解答题1. 求函数f(x) = ln(x) + 1的导数，并说明其在x = e处的导数值。

2. 已知函数f(x) = x^3 - 6x^2 + 11x - 6，求其极值点。

四、证明题1. 证明函数f(x) = x^3在R上的单调性。

2. 证明等差数列的前n项和公式S_n = n(a_1 + a_n)/2。

五、应用题1. 某工厂生产一种产品，其成本函数为C(x) = 3x + 200，销售价格为P(x) = 50 - 0.05x，其中x表示产品数量。

求该工厂的盈利函数，并求出其盈利最大时的产品数量。

2. 一个圆的半径为r，求其面积与周长的比值。

答案：一、选择题1. C解析：函数y = e^x不是周期函数，其他选项都是周期函数。

2. D解析：函数f(x) = x^2 + 3x - 2的导数为f'(x) = 2x + 3，令其等于0，解得x = -3/2，但x = -3/2不在区间[-5, 2]内。

检查区间端点，f(-5) = -8，f(2) = 5，因此最大值为5。

二、填空题1. -1解析：由f'(x) = 2，且f'(1) = 5，可得f(1) = f'(1) * (1 - 0) + f(0) = 5 + f(0)，又因为f(0) = -3，所以f(1) = 5 - 3 = 2。

2. -4解析：由y' = 3x^2 - 4x + 1，代入x = 2，得y' = 3 * 2^2 - 4 * 2 + 1 = 12 - 8 + 1 = 5。

《高数》试卷1（上）一．选择题（将答案代号填入括号内，每题3分，共30分）.1．下列各组函数中，是相同的函数的是（ ）.（A ）()()2ln 2ln f x x g x x == 和 （B ）()||f x x = 和 ()g x =（C ）()f x x = 和 ()2g x =（D ）()||x f x x=和 ()g x =1 2．函数()00x f x a x ≠=⎨⎪=⎩ 在0x =处连续，则a =（ ）.（A ）0 （B ）14（C ）1 （D ）23．曲线ln y x x =的平行于直线10x y -+=的切线方程为（ ）.（A ）1y x =- （B ）(1)y x =-+ （C ）()()ln 11y x x =-- （D ）y x = 4．设函数()||f x x =，则函数在点0x =处（ ）.（A ）连续且可导 （B ）连续且可微 （C ）连续不可导 （D ）不连续不可微5．点0x =是函数4y x =的（ ）.（A ）驻点但非极值点 （B ）拐点 （C ）驻点且是拐点 （D ）驻点且是极值点6．曲线1||y x =的渐近线情况是（ ）. （A ）只有水平渐近线 （B ）只有垂直渐近线 （C ）既有水平渐近线又有垂直渐近线 （D ）既无水平渐近线又无垂直渐近线 7．211f dx x x⎛⎫' ⎪⎝⎭⎰的结果是（ ）. （A ）1f C x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭（B ）1f C x ⎛⎫--+ ⎪⎝⎭（C ）1f C x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭（D ）1f C x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭8．x x dxe e -+⎰的结果是（ ）.（A ）arctan xe C + （B ）arctan xeC -+ （C ）x x e e C --+ （D ）ln()x x e e C -++9．下列定积分为零的是（ ）.（A ）424arctan 1x dx x ππ-+⎰ （B ）44arcsin x x dx ππ-⎰ （C ）112x xe e dx --+⎰ （D ）()121sin x x x dx -+⎰ 10．设()f x 为连续函数，则()12f x dx '⎰等于（ ）.（A ）()()20f f - （B ）()()11102f f -⎡⎤⎣⎦（C ）()()1202f f -⎡⎤⎣⎦（D ）()()10f f -二．填空题（每题4分，共20分）1．设函数()2100x e x f x x a x -⎧-≠⎪=⎨⎪=⎩在0x =处连续，则a =.2．已知曲线()y f x =在2x =处的切线的倾斜角为56π，则()2f '=.3．21xy x =-的垂直渐近线有条. 4．()21ln dxx x =+⎰.5．()422sin cos xx x dx ππ-+=⎰.三．计算（每小题5分，共30分） 1．求极限①21lim xx x x →∞+⎛⎫⎪⎝⎭ ②()20sin 1lim xx x x x e →-- 2．求曲线()ln y x y =+所确定的隐函数的导数x y '. 3．求不定积分 ①()()13dxx x ++⎰ ②()220dx a x a >-⎰ ③x xe dx -⎰四．应用题（每题10分，共20分） 1． 作出函数323y x x =-的图像.2．求曲线22y x =和直线4y x =-所围图形的面积.《高数》试卷1参考答案一．选择题1．B 2．B 3．A 4．C 5．D 6．C 7．D 8．A 9．A 10．C 二．填空题 1．2- 2． ３． ２ ４．arctanln x c + ５．２ 三．计算题 １①2e ②162.11xy x y '=+- 3. ①11ln ||23x C x +++②ln ||x C + ③()1x e x C --++四．应用题１．略 ２．18S =《高数》试卷2（上）一.选择题(将答案代号填入括号内,每题3分,共30分) 1.下列各组函数中,是相同函数的是( ).(A) ()f x x =和()g x = (B) ()211x f x x -=-和1y x =+(C) ()f x x =和()22(sin cos )g x x x x =+ (D) ()2ln f x x =和()2ln g x x =2.设函数()()2sin 21112111x x x f x x x x -⎧<⎪-⎪⎪==⎨⎪->⎪⎪⎩，则()1lim x f x →=（ ）. (A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 不存在3.设函数()y f x =在点0x 处可导，且()f x '>0, 曲线则()y f x =在点()()00,x f x 处的切线的倾斜角为{ }. (A) 0 (B)2π(C) 锐角 (D) 钝角 4.曲线ln y x =上某点的切线平行于直线23y x =-,则该点坐标是( ). (A) 12,ln2⎛⎫⎪⎝⎭(B) 12,ln 2⎛⎫- ⎪⎝⎭ (C)1,ln 22⎛⎫⎪⎝⎭ (D) 1,ln 22⎛⎫- ⎪⎝⎭5.函数2xy x e-=及图象在()1,2内是( ).(A)单调减少且是凸的 (B)单调增加且是凸的 (C)单调减少且是凹的 (D)单调增加且是凹的6.以下结论正确的是( ).(A) 若0x 为函数()y f x =的驻点,则0x 必为函数()y f x =的极值点. (B) 函数()y f x =导数不存在的点,一定不是函数()y f x =的极值点. (C) 若函数()y f x =在0x 处取得极值,且()0f x '存在,则必有()0f x '=0. (D) 若函数()y f x =在0x 处连续,则()0f x '一定存在.7.设函数()y f x =的一个原函数为12xx e ,则()f x =( ). (A) ()121x x e -(B) 12x x e - (C) ()121x x e + (D) 12xxe8.若()()f x dx F x c =+⎰,则()sin cos xf x dx =⎰( ).(A) ()sin F x c + (B) ()sin F x c -+ (C) ()cos F x c + (D) ()cos F x c -+ 9.设()F x 为连续函数,则12x f dx ⎛⎫' ⎪⎝⎭⎰=( ). (A) ()()10f f - (B)()()210f f -⎡⎤⎣⎦ (C) ()()220f f -⎡⎤⎣⎦ (D) ()1202f f ⎡⎤⎛⎫- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦10.定积分badx ⎰()a b <在几何上的表示( ).(A) 线段长b a - (B) 线段长a b - (C) 矩形面积()1a b -⨯ (D) 矩形面积()1b a -⨯ 二.填空题(每题4分,共20分)1.设 ()()2ln 101cos 0x x f x xa x ⎧-⎪≠=⎨-⎪=⎩, 在0x =连续,则a =________.2.设2sin y x =, 则dy =_________________sin d x . 3.函数211xy x =+-的水平和垂直渐近线共有_______条. 4.不定积分ln x xdx =⎰______________________.5. 定积分2121sin 11x x dx x -+=+⎰___________. 三.计算题(每小题5分,共30分)1.求下列极限:①()10lim 12xx x →+ ②arctan 2lim 1x x xπ→+∞-2.求由方程1yy xe =-所确定的隐函数的导数x y '. 3.求下列不定积分:①3tan sec x xdx ⎰ ②()220dx a x a>+⎰③2x x e dx ⎰ 四.应用题(每题10分,共20分) 1.作出函数313y x x =-的图象.(要求列出表格)2.计算由两条抛物线：22,y x y x ==所围成的图形的面积.《高数》试卷2参考答案一.选择题：CDCDB CADDD二填空题：1.－2 2.2sin x 3.3 4.2211ln 24x x x c -+ 5.2π三.计算题：1. ①2e ②1 2.2yx e y y '=- 3.①3sec 3xc +②)ln x c + ③()222x x x e c -++四.应用题：1.略 2.13S =《高数》试卷3（上）一、 填空题(每小题3分, 共24分)1.函数y =的定义域为________________________.2.设函数()sin 4,0,0xx f x x a x ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩, 则当a =_________时, ()f x 在0x =处连续.3. 函数221()32x f x x x -=-+的无穷型间断点为________________.4. 设()f x 可导, ()xy f e =, 则____________.y '=5. 221lim _________________.25x x x x →∞+=+- 6. 321421sin 1x xdx x x -+-⎰=______________. 7. 20_______________________.x t d e dt dx -=⎰ 8. 30y y y '''+-=是_______阶微分方程.二、求下列极限(每小题5分, 共15分)1. 01lim sin x x e x →-;2. 233lim 9x x x →--; 3. 1lim 1.2xx x -→∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭三、求下列导数或微分(每小题5分, 共15分)1. 2xy x =+, 求(0)y '. 2. cos x y e =, 求dy . 3. 设x y xy e +=, 求dydx .四、求下列积分 (每小题5分, 共15分)1. 12sin x dx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭⎰. 2.ln(1)x x dx +⎰.3.120x e dx ⎰五、(8分)求曲线1cos x t y t=⎧⎨=-⎩在2t π=处的切线与法线方程.六、(8分)求由曲线21,y x =+ 直线0,0y x ==和1x =所围成的平面图形的面积, 以及此图形绕y 轴旋转所得旋转体的体积.七、(8分)求微分方程6130y y y '''++=的通解. 八、(7分)求微分方程x yy e x'+=满足初始条件()10y =的特解. 《高数》试卷3参考答案一．1．3x< 2.4a = 3.2x = 4.'()x x e f e5.126.07.22x xe -8.二阶二.1.原式=0lim 1x xx→= 2.311lim36x x →=+ 3.原式=112221lim[(1)]2x x e x--→∞+= 三.1.221','(0)(2)2y y x ==+2.cos sin x dy xe dx =-3.两边对x 求写：'(1')x y y xy e y +==+'x y x y e y xy yy x e x xy++--⇒==-- 四.1.原式=lim 2cos x x C -+2.原式=2221lim(1)()lim(1)[lim(1)]22x x x d x x d x x +=+-+⎰⎰=22111lim(1)lim(1)(1)221221x x x x dx x x dx x x +-=+--+++⎰⎰=221lim(1)[lim(1)]222x x x x x C +--+++3.原式=1221200111(2)(1)222x x e d x e e ==-⎰五.sin 1,122dy dy t t t y dx dx ππ=====且切线：1,1022y x y x ππ-=---+=即 法线：1(),1022y x y x ππ-=--+--=即六.12210013(1)()22S x dx x x =+=+=⎰11224205210(1)(21)228()5315V x dx x x dxx x x ππππ=+=++=++=⎰⎰七.特征方程:2312613032(cos 2sin 2)x r r r iy e C x C x -++=⇒=-±=+八.11()dxdxxx x y ee edx C -⎰⎰=+⎰1[(1)]x x e C x=-+ 由10,0y x C ==⇒=1xx y e x-∴=《高数》试卷4（上）一、选择题（每小题3分） 1、函数 2)1ln(++-=x x y 的定义域是（ ）.A []1,2-B [)1,2-C (]1,2-D ()1,2- 2、极限xx e ∞→lim 的值是（ ）.A 、 ∞+B 、 0C 、∞-D 、 不存在 3、=--→211)1sin(limx x x （ ）.A 、1B 、 0C 、 21-D 、214、曲线 23-+=x x y 在点)0,1(处的切线方程是（ ） A 、 )1(2-=x y B 、)1(4-=x y C 、14-=x y D 、)1(3-=x y 5、下列各微分式正确的是（ ）.A 、)(2x d xdx = B 、)2(sin 2cos x d xdx = C 、)5(x d dx --= D 、22)()(dx x d =6、设⎰+=C xdx x f 2cos 2)( ，则 =)(x f （ ）. A 、2sin x B 、 2sin x - C 、 C x +2sin D 、2sin 2x-7、⎰=+dx xx ln 2（ ）.A 、C x x++-22ln 212 B 、 C x ++2)ln 2(21C 、 C x ++ln 2lnD 、 C xx++-2ln 1 8、曲线2x y = ，1=x ，0=y 所围成的图形绕y 轴旋转所得旋转体体积=V （ ）. A 、⎰14dx x π B 、⎰1ydy πC 、⎰-1)1(dy y π D 、⎰-104)1(dx x π9、⎰=+101dx e e xx（ ）. A 、21lne + B 、22ln e + C 、31ln e + D 、221ln e + 10、微分方程 xe y y y 22=+'+'' 的一个特解为（ ）.A 、x e y 273=* B 、x e y 73=* C 、x xe y 272=* D 、x e y 272=*二、填空题（每小题4分）1、设函数xxe y =，则 =''y ； 2、如果322sin 3lim 0=→x mx x , 则 =m .3、=⎰-113cos xdx x ；4、微分方程 044=+'+''y y y 的通解是 .5、函数x x x f 2)(+= 在区间 []4,0 上的最大值是 ，最小值是 ；三、计算题（每小题5分） 1、求极限 x x x x --+→11lim 0； 2、求x x y sin ln cot 212+= 的导数；3、求函数 1133+-=x x y 的微分；4、求不定积分⎰++11x dx；5、求定积分⎰eedx x 1ln ； 6、解方程21xy xdx dy -=；四、应用题（每小题10分）1、 求抛物线2x y = 与 22x y -=所围成的平面图形的面积.2、 利用导数作出函数323x x y -= 的图象.参考答案一、1、C ； 2、D ； 3、C ； 4、B ； 5、C ； 6、B ； 7、B ； 8、A ； 9、A ； 10、D ；二、1、xe x )2(+； 2、94 ； 3、0 ； 4、xe x C C y 221)(-+= ； 5、8，0三、1、 1； 2、x 3cot - ； 3、dx x x 232)1(6+ ； 4、C x x +++-+)11ln(212； 5、)12(2e - ； 6、C x y =-+2212 ； 四、1、38； 2、图略《高数》试卷5（上）一、选择题（每小题3分） 1、函数)1lg(12+++=x x y 的定义域是（ ）.A 、()()+∞--,01,2B 、 ()),0(0,1+∞-C 、),0()0,1(+∞-D 、),1(+∞- 2、下列各式中，极限存在的是（ ）.A 、 x x cos lim 0→ B 、x x arctan lim ∞→ C 、x x sin lim ∞→ D 、xx 2lim +∞→3、=+∞→xx xx )1(lim （ ）. A 、e B 、2e C 、1 D 、e1 4、曲线x x y ln =的平行于直线01=+-y x 的切线方程是（ ）. A 、 x y = B 、)1)(1(ln --=x x y C 、 1-=x y D 、)1(+-=x y 5、已知x x y 3sin = ，则=dy （ ）.A 、dx x x )3sin 33cos (+-B 、dx x x x )3cos 33(sin +C 、dx x x )3sin 3(cos +D 、dx x x x )3cos 3(sin + 6、下列等式成立的是（ ）. A 、⎰++=-C x dx x 111ααα B 、⎰+=C x a dx a x x lnC 、⎰+=C x xdx sin cosD 、⎰++=C x xdx 211tan7、计算⎰xdx x e x cos sin sin 的结果中正确的是（ ）.A 、C ex+sin B 、C x e x +cos sinC 、C x ex+sin sin D 、C x e x +-)1(sin sin8、曲线2x y = ，1=x ，0=y 所围成的图形绕x 轴旋转所得旋转体体积=V （ ）. A 、⎰14dx x π B 、⎰1ydy πC 、⎰-1)1(dy y π D 、⎰-104)1(dx x π9、设 a ﹥0，则=-⎰dx x a a22（ ）.A 、2a B 、22a πC 、241a 0 D 、241a π 10、方程（ ）是一阶线性微分方程. A 、0ln2=+'xyy x B 、0=+'y e y x C 、0sin )1(2=-'+y y y x D 、0)6(2=-+'dy x y dx y x二、填空题（每小题4分）1、设⎩⎨⎧+≤+=0,0,1)( x b ax x e x f x ，则有=-→)(lim 0x f x ，=+→)(lim 0x f x ；2、设 xxe y = ，则 =''y ；3、函数)1ln()(2x x f +=在区间[]2,1-的最大值是 ，最小值是 ；4、=⎰-113cos xdx x；5、微分方程 023=+'-''y y y 的通解是 .三、计算题（每小题5分） 1、求极限 )2311(lim 21-+--→x x x x ；2、求 x x y arccos 12-= 的导数；3、求函数21xx y -=的微分；4、求不定积分⎰+dx xxln 21 ；5、求定积分 ⎰eedx x 1ln ；6、求方程y xy y x =+'2满足初始条件4)21(=y 的特解.四、应用题（每小题10分）1、求由曲线 22x y -= 和直线 0=+y x 所围成的平面图形的面积.2、利用导数作出函数 49623-+-=x x x y 的图象.参考答案（B 卷）一、1、B ； 2、A ； 3、D ； 4、C ； 5、B ； 6、C ； 7、D ； 8、A ； 9、D ； 10、B.二、1、 2 ，b ； 2、xe x )2(+ ； 3、 5ln ，0 ； 4、0 ； 5、xxe C e C 221+.三、1、31 ； 2、1arccos 12---x xx ； 3、dx x x 221)1(1-- ；4、C x ++ln 22 ；5、)12(2e- ； 6、x e x y 122-= ；四、1、 29； 2、图略。

1、计算曲线积分：22x y L eds +⎰，其中L 为圆周：222x y a +=，直线y x=及X 轴在第一象限所围成的扇形的整个边界。

解：22402(1)4ax y xaa a Leds e dx e adt e ae ππ+=++=-+⎰⎰⎰2、计算曲线积分：2L x yzds ⎰，其中L 为折线ABCD ，这里A ，B ，C ，D 依次为(0,0,0),(0,0,2),(1,0,2),(1,3,2)。

解：2132220002129Lx yzds zdz x dx y dy =⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅=⎰⎰⎰⎰3、计算曲线积分：2221Lds x y z++⎰，其中L 为曲线：cos ,sin t t x e t y e t ==，t z e =上相应于参数t 从0变到2的这段弧。

（答：2(1)2e --） 4、设L 是以点(1,0),(0,1),(1,0),(0,1)A B C D --为顶点的正方形边界，则积分Ldsx y+⎰=（ C ） (A) 4 (B) 2 (C) (D) 4、计算对坐标的曲线积分L xydx ⎰，其中L 为圆周222(),(0)x a y a a -+=> 及X 轴围成的在第一象限整个边界（按逆时针方向绕行）。

解：12cos :,:0:,:02sin 0x a a x xL L x a y a y θθπθ=+=⎧⎧→→⎨⎨==⎩⎩1223()(cos )sin sin 02aLL L xydx xydx a a a a d x dxaπθθθθπ=+=-++⋅=-⎰⎰⎰⎰⎰5、利用格林公式计算下列对坐标的曲线积分：（1）计算曲线积分33242()()L xy x y dx x x y dy +++⎰，其中L 由2,1y x y == 所围成的平面区域D 的正向边界。

（答：0）（2）计算曲线积分(sin )(cos )x x L e y y x dx e y y dy -+++⎰，其中L为圆周y =(2,0)A a 到点O(0,0)的一段弧。

高数试题及答案一、选择题1. 下列函数中，哪一个是周期函数？A. y = x^2B. y = sin(x)C. y = e^xD. y = ln(x)答案：B2. 函数f(x) = 2x^3 - 5x^2 + 7在x=1处的导数是：A. -1B. 1C. 3D. 5答案：B二、填空题1. 若f(x) = 3x - 2，求f'(x) = __________。

答案：32. 曲线y = x^3在点(1,1)处的切线斜率是 __________。

答案：3三、解答题1. 求函数f(x) = x^2 + 3x - 5的极值点。

解：首先求导数f'(x) = 2x + 3。

令f'(x) = 0，解得x = -3/2。

将x = -3/2代入原函数，得到f(-3/2) = -11/4。

由于f'(x)在x < -3/2时为负，在x > -3/2时为正，所以x = -3/2是函数的极小值点，对应的极小值为-11/4。

2. 证明函数f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 8在区间[1,3]上是单调递增的。

证明：首先求导数f'(x) = 3x^2 - 12x + 9。

观察导数，可以发现f'(x) = 3(x - 1)(x - 3)。

由于1 ≤ x ≤ 3，所以(x - 1)和(x - 3)的符号相同，即f'(x) ≥ 0。

因此，函数f(x)在区间[1,3]上是单调递增的。

四、计算题1. 计算定积分∫(0,1) (2x - 1)dx。

解：首先求出被积函数的原函数F(x) = x^2 - x。

然后根据定积分的定义，计算F(1) - F(0) = 1^2 - 1 - (0^2 - 0) = 1 - 1 = 0。

2. 计算二重积分∬(0,1)(0,1) xy dA。

解：由于积分区域是一个单位正方形，我们可以将二重积分分解为两个定积分的乘积。

首先计算内层定积分∫(0,1) y dy = [1/2 *y^2](0,1) = 1/2。

高数考试试题及答案一、选择题（每题5分，共30分）1. 函数f(x)=x^3-3x+1在x=1处的导数为：A. 2B. -2C. 3D. -3答案：A2. 曲线y=x^2在点(2,4)处的切线斜率为：A. 4B. 2C. 1D. 0答案：A3. 极限lim(x→0) (sin x / x)的值为：A. 0B. 1C. -1D. ∞答案：B4. 设函数f(x)=x^3-6x^2+11x-6，其在x=2处的极值是：A. 最大值B. 最小值C. 无极值D. 无法确定5. 函数f(x)=x^2-4x+c的图像与x轴有两个交点，则c的取值范围是：A. c>0B. c<0C. c>4D. c<4答案：D6. 函数y=x^3-3x^2+4x-1的单调递增区间是：A. (-∞, 1)B. (1, +∞)C. (-∞, 1)∪(2, +∞)D. (1, 2)答案：B二、填空题（每题5分，共20分）1. 函数f(x)=x^2-6x+8的最小值为______。

答案：22. 曲线y=x^3-3x^2+2的拐点坐标为______。

答案：(1, -2)3. 设f(x)=ln(x+√(1+x^2))，则f'(x)=______。

答案：1/(√(1+x^2)+x)4. 若函数f(x)=x^3+2x^2-5x+1，则f''(x)=______。

答案：6x+4三、解答题（每题10分，共50分）1. 求极限lim(x→∞) (1+1/x)^x。

2. 求函数f(x)=x^3-6x^2+11x-6的单调区间。

答案：单调递增区间为(2, +∞)，单调递减区间为(-∞, 2)3. 求曲线y=x^3-3x^2+2在x=1处的切线方程。

答案：y=-2x+14. 求函数f(x)=x^2-4x+c的图像与x轴交点的坐标。

答案：交点坐标为(2±√(4-c), 0)5. 求函数f(x)=x^3-3x^2+4x-1在区间[0, 2]上的最大值和最小值。

《高等数学》试题库一、选择题 （一）函数1、下列集合中（ ）是空集。

{}{}4,3,02,1,0. a {}{}7,6,53,2,1. b (){}x y x y y x c 2,.==且 {}01.≥〈x x x d 且2、下列各组函数中是相同的函数有（ ）。

()()()2,.x x g x x f a == ()()2,.x x g x x f b ==()()x x x g x f c 22cos sin ,1.+== ()()23,.x x g xx x f d ==3、函数()5lg 1-=x x f 的定义域是（ ）。

()()+∞∞-,55,. a ()()+∞∞-,66,. b()()+∞∞-,44,. c ()()()()+∞∞-,66,55,44,. d4、设函数()⎪⎩⎪⎨⎧-+2222x x x〈+∞≤〈≤〈∞〈-x x x 2200 则下列等式中，不成立的是（ ）。

()()10.f f a = ()()10.-=f f b ()()22.f f c =- ()()31.f f d =-5、下列函数中，（ ）是奇函数。

x xa . x xb sin .211.+-x x a a c 21010.x x d -- 6、下列函数中，有界的是（ ）。

arctgx y a =. t g xy b =. xy c 1.= xy d 2.= 7、若()()11-=-x x x f ，则()=x f （ ）。

()1.+x x a ()()21.--x x b ()1.-x x c .d 不存在8、函数x y sin =的周期是（ ）。

π4.a π2.b π.c 2.πd 9、下列函数不是复合函数的有（ ）。

xy a ⎪⎭⎫ ⎝⎛=21. ()21.x y b --= x y c s i n lg .= x ey d s i n1.+=10、下列函数是初等函数的有（ ）。

11.2--=x x y a ⎩⎨⎧+=21.xx y b 00≤〉x x x y c c o s 2.--=()()2121lg 1sin .⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=x e y d x11、区间[,)a +∞, 表示不等式（ ）.（A ）a x <<+∞ （B ）+∞<≤x a （C ）a x < （D ）a x ≥12、若ϕ3()1t t =+,则 ϕ3(1)t +=（ ）.（A ）31t + （B ）61t + （C ）62t + （D ）963332t t t +++13、函数log (a yx =+ 是（ ）.（A ）偶函数 （B ）奇函数 （C ）非奇非偶函数 （D ）既是奇函数又是偶函数 14、函数()yf x =与其反函数1()y f x -=的图形对称于直线（ ）. （A ）0y = （B ）0x = （C ）y x = （D ）y x =-15、函数1102x y-=-的反函数是（ ）.（A ）1xlg22y x =- （B ）log 2x y = （C ）21log y x= （D ）1lg(2)y x =++ 16、函数sin cos yx x =+是周期函数，它的最小正周期是（ ）.（A ）2π （B ）π （C ）2π （D ）4π 17、设1)(+=x x f ，则)1)((+x f f =（ ）． A ． x B ．x + 1 C ．x + 2 D ．x + 3 18、下列函数中，（ ）不是基本初等函数． A ． x y )e1(= B ． 2ln x y = C ． xx y cos sin =D ． 35x y = 19、若函数f(e x)=x+1，则f(x)=( )A. e x+1 B. x+1 C. ln(x+1) D. lnx+120、若函数f(x+1)=x 2，则f(x)=( )A.x 2B.(x+1) 2C. (x-1) 2D. x 2-1 21、若函数f(x)=lnx ，g(x)=x+1，则函数f(g(x))的定义域是( ) A.x>0 B.x ≥0 C.x ≥1 D. x>-1 22、若函数f(x)的定义域为(0,1)则函数f(lnx+1)的定义域是( )A.(0，1)B.(-1，0)C.(e -1，1)D. (e -1，e) 23、函数f(x)=|x-1|是( )A.偶函数B.有界函数C.单调函数D.连续函数 24、下列函数中为奇函数的是( )A.y=cos(1-x)B.⎪⎭⎫ ⎝⎛++=21ln x x y C.e x D.sinx 2 25、若函数f(x)是定义在(-∞，+∞)内的任意函数，则下列函数中（ ）是偶函数。

高数集合试题题库及答案一、选择题1. 集合A={1,2,3}，B={2,3,4}，求A∩B。

A. {1,2,3}B. {2,3}C. {4}D. {1,4}2. 设集合A={x|x<5}，B={x|x>3}，求A∪B。

A. {x|x<5}B. {x|x>3}C. {x|x≤3}D. R（实数集）3. 已知集合C={x|x²-5x+6=0}，求C的元素。

A. {2,3}B. {1,6}C. {-1,6}D. {-2,3}4. 集合D={x|x²-4=0}，求D的补集（相对于实数集R）。

A. {x|x≠-2}B. {x|x≠2}C. {x|x≠±2}D. Ø（空集）5. 集合E={x|-1≤x≤1}，F={x|x>1}，判断E⊆F是否成立。

A. 成立B. 不成立二、填空题6. 集合G={x|x²-4=0}的元素个数是____。

7. 若集合H={x|x²+x+1=0}，求H的元素个数是____。

8. 集合I={x|-3<x<5}与集合J={x|x≥5}的交集I∩J是____。

9. 集合K={x|x>0}与集合L={x|x≤0}的并集K∪L是____。

10. 若M={x|x²-4x+3=0}，求M的补集（相对于实数集R）是____。

三、解答题11. 已知集合P={x|0<x<10}，Q={x|x是奇数}，求P∩Q的所有元素。

12. 设集合R={x|x²-4x+3=0}，求R的补集（相对于实数集R）。

13. 集合S={x|-2≤x≤2}，T={x|x是偶数}，求S∪T。

14. 集合U={x|x²-9=0}，求U的元素，并判断U是否为有限集合。

15. 若集合V={x|x²-6x+8=0}，求V的元素，并求V的补集（相对于实数集R）。

答案：1. B2. D3. A4. C5. B6. 2个元素7. 0个元素8. Ø（空集）9. R（实数集）10. {x|x≠1, x≠3}11. {1, 3, 5, 7, 9}12. {x|x≠-2, x≠2}13. {x|-2≤x≤2或x是偶数}14. {3, -3}，是有限集合15. {2, 4}，补集为{x|x≠2, x≠4}。

xD⎨ab∞ 高学试题及答案选择题（本大题共 40 小题，每小题 2.5 分，共 100 分）1．设f ( x) =l nx ，且函数(x) 的反函数-12( x+1) ，则f [( x)]=（B）2.limx→0 ⎰0(e t+e-t- 2)dt1- cos x=（ A ）( x) =x- 1A．0 B．1 C．-1 D．∞3.设∆y =f (x0+∆x) -f (x0 ) 且函数f (x) 在x =x0处可导，则必有（ A ）⎧2x2, x ≤ 14. 设函数f ( x) =⎨⎩3x -1, x > 1，则f ( x) 在点x=1处（ C ）A.不连续B.连续但左、右导数不存在C.连续但不可导D. 可导5. 设⎰x f ( x) dx=e-x2 +C ，则f ( x) = （ D ）6.设I =⎰⎰(x2 +y2 )dxdy ，其中D 由x2 +y2 =a2 所围成，则I =( B ).(A) ⎰2d⎰a a2rdr=a4(B) ⎰2d⎰a r2⋅rdr=1a40 0 0 0 2(C) ⎰2d⎰a r2dr=2a3(D) ⎰2d⎰a a2⋅adr=2a40 0 3 0 07.若L 是上半椭圆⎧x =a cos t ,取顺时针方向,则⎰ydx -xdy 的值为( C ).⎩y=b sin t ,(A)0 (B)2L(C)ab(D)ab8.设a 为非零常数,则当( B )时,级数∑∞ a 收敛 .n=1r n(A) | r | > | a | (B) | r | > | a | (C) | r | ≤1 (D)| r | > 19.lim u n= 0 是级数∑u n收敛的( D )条件.n→∞n =1(A)充分(B)必要(C)充分且必要(D)既非充分又非必要10.微分方程y+y = 0 的通解为 B .(A) (C) y = cos x +cy =c1+c2 sin x(B)(D)y =c1 cos x +c2y =c1 cos x +c2 sin x →→→→11.若a ，b 为共线的单位向量，则它们的数量积a⋅b =（D）.1 - x2 - y 2⎨⎩⎨ → →（A ） 1 （B ）-1 （C ） 0 （D ） cos(a , b )12. 设平面方程为Bx + Cz + D = 0 ，且B , C , D ≠ 0 ， 则平面（ C ）. （A ）平行于 x 轴（B ）垂直于 x 轴 （C ）平行于 y 轴 （D ）垂直于 y 轴⎧(x 2 + y 2 ) sin 1 , x 2 + y 2 ≠ 013. 设 f (x , y ) = ⎪x 2 + y 2 ,则在原点(0,0) 处 f (x , y ) ( D ).⎪ 0, x 2 + y 2 = 0 (A) 不连续(B) 偏导数不存在 (C)连续但不可微 (D)可微14. 二元函数 z = 3(x + y ) - x 3 - y 3 的极值点是( D ).(A) (1,2)(B) (1，-2 )(C) (1,-1)(D) (-1,-1)15. 设 D 为 x 2 + y 2 ≤ 1, 则 ⎰⎰1dxdy =（C）.D(A) 0(B) (C) 2 (D) 411-x16. 1 ⎰0dx ⎰0f (x , y )dy =( C )6.1-x111- x(A) ⎰0 dy ⎰0 f (x , y )dx(B) ⎰0 dy ⎰0f (x , y )dx11- y11(C)( ⎰0 dy ⎰0f (x , y )dx(D) ⎰0 dy ⎰0 f (x , y )dxC)17. 若L 是上半椭圆⎧x = a cos t ,取顺时针方向,则⎰ ydx - xdy 的值为( C ).⎩ y = b sin t , (A) 0(B) 218. 下列级数中,收敛的是( B ).L(C)ab (D) ab(A) ∑∞ 5 n -1 (B) ∑∞ 4 n -1 (C) ∑∞(- n -1 5 n -1(D) ∑∞( 5 + 4 n -1( )( ) 1) ( )) n =1 4n =1 5n =14n =1 4 519.若幂级数∑∞ a x n 的收敛半径为R ： 0 < R < +∞ ，幂级数∑∞b x n 的收敛半径为R ：nn =011n2n =0∞0 < R 2 < +∞ ，则幂级数∑(a n n =0+ b n )x n 的收敛半径至少为( D)(A) R + R(B) R ⋅ R(C) max {R 1, R 2}(D) m in {R 1, R 2}121220. 下列方程为线性微分方程的是（ A ）(A)(C) y ' = (sin x ) y + e x y ' = sin x + e y(B)(D) (D)aby '=x sin y + e xxy '= cos y + 1⎰ ⎰⎰ １x21. 2 a+< a -b 充分必要条件是（ B ）1.b×(A) a b = 0 (B) a⋅b = 0 (C) a⋅b > 0 (D) a b⋅< 022. 两平面x - 4 y +z + 5 = 0 与2x - 2 y -z - 3 = 0 的夹角是（ C ）(A)6 (B)3(C)4(D)223.若f (a, b) = 1，则lim f (a,b +∆y)-f (a,b -∆y) =( A )y∆y→0 ∆y(A) 2 (B) 1 (C) 4 (D) 024.若f x(x0 , y0 ) 和f y(x0 , y0 ) 都存在,则f ( x, y) 在( x0 , y0 ) 处( D )(A)连续且可微(B) 连续但不一定可微(C) 可微但不一定连续(D) 不一定连续且不一定可微25.下列不等式正确的是（ B ）(A)⎰⎰(x 3 +y 3 )d> 0 (B) ⎰⎰(x 2 +y2 )d> 0x 2 +y 2 ≤1 x 2 +y 2 ≤1(C)⎰⎰(x +y)d> 0 (D) ⎰⎰(x -y)d> 0x2 +y 2 ≤1 x 2 +y 2 ≤11 1-x26. ⎰0dx⎰0 f (x, y)dy =( C )1-x 1 1 1-x(A)⎰0dy⎰0f (x, y)d x (B) ⎰0 dy⎰0 f(x,y)d x1 1-y 1 1(C) ⎰0 dy⎰0 f (x, y)d x (D) ⎰0dy⎰0f (x, y)d x27.设区域 D 由分段光滑曲线 L 所围成，L 取正向，A 为区域 D 的面积，则（ B ）(A) (C) A =1ydx -xdy2LA =1xdy +ydx2(B)(D)A =1xdy -ydx2LA =⎰x dy -ydx∞LnL∞28.设∑a n是正项级数，前 n 项和为s n=∑a k，则数列{s n}有界是∑a n收敛的（ C ）n =1 k =1 n =1(A)充分条件(B) 必要条件(C) 充分必要条件(D)既非充分条件，也非必要条件29.以下级数中，条件收敛的级数是（ D ）∞n ∞ n -1 1(A) ∑(-1) N (B) ∑(-1)N =12n +10 n =1 n 32xy + 1 - 1∑ ∑(C) ∞(-1) n =11 n +1 ( ) n2(D) ∞(-1)n =1n - 1330．设⎰x f ( x) dx=e - x2+ C ，则f ( x) = （ D ）31、已知平面： x - 2 y + z - 4 = 0 与直线L : x - 1 = y + 2 = z + 1的位置关系是（ D ）3 1 - 1（A ）垂直（B ）平行但直线不在平面上 （C ）不平行也不垂直（D ）直线在平面上 32、limx →0 y →03xy = （ B）（A ）不存在 （B ）3（C ）6（D ） ∞∂ 2 z∂ 2 z33、函数 z = f (x , y ) 的两个二阶混合偏导数∂x ∂y 及∂y ∂x在区域 D 内连续是这两个二阶混合偏导数在 D 内相等的（ B ）条件.（A ）必要条件 （B ）充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）非充分且非必要条件 34、设⎰⎰d= 4，这里a 0 ，则a =（ A ）x 2 + y 2 ≤a（A ）4（B ）2 （C ）1（D ）035、已知(x + ay )dx + ydy 为某函数的全微分，则a = （ C ）(x + y )2（A ）-1（B ）0（C ）2（D ）1ds⎧x 2 + y 2 + z 2=1036、曲线积分⎰L x 2 + y 2 + z 2 = （ C ），其中L : ⎨ .⎩z = 1 （A ）5∞（B ） 25∞（C ） 35（D ） 4537、数项级数∑ a n 发散，则级数∑ k a n （ k 为常数）（ B）n =1n =1（A ）发散 （B ）可能收敛也可能发散（C ）收敛 （D ）无界38、微分方程 xy = y ' 的通解是（ C ）（A ） y = C 1x + C 2（C ） y = C 1x 2 + C 2（B ） y = x 2 + C （D ） y = 1 x 2+ C 2n“”“”At the end, Xiao Bian gives you a passage. Minand once said, "people who learn to learn are very happy people.". In every wonderful life, learning is an eternal theme. As a professional clerical and teaching position, I understand the importance of continuous learning, "life is diligent, nothing can be gained", only continuous learning can achieve better self. Only by constantly learning and mastering the latest relevant knowledge, can employees from all walks of life keep up with the pace of enterprise development and innovate to meet the needs of the market. This document is also edited by my studio professionals, there may be errors in the document, if there are errors, please correct, thank you!。

高等数学考试题库(附答案)1. 解析：求函数 f(x) = x^2 在区间 [0, 2] 上的定积分。

2. 解析：求函数 f(x) = e^x 在区间 [1, 1] 上的定积分。

3. 解析：求函数 f(x) = sin(x) 在区间[0, π] 上的定积分。

4. 解析：求函数 f(x) = cos(x) 在区间[0, π/2] 上的定积分。

5. 解析：求函数 f(x) = ln(x) 在区间 [1, e] 上的定积分。

6. 解析：求函数 f(x) = x^3 在区间 [1, 1] 上的定积分。

7. 解析：求函数f(x) = √x 在区间 [0, 4] 上的定积分。

8. 解析：求函数 f(x) = 1/x 在区间 [1, 2] 上的定积分。

9. 解析：求函数 f(x) = tan(x) 在区间[0, π/4] 上的定积分。

10. 解析：求函数 f(x) = 1/(1 + x^2) 在区间 [0, 1] 上的定积分。

11. 解析：求函数 f(x) = x^2 + 1 在区间 [0, 1] 上的定积分。

12. 解析：求函数 f(x) = e^(x) 在区间 [0, 2] 上的定积分。

13. 解析：求函数 f(x) = sin^2(x) 在区间[0, π] 上的定积分。

14. 解析：求函数 f(x) = cos^2(x) 在区间[0, π/2] 上的定积分。

15. 解析：求函数 f(x) = 1/(1 + x^2) 在区间 [1, 1] 上的定积分。

16. 解析：求函数f(x) = √(1 x^2) 在区间 [1, 1] 上的定积分。

17. 解析：求函数 f(x) = x^3 3x^2 + 2x 在区间 [0, 2] 上的定积分。

18. 解析：求函数 f(x) = e^(2x) 在区间 [1, 1] 上的定积分。

19. 解析：求函数 f(x) = ln(x) 在区间 [1, e^2] 上的定积分。

20. 解析：求函数 f(x) = sin(x)cos(x) 在区间[0, π/2] 上的定积分。

高数难题试题库及答案1. 极限计算题目：计算极限 \(\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x}\)。

答案：根据洛必达法则，原式等于 \(\lim_{x \to 0} \frac{\cos x}{1} = 1\)。

2. 导数求解题目：求函数 \(f(x) = x^3 - 3x^2 + 2\) 的导数。

答案：\(f'(x) = 3x^2 - 6x\)。

3. 不定积分题目：计算不定积分 \(\int (2x + 3) \, dx\)。

答案：\(\int (2x + 3) \, dx = x^2 + 3x + C\)。

4. 定积分计算题目：计算定积分 \(\int_{0}^{1} x^2 \, dx\)。

答案：\(\int_{0}^{1} x^2 \, dx = \frac{1}{3}x^3 \Big|_0^1= \frac{1}{3}\)。

5. 级数求和题目：求级数 \(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n(n+1)}\) 的和。

答案：通过裂项法，\(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n(n+1)} = 1\)。

6. 微分方程求解题目：解微分方程 \(y'' - 2y' + y = 0\)。

答案：该方程的特征方程为 \(t^2 - 2t + 1 = 0\)，解得 \(t =1\)，因此通解为 \(y = C_1e^x + C_2xe^x\)。

7. 多元函数偏导数题目：求函数 \(z = x^2y + y^2\) 在点 \((1, 2)\) 处的偏导数。

答案：\(\frac{\partial z}{\partial x} = 2xy\)，\(\frac{\partial z}{\partial y} = 2x + y\)。

在点 \((1, 2)\) 处，\(\frac{\partial z}{\partial x} = 4\)，\(\frac{\partialz}{\partial y} = 4\)。