2020届湖南师范大学附属中学高三上学期第五次月考数学(理)试题(解析版)

湖南师大附中2020届高三月考试卷（三）数学（理科）时量：120分钟 满分：150分一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合11,32A ⎧⎫=-⎨⎬⎩⎭，{}|10B x ax =+=，且B A ⊆，则a 的可能取值组成的集合为（ ） A. {}3,2- B. {}3,0,2- C. {}3,2-D. {}3,0,2-2. 已知复数11z i =+，命题p ：复数z 的虚部为12，命题q ：复数z 的模为1.下列命题为真命题的是（ ） A. p q ∨ B. ()p q ∧⌝ C. p q ∧D. ()()p q ⌝∧⌝3. 若向量a r 与b r 满足()a b a +⊥r r r ，且1a =r ，2b =r，则向量a r 在b r 方向上的投影为（ ）A.B. 12-C. -1D.34. 公元前5世纪，古希腊哲学家芝诺发表了著名的阿基里斯悖论：他提出让乌龟在阿基里斯前面1000米处开始，和阿基里斯赛跑，并且假定阿基里斯的速度是乌龟的10倍.当比赛开始后，若阿基里斯跑了1000米，此时乌龟便领先他100米；当阿基里斯跑完下一个100米时，乌龟仍然前于他10米.当阿基里斯跑完下一个10米时，乌龟仍然前于他1米……，所以，阿基里斯永远追不上乌龟，按照这样的规律，若阿基里斯和乌龟的距离恰好为310-米时，乌龟爬行的总距离为（ ）A. 510190-米B. 61019000-米C. 6109900-米D. 5109900-米5. 已知定义在R 上的函数()21x mf x -=-（m 为实数）为偶函数，记()0.5log 3a f =，()2log 5b f =，()2c f m =+，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A. a b c <<B. a c b <<C. c a b <<D. c b a <<6. 设p ：()0,x ∀∈+∞，210x ax -+≥，则使p 为真命题的一个充分非必要条件是（ ） A. 1a ≤B. 2a ≤C. 3a ≤D. 2a >7. 已知α，β是两个不同的平面，l 是一条直线，给出下列说法：①若l α⊥，αβ⊥，则//l β；②若//l α，//αβ，则//l β；③若l α⊥，//αβ，则l β⊥； ④若//l α，αβ⊥，则l β⊥.其中说法正确的个数为（ ） A. 3B. 2C. 1D. 08. 若5个人各写一张卡片（每张卡片的形状、大小均相同），现将这5张卡片放入一个不透明的箱子里，并搅拌均匀，再让这5人在箱子里各摸一张，恰有1人摸到自己写的卡片的方法数有（ ） A. 20B. 90C. 15D. 459. 设双曲线的右顶点为A ，右焦点为F ，B 为双曲线在第二象限上的点，直线BO 交双曲线于C 点，若直线AC 平分线段BF 于M ，则双曲线的离心率是（ ） A.12B. 2C.13D. 310. 已知函数()222,17,1x ax x a x x x f ⎧-+≤=⎨->⎩，若存在12,x x R ∈，且12x x ≠，使()()12f x f x =，则实数a 的取值范围是（ ） A. 3a < B. 23a -<< C. 22a -≤≤D. 2a <1l. 将函数()()[]()sin 20,0,2f x x ωϕωϕπ=+>∈图象上每点的横坐标变为原来的2倍，得到函数()g x ，函数()g x 的部分图象如图所示，且()g x 在[]0,2π上恰有一个最大值和一个最小值（其中最大值为1，最小值为-1），则ω的取值范围是（ ） A. 713,1212⎛⎤⎥⎝⎦B. 713,1212⎡⎫⎪⎢⎣⎭C. 1117,1212⎡⎫⎪⎢⎣⎭D. 1117,1212⎛⎤⎥⎝⎦12. 已知球O 是三棱锥P ABC -的外接球，1PA AB PB AC ====，2CP =D 是PB 的中点，且2CD =，则球O 的表面积为（ ）A.73π B.76π C.27D.54二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 13. 已知1cos 33πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则sin 26πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭______. 14. 湖南师大附中第33届体育节高二年级各班之间进行篮球比赛，某班计划从甲、乙两人中挑选服务人员，已知甲可能在16:00—17:00到达篮球场地，乙可能在16:30—17:00到达，若规定谁先到达就安排谁参加服务工作，则甲参加服务工作的概率是______.15. 过抛物线()220y px p =>的焦点F 作两条相互垂直的射线，分别与抛物线相交于点M ，N ，过弦MN 的中点P 作抛物线准线的垂线PQ ，垂足为Q ，则PQMN的最大值为______. 16. 对于数列{}n a ，定义11222n nn a a a A n -+++=L 为数列{}n a 的“好数”，已知某数列{}n a 的“好数”12n n A +=，记数列{}n a kn -的前n 项和为n S ，若7n S S ≤对任意的*n N ∈恒成立，则实数k 的取值范围是______.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22，23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分.17. 在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且222cos cos sin sin sin C B A A C -=-. （1）求角B 的值；（2）若BC 边上的高AH 满足12AH BC =，求22b cc b+的取值范围. 18. 如图所示的多面体ABCDEF 中，四边形ABCD 是边长为2的正方形，//ED FB ，12DE BF =，AB FB =，FB ⊥平面ABCD .（1）设BD 与AC 的交点为O ，求证：OE ⊥平面ACF ； （2）求二面角E AF C --的正弦值.19. 已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的离心率5e =1F ，2F ，过右焦点2F 任作一条直线l ，记l 与椭圆的两交点为A ，B ，已知1F AB ∆的周长为定值（1）求椭圆C 的方程；（2）记点B 关于x 轴的对称点为'B ，直线'AB 交x 轴于点D ，求ABD ∆面积的取值范围.20. 某个地区计划在某水库建一座至多安装3台发电机的水电站，过去50年的水文资料显示，水的年入流量X （年入流量：一年内上游来水与库区降水之和，单位：十亿立方米）都在4以上，其中，不足8的年份有10年，不低于8且不超过12的年份有35年，超过12的年份有5年，将年入流量在以上三段的频率作为相应段的概率，并假设各年的年入流量相互独立. （1）求未来4年中，至多有1年的年入流量超过12的概率；（2）若水的年入流量X 与其蕴含的能量y （单位：百亿万焦）之间的部分对应数据为如下表所示：用最小二乘法求出y 关于X 的线性回归方程$$y bXa =+$；（回归方程系数用分数表示） （3）水电站希望安装的发电机尽可能运行，但每年发电机最多可运行台数受年入流量X 限制，并有如下关系：若某台发电机运行，则该台年利润为5000万元；若某台发电机未运行，则该台年亏损800万元，欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机多少台？。

湖南省湖南师范大学附属中学2020届高三数学上学期月考试题（五）文（含解析）本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共8页。

时量120分钟。

满分150分。

第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．在复平面内，复数6－5i ，－2＋3i 对应的点分别为A 、B ，若C 为线段AB 的中点，则点C 对应的复数是(C)A ．4＋8iB ．8＋2iC ．2－iD ．4＋i【解析】复数6－5i 对应的点为A (6，－5)，复数－2＋3i 对应的点为B (－2，3)．利用中点坐标公式得线段AB 的中点C (2，－1)，故点C 对应的复数为2－i ，选C.2．设命题p ：－6≤m ≤6，命题q ：函数f (x )＝x 2＋mx ＋9(m ∈R )没有零点，则p 是q 的(B)A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【解析】函数f (x )＝x 2＋mx ＋9(m ∈R )没有零点，则Δ＝m 2－36<0，即－6<m <6，显然，q 可以推出p ，而p 不能推出q ，故选B.3．点P (a ，3)到直线4x －3y ＋1＝0的距离等于4，且在2x ＋y －3<0表示的平面区域内，则a 的值为(C)A ．3B ．7C ．－3D ．－7【解析】由题意⎩⎪⎨⎪⎧|4a －3×3＋1|5＝4，2a ＋3－3<0，解得a ＝－3.选C.4．已知函数f (x )是偶函数，当x >0时，f (x )＝x 13，则在(－2，0)上，下列函数中与f (x )的单调性相同的是(C)A ．y ＝－x 2＋1B ．y ＝|x ＋1|C ．y ＝e |x |D ．y ＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －1，x ≥0x 3＋1，x <0【解析】由已知得f (x )在(－2，0)上单调递减，所以答案为C.5．如图所示是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为(D) A ．57＋24π B ．57＋15π C ．48＋15π D ．48＋24π【解析】本题为圆锥与直四棱柱的组合体．注意表面积分为三部分，圆锥侧面展开图，即扇形面积5×6π2＝15π；圆锥底面圆，S ＝πr 2＝9π；直四棱柱侧面积，3×4×4＝48，总面积为48＋24π.6．已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的两条渐近线均与圆C ：x 2＋y 2－6x ＋5＝0相切，则该双曲线离心率等于(A)A.355 B.62C.32D.55【解析】圆C ：x 2＋y 2－6x ＋5＝0圆心为C (3，0)，半径为2，由已知C 到直线y ＝bax 的距离为2，可得9a 2＝5c 2，可得e ＝355.故选A.7．将参加夏令营的400名学生编号为：001，002，…，400，采用系统抽样的方法抽取一个容量为40的样本，且随机抽得的号码为003，这400名学生分住在三个营区，从001到180在第一营区，从181到295在第二营区，从296到400在第三营区，三个营区被抽中的人数分别为(A)A ．18，12，10B ．20，12，8C ．17，13，10D ．18，11，11【解析】根据系统抽样特点，抽样间隔为40040＝10，被抽到号码l ＝10k ＋3，k ∈N .由题意可知，第一营区可分为18个小组，每组抽取1人，共抽取18人，由第二营区的编号为181到295，可知181≤10k ＋3≤295，k ∈N ，可得18≤k ≤29，因此第二营区应有12人，第三营区有10人，所以三个营区被抽中的人数分别为18，12，10.8．已知△ABC 中，∠A ＝30°，AB 、BC 分别是3＋2，3－2的等差中项与等比中项，则△ABC 的面积等于(D)A.32 B.34 C.32或 3 D.32或34【解析】由条件AB ＝3，BC ＝1，由3sin C ＝1sin 30°，得sin C ＝32.∴C ＝60°或120°，∴B ＝90°或30°，∴S △ABC ＝12AB ·BC ·sin B ＝32sin B ＝32或34.故选D.9．右图中，x 1，x 2，x 3为某次考试三个评阅人对同一道题的独立评分，p 为该题的最终得分，当x 1＝6，x 2＝9，p ＝8.5时，x 3等于(C)A ．11B ．10C ．8D ．7【解析】x 1＝6，x 2＝9，|x 1－x 2|＝3≤2不成立，即为“否”，所以再输入x 3；由绝对值的意义(一个点到另一个点的距离)和不等式|x 3－x 1|<|x 3－x 2|知，点x 3到点x 1的距离小于点x 3到x 2的距离，所以当x 3<7.5时，|x 3－x 1|<|x 3－x 2|成立，即为“是”，此时x 2＝x 3，所以p ＝x 1＋x 32，即6＋x 32＝8.5，解得x 3＝11>7.5，不合题意；当x 3≥7.5时，|x 3－x 1|<|x 3－x 2|不成立，即为“否”，此时x 1＝x 3，所以p ＝x 3＋x 22，即x 3＋92＝8.5，解得x 3＝8>7.5，符合题意，故选C.10．A (a ，1)，B (2，b )，C (4，5)为坐标平面内三点，O 为坐标原点，若OA →与OB →在OC →方向上的投影相同，则a ，b 满足的关系式为(A)A ．4a －5b ＝3B ．5a －4b ＝3C ．4a ＋5b ＝14D ．5a ＋4b ＝14【解析】由OA →与OB →在OC →方向上的投影相同可知：OA →·OC →|OC →|＝OB →·OC →|OC →|4a ＋5＝8＋5b 4a－5b ＝3.故选A.11．已知直线y ＝mx 与函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－⎝ ⎛⎭⎪⎫13x ，x ≤0，12x 2＋1，x >0的图象恰好有3个不同的公共点，则实数m 的取值范围为(B)A ．(3，4)B ．(2，＋∞)C ．(2，5)D ．(3，22)【解析】做出f (x )的图象，可知m ≤0时，直线y ＝mx 与f (x )只有一个交点，不符题意；当m >0时y ＝mx 与y ＝2－⎝ ⎛⎭⎪⎫13x(x ≤0)总有一个交点，故y ＝mx 与y ＝12x 2＋1(x >0)必有两个交点，即方程12x 2＋1＝mx (x >0)必有两不等正实根，即方程x 2－2mx ＋2＝0必有⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝4m 2－8>0x 1＋x 2＝2m >0，x 1x 2＝2>0，解得m ∈(2，＋∞)，选B.12．已知方程x 3＋ax 2＋bx ＋c ＝0的三个实根可分别作为一椭圆、一双曲线、一抛物线的离心率，则a 2＋b 2的取值范围是(D)A ．(5，＋∞)B ．[5，＋∞)C ．[5，＋∞)D ．(5，＋∞)【解析】设f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ，由抛物线的离心率为1，知f (1)＝1＋a ＋b ＋c ＝0故c ＝－1－a －b ，所以f (x )＝(x －1)[x 2＋(1＋a )x ＋a ＋b ＋1]．另外两根分别是一椭圆、一双曲线的离心率，故g (x )＝x 2＋(1＋a )x ＋a ＋b ＋1有两个分别属于(0，1)和(1，＋∞)的零点．故有g (0)>0且g (1)<0，即a ＋b ＋1>0且2a ＋b ＋3<0.运用线性规划知识可求得a 2＋b 2∈(5，＋∞)．故选D.选择题答题卡题 号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答 案CBCCDAADCABD第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第13～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22～23题为选考题，考生根据要求作答．二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，满分20分．请把答案填在答题卷对应题号后的横线上．13．设直线l ：(m －1)x ＋(2m ＋1)y ＋3m ＝0(m ∈R )与圆(x －1)2＋y 2＝8交于A 、B 两点，C 为圆心，且△ABC 面积等于4，则实数m ＝__－12或－72__．【解析】设CA ，CB 的夹角为θ，∴S △ABC ＝12r 2sin θ＝4sin θ＝4，∴θ＝π2，此时圆心C 到直线l 的距离为2，∴|4m －1|（m －1）2＋（2m ＋1）2＝2m ＝－12或m ＝－72.14．已知x >0，y >0，且2x ＋1y＝1，若x ＋2y >m 2＋2m 恒成立，则实数m 的取值范围是__－4<m <2__．【解析】因为(x ＋2y )⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋1y ＝4＋⎝ ⎛⎭⎪⎫4y x＋x y ≥4＋24y x ·x y＝8，所以m 2＋2m <8，解得－4<m <2.15．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝3，过点A 向∠BAD 所在区域等可能任作一条射线AP ，已知事件“射线AP 与线段BC 有公共点”发生的概率为13，则BC 边的长为__3__．【解析】因为P ＝∠BAC ∠BAD ＝13，∠BAD ＝90°，则∠BAC ＝30°，所以BC AB ＝tan 30°＝33.因为AB ＝3，则BC ＝ 3.16．函数y ＝f (x )图象上不同两点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)处的切线的斜率分别是k A ，k B ，规定φ(A ，B )＝|k A －k B ||AB |2叫做曲线y ＝f (x )在点A 、B 之间的“平方弯曲度”．设曲线y ＝ex＋x 上不同两点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，且x 1－x 2＝1，则φ(A ，B )的取值范围是__⎝ ⎛⎥⎤0，2－12__．【解析】y ＝e x ＋x 的导数为y ′＝e x＋1，k A ＝e x 1＋1，k B ＝e x 2＋1，φ(A ，B )＝|k A －k B ||AB |2＝|e x 1－e x 2|（x 1－x 2）2＋（e x 1－e x 2＋x 1－x 2）2＝|e x 1－e x 2|1＋（e x 1－e x 2＋1）2，x 1－x 2＝1，可得x 1＞x 2，e x 1＞e x 2，可令t ＝e x 1－e x 2，可设f (t )＝t 1＋（t ＋1）2，t ＞0，f ′(t )＝1＋（t ＋1）2－2t （t ＋1）（1＋（t ＋1）2）2＝2－t2（1＋（t ＋1）2）2，当0＜t ＜2时，f ′(t )＞0，f (t )递增；当t ＞2时，f ′(t )＜0，f (t )递减．则当t ＝2处f (t )取得极大值，且为最大值21＋（2＋1）2＝2－12.则φ(A ，B )∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，2－12. 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．(本题满分12分)越接近高考学生焦虑程度越强，四个高三学生中大约有一个有焦虑症，经有关机构调查，得出距离高考周数与焦虑程度对应的正常值变化情况如下表：周数x 6 5 4 3 2 1 正常值y556372809099(1)作出散点图：(2)根据上表数据用最小二乘法求出y 关于x 的线性回归方程y ^＝b ^x ＋a ^(精确到0.01)； (3)根据经验，观测值为正常值的0.85～1.06为正常，若1.06～1.12为轻度焦虑，1.12～1.20为中度焦虑，1.20及其以上为重度焦虑，若为中度焦虑及其以上，则要进行心理疏导，若一个学生在距高考第二周时观测值为100，则该学生是否需要进行心理疏导？其中b ^＝错误!错误!＝91，错误!＝错误!－错误!错误!. 【解析】(1)4分(2)x －＝16(6＋5＋4＋3＋2＋1)＝3.5，y －＝16(55＋63＋72＋80＋90＋99)＝76.5，x － y －＝267.75，b ^＝1 452－6×267.7591－6×3.52≈－8.83，a ^＝76.5＋8.83×3.5≈107.41， 所以线性回归方程为y ＝－8.83x ＋107.418分(3)x ＝2时，y ＝－8.83×2＋107.41≈89.74，∵10089.74≈1.11<1.12，为轻度焦虑，故该学生不需要进行心理疏导.12分18．(本题满分12分)如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是矩形，PA ⊥平面ABCD ，PA ＝AD ，AB ＝2AD ，E 是线段PD 上的点，F 是线段AB 上的点，且PE ED ＝BFFA＝λ(λ>0)．(1)证明：EF ∥平面PBC ；(2)是否存在实数λ，使得异面直线EF 与CD 所成角为60°？若存在，试求出λ的值，若不存在，请说明理由．【解析】(1)作EH ∥AD 交PA 于点H ，连接HF ，∵EH ∥AD ，∴PE ED ＝PHHA.1分又∵PE ED ＝BF FA ＝λ，∴PH HA ＝BFFA，∴FH ∥PB .2分又∵EH ∥AD ，FH ∩HE ＝H ， ∴平面EFH ∥平面PBC .4分∵EF 平面EFH ，∴EF ∥平面PBC .6分(2)存在实数λ＝5，使得异面直线EF 与CD 所成角为60°.7分其理由如下：假设存在实数λ，使得异面直线EF 与CD 所成角为60°， ∵AB ∥CD ，∴∠AFE 为异面直线EF 与CD 所成角，∴∠AFE ＝60°.8分 过点E 作EQ ⊥AD 交AD 于点Q ，连接FQ ， ∵PA ＝AD ，AB ＝2AD ， ∴设AD ＝1，又∵PE ED ＝BFFA＝λ，AF ＝DE ＝21＋λ，AQ ＝λ1＋λ，EQ ＝11＋λ，10分 ∵FQ 2＝AF 2＋AQ 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫21＋λ2＋⎝⎛⎭⎪⎫λ1＋λ2＝2＋λ2（1＋λ）2，∵EF 2＝EQ 2＋FQ 2＝2＋λ2（1＋λ）2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫11＋λ2＝3＋λ2（1＋λ）2，∴Rt △FAE 中，cos ∠AFE ＝cos 60°＝AF EF ，∴14＝23＋λ2，∴λ＝ 5.∴存在实数λ＝5，使得异面直线EF 与CD 所成角为60°.12分19．(本题满分12分)在等差数列{}a n 中，a 3＋a 4＋a 5＝84，a 9＝73. (1)求数列{}a n 的通项公式；(2)对任意m ∈N *，将数列{}a n 中落入区间(9m ，92m)内的项的个数记为b m ，求数列{}b m 的前m 项和S m .【解析】(1)因为{}a n 是一个等差数列，a 3＋a 4＋a 5＝84， 所以a 3＋a 4＋a 5＝3a 4＝84，即a 4＝28，设数列{}a n 的公差为d ，则5d ＝a 9－a 4＝73－28＝45，故d ＝9.2分 由a 4＝a 1＋3d ，得28＝a 1＋3×9，即a 1＝1.4分所以a n ＝a 1＋(n －1)d ＝1＋9(n －1)＝9n －8，n ∈N *.6分(2)对m ∈N *，若9m <a n <92m ，则9m ＋8<9n <92m＋8，7分因此9m －1＋89≤n ≤92m －1＋89，8分 故得b m ＝92m －1－9m －1，9分于是S m ＝b 1＋b 2＋…＋b m ＝(9＋93＋…＋92m －1)－(1＋9＋…＋9m －1) ＝9×（1－81m）1－81－1×（1－9m）1－9＝92m ＋1－10×9m＋180.12分20．(本题满分12分)已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点是F 1、F 2，左右顶点是A 1、A 2，离心率是22，过F 2的直线与椭圆交于两点P 、Q (不是左、右顶点)，且△F 1PQ 的周长是42，直线A 1P 与A 2Q 交于点M .(1)求椭圆的方程；(2)(ⅰ)求证直线A 1P 与A 2Q 交点M 在一条定直线l 上；(ⅱ)N 是定直线l 上的一点，且PN 平行于x 轴，证明：|PF 2||PN |是定值．【解析】(1)设椭圆的焦距是2c ，据题意有：⎩⎪⎨⎪⎧ca ＝22，4a ＝42a ＝2，c ＝1，则b ＝1，所以椭圆的方程是x 22＋y 2＝1.3分(2)(ⅰ)由(1)知A 1(－2，0)，A 2(2，0)，F 2(1，0)，设直线PQ 的方程是x ＝my ＋1，代入椭圆方程得：(m 2＋2)y 2＋2my －1＝0，易知Δ＝4m 2＋4(m 2＋2)＝8m 2＋8>0，设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，y 1>y 2，则⎩⎪⎨⎪⎧y 1＋y 2＝－2mm 2＋2，y 1y 2＝－1m 2＋2y 2－y 1＝－（y 1＋y 2）2－4y 1y 2＝－22m 2＋2m 2＋2，5分直线A 1P 的方程是：y ＝y 1x 1＋2(x ＋2) ①，直线A 2Q 的方程是：y ＝y 2x 2－2(x －2) ②，7分设M (x ，y )，既满足①也满足②，则x ＝2·x 2y 1＋x 1y 2＋2（y 2－y 1）x 1y 2－x 2y 1＋2（y 2＋y 1）＝2·2my 1y 2＋（y 1＋y 2）＋2（y 2－y 1）2（y 1＋y 2）＋（y 2－y 1）＝2·－2m m 2＋2－2m m 2＋2－222m 2＋2m 2＋2－22m m 2＋2－22m 2＋2m 2＋2＝2·4m ＋222m 2＋222m ＋22m 2＋2＝2， 故直线A 1P 与A 2Q 交点M 在一条定直线l ：x ＝2上.10分(ⅱ)设N (2，t )，P (x 1，y 1)，x 1∈(－2，2)，则|PN |＝2－x 1， ∴|PF 2||PN |＝（x 1－1）2＋y212－x 1＝（x 1－1）2＋1－x 222－x 1＝12（x 1－2）22－x 1＝22.12分21．(本题满分12分)已知函数f (x )＝x 2－a ln x －x (a ≠0)． (1)求函数f (x )的单调区间；(2)若a >0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)是函数f (x )图象上的任意两点(x 1<x 2)，记直线AB 的斜率为k ，求证：f ′⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋2x 23>k .【解析】(1)f ′()x ＝2x －a x －1＝2x 2－x －ax()x >0，1分 ①当a ≤－18时，2x 2－x －a ≥0恒成立，即f ′()x ≥0恒成立，故函数f ()x 的单增区间为()0，＋∞，无单减区间.2分 ②当－18<a <0时，f ′()x >02x 2－x －a >0，解得：x >1＋1＋8a 4或x <1－1＋8a 4，∵x >0，∴函数f ()x 的单增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1－1＋8a 4，⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1＋8a 4，＋∞，单减区间为⎝⎛⎭⎪⎫1－1＋8a 4，1＋1＋8a 4.4分 ③当a >0时，由f ′()x >0解得：x >1＋1＋8a 4或x <1－1＋8a4.∵x >0，而此时1－1＋8a4≤0，∴函数f ()x 的单增区间为⎝⎛⎭⎪⎫1＋1＋8a 4，＋∞，单减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1＋1＋8a 4.6分 (2)证明：∵f ′()x ＝2x －a x－1，∴f ′⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋2x 23＝2()x 1＋2x 23－3a x 1＋2x 2－1，由题，k ＝y 1－y 2x 1－x 2＝()x 21－x 22－a ()ln x 1－ln x 2－()x 1－x 2x 1－x 2＝()x 1＋x 2－a lnx 1x 2x 1－x 2－1，则f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋2x 23－k ＝2()x 1＋2x 23－()x 1＋x 2－3a x 1＋2x 2＋a lnx 1x 2x 1－x 2 ＝x 2－x 13－3ax 1＋2x 2＋a lnx 1x 2x 1－x 2，8分注意到x 2－x 13>0，故欲证f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋2x 23>k ，只须证明a lnx 1x 2x 1－x 2>3a x 1＋2x 2.因为a >0，故即证lnx 1x 2x 1－x 2>3x 1＋2x 2ln x 1x 2<3()x 1－x 2x 1＋2x 2ln x 1x 2<3⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1x 2－1x 1x 2＋29分 令x 1x 2＝t ∈()0，1，g ()t ＝ln t －3()t －1t ＋2， 则g ′()t ＝1t－9()t ＋22＝()t －1()t －4t ()t ＋22>0，故g ()t 在()0，1上单调递增．所以g ()t <g ()1＝0，即ln t <3()t －1t ＋2，即：ln x 1x 2<3⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1x 2－1x 1x 2＋2，所以f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋2x 23>k .12分请考生在第22～23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。

湖南师大附中2020届高三月考试卷（五）数 学（文科）一、选择题1.若i 为虚数单位，复数z 满足()11z i i i +=-+，则z 的虚部为（ ）21- B. 21+ 12- 21【答案】C 【解析】 【分析】根据复数除法的运算法则，即可求解。

【详解】)()2i 1212121222i iz i-+-===++，故z 12-. 故选：C.【点睛】本题考查复数的代数运算，考查计算能力，属于基础题. 2.设非空集合P Q ，满足P Q P ⋂=，则（ ） A. x Q ∀∈，有x P ∈ B. x Q ∀∉，有x P ∉ C. 0x Q ∃∉，使得0x P ∈ D. 0x P ∃∈，使得0x P ∉【答案】B 【解析】 【分析】根据交集运算结果判定集合关系，再结合Venn 图判断元素与集合的关系即可． 【详解】解：∵P Q P ⋂=，∴P Q ⊆ ∴A 错误；B 正确；C 错误；D 错误．故选B ．【点睛】本题考查命题真假的判断，考查子集的关系，属于基础题型. 3.某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】C 【解析】分析：根据三视图还原几何体，利用勾股定理求出棱长，再利用勾股定理逆定理判断直角三角形的个数.详解：由三视图可得四棱锥P ABCD -，在四棱锥P ABCD -中，2,2,2,1PD AD CD AB ====，由勾股定理可知：22,22,3,5PA PC PB BC ====,,PAD PCD PAB ∆∆∆共三个，故选C.点睛：此题考查三视图相关知识，解题时可将简单几何体放在正方体或长方体中进行还原，分析线面、线线垂直关系，利用勾股定理求出每条棱长，进而可进行棱长、表面积、体积等相关问题的求解.4.若向量a 与b 满足()a b a +⊥，且1a =，2b =，则向量a 在b 方向上的投影为（） 3 B. 12-C. -1 3【答案】B 【解析】 【分析】利用向量垂直的充要条件求得1a b ⋅=-，再由向量a 在b 方向上的投影的计算公式，即可求解，得到答案.【详解】利用向量垂直的充要条件有：()20a b a a a b +⋅=+⋅=，∴1a b ⋅=-，则向量a 在b 方向上的投影为12a b b⋅=-,故选B.【点睛】本题主要考查了向量垂直的应用，以及向量的投影的计算问题，其中熟记向量垂直的充要条件和向量的投影的计算公式，合理准确计算是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.5.已知数列{}n a 是首项为3，公差为d(d∈N *)的等差数列，若2 019是该数列的一项，则公差d 不可能是( ) A. 2 B. 3C. 4D. 5【答案】D 【解析】【分析】由题设得到()31n a n d =+-，再根据2019是该数列的一项得到20161n d=+，由*d N ∈求出结果【详解】由题设，()31n a n d =+-，2019是该数列的一项， 即2019＝3＋(n －1)d ， 所以20161n d=+， 因为*d N ∈，所以d 是2016的约数， 故d 不可能是5. 故选D .【点睛】本题主要考查了等差数列的通项公式，推出不属于的情况，需要熟练运用公式，较为基础．6.已知tan 3α=，则2212sin cos sin cos αααα+-的值是（ ）A.12B. 12- C. 2D. 5【答案】C 【解析】 【分析】将221sin cos αα=+代入所求代数式，化为sin ,cos αα的齐次式，再转化为tan α，即可求解.【详解】原式2222sin cos 2sin cos sin cos αααααα++=- ()()()2sin cos sin c cos os sin αααααα=+-+sin cos tan 1312sin cos tan 131αααααα+++====---.故选：C .【点睛】本题考查三角函数化简求值，化弦为切是解题的关键，属于基础题.7.若不等式222424ax ax x x +-<+ 对任意实数x 均成立，则实数a 的取值范围是（ ）A. (22)-，B. (2)(2)-∞-⋃+∞，，C. (22]-，D. (2]-∞，【答案】C 【解析】由题意，不等式222424ax ax x x +-<+，可化为2(2)2(2)40a x a x -+--<， 当20a -=，即2a =时，不等式恒成立，符合题意； 当20a -≠时，要使不等式恒成立，需2)2204(44(2)0a a a --<⎧⎨∆=+⨯-<⎩ ， 解得22a -<<，综上所述，所以a 的取值范围为(2,2]-，故选C ．8.在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，点O 在底面ABCD 中心，在正方体1111ABCD A B C D -内随机取一点P 则点P 与点O 距离大于1的概率为( )A.12πB. 112π-C.6π D. 16π-【答案】B 【解析】本题考查几何概型，空间几何体的体积，空间想象能力.到点O 的距离不大于1的点在以点O 为球心，1为半径的半球内；其体积为31421;233ππ⨯⨯=正方体体积为328;=则在正方体1111ABCD A B C D -内随机取一点P ，则点P 到点O 的距离大于1的概率为2831.812ππ-=-故选B9.已知实数x ，y 满足1x y +≤，则2z x y =-的最大值为（ ） A. 5 B. 4C. 3D. 2【答案】D 【解析】 【分析】换元，转化为线性规划求最值问题，做出可行域，即可求解.【详解】令x a =，y b =，则100a b a b +≤⎧⎪≥⎨⎪≥⎩，且2z a b =-.作可行域如图所示，平移直线l ：2b a z =-， 当直线l 过点(1,0)A 时，直线l 的纵截距最小， 从而z 为最大，且max 2102z =⨯-=. 故选：D .【点睛】本题考查二元一次不等式组表示平面区域，以及求线性目标函数的最值，解题的关键是换元转化，属于中档题.10.若直线l ：1y kx =+与双曲线C ：2221x y -=的右支交于不同的两点A 、B ，则实数k 的取值范围是（ ） A. 22k -<<- B. 22k -<< C. 22k -<<D. 20k -<<【答案】A 【解析】 【分析】将直线方程与双曲线方程联立，消去y ，得到关于x 的一元二次方程，直线与双曲线右支有两交点，转化为方程有两个正根，运用根的判别式结合韦达定理，即可求解. 【详解】将直线1y kx =+代入双曲线方程，并整理得()222220k x kx -++=.依题意，直线l 与双曲线C 的右支交于不同两点，故()()22222222028204220220202k k k k k k k k k k k ⎧-≠⎪⎧≠∆=-->⎪⎪⎪<⎪⎪⇒⇒-<<⎨⎨->>⎪⎪-⎪⎪<⎩⎪>⎪-⎩， 故选：A .【点睛】本题考查直线与圆锥曲线的位置关系，用代数方法确定交点的位置，考查计算能力，属于中档题.11.在锐角ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos cos 3sin B C Ab c C+=，cos 2B B +=，则a c +的取值范围是（ ）A. ⎝B. 32⎛ ⎝C. 2⎣D. 32⎡⎢⎣【答案】B 【解析】 【分析】根据已知结合正弦定理以及三角恒等变换，化简cos cos B C b c +=求出b，由cos 2B B +=结合22sin cos 1B B +=，求得sin ,cos B B ，从而求出B 的值，再由正弦定理将,a c 结合,A C 关系，转化为C （或A ）角的三角函数，注意求出角的范围，再用三角恒等变换求出范围.【详解】由cos cos B C b c +=cos cos sin cos sin cos sin c B b C C B B Cbc b C ++=()sin sin B C b C +==，∴b =.1cos 2cos 22B B B B ⎛⎫+=+ ⎪ ⎪⎝⎭2sin 26B π⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，2663B πππ<+<∴62B ππ+=，3B π=，1sin bB=，∴23A C π+=，又2032C A ππ<=-<， 02A π<<，∴62A ππ<<，2sin sin sin sin 3a c A C A A π⎛⎫+=+=+- ⎪⎝⎭3sin 26A A A π⎛⎫==+ ⎪⎝⎭， ∵62A ππ<<，∴2363A πππ<+<，∴326A π⎛⎫<+≤ ⎪⎝⎭故选B .【点睛】本题考查正弦定理边角互化，考查利用三角恒等变换，以及正弦函数的图像与性质的应用，解题中要注意角的范围，属于中档题.12.将函数f(x)＝ln(x ＋1)(x≥0)的图像绕坐标原点逆时针方向旋转角θ(θ∈(0，α])，得到曲线C ，若对于每一个旋转角θ，曲线C 都仍然是一个函数的图像，则α的最大值为( ) A. π B.π2C.π3D.π4【答案】D 【解析】 【分析】因为0x ≥时，()11f x x '=+在[)0∞，＋是减函数且()0'1f x <≤，当且仅当0x =时等号成立，故函数()()()10f x ln x x =+≥的图像的切线中，在0x =处切线的倾斜角最大，其值为4π，由此可以求得答案【详解】函数()()()10f x ln x x =+≥的图像绕坐标原点逆时针方向连续旋转时， 当且仅当其任意切线都不经过y 轴时，其图像都仍然是一个函数的图像. 因为()11f x x '=+在[)0∞，＋是减函数且()0'1f x <≤，当且仅当0x =时等号成立， 故函数()()()10f x ln x x =+≥的图像的切线中， 在0x =处切线的倾斜角最大，其值为π4. 由此可知π2max α=－ππ44=. 故选D .【点睛】本题主要考查了函数的概念和导数的几何意义，只需按照题意来求解，较为基础． 二、填空题13.已知直线经过点()2,0A -，()5,3B -，则该直线的倾斜角为______. 【答案】135︒ 【解析】 【分析】根据斜率公式，即可求解.【详解】由()2,0A -，()5,3B -，可得直线AB 的斜率03125k -==--+.设直线AB 的倾斜角为()0180αα︒≤<︒， 则tan 1α=-，135α=︒. 故答案为：135︒.【点睛】本题考查斜率公式，以及斜率与倾斜角的关系，属于基础题.14.已知圆锥的母线长为10cm ，侧面积为260cm π，则此圆锥的体积为 3cm . 【答案】96π 【解析】 【分析】设圆锥的底面半径为r ，根据题意计算出r 的值，并计算出圆锥的高，再利用锥体的体积公式可得出所求圆锥的体积.【详解】设圆锥的底面半径为r ，母线长为10l =，侧面积为1060lr r πππ==，得6r =，圆锥的高为8h ==，因此圆锥的体积为2211689633r h πππ=⋅⋅=， 故答案为96π.【点睛】本题考查圆锥体积的计算，解题的关键就是求出圆锥的母线长与半径长，考查运算能力，属于基础题.15.在一次数学测试中，甲、乙、丙、丁四位同学中只有一位同学得了满分，他们四位同学对话如下，甲：我没考满分；乙：丙考了满分；丙：丁考了满分；丁：我没考满分.其中只有一位同学说的是真话，据此，判断考满分的同学是__________． 【答案】甲 【解析】如果甲说的是真话，则乙、丙、丁都是假话，此时丙与丁是矛盾的，所以不成立； 如果乙说的是真话，则甲、丙、定都是假话，此时甲与丁是矛盾的，所以不成； 如果丙说的是真话，则甲、乙、丁都是假话，此时甲与丙是矛盾的，所以不成立； 所以只有丁说的是真话，此时甲、乙、并都是假话，可推得甲得了满分， 故考满分的同学是甲.点睛：合情推理主要包括归纳推理和类比推理.数学研究中，在得到一个新结论前，合情推理能帮助猜测和发现结论，在证明一个数学结论之前，合情推理常常能为证明提供思路与方向.合情推理仅是“合乎情理”的推理，它得到的结论不一定正确.而演绎推理得到的结论一定正确(前提和推理形式都正确的前提下). 16.已知数列{}n a 与{}n b 满足*12()3n n a b n N =+∈，若{}n b 的前n 项和为3(21)n n T =-且8(3)2n n a b n λλ-≥-+对一切*n N ∈恒成立，则实数λ的取值范围是_________.【答案】[4,)+∞ 【解析】依题设，当1n =时，113b T ==；当2n ≥时，1113(21)3(21)32n n n n n n b T T ---=-=---=⨯， 又∵当1n =时，111332b -==⨯， ∴132n n b -=⨯. ∴122n n a -=+.∴8(3)2n n a b n λλ-≥-+等价于11(22)328(3)2n n n λλ--+-⨯≥-+，即1(3)28(3)n n λ--⋅≥-，∴33162nn λ--≥对一切*n N ∈恒成立， 令3()2n n f n -=，则123(1)()22n n n n f n f n +--+-=-11(2)2(3)422n n n n n ++----==，∴当4n ≤时，(1)()f n f n +≥， 当5n >时，(1)()f n f n +<，∴当4n =或5时，()f n 取得最大值， ∴max 1()(4)16f n f ==， ∴311616λ-≥， ∴4λ≥. 三、解答题17.某高校共有学生15000人，其中男生10500人，女生4500人，为调查该校学生每周平均体育运动时间的情况，采用分层抽样的方法，收集300名学生每周平均体育运动时间的样本数据（单位：小时）.（1）应收集多少位女生的样本数据？（2）根据这300个样本数据，得到学生每周平均体育运动时间的频率分布直方图（如图所示），其中样本数据的分组区间为：[]0,2，(]2,4，(]4,6，(]6,8，(]8,10，(]10,12，估计该校学生每周平均体育运动时间超过4小时的概率；（3）在样本数据中，有60位女生的每周平均体育运动时间超过4小时，请完成每周平均体育运动时间与性别列联表，并判断是否有95%的把握认为“该校学生的毎周平均体育运动时间与性别有关”.男生女生总计每周平均体育运动时间不超过4小时每周平均体育运动时间超过4小时附：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++.【答案】（1）90位；（2）0.75；（3）联表见解析，有 【解析】 【分析】（1）按照女生占学生数的比例，即可求解； （2）根据直方图得出频率，即可求解；（3）算出列联表数据，利用独立性检验求解即可. 【详解】（1）45003009015000⨯=，∴应收集90位女生的样本数据.（2）由频率分布直方图可得()20.1500.1250.0750.0250.75⨯+++=， ∴该校学生每周平均体育运动时间超过4小时的概率为0.75.（3）由（2）知，300位学生中有3000.75225⨯=人每周平均体育运动时间超过4小时，75人每周平均体育运动时间不超过4小时，又因为样本数据中有210份是关于男生的，90份是关于女生的，所以每周平均体育运动时间与性别列联表如下：∴()22300456016530 4.762 3.8412109075225K ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯，∴有95%的把握认为“该校学生的每周平均体育运动时间与性别有关”. 【点睛】本题考查频率分布直方图以及独立性检验的应用，属于基础题.18.已知数列{}n a 的前n 项的和为n S ，且21nn S n =+-，其中*n N ∈.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n b 满足()21n n b n a =-，求数列{}n b 的前n 项和n T .【答案】（1）112n n a -=+；（2）()1122n n T n +=-⋅+【解析】 【分析】（1）根据数列的前n 项与通项n a 的关系，即可求解；（2）由（1）结论，求出{}n b 通项，根据通项特征采用错位相减法，求前n 项和.【详解】（1）当1n =时，112112S =+-=，故12a =. 当2n ≥时，1112n n n n a S S --=-=+，且12a =符合上式， 故数列{}n a 的通项公式为112n n a -=+.（2）由题可知，()()12121212n n n n b n a n n -=-=+-=⋅，则212222nn T n =⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅ ①，231212222n n T n +=⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅ ②，①－②得：212222n n n T n +-=++⋅⋅⋅+-⋅，整理得：()1122n n T n +-=--，则()1122n n T n +=-⋅+.【点睛】本题考查由数列的前n 项和求通项，以及错位相减法求数列的前n 项和，考查计算能力，属于中档题.19.如图，已知正方形ABCD 的边长为2，AC 与BD 交于点O ，将正方形ABCD 沿对角线BD 折起，得到三棱锥A BCD -.（1）求证：平面AOC ⊥平面BCD ； （2）若三棱锥A BCD -6，且AOC ∠是钝角，求AC 的长. 【答案】（1）证明见解析；（26 【解析】 【分析】（1）根据正方形的性质可得BD AO ⊥，BD CO ⊥，根据线面垂直的判定定理，可得BD ⊥平面AOC ，进而得到结论；（2）根据（1）中的垂直关系，求出AOC S ∆的面积，进而求出AOC ∠，再由余弦定理，即可求解.【详解】（1）∵四边形ABCD 是正方形， ∴BD AO ⊥，BD CO ⊥.折起后仍有BD AO ⊥，BD CO ⊥，AO CO O =，,AO CO ⊂平面AOC ，∴BD ⊥平面AOC . ∵BD ⊂平面BCD ， ∴平面AOC ⊥平面BCD . （2）由（1）知BD ⊥平面AOC ，∴13A BCD AOC V S BD -∆=⋅，∴11sin 32OA OC AOC BD ⨯⋅⋅∠⋅=，即11sin 32AOC ⨯∠⨯=，∴sin 2AOC ∠=.又∵AOC ∠是钝角， ∴120AOC ∠=︒. 在AOC ∆中，由余弦定理，得2222cos AC OA OC OA OC AOC =+-⋅⋅⋅∠222cos1206=+-︒=，∴AC =【点睛】本题考查面面垂直的证明，要注意空间垂直之间的转化，考查体积以及解三角形，属于中档题.20.已知离心率为12的椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的右焦点与抛物线2:2(0)E y px p =>的焦点F 重合，且点F 到E 的准线的距离为2.（1）求C 的方程；（2）若直线l 与C 交于,M N 两点，与E 交于,A B 两点，且4OA OB ⋅=-（O 为坐标原点），求MNF ∆面积的最大值.【答案】(1) 22143x y += (2) max ()2MNF S =△ 【解析】 【分析】(1)先求P,再列a,b,c 的方程组求解即可（2）设l 的方程为x my n =+ ，与抛物线联立将4OA OB坐标化代入韦达定理解得n=2，利用31||||2MNF S MF y =△即可求解；【详解】（1）因为点x 到E 的准线的距离为2，所以2p =，(1,0)F ，由2221,1,2,c c a a b c =⎧⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩解得2,a b =⎧⎪⎨=⎪⎩所以C 的方程为22143x y +=（2）解法一.由（1）知抛物线E的方程为24y x =.要使直线l 与抛物线E 交于两点，则直线l 的斜率不为0，可设l 的方程为x my n =+，由2,4,x my n y x =+⎧⎨=⎩得2440y my n --= 所以2(4)160m n ∆=-+>，得20m n +>.设()()1122,,,A x y B x y 则12124,4,y y m y y n +=⎧⎨=-⎩所以22222121212()16441616y y y y n x x n =⋅===，因4OA OB，所以12124x x y y +=-，所以244n n -=-，所以2n =， 所以直线l 的方程为2x my =+，所以直线l 过椭圆C 的右顶点(2,0)，不妨设(2,0)M 33(,)N x y，3y ，且3y ≠0，所以31||||22MNF S MF y =△≤，当且仅当3y =max ()2MNF S =△. 【点睛】本题考查椭圆方程，考查直线过定点问题，考查面积问题，考查基本不等式求最值，注意计算的准确，是中档题21.已知函数()2ln f x a x x =+，其中a R ∈.（1）讨论()f x 的单调性； （2）当1a =时，证明：()21f x x x ≤+-；（3）求证：对任意正整数n ，都有222211*********e n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++< ⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭（其中2.7183e ≈，为自然对数的底数）.【答案】（1）讨论见解析；（2）证明见解析；（3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）求出()f x '，按()0f x '≥在定义域是否恒成立分类讨论，不恒成立，求出()0f x '>，()0f x '<的解，即可求出结论；（2）要证()21f x x x ≤+-，只需证ln 10x x -+≤，令()ln 1h x x x =-+，只要证max ()0,(0,)h x x ≤∈+∞，求导，求出极值最值，即可得证；（3）由（2）得ln 1x x ≤-（当且仅当1x =时等号成立），令211x n =+，则2211ln 1n n⎛⎫+< ⎪⎝⎭，结合*211(2,)(1)n n N n n n <≥∈-，累加再利用裂项相消法，对数运算，即可得出结论. 【详解】（1）函数()f x 的定义域为()0,∞+，()22'2a a x x f xx x +=+=，①当0a ≥时，()'0f x >，所以()f x 在()0,∞+上单调递增；②当0a <时，令()'0f x =，解得：x =当0x <<时，()'0f x <，所以()f x 在⎛ ⎝上单调递减，当x >()'0f x >，所以()f x 在⎫+∞⎪⎪⎭上单调递增. 综上，当0a ≥时，函数()f x 在()0,∞+上单调递增；当0a <时，函数()f x在⎛ ⎝上单调递减，在⎫+∞⎪⎪⎭上单调递增. （2）当1a =时，()2ln f x x x =+，要证明()21f x x x ≤+-，即证ln 1x x ≤-，即ln 10x x -+≤，设()ln 1g x x x =-+，则()1'xg x x-=，令()'0g x =得，1x =. 当()0,1x ∈时，()'0g x >，当()1,x ∈+∞时，()'0g x <， 所以1x =为极大值点，也为最大值点， 所以()()10g x g ≤=，即ln 10x x -+≤， 故()21f x x x ≤+-.（3）由（2）得ln 1x x ≤-（当且仅当1x =时等号成立）， 令211x n =+，则2211ln 1n n⎛⎫+< ⎪⎝⎭， 所以22221111ln 1ln 1ln 1ln 1234n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭()2221111112312231n n n <++⋅⋅⋅+<+++⨯⨯-111111111ln 12231e n n n=-+-+⋅⋅⋅+-=-<=-， 即22221111ln 1111ln 234e n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++< ⎪⎪⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 所以222211*********e n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++< ⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 【点睛】本题考查了函数的单调性，极值最值，恒成立问题，以及不等式的证明，运用了等价转化、分类讨论、化归思想，是导数中的综合题，属于较难题. 22.在平面直角坐标系中，以坐标原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.已知直线l的参数方程为3x t y =+⎧⎪⎨=⎪⎩（t 为参数），曲线C 的极坐标方程为2sin 4cos ρθθ=.（1）求曲线C 的直角坐标方程和直线l 的普通方程； （2）设直线l 与曲线C 交于,A B 两点，点()3,0P ，求PA PB +的值.【答案】（1）24,333y x y x ==-； （2）8103. 【解析】 【分析】 （1）由cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩代入曲线C 的极坐标方程，即可求出普通方程，消去直线l 的参数方程中的未知量t ，即可得到直线的普通方程；（2）因为直线和曲线C 有两个交点，所以根据直线的参数方程，建立一元二次方程根与系数，得出结果． 【详解】（1）由2sin 4cos ρθθ=得曲线的直角坐标方程为24y x =，直线的普通方程为333y x =-.(2)直线l 的参数方程的标准形式为32()3t x t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩为参数 代入24y x =，整理得：238480t t --=, 设,A B 所对应的参数为12,t t ，则12128,163t t t t +==-, 所以128103t P B t A P -=+=. 【点睛】本题考查参数方程和极坐标方程化为普通方程，直线与曲线有两个交点时的距离问题，是常考题型．23.已知函数f （x ）＝|x+2|﹣2|x ﹣1|． （1）解不等式f （x ）≤1；（2）若关于x 的不等式f （x ）＞ax 只有一个正整数解，求实数a 的取值范围． 【答案】(1) 不等式的解集为{3x x ≥或13x ≤};(2) 13a ≤<. 【解析】试题分析：（1）对x 分三种情况讨论，分别去掉绝对值符号，然后求解不等式组，再求并集即可得结果；（2）作出函数()()()()42,321,41.x x f x x x x x ⎧-≤-⎪=-<≤⎨⎪-+>⎩与y ax =的图象，由图象可知当13a ≤<时，不等式只有一个正整数解1x =.试题解析：（1）当2x ≤-时，41x -≤，解得5x ≤，∴2x ≤-； 当21x -<≤时，31x ≤，解得13x≤，∴123x -<≤； 当1x >时，41x -+≤，解得3x ≥，∴3x ≥. 综上，不等式的解集为{|3x x ≥或13x ⎫≤⎬⎭.（2）作出函数()()()()42,321,41.x x f x x x x x ⎧-≤-⎪=-<≤⎨⎪-+>⎩与y ax =的图象，由图象可知当13a ≤<时，不等式只有一个正整数解1x =，∴13a ≤<.。

湖南省师大附中2020届高三月考（5）数学（理）试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．甲乙等4人参加4100⨯米接力赛，在甲不跑第一棒的条件下，乙不跑第二棒的概率是（ ）A ．29 B ．49 C ．23 D ．792．已知函数()(1cos )cos tan 2xf x x x =+，那么下列说法正确的是（ ） A ．函数()f x 在,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是增函数，且最小正周期为πB ．函数()f x 在,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是减函数，且最小正周期为2π C ．函数()f x 在3,44ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是增函数，且最小正周期为π D ．函数()f x 在3,44ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是减函数，且最小正周期为2π3．函数()()11x xe f x x e +=-（其中e 为自然对数的底数）的图象大致为（ ） A ． B ． C ． D ．4．若函数()2sin(2)cos (0)2f x x x πθθ=+⋅<<的图象过点(0,2)，则（ ）A ．点(,0)4π是()y f x =的一个对称中心 B ．直线4x π=是()y f x =的一条对称轴C ．函数()y f x =的最小正周期是2πD ．函数()y f x =的值域是[0,2] 5．在平面直角坐标系中，两动圆均过定点，它们的圆心分别为，且与轴正半轴分别交于.若，则（）A ．B ．C ．D ．6．用0与1两个数字随机填入如图所示的5个格子里，每个格子填一个数字，并且从左到右数，不管数到哪个格子，总是1的个数不少于0的个数，则这样填法的概率为（ ）A．532B．516C．1132D．11167．已知椭圆22221(0)x ya ba b+=>>与双曲线22221(0,0)x ym nm n-=>>有共同的焦点1F，2F，且在第一象限内相交于点P，椭圆与双曲线的离心率分别为1e，2e．若123F PFπ∠=，则12e e⋅的最小值是（）A．12B．2C．3D．328．已知函数()()sin3cos0f x wx wx w=->的图象与x轴的两个相邻交点的距离等于4π，若将函数()y f x=的图象向左平移6π个单位得到函数()y g x=的图象，则在下列区间中使()y g x=是减函数的是（）A．,03π⎛⎫-⎪⎝⎭B．7,2424ππ⎛⎫⎪⎝⎭C．0,3π⎛⎫⎪⎝⎭D．,43ππ⎛⎫⎪⎝⎭9．若a，b，c，满足23a=，2log5b=，32c=，则（）A．c a b<<B．b c a<<C．a b c<<D．c b a<<10．条形图给出的是2017年全年及2018年全年全国居民人均可支配收入的平均数与中位数，饼图给出的是2018年全年全国居民人均消费及其构成，现有如下说法：①2018年全年全国居民人均可支配收入的平均数的增长率低于2017年；②2018年全年全国居民人均可支配收入的中位数约是平均数的86%；③2018年全年全国居民衣（衣着）食（食品烟酒）住（居住）行（交通通信）的支出超过人均消费的70%.则上述说法中，正确的个数是（）A．3 B．2 C．1 D．011．已知函数()12xf x⎛⎫= ⎪⎝⎭，若()()()0.322,2,log5a fb fc f===，则,,a b c的大小关系为（）A．c b a>>B．a b c>>C．c a b>>D．b c a>>12．如图，网格纸上的小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的外接球的体积为（ ）A ．16πB ．323πC ．48πD ．163π二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

湖南师大附中2020学年度上学期高三数学理科月考试卷三时量：120分钟 满分：150分参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么P （A+B ）=P （A ）+P （B 如果事件A 、B 相互独立，那么P （A ·B ）=P （A ）·P （B ）如果事件A 在一次实验中发生的概率是P ，那么n 次独立重复实验中恰好发生k 次的概率k n k k n n P P C k P --=)1()(球的体积公式V 球=334R π，球的表面积公式S=4πR 2，其中R 表示球的半径一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．命题“2020≤2020”（ ）A ．使用了逻辑联结词“或”B ．使用了逻辑联结词“且”C ．使用了逻辑联结词“非”D ．是假命题2．函数f （x ）（x ∈R ）的图象如图所示，则当0＜a ＜1时，函数)()(x f ax g =的单调减区间是（ ）A ．]0,(-∞B ．),21[)0,(+∞⋃-∞ C ．),21[)0,(+∞-∞与D ．]21,0[3． 0)(1<->b a a ab是成立的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4． 若函数]43,4[cos )(ππ-+=在x x f y 内单调递减，则f （x ）可以是（ ）A ．1B ．x cosC ．x sinD ．x sin -5．设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 6：S 3=1：2，则S 9：S 3= （ ）A ．1：2B ．2：3C ．3：4D ．1：36．设平面向量=+<<<==|2|,0),sin ,(cos ),sin ,(cos b a b a 若其中πβαββαα βα--则|,2|b a 等于（ ）A ．2π-B ．3π-C ．4π-D ．6π-7．不等式R x x x a ∈-≤+-在1)32(log 2上恒成立，则实数a 的取值范围是（ ）A ．)1,21[B ．（1，2]C ．),2[+∞D ．]21,0(8． 已知函数)(1,133)(123x f x x x x x f -≥-+-=的反函数为，则下列结论正确的是（ ）A ．)25()23(11-<---f fB ．)25()23(11->---f fC ．)25()23(11--<f fD ．)25()23(11-->f f 9．爷爷与奶奶给他们的孙女、孙子们（孙女与孙子人数不等）分糖果吃，爷爷分配方案如下：给每个孙女的糖果数等于他们孙子的人数，给每个孙子的糖果数等于他们孙女的人数，而且若如此分配糖果恰好分完。

湖南师大附中2020届高三月考试卷（三）数学（理科）一、选择题：1.已知集合11,32A ⎧⎫=-⎨⎬⎩⎭，{}|10B x ax =+=，且B A ⊆，则a 的可取值组成的集合为（ ） A. {}3,2- B. {}3,0,2-C. {}3,2-D. {}3,0,2-【答案】D 【解析】因为B A ⊆，则可得：11,,32B φ⎧⎫⎧⎫=-⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭当13B ⎧⎫=-⎨⎬⎩⎭时，11033a a -+=⇒=,当12B ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭时11022a a +=⇒=- 当B φ=时，0a =, 综合可得：{}3,0,2-;选D点晴：本题考查的是根据集合及集合间的关系求参数a 的取值问题. 因为B A ⊆，则可得：11,,32B φ⎧⎫⎧⎫=-⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭,分13B ⎧⎫=-⎨⎬⎩⎭，12B ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭和B φ=三种情况讨论，分别得a 的取值，再取并集即可，此类题比较基础，但容易丢掉B φ=这一种情况，计算的时候要小心，不能马虎大意. 2.已知复数11iz =+，命题p ：复数z 的虚部为12，命题q ：复数z 的模为1.下列命题为真命题的是（ ）A. p q ∨B. ()p q ∧⌝C. p q ∧D. ()()p q ⌝∧⌝【答案】D 【解析】 【分析】化简得到1122z i =-，故z 的虚部为12-，模为2，判断得到答案.【详解】11111222i z i i -===-+，所以z 的虚部为12-2=， 所以命题p ，q 均为假命题. 故选：D .【点睛】本题考查了复数的化简，命题的真假判断，意在考查学生的综合应用能力.3.若向量a v 与b v 满足()a b a +⊥v v v，且1a =v ，2b =v ，则向量a v 在b v 方向上的投影为（）A.B. 12-C. -1D.【答案】B 【解析】 【分析】利用向量垂直的充要条件求得1a b ⋅=-vv ，再由向量a v在b v方向上的投影的计算公式，即可求解，得到答案.【详解】利用向量垂直的充要条件有：()20a b a a a b +⋅=+⋅=v v v v v v ，∴1a b ⋅=-v v ，则向量a v 在b v 方向上的投影为12a b b⋅=-vv v ,故选B.【点睛】本题主要考查了向量垂直的应用，以及向量的投影的计算问题，其中熟记向量垂直的充要条件和向量的投影的计算公式，合理准确计算是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题. 4.公元前5世纪，古希腊哲学家芝诺发表了著名的阿基里斯悖论：他提出让乌龟在阿基里斯前面1000米处开始，和阿基里斯赛跑，并且假定阿基里斯的速度是乌龟的10倍.当比赛开始后，若阿基里斯跑了1000米，此时乌龟便领先他100米；当阿基里斯跑完下一个100米时，乌龟仍然前于他10米.当阿基里斯跑完下一个10米时，乌龟仍然前于他1米……，所以，阿基里斯永远追不上乌龟，按照这样的规律，若阿基里斯和乌龟的距离恰好为310-米时，乌龟爬行的总距离为（ ）A. 510190-米B. 61019000-米C. 6109900-米D. 5109900-米【答案】B 【解析】 【分析】直接利用等比数列求和公式计算得到答案.【详解】根据题意：乌龟爬行的总距离为61011001010.10.010.0019000-+++++=（米）.故选：B .【点睛】本题考查了等比数列的应用，意在考查学生的计算能力和应用能力.5.已知定义在R 上的函数||()21x m f x -=-（m 为实数）为偶函数，记()0.5log 3a f =，()2log 5b f =，(2)c f m =+则a ，b ，c 的大小关系为( )A. a b c <<B. a c b <<C. c a b <<D. c b a <<【答案】B 【解析】 【分析】根据f （x ）为偶函数便可求出m ＝0，从而f （x ）＝2x ﹣1，根据此函数的奇偶性与单调性即可作出判断. 【详解】解：∵f （x ）为偶函数； ∴f （﹣x ）＝f （x ）； ∴2x m --﹣1＝2x m -﹣1； ∴|﹣x ﹣m |＝|x ﹣m |； （﹣x ﹣m ）2＝（x ﹣m ）2； ∴mx ＝0； ∴m ＝0；∴f （x ）＝2x ﹣1；∴f （x ）在[0，+∞）上单调递增，并且a ＝f （|0.5log 3|）＝f （2log 3）， b ＝f （2log 5），c ＝f （2）； ∵0＜2log 3＜2＜2log 5； ∴a<c<b ． 故选B ．【点睛】本题考查偶函数的定义，指数函数的单调性，对于偶函数比较函数值大小的方法就是将自变量的值变到区间[0，+∞）上，根据单调性去比较函数值大小．6.设p ：()0,x ∀∈+∞，210x ax -+≥，则使p 为真命题的一个充分非必要条件是（ ） A. 1a ≤ B. 2a ≤C. 3a ≤D. 2a >【答案】A 【解析】 【分析】先计算p 为真命题的充要条件是2a ≤，在根据范围大小关系得到答案. 【详解】若p 为真命题，则当0x >时，不等式210x ax -+≥恒成立，即1a x x≤+恒成立， 所以min 1a x x ⎛⎫≤+⎪⎝⎭.因为当0x >时，12x x +≥=，当且仅当1x =时取等号， 所以命题p 为真，则1a ≤是使p 为真命题的一个充分非必要条件.故选：A . 【点睛】本题考查了充分不必要条件，得到p 为真命题的充要条件是解题的关键. 7.已知,αβ是两个不同的平面，l 是一条直线，给出下列说法：①若,l ααβ⊥⊥，则l β∥；②若,l ααβ∥∥，则l β∥；③若,l ααβ⊥∥，则l β⊥；④若,l ααβ⊥∥，则l β⊥.其中说法正确的个数为（ ）A. 3B. 2C. 1D. 0【答案】C 【解析】 分析： ①和②可举反例，l β⊂，即可判断；③运用线面垂直的判定，和面面平行的性质，即可判断；④由线面平行的性质和面面垂直的性质，可举反例//l β或l 与β相交且l 与β不垂直.详解：①若,l ααβ⊥⊥，则//l β，或l β⊂； ②若,l ααβP P ，则l βP ，则//l β，或l β⊂；③若,//l ααβ⊥，则l β⊥,正确； ④若,l ααβ⊥P ，则l β⊥，或//l β或l 与β相交且l 与β不垂直.故选C.点睛：本题主要考查线面、面面的位置关系，注意线在面内的反例情况，难度不大.8.若5个人各写一张卡片（每张卡片的形状、大小均相同），现将这5张卡片放入一个不透明的箱子里，并搅拌均匀，再让这5人在箱子里各摸一张，恰有1人摸到自己写的卡片的方法数有（ ） A. 20 B. 90C. 15D. 45【答案】D 【解析】 【分析】先从5个人里选1人，恰好摸到自己写的卡片，对于剩余的4人，每个人都不能拿自己写的卡片，计算得到答案.【详解】根据题意，分2步分析：①先从5个人里选1人，恰好摸到自己写的卡片，有15C 种选法，②对于剩余的4人，因为每个人都不能拿自己写的卡片，因此第一个人有3种拿法，被拿了自己卡片的那个人也有3种拿法，剩下的2人拿法唯一，所以不同的拿卡片的方法有11153345C C C ⋅⋅=种.故选：D .【点睛】本题考查了组合的应用，意在考查学生的应用能力和理解能力.9.设双曲线的右顶点为A ，右焦点为F ，B 为双曲线在第二象限上的点，直线BO 交双曲线于C 点，若直线AC 平分线段BF 于M ，则双曲线的离心率是（ ） A.12B. 2C.13D. 3【答案】D 【解析】 【分析】BF 中点为M ，连接OM ，CF ，则OM 为BCF ∆的中位线，根据比例关系计算得到答案.【详解】由题知BF 中点为M ，连接OM ，CF ，则OM 为BCF ∆的中位线，于是12a OM c a CF ==-，可得3c a =，∴3e =. 故选：D .【点睛】本题考查了双曲线的离心率，意在考查学生的计算能力和转化能力.10.已知函数()222,17,1x ax x f x a x x ⎧-+≤=⎨->⎩，若存在12,x x R ∈，且12x x ≠，使()()12f x f x =，则实数a 的取值范围是（ ） A. 3a < B. 23a -<< C. 22a -≤≤ D. 2a <【答案】A 【解析】 【分析】讨论2a <和2a ≥两种情况，分别计算得到答案. 【详解】当12a<，即2a <时，函数()2f x x ax =-+，在1x ≤上存在12,x x R ∈，且12x x ≠， 使()()12f x f x =，所以2a <时满足题意；当2a ≥时，需满足217a a -+>-，解得23a -<<，即23a ≤<； 综上：实数a 的取值范围为3a <， 故选：A .【点睛】本题考查了函数与方程问题，分类讨论是常用的数学技巧，需要熟练掌握. 11.将函数()()[]()sin 20,0,2f x x ωϕωϕπ=+>∈图象上每点的横坐标变为原来的2倍，得到函数()g x ，函数()g x 的部分图象如图所示，且()g x 在[]0,2π上恰有一个最大值和一个最小值（其中最大值为1，最小值为-1），则ω的取值范围是（ ）A. 713,1212⎛⎤⎥⎝⎦B. 713,1212⎡⎫⎪⎢⎣⎭ C. 1117,1212⎡⎫⎪⎢⎣⎭D. 1117,1212⎛⎤⎥⎝⎦ 【答案】C 【解析】 【分析】计算()()sin g x x ωϕ=+，23ϕπ=，根据题意得到5272232ππππω≤+<，计算得到答案.【详解】由已知得函数()()sin g x x ωϕ=+，由()g x 图象过点3⎛ ⎝⎭以及点在图象上的位置， 知3sin ϕ=，23ϕπ=，∵02x π≤≤，∴2222333x πππωπω≤+≤+，由()g x 在[]0,2π上恰有一个最大值和一个最小值，∴5272232ππππω≤+<， ∴11171212ω≤<. 故选：C .【点睛】本题考查了三角函数伸缩变换，三角函数图像与性质，意在考查学生对于三角函数知识的综合应用.12.已知球O 是三棱锥P ABC -的外接球，1PA AB PB AC ====，2CP =D 是PB 的中点，且72CD =，则球O 的表面积为（ ） A.73π B.76π C.721π D.721π【答案】A 【解析】 【分析】证明AC ⊥平面PAB ，以PAB ∆为底面，AC 为侧棱补成一个直三棱柱，则球O 是该三棱柱的外接球，计算半径得到答案.【详解】由1PA AB PB AC ====，CP =PA AC ⊥.由点D 是PB 的中点及PA AB PB ==，易求得2AD =，又2CD =，所以AD AC ⊥，所以AC ⊥平面PAB .以PAB ∆为底面，AC 为侧棱补成一个直三棱柱，则球O 是该三棱柱的外接球， 球心O 到底面PAB ∆的距离1122d AC ==， 由正弦定理得PAB ∆的外接圆半径2sin 60PA r ==︒，所以球O 的半径为R ==O 的表面积为2743S R ππ==. 故选：A .【点睛】本题考查了三棱锥的外接球，将三棱锥补成三棱柱是解题的关键.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.若1cos()33πα-=，则sin(2)6πα-的值是 ． 【答案】79- 【解析】试题分析：217sin(2)sin[2()]cos 2()2cos ()121.6323399πππππαααα-=-+=-=--=⨯-=- 考点：二倍角公式14.湖南师大附中第33届体育节高二年级各班之间进行篮球比赛，某班计划从甲、乙两人中挑选服务人员，已知甲可能在16:00—17:00到达篮球场地，乙可能在16:30—17:00到达，若规定谁先到达就安排谁参加服务工作，则甲参加服务工作的概率是______. 【答案】34【解析】 【分析】设甲和乙到校的时刻分别为16时x 分和16时y 分，如图所示，根据几何概型公式计算得到答案. 【详解】设甲和乙到校的时刻分别为16时x 分和16时y 分，如图所示：(),x y 可以看成平面直角坐标系中的点，试验的全部结果所构成的区域为(){},|060,3060x y x y Ω=≤≤≤≤，这是一个长方形区域，面积为30601800⨯=，而甲比乙先到篮球场应满足y x >，则符合题意的图形的面积为11800303013502-⨯⨯=，所以甲参加服务工作的概率是1350318004=. 故答案为：34.【点睛】本题考查了几何概型，意在考查学生的应用能力和理解能力.15.过抛物线()220y px p =>的焦点F 作两条相互垂直的射线，分别与抛物线相交于点M ，N ，过弦MN的中点P 作抛物线准线的垂线PQ ，垂足为Q ，则PQMN的最大值为______. 2 【解析】 【分析】过点M ，N 分别向抛物线的准线作垂线，垂足分别为'M ，'N ，根据均值不等式得到2MN PQ ≤到答案.【详解】过点M ，N 分别向抛物线的准线作垂线，垂足分别为'M ，'N ， 则()221'''22'MM N PQ MM NN N +=+≤222222MF NFMN MN +===22PQMN ≤，当且仅当MF NF =时等号成立，所以PQ MN 的最大值为22. 故答案为：22.【点睛】本题考查了抛物线中的最值问题，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.16.对于数列{}n a ，定义11222n nn a a a A n-+++=L 为数列{}n a 的“好数”，已知某数列{}n a 的“好数”12n n A +=，记数列{}n a kn -的前n 项和为n S ，若7n S S ≤对任意的*n N ∈恒成立，则实数k 的取值范围是______.【答案】916,47⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】 【分析】计算14a =，得到22n a n =+，()22n a kn k n -=-+，根据题意770a k -≥，880a k -≤，计算得到答案.【详解】由题意，当1n =时，21124a A ===，由11222n n n nA a a a -=+++L ，可得()()121212221n n n a a n A a n ---++⋅⋅⋅+-=≥，两式相减可得()1112n n n n nA n A a ----=，整理得()()1111121222n nn n n n n nA n A n n a +-----⋅--⋅==()42122n n n =--=+，由于12124a =⨯+=，则数列{}n a 的通项公式为22n a n =+， 则()22n a kn k n -=-+，由于7n S S ≤对任意的*n N ∈恒成立，则2k >且770a k -≥，880a k -≤， 解得91647k ≤≤. 故答案为：916,47⎡⎤⎢⎥⎣⎦.【点睛】本题考查了数列的新定义，求数列的通项公式，求和公式，意在考查学生对于数列公式方法的综合应用.三、解答题：17.在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且222cos cos sin sin sin C B A A C -=-. （1）求角B 的值；（2）若BC 边上的高AH 满足12AH BC =，求22b c c b+的取值范围.【答案】（1）3B π=（2）⎝ 【解析】 【分析】（1）根据正弦定理得到222a c b ac +-=，再利用余弦定理计算得到答案.（2）根据题意得到22sin a bc A =，化简得到224b c A c b π⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，根据 114412A πππ<+<，得到答案. 【详解】（1）由222cos cos sin sin sin C B A A C -=-， 得222sin sin sin sin sin B C A A C -=-.由正弦定理，得222b c a ac -=-，即222a c b ac +-=，所以2221cos 222a cb ac B ac ac +-===.因0B π<<，所以3B π=.（2）因为BC 边上的高AH 满足12AH BC =，所以11sin 222a a bc A ⨯⨯=， 即22sin a bc A =，可得2222cos 2222b c b c a bc A c b bc bc++-+==2sin 2cos 2bc A bc A bc += sin cos 2sin 4A A A π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，由（1）知3B π=，∴203A π<<，∴114412A πππ<+<， ∴312sin ,242A π⎛⎤-⎛⎫+∈ ⎥ ⎪ ⎝⎭⎝， 所以22b cc b +的取值范围为31,22⎛⎤- ⎥ ⎝. 【点睛】本题考查了正弦定理，余弦定理，利用三角函数求范围，意在考查学生的综合应用能力. 18.如图所示的多面体ABCDEF 中，四边形ABCD 是边长为2的正方形，1//,,,2ED FB DE BF AB FB FB ==⊥平面ABCD .(1)设BD 与AC 的交点为O ，求证:OE ⊥平面ACF ； (2)求二面角E AF C --的正弦值. 【答案】（1）证明见解析；6． 【解析】 【分析】（1）根据题意，推导出ED ⊥面ABCD ，DE AC ⊥，OE OF ⊥，结合线面垂直的判定定理证得OE ⊥面ACF ；（2）以D 为原点，DA ，DC ，DE 方向建立空间直角坐标系，利用面的法向量所成角的余弦值求得二面角的余弦值，之后应用平方关系求得正弦值，得到结果. 【详解】(1) 证明：由题意可知：ED ⊥面ABCD ，从而Rt EDA Rt EDC ∆≅∆，EA EC ∴=，又O AC 中点，DE AC ∴⊥，在EOF ∆中，3,6,3OE OF EF ===，222OE OF EF ∴+=，OE OF ∴⊥又AC OF O ⋂=，OE ∴⊥面ACF ．（2）ED ⊥面ABCD ，且DA DC ⊥，如图以D 为原点，DA ，DC ，DE 方向建立空间直角坐标系，从而(0E ，0，1)，(2A ，0，0)，(0C ，2，0)，(2F ，2，2)，(1O ，1，0)由（1）可知(1EO =u u u v，1，1)-是面AFC 的一个法向量，设(n x =r，y ，)z 为面AEF 的一个法向量，由·220·20AF n y z AE n x z ⎧=+=⎨=-+=⎩u u u v r u u u v r ，令1x =得(1n =r ，2-，2)， 设θ为二面角E AF C --的平面角，则·3cos cos ,·EO n EO n EO n θ===u u u v ru u u v r u u u v r，6sin 3θ∴=． ∴二面E AF C --6． 【点睛】该题考查的是有关立体几何的问题，涉及到的知识点有线面垂直的判定，利用空间向量求二面角的余弦值，同角三角函数关系式，属于简单题目.19.已知椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>的离心率5e =，左、右焦点分别为1F ，2F ，过右焦点2F 任作一条直线l ，记l 与椭圆的两交点为A ，B ，已知1F AB ∆的周长为定值5（1）求椭圆C 的方程；（2）记点B 关于x 轴的对称点为'B ，直线'AB 交x 轴于点D ，求ABD ∆面积的取值范围.【答案】（1）22154x y +=（2）0,5⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭【解析】 【分析】 （1）计算得到a =1c =，2b =，得到椭圆方程.（2）令直线l ：()10x ty t =+≠，点()11,A x y ，()22,B x y ，()22',B x y -，联立方程，利用韦达定理得到1221228541654t y y t y y t ⎧+=-⎪⎪+⎨⎪=-⎪+⎩，得到254S t =+，求最值得到答案.【详解】（1）由已知条件得5c e a ==，4a =a =，1c =，2b =， 则椭圆C 的方程为22154x y +=.（2）()21,0F ，可令直线l ：()10x ty t =+≠，点()11,A x y ，()22,B x y ，()22',B x y -.联立221154x ty x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得()22548160t y ty ++-=，则1221228541654t y y t y y t ⎧+=-⎪⎪+⎨⎪=-⎪+⎩， 而直线'AB 的方程为()121112y y y x x y x x +=-+-，令0y =，得()()12211221121211D ty y ty y x y x y x y y y y ++++==++1212215ty y y y =+=+， 即点()5,0D ，于是，ABD ∆的面积为21212122S F D y y y y =-=-==， 令μ=1μ>，且2414S μμμμ==++，由于函数()14f μμμ=+在()1,+∞上单调递增，所以05S <<，故ABD ∆面积的取值范围是0,5⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭. 【点睛】本题考查了椭圆方程，椭圆内面积的最值问题，意在考查学生的计算能力和综合应用能力. 20.某个地区计划在某水库建一座至多安装3台发电机的水电站，过去50年的水文资料显示，水的年入流量X （年入流量：一年内上游来水与库区降水之和，单位：十亿立方米）都在4以上，其中，不足8的年份有10年，不低于8且不超过12的年份有35年，超过12的年份有5年，将年入流量在以上三段的频率作为相应段的概率，并假设各年的年入流量相互独立.（1）求未来4年中，至多有1年的年入流量超过12的概率；（2）若水的年入流量X 与其蕴含的能量y （单位：百亿万焦）之间的部分对应数据为如下表所示：用最小二乘法求出y 关于X 的线性回归方程$$y bXa =+$；（回归方程系数用分数表示）（3）水电站希望安装的发电机尽可能运行，但每年发电机最多可运行台数受年入流量X 限制，并有如下关系：若某台发电机运行，则该台年利润为5000万元；若某台发电机未运行，则该台年亏损800万元，欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机多少台？附：回归方程系数公式：1221ni ii nii x y nx ybxnx==-=-∑∑$，a y bx =-$$.【答案】（1）0.9477（2）$2913404X y =-（3）欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机2台. 【解析】 【分析】（1）计算得到()480.2P X <<=，()8120.7P X ≤≤=，()120.1P X >=，再计算概率得到答案. （2）利用回归方程公式直接计算得到答案.（3）计算概率得到分布列，再计算数学期望得到答案. 【详解】（1）依题意，()110480.250P P X =<<==，()2358120.750P P X =≤≤==， ()35120.150P P X =>==. 由二项分布得，在未来4年中至多有1年的年入流量超过12的概率为()()43014343311P C P C P P =-+-0.65610.29160.9477=+=.（2）10X =，4y =，51229i ii X y ==∑，521540i i X ==∑，2940b =$，$134a y bX =-=-$， 所以y 关于X 的线性回归方程为$2913404X y =-. （3）记水电站年总利润为ξ（单位：万元）. ①安装1台发电机的情形.由于水库年入流量总大于4，故一台发电机运行的概率为1，对应的年利润5000ξ=，()500015000E ξ=⨯=.②安装2台发电机的情形.依题意，当48X <<时，一台发电机运行，此时50008004200ξ=-=， 因此()()14200480.2P P X P ξ==<<==；当8X ≥时，两台发电机运行，此时5000210000ξ=⨯=，因此()()231000080.8P P X P P ξ==≥=+=.由此得ξ的分布列如下：所以，()42000.2100000.88840E ξ⨯+⨯==. ③安装3台发电机的情形.依题意，当48X <<时，一台发电机运行，此时500016003400ξ=-=， 因此()()13400480.2P P X P ξ==<<==；当812X ≤≤时，两台发电机运行，此时500028009200ξ=⨯-=， 因此()()292008120.7P P X P ξ==≤≤==；当12X >时，三台发电机运行，此时5000315000ξ=⨯=， 因此()()15000120.1P P X ξ==>=.由此得ξ的分布列如下：所以，()34000.292000.7150000.18620E ξ=⨯+⨯+⨯=. 综上，欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机2台.【点睛】本题考查了概率计算，回归方程，分布列，数学期望，综合性强，意在考查学生的综合应用能力. 21.已知函数()()22ln 218x mx x x f m =+-+-，m R ∈.（1）讨论函数()f x 的单调性；（2）对实数2m =，令()()3g x f x x =-，正实数1x ，2x 满足()()121220g x g x x x ++=，求12x x +的最小值.【答案】（1）见解析（2）6 【解析】 【分析】（1）求导得到()()()2'11x xf x mx --=，讨论0m ≤，01m <<，1m =，1m >几种情况得到答案.（2）化简得到()()()212121212291622ln x x x x x x x x +-+-=-，设12t x x =，()()22ln 0h t t t t =->，根据函数的单调性得到()()2121229162x x x x +-+-≥，计算得到答案.【详解】（1）()()()()()2112221'0x f x mx mx m x x x--=+-+=>.若0m ≤，当()0,1x ∈时，()'0f x ≥，即()f x 在()0,1上单调递增； 当()1,x ∈+∞时，()'0f x <，即()f x 在()1,+∞上单调递减. 若01m <<，当()10,1,x m ⎛⎫∈+∞⎪⎝⎭U 时，()'0f x >，即()f x 在（()0,1，1,m ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上均单调递增； 当11,x m ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()'0f x <，即()f x 在11,m ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减. 若1m =，则()'0f x ≥，即()f x 在()0,∞+上单调递增. 若1m >，当()10,1,x m ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭U 时，()'0f x >，即()f x 在10,m ⎛⎫ ⎪⎝⎭，()1,+∞上均单调递增； 当1,1x m ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()'0f x <，即()f x 在1,1m ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减. （2）当实数2m =时，()()()232ln 2980g x f x x x x x x =-=+-->，()()121220g x g x x x ++=，22111222122ln 2982ln 29820x x x x x x x x ∴+--++--+=，()()()212121212291622ln x x x x x x x x ∴+-+-=-，令12t x x =，()()22ln 0h t t t t =->， 由于()()21't h t t-=，知当()0,1t ∈时，()'0h t <，即()h t 单调递减； 当()1,t ∈+∞时，()'0h t >，即()h t 单调递增. 从而，()()min 12h t h ==，于是，()()2121229162x x x x +-+-≥，即()()12122360x x x x +++-≥⎡⎤⎣⎦，而12,0x x >，所以126x x +≥，而当13x =-23x =+时，12x x +取最小值6.【点睛】本题考查了函数的单调性，最值问题，意在考查学生对于函数知识的综合应用.22.在平面直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为2x m t y =+⎧⎪⎨=⎪⎩（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2241sin ρθ=+．（Ⅰ）求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；（Ⅱ）设P 为曲线C 上的点，PQ l ⊥，垂足为Q ，若PQ 的最小值为2，求m 的值．【答案】（Ⅰ）22142x y +=,0x m -=；（Ⅱ）m =m =- 【解析】 【分析】（Ⅰ）消去参数t 可得直线l 的普通方程，利用互化公式即可得曲线C 的直角坐标方程.（Ⅱ）利用曲线C 的参数方程设点P ，根据点到直线距离公式求出˜PO ，再根据三角函数性质求出最小值，利用已知列方程可解得m ．【详解】（Ⅰ）因为曲线C 的极坐标方程为2241sin ρθ=+，即222sin 4ρρθ+=， 将222x y ρ=+，sin y ρθ=代入上式并化简得22142x y +=，所以曲线C 的直角坐标方程为22142x y +=，消去参数t 可得直线l的普通方程为0x m -=． （Ⅱ）设()2cos P θθ，由点到直线的距离公式得˜PO == 由题意知0m ≠， 当0m >时，˜min2PO==，得m =当0m <时，|˜min2PO==，得m =-所以m =m =-【点睛】本题考查了参数方程与普通方程的互化，极坐标方程与直角坐标方程的互化，以及参数方程在最值问题中的应用，属于中档题．对于点线距离问题范围（最值）问题，关键是运用参数法，再结合三角恒等变换以及三角函数的性质即可求解.23.已知函数f(x)＝|x|＋|x＋a|.(1)若存在x使得不等式f(x)≤3a－1成立，求实数a的取值范围；(2)若不等式f(x)≤3a－1的解集为[b,b+3]，求实数a，b的值．【答案】（1）12⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭，；（2）413,36a b==-．【解析】【分析】⑴运用绝对值的性质进行化简求出结果⑵分类讨论化简()f x，结合图像求出结果【详解】(1)对()()x R f x x x a x x a a∈=++≥-+=，，当且仅当()0x x a+≤时取等号，故原条件等价于31a a≤-，即3131a a a-+≤≤-，解得12a≥，故实数a的取值范围是12⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭，.(2)由(1)知实数a的取值范围是12⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭，，故0a-<，故()220x a x af x a a xx a x--<-⎧⎪=-≤≤⎨⎪+>⎩，，，，，的图象如图所示，由图可知()2312331b a ab a a--=-⎧⎨++=-⎩,解得4313.6ab，⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩。

2020届湖南师范大学附属中学2017级高三上学期第五次月考数学（理）试卷★祝考试顺利★(解析版)一、选择题：本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知i 为虚数单位,复数z 满足：(1)1i z i +=-,则z 的共轭复数在复平面内对应点的坐标为（ ）A. (0,1)B. (0,1)-C. (1,0)D. (1,0)-【答案】A【解析】根据复数除法运算法则求出z ,结合共轭复数的概念,即可求出结论. 【详解】由()11z i i +=-,得21(1)1(1)(1)i i z i i i i --===-++-, ∴复数z 的共轭复数为i ,在复平面内对应的点为(0,1).故选：A.2.设集合(){}{}lg 1,2x A x y x B y y ==-==,则A B =（ ） A. ()0,+∞B. [)1,0-C. ()0,1D. (),1-∞【答案】C【解析】 求对数函数的定义域,求指数函数的值域,确定集合,A B ,然后根据交集定义求结果【详解】解：101x x -∴＞，＜ (),1A ∴=-∞()200+x B ∴=∞＞，，则()0,1A B =故选C3.中国有个名句“运筹帷幄之中,决胜千里之外”,其中的“筹”原意是指《孙子算经》中记载的算筹,古代是用算筹来进行计算,算筹是将几寸长的小竹棍摆在平面上进行运算,算筹的摆放形式有纵横两种形式,如图,当表示一个多位数时,像阿拉伯计数一样,把各个数位的数码从左到右排列,但各位数码的筹式需要纵横相间,个位,百位,万位数用纵式表示,十位,千位,十万位用横式表示,以此类推．例如 6613 用算筹表示就是,则 8335 用算筹可表示为（ ）A.B. C.D. 【答案】B千位8用横式表示为, 百位3用纵式表示为,十位3用横式表示为, 个位5用纵式表示为,因此选B. 4.数列{}n a 满足11a =,且()*11n n a a n n +-=+∈N ,则数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭前10项的和为（ ） A. 911 B. 1011 C. 2011 D. 2111【答案】C【解析】根据递推公式,用累加法,求出数列{}n a 通项公式,进而求出1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭通项公式,用裂项相消法,即可求解.。