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北师大版九年级数学上册《利用相似三角形测高》示范公开课教学课件
北师大版九年级数学上册《利用相似三角形测高》示范公开课教学课件
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教科书第105页习题4.10第2、4题
刘徽,公元3世纪人,是中国历史上最杰出的数学家之一.《九章算术注》和《海岛算经》是他留给后世最宝贵的数学遗产.
例 《海岛算经》第一个问题的大意是:如图,要测量海岛上一座山峰的高度AH,立两根高3丈的标杆BC和DE,两杆之间的距离BD=1000步,D,B,H成一线,DG=127步;从B处退行123步到F,人的眼睛贴着地面观察A点,A,C,F,三点成一线.试计算山峰的高度AH及HB的长(这里1步=6尺,1丈=10尺,结果用丈表示).怎样利用相似三角形求得线段AH及HB的长呢?请你试一试!
在旗杆旁边立一个木棍,测量棍长和影长,再测量旗杆的影长,由 可求出旗杆长.
在旗杆前方地上放置测角仪,移动测角仪的位置,使得测角仪测量到的旗杆顶端到地面的直线与地面成45°,测量此时测角仪到旗杆的距离后加上测角仪的高度,即可求出旗杆的高度.
《海岛算经》最早附于《九章算术注》之后,唐初开始单行.刘徽在该书中精心编了九个测量问题,都是利用测量的方法来计算高、深、广、远问题的.其中第一个问题是测算海岛的高、远问题,因此得名.《海岛算经》是中国最早的一部测量数学专著,也是中国古代高度发达的地图学的数学基础.
过点A作AN ∥BD交CD于N、EF于M.
解:如图,由题意得:AB=1.6m,EF=2m,BD=27m,FD=24m.
利用相似三角形测高
利用太阳光线平行构造相似,通过同一时刻物高与影长成比例构造比例式;利用标杆垂直于地面构造直角三角形相似;利用镜面反射构造直角三角形相似,利用入射角与反射角相等.
没有相似时,可以通过“作垂线”或“作延长线”构造三角形相似;对于不易测量的长度或高度,可以用易测量的对应线段通过比例来计算.
16
B
∵ ∠EMA=∠CNA,∠1=∠1∴△AEM∽△ACN∴解得CN=3.6m,则CD=3.6+1.6=5.2m,即树高为5.2m.
3.小明为测量一棵树CD的高度,他在距树24m处立了一根高为2m的标杆EF,然后小明前后调整自己的位置,当他与树相距27m时,他的眼睛、标杆的顶端和树顶端在同一直线上,已知小明眼睛到地面的距离为1.6m,求树的高度.
方法3:利用镜子反射
思考2:这种测量方法,需要测出哪些长度?如何求旗杆的高?
同学的眼睛到地面的距离AB:
同学到镜子中标记的距离BE:
1.5m
1.8m
24m
解:∵△ABE∽△CDE,∴即解得CD=20 m.
镜子到旗杆的距离DE:
CD的长度
你还有哪些测量旗杆高度的方法?
思考2:这种测量方法,需要测出哪些长度?如何求旗杆的高?
同学的身高AB:
同学的影长BE:
旗杆的影长DB:
1.6m
0.8m
10m
解:∵△AEB∽△CBD,∴∴解得CD=20 m.
CD的长度
方法2:利用杠杆 如图,每个小组选一名同学作为观测者,在观测者与旗杆之间的地面上直立一根高度适当的标杆.观测者适当调整自己所处的位置,使旗杆的顶端、标杆的顶端与自己的眼睛恰好在一条直线上,这时其他同学立即测出观测者的脚到标杆底端的距离,以及观测者的脚到标杆底端的距离,然后测出标杆的高.
同学到标杆的距离BF:
同学到旗杆的距离BD:
1.5m
4m
148m
解:∵△AME∽△ANC,∴解得CN=18.5.∴CD=1.5+18.5=20(m)
标杆的高EF:
2m
方法2:利用标杆
思考2:这种测量方法,需要测出哪些长度?如何求旗杆的高?
CD的长度
方法3:利用镜子反射 如图,每个小组选一名同学作为观测者,在观测者与旗杆之间的地面上平放一面镜子,在镜子上做一个标记,观测者看着镜子来回移动,直至看到旗杆顶端在镜子中的像与镜子上的标记重合.
1.高4m的旗杆在水平面上的影子长6m,此时测得附近一个建筑物的影子长24m,则该建筑物的高度为 m.
2.如图,是小玲设计用手电来测量某古城墙高度的示意图.在点P处放一水平的平面镜,光线从点A出发经平面镜反射后,刚好射到古城墙CD的顶端C处.已知AB⊥BD,CD⊥BD.且测得AB=1.2m,BP=1.8m,PD=12m.那么该古城墙CD的高度是 ( ) A.6m B.8m C.18m D.21m
思考1:根据测量数据,你能求出旗杆的高度吗?说明你的理由.
解:过点A做AN⊥CD,交EF于M.则∠AME=∠ANC=90°,又∵点A、E、C三点共线,∴∠EAM=∠CAN.∴△AME∽△ANC.
思考1:根据测量数据,你能求出旗杆的高度吗?说明你的理由.
方法2:利用标杆
同学的眼睛到地面距离AB:
重点
难点
这些顶部不可到达的高大建筑,要如何测量它们的高度呢?
胡夫金字塔是埃及现存规模最大的金字塔,被誉为“世界古代八大奇迹之一”,古希腊数学家,天文学家泰勒斯曾经利用相似三角形的原理测量金字塔的高度,你知道他是怎么做到的吗?
方法1:利用阳光下的影子 如图,每个小组选一名同学直立于旗杆影子的顶端处,其他人分为两部分,一部分同学测量该同学的影长,另一部分同学测量同一时刻旗杆的影长.
思考1:测量所需的数据,根据所测的结果你能求出旗杆的高度吗?说明你的理由.方法3:利用镜子反射
思考1:测量所需的数据,根据测量数据,你能求出旗杆的高度 吗?说明你的理由.
解:如图,AB⊥BD,CD⊥BD, 则∠ABE=∠CDE=90°. 又∵∠AEB=∠CED(光线的入射角等于反射角). ∴△ABE∽△CDE.
4.6 利用相似三角形测高
利用相似三角形测高
准备好了吗?一起去探索吧!
1.通过测量旗杆的高度,理解利用相似三角形测高的几种方法.2. 能选择适当的方法并借助相似三角形解决测量高度问题.3.通过测量旗杆的高度,综合运用三角形相似的判定定理和相似三角形的定义解决问题,发展数学应用意识,加深对相似三角形的理解和认识.4.在分组合作活动及全班交流的过程中,进一步积累数学活动经验,增强数学学习的自信心.
解:如图,CB=ED=3丈=30尺,BD=1000步=6000尺,BF=123步=738尺,DG=127步=762尺.∵AH⊥HG,CB⊥HG.∴∠AHF=∠CBF.又∠AFH=∠CFB,∴△AFH∽△CFB .∴ 即同理,可证△AHG∽△EDG,得即∴由①②两式可以解得HB=184500尺=18450丈,AH=7530尺=735丈.
思考1:根据测量数据,你能求出旗杆的高度吗?说明你的理由.
方法1:利用阳光下的影子
思考1:根据测量数据,你能求出旗杆的高度吗?说明你的理由.
解:如图所示:∵AB⊥ED,CD⊥ED,∴∠ABE=∠CDB=90°.∵AE∥CB,∴∠AEB=∠CBD.∴△AEB∽△CBD.
方法1:利用阳光下的影子
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