数列(1)

数列的基础练习题一、数列的概念与简单表示法1、下列说法正确的是 （ ）A. 数列1，3，5，7可表示为{1,3,5,7}B. 数列1，0，-1，-2与数列-2，-1， 0， 1是相同的数列C. 数列1n n +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的第k 项是11k + D. 数列可以看做是一个定义域为正整数集N *的函数3、已知数列的通项公式为2815n a n n =−+，则3（ ） A. 不是数列{}n a 中的项 B. 只是数列{}n a 中的第2项C. 只是数列{}n a 中的第6项D. 是数列{}n a 中的第2项或第6项 5、已知数列1,3,5,7,,21,,n −则35是它的 （ ） A. 第22项 B. 第23项 C. 第24项 D. 第28项 6、已知130n n a a +−−=，则数列{}n a 是 （ ） A. 递增数列 B. 递减数列 C. 常数列 D. 摆动数列二、等差数列题型一、计算求值（等差数列基本概念的应用）1、.等差数列{a n }的前三项依次为 a-6，2a -5， -3a +2，则 a 等于（ ) A . -1 B . 1 C .-2 D. 22．在数列{a n }中，a 1=2，2a n+1=2a n +1，则a 101的值为 （ ）A ．49B ．50C ．51D ．52 3．等差数列1，－1，－3，…，－89的项数是（ ）A ．92B ．47C ．46D ．45 4、已知等差数列}{n a 中，12497,1,16a a a a 则==+的值是( )( ) A 15 B 30 C 31 D 645. 首项为－24的等差数列，从第10项起开始为正数，则公差的取值范围是（ ）A.d ＞38B.d ＜3C. 38≤d ＜3D.38＜d ≤36、.在数列}{n a 中，31=a ，且对任意大于1的正整数n ，点),(1−n n a a 在直03=−−y x 上，则n a =_____________.7、在等差数列{a n }中，a 5＝3，a 6＝－2，则a 4＋a 5＋…＋a 10＝ ． 8、等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若＝则432,3,1S a a ==（ ）（A ）12（B ）10 （C ）8 （D ）69、设数列{}n a 的首项)N n ( 2a a ,7a n 1n 1∈+=−=+且满足，则=+++1721a a a ______.10、已知{a n }为等差数列，a 3 + a 8 = 22，a 6 = 7，则a 5 = __________ 11、已知数列的通项a n = -5n +2,则其前n 项和为S n = .12、设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，4S ＝14，30S S 710=−，则9S ＝ .题型二、等差数列性质1、已知｛a n ｝为等差数列，a 2+a 8=12,则a 5等于（ ）(A)4 (B)5 (C)6 (D)72、设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若735S =，则4a =（ ）A ．8B ．7C ．6D ．53、 若等差数列{}n a 中，37101148,4,a a a a a +−=−=则7__________.a =4、记等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若42=S ，204=S ，则该数列的公差d=（ ）A ．7 B. 6 C. 3 D. 25、等差数列{}n a 中，已知31a 1=，4a a 52=+，33a n =，则n 为（ ）（A ）48 （B ）49 （C ）50 （D ）516.、等差数列{a n }中，a 1=1,a 3+a 5=14，其前n 项和S n =100,则n =（ ）(A)9 (B)10 (C)11 (D)127、设S n 是等差数列{}n a 的前n 项和，若==5935,95S S a a 则（ ）A ．1B ．－1C ．2D ．218、已知等差数列{a n }满足α1＋α2＋α3＋…＋α101＝0则有( )A ．α1＋α101＞0B ．α2＋α100＜0C ．α3＋α99＝0D ．α51＝519、如果1a ，2a ，…，8a 为各项都大于零的等差数列，公差0d ≠，则( ) （A ）1a 8a >45a a （B ）8a 1a <45a a （C ）1a +8a >4a +5a （D ）1a 8a =45a a 10、若一个等差数列前3项的和为34，最后3项的和为146，且所有项的和为390，则这个数列有（ ）（A ）13项 （B ）12项 （C ）11项 （D ）10项题型三、等差数列前n 项和1、等差数列{}n a 中，已知12310a a a a p ++++=，98n n n a a a q −−+++=，则其前n 项和n S = ．2、等差数列 ,4,1,2−的前n 项和为 （ ）A. ()4321−n nB. ()7321−n nC. ()4321+n nD. ()7321+n n3、已知等差数列{}n a 满足099321=++++a a a a ，则 （ ）A. 0991>+a aB. 0991<+a aC. 0991=+a aD. 5050=a4、在等差数列{}n a 中，78,1521321=++=++−−n n n a a a a a a ，155=n S ，则=n 。

1设a ，b ∈R ，数列{a n }满足a 1=a ，a n +1=a n 2+b ，n *∈N ，则 A ． 当101,102b a => B ． 当101,104b a => C ． 当102,10b a =-> D ． 当104,10b a =->【答案】A90b -时，总存在b ≥，()22bbb +12=时，a 21122⎫++=⎪⎭19=，2设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 2=−3，S 5=−10，则a 5=__________，S n 的最小值为__________． 【答案】 0，10-.【解析】等差数列{}n a 中,53510S a ==-,得32,a =-又23a =-,所以公差321d a a =-=,5320a a d =+=,由等差数列{}n a 的性质得5n ≤时,0n a ≤,6n ≥时,n a 大于0,所以n S 的最小值为4S 或5S ,即为10-.3记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．已知4505S a ==，，则 A ．25n a n =-B ．310n a n =-C ．228n S n n =-D ．2122n S n n =- 【答案】A【解析】由题知，41514430245d S a a a d ⎧=+⨯⨯=⎪⎨⎪=+=⎩，解得132a d =-⎧⎨=⎩，∴25n a n =-，24n S n n =-,故选A ．4.已知数列{a n }，从中选取第i 1项、第i 2项、…、第i m 项（i 1<i 2<…<i m ），若12m i i i a a a <<⋅⋅⋅<，则称新数列12m i i i a a a ⋅⋅⋅，，，为{a n }的长度为m 的递增子列．规定：数列{a n }的任意一项都是{a n }的长度为1的递增子列．（Ⅰ）写出数列1，8，3，7，5，6，9的一个长度为4的递增子列；（Ⅱ）已知数列{a n }的长度为p 的递增子列的末项的最小值为0m a ，长度为q 的递增子列的末项的最小值为0n a ．若p <q ，求证：0m a <0n a ；（Ⅲ）设无穷数列{a n }的各项均为正整数，且任意两项均不相等．若{a n }的长度为s 的递增子列末项的最小值为2s –1，且长度为s 末项为2s –1的递增子列恰有2s -1个（s =1，2，…），求数列{a n }的通项公式．【答案】(Ⅰ) 1,3,5,6（答案不唯一）；(Ⅱ)见解析；(Ⅲ)见解析. 【解析】（Ⅰ）1，3，5，6.（答案不唯一） （Ⅱ）设长度为q 末项为0n a 的一个递增子列为1210,,,,q r r r n a a a a -.由p <q ，得10p q r r n a a a -≤<.因为{}n a 的长度为p 的递增子列末项的最小值为0m a ， 又12,,,p r r r a a a 是{}n a 的长度为p 的递增子列，所以0p m r a a ≤. 所以00m n a a <·（Ⅲ）由题设知，所有正奇数都是{}n a 中的项.先证明：若2m 是{}n a 中的项，则2m 必排在2m −1之前（m 为正整数）. 假设2m 排在2m −1之后. 设121,,,,21m p p p a a a m --是数列{}n a 的长度为m 末项为2m −1的递增子列，则121,,,,21,2m p p p a a a m m --是数列{}n a 的长度为m +1末项为2m 的递增子列.与已知矛盾.再证明：所有正偶数都是{}n a 中的项.假设存在正偶数不是{}n a 中的项，设不在{}n a 中的最小的正偶数为2m .因为2k 排在2k −1之前（k =1，2，…，m −1），所以2k 和21k -不可能在{}n a 的同一个递增子列中.又{}n a 中不超过2m +1的数为1，2，…，2m −2，2m −1，2m +1，所以{}n a 的长度为m +1且末项为2m +1的递增子列个数至多为1(1)22221122m m m --⨯⨯⨯⨯⨯⨯=<个.与已知矛盾.最后证明：2m 排在2m −3之后（m ≥2为整数）.假设存在2m （m ≥2），使得2m 排在2m −3之前，则{}n a 的长度为m +1且末项为2m +l 的递增子列的个数小于2m .与已知矛盾.综上，数列{}n a 只可能为2，1，4，3，…，2m −3，2m ，2m −1，…. 经验证，数列2，1，4，3，…，2m −3，2m ，2m −1，…符合条件.所以1,1,n n n a n n +⎧=⎨-⎩为奇数，为偶数.。

数列（一）数学归纳法：【例1】 证明：对任意的*n N ∈，都有111111223(1)1n n n +++=-⨯⨯⨯++【例2】 设*n N ∈，证明：去掉22n n ⨯的方格表中的任何一个方格后，剩余的部分都可以用“”形状的L 型无重叠的完全覆盖.【例3】 证明：())*11111111,1)4732n N n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++>∈≥ ⎪⎪⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭【例4】 设,x y 是实数，使得223344,,,x y x y x y x y ++++都是整数，证明：对任意的*n N ∈，n n x y +都是整数。

【例5】 记质数列为{}n P ，即n P 为第n 个质数。

求证：22nn P <【例6】 已知数列{}n a 满足：13a =，28a =，且当3n ≥时，有()2124352420n n n a a a n n --+=+-+，求证：22n n a n =+。

【例7】 数列{}n a 满足：对任意两个非负整数m n ≥，都有()2212m n m n m n a a a a +-+=+，且11a =，求{}n a 的通项公式。

【例8】 设n 是给定的正整数，数列012,,,,n a a a a 满足012a =，211k k k a a a n--=+，1,2,,k n = 。

证明:111n a n -<<【例9】 设()()44433311n na n n n =-+++，证明：1299950a a a +++< 。

【例10】 已知关于x 的方程()()21sin 2sin 2sin 3a x a x x -+-=的非负实数解从小到大构成一个无穷等差数列，求a 的取值范围。

由递推公式求数列通项公式的方法：如果数列的第n 项有它的前面若干项确定，则称该数列为一个递推数列，一般的，如果()11,,,n k n n n k a F a a a +++-=即n k a +是关于11,,,n n n k a a a ++- 的函数，并且初始值12,,,k a a a 是确定的，那么称{}n a 为一个k 阶递推数列，上式为该数列的k 阶递推式。

氾水高级中学2021-2022学年度高二数学(上)导学活动单(47) 课题 数列的概念(1) 学习目标 1、理解数列的有关概念与数列的表示方法； 2、掌握数列的分类； 3、理解数列的函数特征,掌握判断数列增减性的方法；4、掌握数列通项公式的概念及其应用,能够根据数列的前几项写出数列的一个通项公式。

教学过程 学法指导 活动一：问题情境 情境1：某剧场有30排座位，第一排有20个座位，从第二排起，后排都比前一排多2个座位，那么各排的座位数依次为情境2：人类在1740年发现了一颗彗星，并推算出这颗彗星每隔83年出现一次，那么从发现那次算起，这颗彗星出现的年份依次为情境3：某种细胞，如果每个细胞每分钟分裂为2个，那么每过1分钟，1个细胞分裂的个数依次为情境4：“一尺之捶，日取其半，万世不竭”，意即一尺长的木棒，每日取其一半，永远也取不完。

如果将“一尺之捶”视为1份，那么每日剩下的部分依次为情境5：某种树木第1年长出幼枝，第2年幼枝长成粗干，第3年粗干可生出幼枝，那么按照这种规律，各年树木的枝干数依次为情境6：从1984年到2020年，我国共参加了10次夏季奥运会，各次参赛获得的金牌总数依次为活动二：活动探究类型一 对数列定义的认识例1、下列叙述正确的是( )(A )所有数列可分为递增数列和递减数列两类；(B )数列中的数由它的位置序号唯一确定；(C )数列1，3，5，7可表示为{1，3，5，7}；(D )同一个数在数列中不可能重复出现。

练习：1、下列各项表示数列的是( )(A)△，○，☆，□ (B)2008，2009，2010，…，2017(C)锐角三角形，直角三角形，钝角三角形(D)a b +，a b -，a b ⋅，a λ2、下列数列既是递增数列，又是无穷数列的是( )(A)1，2，3，…，20 (B)－1，－2，－3，…，－n ，…(C)1，2，3，2，5，6，… (D)－1，0，1，2，…，100，…类型二 对数列的通项公式的认识例2、已知数列的第n 项a n 为2n －1，写出这个数列的首项、第2项和第3项。

数列的概念与简单表示法一：数列的概念(1)定义：按照一定顺序排列的一列数称为数列．(2)项：数列中的每一个数叫做这个数列的项．a 1称为数列{a n }的第1项(或称为首项)，a 2称为第2项，…，a n 称为第n 项．(3)数列的表示：数列的一般形式可以写成a 1，a 2，a 3，…，a n ，…，简记为{a n }． [点睛] (1)数列中的数是按一定顺序排列的．因此，如果组成两个数列的数相同而排列顺序不同，那么它们就是不同的数列．例如，数列4,5,6,7,8,9,10与数列10,9,8,7,6,5,4是不同的数列．(2)在数列的定义中，并没有规定数列中的数必须不同，因此，同一个数在数列中可以重复出现．例如：1，－1,1，－1,1，…；2,2,2，…. 二：数列的分类【例1】下列数列中，既是无穷数列又是递增数列的是( )A ．1，13，132，133，…B ．sin π13，sin 2π13，sin 3π13，sin 4π13，…C ．－1，－12，－13，－14，… D ．1,2,3,4，…，30[解析] 数列1，13，132，133，…是无穷数列，但它不是递增数列，而是递减数列；数列sin π13，sin2π13，sin 3π13，sin 4π13，…是无穷数列，但它既不是递增数列，又不是递减数列；数列－1，－12，－13，－14，…是无穷数列，也是递增数列；数列1,2,3,4，…，30是递增数列，但不是无穷数列． [答案] C跟踪训练 给出以下数列：①1，－1,1，－1，…； ②2,4,6,8，…，1 000；③8,8,8,8，…； ④0.8,0.82,0.83,0.84，…，0.810.其中，有穷数列为________；无穷数列为________；递增数列为________；递减数列为________；摆动数列为________；常数列为________．(填序号)解析：有穷数列为②④；无穷数列为①③；递增数列为②；递减数列为④；摆动数列为①；常数列为③.答案：②④ ①③ ② ④ ① ③ 三：数列的通项公式如果数列{a n }的第n 项与序号n 之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式．[点睛] (1)数列的通项公式实际上是一个以正整数集N *或它的有限子集{1,2,3，…，n }为定义域的函数解析式．(2)同所有的函数关系不一定都有解析式一样，并不是所有的数列都有通项公式． 【例2】 (1)数列35，12，511，37，…的一个通项公式是________．(2)根据以下数列的前4项写出数列的一个通项公式． ①12×4，13×5，14×6，15×7，…； ②－3,7，－15,31，…； ③2,6,2,6，….[解析] (1)数列可写为：35，48，511，614，…，分子满足：3＝1＋2,4＝2＋2,5＝3＋2,6＝4＋2，…，分母满足：5＝3×1＋2,8＝3×2＋2,11＝3×3＋2,14＝3×4＋2，…， 故通项公式为a n ＝n ＋23n ＋2.[答案] a n ＝n ＋23n ＋2(2)解：①均是分式且分子均为1，分母均是两因数的积，第一个因数是项数加上1，第二个因数比第一个因数大2， ∴a n ＝1(n ＋1)(n ＋3).②正负相间，且负号在奇数项，故可用(－1)n 来表示符号，各项的绝对值恰是2的整数次幂减1，∴a n ＝(－1)n (2n ＋1－1)．③为摆动数列，一般求两数的平均数2＋62＝4，而2＝4－2,6＝4＋2，中间符号用(－1)n 来表示．a n ＝4＋(－1)n·2或a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2，n 是奇数，6，n 是偶数.跟踪训练 写出下列数列的一个通项公式： (1)0,3,8,15,24，…； (2)1，－3,5，－7,9，…； (3)112，223，334，445，…；(4)1,11,111,1 111，….解：(1)观察数列中的数，可以看到0＝1－1,3＝4－1，8＝9－1,15＝16－1,24＝25－1，…，所以它的一个通项公式是a n ＝n 2－1.(2)数列各项的绝对值为1,3,5,7,9，…，是连续的正奇数，并且数列的奇数项为正，偶数项为负，所以它的一个通项公式为a n ＝(－1)n ＋1(2n －1)．(3)此数列的整数部分1,2,3,4，…恰好是序号n ，分数部分与序号n 的关系为n n ＋1，故所求的数列的一个通项公式为a n ＝n ＋nn ＋1＝n 2＋2n n ＋1.(4)原数列的各项可变为19×9，19×99，19×999，19×9 999，…，易知数列9,99,999,9 999，…的一个通项公式为a n ＝10n －1.所以原数列的一个通项公式为a n ＝19(10n －1).【例3】已知数列{a n }的每一项是它的序号的算术平方根加上序号的2倍． (1)求这个数列的第4项与第25项；(2)253和153是不是这个数列中的项？如果是，是第几项？ [解] (1)由题设条件，知a n ＝n ＋2n . ∴a 4＝4＋2×4＝10，a 25＝25＋2×25＝55.(2)假设253是这个数列中的项，则253＝n ＋2n ，解得n ＝121.∴253是这个数列的第121项．假设153是这个数列中的项，则153＝n ＋2n ，解得n ＝7214，这与n 是正整数矛盾，∴153不是这个数列中的项．跟踪训练 数列1，12，21，13，22，31，14，23，32，41，…，则89是该数列的( )A ．第127项B ．第128项C ．第129项D ．第130项 解析：选B 把该数列的第一项1写成11，再将该数列分组，第一组一项：11；第二组两项：12，21；第三组三项：13，22，31；第四组四项：14，23，32，41；…容易发现：每组中每个分数的分子、分母之和均为该组序号加1，且每组的分子从1开始逐一增加，因此89应位于第十六组中第八位．由1＋2＋…＋15＋8＝128，得89是该数列的第128项．四：数列的递推公式定义：如果已知数列的第1项(或前几项)，且从第2项(或某一项)开始的任一项 a n 与它的前一项 a n －1(或前几项)(n ≥2)间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式叫做这个数列的递推公式．[点睛] (1)与所有的数列不一定都有通项公式一样，并不是所有的数列都有递推公式． (2)递推公式也是给出数列的一种重要方法，递推公式和通项公式一样都是关于项数n 的恒等式，用符合要求的正整数依次去替换n ，就可以求出数列的各项．(3)递推公式通过赋值逐项求出数列的项，直至求出数列的任何一项和所需的项．【例4】 数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝3，a 2n ＋1－a n a n ＋2＝(－1)n，求{a n }的前5项．[解] 由a 2n ＋1－a n a n ＋2＝(－1)n ，得a n ＋2＝a 2n ＋1－(－1)n a n ，又∵a 1＝1，a 2＝3，∴a 3＝a 22－(－1)1a 1＝32＋11＝10，a 4＝a 23－(－1)2a 2＝102－13＝33，a 5＝a 24－(－1)3a 3＝332＋110＝109.∴数列{a n }的前5项为1,3,10,33,109.跟踪训练 已知数列{a n }满足a n ＋1＝⎩⎨⎧2a n，0≤a n<12，2a n－1，12≤a n<1，若a 1＝67，则a 2 018＝________.解析：计算得a 2＝2a 1－1＝57，a 3＝2a 2－1＝37，a 4＝2a 3＝67.故数列{a n }是以3为周期的周期数列，又因为2 018＝672×3＋2，所以a 2 018＝a 2＝57.答案：57【例5】已知数列{a n }满足a 1＝－1，a n ＋1＝a n ＋1n (n ＋1)，n ∈N *，求数列的通项公式a n .解：∵a n ＋1－a n ＝1n (n ＋1)，∴a 2－a 1＝11×2；a 3－a 2＝12×3；a 4－a 3＝13×4；…a n －a n －1＝1(n －1)n ；以上各式累加得，a n －a 1＝11×2＋12×3＋…＋1(n －1)n ＝⎝⎛⎭⎫1－12＋⎝⎛⎭⎫12－13＋…＋⎝⎛⎭⎫1n －1－1n ＝1－1n .∴a n ＋1＝1－1n ，∴a n ＝－1n (n ≥2)． 又∵n ＝1时，a 1＝－1，符合上式，∴a n ＝－1n.跟踪训练．设数列{a n }中，a 1＝1，a n ＝⎝⎛⎭⎫1－1n a n －1(n ≥2)，求数列的通项公式a n .解：∵a 1＝1，a n ＝⎝⎛⎭⎫1－1n a n －1(n ≥2)，∴a n a n －1＝n －1n ，a n ＝a n a n －1×a n －1a n －2×a n －2a n －3×…×a 3a 2×a 2a 1×a 1 ＝n －1n ×n －2n －1×n －3n －2×…×23×12×1＝1n .又∵n ＝1时，a 1＝1，符合上式，∴a n ＝1n.【例6】已知数列{a n }的通项公式是a n ＝()n ＋1·⎝⎛⎭⎫1011n ，试问该数列有没有最大项？若有，求出最大项和最大项的序号；若没有，请说明理由． [解] 法一：a n ＋1－a n ＝(n ＋2)⎝⎛⎭⎫1011n ＋1－(n ＋1)⎝⎛⎭⎫1011n ＝(9－n )⎝⎛⎭⎫1011n11，当n <9时，a n ＋1－a n >0，即a n ＋1>a n ； 当n ＝9时，a n ＋1－a n ＝0，即a n ＋1＝a n ；当n >9时，a n ＋1－a n <0，即a n ＋1<a n .则a 1<a 2<a 3<…<a 9＝a 10>a 11>a 12>…，故数列{a n }有最大项，为第9项和第10项，且a 9＝a 10＝10×91110⎪⎭⎫⎝⎛法二：根据题意，令⎩⎪⎨⎪⎧a n －1≤a n ，a n ≥a n ＋1，(n >1)即⎩⎨⎧n ×⎝⎛⎭⎫1011n －1≤(n ＋1)⎝⎛⎭⎫1011n ，(n ＋1)⎝⎛⎭⎫1011n≥(n ＋2)⎝⎛⎭⎫1011n ＋1，(n >1)解得9≤n ≤10.又n ∈N *，则n ＝9或n ＝10.故数列{a n }最大项，第9项和第10项，且a 9＝a 10＝10×91110⎪⎭⎫⎝⎛跟踪训练 数列{a n }的通项公式为a n ＝3n 2－28n ，则数列{a n }各项中最小项是( ) A ．第4项 B ．第5项 C ．第6项 D ．第7项 解析：选B a n ＝3n 2－28n ＝3⎝⎛⎭⎫n －1432－1963， 当n ＝143时，a n 最小，又n ∈N *，故n ＝5时，a n ＝3n 2－28n 最小．课后练习1．数列{a n }中，a n ＝3n －1，则a 2等于( )A ．2B ．3C ．9D ．32 解析：选B 因为a n ＝3n －1，所以a 2＝32－1＝3. 2．数列0，33，22，155，63，…的一个通项公式是( ) A ．a n ＝n －2nB ．a n ＝ n －1n C ．a n ＝ n －1n ＋1D ．a n ＝ n －2n ＋2解析：选C 已知数列可化为：0，13，24，35，46，…，故a n ＝ n －1n ＋1. 3．已知数列12，23，34，…，nn ＋1，则0.96是该数列的( )A ．第20项B ．第22项C ．第24项D ．第26项 解析：选C 由nn ＋1＝0.96，解得n ＝24.4．已知数列{a n }的首项为a 1＝1，且满足a n ＋1＝12a n ＋12n ，则此数列的第4项是( )A ．1 B.12 C.34 D.58解析：选B 由a 1＝1，∴a 2＝12a 1＋12＝1，依此类推a 4＝12.5．数列{a n }中，a 1＝1，对所有的n ≥2，都有a 1·a 2·a 3·…·a n ＝n 2，则a 3＋a 5等于( ) A.259 B.2516 C.6116 D.3115 解析：选C 由题意a 1a 2a 3＝32，a 1a 2＝22， a 1a 2a 3a 4a 5＝52，a 1a 2a 3a 4＝42，则a 3＝3222＝94，a 5＝5242＝2516.故a 3＋a 5＝6116.6．已知数列{a n }的通项公式a n ＝nn ＋1，则a n ·a n ＋1·a n ＋2等于( )A.n n ＋2B.nn ＋3 C.n ＋1n ＋2 D.n ＋1n ＋3 解析：选B a n ·a n ＋1·a n ＋2＝n n ＋1·n ＋1n ＋2·n ＋2n ＋3＝nn ＋3.故选B. 7．已知数列{a n }的通项公式是a n ＝n －1n ＋1，那么这个数列是( )A ．递增数列B ．递减数列C ．常数列D ．摆动数列 解析：选A a n ＝n －1n ＋1＝1－2n ＋1，∴当n 越大，2n ＋1越小，则a n 越大，故该数列是递增数列．8．已知数列{a n }，a n ＝－2n 2＋λn ，若该数列是递减数列，则实数λ的取值范围是( )A ．(－∞，3]B ．(－∞，4]C ．(－∞，5)D ．(－∞，6) 解析：选D 依题意，a n ＋1－a n ＝－2(2n ＋1)＋λ<0，即λ<2(2n ＋1)对任意的n ∈N *恒成立．注意到当n ∈N *时，2(2n ＋1)的最小值是6，因此λ<6，即λ的取值范围是(－∞，6)． 9．已知数列{a n }满足a 1＝23，a n ＋1＝n n ＋1a n ，得a n ＝________.解析：由条件知a n ＋1a n ＝n n ＋1，分别令n ＝1,2,3，…，n －1，代入上式得n －1个等式，即a 2a 1·a 3a 2·a 4a 3·…·a n a n －1＝12×23×34×…×n －1n ⇒a n a 1＝1n .又∵a 1＝23，∴a n ＝23n . 答案：23n10．数列{a n }的通项公式为a n ＝n 2－6n ，则它最小项的值是________． 解析：a n ＝n 2－6n ＝(n －3)2－9，∴当n ＝3时，a n 取得最小值－9. 答案：－911．已知数列{a n }的通项公式a n ＝nn ＋1，则a n ·a n ＋1·a n ＋2等于________.解析： a n ·a n ＋1·a n ＋2＝n n ＋1·n ＋1n ＋2·n ＋2n ＋3＝nn ＋3. 12．已知数列{a n }，a n ＝b n ＋m (b <0，n ∈N *)，满足a 1＝2，a 2＝4，则a 3＝________.解析：∵⎩⎪⎨⎪⎧ 2＝b ＋m ，4＝b 2＋m ，∴⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－1，m ＝3.∴a n ＝(－1)n ＋3，∴a 3＝(－1)3＋3＝2. 答案：2数列的概念与简单表示法一：数列的概念(1)定义：按照一定顺序排列的一列数称为数列．(2)项：数列中的每一个数叫做这个数列的项．a 1称为数列{a n }的第1项(或称为首项)，a 2称为第2项，…，a n 称为第n 项．(3)数列的表示：数列的一般形式可以写成a 1，a 2，a 3，…，a n ，…，简记为{a n }． [点睛] (1)数列中的数是按一定顺序排列的．因此，如果组成两个数列的数相同而排列顺序不同，那么它们就是不同的数列．例如，数列4,5,6,7,8,9,10与数列10,9,8,7,6,5,4是不同的数列．(2)在数列的定义中，并没有规定数列中的数必须不同，因此，同一个数在数列中可以重复出现．例如：1，－1,1，－1,1，…；2,2,2，…. 二：数列的分类【例1】下列数列中，既是无穷数列又是递增数列的是( )A ．1，13，132，133，…B ．sin π13，sin 2π13，sin 3π13，sin 4π13，…C ．－1，－12，－13，－14，… D ．1,2,3,4，…，30跟踪训练 给出以下数列：①1，－1,1，－1，…； ②2,4,6,8，…，1 000；③8,8,8,8，…； ④0.8,0.82,0.83,0.84，…，0.810.其中，有穷数列为________；无穷数列为________；递增数列为________；递减数列为________；摆动数列为________；常数列为________．(填序号)三：数列的通项公式如果数列{a n }的第n 项与序号n 之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式．[点睛] (1)数列的通项公式实际上是一个以正整数集N *或它的有限子集{1,2,3，…，n }为定义域的函数解析式．(2)同所有的函数关系不一定都有解析式一样，并不是所有的数列都有通项公式． 【例2】(1)数列35，12，511，37，…的一个通项公式是________．(2)根据以下数列的前4项写出数列的一个通项公式． ①12×4，13×5，14×6，15×7，…； ②－3,7，－15,31，…； ③2,6,2,6，….跟踪训练 写出下列数列的一个通项公式： (1)0,3,8,15,24，…； (2)1，－3,5，－7,9，…； (3)112，223，334，445，…；(4)1,11,111,1 111，….【例3】 已知数列{a n }的每一项是它的序号的算术平方根加上序号的2倍． (1)求这个数列的第4项与第25项；(2)253和153是不是这个数列中的项？如果是，是第几项？跟踪训练 数列1，12，21，13，22，31，14，23，32，41，…，则89是该数列的( )A ．第127项B ．第128项C ．第129项D ．第130项四：数列的递推公式定义：如果已知数列的第1项(或前几项)，且从第2项(或某一项)开始的任一项 a n 与它的前一项 a n －1(或前几项)(n ≥2)间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式叫做这个数列的递推公式．[点睛] (1)与所有的数列不一定都有通项公式一样，并不是所有的数列都有递推公式． (2)递推公式也是给出数列的一种重要方法，递推公式和通项公式一样都是关于项数n 的恒等式，用符合要求的正整数依次去替换n ，就可以求出数列的各项．(3)递推公式通过赋值逐项求出数列的项，直至求出数列的任何一项和所需的项．【例4】 数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝3，a 2n ＋1－a n a n ＋2＝(－1)n，求{a n }的前5项跟踪训练 已知数列{a n }满足a n ＋1＝⎩⎨⎧2a n，0≤a n<12，2a n－1，12≤a n<1，若a 1＝67，则a 2 018＝________.【例5】 已知数列{a n }满足a 1＝－1，a n ＋1＝a n ＋1n (n ＋1)，n ∈N *，求数列的通项公式a n .跟踪训练 设数列{a n }中，a 1＝1，a n ＝⎪⎭⎫⎝⎛n 1-1a n －1(n ≥2)，求数列的通项公式a n .【例6】已知数列{a n }的通项公式是a n ＝()n ＋1·n⎪⎭⎫⎝⎛1110，试问该数列有没有最大项？若有，求出最大项和最大项的序号；若没有，请说明理由．跟踪训练 数列{a n }的通项公式为a n ＝3n 2－28n ，则数列{a n }各项中最小项是( ) A ．第4项 B ．第5项 C ．第6项 D ．第7项课后练习1．数列{a n }中，a n ＝3n －1，则a 2等于( )A ．2B ．3C ．9D ．322．数列0，33，22，155，63，…的一个通项公式是( ) A ．a n ＝ n －2nB ．a n ＝ n －1nC ．a n ＝ n －1n ＋1D ．a n ＝ n －2n ＋2 3．已知数列12，23，34，…，n n ＋1，则0.96是该数列的( ) A ．第20项 B ．第22项 C ．第24项 D ．第26项4．已知数列{a n }的首项为a 1＝1，且满足a n ＋1＝12a n ＋12n ，则此数列的第4项是( ) A ．1 B.12 C.34 D.585．数列{a n }中，a 1＝1，对所有的n ≥2，都有a 1·a 2·a 3·…·a n ＝n 2，则a 3＋a 5等于( ) A.259 B.2516 C.6116 D.31156．已知数列{a n }的通项公式a n ＝n n ＋1，则a n ·a n ＋1·a n ＋2等于( ) A.n n ＋2 B.n n ＋3 C.n ＋1n ＋2 D.n ＋1n ＋37．已知数列{a n }的通项公式是a n ＝n －1n ＋1，那么这个数列是( ) A ．递增数列 B ．递减数列 C ．常数列 D ．摆动数列8．已知数列{a n }，a n ＝－2n 2＋λn ，若该数列是递减数列，则实数λ的取值范围是( )9．已知数列{a n }满足a 1＝23，a n ＋1＝n n ＋1a n，得a n ＝________. 10．数列{a n }的通项公式为a n ＝n 2－6n ，则它最小项的值是________．11．已知数列{a n }的通项公式a n ＝n n ＋1，则a n ·a n ＋1·a n ＋2等于________. 12．已知数列{a n }，a n ＝b n ＋m (b <0，n ∈N *)，满足a 1＝2，a 2＝4，则a 3＝________.。

数列编稿：张林娟 审稿：孙永钊【学习目标】1. 掌握数列的概念与简单表示方法，能处理简单的数列问题；2. 掌握数列及通项公式的概念，理解数列的表示方法与函数表示方法之间的关系；3. 了解数列的通项公式的意义并能根据通项公式写出数列的任一项；4. 理解数列的顺序性、感受数列是刻画自然规律的数学模型，体会数列之间的变量依赖关系.【要点梳理】知识点一、数列的概念一般地，按一定次序排列的一列数叫作数列，数列中的每一个数叫作这个数列的项. 数列的一般形式可以写成：简记为{}n a ，其中数列的第1项1a ，也称首项；数列的第n 项n a ，也叫数列的通项. 要点诠释：（1）{}n a 与n a 的含义完全不同：{}n a 表示一个数列，n a 表示数列的第n 项.（2） 数列的项与项数是两个不同的概念：数列的项是指数列中的某一个确定的数，而项数是指这个数在数列中的位置序号. （3） 数列中的数是按一定次序排列的，因此，如果组成两个数列的数相同而排列次序不同，那么它们就是不同的数列；（4）定义中并没有规定数列中的数必须不同，因此，同一个数在数列中可以重复出现. 知识点二、数列的通项公式与前n 项和 1. 数列的通项公式如果数列{}n a 的第n 项n a 与n 之间的函数关系可以用一个公式表示成()n a f n =，那么这个公式就叫做这个数列的通项公式，数列的通项公式就是相应函数的解析式.如数列：0,1,2,3,的通项公式为1n a n =-；1111--，，，，的通项公式为()-11n n a =-；1111,,,,234的通项公式为1n a n =； 要点诠释：（1）并不是所有数列都能写出其通项公式； （2）一个数列的通项公式有时是不唯一的.如数列：1，0，1，0，1，0，⎧通项公式可以是11(1)2n n a ++-=，也可以是1|cos |2n n a π+=.（3）数列通项公式的作用：① 求数列中任意一项；② 检验某数是否是该数列中的一项.（4）数列的通项公式具有双重身份，它表示了数列的第n 项，又是这个数列中所有各项的一般表示．2. 数列n a {}的前n 项和数列{}n a 的前n 项和：指数列{}n a 的前n 项逐个相加之和，通常用n S 表示，即12....n n S a a a =+++3. n a 与n S 的关系知识点三、数列的分类 1. 根据数列项数的多少分有穷数列：项数有限的数列.例如数列1，2，3和2，4，8都是有穷数列； 无穷数列：项数无限的数列.例如数列1，2，3，4，5，6，…是无穷数列. 2. 根据数列项的函数特性分递增数列：从第2项起，每一项都大于它的前一项，即+1> n n a a 的数列； 递减数列：从第2项起，每一项都小于它的前一项，即+1< n n a a 的数列； 常数数列：各项都相等，即+1= n n a a 的数列；摆动数列：从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列. 3. 根据数列项的大小分有界数列：如果数列的任一项的绝对值都小于某个正数；无界数列：不存在某个正数，使得数列任一项的绝对值都小于这个正数. 知识点四、数列的表示方法 1. 通项公式法（解析式法）：数列通项公式反映了一个数列项与项数的函数关系. 给了数列的通项公式，代入项数就可求出数列的每一项．反之，根据通项公式，可以判定一个数是否为数列中的项. 2. 列表法相对于列表法表示一个函数，数列有这样的表示法：用1a 表示第一项，用2a 表示第二项，…，用n a 表示第n 项，…，依次写出得数列{}n a ．项数 12… … 项……3. 图象法：数列是一种特殊的函数，可以用函数图象的画法画数列的图形．具体方法：以项数n 为横坐标，相应的项n a 为纵坐标，即以(,)n n a 为坐标在平面直角坐标系中做出点. 所得的数列的图形是一群孤立的点，因为横坐标为正整数，所以这些点都在y 轴的右侧，而点的个数取决于数列的项数．从图象中可以直观地看到数列的项随项数由小到大变化而变化的趋势．4. 递推公式法递推公式：如果已知数列{}n a 的第1项（或前几项），且任一项n a 与它的前一项1n a -（或前几项）间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式. 递推公式也是给出数列的一种方法. 如：数列：-3，1，5，9，13，⎧，可用递推公式：113,4(2)n n a a a n -=-=+≥表示；数列：3，5，8，13，21，34，55，89，⎧，可用递推公式：12123,5,(3)n n n a a a a a n --===+≥表示.知识点五：数列与函数数列可以看成以正整数集*N （或它的有限子集{1,2,3,,}n ）为定义域的函数()n a f n =，当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值.反过来，对于函数()y f x =，如果()f i （1,2,3,,,i n =）有意义，那么我们可以得到一个数列(1)f ，(2)f ，(3)f ，⎧，()f n ，⎧ .要点诠释：1. 数列是离散函数的重要模型之一数列是一个特殊的函数，它的定义域是正整数或正整数集的子集. 数列是离散函数的一种（离散函数是相对于定义在实数集或者实数集的某个区间上的函数而言的），它在数学中有重要的地位.2. 数列的通项公式实际上就是相应函数的解析式数列的项是函数值，序号是自变量，数列的通项公式就是相应函数的解析式. 数列的通项公式反映了一个数列项与项数的函数关系. 给了数列的通项公式，代入项数就可求出数列的每一项．反之，根据通项公式，可以判定一个数是否为数列中的项. 3. 数列的图象是落在y 轴右侧的一群孤立的点数列()n a f n =的图象是以项数n 为横坐标，相应的项n a 为纵坐标的一系列孤立的点(,)n n a ，这些点都落在函数()y f x =的图象上. 因为横坐标为正整数，所以这些点都在y 轴的右侧，而点的有限或无限取决于数列是有穷数列还是无穷数列，我们从图象中可以直观地看到数列的项随项数由小到大变化而变化的趋势．4.跟不是所有的函数都有解析式一样，不是所有的数列都有通项公式. 【典型例题】类型一：根据数列的前几项写出数列的一个通项公式例1．写出下列各数列的一个通项公式，使其前四项分别是: (1) 0， 32，83，154，…； (2) 1，34-，59，716-，…； (3) 9， 99，999， 9999，…； (4) 6， 1， 6，1，….【思路点拨】观察法求数列的通项公式，需注意一下两点：纵向分析：观察各项与对应的项数n 之间的关系；横向比较：观察各项之间的变化规律，能否用统一的式子表示. 【解析】（1）将数列改写为2111-，2212-，2313-，2414-，…，故21n n a n-=.（2）此数列奇数项为正，偶数项为负，可用1(1)n +-来表示；其绝对值中分子为奇数数列，分母是自然数的平方数列， 故1221(1)n n n a n +-=-⋅. （3）将数列改写为1101-， 2101-， 3101-， 4101-，…，故101n n a =-.（4）将数列每一项减去6与1的平均值72得新数列52， -52，52， -52，…， 故175(1)22n n a +=+-⋅或75cos(1).22n a n π=++ 【总结升华】写通项时注意以下常用思路：①若数列中的项均为分数，则先观察分母的规律再观察分子的规律，如(1)；特别注意有时分数是约分后的结果，要根据观察还原分数；②注意(－1)n 在系数中的作用是让数列中的项正、负交替出现，如(2)；(-1)n作指数，让数列中隔项出现倒数；③（4）可视为周期数列，故想到找一个周期为2的函数为背景.④归纳猜想的关键是从特殊中去寻找一般规律，很多情况下是将已写出的项进行适当的变形，使规律明朗化.⑤熟练掌握一些基本数列的通项公式，例如：数列-1，1，-1，1，…的通项公式为(1)n n a =-； 数列1，2，3，4，…的通项公式为n a n =； 数列1，3，5，7，…的通项公式为21n a n =-； 数列2，4，6，8，…的通项公式为2n a n =； 数列1，4，9，16，…的通项公式为2n a n =； 数列1，12，13，14，…的通项公式为1n a n=. 举一反三：【高清课堂：数列的概念与简单表示法379271 数列知识的讲解及配套练习】 【变式】根据下面数列的前几项的值，写出数列的一个通项公式：(1) 1， 1， 1， 1，…； (2) -1， 1， -1， 1， …；(3) 1， -1， 1， -1， …；(4)1111--234，，，， …；(5) 2，0，2，0，…. 【答案】(1)1n a =；(2)2(1)n n a +=- ； (3)1(1)n n a +=-；(4)11(1)n n a n +=- ；(5)11(1)n n a +=+-； 类型二：通项公式的应用例2.设数列{}n a 满足2n na n =+，写出这个数列的前五项. 【思路点拨】题中已给出{}n a 的通项公式2n na n =+，分别取12345n =，，，，，即可求出前五项1 2345a a a a a ，，，，.【解析】数列{}n a 的前五项为：113a =；22142a ==；335a =；44263a ==；557a =.【总结升华】根据数列的通项公式，可以写出数列的所有项. 举一反三：【变式1】设数列{}n a 满足(1)nn a n-=，写出这个数列的前五项.【答案】1-，12，13-，14，15-. 【变式2】根据下列数列{}n a 的通项公式，写出它的第五项.（1）21n n a n =-； （2）sin 2n n a n π=， 【答案】（1）59；（2）5.例3．已知数列{}n a 的通项公式32n a n =-， 试问下列各数是否为数列{}n a 的项，若是，是第几项？(1) 94；(2) 71.【思路点拨】本题考查同学们对项与项数的理解，在通项公式32n a n =-中，已知项数n a ，求正自然数n ，带入解方程即可. 【解析】（1）设9432n =-， 解得32n =.故94是数列{}n a 的第32项. （2）设7132n =-，解得1243n N *=∉.故71不是数列{}n a 的项.【总结升华】方程思想是解决数列中未知量的主要方法，1,,,,n n n a d S a 中知三求二，就是采用了方程的思想. 举一反三：【变式】已知数列{}n a 的通项公式(1)(2)n a n n =++，（1）若9900n a =，试问n a 是第几项？ （2）56和28是否为数列{}n a 的项？ 【答案】（1）98项；（2）56是，28不是. 类型三：递推公式的应用【高清课堂：数列的概念与简单表示法379271 例2】例4. 设数列{}n a 满足：11a =，111n n a a -=+(2)n ≥，写出这个数列的前五项. 【思路点拨】题中已给出{}n a 的第1项11=a 和递推公式：111-+=n n a a ，故可以依次写出下列前五项.【解析】据题意可知：11a =，21112a a =+=，321312a a =+=，431513a a =+=，585a = 故数列的前5项为:1，2，23，35，58. 【总结升华】递推公式也是给出数列的一种方法，根据数列的递推公式，可以逐次写出数列的所有项. 举一反三：【变式1】已知数列{}n a 满足：11a =，23a =，212n n n a a a ++=+(1)n ≥，写出前6项. 【答案】11a =，23a =，35a =，411a =，521a =，643a =.【变式2】已知数列{}n a 满足：21=a ，n n a a 21=+，写出前5项，并猜想n a ． 【答案】法一：21=a ，22222=⨯=a ，323222=⨯=a ，观察可得n n a 2=法二：由n n a a 21=+，∴12-=n n a a 即21=-n na a ∴112322112------=⨯⨯⨯⨯n n n n n n n a aa a a a a a∴nn n a a 2211=⋅=-类型四：前n 项和公式n S 与通项n a 的关系例5．已知数列{}n a 的前n 项和公式n S ，求通项n a .（1）221n S n n =-+， (2)2log (1)n S n =+.【思路点拨】先由2n ≥时，1n n n a S S -=-，求出n a ；再由当1n =时，11a S =，求出1a ，并验证1a 是否符合所求出的n a .【解析】(1) 当2n ≥时，221(21)[2(1)(1)1]43n n n a S S n n n n n -=-=-+----+=-，当1n =时，21121112413a S ==⨯-+=≠⨯-，∴*2,(1)43,(2)n n a n n n N =⎧=⎨-≥∈⎩且(2)当2n ≥时，12221log (1)log log n n n n a S S n n n-+=-=+-=， 当1n =时，112211log (11)1log 1a S +==+==， ∴21log n n a n+=(n N *∈)为所求. 【总结升华】已知n S 求出n a 依据的是n S 的定义：12...n n S a a a =+++，分段求解，然后检验结果能否统一形式，能就写成一个，否则只能写成分段函数的形式. 举一反三：【变式1】已知数列{}n a 的前n 项和23nn S =-，求通项n a .【答案】当2n ≥时，11111(23)(23)222(21)2n n n n n n n n n a S S -----=-=---=-=-=，当1n =时，1111123121a S -==-=-≠=，∴1*1,(1)2,(2)n n n a n n N --=⎧=⎨≥∈⎩且【变式2】已知数列{}n a 的前n 项积2n S n =+，求通项n a【答案】当2n ≥时，121n n n S n a S n -+==+， 当1n =时，111212311a S +==+=≠+， ∴*3,(1)2,(2)1n n a n n n N n =⎧⎪=+⎨≥∈⎪+⎩且. 类型五：数列与函数例6．已知数列{}n a 中323n n a n -=+，判断数列{}n a 的单调性，并给以证明. 【思路点拨】选择数列中任意相邻两项比较大小（可采用作差法）即可. 【解析】∵3(3)1111333n n a n n +-==-++， ∴1111111(3)(3)043(3)(4)n n a a n n n n +-=---=>++++（*n ∈N ） ∴数列{}n a 是递增数列.【总结升华】数列也是函数，可以用证明函数的单调性的方法来证明.举一反三： 【变式1】数列{}n a 中：11a =，122n n n a a a +=+（*n N ∈） （1）写出它的前五项，并归纳出通项公式； （2）判断它的单调性. 【答案】（1）11a =，223a =，31224a ==， 425a =， 51236a ==，∴ 21n a n =+； （2）方法一：∵1222021(2)(1)n n a a n n n n +-=-=-<++++， ∴ 数列{}n a 是递减数列. 方法二：∵函数2()1f x x =+在[1,)x ∈+∞上单调递减， ∴数列{}n a 是递减数列.【变式2】数列{}n a 中：1()2n n a a =⋅（*n N ∈，0a ≠且a 为常数），判断数列{}n a 的单调性.【答案】∵11111()()()2222n n n n n a a a a a ++-=⋅-⋅=-⋅，当0a >时10n n a a +-<， ∴数列{}n a 是递减数列； 当0a <时10n n a a +->， ∴数列{}n a 是递增数列.类型六：求数列前n 项和的最值例7. 已知数列{n a }的前n 项和()2=+24n S n n n *-∈N ．(1)求{n a }的通项公式；(2)当n 为何值时，n S 达到最大？最大值是多少？【思路点拨】第（1）问采用公式()()1*1,1,2.n n n S n a S S n n -⎧=⎪=⎨-≥∈⎪⎩N ；且注意验证第一项；在第（2）问中，要使n S 达到最大，可通过通项分析（此时，n 满足+100.n n a a ≥⎧⎨≤⎩；），也可以通过前n 项和公式分析（利用函数的单调性）. 【解析】（1）当n =1时，11==10a S ，当n ⇓2时， 而1=23a 满足上式， 所以()*=25-2.n a n n ∈Ν，（2）法一：考察函数()2=- +24f x x x ，它的图象是一条抛物线，如图在抛物线的对称轴x =12处该函数取得最大值144. 所以当n =12时，S n ＝－n 2＋24n 取得最大值144. 法二：=25-2n a n 可以看作分布在直线()g =25-2x x 上的一系列孤立的点，而()g x 的图象是一条单调递减的直线. 所以要使S n 达到最大值，只需+100.n n a a ≥⎧⎨≤⎩；即可，解得2325.22n ≤≤ 由*n ∈Ν得，n =12.当n =12时S n 取得最大值，此时，【总结升华】求解数列的最值问题时，可转化为相应的函数，再通过函数的最值求得结果. 这个过程用到了转化与化归思想、数形结合思想，综合性较强. 举一反三：【变式1】已知数列{n a }的前n 项和()2=+11n S n n n *-∈N ，当n =______时，n S 取得最大值. 【答案】5或6【变式2】当数列{}3-20n 的前n 项和取得最小值时，项数n 的值为________. 【答案】6。

1、答案：B2、解析：选A a 8＝S 8－S 7＝64－49＝15.3、解析：选A a n ＋1－a n ＝n ＋1n ＋2－n n ＋1＝(n ＋1)2－n (n ＋2)(n ＋1)(n ＋2)＝1(n ＋1)(n ＋2)>0.4、解析：a 4·a 3＝2×33·(2×3－5)＝54.答案：545、解析：由已知得⎩⎨⎧2p ＋q 2＝32，4p ＋q 4＝32，解得⎩⎪⎨⎪⎧p ＝14，q ＝2.则a n ＝14n ＋2n ，故a 8＝94.答案：94一题多变：答案：a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧0(n 为奇数)，1(n 为偶数).⎝⎛⎭⎫或a n ＝1＋(－1)n2或a n＝1＋cos n π2练习1：解：(1)各项减去1后为正偶数，所以a n ＝2n ＋1.(2)每一项的分子比分母少1，而分母组成数列21,22,23,24，…，所以a n ＝2n －12n .(3)将数列各项改写为93，993，9993，99993，…，分母都是3，而分子分别是10－1,102－1,103－1,104－1，….所以a n ＝13(10n －1)．(4)奇数项为负，偶数项为正，故通项公式的符号为(－1)n ；各项绝对值的分母组成数列1,2,3,4，…；而各项绝对值的分子组成的数列中，奇数项为1，偶数项为3，即奇数项为2－1，偶数项为2＋1，所以a n ＝(－1)n·2＋(－1)nn ，也可写为a n ＝⎩⎨⎧－1n，n 为正奇数，3n，n 为正偶数.练习2：选D 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n n ＋1－n －1n ＝1n (n ＋1)，则a 5＝15×6＝130.一题多变2：解：b n ＝a n n ＝n 2－21n ＋20n ＝n ＋20n －21， 令f (x )＝x ＋20x－21(x >0)，则f ′(x )＝1－20x 2， 由f ′(x )＝0解得x ＝25或x ＝－25(舍)． 而4<25<5，故当n ≤4时，数列{b n }单调递减； 当n ≥5时，数列{b n }单调递增．而b 4＝4＋204－21＝－12， b 5＝5＋205－21＝－12，所以当n ＝4或n ＝5时，b n 取得最小值，最小值为－12.练习3解析：选C a n ＝1n ＋90n ，由基本不等式得，1n ＋90n ≤1290，由于n ∈N *，易知当n ＝9或10时，a n ＝119最大必做题1、解析：选A 由题可知S n ＝2(a n －1)，所以S 1＝a 1＝2(a 1－1)，解得a 1＝2. 又S 2＝a 1＋a 2＝2(a 2－1)，解得a 2＝a 1＋2＝4.2、选C 所给数列呈现分数形式，且正负相间，求通项公式时，我们可以把每一部分进行分解：符号、分母、分子．归纳出通项公式，a n ＝(－1)n＋12n 2n ＋1，故a 10＝－2021.3、解析：选D 设数列{a n }的前n 项积为T n ，则T n ＝n 2，当n ≥2时，a n ＝T n T n －1＝n 2(n －1)2.4、解析：选B ∵a n ＋1a n ＝12<1.又a 1>0，则a n >0，∴a n ＋1<a n .∴{a n }是递减数列．5、解析：选C 依题意S nn 表示图象上的点(n ，S n )与原点连线的斜率，由图象可知，当n ＝9时，S nn最大，故m ＝9.6、解析：选D 因为a n －a n －1＝n ＋2(n ≥2)，所以a n ＝5＋(n ＋6)(n －1)2， 所以a 2 012－5＝1 009×2 011.7、解析：令s ＝t ＝2，则a 4＝a 2×a 2＝4，令s ＝2，t ＝4，则a 8＝a 2×a 4＝8.答案：8 8、解析：将a 1＝1，a 2＝2代入a n ＝a n －1a n －2得a 3＝a 2a 1＝2，同理可得a 4＝1，a 5＝12，a 6＝12，a 7＝1，a 8＝2，故数列{a n }是周期数列，周期为6，故a 2 012＝a 335×6＋2＝a 2＝2.答案：29、解析：由已知条件可得S n ＋1＝2n ＋1. 则S n ＝2n ＋1－1，当n ＝1时，a 1＝S 1＝3，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n ＋1－1－2n＋1＝2n，n ＝1时不适合a n ，故a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧3，n ＝1，2n ，n ≥2.10、解：(1)当n ＝4时，a 4＝42－4×7＋6＝－6.(2)令a n ＝150，即n 2－7n ＋6＝150，解得n ＝16或n ＝－9(舍去)， 即150是这个数列的第16项．(3)令a n ＝n 2－7n ＋6>0，解得n >6或n <1(舍)．故从第7项起各项都是正数．11、解：∵当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(2n 2＋2n )－[2(n －1)2＋2(n －1)]＝4n ， 当n ＝1时，a 1＝S 1＝4也适合， ∴{a n }的通项公式是a n ＝4n (n ∈N *)． ∵T n ＝2－b n ， ∴当n ＝1时，b 1＝2－b 1，b 1＝1. 当n ≥2时， b n ＝T n －T n －1＝(2－b n )－(2－b n －1)，∴2b n ＝b n －1. ∴数列{b n }是公比为12，首项为1的等比数列． ∴b n ＝⎝⎛⎭⎫12n －1. 12、解：(1)由题知，a 1＝2，a 2＝2＋c ，a 3＝2＋3c ， 因为a 1，a 2，a 3成等比数列，所以(2＋c )2＝2(2＋3c )， 解得c ＝0或c ＝2，又c ≠0，故c ＝2.(2)当n ≥2时，由a n ＋1＝a n ＋cn 得 a 2－a 1＝c ， a 3－a 2＝2c ， …a n －a n －1＝(n －1)c ，以上各式相加，得a n －a 1＝[1＋2＋…＋(n －1)]c ＝n (n －1)2c ，又a 1＝2，c ＝2，故a n ＝n 2－n ＋2(n ≥2)，当n ＝1时，上式也成立， 所以数列{a n }的通项公式为a n ＝n 2－n ＋2(n ∈N *)．选做题1、解析：选B 因为a n ＋1a n ＝2n ，所以a n ＋1a n ＋2＝2n ＋1，两式相除得a n ＋2a n＝2.又a 1a 2＝2，a 1＝1，所以a 2＝2， 则a 10a 8·a 8a 6·a 6a 4·a 4a 2＝24，即a 10＝25.2、解析：选B 法一：由n (a n ＋1－a n )＝a n 得na n ＋1＝(n ＋1)a n ，可得3a 4＝4a 3，已知a 3＝π，则a 4＝43π. 又由2a 3＝3a 2，得a 2＝23π，由a 2＝2a 1，得a 1＝π3，故S 4＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝103π， tan S 4＝tan 103π＝ 3.法二：∵由n (a n ＋1－a n )＝a n ，得na n ＋1＝(n ＋1)a n 即a n ＋1n ＋1＝a nn ，∴a n n ＝a n －1n －1＝a n －2n －2＝…＝a 33＝π3. ∴a n ＝π3n ， ∴S 4＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝π3(1＋2＋3＋4)＝103π，tan S 4＝tan 103π＝ 3.3、解：(1)∵m ＝1，由a n ＋1＝2a 2n ＋3a n ＋1a n ＋1(n ∈N *)，得a n ＋1＝(2a n ＋1)(a n ＋1)a n ＋1＝2a n ＋1，∴a n ＋1＋1＝2(a n ＋1)， ∴数列{a n ＋1}是以2为首项，公比也是2的等比数列． 于是a n ＋1＝2·2n －1，∴a n ＝2n －1.(2)∵a n ＋1≥a n ，而a 1＝1，知a n ≥1， ∴2a 2n ＋3a n ＋ma n ＋1≥a n ，即m ≥－a 2n －2a n ， 依题意，有m ≥－(a n ＋1)2＋1恒成立．∵a n ≥1，∴m ≥－22＋1＝－3，即[－3，＋∞)．备选题1、解析：选C ∵数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫n ＋1n 的通项公式为a n ＝n ＋1n ＝1＋1n ，∴a k ＝1＋1k .故C 正确；由数列的定义可知A 、B 均错；D 应记作{2(n －1)}．2、解析：选B a 1＝12－a 2＝12－2，a 2＝2，a 3＝12－2，a 4＝2，…，知a 2n ＝2，a 2n －1＝12－2，故S 21＝10×12＋a 1＝5＋12－2＝72.3、解析：选C 从图中可观察星星的构成规律，n ＝1时，有1个；n ＝2时，有3个；n ＝3时，有6个；n ＝4时，有10个，…故a n ＝1＋2＋3＋4＋…＋n ＝n (n ＋1)2. 4、解析：两边取倒数，得1a n ＋1＝2a n ＋1a n ＝2＋1a n ，故有1a n ＋1－1a n＝2.故数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是首项为1a 1＝13，公差为2的等差数列，所以1a n ＝13＋2(n －1)＝6n －53，故a n ＝36n －5. 答案：36n －55、解析：当n ≥2，有(n －1)a n ＝n ×2n a n －1，故a n a n －1＝n n －1×2n ，则有a n －1a n －2＝n －1n －2×2n －1，a n －2a n －3＝n －2n －3×2n －2，…，a 2a 1＝21×22.上述n －1个式子累乘，得a n a 1＝⎝⎛⎭⎫n n －1×2n ×⎝ ⎛⎭⎪⎫n －1n －2×2n －1×⎝⎛⎭⎪⎫n －2n －3×2n －2×…×⎝⎛⎭⎫21×22＝n ×2n ＋(n －1)＋(n －2)＋…＋2＝n ×2(n －1)(n ＋2)2.又因为a 1＝1，所以a n ＝n ×2(n －1)(n ＋2)2，而当n ＝1时，a 1＝1×20＝1，也满足上式，故数列{a n }的通项公式为a n ＝n ×2(n －1)(n ＋2)2.答案：a n ＝n ×2(n －1)(n ＋2)2。