期权模型
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期权定价模型
期权定价模型期权定价模型是金融衍生品定价领域的重要模型之一，它通过考虑期权的各项特性，将期权的价值与其相关的标的资产、行权价格、到期时间、波动率、无风险利率等一系列因素联系起来，从而确定期权的公平价格。
在期权定价模型中，常用的模型有布莱克-斯科尔斯模型（Black-Scholes Model）和它的改进模型，如布莱克-斯科尔斯-默顿模型（Black-Scholes-Merton Model）。
这些模型基于一些假设，包括市场无摩擦、无风险利率不变、标的资产价格服从几何布朗运动等。
布莱克-斯科尔斯模型是最早的期权定价模型之一，它将期权价格视为标的资产价格的函数，通过假设标的资产价格服从几何布朗运动，并应用风险中性估计，推导出了一个偏微分方程，即著名的布莱克-斯科尔斯方程。
利用该方程可以计算出欧式看涨/看跌期权的价格。
然而，布莱克-斯科尔斯模型在实际应用中存在一些限制，例如假设市场无摩擦和无风险利率不变的条件，并且假设标的资产价格服从几何布朗运动，这些假设在现实市场中并不总是成立。
因此，为了更准确地定价期权，学者们提出了一系列改进的模型。
其中，布莱克-斯科尔斯-默顿模型是对布莱克-斯科尔斯模型的一个重要改进。
该模型引入了对标的资产价格波动率的估计，通过蒙特卡洛模拟或数值方法，可以计算出更加准确的欧式期权价格。
此外，还有许多其他的改进模型，如跳跃扩散模型、随机波动率模型等，针对不同的市场和期权特性提供了更加精确的定价方法。
总之，期权定价模型是金融衍生品定价领域的重要工具，它通过考虑期权的各项特性和相关因素，计算出期权的公平价格。
布莱克-斯科尔斯模型和其改进模型是常用的期权定价模型，但也存在一些假设和限制。
为了更精确地定价期权，学者们提出了一系列改进模型，以适应不同市场和期权特性的需求。
在期权定价领域，除了布莱克-斯科尔斯模型和其改进模型外，还有许多其他的期权定价模型被广泛应用。
这些模型包括跳跃扩散模型、随机波动率模型、二叉树模型等等，它们分别在不同的金融市场和期权类型中发挥着重要的作用。
第9章 期权,第10章 期权定价模型
第9章 期 权9.1 期权的概念期货无选择权：买入期货合约，即使交割时的现货价格低于期货价格，也必须买入而亏损；出售期货合约，即使交割时的现货价格高于期货价格，也必须卖出而亏损。
看涨买权（call option ）：到期时的现货价格低于执行价格，持有者可选择不执行合约，以避免亏损；到期时的现货价格高于执行价格，持有者可选择 执行合约，以获得盈利。
看跌卖权（put option ）：到期时的现货价格低于执行价格，持有者可选择 执行合约，以获得盈利；到期时的现货价格高于执行价格，持有者可选择不执行合约，以避免亏损。
期权价格（option price ）：购买选择权支付的单位成本。
9.2 到期股票期权定价1. 到期期权的价值： 标的资产：股票标的变量：股价 S 也就是 S 元∕股 执行价格： E 或X 比如 100元∕股 到期时间： T 比如 3个月到期时股价： T S 比如 120元∕股，或80元∕股 股票现价： 0S看涨买权到期价值： C T = =)0,max(E S T -例：C T =)0,max(E S T -=)0,100120max(-=20 C T =)0,max(E S T -=)0,10080max(-=0 注：到期价值C T 随到期股价T S 的不同而变化，T S 是自变量，C T 是因变量或函数，并且C T 是T S 的分段函数。
看涨买权到期价值看跌卖权到期价值：)0,max(T T S E P -=看跌卖权到期价值2. 到期期权的盈亏设期初买权价为0C 、期初卖权价为0P ，则到期期权的盈亏为),max(),max(000000P P S E P P C C E S C C T T P T T C ---=-=---=-=ππ（1）购入买权（2）购入卖权例如：购入买权，E =100,100=C , 到期时T S 为115和90的两种情况的盈亏分别为：;10)10,1010090max()90(;5)10,10100115max()115(-=---==---=C C ππ注意： 买权是一个产品，设售出买权的盈亏为C π，则有0=+C C ππ或C πC π-=，即售出和购入买权的盈亏是零和的，原因是，售出买权的一方看跌，售出卖权的一方看涨。
简析期权的三种定价模型及其应用
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二 、期权 定价 模 型 介绍 及 其 应 用
参 ¨ 夏 考 出 应用 ： 韩 国证 券 期 货 交易 所 （ ＫＲＸ） 对 于 ＫＯＳ Ｐ Ｉ ２ ０ ０ 期 文 权 采用 的是 二叉 树 定 价 方法 ， 也 是大 多 数 交 易所 做 市 商 时 版 献 社 普遍 采用 的 方法 。
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ｃ ＝ Ｉ ‘ 了 ： 卜 尸 ） 叫 ［ ０ 一 ， ］ Ｉ
９
，
（ 一 ）Ｂ －Ｓ 期权 定价 模 型 三 定价模 型对 比及应用建议 期 。 介绍 ： 首 先假 设 标 的 价格 服 从 标 的价 格 波 动率 和预 期 收 由于 定价 模 型 自身 的定 价原 理 ， Ｂ—ｓ 定 价 模 型 的优 势 在 权 益 率 为常 数 的 几何 布 朗运动 ， 即 于 它 的 解析 解 是 封 闭的 ， 计 算 速 度快 而 精 确 ； 劣 势是 他 不 能 ＝ ＨＳ ｄｔ ＋ｅ Ｔ ｄ Ｚ 计 算 美 式期 权 。Ｂ ｌ ａ ｃ ｋ（ ７ ６ ） 定 价 模 型 也 具有 封 闭解 析 解 ， 计 算 速 度 快 的 优势 ， 但 是它 的 可 用 范 围受 限 ， 只 能计 算 欧 式 期 原理 ： 通 过 卖 出 一 手看 涨期 权 ， 买 入 份股 票 ， 构 造 了 权 。最 后 ， 二 叉 树 定价 模 型 的优 点 很容 易看 出 ： 方法 简 单 易 懂， 同时 具 有 扩 展 性 。但 是 它 的缺 点 是 ： 增 加 了步 长 个 数 ， 份 无 风 险投 资 ＝一 ｆ＋ ・ Ｓ 模 型 收 敛 度 强精 度 得 到 提 高 ， 但 是 计 算 耗 时大 大 增 加 ； 如 果 由无 套 利 原理 可 知 ， 该 组 合 的 收益 率 和无 风 险投 资 的 收 减少 步 长个 数 ， 可 以减少 计 算 时 间 ， 但 是 精 度 却 又降 低 了 。 益率相同 ， 即 、 在 期 权 交易 过 程 中 ， 我 们 只有 选 择 了 合适 的定 价模 型才 Ａｚ’ ：ｒ 砖 ｆ 能得 到 理 想 的 结 果 ， 所 以我 们 在 选 择 定 价模 型 时 应 当根 据 １ ： 所 掌 握 的 的 各 种 资 源 和 实 际 情 况 来 进 行 选 择 和权 衡 ， 以 获 ＋ ＋
二 、期权 定价 模 型 介绍 及 其 应 用
参 ¨ 夏 考 出 应用 ： 韩 国证 券 期 货 交易 所 （ ＫＲＸ） 对 于 ＫＯＳ Ｐ Ｉ ２ ０ ０ 期 文 权 采用 的是 二叉 树 定 价 方法 ， 也 是大 多 数 交 易所 做 市 商 时 版 献 社 普遍 采用 的 方法 。
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●
ｃ ＝ Ｉ ‘ 了 ： 卜 尸 ） 叫 ［ ０ 一 ， ］ Ｉ
９
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（ 一 ）Ｂ －Ｓ 期权 定价 模 型 三 定价模 型对 比及应用建议 期 。 介绍 ： 首 先假 设 标 的 价格 服 从 标 的价 格 波 动率 和预 期 收 由于 定价 模 型 自身 的定 价原 理 ， Ｂ—ｓ 定 价 模 型 的优 势 在 权 益 率 为常 数 的 几何 布 朗运动 ， 即 于 它 的 解析 解 是 封 闭的 ， 计 算 速 度快 而 精 确 ； 劣 势是 他 不 能 ＝ ＨＳ ｄｔ ＋ｅ Ｔ ｄ Ｚ 计 算 美 式期 权 。Ｂ ｌ ａ ｃ ｋ（ ７ ６ ） 定 价 模 型 也 具有 封 闭解 析 解 ， 计 算 速 度 快 的 优势 ， 但 是它 的 可 用 范 围受 限 ， 只 能计 算 欧 式 期 原理 ： 通 过 卖 出 一 手看 涨期 权 ， 买 入 份股 票 ， 构 造 了 权 。最 后 ， 二 叉 树 定价 模 型 的优 点 很容 易看 出 ： 方法 简 单 易 懂， 同时 具 有 扩 展 性 。但 是 它 的缺 点 是 ： 增 加 了步 长 个 数 ， 份 无 风 险投 资 ＝一 ｆ＋ ・ Ｓ 模 型 收 敛 度 强精 度 得 到 提 高 ， 但 是 计 算 耗 时大 大 增 加 ； 如 果 由无 套 利 原理 可 知 ， 该 组 合 的 收益 率 和无 风 险投 资 的 收 减少 步 长个 数 ， 可 以减少 计 算 时 间 ， 但 是 精 度 却 又降 低 了 。 益率相同 ， 即 、 在 期 权 交易 过 程 中 ， 我 们 只有 选 择 了 合适 的定 价模 型才 Ａｚ’ ：ｒ 砖 ｆ 能得 到 理 想 的 结 果 ， 所 以我 们 在 选 择 定 价模 型 时 应 当根 据 １ ： 所 掌 握 的 的 各 种 资 源 和 实 际 情 况 来 进 行 选 择 和权 衡 ， 以 获 ＋ ＋
金融工程中的期权定价模型
金融工程中的期权定价模型一、期权定义期权是金融工具中的一种，是指在未来某个时间，按照约定的价格、数量和期限，有权买入或者卖出某种标的资产的一种金融合约。
通过买入期权，持有人可以在未来某个时间以约定的价格买进标的资产；通过卖出期权，交易人可以获得期权费用，承担未来某个时间按照约定价格进行买卖的义务。
期权的本质是对未来的权利，是一种寄予了未来的期望和信心。
二、期权定价方法期权定价是指通过计算期权价格，来实现期权交易的方法或模型。
期权定价的理论基础主要包括两个主流模型：布莱克-斯科尔斯模型和考克斯-鲁宾斯坦模型。
下面我们分别来介绍一下这两种期权定价模型。
1. 布莱克-斯科尔斯模型布莱克-斯科尔斯模型，是由弗兰克-布莱克和梅伦-斯科尔斯在1973年提出的一种期权定价模型。
这个模型的核心思想是将期权看作是一种债券和股票组成的投资组合，通过对这个投资组合的定价，来推导出期权的价格。
布莱克-斯科尔斯模型的核心公式如下：C = SN(d1) - Xe^(-rt)N(d2)P = Xe^(-rt)N(-d2) - SN(-d1)其中，C表示看涨期权的价格，P表示看跌期权的价格；S表示标的资产的价格，X表示行权价格；N()表示标准正态分布函数的值，其中d1和d2分别表示如下：d1 = [ln(S/X) + (r + σ^2/2)t] / σ√td2 = d1 - σ√t这个模型中，需要考虑的参数有标的资产的价格S、行权价格X、波动率σ、存续期t、无风险利率r。
其中，波动率是最重要的参数，它的大小决定了标的资产的风险水平，因此，布莱克-斯科尔斯模型中的波动率是需要通过历史数据或者其他方法进行计算和估算的。
2. 考克斯-鲁宾斯坦模型考克斯-鲁宾斯坦模型，是由约翰-考克斯和斯蒂芬-鲁宾斯坦在1979年提出的一种期权定价模型。
这个模型的最大特点是引入了离散时间的概念，将连续时间的布莱克-斯科尔斯模型离散化，以适应实际的市场需求。
期权定价模型
二、期权价值评估的方法（一）期权估价原理1、复制原理基本思想复制原理的基本思想是：构造一个股票和贷款的适当组合，使得无论股价如何变动投资组合的损益都与期权相同，那么创建该投资组合的成本就是期权的价值。
基本公式每份期权价格（买价）＝借钱买若干股股票的投资支出＝购买股票支出－借款额计算步骤（1）确定可能的到期日股票价格Su和Sd上行股价Su=股票现价S×上行乘数u下行股价Sd=股票现价S×下行乘数d（2）根据执行价格计算确定到期日期权价值Cu和Cd：股价上行时期权到期日价值Cu=上行股价-执行价格股价下行时期权到期日价值Cd=0（3）计算套期保值率：套期保值比率H=期权价值变化/股价变化=(CU-Cd)/(SU-Sd)（4）计算投资组合的成本（期权价值）=购买股票支出-借款数额购买股票支出=套期保值率×股票现价＝H×S0借款数额=价格下行时股票收入的现值＝（到期日下行股价×套期保值率）/（1+r）= H×Sd/（1+r）2、风险中性原理基本思想假设投资者对待风险的态度是中性的，所有证券的预期收益率都应当是无风险利率；假设股票不派发红利，股票价格的上升百分比就是股票投资的收益率。
因此：期望报酬率（无风险收益率）＝（上行概率×股价上升时股价变动百分比）+（下行概率×股价下降时股价变动百分比）＝p×股价上升时股价变动百分比+（1-p）×股价下降时股价变动百分比计算步骤（1）确定可能的到期日股票价格Su和Sd（同复制原理）（2）根据执行价格计算确定到期日期权价值Cu和Cd（同复制原理）（3）计算上行概率和下行概率期望报酬率＝（上行概率×股价上升百分比）+（下行概率×股价下降百分比）（4）计算期权价值期权价值＝(上行概率×Cu+下行概率×Cd)/（1+r）（二）二叉树期权定价模型1、单期二叉树定价模型基本原理风险中性原理的应用计算公式（1）教材公式期权价格＝U=股价上行乘数＝1＋股价上升百分比d=股价下行乘数＝1－股价下降百分比（2）理解公式：（与风险中性原理完全一样）2、两期二叉树模型基本原理把到期时间分成两期，由单期模型向两期模型的扩展，实际上就是单期模型的两次应用。
布莱克斯克尔斯期权定价模型
2
当时，该模型是为了解决金融衍生品，特别是期 权定价的问题而建立的。
3
金融衍生品是一种金融合约，其价值取决于其他 金融资产或指标。
模型发展历程
布莱克斯克尔斯模型的发展得益于许多重要的突破，其 中包括
无套利原则：模型利用无套利原则，这意味着在市场上 不能通过买卖资产来赚取无风险利润。
欧式期权定价：该模型适用于欧式期权，即只能在到期 日行使的期权。
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研究前景展望
随着金融市场的不断发展和全球化进程的加速，布莱克斯克尔斯期权定价模型的应用前景将更加广泛 。例如，在跨境资本流动、国际金融市场分析以及企业风险管理等领域，布莱克斯克尔斯模型都有着 广泛的应用前景。
随着金融创新和科技进步的不断推进，未来的研究也可以探索将布莱克斯克尔斯模型与其他金融理论 和模型相结合，以得到更加全面和准确的金融市场分析和风险管理方法。例如，可以将布莱克斯克尔 斯模型与风险管理、投资组合优化等理论相结合，以得到更加全面和实用的金融解决方案。
与随机波动率模型的比较
总结词
考虑了波动率随机性，但模型更加复杂。
详细描述
相比于随机波动率模型，布莱克斯克尔斯模型能够更好地刻画波动率的随机性和 自相关性，从而更准确地预测金融衍生品价格的变动。但是，这也使得模型的数 学表达式更加复杂，需要更多的计算资源和更精细的数值计算技术。
与跳跃扩散模型的比较
总结词
考虑了价格跳跃，但跳跃参数难以确定。
详细描述
跳跃扩散模型相比于布莱克斯克尔斯模型，能够更好地刻画金融衍生品价格的 跳跃行为，从而更准确地预测价格变动。但是，跳跃扩散模型的参数更加难以 确定，需要更多的历史数据和更精细的统计方法。
06
中期货交易中的期权定价模型
中期货交易中的期权定价模型在中期货交易中，期权的定价模型扮演着非常重要的角色。
期货市场的参与者经常使用期权定价模型来评估和确定期权的价格，从而进行相应的交易策略。
本文将介绍几种常见的期权定价模型，并探讨它们在中期货交易中的应用。
一、期权定价模型的背景期权定价模型是根据一定的假设和理论基础，通过数学方法计算期权的公平价格。
这些模型通常基于期权的风险中性假设，即市场参与者不考虑市场波动和利率变化的因素，只以期权的预期回报率为依据来确定价格。
二、Black-Scholes模型Black-Scholes模型是最经典的期权定价模型之一。
它由费希尔·布莱克和默顿·斯科尔斯在1973年提出，并获取了诺贝尔经济学奖。
该模型假设市场无摩擦、无交易成本，并根据风险中性定价原则进行期权定价计算。
Black-Scholes模型的应用非常广泛，尤其适用于欧式期权定价。
三、Binomial模型Binomial模型是另一种常见的期权定价模型。
该模型将期权价格建模为一组离散的步骤，并通过迭代计算出期权的公平价格。
这种模型对于欧式和美式期权的定价特别有效，并且可以方便地进行期权价格的敏感性分析。
然而，Binomial模型的计算复杂度较高，对于更复杂的期权结构可能不适用。
四、风险中立法定价方法除了Black-Scholes和Binomial模型，还存在其他基于风险中立法的定价方法。
这些方法通过假设市场参与者对风险中性的态度，计算出期权的价格。
常见的风险中立法定价方法包括风险中立折现法和蒙特卡洛模拟法。
这些方法在一些特定情况下，例如存在分红或借贷成本时，可能会更加适用。
五、期权定价模型的应用期权定价模型在中期货交易中具有广泛的应用。
首先，期权定价模型可以帮助交易者评估期权的公平价格，并确定是否存在低估或高估的机会。
其次，期权定价模型还可以用于制定交易策略，例如选择合适的期权合约和执行时间。
最后，期权定价模型还可以用于风险管理，通过计算期权价格的敏感性，帮助交易者评估不同风险因素对期权价格的影响。
Meton期权模型、外汇期权与期货期权
2
❖ 在离散的情形下，模型构建无风险组合
f (f )s s
组合价值的变动可以表示为
D?
-(抖 抖 ft+1 2
2f s2
s2s2)Dt
3
D? - Df +¶f Ds ¶s
(f t
fss122s2f
2s2)tf sw
s
f (stsw)
s
(f t
122s2f
2s2)t
4
• 现在由于有了股息，则在Δt的时间内组合的价值 变动包括两项：
▪ 期货买权价值C(F,t)的随机过程由ITO引理表示为
d c ( c t F cF 1 2 F 2 c 2 2 F 2 )d t F cF d w
14
❖ 构造无风险组合
? -c+dF=-c+(¶c)F=-c ¶F
因为在期初买进期货并不支付任何成本！
在时间变动dt下，组合的价值的变化包括两个部 分：买权价值变动、持有期货的价值变化
Merton模型得到的结果是一样的。
9
8.2 外汇期权模型
❖ 1983，Garman和Kohlhagen推导出来，该 模型也可以由Merton模型的转换求得，假设
汇率 SS(rmb/$)
设定欧式外汇买权，行权时卖方付出S单位的RMB 收到1单位的$（美元是买权的标的物）。
CC(S，t)
看涨期权的卖方则要准备美元让买方行权，注意 美元此期间有利息收益。
1、股息：
Q = q(¶f )SDt ¶s
2、资本利得 D ? 兆 r譊 t=-(抖 抖 ft+1 22 s2 fs2s2)Dt
这样组合总价值的变化为
D ?* D ?＋ Q =(抖 抖 ft+ 1 22 s 2 fs2 s 2 - q (? ? fs)S )D t
❖ 在离散的情形下，模型构建无风险组合
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组合价值的变动可以表示为
D?
-(抖 抖 ft+1 2
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3
D? - Df +¶f Ds ¶s
(f t
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(f t
122s2f
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4
• 现在由于有了股息，则在Δt的时间内组合的价值 变动包括两项：
▪ 期货买权价值C(F,t)的随机过程由ITO引理表示为
d c ( c t F cF 1 2 F 2 c 2 2 F 2 )d t F cF d w
14
❖ 构造无风险组合
? -c+dF=-c+(¶c)F=-c ¶F
因为在期初买进期货并不支付任何成本！
在时间变动dt下，组合的价值的变化包括两个部 分：买权价值变动、持有期货的价值变化
Merton模型得到的结果是一样的。
9
8.2 外汇期权模型
❖ 1983，Garman和Kohlhagen推导出来，该 模型也可以由Merton模型的转换求得，假设
汇率 SS(rmb/$)
设定欧式外汇买权，行权时卖方付出S单位的RMB 收到1单位的$（美元是买权的标的物）。
CC(S，t)
看涨期权的卖方则要准备美元让买方行权，注意 美元此期间有利息收益。
1、股息：
Q = q(¶f )SDt ¶s
2、资本利得 D ? 兆 r譊 t=-(抖 抖 ft+1 22 s2 fs2s2)Dt
这样组合总价值的变化为
D ?* D ?＋ Q =(抖 抖 ft+ 1 22 s 2 fs2 s 2 - q (? ? fs)S )D t
金融衍生品学中的期权定价模型分析
金融衍生品学中的期权定价模型分析1. 引言金融衍生品是一种基于金融资产的衍生工具，其中期权是最常见的一种。
期权是一种购买或出售标的资产的权利，而非义务。
在金融衍生品学中，期权定价模型是评估期权价格的重要工具。
本文将对期权定价模型进行深入分析。
2. 期权定价理论期权定价理论是通过建立数学模型来计算期权价格的理论框架。
其中最著名的模型是布莱克-斯科尔斯期权定价模型（Black-Scholes Option Pricing Model）。
该模型基于一些假设，如市场无摩擦、无套利机会等，通过对期权价格的随机波动性进行建模，计算出期权的理论价格。
3. 布莱克-斯科尔斯期权定价模型布莱克-斯科尔斯期权定价模型是一种基于随机过程的数学模型，用于计算欧式期权的价格。
它的核心思想是将期权价格与标的资产价格、行权价格、无风险利率、期权到期时间和标的资产价格波动率等因素联系起来。
通过对这些因素的定量分析，可以计算出期权的理论价格。
4. 期权定价模型的应用期权定价模型在金融市场中有广泛的应用。
首先，它可以用于评估期权的合理价格，帮助投资者做出决策。
其次，它可以用于套利交易的策略设计。
通过对期权价格的预测，投资者可以利用价格差异来进行套利交易，从而获得利润。
此外，期权定价模型还可以用于风险管理，帮助投资者对期权的价格波动进行预测和控制。
5. 期权定价模型的局限性尽管期权定价模型在金融市场中有广泛的应用，但它也存在一些局限性。
首先，该模型基于一系列假设，如市场无摩擦、无套利机会等，这些假设在现实市场中并不总是成立。
其次，该模型对标的资产价格波动率的估计非常敏感，对波动率的估计误差会导致期权价格的误差。
此外，该模型只适用于欧式期权，对于其他类型的期权，如美式期权，需要使用其他的定价模型。
6. 其他期权定价模型除了布莱克-斯科尔斯期权定价模型之外，还存在其他的期权定价模型。
例如，考虑了股息支付的期权定价模型（Dividend-adjusted Option Pricing Model）、考虑了波动率的随机性的期权定价模型（Stochastic Volatility Option Pricing Model）等。
布莱克-舒尔斯期权定价模型
第三节 期权定价中的希腊字母 第四节 B-S公式的实证研究和应用
第二节 布莱克-舒尔斯期权定价模型
一、布莱克-舒尔斯微分方程
假设： ❖ 证券价格遵循几何布朗运动，即 和 为常数 ❖ 允许卖空标的证券 ❖ 没有交易费用和税收，所有证券都是完全可分的 ❖ 在衍生证券有效期内标的证券没有现金收益支付 ❖ 不存在无风险套利机会 ❖ 证券交易是连续的，价格变动也是连续的 ❖ 在衍生证券有效期内，无风险利率r为常数
❖ 假设：在对衍生证券定价时，所有投资者都是风险中性的。
❖ 风险中性定价的一般程序：
所有资产的预期收益率都等于无风险利率 确定衍生工具的边界条件，计算到期日的期望值 把期望值按无风险利率贴现
第二节 布莱克-舒尔斯期权定价模型
一、布莱克-舒尔斯微分方程 风险中性定价原理在远期合约定价中的应用：
S
(m, s) 表示均值为m ，标准差为s的正态分布
第一节 证券价格的变化过程
四、证券价格的变化过程
对几何布朗运动的理解：
❖
但是，在一个较长的时间T后，
S S
不再具有正态分
布的性质：这是百分比多期收益率的乘积问题。
❖ 因此，尽管 t 是短期内股票价格百分比收益率 的标准差，但是在任意时间长度T后，这个收益率 的标准差却不再是 T 。
❖ 在任意时间长度T后，x值的变化也具有正态分布特 征，其均值为aT，方差为 b2T ，标准差b T 。
❖ 标准布朗运动的漂移率a为0，方差率为1。
第一节 证券价格的变化过程
三、伊藤过程 伊藤过程 ( Ito Process )
❖ 假设变量x的漂移率和方差率是变量x和时间t的函数
dx adt bdz
率进行贴现后的现值，即：
第二节 布莱克-舒尔斯期权定价模型
一、布莱克-舒尔斯微分方程
假设： ❖ 证券价格遵循几何布朗运动，即 和 为常数 ❖ 允许卖空标的证券 ❖ 没有交易费用和税收，所有证券都是完全可分的 ❖ 在衍生证券有效期内标的证券没有现金收益支付 ❖ 不存在无风险套利机会 ❖ 证券交易是连续的，价格变动也是连续的 ❖ 在衍生证券有效期内，无风险利率r为常数
❖ 假设：在对衍生证券定价时，所有投资者都是风险中性的。
❖ 风险中性定价的一般程序：
所有资产的预期收益率都等于无风险利率 确定衍生工具的边界条件，计算到期日的期望值 把期望值按无风险利率贴现
第二节 布莱克-舒尔斯期权定价模型
一、布莱克-舒尔斯微分方程 风险中性定价原理在远期合约定价中的应用：
S
(m, s) 表示均值为m ，标准差为s的正态分布
第一节 证券价格的变化过程
四、证券价格的变化过程
对几何布朗运动的理解：
❖
但是，在一个较长的时间T后，
S S
不再具有正态分
布的性质：这是百分比多期收益率的乘积问题。
❖ 因此，尽管 t 是短期内股票价格百分比收益率 的标准差，但是在任意时间长度T后，这个收益率 的标准差却不再是 T 。
❖ 在任意时间长度T后，x值的变化也具有正态分布特 征，其均值为aT，方差为 b2T ，标准差b T 。
❖ 标准布朗运动的漂移率a为0，方差率为1。
第一节 证券价格的变化过程
三、伊藤过程 伊藤过程 ( Ito Process )
❖ 假设变量x的漂移率和方差率是变量x和时间t的函数
dx adt bdz
率进行贴现后的现值，即：
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2. 相关概念 执行期权：通过期权合约购进或售出相应资产的行为。 执行期权：通过期权合约购进或售出相应资产的行为。 执行价格（敲定价格）： ）：持有人据以购进或售出相应资产的期 执行价格（敲定价格）：持有人据以购进或售出相应资产的期 权合约之固定价格。 权合约之固定价格。 到期日：期权到期的那一天。在那一天之后，期权失效。 到期日：期权到期的那一天。在那一天之后，期权失效。 美式期权：可以在到期日或到期日之前的任何时间执行。 美式期权：可以在到期日或到期日之前的任何时间执行。 欧式期权：只能在到期日执行。 欧式期权：只能在到期日执行。 看涨期权（购进）： ）：赋予持有人在一个特定的时期以某一特定 看涨期权（购进）：赋予持有人在一个特定的时期以某一特定 价格购进一种资产的权利。 价格购进一种资产的权利。 看跌期权（售出）： ）：赋予持有人在一个特定的时期以某一特定 看跌期权（售出）：赋予持有人在一个特定的时期以某一特定 价格售出一种资产的权利。 价格售出一种资产的权利。
通过运算，在资产价格遵循对数正态分布情况下， 通过运算，在资产价格遵循对数正态分布情况下，可以得到以下的计算 公式： 公式：
C = E(CT)e = ST N(d1) − Xe N(d2)
其中：C—期权初始合理价格 ，r—连续复利下的无风险利率，t—有效期 连续复利下的无风险利率， 有效期 其中： 期权初始合理价格 连续复利下的无风险利率
d 2 = [ln(
) − ( r + σ2 ) t ] /σ t X 2
T
=[ln(50/49)+(0.07+0.5*0.09)*199/365]/(0.3* 199 / 365 ) =0.3742
d 1 = [ln(
=0.1527 步骤二：计算N（ ） 的正态分布值。 步骤二：计算 （d1）和N（d2）即d1和d2的正态分布值。由经济学 （ ） 和 的正态分布值 知识知此时为标准正态分布，可通过查正态分布表得到各值所以结果为： 知识知此时为标准正态分布，可通过查正态分布表得到各值所以结果为： N(d1)=N(0.3742)=0.6459 N(d2)=N(0.1527)=0.5607
在上述假设条件下， 推导出了看涨期权的定价模型， 在上述假设条件下，Black和Scholes推导出了看涨期权的定价模型，以股票 和 推导出了看涨期权的定价模型 为基础资产。对看涨期权而言，其在到期日的价值为： 为基础资产。对看涨期权而言，其在到期日的价值为：
其中， 代表对应资产到期日的价格， 代表期权的交割价格 由上式， 代表期权的交割价格。 其中，ST代表对应资产到期日的价格，X代表期权的交割价格。由上式，在分段 区间上计算数学期望如下： 区间上计算数学期望如下：
4.假定 假定Delta运输公司股票在今天算起的一年后到期只存在两种状态。每股 美元 运输公司股票在今天算起的一年后到期只存在两种状态。 假定 运输公司股票在今天算起的一年后到期只存在两种状态 每股60美元 或50美元。今天它的股票每股55美元交易。看涨期权的执行价格50美元。你能以 美元。今天它的股票每股 美元交易。看涨期权的执行价格 美元。 美元 美元交易 美元 9%的利率借贷。你愿意为此看涨期权支付的款额是多少？解：由题意可知，股票 的利率借贷。 由题意可知， 的利率借贷 你愿意为此看涨期权支付的款额是多少？ 价格为55美元 执行价格为50美元 无风险利率为9%，到期日为1年 美元， 美元， 价格为 美元，执行价格为 美元，无风险利率为 ，到期日为 年，假设 Delta运输公司的方差估计为 运输公司的方差估计为0.09，由此可知模型中的五个参数分别为： 运输公司的方差估计为 ，由此可知模型中的五个参数分别为： S=55 X=50 r=0.09 t=1 σ=0.3 利用上述五个参数，分三步来计算Delta公司期权的 利用上述五个参数，分三步来计算 公司期权的Black-Scholes值。 值 公司期权的 步骤一：计算d 将参数直接代入基本公式来确定这两个值，计算如下： 步骤一：计算 1 和d2 。将参数直接代入基本公式来确定这两个值，计算如下：
利用上述五个参数，我们分三个步骤计算 公司期权的 公司期权的Bkack利用上述五个参数，我们分三个步骤计算PE公司期权的 Scholes值。 值 步骤一：计算d1和 。我们将参数直接代入基本公式来确定这两个值。 步骤一：计算 和d2。我们将参数直接代入基本公式来确定这两个值。 我们有如下计算： 我们有如下计算： S 1
−rt
−rt
1 2 ST d1 = [ln( ) + (r + σ ) t ] /σ t 2 X
ST 1 2 d 2 = [ln( ) − (r + σ ) t ] /σ t X 2
3.案例应用 3.案例应用
公司的4月份到期 在2000年10月4日，PE公司的 月份到期、执行价为 美元的看涨期 年 月 日 公司的 月份到期、执行价为49美元的看涨期 权的收盘价值是4美元 股票本身按50 美元出售。 美元。 权的收盘价值是 美元。股票本身按 美元出售。在10月4日，该期权还 月 日 有199天到期（到期日是2001年4月21日）。无风险利率，按连续复利计 天到期（到期日是 年 月 日）。无风险利率， 天到期 无风险利率 算，是7%。对于方差的计算，要涉及到未来的情况，所以必须根据以往 。对于方差的计算，要涉及到未来的情况， 的情况来估计方差，无法找到方差的正确值。给定PE公司的方差估计为 的情况来估计方差，无法找到方差的正确值。给定 公司的方差估计为 0.09（σ=0.3）。 （ ）。 由上述可得： 由上述可得： 股票价格S 美元。 股票价格 T是50美元。 美元 执行价格X是 美元 美元。 执行价格 是49美元。 无风险利率r是 无风险利率 是0.07。 。 到期日t为199天，将其转化为以年为单位199/365。 到期日 为 天 将其转化为以年为单位 。 方差估计σ为 方差估计 为0.09。 。
ST 1 ) + ( r + σ2 ) t ] /σ t 2 X
步骤三：计算 。由公式计算如下： 步骤三：计算C。由公式计算如下：
C = E(CT )e−rt = ST N(d1) − Xe−rt N(d2 )
=50美元 美元*0.6459-49美元 美元*0.9626*0.5607 美元 美元 =5.85美元 美元 估计价格5.85美元大于 美元，这意味着看涨期权定价偏低。相信 美元大于4美元 这意味着看涨期权定价偏低。相信Black估计价格 美元大于 美元， Scholes模型的交易者会购买看涨期权。 模型的交易者会购买看涨期权。 模型的交易者会购买看涨期权
期权模型
信息管理 10120723 柴海鹏
主要内容： 主要内容：
1.背景知识 1.背景知识 2.模型介绍 2.模型介绍 3.案例应用 3.案例应用 4.模型实验 4.模型实验 5.思考题 5.思考题
1.背景知识 1.背景知识
1. 期权定义 期权（ 期权（option）是一种选择权，期权交易实质上是一种权利的买 ）是一种选择权， 期权的买方在向卖方支付一定数额的货币后， 卖。期权的买方在向卖方支付一定数额的货币后，即拥有在一定的时 间内以一定价格向对方购买或出售一定数量的某种商品或有价证券的 权利，而不负必须买进或卖出的义务。 权利，而不负必须买进或卖出的义务。
2.模型介绍 2.模型介绍
下面我们首先介绍Black-Scholes模型的基本假设： 模型的基本假设： 下面我们首先介绍 模型的基本假设 (1) 没有交易费用和税负 没有交易费用和税负; (2) 无风险利率是常数 无风险利率是常数; (3) 市场连续运作 市场连续运作; (4) 股价是连续的，即不存在股价跳空 股价是连续的，即不存在股价跳空; (5) 股票不派发现金股息 股票不派发现金股息; (6) 期权为欧式期权 期权为欧式期权; (7) 股票可以卖空且不受惩罚，而且卖空者得到交易中的全部利益 股票可以卖空且不受惩罚，而且卖空者得到交易中的全部利益; (8) 市场不存在无风险套利机会。 市场不存在无风险套利机会。
4.模型实验 模型实验
5.思考题 思考题
1.什么是期权？ 什么是期权？ 什么是期权 期权（ 期权（option）是一种选择权，期权交易实质上是一种权利的买卖。 ）是一种选择权，期权交易实质上是一种权利的买卖。 期权的买方在向卖方支付一定数额的货币后， 期权的买方在向卖方支付一定数额的货币后，即拥有在一定的时间内以一 定价格向对方购买或出售一定数量的某种商品或有价证券的权利， 定价格向对方购买或出售一定数量的某种商品或有价证券的权利，而不负 必须买进或卖出的义务。 必须买进或卖出的义务。 2.什么是看涨期权？ 什么是看涨期权？ 什么是看涨期权 答：看涨期权是赋予持有人在一个特定的时期以某一特定价格购进一种 资产的权利。 资产的权利。 3.看涨期权的价格是如何与表的股票的到期日价格联系起来的？ 看涨期权的价格是如何与表的股票的到期日价格联系起来的？ 看涨期权的价格是如何与表的股票的到期日价格联系起来的 票看涨期权的价值取决于到期日标的股票的价值。 答：股 票看涨期权的价值取决于到期日标的股票的价值。如果到期 日的股票价格价高于执行价格，那么看涨期权处于实值， 日的股票价格价高于执行价格，那么看涨期权处于实值，持有者会执行期 获得收益；如果到期日的股票价格低于执行价格， 权，获得收益；如果到期日的股票价格低于执行价格，那么看涨期权处于 虚值，持有者不会执行期权，此时看涨期权的价值就是0。 虚值，持有者不会执行期权，此时看涨期权的价值就是 。
The End
Thank
You!
Hale Waihona Puke d 1 = [ln( ST 1 ) + ( r + σ 2 ) t ] /σ t = 0 . 7667 X 2
ST 1 ) − ( r + σ2 ) t ] /σ t = 0 . 4667 X 2 步骤二：计算d1 的正态分布值。 步骤二：计算 和d2 的正态分布值。 步骤三：计算C值 步骤三：计算 值，由公式 C = E (CT )e − rt = ST N (d1 ) − Xe − rt N (d 2 ) 得 C=11.77 所以我愿意为此看涨期权支付的价格为11.77美元。 美元。 所以我愿意为此看涨期权支付的价格为 美元 d 2 = [ln(