2017-2018年甘肃省兰州四中高二上学期数学期中试卷带答案

2018-2019学年甘肃省兰州四中高二第一学期期中考试数学试卷考试时间：120分钟 总分：150分一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是合题目要求的。

）1.等差数列{}n a 中，若2491132a a a a +++=，则67a a +=（ ） A.9B.12C.15D.162.若0a b <<，则下列不等式中成立的是（ ） A.33a b >B.a b >C.11a b> D.11a b< 3.在△ABC中，已知a 2b =，45B =︒，则角A=（ ） A.30°或150° B .60°或120° C.60°D.30°4.在△ABC 中，AB=5，AC=3，BC=7，则∠BAC 的大小为（ ） A.23πB.56π C.34π D.3π 5.已知单调递增的等比数列{}n a 中，2616a a ⋅=，3610a a ⋅=，则数列{}n a 的前n 项和n S =（ ）A.2124n --B.1122n --C.21n -D.122n +-6.△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，若acosB=bcosA ，则△ABC 是（ ） A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.等腰或直角三角形7.等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若32S =，618S =，则106S S 等于（ ） A.-3B.5C.-31D.338.不等式()23x x -<的解集是（ ） A.{}31x x -<<B.{}13x x -<<C.{}31x x x <->或D.{}13x x x <->或9.已知△ABC 中，内角A ，B ，C 所对边长分别为a ，b ，c ，若3A π=，b=2acosB ，c=1，则△ABC 的面积等于（ ）10.已知数列{}n a 中，11a =，13n n a a +=+，若2014n a =，则n=（ ） A.667B.668C.669D.67211.已知O 是坐标原点，点A （-1，1）若点M （x ，y ）为平面区域212x y x y +≥⎧⎪≤⎨⎪≤⎩上的一个动点，则OA OM ⋅的取值范围是（ ） A.[-1，0]B.[0，1]C.[0，2]D.[-1，2]12.已知不等式501x x -<+的解集为P ，若'0x P ∈，则“01x <”的概率为（ ） A.14B.13C.12D.23二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）13.已知数列{}n a 前n 项和248n S n n =-，则{}n a 的通项公式为________。

2017-2018学年甘肃省兰州四中高二（上）期中数学试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）设a＞b，c＞d则下列不等式中一定成立的是（）A．a+c＞b+d B．ac＞bd C．a﹣c＞b﹣d D．a+d＞b+c2．（5分）数列{a n}满足a n+1﹣a n=﹣3（n≥1），a1=7，则a3的值是（）A．﹣3 B．4 C．1 D．63．（5分）若a＞1则a﹣1+的最小值等于（）A．a B．C．2 D．34．（5分）在等差数列{a n}中，已知a5=21，则a4+a5+a6等于（）A．15 B．33 C．51 D．635．（5分）在△ABC中，已知a=8，B=60°，A=45°，则b等于（）A．B．C．D．6．（5分）已知不等式x2﹣2x﹣3＜0的整数解构成等差数列{a n}的前三项，则数列的第四项为（）A．3 B．﹣1 C．2 D．3或﹣17．（5分）不等式2x2+mx+n＞0的解集是{x|x＞3或x＜﹣2}，则二次函数y=2x2+mx+n的表达式是（）A．y=2x2+2x+12 B．y=2x2﹣2x+12 C．y=2x2+2x﹣12 D．y=2x2﹣2x﹣12 8．（5分）在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知A=，a=，b=1，则c=（）A．1 B．2 C．﹣1 D．9．（5分）数列{a n}的前n项和为S n，若a n=，则S5等于（）A．1 B．C．D．10．（5分）设0＜b＜a＜1，则下列不等式成立的是（）A．ab＜b2＜1 B．C．2b＜2a＜2 D．a2＜ab＜111．（5分）不等式lgx2＞lg2x的解集是（）A．（1，100）B．（100，+∞）C．（0，1）∪（100，+∞） D．12．（5分）设△ABC的三内角A、B、C成等差数列，sinA、sinB、sinC成等比数列，则这个三角形的形状是（）A．直角三角形B．钝角三角形C．等腰直角三角形 D．等边三角形二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中的相应位置.13．（4分）已知数列，则是该数列的第项．14．（4分）不等式的解集是．15．（4分）数列{a n}的前n项的和，则此数列的通项公式a n=．16．（4分）在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知（b+c）：（c+a）：（a+b）=4：5：6，则下列结论正确的是（1）△ABC一定是钝角三角形；（2）△ABC被唯一确定；（3）sinA：sinB：sinC=7：5：3；（4）若b+c=8，则△ABC的面积为．三、解答题：本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（12分）设{a n}是等差数列，前n项和记为S n，已知a10=30，a20=50．（1）求通项公式a n．（2）若S n=242，求n的值．18．（12分）（I）解不等式﹣x2+4x+5＜0；（Ⅱ）解关于x的不等式x2﹣（1+m）x+m＜0．19．（12分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知cosBcosC﹣sinBsinC=．（1）求A；（2）若a=2，b+c=4，求△ABC的面积．20．（12分）若实数x，y满足条件，求z=2y﹣2x+4的最小值和最大值．21．（12分）某种汽车购买时费用为14.4万元，每年应交付保险费、养路费及汽油费共0.9万元，汽车的维修费为：第一年0.2万元，第二年0.4万元，第三年0.6万元，…，依等差数列逐年递增．（Ⅰ）设使用n年该车的总费用（包括购车费用）为f（n），试写出f（n）的表达式；（Ⅱ）求这种汽车使用多少年报废最合算（即该车使用多少年平均费用最少）．22．（14分）已知数列{a n}满足a1=1，a n+1=2a n+1（n∈N*）．（I）证明数列{a n+1}是等比数列，并求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若b n=，求数列{b n}的前n项和S n；（Ⅲ）证明：．2017-2018学年甘肃省兰州四中高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）设a＞b，c＞d则下列不等式中一定成立的是（）A．a+c＞b+d B．ac＞bd C．a﹣c＞b﹣d D．a+d＞b+c【解答】解：∵b＜a，d＜c，∴设b=﹣1，a=﹣2，d=2，c=3选项B，（﹣2）×3＞（﹣1）×2，不成立选项C，﹣2﹣3＞﹣1﹣2，不成立选项D，﹣2+2＞﹣1+3，不成立故选：A．2．（5分）数列{a n}满足a n+1﹣a n=﹣3（n≥1），a1=7，则a3的值是（）A．﹣3 B．4 C．1 D．6【解答】解：∵a n﹣a n=﹣3（n≥1），a1=7，+1∴数列{a n}是等差数列，∴a n=a1+（n﹣1）（﹣3）=7﹣3n+3=10﹣3n，∴a3=10﹣3×3=1．故选：C．3．（5分）若a＞1则a﹣1+的最小值等于（）A．a B．C．2 D．3【解答】解：∵a＞1，∴a﹣1＞0．∴a﹣1+≥=2．故选：C．4．（5分）在等差数列{a n}中，已知a5=21，则a4+a5+a6等于（）A．15 B．33 C．51 D．63【解答】解：由等差数列的性质可得a4+a6=2a5，∴a4+a5+a6=3a5=3×21=63故选：D．5．（5分）在△ABC中，已知a=8，B=60°，A=45°，则b等于（）A．B．C．D．【解答】解：由正弦定理可知=，∴b=•sinB=×sin60°=×=4，故选：C．6．（5分）已知不等式x2﹣2x﹣3＜0的整数解构成等差数列{a n}的前三项，则数列的第四项为（）A．3 B．﹣1 C．2 D．3或﹣1【解答】解：解不等式x2﹣2x﹣3＜0，得﹣1＜x＜3，∵不等式x2﹣2x﹣3＜0的整数解构成等差数列{a n}的前三项，∴等差数列{a n}的前三项为0，1，2或2，1，0，∴该数列的第四项为3或﹣1．故选：D．7．（5分）不等式2x2+mx+n＞0的解集是{x|x＞3或x＜﹣2}，则二次函数y=2x2+mx+n的表达式是（）A．y=2x2+2x+12 B．y=2x2﹣2x+12 C．y=2x2+2x﹣12 D．y=2x2﹣2x﹣12【解答】解：∵不等式2x2+mx+n＞0的解集是{x|x＞3或x＜﹣2}，∴﹣2，3是2x2+mx+n=0的两个实数根，∴，解得．∴二次函数y=2x2+mx+n的表达式是y=2x2﹣2x﹣12．故选：D．8．（5分）在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知A=，a=，b=1，则c=（）A．1 B．2 C．﹣1 D．【解答】解：解法一：（余弦定理）由a2=b2+c2﹣2bccosA得：3=1+c2﹣2c×1×cos=1+c2﹣c，∴c2﹣c﹣2=0，∴c=2或﹣1（舍）．解法二：（正弦定理）由=，得：=，∴sinB=，∵b＜a，∴B=，从而C=，∴c2=a2+b2=4，∴c=2．9．（5分）数列{a n}的前n项和为S n，若a n=，则S5等于（）A．1 B．C．D．【解答】解：∵，∴…+==．∴．故选：B．10．（5分）设0＜b＜a＜1，则下列不等式成立的是（）A．ab＜b2＜1 B．C．2b＜2a＜2 D．a2＜ab＜1【解答】解：对于A：ab＜b2＜1，因为0＜b＜a＜1，则乘以b不变号，即b2＜ab．故A错误．对于B：可直接根据对数函数在的单调性判断B错误．对于C：因为y=2x是单调递增函数，且0＜b＜a＜1，所以2b＜2a＜21，即2b＜2a ＜2．故C正确．对于D：因为0＜b＜a＜1，则乘以a不变号，即ab＜a2．故D错误．故选：C．11．（5分）不等式lgx2＞lg2x的解集是（）A．（1，100）B．（100，+∞）C．（0，1）∪（100，+∞） D．【解答】解：∵lgx2＞lg2x，∴lg2x﹣2lgx＜0即lgx（lgx﹣2）＜0，∴0＜lgx＜2，∴1＜x＜100，∴不等式lgx2＞lg2x的解集是（1，100）．故选：A．12．（5分）设△ABC的三内角A、B、C成等差数列，sinA、sinB、sinC成等比数列，则这个三角形的形状是（）A．直角三角形B．钝角三角形C．等腰直角三角形 D．等边三角形【解答】解：∵△ABC的三内角A、B、C成等差数列，∴∠B=60°，∠A+∠C=120°①；又sinA、sinB、sinC成等比数列，∴sin2B=sinA•sinC=，②由①②得：sinA•sin（120°﹣A）=sinA•（sin120°cosA﹣cos120°sinA）=sin2A+•=sin2A﹣cos2A+=sin（2A﹣30°）+=，∴sin（2A﹣30°）=1，又0°＜∠A＜120°∴∠A=60°．故选：D．二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中的相应位置.13．（4分）已知数列，则是该数列的第7项．【解答】解：∵数列，∴第n项的通项是则=，∴n=7，故答案为：714．（4分）不等式的解集是．【解答】解：∵∴，解得∴＜x≤，所以不等式的解集为：．故答案为：．15．（4分）数列{a n}的前n项的和，则此数列的通项公式a n=．【解答】解：当n=1时，a1=S1=1+1=2；当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=n2+1﹣[（n﹣1）2+1]=2n﹣1．∴．故答案为：a n=．16．（4分）在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知（b+c）：（c+a）：（a+b）=4：5：6，则下列结论正确的是（1）（3）（1）△ABC一定是钝角三角形；（2）△ABC被唯一确定；（3）sinA：sinB：sinC=7：5：3；（4）若b+c=8，则△ABC的面积为．【解答】解：在△ABC中，由于（b+c）：（c+a）：（a+b）=4：5：6，可设b+c=4k，a+c=5k，a+b=6k，求得a=，b=，c=．求得cosA==﹣＜0，故A=120°为钝角，故（1）正确．由以上可得，三角形三边之比a：b：c=7：5：3，故这样的三角形有无数多个，故（2）不正确，（3）正确．若b+c=8，则b=5、c=3，由正弦定理可得△ABC的面积为bc•sinA=sin120°=，故（4）不正确．故答案为（1）、（3）．三、解答题：本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（12分）设{a n}是等差数列，前n项和记为S n，已知a10=30，a20=50．（1）求通项公式a n．（2）若S n=242，求n的值．【解答】解：（1）由a10=30，a20=50．可得：a1+9d=30，a1+19d=50，解得a1=12，d=2．∴a n=a1+（n﹣1）d=12+（n﹣1）×2=2n+10．（2）S n=12n+×2=n2+11n=242，∴n2+11n﹣242=0，∴n=11．18．（12分）（I）解不等式﹣x2+4x+5＜0；（Ⅱ）解关于x的不等式x2﹣（1+m）x+m＜0．【解答】解：（Ⅰ）不等式可化为x2﹣4x﹣5＞0，因△=16+20＞0，方程x2﹣4x﹣5=0有两个实数根，即x1=5，x2=﹣1…（4分）所以原不等式的解集是{x|x＜﹣1或x＞5}…（6分）（Ⅱ）由题可得，方程x2﹣（1+m）x+m=0，即（x﹣1）（x﹣m）=0，解得：x=1或x=m．…（8分）当m＞1时，不等式的解集为{x|1＜x＜m}，当m=1时，不等式为（x﹣1）2＜0，解集为∅，当m＜1时，不等式的解集为{x|m＜x＜1}…（11分）19．（12分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知cosBcosC﹣sinBsinC=．（1）求A；（2）若a=2，b+c=4，求△ABC的面积．【解答】解：（1）∵cosBcosC﹣sinBsinC=cos（B+C）=﹣cosA=．∴cosA=﹣，∵A∈（0，π），∴A=．（2）∵a=2，A=，b+c=4，∴由余弦定理a2=b2+c2﹣2bccosA，可得：12=b2+c2+bc=（b+c）2﹣bc=16﹣bc，可得：bc=4，∴△ABC的面积S=bcsinA==．20．（12分）若实数x，y满足条件，求z=2y﹣2x+4的最小值和最大值．【解答】（12分）解：作出满足不等式的可行域，如右图所示…（6分）作直线l1：2y﹣2x=t，当l经过A（0，2）时，z max=2×2﹣2×0+4=8．当l经过B（1，1）时，z min=2×1﹣2×1+4=4．…（12分）21．（12分）某种汽车购买时费用为14.4万元，每年应交付保险费、养路费及汽油费共0.9万元，汽车的维修费为：第一年0.2万元，第二年0.4万元，第三年0.6万元，…，依等差数列逐年递增．（Ⅰ）设使用n年该车的总费用（包括购车费用）为f（n），试写出f（n）的表达式；（Ⅱ）求这种汽车使用多少年报废最合算（即该车使用多少年平均费用最少）．【解答】解：（Ⅰ）依题意f（n）=14.4+（0.2+0.4+0.6+…+0.2n）+0.9n …（3分）=…（5分）=0.1n2+n+14.4…（7分）（Ⅱ）设该车的年平均费用为S万元，则有…（9分）=++1≥2+1=2×1.2+1=3.4仅当，即n=12时，等号成立．…（13分）故：汽车使用12年报废为宜．…（14分）22．（14分）已知数列{a n}满足a1=1，a n+1=2a n+1（n∈N*）．（I）证明数列{a n+1}是等比数列，并求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若b n=，求数列{b n}的前n项和S n；（Ⅲ）证明：．【解答】（Ⅰ）证明：∵a1=1，a n+1=2a n+1，+1=2（a n+1），∴a n+1又a1+1=2，∴数列{a n+1}是首项为2，公比为2的等比数列，∴，∴．（Ⅱ）解：∵b n===n•2n﹣1，∴S n=1•20+2•2+3•22+…+n•2n﹣1，①2S n=1•2+2•22+3•23+…+n•2n，②①﹣②，得：﹣S n=1+2+22+…+2n﹣1﹣n•2n=﹣n•2n∴S n=（n﹣1）•2n+1．（Ⅲ）证明：∵==，k=1，2，3，…，n∴，∵===≥，k=1，2，3，…，n∴≥=＞，∴．。

高二级上学期期中考试题数学本试卷共8页，22小题，满分150分，考试时间120分钟。

第一部分选择题（共60分）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知直线l 1：2x ＋my ＝2，l 2：m 2x ＋2y ＝1，且l 1⊥l 2，则m 的值为( )A ．0B ．－1C ．0或1D ．0或－12．若一个圆锥的轴截面是面积为1的等腰直角三角形，则该圆锥的侧面积为( )A.2π B ．22π C ．2πD ．4π3．把正方形ABCD 沿对角线AC 折起，当以A ，B ，C ，D 四点为顶点的三棱锥体积最大时，直线BD 和平面ABC 所成角的大小为( )A ．90°B ．60°C ．45°D ．30°4．若过点（2，1）的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线230x y --=的距离为（ ）A B C D 5．下列命题中，正确的是( )A ．任意三点确定一个平面B ．三条平行直线最多确定一个平面C ．不同的两条直线均垂直于同一个平面，则这两条直线平行D ．一个平面中的两条直线与另一个平面都平行，则这两个平面平行6．已知M (3，23)，N (－1，23)，F (1，0)，则点M 到直线NF 的距离为( )A. 5 B ．23 C ． 22D ．3 37．已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱(其底面是正方形，且侧棱垂直于底面)高为4，体积为16，则这个球的表面积是( )A ．20πB ．16πC ．32πD ．24π8．直线:20l x y ++=分别与x 轴、y 轴交于A 、B 两点，点P 在圆22(2)2x y -+=上， 则ABP △面积的取值范围是（ ） A ．[]26，B ．[]48，C ．D ．⎡⎣二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.9．若220x x --<是2x a -<<的充分不必要条件，则实数a 的值可以是( ) A ．1B ．2C ．3D ．410．已知,αβ是两个不重合的平面，,m n 是两条不重合的直线，则下列命题正确的是（ ） A ．若//m n m α⊥，，则n α⊥ B ．若//,m n ααβ⋂=，则//m n C ．若m α⊥，m β⊥，则//αβ D ．若,//,m m n n αβ⊥⊥，则//αβ 11．若直线过点(1,2)A ，且在两坐标轴上截距的绝对值相等，则直线l 方程可能为( ) A ．10x y -+=B ．30x y +-=C ．20x y -=D ．10x y --=12．已知四棱锥P ABCD -，底面ABCD 为矩形，侧面PCD ⊥平面ABCD ，BC =CD PC PD ===.若点M 为PC 的中点，则下列说法正确的为（ ）A ．BM ⊥平面PCDB ．//PA 面MBDC ．四棱锥M ABCD -外接球的表面积为36π D ．四棱锥M ABCD -的体积为6第二部分非选择题（90分）三、填空题:本题共4小题,每小题5分，共20分.13．命题“20210x x x ∃<-->，”的否定是______________．14．已知直线l 1的方程为23y x =-+，l 2的方程为42y x =-，直线l 与l 1平行且与l 2在y 轴上的截距相同，则直线l 的斜截式方程为________________．15．若直线:l y kx =与曲线:1M y =+有两个不同交点，则k 的取值范围是________________．16．已知三棱锥S -ABC 的所有顶点都在球O 的球面上，SC 是球O 的直径．若平面SCA ⊥平面SCB ，SA ＝AC ，SB ＝BC ，三棱锥S -ABC 的体积为9，则球O 的体积为____________．四、解答题:共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．(本小题满分10分)已知直线l 1的方程为x ＋2y －4＝0，若l 2在x 轴上的截距为32，且l 1⊥l 2.(1)求直线l 1与l 2的交点坐标；(2)已知直线l 3经过l 1与l 2的交点，且在y 轴上的截距是在x 轴上的截距的2倍，求l 3的方程．18．(本小题满分12分)四棱锥P-ABCD 的底面ABCD 为直角梯形，AB ∥CD ，AB ⊥AD ，AB ＝12CD ＝1，P A ⊥平面ABCD ，P A ＝AD ＝ 3.(1)求证：PD ⊥AB ；(2)求四棱锥P-ABCD 的体积．19．(本小题满分12分)已知圆C 的圆心坐标为(a ，0)，且圆C 与y 轴相切． (1)已知a ＝1，M (4，4)，点N 是圆C 上的任意一点，求|MN |的最小值；(2)已知a ＜0，直线l 的斜率为43，且与y 轴交于点20,3⎛⎫- ⎪⎝⎭.若直线l 与圆C 相离，求a 的取值范围．20．(本小题满分12分)在直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，AB ＝5，AC ＝3，BC ＝4，点D 是线段AB 上的动点．(1)当点D 是AB 的中点时，求证：AC 1∥平面B 1CD ；(2)线段AB 上是否存在点D ，使得平面ABB 1A 1⊥平面CDB 1？若存在，试求出AD 的长度；若不存在，请说明理由．21. (本小题满分12分) 如图，多面体ABCDEF 中，四边形ABCD 是菱形，060ABC ∠=，FA ⊥平面ABCD ，//,2 2.FA ED AB FA ED ===求二面角F BC A --的大小的正切值；求点E 到平面AFC 的距离；求直线FC 与平面ABF 所成的角的正弦值.22. (本小题满分12分)已知圆22+=9：O x y ，过点()0,2P -任作圆O 的两条相互垂直的弦AB 、CD ，设M 、N 分别是AB 、CD 的中点，（1）直线MN 是否过定点? 若过，求出该定点坐标，若不过，请说明理由； （2）求四边形ACBD 面积的最大值，并求出对应直线AB 、CD 的方程.高二级上学期期中考试题 数学答案及说明一、选择题：1.D ，2.A ，3.C ，4.B ，5.C ，6.B ，7.D ，8.A ，9.BCD ，10.ACD ，11.ABC ，12.BC.二、填空题：13.0x ∀<，2210x x --≤；14.y ＝－2x －2；15.13,24⎡⎫⎪⎢⎣⎭；16.36π.题目及详细解答过程：一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分)1．已知直线l 1：2x ＋my ＝2，l 2：m 2x ＋2y ＝1，且l 1⊥l 2，则m 的值为( ) A ．0 B ．－1 C ．0或1 D ．0或－1 解析：因为l 1⊥l 2，所以2m 2＋2m ＝0，解得m ＝0或m ＝－1. 答案：D2．若一个圆锥的轴截面是面积为1的等腰直角三角形，则该圆锥的侧面积为( ) A.2π B ．22π C ．2π D ．4π 解析：设底面圆的半径为r ，高为h ，母线长为l ，由题可知，r ＝h ＝22l ，则12(2r )2＝1，r ＝1，l ＝2.所以圆锥的侧面积为πrl ＝2π. 答案：A3．把正方形ABCD 沿对角线AC 折起，当以A ，B ，C ，D 四点为顶点的三棱锥体积最大时，直线BD 和平面ABC 所成角的大小为( )A ．90°B ．60°C ．45°D ．30°解析：当三棱锥D ­ABC 体积最大时，平面DAC ⊥平面ABC .取AC 的中点O ，则∠DBO 即为直线BD 和平面ABC 所成的角．易知△DOB 是等腰直角三角形，故∠DBO ＝45°.答案：C4．若过点（2，1）的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线230x y --=的距离为（ ）A B C D 【答案】B【解析】由于圆上的点()2,1在第一象限，若圆心不在第一象限， 则圆与至少与一条坐标轴相交，不合乎题意，所以圆心必在第一象限， 设圆心的坐标为(),a a ，则圆的半径为a ，圆的标准方程为()()222x a y a a -+-=.由题意可得()()22221a a a -+-=，可得2650a a -+=，解得1a =或5a =，所以圆心的坐标为()1,1或()5,5，圆心到直线的距离均为121132555d ⨯--==； 圆心到直线的距离均为22553255d ⨯--== 圆心到直线230x y --=的距离均为22555d -==； 所以，圆心到直线230x y --=25. 故选：B ．5．下列命题中，正确的是( ) A ．任意三点确定一个平面 B ．三条平行直线最多确定一个平面C ．不同的两条直线均垂直于同一个平面，则这两条直线平行D ．一个平面中的两条直线与另一个平面都平行，则这两个平面平行 解析：由线面垂直的性质，易知C 正确． 答案：C6．已知M (3，23)，N (－1，23)，F (1，0)，则点M 到直线NF 的距离为( ) A. 5 B ．23 C ． 22D ．3 3解析：易知NF 的斜率k ＝－3，故NF 的方程为y ＝－3(x －1)，即3x ＋y －3＝0. 所以M 到NF 的距离为|33＋23－3|（3）2＋12＝2 3. 答案：B7．已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱(其底面是正方形，且侧棱垂直于底面)高为4，体积为16，则这个球的表面积是( )A ．20πB ．16πC ．32πD ．24π解析：由题意知正四棱柱的底面积为4，所以正四棱柱的底面边长为2，正四棱柱的底面对角线长为22，正四棱柱的对角线为2 6.而球的直径等于正四棱柱的对角线，即2R ＝2 6.所以R ＝ 6.所以S 球＝4πR 2＝24π. 答案：D8．直线:20l x y ++=分别与x 轴、y 轴交于A 、B 两点，点P 在圆22(2)2x y -+=上，则ABP △面积的取值范围是（ ） A ．[]26，B ．[]48，C ．232⎡⎤⎣⎦，D ．2232⎡⎤⎣⎦，【答案】A 【解析】直线20x y ++=分别与x 轴，y 轴交于A ，B 两点，()()2,0,0,2A B ∴--,则22AB =.点P 在圆22(2)2x y -+=上，∴圆心为（2，0），则圆心到直线的距离1202222d ++==.故点P 到直线20x y ++=的距离2d 的范围为2,32⎡⎤⎣⎦，则[]22122,62ABP S AB d d ==∈△.故答案为A.二、多选题(每题5分，共20分)9．若220x x --<是2x a -<<的充分不必要条件，则实数a 的值可以是( ) A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】BCD【解析】：由220x x --<，解得12x -<<．又220x x --<是2x a -<<的充分不必要条件，(1∴-，2)(2-，)a ，则2a ．∴实数a 的值可以是2，3，4．故选：BCD ．10．已知,αβ是两个不重合的平面，,m n 是两条不重合的直线，则下列命题正确的是（ ） A ．若//m n m α⊥，，则n α⊥ B ．若//,m n ααβ⋂=，则//m n C ．若m α⊥，m β⊥，则//αβ D ．若,//,m m n n αβ⊥⊥，则//αβ 【答案】ACD 【解析】若m α⊥，则,a b α∃⊂且a b P =使得m a ⊥，m b ⊥，又//m n ，则n a ⊥，n b ⊥，由线面垂直的判定定理得n α⊥，故A 对； 若//m α，n αβ=，如图，设m AB =，平面1111D C B A 为平面α，//m α，设平面11ADD A 为平面β，11A D n αβ⋂==，则m n ⊥，故B 错；垂直于同一条直线的两个平面平行，故C 对；若,//m m n α⊥，则n α⊥，又n β⊥，则//αβ，故D 对； 故选：ACD ．11．若直线过点(1,2)A ，且在两坐标轴上截距的绝对值相等，则直线l 方程可能为( ) A ．10x y -+= B ．30x y +-= C ．20x y -= D ．10x y --=【答案】ABC【解析】：当直线经过原点时，斜率为20210k -==-，所求的直线方程为2y x =，即20x y -=； 当直线不过原点时，设所求的直线方程为x y k ±=，把点(1,2)A 代入可得12k -=，或12k +=，求得1k =-，或3k =，故所求的直线方程为10x y -+=，或30x y +-=； 综上知，所求的直线方程为20x y -=、10x y -+=，或30x y +-=． 故选：ABC ．12．已知四棱锥P ABCD -，底面ABCD 为矩形，侧面PCD ⊥平面ABCD ，23BC =，26CD PC PD ===.若点M 为PC 的中点，则下列说法正确的为（ ）A ．BM ⊥平面PCDB ．//PA 面MBDC ．四棱锥M ABCD -外接球的表面积为36π D ．四棱锥M ABCD -的体积为6 【答案】BC【解析】作图在四棱锥P ABCD -中：为矩形，由题：侧面PCD ⊥平面ABCD ，交线为CD ，底面ABCDBC CD ⊥，则BC ⊥平面PCD ，过点B 只能作一条直线与已知平面垂直，所以选项A错误；连接AC 交BD 于O ，连接MO ，PAC ∆中，OM ∥PA ，MO ⊆面MBD ，PA ⊄面MBD ，所以//PA 面MBD ，所以选项B 正确；四棱锥M ABCD -的体积是四棱锥P ABCD -的体积的一半，取CD 中点N ，连接PN ，PN CD ⊥，则PN平面ABCD ，32PN =，四棱锥M ABCD -的体积112326321223M ABCD V -=⨯⨯⨯⨯=所以选项D 错误.矩形ABCD 中，易得6,3,3AC OC ON ===，PCD 中求得：16,2NM PC ==在Rt MNO 中223MO ON MN =+=即： OM OA OB OC OD ====，所以O 为四棱锥M ABCD -外接球的球心，半径为3， 所以其体积为36π，所以选项C 正确， 故选：BC三、填空题(每题5分，共20分)13．命题“20210x x x ∃<-->，”的否定是______． 【答案】0x ∀<，2210x x --≤【解析】因为特称命题的否定是全称命题，所以，命题20210x x x ∃<-->，， 则该命题的否定是：0x ∀<，2210x x --≤ 故答案为：0x ∀<，2210x x --≤．14．已知直线l 1的方程为23y x =-+，l 2的方程为42y x =-，直线l 与l 1平行且与l 2在y 轴上的截距相同，则直线l 的斜截式方程为________________．解析：由斜截式方程知直线l 1的斜率k 1＝－2，又l ∥l 1，所以l 的斜率k ＝k 1＝－2.由题意知l 2在y 轴上的截距为－2，所以l 在y 轴上的截距b ＝－2.由斜截式方程可得直线l 的方程为y ＝－2x －2.答案：y ＝－2x －215．若直线:l y kx =与曲线()2:113M y x =+--有两个不同交点，则k 的取值范围是________________．解析：曲线M ：y ＝1＋1－（x －3）2是以(3，1)为圆心，1为半径的，且在直线y ＝1上方的半圆．要使直线l 与曲线M 有两个不同交点，则直线l 在如图所示的两条直线之间转动，即当直线l 与曲线M 相切时，k 取得最大值34；当直线l 过点(2，1)时，k 取最小值12.故k 的取值范围是13,24⎡⎫⎪⎢⎣⎭. 答案：13,24⎡⎫⎪⎢⎣⎭16．已知三棱锥S -ABC 的所有顶点都在球O 的球面上，SC 是球O 的直径．若平面SCA ⊥平面SCB ，SA ＝AC ，SB ＝BC ，三棱锥S -ABC 的体积为9，则球O 的体积为____________．解析：如图，连接OA ，OB .由SA ＝AC ，SB ＝BC ，SC 为球O 的直径，知OA ⊥SC ，OB ⊥SC .又由平面SCA ⊥平面SCB ，平面SCA ∩平面SCB ＝SC ，知OA ⊥平面SCB . 设球O 的半径为r ，则OA ＝OB ＝r ，SC ＝2r ，所以三棱锥S ­ABC 的体积为311323r V SC OB OA ⎛⎫=⨯⋅⋅= ⎪⎝⎭，即r 33＝9.所以r ＝3.所以3344336.33=O V r πππ=⨯=球答案：36π四、解答题(每题5分，共70分)17．(本小题满分10分)已知直线l 1的方程为x ＋2y －4＝0，若l 2在x 轴上的截距为32，且l 1⊥l 2.(1)求直线l 1与l 2的交点坐标；(2)已知直线l 3经过l 1与l 2的交点，且在y 轴上的截距是在x 轴上的截距的2倍，求l 3的方程． 解：(1)设l 2的方程为2x －y ＋m ＝0，..........1分因为l 2在x 轴上的截距为32，所以3－0＋m ＝0，m ＝－3，即l 2：2x －y －3＝0.....3分联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －4＝0，2x －y －3＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝1.所以直线l 1与l 2的交点坐标为(2，1)．..........5分 (2)当l 3过原点时，l 3的方程为y ＝12x ..........6分当l 3不过原点时，设l 3的方程为12x y a a +=...........7分 又直线l 3经过l 1与l 2的交点，所以2112a a+=， 得52a =，l 3的方程为2x ＋y －5＝0...........8分 综上，l 3的方程为y ＝12x 或2x ＋y －5＝0...........10分18．(本小题满分12分)四棱锥P-ABCD 的底面ABCD 为直角梯形，AB ∥CD ，AB ⊥AD ，AB ＝12CD ＝1，PA ⊥平面ABCD ，PA ＝AD ＝ 3.(1)求证：PD ⊥AB ；(2)求四棱锥P-ABCD 的体积．18.解：(1)证明：因为PA ⊥平面ABCD ，AB ⊂平面ABCD ，所以PA ⊥AB ，..........1分又因为AB ⊥AD ，AD ∩PA ＝A ，..........3分 所以AB ⊥平面PAD ，..........4分又PD ⊂平面PAD ，..........5分所以AB ⊥PD ...........6分 (2)解：S 梯形ABCD ＝12(AB ＋CD )·AD ＝332，.......8分又PA ⊥平面ABCD ，..........9分所以V 四棱锥P-ABCD ＝13×S 梯形ABCD ·PA ＝13×332×3＝32...........12分19．(本小题满分12分)已知圆C 的圆心坐标为(a ，0)，且圆C 与y 轴相切． (1)已知a ＝1，M (4，4)，点N 是圆C 上的任意一点，求|MN |的最小值； (2)已知a ＜0，直线l 的斜率为43，且与y 轴交于点20,3⎛⎫- ⎪⎝⎭.若直线l与圆C 相离，求a 的取值范围．19.解：(1)由题意可知，圆C 的方程为(x －1)2＋y 2＝1...........2分又|MC |＝（4－1）2＋（4－0）2＝5，..........4分 所以|MN |的最小值为5－1＝4...........5分(2)因为直线l 的斜率为43，且与y 轴相交于点20,3⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以直线l 的方程为y ＝43x －23.即4x －3y －2＝0..........7分因为直线l 与圆C 相离，所以圆心C (a ，0)到直线l 的距离d ＞r . 则224243a a ->+.........9分又0a <，所以245a a ->-，解得2a >-..........11分 所以a 的取值范围是(－2，0)．.........12分20．(本小题满分12分)在直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，AB ＝5，AC ＝3，BC ＝4，点D 是线段AB 上的动点． (1)当点D 是AB 的中点时，求证：AC 1∥平面B 1CD ；(2)线段AB 上是否存在点D ，使得平面ABB 1A 1⊥平面CDB 1？若存在，试求出AD 的长度；若不存在，请说明理由．20.解：(1)证明：如图，连接BC 1，交B 1C 于点E ，连接DE ，则点E 是BC 1的中点，又点D 是AB 的中点，由中位线定理得DE ∥AC 1，.........1分 因为DE ⊂平面B 1CD ，.........2分AC 1⊄平面B 1CD ，.........3分所以AC 1∥平面B 1CD ..........4分(2)解：当CD ⊥AB 时，平面ABB 1A 1⊥平面CDB 1........5分 证明：因为AA 1⊥平面ABC ，CD ⊂平面ABC ， 所以AA 1⊥CD ..........6分又CD ⊥AB ，AA 1∩AB ＝A ，.........7分所以CD ⊥平面ABB 1A 1，因为CD ⊂平面CDB 1，.........8分 所以平面ABB 1A 1⊥平面CDB 1，.........9分故点D 满足CD ⊥AB 时，平面ABB 1A 1⊥平面CDB 1......10分 因为AB ＝5，AC ＝3，BC ＝4，所以AC 2＋BC 2＝AB 2， 故△ABC 是以角C 为直角的三角形， 又CD ⊥AB ，所以AD ＝95..........12分22. (本小题满分12分) 如图，多面体ABCDEF 中，四边形ABCD 是菱形，060ABC ∠=，FA ⊥平面ABCD ，//,2 2.FA ED AB FA ED ===求二面角F BC A --的大小的正切值；求点E 到平面AFC 的距离；求直线FC 与平面ABF 所成的角的正弦值.21.解： 作于点G ，连接FG ， 四边形ABCD 是菱形,,，为等边三角形,,-----1分平面ABCD ，平面ABCD ，，又，，平面AFG ，BC FG ∴⊥-----2分 G∴为二面角的平面角，------3分----------------------------4分连接AE ，设点E 到平面AFC 的距离为h ， 则， ----------------------5分即，也就是，--------------------6分解得：； ------------------------------------------------7分(3)作CH AB ⊥于点H ，连接FH ，ABC ∆为等边三角形，H ∴为AB 的中点，221,3,5,AH CH FH FA AH ===+= FA ⊥平面ABCD ，CH ⊂平面ABCD ，FA CH ∴⊥，----8分 又,CH AB AB AF A ⊥⋂=，CH ∴⊥平面ABF ，-----9分CFH ∴∠为直线FC 与平面ABF 所成的角，-------10分36sin 422CH CFH CF ∴∠===．-----------------12分 22.(本小题满分12分)已知圆22+=9：O x y ，过点()0,2P -任作圆O 的两条相互垂直的弦AB 、CD ，设M 、N 分别是AB 、CD 的中点，（1）直线MN 是否过定点?若过，求出该定点坐标，若不过，请说明理由； （2）求四边形ACBD 面积的最大值，并求出对应直线AB 、CD 的方程.22.解：（1）当直线AB CD 、的斜率存在且不为0，设直线AB 的方程为:()()()112220,,,,y kx k A x y B x y =-≠------------1分由2229+=y kx x y =-⎧⎨⎩得：()221450k x kx +--=--------------------2分 点()0,2P -在圆内,故0∆>. 又 1212222422,21211M M Mx x k k x x x y kx k k k +∴+=∴===-=-+++ 即 2222,11kM k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭--------------------3分AB CD ⊥以1k -代换k 得22222,11k k N k k ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭22222222111.22211MNk k k k k k k k k k -+-++∴==+++---------------4分∴直线MN 的方程为：222212121k k y x k k k -⎛⎫+=- ⎪++⎝⎭化简得2112k y x k-=-，故直线MN 恒过定点()01-，--------------------5分 当直线AB CD 、的斜率不存在或为0时，显然直线MN 恒过定点()01-， 综上，直线MN 恒过定点()01-，--------------------.6分 (2) 解法一:圆心O 到直线AB的距离1d =AB ==分 （或由第（1）问得：21AB x =-==以1k -代换k 得CD =）AB CD ⊥∴以1k -代换k 得:CD =分12ACBD S AB CD ∴=⋅==分14=≤= 当且仅当221,1k k k==±时,取等号,故四边形ACBD 面积的最大值为14，--------------------11分对应直线AB 、CD 分别为2,2y x y x =-=--或2,2y x y x =--=-----------12分 解法二：设圆心O 到直线AB 、CD 的距离分别为12,d d 、则22222211229,9AB r d d CD r d d =-=-=-=---------------------7分AB CD ⊥222124d d OP ∴+==--------------------8分()()()2222121221991821818414ACBD S AB CD d d d d OP ∴=⋅=≤-+-=-+=-=-=--------------------10分当且仅当12d d =，即1k =±时,取等号,故四边形ACBD 面积的最大值为14，--------------------11分对应直线AB 、CD 分别为2,2y x y x =-=--或2,2y x y x =--=---------12分。

甘肃省2017—2018学年高二数学上学期期中考试卷（二）（考试时间120分钟 满分150分）一、单项选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．1．已知数列，则是这个数列的（ ）A ．第六项B ．第七项C ．第八项D ．第九项2．不等式的解集是（ ） A ．{x |x ＞1}B ．{x |x ＜0}C ．{x |x ＞1或x ＜0}D ．{x |0＜x ＜1}3．在△ABC 中，a=3，b=，c=2，那么B 等于（ ）A ．30°B ．45°C ．60°D ．120°4．在△ABC 中，已知a=8，B=60°，C=75°，则b 等于（ ）A ．4B ．C ．4D ．5．已知a ＞b ＞0，c ＜0，则下列不等式成立的是（ ）A ．a ﹣c ＜b ﹣cB ．ac ＞bcC ．D ．6．已知S n 是等差数列{a n }的前n 项和，且S 6=3，S 11=18，则a 9等于（ ） A ．3B ．5C ．8D ．157．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a=18，b=24，A=45°，则这样的三角形有（ ） A ．0个 B ．两个C ．一个D ．至多一个8．不等式ax 2+bx +c ＜0（a ≠0）的解集为R ，那么（ ） A ．a ＜0，△＜0B ．a ＜0，△≤0C ．a ＞0，△≥0D ．a ＞0，△＞09．在数列{a n }中，a 1=1，a n +1﹣a n =2，则a 51的值为（ ） A ．99 B ．49 C ．102 D ．10110．已知数列{a n }的前n 项和S n =2n ﹣1，n=1，2，3，…，那么数列{a n }（ ）A ．是等差数列但不是等比数列B ．是等比数列但不是等差数列C ．既是等差数列又是等比数列D ．既不是等差数列也不是等比数列11．已知两个等差数列{a n}和{b n}的前n项和分别为S n和T n，且=，则为（）A．B．C．D．12．在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，sinC+sin（A﹣B）=3sin2B．若，则=（）A．B．3 C．或3 D．3或二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。

2017-2018-1学期高二年级期中考试试题数 学说明：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.满分150分，考试时间120分钟.答案写在答题卡上，交卷时只交答题卡.第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.ABC ∆中，若1,2,60a c B ︒===，则ABC ∆的面积为A.21 B. 23 C. 1 D. 3 2.设数列{}n a 是等差数列, 若 394,8,a a == 则6a = A. 5 B.112 C. 6 D. 1323.若,,,,a b c d R ∈且,a b c d >>, 则下列不等式一定成立的是 A. a c b d ->- B. ac bd > C.a bd c> D. a d b c ->- 4.设,x y 满足约束条件12x y y x y +≤⎧⎪≤⎨⎪≥-⎩,则3z x y =+的最大值为A. 5B. 3C. 7D. -85.在ABC ∆中,80,100,45a b A ︒===,则此三角形解的情况是 A. 一解 B. 两解 C. 解的个数不确定 D. 无解 6.设,,,2,a b c R ab ∈=且22c a b ≤+恒成立，则c 的最大值是 A ．12 B ．2 C ．14D ．4 7.下列结论正确的是 A ．当2x ≥时，1x x +的最小值为2 B ．当0x >2≥C ．当102x x x <≤-时，无最大值 D ．当0x >且1x ≠时，1lg 2lg x x+≥ 8.在等比数列{}n a 中,675=a a ，5102=+a a ,则1018a a 等于 A. 2332--或 B. 32 C. 23 D. 32或239.在ABC ∆中,角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ,若120,,C c ︒==则 A. a b > B. a b <C. a b =D. a 与b 的大小关系不确定10.设数列{a n }是公差d ＜0的等差数列，S n 为其前n 项和，若S 6＝5a 1＋10d ，则S n 取最大值时，n 的值为 A. 5B. 6C. 5或6D. 1111.已知{}n a 是等比数列，2512,,4a a ==则12231n n a a a a a a +++⋅⋅⋅+= A ．32(12)3n -- B ．32(14)3n -- C ．16(12)n -- D ．16(14)n -- 12.若某学生要作一个三角形，要求它的三条高长度分别为111,,,13115则此学生将A. 不能作出满足要求的三角形B. 作出一个锐角三角形C. 作出一个直角三角形D. 作出一个钝角三角形第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知数列{a n }的前n 项和为S n ＝n 2－2n ＋2，则数列{a n }的通项公式为_________. 14.在△ABC 中，a ＝4，b ＝5，c ＝6，则sin 22sin AC＝_____________.15.在数列{a n }中，已知a 1＝2，a 2＝7，a n ＋2等于a n a n ＋1(n ∈N *)的个位数，则a 2 017＝_______.16.若实数,x y 满足221,x y xy ++= 则x y +的最大值为________________.三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(本小题满分10分)在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c , 且,,A B C 成等差数列，,,a b c 成等比数列. 求证：ABC ∆为等边三角形.18.(本小题满分12分)如图，测量河对岸的塔高AB 时，可以选与塔 底B 在同一水平面内的两个测点C 与D ．测得153030BCD BDC CD ︒︒∠=∠==，，米，并在点C 测得塔顶A 的仰角为60︒,求塔高AB ．19.(本小题满分12分)已知等差数列{}n a 满足：3577,26.{}n a a a a =+=的前n 项和为n S ． （1）求n a 及n S ； （2）令21()1n n b n N a *=∈-，求数列{}n b 的前n 项和n T ．20.(本小题满分12分)已知ABC ∆中内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，向量m (2sin ,B =，n 2(cos 2,2cos 1)2BB =-，且m ∥n ． （1）求锐角B 的大小；（2）在（1）的条件下，如果2b =，求ABC S ∆的最大值．21.(本小题满分12分)某公司今年年初用25万元引进一种新的设备，投入设备后每年收益为21万元．该公司第n 年需要付出设备的维修和工人工资等费用n a 的信息如下图．（1）求n a ；（2）引进这种设备后，从第几年开始该公司能够获利？（3）这种设备使用多少年，该公司的年平均获利最大？22.(本小题满分12分)设数列{}n a 前n 项和为n S , 满足 31()42n n a S n N *=+∈ ． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）令,n n b na = 求数列{}n b 的前n 项和n T ； （3）若不等式212209n n a T n ++⋅->对任意的n N *∈恒成立，求实数a 的取值范围．数 学一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个选项是符合题目要求的）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）13．1,123, 2.n n a n n =⎧=⎨-≥⎩14．12 15．2 16. 3三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 17．解：由题意，知2A C B +=又因为0180A B C ++=,所以003180,60B B == ……………2分又由余弦定理，知2222cos b a c ac B =+- 且由题意，知 2b ac = 故有 22ac a c ac =+-2220a ac c -+= 即2()0a c -= 所以 a c = ……………8分从而，A C =，又0180120A C B +=-=故 060A B C === 所以ABC ∆为等边三角形. (10)分18．解：在BCD △中，1801530135CBD ∠=︒-︒-︒=︒ 由正弦定理得sin sin BC CDBDC CBD =∠∠．所以30sin 30sin135BC ︒==︒……………6分 在Rt ABC ∆中，tan tan 60AB BC ACB ︒=∠==（m ） ……………12分答: 塔高m.19．解：（1）设等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d ，3577,26,a a a =+= 1127,21026,a d a d ∴+=+=解得 13, 2.a d ==1(1)21,n a a n d n ∴=+-=+1()(2).2n n n a a S n n +==+ ……………6分 （2）21n a n =+ ，214(1)n a n n ∴-=+，1111()4(1)41n b n n n n ∴==-++，故12111111(1)42231n n T b b b n n =++⋅⋅⋅+=-+-+⋅⋅⋅+-+ =11(1)414(1)nn n -=++， ∴数列{}n b 的前n 项和.4(1)n nT n =+ ……………12分20.解：（1）∵m ∥n ，∴2sin B ⎝⎛⎭⎪⎫2cos 2B2－1＝－3cos 2B ，∴sin 2B ＝－3cos 2B ，即tan 2B ＝－ 3.又∵B 为锐角，∴2B ∈(0，π)，∴2B ＝2π3，∴B ＝π3. ……………6分（2）∵B ＝π3，b ＝2，由余弦定理cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac，得a 2＋c 2－ac －4＝0.又a 2＋c 2≥2ac ，代入上式，得ac ≤4， 当且仅当a ＝c ＝2时等号成立.故S △ABC ＝12ac sin B ＝34ac ≤3，当且仅当a ＝c ＝2时等号成立，即S △ABC 的最大值为 3. ……………12分21.（1）解：由题意知，每年的费用是以2为首项，2为公差的等差数列，求得：12(1)2n a a n n =+-= ……………2分（2）设纯收入与年数n 的关系为f(n),则： 2(1)()21[22]2520252n n f n n n n n -=-+⋅-=-- 由f (n)>0得n 2-20n +25<0解得10n 10-<+又因为n N ∈,所以n =2,3,4,……18.即从第2年该公司开始获利 ……7分 （3）年平均收入为()f n n=20-25(n )202510n +≤-⨯= 当且仅当n =5时，年平均收益最大.所以这种设备使用5年，该公司的年平均获利最大. ……………12分 22.解：（1）31()42n n a S n N *=+∈ 1131(2)42n n a S n --=+≥两式相减，得 1133()44n n n n n a a S S a ---=-=.所以，111,4(2).4n n n n a a a n a --==≥ 又113142a S =+，即11131242a a a =+∴= {}n a ∴是首项为2，公比是4的等比数列.所以 1222124222n n n n a ---=⋅=⋅=. ……………4分 （2）212.n n n b n a n -=⋅=⋅35211222322n n T n -=⋅+⋅+⋅++⋅ ① 35212141222(1)22n n n T n n -+=⋅+⋅++-⋅+⋅ ②① - ②,得 3521213(2222)2.n n n T n -+-=++++-⋅ 故 211[(31)22].9n n T n +=-⋅+ ……………8分 （3）由题意，再结合（2），知 3109n an-+> 即 (31)90n n a -+>.从而21139a n n >-+设 211()39g n n n =-+，max 2()(1).9g n g ==-29a ∴>- ……………12分。

第一学期期中考试高二数学试卷一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

）1．在ABC ∆中，004,45,60,a A B ===则边b 的值为 （ ） A ． 26 B ． 223+ C ． 31+ D ． 231+2． 在ABC ∆中，若cos cos A bB a=，则ABC ∆是 （ ） A ． 等腰三角形 B ． 等边三角形 C ． 直角三角形 D ． 等腰或直角三角形3.已知等差数列{}n a 的公差为2,若431,,a a a 成等比数列, 则2a = （ ） A ． – 4 B ．－6 C ．－8 D ．－104.0<<b a 则下列不等式中不一定成立的是 ( )Ab a 11> B bb a 11>- C b a ->- D ．b a -> 5．ABC ∆中，若32sin a b A =，则B 为 （ ）A ．3π B ． 6π C ． 3π或23π D ． 6π或56π 6．已知数列{}n a 是递增的等比数列，14239,8a a a a +==，则数列{}n a 的前n 项 和等于（ ） A.221-+n B.33-nC.12-nD.121-+n7．关于x 的不等式x 2－2ax －8a 2<0(a >0)的解集为()21,x x 且21x x -＝15，则a ＝( ) A ．25 B ．3 C ．-25D ．-3 8．已知在等差数列{}n a 中，131a =，n S 是它的前n 项的和，1022S S =,则n S 的最大值为 （ ）A.256B.243C.16D.16或159．已知O 是坐标原点，点A (－1,1)，若点M (x ，y )为平面区域⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≥+212y x y x 上的一个动点则OB OA ⋅的取值范围是 ( )A ．[1,2]B ．[0,2]C ．(0,3]D ．[0,2 )⋃( 2,3] （文）某旅行社租用A 、B 两种型号的客车安排900名客人旅行，A 、B 两种车辆的载客量分别为36人和60人，租金分别为1 600元/辆和2 400元/辆，旅行社要求租车总数不超过21辆，且B 型车不多于A 型车7辆．则租金最少为 ( )A ．31 200元B ．36 800元C ．36 000元D ．38 400元10.在下列函数中，最小值是2的是 ( )A.1(,y x x R x =+∈且0x ≠） B. 22x xy -=+C ．2254x y x +=+ D ．1sin (0)sin 2y x x x π=+<<11．若不等式x 2＋ax ＋1≥0对于一切x ∈（0，12）成立，则a 的取值范围是 （ ）A ．0≥aB ．2-≤aC ．25-≥a D ．3-≤a(文)若不等式(a －2)x 2＋2(a －2)x －4<0对于x ∈R 恒成立，则a 的取值范围是( )A ．(－2,2)B ．[－2,2]C ．(－2,2]D ．[－2,2) 12．若数列{a n }是正项数列，且a 1＋a 2＋…＋a n ＝n 2＋3n (n ∈N *)，则++3221a a …＋a n n ＋1＝ ( )A. 2n ＋2B. 4n ＋4C. 2n 2＋6nD. 4(n ＋1)2（文）已知数列{}n a 的首项为11a =，且满足对任意的*n N ∈，都有12n n n a a +-=成立，则 2015a = ( )A ．201421-B ．201521+C ．201521-D ．201621- 二、填空题(每小题5分，共20分) 13． 在ΔABC 中，若2221()43ABC S b c a ∆=+-，则角A= ．14数列{a n }的通项公式是a n ＝11++n n ，若前n 项和为20，则项数n 为_______.15．在锐角ABC ∆中，若2C B =，则cb的范围为16．已知x 、y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤--≥-≥+2211y x y x y x ，若目标函数 (0,0)z ax by a b =+>>的最大值为7，则ba 43+的最小值为 。

甘肃省兰州市高二上学期数学期中考试试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共15题；共30分)1. （2分） (2020高二上·兰州期末) 椭圆的焦距是2，则m的值是（）A . 5B . 5或8C . 3或5D . 202. （2分）命题“对任意的，都有”的否定为（）A . 存在，使B . 对任意的，都有C . 存在,使D . 存在,使3. （2分）某校老年、中年和青年教师的人数见下表，采用分层抽样的方法调查教师的身体状况，在抽取的样本中，青年教师有320人，则该样本的老年教师人数为（）类别人数老年教师900中年教师1800青年教师1600合计4300A . 90B . 100C . 180D . 3004. （2分） (2017高二上·枣强期末) 抽查10件产品，设事件A：“至少有两件次品”，则“事件A的对立事件”为（）A . 至多有两件次品B . 至多有一件次品C . 至多有两件正品D . 至少有两件正品5. （2分）(2020·厦门模拟) 已知双曲线的右支与抛物线相交于两点，记点到抛物线焦点的距离为，抛物线的准线到抛物线焦点的距离为，点到抛物线焦点的距离为，且构成等差数列，则双曲线的渐近线方程为（）A .B .C .D .6. （2分）(2020·潍坊模拟) 2013年华人数学家张益唐证明了孪生素数猜想的一个弱化形式．孪生素数猜想是希尔伯特在1900年提出的23个问题之一，可以这样描述：存在无穷多个素数p，使得p+2是素数，素数对(p，p+2)称为孪生素数．在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其中能够组成孪生素数的概率是（）A .B .C .D .7. （2分）如图茎叶图记录了甲．乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩（单位：分）已知甲组数据的中位数为5，乙组数据的平均数为6.8，则x，y的值分别为（）A . 2，5B . 5，5C . 5，8D . 8，88. （2分）(2017·大新模拟) 已知命题p：∃x0∈R，使tanx0=2；，命题q：∀x∈R，都有x2+2x+1＞0，则（）A . 命题p∨q为假命题B . 命题p∧q为真命题C . 命题p∧（￢q）为真命题D . 命题p∨（￢q）为假命题9. （2分） (2018高一下·南阳期中) 若一组数据的方差为1，则的方差为（）A . 1B . 2C . 4D . 810. （2分） (2016高二下·民勤期中) 如图所示，在一个边长为1的正方形AOBC内，曲y=x2和曲线y=围成一个叶形图（阴影部分），向正方形AOBC内随机投一点（该点落在正方形AOBC内任何一点是等可能的），则所投的点落在叶形图内部的概率是（）A .B .C .D .11. （2分）已知双曲线C：﹣=1，若存在过右焦点F的直线与双曲线C相交于A，B 两点且=3，则双曲线离心率的最小值为（）A .B .C . 2D . 212. （2分） (2019高一上·郏县期中) 央视人民网报道：2019年7月15日，平顶山市文物管理局有关人士表示，郏县北大街古墓群抢救性发掘工作结束，共发现古墓539座，已发掘墓葬93座。

高二上学期期中考试数学试题本卷分Ⅰ（选择题）、Ⅱ卷（非选择题）两部分，其中Ⅰ卷1至2页，第二卷2至4页，共150分，考试时间120分钟。

第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、单选题：本题共12个小题，每小题5分1．“”是“”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件2．有下列四个命题：（1）“若，则，互为倒数”的逆命题；（2）“面积相等的三角形全等”的否命题；（3）“若，则有实数解”的逆否命题；（4）“若，则”的逆否命题.其中真命题为（）A．（1）（2）B．（2）（3）C．（4）D．（1）（2）（3）3．若则为（）A．等边三角形 B．等腰直角三角形C．有一个内角为30°的直角三角形 D．有一个内角为30°的等腰三角形4．已知.若“”是真命题，则实数a的取值范围是A．(1，+∞)B．(－∞，3)C．(1，3)D．5．的内角，，的对边分别为，，，若，，，则的面积为A．B．C．D．6．已知中，，则等于（）A．B．或C．D．或7．等差数列的前项和为，若，则等于（）A．58B．54C．56D．528．已知等比数列中，，，则（）A．2B．C．D．49．已知，则z=22x+y的最小值是A．1 B．16 C．8 D．410．若关于的不等式的解集为，则的取值范围是（）A．B．C．D．11．当ａ＞０，关于代数式，下列说法正确的是（）A．有最小值无最大值B．有最大值无最小值C．有最小值也有最大值D．无最小值也无最大值12．在△ABC中，AB＝2，C＝，则AC＋BC的最大值为A．B．3C．4D．2第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：共4个小题，每小题5分，共20分13．命题的否定是______________．14．已知的三边长构成公差为2的等差数列，且最大角的正弦值为，则这个三角形的周长为________.15．已知数列{a n}的前n项和为S n，a1＝1，当n≥2时，a n＋2S n－1＝n，则S2 017的值____ ___ 16．已知变量满足约束条件若目标函数的最小值为2，则的最小值为__________．三、解答题：共6题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。

2018-2019学年甘肃省兰州四中高二第一学期期中考试数学试卷考试时间：120分钟总分：150分一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是合题目要求的.）1.等差数列{}n a 中，若2491132a a a a +++=，则67a a +=（）A. 9B. 12C. 15D. 162.若0a b <<，则下列不等式中成立的是（）A. 33a b >B. a b >C.11a b > D. 11a b < 3.在ABC △中，已知a =2b =，45B =︒，则角A =（）A. 30︒或150︒B. 60︒或120︒C. 60︒D. 30︒ 4.在ABC △中，5AB =，3AC =，7BC =，则BAC ∠的大小为（） A. 23π B. 56π C. 34π D. 3π 5.已知单调递增的等比数列{}n a 中，2616a a ⋅=，3610a a ⋅=，则数列{}n a 的前n 项和n S =（） A. 2124n -- B. 1122n -- C. 21n - D. 122n +-6.ABC △中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，若cos cos a B b A =，则ABC △是（）A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.等腰或直角三角形 7.等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若32S =，618S =，则106S S 等于（） A. -3 B. 5 C. -31 D. 33 8.不等式()23x x -<的解集是（）A. {}|31x x -<<B. {}|13x x -<<C. {}|31x x x <->或D. {}|13x x x <->或 9.已知ABC △中，内角A ，B ，C 所对边长分别为a ，b ，c ，若3A π=，2cos b a B =，1c =，则ABC△的面积等于（）A. 2B. 4C. 6D. 810.已知数列{}n a 中，11a =，13n n a a +=+，若2014n a =，则n =（）A. 667B. 668C. 669D. 67211.已知O 是坐标原点，点()1,1A -若点(),M x y 为平面区域212x y x y +≥⎧⎪≤⎨⎪≤⎩上的一个动点，则OA OM ⋅u u u r u u u u r 的取值范围是（）A. []1,0-B. []0,1C. []0,2D. []1,2-12.已知不等式501x x -<+的解集为P ，若'0x P =，则“01x <”的概率为（） A. 14 B. 13 C. 12 D. 23 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）13.已知数列{}n a 前n 项和248n S n n =-，则{}n a 的通项公式为________.14.太湖中有一小岛C ，沿太湖有一条正南方向的公路，一辆汽车在公路A 处测得小岛在公路的南偏西15︒的方向上，汽车行驶1km 到达B 处后，又测得小岛在南偏西75︒的方向上，则小岛到公路的距离是________km .15.已知函数()140y x x x=+>，那么当y 取得最小值时，x 的值是________. 16.设ABC △的内角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c .若2b c a +=，3sin 5sin A B =，则角C =________.三、解答题（本大题包括6小题，共70分）17.在等差数列{}n a 中，21a =-，1321a a +=-.（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设{}n a 的前n 项和为n S ，若99k S =-，求k .18.在ABC △中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 所对的边，已知3c =，3C π=.（Ⅰ）若sin 2sin B A =，求a ，b 的值；（Ⅱ）求22a b +的最大值.19.某人计划收购某种农产品，如果按每吨200元收购某农产品，并按每100元纳税10元（又称征税率为10个百分点），计划可收购a 万吨，政府为了鼓励个体多收购这种农产品，决定将征税率降低()0x x ≠个百分点，预测收购量可增加2x 个百分点.（Ⅰ）写出税收y （万元）与x 的函数关系式；（Ⅱ）要使此项税收在征税率调节后，不少于原计划税收的83.2%，试确定x 的取值范围.20.已知函数()22sin cos cos 44f x x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. （Ⅰ）试求()f x 的最小正周期和单调递减区间；（Ⅱ）已知a ，b ，c 分别为ABC △的三个内角A ，B ，C 的对边，若12A f ⎛⎫=⎪⎝⎭，a =2b =，试求ABC △的面积21.已知数列{}n a 为等差数列，且12a =，12312a a a ++=.（1）求数列{}n a 的通项公式.（2）令3n a n b =，求证数列{}n b 的等比数列. （3）令11n n n c a a +=，求数列{}n c 的前n 项和n S . 22.已知函数()()12a f x a x x a -⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，其中0a ≠. （Ⅰ）若1a =，求()f x 在区间[]0,3上的最大值和最小值；（Ⅱ）解关于x 的不等式()0f x >.。

兰州市一中2017-2018学年上学期高二数学期中试卷试卷满分150分，考试时间120分钟第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.ABC ∆中，若1,2,60a c B ===︒，则ABC ∆的面积为（）A.12B.2C.1D.2.设数列{}n a 是等差数列,若394,8,a a ==则6a =（）A.5B.112C.6D.1323.若,,,a b c d R ∈，且,a b c d >>那么（）A.a c b d->- B.ac bd> C.a b d c> D.a d b c->-4.设,x y 满足约束条件12x y y x y +≤⎧⎪≤⎨⎪≥-⎩,则3z x y =+的最大值为（）A.5B.3C.7D.-85.在 ABC 中， 80,100,45a b A ===︒，则此三角形解的情况是()A.一解B.两解C.一解或两解D.无解6.设,,,2,a b c R ab ∈=且22c a b ≤+恒成立，则c 的最大值是A.12B.2C.14D.47.下列结论正确的是A.当2x ≥时，1x x+的最小值为2 B.当0x >2C.当102x x x<≤-时，无最大值 D.当0x >且1x ≠时，1lg 2lg x x+≥8.在等比数列{}n a 中,576a a =，2105a a +=,则1810a a 等于A.2332--或 B.23C.32D.23或329.在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，若∠C=120°，a ，则A.a ＞b B.a ＜bC.a ＝bD.a 与b 的大小关系不能确定10.设数列{a n }是公差d ＜0的等差数列，S n 为其前n 项和，若S 6＝5a 1＋10d ，则S n 取最大值时，n 的值为A.5 B.6 C.5或6 D.1111.已知{}n a 是等比数列，2512,4a a ==则12231=n n a a a a a a +++⋯A.()32123n -- B.()32143n -- C.()1612n-- D.()1614n--12.某人要制作一个三角形，要求它的三条高的长度分别为111,,13115，则此人能()A.不能作出这样的三角形 B.作出一个锐角三角形C.作出一个直角三角形D.作出一个钝角三角形第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知数列{}n a 的前n 项和222n S n n =-+，则数列的通项n a =______．14.在ABC ∆中，4a =，5b =，6c =，则sin 2sin AC=__________．15.在数列{a n }中，已知a 1＝2，a 2＝7，a n ＋2等于a n a n ＋1(n ∈N *)的个位数，则a 2017＝_______.16.若实数,x y 满足221,x y xy ++=则x y +的最大值为________________.三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.在ABC △中，三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且A ，B ，C 成等差数列，a ，b ，c 成等比数列，求证：ABC △为等边三角形．18.如图，测量河对岸的塔高AB 时，可以选与塔底B 在同一水平面内的两个测点C 与D ．测得153030BCD BDC CD ︒︒∠=∠==，，米，并在点C 测得塔顶A 的仰角为60︒,求塔高AB ．19.已知等差数列{}n a 满足：37a =，5726a a +=．{}n a 的前n 项和为n S ．（Ⅰ）求n a 及n S ；（Ⅱ）令211n n b a =-（n N +∈）,求数列{}n b 的前n 项和n T ．20.在ABC ∆中，A ∠、B Ð、C ∠的对边分别为a 、b ，c ，记(2sin ,m B =，2cos 2,2cos 12B n B ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，且m n .（1）求锐角B Ð的大小；（2）若2b =，求ABC S ∆的最大值.21.某公司今年年初用25万元引进一种新的设备，投入设备后每年收益为21万元．该公司第n 年需要付出设备的维修和工人工资等费用n a 的信息如下图．（1）求n a ；（2）引进这种设备后，从第几年开始该公司能够获利？（3）这种设备使用多少年，该公司的年平均获利最大？22.设数列{}n a 前n 项和为n S ,满足()31*42n n a S n N =+∈．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）令n nb na =求数列{}n b 的前n 项和n T ；（3）若不等式12209n n a T n ++⋅->对任意的*n N ∈恒成立，求实数a 的取值范围．解析兰州市一中2017-2018学年上学期高二数学期中试卷试卷满分150分，考试时间120分钟第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.ABC ∆中，若1,2,60a c B ===︒，则ABC ∆的面积为（）A.12B.2C.1D.【答案】B 【解析】由三角形面积公式可得：11sin 122222S ac B ==⨯⨯⨯=，故选B.2.设数列{}n a 是等差数列,若394,8,a a ==则6a =（）A.5 B.112C.6D.132【答案】C【解析】93632864634263a a d d d a a d ==+=+∴=∴=+=+=3.若,,,abcd R ∈，且,a b c d >>那么（）A.a c b d ->-B.ac bd> C.a b d c> D.a d b c->-【答案】D 【解析】,{a ba b c d d c>>>⇒⇒->-同向相加得a db c->-4.设,x y 满足约束条件12x y y x y +≤⎧⎪≤⎨⎪≥-⎩,则3z x y =+的最大值为（）A.5B.3C.7D.-8【答案】C 【解析】试题分析：不等式组表示的平面区域如图，把函数转化为表示的斜率为，截距为的平行直线系，当截距最大时，最大，当直线过点时，由，得，，故答案为C．考点：线性规划的应用．5.在 ABC 中， 80,100,45a b A ===︒，则此三角形解的情况是()A.一解B.两解C.一解或两解D.无解【答案】B 【解析】由题意知，80a =，100b =，45A ∠=︒，∴sin 100802b A =⨯=<，如图：∵sin b A a b <<，∴此三角形的解的情况有2种，故选B ．6.设,,,2,a b c R ab ∈=且22c a b ≤+恒成立，则c 的最大值是A.12B.2C.14D.4【答案】D 【解析】∵2ab =，∴222ab 4a b +≥=，又22c a b ≤+恒成立∴4c ≤故选：D点睛：恒成立的问题：（1）根据参变分离，转化为不含参数的函数的最值问题；（2）若()0f x >就可讨论参数不同取值下的函数的单调性和极值以及最值，最终转化为min ()0f x >，若()0f x <恒成立，转化为max ()0f x <;（3）若()()f x g x >恒成立，可转化为min max ()()f x g x >.7.下列结论正确的是A.当2x ≥时，1x x+的最小值为2B.当0x >2C.当102x x x<≤-时，无最大值 D.当0x >且1x ≠时，1lg 2lg x x+≥【答案】B 【解析】对于A ，x +1x 在[2，+∞）上单调增，所以x=2时，1x x +的最小值为52，故A 错误；对于B ，当x ＞02≥，当且仅当x=1时，等号成立，故B 成立；对于C ，1x x -在（0，2]上单调增，所以x=2时，1x x-取得最大值，故C 不成立；对于D ，当0＜x ＜1时，lgx ＜0，1lg x＜0，结论不成立；故选B8.在等比数列{}n a 中,576a a =，2105a a +=,则1810a a 等于A.2332--或 B.23 C.32D.23或32【解析】∵{}n a 为等比数列，∴572106a a a a ==，又2105a a +=∴210a a ，为25x 60x -+=的两个不等实根，∴2210102332a a a a 或==⎧⎧⎨⎨==⎩⎩∴83q 2=或82q 3=∴8181032q 23a a ==或故选：D9.在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，若∠C=120°，a ，则A.a ＞bB.a ＜bC.a ＝bD.a 与b 的大小关系不能确定【答案】A 【解析】【分析】由余弦定理可知c 2＝a 2+b 2﹣2ab cos C ，进而求得a ﹣b 的表达式，根据表达式与0的大小，即可判断出a 与b 的大小关系．【详解】解：∵∠C ＝120°，c =a ，∴由余弦定理可知c 2＝a 2+b 2﹣2ab cos C）2＝a 2+b 2+ab ．∴a 2﹣b 2＝ab ，a ﹣b aba b=+，∵a ＞0，b ＞0，∴a ﹣b aba b=+，∴a ＞b 故选：A ．【点睛】本题考查余弦定理，特殊角的三角函数值，不等式的性质，比较法，属中档题．【此处有视频，请去附件查看】10.设数列{a n }是公差d ＜0的等差数列，S n 为其前n 项和，若S 6＝5a 1＋10d ，则S n 取最大值时，n 的值为A.5 B.6 C.5或6 D.11【解析】试题分析：∵6111510615510S a d a d a d =+∴+=+，得到150a d +=即60a =，∵数列{}n a 是公差0d ＜的等差数列，∴5n =或6，n S 取最大值，选C .考点：1.等差数列的通项公式；2.等差数列的求和.11.已知{}n a 是等比数列，2512,4a a ==则12231=n n a a a a a a +++⋯A.()32123n -- B.()32143n -- C.()1612n-- D.()1614n--【答案】B 【解析】∵{}n a 是等比数列，22a =，514a =，∴q 3=18，则q=12，∵11n n n n a a a a +-=q 2=14∴数列{a n a n +1}是以8为首项，14为公比的等比数列∴a 1a 2+a 2a 3+a 3a 4+…+a n a n +1=()32143n --．故选：B 点睛：本题重点考查了等差数列的通项公式及前n 项和知识，解题关键是把新数列的和理解为新等比数列的前n 项和,整体换元的思想同学们要牢固把握.12.某人要制作一个三角形，要求它的三条高的长度分别为111,,13115，则此人能()A.不能作出这样的三角形 B.作出一个锐角三角形C.作出一个直角三角形 D.作出一个钝角三角形【答案】D 【解析】设三角形的面积为S ，其三边长分别是a,b,c,其相应边上的高分别为，，，则S=a×，即a=26S ；同理可得另两边长b=22S,c=10S ．由余弦定理得cosA ＝==<0，即A 为钝角．所以能作出一个钝角三角形．【此处有视频，请去附件查看】第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知数列{}n a 的前n 项和222n S n n =-+，则数列的通项n a =______．【答案】【解析】当n=1时，1a =S 1=1当n 2≥时，n a =S n ()()()2212n 2121223n S n n n n -⎡⎤-=-+----+=-⎣⎦∴1,123, 2.n n a n n =⎧=⎨-≥⎩14.在ABC ∆中，4a =，5b =，6c =，则sin 2sin AC=__________．【答案】1【解析】试题分析：222sin 22sin cos 2cos 2cos 21sin sin 2A A A a A b c a A C C c bc+-====⨯=考点：正余弦定理解三角形15.在数列{a n }中，已知a 1＝2，a 2＝7，a n ＋2等于a n a n ＋1(n ∈N *)的个位数，则a 2017＝_______.【答案】2【解析】∵已知a 1=2，a 2=7，a n +2等于a n a n +1（n ∈N*）的个位数，∴a 3=4，a 4=8，a 5=2，a 6=6，a 7=2，a 8=2，a 9=4，a 10=8，…，可以看出：从a 9开始重复出现从a 3到a 8的值：4，8，2，6，2，2．因此a n =a n +6（n ≥3，n ∈N +）．又2017=336×6+1．故a 2017＝a 1＝2故答案为：2．16.若实数,x y 满足221,x y xy ++=则x y +的最大值为________________.【答案】3【解析】∵xy≤14(x+y)2,∴1=x 2+y 2+xy =(x+y)2-xy≥(x+y)2-14(x+y)2=14(x+y)2,∴(x+y)2≤34,∴-3≤x+y≤3,当x=y=3时,x+y 取得最大值3.【此处有视频，请去附件查看】三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.在ABC △中，三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且A ，B ，C 成等差数列，a ，b ，c 成等比数列，求证：ABC △为等边三角形．【答案】见解析【解析】【分析】通过A 、B 、C 成等差数列，且a 、b 、c 成等比数列，得π3B =和2b ac =，结合正弦定理以及余弦定理即可证明△ABC 为等边三角形；【详解】由A ，B ，C 成等差数列，得2B A C =+①．因为A ，B ，C 为ABC ∆的内角，所以A B C π++=②．由①②，得π3B =③，由a ，b ，c 成等比数列，得2b ac=④．由余弦定理及③，可得222222cos b a c ac B a c ac =+-=+-．将④代入，可得22a c ac ac +-=，即()20a c -=，因此a c =，从而有A C =⑤．由②③⑤，得π3A B C ===，所以ABC ∆为等边三角形．【点睛】本题考查判断三角形的形状，也考查了正弦定理以及余弦定理和等差，等比数列的基本知识的应用，属于中档题.18.如图，测量河对岸的塔高AB 时，可以选与塔底B 在同一水平面内的两个测点C 与D ．测得153030BCD BDC CD ︒︒∠=∠==，，米，并在点C 测得塔顶A 的仰角为60︒,求塔高AB ．【答案】塔高156【解析】试题分析：先根据三角形的内角和求出∠CBD ，再根据正弦定理求得BC ，进而在直角三角形ACB 中根据∠ACB 及BC ，进而求得AB ．试题解析：“解：在BCD 中，1801530135CBD ∠=︒-︒-︒=︒由正弦定理得sin sin BC CDBDC CBD =∠∠．所以30sin302sin135BC ︒==︒．在Rt ABC ∆中，tan 2tan606AB BC ACB ︒=∠==（m ）答:塔高6m.19.已知等差数列{}n a 满足：37a =，5726a a +=．{}n a 的前n 项和为n S ．（Ⅰ）求n a 及n S ；（Ⅱ）令211n n b a =-（n N +∈）,求数列{}n b 的前n 项和n T ．【答案】（Ⅰ）21,(2)n n a n S n n =+=+;（Ⅱ）4(1)nn +．【解析】试题分析：（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，由已知3577,26a a a =+=可得1127{21026a d a d +=+=解得1,a d ，则n a 及n S 可求；（2）由（1）可得111()41n b n n =-+，裂项求和即可试题解析：（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，因为37a =，5726a a +=，所以有1127{21026a d a d +=+=，解得13,2a d ==，所以32(1)21n a n n =+-=+，2(1)3222n n n S n n n -=+⨯=+.（2）由（1）知，21n a n =+，所以22111111()1(21)14(1)41n n b a n n n n n ====--+-++，所以11111111(1)(1)42231414(1)n n T n n n n =-+-++-=-=+++ ，即数列{}n b 的前n 项和4(1)n nT n =+.考点：等差数列的通项公式，前n 项和公式。

2017-2018学年甘肃省兰州四中高二（上）期中数学试卷一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1.设a>b，c>d则下列不等式中一定成立的是()A. a+c>b+dB. ac>bdC. a−c>b−dD. a+d>b+c2.数列{a n}满足a n+1−a n=−3(n≥1)，a1=7，则a3的值是()A. −3B. 4C. 1D. 63.若a>1则a−1+1a−1的最小值等于()A. aB. 2√aa−1C. 2D. 34.在等差数列{a n}中，已知a5=21，则a4+a5+a6等于()A. 15B. 33C. 51D. 635.在△ABC中，已知a=8，B=60°，A=45°，则b等于()A. 4√2B. 4√3C. 4√6D. 3236.已知不等式x2−2x−3<0的整数解构成等差数列{a n}的前三项，则数列的第四项为()A. 3B. −1C. 2D. 3或−17.不等式2x2+mx+n>0的解集是{x|x>3或x<−2}，则二次函数y=2x2+mx+n的表达式是()A. y=2x2+2x+12B. y=2x2−2x+12C. y=2x2+2x−12D. y=2x2−2x−128.在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知A=π3，a=√3，b=1，则c=()A. 1B. 2C. √3−1D. √39.数列{a n}的前n项和为S n，若a n=1n(n+1)，则S5等于()A. 1B. 56C. 16D. 13010.设0<b<a<1，则下列不等式成立的是()A. ab<b2<1B. log12b<log12a<0C. 2b<2a<2D. a2<ab<111.不等式lgx2>lg2x的解集是()A. (1,100)B. (100,+∞),1)∪(100,+∞)C. (0,1)∪(100,+∞)D. (110012.设△ABC的三内角A、B、C成等差数列，sin A、sin B、sin C成等比数列，则这个三角形的形状是()A. 直角三角形B. 钝角三角形C. 等腰直角三角形D. 等边三角形二、单空题（本大题共4小题，共16.0分）13.已知数列√2,√5,2√2,√11,…，则2√5是该数列的第______项．≤0的解集是______．14.不等式2x−13x+115.数列{a n}的前n项的和S n=n2+1，则此数列的通项公式a n=______．16.在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知(b+c)：(c+a)：(a+b)=4：5：6，则下列结论正确的是______(1)△ABC一定是钝角三角形；(2)△ABC被唯一确定；(3)sinA：sin B：sinC=7：5：3；(4)若b+c=8，则△ABC的面积为15√3．2三、解答题（本大题共6小题，共74.0分）17.设{a n}是等差数列，前n项和记为S n，已知a10=30，a20=50．(1)求通项公式a n．(2)若S n=242，求n的值．18.(I)解不等式−x2+4x+5<0；(Ⅱ)解关于x的不等式x2−(1+m)x+m<0．19.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知cosBcosC−sinBsinC=12．(1)求A；(2)若a=2√3，b+c=4，求△ABC的面积．20.若实数x，y满足条件{0≤x≤10≤y≤22y−x≥1，求z=2y−2x+4的最小值和最大值．21.某种汽车购买时费用为14.4万元，每年应交付保险费、养路费及汽油费共0.9万元，汽车的维修费为：第一年0.2万元，第二年0.4万元，第三年0.6万元，…，依等差数列逐年递增．(Ⅰ)设使用n年该车的总费用(包括购车费用)为f(n)，试写出f(n)的表达式；(Ⅱ)求这种汽车使用多少年报废最合算(即该车使用多少年平均费用最少)．22.已知数列{a n}满足a1=1，a n+1=2a n+1(n∈N∗).(I)证明数列{a n+1}是等比数列，并求数列{a n}的通项公式；(Ⅱ)若b n=n(a n+1)2，求数列{b n}的前n项和S n；(Ⅲ)证明：n2−13<a1a2+a2a3+⋯+a na n+1<n2(n∈N∗)．答案和解析1.【答案】A【解析】解：∵b<a，d<c，∴设b=−1，a=−2，d=2，c=3选项B，(−2)×3>(−1)×2，不成立选项C，−2−3>−1−2，不成立选项D，−2+2>−1+3，不成立故选：A．本题是选择题，可采用逐一检验，利用特殊值法进行检验，很快问题得以解决．本题主要考查了基本不等式，基本不等式在考纲中是C级要求，本题属于基础题．2.【答案】C【解析】解：∵a n+1−a n=−3(n≥1)，a1=7，∴数列{a n}是等差数列，∴a n=a1+(n−1)·(−3)=7−3n+3=10−3n，∴a3=10−3×3=1．故选C．利用等差数列的通项公式即可得出．本题考查了等差数列的通项公式，属于基础题．3.【答案】C【解析】解：∵a>1，∴a−1>0．∴a−1+1a−1≥2√(a−1)⋅1a−1=2．故选C．本题可直接利用积为定值，运用基本不等式可得本题结论．本题考查的是基本不等式，注意不等式的使用条件，本题计算量小，属于基础题．【解析】解：由等差数列的性质可得a4+a6=2a5，∴a4+a5+a6=3a5=3×21=63故选D由等差数列的性质可得a4+a5+a6=3a5，代入化简可得．本题考查等差数列的性质，划归为a5是解决问题的关键，属基础题．5.【答案】C【解析】解：由正弦定理可知asinA =bsinB，∴b=asinA ⋅sinB=8sin45∘×sin60°=√22√32=4√6，故选C由A和B的度数分别求出sin A和sin B的值，再由a的值，利用正弦定理即可求出b的值．本题主要考查了正弦定理的应用．正弦定理常用来运用a：b：c=sinA：sin B：sin C解决边角之间的转换关系，利用正弦定理是解三角形问题常用的方法，故应熟练记忆．6.【答案】D【解析】解：解不等式x2−2x−3<0，得−1<x<3，∵不等式x2−2x−3<0的整数解构成等差数列{a n}的前三项，∴等差数列{a n}的前三项为0，1，2或2，1，0，∴该数列的第四项为3或−1．故选：D．解不等式x2−2x−3<0，得等差数列{a n}的前三项为0，1，2或2，1，0，由此能求出该数列的第四项．本题考查数列的第四项的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用．【解析】解：∵不等式2x 2+mx +n >0的解集是{x|x >3或x <−2}， ∴−2，3是2x 2+mx +n =0的两个实数根， ∴{−2+3=−m 2−2×3=n 2，解得{m =−2n =−12．∴二次函数y =2x 2+mx +n 的表达式是y =2x 2−2x −12． 故选：D ．不等式2x 2+mx +n >0的解集是{x|x >3或x <−2}，可得−2，3是2x 2+mx +n =0的两个实数根，利用根与系数的关系即可得出．本题考查了一元二次不等式的解集与相应的一元二次方程的实数根的关系，属于基础题．8.【答案】B【解析】解：解法一：(余弦定理)由a 2=b 2+c 2−2bccosA 得：3=1+c 2−2c ×1×cos π3=1+c 2−c ，∴c 2−c −2=0，∴c =2或−1(舍)．解法二：(正弦定理)由a sinA =b sinB ，得：√3sin π3=1sinB ，∴sinB =12，∵b <a ，∴B =π6，从而C =π2， ∴c 2=a 2+b 2=4，∴c =2．方法一：可根据余弦定理直接求，但要注意边一定大于0；方法二：可根据正弦定理求出sin B ，进而求出c ，要注意判断角的范围．本题主要考查正弦定理和余弦定理的应用．在解三角形时一般就用这两个定理，要熟练掌握．9.【答案】B【解析】解：∵a n =1n −1n+1，∴S n =(1−12)+(12−13)+⋯+(1n −1n+1)=1−1n+1=nn+1．∴S5=5．6故选B．利用“裂项求和”即可得出．熟练掌握“裂项求和”的方法是解题的关键．10.【答案】C【解析】解：对于A：ab<b2<1，因为0<b<a<1，则乘以b不变号，即b2<ab.故A错误．对于B：可直接根据对数函数在的单调性判断B错误．对于C：因为y=2x是单调递增函数，且0<b<a<1，所以2b<2a<21，即2b<2a< 2.故C正确．对于D：因为0<b<a<1，则乘以a不变号，即ab<a2.故D错误．故选：C．首先对于这类选择题可以通过排除分析法作答．对于条件0<b<a<1，然后根据基本不等式，各种函数的单调性的知识一个一个选项排除，即可得到答案．此题主要考查基本不等式的应用，其中涉及到函数单调性和函数在区间值域的知识．属于综合性的问题，需要一个一个选项去分析排除．此外这类题容易出错，做题时切忌谨慎．11.【答案】A【解析】解：∵lgx2>lg2x，∴lg2x−2lgx<0即lgx(lgx−2)<0，∴0<lgx<2，∴1<x<100，∴不等式lgx2>lg2x的解集是(1,100)．故选：A．利用对数的运算性质将lgx2>lg2x转化为lgx(lgx−2)<0，解之即可得答案．本题考查对数不等式的解法，考查转化与方程思想，考查运算能力，属于中档题．12.【答案】D【解析】解：∵△ABC的三内角A、B、C成等差数列，∴∠B=60°，∠A+∠C=120°①；又sin A、sin B、sin C成等比数列，∴sin2B=sinA⋅sinC=34，②由①②得：sinA⋅sin(120°−A)=sinA⋅(sin120°cosA−cos120°sinA)=√34sin2A+12⋅1−cos2A2=√34sin2A−14cos2A+14=12sin(2A−30°)+14=34，∴sin(2A−30°)=1，又0°<∠A<120°∴∠A=60°．故选：D．先由△ABC的三内角A、B、C成等差数列，求得∠B=60°，∠A+∠C=120°①；再由sin A、sin B、sin C成等比数列，得sin2B=sinA⋅sinC，②，①②结合即可判断这个三角形的形状．本题考查数列与三角函数的综合，关键在于求得∠B=60°，∠A+∠C=120°，再利用三角公式转化，着重考查分析与转化的能力，属于中档题．13.【答案】7【解析】解：∵数列√2,√5,2√2,√11,…，∴第n项的通项是√3n−1则2√5=√3n−1，∴n=7，故答案为：7根据数列的前几项写出数列的一个通项公式，把所给的这一项的数字都放到根号下面，得到关于n的方程，解方程即可．本题考查数列的概念即简单表示，解题的关键是看清题目中根号下的数字与项数之间的关系，一般需要把根号外的都放到根号里面，这样更好看出结果．14.【答案】(−13,12]【解析】解：∵2x−13x+1≤0 ∴{(2x −1)(3x +1)≤03x +1≠0，解得∴−13<x ≤12，所以不等式的解集为：(−13,12]． 故答案为：(−13,12]．先将分式不等式转化成一元二次不等式进行求解，注意分母不0．本题主要考查了分式不等式的解法，同时考查了等价转化的数学思想，属于基础题．15.【答案】{2,n =12n −1,n ≥2【解析】解：当n =1时，a 1=S 1=1+1=2；当n ≥2时，a n =S n −S n−1=n 2+1−[(n −1)2+1]=2n −1． ∴a n ={2,n =12n −1,n ≥2,n ∈N．故答案为：a n ={2,n =12n −1,n ≥2．利用“当n =1时，a 1=S 1；当n ≥2时，a n =S n −S n−1”即可得出．本题考查了“当n =1时，a 1=S 1；当n ≥2时，a n =S n −S n−1”求数列的通项公式a n 的方法，属于基础题．16.【答案】(1)(3)【解析】解：在△ABC 中，由于(b +c)：(c +a)：(a +b)=4：5：6， 可设b +c =4k ，a +c =5k ，a +b =6k ，求得a =7k2，b =5k2，c =3k 2．求得cosA =b 2+c 2−a 22bc=−12<0，故A =120°为钝角，故(1)正确．由以上可得，三角形三边之比a：b：c=7：5：3，故这样的三角形有无数多个，故(2)不正确，(3)正确．若b+c=8，则b=5、c=3，由正弦定理可得△ABC的面积为12bc⋅sinA=12×5×3×sin120°=15√34，故(4)不正确．故答案为(1)、(3)．设b+c=4k，a+c=5k，a+b=6k，求得a、b、c的值，再利用余弦定理求得cos A的值，可得A=120°，再求得△ABC的面积为12bc⋅sinA的值，从而得出结论．本题主要考查正弦定理、余弦定理的应用，根据三角函数的值求角，属于中档题．17.【答案】解：(1)由a10=30，a20=50.可得：a1+9d=30，a1+19d=50，解得a1=12，d=2．∴a n=a1+(n−1)d=12+(n−1)×2=2n+10．(2)S n=12n+n(n−1)2×2=n2+11n=242，∴n2+11n−242=0，∴n=11．【解析】(1)由a10=30，a20=50.可得：a1+9d=30，a1+19d=50，联立解得．(2)利用求和公式可得S n．本题考查了等差数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．18.【答案】解：(Ⅰ)不等式可化为x2−4x−5>0，因△=16+20>0，方程x2−4x−5=0有两个实数根，即x1=5，x2=−1…(4分)所以原不等式的解集是{x|x<−1或x>5}…(6分)(Ⅱ)由题可得，方程x2−(1+m)x+m=0，即(x−1)(x−m)=0，解得：x=1或x=m.…(8分)当m>1时，不等式的解集为{x|1<x<m}，当m=1时，不等式为(x−1)2<0，解集为⌀，当m<1时，不等式的解集为{x|m<x<1}…(11分)【解析】(Ⅰ)结合二次函数的性质求出不等式的解集即可；(Ⅱ)通过讨论m的范围，求出不等式的解集即可．本题考查了二次不等式的解法，考查分类讨论思想，是一道中档题．19.【答案】解：(1)∵cosBcosC−sinBsinC=cos(B+C)=−cosA=12．∴cosA=−12，∵A∈(0,π)，∴A=2π3．(2)∵a=2√3，A=2π3，b+c=4，∴由余弦定理a2=b2+c2−2bccosA，可得：12=b2+c2+bc=(b+c)2−bc=16−bc，可得：bc=4，∴△ABC的面积S=12bcsinA=12×4×√32=√3．【解析】(1)由已知利用两角和的余弦函数公式，三角形内角和定理，诱导公式可求cosA=−12，结合范围A∈(0,π)，可求A的值．(2)由已知及余弦定理可求bc=4，进而利用三角形面积公式即可计算得解．本题主要考查了两角和的余弦函数公式，三角形内角和定理，诱导公式，余弦定理，三角形面积公式在解三角形中的应用，属于基础题．20.【答案】(12分)解：作出满足不等式组{0≤x≤10≤y≤22y−x≥1的可行域，如右图所示…(6分)作直线l1：2y−2x=t，当l经过A(0,2)时，z max=2×2−2×0+4=8．当l经过B(1,1)时，z min=2×1−2×1+4=4.…(12分)【解析】画出约束条件表示的可行域，确定目标函数经过的点，求出目标函数的最值即可．本题考查简单的线性规划，考查数形结合与计算能力．21.【答案】解：(Ⅰ)依题意f(n)=14.4+(0.2+0.4+0.6+⋯+0.2n)+0.9n (3))=14.4+0.2n(n+1)2+0.9n…(5分)=0.1n2+n+14.4…(7分)(Ⅱ)设该车的年平均费用为S万元，则有S=1n f(n)=1n(0.1n2+n+14.4)…(9分)=n10+14.4n+1≥2√1.44+1=2×1.2+1=3.4仅当n10=14.4n，即n=12时，等号成立．…(13分)故：汽车使用12年报废为宜．…(14分)【解析】(I)由已知中某种汽车购买时费用为14.4万元，每年应交付保险费、养路费及汽油费共0.9万元，汽车的维修费为：第一年0.2万元，第二年0.4万元，第三年0.6万元，…，依等差数列逐年递增，根据等差数列前n项和公式，即可得到f(n)的表达式；(II)由(I)中使用n年该车的总费用，我们可以得到n年平均费用表达式，根据基本不等式，我们易计算出平均费用最小时的n值，进而得到结论．本题考查的知识点是根据实际问题选择函数类型，基本不等式在最值问题中的应用，数列的应用，其中(I)的关键是由等差数列前n项和公式，得到f(n)的表达式，(II)的关键是根据基本不等式，得到函数的最小值点．22.【答案】(Ⅰ)证明：∵a1=1，a n+1=2a n+1，∴a n+1+1=2(a n+1)，又a1+1=2，∴数列{a n+1}是首项为2，公比为2的等比数列，∴a n+1=2n，∴a n=2n−1．(Ⅱ)解：∵b n=n(a n+1)2=n⋅2n2=n⋅2n−1，∴S n=1⋅20+2⋅2+3⋅22+⋯+n⋅2n−1，①2S n=1⋅2+2⋅22+3⋅23+⋯+n⋅2n，②①−②，得：−S n=1+2+22+⋯+2n−1−n⋅2n =1−2n1−2−n⋅2n∴S n=(n−1)⋅2n+1．(Ⅲ)证明：∵a ka k+1=2k−12k+1−1=2k−12(2k−12)<12，k=1，2，3，…，n∴a1a2+a2a3+⋯+a na n+1<n2，∵a ka k+1=2k−12k+1−1=12−12(2k+1−1)=12−13⋅2k+2k−2≥12−13⋅12k，k=1，2，3，…，n∴a1a2+a2a3+⋯+a na n+1≥n2−13(12+122+⋯+12n)=n2−13(1−12n)>n2−13，∴n2−13<a1a2+a2a3+⋯+a na n+1<n2(n∈N∗)．【解析】(Ⅰ)由已知得a n+1+1=2(a n+1)，a1+1=2，由此能证明数列{a n+1}是首项为2，公比为2的等比数列，从而能求出a n=2n−1．(Ⅱ)由b n=n(a n+1)2=n⋅2n2=n⋅2n−1，利用错位相减法能求出S n=(n−1)⋅2n+1．(Ⅲ)由a ka k+1=2k−12k+1−1=2k−12(2k−12)<12，a ka k+1=12−13⋅2k+2k−2≥12−13⋅12k，利用放缩法能证明n2−1 3<a1a2+a2a3+⋯+a na n+1<n2(n∈N∗)．本题考查等比数列的证明，考查数列的前n项和的求法，考查不等式的证明，解题时要注意构造法、放缩法、错位相减法的合理运用．。

兰州一中2017-2018-1学期高二年级期中考试试题数 学说明：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.满分150分，考试时间120分钟.答案写在答题卡上，交卷时只交答题卡.第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.ABC ∆中，若1,2,60a c B ===︒，则ABC ∆的面积为（ ） A.12B.3 C. 1 D.3【答案】B 【解析】由三角形面积公式可得：1133sin 122222S ac B ==⨯⨯⨯=，故选B.2.设数列{}n a 是等差数列, 若394,8,a a ==则6a =（ ） A. 5 B.112C. 6D.132【答案】C 【解析】93632864634263a a d d d a a d ==+=+∴=∴=+=+=3.若,,,a b c d R ∈，且,a b c d >>那么（ ） A. a c b d ->- B. ac bd >C.a b d c> D. a d b c ->-【答案】D 【解析】,{a ba b c d d c>>>⇒⇒->-同向相加得a dbc ->-4.设,x y 满足约束条件12x y y x y +≤⎧⎪≤⎨⎪≥-⎩,则3z x y =+的最大值为 （ ）A. 5B. 3C. 7D. -8【答案】C 【解析】试题分析：不等式组表示的平面区域如图，把函数转化为表示的斜率为，截距为的平行直线系，当截距最大时，最大，当直线过点时，由，得，，故答案为C ．考点：线性规划的应用．5.在 ABC 中， 80,100,45a b A ===︒，则此三角形解的情况是( ) A. 一解 B. 两解C. 一解或两解D. 无解【答案】B 【解析】由题意知，80a =，100b =，45A ∠=︒，∴sin 100802b A =⨯=<，如图：∵sin b A a b <<，∴此三角形的解的情况有2种，故选B ．6.设,,,2,a b c R ab ∈=且22c a b ≤+恒成立，则c 的最大值是 A.12B. 2C.14D. 4【答案】D 【解析】∵2ab =，∴222ab 4a b +≥=，又22c a b ≤+恒成立 ∴4c ≤ 故选：D点睛：恒成立的问题：（1）根据参变分离，转化为不含参数的函数的最值问题；（2）若()0f x >就可讨论参数不同取值下的函数的单调性和极值以及最值，最终转化为min ()0f x >，若()0f x <恒成立，转化为max ()0f x <;（3）若()()f x g x >恒成立，可转化为min max ()()f x g x >.7.下列结论正确的是 A. 当2x ≥时，1x x+的最小值为2 B. 当0x >2x x≥ C. 当102x x x<≤-时，无最大值 D. 当0x >且1x ≠时，1lg 2lg x x+≥ 【答案】B 【解析】 对于A ，x +1x 在[2，+∞）上单调增，所以x=2时，1x x +的最小值为52，故A 错误； 对于B ，当x ＞02x≥，当且仅当x=1时，等号成立，故B 成立； 对于C ，1x x -在（0，2]上单调增，所以x=2时，1x x-取得最大值，故C 不成立；对于D ，当0＜x ＜1时，lgx ＜0，1lg x＜0，结论不成立； 故选B8.在等比数列{}n a 中,576a a =，2105a a +=,则1810a a 等于A.2332--或 B.23C.32D.23或32【答案】D 【解析】∵{}n a 为等比数列，∴572106a a a a ==，又2105a a += ∴210a a ，为25x 60x -+=的两个不等实根，∴2210102332a a a a 或==⎧⎧⎨⎨==⎩⎩∴83q 2=或82q 3= ∴8181032q 23a a ==或 故选：D9.在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，若∠C=120°，2a ，则 A. a ＞b B. a ＜bC. a ＝bD. a 与b 的大小关系不能确定【答案】A 【解析】 【分析】由余弦定理可知c 2＝a 2+b 2﹣2ab cos C ，进而求得a ﹣b 的表达式，根据表达式与0的大小，即可判断出a 与b 的大小关系．【详解】解：∵∠C ＝120°，c =，∴由余弦定理可知c 2＝a 2+b 2﹣2ab cos C ，）2＝a 2+b 2+ab ．∴a 2﹣b 2＝ab ，a ﹣b aba b=+， ∵a ＞0，b ＞0， ∴a ﹣b aba b=+， ∴a ＞b 故选：A ．【点睛】本题考查余弦定理，特殊角的三角函数值，不等式的性质，比较法，属中档题．【此处有视频，请去附件查看】10.设数列{a n }是公差d ＜0的等差数列，S n 为其前n 项和，若S 6＝5a 1＋10d ，则S n 取最大值时，n 的值为 A. 5 B. 6C. 5或6D. 11【答案】C 【解析】试题分析：∵6111510615510S a d a d a d =+∴+=+，得到150a d +=即60a =， ∵数列{}n a 是公差0d ＜的等差数列，∴5n =或6，n S 取最大值，选C . 考点：1.等差数列的通项公式；2.等差数列的求和.11.已知{}n a 是等比数列，2512,4a a == 则12231=n n a a a a a a +++⋯ A.()32123n -- B.()32143n -- C. ()1612n--D. ()1614n--【答案】B 【解析】∵{}n a 是等比数列，22a =，514a =，∴q 3=18，则q=12， ∵11n n n n a a a a +-=q 2=14∴数列{a n a n +1}是以8为首项，14为公比的等比数列 ∴a 1a 2+a 2a 3+a 3a 4+…+a n a n +1=()32143n --． 故选：B点睛：本题重点考查了等差数列的通项公式及前n 项和知识，解题关键是把新数列的和理解为新等比数列的前n 项和,整体换元的思想同学们要牢固把握.12.某人要制作一个三角形，要求它的三条高的长度分别为111,,13115，则此人能( ) A. 不能作出这样的三角形 B. 作出一个锐角三角形 C. 作出一个直角三角形 D. 作出一个钝角三角形【答案】D 【解析】设三角形的面积为S ，其三边长分别是a,b,c,其相应边上的高分别为，，，则S=a×，即a=26S ；同理可得另两边长b=22S,c=10S ．由余弦定理得cosA ＝==<0，即A 为钝角． 所以能作出一个钝角三角形． 【此处有视频，请去附件查看】第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知数列{}n a 的前n 项和222n S n n =-+，则数列的通项n a = ______．【答案】【解析】当n=1时，1a =S 1=1当n 2≥时，n a =S n ()()()2212n 2121223n S n n n n -⎡⎤-=-+----+=-⎣⎦∴1,123, 2.n n a n n =⎧=⎨-≥⎩14.在ABC ∆中，4a =，5b =，6c =，则sin 2sin AC=__________． 【答案】1 【解析】试题分析：222sin 22sin cos 2cos 2cos 21sin sin 2A A A a A b c a A C C c bc+-====⨯=考点：正余弦定理解三角形15.在数列{a n }中，已知a 1＝2，a 2＝7，a n ＋2等于a n a n ＋1(n ∈N *)的个位数，则a 2 017＝_______. 【答案】2 【解析】∵已知a 1=2，a 2=7，a n +2等于a n a n +1（n ∈N*）的个位数， ∴a 3=4，a 4=8，a 5=2，a 6=6，a 7=2，a 8=2，a 9=4，a 10=8，…，可以看出：从a 9开始重复出现从a 3到a 8的值：4，8，2，6，2，2．因此a n =a n +6（n ≥3，n ∈N +）． 又2017=336×6+1．故a 2 017＝a 1＝2 故答案为：2．16.若实数,x y 满足221,x y xy ++=则x y +的最大值为________________.【解析】 ∵xy≤14(x+y)2, ∴1=x 2+y 2+xy =(x+y)2-xy ≥(x+y)2-14(x+y)2 =14(x+y)2,∴(x+y)2≤34, ∴-3≤x+y≤3, 当x=y=,x+y 23【此处有视频，请去附件查看】三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.在ABC △中，三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且A ，B ，C 成等差数列，a ，b ，c 成等比数列，求证：ABC △为等边三角形． 【答案】见解析 【解析】 【分析】通过A 、B 、C 成等差数列，且a 、b 、c 成等比数列，得π3B =和2b ac =，结合正弦定理以及余弦定理即可证明△ABC 为等边三角形；【详解】由A ，B ，C 成等差数列，得2B A C =+ ①． 因为A ，B ，C 为ABC ∆的内角，所以A B C π++= ②． 由①②，得π3B =③， 由a ，b ，c 成等比数列，得2b ac = ④．由余弦定理及③，可得222222cos b a c ac B a c ac =+-=+-．将④代入，可得22a c ac ac +-=，即()20a c -=，因此a c =，从而有A C = ⑤． 由②③⑤，得π3A B C ===，所以ABC ∆等边三角形．【点睛】本题考查判断三角形的形状，也考查了正弦定理以及余弦定理和等差，等比数列的基本知识的应用，属于中档题.18.如图，测量河对岸的塔高AB 时，可以选与塔底B 在同一水平面内的两个测点C 与D ．测得153030BCD BDC CD ︒︒∠=∠==，，米，并在点C 测得塔顶A 的仰角为60︒,求塔高AB ．【答案】塔高156 【解析】试题分析：先根据三角形的内角和求出∠CBD ，再根据正弦定理求得BC ，进而在直角三角形ACB 中根据∠ACB 及BC ，进而求得AB ． 试题解析：“解：在BCD 中，1801530135CBD ∠=︒-︒-︒=︒由正弦定理得sin sin BC CDBDC CBD =∠∠． 所以30sin30152sin135BC ︒==︒在Rt ABC ∆中，tan 152tan60156AB BC ACB ︒=∠==m ）答: 塔高m.19.已知等差数列{}n a 满足：37a =，5726a a +=．{}n a 的前n 项和为n S ． （Ⅰ）求n a 及n S ； （Ⅱ）令211n n b a =-（n N +∈）,求数列{}n b 的前n 项和n T ． 【答案】（Ⅰ）21,(2)n n a n S n n =+=+; （Ⅱ）4(1)nn +．【解析】试题分析：（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，由已知3577,26a a a =+=可得1127{21026a d a d +=+=解得1,a d ，则n a 及n S 可求；（2）由（1）可得111()41n b n n =-+，裂项求和即可 试题解析：（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，因为37a =，5726a a +=，所以有1127{21026a d a d +=+=，解得13,2a d ==，所以32(1)21n a n n =+-=+，2(1)3222n n n S n n n -=+⨯=+. （2）由（1）知，21n a n =+， 所以22111111()1(21)14(1)41n n b a n n n n n ====--+-++， 所以11111111(1)(1)42231414(1)n nT n n n n =-+-++-=-=+++， 即数列{}n b 的前n 项和4(1)n nT n =+.考点：等差数列的通项公式，前n 项和公式。

兰州市高二上学期期中数学试卷D卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题： (共12题；共24分)1. （2分）已知集合，则A .B .C .D .2. （2分） (2017高二上·廊坊期末) 设x∈R，则“|x﹣1|＜2”是“x2﹣4x﹣5＜0”的（）A . 充分而不必要条件B . 必要而不充分条件C . 充要条件D . 既不充分也不必要条件3. （2分）某高校有甲、乙、丙三个数学建模兴趣班，甲、乙两班各有45人，丙班有60人，为了解该校数学建模成果，采用分层抽样从中抽取一个容量为10的样本，则在乙班抽取的人数为（（）A . 2B . 3C . 4D . 54. （2分）(2017·吉安模拟) 直线l：ax+ y﹣1=0与x，y轴的交点分别为A，B，直线l与圆O：x2+y2=1的交点为C，D．给出下列命题：p：∀a＞0，S△AOB= ，q：∃a＞0，|AB|＜|CD|．则下面命题正确的是（）A . p∧qB . ￢p∧￢qC . p∧￢qD . ￢p∧q5. （2分） (2017高二下·雅安期末) 函数f（x）= ，若f（a）=0，则a的所有可能值组成的集合为（）A . {0}B . {0， }C . {0，﹣ }D . {﹣，﹣ }6. （2分） (2017高二上·抚州期末) 如图程序输出的结果是（）A . 3，4B . 4，4C . 3，3D . 4，37. （2分）同时掷2枚硬币，那么互为对立事件的是（）A . 恰好有1枚正面和恰有2枚正面B . 至少有1每正面和恰好有1枚正面C . 至少有2枚正面和恰有1枚正面D . 最多有1枚正面和恰有2枚正面8. （2分） (2016高二上·宁县期中) 已知数列{an}的前n项和Sn=2n﹣1，n=1，2，3，…，那么数列{an}（）A . 是等差数列但不是等比数列B . 是等比数列但不是等差数列C . 既是等差数列又是等比数列D . 既不是等差数列也不是等比数列9. （2分）设点是曲线上的点，，则（）A .B .C .D .10. （2分）过x轴下方的一动点P作抛物线C：x2=2y的两切线，切点分别为A，B，若直线AB到圆x2+y2=1相切，则点P的轨迹方程为（）A . y2﹣x2=1（y＜0）B . （y+2）2+x2=1C .D . x2=﹣y﹣111. （2分） (2016高三上·湖州期末) 已知函数f（x）=sin（ωx+ ）（x∈R，ω＞0）的最小正周期为π，为了得到函数g（x）=cosωx的图象，只要将y=f（x）的图象（）A . 向左平移个单位长度B . 向右平移个单位长度C . 向左平移个单位长度D . 向右平移个单位长度12. （2分）(2017·虎林模拟) 设函数若关于x的方程f（x）=a有四个不同的解x1 ， x2 ，x3 ， x4 ，且x1＜x2＜x3＜x4 ，则x3（x1+x2）+ 的取值范围是（）A . （﹣3，+∞）B . （﹣∞，3）C . [﹣3，3）D . （﹣3，3]二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分）把2016转化为二进制数为________14. （1分）(2019·全国Ⅰ卷理) 已知双曲线C：（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1 ， F2 ，过F1的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点。