向量证明三线共点与三点共线问题培训讲学

思路探寻在解答平面向量问题时，经常要用到平面向量的运算法则、定理、几何意义、公式等.对于多点在同一直线上的问题，可以利用平面向量的三点共线定理进行求解.如图1，O 为直线外一点，在△OPA 中， AP =OP - OA ,设 OP =λ OA +μ OB ,则AP =λ OA +μ OB - OA =μ OB+(λ-1) OA =m ( OB - OA )，而在△OBA 中， AB = OB -OA ，即 AB =mAP ，所以A 、B 、P 三点共线.在平面中A 、B 、P 三点共线的充要条件是对于平面内任意一点的O ，存在唯一的一对实数x 、y ，使得 OP =x OA +yOB 且x +y =1.这就是平面向量的三点共线定理.该定理常用于判断三点是否共线，证明几个点是否在同一条直线上，求某个向量的表达式，求参数的值等.下面结合实例探讨一下如何运用平面向量三点共线定理解题.例1.已知O 为锐角三角形ABC 的外心，AB =3,AC =6，若 AO =x AB +yAC ，且3x +10y =5，求三角形ABC 的面积.解：由3x +10y =5，得3x 5+2y =1.由题意可得AO =x AB +y AC =3x 5(53 AB )+2y (12AC ),如图2，在直线AB ，AC 上取两点D ,E ，使得 AD =53 AB ， AE =12 AC ，则 AO =3x 5 AD +2y AE ，又3x 5+2y =1，所以O ,D ,E 三点共线.因为O 为△ABC 的外心，且|| AE =|| EC ，则DE ⊥AC ，又|| AD =5，||AE =3，可得sin ∠BAC =45，故S △ABC =12×|| AB ×||AC ×sin ∠BAC=12×3×6×45=365.根据向量式的特点以及3x +10y =5联想到要三点共线定理，于是在直线AB 、AC 上取两点D 、E ，证明 AO =3x 5AD +2y AE ，即可根据三点共线定理证明O ,D ,E 三点共线，从而根据三角形外心的性质和面积公式求得问题的答案.例2.如图3所示，在△ABO 中，OC =14 OA ， OD =12OB ，AD 与BC 相交于点M .设 OA =a ，OB =b ，试用 a 和 b 来表示向量 OM .解：设 OM =ma +nb ，则 AM = OM - OA =m a +n b - a =(m -1)a +nb ，AD = OD - OA =12 OB - OA =-a +12b ，因为A ,M ,D 三点共线，所以存在实数t ，使得 AM =tAD ，即(m -1)a →+n b →=t (-a →+12b →)，所以ìíîïïm -1=-t ,n =t 2,消去t 得m +2n =1，又因为CM = OM - OC =(m -14)a →+n b →， CB = OB - OC =-14a →+b →，且B ,M ,C 三点共线，所以存在实数t 1，使得 CM =t 1CB ，即(m -14)a →+n b →=t 1（-14a →+b →），所以ìíîïïm -14=-14t 1n =t 1，消去t 1得4m +n =1，由上述两式得m =17，n =37，故 OM =17 a +37b .解答本题需抓住A ,M ,D 三点共线和B ,M ,C 三点共线这两个关键点，再将 OA 和OB 作为基底表示出其他向量，利用待定系数法来求参数的值.向量共线定理是平面向量中的一个重要定理.合理运用三点共线定理，往往能起到化繁为简的功效，使问题快速得解.同学们要重视三点共线定理，将其灵活地应用于解题当中.（作者单位：江苏省盐城市龙冈中学）图1图2图348Copyright ©博看网. All Rights Reserved.。

平面内三点共线的向量表示及其性质应用本文给出了三点共线向量表示的证法探究，以启迪思维和拓展思路之目的，另外又给出了三点共线向 量表示在解题中的应用。

，使得 PC= PA+( 1- )PB . 证法探究：分析： 初看欲证目标，始感实难下手。

我们不妨从结论出发探寻线路，欲 证 PC= PA + (1-) PB ，只需证PC = PA + PB - PBPC - PB = ( PA - PB )BC = BA BC // BA .这样证明思路有了。

证法：•••向量 BC 与向量 BA 共线，• BC = BA ,即 PC - PB = ( PA - PB ),PC = PA +PB - PB ,••• PC = PA + (1- ) PB .证毕，再思考一下实数 的几何意义究竟如何。

考察向量等式BC= BA ，结合图形，易知，当点 C在线段AB 上时，则BC 与BA 同向，有0W < 1;当点C 在线段AB 延长线上时，则 BC 与BA 反向， 有 <0;当点C 在线段BA 延长线上时，则 BC 与BA 同向，有 > 1. 此例题逆命题亦成立，即已知A , B , C 是平面内三个点， P 是平面内任意一点， 若存在实数 ，，有PC = PA + PB , 且 +=1,则A , B , C 三点共线.故此逆命题可作三点共线判定方法。

为方便起见，我们将两命题作为性质叙述如下： 性质1：已知A , B , C 是平面内三个点， P 是平面内任意一点，若 A , B , C 三点共线，则存在实数，使得 PC = PA + (1-) PB .或叙述为：已知A , B , C 是平面内三个点， P 是平面内任意一点，若 A , B , C 三点共线，则存在实数，使得 PC = PA + PB ，则有 +=1.性质2 :已知 A , B , C 是平面内三个点， P 是平面内任意一点，若存在实数， ，有PC= PA + PB ，且 + =1,则 A , B , C 三点共线.三点共线性质在解题中的应用：例1 •如图，在 ABC 中，点O 是BC 的中点，过点O 的直线分别交直线 AB 、 的两点M 、N ，若AB = mAM , AC =nAN ，则m n 的值为 ________________________ . 1——.解析：连结AO ,因为点O 是BC 的中点，所以有 AO = 1AB mAM2 2 21 1 因为M 、O 、N 三点共线，所以-m -n 1，故m n2 .221 uuir例题：如图，A ，B ，C 是平面内三个点, P 是平面内任意一点，若点 C 在直线AB 上，则存在实数1=1-=，简便求出m n 的值.例2 (湖北省2011届高三八校第一次联考)如图uuir 2,在厶 ABC 中, AN」NC，点P是BC上3的一点，若uuuAPuuu 2 uur mABAC , 则实数m的值为( )11, 9 B_5 小3 r 2A.— c.— D.—11 111 11uuu解：Q B, P,N 三点共线，又Q APuuumAB 2 UULT AC 11UUU 2 mAB— 11UULT 4AN UUU 8 UULT mAB AN 118 3m 1 m ，故选C 11 11 例3 (广东省2015届高三六校联考) 所示: 点G 是厶OAB 的重心,动点，且P 、G 、Q 三点共线•设 OP xOA , OQ yOB , 证明：Q 因为G 是VOAB 的重心, UUL T OG 1 UUU 2(OAUUU QOP uuu xOA UUU 1 UUU OA OP x UULT QOQ UUU yOB UUL T OG1 UUU 3(OA UULT OB) 1 1 uuu 3(XOP1 UULT -OQ) yUULT OG1 UUU OP 3x Q 分别是边OA 、OB 上的 BUUUOB) UU UOB1 证明：- 1 -是定值; 3?O Q又Q P,G,Q 三点共线, 13x例4.如图，在 ABC 中, OC !OA , 4 OD 2OB , OA a,OB AD 与BC 交于M 点，设(I)用a , b 表示OM ； (n)在已知线段 AC 上取一点 ■ - 4 OF qOB .求证：一 7pE , 37q 在线段BD 上取一点 F ，使EF 过点 解析：(I )因为B 、M 、C 三点共线, 1 — — 1 所以存在实数 m 使得OM = mOC (1 pOA ,M •设 0E m)OB=m OA (1 m)OB=— ma (1 m)b ;又因为 A 、M 、D 三点共线，所以存在实数 4 4 n 使得OM =nOA (11 m n, n)OD = na 1(1 n)b •由于a , b 不共线，所以有 42 1 m 弓(1 n), 解得,47, 1 7•故OM = 7(n)因为 1a 3b 7 E 、M 、F 三点共线，所以存在实数 pa (1)qb •结合(I),易得出 (1 使得OM = OE 1 7，消去、 3 )q 7，(1 )OF得, 7P 2 1 • 7q 点评：本题是以a , b 作为一组基底，其他向量都由它们线性表示•解(I) 中的实数,n 的几何意义为：m=^ = 4 |BC| 7 n =1 DM 1 =1, m , n €( o , 1 )；解(n)中的实数 |DA| 7 |FM|FE| 7p例5.如图, AP平行四边形 ABCD 中，点P 在线段AB 上，且 m , Q 在线段ADPB 上，且AQ QD PR n , BQ 与CP 相交于点"，求怎的值. QD解析：设PR =RC冲PR ，则= PC 1 • 1，BR =_1BA .BC+( 1-) BP .因为 APm ，所以BP1 ---- BA ， m 111PB且 BR= ----BC +-p AQ又•••nAD=n BC ， • BQ'BA AQ ，即 BQn BC BA.又••• BRQDn 1n 1n 1与BQ 共线，n 1 =0,解得n1 n 1 (1)(m'(m 1)(n1)'点评：我们先要确定好组基底BA, BC ，看准BR , BQ 如何由它们线性表示；而欲求目标数值， 因 P, R,C三点共线，中途要以 BP,BC 作基底，BR 由它们线性表出时，分析清楚该两基底系数所表示的几何意义，由性质1,得BR =——BC +（ 1 -------------- ）BP ;最终BR 与BQ 都得转化到由BA, BC 两基底线性表示，1 1此时容易由共线向量性质列出等式，从而求出结果.例6 （汕头市东山中学 2014届高三第二次模拟考试）所示,在平行四边形 ABCD 中，uuu 1 uuu LULT 1 LULTUUU rUUUT r LULTAE-AB , AF — AD ,CE 与 BF 相交于 G 点，记 ABa ,ADb ，贝U AG3 42 r 1 r2 r3 r3 r 1 r4 r orA. -a 丄匕B. -a -bC. -aD. 4a -b77 77 7777'<■分析：本题是以平面几何为背景，为载体，求向量的问题，所以我们很 容易联想到点F 、G 、B 以及E,G,C 三点在一条直线上，可用平面内三点共 线定理求解。

用向量证明三线共点与三点共线问题山东徐鹏三线共点、三点共线是几何中经常遇到的问题，直接证明往往很困难,简捷得多.证明A、B、C三点共线，只要证明AB与AC共线即可，即证明AB线共点一般须证两线交点在第三条直线上.图1使得OC OA OB ；反之，也成立.证明:如图1 ,若OA、.OB ；、OC 的终点A、B、C共线,则AB BC BC mAB BC OC OB AB OB OA OC OB m(OB OA) OC mOA (1 m)OB m, 1 m, ,，且1, OC OA OB OC OA OB 1, 1 OC OA (1 )OB OC OB OA OB BC BA BC和BA OA OB OC例2.. -片证明：三角形的三条中线父于点.证明：女口图 2 ,D、E、F分另U是ABC 三边上的中证明：若向量OA、OB、OC的终点A B C共线，则存在实数，且用向量法解决则AC •证明三C占八、、♦设CA a,CB b,AD BE G.设AG AD, BG BE.则AG AB BG (b a) BE (b a) (BC 】CA) b a1 ■ (?a b)2(0a (1 —*■ ■-)b，又AG , AD (AC CD) (a 12b)• 1 Ka b212 1所以 2 解得311 22 3则CG CA AG a 2 AD a2( -V 1- a b) a3 3 2 3 3CF 1 a !b,所以CG 2CF ，所以G在中线CF上,所以三角形三条中线交于一点223。

用向量证明三线共点与三点共线问题山东 徐鹏三线共点、三点共线是几何中经常遇到的问题，直接证明往往很困难，用向量法解决则简捷得多．证明A 、B 、C 三点共线，只要证明AB 与AC 共线即可，即证明AC AB λ=．证明三线共点一般须证两线交点在第三条直线上．例1． 证明：若向量OA 、OB 、OC 的终点A 、B 、C 共线，则存在实数λ、μ，且1=+μλ，使得OB OA OC μλ+=；反之，也成立．证明：如图1，若OA 、OB 、OC 的终点A 、B 、C 共线，则AB //BC ,故存在实数m,使得AB m BC =，又OB OC BC -=，OA OB AB -=，故)(OA OB m OB OC -=-，OB m OA m OC )1(++-=．令,1,m m +=-=μλ则存在,1,,=+μλμλ且使得OB OA OC μλ+=．若OB OA OC μλ+=，其中,1=+μλ则λμ-=1，OB OA OC )1(λλ-+=．从而有OC －OB ＝λ(OA －OB )，即BA BC λ=．又因为BA BC 和有公共点B,所以A 、B 、C 三点共线，即向量OA 、OB 、OC 的终点A 、B 、C 共线.例2． 证明：三角形的三条中线交于一点．证明：如图2，D 、E 、F分别是A B C ∆三边上的中AOBC图1点．设BE BG AD AG G BE AD b CB a CA μ===⋂==,,,．设．则=-+-=++-=+-=+=)21()21()()(b a a b CA BC a b BE a b BG AB AG μμμb a )1(1(21μμ-+-），又b a b a CD AC AD AG λλλλλ21)21()(+-=+-=+==⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=-3232121121μλμλμλ解得所以则b a b a a AD a AG CA CG 3131)21(3232+=+-+=+=+= b a CF 2121+=，所以CF CG 32=，所以G 在中线CF 上，所以三角形三条中线交于一点．ABCEDF 图２G。

共线向量基本定理三点共线
三点共线定理：若OC=λOA+μOB，且λ+μ=1，则A、B、C三点共线。

共线向量也就是平行向量，方向相同或相反的非零向量叫平行向量，表示为a∥b，任意一组平行向量都可移到同一直线上，所以称为共线向量。

证明过程：
AC=OC-OA=λOA+μOB-OA=μOB+（λ-1）OA=μ（OB-OA）。

而AB=OB-OA，即AB=μAC，故A、B、C三点共线。

共线向量也就是平行向量，方向相同或相反的非零向量叫平行向量，表示为a∥b，任意一组平行向量都可移到同一直线上。

所以称为共线向量。

共线向量基本定理为如果a≠0，那么向量b 与a共线的充要条件是：存在唯一实数λ，使得b=λa。

证明三点共线的向量定理证明三点共线的向量定理1. 引言在几何学中，共线是指多个点在同一条直线上。

证明三点共线的向量定理是一种常用的方法，它利用向量的性质来判断三个点是否在同一条直线上。

本文将深入探讨这个定理，通过提供详细的解释和举例，帮助您全面了解这一概念。

2. 向量的基本概念在开始证明之前，我们先了解一些基本的向量概念。

向量是有大小和方向的量，通常用箭头来表示。

向量可以表示为有序数对 (a, b)，其中a 和 b 分别表示向量在水平和垂直方向上的分量。

在这里，我们使用巴斯克定理，这是一个三角学中的基本定理，通过它我们可以找到一个向量的模长和方向。

3. 证明三点共线的向量定理现在我们来证明三个点是否共线的向量定理。

假设有三个点A(x1, y1)、B(x2, y2) 和 C(x3, y3)。

根据向量的定义，我们可以将向量 AB 表示为向量 a = (x2 - x1, y2 - y1)，向量 BC 表示为向量 b = (x3 - x2, y3 -y2)。

如果这两个向量是平行的，那么向量 a 和向量 b 的比例关系为 a= k * b，其中 k 是一个常数。

这意味着点 A、B 和 C 共线。

为了证明这一点，我们可以计算向量 a 和向量 b 的比值，如果比值等于常数 k，那么三个点就共线。

具体计算如下：a = (x2 - x1, y2 - y1)b = (x3 - x2, y3 - y2)k = a / b = (x2 - x1) / (x3 - x2) = (y2 - y1) / (y3 - y2)如果比值 k 等于常数，那么三个点 A、B 和 C 就共线。

4. 举例说明为了更好地理解上述证明过程，我们举个例子来计算三个点是否共线。

假设有三个点 A(1, 2)、B(3, 4) 和 C(5, 6)。

我们可以计算向量 a 和向量 b 的比值：a = (3 - 1, 4 - 2) = (2, 2)b = (5 - 3, 6 - 4) = (2, 2)k = a / b = (2 - 1) / (2 - 1) = 1由于比值 k 等于常数 1，所以点 A、B 和 C 是共线的。

平面向量三点共线定理证明平面向量三点共线定理是指，在平面上，若给定三个向量 a、b 和 c，如果存在实数 k 和 l，使得 a = kb + lc，则称向量 a、b 和 c 共线。

换句话说，如果存在两个实数 k 和 l，使得 a 是向量 b 和向量 c 的线性组合，那么这三个向量是共线的。

为了证明这一定理，我们可以使用向量的坐标表示以及向量共线的性质。

假设给定三个向量a=(x1,y1)、b=(x2,y2)和c=(x3,y3)。

我们知道，两个向量共线是指它们的方向相同或相反。

因此，我们先证明如果a和b共线，且a和c共线，那么a、b和c三个向量共线。

首先，假设a和b共线，即存在实数k1和l1，使得a=k1b+l1c。

同样地，假设a和c共线，即存在实数k2和l2，使得a=k2b+l2c。

然后，我们将这两个等式相减，得到：a-a=(k1b+l1c)-(k2b+l2c)0=(k1-k2)b+(l1-l2)c根据向量等式的传递性，上述等式成立当且仅当系数相等，即：k1-k2=0且l1-l2=0这意味着k1=k2且l1=l2将这些相等的系数代回前面的等式中，我们得到：a=k1b+l1c因此，我们证明了a、b和c三个向量共线。

接下来，我们证明反过来也成立：如果a、b和c三个向量共线，那么a和b共线，且a和c共线。

假设 a、b 和 c 三个向量共线，即存在实数 k 和 l，使得 a = kb+ lc。

我们可以将b和c表示为a和c的线性组合：b=(1/k)a-(l/k)c然后，我们可以看到：a = k((1/k)a - (l/k)c) + lc将a替换为b和c的线性组合：a = a - lc + lc上述等式成立。

因此，我们证明了反过来的结论：如果a、b和c三个向量共线，那么a和b共线，且a和c共线。

综上所述，我们证明了平面向量三点共线定理的两个方向。

最后，值得注意的是，我们假设了a、b和c三个向量不同于零向量。

这是因为零向量与任何向量都共线，而我们关注的是非零向量的共线性。

向量的三点共线定理一、概念向量的三点共线定理，又称之为向量的共线定理，是向量理论中的一个基本定理。

它描述了在三维空间中，如果三个点A、B、C由向量OA、OB、OC表示，并且存在实数λ和μ，使得OC = λOA + μOB，且λ+ μ= 1，则这三个点A、B、C是共线的。

二、定义定义1：共线向量，也称为平行向量，是指方向相同或相反的非零向量。

在平面或空间中，如果两个向量有相同的方向或相反的方向，则这两个向量被称为共线向量。

定义2：如果三个点A、B、C满足OC = λOA + μOB，其中λ和μ是实数，并且λ+ μ= 1，则称这三个点A、B、C是共线的。

三、性质性质1：若三点A、B、C共线，则它们的位置向量之间存在线性关系，即OC = λOA + μOB，且λ+ μ= 1。

性质2：若向量a与向量b共线，则存在唯一实数k，使得a = kb。

特别地，当k = 1时，a与b方向相同；当k = -1时，a与b方向相反。

性质3：共线向量的模长之比等于它们对应分量之比，即若a = kb，则|a|/|b| = |k|。

四、特点特点1：向量的三点共线定理是向量线性组合的一个特殊情况，它揭示了向量之间的线性关系与点的几何位置之间的关系。

特点2：该定理提供了一种通过向量运算判断三点是否共线的方法，为向量在空间中的应用提供了便利。

特点3：向量的三点共线定理与平面几何中的三点共线定理具有类似的性质，但向量的表达方式更具一般性，可以推广到三维空间乃至更高维的向量空间。

五、规律规律1：如果三点A、B、C共线，那么它们的位置向量OA、OB、OC之间存在唯一的线性关系，使得OC = λOA + μOB，且λ+ μ= 1。

这个线性关系中的λ和μ是唯一的，除非A、B、C三点重合。

规律2：在三维空间中，如果三个向量a、b、c满足a = λb + μc，且λ+ μ= 1，则这三个向量是共面的。

特别地，当这三个向量是三个点的位置向量时，这三个点共线。

向量中三点共线常用结论在向量的研究中，三点共线是一个重要的概念。

当三个点在一条直线上时，我们称它们为共线点。

在向量中，我们可以利用一些常用结论来判断三个向量是否共线。

本文将介绍向量中三点共线的常用结论，并对其进行详细解析。

1. 三点共线的定义在二维平面上，设有三个点A(x1, y1)，B(x2, y2)和C(x3, y3)，如果这三个点满足以下关系式：(x2 - x1)(y3 - y1) = (x3 - x1)(y2 - y1)则称A、B、C三个点共线。

2. 向量表示法判断在向量表示法中，设有两个向量AB和AC，如果这两个向量满足以下关系式：AB = k * AC其中k为一个实数，则可以判断A、B、C三个点共线。

3. 向量坐标法判断在向量坐标法中，设有两个向量AB和AC，若这两个向量满足以下关系式：AB = r * i + s * j AC = p * i + q * j其中i和j分别为x轴和y轴的单位向量，则可以通过计算行列式来判断A、B、C 三个点共线。

行列式的计算公式为：r s |p q |若行列式值为0，则A、B、C三个点共线。

4. 向量夹角法判断在向量夹角法中，设有两个向量AB和AC，若这两个向量的夹角θ满足以下关系式：cosθ = AB·AC / (|AB| * |AC|)其中·表示向量的数量积，|AB|和|AC|分别表示向量AB和AC的模长，则可以通过计算夹角的余弦值来判断A、B、C三个点共线。

若cosθ等于1或-1，则A、B、C 三个点共线。

5. 向量比例法判断在向量比例法中，设有两个向量AB和AC，若这两个向量满足以下关系式：AB/AC = k其中k为一个实数，则可以通过计算向量的比例来判断A、B、C三个点共线。

6. 解析几何法判断在解析几何法中，设有两条直线L1和L2，若这两条直线满足以下关系式：L1: Ax + By + C1 = 0 L2: Ax + By + C2 = 0其中A、B、C1和C2为常数，则可以通过计算直线方程的系数来判断A、B、C三个点共线。

有关平面向量三点共线问题的求解
三点共线向量公式：(x2-x1)(y3-y1)=(x3-x1)(y2-y1)。

三点共线指的是三点在同一条直线上。

可以设三点为A、B、C，利用向量证明：λAB=AC（其中λ为非零实数）。

三点共线证明方法：
方法一：挑两点奠定一条直线，排序该直线的.解析式.代入第三点座标看看与否满足用户该解析式（直线与方程）。

方法二：设三点为a、b、c，利用向量证明：λab=ac（其中λ为非零实数）。

方法三：利用点差法求出来ab斜率和ac斜率，成正比即为三点共线。

方法四:用梅涅劳斯定理。

方法五：利用几何中的公理“如果两个不重合的平面存有一个公共点，那么它们存有且只有一条过该点的公共直线”.所述：如果三点同属两个平行的平面则三点共线。

方法六：运用公（定）理“过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行（垂直）”.其实就是同一法。

三点共线的证明方法
1.向量法证明：设三个点A、B、C的坐标分别为(Ax,Ay)，(Bx,By)，(Cx,Cy)。

首先求出向量AB和向量AC，然后计算这两个向量的叉积。

如
果叉积为0，则说明三个向量共线，即三个点共线。

2.斜率法证明：设A、B、C三个点的坐标分别为(Ax,Ay)，(Bx,By)，(Cx,Cy)。

首先计算直线AB的斜率k1，再计算直线AC的斜率k2、如果
k1等于k2，则说明两条直线重合或平行，即三个点共线。

3.距离法证明：设A、B、C三个点的坐标分别为(Ax,Ay)，(Bx,By)，(Cx,Cy)。

首先计算点A到线段BC的距离d1，再计算点B到线段AC的距
离d2，最后计算点C到线段AB的距离d3、如果d1=d2=d3=0，则说明三
个点共线。

4.合成三角形法证明：设A、B、C三个点的坐标分别为(Ax,Ay)，(Bx,By)，(Cx,Cy)。

可以将三角形ABC分别看作向量AB和向量AC的合成。

如果这两个向量的合成向量与向量BC重合，则说明三个点共线。

5.面积法证明：设A、B、C三个点的坐标分别为(Ax,Ay)，(Bx,By)，(Cx,Cy)。

首先计算以A、B、C为顶点的三角形ABC的面积S1，再计算以A、B、C为顶点的三角形OBC的面积S2，其中O为坐标原点。

如果S1=S2，则说明点A在直线BC上，即三个点共线。

以上是五种常见的三点共线的证明方法。

不同的方法可以根据具体的
题目情况选择使用，有时也可以结合使用多种方法来证明。

平面向量三点共线证明
假设有三个平面向量a,b,c，它们的起点分别为A、B、C。

现在需要证明这三个向量共线，即它们的终点在同一条直线上。

首先，我们可以将向量b平移，使它的起点与a的终点重合。

设平移后的向量为b'，起点为A，终点为D。

接着，我们可以将向量c平移，使它的起点与b'的终点重合。

设平移后的向量为c'，起点为D，终点为E。

现在，我们需要证明向量a和c'的终点也是在直线DE上的。

由于向量a和b的终点已经在同一点，根据向量加法的规则，我们可以得到：
a +
b = AD
同样地，根据向量加法的规则，我们也可以得到：
a + b' = AB
将b'带入上式，得到：
a + b' = AD
将c'带入上式，得到：
a + c' = AE
因此，向量a和c'的终点也是在直线DE上的，三个向量共线得证。

注：平面向量三点共线也可以运用叉积的概念加以证明。

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三点共线怎么证明
三点共线证明⽅法⼀：取两点确⽴⼀条直线，计算该直线的解析式，代⼊第三点坐标看是否满⾜该解析式。

⽅法⼆：设三点为A、B、C，利⽤向量证明：a倍AB向量=AC向量。

三点共线证明⽅法
⽅法⼀：取两点确⽴⼀条直线，计算该直线的解析式。

代⼊第三点坐标看是否满⾜该解析式（直线与⽅程）。

⽅法⼆：设三点为A、B、C。

利⽤向量证明：λAB=AC（其中λ为⾮零实数）。

⽅法三：利⽤点差法求出AB斜率和AC斜率，相等即三点共线。

⽅法四:⽤梅涅劳斯定理。

⽅法五：利⽤⼏何中的公理“如果两个不重合的平⾯有⼀个公共点，那么它们有且只有⼀条过该点的公共直线”。

可知：如果三点同属于两个相交的平⾯则三点共线。

⽅法六：运⽤公（定）理“过直线外⼀点有且只有⼀条直线与已知直线平⾏（垂直）”。

其实就是同⼀法。

三点共线的证明过程
稿子一
嘿，亲爱的小伙伴们！今天咱们来聊聊三点共线的证明过程，这可有趣啦！
想象一下，有三个点 A、B、C 摆在那。

要证明它们在同一条直线上，咱们可以先从距离入手。

要是 AB 的距离加上 BC 的距离等于 AC 的距离，那这三个点不就乖乖在一条线上了嘛！
或者呢，咱们可以通过向量来瞅瞅。

如果向量 AB 和向量 BC 是共线向量，那这三个点肯定也能连成一条线呀！
还有哦，如果能找到一个直线方程，然后把这三个点的坐标代进去都成立，那也能说明它们共线啦。

比如说，已知点 A 和点 B 所在的直线方程，然后把点 C 的坐标带进去，要是等式成立，那这三点就手拉手在一条线上咯！
怎么样，是不是感觉还挺好玩的？其实数学里好多东西都像这样，仔细琢磨琢磨就会发现很有意思呢！
稿子二
嗨呀，朋友们！今天咱们一起来探索一下三点共线的证明过程哟！
你看哈，假如有三个点 A、B、C 。

咱们可以先找找它们的斜率。

要是点 A 到点 B 的斜率和点 B 到点 C 的斜率相等，那这三个点大概率就在一条线上啦。

或者呢，咱们从角度出发。

要是角 ABC 是 180 度，那它们肯定能连成直直的一条线呀。

再想想，如果存在一个点 D，使得 AD 平分角 BAC ，而且角 BAD 和角 CAD 相等，那这三个点 A、B、C 也能在同一条线上哟。

还有一种办法，假设这三个点在一个三角形里，然后证明这个三角形的面积是 0 ，那不就说明这三个点在一条线上，根本构不成三角形嘛。

哈哈，是不是觉得挺奇妙的？三点共线的证明方法有好多好多，咱们慢慢发现，数学的世界可精彩啦！。

向量三点共线定理推导过程嘿，咱今儿个就来聊聊向量三点共线定理的推导过程。

这可是个挺有意思的事儿呢！咱先想想啊，啥叫三点共线呀？不就是三个点在同一条直线上嘛。

那向量和这又有啥关系呢？嘿嘿，这里面可就有门道啦。

咱就假设有三个点 A、B、C，对应的向量分别是向量 OA、向量OB、向量 OC。

要是这三个点共线，那这几个向量之间肯定有啥特殊的联系呀。

咱可以从最简单的情况开始琢磨呀。

比如说，A 点和 B 点确定了一条直线，那 C 点要是也在这条直线上，那向量 OC 是不是就可以用向量 OA 和向量 OB 来表示呢？这就好比是搭积木，用这两个已知的向量搭出第三个向量来。

那咋搭呢？咱可以这样想，从 A 点到 C 点，是不是可以分成两段走呀，一段是从 A 到 B，另一段是从 B 到 C。

那向量 AC 不就等于向量 AB 加上向量 BC 嘛。

然后呢，咱再把向量 AB 和向量 BC 用向量 OA 和向量 OB 来表示。

比如说，向量 AB 可以表示成向量 OB 减去向量 OA 呀。

那向量 BC 呢，也可以类似地表示出来。

这么一捣鼓，嘿，你就发现，向量 AC 就和向量 OA、向量 OB 有了特殊的关系啦。

再进一步想想，要是这三个点真的共线，那这里面肯定还有更特别的地方呢。

咱可以通过一些巧妙的计算和推导，找到这个特别的关系。

你说这是不是很神奇呀？就这么几个向量，通过咱这么一琢磨，一推导，就找出了它们之间的秘密。

而且啊，这个定理在好多地方都能用得上呢。

比如说在几何问题里，判断几个点是不是共线；在物理问题里，分析物体的运动轨迹。

用处可大啦！你可别小看了这看似简单的定理推导，这里面蕴含着好多智慧呢。

就像我们解一道难题，一步一步地去探索，去发现，最后找到答案时的那种喜悦，真的是没法用言语来形容。

所以呀，大家以后遇到类似的问题，可别嫌麻烦，多想想，多琢磨琢磨，说不定就能发现其中的奥秘啦！这就好比是在一个大宝藏里寻宝，每一个小细节都可能是宝贝呢！怎么样，是不是对向量三点共线定理的推导过程更感兴趣啦？快去试试吧！。

怎么证明三点共线
已知三点坐标的情况下，方法一：取两点确立一条直线，计算该直线的解析式，代入第三点坐标，看是否满足该解析式。

方法二：设三点为A、B、C，利用向量证明：a倍AB向量=AC向量（其中a为非零实数）。

证明三点共线的其他方法：
利用点差法求出AB斜率和AC斜率相等即三点共线；证三次两点一线；用梅涅劳斯定理；利用几何中的公理“如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线”可知：如果三点同属于两个相交的平面则三点共线；
运用公（定）理“过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行（垂直）”，其实就是同一法；证明其夹角为180° ；设A B C，证明△ABC面积为0。

利用向量方法证明三点共线的具体过程：
你知道ABC三点坐标你可以把BA向量表示出来,CB向量表示出来然后如果有 BA向量等于 CB向量的一个常数倍就能说明其三点共线其实你直接求BA直线的斜率和BC直线的斜率更简捷点,两者的本质是一样的斜率相同则三点共线。