《北师大九年级上期中考试数学试卷(含答案)-》

北师大版九年级上册数学期中考试试卷一、选择题。

（每小题只有一个正确答案）1．方程x（x+6）＝0的解是（）A．1x＝0或2x＝﹣6 B．1x＝0或2x＝6 C．x＝0 D．1x＝2x＝﹣6 2．矩形具有而平行四边形不一定具有的性质是（）A．对边相等B．对角相等C．对角线相等D．对角线互相平分3．如图，在菱形ABCD中，AC与BD相交于点O，AC＝16，BD＝12，则菱形的边长AB 等于（）A．5 B．6 C D．104．下列方程是一元二次方程的是（）A．x2﹣2＝0 B．x+2y＝1C．3x+1x＝4 D．2x（x﹣1）＝2x2+35．已知等腰三角形的两边是一元二次方程27100x x-+=的两根，则此三角形的周长是A．12 B．9 C．9或12 D．156．现有两个可以自由转动的转盘，每个转盘分成三个相同的扇形，涂色情况如图所示，指针的位置固定，同时转动两个转盘，则转盘停止后指针指向同种颜色区域的概率是（）A．19B．16C．23D．137．兰州某制造厂七月份生产零件20万个，第三季度生产零件2880万个，如果每月的增长率x相同，则可列方程是（）A ．20（1+x ）2＝2880B ．20+20（1+x ）2＝2880C ．20+20（1+x ）+20（1+x ）2＝2880D ．20+20（1+x ）+20（1+2x ）＝2880 8．如图，在正方形ABCD 外侧，作等边三角形ADE ，AC ，BE 相交于点F ，则∠BFC 为（ ）A ．75°B ．60°C ．55°D ．45°9．若方程x 2﹣5x ﹣1＝0的两根为x 1、x 2，则1211+x x 的值为（ ） A ．5 B ．15 C ．﹣5 D ．15- 10．如图，点P 是矩形ABCD 的边上一动点，矩形两边长AB 、BC 长分别为15和20，那么P 到矩形两条对角线AC 和BD 的距离之和是（ ）A ．6B ．12C ．24D ．不能确定二、填空题 11．一元二次方程3x 2﹣5x ＝﹣3二次项系数是___，一次项系数是___，常数项是____． 12．已知一正方形的对角线长为4，则正方形的面积为________．13．若关于x 的方程21(1)7a a x +--＝0是一元二次方程，则a ＝____．14．若关于x 的一元二次方程2210kx x ++=有两个实数根，则k 的取值范围是________． 15．如图，在矩形ABCD 中，对角线相交于点O ，∠AOD ＝120°，AB ＝2.5，则这个矩形对角线的长为_____．16．若一元二次方程220190ax bx --=有一根为1x =-，则a b +=_________．17．如图，正方形ABCD 的对角线AC 是菱形AEFC 的一边，则∠FAB 等于______．18．袋子中有8个白球和若干个黑球，小华从袋中任意摸出一球，记下颜色后放回袋中，摇匀后又摸出一球，再记下颜色，做了100次后，共有32次摸出白球，据此估计袋中黑球有________个.三、解答题19．解下列方程：（1）3x 2+8x ﹣3＝0（用配方法）（2）4x 2+1＝4x （用公式法）（3）2（x ﹣3）2＝x 2﹣9（用因式分解法）（4）x 2+5x ﹣6＝0（用适当的方法）20．一个直角三角形的斜边长15cm ，一条直角边比另一条直角边长3cm ．求两条直角边的长度．21．现定义运算“★”，对于任意实数a 、b ，都有a ★b ＝a 2﹣3a +b ．如：3★5＝32﹣3×3+5，若x ★2＝6，试求实数x 的值．22．已知方程2+-=的一根是2，求它的另一根及k的值．560x kx23．已知：如图，在□ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AB OA＝2，OB＝1，求证：□ABCD是菱形．24．在一幅长90cm、宽40cm的风景画的四周外围上有一条宽度相同的金色纸边，制成一幅挂图，如果要求风景画的面积是整个挂图面积的72%，那么金边的宽应该是多少？25．如图，在□ABCD中，E，F分别为边AB和CD的中点，连接DE，BF，且AB=2AD=4．（1）求证：△AED≌△CFB；（2）当四边形DEBF为菱形时，求出该菱形的面积；26．某批发市场礼品柜台春节期间购进大量贺年卡，一种贺年卡平均每天可售出500张，每张赢利0.3元，为了尽快减少库存，摊主决定采取适当的降价措施，调查发现，如果这种贺年卡的售价每降价0.05元，那么平均每天可多售出200张．摊主要想平均每天赢利180元，每张贺年卡应降价多少元？27．如图，在ABC 中，,,AB AC AD BC =⊥垂足为点,D AN 是ABC 外角CAM ∠的平分线，CE AN ⊥，垂足为点E ．()1求证：四边形ADCE 为矩形；()2当ABC 满足什么条件时，四边形ADCE 是一个正方形？并给出证明．参考答案1．A【解析】方程利用因式分解法求解即可．【详解】解：方程x （x +6）＝0，可得x ＝0或x +6＝0，解得：x 1＝0，x 2＝﹣6，故选A ．【点睛】本题考查了解一元二次方程-因式分解法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．2．C【分析】根据矩形和平行四边形的性质进行解答即可.【详解】矩形的对角线互相平分且相等，而平行四边形的对角线互相平分，不一定相等．矩形的对角线相等，而平行四边形的对角线不一定相等．故选C．【点睛】本题考查矩形的性质，矩形具有平行四边形的性质，又具有自己的特性，要注意运用矩形具备而一般平行四边形不具备的性质．如，矩形的对角线相等．3．D【分析】根据菱形的对角线互相垂直平分求出OA、OB，再利用勾股定理列式进行计算即可得解．【详解】解：∵四边形ABCD是菱形，∴OA＝12AC，OB＝12BD，AC⊥BD，∵AC＝16，BD＝12，∴OA＝8，OB＝6，∴AB＝22OA OB＝10，即菱形ABCD的边长是10．故选D．【点睛】本题主要考查了菱形的对角线互相垂直平分的性质，勾股定理的应用，熟记性质是解题的关键．4．A【分析】利用一元二次方程的定义判断即可．【详解】A、x2﹣2＝0是一元二次方程，符合题意；B、x+2y＝1是二元一次方程，不符合题意；C、3x+1x＝4不是整式方程，不符合题意；D、方程整理得：2x+3＝0是一元一次方程，不符合题意.故选A．【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程的定义是解本题的关键．5．A【解析】【分析】用因式分解法求出方程的两个根分别是2和5，由三角形的三边关系可知2为底，5为腰，可以求出三角形的周长．【详解】解：27100x x-+=（x−2）（x−5）＝0∴x1＝2，x2＝5．∵三角形是等腰三角形，必须满足三角形三边的关系，∴腰长是5，底边是2，周长为：5＋5＋2＝12．故选A．【点睛】本题主要考查了用因式分解法解一元二次方程，求出方程的两个根，然后根据三角形三边的关系，确定三角形的周长．6．A【分析】列举出所有情况，看转盘停止后指针指向同种颜色区域的情况数占总情况数的多少即可．【详解】解：如图共9种情况，转盘停止后指针指向同种颜色区域的情况数是1，所以概率为19．故选A．【点睛】考查概率的求法；用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．得到所求的情况数是解决本题的易错点．7．C【分析】根据7月份的表示出8月和九月的产量即可列出方程．【详解】解：∵七月份生产零件20万个，设该厂八九月份平均每月的增长率为x，∴八月份的产量为20（1+x）万个，九月份的产量为20（1+x）2万个，∴20+20（1+x）+20（1+x）2＝2880，故选C．【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，解题的关键是明确增长率问题中的数量关系，能分别将8、9月份的产量表示出来，难度不大．8．B【分析】由正方形的性质和等边三角形的性质得出∠BAE＝150°，AB＝AE，由等腰三角形的性质和内角和定理得出∠ABE＝∠AEB＝15°，再运用三角形的外角性质即可得出结果．【详解】解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠BAD＝90°，AB＝AD，∠BAF＝45°，∵△ADE是等边三角形，∴∠DAE＝60°，AD＝AE，∴∠BAE＝90°+60°＝150°，AB＝AE，∴∠ABE＝∠AEB＝12（180°﹣150°）＝15°，∴∠BFC＝∠BAF+∠ABE＝45°+15°＝60°；故选：B．【点睛】本题考查了正方形的性质、等边三角形的性质、等腰三角形的判定与性质、三角形的外角性质；熟练掌握正方形和等边三角形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键． 9．C【分析】根据根与系数的关系可得出x 1+x 2=5、x 1x 2=-1，将其代入1211+x x ＝1212x x x x +中即可求出结论． 【详解】∵方程x 2﹣5x ﹣1＝0的两根为x 1、x 2，∴x 1+x 2＝5，x 1x 2＝﹣1， ∴1211+x x ＝1212x x x x +＝﹣5． 故选C ．【点睛】本题考查了根与系数的关系，牢记两根之和等于-b a 、两根之积等于c a 是解题的关键． 10．B【分析】由矩形ABCD 可得：S △AOD =14S 矩形ABCD ，又由AB=15，BC=20，可求得AC 的长，则可求得OA 与OD 的长，又由S △AOD =S △APO +S △DPO =12OA•PE+12OD•PF ，代入数值即可求得结果． 【详解】连接OP ，如图所示：∵四边形ABCD 是矩形，∴AC ＝BD ，OA ＝OC ＝12AC ，OB ＝OD ＝12BD ，∠ABC ＝90°， S △AOD ＝14S 矩形ABCD ， ∴OA ＝OD ＝12AC ，∵AB ＝15，BC ＝20，∴AC 25，S △AOD ＝14S 矩形ABCD ＝14×15×20＝75， ∴OA ＝OD ＝252， ∴S △AOD ＝S △APO +S △DPO ＝12OA •PE +12OD •PF ＝12OA •（PE +PF ）＝12×252（PE +PF ）＝75， ∴PE +PF ＝12．∴点P 到矩形的两条对角线AC 和BD 的距离之和是12．故选B ．【点睛】本题考查了矩形的性质、勾股定理、三角形面积．熟练掌握矩形的性质和勾股定理是解题的关键．11．3， ﹣5， 3．【分析】一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ，b ，c 是常数且a≠0）的a 、b 、c 分别是二次项系数、一次项系数、常数项．【详解】解：一元二次方程3x 2﹣5x +3＝0，其中二次项系数是 3，一次项系数是﹣5，常数项是 3， 故答案为3，﹣5，3．【点睛】本题考查了一元二次方程的一般形式：ax 2+bx+c=0（a ，b ，c 是常数且a≠0），注意先将方程化成一般形式．12．8【分析】根据正方形的面积等于对角线乘积的一半列式计算即可得解．【详解】 解：正方形的面积211416822=⨯=⨯= 故答案为8．【点睛】本题考查了正方形的性质，熟记正方形的面积的求解方法是解题的关键．13．﹣1．【分析】根据一元二次方程的定义得到由此可以求得a 的值．【详解】解：∵关于x 的方程（a ﹣1）xa 2+1﹣7＝0是一元二次方程，∴a 2+1＝2，且a ﹣1≠0，解得，a ＝﹣1．故答案为﹣1．【点睛】本题考查了一元二次方程的概念．只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是ax 2+bx+c=0（且a≠0）．14．1k ≤且0k ≠【解析】【分析】若一元二次方程有两不等实数根，则根的判别式△=b 2-4ac≥0，建立关于k 的不等式，求出k 的取值范围．还要注意二次项系数不为0．【详解】∵关于x 的一元二次方程kx 2+2x+1=0有两个实数根，∴△=b 2-4ac=4-4k≥0且k≠0，解得：k≤1且k≠0，故答案为k≤1且k≠0．【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式的应用．切记不要忽略一元二次方程二次项系数不为零这一隐含条件．15．5．【分析】根据矩形的对角线互相平分且相等可得OA=OB=12AC ，根据邻补角的定义求出∠AOB ，然后判断出△AOB 是等边三角形，根据等边三角形的性质可得OA=AB ，然后求解即可．【详解】解：在矩形ABCD 中，AC ＝BD ，OA ＝OB ＝12AC ， ∵∠AOD ＝120°，∴∠AOB ＝180°﹣∠AOD ＝180°﹣120°＝60°，∴△AOB 是等边三角形，∴OA ＝AB ＝2.5，∴BD ＝AC ＝2OA ＝2×2.5＝5．故答案为5．【点睛】本题考查了矩形的性质，等边三角形的判定与性质，熟记矩形的对角线互相平分且相等，证明三角形是等边三角形是解题的关键．16．2019【分析】直接把x ＝−1代入一元二次方程220190ax bx --=中即可得到a ＋b 的值．【详解】解：把x ＝−1代入一元二次方程220190ax bx --=得20190a b +-=，所以a ＋b ＝2019．故答案为2019．【点睛】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．17．22.5°【解析】试题分析：先根据正方形的对角线平分一组对角求出∠BAC 的度数，再根据菱形的对角线平分一组对角求解.解：∵AC 是正方形的对角线，∴∠BAC=×90°=45°，∵AF 是菱形AEFC 的对角线，∴∠FAB=∠BAC=×45°=22.5°．考点：正方形、菱形的性质点评：特殊四边形的性质是初中数学的重点，贯穿于整个初中数学的学习，是中考中比较常见的知识点，一般难度不大，需熟练掌握.18．17【解析】【分析】100次中共有32次摸出白球，则可求摸到白球的概率，据此求袋中黑球个数.【详解】设黑球有m个，根据已知可列出8 8m +=32100，m=17，所以黑球有17个.【点睛】本题考查的是利用频率估计概率，熟练掌握这一点是解题的关键.19．（1）x＝13或x＝﹣3；（2）122x x==；（3）x＝3或x＝9；（4）x＝﹣6或x＝1．【分析】（1）根据配方法解方程的步骤依次计算可得；（2）根据公式法求解可得；（3）利用因式分解法求解可得；（4）利用因式分解法求解可得．【详解】（1）∵3x2+8x＝3，∴x2+83x＝1，则x2+83x+169＝1+169，即（x+43）2＝259，则x+43＝±53，解得x＝13或x＝﹣3；（2）整理得4x2﹣4x+1＝0，∵a＝4，b＝﹣4，c＝1，∴△＝（﹣4）2﹣4×4×1＝0，则x＝402±＝2，122x x∴==；（3）∵2（x﹣3）2＝（x+3）（x﹣3），∴（x﹣3）（x﹣9）＝0，则x﹣3＝0或x﹣9＝0，解得x＝3或x＝9；（4）∵x2+5x﹣6＝0，∴（x+6）（x﹣1）＝0，则x+6＝0或x﹣1＝0，解得x＝﹣6或x＝1．【点睛】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．20．较短的直角边为9cm，则另一条直角边为12cm．【分析】设较短的直角边为xcm，则另一条直角边为（x+3）cm，再根据勾股定理求出x的值即可．【详解】解：设较短的直角边为xcm，则另一条直角边为（x+3）cm，由题意，得x2+（x+3）2＝152，解得x＝9或x＝﹣12（舍去）则x+3＝9+3＝12（cm）．答：较短的直角边为9cm，则另一条直角边为12cm．【点睛】本题考查的是勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键．21．x＝﹣1或4【分析】利用题中的新定义化简，计算求出x 的值即可．【详解】根据题中的新定义得：x 2﹣3x +2＝6，即（x ﹣4）（x +1）＝0，解得：x ＝﹣1或4．【点睛】本题考查了一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法是解本题的关键．22．135x =-，7k =-． 【分析】把x 1=2代入已知方程，列出关于k 的一元一次方程，通过解方程求得k 的值；由根与系数的关系来求方程的另一根．【详解】设它的另一根为1x ，根据题意得125k x +=-，1625x ⨯=-， 解得135x =-，7k =-． 【点睛】考查一元二次方程()200++=≠ax bx c a 根与系数的关系, 熟记公式1212,,b c x x x x a a+=-=是解决本题的关键.23．见解析.【分析】根据利用勾股定理的逆定理可证明∠AOB=90°，得出AC ⊥BD ，根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形可得解．【详解】证明：在△AOB 中，AB OA ＝2，OB ＝1，∴AO 2+OB 2＝22+1＝5，又∵AB 22＝5，∴AO 2+OB 2＝AB 2，∴∠AOB ＝90°，∴AC ⊥BD ；∵四边形ABCD 是平行四边形，∴▱ABCD 是菱形．【点睛】本题主要考查了菱形的判定，平行四边形的性质以及勾股定理逆定理的应用，关键是根据AB 、AO 、BO 的长度证明∠AOB=90°．24．5cm【分析】设金边的宽度为xcm ，则整个挂画的长为（90+2x ）cm ，宽为（40+2x ）cm ．就可以表示出整个挂画的面积，由风景画的面积是整个挂图面积的72%建立方程求出其解即可．【详解】设金边的宽度为xcm ，则整个挂画的长为（90+2x ）cm ，宽为（40+2x ）cm ．由题意得：（90+2x ）（40+2x ）×72%＝90×40 解得：x 1＝﹣70（舍去），x 2＝5．答：金边的宽应该是5cm ．【点睛】本题考查了矩形的面积公式的运用，列一元二次方程解实际问题的运用，一元二次方程的解法的运用，解答时根据风景画的面积是整个挂图面积的72%来建立方程是关键．25．（1）证明见试题解析；（2）【解析】试题分析：（1）首先根据平行四边形的性质可得AD=BC ，∠A=∠C ，再加上条件AE=CF 可利用SAS 证明△AED ≌△CFB ；（2）作FM ⊥AB 于M ，可以得到△BFC 是等边三角形，得到∠FBM=60°，再求出菱形的高FM ，从而得到菱形的面积．解答：证明：（1）∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD=BC ，∠A=∠C ，在△ADE 和△CBF 中，∵AD=BC ，∠A=∠C ，AE=CF ，∴△AED ≌△CFB （SAS ）； （2）作FM ⊥AB 于M ，在菱形DEBF 中，BE=BF=12AB=1422⨯=，∵CF=12CD=1422⨯=，BC=AD=12AB=2，∴CF=BC=BF ，∴△BFC 是等边三角形，∴∠BFC=60°，∵ABCD 是平行四边形，∴AB ∥CD ，∴∠MBF=∠BFC=60°，∴∠FBM=30°，∴MB=12BF=1，∴∴菱形DEBF的面积=BE•FM=2=考点：1．全等三角形的判定与性质；2．平行四边形的性质．26．每张贺年卡应降价0.1元【分析】由题意可知：（原来每张贺年卡盈利-降价的价格）×（原来售出的张数+增加的张数）=180，把相关数值代入求解即可．【详解】解：设每张贺年卡应降价x 元，现在的利润是（0.3﹣x ）元，则商城多售出200x ÷0.05＝4000x 张．（0.3﹣x ）（500+4000x ）＝180，整理得400x 2﹣70x +3＝0，（40x ﹣3）（10x ﹣1）＝0，解得x 1＝340，x 2＝0.1， ∵为了尽快减少库存，∴x ＝0.1．答：每张贺年卡应降价0.1元．【点睛】本题考查一元二次方程的应用；得到每降价x 元多卖出的贺年卡张数是解决本题的难点；根据利润得到相应的等量关系是解决本题的关键．27．（1）证明见解析；（2）当ABC 满足90BAC ∠=︒时，四边形ADCE 是一个正方形，证明见解析．【分析】（1）先根据等腰三角形的三线合一可得BAD CAD ∠=∠，再根据角平分线的定义可得MAE CAE ∠=∠，从而可得90DAE ∠=︒，然后根据垂直的定义可得90ADC AEC ∠=∠=︒，最后根据矩形的判定即可得证；（2）先根据等腰直角三角形的性质可得45ACB B ∠=∠=︒，再根据直角三角形的性质可得45CAD ACD ∠=∠=︒，然后根据等腰三角形的定义可得CD AD =，最后根据正方形的判定即可得．【详解】（1）在ABC 中，,=⊥AB AC AD BC ，12BAD CAD BAC ∴∠=∠=∠（等腰三角形的三线合一）， AN 是ABC 外角CAM ∠的平分线，12MAE CA CA E M ∴∠∠=∠=， 11118090222DAE CAD CAE BA CA C M ∴∠=∠+∠=∠+=⨯︒=∠︒， 又,AD BC CE AN ⊥⊥，90ADC AEC ∴∠=∠=︒，∴四边形ADCE 为矩形；（2）当ABC 满足90BAC ∠=︒时，四边形ADCE 是一个正方形，证明如下：,90AB AC BAC ∠==︒，45ACB B ∴∠=∠=︒，AD BC ⊥，45CAD ACD ∴∠=∠=︒，CD AD ∴=，四边形ADCE 为矩形，∴矩形ADCE 是正方形，故当90BAC ∠=︒时，四边形ADCE 是一个正方形．【点睛】本题考查了正方形与矩形的判定、等腰三角形的三线合一、角平分线的定义等知识点，熟练掌握正方形与矩形的判定方法是解题关键．。

北师大版九年级上册数学期中考试试题一、单选题1．下列方程是一元二次方程的是（ ）A ．2x 2+y ＝1B ．9y ＝3y ﹣1C ．3x﹣2x 2＝8 D ．2x 2＝1 2．如图，在△ABC 中，已知△ADE ＝△B ，则下列等式成立的是（ ）A ．AE AD AB AC = B ．AD AE AB AC = C ．DE AE BC AB= D ．DE AD BC AC = 3．某水果超市为了吸引顾客来店购物，设立了一个如图所示的可以自由转动的转盘，开展有奖购物活动．顾客购买商品满200元就能获得一次转动转盘的机会，当转盘停止时，指针落在“一袋苹果”的区域就可以获得一袋苹果；指针落在“一袋橘子”的区域就可以获得一袋橘子．若转动转盘2000次，指针落在“一袋橘子”区域的次数有600次，则某位顾客转动转盘一次，获得一袋橘子的概率大约是（ ）A ．0.3B ．0.7C ．0.4D ．0.24．如图，11AOB 与22A OB 位似，位似中心为O 且11AOB 与22A OB 在原点O 的两侧，若11AOB 与22A OB 的周长之比为1：2，点1A 的坐标为()1,2-，则点1A 的对应点2A 的坐标为A ．()1,4-B ．()2,4-C ．()4,2-D ．()2,1-5．在六张卡片上分别写有6，227-，3.1415，π，0上的数为无理数的概率是（ ）A ．23B ．12C ．13D ．16 6．若关于x 的方程x 2＋2x －3＝0与213x x a =+-有一个解相同，则a 的值为（ ） A ．1 B ．1或－3 C ．－1 D ．－1或37．如图，在Rt ABC △中，90C ∠=︒，ABC ∠的角平分线交AC 于点D ，过点D 分别作BC 和AB 的平行线，交AB 于点E ，交BC 于点H ，连接EH 交BD 于点G ，在AE 上截取EF BE =，连接DF ．下列说法中正确的是（ ）△:1:2GH FD =；△2BD BF BC =⋅；△四边形EBHD 是菱形；△29ADF ABC S S =△△A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个8．如图，在 ABCD 中，CD=2AD ，BE△AD 于点E ，F 为DC 的中点，连接EF 、BF ，下列结论：△△ABC=2△ABF ；△EF=BF ；△S 四边形DEBC =2S △EFB ；△△CFE=3△DEF,其中正确结论的个数共有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个9．如图，在矩形ABCD 中，AD=2AB ，点M 、N 分别在边AD 、BC 上，连接BM 、DN ．若四边形MBND 是菱形，则AM MD等于（ ）A．35B．23C．38D．4510．如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD相交于点O，DH△AB于点H，连接OH，若△DHO＝20°，则△ADC的度数是（）A．120° B．130° C．140° D．150°二、填空题11．已知13a cb d==，则a cb d++的值是_____．12．关于x的方程20x mx+=的一个根是−1，则m的值为______．13．如图，在平行四边形ABCD中，AC交BD于O，试添加一个条件使四边形ABCD成为矩形．你添加的条件是__．（只填一个即可）14．关于x的方程2(5)410a x x---=有实数根，则a的取值范围是_______．15．如图，在矩形ABCD中，E，F，G，H分别为边AB，AD，CD，BC的中点，若AB＝6，AD＝8，则图中阴影部分的面积为_____．16．已知一等腰三角形的一边长为5，另一边长为方程x2﹣8x+12＝0的根，该等腰三角形的周长为____．17．如图，某一时刻一根2米长的竹竿EF 影长GE 为1.2米，此时，小红测得一棵被风吹斜的杨树与地面成30角，树顶端B 在地面上的影子点D 与B 到垂直地面的落点C 的距离是3.6米，则树长AB 等于________米．18．如图，正方形ABCD 的边长为4，对角线,AC BD 相交于点O ，点E ，F 分别在,BC CD 的延长线上，且2,1CE DF ==，G 为EF 的中点，连接OE ，交CD 于点H ，连接GH ，则GH 的长为________．三、解答题19．解方程：（1）22284x x x ++=+（2）()()23230x x x -+-=20．如图，在菱形ABCD 中，CE ＝CF.求证：AE ＝AF.21．如图，AF ，AG 分别是ABC 和ADE 的高，BAF DAG ∠=∠．（1）求证：AABC DE∽△△；（2）若3DE=，25ADAB=，求BC的长．22．某商场一种商品的进价为每件30元，售价为每件40元，每天可以销售48件，为尽快减少库存，商场决定降价促销．（1）若该商品连续两次下调相同的百分率后售价降至每件25.6元，求每次下降的百分率；（2）经调查，若该商品每降价0.5元，每天可多销售4件，若每天要想获得504元的利润，每件应降价多少元？23．如图，在矩形ABCD中，已知对角线AC、BD相交于点O，E是CD中点，连接OE，过点C作//CF BD交线段OE的延长线于点F，连接DF．（1）求证：ODE FCE≌；（2）求证：四边形ODFC是菱形．24．如图，A、B在一直线上，小明从点A出发沿AB方向匀速前进，4秒后走到点D，此时他（CD）在某一灯光下的影长为AD，继续沿AB方向以同样的速度匀速前进4秒后到点F，此时他（EF）的影长为2米，然后他再沿AB方向以同样的速度匀速前进2秒后达点H，此时他（GH）处于灯光正下方．（1）请在图中画出光源O点的位置，并画出他位于点F时在这个灯光下的影长FM（不写画法）；（2）求小明沿AB方向匀速前进的速度．25．如图，△ABC在平面直角坐标系中，三个顶点坐标分别为A（0，3）、B（3、4）、C（2，2）（网格中每个正方形的边长是1个单位长度）．（1）以点B为位似中心，在网格内画出△A′BC′，使△A′BC′与△ABC位似，且位似比为2：1，则点C′的坐标是______；（2）△A′BC′的面积是_______平方单位；（3）在x轴上找出点P，使得点P到B与点A距离之和最小，请直接写出P点的坐标．26．如图1，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AB＝13，BD＝24，在菱形ABCD的外部以AB为边作等边三角形ABE．点F是对角线BD上一动点（点F不与点B 重合），将线段AF绕点A顺时针方向旋转60°得到线段AM，连接FM．（1）求AO的长；（2）如图2，当点F在线段BO上，且点M，F，C三点在同一条直线上时，求证：ACAM；（3）连接EM，若△AEM的面积为40，请直接写出△AFM的周长．参考答案1．D【解析】【分析】根据一元二次方程的定义逐个判断即可．【详解】解：A．含有二个未知数，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；B．是一元一次方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；C．不是整式方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；D．是一元二次方程，故本选项符合题意；故选：D．【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，能熟记一元二次方程的定义是解此题的关键，注意：只含有一个未知数，并且所含未知数的项的次数最高是2的整式方程，叫一元二次方程．2．B【解析】【详解】△△A=△A，△ADE=△B，△△AED△△ACB，△AD AEAB AC=，故选B．3．A【解析】【分析】用频率估计概率即可得到答案．【详解】某位顾客转动转盘一次，获得一袋橘子的概率大约是6000.3 2000=．故选：A．【点睛】本题考查用频率估计概率，掌握大量的重复试验时频率可视为事件发生概率的估计值．4．B【解析】【分析】根据位似变换的概念得到△A1OB1△△A2OB2，△A1OB1与△A2OB2的相似比为1：2，根据位似变换的性质计算，得到答案．【详解】解：△△A1OB1与△A2OB2位似，△△A1OB1△△A2OB2，△△A1OB1与△A2OB2的周长之比为1：2，△△A1OB1与△A2OB2的相似比为1：2，△A1的坐标为（-1，2），△A1OB1与△A2OB2在原点O的两侧，△点A1的对应点A2的坐标为（2，-4），故选：B．【点睛】本题考查的是位似变换的概念和性质，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或-k．5．C【解析】【分析】首先根据无理数定义确定哪些是无理数，再根据概率的公式计算即可．【详解】解：在6，227-，3.1415，π，0π2个，△从中随机抽取一张，卡片上的数为无理数的概率是21 63 =，故选：C．【点睛】此题考查概率的计算公式，正确掌握无理数的定义会判断无理数是解题的关键．6．C【解析】【分析】解出一元二次方程，将根代入分式方程即可求出a 的值.【详解】解：解方程2230x x +-=，得：x 1=1，x 2=﹣3，△x=﹣3是方程213x x a=+-的增根， △当x=1时，代入方程213x x a =+-，得：21131a=+-， 解得a=﹣1．故选：C ．【点睛】 本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，分式方程的解．此题属于易错题，解题时要注意分式的分母不能等于零．7．C【解析】【分析】△由题意可证四边形EBHD 是平行四边形，可得GH EG =，BG DG =，由三角形中位线定理可得EG DF ∥，12GE DF =，可得12GH DF =； △通过证明BDF BCD ，可得BD BF BC BD =，可证2BD BF BC =⋅； △由菱形的判定可证四边形EBHD 是菱形；△条件不足，无法证明．【详解】ED BC ∥，DH AB ∥，∴四边形EBHD 是平行四边形，GH EG ∴=，BG DG =，EF BE =，EG DF ∴∥，12GE DF =， 12GH DF ∴=，即:1:2GH FD =，故△正确； BD 平分ABC ∠，ABD DBC ∴∠=∠，ED BC ∥，EDB DBC ∴∠=∠，EDB EBD ∴∠=∠，BE DE ∴=，BE DE EF ∴==，90BDF C ∴∠=︒=∠，BDF BCD ∴，BD BF BC BD∴=，即2BD BF BC =⋅，故△正确； BE DE =，∴平行四边形EBHD 是菱形，故△正确； 条件不足，无法证明29ADF ABC S S =△△，故△错误． 故选：C ．8．D【解析】 如图延长EF 交BC 的延长线于G ，取AB 的中点H 连接FH ．证明△DFE△△FCG 得EF=FG ，BE△BG ，四边形BCFH 是菱形即可解决问题.【详解】解：如图延长EF 交BC 的延长线于点G ，取AB 的中点H ，连接FH ．△CD=2AD ，DF=FC ，△CF=CB ，△△CFB=△CBF ，△CD△AB ，△△CFB=△FBH ，△△CBF=△FBH，△△ABC=2△ABF．故△正确，△DE△CG，△△D=△FCG，△DF=FC，△DFE=△CFG，△△DFE△△FCG，△FE=FG，△BE△AD，△△AEB=90°，△AD△BC，△△AEB=△EBG=90°，△BF=EF=FG，故△正确，△S△DFE=S△CFG，△S四边形DEBC=S△EBG=2S△BEF，故△正确，△AH=HB，DF=CF，AB=CD，△CF=BH，△CF△BH，△四边形BCFH是平行四边形，△CF=BC，△四边形BCFH是菱形，△△BFC=△BFH，△FE=FB，FH△AD，BE△AD，△FH△BE，△△BFH=△EFH=△DEF，△△EFC=3△DEF，故△正确，故选D．【点睛】本题考查平行四边形的性质和判定、菱形的判定和性质、直角三角形斜边中线的性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考选择题中的压轴题．9．A【解析】【详解】解：设AB=a,根据题意知AD=2a，由四边形BMDN是菱形知BM=MD，设AM=b,则BM=MD=2a-b.在Rt△ABM中，由勾股定理即可求值.试题解析：△四边形MBND是菱形，△MD=MB．△四边形ABCD是矩形，△△A=90°．设AB=a，AM=b，则MB=2a-b，（a、b均为正数）．在Rt△ABM中，AB2+AM2=BM2，即a2+b2=（2a-b）2，解得a=4b3，△MD=MB=2a-b=53 b，△3553AM bMD b==.故选A．10．C【解析】【分析】由四边形ABCD是菱形，可得OB＝OD，AC△BD，又由DH△AB，△DHO＝20°，可求得△OHB 的度数，然后由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，证得△OBH是等腰三角形，继而求得△ABD的度数，然后求得△ADC的度数．【详解】△四边形ABCD是菱形，△OB＝OD，AC△BD，△ADC＝△ABC，△DH△AB，△OH＝OB＝12BD，△△DHO＝20°，△△OHB＝90°﹣△DHO＝70°，△△ABD＝△OHB＝70°，△△ADC ＝△ABC ＝2△ABD ＝140°，故选C ．【点睛】本题考查了菱形的性质、直角三角形的性质以及等腰三角形的判定与性质，证得△OBH 是等腰三角形是关键．11．13【解析】【分析】根据比例的性质求解即可．【详解】 解：由13a cb d ==，得3a b =，3c d =，1333a ca cb d ac ++==++， 故答案为13．【点睛】本题考查了比例的性质，解题关键是熟练运用比例的性质进行变形求解．12．1【解析】【分析】把1x =-代入方程20x mx +=，即可求出m 的值．【详解】20x mx +=的一个根是1-，∴把1x =-代入方程20x mx +=得：10m -=，1m ∴=．故答案为：1．【点睛】本题考查了一元二次方程的解,了解方程解的含义是解题的关键.13．AC=BD 或△ABC=90°（答案不唯一）【解析】【分析】根据矩形的判定即可得出答案．【详解】解：根据“有一个角是直角的平行四边形是矩形”可得△ABC=90°，根据“对角线相等的平行四边形是矩形”可得AC=BD ，故答案为：AC=BD 或△ABC=90°（答案不唯一）．【点睛】本题考查的是矩形的判定，掌握平行四边形和矩形的区别和联系是解决本题的关键． 14．1a ≥【解析】【分析】分情况讨论当二次项系数为零时：原式为一元一次方程有实数根；当二次项系数不为零时：根据一元二次方程根的情况结合根的判别式列出不等式，求解即可．【详解】解：△关于x 的方程2(5)410a x x ---=有实数根，当50a -=时，即5a =时，原方程为410x --=有实数根；当50a -≠时，即5a ≠时，则240b ac -≥，即2(4)4(5)(1)0a --⨯-⨯-≥，解得：1a ≥，综上，a 的取值范围是1a ≥，故答案为：1a ≥．【点睛】本题主要考查一元二次方程根的判别式，熟知一元二次方程根与根的判别式的关系是解题的关键．15．24【解析】【分析】连接AC ，根据三角形中位线定理得到EH△AC ，EH=12AC ，得到△BEH△△BAC ，根据相似三角形的性质计算即可．【详解】解：连接AC，△E、H分别为边AB、BC的中点，△EH△AC，EH＝12AC，△△BEH△△BAC，△S△BEH＝14S△BAC＝18S矩形ABCD，同理可得，图中阴影部分的面积＝12×6×8＝24，故答案为：24．【点睛】本题考查的是三角形中位线定理、相似三角形的性质，掌握三角形中位线定理、相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．16．12，16，17【解析】【分析】先求出一元二次方程的根，再讨论5是等腰三角形的底还是腰，求出三角形周长．【详解】解：28120x x-+=()()260x x--=，解得12x=，26x=，若5是等腰三角形的底，则等腰三角形的腰只能是6，因为2不能构成三角形，此时周长是17，若5是等腰三角形的腰，则等腰三角形的底可以是2或6，那么周长是12或16．故答案是：12，16，17．【点睛】本题考查等腰三角形的性质和解一元二次方程，解题的关键是分类讨论等腰三角形的腰长和底长，需要注意构成三角形的条件．17．12【解析】【分析】先利用△BDC△△FGE 得到3.6BC =21.2，可计算出BC=6，然后在Rt△ABC 中利用含30度的直角三角形三边的关系即可得到AB 的长．【详解】解：如图，CD=3.6m ，△△BDC△△FGE ， △BC CD =EF GE， 即3.6BC =21.2， △BC=6，在Rt△ABC 中，△△A=30°，△AB=2BC=12，即树长AB 是12米．故答案为12．【点睛】本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键．18 【解析】【分析】先作辅助线构造直角三角形，求出CH 和MG 的长，再求出MH 的长，最后利用勾股定理求解即可．【详解】解:如图,作OK△BC ，垂足为点K ，△正方形边长为4，△OK=2，KC=2，△KC=CE ，△CH 是△OKE 的中位线 △112CH OK ==， 作GM△CD ，垂足为点M ，△G 点为EF 中点，△GM 是△FCE 的中位线， △112GM CE ==，()()1115412222MC FC CD DF ==+=⨯+=， △53122MH MC HC =-=-=，在Rt△MHG 中，GH ==【点睛】本题综合考查了正方形的性质、三角形中位线定理、勾股定理等内容，解决本题的关键是能作出辅助线构造直角三角形，得到三角形的中位线，利用三角形中位线定理求出相应线段的长，利用勾股定理解直角三角形等．19．（1）13x =23x =（2）13x =-或23x =【解析】【分析】（1）根据配方法解一元二次方程，即可求解；（2）根据因式分解法解一元二次方程，即可求解．【详解】（1）22284x x x ++=+，262x x -=，2226323x x -+=+，2(3)11x -=，3x ∴-=13x ∴=23x =（2）()()23230x x x -+-=，(32)(3)0x x x ---=，(3)(3)0x x ---=，30x ∴--=或30x -=，13x ∴=-或23x =．【点睛】本题主要考查解一元二次方程，掌握配方法和因式分解法解方程是解题的关键． 20．证明见解析【解析】【分析】由四边形ABCD 为菱形，可得AD=AB=CD=CB ，△B=△D ．又因为CE=CF ，所以CD -CE=CB -CF ，即DE=BF ．可证△ADE△△ABF ，所以AE=AF ．【详解】证明：△四边形ABCD 为菱形，△AD=AB=CD=CB ，△B=△D ．又△CE=CF ，△CD -CE=CB -CF ，即DE=BF ．在△ADE 和△ABF 中AD AB D B DE CF ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝，△△ADE△△ABF （SAS ）．△AE=AF ．【点睛】此题主要考查了菱形的性质以及全等三角形的判断和性质形，能够灵活运用菱形知识解决有关问题是解题的关键．21．（1）见解析；（2）152BC =【解析】【分析】（1）由直角三角形的性质得出B ADE ∠=∠，可证明ABC ADE ； （2）由相似三角形的性质可得到答案．【详解】（1）AF ，AG 分别是ABC 和ADE 的高，AF BC ∴⊥，AG DE ⊥，90AFB ∴∠=︒，90AGD ∠=︒，BAF DAG ∠=∠，B ADE ∴∠=∠，BAC DAE ∴∠=∠，ABC ADE ；（2）ABC ADE △△，AD DE AB BC∴=， 25AD AB =，3DE =， 235BC∴=， 152BC ∴=． 22．（1）两次下降的百分率为20％；（2）每件应降价3元【解析】（1）设每次降价的百分率为x ，根据两次降价，从40降至25.6列方程求解即可； （2）根据总利润＝单件利润×销售量列方程求解即可．【详解】（1）设两次下降的百分率为x ，由题意得：240(1)25.6x -=，解得：10.220x ==％，2 1.8x =（不符合题意，舍去），答：两次下降的百分率为20％；（2）设每件应降价y 元，由题意得：(4030)(488)504y y --+=，整理得：y 2－4y ＋3＝0，解得：11y =，23y =,因为要尽快减少库存，所以3y =，答：每件应降价3元．23．（1）见解析；（2）见解析【解析】（1）根据两直线平行，内错角相等可得△ODE=△FCE ，根据线段中点的定义可得CE=DE ，然后利用“角边角”证明△ODE 和△FCE 全等；（2）根据全等三角形对应边相等可得OD=FC ，再根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形判断出四边形ODFC 是平行四边形，根据矩形的对角线互相平分且相等可得OC=OD ，然后根据邻边相等的平行四边形是菱形证明即可．【详解】解：证明：（1）△CF△BD ，△△ODE=△FCE ，△E 是CD 中点，△CE=DE ，在△ODE 和△FCE 中，ODE FCE CE DEDEO CEF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， △△ODE△△FCE （ASA ）；（2）△△ODE△△FCE ，△OD=FC ，△CF△BD ，△四边形ODFC 是平行四边形，在矩形ABCD 中，OC=OD ，△四边形ODFC 是菱形．24．(1)答案见解析；(2)1.5米/秒【解析】(1) 利用影长为AD ，进而得出延长AC ，HG 得到O 点，进而求出答案；(2)首先设速度为x 米/秒，然后利用△COG 和△OAH 相似，△EOG 和△OMH 相似得出答案． 【详解】解： (1)如图(2)设速度为x 米/秒根据题意得CG//AH△△COG△△OAH △CG OG AH OH =即：OG63 OH105xx==又△CG//AH，△△EOG△△OMH△CG OG AH OH=即：2x3 2+2x5=△ 1.5x=答：小明沿AB方向匀速前进的速度为1.5米/秒．【点睛】本题考查了相似三角形的应用以及中心投影，注意从实际问题中抽象出几何图形，然后利用相似比计算相应线段的长是解题关键．25．（1）（1，0）；（2）10；（3）（97，0）．【解析】【分析】（1）利用位似图形的性质得出对应点位置，即可得出答案；（2）利用勾股定理逆定理可得△A′BC′是直角三角形，利用三角形面积公式求出△A′BC′面积即可；（3）作A关于y轴的对称点A″，连接A″B，交x轴于点P，根据对称性质可得A″B即为PA+PB的最小值，根据A″和B点坐标可得直线A″B的解析式，令y=0即可得P点坐标.【详解】（1）如图所示：C′（1，0）；故答案为：（1，0）；（2）△A′B2=62+22=40，A′C′2=42+22=20，C′B2=42+22=20，△A′B2=A′C′2+C′B2，△△A′BC′是直角三角形，△△A′BC′的面积是：1210平方单位；故答案为：10（3）作A关于y轴的对称点A″，连接A″B，交x轴于点P，△PA=PA″，△PA″+PB=PA+PB=BA″，即为PA+PB的最小值，设A″B直线解析式为：y＝kx+b，把（3，4），（0，﹣3），代入得：343k bb+=⎧⎨=-⎩，解得：733kb⎧=⎪⎨⎪=-⎩，故A″B直线解析式为：y＝73x﹣3，当y＝0时，x＝97，故P（97，0）．【点睛】本题考查位似变换以及坐标与图形的性质、待定系数法求一次函数解析式及轴对称的性质，正确得出对应点的坐标是解题关键.26．（1）AO=5；（2）证明过程见解析；（3）【解析】【分析】（1）在RT△OAB中，利用勾股定理（2）由四边形ABCD是菱形，求出△AFM为等边三角形，△M=△AFM=60°，再求出△MAC=90°，在Rt△ACM中tan△M=ACAM，求出AC；（3）求出△AEM△△ABF，利用△AEM的面积为40求出BF，在利用勾股定理AF=△AFM的周长为【详解】解：（1）△四边形ABCD是菱形，△AC△BD，OB=OD=12BD，△BD=24，△OB=12，在Rt△OAB中，△AB=13，．（2）如图2，△四边形ABCD是菱形，△BD垂直平分AC，△FA=FC，△FAC=△FCA，由已知AF=AM，△MAF=60°，△△AFM为等边三角形，△△M=△AFM=60°，△点M，F，C三点在同一条直线上，△△FAC+△FCA=△AFM=60°，△△FAC=△FCA=30°，△△MAC=△MAF+△FAC=60°+30°=90°，在Rt△ACM中△tan△M=AC AM，△tan60°=AC AM，．（3）如图，连接EM ，△△ABE 是等边三角形， △AE=AB ，△EAB=60°，由（2）知△AFM 为等边三角形， △AM=AF ，△MAF=60°， △△EAM=△BAF ，在△AEM 和△ABF 中， AE ABEAM BAF AM AF=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，△△AEM△△ABF （SAS ）， △△AEM 的面积为40，△ABF 的高为AO △12BF•AO=40，BF=16， △FO=BF ﹣BO=16﹣12=4△△AFM 的周长为。

北师大版九年级上册数学期中考试试题一、单选题1．下列方程中，关于x 的一元二次方程是（）A ．2230x x --=B ．2210x y --=C ．()270x x x -+=D ．20ax bx c ++=2．如图，在平行四边形ABCD 中，E 是BC 上一点，BE ：EC ＝1：2，AE 与BD 相交于点F ，若S △BEF ＝2，则S △ABD ＝（）A ．24B ．25C ．26D ．233．若方程（a-2）x²+ax-3=0是关于x 的一元二次方程，则a 的取值范围是（）A ．a≥2且a≠2B ．a≥0且a≠2C ．a≥2D ．a≠24．如图，在平行四边形ABCD 中，M 、N 是BD 上两点，BM DN =，连接AM 、MC 、CN 、NA ，添加一个条件，使四边形AMCN 是矩形，这个条件是（）A ．12OM AC =B ．MB MO =C ．BD AC ⊥D ．AMB CND∠=∠5．如图，菱形ABCD 的面积为120cm 2，正方形AECF 的面积为50cm 2，则AB 的长为（）A ．9cmB ．12cmC ．13cmD ．15cm6ABCD 中，30B ∠=︒，过点A 作AE BC ⊥于点E ，现将△ABE沿直线AE 翻折至△AFE 的位置，AF 与CD 交于点G .则CG 等于（）A 1B ．1C ．12D ．27．在一个不透明的口袋中，装有若干个红球和4个黄球，它们除颜色外没有任何区别，摇匀后从中随机摸出一个球，记下颜色后再放回口袋中，通过大量重复摸球实验发现，摸到黄球的概率是0.2，则估计盒子中大约有红球（）A ．12个B ．16个C ．20个D ．25个8．如图，矩形ABCD 中，AB=8，BC=4．点E 在边AB 上，点F 在边CD 上，点G 、H 在对角线AC 上．若四边形EGFH 是菱形，则AE 的长是（）A ．B ．C ．5D ．69．如图，在ABCD 中，CD=2AD ，BE ⊥AD 于点E ，F 为DC 的中点，连接EF 、BF ，下列结论：①∠ABC=2∠ABF ；②EF=BF ；③S 四边形DEBC =2S △EFB ；④∠CFE=3∠DEF,其中正确结论的个数共有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个10．如图，已知直线a ∥b ∥c ，直线m 、n 与a 、b 、c 分别交于点A 、C 、E 、B 、D 、F ，若AC ＝8，CE ＝12，BD ＝6，则BF 的值是（）A ．14B ．15C ．16D ．1711．如图，在正方形ABCD 中，E 、F 分别是BC 、CD 上的点，且∠EAF=45°，AE 、AF 分别交BD 于M 、N ，连按EN 、EF ，有以下结论：①△ABM ∽△NEM ；②△AEN 是等腰直角三角形；③当AE=AF 时，2BEEC=④BE+DF=EF ；⑤若点F 是DC 的中点，则CE 23=CB ．其中正确的个数是（）A ．2B ．3C ．4D ．512．如图，四边形ABCD 和A′B′C′D′是以点O 为位似中心的位似图形，若OA ：OA′＝2：3，则四边形ABCD 与四边形A′B′C′D′的面积比为（）A ．4：9B ．2：5C ．2：3D二、填空题13．已知菱形的周长为24，较大的内角为120°，则菱形的较长的对角线长为_____．14．方程x 2＝2x 的解是_______．15．在平面直角坐标系中，矩形OABC 的顶点坐标分别是(0O ，0)，(8A ，0)，(8B ，6)，(0C ，6)，已知矩形111OA B C 与矩形OABC 位似，位似中心为坐标原点O ，位似比为12，则点1B 的坐标是______．16．如图，矩形纸片ABCD ，BC=10，AB=8，E 是边CD 上一点，连接AE 、折叠该纸片，使点A 落在AE 上的G 点，并使折痕经过点B ，得到折痕BF ，点F 在AD 上，若DE=5，则GE 的长为____．三、解答题17．解方程：①2x 2﹣4x ﹣3＝0；②5（x+1）2＝7（x+1）．18．（1）解方程(3)30x x x -+-=；（2）解方程2220x x --=；(3)已知a≠0，b≠0，a≠b 且x=1是方程ax²+bx-10=0的一个解，求2222a b a b--的值.19．已知：如图，在△ABC 中，AB=AC ，D 为边BC 上一点，以AB ，BD 为邻边作平行四边形ABDE ，连接AD ，EC ．（1）求证：△ADC ≌△ECD ；（2）当点D 在什么位置时，四边形ADCE 是矩形，请说明理由．20．某超市准备进一批季节性小家电，每个进价为40元，经市场预测，销售定价为每个50元，可售出400个；定价每增加1元，销售量将减少10个，设每个定价增加x 元，（1）当定价增加5元时，获利是多少元？（2）商店若准备获得利润6000元，并且使进货量较少，则每个定价为多少元？应进货多少个？21．如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，AC=BC ，点D 在边AB 上，连接CD ，将线段CD 绕点C 顺时针旋转90°至CE 位置，连接AE（1）求证：AB ⊥AE ；（2）若BC 2=AD•AB ，求证：四边形ADCE 为正方形．22．元旦期间，某超市销售两种不同品牌的苹果,已知1千克甲种苹果和1千克乙种苹果的进价之和为18元.当销售1千克甲种苹果和1千克乙种苹果利润分别为4元和2元时,陈老师购买3千克甲种苹果和4千克乙种苹果共用82元.（1）求甲、乙两种苹果的进价分别是每千克多少元？（2）在（1）的情况下，超市平均每天可售出甲种苹果100千克和乙种苹果140千克，若将这两种苹果的售价各提高1元，则超市每天这两种苹果均少售出10千克，超市决定把这两种苹果的售价提高x元，在不考虑其他因素的条件下，使超市销售这两种苹果共获利960元，求x的值.23．已知BD垂直平分AC，∠BCD=∠ADF，AF⊥AC，（1）证明ABDF是平行四边形；（2）若AF=DF=5，AD=6，求AC的长．24．已知如图，矩形ABCD的周长为64，AB=12，对角线AC的垂直平分线分别交AD、BC于E、F，连接AF、CE、EF，且EF与AC相交于点O．（1）求证：四边形AECF是菱形；（2）求S△ABF 与S△AEF的比值．25．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝12cm，BC＝16cm，D、E分别是AC、AB的中点，连接DE．点P从点D出发，沿DE方向匀速运动，速度为2cm/s；同时，点Q从点B 出发，沿BA方向匀速运动，速度为4cm/s，当点P停止运动时，点Q也停止运动．连接PQ，设运动时间为t（0＜t＜4）s．解答下列问题：（1）当t为何值时，以点E、P、Q为顶点的三角形与△ADE相似？（2）当t 为何值时，△EPQ 为等腰三角形？参考答案1．A 【解析】【详解】试题解析：A 、符合一元二次方程的定义，正确；B 、方程含有两个未知数，错误；C 、原方程可化为-7x=0，是一元一次方程，错误；D 、方程二次项系数可能为0，错误．故选A ．考点：一元二次方程的定义．2．A 【解析】【分析】已知平行四边形ABCD 中，E 是BC 上一点，BE ：EC ＝1：2，可知△BEF ∽△ADF 得出相似比1==3BE BF EF AD DF AF =，所以211(39S BEF S ADF ==V V 得出18S ADF =V 根据2S BEF =V ，在△BEF 中，把EF 作为底边，在三角形ABF 中，把AF 作为底边，高相等，面积比即是底边的比，即13S BEF EF S ABF AF ==V V ，得出6S ABF =V ，S ABD S ABF S ADF =+V V V 求得答案．【详解】在平行四边形ABCD 中AD=BC ，AD ∥BC ∴△BEF ∽△ADF ，∴1==3BE BF EF AD DF AF =∴211(39S BEF S ADF ==V V ∵2S BEF =V ∴18S ADF =V 在△BEF 中，把EF 作为底边，在三角形ABF 中，把AF 作为底边，高相等，面积比即是底边的比，即13S BEF EF S ABF AF ==V V ∴6S ABF =V 且18S ADF =V ∴61824S ABD S ABF S ADF =+=+=V V V 故选：A ．【点睛】本题考查了相似三角形的判定定理和性质，如果两个三角形相似，面积比就等于相似比的平方，可以作为求解三角形面积的方法.3．D 【解析】【分析】根据一元二次方程的定义得到a-2≠0，由此求得a 的取值范围．【详解】解：依题意得：a-2≠0，解得a≠2．故选D ．【点睛】本题考查了一元二次方程的概念．只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是ax 2+bx+c=0（且a≠0）．特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．4．A 【解析】【分析】由平行四边形的性质可知：OA OC =，OB OD =，再证明OM ON =即可证明四边形AMCN 是平行四边形．【详解】∵四边形ABCD 是平行四边形，∴OA OC =，OB OD =，∵对角线BD 上的两点M 、N 满足BM DN =，∴OB BM OD DN -=-，即OM ON =，∴四边形AMCN 是平行四边形，∵12OM AC =，∴MN AC =，∴四边形AMCN 是矩形．故选：A ．【点睛】本题考查了矩形的判定，平行四边形的判定与性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．5．C 【解析】【分析】根据正方形的面积求出AC 的长，根据菱形的面积求出BD 的长,再利用菱形的对角线互相垂直平分计算菱形的边长．【详解】解：因为正方形AECF 的面积为50cm 2，所以AC=10cm=因为菱形ABCD 的面积为120cm 2，所以BD=21202410cm ⨯=所以菱形的边长=13cm 故选C ．【点睛】此题考查正方形和菱形的性质，关键是根据正方形和菱形的面积进行解答．6．A 【解析】【分析】在Rt △ABE 中，∠B=30°，BE=32，根据△ABE 沿直线AE 翻折至△AFE 的位置可知BF=3，结合菱形ABCD 32，则利用菱形对边平行即CG ∥AB ，再根据平行线段成比例可得CG CFAB BF ==求得1【详解】∵∠B=30°，AE ⊥BC∴AE=2，BE=32∴BF=3，32，则又∵CG ∥AB ∴CG CFAB BF=33=解得1.【点睛】本题考查了菱形的性质，平行线段成比例，图形的翻折，解本题的关键是通过利用菱形对边平行发现与要求线段CG 与其他线段成比例的关系.7．B 【解析】【分析】在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从比例关系入手，列出方程求解．【详解】解：设盒子中有红球x 个，由题意可得：44x +=0.2，解得：x=16，故选B ．．【点睛】此题主要考查了利用频率估计概率，本题利用了用大量试验得到的频率可以估计事件的概率．关键是根据黄球的概率得到相应的等量关系8．C 【解析】【详解】连接EF 交AC 于点M ，由四边形EGFH 为菱形可得FM=EM ，EF ⊥AC ；利用“AAS 或ASA”易证△FMC ≌△EMA ，根据全等三角形的性质可得AM=MC ；在Rt △ABC 中，由勾股定理求得AC=tan ∠BAC=12BC AB =；在Rt △AME 中，AM=12AC=，tan ∠BAC=12EM AM =可得Rt △AME 中，由勾股定理求得AE=5．故答案选C ．【点睛】本题考查了菱形的性质；矩形的性质；勾股定理；锐角三角函数．9．D 【解析】【分析】如图延长EF 交BC 的延长线于G ，取AB 的中点H 连接FH ．证明△DFE ≌△FCG 得EF=FG ，BE ⊥BG ，四边形BCFH 是菱形即可解决问题.【详解】解：如图延长EF交BC的延长线于点G，取AB的中点H，连接FH．∵CD=2AD，DF=FC，∴CF=CB，∴∠CFB=∠CBF，∵CD∥AB，∴∠CFB=∠FBH，∴∠CBF=∠FBH，∴∠ABC=2∠ABF．故①正确，∵DE∥CG，∴∠D=∠FCG，∵DF=FC，∠DFE=∠CFG，∴△DFE≌△FCG，∴FE=FG，∵BE⊥AD，∴∠AEB=90°，∵AD∥BC，∴∠AEB=∠EBG=90°，∴BF=EF=FG，故②正确，∵S△DFE=S△CFG，=S△EBG=2S△BEF，故③正确，∴S四边形DEBC∵AH=HB，DF=CF，AB=CD，∴CF=BH，∵CF∥BH，∴四边形BCFH是平行四边形，∵CF=BC，∴四边形BCFH是菱形，∴∠BFC=∠BFH，∵FE=FB，FH∥AD，BE⊥AD，∴FH⊥BE，∴∠BFH=∠EFH=∠DEF，∴∠EFC=3∠DEF，故④正确，故选D．【点睛】本题考查平行四边形的性质和判定、菱形的判定和性质、直角三角形斜边中线的性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考选择题中的压轴题．10．B【解析】【分析】三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．直接根据平行线分线段成比例定理即可得出结论．【详解】解：∵a∥b∥c，AC＝8，CE＝12，BD＝6，∴AC BD AE BF=,即86=812BF +，解得：=15BF，故选：B.【点睛】本题考查的是平行线分线段成比例定理，熟知三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例是解答此题的关键．11．C【解析】【分析】①如图，证明△AMN ∽△BME 和△AMB ∽△NME ，②利用相似三角形的性质可得∠NAE=∠AEN=45°，则△AEN 是等腰直角三角形可作判断；③先证明CE=CF ，假设正方形边长为1，设CE=x ，则BE=1-x ，表示AC 的长为AO+OC 可作判断；④如图3，将△ADF 绕点A 顺时针旋转90°得到△ABH ，证明△AEF ≌△AEH （SAS ），则EF=EH=BE+BH=BE+DF ，可作判断；⑤如图4中，设正方形的边长为2a ，则DF=CF=a ，，想办法求出BE ，EC 即可判断．【详解】如图，∵四边形ABCD 是正方形，∴∠EBM=∠ADM=∠FDN=∠ABD=45°．∵∠MAN=∠EBM=45°，∠AMN=∠BME ，∴△AMN ∽△BME ，∴AM MN BM EN =，∴AM BM MN EN=，∵∠AMB=∠EMN ，∴△AMB ∽△NME ，故①正确，∴∠AEN=∠ABD=45°，∴∠NAE=∠AEN=45°，∴△AEN 是等腰直角三角形，故②正确，在△ABE 和△ADF 中，∵90AB AD ABE ADF AE AF =⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩，∴Rt △ABE ≌Rt △ADF(HL)，∴BE=DF ．∵BC=CD ，∴CE=CF ，假设正方形边长为1，设CE=x ，则BE=1﹣x ，如图2，连接AC ，交EF 于H ，∵AE=AF ，CE=CF ，∴AC 是EF 的垂直平分线，∴AC ⊥EF ，OE=OF ，Rt △CEF 中，OC 12=EF 22=，在△EAF 中，∠EAO=∠FAO=22.5°=∠BAE=22.5°，∴OE=BE ．∵AE=AE ，∴Rt △ABE ≌Rt △AOE(HL)，∴AO=AB=1，∴AC 2==AO+OC ，∴122+x 2=∴x=22-，∴1222222BE EC -==-③如图3，∴将△ADF 绕点A 顺时针旋转90°得到△ABH ，则AF=AH ，∠DAF=∠BAH ．∵∠EAF=45°=∠DAF+∠BAE=∠HAE ．∵∠ABE=∠ABH=90°，∴H 、B 、E 三点共线，在△AEF 和△AEH 中，AE AE FAE HAE AF AH =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△AEF ≌△AEH(SAS)，∴EF=EH=BE+BH=BE+DF ，故④正确，如图4中，设正方形的边长为2a ，则DF=CF=a ，AF =a，∵DF ∥AB ，∴12FN DF AN AB ==，∴AN=NE 23=AF =a ，∴AE =3=a ，∴BE 23=a ，∴EC 43=a 23=BC ，故⑤正确．故选：C ．【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质、正方形的性质、全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质、线段垂直平分线的性质和判定等知识，解题的关键是灵活应用所学知识解决问题，学会添加常用辅助线构造全等三角形，属于中考压轴题．12．A【解析】【分析】根据题意求出两个相似多边形的相似比，根据相似多边形的性质解答．【详解】解：∵四边形ABCD和A′B′C′D′是以点O为位似中心的位似图形，OA：OA′＝2：3，∴DA：D′A′＝OA：OA′＝2：3，∴四边形ABCD与四边形A′B′C′D′的面积比为：4：9，故选：A．【点睛】本题是对相似图形的考查，熟练掌握多边形相似的性质是解决本题的关键.13．【解析】【分析】由菱形的性质可得AB=6，AC⊥BD，BD=2OB，由直角三角形的性质可得AO=1，由勾股定理可求BO的长，即可得BD的长．【详解】解：如图所示：∵菱形ABCD的周长为24，∴AB=6，AC⊥BD，BD=2OB，∵∠BAD=120°，∴∠ABC=60°，∴∠ABO=12∠ABC=30°，∴AO=3，∴∴BD=故答案为：.【点睛】本题考查了菱形的性质，直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，勾股定理，熟记性质是解题的关键，作出图形更形象直观．14．x 1＝0，x 2＝2【解析】【分析】先移项得到x 2﹣2x ＝0，再把方程左边进行因式分解得到x （x ﹣2）＝0，方程转化为两个一元一次方程：x ＝0或x ﹣2＝0，即可得到原方程的解为x 1＝0，x 2＝2．【详解】解：∵x 2﹣2x ＝0，∴x （x ﹣2）＝0，∴x ＝0或x ﹣2＝0，∴x 1＝0，x 2＝2．故答案为：x 1＝0，x 2＝2．【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法，并能够根据方程的特征灵活选用合适的方法解答是解题的关键．15．()4,3或()4,3--【解析】【分析】由矩形OA 1B 1C 1与矩形OABC 位似，位似中心为坐标原点O ，位似比为12，又由点B 的坐标为（8，6），即可求得答案．【详解】解：如图，∵矩形OA 1B 1C 1与矩形OABC 位似，位似中心为坐标原点O ，位似比为12，∴点B 1的坐标是：（4，3）或（-4，-3）．故答案为：（4，3）或（-4，-3）．【点睛】本题考查了位似图形的性质，注意位似图形是特殊的相似图形，注意数形结合思想的应用．16．955．【解析】【分析】由勾股定理求出AE 的长，证明△ABH ∽△EAD ，得出AH AB DE AE =求出AH 的长，得出AG 的长，即可得出答案．【详解】∵四边形ABCD 为矩形，∴AB=CD=8，AD=BC=10，∠BAD=∠D=90°，∴AE 2222105AD DE =+=+=5由折叠及轴对称的性质可知，△ABF ≌△GBF ，BF 垂直平分AG ，∴BF ⊥AE ，AH=GH ，∴∠BAH+∠ABH=90°，又∵∠FAH+∠BAH=90°，∴∠ABH=∠FAH ，∴△ABH ∽△EAD ，∴AH AB DE AE =，即555AH =解得：AH 855=∴AG=2AH 1655=，∴GE=AE ﹣55555=．【点睛】本题考查了正方形的性质，翻折变换的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识，熟练掌握翻折变换和矩形的性质，证明三角形相似是解题的关键．17．①x 1＝22，x 2＝22；②x 1＝﹣1，x 2＝25．【解析】【分析】①直接利用一元二次方程的求根公式，求方程的解；②先移项得到5（x+1）2﹣7（x+1）＝0，然后利用因式分解法解方程，即可求解．【详解】①2x 2﹣4x ﹣3＝0，a ＝2，b ＝﹣4，c ＝﹣3，∴△＝b 2﹣4ac ＝16﹣4×2×（﹣3）＝40，∴2b x a -±==，∴x 1x 2；②5（x+1）2﹣7（x+1）＝0，（x+1）（5x+5﹣7）＝0，x+1＝0或5x+5﹣7＝0，∴x 1＝﹣1，x 2＝25．【点睛】本题主要考查解一元二次方程，掌握公式法和因式分解法解一元二次方程，是解题的关键．18．（1）123,1x x ==-；（2）1211x x ==（3）5.【解析】【分析】（1）提公因式因式分解后可解；（2）把方程左边化为完全平方式的形式，再利用直接开方法求出x 的值即可；（3）把x=1代入方程求得a+b=10，然后将其整体代入化简后的分式并求值．【详解】解：（1）因式分解得(3)(1)0x x -+=，∴123,1x x ==-；（2）∵原方程可化为（x-1）2=3，1x ∴-=1x ∴=±1211x x ∴==（3）解：∵x=1是方程ax²+bx-10=0的根，∴a+b=10，∴225222a b a b a b -+==-,故答案是：5.【点睛】本题考查的是一元二次方程的解法，熟练掌握直接开平方法、因式分解法、配方法、公式法是解题关键．19．（1）证明见解析；（2）点D 在BC 的中点上时，四边形ADCE 是矩形．【解析】【分析】（1）利用等边对等角以及平行四边形的性质可以证得∠EDC=∠ACB ，则易证△ADC ≌△ECD ，利用全等三角形的对应边相等即可证得；（2）根据平行四边形性质推出AE=BD=CD ，AE ∥CD ，得出平行四边形，根据AC=DE 推出即可．【详解】解：（1）证明：∵AB=AC ，∴∠B=∠ACB ，又∵▱ABDE 中，AB=DE ，AB ∥DE ，∴∠B=∠EDC=∠ACB ，AC=DE ，在△ADC 和△ECD 中，{EDC=ACB DC=CDAC DE=∠∠，∴△ADC ≌△ECD （SAS ）．（2）点D 在BC 的中点上时，四边形ADCE 是矩形，∵四边形ABDE 是平行四边形，∴AE=BD ，AE ∥BC ，∵D 为边长中点，∴BD=CD ，∴AE=CD ，AE ∥CD ，∴四边形ADCE是平行四边形，∵△ADC≌△ECD，∴AC=DE，∴四边形ADCE是矩形，即点D在BC的中点上时，四边形ADCE是矩形．考点：平行四边形的性质；等腰三角形的性质；全等三角形的判定与性质；矩形的判定的应用．20．（1）5250元；（2）当定价为70元时利润达到6000元，此时的进货量为200个【解析】【分析】（1）根据利润＝每件商品利润×销售量，列式即可求解；（2）总利润＝每件商品利润×销售量，销售量为400﹣10x，列方程求解，根据题意取舍；【详解】（1）定价增加5元即为：50+5=55元时，销售量为：400-10×5=350获利为：（50+5﹣40）（400﹣5×10）＝5250元（2）设每个定价增加x元，根据题意（x+10）（400﹣10x）＝6000，整理得：x2﹣30x+200＝0解得，x1＝10，x2＝20，∵要使进货量较少，∴x＝20，∴定价为50+20＝70元，进货量为：400﹣10x＝400﹣200＝200．当定价为70元时利润达到6000元，此时的进货量为200个．【点睛】本题是一元二次方程的实际应用问题，现列出关于x的关系式，求解一元二次方程，根据条件对x值取舍，确定最终符合题意的答案.21．（1）根据旋转的性质得到∠DCE=90°，CD=CE，利用等角的余角相等得∠BCD=∠ACE，然后根据“SAS”可判断△BCD≌△ACE，则∠B=∠CAE=45°，所以∠DAE=90°，即可得到结论．（2）由于BC=AC，则AC2=AD•AB，根据相似三角形的判定方法得到△DAC∽△CAB，则∠CDA=∠BCA=90°，可判断四边形ADCE为矩形，利用CD=CE可判断四边形ADCE为正方形．【分析】（1）根据旋转的性质得到∠DCE=90°，CD=CE，利用等角的余角相等得∠BCD=∠ACE，然后根据“SAS”可判断△BCD≌△ACE，则∠B=∠CAE=45°，所以∠DAE=90°，即可得到结论.（2）由于BC=AC，则AC2=AD•AB，根据相似三角形的判定方法得到△DAC∽△CAB，则∠CDA=∠BCA=90°，可判断四边形ADCE为矩形，利用CD=CE可判断四边形ADCE为正方形.【详解】证明：（1）∵∠ACB=90°，AC=BC，∴∠B=∠BAC=45°∵线段CD绕点C顺时针旋转90°至CE位置，∴∠DCE=90°，CD=CE∵∠ACB=90°，∴∠ACB﹣∠ACD=∠DCE﹣∠ACD，即∠BCD=∠ACE∵在△BCD和△ACE中，BC AC {BCD ACE CD CE=∠=∠=，∴△BCD≌△ACE（SAS）∴∠B=∠CAE=45°∴∠BAE=45°+45°=90°∴AB⊥AE（2）∵BC2=AD•AB，BC=AC，∴AC2=AD•AB∴AC AD AB AC=∵∠DAC=∠CAB，∴△DAC∽△CAB∴∠CDA=∠BCA=90°∵∠DAE=90°，∠DCE=90°，∴四边形ADCE为矩形∴四边形ADCE 为正方形.22．（1）甲、乙两种苹果的进价分别为10元/千克,8元/千克；（2）x 的值为2或7.【解析】【分析】（1）根据题意列二元一次方程组即可求解,（2）根据题意列一元二次方程即可求解.【详解】（1）解：设甲、乙两种苹果的进价分别为a 元/千克,b 元/千克.由题得：()()18344282a b a b +=⎧⎨+++=⎩解之得：108a b =⎧⎨=⎩答：甲、乙两种苹果的进价分别为10元/千克,8元/千克（2）由题意得：()()()()410010214010960x x x x +-++-=解之得：12x =，27x =经检验，12x =，27x =均符合题意答：x 的值为2或7.【点睛】本题考查了二元一次方程组和一元二次方程的实际应用,中等难度,列方程是解题关键.23．（1）证明见解析；（2）485．【解析】【分析】（1）先证得△ADB ≌△CDB 求得∠BCD=∠BAD ，从而得到∠ADF=∠BAD ，所以AB ∥FD ，因为BD ⊥AC ，AF ⊥AC ，所以AF ∥BD ，即可证得．（2）先证得平行四边形是菱形，然后根据勾股定理即可求得．【详解】（1）证明：∵BD 垂直平分AC ，∴AB=BC ，AD=DC ，在△ADB 与△CDB 中，AB BC AD DC DB DB =⎧⎪=⎨⎪=⎩，∴△ADB ≌△CDB （SSS ）∴∠BCD=∠BAD ，∵∠BCD=∠ADF ，∴∠BAD=∠ADF ，∴AB ∥FD ，∵BD ⊥AC ，AF ⊥AC ，∴AF ∥BD ，∴四边形ABDF 是平行四边形，（2）解：∵四边形ABDF 是平行四边形，AF=DF=5，∴▱ABDF 是菱形，∴AB=BD=5，∵AD=6，设BE=x ，则DE=5-x ，∴AB 2-BE 2=AD 2-DE 2，即52-x 2=62-（5-x ）2解得：x=75，∴245AE =，∴AC=2AE=485．考点：1．平行四边形的判定；2．线段垂直平分线的性质；3．勾股定理．24．（1）证明见解析；（2）8：17．【解析】【分析】（1）根据SSS 证明△AOE ≌△COF ，根据全等得出OE=OF ，推出四边形是平行四边形，再根据EF ⊥AC 即可推出四边形是菱形；（2）由（1）知S △AEF =S △ACF ，再分别求得S △ABF 与S △AEF 的面积即可得到其比值．【详解】∴AD∥BC，∴∠OAE=∠OCF．∵EF垂直平分AC，∴AO=CO，∠AOE=∠COF=90°，∴△AOE≌△COF(ASA)，∴OE=OF，∴四边形AFEC是平行四边形，又∵EF⊥AC，∴四边形AFEC是菱形；（2）∵△AOE≌△COF，∴S△AEF=S△ACF∵S△ABF=3BF，S△AEF=3FC，∴S△ABF：S△AEF=BF：FC．∵矩形ABCD的周长为64，AB=12，∴BC=20，设FC=x，则AF=x，BF=20﹣x在Rt△ABF中，由勾股定理122+(20﹣x)2=x2解得：x68 5 =，BF32 5 =，∴S△ABF：S△AEF=BF：FC=8：17．【点睛】此题主要考查了矩形的性质、线段的垂直平分线性质、菱形的判定以及勾股定理等知识的综合应用．熟练掌握菱形的判定方法是解题的关键．25．（1）4114s或4013s；（2）t＝1或3或207或196秒【解析】【分析】（1）①当PQ⊥AB时，△PQE是直角三角形．证明△PQE∽△ACB，将PE、QE用时间t 表示，由三角形对应线段成比例的性质即可求出t值；②当PQ⊥DE时，证明△PQE∽△DAE，（2）分三种情形讨论，①当点Q在线段BE上时，EP＝EQ；②当点Q在线段AE上时，EQ＝EP；③当点Q在线段AE上时，EQ＝QP；④当点Q在线段AE上时，PQ＝EP，分别列出方程即可解决问题．【详解】解：（1）在Rt△ABC中，AC＝12cm，BC＝16cm，∴AB20cm．∵D、E分别是AC、AB的中点．∴AD＝DC＝6cm，AE＝EB＝10cm，DE∥BC且DE＝12BC＝8cm，①如图1中，PQ⊥AB时，∵∠PQB＝∠ADE＝90°，∠AED＝∠PEQ，∴△PQE∽△ADE，∴PE QE AE DE=，由题意得：PE＝8﹣2t，QE＝4t﹣10，即82410 108t t--=，解得t＝41 14；②如图2中，当PQ⊥DE时，△PQE∽△DAE，∴PE QE ED AE=，∴82410 810t t--=，∴t＝40 13，∴当t为4114s或4013s时，以点E、P、Q为顶点的三角形与△ADE相似．（2）①如图3中，当点Q在线段BE上时，由EP＝EQ，可得8﹣2t＝10﹣4t，t＝1．②如图4中，当点Q在线段AE上时，由EQ＝EP，可得8﹣2t＝4t﹣10，解得t＝3．③如图5中，当点Q在线段AE上时，由EQ＝QP，可得12（8﹣2t）：（4t﹣10）＝4：5，解得t＝20 7．④如图6中，当点Q在线段AE上时，由PQ＝EP，可得12（4t﹣10）：（8﹣2t）＝4：5，解得t＝19 6．综上所述，t＝1或3或207或196秒时，△PQE是等腰三角形．【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质及等腰三角形的判定，注意分类讨论，灵活的用含t的代数式表示线段的长度是解题的关键.。

北师大版九年级（上）期中数学试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题3分，共36分；在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的． 1．（3分）下列方程一定是一元二次方程的是( ) ①20ax bx c ++=；②22(1)10k x kx +++=；③2(1)(4)(2)x x x x +-=-；④(23)(23)4(3)x x x x +-=- A ．①② B ．③④ C ．②③ D ．①③ 2．（3分）下列四组线段中，不是成比例线段的是( )A ．3a =，6b =，2c =，4d =B ．1a =，2b =，6c =，23d =C ．4a =，6b =，5c =，10d =D ．2a =，5b =，15c =，23d = 3．（3分）如图，线段AB 两个端点的坐标分别为(2,2)A 、(3,1)B ，以原点O 为位似中心，在第一象限内将线段AB 扩大为原来的3倍后得到线段CD ，则端点C 的坐标为( )A ．(9,3)B ．(3,3)C ．(6,6)D ．(6,4)4．（3分）如图， 在正方形ABCD 中， 对角线6AC =，点P 是对角线AC 上的一点， 过点P 作PF AD ⊥，PE CD ⊥，则PF PE +的值为( )A ．32B ． 3C ．23D ． 65．（3分）如图，已知点C 是线段AB 的黄金分割点，且BC AC >．若1S 表示以BC 为边的正方形面积，2S 表示长为AB 、宽为AC 的矩形面积，则1S 与2S 的大小关系为( )A ．12S S >B ．12S S =C ．12S S <D ．不能确定6．（3分）下列一元二次方程两实数根和为4-的是( )A ．2240x x +-=B ．2440x x -+=C ．24100x x ++=D ．2450x x +-= 7．（3分）甲、乙、丙、丁四位同学进行一次乒乓球单打比赛，要从中选出两位同学打第一场比赛，则恰好选中甲、乙两位同学打第一场比赛的概率是( )A ．16B ．14C ．13D ．128．（3分）函数1y x k =-与2(0)ky k x=≠的图象在同一坐标系内，其中正确的是( )9．（3分）在函数(0)y kx k =<的图象上有1(1,)A y ，2(1,)B y -，3(2,)C y -三个点，则下列各式正确的是( ) A ．123y y y << B ．132y y y << C ．321y y y << D ．231y y y << 10．（3分）如图，将边长为1的正方形ABCD 绕点A 逆时针旋转30︒到正方形AEFG 的位置，则图中阴影部分的面积为( )A ．33 B ．36 C ．39 D ．31211．（3分）如图，ABC ∆中，M 是AC 的中点，E 、F 是BC 上的两点，且BE EF FC ==．则::BN NQ QM 等于( )A ．6:3:2B ．2:1:1C ．5:3:2D ．1:1:112．（3分）如图，A 、B 是函数12y x=上两点，P 为一动点，作//PB y 轴，//PA x 轴，下列说法正确的是( ) ①AOP BOP ∆≅∆；②AOPBOP S S ∆∆=；③若OA OB =，则OP 平分AOB ∠；④若4BOP S ∆=，则16ABP S ∆=A ．①③B ．②③C ．②④D ．③④ 二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分．13．（3分）若43x y y +=，则xy= 14．（3分）已知：点C 是线段AB 的黄金分割点，2AB =，则AC = ． 15．（3分）a ，b 为实数且22222()4()5a b a b +++=，则22a b += ．16．（3分）如图，A ，B 是反比例函数ky x=图象上的两点，过点A 作AC y ⊥轴，垂足为C ，AC 交OB 于点D ．若D 为OB 的中点，AOD ∆的面积为3，则k 的值为 ．17．（3分）如图，丁轩同学在晚上由路灯AC 走向路灯BD ，当他走到点P 时，发现身后他影子的顶部刚好接触到路灯AC 的底部，当他向前再步行20m 到达Q 点时，发现身前他影子的顶部刚好接触到路灯BD 的底部，已知丁轩同学的身高是1.5m ，两个路灯的高度都是9m ，则两路灯之间的距离是 m ．18．（3分）如图，在正方形ABCD 中，3AB =，点E ，F 分别在CD ，AD 上，CE DF =，BE ，CF 相交于点G ．若图中阴影部分的面积与正方形ABCD 的面积之比为2:3，则BCG ∆的周长为 ．三、解答题：本大题共66分．注意：解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算过程． 19．（12分）解答下列各题：（1）解方程：(2)(3)216x x x ++=+（2）已知a 、b 、c 均为非零的实数，且满足a b c a b c a b c c b a +--+-++==，求()()()a b b c c a abc+++的值 20．（8分）某校为了解九年级男同学的体育考试准备情况．随机抽取部分男同学进行了1000米跑测试按照成绩分为优秀、良好、合格与不合格四个等级．学校绘制了如下不完整的统计图，根据图中信息解答下列问题：（1）扇形统计图中“良好”所对应的圆心角度数是 ；请补全条形统计图； （2）该校九年级有600名男生，请估计成绩未达到良好的有多少名？（3）某班甲、乙两位成绩获“优秀”的同学被选中参加即将举行的学校运动会1000米比赛，预赛分为A ，B ，C ，D 四组进行，选手由抽签确定分组．甲、乙两人恰好分在同一组的概率是多少？（用树状图或列表法解答） 21．（8分）已知关于x 的方程2(2)20mx m x -++=． （1）求证：方程总有实数根；（2）已知方程有两个不相等的实数根α，β满足112αβ+=，求m 的值． 22．（8分）如图，在正方形ABCD 中，E 、F 是对角线BD 上两点，且45EAF ∠=︒，将ADF ∆绕点A 顺时针旋转90︒后，得到ABQ ∆，连接EQ ，求证： （1）EA 是QED ∠的平分线；（2）222EF BE DF =+．23．（8分）某农业合作社投资64000元共收获80吨的农产品，目前，该农产品可以以1200元/吨售出，如果储藏起来，每星期会损失2吨，且每星期需支付各种费用1600元，且同时每星期每吨价格将上涨200元．问储藏多少星期出售这批农产品可获利122000元？24．（10分）已知(4,2)A -、(,4)B n -两点是一次函数y kx b =+和反比例函数my x=图象的两个交点．（1）求一次函数和反比例函数的解析式； （2）求AOB ∆的面积；（3）观察图象，直接写出不等式0mkx b x+->的解集．25．（12分）矩形ABCD 一条边8AD =，将矩形ABCD 折叠，使得点B 落在CD 边上的点P 处．（1）如图1，已知折痕与边BC 交于点O ，连接AP 、OP 、OA ． ①求证：OCP PDA ∆∆∽；②若OCP ∆与PD A ∆的面积比为1:4，求边AB 的长．（2）如图2，在（1）的条件下，擦去AO 和OP ，连接BP ．动点M 在线段AP 上（不与点P 、A 重合），动点N 在线段AB 的延长线上，且BN PM =，连接MN 交PB 于点F ，作ME BP ⊥于点E ．试问动点M 、N 在移动的过程中，线段EF 的长度是否发生变化？若不变，求出线段EF 的长度；若变化，说明理由．参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题3分，共36分；在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的． 【解答】解：①当二次项系数0a =时，20ax bx c ++=不是一元二次方程；故本选项错误； ②22(1)10k x kx +++=符合一元二次方程的定义，故本选项正确；③由原方程，得2680x x --=符合一元二次方程的定义，故本选项正确； ④由原方程，得1290x -=，未知数的最高次数是1；故本选项错误． 故选：C ．【解答】解：32=，故选项A 中的线段成比例；==，故选项B 中的线段成比例； 465≠，故选项C 中的线段不成比例；=D 中的线段成比例； 故选：C ．【解答】解：以原点O 为位似中心，在第一象限内将线段AB 扩大为原来的3倍后得到线段CD ， 点A 的坐标为(2,2)、∴点C 的坐标为(23,23)⨯⨯，即(6,6)， 故选：C ．【解答】解：四边形ABCD 是正方形，90BAD BCD ∴∠=∠=︒，45PAF PCE ∠=∠=︒， PF AD ⊥，PE CD ⊥，APF ∴∆和CPE ∆是等腰直角三角形，PF AP ∴=，PE =，)22PF PE AP PC AC ∴+=+==；故选：A ．【解答】解：C 是线段AB 的黄金分割点，且BC AC >， 2BC AC AB ∴=，1S 表示以BC 为边的正方形面积，2S 表示长为AB 、宽为AC 的矩形面积，21S BC ∴=，2S AC AB =， 12S S ∴=． 故选：B ．【解答】解：A 、2240x x +-=， 1a =，2b =，4c =-， 24416200b ac ∴-=+=>， 设方程的两个根为1x ，2x ，12221x x ∴+=-=-，本选项不合题意；B 、2440x x -+=， 1a =，4b =-，4c =， 2416160b ac ∴-=-=， 设方程的两个根为1x ，2x ，12441x x -∴+=-=，本选项不合题意；C 、24100x x ++=， 1a =，4b =，10c =，241640240b ac ∴-=-=-<， 即原方程无解，本选项不合题意； D 、2450x x +-=， 1a =，4b =，5c =-， 241620360b ac ∴-=+=>， 设方程的两个根为1x ，2x ，12441x x ∴+=-=-，本选项符合题意，故选：D ．∴恰好选中甲、乙两位同学的概率为：21126=，故选：A ．【解答】解：函数1y x k =-，一次项系数为1，大于0，应过一、三象限，由此可排除C 、D ；对于B ，2(0)ky k x=≠在一、三象限，有0k >，则函数1y x k =-的图象应与y 轴交于原点下方，排除B ． 故选：A ．【解答】解：1(1,)A y ，2(1,)B y -，3(2,)C y -在直线y kx =上， 1y k ∴=，2y k =-，32y k =-， 而0k <，123y y y ∴<<． 故选：A ．【解答】解：作M H D E ⊥于H ，如图， 四边形ABCD 为正方形，1AB AD ∴==，90B BAD ADC ∠=∠=∠=︒，正方形ABCD 绕点A 逆时针旋转30︒到正方形AEFG 的位置， 1AE AB ∴==，130∠=︒，90AEF B ∠=∠=︒， 260∴∠=︒，AED ∴∆为等边三角形，3460∴∠=∠=︒，1DE AD ==， 5630∴∠=∠=︒，M DE ∴∆为等边三角形，12DH EH ∴==，在Rt MDH ∆中，12MH ===，112MDE S ∆∴=⨯=．故选：D ．【解答】解：连结MF ，如图， M 是AC 的中点，EF FC =， MF ∴为CEA ∆的中位线， 2AE M F ∴=，//AE MF ， //NE MF ， ∴1BN BE NM EF ==，12NE BE MF BF ==， BN NM ∴=，2MF NF =，设BN a =，NE b =，则NM a =，2MF b =，4AE b =， 3AN b ∴=， //AN MF ，∴3322NQ AN b QM MF b ===， 35NQ a ∴=，25QM a =，32::::5:3:255BN NQ QM a a a ∴==．故选：C ．【解答】解：点P 是动点， BP ∴与AP 不一定相等，BOP ∴∆与AOP ∆不一定全等，故①不正确； 设(,)P m n ， //BP y ∴轴，12(,)B m m ∴，12||BP n m∴=-，1121|||12|22BOP S n m mn m ∆∴=-⨯=-//PA x 轴， 12(A n ∴，)n ，12||AP m n∴=-，1121|||12|22AOP S m n mn n ∆∴=-⨯=-， AOP BOP S S ∆∆∴=，故②正确；如图，过点P 作PF OA ⊥于F ，PE OB ⊥于E ，12AOP S OA PF ∆∴=⨯，12BOP S OB PE ∆=⨯，AOP BOP S S ∆∆=，OB PE OA PF ∴⨯=⨯， OA OB =， PE PF ∴=，PE OB ⊥，PF OA ⊥，OP ∴是AOB ∠的平分线，故③正确；如图1，延长BP 交x 轴于N ，延长AP 交y 轴于M ， AM y ∴⊥轴，BN x ⊥轴， ∴四边形OMPN 是矩形，点A ，B 在双曲线12y x=上，6AMO BNO S S ∆∆∴==， 4BOP S ∆=，2PMO PNO S S ∆∆∴==， 4OMPN S ∴=矩形，4mn ∴=，4m n∴=， 12|||3|2||BP n n n n m∴=-=-=，128||||AP m n n =-=， 1182||822||APB S AP BP n n ∆∴=⨯=⨯⨯=，故④错误；∴正确的有②③， 故选：B ．二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分．【解答】解：41333x y y ++==， ∴13x y =， 故答案为：13【解答】解：点C 是线段AB 的黄金分割点，当AC BC >时，51512AC AB -==-， 当AC BC <时，51352AC AB AB -=-=-， 故答案为：51-或35-． 【解答】解：设22a b x +=，22222()4()5a b a b +++=可化为：2450x x +-=， 因式分解得：(1)(5)0x x -+=， 可得：10x -=或50x +=， 解得：11x =，25x =-，221a b ∴+=或225a b +=-（舍去）， 则221a b +=． 故答案为：1【解答】解：设点D 坐标为(,)a b ， 点D 为OB 的中点， ∴点B 的坐标为(2,2)a b ， 4k ab ∴=，又AC y ⊥轴，A 在反比例函数图象上， A ∴的坐标为(4,)a b ， 43AD a a a ∴=-=， AOD ∆的面积为3， ∴1332a b ⨯⨯=， 2ab ∴=，4428k ab ∴==⨯=． 故答案为：8【解答】解：//MP BD ， ∴MP APBD AB=， 同理，NQ BQAC AB =， AC BD =， AP BQ ∴=，设AP BQ x ==，则220AB x =+， //NQ ACBQN BAC ∴∆∆∽，∴NQ BQ CA BA =，即1.59220xx =+， 解得：5x =．则两路灯之间的距离是252030m ⨯+=． 故答案为：30．【解答】解：阴影部分的面积与正方形ABCD 的面积之比为2:3，∴阴影部分的面积为2963⨯=，∴空白部分的面积为963-=，由CE DF =，BC CD =，90BCE CDF ∠=∠=︒，可得BCE CDF ∆≅∆，BCG ∴∆的面积与四边形DEGF 的面积相等，均为13322⨯=，CBE DCF ∠=∠，90DCF BCG ∠+∠=︒，90CBG BCG ∴∠+∠=︒，即90BGC ∠=︒，设BG a =，CG b =，则1322ab =，又2223a b +=，2229615a ab b ∴++=+=， 即2()15a b +=， 15a b ∴+=，即15BG CG +=，BCG ∴∆的周长153=+，故答案为：153+．三、解答题：本大题共66分．注意：解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算过程． 【解答】解：（1）(2)(3)216x x x ++=+， 256216x x x ++=+， 23100x x +-=， (2)(5)0x x -+=，解得12x =，25x =-；（2）若0a b c ++≠，由等比定理有1a b c a b c a b c a b c a b c a b cc b a a b c+--+-+++-+-+-++====++， 所以a b c c +-=，a b c b -+=，a b c a -++=，于是有()()()2228a b b c c a c b aabc abc+++==．若0a b c ++=，则a b c +=-，b c a +=-，c a b +=-，于是有()()()()()()1a b b c c a c a b abc abc+++---==-．【解答】解：（1）扇形统计图中“良好”所对应的圆心角度数是：36040%144︒⨯=︒， 故答案为：144︒，合格的有：1640%1216210÷---=（人)， 补全的条形统计图如右图所示；（2）成绩未达到良好的有：1260018040⨯=（名)， 答：成绩未达到良好的有180名；（3）如下图所示，∴甲、乙两人恰好分在同一组的概率是41164=， 即甲、乙两人恰好分在同一组的概率是14． 【解答】（1）证明：当0m =时，原方程为220x -+=， 解得：1x =，∴当0m =时，方程有解；当0m ≠时，△222[(2)]4244(2)0m m m m m =-+-⨯=-+=-， ∴当0m ≠时，方程2(2)20mx m x -++=有解． 综上：无论m 为何值，方程总有实数根；（2）解：方程有两个不相等的实数根α，β，2m m αβ+∴+=，2mαβ=． 112αβαβαβ++==，即222m +=， 解得：6m =．【解答】证明：（1）将ADF ∆绕点A 顺时针旋转90︒后，得到ABQ ∆， QB DF ∴=，AQ AF =，BAQ DAF ∠=∠， 45EAF ∠=︒，45DAF BAE ∴∠+∠=︒，45QAE ∴∠=︒，QAE FAE ∴∠=∠，在AQE ∆和AFE ∆中AQ AF QAE FAE AE AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()AQE AFE SAS ∴∆≅∆，AEQ AEF ∴∠=∠，EA ∴是QED ∠的平分线；（2）由（1）得AQE AFE ∆≅∆，QE EF ∴=，在Rt QBE ∆中，222QB BE QE +=，又QB DF =，222EF BE DF ∴=+．【解答】解：设储藏x 星期出售这批农产品可获利122000元，由题意得(1200200)(802)160064000122000x x x +⨯---=， 解得：1215x x ==．答：储藏15星期出售这批农产品可获利122000元．【解答】解：（1）把(4,2)A -代入m y x =，得2(4)8m =⨯-=-， 所以反比例函数解析式为8y x=-， 把(,4)B n -代入8y x=-，得48n -=-， 解得2n =，把(4,2)A -和(2,4)B -代入y kx b =+，得4224k b k b -+=⎧⎨+=-⎩， 解得12k b =-⎧⎨=-⎩， 所以一次函数的解析式为2y x =--；（2）2y x =--中，令0y =，则2x =-， 即直线2y x =--与x 轴交于点(2,0)C -，112224622AOB AOC BOC S S S ∆∆∆∴=+=⨯⨯+⨯⨯=；（3）由图可得，不等式0m kx b x+->的解集为：4x <-或02x <<．【解答】解：（1）①如图1，四边形ABCD 是矩形， 90C D ∴∠=∠=︒，1390∴∠+∠=︒，由折叠可得90APO B ∠=∠=︒， 1290∴∠+∠=︒，23∴∠=∠，又D C ∠=∠，OCP PDA ∴∆∆∽；②如图1，OCP ∆与PD A ∆的面积比为1:4， ∴1142OP CP PA DA ===， 142CP AD ∴==， 设OP x =，则8CO x =-， 在Rt PCO ∆中，90C ∠=︒，由勾股定理得222(8)4x x =-+， 解得：5x =，210AB AP OP ∴===，∴边AB 的长为10；（2）作//MQ AN ，交PB 于点Q ，如图2， AP AB =，//MQ AN ，APB ABP MQP ∴∠=∠=∠． MP MQ ∴=，BN PM =，BN QM ∴=．MP MQ =，ME PQ ⊥，12EQ PQ ∴=． //MQ AN ，QMF BNF ∴∠=∠，在MFQ ∆和NFB ∆中，QFM NFB QMF BNF MQ BN ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()MFQ NFB AAS ∴∆≅∆．12QF QB ∴=， 111222EF EQ QF PQ QB PB ∴=+=+=， 由（1）中的结论可得：4PC =，8BC =，90C ∠=︒， 228445PB ∴=+=，1252EF PB ∴==， ∴在（1）的条件下，当点M 、N 在移动过程中，线段EF 的长度不变，它的长度为25．。

北师大版九年级上册数学期中考试试题一、选择题。

（每小题只有一个正确答案）1．下列命题中，真命题是（ ）A ．两条对角线垂直的四边形是菱形B ．对角线垂直且相等的四边形是正方形C ．两条对角线相等的四边形是矩形D ．两条对角线相等的平行四边形是矩形 2．如图，菱形ABCD 中，B 60∠=，AB=4，则以AC 为边长的正方形ACEF 的周长为（ ）A ．14B ．15C ．16D ．173．若关于x 的一元二次方程kx 2﹣2x+1＝0有两个不相等的实数根，则实数k 的取值范围是 A ．k ＞1 B ．k ＜1 C ．k ＞1且k≠0 D ．k ＜1且k≠0 4．一个袋子里装有8个球，其中6个黄球2个红球，这些球除颜色外，形状、大小、质地等完全相同．搅匀后，在看不到球的条件下，随机从这个袋子中摸出一个红球的概率是（ ） A ．18 B ．16 C ．14 D ．345．某农机厂四月份生产零件50万个，第二季度共生产零件182万个.设该厂五、六月份 平均每月的增长率为x ，那么x 满足的方程是（ ）A 、250(1+x)=182B ．50+50(1+x)+250(1+x)=182C 、50(1+2x)＝182D ．50+50(1+x)(1+2x)=1826．矩形具有而菱形不具有的性质是( )A ．对角线相等B ．两组对边分别平行C ．对角线互相平分D ．两组对角分别相等7．顺次连接菱形各边中点所得的四边形一定是( )A ．等腰梯形B ．正方形C ．平行四边形D ．矩形 8．用配方法解方程2250x x --=时，原方程应变形为（ ）A ．()216x +=B ．()216x -=C ．()229x +=D ．()229x -= 9．如图，下列条件之一能使平行四边形ABCD 是菱形的为（ ）①AC BD ⊥；②90BAD ∠=；③AB BC =；④AC BD =．A ．①③B ．②③C ．③④D ．①②③二、填空题 10．已知菱形ABCD 的面积是12cm 2，对角线AC ＝4cm ，则菱形的边长是______cm ． 11．方程(x ＋2)(x －1)=0的解为___________________．12．已知23m p n q ==(n+q≠0)，则m p n q++＝_______________． 13．如图，在矩形ABCD 中，对角线AC ，BD 交于点O ，已知∠AOD=120°，AB=2.5，则AC 的长为 。

北师大版九年级上册数学期中考试试题一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）1．若△ABC∽△DEF，相似比为3：2，则对应高的比为（）A．3：2 B．3：5 C．9：4 D．4：92．一个布袋里装有3个红球、2个白球，每个球除颜色外均相同，从中任意摸出一个球，则摸出的球是白球的概率是（）A．B．C．D．3．已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论中不正确的是（）A．当AB=BC时，它是菱形B．当AC⊥BD时，它是菱形C．当∠ABC=90°时，它是矩形 D．当AC=BD时，它是正方形4．对一元二次方程x2﹣ax=3进行配方时，两边同时加上（）A．）2B．C．D．a25．已知x：y=3：2，则下列各式中不正确的是（）A． B． C． D．6．在一个不透明的袋中，有若干个白色乒乓球和4个黄色乒乓球，每次将球搅拌均匀后，任意摸出一个球记下颜色再放回袋中，通过大量重复摸球实验后发现，摸到黄球的频率稳定在40%，那么，估计袋中白色乒乓球的个数为（）A．6 B．8 C．10 D．127．如图，△ABC中，DE∥BC，AD=5，BD=10，DE=4，则BC的值为（）A．24 B．12 C．8 D．68．若方程3（x﹣7）（x﹣2）=k的根是7和2，则k的值为（）A．0 B．2 C．7 D．2或79．如图，在菱形ABCD中，∠BAD=80°，AB的垂直平分线交对角线AC于点F，点E为垂足，连接DF，则∠CDF为（）A．80°B．70°C．65°D．60°10．关于x的方程m（x+h）2+k=0（m，h，k均为常数，m≠0）的解是x1=﹣3，x2=2，则方程m（x+h﹣3）2+k=0的解是（）A．x1=﹣6，x2=﹣1 B．x1=0，x2=5 C．x1=﹣3，x2=5 D．x1=﹣6，x2=2二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共211．一元二次方程x2+2x+a=0有实根，则a的取值范围是．12．已知菱形两条对角线的长分别为5cm和8cm，则这个菱形的面积是cm2．13．如图，身高为1.8米的某学生想测量学校旗杆的高度，当他站在B处时，他头顶端的影子正好与旗杆顶端的影子重合，并测得AB=2米，BC=18米，则旗杆CD的高度是米．14．某公司4月份的利润为160万元，要使6月份的利润达到250万元，则平均每月增长的百分率是．15．在正方形ABCD中，O是对角线AC、BD的交点，过O作OE⊥OF，分别交AB、BC于E、F，若AE=4，CF=3，则EF的长为．16．如图，矩形ABCD中，由8个面积均为1的小正方形组成的L型模板如图放置，则矩形ABCD的面积为．三、解答题（本大题共9小题，共86分）17．8分）解方程：（1）x2﹣3x=0（2）3x2+2x﹣5=0．18．8分）如图，在已知的平面直角坐标系中，△ABC的顶点都在正方形网格的格点上，若A，B两点的坐标分别是A（﹣1，0），B（0，3）．（1）以点O为位似中心，与△ABC位似的△A1B1C1满足A1B1：AB=2：1，请在网格内画出△A1B1C1；（2）A1的坐标是，C1的坐标是．19．8分）如图△ABC与△CDE都是等边三角形，点E、F分别在AC、BC上，且EF∥AB．（1）求证：四边形EFCD是菱形；（2）设CD=4，求D、F两点间的距离．20．（8分）如图，某校在开展积极培育和践行社会主义核心价值观的活动中，小光同学将自己需要加强的“文明”、“友善”、“法治”、“诚信”的价值取向文字分别贴在4张质地、大小完全一样的硬纸板上，制成卡片，随时提醒自己要做个遵纪守法的好学生．小光同学还把卡片编成一道数学题考同桌小亮：将这4张卡片洗匀后背面朝上放在桌子上，从中随机抽取一张卡片，不放回，再随机抽取另一张卡片，让小亮同学用列表法或画树状图法，求出两次抽到卡片上的文字含有“文明”、“诚信”价值取向的概率（卡片名称可用字母表示）．21．8分）已知关于x的一元二次方程（x﹣2）2=3m﹣1有两个不相等的实数根，求m 的取值范围．22．10分）如图，四边形ABCD中，AC平分∠DAB，∠ADC=∠ACB=90°，E为AB 的中点，连接CE，连接DE交AC于F．（1）求证：△ADC∽△ACB；（2）若AD=4，AB=6，求的值．23．（10分）某超市在销售中发现：“宝宝乐”牌童装进价为60元，当定价为100元时，平均每天可售出20件，为了迎接“十一”国庆节，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现：如果每件童装降价5元，那么平均每天就可多售出10件，要想平均每天盈利1200元，那么每件童装应该降价多少元？24．（12分）邻边不相等的平行四边形纸片，剪去一个菱形，余下一个四边形，称为第一次操作；在余下的四边形纸片中再剪去一个菱形，又剩下一个四边形，称为第二次操作；…依此类推，若第n次操作后，余下的四边形是菱形，则称原平行四边形为n阶准菱形，例如：如图1，▱ABCD中，若AB=1，BC=2，则▱ABCD为1阶准菱形．（1）理解与判断：邻边长分别为1和3的平行四边形是阶准菱形；邻边长分别为3和4的平行四边形是阶准菱形；（2）操作、探究与计算：①已知▱ABCD的邻边长分别为2，a（a＞2），且是3阶准菱形，请画出▱ABCD及裁剪线的示意图，并在图形下方写出a的值；②已知▱ABCD的邻边长分别为a，b（a＞b），满足a=7b+r，b=4r，请写出▱ABCD是几阶准菱形．25．1如图1，在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=8cm，E、F分别是AB、BD的中点，连接EF，点P从点E出发，沿EF方向匀速运动，速度为1cm/s，同时，点Q从点D 出发，沿DB方向匀速运动，速度为2cm/s，当点P停止运动时，点Q也停止运动．连接PQ，设运动时间为t（0＜t＜4）s，解答下列问题：（1）求证：△BEF∽△DCB；（2）当点Q在线段DF上运动时，若△PQF的面积为0.6cm2，求t的值；（3）如图2过点Q作QG⊥AB，垂足为G，当t为何值时，四边形EPQG为矩形，请说明理由；（4）当t为何值时，△PQF为等腰三角形？试说明理由．参考答案一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）1．A；2．C；3．D；4．A；5．D；6．A；7．B；8．A；9．D；10．B；二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共211．a≤1；12．20；13．18；14．25%；15．5；16．；三、解答题（本大题共9小题，共86分）17．18．19．20．21．22．23．24．25．。

2023-2024学年北师大新版九年级上册数学期中复习试卷一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）1．若一元二次方程x2+px+2p＝0的一个根为2，则p的值为（ ）A．1B．2C．﹣1D．﹣22．如图，在离某围墙AB的6米处有一棵树CD，在某时刻2米长的竹竿垂直地面，太阳光下的影长为3米，此时，树的影子有一部分映在地面上，还有一部分影子映在墙上AE处，墙上的影高为4米，那么这棵树高约为（ ）米．A．6B．8C．9D．103．两名同学在一次用频率估计概率的试验中统计了某一结果出现的频率，绘制出统计图如图所示，则符合这一结果的试验可能是（ ）A．抛一枚硬币，正面朝上的概率B．掷一枚正六面体的骰子，出现1点的概率C．转动如图所示的转盘，转到数字为奇数的概率D．从装有2个红球和1个蓝球的口袋中任取一个球恰好是蓝球的概率4．如图是某几何体的三视图，该几何体是（ ）A．正方体B．圆锥C．四棱柱D．圆柱5．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于O点，E，F分别是AB，BC边的中点，连接EF．若EF＝，BD＝4，则菱形ABCD的周长为（ ）A．4B．C．4D．286．如图，矩形ABCD中，BD＝2，AB在x轴上．且点A的横坐标为﹣1，若以点A为圆心，对角线AC的长为半径作弧交x轴的正半轴于M，则点M的坐标为（ ）A．（2+，0）B．（2+1，0）C．（2﹣1，0）D．（2，0）7．下列一元二次方程中，无实数根的是（ ）A．x2﹣2x﹣3＝0B．x2+3x+2＝0C．x2﹣2x+1＝0D．x2+2x+3＝0 8．已知一元二次方程x2﹣8x+c＝0有一个根为2，则另一个根为（ ）A．10B．6C．8D．﹣29．如图，EB为驾驶员的盲区，驾驶员的眼睛点P处与地面BE的距离为1.6米，车头FACD 近似看成一个矩形，且满足3FD＝2FA，若盲区EB的长度是6米，则车宽FA的长度为（ ）米．A．2B．C．D．10．如图，四边形ABCD是正方形，以CD为边作等边△CDE，BE与AC相交于点M，则下列结论中：①BM＝DM；②∠BEC＝∠MDC＝15°；③∠AMD的度数是75°；④△AMB≌△AMD≌△EMD．正确的有（ ）个．A．1B．2C．3D．4二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）11．在△ABC中，点D，E分别在边AB和AC上，且DE∥BC，如果AD＝2，DB＝4，AE＝3，那么AC＝ ．12．今年五月上旬我市空气质量指数如下表，省外某单位组织了一次退休职工到我市旅游3天，则他们在我市旅游3天时，空气质量都是优良（空气质量指数不大于100表示空气质量优良）的概率是 ．日期12345678910空气质量指数304236588095701155610113．如图，小芸用灯泡O（看作一个点）照射一个矩形相框ABCD，在墙上形成矩形影子A'B'C'D'．现测得OA＝20cm，OA'＝50cm，相框ABCD的周长为36cm，则影子A'B'C'D'的周长为 cm．14．如图，某同学拿着一把12cm长的尺子，站在距电线杆30m的位置，把手臂向前伸直，将尺子竖直，看到尺子恰好遮住电线杆，已知臂长60cm，则电线杆的高度是 m．15．如图，已知四边形ABCD为矩形，且AB＝3，AD＝4，将矩形ABCD绕点C顺时针旋转一定角度得到矩形A'B'CD'，B'C与AD交于点O，且DO＝B'O，则AO的长为 ．三．解答题（共7小题，满分75分）16．用适当的方法解一元二次方程：（1）2x2﹣3x＝2；（2）x2+6x﹣111＝0．17．为推进社会主义新农村建设，东胜区某社区决定组建社区文体团队，现围绕“你最喜欢的文体活动项目（每人仅限一项）”，在全社区范围内随机抽取部分居民进行问卷调查，并将调查结果绘制如下两幅不完整的统计图．请你根据统计图解答下列问题：（1）扇形统计图中“纸牌”所在扇形的圆心角的度数为 ；并补全条形统计图；（2）若在“纸牌、象棋、跳棋、军棋”这四个项目中任选两项组队参加元旦节庆典活动，请用列表法或画树状图的方法，求恰好选中“象棋、军棋”这两个项目的概率．18．如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC三个顶点的坐标分别为A（﹣3，2），B（1，5），C（3，4），画出△ABC，并画出以原点O为位似中心，将△ABC三条边放大为原来的2倍后的△A1B1C1．19．操作作图如图①，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8．点D在边AC上，请用圆规和直尺作菱形DEFG，使点E、F在边AB上，点G在边BC上（不写作法，但要保留作图痕迹）．阅读理解我们把图①中的菱形DEFG称为△ABC的有一边平行于AB的内接菱形，简称AB类内接菱形．类似的可得到AB类内接矩形．若公共顶点为D的AB类内接菱形DEFG恰好以BC类内接矩形DFMC的一边为对角线，求CD的长．深入探究（1）当CD长度满足什么条件时，可作2个AB类内接菱形DEFG？说明理由；（2）直接写出AB类内接菱形DEFG面积的最大值．20．如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD是平行四边形，AD＝6，若OA，OB的长是关于x的一元二次方程x2﹣7x+12＝0的两个根，且OA＞OB．（1）直接写出：OA＝ ，OB＝ ；（2）若点E为x轴上的点，且△AOE∽△DAO．求此时点E的坐标．21．小琴的父母承包了一块荒山地种植一批香梨树，今年收获一批香梨，小琴的父母打算以m元/斤的零售价销售5000斤香梨；剩余的5000（m+1）斤香梨以比零售价低1元的批发价批给外地客商，总共的销售额为55000元．（1）小琴的父母今年共收获这种香梨多少斤？（2）批发商买回这批香梨后，零售平均每天可售出200斤，每斤盈利2元．为了加快销售和获得较好的利润，采取了降价措施，发现销售单价每降低0.1元，平均每天可多售出40斤，应降价多少元使得每天销售利润为600元？22．综合与实践问题情境：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D为斜边AB上的动点（不与点A，B重合）．操作发现：（1）如图①，当AC＝BC时，把线段CD绕点C逆时针旋转90°得到线段CE，连接DE，BE．①∠CBE的度数为 ；②探究发现AD和BE有什么数量关系，请写出你的探究过程；探究证明：（2）如图2，当BC＝2AC时，把线段CD绕点C逆时针旋转90°后并延长为原来的两倍，记为线段CE．①在点D的运动过程中，请判断AD与BE有什么数量关系？并证明；②若AC＝2，在点D的运动过程中，当△CBE的形状为等腰三角形时，直接写出此时△CBE的面积．参考答案与试题解析一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）1．解：∵一元二次方程x2+px+2p＝0的一个根为2，∴22+2p+2p＝0．∴4p＝﹣4．∴p＝﹣1．故选：C．2．解：过点A作AF∥DE交CD于点F，则DF＝AE＝4m，△CAF∽△C′CD′．∴D′C′：C′C＝CF：CA，即2：3＝CF：6．∴CF＝4．∴DC＝4+4＝8（m）．即：这棵树高8m．故选：B．3．解：A、掷一枚硬币，出现正面朝上的概率为，故此选项不符合题意；B、掷一枚正六面体的骰子，出现1点的概率为，故此选项不符合题意；C、转动如图所示的转盘，转到数字为奇数的概率为，故此选项不符合题意；D、从装有2个红球和1个蓝球的口袋中任取一个球恰好是蓝球的概率，故此选项符合题意；故选：D．4．解：该几何体的视图为一个圆形和两个矩形．则该几何体可能为圆柱．故选：D．5．解：∵E，F分别是AB，BC边上的中点，EF＝，∴AC＝2EF＝2，∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，OA＝AC＝，OB＝BD＝2，∴AB＝＝，∴菱形ABCD的周长为4．故选：C．6．解：∵四边形ABCD是矩形，∴BD＝AC＝2，由题意可知：AM＝AC＝2，∵OA＝|﹣1|＝1，∴OM＝AM﹣OA＝2﹣1，∴点M的坐标为（2﹣1，0），故选：C．7．解：在x2﹣2x﹣3＝0中，Δ＝b2﹣4ac＝（﹣2）2﹣4×1×（﹣3）＝16＞0，即该方程有两个不等实数根，故选项A不符合题意；在x2+3x+2＝0中，Δ＝b2﹣4ac＝32﹣4×1×2＝1＞0，即该方程有两个不等实数根，故选项B不符合题意；在x2﹣2x+1＝0中，Δ＝b2﹣4ac＝（﹣2）2﹣4×1×1＝0，即该方程有两个相等实数根，故选项C不符合题意；在x2+2x+3＝0中，Δ＝b2﹣4ac＝22﹣4×1×3＝﹣8＜0，即该方程无实数根，故选项D 符合题意；故选：D．8．解：设方程的另一个根为t，根据题意得2+t＝8，解得t＝6，即方程的另一个根是6．故选：B．9．解：如图，过点P作PM⊥BE，垂足为M，交AF于点N，则PM＝1.6，设FA＝x米，由3FD＝2FA得，FD＝x＝MN，∵四边形ACDF是矩形，∴AF∥CD，∴△PAF∽△PBE，∴＝，即＝，∴PN＝x，∵PN+MN＝PM，∴x+x＝1.6，解得，x＝，故选：D．10．解：∵四边形ABCD为正方形，AC为对角线，∴BC＝DC，∠BCA＝∠DCA＝45°，BC＝DC，∠BCD＝90°，在△BCM和△DCM中，，∴△BCM≌△DCM（SAS），∴BM＝DM，故结论①正确；∵△CDE为等边三角形，∴∠DCE＝60°，DC＝CE，∴BC＝CE，∴∠BEC＝∠EBC，∵∠BCE＝∠BCD+∠DCE＝90°+60°＝150°，∴°，∵△BCM≌△DCM，∴∠MBC＝∠MDC，即：∠BEC＝∠MDC＝15°；故结论②正确；∵∠MDC＝15°，∠DCA＝45°，∴∠AMD＝∠MDC+∠DCA＝60°，故结论③不正确；在△AMB和△AMD中，，∴△AMB≌△AMD（SAS），∵四边形ABCD为正方形，△CDE为等边三角形，∴AD＝ED，∠ADC＝90°，∠EDC＝60°，∵∠MDC＝15°，∴∠ADM＝∠ADC﹣∠MDC＝75°，∠EDM＝∠MDC+∠EDC＝75°，∴∠ADM＝∠EDM＝75°，在△AMD和△EMD中，，∴△AMD≌△EMD（SAS），∴△AMB≌△AMD≌△EMD，故结论④正确，综上所述：正确的结论是①②④，共有3个．故选：C．二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）11．解：∵DE∥BC，∴AD：AB＝AE：AC，∵AD＝2，DB＝4，AE＝3，∴2：6＝3：AC，∴AC＝9，故答案为：9．12．解：由表格可得，所有的可能性是：（1，2，3），（2，3，4），（3，4，5），（4，5，6），（5，6，7），（6，7，8），（7，8，9），（8，9，10），其中旅游3天，空气质量都是优良的有5种结果，所以空气质量都是优良的概率是，故答案为：．13．解：∵OA＝20cm，OA'＝50cm，∴OA：OA′＝20：50＝2：5，∵AB∥A′B′，∵∠AOB＝∠A′OB′，∴△AOB∽△A′OB′，∴AB：A′B′＝OA：OA′＝2：5，∴矩形ABCD的周长：矩形A′B′C′D′的周长为2：5，又矩形ABCD的周长为36cm，则矩形A′B′C′D′的周长为90cm．故答案为：90．14．解：如图，作AN⊥EF于N，交BC于M，∵BC∥EF，∴AM⊥BC于M，∴△ABC∽△AEF，∴，∵AM＝0.6，AN＝30，BC＝0.12，∴EF＝＝＝6（m）．答：电线杆的高度是6m．故答案为：6．15．解：∵将矩形ABCD绕点C顺时针旋转一定角度得到矩形A'B'CD'，∴AB＝CD＝3，B′C＝BC＝AD＝4，∠D＝90°．设OD＝x，则B'O＝x，OC＝4﹣x．在Rt△COD中，∵∠D＝90°，∴OC2＝OD2+CD2，即（4﹣x）2＝x2+32，解得x＝，∴AO＝AD﹣OD＝4﹣＝．故答案为：．三．解答题（共7小题，满分75分）16．解：（1）2x2﹣3x＝2，2x2﹣3x﹣2＝0，（2x+1）（x﹣2）＝0，∴2x+1＝0或x﹣2＝0，∴x1＝﹣，x2＝2；（2）x2+6x﹣111＝0，x2+6x+9＝111+9，即（x+3）2＝120，∴x+3＝，∴x1＝﹣3+2，x2＝﹣3﹣2．17．解：（1）这次参与调查的居民人数为：24÷20%＝120（人）；∴喜欢“纸牌”的人数为：120﹣24﹣15﹣30﹣9＝42（人），∴扇形统计图中“纸牌”所在扇形的圆心角的度数为360°×＝126°，故答案为：126°，补全条形图如图所示：（2）设：纸牌为A，象棋为B，跳棋为C，军棋为D，根据题意画树状图：由树状图可知：一共有12种等可能的情况，其中恰好选中“象棋、军棋”这两个项目的有2种，∴恰好选中“象棋、军棋”这两个项目的的概率是同时选中B、D的概率为＝．18．解：如图，△ABC和△A1B1C1为所作．19．解：操作作图：如图所示中的四边形DEFG为符合条件的其中一个菱形．阅读理解：符合条件的图形如图所示：∵公共顶点为D的AB类内接菱形DEFG恰好以BC类内接矩形DFMC的一边为对角线，∴DG＝GF，DC＝FM，∠C＝∠FMC＝90°＝∠FMB．∴Rt△DCG≌Rt△FMG（HL）．∴CG＝MG．∵DG∥AB，∴∠DGC＝∠B．∴△DCG≌△DMB（AAS）．∴CG＝BM．∴．∵△DCG∽△ACB，∴．即，∴DC＝2．深入探究：（1）如图所示，当点E与点A重合时，此时存在符合条件的两个菱形．在Rt△ABC中，．∵四边形DEFG为菱形，∵DG∥AB，∴，即．解得DC＝．如图，当DE⊥AB时，过点C作CH⊥AB，交DG于点Q，交AB于点H．在Rt△ABC中，．∵DG∥AB，∴△ABC∽△DGC．∴．即，∴．∴．即，∴．∴当＜CD≤时，可作2个AB类内接菱形DEFG．（2）如图，过点C作CH⊥AB于点H，交DG于点Q．∵四边形DEFG为菱形，设DG＝x，∵DG∥AB，∴△ABC∽△DGC．∴．即，∴CQ＝．则QH＝．∴S菱形DEFG＝DG×CH＝．配方得．当点F与点B重合时，可求得DG＝，由（1）可知：．在此范围内S菱形DEFG随x的增大而增大，∴当x＝时，S菱形DEFG最大，最大值为．∴AB类内接菱形DEFG面积的最大值为．20．解：（1）方程x2﹣7x+12＝0，分解因式得：（x﹣3）（x﹣4）＝0，可得：x﹣3＝0，x﹣4＝0，解得：x1＝3，x2＝4，∵OA＞OB，∴OA＝4，OB＝3；故答案为4，3；（2）设点E的坐标为（m，0），则OE＝|m|，∵△AOE∽△DAO，∴＝，∴＝，∴|m|＝，∴m＝±，∴点E的坐标为：（，0）或（﹣，0）．21．解：（1）依题意，得5000m+（m﹣1）×5000（m+1）＝55000，整理，得m2+m﹣12＝0，解得：m1＝3，m2＝﹣4（不合题意，舍去），∴5000+5000（m+1）＝25000．答：小琴的父母今年共收获这种香梨25000斤．（2）设降价x元，则每斤的利润为（2﹣x）元，每天的销售量为200+＝（200+400x）斤，依题意，得（2﹣x）（200+400x）＝600，整理，得2x2﹣3x+1＝0，解得：x1＝0.5，x2＝1，又∵为了加快销售，∴x＝1．答：应降价1元使得每天销售利润为600元．22．解：（1）①∵线段CD绕点C逆时针旋转90°得到线段CE，∴∠DCE＝90°，DC＝CE，∵∠ACB＝90°，∴∠ACD＝∠BCE，∵AC＝BC，∴△ACD≌△BCE（SAS），∴∠CBE＝∠CAD＝45°，故答案为：45°；②AD＝BE，理由如下：由①知△ACD≌△BCE，∴AD＝BE；（2）①，理由如下：∵BC＝2AC，CE＝2CD，∴，∵∠ACB＝∠DCE＝90°，∴∠ACD+∠DCB＝∠DCB+∠BCE，∴∠ACD＝∠BCE，∴△ACD∽△BCE，∴，∴；②过C作CF⊥AB于F，CG⊥BE于G，如图：∵AC＝2，BC＝2AC，∴BC＝4，AB＝＝2，∴sin∠ABC＝＝＝＝，cos∠ABC＝＝＝，∴＝，＝，∴CF＝，BF＝，∵四边形CGBF是矩形，∴CG＝BF＝，BG＝CF＝，（Ⅰ）当CB＝CE时，如图：∴BE＝2BG＝，∴△CBE的面积为××＝；（Ⅱ）当BC＝BE时，如图：此时BE＝BC＝4，∵CG＝BF＝，∴△CBE的面积为×BE•CG＝×4×＝（Ⅲ）当CE＝BE时，如图：设BE＝CE＝t，则EG＝t﹣，在Rt△CEG中，t2＝（）2+（t﹣）2，解得t＝2，∴BE＝2，∴△CBE的面积为CG•BE＝××2＝8，综上所述，△CBE的面积为或或8．。

北师大版九年级上册数学期中考试试题一、单选题1．若用配方法解一元二次方程22310x x --=时，下列变形正确的为（）A ．2317416x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭B ．23142x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭C ．231324x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭D ．2317416x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭2．如果点C 是线段AB 延长线上的—点，且:5:2AC BC =，那么:AB BC 等于（）A ．5：2B ．1：2C ．3：2D ．2：33．已知关于x 的一元二次方程x 2+bx ﹣1＝0，则下列关于该方程根的判断，正确的是（）A ．有两个不相等的实数根B ．有两个相等的实数根C ．没有实数根D ．实数根的个数与实数b 的取值有关4．下列各选项：①两个边长不等的等边三角形；②两个边长不等的正方形；③两个边长不等的菱形；④两个斜边不等的等腰直角三角形，其中的两个图形一定相似的有（）A ．①②B ．①②③C ．①②④D ．①②③④5．小明与小刚一起玩抛掷两枚硬币的游戏，游戏规则：抛出两个正面--小明赢1分；抛出其他结果--小刚赢1分；谁先到10分，谁就获胜．这是个不公平的游戏规则，要把它修改成公平的游戏，下列做法中错误的是（）A ．把“抛出两个正面”改为“抛出两个同面”B ．把“抛出其他结果”改为“抛出两个反面”C ．把“小明赢1分”改为“小明赢3分”D ．把“小刚赢1分”改为“小刚赢3分”6．如图，点()6,4P 在ABC 的边AC 上，以原点O 为位似中心，在第一象限内将ABC 缩小到原来的12，得到A B C '''V ，则点P 在A C ''上的对应点P '的坐标为（）A ．()2,3B ．()3,4C ．()3,2D ．()3,37．如图，直线a b ∥，直线c 与直线a 、b 都相交，从1∠，2∠，3∠，4∠这四个角中任意选取2个角，则所选取的2个角互为补角的概率是（）A ．14B ．12C ．34D ．238．一元二次方程x 2﹣4x+4=0的根的情况是（）A ．有两个不相等的实数根B ．有两个相等的实数根C ．无实数根D ．无法确定9．如图，矩形ABCD 中，对角线AC ，BD 交于O 点.若60AOB ∠=︒，8AC =，则AB 的长为（）A ．4B ．C ．3D ．510．如图，菱形ABCD 的面积为120cm 2，正方形AECF 的面积为50cm 2，则AB 的长为（）A ．9cmB ．12cmC ．13cmD ．15cm二、填空题11．已知关于x 的一元二次方程2310mx x -+=有两个实数根，则m 的取值范围是______．12．已知0234a b c ==≠，则a b c +的值为______．13．在一个不透明的口袋中装有8个红球，若干个白球，这些球除颜色不同外其它都相同，若从中随机摸出一个球，它是红球的概率为25，则白球的个数为______．14．四边形具有不稳定性，对于四条边长确定的四边形，当内角度数发生变化时，其形状也会随之改变．如图，改变正方形ABCD 的内角度数，正方形ABCD 变为菱形ABC D ''，若30BAD '∠=︒，且菱形ABC D ''的面积为16，则正方形ABCD 的面积为______．15．如图，是两个可以自由转动的转盘，转盘各被等分为三个扇形，并分别标有2、3、4和6、7、8这6个数字，如果同时转动这两个转盘各一次（指针落在等分线上重转），转盘停止后，则指针指向的数字之和为奇数的概率为______．16．如图，矩形ABCD 的边CD 上有一点E ，22.5DAE ∠=︒，EF AB ⊥，垂足为F ，将AEF 绕着点F 顺时针旋转，使得点A 的对应点M 落在EF 上，点E 恰好落在点B 处，连接BE ．下列结论：①BM AE ⊥；②四边形EFBC 是正方形；③30EBM ∠=︒；④AB BE =，其中结论正确的为______．（填写序号即可）三、解答题17．用适当的方法解方程：2212033x x +-=18．已知关于x 的一元二次方程210(0)ax bx a ++=≠有两个相等的实数根，求222(2)4ab a b +--的值．19．一枚质地均匀的正方体骰子，六个面上分别标有数字-3，-1，0，1，2，4这六个数，若将第一次掷出的骰子正面朝上的数记为m ，第二次掷出的骰子正面朝上的数记为n ，则点P 记作(),m n ．请用画树状图或列表法求点(),P m n 恰好落在第二象限的概率．20．在四边形ABCD 中，DC AB ∥，90DAB ∠=︒，AC BC ⊥，AC BC =，ABC ∠的平分线分别交AD 、AC 于点E 、F ，求EF BF 的值．21．某商店将进价为每件10元的商品以每件14元的价格售出，平均每天能售出220件．经市场调查发现：这种商品每件的售价每上涨1元，其销售量就将减少20件，该商店计划通过提高售价减少销售量的办法来增加利润．若物价部门规定此种商品每件利润不能超过进价的80%，且商店想要获得平均每天1080元的利润，则这种商品的售价应定为多少元？22．如图，在平行四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，以AC 为斜边的等腰直角三角形AEC 的边CE 与AD 交于点F ，连接OE ，使得OE OD =．在AD 上截取AH CD =，连接EH 、ED ．（1）判断四边形ABCD 的形状，并说明理由；（2）若2AB =，6BC =，求EH 的长．23．如图，菱形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，过点D 作DE AC ∥且12DE AC =，连接AE 交OD 于点F ，连接OE ．（1）求证：OE AB =；（2）若菱形ABCD 的边长为4，60ABC ∠=︒，求AE 的长．24．已知四边形ABCD 是正方形，点P 在线段BC 上，点G 在线段AD 上（P 、G 不与正方形顶点重合，且在CD 的同侧），PD PG =，DF PG ⊥于点H ，交直线AB 于点F ，将线段PG 绕点P 逆时针旋转90°得到线段PE ，连接EF ．（1）求证：DF PG =；（2）求证：四边形PEFD 是菱形；（3）若3AB =，1PC =．求四边形PEFD 的面积．25．如图，在ABC 和ADE 中，AB AC =，AD AE =，且BAC DAE ∠=∠，线段AC 与DE 交于点G ，连接BD ，CE ．（1）如图1，当B ，D ，E 三点共线时，求证：BEC DAE ∠=∠；（2）如图2，当B ，D ，E 三点不共线时，延长ED 交BC 于点F ，求证：AD CG EG FC ⋅=⋅．参考答案1．D【解析】先将常数项移到等号的右边，根据等式的性质将二次项的系数化为1，在方程两边加上一次项系数一半平方，将方程左边配成一个完全平方式即可．【详解】解：原方程变形为：2231x x -=，23122x x -=，配方为：23919216216x x -+=+，23()46171x ∴-=．故选：D ．【点睛】本题考查了运用配方法解一元二次方程的运用，配方法的解法的运用，解题的关键是熟练配方法的步骤．2．C【解析】【分析】先画出图形，设BC 为2k ，然后用k 表示出AB ，最后求出:AB BC 即可．【详解】根据题意可画出下图：:5:2AC BC = ，设2BC k =，则5AC k =，523AB AC BC k k k ∴=-=-=，:3:23:2AB BC k k ∴==．故选：C ．【点睛】本题主要考查了成比例线段，正确设出线段的长度是解题的关键．3．A【分析】先计算出判别式的值，再根据非负数的性质判断△＞0，然后利用判别式的意义对各选项进行判断．【详解】解：∵△＝b2﹣4×（﹣1）＝b2+4＞0，∴方程有两个不相等的实数根．故选：A．【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2-4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程无实数根．4．C【解析】【分析】利用相似图形的判定方法：形状相同的图形称为相似形，进而分别判断得出即可．【详解】解：①两个边长不等的等边三角形一定相似，符合题意；②两个边长不等的正方形一定相似，符合题意；③两个边长不等的菱形的对应角不一定相等，故两个菱形不一定相似，不符合题意；④两个斜边不等的等腰直角三角形一定相似，符合题意；故选：C．【点睛】考查了相似图形的定义，解题的关键是了解对应角相等，对应边成比例的图形相似，难度不大．5．D【解析】【详解】解：如图，因为p （正，正）=14，则出现其他结果的概率为：34．A ．根据出现抛出两个相同面的概率为：12，则把“抛出两个正面”改为“抛出两个同面”正确，故此选项正确不符合题意；B ．把“抛出其他结果”改为“抛出两个反面”时，两人获胜概率都为：14，故此时公平，故此选项正确不符合题意；C ．∵小明获胜概率为：14，小刚获胜概率为：34，故把“小明赢1分”改为“小明赢3分”，故此时公平，故此选项正确不符合题意；D ．把“小刚赢1分”改为“小刚赢3分，此时不公平，故此选项错误符合题意；故选D ．【点睛】本题考查的是游戏公平性的判断．判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平．6．C【解析】【分析】直接利用在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k ，那么位似图形对应点的坐标的比等于k 或-k ，进而结合已知得出答案．【详解】解：∵点()6,4P 在△ABC 的边AC 上，以原点O 为位似中心，在第一象限内将△ABC 缩小到原来的12，得到△A′B′C′，∴点P 在A′C′上的对应点P′的的坐标为：（3，2）．故答案选C【点睛】此题主要考查了位似变换，正确得出位似比是解题关键．7．B【解析】【分析】用列表法列出所有结果数，再求出所选取的2个角互为补角结果数，即可求解．【详解】解：从1∠，2∠，3∠，4∠这四个角中任意选取2个角，列表可得：1∠2∠3∠4∠1∠1∠，2∠1∠，3∠1∠，4∠2∠2∠，1∠2∠，3∠2∠，4∠3∠3∠，1∠3∠，2∠3∠，4∠4∠4∠，1∠4∠，2∠4∠，3∠共有12种结果，其中所选取的2个角互为补角有6种结果（1∠，2∠）、（2∠，1∠）、（2∠，3∠）、（3∠，2∠）、（2∠，4∠）、（4∠，2∠）所选取的2个角互为补角的概率为61122=故选B【点睛】此题考查了列表法或树状图求概率，涉及了平行线的性质以及补角的定义，解题的关键是掌握列表法或树状图求概率的方法．8．B【解析】【分析】把a=1，b=-4，c=4代入判别式△=b2-4ac 进行计算，然后根据计算结果判断方程根的情况．【详解】解：∵一元二次方程x2-4x+4=0，∴△=（-4）2-4×1×4=0，∴方程有两个相等的实数根．故选：B ．【点睛】本题考查了根的判别式，一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0，方程有两个不相等的实数根；（2）△=0，方程有两个相等的实数根；（3）△＜0，方程没有实数根．9．A【解析】【分析】根据矩形的对角线的性质可得OB=OC，求得∠ACB=30°，利用30°角所对的直角边等于斜边的一半即可求出AB的值．【详解】∵ABCD是矩形，∴OA=OB=OC，∵∠AOB=60°，∴∠ACB=30°，∵AC=8，∴AB=1184 22AC=⨯=，故选：A．【点睛】本题考查了矩形的性质、30°角所对的直角边等于斜边的一半，熟练掌握矩形的性质，30°角所对的直角边等于斜边的一半是解题的关键．10．C【解析】【分析】根据正方形的面积求出AC的长，根据菱形的面积求出BD的长,再利用菱形的对角线互相垂直平分计算菱形的边长．【详解】解：因为正方形AECF的面积为50cm2，所以AC=10cm=因为菱形ABCD的面积为120cm2，所以BD=21202410cm ⨯=所以菱形的边长=13cm 故选C ．【点睛】此题考查正方形和菱形的性质，关键是根据正方形和菱形的面积进行解答．11．94m ≤且0m ≠【解析】【分析】由于关于x 的一元二次方程有实数根，计算根的判别式240b ac ∆=-≥，得关于m 的不等式，由于一元二次方程二次项系数不为0得出，0m ≠，求解即可．【详解】关于x 的一元二次方程2310mx x -+=有实数根，224(3)410b ac m ∴∆=-=--⨯⨯≥，且0m ≠．解得：94m ≤且0m ≠．故答案为：94m ≤且0m ≠．【点睛】本题考查的是一元二次方程的定义，一元二次方程根的判别式的应用，掌握“方程()200++=≠ax bx c a 有两个实数根，则240b ac ∆=-≥”是解题的关键.12．54【解析】【分析】设234a b c===k ，用k 表示出a 、b 、c ，代入求值即可.【详解】解：设234a b c===k 0≠，∴a=2k ，b=3k ，c=4k ，∴a b c +=234k k k +=54.故答案是：54.【点睛】本题考查了比例的性质，涉及到连比时一般假设比值为k ，这是常用的方法.13．12【解析】【分析】设该盒中白球的个数为x 个，根据意得8825x =+，解此方程即可求得答案．【详解】解：设该盒中白球的个数为x 个，根据题意得：8825x =+，解得：12x =，经检验：12x =是分式方程的解，所以该盒中白球的个数为12个，故答案为：12．【点睛】本题考查了概率公式的应用，解题的关键是掌握：概率=所求情况数与总情况数之比．14．32【解析】【分析】根据菱形ABC D ''，AB 边上的高等于AD '边的一半，得到12ABC D S AD AB '''=⋅菱形，求出AB 边的长，从而得到正方形ABCD 的面积．【详解】∵12ABC D S AD AB '''=⋅菱形，即21116=22AD AB AB '=⋅∴232AB =∴232ABCD S AB ==正方形．故填32．【点睛】本题考查了特殊三角形的性质，菱形和正方形面积公式，利用30°所对直角边等于斜边的一半求出菱形的高是解决本题的关键．15．4 9【解析】【分析】首先画树状图，根据树状图求得所有的等可能的结果与指针指向的数字和为奇数的情况，然后根据概率公式即可求得答案．【详解】画树状图得：∴一共有9种等可能的结果，指针指向的数字和为奇数的有4种情况，∴指针指向的数字和为奇数的概率是：4 9．故答案为：4 9．【点睛】本题考查用列举法求概率，画出满足题意的树状图，并灵活运用概率公式求解是解题的关键．16．①②④【解析】【分析】延长BM交AE于N，连接AM，由垂直的定义可得∠AFE＝∠EFB＝90°，根据直角三角形的两个锐角互余得∠EAF＝67.5°，从而有∠EAF+∠FBM＝90°，得到①正确；根据三个角是直角可判断四边形EFBC是矩形，再由EF＝BF可知是正方形，故②正确，计算出∠EBM ＝22.5°得③错误；由①知∠EAF＝67.5°，∠AEF＝22.5°，FB＝FE，易得∠BEA=∠EAB＝67.5°，所以AB=BE，故④正确．【详解】解：如图，延长BM交AE于N，连接AM，∵EF⊥AB，∴∠AFE＝∠EFB＝90°，∵∠DAE＝22.5°，∴∠EAF＝90°﹣∠DAE＝67.5°，∵将△AEF绕着点F顺时针旋转得△MFB，∴MF＝AF，FB＝FE，∠FBM＝∠AEF＝∠DAE＝22.5°，∴∠EAF+∠FBM＝90°，∴∠ANB＝90°，∴BM⊥AE，故①正确；∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC＝∠C＝90°，∵∠EFB＝90°，∴四边形EFBC是矩形，又∵EF＝BF，∴矩形EFBC是正方形，故②正确；∴∠EBF＝45°，∴∠EBM＝∠EBF﹣∠FBM＝45°﹣22.5°＝22.5°，故③错误；由①知∠EAF ＝67.5°，∠AEF ＝22.5°，FB ＝FE ，∴∠BEF=45°，∴∠BEA=∠AEF+∠BEF=22.5°+45°＝67.5°=∠EAB ，∴AB=BE ，故④正确．故答案为：①②④．【点睛】本题考查了矩形的性质、旋转的性质、勾股定理和正方形的判定与性质，掌握常用辅助线的添加方法，灵活运用相关知识是解题的关键．17．123,22x x ==-【解析】【分析】先将方程转化为2260x x +-=，再利用因式分解法，即可求解．【详解】解：2212033x x +-=变形为2260x x +-=，∴()()2230x x +-=，解得：123,22x x ==-．【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法，并根据方程的特征灵活选用合适的方法是解题的关键．18．4【解析】【分析】先根据一元二次方程根的判别式可得240b a -=，从而可得24b a =，再代入计算即可得．【详解】解：∵关于x 的一元二次方程210(0)ax bx a ++=≠有两个相等的实数根，∴此方程根的判别式240b a ∆=-=，即24b a =，则22224(2)4(2)44ab a aa b a a ⋅=+--+--，2244444a a a a =++--，224a a =，4=．【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式、代数式求值，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题关键．19．16【解析】【分析】根据题意通过列表法求得所有可能，再根据在第二象限的点的特点即可求得(),P m n 恰好落在第二象限的概率．【详解】列表如下，\n m3-1-01243-（3-，3-）（1-，3-）（0，3-）（1，3-）（2，3-）（4，3-）1-（3-，1-）（1-，1-）（0，1-）（1，1-）（2，1-）（4，1-）0（3-，0）（1-，0）（0，0）（1，0）（2，0）（4，0）1（3-，1）（1-，1）（0，1）（1，1）（2，1）（4，1）2（3-，2）（1-，2）（0，2）（1，2）（2，2）（4，2）4（3-，4）（1-，4）（0，4）（1，4）（2，4）（4，4）共有36中等可能结果，点(,)P m n 恰好落在第二象限的有：（3-，1）（1-，1）（3-，2）（1-，2）（3-，4）（1-，4）共6种情形∴点(),P m n恰好落在第二象限的概率为63616=．【点睛】本题考查了第二象限点的坐标特征，列表法求概率，掌握以上知识是解题的关键．201-【解析】【分析】过点F作FG⊥AB于点G，由EA∥FG，得出EFBF=GABG，又BE是∠ABC的平分线，结合AC=BC，∠ACB=90°，得到BC，即可求解本题．【详解】解：作FG⊥AB于点G，∵∠DAB=90°，∴EA∥FG，∴EFBF=GABG，∵AC⊥BC，∴∠ACB=90°，又BE是∠ABC的平分线，∴FG=FC，在和Rt BFC Rt BFG 中，BF BFFG FC =⎧⎨=⎩，≌Rt BFC Rt BFG ∴ ，∴CB=GB ，∵AC=BC ，∠ACB=90°，∴BC ，∴EF BF =GA BG －1)．【点睛】本题主要考查了平行线分线段成比例，角平分线上的点到角两边的距离相等及等腰直角三角倍，熟练掌握这几个知识点是解题的关键．21．16元【解析】【分析】设这种商品的售价应定为x 元，则每件的销售利润为(10)x -元，日销售量为(50020)x -件，根据日销售总利润=每件的销售利润⨯日销售量，即可得出关于x 的一元二次方程，解之即可得出x 的值，再结合此种商品的每件利润不能超过进价的80%，即可确定x 的值．【详解】解：设这种商品的售价应定为x 元，则每件的销售利润为(10)x -元，日销售量为22020(14)(50020)x x --=-件，依题意得：(10)(50020)1080x x --=，整理得：2353040x x -+=，解得：116x =，219x =．10(180%)18⨯+= （元)，161819<<，16x ∴=．答：这种商品的售价应定为16元．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出一元二次方程．22．（1）矩形，理由见解析；（2）【解析】（1）先根据平行四边形的性质得到OA=OC=12AC，OB=OD=12BD，再由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到OE=12AC=OA，则OA=OD，即AC=BD，由此即可证明四边形ABCD是矩形；（2）先根据平行四边形ABCD是矩形，得到AD=BC=6，∠ADC=90°，CD=AB=2，则DH=AD －AH=4，然后证明△AEH≌△CED得到EH=ED，∠AEH=∠DEC，即可推出∠HED=90°，则EH2＋ED2=DH2，由此求解即可．【详解】解：（1）四边形ABCD是矩形，理由如下：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA=OC=12AC，OB=OD=12BD，∵△AEC是等腰直角三角形，∴OE⊥AC，OE=12AC=OA，∵OE=OD，∴OA=OD，∴AC=BD，∴平行四边形ABCD是矩形；（2）∵平行四边形ABCD是矩形，∴AD=BC=6，∠ADC=90°，CD=AB=2，∵AH=CD，∴AH=2，∴DH=AD－AH=4，∵∠AEC=∠ADC=90°，∴∠DCF＋∠DFC=∠EAF＋∠AFE=90°∵∠AFE=∠DFC，∴∠DCF=∠EAF，∴△AEH≌△CED（SAS），∴EH=ED，∠AEH=∠DEC，∵∠AEH＋∠HEC=∠AEC=90°，∴∠CED＋∠HEC=∠HED=90°，∴EH2＋ED2=DH2，∴2EH2=DH2，∴【点睛】本题主要考查了矩形的性质与判定，平行四边形的性质，直角三角形斜边上的中线，全等三角形的性质与判定，勾股定理等等，解题的关键在于能够熟练掌握矩形的性质与判定条件．23．（1）见解析；（2）【解析】(1)连接EC,由菱形ABCD中，DE//AC且DE=12AC，易证得四边形OADE是平行四边形，继而可得OE=AB即可；(2)由菱形的对角线互相垂直，可证得四边形OCED是矩形，根据菱形的性质得出AC=AB，再根据勾股定理得出AE的长度即可.【详解】（1）连接EC，∵四边形ABCD是菱形∴OA=OC=12AC，AD=AB.∵DE//AC 且DE=12AC∴DE=OA=OC∴四边形OADE 、四边形OCED 都是平形四边形，∴OE=AD ，∴OE=AB ；(2)∵AC ⊥BD ，∴平行四边形OCED 是矩形，∴∠OCE=90°.∵在菱形ABCD 中，∠ABC=60°，∴△ABC 为等边三角形，∴AC=AB=4，∴AO=12AC=2，∴在矩形OCED 中，∴在Rt △ACE 中，【点睛】本题考查了菱形的性质，矩形的判定与性质，勾股定理的应用．注意证得四边形OADE 是平行四边形，四边形OCED 是矩形是关键;24．（1）见解析；（2）见解析；（3）8【解析】【分析】（1）根据四边形ABCD 为正方形得AD ＝AB ，由四边形ABPM 为矩形得AB ＝PM ，则AD ＝PM ，再利用等角的余角相等得到∠GDH ＝∠MPG ，于是可根据“ASA”证明△ADF ≌△MPG ，得到DF ＝PG ；（2）如图2中，作PM ⊥AD 于M ．则四边形CDMP 是矩形，CD ＝PM ，由△ADF ≌△MPG ，推出DP ＝PG ＝PE ＝PD ，再证明DF ∥PE ，推出四边形PEFD 是平行四边形，由PD ＝PE ，即可证明四边形PEFD 是菱形．（3）利用旋转的性质得∠EPG ＝90°，PE ＝PG ，所以PE ＝PD ＝DF ，再利用DF ⊥PG 得到DF ∥PE ，于是可判断四边形PEFD 为平行四边形，根据勾股定理得到PD，DF ＝PG ＝PDGH ＝5，于是得到结论．【详解】（1）证明：∵四边形ABCD 是正方形，∴AD＝CD，∠A＝∠C＝∠ADC＝90°，∵DF⊥PG，∴∠DHG＝90°，∴∠HGD+∠ADF＝90°，∠CDP+∠PDG＝90°，∵PD＝PG，∴∠PGD＝∠PDG，∴∠ADF＝∠CDP，∴△ADF≌△CDP（ASA），∴DF＝DP，∵PD＝PG，∴DF＝PG．(2)如图，过点P作PM⊥AD于点M，则四边形CDMP是矩形，∵线段PG绕点P逆时针旋转90°得到线段PE，∴∠EPG＝90°，PE＝PG，∴PE＝PD＝DF而DF⊥PG，∴DF∥PE，且DF＝PE，∴四边形PEFD为平行四边形，∵DF＝PD，∴四边形PEFD为菱形．（3）在Rt△DCP中，CD=AB=3，PC=1，31 10，∴22易知DM=MG=PC=1，.DG=2DM=2，∵∠PMG=∠DHG=90°，∠DGH=∠PGM，∴△DHG∽△PMG，∴DGPG=GHMG1GH，∴∴PH=PG－，由（1）知DF=PG，∴四边形PEFD的面积=8．【点睛】本题属于四边形综合题，考查了旋转变换、等腰三角形的性质、正方形的性质、全等三角形的判定和性质、菱形的判定、相似三角形的性质和判定等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．．25．（1）见解析；（2）见解析【解析】【分析】（1）由已知，结合等式的基本性质，易证△BAD≌△CAE，又∵当B，D，E三点共线时，∠AGB=∠EGC，∴∠BAC=∠BEC，∴∠BEC=∠DAE；（2）由题意，结合∠BAC=∠DAE，易证△BAC∽△DAE，又∠AGE=∠FGC，得到△AEG∽△FCG，故AEFC=EGCG，即AE·CG=EG·FC，结合AD=AE，故AD·CG=EG·FC．【详解】解：(1)证明：∵∠BAC=∠DAE，∴∠BAC－∠DAC=∠DAE－∠DAC，∴∠BAD=∠CAE，又∵AB=AC，AD=AE，∴△BAD≌△CAE，∴∠ABD=∠ACE，又∵当B，D，E三点共线时，∠AGB=∠EGC，∴∠BAC=∠BEC，∴∠BEC=∠DAE；(2)证明：∵AB=AC，AD=AE，∴ABAD=ACAE，又∠BAC=∠DAE，∴△BAC∽△DAE，∴∠AED=∠ACB，又∠AGE=∠FGC，∴△AEG∽△FCG，∴AEFC=EGCG，即AE·CG=EG·FC，又AD=AE，∴AD·CG=EG·FC．【点睛】本题考查的主要是全等三角形和相似三角形的综合应用，熟练使用相关的性质和判定，进行等量的转换是解题的关键．。

北师大版九年级上册数学期中考试试题一、单选题(共36分)1．(本题3分)如图，下列四个几何体中，它们各自的三视图（主视图、左视图、俯视图）有两个相同，而另一个不相同的几何体是（）A．①②B．②③C．②④D．③④2．(本题3分)将如图所示的Rt△ACB绕直角边AC旋转一周，所得几何体的主视图（正视图）是（）A．B．C．D．3．(本题3分)在如图所示的图形中，形状相同的是（）A．图①与图②B．图②与图③C．图②与图④D．图①与图④4．(本题3分)如图所示，在△ABC中，AB＝6，AC＝4，P是AC的中点，过P点的直线交AB于点Q，若以A、P、Q为顶点的三角形和以A、B、C为顶点的三角形相似，则AQ的长为()A ．3B ．3或43C ．3或34D ．435．(本题3分)如图，DE 是△ABC 的中位线，延长DE 至F 使EF=DE ，连接CF ，则CEF BCED S S 四边形：的值为（）A ．1：3B ．2：3C ．1：4D ．2：56．(本题3分)如图，菱形ABCD 中，点M ，N 在AC 上，ME ⊥AD ，NF ⊥AB ．若NF =NM=2，ME =3，则AN =A ．3B ．4C ．5D ．67．(本题3分)如图，是由6个棱长为1个单位的正方体摆放而成的，将正方体A 向右平移2个单位，向后平移1个单位后，所得几何体的视图（）A ．主视图改变，俯视图改变B ．主视图不变，俯视图不变C ．主视图不变，俯视图改变D ．主视图改变，俯视图不变8．(本题3分)如图所示，在长为8cm ，宽为4cm 的矩形中，截去一个矩形，使得留下的矩形(图中阴影部分)与原矩形相似，则留下矩形的面积是()A ．2cm 2B ．4cm 2C ．8cm 2D ．16cm 29．(本题3分)如图，等腰ABC 中，腰AB a =，A 36∠= ，ABC ∠的平分线交AC 于D ，BCD ∠的平分线交BD 于E ．设51k 2=，则DE =（）A ．k 2aB ．k 3aC ．2ak D ．3ak 10．(本题3分)某几何组合体的主视图和左视图为同一个视图，如图所示，则该几何组合体的俯视图不可能是（）A ．B ．C ．D ．11．(本题3分)已知a 、b 为一元二次方程2290x x +-=的两个根，那么2a a b +-的值为（）A ．11B ．0C ．7D ．-712．(本题3分)四边形ABCD 是面积为1的正方形；点P 为正方形内一点，且△PBC 为正三角形，那么△PBD 的面积是（）A ．3+1B ．3−1C ．3−2D ．3+2二、填空题(共15分)13．(本题3分)如图，在梯形ABCD 中，AD//BC ，对角线AC 、BD 相交于点O ，若AD ＝1，BC ＝3，△AOD 的面积为3，则△BOC 的面积为__________．14．(本题3分)如图是一个上下底密封纸盒的三视图，请你根据图中数据，计算这个密封纸盒的表面积为_______cm2．（结果可保留根号）15．(本题3分)如图，点D、E分别在AB、AC上，且∠ABC＝∠AED．若DE＝4，AE＝5，BC ＝8，则AB的长为________16．(本题3分)如图，有一块边长为4的正方形塑料模板ABCD，将一块足够大的直角三角板的直角顶点落在A点，两条直角边分别与CD交于点F，与CB延长线交于点E．则四边形AECF的面积是____．17．(本题3分)△ABC中，D、E分别是边AB与AC的中点，BC=4，下面四个结论：①DE=2；②△ADE∽△ABC；③△ADE的面积与△ABC的面积之比为1：4；④△ADE的周长与△ABC 的周长之比为1：4；其中正确的有_____．（只填序号）三、解答题(共69分)18．(本题7分)如图，PN BC ∥；AD BC ⊥，交PN 于点E ，交BC 于点D ．（1）若12AP PB =，218cm ABC S =△，求APN S △的值.（2）若1=2APN PBCN S S 四边形△，求AE AD的值.（3）若15BC =cm ，10AD =cm ，且PN ED x ==cm ，求x 的值.19．(本题7分)四张形状相同的卡片如图，将卡片洗匀后背面朝上放置在桌面上，小明先随机抽取一张卡片，记下数字为x ；小亮再随机抽一张卡片，记下数字为y.两人在此基础上共同协商一个游戏规则：当x y >时小明获胜，否则小亮获胜.（1）若小明抽出的卡片不放回，求小明获胜的概率.（2）若小明抽出的卡片放回后小亮再随机抽取，问他们制定的游戏规则公平吗？请说明理由.20．(本题7分)用小立方体搭一个几何体，使它的主视图和俯视图如图所示，俯视图中小正方形中字母表示在该位置小立方体的个数，请解答下列问题：（1）求,,a b c 的值；（2）这个几何体最少有几个小立方体搭成，最多有几个小立方体搭成；（3）当2,1,2d e f ===时画出这个几何体的左视图.21．(本题8分)如图，现有一物体CD 在路灯AB 的灯泡（图上点A 处）的照射下，影子顶端正好落在墙脚的点Q 处.已知路灯AB 距物体CD 7.5m ，物体CD 的高为3m ，其影子长为5m.假如另有一高6m 的物体EF 在路灯AB 与物体CD 之间，EF 距路灯AB 2.9m ，问物体EF 的影子是否会落在墙PQ 上.22．(本题8分)（2013衡阳）如图，P 为正方形ABCD 的边AD 上的一个动点，AE ⊥BP ，CF ⊥BP ，垂足分别为点E 、F ，已知AD ＝4．证明：AE 2＋CF 2的值是一个常数．23．(本题8分)如图，在ABC 中，90B ∠=︒，6AB =cm ，3BC =cm ，点P 从点A 开始沿着AB 边向点B 以1cm/s 的速度移动，点Q 从点B 开始沿BC 边向点C 以2cm/s 的速度移动.如果点P 、点Q 分别从点A 、点B 同时出发，只要点P 、点Q 有一点到达△ABC 的顶点便同时停止运动，经过多长时间，点P 、点Q 之间的距离等于？24．(本题8分)如图，四边形ABCD 中，AC ⊥BD 交BD 于点E ，点F ，M 分别是AB ，BC 的中点，BN 平分∠ABE 交AM 于点N ，AB ＝AC ＝BD ．连接MF ，NF ．（1）判断△BMN的形状，并证明你的结论；（2）判断△MFN与△BDC之间的关系，并说明理由．25．(本题8分)如图，一天早上，小张正向着教学楼AB走去，他发现教学楼后面有一水塔DC，可过了一会抬头一看，水塔不见了.他心里很是纳闷.经过了解，教学楼、水塔的高分别是20m和30m，它们之间的距离为30m，小张身高为1.6.m.小张要想看到水塔；他与教学楼之间的距离至少应有多少米？26．(本题8分)如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，点D在边AB上，连接CD，将线段CD绕点C顺时针旋转90°至CE位置，连接AE（1）求证：AB⊥AE；（2）若BC2=AD•AB，求证：四边形ADCE为正方形．参考答案1．B2．D3．D4．B5．A6．B7．C8．C9．B10．C11．A12．B13．27．14．（+360）．15．1016．1617．①②③18．（1）22cm APN S =△（2）3AE AD =；（3）6.19．（1）12；（2）不公平.20．（1）a=3,b=1,c=1.（2）9个，11个.（3）详见解析21．物体EF 的影子会落在墙PQ 上.22．见解析23．0.4s24．（1）见解析；（2）见解析.25．小张与教学楼的距离至少应有55.2米.26．（1）根据旋转的性质得到∠DCE=90°，CD=CE ，利用等角的余角相等得∠BCD=∠ACE ，然后根据“SAS”可判断△BCD ≌△ACE ，则∠B=∠CAE=45°，所以∠DAE=90°，即可得到结论．（2）由于BC=AC，则AC2=AD•AB，根据相似三角形的判定方法得到△DAC∽△CAB，则∠CDA=∠BCA=90°，可判断四边形ADCE为矩形，利用CD=CE可判断四边形ADCE为正方形．。

北师大版九年级上册数学期中考试试题一、选择题。

（每小题只有一个正确答案）1．方程x（x+5）=0的根是（）A．x=5B．x=﹣5C．x1=0，x2=5D．x1=0，x2=﹣5 2．关于菱形的性质，下列叙述不正确的是（）A．菱形的四条边都相等B．菱形的四个角都相等C．菱形的对角线互相垂直D．菱形的对角线互相平分3．在△ABC中，∠ACB＝90°，点D为AB的中点，若CD＝5，AC＝8，则BC的长为A．3B．4C．5D．64．一元二次方程25x2+20x＝﹣4的根的情况是（）A．有两个相等的实数根B．有两个不相等的实数根C．只有一个实数根D．没有实数根5．一个口袋中有红球、白球共10个，这些球除颜色外都相同，将口袋中的球搅拌均匀，从中随机模出一个球，记下它的颜色后再放回口袋中，不断重复这一过程，共摸了100次球，发现有78次摸到红球，则口袋中白球的个数大约有（）A．7个B．8个C．2个D．3个6．如图，在△ABC中，D，E分别是边AB，AC上的点，DE∥BC，AD：DB＝1：2，下列结论中错误的是（）A．19ADEABCSS=VVB．31DEBC=C．AD AEBD CE=D．AD▪AB＝AE▪AC7．在平面直角坐标系中，△OAB各顶点的坐标分别为：O(0，0)，A(1，2)，B(0，3)，以O 为位似中心，△OA′B′与△OAB位似，若B点的对应点B′的坐标为(0，﹣6)，则A点的对应点A′坐标为()A．(﹣2，﹣4)B．(﹣4，﹣2)C．(﹣1，﹣4)D．(1，﹣4)8．如图，已知点O为△ABC的AC边上的中点，连接BO并延长到D，使得OD＝OB，要使四边形ABCD为矩形，△ABC中需添加的条件是（）A．AB＝BC B．∠ABC＝90°C．∠BAC＝45°D．∠BCA＝45°9．从n边形的一个顶点出发，可以作（n﹣3）条对角线，若一个多边形共有35条对角线，则该多边形的边数是（）A．13B．10C．8D．710．如图，线段AB，CD相交于点E，连接AC，BD，添加下列条件不能使△ACE与△BDE 相似的是（）A．∠A＝∠B B．∠A＝∠D C．AE CEDE BE=D．AE ACBE BD=二、填空题11．若13a cb d==（b+d+3≠0），则13a cb d++++＝_____．12．从长为3,5,7,10的四条线段中任意选取三条作为边,能构成三角形的概率是__________.13．用一条长30cm的绳子围成一个面积为60cm2的长方形，设长方形的长为xcm，则可列方程为_____．14．如图，四边形ABCD与四边形EFGH均为正方形，且点E、F在对角线AC上，点G、H分别在边CD、AD上，若AB＝6cm，则正方形EFGH的面积为_____．15．如图，点P为矩形ABCD的AB边上一动点，将△ADP沿着DP折叠，点A落在点A'处，连接CA'，已知AB＝10，AD＝6，若以点P，B，C，A'为端点的线段（不再另外连接线段）构成的图形为直角三角形或特殊的平行四边形时，AP的长为_____．16．如图，四边形ABCD是平行四边形，点E是AB中点，连接CE，交BD于点F，若EF ＝1，则CF的长是_____．三、解答题17．解方程（1）x（x﹣3）＝x﹣3（2）（x+1）（x﹣3）＝2x+518．三张形状、大小、质地相同并标有数字0，1，2的卡片，将卡片洗匀后，背面朝上放在桌上，若第一次任意抽取一张（不放回），第二次再抽取一张，用列表法或树状图求两次所抽取卡片上的数字恰好是方程x2﹣2x＝0的两根的概率．19．如图，AB表示一个窗户的高，AE和BD表示射入室内的光线，窗户的下端到地面的距离BC＝1.2m．已知某一时刻BC在地面的影长CD＝1.8m，AC在地面的影长CE＝4.8m，求窗户的高度．20．如图，在矩形ABCD中，BC＝10，对角线AC与BD相交于点O，CE⊥BD，垂足为E，BE＝3DE，求CE的长．21．如图，在正方形ABCD中，E、F分别是边AD、CD上的点，且E为AD的中点，FC ＝3DF，连接EF并延长交BC的延长线于点G．（1）求证：△ABE∽△DEF；（2）若正方形的边长为8，求△BEG的面积．22．某水果商场经销一种高档水果，原价每千克50元．（1）连续两次降价后每千克32元，若每次下降的百分率相同．求每次下降的百分率；（2）若每千克盈利10元，每天可售出500千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下，商场决定采取适当的涨价措施，但商场规定每千克涨价不能超过8元，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克，现该商场要保证每天盈利6000元，那么每千克应涨价多少元？23．如图，在正方形ABCD中，E为AD上一点，延长CD到F，使得DF＝DE，连接AF．AF 与CE之间有怎样的关系？请说明理由．24．如图所示，在等腰△ABC中，AB＝AC＝10cm，BC＝16cm．点D由点A出发沿AB方向向点B匀速运动，同时点E由点B出发沿BC方向向点C匀速运动，它们的速度均为1cm/s．连接DE，设运动时间为t（s）（0＜t＜10），解答下列问题：（1）当t为何值时，△BDE的面积为7.5cm2；（2）在点D，E的运动中，是否存在时间t，使得△BDE与△ABC相似？若存在，请求出对应的时间t；若不存在，请说明理由．参考答案1．D【分析】方程利用两因式相乘积为0,两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解.【详解】解：方程x(x+5)=0,可得x=0或x+5=0,解得:1x=0,或2x=-5.故选D.【点睛】本题主要考查解一元二次方程-因式分解法.2．B【分析】根据菱形的性质判断即可．【详解】解：A、菱形的四条边都相等，正确不符合题意；B、菱形的四个角不一定相等，错误符合题意；C、菱形的对角线互相垂直，正确不符合题意；D、菱形的对角线互相平分，正确不符合题意；故选：B．【点睛】此题主要考查对菱形的性质及判定的理解，关键是根据菱形的性质解答．3．D【分析】依据直角三角形的斜边上中线的性质，即可得到AB的长，再根据勾股定理，即可得到BC 的长．【详解】解：∵△ABC中，∠ACB＝90°，点D为AB的中点，∴AB＝2CD＝2×5＝10，∴Rt△ABC中，BC6，故选：D．【点睛】此题主要考查了直角三角形的斜边上中线的性质，解题时注意：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．4．A【分析】根据根的判别式即可求出答案．【详解】解：原方程化为：25x2+20x+4＝0，∴△＝202﹣16×25＝0，故选：A．【点睛】此题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的判别式，本题属于基础题型．5．C【分析】根据利用频率估计概率可估计摸到红球的概率，再求出摸到白球的概率，进一步即可求出结果.【详解】解：∵共摸了100次球，发现有78次摸到红球，∴摸到红球的概率估计为0.78，∴摸到白球的概率估计为0.22，∴口袋中白球的个数大约10×0.22≈2个．故选：C．【点睛】本题考查了利用频率估计概率的知识，属于常考题型，掌握计算的方法是关键.6．D【分析】由DE∥BC，AD：DB＝1：2，可得△ADE∽△ABC，推出13 DE ADBC AB==，211,39ADE ABC S AD AE BD ECS ⎛⎫=== ⎪⎝⎭ ，由此即可判断错误的结论．【详解】解：∵DE ∥BC ，AD ：DB ＝1：2，∴△ADE ∽△ABC ，∴DE AD BC AB =＝13，AD AE BD EC=，21139ADE ABC S S ⎛⎫== ⎪⎝⎭ ，∴A 、B 、C 正确，故选：D ．【点睛】本题考查平行线分线段成比例定理，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识．7．A【分析】利用已知对应点的坐标变化规律得出位似比为1：2，则可求A'坐标．【详解】解：∵△OA′B′与△OAB 关于O （0，0）成位似图形，且若B （0，3）的对应点B′的坐标为（0，-6），∴OB ：OB'=1：2=OA ：OA'∵A （1，2），∴A'（-2，-4）故选A ．【点睛】此题主要考查了位似变换与坐标与图形的性质，得出位似比是解题关键.8．B【分析】由题意可证四边形ABCD 是平行四边形，由矩形的判定可求解．【详解】解：∵点O为△ABC的AC边上的中点，∴AO＝CO，且OD＝OB，∴四边形ABCD是平行四边形，∵有一个角为直角的平行四边形是矩形，对角线相等的平行四边形是矩形，∴添加条件为∠ABC＝90°，故选：B．【点睛】本题考查了矩形的判定，平行四边形的判定，熟练掌握矩形的判定是本题的关键．9．B【分析】利用多边形对角线条数公式得出关于n的方程，进而求出即可．【详解】解：由题意可得：12n（n﹣3）＝35，解得：n1＝﹣7（不合题意舍去），n2＝10，答：这个多边形的边的条数是10条．故选B．【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用以及多边形的对角线，正确利用多边形对角线公式得出等式是解题关键．10．D【分析】要使△ACE∽△BDE，只需再添加一个对应角相等或其对应边成比例即可，而对应边所夹的角则必是其相等的角，否则不能得到其相似．【详解】解：由图可得，∠AEC＝∠BED，所以要使△ACE∽△BED，只需再添加一个对应角相等或其对应边成比例即可，所以题中选项A、B、C均符合题意，而D选项中AC与AE的夹角并不是∠AEC，所以其不能判定两个三角形相似．故选：D．【点睛】此题主要考查了相似三角形的判定问题，能够熟练掌握．11．1 3．【分析】利用等比的性质求解．【详解】解：∵13a cb d==（b+d+3≠0），∴13a cb d++++＝13．故答案为1 3．【点睛】此题考查了比例线段：灵活应用比例的性质进行计算．12．1 2【分析】列举出所有等可能的情况数，找出能构成三角形的情况数，即可求出所求概率．【详解】从长为3，5，7，10的四条线段中任意选取三条作为边，所有等可能情况有：3，5，7；3，5，10；3，7，10；5，7，10，共4种，其中能构成三角形的情况有：3，5，7；5，7，10，共2种，则P（能构成三角形）=21 42 =，故答案为1 2．【点睛】此题考查了列表法与树状图法，以及三角形的三边关系，其中概率=所求情况数与总情况数之比．13．x（15﹣x）＝60．【分析】根据长方形的周长可以用x表示宽的值，然后根据面积公式即可列出方程．【详解】解：设长方形的长为xcm ，则宽为（15﹣x ）cm ，根据面积为60cm 2可得：x （15﹣x ）＝60，故答案为x （15﹣x ）＝60．【点睛】此题考查了一元二次方程的运用，要掌握运用长方形的面积计算公式S=ab 来解题的方法．14．8．【分析】根据正方形的性质和等腰直角三角形的判定和性质定理即可得到结论．【详解】解：∵四边形ABCD 是正方形，AB ＝6cm ，∴∠DAC ＝∠ACD ＝45°，AC AB ＝，∵四边形EFGH 为正方形，∴∠HEF ＝∠GFE ＝90°，∴∠AEH ＝∠CFG ＝90°，∴△AEH 与△CFG 是等腰直角三角形，∴AE ＝EH ，CF ＝FG ，∵HE ＝EF ＝FG ，∴EF ＝13AC ＝，∴正方形EFGH 的面积为（）2＝8，故答案为8．【点睛】此题考查了正方形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，熟练掌握正方形的性质是解题的关键．15．2或6．【分析】分两种情况讨论，由折叠的性质，矩形的性质和勾股定理可求解．【详解】解：如图1，当点A '落在CD 上，∵将△ADP 沿着DP 折叠，点A 落在点A '处，∴AP ＝A 'P ，AD ＝A 'D ，∠DAP ＝∠DA 'P ＝90°，∴∠PA 'C ＝90°，且∠B ＝∠C ＝90°，∴四边形PBCA '是矩形，∴BC ＝A 'P ＝AP ＝6，∴当AP ＝6时，四边形PBCA '是矩形，如图2，当点P ，点A '，点C 共线，∵将△ADP 沿着DP 折叠，点A 落在点A '处，∴AP ＝A 'P ，AD ＝A 'D ＝6，∠DAP ＝∠DA 'P ＝90°，∴A 'C 22CD A D '-10036-＝8，∴PC ＝8+A 'P ＝8+AP ，∵PC 2＝PB 2+BC 2，∴（8+AP ）2＝（10﹣AP ）2+36，∴AP ＝2，故答案为2或6．【点睛】此题考查了翻折变换，矩形的判定和性质，勾股定理，利用分类讨论解决是本题的关键．16．2【分析】利用平行四边形的性质得到AB=CD，AB∥CD，则BE=12AB=12CD，再证明△BEF∽△DCF，然后利用相似比可计算出CF的长．【详解】∵四边形ABCD为平行四边形，∴AB＝CD，AB∥CD，∵点E是AB中点，∴BE12=AB12=CD，∵BE∥CD，∴△BEF∽△DCF，∴12 EF BECF CD==，∴CF＝2EF＝2．故答案为：2．【点睛】本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质．在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件．17．（1）x1＝3，x2＝1；（2）x1＝x2＝2﹣【分析】（1）利用因式分解法求解可得；（2）先将方程整理为一般式，再利用公式法求解可得．【详解】解：（1）∵x（x﹣3）＝x﹣3，∴x（x﹣3）﹣（x﹣3）＝0，则（x﹣3）（x﹣1）＝0，∴x﹣3＝0或x﹣1＝0，解得x1＝3，x2＝1；（2）将方程整理为一般式得x2﹣4x﹣8＝0，∵a＝1，b＝﹣4，c＝﹣8，∴△＝（﹣4）2﹣4×1×（﹣8）＝48＞0，∴x ＝4432＝则x 1＝2+2x 2＝2﹣2．【点睛】此题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．18．13．【分析】根据一元二次方程的根的求解方法，找出符合的数，即可根据概率公式求解．此题是需要两步完成的事件，所以采用列表法或树状图法都比较简单．注意此题属于不放回实验．【详解】解：画树状图如下：由树状图知共有6种等可能结果，其中是方程x 2﹣2x ＝0的两根为0和2，则所抽取卡片上的数字恰好是方程x 2﹣2x ＝0的两根的概率为26＝13．【点睛】此题考查了一元二次方程的解法与列表法或树状图法求概率．列表法可以不重不漏的列举出所有可能发生的情况，列举法适合于两步完成的事件，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．19．窗户的高度AB 是2.4m ．【分析】阳光可认为是一束平行光，由光的直线传播特性可知透过窗户后的光线BD 与AE 仍然平行，由此可得出一对相似三角形，由相似三角形性质可进一步求出AB 的长，即窗户的高度．【详解】解：∵BD ∥AE ，∴△CBD ∽△CAE ，∴BCAC＝CDCE，∴1.2AC＝1.84.8，∴AC＝3.6，∴AB＝AC﹣BC＝2.4m，∴窗户的高度AB是2.4m．【点睛】此题考查相似三角形性质的应用．解题的关键是找出相似的三角形，然后根据对应边成比例，建立适当的数学模型来解决问题．20．5.【分析】由矩形的性质得出OC＝OB＝OD，得出∠OBC＝∠OCB，由已知条件得出OE＝DE，∠BEC ＝90°，由线段垂直平分线的性质得出OC＝CD，得出△OCD为等边三角形，因此∠OCD＝60°，由三角形的外角性质得出∠EBC＝30°，由含30°角的直角三角形的性质即可得出CE 的长．【详解】解：∵四边形ABCD是矩形，∴OC＝12AC，OB＝12BD，AC＝BD，∴OC＝OB＝OD，∴∠OBC＝∠OCB，∵CE⊥BD，BE＝3ED，∴OE＝DE，∠BEC＝90°，∴OC＝CD，∴OC＝OD＝CD，∴△OCD为等边三角形，∴∠OCD＝60°，∴∠EBC＝30°，∴CE＝12BC＝12×10＝5．【点睛】此题考查了矩形的性质、线段垂直平分线的性质、含30°角的直角三角形的性质、三角形的外角性质；熟练掌握矩形的性质，证明三角形是等边三角形是解决问题的关键．21．（1）详见解析；（2）80．【分析】（1）根据两边成比例夹角相等两三角形相似证明即可．（2）证明△BAE∽△GEB，利用ABGE＝AEEB，求出EG即可解决问题．【详解】（1）证明：设正方形的边长为4a．∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC＝CD＝AD＝4a，∠A＝∠D＝90°，∵AE＝ED＝2a，DF＝a，CF＝3a，∴BADE＝2，AEDF＝2，∴ABDE＝AEDF，∴△ABE∽△DEF．（2）解：∵△ABE∽△DEF，∴∠AEB＝∠EFD，∵∠EFD+∠DEF＝90°，∴∠AEB+∠DEF＝90°，∴∠BEF＝90°，∵AB＝8，AE＝4，∠A＝90°，∴BE＝∵AE∥∥BG，∴∠AEB＝∠EBG，∵∠A＝∠BEG＝90°，∴△BAE∽△GEB，∴ABGE＝AEEB，∴8E G∴EG ＝∴EG ＝，∴S △BEG ＝12•BE •EG ＝1280．【点睛】此题考查正方形的性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．22．（1）20%；（2）每千克应涨价5元．【分析】（1）设每次下降的百分率为x ，根据相等关系列出方程，可求每次下降的百分率；（2）设涨价y 元（0＜y ≤8），根据总盈余＝每千克盈余×数量，可列方程，可求解．【详解】解：（1）设每次下降的百分率为x根据题意得：50（1﹣x ）2＝32解得：x 1＝0.2，x 2＝1.8（不合题意舍去）答：每次下降20%（2）设涨价y 元（0＜y ≤8）6000＝（10+y ）（500﹣20y ）解得：y 1＝5，y 2＝10（不合题意舍去）答：每千克应涨价5元．【点睛】此题主要考查了一元二次方程应用，关键是根据题意找到蕴含的相等关系，列出方程，解答即可．23．AF ＝CE ，AF ⊥CE ，证明详见解析【分析】延长CE 交AF 于G ，根据全等三角形的性质得到AF ＝CE ，∠FAD ＝∠DCE ，根据余角的性质即可得到结论．【详解】解：AF ＝CE ，AF ⊥CE ，理由：延长CE 交AF 于G，在正方形ABCD 中，∵∠ADC ＝90°，∴∠AFF ＝90°，在△ADF 与△CDE 中，AD CD ADC ADF DE DF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ADF ≌△CDE ，∴AF ＝CE ，∠FAD ＝∠DCE ，∵∠ADF ＝90°，∴∠DAF +∠F ＝90°∴∠FCG +∠F ＝90°，∴∠CGF ＝90°，∴AF ⊥AE ．【点睛】此题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键．24．（1）t 为5秒时，△BDE 的面积为7.5cm 2；（2）存在时间t 为5013或8013秒时，使得△BDE 与△ABC 相似．【分析】（1）根据等腰三角形的性质和相似三角形的判定和性质求三角形BDE 边BE 的高即可求解；（2）根据等腰三角形和相似三角形的判定和性质分两种情况说明即可．【详解】解：（1）分别过点D 、A 作DF ⊥BC 、AG ⊥BC ，垂足为F 、G 如图∴DF ∥AG ，DF AG ＝BD AB∵AB ＝AC ＝10，BC ＝16∴BG ＝8，∴AG ＝6．∵AD ＝BE ＝t ，∴BD ＝10﹣t ，∴DF 6＝1010t -解得DF ＝35（10﹣t ）∵S △BDE ＝12BE •DF ＝7.5∴35（10﹣t ）•t ＝15解得t ＝5．答：t 为5秒时，△BDE 的面积为7.5cm 2．（2）存在．理由如下：①当BE ＝DE 时，△BDE 与△BCA ，∴BE AB ＝BD BC 即10t ＝1016t -，解得t ＝5013，②当BD ＝DE 时，△BDE 与△BAC ，BE BC ＝BD AB 即16t ＝1010t -，解得t ＝8013．答：存在时间t 为5013或8013秒时，使得△BDE 与△ABC 相似．【点睛】此题考查了相似三角形的判定和性质、等腰三角形的性质，解决本题的关键是动点变化过程中形成不同的等腰三角形．。