《古典概型的特征和概率计算公式》公开课教学PPT课件【高中数学必修3(北师大版)】

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题型一
题型二
题型三
反思 判断一个试验的概率模型是否为古典概型,关键是看它是否具备古 典概型的两个特征:(1)一次试验中,可能出现的结果只有有限个,即有限 性 ;(2)每个基本事件发生的可能性是均等的,即等可能性.
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题型一
题型二
题型三
【变式训练 1 】 下列试验是古典概型的是( ) A.在适宜的条件下,种下一粒种子,观察它是否发芽 B.口袋里有 2 个白球和 2 个黑球,这 4 个球除颜色外完全相同,从中任 取一球,观察颜色 C.向一个圆面内随机地投一个点,观察该点是否落入圆内接正方形 D.射击运动员向一靶心进行射击,试验结果为命中 10 环,命中 9 环,……, 命中 0 环 解析:用古典概型的两个特征去判断即可. 对于选项 A,因为发芽与不发芽的概率不同,所以不是古典概型; 对于选项 B,因为摸到白球与黑球的概率都是 ,所以是古典概型; 2 对于选项 C,因为基本事件有无限个,所以不是古典概型; 对于选项 D,因为命中 10 环 ,9 环 ,… ,0 环的概率不相同,所以不是古典概 型. 答案:B
8 8 3 3 3 1 1 1
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怎样计算古典概型中基本事件的总数? 剖析:计算古典概型中基本事件的总数时,通常利用列举法.列举法就是把所 有的基本事件一一列举出来,再逐个数出. 例如 :把从 4 个除编号外完全相同的球中任取 2 个看成一次试验,那么 这次试验共有多少种可能的结果?为了表述方便,对这 4 个球编号为 1,2,3,4. 把每次取出的 2 个球的号码写在一个括号内,则有 (1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4),所以共有 6 个基本事件.其中是按含有 1 号球, 含有 2 号球,含有 3 号球的顺序来列举的,这样做可以避免出现重复或遗漏, 因此要按一定的顺序标准来写.用数对来表示试验结果是非常重要的表示 方法 ,这种表示方法要注意数对中的两个量是否有顺序限制,本题中没有限 制 .有时还可以在直角坐标系中用点来表示.有时也可以根据归纳的结论来 计算 .其常见结论是:把从 n 个量中任取出 2 个量看成一次试验,如果这 2 个 量没有顺序 ,那么这次试验有

2.每个基本事件发生的可能性相同吗？ 提示：相同.在一次试验中，每一个基本事件发生的可 能性都相同.
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【归纳总结】 对基本事件的两点认识
(1)事件结果的不可再分性：每次试验有一个且只有一
个基本事件出现，任何事件都可以表示成基本事件的 和，但基本事件不可再分为更小的事件.例如，在抛掷
一枚质地均匀的骰子的试验中，可能出现的结果是
事件的总数以及所求事件中所包含基本事件的个数.
【归纳总结】 1.对古典概型的理解
古典概型由于满足基本事件的有限性和基本事件发生
的可能性相等这两个重要特征，所以求事件的概率就 可以不用通过大量的重复试验，而只要通过对一次试
验中可能出现的结果进行分析和计算即可.
2.使用古典概型的概率公式的注意点
(1)首先要判断该概率模型是不是古典概型. (2)要找出随机事件A所包含的基本事件的个数和试验
【解析】掷一枚骰子出现向上的点数为1，2，3，4，5，
6，共6种情况.
1 答案： 3 m 2 1 P . n 6 3
【知识探究】 探究点1 基本事件
1.基本事件能不能再分为更小的事件？
提示：不能.在某个试验中，每个事件都是由一个或两 个或更多个基本事件构成的，所以基本事件不可能再
分为更小的事件.
中基本事件的总数.
类型一
求试验的基本事件
【典例】1.袋中装有红白球各一个，每次任取一个，
有放回地抽取三次，所有的基本事件数是________. 2.将一枚骰子先后抛掷两次，则：
(1)一共有几个基本事件？
(2)“出现的点数之和大于8”包含几个基本事件？
【解题探究】1.典例1中“有放回”的意思是什么？ 提示：“有放回”表示每次抽取时，袋中总是两个球.

2.基本事件 (1)定义:在一次试验中,所有可能发生的基本结果中不能再分的最 简单的随机事件称为该次试验中的基本事件. (2)特点:①任何两个基本事件是不会同时发生的;②任何事件都可 以表示成基本事件的和. 【做一做2】 袋中装有标号分别为1,3,5,7的四个相同的小球,从中 取出两个,下列事件不是基本事件的是 ( ) A.取出的两球标号为3和7 B.取出的两球标号的和为4 C.取出的两球的标号都大于3 D.取出的两球的标号的和为8 解析:由基本事件的定义知,选项A,B,C都是基本事件,D中包含取出 标号为1和7,3和5两个基本事件,所以D不是基本事件. 答案:D
探究一
探究二
探究三
探究四
思想方法
当堂检测
古典概型的判断 【例1】 判断下列概率模型是否属于古典概型? (1)在区间[0,2]上任取一点,求此点坐标大于1的概率; (2)从甲地到乙地共有10条路线,求某人正好选中最短路线的概率; (3)任意抛掷两枚质地均匀的骰子,所得点数之和作为基本事件. 分析:从有限性和等可能性两个方面入手,对每个概率模型进行 判断.
3.古典概型的概率计算公式 对于古典概型,通常试验中的某一事件A是由几个基本事件组成的. 如果试验的所有可能结果(基本事件)数为n,随机事件A包含的基本 事件数为m,那么事件A的概率规定为:
P(A)=
事件������包含的可能结果数 试验的所有可能结果数
= .
������ ������
名师点拨使用古典概型的概率公式应注意: (1)首先要判断该概率模型是不是古典概型; (2)要找出随机事件A所包含的基本事件的个数和试验中基本事件 的总数. 【做一做3】 抛掷一枚质地均匀的正方体骰子,向上的点数是5或6 的概率是 .
思考辨析 判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号里画“√”,错误的画 “×”. (1)试验结果有限的概率模型一定是古典概型. ( ) (2)只要每个试验结果出现的可能性相同,则该概率模型一定是古典 概型. ( ) (3)有限性和等可能性是判定一个事件是古典概型的关键. ( ) (4)事件A包含的基本事件有m个,试验的所有可能结果数有n个, ������ 则 P( A) = . ( ) ������ 答案:(1)× (2)× (3)√ (4)×

一对年轻夫妇和其两岁的的孩子做游戏，让孩子把分别写有“1”“3”“1”“4”的四张卡片随机排成一行，若卡片按从左到右的顺 序排成“1314”，则孩子会得到父母的奖励，求孩子受到奖励的概率____.
思思考考44::从从基基本本事事件件角角度度2来来.任看看,,上上何述述事两两个个件试试验验（有有何何除共 共不同同特特可征征？？能事件）都可以表示成基本事件的和.
谢 谢！
色的成绩为我国赢得了射箭项目的第一枚 每个基本事件等可能出现.
某校三名艺术生报考三所院校，求其中甲、乙两名学生填报不同院校的概率____. 思考5:下列两个模型是古典概型吗？
奥运金牌。你认为打靶这一试验能用古典 思考6:古典概型下,每个基本事件出现的概率是多少?随机事件出现的概率又如何计算？
(1)向一个圆面内随机地投射一个点,如果该点落在圆内任意一点都是等可能的,你认为 任何两个基本事件是互斥的；
思考5:下列两个模型是古典概型吗？
不会
思考5:下列两个模型是古典概型吗？
任何两个基本事件是互斥的 思考6:古典概型下,每个基本事件出现的概率是多少?随机事件出现的概率又如何计算？
任何两个基本事件是互斥的；
思考4:从基本事件角度来看,上述两个试验有何共同特征？
思考6:古典概型下,每个基本事件出现的概率是多少?随机事件出现的概率又如何计算？
古每典个概 基型本的事概件率等计可算能公出1式现.：.基本事件数量有限；
每个基本事件等可能出现.
任这何一两 试个验基能本用事古件典是概互型2斥来.的描每；述个吗?基为什本么？事件等可能出现.
从0,1,2,3,4,5,6,7,8,9中任取七个不同的数，则这七个数的中位数是6的概率为____.
➢古典概型的概率公式： 试验1:掷一枚质地均匀的硬币,观察可能出

探究：
进一步地，利用加法公式还可以计算这个试验中任何 一个事件的概率，例如， P（“出现偶数点”P（“2点”）+P（“4点”）+P （“6点”）= 1 1 1 3 1
666 6 2
北京师范大学出版社 高二 | 必修3
根据上述两则试验，概括得到古典概型的概率公式
P(A)
m(A包含的基本事件数) n(基本事件总数)
注意：计算事件A概率的关键 （1）计算试验的所有可能结果数n； （2）计算事件A包含的可能结果数m.
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例题1
下列对古典改性的说法，正确的是（ ）
①试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；
②每个事件出现的可能性相等；
③每个基本时间出现的可能性相等；
④基本事件综述为n,随机事件A中若包含k个基本事件，则
探究：
反复利用概率的加法公式，我们有 P（“1点”）+P（“2点”）+P（“3点”）+P（“4 点”+P（“5点”）+P（“6点”) =P（必然时间）=1 所以P（“1点”）=P（“2点”）=P（“3点')
=P(“4点”）=P（“5点”）=P（“6点”）=1/6
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古典概率模型特点
（1）试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；（有限性） （2）每个基本事件出现的可能性相等。（等可能性）
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探究：
在古典概型下，基本事件出现的概率是多少？随机事件出现的概率如何计算？ 在掷一枚硬币的试验中，出现正面朝上的概率与反面朝上的概率相等，即
P（“正面朝上”）＝P（“反面朝上”） 由概率的加法公式，得 P（“正面朝上”）＋P（“反面朝上”）＝P（必然事件）＝1

易 错 易 误 辨 析
当 堂 双 基 达 标
课 时 作 业
教 师 备 课 资 源
教 学 教 法 分 析
教 学 方 案 设 计
课 前 自 主 导 学
课 堂 互 动 探 究
菜单
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教 学 方 案 设 计
试验中所有可能的结果是否为有限个；每个结果出现的可能
易 误
析
辨
教 性是否相同．
析
学 方
【自主解答】 (1)在数轴的 0～3 之间任取一点，此点可 当 堂
案
双
设 以在 0～3 之间的任一位置，且在每个位置的可能性是相同 基
计
达
课 的，具备等可能性．但试验结果有无限多个，不满足古典概 标
前
自 主
型的特征“有限性”，因此不属于古典概型．
教 学 教 法 分 析
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基 达
标
课 前 自
随机事件 A 包含的 基本事件数
为 m，那么事件 A 的概率 课
主 导 学
规定为 P(A)＝事试件验A的包所含有的可可能能结结果果数数＝mn .
时 作 业

变式训练 1 从高三抽出 50 名学生参加数学竞赛，由成绩得到 如图所示的频率分布直方图：
试利用频率分布直方Байду номын сангаас求： (1)这 50 名学生成绩的众数与中位数； (2)这 50 名学生的平均成绩．
解析： (1)由众数的概念可知，众数是出现次数最多的数．在直 方图中高度最高的小长方形框的中间值的横坐标即为所求，所以众数 应为 75. 由于中位数是所有数据中的中间值，故在频率分布直方图中体现 的是中位数的左右两边频数应相等，即频率也相等，从而就是小矩形 的面积和相等．因此在频率分布直方图中将频率分布直方图中所有小 矩形的面积一分为二的直线所对应的成绩即为所求． ∵0.004×10＋0.006×10＋0.02×10＝0.04＋0.06＋0.2＝0.3， ∴前三个小矩形面积的和为 0.3， 而第四个小矩形面积为 0.03×10 ＝0.3,0.3＋0.3>0.5， ∴中位数应位于第四个小矩形内，设其底边为 x，高为 0.03， ∴令 0.03x＝0.2 得 x≈6.7， ∴中位数应为 70＋6.7＝76.7≈77.
(3)求平均数时，可用各组中值乘以频率来计算，故平均数为 1 250×0.000 2×500 ＋ 1 750×0.000 4×500 ＋ 2 250×0.000 5×500＋2 750×0.000 5×500＋3 250×0.000 3×500＋3 750×0.000 1×500＝(0.25＋0.7＋1.125＋1.375＋0.975＋0.375)×500＝2 400(元).
解析：设第一组 20 名学生的成绩为 xi(i＝1,2，„，20)， 第二组 20 名学生的成绩为 yi(i＝1,2，„，20)． 1 1 依题意有： (x1＋x2＋„＋x20)＝90， (y1＋y2＋„＋y20)＝80， 20 20 故全班平均成绩为： 1 1 (x1＋x2＋„＋x20＋y1＋y2＋„＋y20)＝ (90×20＋80×20)＝85. 40 40 又设第一组学生成绩的标准差为 s1，平均数为 x ；第二组学生成 绩的标准差为 s2，平均数为 y ， 1 2 则 s1＝ [(x1－ x )2＋(x2－ x )2＋„＋(x20－ x )2]＝ 20 1 2 2 2 [x1＋x2 ＋ „ ＋ x ＋ 20 x －2 x (x1＋x2＋„＋x20)] 2 20 20 1 2 2 2 ＝ (x1＋x2 2＋„＋x20－20 x )， 20

主题一
古典概型的判断
一个容器内有10个大小、形状完全相同的球，将球编号为1～
10.把球搅匀，蒙上眼睛，从中任取一球.思考下面的问题：
1.从容器中任取一球可能出现的不同情况有多少种？
提示：因为共有10个球，所以任取一球可能出现的情况有 10种.
2.每个编号的球被取出的机会是否相等？ 提示：因为这些球的大小、形状完全相同，所以10个球中，任 意一个球被取出的机会相等，均为
D，E)，(A，C，D，F)，(A，C，E，F)，(A，B，D，E)，(A，B， D，F)，(A，B，E，F)，(A，D，E，F)，(B，C，D，E)，(B，C， D，F)，(B，C，E，F)，(B，D，E，F)，(C，D，E，F)}共15个 等可能的基本事件． 事件P＝{(B，C，D，E)，(B，C，D，F)，(B，C，E，F)，(B， D，E，F)，(C，D，E，F)}共5个基本事件．
【解题指南】
1.按一定顺序记录所有的基本事件．
2.(1)按照一定的顺序将点的坐标列出； (2)根据落在圆x2＋y2＝9内的点满足x2＋y2<9，对点的坐标逐 一判断列出.
【解析】1.选B.用一一列举的方法，数出基本事件组成的集合
Ω中元素个数和事件P中所含的基本事件．
Ω＝{(A，B，C，D)，(A，B，C，E)，(A，B，C，F)，(A，C，
(3)求解关键：在古典概型中，计算事件A的概率，关键是计算
所有可能结果(基本事件)数n 和事件A包含的_________ 可能结果 试验的__________________________
(基本事件)数m ______________.
【轻松判断】 (1)若一次试验的结果所包含的基本事件的个数为有限个，则 该试验符合古典概型. ( ) ) )

[再练一题] 2．(1)在数轴上 0～3 之间任取一点，求此点的坐标小于 1 的概率．此试验 是否为古典概型？为什么？ (2)从 1,2,3,4 四个数中任意取出两个数，求所取两数之一是 2 的概率，此试 验是古典概型吗？试说明理由． 【解】 (1)在数轴上 0～3 之间任取一点，此点可以在 0～3 之间的任一位 置，且在每个位置上的可能性是相同的，具备等可能性．但试验结果有无限多 个，不满足古典概型试验结果的有限性．因此不属于古典概型． (2)此试验是古典概型，因为此试验的所有基本事件共有 6 个：(1,2)，(1,3)， (1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)，且每个事件的出现是等可能的，因此属于古典概型．
【导学号：63580035】
第十页，共27页。
【解】 ①试验“从中任取一个球，观察其颜色”的基本事件空间 Ω＝{红、 白、黄、黑}，基本事件总数为 4.
②试验“从中任取两个球，观察其颜色”的基本事件空间 Ω＝{(红、白)，(红， 黄)，(黄，黑)，(白，黄)，(白，黑)，(红，黑)}，基本事件总数为 6.
【解析】 基本事件总数为甲乙丙、甲丙乙、乙甲丙、乙丙甲、丙甲乙、
丙乙甲，共 6 个，其中甲站在中间的为乙甲丙、丙甲乙，共 2 个，所以甲站在
中间的概率为26＝13.
【答案】
1 3
第二十四页，共27页。
4．广州亚运会要在某高校的 8 名懂外文的志愿者中选 1 名，其中有 3 人懂
日文，则选到懂日文的志愿者的概率为________．
事件A包含的可能结果数
m
那么事件 A 的概率规定为 P(A)＝__试__验__的__所__有__可__能__结__果__数_____＝_n__.
第四页，共27页。