不确定混沌系统的反同步与参数辨识

第7卷第3期2009年9月167226553/2009/07⑶/23524动力学与控制学报JOURNAL OF DY NAM I CS AND CONTROLVol .7No .3Sep.20092008212211收到第1稿,2008212229收到修改稿.3国家自然科学基金资助项目(50475109),甘肃省自然科学基金资助项目(3ZS042-B25-049),兰州交通大学科研基金(DXS -07-0028,DXS -07-0029)一个新混沌系统的参数辨识3常迎香1　王淑英1　李险峰2　张建刚1(1.兰州交通大学数理与软件工程学院,兰州　730070)(2.香港城市大学电子工程系,香港)摘要　基于稳定性理论,对一个新混沌系统设计了合适的参数辨识观测器,并选择适当的未知参数初值,达到该系统所有参数能准确和快速的辨识,同时结合小波降噪法,提高参数的辨识精度.数值仿真结果表明了所设计的参数辨识观测器的有效性.关键词　参数辨识,　观测器,　小波变换引言二十世纪六十年代初,美国气象学家E N.Lorenz ,发现第一个混沌吸引子[1],之后混沌理论的研究与应用得到了极大的关注[2-4].1999年,陈关荣等在研究混沌反控制的过程中发现了一种与Lorenz 类似但不拓扑等价的Chen 系统[5].2001年,吕金虎等又发现了一个临界系统L ü系统[6].2007年,褚衍东等提出一个新混沌系统[7],并用电子电路实现了该系统,由于这个新混沌系统与Lorenz 系统类似但并不拓扑等价,并且具有奇特的复杂动力学特性,所以对其各方面的研究具有重要意义.尤其是对于该新混沌系统的控制与同步及其应用也得到了广泛的研究和实现[8].但是在现实问题中,参数未知情况下的混沌控制与同步更为普遍,关键是对混沌系统的参数进行准确和快速的辨识[9-11],对于噪声干扰下的参数辨识曲线,本文引入小波变换对其进行消噪处理,且原理简单、实现容易、效果明显.同时针对这个新混沌系统,设计出合适的参数辨识观测器,考虑到实际问题中有些系统的可控参数存在小幅度涨落,本文对于任选的一个稳定的参数值施加扰动,并通过数值模拟验证了该观测器的高效性.1　理论分析1.1　参数观测器的设计该新系统的动力学方程描述为:x 1=a (x 2-x 1) x 2=x 1x 3-x 2 x 3=b -x 1x 2-cx 3(1)其中x =(x 1,x 2,x 3)T ∈R 3为系统的状态变量,a,b,c ∈R 为参数且a >0,b >0,c >0.并由文献[4]可知,当固定参数a =5,b =16,c =1时,系统(1)表现为混沌状态.需要辩识的未知参数a,b,c 均为时不变的,设未知参数的辨析结果分别是^a,^b ,^c .令^a ・=-l 1(x 1,x 2)(x 2-x 1)^a +l 1(x 1,x 2)x 1^b ・=-l 2^b +l 2(x 1x 2+cx 3+ x 3)^c ・=-l 3(x 3)x 3^c +l 3(x 3)(b -x 1x 2- x 3)(2)设参数误差系统分别为e 1=^a -a,e 2=^b -b,e 3=^c -c .则有e 1=^a・- a =-l 1(x 1,x 2)(x 2-x 1)e 1 e 2=^b・- b =-l 2e 2 e 3=^c・- c =-l 3(x 3)x 3e 3(3)式中l 1(x 1,x 2),l 2,l 3(x 3)分别为关于参数a,b,c 的增益函数.而在实际情况下,变量x 1和x 3的导数不能观测到,那么通过引入辅助变量来消除系统(2)中的x 1和 x 3,令p 1=^a +<1(x 1,x 2)p 2=^b +<2(x 1,x 2,x 3)p 3=^c +<3(x 1,x 2,x 3)(4)式中<1(x 1,x 2),<2(x 1,x 2,x 3),<3(x 1,x 2,x 3)均为动　力　学　与　控　制　学　报2009年第7卷要设计的辅助函数,它满足9<1(x 1,x 2)9x 1=-l 1(x 1,x 2)9<2(x 1,x 2,x 3)9x 3=-l 29<3(x 1,x 2,x 3)9x 3=-l 3(x 3)(5)由(1)、(2)、(4)和(5)可以得到 p 1=-l 1(x 1,x 2)(x 2-x 1)p 1+l 1(x 1,x 2)×　(x 2-x 1)<+(x 1x 3-x 2)9<19x 2p 2=-l 2p 2+l 2(x 1x 2+cx 3+<2)+a (x 2-　x 1)9<29x 1+(x 1x 3-x 2)9<29x 2p 3=-l 3(x 3)x 3p 3+l 3(x 3)(b -x 1x 2+　x 3<3)+a (x 2-x 1)9<39x 1+(x 1x 3-x 2)9<39x 2(6)显然,只要选取合适的增益函数就可使误差系统(3)渐近稳定,结合(4)和(5)构造辅助函数,那么(6)和(4)所构成的观测器能够使系统(1)中的未知参数a,b,c 分别快速准确的辨识出来.增益函数通常分别选为l 1(x 1,x 2)=k 1(x 2-x 1)2n 1-1l 2=k 2l 3(x 3)=k 3x 2n 3-13其中常数k 1,k 2,k 3>0(n 1,n 3=0,1,2…).此时,相应的参数误差系统为e 1=-k 1(x 2-x 1)2n 1e 1e 2=-k 2e 2e 3=-k 3x 2n33e 3随着t →∞,参数误差e 1,e 2,e 3都以指数倍率收敛于零.那么增益函数的最简单选择分别为l 1(x 1,x 2)=k 1(x 2-x 1)l 2=k 2l 3(x 3)=k 3x 3(7)此时辅助函数分别为<1=-k 1(x 1x 2-0.5x 21)<2=-k 2x 3<3=0.5k 3x 23(8)将式(7)和式(8)代入式(6),可得辨识未知参数a,b,c 的观测器分别为p 1=-k 1(x 2-x 1)2p 1+k 21(x 2-x 1)2(0.5x 21-　x 1x 2)+k 1x 1(x 2-x 1x 3)^a =p 1+k 1(x 1x 2-0.5x 21) p 2=-k 2p 2-k 22x 3+ck 2x 3+k 2x 1x 2^b =p 2+k 2x 3p 3=-k 3x 23p 3+0.5k 23x 43+bk 3x 3-k 2x 1x 2x 3^c =p 3-0.5k 3x 231.2　小波变换理论小波变换是把原始信号分解成为一个低频概貌信号和一个高频概貌信号,它是利用小波母函数的平移和伸缩实现的.小波函数的定义如下:ψa,b (t )=1|a |ψ(t -b a )式中a 为尺度参数,b 为时间参数.当参数a 变化时,小波函数具有伸缩性,当参数b 变化时,小波函数随时间轴活动,如果a,b 同时变化则形成一簇小波函数,信号f (t )可以按这簇小波函数进行分解.对于任意信号f (t )∈L 2(R ),其小波函数定义如下:W (a,b )=∫∞-∞f (t )ψ3a,b (t )d t基于小波变换的阈值降噪方法的步骤简述如下:(1)选择合适的小波,对信号进行小波分解,得到小波系数W.(2)计算小波阈值δ,选择合适的阈值方法,对小波系数进行取舍,得到新的小波系数W δ.(3)对得到的小波系数W δ进行逆小波变换,得到降噪后的信号.Donoho 将阈值函数分为软阈值和硬阈值,设W 是小波系数的大小,W δ是施加阈值δ后的小波系数大小.(1)硬阈值当小波系数的绝对值小于给定阈值时,令其为0,而大于阈值时,保持其不变,即W δ=W , |W |≥δ0, |W |<δ(2)软阈值当小波系数的绝对值小于给定阈值时,令其为0,大于阈值时,令其都减去阈值,即W δ=sign (W )(|W |-δ),　|W |≥δ 0, |W |<δ632第3期常迎香等:一个新混沌系统的参数辨识2　数值仿真用四阶R unge -Kutta 法进行数值仿真,为使系统处于混沌状态,系统参数如前所述,初始条件取为(x 1(0),x 2(0),x 3(0))=(-6,-4,1),积分步长为h =0.001,为达到精确和快速的参数辨识,各未知参数的初始值分别取为^a 0=x 1(h )-x 1(0)h (x 2(0)-x 1(0)),^b 0=x 1(0)x 2(0)+cx 3(0)+x 3(h )-x 3(0)h,^c 0=1x 3(0)[b -x 1(0)x 2(0)+x 3(h )-x 3(0)h].图1　系统(1)的三个未知参数a,b,c 随时间变化的辨识曲线Fig .1　I dentificati on curves of three uncertain para metersa,b,c of syste m (1)with varying ti m e图1给出了当选取控制增益k 1,k 2,k 3均为常数1时,未知参数a,b,c 的辨识结果随时间变化的曲线.对于不同的控制增益k,它的取值直接影响到辨识曲线的收敛速度,以参数b 为例,如图2所示,从参数b 的辨识曲线的收敛速度可知,k 值越大,系统参数b 所需的辨识时间也就越短.图3是选择Daubechies 小波作为小波母函数,采用db6进行尺度为8的分解,分别用软、硬阈值降噪法对染噪的参数c 的辨识结果进行处理,然后进行降噪信号的重构,消噪后的信号保持了原信号的光滑性和相似性,更凸显了辨识曲线的趋势,显然未知参数最终稳定在^c .图5给出参数b 在t =50s 后,在外界扰动下的辨识曲线,其中图5(a )给出参数b 由16跃变到,其它参数不变的情形,图5(b )给出参数b在t =50s 后按b =16+2sin t 变化,其它参数不变的情形.显然,在参数b 分别处于稳定值、发生跃变变化和缓慢变化时其辨识曲线仍然保持光滑性且稳定性.图2　不同k 值下未知参数b 的辨识曲线Fig .2　I dentificati on curves of uncertain para meterb with different values of k图3　硬、软阈值降噪下未知参数c 的辨识曲线Fig .3　I dentificati on curves of uncertain para meterc under hard and s oft threshold de -noising图4　其它参数不变,参数b 在不同外界扰动下的随时间变化的辨识曲线Fig .4　I dentificati on curves of para meter b under different interferences while other para meters are stable3　结论构造出合适的参数观测器,对一个具有研究价值的新混沌系统的所有参数进行辨识,并且对于公共参数a 实现了准确和快速的辨识,理论方法简单明了,同时利用小波变换可以进行多分辨率分析的特点,对信号小波变换在不同尺度下的小波系数进行阈值降噪,然后进行信号重构,提高了参数辨识的精确度.实验证明数值仿真与理论分析一致.732动　力　学　与　控　制　学　报2009年第7卷参　考　文　献1　Lorenz E N.Deter m inistic non -peri odic fl ow .J A t m os Sci,1963,20:130～1412　李险峰,张建刚,禇衍东,常迎香.一个类Lorenz 混沌系统的动力学分析及电路仿真.动力学与控制学报.2007,5(4):324～329(L i Xianfeng,Zhang J iangang,Chu Yan 2dong,Chang Yingxiang .Dyna m ics analysis and circuit ex 2peri m ent si m ulati on f or a ne w Lorenz -like chaotic syste m.Journal of D ynam ics and Control,2007,5(4):324～329(in Chinese ))3　单梁,李军,王执铨.参数不确定L iu 混沌系统的自适应同步.动力学与控制学报,2006,4(4):338～343(Shan L i 2ang,L i Jun,W ang Zhiquan .Adap tive synchr onizati on of L iu chaotic syste m with uncertain para meters .Journal of D ynam 2ics and Control,4(4):338～343(in Chinese ))4　王琳,倪樵,刘攀,黄玉盈.一种新的类Lorenz 系统的混沌行为与形成机制.动力学与控制学报,2005,3(4):1～6(W ang L in,N i Q iao,L iu Pan,Huang Yuying .Chaos and its f or m ing mechanis m of an ne w Lorenz likes syste m.Journal of D ynam ics and Control,2005,3(4):1～6(in Chinese ))5　Chen G R,Ueta T .Yet another chaotic attract or .Int J B ifur 2cation Chaos,1999,9:1465～14666　L üJ H,Chen G R.A ne w chaotic attract or coined .Int J B i 2furcation Chaos,2002,3:659～6617　褚衍东,李险峰,张建刚,常迎香.一类新自治混沌系统的计算机仿真与电路模拟.四川大学学报(自然科学版),2007,44(3):596～601(Chu Yandong,L i Xianfeng,Zhang J iangang,Chang Yingxiang .Computer si m ulati on and circuit i m p le mentati on for a ne w aut onomous chaotic syste m Chaos and chaos synchr onizati on for a non -aut onomous r o 2tati onal .Journal of S ichuan U niversity:N atural Science Edi 2tion,2007,44(3):596～601(in Chinese ))8　刘晓君,李险峰,张建刚.一个新自治混沌系统的混沌同步控制.复杂系统与复杂性科学,2007,4(4):51(L iu Xi 2aojun,L i Xianfeng,Zhang J iangang .Chaos synchr onizati on f or a ne w aut onomous chaotic syste m.Co m plex Syste m and Co m plexity Science,2007,4(4):51(in Chinese ))9　关新平,彭海明,李丽香.Lorenz 混沌系统的参数辨识与控制.物理学报,2001,50(1):26～29(Guan Xinp ing,Peng Hai m ing,L i L ixiang .Para meters identificati on and contr ol of Lorenz chaotic syste m.A cta Physica S inica,2001,50(1):26～29(in Chinese ))10　马军,唐国宁,蒲忠胜等.一类复杂动力系统的参数辨析.郑州大学学报(自然科学版),2004,36(4):28～31(M a Jun,Tang Guoning,Pu Zhongsheng,et al .Parameter i 2dentificati on for one class of comp lex syste m.Journal of Zhengzhou U niversity:N atural Science Edition,2004,36(4):28～31(in Chinese ))11　马军,唐国宁.四维L C 振子的超混沌系统的参数辨识与同步.河南大学学报(自然科学版),2003,33(1):30～34(Ma Jun,Tang Guoning .Synchr onizati on of L.C oscil 2lat or hyperchaos syste m base on parameter identificati on .Journal of Henan U niversity (N atural Science Edition ),2003,33(1):30～34(in Chinese ))Received 11Dece mber 2008,revised 29Dece mber 2008.3The Pr oject supported by Nati onal Natural Science Foundati on of China (50475109),Gansu Pr ovince Government of China (3ZS -042-B25-049)and Scientific Research Foundati ons of Lanzhou J iaot ong University of China (DXS -07-0028,DXS -07-0029)PARA M ETER ID ENT IF I CAT I O N O F A NE W CHAO T I C S Y STE M3Chang Yingxiang 1　W ang Shuying 1　L i Xianfeng 2　Zhang J iangang1(1.School of M athe m atics,Physics and Soft w are Engineering,L anzhou J iaotong U niversity,L anzhou 730070,China )(2.D epart m ent of Electronic Engineering,C ity U niversity of Hong Kong,Hong Kong,China )Abstract Based on the stability theory,the suitable observers were given t o identify all the unknown para meters of a ne w chaotic syste m.The accurate and fast identificati on was i m p le mented by selecting right initial value .A t the sa me ti m e,the accuracy of para meter identificati on was i m p r oved by combining the wavelet de -noising .The 2ory analysis and numerical si m ulati on results show that the observers t o identify the para meters are effective and feasible .Key words para meter identificati on,　observer,　wavelet transf or m832。

一类参数不确定混沌系统的反同步李艳华;丁玮【摘要】This paper investigates the chaotic anti-synchronization for a class of chaotic systems with uncertain parameters based on Lyapunov stability theory. Using the adaptive control method and linear feedback with updated law,sufficient conditions for a-chieving the anti-synchronization based on the parameters identification of uncertain chaotic systems are derived by the Lyapunov stability theory. It is proved that the approaches developed could achieve the anti-synchronization of chaotic systems with uncertain parameters. Furthermore,this method is applied to anti-synchronization in modified Chua's circuit with uncertain parameters, and numerical simulations also show that the method is effective and feasibile.%以Lyapunvo稳定性理论为基础,研究一类参数不确定混沌系统的反同步问题.通过自适应控制方法,设计出线性控制器及参数自适应律,得到了一类参数不确定混沌系统完成反同步所需要满足的条件.通过定理证明了设计出的控制器和参数自适应律能够使得参数不确定混沌系统实现反同步.同时,将该方法运用到一类特殊的混沌系统-蔡氏电路,得出了蔡氏电路实现反同步所应选取的控制器和参数自适应律.最后,利用对蔡氏电路混沌系统的数值仿真模拟表明这种方法的有效性.【期刊名称】《上海师范大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2012(041)003【总页数】8页(P243-250)【关键词】反同步;混沌系统;自适应控制【作者】李艳华;丁玮【作者单位】上海师范大学数理学院,上海200234;上海师范大学数理学院,上海200234【正文语种】中文【中图分类】O175.10 引言由于混沌系统对初始条件的极端敏感性,在相当长一段时间内,混沌曾经被认为是不可预测、无法控制的.自从Pecora 和 Carroll[1] 在1990 年提出一种混沌同步方法之后,许多学者对混沌同步方法进行了研究.人们已经提出了许多混沌同步的方法,如完全同步[2-3]、广义同步[4-5]、相同步[6-7] 和滞后同步[8-9].随着人们对混沌同步研究的深入,一种新的混沌同步- 反同步理论被提出,同时人们通过研究发现研究混沌同步的很多方法也同样适用于混沌反同步,如自适应控制法[10-12] 、驱动响应法[13-14] 、非线性控制法[15-16]等.2006 年,李传东[17]等人运用线性反馈控制方法研究了驱动系统和响应系统的反同步,对于这两个混沌系统,他们得出的结论是存在一个常数 L>0,使得对于任意的x,y∈Rn,|f(x)+f(y)|≤L|x+y|.2008年,陈云[18]等人研究了如下所示变型蔡氏电路混沌系统的全局反同步.其中 p>0 且 q>0. 然而,在实际应用中,混沌系统所含参数通常是不确定的. 2009年,Wang[19]分别运用驱动控制法和自适应控制法实现了 Rossler超混沌系统和Lorenz 超混沌系统的反同步. 2010 年,Mossa M等[20] 运用自适应控制法,选取了非线性控制器实现了一类超混沌系统的反同步.在他们的研究成果基础上,本文作者用自适应控制的方法,设计出线性控制器实现了一类参数不确定混沌系统的反同步,且运用这种方法对参数不确定的变型蔡氏电路混沌系统反同步进行了研究.1 系统的数学模型与理论分析不确定参数混沌系统的表达式(1)其中: x∈Ω1⊂Rn 为系统的状态变量; A(t)=(aij)n×n 是系统的不确定参数系数矩阵, f: Rn→Rn, 当x∈Ω1⊂Rn 时,f(x)满足fi(x)∈L∞.方程(1) 是驱动系统,受控的响应系统为:(2)其中y∈Ω2⊂Rn 是系统的状态变量, 不确定参数系数矩阵的估计, f: Rn→Rn,当y∈Ω2⊂Rn 时, f(y) 满足fi(y)∈L∞.u(t)=-K(x+y) 是设计出的控制器,其中K=diag{k1,k2,…,kn} 是耦合矩阵.定义驱动系统(1)和响应系统(2)的反同步误差向量为 e(t)=x(t)+y(t),则误差方程为(3)假设驱动系统(1)和响应系统(2)中的 f和不确定参数系统矩阵估计满足以下两个条件:(A1) fi(i=1,2,…,n) 满足这两个条件:(ii) 存在di≥0, 使得对于任意的x,y∈Rn, fi 满足满足且μij≥0.定理1 如果系统(1)和系统(2)满足(A1),(A2),选取控制器 u(t)=-K(x+y),且ki(i=1,2,…,n) 满足那么系统(1)和系统(2)是全局渐近反同步的,并且证明构造Lyapunov函数为:对Lyapunov函数求时间导数:(4)由(3)得以下分两步证明:第一步由 f 满足条件 (A1) 中的(i),得到:(5)第二步 f满足条件 (A1) 中的(ii),则由条件 (A2) 可得且那么(6)由(6) 可得(7)由(5) 和(7) 有由可知当且仅当ei=0,i=1,2,…,n. V是正定函数, 是负定函数,根据Lyapunov 函数稳定性定理,当t→∞ 时, e(t)→0,此时误差系统在原点渐近稳定,则驱动系统(1)和响应系统(2)实现全局渐近反同步.2 变型蔡氏电路的反同步将(1) 式中的 A,A(t),f(x) 如下给出,驱动系统(1) 就是变型的蔡氏电路混沌系统(8)其中 p>0,q>1.响应系统为:(9)引理 1[18] 对任意的ξ,ζ,φ(ξ,ζ)=ξ2-ξζ+ζ2≥0.系统(8)和系统(9)的反同步误差向量为 e(t)=x(t)+y(t),且e=(e1,e2,e3)T=(x1+y1,x2+y2,x3+y3)T, 系统误差方程为下一步的任务是设计出和常数耦合矩阵 K,使得变型蔡氏电路混沌系统的驱动系统和响应系统的 x(t) 和 y(t) 满足令 a1(t),a2(t),b1(t),b2(t),b3(t),c1(t) 满足(10)其中ei=xi+yi(i=1,2,3), μi(i=1,2,…,6)是任意正数.定理 2 假设 a1(t),a2(t),b1(t),b2(t),b3(t),c1(t) 满足 (10). 如果存在一个耦合矩阵K=diag{k1,k2,k3} 使得那么由定理 1 可知,驱动系统(8)和响应系统(9)达到全局渐近稳定. 且有证明构造Lyapunov 函数为对Lyapunov 函数求导,可得,由(b1-1)y1e2+(b2+1)y2e2+(b3-1)y3e2+(c1+q)y3e3,由引理1 可知可知因此, 由定理1 可知,驱动系统(8)和响应系统(9)是全局渐近同步的.3 系统仿真与电路实现举例当驱动系统(8)中不确定参数时,此时系统(8)处于混沌状态,将 p,q代入驱动系统(8),有:(11)响应系统(9)为:(12)驱动混沌系统(8)中的 f(x) 满足 A1,k1=10.2,k2=11.87,k3=8.7 满足定理2 中的不等式,且由定理2的条件A2可知参数自适应律为:驱动系统(11)和响应系统(12)初始值为x1(0)=0.3,x2(0)=0.1,x3(0)=0;y1(0)=0.15,y2(0)=0.1,y3(0)=0;系统误差的初始值为e1(0)=0.5,e2(0)=0.2,e3(0)=0.2;自适应参数的初始值为a1(0)=6,a2(0)=6,b1(0)=0.5,b2(0)=-0.5,b3(0)=0.5,c1(0)=-11,且有:驱动系统(11)和响应系统(12)的混沌吸引子如图1中的(a)和(b)所示.驱动系统(11)和响应系统(12) 的反同步时域变化曲线和误差曲线如图2中的(a)、(b)、(c)和(d)所示.6个不确定参数的识别过程曲线如图3中的(a)、(b)和(c)所示.图1 p=31/3,q=15 时,系统(11) 混沌吸引子(左)和系统(12)混沌吸引子(右)图2 驱动系统(11)和响应系统(12)反同步时域变化曲线及反同步误差曲线图3 系统(12)不确定参数 a1,a2,b1,b2,b3,c1的识别过程曲线4 结论以Lyapunov 稳定性理论为基础,运用自适应控制方法,设计出控制器实现了一类参数不确定混沌系统的反同步. 并将这种方法应用于变型蔡氏电路混沌系统,实现了变型蔡氏电路混沌系统反同步.最后用系统仿真进一步证明了理论分析的正确性.参考文献:[1] PECORA L,CARROLL T.Synchronization in chaotic systems[J].Phys Rev Lett,1990,64(8):821-824.[2] YASSEN M T.Adaptive control and synchronization of a modified Chua′s circuit system[J].Applied Mathematics and Compution,2003,135(1):113-128.[3] ZHOU J,CHEN T,XIANG L.Robust synchronization of delayed neural networks based on adaptive control and parameters identification[J]. 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基于状态观测器的超混沌系统的参数辨识和反同步杨丽新;何万生;刘晓君【摘要】This paper is concerned with the parameter identification problem for a hyper-chaotic system with the unknown parameters.We design an effective state observer to identify the uncertain parameters.At the same time,based on the Lyapunov stability,a suitable controller is designed to realize the anti-synchronization for the hyper-chaotic system.Theory analysis and numerical simulations are presented to verify that the observer and controller are effective and feasible.%本文主要研究了参数未知混沌系统的参数辨识问题,我们设计了有效的参数观测器,对不确定超混沌系统中的未知参数进行了识别,同时以Lyapunov稳定性理论为基础,设计了合适的非线性控制器,实现了此混沌系统的反同步,理论分析和仿真模拟结果证明了该观测器和控制器的有效性.【期刊名称】《工程数学学报》【年(卷),期】2011(028)005【总页数】8页(P609-616)【关键词】参数辨识;观测器;非线性控制器;反同步;超混沌系统【作者】杨丽新;何万生;刘晓君【作者单位】天水师范学院数学与统计学院,甘肃天水741001;天水师范学院数学与统计学院,甘肃天水741001;天水师范学院数学与统计学院,甘肃天水741001【正文语种】中文【中图分类】O1931 IntroductionOver the past decades,chaos synchronization has received increasing interest attention since the pioneering work of Fujisaka andYamada[1].Due to the importance and applications of coupled systems,a variety of approaches have been proposed for synchronization of chaotic systems such as linear and nonlinear feedback synchronization[2-8],impulsive synchronization[9],lag synchronization[10],etc..Recently,anti-synchronization[11,12]of chaotic systems and it’s applications to chaotic secure communication also have been studied.However,their researches only concerned many chaotic systems and hyper-chaotic systems with certain parameters.Therefore,it is important to study the anti-synchronization of hyper-chaotic systems with uncertain parameters.The key step is to identify uncertain parameters fast and accurate.For the above reasons,based on the Lyapunov stability theory,a parameter observer is designed to identify unknown parameters of a hyper-chaotic system.At the same time,a nonlinear contorller is proposed to achieve anti-synchronization of the hyper-chaotic system with unknown parameters.The new controller consists of two parts.One is the linear feedback controller,the other is the nonlinear feedback controller.The rest of the paper is organized as follows.In the following section,theparameter identification scheme is presented brief l y,and a parameter identification observer is designed for a hyper-chaotic system.In section 3,we study the anti-synchronization of the system.In section 4,we give the numerical simulations of application.Finally,a conclusion ends the paper.2 Parameter identification theoremConsider the nonlinear chaotic system as followswhe re X=(x1,x2,xn)T∈Rnis the state vector,Fi,Gjare linear or nonlinear function.Xi and Yiare collections of partial state variables.The parameter vector of system(1)is ai=(a1,a2,···,aj,···)T.Without loss of generality,we might as well assume that the parameter ajis unknown but constant.Then we design an identification observer of it.Suppose that the uncertain parameter ajis varying with time,ˆajis the identification result of aj.Letwhere−lj(Yi)is the gain function of the uncertain parameter aj.In fact,the d erivation of state vector xican’t be observed,so we must eliminate˙x1and˙x2 by introducing auxiliary variables.LetOf course,the error system(3)is gradual stability by selecting suitable gain function.It can be denoted usually as follows where the gain constant kjgt;0 and index nj∈N.Therefore,the error dynamical system(3)can be rewritten asTherefore the simplest gain function is selected asAccordingly,the corresponding auxiliary function isFrom before mentioned theorem,the identi fi cation observer of the uncertain parameter ajcan be written as follows:Considering the hyper-chaotic system as follows,the governing equations areWhere Y=(y1,y2,y3,y4,y5)T∈R5,a,b,c,d,k,w are parameters,when the parameters a=10,b=28,c=,k=0.1,d=1,w=4.31,there exists a hyper-chaotic attractor.We suppose that system(15)is a system of unknownparameter,¯a,¯b,c¯,d¯,k¯,w¯ is the identifi cation result of parameter vector.In order to identify uncertain parameters,according to the foregoing theorem,it is very easy to design identi fi cation observers of parameters as followsIn order to study,the system(15)can be rewritten asAt the same time,the observer with di ff erential coefficient,so we design auxiliary functions as followsIn the following,let us choose the control gain functions as followsDef i ne the parameter error variables areea=a−¯a,eb=b−¯b,ec=c−¯c,ed=d−¯d,ek=k−¯k,ew=w−¯w,therefore,we can obtainIt is obvious that the error system(21)is gradual stability by selecting suitable gain function.According to(19)and(20),the state observer(18)can be rewritten as3 Anti-synchronization of the system via nonlinear controllerFor two dynamical systems in the form ofwhere x,y∈Rn,u(x,y,t)is nonlinear control function.Def i ne(23)is drive system,the system(24)is response system,if for allx(t0,y(t0))∈Rn,lim|yi(t)+xi(t)|=0,i=1,2,···,n.That is to say the drive system and the response system realize the anti-synchronization.The system(14)is taken as the drive system,the response system is de fi ned as followDe fi ne the error signal as e=x+y,i.e.,Then the error dyna mical system can be written aswhere u=(u1,u2,u3,u4)Tis nonlinear controller,which is designed such thattwo hyperchaotic systems can realize the anti-synchronization.The aim of the section is to determine the nonlinear controller,for the synchronization of drive and response systems.For this purpose,the controller is selected as followsTheorem If the controller of(28)is proper,then the error signal asymptotic converges to zero,that is to say,we can achieve the anti-synchronization between two hyper-chaotic systems by the above controller. ProofConstruct a Lyapunov functionSince V is a positive de fi nite function andV˙ is a negative de fi nite function,according to the Lyapunov stability theory,the error variables become zero as time tends to in fi nity.This mean that the drivesystem(14)and the response system(25)realize anti-synchronization under the controller(28).4 Numerical simulationsIn the following steps,we would like to give the numerical simulations to verify e ff ectiveness of the above-designed observer and the nonlinear controller.The unknown parameters are chosen to bea=10,b=28,c=,d=1,k=0.1,w=4.31.In order to gain the fast and accurate parameter identi fi cation,we select the initial states of the drive system and the response systemare(x1(0),x2(0),x3(0),x4(0))=(0,0,4,2)Tand(y1(0),y2(0),y3(0),y4(0))=(2,0.5,6,8). Without loss of generality,we give the identi fi cation curves of fourparameters varying with time t are shown in Figure 1,Figure 2 presents the anti-synchronization errors with evolving time t.Figure 1: Identification curves of the uncertain parameters of the system with varying timeFigure 2: The anti-synchronization errors between the drive and response systems5 ConclusionIn this paper,the parameter identification and anti-synchronization of a hyper-chaotic system are investigated.A state observer and a controller for the uncertain system are designed.The effectiveness of the observer and controller for the system are demonstrated by computersimulations.Numerical simulations are used to verify the effectiveness of the proposed scheme.References:【相关文献】[1]Fujisaka T,Yamada.Stability theory of synchronized motion in coupled-oscillator systems[J].Progress of Theoretical Physics,1983,69(1):32-71[2]Pecora L M,Carroll T L.Synchronization in chaotic systems[J].Physical Review Letters,1980,64:821-824[3]Wieczorek S,Krauskopf B.A unifying view of bifurcations in a semiconductor laser subject to optical injection[J].Optical Communication,1999,172(10):279-295[4]Vincent U E,Njah A N,Akinlade O.Phase synchronization in unidirectionally coupled chaotic ratchets[J].Chaos,Solitons and Fractals,2004,14(4):1018-1025[5]Liao T L.Adaptive synchronization of two Lorenz systems[J].Chaos,Solitons and Fractals,1998,9(2):1555-1561[6]Rosenblum M G,Pikovsky A S,Kurths J.From phase to lag synchronization in coupled chaotic oscillators[J].Physical Review Letters,1997,78(22):4193-4196[7]Chu Y D,Zhang J G.Chaos and chaos synchronization for a non-autonomous rotational machine system[J].Nonlinear Analysis:Real World Applications,2008,9(4):1378-1393 [8]Bai E W,Lonngran E E.Synchronization of two Lorenz systems using activecontrol[J].Chaos,Solitons and Fractals,1997,8(1):51-58[9]Kilic R.Experimental study on impulsive synchronization between two modif i ed Chua’s circuits[J].Nonlinear Analysis:Real World Applications,2006,7(2):1298-1303 [10]Taherional S,Lai Y C.Observability of lag synchronization of coupled chaotic oscillators[J].Physical Review E,1999,59(2):6247-6250[11]Xu W,Du L,Xu Y.Some recent developments of nonlinear stochasticdynamics[J].Chinese Journal of Engineering Mathematics,2006,23(6):951-960[12]Wen G L,Xu D.Observer-based control for full-state projective synchronization of a general class of chaotic maps in ant dimension[J].Physical Letters A,2004,33(2):420-425。

不确定混沌系统自适应改进投影同步与参数估计李战国;徐伟【摘要】研究一类新混沌系统与Genesio-Tesi混沌系统的改进投影同步,并对新混沌系统未知参数进行估计.依据主动控制原理,设计了非线性控制器和参数自适应更新律,用Lyapunov稳定性理论证明了误差系统原点的渐进稳定性.数值仿真结果验证了设汁的非线性控制器和参数自适应更新律的有效性及其在有界噪声干扰下的鲁棒性.【期刊名称】《工程数学学报》【年(卷),期】2010(027)001【总页数】7页(P30-36)【关键词】新混沌系统;Genesio-Tesi混沌系统;改进投影同步;自适应律;有界噪声【作者】李战国;徐伟【作者单位】西北工业大学理学院心用数学系,西安,710072;西北工业大学理学院心用数学系,西安,710072【正文语种】中文【中图分类】O415.51 引言混沌是非线性系统的特有现象，表现为系统长期演化结果敏感依赖于系统初始条件。

基于混沌同步在保密通信等领域的广泛潜在应用价值，以及人们对其奇异特性的探索兴趣，自上世纪九十年代Pecora等[1]的开创性工作以来，众多学者对混沌同步展开了广泛的研究，提出了混沌同步控制的多种方法和类型[2]。

常见的混沌同步主要有完全同步[1]、相同步[3]、延迟同步[4]、反同步[5]、广义同步[6]、投影同步[7-9]等。

同一系统的混沌同步较易实现，而不同系统的混沌同步则较难。

关于随机力对混沌同步的影响，部分学者大多使用高斯白噪声进行过研究，然而实际系统所承受的环境噪声大多是有界的[10]。

本文将基于主动控制原理，设计非线性控制器和参数更新律，研究一类新混沌系统[11-12]和Genesio-Tesi混沌系统[7]的改进投影同步，估计新混沌系统的未知参数，并研究有界噪声对混沌同步和参数估计结果所产生的影响。

2 模型及理论分析本文研究的新混沌系统模型方程为[12]这里X=(x1,x2,x3)表示系统的状态，a,b,c是系统参数。

一类不确定分数阶混沌系统自适应同步与参数辨识赵小山;孔德富;郭永峰【摘要】In view of one parameter uncertain fractional-order chaotic system, firstly, the chaotic attractors of different phase plane are given. Then, based on the fractional-order stability theory, suitable adaptive synchronization controllers are designed. The method not only achieves the chaos synchronization of the system, but also identifies unknown parameters of the respond system. At last based on the Lyapunov stability theory, strict mathematic proof is given, numerical simulation demonstrates the effectiveness and correctness of the method.%针对一个参数不确定的分数阶混沌系统，首先给出不同相平面上的混沌吸引子图，然后基于分数阶系统稳定性理论，设计了一种自适应同步控制方法，不仅能够实现该系统的混沌同步，同时能够完成响应系统的参数辨识，并根据Lyapunov稳定性理论给予严格证明，最后通过数值仿真，验证了该方法的有效性和正确性。

【期刊名称】《天津工业大学学报》【年(卷),期】2015(000)003【总页数】4页(P85-88)【关键词】分数阶混沌系统;混沌同步;参数辨识;自适应同步;控制器【作者】赵小山;孔德富;郭永峰【作者单位】天津职业技术师范大学理学院，天津 300222;天津职业技术师范大学理学院，天津 300222;天津工业大学理学院，天津 300387【正文语种】中文【中图分类】O231.2分数阶微积分理论尽管有300多年的历史，但是因为其长时间没有实际应用背景而发展缓慢[1].但近几十年来，由于Mandelbort[2]提出自然界乃至很多科学领域都存在分数维的事实，分数阶微积分得到了迅猛的发展.在混沌系统的同步中，参数具有极其重要的作用，当系统中某些参数未知时，混沌系统的敏感性将造成系统状态极大的差异.目前很多研究者已经对整数阶的参数问题进行了大量的研究[3-4]，但对分数阶混沌系统的参数识别问题研究相对较少.在很多实际应用中，分数阶系统又能更准确地反映其数学特性，因而逐渐成为混沌研究的热点.自1990年，Pecora和Corroll首次提出混沌同步的概念以来，人们从不同的角度实现了不同类型的混沌同步，有完全同步、广义同步、投影同步等[5-7].本文针对一个不确定的分数阶混沌系统，设计自适应控制器并进行参数识别，最后通过数值模拟验证该方法的有效性和正确性.分数阶微积分存在着多种定义，大多采用的是Caputo定义和Riemann-Liouville （R-L）定义，本文采用的是Caputo定义[8]：式中：m=[α]；Jθ为θ阶Riemann-Liouville积分算子，它被定义为：其中Γ（·）为Gamma函数.预估-校正算法是典型的求解一阶微分方程组Adams-Bashforth-Moulton[9]法的推广，基于Caputo分数阶微分定义，将其应用到分数阶系统的数值计算.考虑下面的初值问题在文献[10]中，Diethelm等证明了如果方程f是连续的，那么（3）式的初值问题等价于如下的Volterra积分方程令h=T/N，tn=nh，n=0，1…，N∈Z+，首先进行Adams-Bashforth预估，得到如下公式式中：，其次再进行Adams-Moulton校正：其相应的预估矫正算法误差为maxj=0，1，…N|x（tj）-xh（tj）|=O（hp），其中p=min（2，1+α）.超混沌Lorenz-Stenflo（LS）系统是Stenflo在研究低频率短波长的重力波方程式提出来的，其形式如下：式中：x、y、z、w为系统的状态变量；a、b、c、d为系统参数，当a=1，b=7，c=26，d=1.5时，系统存在混沌吸引子.本文研究的是系统（8）分数阶的形式.其分数阶形式为：式中：q为分数阶系统的阶数，q=0.98，分数阶系统的参数依然取a=1，b=7，c=26，d=1.5.采用Caputo定义设计算法，利用Matlab数值仿真，得出系统（9）的混沌吸引子图如图1所示.通过这个在二维平面上的相图更加可以清晰的看出该系统的混沌轨道是双漩涡结构. 文献[11]给出了分数阶稳定性理论.定理1 考虑线性分阶系统式中，0＜q＜1，x∈Rn（n∈N），A∈Rn×n.当且仅当矩阵A的任意特征值λ，满足|arg（λ）|＞qπ/2时，系统（10）渐近稳定.由定理1的证明过程可以得出如下定理2.定理2 对于非线性分数阶系统式中，0＜q＜1，x=（x1，x2…，xn）T，A（x）∈Rn×n为状态向量，是系数矩阵.当含有状态变量的系数矩阵A（x）的所有特征值λi（i=1，2，…，n）实部都不大于零，即|arg（λi）|＞qπ/2时，系统（11）是渐近稳定的.根据分数阶稳定性理论，设计如下自适应同步同步控制方法，并进行参数辨识.本文设驱动系统为：假设所有参数均为未知，采用自适应同步方法，设计如下响应系统：式中，参数a、b、c的估计值分别为自适应控制器为u=（u1，u2，u3，u4）T. 同步误差变量设为：e1=y1-x1，e2=y2-x2，e3=y3-x3，e4=y4-x4，未知参数估计误差设为：定理3 若设计的系统同步控制器为则t→∞时，误差动力系统（16）趋于稳定，即驱动系统（12）和响应系统（13）达到同步.证明针对误差动力系统（16），构造如下的Lyapunov函数：由此可得V≥0，≤0，所以当t→∞时，根据Lyapunov稳定性定理[12]，有e1→0，e2→0，e3→0，e4→0，ea→0，eb→0，ec→0，ed→0.动力学误差系统（16）趋于稳定，即当t→∞时，驱动系统（12）和响应系统（13）实现混沌同步.由预估-校正算法，结合Matlab进行数值仿真，参数a，b，c，d的真实值分别为（a，b，c，d）=（1，0.7，26，1.5）；驱动系统（12）的初始值为（x1（0），x2（0），x3（0），x4（0））=（0.1，0.2，0.2，-0.2）；响应系统（13）的初始值为（y1（0），y2（0），y3（0），y4（0））=（15，20，10，40）；误差系统（16）的初始值为（e1（0），e2（0），e3（0），e4（0））=（14.9，19.8，9.8，40.2）；参数估计值分别为=（10，-5，0，10），得到误差系统变化曲线和参数辨识效果.图2为误差系统（16）的误差变化曲线.由图2可以看到，随着时间t的增加，系统同步误差逐渐为0，也就是驱动系统（12）和响应系统（13）达到同步.图3为未知参数辨识图，其中（a）、（b）、（c）、（d）是参数a、b、c、d的辨识曲线.由图3可以看出，当参数a、b、c、d分别从估计值10、-5、0、10快速的趋近于真实值1、0.7、26、1.5，也就是说，所设计的辨识规则是正确的.本文针对参数不确定的分数阶超混沌Lorenz-Stenflo系统，给出了其在不同相平面上的混沌吸引子图；基于分数阶稳定性理论，设计了合适的自适应同步控制器，根据Lyapunov稳定性定理，推导出未知参数的辨识规则，通过利用预估-校正算法，进行数值模拟，验证了该方法的有效性和正确性.该方法也可以推广到其他分数阶混沌系统中，同时分数阶混沌系统异结构同步与参数辨识，甚至分数阶混沌系统异结构投影同步与参数辨识，将在接下来的工作中进一步研究.【相关文献】[1]刘崇新.蔡氏对偶混沌电路分析[J].物理学报，2002，51（6）：1198-1202.[2]LORENZ E N.Deterministic nonperiodic flow[J].J Atmos Sci，1963，20：130-141.[3]SUNDARAPANDIANV，PEHLIVANI.Analysis，control，synchronization，and circuit design of a novel chaotic system[J]. Mathematical and Computer Modeling，2012，55：1904-1915.[4]YUAN L，YANG Q.Parameter identification and synchronization of fractional-order chaotic systems[J].Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation，2012，17：305-306.[5] 董俊，张广军，姚宏.异结构超混沌系统的完全同步与反相同步控制[J].空军工程大学学报，2012，13（5）：90-94.[6]王兴元，孟娟.一类混沌神经网络的观测器广义投影同步设计[J].应用力学学报，2008，25（4）：656-659.[7]MAINIERIR，REHACEKJ.Projectivesynchronizationin threedimensional chaoticsystems[J].Physical Review Letters，1999，82（15）：3042-3045.[8]CAPUTO M.Linear models of dissipation whose q is almost frequency independent-II[J].Geophysical Journal of the Royal Astronomical Society，1967，13（5）：529-539. [9]DIETHELM K，FORD N J，FREED A D.A predictor-corrector approach for the numerical solution of fractional differential equations[J].Nonlinear Dynamics，2002，29：3-22. [10]DIETHELM K，FORD N J.Analysis of fractional differential equations[J].Math Anal Appl，2002，265：229-248.[11]张若洵，杨世平，刘永利.基于线性控制的分数阶统一混沌系统的同步[J].物理学报，2010，59（3）：1549-1552.[12]HAHN W.The Stability of Motion[M].New York：Springer Press，1967.。

不确定分数阶同步发电机混沌系统的滑模自适应控制及参数辨
识
郝建红;熊雪艳;米昕禾
【期刊名称】《河北师范大学学报：自然科学版》
【年(卷),期】2016(0)2
【摘要】考虑了一种带有周期性负荷扰动和电磁功率扰动的同步发电机系统模型.基于分数阶稳定性原理,对分数阶系统的动力学特性做了仿真分析.针对系统内部参数和扰动幅值的不确定,利用径向基函数神经网络的万能逼近特性改进滑模控制方法,设计了一种基于径向基函数的自适应滑模控制器,实现参数辨识,使系统输出能渐近跟踪目标轨迹,进而抑制分数阶系统混沌振荡.研究表明,该方法控制时间短、逼近误差小,而且有效地消除了抖振,具有实时控制、鲁棒性高等特点.
【总页数】8页(P116-123)
【关键词】分数阶同步发电机系统;自适应滑模控制;RBF神经网络;参数辨识
【作者】郝建红;熊雪艳;米昕禾
【作者单位】华北电力大学电气与电子工程学院
【正文语种】中文
【中图分类】O415.5
【相关文献】
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2.不确定混沌系统用分数阶系统同步与参数辨识 [J], 李安平;刘国荣;沈细群
3.不确定整数阶和分数阶Rössler混沌系统的自适应滑模同步 [J], 程春蕊; 毛北行
4.一类不确定分数阶舰船运动混沌系统的滑模同步控制 [J], 程春蕊;毛北行
5.不确定整数阶分数阶单摆混沌系统的自适应滑模同步 [J], 孟晓玲
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