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§5.2 方阵的特征值与特征向量

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特征多项式

特征多项式

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铃
❖特征值与特征向量
设A是n阶矩阵 如果数和n维非零向量x使关系式 Axx
成立 那么 这样的数称为方阵A的特征值 非零向量x称为A 的对应于特征值的特征向量
❖特征多项式与特征方程
设A为n阶方阵 则称的n次多项式f()|AE|为方阵A的 特征多项式 称|AE|0为方阵A的特征方程
成立 那么 这样的数称为方阵A的特征值 非零向量x称为A 的对应于特征值的特征向量
❖特征多项式与特征方程
设A为n阶方阵 则称的n次多项式f()|AE|为方阵A的 特征多项式 称|AE|0为方阵A的特征方程
提示
Axx(AE)x0
齐次方程(AE)x0有非零解|AE|0
所以kp1(k0)是对应于12的全部特征向量 对于231 解方程(AE)x0 得基础解系p2(121)T
所以kp2(k0)是对应于231的全部特征向量
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铃
例3
求矩阵
A
2 0
4
1 2 1
031的特征值和特征向量
解 A的特征多项式为
2 1 1 | AE | 0 2 0 ( 1)( 2)2
4 1 3
所以A的特征值为11 232 对于11 解方程(AE)x0 得基础解系p1(1 0 1)T
所以对应于11的全部特征向量为kp1(k0) 对于232 解方程(A2E)x0 得基础解系
提示
特征方程|AE|0的根就是矩阵A的特征值 齐次方程
(AE)x0的非零解x就是A的对应于特征值的特征向量
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铃
❖特征值与特征向量

方阵的特征值和特征向量

方阵的特征值和特征向量

证明 多项式根与系数的关系.
5
三、特征值与特征向量的求法
Step 1 ：计算 A 的特征多项式，求出特征方程的
所有根. 设矩阵 A 有 s 个不同的特征值
1 , 2 , …, s .
Step 2 : 对 A 的每个特征值 i ( i = 1, 2, …,s ),
求解齐次线性方程组 (A i E ) x = 0，
1/ 2 解之得基础解系为 p1 1 , 1
所以 k1 p1 是对应于1 2 的全部特征向量;
13
当 2 1 时, 解方程组 ( A E ) x 0 ,
2 2 0 1 2 0 x1 2 0 2 x2 0, A 2 1 2 0 2 0 0 2 1 x 3 1 解之得基础解系为 p2 1 / 2 , 1
所以，A 的特征值为 1 2 , 2 1 , 3 4.
12
当 1 2 时, 解方程组 ( A 2 E ) x 0 ,
2 2 0 4 2 0 x1 2 3 2 x2 0, A 2 1 2 0 2 0 0 2 2 x 3
0 1 1 A 1 0 1 1 1 0
所以 k1 p1 是对应于 1 2 的全部特征向量;
8
当 2 3 1 时, 解方程组 ( A E ) x 0 ,
1 1 1 x1 1 1 1 x2 0, 1 1 1 x 3
所以 k1 p1 是对应于1 2 3 1 的全部特征向量.
11
2 2 0 例 9 A 2 1 2 , 求 A 的特征值与特征向量. 0 2 0

矩阵的特征值与特征向量专题讲解

矩阵的特征值与特征向量专题讲解

矩阵的特征值与特征向量专题讲解一、内容提要一、矩阵的特征值和特征向量 1、基本概念设A 为n 阶方阵，若存在数λ和n 为非零向量0,a ≠使Aa a λ=，则称λ是A 的特征值，a 是属于λ的特征向量；矩阵E A λ-称为A 的特征矩阵；E A λ-是λ的n 次多项式，称为A 的特征多项式；E A λ-=0称为A 的特征方程；2、特征值、特征向量的求法（1）计算A 的特征值，即解特征方程E A λ-=0；（2）对每一个特征值0λ，求出相应的齐次线性方程组()00E A X λ-= 一个基础解系123,ξξξ，，...,则属于0λ的全部特征向量为11...s s k k ξξ++，其中1,...,s k k 为不全为零的任意常数； 3、特征值、特征向量的性质（1）A 与T A 的特征值相同（但特征向量一般不同）；（2）属于同一特征值的特征向量的线性组合仍是属于该特征值的特征向量； （3）属于不同特征值的特征向量线性无关；（4）设()0Aa a a λ=≠，则(),,m kA A P A 的特征值分别为(),,m k P λλλ，其中()P x 为任一多项式，而a 仍为相应的特征向量；（5）若A 可逆，()0Aa a a λ=≠，则1λ是1A -的特征值；A λ是*A 的特征值，a 仍为相应的特征向量；（6）设12n λλλ，，...是n 阶方阵的特征值，则有()11n ni ii i i a tr A λ====∑∑（迹）；1nii A λ==∏;推论：A 可逆当且仅当A 的特征值全不为零；（7）若A 为实对称阵，则A 的所有特征值均为实数，且属于不同特征值的特征向量彼此正交。

二、相似矩阵 1、定义设,A B 为n 阶方阵，若存在n 阶可逆阵P ，使1P AP B -=,称A 与B 相似，记为A ～B ； ２、A ～B 的性质T T A B ,,,M M kA kB A B ～～～()(),P A P B ～其中P 为任一多项式；()(),,,r A r B A B E A E B λλ==-=-⇒特征值相同，()()tr A tr B =；若A 可逆，则B 也可逆，且11A B --～。

线性代数第五章 方阵的特征值和特征向量

线性代数第五章 方阵的特征值和特征向量

评 注 n 阶方阵有 n 个线性无关的特征向量才可对角化的证明过程如下：
Q
A
(α1
,α
2
L
,
α
n
)
=
(
λ1α1,
λ2α
2
,L,
λnα
n
)
=
[α1
,L,α
n
]

λ1
O
0

=
[α1 ,L ,α n
]
Λ
0
λn
⇔ [α1，L，αn ]−1 A(α1,L,αn ) = Λ （[α1，L，αn ]−1 存在要求α1，L，αn 线性无关）

A−1
→
1 λ

A∗
→
A λ
2．特征向量 ξ
2.1 性 质： 首先它要求是一个非零的列向量，其次它是和某个特征值对应的，不能孤立存在，但反
过来，一个重根特征值却可以对应多个线性无关的特征向量，但重根特征值对应线性无关的 特征向量的个数不一定与重根特征值的重数相等，但对实对称矩阵一定相等，所以，实对称 矩阵有多少个特征值（包括重根的重数）就一定有多少个线性无关的特征向量。
0
1 0 0
评
注
ξ1
=

0 0

,
ξ2 = 10 ,
ξ3
=
10

⇒
正是三阶单位矩阵
E3 =

0 0
1 0
01 的三个列 (或行)向量，
1 0 0
这就是为什么在求形如

0 0
0 0
0 0

基础解系时，用
E
的列向量依次填补后面坐标分量的原因。

方阵的特征值与特征向量

方阵的特征值与特征向量

证明 则
∵ (λE − A)Τ = λE − AΤ
λE − A = (λE − A)
Τ Τ
= λE− A
得到 A 与 AT 有相同的特征多项式， 则它们的特征值相同。
21
性质2 实对称矩阵的不同 不同特征值的特征向量相互正交 正交。 不同 正交
P 即设 λ1, λ2 是实对称矩阵A的两个不同的特征值， 1, P2
( 2)
x1, x2 ,⋯, xn 是齐次方程（3）的非零解。
因为X为非零向量， 则（3）有非零解
⇔ λE − A = 0
(4)
6
设 p1, p2 ,⋯, ps 是方阵 A的对应于特征值 λ 定理1 定理1 的线性无关的特征向量,则
k1 p1 + k2 p2 +⋯+ ks ps (k1, k2 ,⋯, ks 是不全为零的常数.)
列向量 X , 使方程 AX = λX
(1)
λX − AX =θ 即 (λE − A) X =θ ( 2) , （2）式说明特征向量 X 的坐标 x1, x2 ,⋯ xn 是齐次 特征向量
非零解。 方程（2）的非零解 非零解
5
（1）式也可写成 即
λX − AX =θ
(λE − A) X =θ
(λ − a11)x1 − a12x2 +⋯− a1n xn = 0 − a x + (λ − a )x +⋯− a x = 0 21 1 22 2 2n n (3) ⋯ ⋯ ⋯ − an1x1 − an2 x2 +⋯+ (λ − ann )xn = 0
−1 k2 p2 = k2 −1 1
x3 = k2
(k2任意实数）

方阵的特征值与特征向量

方阵的特征值与特征向量
4
19
第19页/共27页
练习题3: P143 判断下列命题是否正确．
(1) 如果 i 是方阵 A 的特征值，则 i 对应的特征
向量构成的集合 N(i E A) {x | (i E A)x 0};
(错)
(2) 方阵 A 的任何一个特征值一定对应无穷多个特征向量;
(对)
(3) 由于方阵 A 和 AT有一样的特征值, 故他们也有一样的
再由Ax x可得
x A1 Ax A1 x A1x
A1 x 1 x 故 1是矩阵A 1的特征值, 且x是A 1对应于 1
的特征向量.
16
第16页/共27页
下证： Ax A x.
当A可逆时, 即 A 0时,
由 12 n A，知 0， 再由Ax x可得
A x A Ix AAx Ax A x
分别对应于 k , m , 1, 1 A 的特征向量。
14
第14页/共27页
证明 2 Ax x
AAx Ax Ax x A2 x 2 x
再继续施行上述步骤 m 2次，就得 Am x m x 故m 是矩阵Am的特征值,且 x是 Am 对应于m的特
征向量.
15
第15页/共27页
3当A可逆时, 由 12 n A，知 0，
1 1 1
2.
设A
2 1
2 1
21
求 A 的特征值与特征向量.
26
第26页/共27页
感谢您的欣赏
27
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11
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当 2 3 1 时，齐次线性方程组为 A E x 0
2 1 0 1 0 1
A
E
4 1
2 0
0 1

线性代数167;5.2

线性代数167;5.2
依此递推得, m是矩阵Am的特征值(m为正整数)， 且x是矩阵Am的属于特征值m的特征向量.
一般地: 若是矩阵A的特征值, 则()是矩阵多项 式(A)的特征值, 其中
()=a0+a1+···+amm, (A)=a0E+a1A+···+amAm.
事实上，( A)x (a0E a1A am Am )x
k2 p2 + k3 p3 (k2, k3不同时为零).
本例中特征值有二重根，有 三个线性无关的特征向量.
例4（结论）：对角矩阵或上（下）三角矩阵A的特 征值就是矩阵A的 n 个主对角元. 因为
a11
0
| A E |
a22
0
0
(a11 )(a22 ) (ann )
ann
~
0 0
1 0
1 0
,
1
得基础解系
p1
1 1
.
故对应特征值1= –5的所有特征向量为kp1(k0).
当2=3=1时, 解方程组( A–E )x = 0. 由 得基础解系
2 2 2 1 1 1
1
1
A
E
2 2
2 2
2 2
~
0 0
0 0
0 0
,
p2
01
,
p3
0 1
,
故对应特征值2=3=1的所有特征向量为
i aii
i 1
i 1
i 1
2: 若是矩阵A的特征值, x是A的属于的
特征向量，则
(1) k是矩阵kA的特征值(k为任意实数);
(2) (3)
m是矩阵Am的特征值(m为正整数); 当A可逆时, 则-1是逆矩阵A-1的特征值；

方阵的特征值和特征向量

方阵的特征值和特征向量
的特征向量, 即有
则 l1 p l2 p 即 (l1 l2 ) p 0 由于 l1 l2 0, 则 p 0, 而这是不可能的.
4. 矩阵 A 和 AT 的特征值相同.
证明: 因为 AT l E AT (l E)T ( A l E)T
所以 AT lE ( A lE)T A lE
设 n 阶矩阵 A 的特征值为 l1, l2, …, ln，则 ✓ l1 + l2 + … + ln = a11 + a22 + … + ann ✓ l1 l2 … ln = |A| 若 l 是 A 的一个特征值，则齐次线性方程组(A−lE) x = 0
的基础解系就是对应于特征值为 l 的全体特征向量的最大
1 3 l
所以 A 的特征值为 l1 = 2，l2 = 4 ． 当 l2 = 4 时， 对应的特征向量应满足方程组( A 4E)x 0
34

1
1 34


x1 x2



0 0



1 1
1 1


x1 x2
Ax = l x = lE x <=> Ax - lE x = 0 非零向量 x 满足 (A−lE) x = 0（零向量）
齐次线性方程组有非零解
系数行列式 | A−lE | = 0
特 征 方 程
特
a11 l a12 L
征 多
|
A l E |
项
a21 M
a22 l L
M
式
an1
an2 L
的基础解系就是对应于特征值为 l 的全体特征向量的最大

矩阵的特征值和特征向量

矩阵的特征值和特征向量

矩阵的特征值和特征向量矩阵是线性代数中重要的概念之一，其特征值和特征向量也是矩阵理论中的核心内容。

本文将全面介绍矩阵的特征值和特征向量，包括定义、性质、求解方法以及应用等方面，为读者深入理解和应用矩阵的特征值和特征向量提供帮助。

一、特征值和特征向量的定义矩阵A是由m×n个数构成的矩形数表，其特征值和特征向量是矩阵的重要性质。

对于一个n阶矩阵A，如果存在一个非零向量x，使得Ax=kx，其中k为常数，那么k就是矩阵A的特征值，而非零向量x称为A对应于特征值k的特征向量。

特征值和特征向量的定义说明了矩阵在线性变换下的不变性。

特征向量表示了矩阵在该线性变换下的一个不变方向，而特征值则表示了该方向上的伸缩倍数。

二、特征值和特征向量的性质矩阵的特征值和特征向量具有以下性质：1. 特征值与矩阵的行列式和迹有关。

对于n阶矩阵A，其特征值λ1, λ2, …, λn满足λ1 + λ2 + … + λn = tr(A)，λ1 × λ2 × … × λn = |A|。

2. n阶方阵的特征向量个数不超过n，且特征向量线性无关。

3. 若λ是方阵A的特征值，则对于任意非零常数c，cλ也是A的特征值。

4. 若λ是方阵A的特征值，且x是A对应于λ的特征向量，则对于任意正整数k，λ^k是A^k的特征值，x是A^k对应于特征值λ^k的特征向量。

三、特征值和特征向量的求解方法求解特征值和特征向量是矩阵理论中一个重要的问题。

下面介绍两种常用的求解方法：1. 特征方程法：设A是一个n阶矩阵，λ是其特征值，x是对应于λ的特征向量，那么Ax = λx可以变形为(A - λI)x = 0，其中I是n阶单位矩阵。

由于x是非零向量，所以矩阵(A - λI)的行列式必须为零，即|A - λI| = 0，这样就可以得到特征值λ的值。

然后，通过解(A - λI)x = 0可以求得特征向量x。

2. 幂迭代法：这是一种迭代法的方法，通过矩阵的幂次迭代来逼近特征向量。

五、矩阵的特征值与特征向量

五、矩阵的特征值与特征向量

五、矩阵的特征值与特征向量（一）考试要求1．理解矩阵的特征值、特征向量的概念，掌握矩阵的特征值的性质，掌握求矩阵特征值和特征向量的方法。

2．理解相似矩阵的概念，掌握相似矩阵的性质，了解矩阵可对角化的必要条件，掌握将矩阵化为相似对角矩阵的方法。

3．掌握实对称矩阵的特征值和特征向量的性质以及实对称矩阵正交对角化的方法。

（二）基本内容1.特征值特征向量的概念A 为n 阶方阵，λ是一个数，若存在n 维非零列向量α，使λαα=A ，则称λ是A 的一个特征值，α为对应于特征值λ的特征向量。

由于O X A E =-)(λ有非零解，所以0=-A E λ的根就是A 的特征值。

若0λ是A 的一个特征值，O X A E =-)(0λ有非零解，它的所有非零解就是A 对应于特征值0λ的全部特征向量。

2.特征值与特征向量的求法。

①0=-A E λ的全部根就是A 的全部特征值；②对于A 的每一个特征值i λ，解齐次线性方程组O X A E i =-)(λ，它的基础解系为：t ηηη,,,21 ，则A 对应于特征值i λ的全部特征向量为t t k k k ηηη+++ 2211，t k k k ,,,21 不全为零。

3.特征值与特征向量的基本性质①任何矩阵A 与它的转置矩阵TA 具有相同的特征值；②设n 阶矩阵A 的n 个特征值分别为：n λλλ,,,21 则： )(221121A tr a a a nn n =+++=+++ λλλA n =⋅⋅⋅λλλ 21因此，n 阶矩阵A 可逆的充分必要条件是：A 的所有特征值均不等于零。

③若n λλλ,,,21 是A 的n 个特征值，对应的特征向量依次为：n ααα,,,21 ； 则k n k k λλλ,,,21 是k A 的n 个特征值，对应的特征向量依次为：n ααα,,,21 ； )(,),(),(21n f f f λλλ 是)(A f 的n 个特征值，对应的特征向量依次为n ααα,,,21 ； 其中)(A f 为多项式)(x f 所对应的矩阵多项式。

方阵的特征值和特征向量

方阵的特征值和特征向量
A 的三特征值： 1 , 2 3 1
1
当 k1 1
1 1 1 1
1 4
是 1
1 的特征向量 4
当 k2 2
1 1 2 是 2 3 1 的特征向量 1
10
2 矩阵的相似对角化
k （ k2 0 ， 2 为常数）
6
1.3 特征值和特征向量
性质1 一个特征向量对应唯一的一个特征值，一个特征值可以对应无 穷多个特征向量 性质2 设 1 , 2 都是方阵A 对应于特征值 0 的特征向量，则 k11 k2 2 也是A 对应于 0 的特征向量（ k1 , k 2 为任意数，且 k11 k2 2 0 ） 性质3 若 是方阵A 的特征值，x 是A 对应于 的特征向量，则 1) m 是 A m 的特征值（m为正整数），x 仍为 A m 关于m 的特征向量 2) 当A 可逆时，特征值 0
AB
性质3 若 A ~ B 则 A，B 的特征多项式同 I A I B 因而 A，B 具有相同的特征值 证：∵ A ~ B 则 存在可逆阵 P 使 P 1 AP B P1 (I A) P P1P P1 AP I B 两边取行列式
P 1 (I A) P I B
16
1 2 P 1 AP n
注：什么样的方阵存在 n 个线性无关的特征向量呢？
定理：若 n 阶方阵 A 有 n 个不同的特征值 1 , 2 ,, n ，则
A 可对角化 这时，对每个特征值 i ，求得一个特征向量 i ，
即 Ai ii i 1, 2,, n
1 3 3 4 2 3 1 1 令 P 1 AP B 1 2 1 1 1 1 0 1

线性代数5.2-方正的特征值和特征向量

线性代数5.2-方正的特征值和特征向量
解得 x 1 = − x 2 , 所以对应的特征向量可 取为 − 1 p2 = . 1
− 1 1 0 例２ 求矩阵 A = − 4 3 0 的特征值和特征向量 . 1 0 2
解
A的特征多项式为 的特征多项式为
−1− λ 1 0 2 A − λE = − 4 3−λ 0 = ( 2 − λ ) (1− λ ) , 1 0 2−λ 所以A 所以 的特征值为 λ 1 = 2, λ 2 = λ 3 = 1.
3. 对于特征值 λi , 求齐次方程组
( A − λi E ) x = 0
的非零解 , 就是对应于 λi的特征向量 .
思考题
设4阶方阵 A满足条件 : det (3E + A ) = 0, AAT = 2 E , det A < 0, 求A∗的一个特征值 .
思考题解答
解 因为 det A < 0, 故A可逆.由 det( A + 3 E ) = 0知 1 − 3是A的一个特征值 , 从而 − 是 A− 1的一个特征 3 值. 又由 A AT = 2 E得 det( A AT ) = det( 2 E ) = 16,即 2 (det A) = 16, 于是 det A = ±4, 但 det A < 0,因此 det 4 ∗ A = −4, 故 A 有一个特征值为 . 3
− 3 1 0 A − 2E = − 4 1 0 1 0 0
得基础解系
− 1 p2 = − 2 , 1
所以k p 2 ( k ≠ 0)是对应于 λ 2 = λ 3 = 1的全部特征值 .
− 2 1 1 的特征值与特征向量． 的特征值与特征向量 例３ 设 A = 0 2 0 ,求A的特征值与特征向量． − 4 1 3

一、特征值与特征向量的概念

一、特征值与特征向量的概念

判断一个方阵A是否可对角化?
1. 求出A的所有特征值:1, ,s.
2. 对于i 1, s,求齐次线性方程组
(iE A)X =0
的基础解系的向量个数n1, ,ns.
s
若 ni =n, 则A可对角化; 否则不可对角化. i 1
四、小结
１．相似矩阵 相似是矩阵之间的一种关系，它具有很多良好 的性质，除了课堂内介绍的以外，还有： (1)A与B相似,则det( A) det(B); ( 2)若A与B相似, 且A可逆, 则B也可逆, 且A 1与 B 1相似; (3)A与B相似,则kA与kB相似, k为常数;
二、相似变换的性质
1. 相似变换是等价关系 (1)自 反 性 A与A本身相似. (2)对 称 性 若A与B相似,则B与A相似. (3)传 递 性 若A与B相似, B与C相似, 则A与C相似.
三、利用对角矩阵计算矩阵多项式
若A相似于某对角矩阵,则存在可逆矩阵P使得P1AP .
则 Ak Pk P1,
(2) 设1, ,s为不同的特征值. 对于i 1, s, 求
齐次线性方程组将(i E A) X 0的基础解系
{i1, , iri },
ri
ri
则 kijij ,其中ki1, ,kiri不全为零（足以保证 kijij 0）,
i=1
i=1
即为矩阵A对应i的全部特征向量.
四、特征值和特征向量的性质
性质（总结）：
A 为正交矩阵的充要条件是下列条件之一成立：
1 A1 AT ; 2 AAT E;
3 A的列向量是两两正交的单位向量；
4 A的行向量是两两正交的单位向量.
二、实对称矩阵的性质
说明：本节所提到的对称矩阵，除非特别说明， 均指实对称矩阵．

第二节 方阵的特征值与特征向量5-2

第二节 方阵的特征值与特征向量5-2

第二节 方阵的特征值与特征 向量
一
特征值与特征向量的概念
定义2.1 设A为n 阶方阵,如果数 λ 和 n 维非零列向 量x,使关系式 (1) Ax =λx 成立,那么,称数λ为方阵A的特征值,非零向量x称为A的对 应于特征值λ的特征向量.
言的. 说明 1. 特征向量x 0, 特征值问题是对方阵而
x A x.
1
从而，
A x 1
1
1

x.
由定义知,

是A1的特征值.
(2) 因Ax x, 左乘A .

A Ax A x .

即
从而
故 A

A x A x.

A x

A

x.


是A 的特征值.x是A 关于
A

所对应的特征向量.
小结：
1、深刻理解方阵特征值与特征向量的概念，特征值 与特征向量的性质，特征值与特征向量的有关定理. 2、掌握特征值与特征向量的求法,会求方阵(抽象)的 特征值与特征向量.
2. 方程（1）也可以写成 (A－λE ) x = 0
(2)
这是 n 个未知数 n 个方程的齐次线性方程组 ,它有非 零解的充分必要条件是系数行列式
︱A－λE︱= 0. 1、特征多项式 (3) 由此,我们可由(3)求A的特征值 ,由 (2)求A的特征向量
a11 a21 an1
a12 an 2
四 特征值与特征向量的有关定理
定理2 设λ1,λ2, …,λm是A的m个特征值,P1,P2, …,Pm依 次是A的与之对应的特征向量，若λ1,λ2, …,λm各不相同， 则P1,P2, …,Pm线性无关. 证明 设x1,x2, …,xm,使 x1P1+x2P2+…+xmPm=0, 则有： A(x1P1+x2P2+…+xmPm)=0, 即 ⑴ ⑵

5.2方程的特征值与特征向量

5.2方程的特征值与特征向量

总结：
1.特征方程 A E 0的根，称为的特征值.
2.将代入方程 A E x 0后，求得的全部的非零解， 即是相应于的特征向量.
求矩阵特征值与特征向量的步骤：
1 计算A的特征多项式 A E ;
2 求特征方程 A E 0的全部根1 , 2 , , n , 就是A的全部特征值 ;
a1n a2 n ann
a11 a12 a21 a22 a an 2 n1
a11
则
A E
a12 an 2

a1n a2 n
=0
a21 a n1
a22
〈特征值、特征向量〉 设 A 为 n 阶矩阵， 是一 个数，如果存在非零向量 x ，使方程 Ax x （1）
成立，则称 为A 的一个特征值，相应的非零向 量 x 称为与 对应的特征向量。
若 是A 的一个特征值， 则方程 Ax x 有非零解
Ax x o 有非零解 ( A E ) x o 有非零解
即 p1 +p2 =1 p1 +2 p2， -1 p1 + -2 p2 =0，
p1 ,p2是线性无关的，故由上式得 -1 = -2 =0，即1 =2，
这与1与2是.两个不同的特征值矛盾，因此p1 +p2不是A 的特征向量
三、小结
求矩阵特征值与特征向量的步骤：
1. 计算A的特征多项式 A E ;
2. 求特征方程 A E 0的全部根1 , 2 , , n , 就是A的全部特征值 ;
3. 对于特征值i , 求齐次方程组
A i E x 0

特征值与特征向量

特征值与特征向量

第五章特征值与特征向量在本章中，我们将应用在第四章中建立的线性方程组的解的理论和求解方法，给出方阵的特征值和特征向量求法，研讨方阵化成对角矩阵的问题，并具体应用到实对称矩阵的对角化问题上。

5.1特征值与特征向量5.1.1特征值与特征向量的定义设A为n阶方阵，p是某个n维非零列向量。

一般来说，n维列向量Ap未必与p线性相关，也就是说向量Ap未必正好是向量p的倍数，如果对于给定的n阶方阵A，存在某个n维非零列向量p，使得Ap正好是p的倍数，即存在某个数λ使得Ap=λp，那么，我们对于具有这种特性的n维非零列向量p和对应的数λ特别感兴趣，因为它们在实际问题中有广泛的应用。

下面给出方阵的特征值和特征向量的定义定义5.1.1设A（a ij）为n阶实方阵。

如果存在某个数λ和某个n维非零列向量p满足Ap=λp，则称λ是A的一个特征值，称p是A的属于这个特征值λ的个特征向量。

例1.验算是否是的特征向量。

解:①②∴p是A的特征向量，且这时特征值λ=5为了给出具体求特征值和特征向量的方法，我们把Ap=λp（Ap=λE n p）改写成（λE n-A）=0。

再把λ看成待定参数，那么p就是齐次线性方程组（λE n-A）x=0的任意一个非零解。

显然，它有非零解当且仅当它的系数行列式为零：|λE n-A|=0。

定义5.1.2 带参数的λ的n阶方阵λE n －A称为A的特征方阵，它的行列式|λE n －A|称为A的特征多项式，称|λE n －A|＝0为A的特征方程。

根据行列的定义可知有A的特征多项式为（5.1）所以n阶方阵A的特征多项式一定是λ的n次多项式。

因此有（1）A的特征方程|λE－A|=0，即，它的n 个根λ1, λ2,…λn就是A的特征值（根）（2）对应于每一个特征值λi的齐次方程组（λi E－A）x=0,即的非0解向量就是方阵A关于特征值λi的特征向量。

例2.任意取定A的一个特征值λ0。

如果p1和p2都是A的属于特征值λ0的特征向量，则对任何k1p1+ k2p2≠0的实数k1和k2，p= k1p1+k2p2必是A的属于特征值λ0的特征向量。

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依此递推得, λm是矩阵Am的特征值(m为正整数). 由此我们还证明了: 若x是A的属于特征值λ的特 征向量, 则x也是矩阵Am的属于特征值λm的特征向量.
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线性代数
还可以类推: 若λ是矩阵A的特征值, 则ϕ(λ)是矩 阵多项式ϕ(A)的特征值, 其中
当λ2=λ3=1时, 解方程组( A–E )x = 0. 由
A
−
E
=
⎜⎛ ⎜⎝
− −
2 4 1
1 2 0
001⎠⎞⎟⎟
~
⎜⎛ ⎜⎝
1 0 0
0 1 0
1 2 0
⎟⎟⎠⎞,
得基础解系
p2
=
⎜⎛ ⎜⎝
− −
211⎟⎟⎠⎞.
故对应特征值λ2=λ3=1的所有特征向量为kp2(k≠0).
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解得 x1=x2, 故特征值λ1=2对应的特征向量为(:c≠x=0)c.⎜⎝⎛11⎠⎞⎟, 当 λ1 = 4 时, 对应的特征向量应满足:
⎜⎝⎛
3−4 −1
3−−14⎟⎠⎞⎜⎝⎛
x1 x2
⎠⎞⎟
=
⎜⎝⎛
00⎟⎠⎞,
即
⎩⎨⎧
x1 x1
+ +
x2 x2
= =
0 0
解得x1=-x2, 故特征值λ2=4对应的特征向量为:(xc=≠c0)⎜⎝⎛.−11⎠⎞⎟,
−4 1 3−λ
所以A的特征值为: λ1= –1, λ2=λ3= 2.
当λ1=–1时, 解方程组( A+E )x = 0. 由
A
+
E
=
⎜⎛ ⎜⎝
− −
1 0 4
1 3 1
401⎟⎟⎠⎞
~
⎜⎛ ⎜⎝
1 0 0
0 1 0
− 001⎟⎟⎠⎞,
得基础解系
p1
=
⎜⎛ ⎜⎝
1 0 1
⎟⎟⎠⎞.
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= | A−λE |
= f−1 n−1
+L
+
a1λ
+
a0 .
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三、小结
线性代数
求矩阵特征值与特征向量的步骤：
1.计算的特征多项式| A–λE | ; 2. 求特征方程| A–λE | = 0的全部根λ1, λ2, ···, λn, 也
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线性代数
例4: 证明: 若λ是矩阵A的特征值, 则
(1) λm是矩阵Am的特征值(m为正整数);
(2) 当A可逆时, 则λ-1是逆阵A-1的特征值.
证明(1): 由于λ是矩阵A的特征值, 设x是A的属于 特征值λ的特征向量, 则 Ax=λx. 所以, A2x = A(Ax) = A(λx) = λ(Ax) = λ2x. 即, λ2是矩阵A2的特征值.
(2) λ1 λ2 ··· λn = | A |.
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线性代数
例1:
求
⎜⎝⎛
−
3 1
− 31⎟⎠⎞ 的特征值和特征向量.
解: Α的特征多项式为:
3−λ
−1
−1
3−λ
= (3–λ)2 –1 = 8 – 6λ + λ2 = (4 – λ)(2 – λ)
(k=0, 1, 2, ···, m–1)
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线性代数
把上面m个向量方程合写成矩阵形式, 得
(
x1p1,
x2p2,
···,
xmpm
)
⎜⎛ ⎜ ⎜⎜⎝
1
1 M 1
λ1
λ2
M
λm
L L L
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例5: 设n阶方阵A的特征多项式为
f A (λ ) =| A − λE |= λn + an−1λn−1 + L + a1λ + a0 ,
求AT的特征多项式.
解: fAT (λ) = | AT − λE | =| (AT −λE)T |
a21 L
a22 − λ L
L
a2n L
=0
an1
an2 L ann − λ
称以λ为未知数的一元n次方程| A–λE | = 0为方阵
A的特征方程.
记f(λ) = | A–λE |, 它是λ的n次多项式, 称其为方阵
A的特征多项式.
n 次代数方程有 n 个根(复根和实根, 重根按重数
计算).
说明4: 设n阶方阵A=(aij)的特征值为λ1, λ2, ···, λn, 则有: (1) λ1 + λ2 + ··· + λn = a11 + a22 + ··· + ann;
所以, 该方阵A的特征值为: λ1 = 2, λ2 = 4.
当 λ1 = 2 时, 对应的特征向量应满足:
⎜⎝⎛
3−2 −1
−1 3−2
⎟⎠⎞⎜⎝⎛
x1 x2
⎠⎞⎟
=
⎜⎝⎛
00⎟⎠⎞,
即
⎩⎨⎧−
x1 x1
− +
x2 x2
= =
0 0
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二、特征值和特征向量的性质
线性代数
定理2: 设p1, p2, ···, pm是方阵A的分别对应于m个
互不相等的特征值λ1, λ2, ···, λm的m个特征向量, 则p1,
p2, ···, pm线性无关.
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第五章
线性代数
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线性代数
§5.2 方阵的特征值与特征向量
一、特征值与特征向量的概念 二、特征值和特征向量的性质 三、小结 思考题
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− −
1 4 1
1 3 0
200⎟⎟⎠⎞ 的特征值和特征向量.
解: 矩阵A的特征多项式为:
−1−λ 1 0
| A–λE | = − 4 3 − λ 0 = (2–λ)(1–λ)2,
1
0 2−λ
所以A的特征值为: λ1=2, λ2=λ3=1. 当λ1=2时, 解方程组( A–2E )x = 0. 由
A
4 0 0
1 0 0
001⎟⎟⎠⎞,
得基础解系
p2
=
⎜⎛ ⎜⎝
−
011 ⎠⎞⎟⎟ ,
p3
=
⎜⎛ ⎜⎝
1 0 4
⎟⎞ ⎟⎠
,
故对应特征值λ2=λ3=2的所有特征向量为
k2 p2 + k3 p3 (k2, k3不同时为零).
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因为, 如果设向量x同时是A的属于不同特征值的
λ1, λ2 (λ1≠λ2)的特征向量, 即有 Ax = λ1x, Ax = λ2x,
则有, λ1x = λ2x. 即( λ1 – λ2 ) x = 0. 由于( λ1 – λ2 ) ≠ 0,
则 x = 0, 这与x是特征向量矛盾.
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−
2E
=
⎜⎛ ⎜⎝
− −
3 4 1
1 1 0
000⎟⎟⎠⎞
~
⎜⎜⎝⎛
1 0 0
0 1 0
000⎟⎟⎠⎞,
第五章 相似矩阵及二次型
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线性代数
得基础解系
p1
=
⎜⎛ ⎜⎝
0 0 1
⎟⎟⎠⎞.
故对应特征值λ1=2的所有特征向量为 kp1 (k≠0).
由于特征方程| A–λE | = 0, 故齐次方程组(A–λE)x = 0
有非零解. 因此, 求出特征值λi 对应的基础解系即可求出
所有特征向量.
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线性代数
例2:
求矩阵A
=
⎜⎛ ⎜⎝
λ1m−1
λm2 −1
M
λmm−1
⎟⎞ ⎟ ⎟⎟⎠
=
(0,
0,
···
,0)
上式等号左端第二个矩阵的行列式为范德蒙行列
式, 当λ1, λ2, ···, λm各不相等时, 该行列式不等于0, 从而
该矩阵可逆. 于是有
( x1p1, x2p2, ···, xmpm ) = (0, 0, ··· ,0)