线性代数B(部分)第四部分小结

线性代数复习要点第一部分行列式1. 排列的逆序数2. 行列式按行（列）展开法则3. 行列式的性质及行列式的计算行列式的定义1.行列式的计算：①(定义法)1212121112121222()1212()nnnnn j j jn j j njj j jn n nna a aa a aD a a aa a aτ==-∑1②（降阶法）行列式按行（列）展开定理：行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式的乘积之和.推论：行列式某一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零.1122,,0,.i j i j in jnA i ja A a A a Ai j⎧=⎪++=⎨≠⎪⎩③ (化为三角型行列式)上三角、下三角、主对角行列式等于主对角线上元素的乘积.11221122***0**0*0nnnnb b A b b b b ==④ 若A B 与都是方阵（不必同阶）,则==()mn A O A A OA B O B O B B O A AA B B O B O*==**=-1⑤ 关于副对角线：(1)211212112111()n n nnn n n n n n n a O a a a a a a a Oa O ---*==-1⑥ 范德蒙德行列式：()1222212111112nijnj i nn n n nx x x x x x x x x x x ≤<≤---=-∏111⑦ ab -型公式：1[(1)]()n a b b b b a bba nb a b bb ab b b ba-=+-- ⑧ (升阶法)在原行列式中增加一行一列，保持原行列式不变的方法.⑨ (递推公式法) 对n 阶行列式n D 找出n D 与1n D -或1n D -,2n D -之间的一种关系——称为递推公式，其中 n D ,1n D -,2n D -等结构相同，再由递推公式求出n D 的方法称为递推公式法.(拆分法) 把某一行（或列）的元素写成两数和的形式，再利用行列式的性质将原行列式写成两行列式之和， 使问题简化以例计算. ⑩ (数学归纳法)2. 对于n 阶行列式A ，恒有：1(1)nnk n k k k E A S λλλ-=-=+-∑，其中k S 为k 阶主子式；3. 证明0A =的方法：①、A A =-； ②、反证法；③、构造齐次方程组0Ax =，证明其有非零解；④、利用秩，证明()r A n <； ⑤、证明0是其特征值.4. 代数余子式和余子式的关系：(1)(1)i j i j ij ijij ij M A A M ++=-=-第二部分 矩阵1. 矩阵的运算性质2. 矩阵求逆3. 矩阵的秩的性质4. 矩阵方程的求解1. 矩阵的定义 由m n ⨯个数排成的m 行n 列的表111212122212n n m m mn a a a a a a A a a a ⎛⎫⎪ ⎪= ⎪⎪⎝⎭称为m n ⨯矩阵. 记作：()ijm nA a ⨯=或m n A ⨯同型矩阵：两个矩阵的行数相等、列数也相等. 矩阵相等: 两个矩阵同型，且对应元素相等. 矩阵运算a. 矩阵加（减）法：两个同型矩阵，对应元素相加（减）.b. 数与矩阵相乘：数λ与矩阵A 的乘积记作A λ 或A λ，规定为()ij A a λλ=.c. 矩阵与矩阵相乘：设()ij m s A a ⨯=, ()ij s n B b ⨯=,则()ij m n C AB c ⨯==， 其中12121122(,,,)j j ij i i is i j i j is sj sj b b c a a a a b a b a b b ⎛⎫ ⎪ ⎪==+++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭注：矩阵乘法不满足：交换律、消去律, 即公式00AB BAAB A ==⇒=或B=0不成立.a. 分块对角阵相乘：11112222,A B A B A B ⎛⎫⎛⎫==⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⇒11112222A B AB A B ⎛⎫= ⎪⎝⎭,1122nn n A A A ⎛⎫= ⎪⎝⎭b. 用对角矩阵Λ○左乘一个矩阵,相当于用Λ的对角线上的各元素依次乘此矩阵的○行向量；11112111111211221222221222221212000000n n n n m m m mn m m m m m mn a b b b a b a b a b ab b b a b a b a b B a b b b a b a b a b ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥Λ==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦c. 用对角矩阵Λ○右乘一个矩阵,相当于用Λ的对角线上的各元素依次乘此矩阵的○列向量.11121111121212122221212222121122000000n m n n m n m m mn m m m m mn b b b a a b a b a b b b b a a b a b a b B b b b a a b a b a b ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥Λ==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦d. 两个同阶对角矩阵相乘只用把对角线上的对应元素相乘. ④ 方阵的幂的性质：mnm nA A A+=， ()()m n mnA A =⑤ 矩阵的转置：把矩阵A 的行换成同序数的列得到的新矩阵，叫做A 的转置矩阵，记作TA . a. 对称矩阵和反对称矩阵: A 是对称矩阵TA A =.A 是反对称矩阵T A A =-.b. 分块矩阵的转置矩阵：TTT TT A B A C C D BD ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⑥ 伴随矩阵： ()1121112222*12n Tn ijnnnn A A A A A A A A A A A ⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪⎝⎭，ij A 为A 中各个元素的代数余子式. **AA A A A E ==,1*n A A-=, 11AA--=.分块对角阵的伴随矩阵：***A BA B AB ⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ *(1)(1)mn mn A A B BB A**⎛⎫-⎛⎫= ⎪ ⎪⎪-⎝⎭⎝⎭2. 逆矩阵的求法 方阵A 可逆 0A ≠.①伴随矩阵法 1A A A *-= ○注： 1a b d b c d c a ad bc --⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭1 主换位副变号② 初等变换法 1()()A E E A -−−−−→初等行变换③ 分块矩阵的逆矩阵：111A A B B ---⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 111A B B A---⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1111A C A A CB O B OB ----⎛⎫-⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 1111A O A O CB B CA B ----⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭④1231111213a a a a a a -⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪=⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, 3211111213a a a a a a -⎛⎫⎛⎫⎪⎪=⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⑤ 配方法或者待定系数法 （逆矩阵的定义1AB BA E A B -==⇒=）3. 行阶梯形矩阵 可画出一条阶梯线，线的下方全为0；每个台阶只有一行，台阶数即是非零行的行数，阶梯线的竖 线后面的第一个元素非零. 当非零行的第一个非零元为1，且这些非零元所在列的其他元素都是0时， 称为行最简形矩阵4. 初等变换与初等矩阵 对换变换、倍乘变换、倍加（或消法）变换初等变换初等矩阵 初等矩阵的逆 初等矩阵的行列式↔i j r r (↔i j c c )(,)E i j 1(,)(,)E i j E i j -=(,)E i j =-1⨯i r k (⨯i c k ) (())E i k11[()][()]k E i k E i -= [()]E i k k = +⨯i j r r k (+⨯i j c c k )(,())E i j k1[,()][,()]E i j k E i j k -=-[,()]E i j k =1☻矩阵的初等变换和初等矩阵的关系：对A 施行一次初等○行变换得到的矩阵,等于用相应的初等矩阵○左乘A ；对A 施行一次初等○列变换得到的矩阵,等于用相应的初等矩阵○右乘A .注意： 初等矩阵是行变换还是列变换，由其位置决定：左乘为初等行矩阵、右乘为初等列矩阵.5. 矩阵的秩 关于A 矩阵秩的描述：①、()=r A r ，A 中有r 阶子式不为0，1+r 阶子式 (存在的话) 全部为0； ②、()<r A r ，A 的r 阶子式全部为0； ③、()≥r A r ，A 中存在r 阶子式不为0；☻矩阵的秩的性质：① ()A O r A ≠⇔≥1; ()0A O r A =⇔=;0≤()m n r A ⨯≤min(,)m n② ()()()TTr A r A r A A ==③ ()()r kA r A k =≠ 其中0④ ()(),,()0m n n s r A r B n A B r AB B Ax ⨯⨯+≤⎧=⇒⎨=⎩若若0的列向量全部是的解⑤ ()r AB ≤{}min (),()r A r B⑥ 若P 、Q 可逆，则()()()()r A r PA r AQ r PAQ ===； 即：可逆矩阵不影响矩阵的秩.⑦ 若()()()m n Ax r AB r B r A n AB O B O A AB AC B C ο⨯⇔=⎧⎪=⎧⎪=⎨⎪⇒=⇒=⎧⎨⎪⎨⎪⎪=⇒=⎩⎩⎩ 只有零解在矩阵乘法中有左消去律；若()()()n s r AB r B r B n B ⨯=⎧=⇒⎨⎩ 在矩阵乘法中有右消去律.⑧ ()r rE O E O r A r A A OO OO ⎛⎫⎛⎫=⇒⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭若与唯一的等价，称为矩阵的等价标准型. ⑨ ()r A B ±≤()()r A r B +, {}max (),()r A r B ≤(,)r A B ≤()()r A r B + ⑩ ()()A O O A r r A r B O B B O ⎛⎫⎛⎫==+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, ()()A C r r A r B O B ⎛⎫≠+ ⎪⎝⎭☻求矩阵的秩：定义法和行阶梯形阵方法6 矩阵方程的解法(0A ≠)：设法化成AX B XA B ==(I) 或 (II)A B E X −−−−→初等行变换(I)的解法：构造()() A E B X ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪−−−−→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭初等列变换(II)的解法：构造T T T TA XB X X=(II)的解法：将等式两边转置化为， 用(I)的方法求出，再转置得第三部分 线性方程组1. 向量组的线性表示2. 向量组的线性相关性3. 向量组的秩4. 向量空间5.线性方程组的解的判定6. 线性方程组的解的结构（通解）（1）齐次线性方程组的解的结构（基础解系与通解的关系） （2）非齐次线性方程组的解的结构（通解） 1.线性表示：对于给定向量组12,,,,n βααα，若存在一组数12,,,n k k k 使得1122n n k k k βααα=+++，则称β是12,,,n ααα的线性组合，或称称β可由12,,,n ααα的线性表示.线性表示的判别定理:β可由12,,,n ααα的线性表示由n 个未知数m 个方程的方程组构成n 元线性方程：①、11112211211222221122n n n n m m nm n na x a x a xb a x a x a x b a x a x a x b +++= ⎧⎪+++= ⎪⎨⎪⎪+++=⎩有解②、1112111212222212⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪=⇔= ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭n n m m mn m m a a a x b a a a x b Ax a a a x b β③、()1212n n x x aa a x β⎛⎫⎪⎪= ⎪⎪⎝⎭（全部按列分块，其中12n b b b β⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭）； ④、1122n n a x a x a x β+++=（线性表出）⑤、有解的充要条件：()(,)r A r A n β=≤（n 为未知数的个数或维数） 2. 设,,m n n s A B ⨯⨯A 的列向量为12,,,n ααα⋅⋅⋅,B 的列向量为12,,,s βββ⋅⋅⋅，则m sAB C ⨯=⇔()()1112121222121212,,,,,,s s n s n n ns b b b b bb c c c b b b ααα⎛⎫ ⎪ ⎪⋅⋅⋅= ⎪⎪⎝⎭⇔i i A c β= ，(,,)i s =1,2⇔i β为i Ax c =的解⇔()()()121212,,,,,,,,,s s s A A A A c c c ββββββ⋅⋅⋅=⋅⋅⋅=⇔12,,,s c c c 可由12,,,n ααα⋅⋅⋅线性表示.即：C 的列向量能由A 的列向量线性表示，B 为系数矩阵. 同理：C 的行向量能由B 的行向量线性表示，A 为系数矩阵.即： 1112111212222212n n n n mn n m a a a c a a a c a a a c βββ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪⎪⎪ ⎪= ⎪⎪ ⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⇔111122*********22211222n n m m mn ma a a c a a a c a a a c βββββββββ+++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩3. 线性相关性判别方法：法1法2法3推论♣线性相关性判别法（归纳）♣ 线性相关性的性质① 零向量是任何向量的线性组合,零向量与任何同维实向量正交. ② 单个零向量线性相关；单个非零向量线性无关.③ 部分相关,整体必相关；整体无关,部分必无关. （向量个数变动）④ 原向量组无关,接长向量组无关；接长向量组相关,原向量组相关. （向量维数变动） ⑤ 两个向量线性相关⇔对应元素成比例；两两正交的非零向量组线性无关. ⑥ 向量组12,,,n ααα⋅⋅⋅中任一向量i α(1≤i ≤)n 都是此向量组的线性组合.⑦ 若12,,,n ααα⋅⋅⋅线性无关，而12,,,,n αααβ⋅⋅⋅线性相关,则β可由12,,,n ααα⋅⋅⋅线性表示,且表示法唯一 4. 最大无关组相关知识向量组的秩 向量组12,,,n ααα的极大无关组所含向量的个数，称为这个向量组的秩.记作12(,,,)n r ααα矩阵等价 A 经过有限次初等变换化为B .向量组等价 12,,,n ααα⋅⋅⋅和12,,,n βββ⋅⋅⋅可以相互线性表示. 记作：()()1212,,,,,,n n αααβββ⋅⋅⋅=⋅⋅⋅ ① 矩阵的行向量组的秩=列向量组的秩=矩阵的秩. 行阶梯形矩阵的秩等于它的非零行的个数.② 矩阵的初等变换不改变矩阵的秩,且不改变行（列）向量间的线性关系③ 向量组12,,,s βββ⋅⋅⋅可由向量组12,,,n ααα⋅⋅⋅线性表示,且s n >，则12,,,s βββ⋅⋅⋅线性相关.向量组12,,,s βββ⋅⋅⋅线性无关,且可由12,,,n ααα⋅⋅⋅线性表示,则s ≤n .④ 向量组12,,,s βββ⋅⋅⋅可由向量组12,,,n ααα⋅⋅⋅线性表示,且12(,,,)s r βββ⋅⋅⋅12(,,,)n r ααα=⋅⋅⋅,则两向量组等价； ⑤ 任一向量组和它的极大无关组等价.向量组的任意两个极大无关组等价. ⑥ 向量组的极大无关组不唯一，但极大无关组所含向量个数唯一确定. ⑦ 若两个线性无关的向量组等价,则它们包含的向量个数相等. ⑧ 设A 是m n ⨯矩阵,若()r A m =，A 的行向量线性无关；5. 线性方程组理论线性方程组的矩阵式Ax β= 向量式 1122n n x x x αααβ+++=1112111212222212,,n n m m mn n m a a a x b a a a x b A x a a a x b β⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 其中 12,,2,,j j j mj j n αααα⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭1（1）解得判别定理（2）线性方程组解的性质：1212121211221212(1),,(2),,(3),,,,,,,,(4),,(5),,(6k k k k Ax Ax k k Ax k Ax Ax Ax Ax Ax ηηοηηηοηηηηολλλληληληγβηογηβηηβηηο=+⎫⎪=⎪⎬=⎪⎪++⎭==+==-= 是的解也是它的解 是的解对任意也是它的解齐次方程组 是的解对任意个常数 也是它的解 是的解是其导出组的解是的解 是的两个解是其导出组的解211212112212112212),(7),,,,100k k k k k k k Ax Ax Ax Ax Ax ηβηηηοηηηβληληληβλλλληληληλλλ⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪=⇔-=⎪=⎪⎪+++=⇔+++=⎪⎪+++=⇔+++=⎩ 是的解则也是它的解是其导出组的解 是的解则也是的解 是的解(3) 判断12,,,s ηηη是Ax ο=的基础解系的条件：① 12,,,s ηηη线性无关；② 12,,,s ηηη都是Ax ο=的解； ③ ()s n r A =-=每个解向量中自由未知量的个数.(4) 求非齐次线性方程组Ax = b 的通解的步骤12112(1()(2)()()(3)(4)10,,...,(5)A b r A b r A r n n r Ax b Ax Ax b x k k ααααααα==<-====++0n-r 0) 将增广矩阵通过初等行变换化为；当时，把不是首非零元所在列对应的个变量作为自由元；令所有自由元为零，求得的一个；不计最后一列，分别令一个自由元为，其余自由元 为零，得到的{};写出非齐次线性方程组的阶梯形矩阵特解基础 解系 通解 212...,,...,n r n rn r k k k k α---++其中为任意常数.（5）其他性质一个齐次线性方程组的基础解系不唯一. √ 若η*是Ax β=的一个解，1,,,s ξξξ是Ax ο=的一个解⇒1,,,,s ξξξη*线性无关√ Ax ο=与Bx ο=同解（,A B 列向量个数相同）⇔()()A r r A r B B ⎛⎫==⎪⎝⎭, 且有结果： ① 它们的极大无关组相对应,从而秩相等； ② 它们对应的部分组有一样的线性相关性； ③ 它们有相同的内在线性关系.√ 矩阵m n A ⨯与l n B ⨯的行向量组等价⇔齐次方程组Ax ο=与Bx ο=同解⇔PA B =（左乘可逆矩阵P ）； 矩阵m n A ⨯与l n B ⨯的列向量组等价⇔AQ B =（右乘可逆矩阵Q ）.第四部分 方阵的特征值及特征向量1. 施密特正交化过程2. 特征值、特征向量的性质及计算3. 矩阵的相似对角化，尤其是对称阵的相似对角化1. 标准正交基 n 个n 维线性无关的向量,两两正交,每个向量长度为1. 向量()12,,,Tn a a a α=与()12,,,Tn b b b β=的内积 11221(,)ni i n n i a b a b a b a b αβ===+++∑αβ与正交 (,)0αβ=. 记为：αβ⊥ ④ 向量()12,,,Tn a a a α=的长度 2222121(,)ni n i a a a a ααα====+++∑⑤ α是单位向量(,)1ααα==. 即长度为1的向量.2. 内积的性质： ① 正定性：(,)0,(,)0αααααο≥=⇔=且 ② 对称性：(,)(,)αββα=③ 线性性：1212(,)(,)(,)ααβαβαβ+=+ (,)(,)k k αβαβ=3. 设A 是一个n 阶方阵, 若存在数λ和n 维非零列向量x , 使得 Ax x λ=，则称λ是方阵A 的一个特征值，x 为方阵A 的对应于特征值λ的一个特征向量. A 的特征矩阵0E A λ-=（或0A E λ-=）.A 的特征多项式 ()E A λϕλ-=（或()A E λϕλ-=）.④ ()ϕλ是矩阵A 的特征多项式⇒()A O ϕ= ⑤ 12n A λλλ= 1ni A λ=∑tr ，A tr 称为矩阵A 的迹.⑥ 上三角阵、下三角阵、对角阵的特征值就是主对角线上的n 各元素.⑦ 若0A =,则λ=0为A 的特征值,且Ax ο=的基础解系即为属于λ=0的线性无关的特征向量.⑧ ()1r A =⇔A 一定可分解为A =()1212,,,n n a a b b b a ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭、21122()n n A a b a b a b A =+++,从而A 的特征值为：11122n n A a b a b a b λ==+++tr , 23n λλλ====0.○注()12,,,Tn a a a 为A 各行的公比，()12,,,n b b b 为A 各列的公比.⑨ 若A 的全部特征值12,,,n λλλ，()f A 是多项式,则:① 若A 满足()f A O =⇒A 的任何一个特征值必满足()i f λ=0 ②()f A 的全部特征值为12(),(),,()n f f f λλλ；12()()()()n f A f f f λλλ=.⑩ A 与TA 有相同的特征值，但特征向量不一定相同. 4. 特征值与特征向量的求法(1) 写出矩阵A 的特征方程0A E λ-=，求出特征值i λ. (2) 根据()0i A E x λ-=得到 A 对应于特征值i λ的特征向量. 设()0i A E x λ-=的基础解系为 12,,,in r ξξξ- 其中()i i r r A E λ=-.则A 对应于特征值i λ的全部特征向量为1122,i i n r n r k k k ξξξ--+++其中12,,,i n r k k k -为任意不全为零的数.5. A 与B 相似 1P AP B -= （P 为可逆矩阵） A 与B 正交相似 1P AP B -= （P 为正交矩阵）A 可以相似对角化 A 与对角阵Λ相似.（称Λ是A 的相似标准形）6. 相似矩阵的性质： ①E A E B λλ-=-,从而,A B 有相同的特征值,但特征向量不一定相同.○注α是A 关于0λ的特征向量,1P α-是B 关于0λ的特征向量. ②A B =tr tr③A B = 从而,A B 同时可逆或不可逆 ④ ()()r A r B =⑤若A 与B 相似, 则A 的多项式()f A 与B 的多项式()f A 相似. 7. 矩阵对角化的判定方法① n 阶矩阵A 可对角化 (即相似于对角阵) 的充分必要条件是A 有n 个线性无关的特征向量. 这时,P 为A 的特征向量拼成的矩阵，1P AP -为对角阵,主对角线上的元素为A 的特征值. 设i α为对应于i λ的线性无关的特征向量,则有：121n P AP λλλ-⎛⎫⎪ ⎪=⎪ ⎪⎝⎭.② A 可相似对角化⇔()i i n r E A k λ--=，其中i k 为i λ的重数⇔A 恰有n 个线性无关的特征向量.○注：当iλ=0为A 的重的特征值时，A 可相似对角化⇔i λ的重数()n r A =-=Ax ο=基础解系的个数.③ 若n 阶矩阵A 有n 个互异的特征值⇒A 可相似对角化. 8. 实对称矩阵的性质：① 特征值全是实数,特征向量是实向量；② 不同特征值对应的特征向量必定正交；○注：对于普通方阵，不同特征值对应的特征向量线性无关； ③ 一定有n 个线性无关的特征向量. 若A 有重的特征值,该特征值i λ的重数=()i n r E A λ--； ④ 必可用正交矩阵相似对角化，即：任一实二次型可经正交变换化为标准形； ⑤ 与对角矩阵合同，即：任一实二次型可经可逆线性变换化为标准形； ⑥ 两个实对称矩阵相似⇔有相同的特征值. 9. 正交矩阵 TAA E =正交矩阵的性质：① 1T A A -=；② T TAA A A E ==；③ 正交阵的行列式等于1或-1；④ A 是正交阵,则TA ，1A -也是正交阵； ⑤ 两个正交阵之积仍是正交阵；⑥ A 的行（列）向量都是单位正交向量组.10. 11.施密特正交规范化123,,ααα线性无关,112122111313233121122(,)(,)(,)(,)(,)(,)βααββαβββαβαββαββββββ=⎧⎪⎪⎪=-⎨⎪⎪=--⎪⎩正交化单位化：111βηβ=222βηβ= 333βηβ=技巧：取正交的基础解系，跳过施密特正交化。

《线性代数B 》各章知识点整理第一章 行列式§1-1 二阶、三阶行列式的计算（对角线法） P2：例1n 阶行列式的定义（含排列的逆序数）§1-2、1-3 四阶行列式的计算 P11：例8理解余子式、代数余子式和行列式按行或列展开的概念（其中代数余子式在A *和1A -也用到）§1-4 理解P16有关的定理，特别是齐次方程组的定理5和定理6 习题P17: 3、4、7第二章 矩阵§2-1 认识常用矩阵：零矩阵、方阵、单位矩阵、对角阵矩阵的运算1. 矩阵的线性运算（和差、数乘）2. 矩阵的乘法：满足结合律和分配律，不满足交换律3. 矩阵的转置：()TT T AB B A =4. 方阵 ① 方阵的幂 k A②对称阵A ：T A A = P27③方阵的行列式 三条性质P28④方阵的伴随矩阵 A * P29§2-2 逆矩阵 1A -的概念、计算和相关的定理P31例12 （解法二，P46例21）有关n 阶方阵A 概念整理（含后续矩阵的秩和向量组的相关性）： ① 0A ≠⇔方阵A 是可逆矩阵⇔方阵A 是非奇异矩阵⇔方阵A 是满秩矩阵 ()R A n =⇔A 的列向量组 线性无关⇔~r A E① 0A =⇔方阵A 不可逆⇔方阵A 是奇异矩阵⇔方阵A 是降秩矩阵()R A n < ⇔A 的列向量组 线性相关 §2-4 熟练掌握把矩阵初等行变换成行阶梯形矩阵和行最简形矩阵P42 ~r A 行阶梯形矩阵 ~r行最简形矩阵 P41例19§2-6 矩阵秩的定义及相关的结论 P49例24习题P50：2、10、11、14 、28、30第三章 向量组与线性方程组§3-3 熟练掌握线性方程组有关解的定理（包括非齐次和齐次）P56 定理1 定理3 P58 例2、3、4 P77 定理4、5、6§3-2 1.线性表示的相关定义和定理 (P63定义、 P64定理7 )2.向量组的线性相关、无关的定义P663.讨论向量组的线性相关与无关的定理 P67定理10、定理11 P69 例11）§3-3 向量组的秩P70-71定义、P71例13）P93 例11（书上解法过于繁琐，可简化）§3-4 理解齐次方程组的基础解系的概念、基于基础解系如何表示齐次方程组的通解（P74-75）、P77例15理解非齐次方程组的通解（P78-79）例17、例18习题P82： :7、9、13、14、18、20第四章 相似矩阵及其二次型§4-1 1. 内积的定义与性质P852. 正交的定义及施密特正交化方法P863. 正交阵的概念：P87-88A 是正交阵⇔T AA E =或T A A E =⇔1T A A -=⇔A 的列向量组都是单位向量且满足两两正交⇒21A =（ 即1A =或1- ） §4-2 方阵的特征值与特征向量的概念、性质与计算P88-89有关的概念和性质 P89 例2、例3、例4§4-3 相似矩阵的概念及其对角化的方法P92-93 定义和定理 例6§4-4 了解二次型、其标准形及其二次型的矩阵等概念习题P102： 2、3、7、11、23。

线性代数四阶知识点总结1. 向量和矩阵•向量：向量是一种有序集合，可以表示为n x 1 的矩阵。

向量的加法、减法和数量乘法满足特定的运算规则。

•矩阵：矩阵是二维数组，具有行和列的结构。

可以表示为 m x n 的形式，其中 m 是矩阵的行数，n 是列数。

2. 线性方程组•线性方程组：线性方程组是一组线性方程的集合。

每个方程都可以写成如下形式：a1x1 + a2x2 + ... + anxn = b其中a1, a2, …, an 是已知常数，x1, x2, …, xn 是未知变量，b 是常数。

•线性方程组的解：一个线性方程组可能有无穷多个解、唯一解或者无解。

通过高斯消元法、矩阵求逆或克拉默法则等方法可以求解线性方程组。

3. 矩阵运算•矩阵加法：两个矩阵的加法是将对应位置的元素相加得到新的矩阵。

•矩阵减法：两个矩阵的减法是将对应位置的元素相减得到新的矩阵。

•矩阵数量乘法：将矩阵的每个元素都乘以一个常数得到新的矩阵。

•矩阵乘法：矩阵乘法是将一个矩阵的行与另一个矩阵的列进行内积运算得到新的矩阵。

4. 线性变换•线性变换：线性变换是指从一个向量空间到另一个向量空间的映射，保持向量加法和数量乘法的性质。

•线性变换的矩阵表示：对于一个线性变换，可以找到一个矩阵使得将原向量空间中的向量乘以该矩阵得到新的向量空间中的向量。

•线性变换的特性：线性变换保持向量的线性组合和零向量不变。

5. 特征值和特征向量•特征值和特征向量：对于一个方阵 A，如果存在一个非零向量 v 和一个实数λ，使得Av = λv，则λ 是 A 的特征值，v 是对应于特征值λ 的特征向量。

•特征值和特征向量的计算：通过求解线性方程组 (A - λI)v = 0 可以得到特征值和特征向量。

6. 行列式•行列式：行列式是一个标量值，用于判断一个矩阵的线性相关性和可逆性。

•行列式的计算：对于一个 n x n 的矩阵，行列式的计算涉及到对矩阵的元素进行排列组合并进行运算。

大学数学线性代数知识点归纳总结线性代数是数学的一个重要分支，广泛应用于各个领域。

作为大学数学的一门核心课程，线性代数为我们提供了一种处理线性方程组、矩阵运算和向量空间等数学工具和理论。

在这篇文章中，我将对大学数学线性代数的知识点进行归纳总结。

1. 向量与向量空间- 向量的定义和性质- 向量的线性组合与线性相关性- 向量空间的定义和基本性质- 子空间与超平面- 线性无关与基2. 线性方程组- 线性方程组的概念与解的存在唯一性- 矩阵形式与增广矩阵- 初等行变换与线性方程组的等价性- 齐次线性方程组与非齐次线性方程组- 线性方程组的解的结构3. 矩阵与矩阵运算- 矩阵的定义和性质- 矩阵的加法与数乘- 矩阵的转置与对称矩阵- 矩阵乘法与矩阵的秩- 逆矩阵与可逆矩阵4. 特征值与特征向量- 特征值与特征向量的定义 - 特征多项式与特征方程- 对角化与可对角化条件- 特征值与矩阵的相似性5. 线性变换与线性映射- 线性变换的基本性质- 线性变换矩阵与基变换- 线性变换的零空间与像空间 - 线性变换的维数定理6. 内积空间与正交性- 内积空间的定义和性质- 正交向量与正交补空间- 正交投影与最小二乘法- 施密特正交化过程7. 特殊矩阵与应用- 对角矩阵与对角化- 正交矩阵与正交对角化- 幂零矩阵与Jordan标准形- 应用：图像处理、数据压缩、网络分析等通过对以上知识点的整理和总结，我们对大学数学线性代数的学习有了更加清晰的认识。

线性代数的理论和方法在计算机科学、物理学、工程学等领域都有广泛的应用，了解和掌握线性代数知识对于我们的学术研究和职业发展都具有重要意义。

希望本文能帮助读者对线性代数有更深入的了解，并在实际应用中发挥作用。

线性代数知识点全面总结线性代数是研究向量空间、线性变换、矩阵、线性方程组及其解的一门数学学科。

它是高等数学的基础课程之一，广泛应用于物理学、工程学、计算机科学等领域。

下面将全面总结线性代数的知识点。

1.向量向量是线性代数的基本概念之一，它表示有方向和大小的物理量。

向量可以表示为一个有序的元素集合，也可以表示为一个列向量或行向量。

向量的加法、减法、数乘等运算满足一定的性质。

2.向量空间向量空间是一组向量的集合，其中的向量满足一定的性质。

向量空间中的向量可以进行线性组合、线性相关、线性无关等运算。

向量空间的维数是指向量空间中线性无关向量的个数，也称为向量空间的基的个数。

3.矩阵矩阵是线性代数中的另一个重要概念，它是由若干个数排成的矩形阵列。

矩阵可以表示线性方程组、线性变换等。

矩阵的加法、数乘运算满足一定的性质，矩阵的乘法满足结合律但不满足交换律。

4.线性方程组线性方程组是由线性方程组成的方程组。

线性方程组可以表示为矩阵乘法的形式，其中未知数对应为向量。

线性方程组的解可以通过高斯消元法、矩阵的逆等方法求解。

5.行列式行列式是一个包含数字的方阵。

行列式的值可以通过一系列的数学运算求得，它可以表示方阵的一些性质，例如可逆性、行列式的大小等。

6.矩阵的特征值与特征向量矩阵的特征值和特征向量是矩阵的重要性质。

特征值表示线性变换后的方向，特征向量表示与特征值对应的方向。

通过求解特征值和特征向量可以分析矩阵的性质，例如对角化、矩阵的相似等。

7.线性变换线性变换是指一个向量空间到另一个向量空间的映射，它满足线性性质。

线性变换可以通过矩阵的乘法表示，矩阵中的元素代表了向量的变换规则。

8.最小二乘法最小二乘法是一种通过最小化误差的平方和来求解线性方程组的方法。

最小二乘法可以用于求解多项式拟合、数据拟合等问题，它可以通过求矩阵的伪逆来得到解。

9.正交性与正交变换正交性是指向量或函数满足内积为零的性质。

正交变换是一种保持向量长度和夹角不变的线性变换。

完整版线性代数知识点总结线性代数是数学的一个分支，研究向量空间及其上的线性变换。

它在各个领域中都有广泛的应用，包括物理学、计算机科学、工程学等。

以下是线性代数的一些重要知识点总结：1.向量和向量空间：向量是有方向和大小的量，可以用来表示力、速度、位移等。

向量空间是向量的集合，具有加法和标量乘法运算，同时满足一定的性质。

2.线性方程组和矩阵：线性方程组是一组线性方程的集合，研究其解的性质和求解方法。

矩阵是一个由数构成的矩形数组，可以用来表示线性方程组中的系数和常数。

3.矩阵的运算：包括矩阵的加法、减法和乘法运算。

矩阵乘法是一种重要的运算，可以用来表示线性变换和复合变换。

4.行列式和特征值：行列式是一个标量，表示矩阵的一些性质，如可逆性和面积/体积的变换。

特征值是矩阵对应的线性变换中特殊的值，表示该变换在一些方向上的伸缩程度。

5.向量的内积和正交性：向量的内积是一种二元运算，可以用来表示向量之间的夹角和长度。

正交向量是指内积为零的向量，可以用来表示正交补空间等概念。

6.向量的投影和正交分解：向量的投影是一个向量在另一个向量上的投影，可以用来表示向量的分解。

正交分解是将一个向量分解为与另一个向量正交和平行的两个向量之和。

7.线性变换和线性映射：线性变换是指保持向量加法和标量乘法运算的变换。

线性映射是向量空间之间的函数，具有保持线性运算的性质。

8.特征值和特征向量：特征值和特征向量是线性变换或矩阵中一个重要的概念，用于描述变换的性质和方向。

9.正交矩阵和对称矩阵：正交矩阵是一个方阵，其列向量组成的矩阵是正交的。

对称矩阵是一个方阵，其转置等于自身。

10.奇异值分解：奇异值分解（SVD）是一种矩阵的分解方法，用来将一个矩阵分解为三个矩阵的乘积。

SVD在数据压缩、图像处理和机器学习等领域有广泛的应用。

11.最小二乘法：最小二乘法是一种数学优化方法，用来找到一条曲线或超平面，使得这些数据点到该曲线或超平面的距离平方和最小。

线性代数知识点总结（第4章）（一）方程组的表达形与解向量1、解的形式：(1)一般形式(2)矩阵形式：Ax=b；(3)向量形式：A=（α1，α2，…，αn）2、解的定义：若η=（c1，c2，…，c n）T满足方程组Ax=b，即Aη=b，称η是Ax=b的一个解（向量）（二）解的判定与性质3、齐次方程组：（1）只有零解←→r（A）=n（n为A的列数或是未知数x的个数）（2）有非零解←→r（A）＜n4、非齐次方程组：（1）无解←→r（A）＜r（A|b）←→r（A）=r（A）-1（2）唯一解←→r（A）=r（A|b）=n（3）无穷多解←→r（A）=r（A|b）＜n5、解的性质：（1）若ξ1，ξ2是Ax=0的解，则k1ξ1+k2ξ2是Ax=0的解（2）若ξ是Ax=0的解，η是Ax=b的解，则ξ+η是Ax=b的解（3）若η1，η2是Ax=b的解，则η1-η2是Ax=0的解【推广】（1）设η1，η2，…，ηs是Ax=b的解，则k1η1+k2η2+…+k sηs为Ax=b的解（当Σk i=1）Ax=0的解（当Σk i=0）（2）设η1，η2，…，ηs是Ax=b的s个线性无关的解，则η2-η1，η3-η1，…，ηs-η1为Ax=0的s-1个线性无关的解。

变式：①η1-η2，η3-η2，…，ηs-η2②η2-η1，η3-η2，…，ηs-ηs-1（三）基础解系6、基础解系定义：（1）ξ1，ξ2，…，ξs是Ax=0的解（2）ξ1，ξ2，…，ξs线性无关（3）Ax=0的所有解均可由其线性表示→基础解系即所有解的极大无关组注：基础解系不唯一。

任意n-r（A）个线性无关的解均可作为基础解系。

★7、重要结论：（证明也很重要）设A施m×n阶矩阵，B是n×s阶矩阵，AB=O（1）B的列向量均为方程Ax=0的解（2）r（A）+r（B）≤n（第2章，秩）8、总结：基础解系的求法（1）A为抽象的：由定义或性质凑n-r（A）个线性无关的解（2）A为数字的：A→初等行变换→阶梯型自由未知量分别取1,0,0；0,1,0；0,0,1；代入解得非自由未知量得到基础解系（四）解的结构（通解）9、齐次线性方程组的通解（所有解）设r（A）=r，ξ1，ξ2，…，ξn-r为Ax=0的基础解系，则Ax=0的通解为k1η1+k2η2+…+k n-rηn-r （其中k1，k2，…，k n-r为任意常数）10、非齐次线性方程组的通解设r（A）=r，ξ1，ξ2，…，ξn-r为Ax=0的基础解系，η为Ax=b的特解，则Ax=b的通解为η+ k1η1+k2η2+…+k n-rηn-r （其中k1，k2，…，k n-r为任意常数）（五）公共解与同解11、公共解定义：如果α既是方程组Ax=0的解，又是方程组Bx=0的解，则称α为其公共解12、非零公共解的充要条件：方程组Ax=0与Bx=0有非零公共解←→有非零解←→13、重要结论（需要掌握证明）（1）设A是m×n阶矩阵，则齐次方程A T Ax=0与Ax=0同解，r（A T A）=r（A）（2）设A是m×n阶矩阵，r（A）=n，B是n×s阶矩阵，则齐次方程ABx=0与Bx=0同解，r（AB）=r（B）。

线性代数四五章知识点总结第四章：行列式1. 行列式的定义行列式是一个数学工具，它可以用来表示一个线性变换对体积的放大倍数。

对于一个n阶（n行n列）的方阵A，它的行列式记作det(A)，行列式的元素通常用aij表示，其中i代表行号，j代表列号。

2. 行列式的性质（1）行列式中的行（列）互换，则行列式变号。

（2）行列式的某一行（列）乘以一个数k，那么行列式的值也要乘以k。

（3）行列式中的某一行（列）的元素都是两个数的和，那么行列式等于两个行列式的和。

（4）若行列式中有两行（列）完全相同，则行列式的值为0。

3. 行列式的计算（1）余子式和代数余子式对于一个n阶行列式A，如果去掉第i行和第j列的元素后，剩下来的(n-1)阶行列式就是A的余子式，用Mij表示。

而对应的代数余子式就是Mij乘上(-1)^(i+j)。

（2）拉普拉斯（Laplace）展开定理通过代数余子式的计算，可以利用拉普拉斯展开定理来计算n阶行列式的值。

即对于一个n阶行列式A，其中的元素aij乘以对应的代数余子式Mij后相加，即可得到行列式的值。

第五章：特征值和特征向量1. 特征值和特征向量的概念对于一个n阶方阵A，如果存在一个非零向量x和一个数λ，使得Ax=λx，那么λ称为A 的特征值，x称为A对应于特征值λ的特征向量。

2. 特征值和特征向量的计算寻找一个矩阵的特征值和特征向量可以通过求解方程组(A-λI)x=0来得到。

其中A是待求矩阵，λ是特征值，x是特征向量，I是单位矩阵。

3. 特征值和特征向量的性质（1）特征值的性质：一个n阶方阵A的n个特征值之和等于它的主对角线元素之和，即Tr(A)=λ1+λ2+...+λn。

（2）特征向量的性质：如果A有n个不同的特征值λ1,λ2,...,λn，那么这n个特征值对应的n个特征向量是线性无关的。

4. 特征值与对角化如果一个n阶方阵A有n个线性无关的特征向量，那么可以将它对角化成对角阵D，即找到一个可逆矩阵P，使得P^-1AP=D。

线性代数总结知识点线性代数是数学的一个分支，主要研究向量、向量空间（也称为线性空间）、线性变换以及线性方程组的理论。

它是现代数学的基础工具之一，广泛应用于物理学、工程学、计算机科学、经济学和社会科学等领域。

以下是线性代数的一些核心知识点总结：1. 向量与向量运算- 向量的定义：向量可以是有序的数字列表，用于表示空间中的点或方向。

- 向量加法：两个向量对应分量相加得到新的向量。

- 标量乘法：一个向量与一个标量相乘，每个分量都乘以该标量。

- 向量的数量积（点积）：两个向量的对应分量乘积之和，用于计算向量的长度或投影。

- 向量的向量积（叉积）：仅适用于三维空间，结果是一个向量，表示两个向量平面的法向。

2. 矩阵- 矩阵的定义：一个由数字排列成的矩形阵列。

- 矩阵加法和减法：对应元素相加或相减。

- 矩阵乘法：第一个矩阵的列数必须等于第二个矩阵的行数，结果矩阵的每个元素是两个矩阵对应行列的乘积之和。

- 矩阵的转置：将矩阵的行变成列，列变成行。

- 单位矩阵：对角线上全是1，其余位置全是0的方阵。

- 零矩阵：所有元素都是0的矩阵。

3. 线性相关与线性无关- 线性相关：如果一组向量中的任何一个可以通过其他向量的线性组合来表示，则这组向量是线性相关的。

- 线性无关：如果只有所有向量的零组合才能表示为零向量，则这组向量是线性无关的。

4. 向量空间（线性空间）- 定义：一组向量，它们在向量加法和标量乘法下是封闭的。

- 子空间：向量空间的子集，它自身也是一个向量空间。

- 维数：向量空间的基（一组线性无关向量）的大小。

- 基和坐标：向量空间的一组基可以用来表示空间中任何向量的坐标。

5. 线性变换- 定义：保持向量加法和标量乘法的函数。

- 线性变换可以用矩阵表示，矩阵的乘法对应线性变换的复合。

6. 特征值和特征向量- 特征值：对应于线性变换的标量，使得变换后的向量与原向量成比例。

- 特征向量：与特征值对应的非零向量，变换后的向量与原向量方向相同。

线性代数总结 [转贴 2008-05-04 13:04:49]字号：大中小线性代数总结一、课程特点特点一：知识点比较细碎。

如矩阵部分涉及到了各种类型的性质和关系，记忆量大而且容易混淆的地方较多。

特点二：知识点间的联系性很强。

这种联系不仅仅是指在后面几章中用到前两章行列式和矩阵的相关知识，更重要的是在于不同章节中各种性质、定理、判定法则之间有着相互推导和前后印证的关系。

复习线代时，要做到“融会贯通”。

“融会”——设法找到不同知识点之间的内在相通之处；“贯通”——掌握前后知识点之间的顺承关系。

二、行列式与矩阵第一章《行列式》、第二章《矩阵》是线性代数中的基础章节，有必要熟练掌握。

行列式的核心内容是求行列式，包括具体行列式的计算和抽象行列式的计算，其中具体行列式的计算又有低阶和阶两种类型；主要方法是应用行列式的性质及按行\列展开定理化为上下三角行列式求解。

对于抽象行列式的求值，考点不在求行列式，而在于、、等的相关性质，及性质（其中为矩阵的特征值）。

矩阵部分出题很灵活，频繁出现的知识点包括矩阵运算的运算规律、、、的性质、矩阵可逆的判定及求逆、矩阵的秩的性质、初等矩阵的性质等。

三、向量与线性方程组向量与线性方程组是整个线性代数部分的核心内容。

相比之下，行列式和矩阵可视作是为了讨论向量和线性方程组部分的问题而做铺垫的基础性章节；后两章特征值、特征向量、二次型的内容则相对独立，可以看作是对核心内容的扩展。

向量与线性方程组的内容联系很密切，很多知识点相互之间都有或明或暗的相关性。

复习这两部分内容最有效的方法就是彻底理顺诸多知识点之间的内在联系，因为这样做首先能够保证做到真正意义上的理解，同时也是熟练掌握和灵活运用的前提。

解线性方程组可以看作是出发点和目标。

线性方程组（一般式）还具有两种形式：（Ⅰ）矩阵形式，其中，，（Ⅱ）向量形式，其中,向量就这样被引入了。

1）齐次线性方程组与线性相关、无关的联系齐次线性方程组可以直接看出一定有解，因为当时等式一定成立；印证了向量部分的一条性质“零向量可由任何向量线性表示”。

线性代数各章知识点荟萃线性代数各章知识点荟萃线性代数之所以难复习，是因为线性代数这门学科不仅知识点多、概念多、定理多、符号多、运算规律多，而且各章节的内容也是相互纵横交错的，知识点之间的联系非常紧密。

因此，在复习线性代数的时候应该将重点放在对基本概念的理解上，做到掌握基本定理的条件、结论及其应用、各种运算规律及基本题型的计算方法等。

多注重知识点之间的衔接与转换，注重理解，多思考多总结，使知识成网状，努力提高自己综合分析问题的能力。

为了让大家在复习中能将线性代数提高到一个新的层次，在此分析一下历年考研重点及其复习思路，以使大家做到有的放矢决胜千里!考研线性代数总共涉及到六章的内容，接下来我们针对各章节进行考点的总结，并给出复习重难点。

第一章行列式本章的重点是行列式的计算，主要有两种类型的题目：数值型行列式的计算和抽象型行列式的计算。

数值型行列式的计算不会以单独题目的形式考查，但是在解决线性方程组求解问题以及特征值与特征向量的问题时均涉及到数值型行列式的'计算；而抽象型行列式的计算问题会以填空题的形式展现，在历年考研真题中可以找到有关抽象型行列式的计算问题。

因此，在复习期间行列式这块要做到利用行列式的性质及展开定理熟练的、准确的计算出数值型行列式的值，不论是高阶的还是低阶的都要会计算。

另外还要会综合后面的知识会计算简单的抽象行列式的值。

第二章矩阵本章需要重点掌握的基本概念有可逆矩阵、伴随矩阵、分块矩阵和初等矩阵，可逆阵与伴随矩阵的相关性质也很重要，也是需要掌握的。

除了这些就是矩阵的基本运算，可以将矩阵的运算分为两个层次：1、矩阵的符号运算2、具体矩阵的数值运算矩阵的符号运算就是利用相关矩阵的性质对给出的矩阵等式进行化简，而具体矩阵的数值运算主要指矩阵的乘法运算、求逆运算等。

第三章向量本章的重点有：1、向量组的线性相关性证明、线性表出等问题，解决此类问题的关键在于深刻理解向量组的线性相关性概念，掌握线性相关性的几个相关定理，另外还要注意推证过程中逻辑的正确性，还要善于使用反证法。

线性代数知识点全面总结线性代数是数学的重要分支，广泛应用于各个领域，如物理学、计算机科学、经济学等。

本文将全面总结线性代数的知识点，帮助读者系统地了解和掌握该学科。

1. 线性代数的基本概念1.1 向量及其表示：向量是线性代数的基本概念，可以用有序数对、矩阵或列向量表示，具有方向和大小。

1.2 矩阵及其运算：矩阵是由数字排列成的矩形数组，可以进行加法、乘法、转置等运算。

1.3 线性方程组：线性方程组是由一组线性方程组成的方程组，可以用矩阵和向量的表示形式来求解。

2. 向量空间2.1 向量空间的定义：向量空间是由一组满足一定条件的向量构成的集合，满足加法和数乘运算的封闭性。

2.2 子空间：子空间是向量空间的子集，也是向量空间，满足加法和数乘运算的封闭性。

2.3 线性无关与生成子空间：线性无关是指向量组中的向量之间不存在线性关系，生成子空间是指向量组中所有向量的线性组合的集合。

3. 线性映射3.1 线性映射的定义：线性映射是一个将一个向量空间映射到另一个向量空间的映射，保持加法和数乘运算的性质。

3.2 线性映射的矩阵表示：线性映射可以用矩阵表示，将一个向量空间的向量转化为另一个向量空间的向量。

3.3 核与像：核是线性映射中被映射为零向量的向量集合，像是线性映射中所有被映射到的向量组成的集合。

4. 矩阵的特征值与特征向量4.1 特征值和特征向量的定义：特征值是一个矩阵对应的线性变换中不改变方向的标量因子，特征向量是在特征值下发生伸缩的向量。

4.2 特征值与特征向量的计算：特征值与特征向量可以通过求解特征方程来计算。

4.3 对角化与相似矩阵：若一个矩阵相似于一个对角矩阵，则称其可对角化，对角矩阵是一个形式为对角线非零、其余元素均为零的矩阵。

5. 线性代数的应用5.1 物理学中的应用：线性代数在量子力学、力学等物理学领域有广泛应用，如描述粒子的状态和变换等。

5.2 计算机科学中的应用：线性代数在计算机图形学、机器学习等领域起到重要作用，如图像处理、数据分析等。

线性代数知识点总结线性代数知识点总结「篇一」第一章行列式知识点1：行列式、逆序数知识点2：余子式、代数余子式知识点3：行列式的性质知识点4：行列式按一行（列）展开公式知识点5：计算行列式的方法知识点6：克拉默法则第二章矩阵知识点7：矩阵的概念、线性运算及运算律知识点8：矩阵的乘法运算及运算律知识点9：计算方阵的幕知识点10：转置矩阵及运算律知识点11：伴随矩阵及其性质知识点12：逆矩阵及运算律知识点13：矩阵可逆的判断知识点14：方阵的行列式运算及特殊类型的矩阵的运算知识点15：矩阵方程的求解知识点16：初等变换的概念及其应用知识点17：初等方阵的概念知识点18：初等变换与初等方阵的关系知识点19：等价矩阵的概念与判断知识点20：矩阵的子式与最高阶非零子式知识点21：矩阵的秩的概念与判断知识点22：矩阵的秩的性质与定理知识点23：分块矩阵的概念与运算、特殊分块阵的运算知识点24：矩阵分块在解题中的技巧举例第三章向量知识点25：向量的概念及运算知识点26：向量的线性组合与线性表示知识点27：向量组之间的线性表示及等价知识点28：向量组线性相关与线性无关的概念知识点29：线性表示与线性相关性的关系知识点30：线性相关性的判别法知识点31：向量组的最大线性无关组和向量组的秩的概念知识点32：矩阵的秩与向量组的秩的关系知识点33：求向量组的最大无关组知识点34：有关向量组的定理的综合运用知识点35：内积的概念及性质知识点36：正交向量组、正交阵及其性质知识点37：向量组的正交规范化、施密特正交化方法知识点38：向量空间（数一）知识点39：基变换与过渡矩阵（数一）知识点40：基变换下的坐标变换（数一）第四章线性方程组知识点41：齐次线性方程组解的性质与结构知识点42：非齐次方程组解的性质及结构知识点43：非齐次线性线性方程组解的各种情形知识点44：用初等行变换求解线性方程组知识点45：线性方程组的公共解、同解知识点46：方程组、矩阵方程与矩阵的乘法运算的关系知识点47：方程组、矩阵与向量之间的联系及其解题技巧举例第五章矩阵的特征值与特征向量知识点48：特征值与特征向量的概念与性质知识点49：特征值和特征向量的求解知识点50：相似矩阵的概念及性质知识点51：矩阵的相似对角化知识点52：实对称矩阵的相似对角化。

线性代数知识点全面总结线性代数是数学的一个重要分支，在科学、工程、计算机科学等领域都有着广泛的应用。

下面就为大家全面总结一下线性代数的主要知识点。

一、行列式行列式是线性代数中的一个基本概念，它是一个数值。

对于一个二阶行列式，其计算公式为“左上角元素乘以右下角元素减去右上角元素乘以左下角元素”。

对于高阶行列式，可以通过按照某一行（列）展开来计算。

行列式具有很多重要的性质，比如：某一行（列）元素乘以同一数后，加到另一行（列）对应元素上，行列式的值不变；如果行列式某一行（列）元素全为零，则行列式的值为零；交换行列式的两行（列），行列式的值变号等。

二、矩阵矩阵是线性代数的核心概念之一。

它是一个按照矩形排列的数表。

矩阵可以进行加法、减法、数乘和乘法运算。

矩阵加法和减法要求两个矩阵的行数和列数都相同，对应位置的元素相加减。

数乘则是将矩阵的每个元素乘以一个数。

矩阵乘法相对复杂一些，只有当第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数时，两个矩阵才能相乘。

而且，矩阵乘法一般不满足交换律。

矩阵还有转置、逆等概念。

矩阵的转置是将行和列互换得到的新矩阵。

如果一个矩阵存在逆矩阵，那么它与原矩阵相乘得到单位矩阵。

三、线性方程组线性方程组是线性代数中的重要内容。

可以用矩阵的形式来表示线性方程组，通过对增广矩阵进行初等行变换来求解。

齐次线性方程组（常数项都为零的线性方程组）一定有零解，如果系数矩阵的秩小于未知数的个数，则有非零解。

非齐次线性方程组，如果系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩，则有解；如果秩相等且等于未知数的个数，则有唯一解；如果秩相等但小于未知数的个数，则有无穷多解。

四、向量向量是既有大小又有方向的量。

在线性代数中，向量可以表示为行向量或列向量。

向量组的线性相关和线性无关是重要概念。

如果存在一组不全为零的数，使得向量组的线性组合等于零向量，则称向量组线性相关；否则，称向量组线性无关。

向量组的秩是指极大线性无关组中向量的个数。

五、特征值与特征向量对于一个方阵 A，如果存在一个数λ和一个非零向量 x，使得 Ax ＝λx，那么λ称为矩阵 A 的特征值，x 称为矩阵 A 对应于特征值λ的特征向量。

大一线性代数章节知识点总结线性代数是一门重要的数学课程，也是大多数理工科学生在大一上学期所学习的一门基础课程。

通过线性代数的学习，我们可以理解向量、矩阵等数学概念，并运用它们解决实际问题。

在大一线性代数课程中，我们学习到了许多重要的知识点，下面我将对其中几个重点进行总结。

1. 向量与矩阵向量是线性代数中的基本概念，它可以表示为一个有序的数列，通常用箭头来表示。

我们学习了向量的加法、数乘、内积和外积等运算。

而矩阵则是由多个向量组成的矩形阵列，可以简洁地表示一组线性方程。

在线性代数中，向量与矩阵有着重要的作用，我们可以通过矩阵运算来解决多元线性方程组、线性变换等问题。

2. 矩阵的行列式和逆矩阵行列式是矩阵的一个重要概念，它可以判断矩阵是否可逆以及求解矩阵的逆矩阵。

行列式的计算过程有点繁琐，但我们可以通过化简、按行列或按列展开等方法来简化计算过程。

逆矩阵是矩阵的一种特殊矩阵，可以通过行列式的计算来求解。

逆矩阵在线性代数中具有重要的作用，能够用来解决矩阵方程、线性变换等问题。

3. 向量空间和线性变换向量空间是指由一组向量所组成的集合，它具有一些特定的性质，如封闭性、加法逆元等。

我们学习了向量空间的定义和性质，并通过实例了解了向量空间的应用。

线性变换是一种特殊的函数，它将向量空间中的一个向量映射到另一个向量空间中。

我们学习了线性变换的定义和性质，并通过线性变换矩阵来表示线性变换。

4. 特征值和特征向量特征值和特征向量是矩阵在线性代数中的一个重要概念。

特征值表示了线性变换后不改变方向的向量，特征向量则表示了线性变换后改变了方向但未被拉伸或压缩的向量。

我们学习了特征值和特征向量的定义和计算方法，并通过实例来加深对其的理解。

总结起来，线性代数是一门抽象而重要的数学课程，通过学习线性代数我们可以更好地理解和解决实际问题。

以上所述的知识点只是线性代数中的一部分，但却是我们在大一上学期所学习到的重要内容。

希望这篇知识点总结能够帮助到正在学习线性代数的同学们，更好地掌握和应用线性代数知识。

线代b知识点总结向量和矩阵是线性代数中最基本的概念之一。

向量可以看作是具有大小和方向的量，通常用箭头表示，而矩阵则是由数个数排成矩形阵列的数学对象。

在实际应用中，向量和矩阵可以用来表示各种物理量，如力、速度、位移、电场强度、磁场强度等。

线性代数中的向量和矩阵可以进行加法和数乘运算，定义了向量空间和矩阵空间的概念。

在线性代数中，向量和矩阵的运算规律和性质是非常重要的。

向量空间是线性代数中的一个重要概念，它是指具有向量加法和数乘运算的集合，并满足一定的运算规律和性质。

向量空间可以是有限维的，也可以是无限维的，例如实数空间和复数空间就是无限维的向量空间。

线性代数中的向量空间可以用来描述各种物理量的性质和运算规律，是分析和求解问题的重要工具。

线性变换是线性代数中的一个基本概念，它指的是一个向量空间到另一个向量空间的映射，并满足一定的线性性质。

线性变换可以用矩阵来表示，而且线性变换的性质和运算规律与矩阵的性质和运算规律有着密切的联系。

线性变换在物理、工程、计算机图形学等领域有着广泛的应用，是线性代数中的一个重要概念。

特征值和特征向量是线性代数中的一个重要概念，它们可以用来求解线性变换的性质和本征问题。

特征值和特征向量可以用来描述线性变换的旋转、拉伸、压缩等性质，是线性代数中的一个重要内容。

特征值和特征向量的性质和运算规律与矩阵的性质和运算规律有着密切的联系，它们在物理、工程、计算机科学等领域有着广泛的应用。

线性代数在数学、物理、工程、计算机科学等领域都有着广泛的应用，它研究向量空间和线性变换的性质和运算规律，是现代科学和工程技术的基础之一。

线性代数的基本知识包括向量、矩阵、向量空间、线性变换、特征值和特征向量等方面，它们的性质和运算规律对于分析和求解问题都有着重要的意义。

通过对线性代数的学习和掌握，可以帮助我们更好地理解和应用数学知识，提高我们的分析和解决问题的能力。

线性代数课程总结第一章行列式§1.1二阶、三阶行列式（一）二阶行列式（二）三阶行列式§1.2 阶行列式（二）阶行列式的定义定义1.2用个元素组成的记号称为阶行列式。

注意：（1）、一阶行列式就是（2）、行列式有时简记为。

第二章矩阵及其运算§2.1 矩阵的概念定义2.1 由个数排列成的一个行列的矩形表，称为一个矩阵,记作其中称为矩阵第行第列的元素。

定义2.2如果两个矩阵有相同的行数与相同的列数，并且对应位置上的元素均相等，则称矩阵与矩阵相等，记为。

即如果且，则。

§2.2 矩阵的运算（—）矩阵的加法和数乘矩阵定义2.3 两个行列矩阵对应位置元素相加得到的行列矩阵，称为矩阵与矩阵的和，记。

定义2.4 以数乘矩阵的每一个元素得到的矩阵，称为数与矩阵的积，记作。

由上面定义的矩阵加法、数与矩阵的乘法，不难得到下面的运算律。

设都是矩阵，是数，则(1)(3)(5)(7)（二）矩阵的乘法定义2.5 设矩阵的列数与矩阵的行数相同，则由元素构成的行列矩阵称为矩阵与矩阵的积，记为或。

可看出：1、两个非零矩阵相乘可能是零矩阵。

2、矩阵不满足交换律。

3、一般矩阵用大写字母表示，但1行列或行1列矩阵，有时也用小写字母表示。

矩阵的乘法有下列性质：(1)(2)(3)(4)（三）矩阵的转置定义2.6将矩阵的行与列互换，得到的矩阵，称为矩阵的转置矩阵，记为或。

转置矩阵有下列性质：(1)(2)(3)(4)§2.3逆矩阵定义2.7 对于阶矩阵，如果存在阶矩阵，使得那么矩阵称为可逆矩阵，而称为的逆矩阵。

如果可逆，的逆矩阵是唯一的。

逆矩阵的性质：（1）可逆矩阵的逆矩阵是可逆矩阵，且。

（2）两个同阶可逆矩阵的乘积是可逆矩阵，且。

（3）可逆矩阵的转置矩阵是可逆矩阵，且第三章矩阵的初等变换与线性方程组§3.1 矩阵的初等变换定义3.1 对矩阵施以下列3种变换，称为矩阵的初等变换。

（1）交换矩阵的两行（列）；（2）以一个非零的数乘矩阵的某一行（列）；（3）把矩阵的某一行（列）的倍加于另一行（列）上。

大学线性代数知识点归纳总结线性代数是大学数学的重要分支之一，广泛应用于各个学科领域。

在学习线性代数过程中，我们需要掌握一系列的基本知识点。

本文将对大学线性代数的知识点进行归纳总结，旨在帮助读者梳理思路，全面了解线性代数的基本概念和运算方法。

1. 行列式行列式是线性代数的基础概念之一，在矩阵运算和方程组求解中起到重要作用。

行列式的计算涉及到代数余子式、代数余子式和行列式的关系等内容。

我们需要掌握行列式的计算方法，包括二阶和三阶行列式的计算公式，以及行列式的性质和运算规则。

2. 矩阵矩阵是线性代数的核心概念之一，广泛应用于各个学科领域。

我们需要了解矩阵的表示方法、矩阵的基本运算、矩阵的转置和逆矩阵等基本概念。

此外，矩阵乘法的计算方法和矩阵的行、列空间也是我们需要掌握的内容。

3. 向量空间向量空间是线性代数的重要概念，用于描述向量的性质和运算规则。

我们需要了解向量空间的定义和基本性质，包括向量加法、标量乘法、零向量、向量的线性组合和线性相关性等概念。

此外，向量空间的子空间、基和维数也是我们需要掌握的内容。

4. 线性变换线性变换是线性代数的核心内容之一，用于描述向量空间之间的映射关系。

我们需要理解线性变换的定义和性质，包括线性变换的加法、标量乘法、零变换和逆变换等。

此外，线性变换的矩阵表示和特征值、特征向量也是我们需要重点掌握的内容。

5. 特征值和特征向量特征值和特征向量是矩阵理论中的重要概念，揭示了线性变换中的重要性质。

我们需要了解特征值和特征向量的定义和计算方法，以及它们在线性代数中的应用。

6. 正交性与正交变换正交性是线性代数中重要的概念，与内积空间和正交变换密切相关。

我们需要了解正交性的定义和性质，包括正交向量、正交矩阵和正交变换等。

此外，正交化过程和正交矩阵的性质也是我们需要掌握的内容。

7. 最小二乘法最小二乘法是线性代数在实际问题中的应用之一，用于求解线性方程组的近似解。

我们需要了解最小二乘法的基本原理和计算方法，包括最小二乘解的存在唯一性和求解过程。