一次不定方程的解法

精心整理一次不定方程的解我们现在就这个问题，先给出一个定理定理如是互质的正整数是整数，且方,①cby?ax?有一组整数解则此方程的一切整数解可以表示为yx,00其中…3,??1,?2,t?0,证因为是方程①的整数解，当然满足y,x00②c?ax?by00因此．cby?at)?ax?ba(x?bt)?(y?0000这表明，也是方程①的解．at?y??x?xbty00设是方程①的任一整数解，则有??y,x③??caxby???②得④③??)y(?)x(ax??by?00精心整理．精心整理t是整数．将，其中代入④，即得由于，所以，即???atyy?y?at??y ya?y1)?,(ab000．因此可以表示成，的形式，所以，???y?y?atx?x?x?x?btyy?x??x?btatbty,x00000表示方程①的一切整数解，命题得证．有了上述定理，求解二元一次不定方程的关键是求它的一组特殊解. 例1求的整数解．715y?11x?将方程变形得1解是这个方程的的倍数．由观察是整数，所应是因211组整数解，所以方程的解先考，通过观察易得解11114所以(7711，，从而可取21?x??28,y00可见，二元一次不定方程在无约束条件的情况下，通常有无数组整数解，由于求出的特解不同，同一个不定方程的解的形式可以不同，但它们所包含的全部解是 t一样的．将解中的参数做适当代换，就可化为同一形式．求方程的非负整数解．2例9022y??6x得因为，所以方程两边同除以解2?(6,22)2①45?3x?11y由观察知，是方程1??yx?4,11②1?11y?x3的一组整数解，从而方程①的一组整数解为由定理，可得方程①的一切整数解为精心整理．精心整理因为要求的是原方程的非负整数解，所以必有180?11t?0?③??45?3t?0?由于是整数，由③得，所以只有两种可能．16?t?15,tt16t?15?当；当．所以原方程的非负整数解是3??4,yy?0?t16,xt?15,x?15,x?415x???，??y?3y?0??求方的所有正整数解211?分析这个方程的系数较大，用观察法去求其特殊解比较困难，碰到这种情况们可用逐步缩小系数的方法使系数变小，最后再用观察法求得其解解用方211?的最小系除方程①的各项，并移项211y②?30?2y?x?77y?53．化简得到是整数，故因为也是整数，于是?u yx,3?7u5y?7③3??7u5y3?2u（整数），由此得令?v5④35v?2u?u??1u??1??是方程④的一组解．将代入③得，再将由观察知代入②得2?2y?y??v?1v?1??x?25x?25?19t??t为整数，所以它的一切解为．于是方程①有一组解025x???y?2y?2?7t??0由于要求方程的正整数解，所以解不等式，得只能取．因此得原方程的正整数解为0,1t精心整理．精心整理x?25x?6??，??y?2y?9??当方程的系数较大时，我们还可以用辗转相除法求其特解，其解法结合例题说明．求方程的整数解．4例25??107y37x解为表示，我们把上述辗转相除过程回代，1031由此可是方的一组整数解．于2610322652?x22600是方的一组整数解23107所以原方程的一切整数解某国硬币分分两种，问用这两种硬币支分货款，有多少种不例14的方法解设需枚分，枚分恰好支付分，于是x y57142①1425?y?7x所以由于，所以，并且由上式知．因为，所以，从而1xx?1)5?52(12)?(5,20x?x7?142，所以①的非负整数解为1,6,11,16?x x?1x?6x?11x?16????，，，????y?27y?20y?13y?6????所以，共有4种不同的支付方式．说明当方程的系数较小时，而且是求非负整数解或者是实际问题时，这时候的解的组数往往较少，可以用整除的性质加上枚举，也能较容易地解出方程．多元一次不定方程可以化为二元一次不定方程．精心整理．精心整理求方程的整数解．6例1000?y?5z9x?24解设，即，于是．于是原方程可化为t8y?3t?3x?9x?24y1000??5z3t3x?8y?t?①?3t?5z?1000?用前面的方法可以求得①的解为x?3t?8?（是整数）②u?y??t?3u②的解为200是整数）100，得消去1600都是整数200100年以前，我国古代数学家张丘建在他编写的《张丘建算经》里，曾1500 大约提出并解决了“百钱买百鸡”这个有名的数学问题，通俗地讲就是下例．只个钱买小鸡每个钱三只．用母鸡每只三个钱，今有公鸡每只五个钱，7 例100100鸡，问公鸡、母鸡、小鸡各买了多少只？只，由题意列方程组解设公鸡、母鸡、小鸡各买z,x,y①②化简得③300?z?15x?9y②得③?200y?14x?8得，解即1?100x7?4y?4x7?y的一个特解为于是1004x7?y?精心整理．精心整理由定理知的所有整数解为100?x?4y7由题意知，，所以100?y,z0?x,4?25?t?28??7解得?24?28??t14?77?4∴28t?25?7只公鸡只母鸡8811精心整理．。

n元一次不定方程的一种解法
一次不定方程的求解
1、概念：一次不定方程是指一次方程中未知数的数量多于未知数的数量的一种方程。

它的系数可以是不同的数字或未知数。

2、求解思路：
（1）消去法：从方程的右边开始，将未知数的系数乘以一个系数，将
左边的式子也乘以相反的一个数，然后相加，使未知数消去。

（2）完全平方法：将右边的式子凑成完全平方的形式，方程会拆分成
两个等式，可以用上式中乘法法则来求解。

（3）互反法：将方程中的系数和未知数互反，使右边等于零，然后计
算出未知数的值。

（4）图解法：画出一次不定方程的图解，用图形找出未知数的解。

3、应用：一次不定方程的解法可以应用到科学计算、数学论文推理、建模与计算、最优化等很多领域：
（1）科学计算：一次不定方程可以用于计算物理系统中未知量的关系，如求解动力学问题，电势场方程等。

（2）数学论文推理：一次不定方程可以用来推导一个式子、证明一个
定理，或是分析数理关系。

（3）建模与计算：一次不定方程的解可以用于建立数学模型，用于系
统分析和系统控制，它可以为科学研究找出一条最佳途径。

（4）最优化：一次不定方程可以用于调节机器学习算法，生物学算法中的路径规划，或者求出最优化解，解决计算机科学中的问题。

4、总结：一次不定方程的求解有消去法，完全平方法，互反法，图解法等，他们均可应用于科学计算、数学论文推理、建模与计算、最优化等领域，从而有助于将科学的研究都串联起来，使得学术研究得以进展等。

不定方程的解法研究摘 要：本文研究了一次不定方程，并从二元到n 元给出了一次不定方程有解的充要条件和几种不定方程的基本求解方法。

其中首先给出了不定方程的定义和通解公式，然后举例应用辗转相除法、整数分离法、Euler 函数法、解同余式法、矩阵解法、整消法变换解决了不定方程的求解问题。

由本文看出，解不定方程的关键就是求出不定方程的特解。

关键词：不定方程 ;通解 ;Euler 函数 ；初等整数矩阵 ;解法1引言及有关基础知识不定方程是变数个数多于方程个数，且取整数值的方程.不定方程是数论中最古老的一个分支，我国古代数学家在这方面的研究内容极为丰富，在数学史上占有重要地位。

1969年“不定方程之王”L.Jmordell 系统的总结了当时的成果，写成了著名的《丢番图方程》（Diphantine Equations,Adcmic Press ）。

1950 年，著名的数学家柯召和孙琦在我国出版了第一部专门研究不定方程的专著《谈谈不定方程》（上海教育出版社）。

在这两部专著的基础上，曹珍富于1987年完成了全面总结与系统研究不定方程的成果和方法的手稿《丢番图方程引论》，并于1989年由哈尔滨工业大学出版社出版.最近十余年，不定方程不仅自身的发展异常活跃，而且全面应用于其他各个领域，例如，计算机科学、组合数学、密码学、代数编码、信号的数字处理、计算方法等领域有着广泛的运用，所以数论又成为现在数学界的热门课题.[1]本文主要研究了一次不定方程和不定方程的几种解法.并利用辗转相除法、整数分离法、Euler 函数法、解同余式法、矩阵解法解决了不定方程的求解问题.不定方程的整数解问题是数论的一个重要课题，在现实生活中，该问题有很强的实用意义。

不定方程的概念、有解条件及通解公式［2］定义1：设整数2≥n ，c ，1a ,n a a ,2是整数,且n a a a ,,21都不等于零，n x x x ,,21是整数变数，方程c x a x a x a n n =+++ 2211（1)n 元一次不定方程，n a a a ,,21称为它的系数。

初等数论不定方程的解法初等数论是数论中的一部分，主要研究整数之间的性质和关系。

在初等数论中，不定方程是一个非常重要的研究对象。

不定方程是指一个方程中包含的未知数不确定，需要求解这些未知数的取值以满足方程。

本文将介绍不定方程的一般解法，并通过具体例子进行演示。

首先，我们来介绍一下一元一次不定方程的解法。

一元一次不定方程的一般形式为ax + by = c，其中a、b、c为已知整数，x、y为未知整数。

解决这个方程的关键是找到一组x、y的取值，使得方程成立。

我们可以通过以下步骤来解决一元一次不定方程：1.首先，我们要判断方程是否有解。

我们知道，当且仅当c是a和b的最大公约数的倍数时，方程才有整数解。

我们可以使用欧几里得算法来求出a和b的最大公约数gcd(a,b)，然后判断c是否是gcd(a,b)的倍数。

2.如果方程有解，我们需要求出一个特解。

我们可以使用扩展欧几里得算法来求解特解。

扩展欧几里得算法可以找到一组整数x0和y0，使得ax0 + by0 = gcd(a,b)。

我们可以将c除以gcd(a,b)得到c'，然后将特解x0和y0乘以c'得到一个特解x1 = x0 * c'，y1 = y0 * c'。

3.一旦我们找到了一个特解，我们可以通过以下形式来构造方程的通解：x = x1 + k * (b / gcd(a, b))y = y1 - k * (a / gcd(a, b))其中k为整数。

这样，我们就可以通过改变k的值来得到方程的所有整数解。

接下来，我们来介绍一下二次不定方程的解法。

二次不定方程的一般形式为ax^2 + bxy + cy^2 + dx + ey + f = 0，其中a、b、c、d、e、f为已知整数，x、y为未知数。

对于二次不定方程，我们可以通过一些特殊的方法来求解。

下面介绍两种常用的方法：1.利用配方法。

如果二次不定方程中的系数是已知整数，且可以对方程进行配方法，那么我们可以通过配方法来求解方程。

连分数求解一次不定方程不定方程是数学中最常见的一类方程，它们的解法有多种，比如当被称为“一次不定方程”的方程的系数和未知数的关系是复杂的时候，就需要采用连分数求解。

连分数求解一次不定方程，首先需要对方程做同乘以全约，即把系数和未知数分开，如多项式两边取相同的除数，然后把方程转化为极限形式，就可以运用连分数求解了。

例如，若有一次不定方程：2x/7 - 6/5 + 3/7 = (x + 1)/2，将两边同时乘以7/2，得到2x - 3 + 15 = 7x + 7，将方程转化为极限形式：(2x - 3)/(7x + 7) = 15/7，可见，这是一个关于x的未知连分数，而这就是一次不定方程的求解过程。

接下来，就要进行连分数求解。

首先，要把连分数分解为若干份：(2x - 3)/(7x + 7) = ((2x - 3))/(7x + 7) + ((15/7 - (2x - 3)/(7x + 7))/(7x + 7)) = (2x - 3 + 15 - 2x +3)/(7x + 7) = (15 - x)/(7x + 7)，即((2x - 3))/(7x + 7) + ((15 - x)/(7x + 7))。

对于每一份，分母相同，可把它们的分子相加，得到15 - x + 2x - 3 = 12，即x = 3，于是得到解为x = 3。

可知，将一次不定方程转化为极限形式，运用连分数求解，可以得到解的可能性。

连分数求解一次不定方程的过程，也可以用同样的方法求解多项式方程组，它也是线性代数中最重要的技术之一。

它可以使复杂，长程运算更加便捷，而且可以简化多项式方程组的处理过程，只要把每一个方程分别乘以同约因子，然后把它们转化为最简形式，就可以将其转化为一个有着相同分母的式子，把它们的分子相加，就可以得出多项式方程组的解了。

作为数学中的一种基本技术，连分数求解一次不定方程在线性代数，统计学等领域中都得到了广泛的应用，更形函数的求解等技术的研究也离不开这一技术。

第十六讲 一次不定方程一、知识要点1、不定方程：未知数的个数多于方程的个数的方程（或方程组）称为不定方程（或方程组）。

2、二元一次不定方程的一般形式：ax+by=c 。

3、二元一次不定方程ax+by=c 有整数解的判定：定理1：若二元一次不定方程ax+by=c 中，a 和b 的最大公约数不能整除c ，则方程没有整数解。

例如，方程2x+4y=5没有整数解。

（想一想为什么？）定理2：如果正整数a,b 互质，则方程ax+by=1有整数解，同时方程ax+by=c 有整数解。

例如，3x+5y=7，3与5互质，x=-1,y=2是这个方程的一组整数解。

定理3：如果a,b 互质，且方程ax+by=c 有一组整数解x 0,y 0，则此方程式的所有整数解可表示为⎩⎨⎧-=+=）t at y y bt x x 为整数(00 或 ⎩⎨⎧+=-=）t at y y bt x x 为整数(00 例如，3x+5y=7的所有整数解可表示为⎩⎨⎧+=--=）t t y t x 为整数(3251 4、一次不定方程的整数解的求法：观察法；辗转相除法。

二、例题示范例1、判断下列不定方程（组）哪些有整数解，哪些没有整数解。

(1) 4x+6y=7 (2) 4x+8y=10(3) ⎩⎨⎧=-=+12536z y y x (4) ⎩⎨⎧=-=+121036z y y x例2、求方程3x+5y=1的整数解。

（1）观察法； （2）辗转相除法。

练习：求4x+5y=7的整数解。

例3、求方程37x+107y=25的整数解。

例4、求方程7x+4y=100的所有正整数解。

例5、如果三个既约真分数32,4a ,5b 的分子都加上b ，这时得到的三个分数的和为6，求这三个既约真分数的积。

例7、百鸡问题：鸡翁一，值钱五；鸡母一，值钱三；鸡雏三，值钱一，百钱买百鸡，问鸡翁、鸡母、鸡雏各几何？提示：列不定方程组，化为不定方程解之。

例8、设七位数42762xy 为99的倍数，则x,y 的值是 。

摘要不定方程是初等数论的一个重要内容，在相关学科和实际生活中也有着广泛的应用．本文首先归纳了整数分离法、系数逐渐减小法和辗转相除法等几种常用的二元一次不定方程的解法；其次进一步讨论了求n元一次不定方程和二次不定方程整数解的方法；最后论述了不定方程在中学数学竞赛题、公务员行测试题和其他学科中的应用，并举例说明．关键词：不定方程；二元一次不定方程；数学竞赛；公务员试题AbstractThe integral solutions of indeterminate equation solving method is an important content of elementary number theory, has been widely used in related disciplines and in real life. This paper summarizes the integer separation method, coefficient decreases and the Euclidean algorithm and several commonly used two element indefinite equation solution, secondly is further discussed. For n linear indeterminate equation and the method of two time indefinite equation integer solution, and finally discusses the indeterminate equation applied in secondary school mathematics, civil servants for test and other subjects, and illustrated with examples.Key words: i ndeterminate equation; two element indefinite equation;Mathematics contest; civil service examination.目录1 引言 (1)2 不定方程的若干解法 (1)2.1 二元一次不定方程的若干解法 (1)2.2 n元一次不定方程 (4)2.3 二次不定方程 (5)3 不定方程的应用 (7)3.1 在初高中竞赛题中的应用 (7)3.2 在公务员考试题中的应用 (8)3.3 在其他学科中的应用 (9)4 结论 (11)致谢.......................................... 错误!未定义书签。

数学奥林匹克小丛书小蓝本初中卷 6 整除、同余与不定方程课程讲解引言概述：数学奥林匹克小丛书《小蓝本初中卷 6 整除、同余与不定方程》是一本专门针对初中生的数学竞赛教材。

本书主要讲解了整除、同余与不定方程等数学概念和方法。

本文将从六个大点出发，详细阐述这本小丛书的内容。

正文内容：1. 整除的基本概念1.1 整除的定义及性质1.2 整除与最大公约数的关系1.3 整除与最小公倍数的关系2. 同余的应用2.1 同余的定义及性质2.2 同余与模运算的关系2.3 同余的应用：同余方程、同余定理3. 不定方程的解法3.1 一次不定方程的解法3.2 二次不定方程的解法3.3 高次不定方程的解法4. 整除与同余的关系4.1 整除与同余的定义4.2 整除与同余的性质4.3 整除与同余的应用：同余方程的解法5. 不定方程的应用5.1 不定方程的应用：数的分拆5.2 不定方程的应用：数的表示5.3 不定方程的应用：数的性质6. 综合应用题6.1 综合应用题的解题思路6.2 综合应用题的解题方法6.3 综合应用题的实例分析总结：通过对《小蓝本初中卷 6 整除、同余与不定方程》的课程讲解，我们了解到整除、同余与不定方程在数学竞赛中的重要性。

整除与最大公约数、最小公倍数的关系，同余与模运算的关系以及不定方程的解法等都是我们需要掌握的数学知识。

同时，整除与同余的关系以及不定方程的应用也是我们在解题过程中需要灵活运用的技巧。

通过综合应用题的训练，我们可以提高自己的数学思维能力和解题能力。

因此，掌握《小蓝本初中卷 6 整除、同余与不定方程》中的知识对我们参加数学竞赛是非常有帮助的。