【重点推荐】最新高中物理 第5章 天体运动各物理量与轨道半径的关系学案 沪科版必修2(精品设计)

1 习题课 天体运动各物理量与轨道半径的关系

[学习目标] 1.掌握运用万有引力定律和圆周运动知识分析天体运动问题的基本思路.2.掌握天体的线速度、角速度、周期、向心加速度与轨道半径的关系．

一、天体运动的分析与计算

1．基本思路：一般行星或卫星的运动可看做匀速圆周运动，所需向心力由中心天体对它的万有引力提供，即F引＝F向．

2．常用关系：

(1)GMmr2＝ma＝mv2r＝mω2r＝m4π2T2r.

(2)忽略自转时，mg＝GMmR2(物体在天体表面时受到的万有引力等于物体重力)，整理可得：gR2＝GM，该公式通常被称为“黄金代换式”．

例1 (多选)地球半径为R0，地面重力加速度为g，若卫星在距地面R0处做匀速圆周运动，则( )

A．卫星的线速度为2R0g2 B．卫星的角速度为g8R0

C．卫星的加速度为g2 D．卫星的加速度为g4

答案 ABD

解析 由GMm2R02＝ma＝mv22R0＝mω2(2R0)及GM＝gR02，可得卫星的向心加速度a＝g4，角速度ω＝g8R0，线速度v＝2R0g2，所以A、B、D正确，C错误．

针对训练 某着陆器完成了对月球表面的考察任务后，由月球表面回到围绕月球做圆周运动的轨道舱，其过程如图1所示．设轨道舱的质量为m，月球表面的重力加速度为g，月球的半径为R，轨道舱到月球中心的距离为r，引力常量为G，求轨道舱的速度和周期．

2 图1

答案 Rgr 2πrRrg

解析 轨道舱在月球表面时GMmR2＝mg①

轨道舱在半径为r的轨道上做圆周运动时，

有GMmr2＝mv2r②

GMmr2＝m4π2T2r③

由①②得v＝Rgr

由①③得T＝2πrRrg

二、天体运行的各物理量与轨道半径的关系

设质量为m的天体绕另一质量为M的中心天体做半径为r的匀速圆周运动．

(1)由GMmr2＝mv2r得v＝GMr，r越大，v越小．

(2)由GMmr2＝mω2r得ω＝GMr3，r越大，ω越小．

(3)由GMmr2＝m2πT2r得T＝2πr3GM，r越大，T越大．

(4)由GMmr2＝ma得a＝GMr2，r越大，a越小．

以上结论可总结为“一定四定，越远越慢”．

例2 2009年2月11日，俄罗斯的“宇宙－2251”卫星和美国的“铱－33”卫星在西伯利亚上空约805 km处发生碰撞，这是历史上首次发生的完整在轨卫星碰撞事件．碰撞过程中产生的大量碎片可能会影响太空环境．假定有甲、乙两块碎片绕地球运动的轨道都是圆，甲的运行速率比乙的大，则下列说法中正确的是( )

A．甲的运行周期一定比乙的长

B．甲距地面的高度一定比乙的高

C．甲的向心力一定比乙的小

D．甲的向心加速度一定比乙的大

答案 D

解析 甲的速率大，由GMmr2＝mv2r，得v＝GMr，由此可知，甲碎片的轨道半径小，故B错误； 3 由GMmr2＝mr4π2T2，得T＝4π2r3GM，可知甲的周期小，故A错误；由于未知两碎片的质量，无法判断向心力的大小，故C错误；由GMmr2＝man得an＝GMr2，可知甲的向心加速度比乙的大，故D正确．

例3 如图2所示，a、b是两颗绕地球做匀速圆周运动的人造卫星，它们距地面的高度分别是R和2R(R为地球半径)．下列说法中正确的是( )

图2

A．a、b的线速度大小之比是2∶1

B．a、b的周期之比是1∶22

C．a、b的角速度大小之比是36∶4

D．a、b的向心加速度大小之比是9∶2

答案 C

解析 两卫星均做匀速圆周运动，F万＝F向，向心力选不同的表达式分别分析．由GMmr2＝mv2r得v1v2＝r2r1＝3R2R＝62，故A错误．

由GMmr2＝mr2πT2得T1T2＝r13r23＝269，故B错误．

由GMmr2＝mrω2得ω1ω2＝r23r13＝364，故C正确．

由GMmr2＝ma得a1a2＝r22r12＝94，故D错误．

1.(卫星各运动参量与轨道半径的关系)(多选)如图3所示，飞船从轨道1变轨至轨道2.若飞船在两轨道上都做匀速圆周运动，不考虑质量变化，相对于在轨道1上，飞船在轨道2上的( ) 4

图3

A．速度大 B．向心加速度大

C．运行周期长 D．角速度小

答案 CD

解析 飞船绕中心天体做匀速圆周运动，万有引力提供向心力，即F引＝F向，

所以GMmr2＝ma＝mv2r＝4π2mrT2＝mrω2，

即a＝GMr2，v＝GMr，T＝4π2r3GM，ω＝GMr3(或用公式T＝2πω求解)．

因为r1v2，a1>a2，T1ω2，选项C、D正确．

2．(行星各运动参量与轨道半径的关系)如图4所示，在火星与木星轨道之间有一小行星带，假设该带中的小行星只受到太阳的引力，并绕太阳做匀速圆周运动．下列说法正确的是( )

图4

A．太阳对各小行星的引力相同

B．各小行星绕太阳运动的周期均小于一年

C．小行星带内侧小行星的向心加速度值大于外侧小行星的向心加速度值

D．小行星带内各小行星绕太阳做圆周运动的线速度值大于地球公转的线速度值

答案 C

解析 根据万有引力定律F＝GMmr2可知，由于各小行星的质量和到太阳的距离不同，万有引力不同，A项错误；由GMmr2＝m4π2T2r，得T＝2πr3GM，因为各小行星的轨道半径r大于地球的轨道半径，所以它们的周期均大于地球的周期，B项错误；向心加速度a＝Fm＝GMr2，内侧小行星到太阳的距离小，向心加速度大，C项正确；由GMmr2＝mv2r得线速度v＝GMr，小行星的轨道半径大于地球的轨道半径，线速度小于地球绕太阳的线速度，D项错误．

3．(天体运动各参量的比较)如图5所示，甲、乙两颗卫星以相同的轨道半径分别绕质量为M和2M的行星做匀速圆周运动，下列说法正确的是( ) 5

图5

A．甲的向心加速度比乙的小

B．甲的运行周期比乙的小

C．甲的角速度比乙的大

D．甲的线速度比乙的大

答案 A

解析 甲、乙两卫星分别绕质量为M和2M的行星做匀速圆周运动，万有引力提供各自做匀速圆周运动的向心力．由牛顿第二定律GMmr2＝ma＝m4π2T2r＝mω2r＝mv2r，可得a＝GMr2，T＝2πr3GM，ω＝GMr3，v＝GMr.由已知条件可得a甲＜a乙，T甲＞T乙，ω甲＜ω乙，v甲＜v乙，故正确选项为A.

4．(天体运动的分析与计算)如图6所示，A、B为地球周围的两颗卫星，它们离地面的高度分别为h1、h2，已知地球半径为R，地球表面重力加速度为g，求：

图6

(1)A的线速度大小v1；

(2)A、B的角速度之比ω1∶ω2.

答案 (1)gR2R＋h1 (2)R＋h23R＋h13

解析 (1)设地球质量为M，行星质量为m，

由万有引力提供向心力，对A有：GMmR＋h12＝mv12R＋h1①

在地球表面对质量为m′的物体有：m′g＝GMm′R2②

由①②得v1＝gR2R＋h1

(2)由GMmR＋h2＝mω2(R＋h)得ω＝GMR＋h3 6 所以A、B的角速度之比ω1ω2＝R＋h23R＋h13.

一、选择题

考点一 天体运动各物理量与轨道半径的关系

1．把太阳系各行星的运动近似看成匀速圆周运动，则离太阳越远的行星( )

A．周期越大 B．线速度越大

C．角速度越大 D．向心加速度越大

答案 A

解析 行星绕太阳做匀速圆周运动，所需的向心力由太阳对行星的引力提供，由GMmr2＝mv2r得v＝GMr，可知r越大，线速度越小，B错误．由GMmr2＝mω2r得ω＝GMr3，可知r越大，角速度越小，C错误．由r3T2＝k知，r越大，T越大，A正确．由GMmr2＝ma得a＝GMr2，可知r越大，向心加速度a越小，D错误．

2．a、b、c、d是在地球大气层外的圆形轨道上运行的四颗人造卫星．其中a、c的轨道相交于P，b、d在同一个圆轨道上，b、c轨道在同一平面上．某时刻四颗卫星的运行方向及位置如图1所示，下列说法中正确的是( )

图1

A．a、c的加速度大小相等，且大于b的加速度

B．b、c的角速度大小相等，且小于a的角速度

C．a、c的线速度大小相等，且小于d的线速度

D．a、c存在在P点相撞的危险

答案 A

解析 由GMmr2＝mv2r＝mω2r＝m4π2T2r＝ma可知，选项B、C错误，选项A正确；因a、c轨道半径相同，周期相同，既然图示时刻不相撞，以后就不可能相撞了，选项D错误．

3．(多选)火星直径约为地球直径的一半，质量约为地球质量的十分之一，它绕太阳公转的轨道半径约为地球绕太阳公转轨道半径的1.5倍．根据以上数据，下列说法中正确的是( ) 7 A．火星表面重力加速度的数值比地球表面的小

B．火星公转的周期比地球的长

C．火星公转的线速度比地球的大

D．火星公转的向心加速度比地球的大

答案 AB

解析 由GMmR2＝mg得g＝GMR2，计算得A对；由GMmr2＝m(2πT)2r得T＝2πr3GM，计算得B对；周期长的线速度小(或由v＝GMr判断轨道半径大的线速度小)，C错；公转的向心加速度a＝GMr2，计算得D错．

4．(多选)土星外层有一个环，为了判断它是土星的一部分还是土星的卫星群，可以测量环中各层的线速度v与该层到土星中心的距离R之间的关系，则下列判断正确的是( )

A．若v2∝R则该层是土星的卫星群

B．若v∝R则该层是土星的一部分

C．若v∝1R则该层是土星的一部分

D．若v2∝1R则该层是土星的卫星群

答案 BD

解析 若外层的环为土星的一部分，则它们各部分转动的角速度ω相等，由v＝ωR知v∝R，B正确，C错误；若是土星的卫星群，则由GMmR2＝mv2R，得v2∝1R，故A错误，D正确．

5．(多选)科学探测表明，月球上至少存在丰富的氧、硅、铝、铁等资源，设想人类开发月球，不断把月球上的矿藏搬运到地球上，假定经长期的开采后月球与地球仍可看成均匀球体，月球仍沿开采前的轨道运动，则与开采前相比(提示：a＋b＝常量，则当a＝b时，ab乘积最大)( )

A．地球与月球间的万有引力将变大

B．地球与月球间的万有引力将变小

C．月球绕地球运行的周期将变大

D．月球绕地球运行的周期将变小

答案 BD

解析 万有引力公式F＝GMmr2中，G和r不变，因地球和月球的总质量不变，当M增大而m减