赫斯特指数

自仿射分形曲线标度指数的算法及其应用汪富泉【摘要】分形曲线的自仿射性及其工程应用是一个重要研究课题。

标度指数是刻画自仿射分形曲线的特征值，Matsushita、Nikora、Sapozhnikov等分别根据方差、测度和对数关联积分提出标度指数的算法。

本文分析了上述算法的不足，使用坐标和测度建立了一个新算法。

本算法符合分形原理，可较好反映曲线的自仿射性和纵横方向的不同变化特征，计算过程简单明了，便于工程应用。

最后，我们应用上述四种算法计算了中国下荆江河道的标度指数，揭示了河道的自仿射性和横向摆动特征，对河道整治工程具有重要参考意义。

%Self-affnity of fractal curves and its application are important research topics. The Scaling exponent is used to describe the eigenvalues of the self-affine fractal curve. Matsushita, Nikora and Sapozhnikov et al have proposed different algorithms of scaling exponent according to variance, measurement and logarithmic correlation integral, respectively. In this paper, we propose a new algorithm by analyzing the demerits of their methods. This new algorithm, based on the fractal theory, may better disclose the self-affinity and variable features of fractal curves in vertical and horizontal directions, and the calculating process is also simple and clear, which can be effectively applied to engineering. Moreover, the self-affine scaling exponent of Lower Jingjiang channel is simulated by the above four algorithms, so as to reveal the self-affinity and lateral oscillation features of waterway, which is of great value to channel improvement engineering.【期刊名称】《工程数学学报》【年(卷),期】2014(000)005【总页数】5页(P728-732)【关键词】自仿射分形;标度指数;下荆江【作者】汪富泉【作者单位】广东石油化工学院继续教育学院，茂名 525000【正文语种】中文1 引言为刻画平面自仿射分形曲线在纵横方向的不同变化特征，人们定义了标度指数并提出了相关算法．对一条分形曲线C:y=f(x)，Matsushita等[1]应用方差给出一种算法(简称M-算法)：首先给定单位长度标度η0(=1)，测量出曲线C上两点A,B之间的长度和A,B之间各点的坐标{(xi,yi):i=1,2,···,N}，求出坐标的平均值¯x,¯y和方差X,Y．改变A,B的位置重复上述过程，在双对数坐标系下按下式进行回归∝ ∝ 其中νx,νy称为分形标度指数．Nikora等[2]应用测度提出另一种算法(N-算法)：设η是测量尺度，Δsη是用η沿曲线测量时得到的曲线段的测度，令是曲线段上点的坐标差的方均值．设曲线的分形内、外标度为L1,L2，当L1≤η≤L2时曲线是自相似的，当η≥L2时是自仿射的．在自仿射区内，记Δsη=Δs，设Δs2是曲线形态自仿射性成立的最小长度，则其中Ds是曲线的分维是长度为η的曲线段内坐标差的方均值．Sapozhnikov等基于对数关联积分提出一种算法(S-算法)，其理论基础是[3]：以曲线C的副法线为母线作柱面z=f(x,y)，得到标度指数的微分方程及其解，再选择坐标系(ξ,η,ζ)使(ξ,η)垂直于柱面母线方向，把z(x,y)表成单变量函数，称为对数关联积分方程．实际计算时分三步[4]：先对曲线做矩形覆盖，再将覆盖中得到的矩形边长与个数数据作对数变换，最后对这些数据作差分运算求出νx,νy．2 已有算法分析与新算法的建立M-算法的优点是便于操作，计算简便．但它通过点数和方差的变化来确定标度指数．由于分形几何的本质是研究形体在尺度变换下的不变性和不变量[5]，即分形标度指数应是某种尺度变换下的不变量，所以M-算法在理论上尚值得商榷．N-算法基于尺度变换思想，但(2)式中假定的自仿射性成立的最小长度Δs2和分形内标度L1很难精确求出，只能通过经验估计得到，因此算法不够严格．S-算法中的标度指数包含于复杂非线性关系式中且含有未知函数，无法用于计算，而其通过覆盖、取对数和差分的运算过程十分繁复，笔者用该方法试算，结果也不理想．近年来，数学上对自仿射分形的研究主要集中于测度及拓扑性质，如向量值自仿射测度的绝对连续性[6]，基于迭代函数系统的自仿射测度的奇异性[7]，三元数集平面自仿射测度的非谱性[8]，平面域上自仿射测度的非谱性[9]，与非连续共线数集相关联的平面自仿射集的连通性[10]等等．自1996年以后，与上述三种算法相关的研究尚未见到．为了克服上述三种算法的不足，本文给出如下简便算法：给定测量尺度δ，沿曲线测量得到N(δ)个测量步，N(δ)+1个测点，它们的坐标记为{(xi,yi):i=1,2,···,N+1}，令其中(x0,y0)是曲线段起点的坐标，可取为坐标原点，则有[2]其中Δsδ=N(δ)δ是以δ为尺度测量曲线时的折线长度，尺度越小它与曲线长度的误差越小．σx,σy是比例系数，与变量δ无关．(4)式可以改写成改变测量尺度δ，运用最小二乘法回归即得到标度指数νx,νy和σx,σy．该算法由各测点的坐标和不同尺度下的测度决定，因此可称为坐标-测度法(简称W-算法)．本算法通过尺度变换求出标度指数νx,νy，符合分形几何的基本原理，应用坐标差的方均值的变化，可以较好反映曲线在纵横方向的不同变化特征，量度曲线的横向摆动情况，计算过程简单明了，便于工程应用．为便于应用，本文对S-算法进行改进，给出如下等价算法．由分形理论[5]，S-算法等价于描述自仿射分形体的标度方程其中Mi=Mi(Xi,Yi)(i=1,2)是自仿射曲线位于尺度为Xi×Yi的矩形内的质量，即包含曲线上的点的小矩形的个数．改变矩形尺度，可从(7),(8)拟合出νx,νy．3 应用示例近年来，自仿射分形已应用于地下水[11]、岩石节理[12]等领域，在河流方面的应用尚未见到，本节研究中国下荆江河道的自仿射特征，并分析其工程应用背景．下荆江位于长江中游，起于藕池口，止于城陵矶，现河道长约170km，平均河宽1000m，平均水深13m，河道蜿蜒曲折，一直以来都是防洪和航运的险要河段．在1/615000的河道地形图上，以藕池口为坐标原点，藕池口到城陵矶的连线为x轴建立直角坐标系．计算中，取最小长度标度η0=5mm(相当于实际河道3.08km)作为单位尺度，Δs=kΔs2(k为正整数)，L1=1.63cm(约100km)，Δs2=5mm，由lnN(δ)=c− Dslnδ计算Ds．对下荆江近500年间的5次河道平面图[13]和现河道图计算自仿射标度指数和有关参数，结果如表1．表1:下荆江河道不同时期的自仿射特征时段M-算法N-算法S-算法W-算法vx vy H vx vy ε vx vy H vx vy χ 1490∼1644 0.89 0.73 0.81 1835∼18760.87 0.84 0.97 0.88 0.78 0.82 0.87 0.72 0.83 0.87 0.7 0.62 1876∼19101.01 0.38 0.38 0.87 0.75 0.67 0.88 0.73 0.83 0.82 0.66 0.67 1959 0.82 0.58 0.71 0.84 0.67 0.74 1 0.8 0.8 0.93 0.68 0.48现河道0.81 0.59 0.62 1975 0.82 0.44 0.54 0.74 0.72 0.7 0.68 0.62 0.91 1 0.21 0.21 0.94 0.78 0.58 0.77 0.68 0.88 0.99 0.2 0.2 0.93 0.79 0.59 0.78 0.69 0.88 0.92 0.69 0.47理论上，如果曲线是自相似的，则νx=νy=1/Df，Df是曲线的分形维数；如果νx,νy互不相同且满足1＞νx＞νy＞0，曲线是自仿射的．表1中H=νy/νx为赫斯特指数，H=1时，标度性质各向同性；0＜H＜1时，标度性质各向异性，H越小，各向异性程度越高．由表1中的数值结果可见，下荆江河道在各个历史时期均具有统计自仿射性且纵横方向标度指数各向异性．ε=(σy1/σx1)min是Nikora定义的各向异性参数，其中“min”表示对坐标系旋转取最小值．χ=σy/σx是笔者定义的各向异性参数，ε和χ可以量度河流横向摆动的情况，其值越小，横向摆动越强烈．由表1知，河道在各时期摆动强烈程度从大到小依次为由此可见，现河道虽然受到护岸工程和三峡工程控制，但横向摆动仍较强烈，这将对沿岸城镇和村庄造成威胁，必须加强河道整治，加固堤防，防止河岸崩塌和堤防损毁，确保沿岸人民生命和财产安全．因此，本研究对河道整治工程具有重要参考意义．参考文献：[1]Matsushita M,Ouchi S.On the self-affinity of various curves[J].PhysicaD:Nonlinear Phenomena,1989,38(2):246-251[2]Nikora V I,Sapozhnikov V B,Noever D A.Fractal geometry of individual river channels and its computer simulation[J].Water Resources Research,1993,29(10):3561-3568[3]Sapozhnikov V B,Foufoula-Georgiou E.Study of self-similar and self-affine objects using logarithmic correlation integral[J].Journal of Physics A:Mathematical and General,1995,28(2):559-571[4]Sapozhnikov V B,Foufoula-Georgiou E.Self-affinity of braidedrivers[J].Water Resources 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β系数β系数也称为贝他系数（Beta coefficient），是一种风险指数，用来衡量个别股票或股票基金相对于整个股市的价格波动情况。

β系数是一种评估证券系统性风险的工具，用以度量一种证券或一个投资证券组合相对总体市场的波动性，在股票、基金等投资术语中常见。

目录贝塔系数是统计学上的概念，它所反映的是某一投资对象相对于大盘的表现情况。

其绝对值越大，显示其收益变化幅度相对于大盘的变化幅度越大；绝对值越小，显示其变化幅度相对于大盘越小。

如果是负值，则显示其变化的方向与大盘的变化方向相反；大盘涨的时候它跌，大盘跌的时候它涨。

由于我们投资于投资基金的目的是为了取得专家理财的服务,以取得优于被动投资于大盘的表现情况，这一指标可以作为考察基金经理降低投资波动性风险的能力。

在计算贝塔系数时,除了基金的表现数据外,还需要有作为反映大盘表现的指标。

β系数根据投资理论，全体市场本身的β系数为1，若基金投资组合净值的波动大于全体市场的波动幅度，则β系数大于1。

反之，若基金投资组合净值的波动小于全体市场的波动幅度，则β系数就小于1。

β系数越大之证券，通常是投机性较强的证券。

以美国为例，通常以史坦普五百企业指数(S&P 500)代表股市，贝他系数为1。

一个共同基金的贝他系数如果是1.10，表示其波动是股市的1.10 倍，亦即上涨时比市场表现优10%，而下跌时则更差10%;若贝他系数为0．5，则波动情况只及一半。

β= 0.5 为低风险股票，β= l. 0 表示为平均风险股票，而β= 2. 0 → 高风险股票，大多数股票的β系数介于0.5到l.5间。

[1]贝塔系数衡量股票收益相对于业绩评价基准收益的总体波动性，是一个相对指标。

β 越高，意味着股票相对于业绩评价基准的波动性越大。

β 大于 1 ，则股票的波动性大于业绩评价基准的波动性。

反之亦然。

如果β 为 1 ，则市场上涨 10 ％，股票上涨 10 ％；市场下滑 10 ％，股票相应下滑 10 ％。