北师大版八年级上册第七章平行线的证明同步练习题学案(无答案)

1．如图，△ABC中，AD平分∠BAC，△ABC的两条高线BE、CF交于点H，CF、BE分别交AD于M、N两点，HG平分∠BHC，下列结论：①∠ABE＝∠ACF；②∠HMN＝∠HNM；③∠AMF＝∠BAC；④AD∥HG，其中正确的结论有（只填序号）．2．如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，CE平分∠ACB，BD与CE交于点M．若MN⊥BC于N，∠A＝60°，则∠1﹣∠2＝度．3．如图，在△ABC 中，D 、E分别是边AB、AC上一点，将△ABC沿DE折叠，使点A落在边BC上．若∠A＝55°，则∠1+∠2+∠3+∠4＝度．4．如图，把△ABC沿EF对折，叠合后的图形如图所示．若∠A＝55°，∠1＝95°，则∠2的度数为．5．如图，把△ABC的一部分沿DE折叠，点C落在点C′的位置，若∠C＝38°，那么∠1﹣∠2的度数为．6．如图，在△ABC中，∠A＝20°，∠ABC与∠ACB的角平分线交于D1，∠ABD1与∠ACD1的角平分线交于点D2，依此类推，∠ABD4与∠ACD4的角平分线交于点D5，则∠BD5C的度数是．7．如图，BD是∠ABC的平分线，ED∥BC，∠4＝∠5，8．如图，已知：E、F分别是AB和CD上的点，DE、AF分别交BC于点G、H，AB∥CD，∠A＝∠D，试说明：（1）AF∥ED；（2）∠BED＝∠A；（3）∠1＝∠29．如图1，已知线段AB、CD相交于点O，连接AC、BD，则我们把形如这样的图形称为“8字型”．（1）求证：∠A+∠C＝∠B+D；（2）如图2，若∠CAB和∠BDC的平分线AP和DP相交于点P，且与CD、AB分别相交于点M、N．①以线段AC为边的“8字型”有个，以点O为交点的“8字型”有个；②若∠B＝100°，∠C＝120°，求∠P的度数；③若角平分线中角的关系改为“∠CAP＝∠CAB，∠CDP＝∠CDB”，试探究∠P与∠B、∠C之间存在的数量关系，并证明理由．10．如图1，点E在直线AB上，点F在直线CD 上，EG⊥FG．（1）若∠BEG+∠DFG＝90°，请判断AB与CD 的位置关系，并说明理由；（2）如图2，在（1）的结论下，当EG⊥FG保持不变，EG上有一点M，使∠MFG＝2∠DFG，则∠BEG与∠MFD存在怎样的数量关系？并说明理由．（3）如图2，若移动点M，使∠MFG＝n∠DFG，请直接写出∠BEG与∠MFD的数量关系．11．完成下面推理过程：求证：AD∥BE12．如图，聪聪将一块直角三角形的两个锐角顶点A和B分别放在平面直角坐标系的x轴和y轴上，细心的他发现BC恰好是∠ABY的平分线，于是他将CB反向延长与∠BAO的平分线相交得到点P，并计算得∠P＝45°．如果点A、点B为x轴、y轴上任意位置（不与原点重合），是否仍存在“两角平分线”的交角仍等于45°？若存在，请在备用图上作图，并写出过程；若不存在，说明理由．13．在一个三角形中，如果一个角是另一个角的3倍，这样的三角形我们称之为“智慧三角形”．如，三个内角分别为120°，40°，20°的三角形是“智慧三角形”．如图，∠MON ＝60°，在射线OM 上找一点A ，过点A 作AB ⊥OM 交ON 于点B ，以A 为端点作射线AD ，交射线OB 于点C ．（1）∠ABO 的度数为 °，△AOB （填“是”或“不是”智慧三角形）；（2）若∠OAC ＝20°，求证：△AOC 为“智慧三角形”；（3）当△ABC 为“智慧三角形”时，求∠OAC 的度数．14．如图，在△ABC 中，点D 在BC 上，点E 在AC 上，AD 交BE 于F ．已知EG ∥AD 交BC 于G ，EH ⊥BE 交BC 于H ，∠HEG ＝50°． （1）求∠BFD 的度数； （2）若∠BAD ＝∠EBC ，∠C ＝41°，求∠BAC 的度数． 15．在△ABC 中，BM 平分∠ABC 交AC 于点M ，点P 是直线AC 上一点，过点P 作PH ⊥BM 于点H ．（1）如图1，当∠ACB ＝110°，∠BAC ＝30°，且点P 与点C 重合时，∠APH ＝ °； （2）如图2，当点P 在AC 的延长线上时，求证：2∠APH ＝∠ACB ﹣∠BAC ；（3）如图3，当点P 在线段AM 上（不含端点）时， ①补全图形；②直接写出∠APH 、∠ACB 、∠BAC 之间的数量关系： ．16．已知：如图，△ABC 中，D ，E ，F 三点分别在AB ，AC ，BC 三边上，过点D 的直线与线段EF 的交点为点H ，∠1+∠2＝180°，∠3＝∠C ． （1）求证DH ∥EC ；（2）若∠4＝32°，求∠EFC ．17．综合与探究如图，已知AM∥BN，∠A＝60°，点P是射线AM上一动点（与点A不重合）．BC、BD分别平分∠ABP和∠PBN，分别交射线AM于点C，D．【发现】（1）∵AM∥BN，∴∠ACB＝∠；（2）求∠ABN、∠CBD的度数；【操作】（3）当点P运动时，∠APB与∠ADB之间的数量关系是否随之发生变化？若不变化，请写出它们之间的关系，并说明理由；若变化，请写出变化规律．【探究】（4）当点P运动到使∠ACB＝∠ABD时，∠ABC 的度数是．18．如图，在△ABC中，∠1＝110°，∠C＝80°，∠2＝∠3，BE平分∠ABC，求∠4的度数．19．动手操作：一个三角形的纸片ABC，沿DE折叠，使点A落在点Aˊ处．观察猜想（1）如图1，若∠A＝40°，则∠1+∠2＝°；若∠A＝55°，则∠1+∠2＝°；若∠A＝n°，则∠1+∠2＝°．探索证明：（2）利用图1，探索∠1、∠2与∠A有怎样的关系？请说明理由．拓展应用（3）如图2，把△ABC折叠后，BA′平分∠ABC，CA′平分∠ACB，若∠1+∠2＝108°，利用（2）中结论求∠BA′C的度数．20．（1）如图，在△ABC 中，∠A ＝40°，∠B ＝70°，CD 是AB 边上的高，CE 是∠ACB 的平分线，DF ⊥CE 于F ，求∠CDF 的度数．21．如图，在△ABC 中，D 是BC 边上的一点，∠B ＝50°，∠BAD ＝30°，将△ABD 沿AD 折叠得到△AED ，AE 与BC 交于点F ．（1）求∠AFC 的度数； （2）求∠EDF 的度数．22．△ABC 中，∠A ＝60°，点D 、E 分别是△ABC 边AC 、AB 上的点（不与A 、B 、C 重合），点P 是一动点，令∠PDC ＝∠1，∠PEB ＝∠2，∠DPE ＝∠则∠1+∠2＝ °．（2）若点P 在边BC 上运动，如图2，试判断∠α、∠1、∠2之间的关系，并证明．（3）直接写出：若点P 运动到△ABC 形外，如图3，则∠α、∠l 、∠2之间的关系为 ．23．如图1，在△ABC 中，∠B ＝90°，分别作其内角∠ACB 与外角∠DAC 的平分线，且两条角平分线所在的直线交于点E ． （1）∠E ＝ °；（2）分别作∠EAB 与∠ECB 的平分线，且两条角平分线交于点F ．①依题意在图1中补全图形； ②求∠AFC 的度数；（3）在（2）的条件下，射线FM 在∠AFC 的内部且∠AFM ＝∠AFC ，设EC 与AB 的交点为H ，射线HN 在∠AHC 的内部且∠AHN ＝∠AHC ，射线HN 与FM 交于点P ，若∠F AH ，∠FPH 和∠FCH 满足的数量关系为∠FCH ＝m ∠F AH +n ∠FPH ，请直接写出m ，n 的值．。

八年级上册第7章《平行线的证明》专题演练（四）1．如图1为北斗七星的位置图，如图2将北斗七星分别标为A，B，C，D，E，F，G，将A，B，C，D，E，F顺次首尾连结，若AF恰好经过点G，且AF∥DE，∠B＝∠C+10°，∠D＝∠E＝105°．（1）求∠F的度数．（2）计算∠B﹣∠CGF的度数是．（直接写出结果）（3）连结AD，∠ADE与∠CGF满足怎样数量关系时，BC∥AD，并说明理由．2．如图，点E在直线DC上，点B在直线AF上，若∠1＝∠2，∠3＝∠4，则∠A＝∠D，请说明理由．解：∵∠1＝∠2（已知）∠2＝∠DME∴∠1＝∠DME∴BC∥EF∴∠3+∠B＝180°又∵∠3＝∠4（已知）∴∠4+∠B＝180°∴∥（同旁内角互补，两直线平行）∴∠A＝∠D．3．如图，射线OA∥射线CB，∠C＝∠OAB＝100°．点D、E在线段CB上，且∠DOB＝∠BOA，OE平分∠DOC．（1）试说明AB∥OC的理由；（2）试求∠BOE的度数；（3）平移线段AB；①试问∠OBC：∠ODC的值是否会发生变化？若不会，请求出这个比值；若会，请找出相应变化规律．②若在平移过程中存在某种情况使得∠OEC＝∠OBA，试求此时∠OEC的度数．4．将一副三角板的直角重合放置，如图1所示，（1）图1中∠BEC的度数为（2）三角板△AOB的位置保持不动，将三角板△COD绕其直角顶点O顺时针方向旋转：①当旋转至图2所示位置时，恰好OD∥AB，求此时∠AOC的大小；②若将三角板△COD继续绕O旋转，直至回到图1位置，在这一过程中，是否会存在△COD其中一边能与AB平行？如果存在，请你画出图形，并直接写出相应的∠AOC的大小；如果不存在，请说明理由．5．如图，AE∥CF，∠A＝∠C．（1）若∠1＝35°，求∠2的度数；（2）判断AD与BC的位置关系，并说明理由；（3）若AD平分∠BDF，试说明BC平分∠DBE．6．（1）问题发现如图①，直线AB∥CD，E是AB与AD之间的一点，连接BE，CE，可以发现∠B+∠C＝∠BEC．请把下面的证明过程补充完整：证明：过点E作EF∥AB，∵AB∥DC（已知），EF∥AB（辅助线的作法），∴EF∥DC（）∴∠C＝∠CEF．（）∵EF∥AB，∴∠B＝∠BEF（同理），∴∠B+∠C＝（等量代换）即∠B+∠C＝∠BEC．（2）拓展探究如果点E运动到图②所示的位置，其他条件不变，求证：∠B+∠C＝360°﹣∠BEC．（3）解决问题如图③，AB∥DC，∠C＝120°，∠AEC＝80°，则∠A＝．（之间写出结论，不用写计算过程）7．三角形ABC中，D是AB上一点，DE∥BC交AC于点E，点F是线段DE延长线上一点，连接FC，∠BCF+∠ADE＝180°．（1）如图1，求证：CF∥AB；（2）如图2，连接BE，若∠ABE＝40°，∠ACF＝60°，求∠BEC的度数；（3）如图3，在（2）的条件下，点G是线段FC延长线上一点，若∠EBC：∠ECB＝7：13，BE平分∠ABG，求∠CBG的度数．8．如图1，已知两条直线AB，CD被直线EF所截，分别交于点E，点F，EM平分∠AEF交CD 于点M，且∠FEM＝∠FME．（1）判断直线AB与直线CD是否平行，并说明理由；（2）如图2，点G是射线MD上一动点（不与点M，F重合），EH平分∠FEG交CD于点H，过点H作HN⊥EM于点N，设∠EHN＝α，∠EGF＝β．①当点G在点F的右侧时，若β＝56°，求α的度数；②当点G在运动过程中，α和β之间有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并加以证明．9．如图，∠1+∠2＝180°，∠B＝∠3．（1）判断DE与BC的位置关系，并说明理由．（2）若∠C＝65°，求∠DEC的度数．10．如图：BD平分∠ABC，∠ABD＝∠ADB，∠ABC＝50°．请问：（1）∠BDC+∠C的度数是多少？并说明理由；（2）若P点是BC上的一动点（B点除外），∠BDP与∠BPD之和是一个确定的值吗？如果是，求出这个确定的值；如果不是，说明理由．参考答案1．解：（1）∵AF∥DE，∴∠F+∠E＝180°，∴∠F＝180°﹣105°＝75°；（2）延长DC交AF于K，可得：∠B﹣∠CGF＝∠C+10°﹣∠CGF＝∠GKC+10°＝∠D+10°＝115°，故答案为；115°；（3）当∠ADE+∠CGF＝180°时，BC∥AD，∵AF∥DE，∴∠GAD+∠ADE＝180°，∠ADE+∠CGF＝180°，∴∠GAD＝∠CGF，∴BC∥AD．2．解：∵∠1＝∠2（已知）∠2＝∠DME（对顶角相等）∴∠1＝∠DME∴BC∥FE（同位角相等，两直线平行）∴∠3+∠B＝180°（两直线平行，同旁内角互补）又∵∠3＝∠4（已知）∴∠4+∠B＝180°∴DE∥AB（同旁内角互补，两直线平行）∴∠A＝∠D（两直线平行，内错角相等）故答案为：对顶角相等；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补；DE，AB；两直线平行，内错角相等．3．解：（1）∵OA∥CB，∴∠OAB+∠ABC＝180°，∵∠C＝∠OAB＝100°，∴∠C+∠ABC＝180°，∴AB∥OC（2）∵CB∥OA，∴∠AOC＝180°﹣∠C＝180°﹣100°＝80°，∵OE平分∠COD，∴∠COE＝∠EOD，∵∠DOB＝∠AOB，∴∠EOB＝∠EOD+∠DOB＝∠AOC＝×80°＝40°；（3）①∵CB∥OA，∴∠AOB＝∠OBC，∵∠DOB＝∠AOB，∴∠DOB＝∠OBC，∴∠ODC＝∠DOB+∠OBC＝2∠OBC，∴∠OBC：∠ODC＝1：2，是定值；②在△COE和△AOB中，∵∠OEC＝∠OBA，∠C＝∠OAB，∴∠COE＝∠AOB，∴OB、OE、OF是∠AOC的四等分线，∴∠COE＝∠AOC＝×80°＝20°，∴∠OEC＝180°﹣∠C﹣∠COE＝180°﹣100°﹣20°＝60°，∴∠OEC＝∠OBA，此时∠OEC＝∠OBA＝60°4．解：（1）∠CAE＝180°﹣∠BAO＝180°﹣60°＝120°，∴∠BEC＝∠C+∠CAE＝45°+120°＝165°，故答案为：165°．（2）①∵OD∥AB，∴∠BOD＝∠B＝30°，又∠BOD+∠BOC＝90°，∠AOC+∠BOC＝90°，∴∠AOC＝∠BOD＝30°．②存在，如图1，∠AOC＝120°；如图2，∠AOC＝165°；如图3，∠AOC＝30°；如图4，∠AOC＝150°；如图5，∠AOC＝60°；如图6，∠AOC＝15°．5．解：（1）∵AE∥CF，∴∠BDC＝∠1＝35°，又∵∠2+∠BDC＝180°，∴∠2＝180°﹣∠BDC＝180°﹣35°＝145°；（2）BC∥AD．理由：∵AE∥CF，∴∠A+∠ADC＝180°，又∵∠A＝∠C，∴∠C+∠ADC＝180°，∴BC∥AD．（3）∵AE∥CF，∴∠BDF＝∠DBE．∵BC∥AD，∴∠ADB＝∠DBC．∵AD平分∠BDF，∴∠ADB＝∠BDF，∴∠DBC＝∠EBD．∴BC平分∠DBE．6．（1）证明：如图①，过点E作EF∥AB，∵AB∥DC（已知），EF∥AB（辅助线的作法），∴EF∥DC（平行于同一直线的两直线平行），∴∠C＝∠CEF．（两直线平行，内错角相等），∵EF∥AB，∴∠B＝∠BEF（同理），∴∠B+∠C＝∠BEF+∠CEF（等量代换）即∠B+∠C＝∠BEC，故答案为：平行于同一直线的两直线平行，两直线平行，内错角相等，∠BEF+∠CEF；（2）证明：如图②，过点E作EF∥AB，∵AB∥DC（已知），EF∥AB（辅助线的作法），∴EF∥DC（平行于同一直线的两直线平行），∴∠C+∠CEF＝180°，∠B+∠BEF＝180°，∴∠B+∠C+∠AEC＝360°，∴∠B+∠C＝360°﹣∠BEC；（3）解：如图③，过点E作EF∥AB，∵AB∥DC（已知），EF∥AB（辅助线的作法），∴EF∥DC（平行于同一直线的两直线平行），∴∠C+∠CEF＝180°，∠A＝∠BEF，∵∠C＝120°，∠AEC＝80°，∴∠CEF＝180°﹣120°＝60°，∴∠BEF＝80°﹣60°＝20°，∴∠A＝∠AEF＝20°．故答案为：20°．7．（1）证明：∵DE∥BC，∴∠ADE＝∠B，∵∠BCF+∠ADE＝180°．∴∠BCF+∠B＝180°．∴CF∥AB；（2）解：如图2，过点E作EK∥AB，∴∠BEK＝∠ABE＝40°，∵CF∥AB，∴CF∥EK，∴∠CEK＝∠ACF＝60°，∴∠BEC＝∠BEK+∠CEK＝40°+60°＝100°；（3）∵BE平分∠ABG，∴∠EBG＝∠ABE＝40°，∵∠EBC：∠ECB＝7：13，∴设∠EBC＝7x°，则∠ECB＝13x°，∵DE∥BC，∴∠DEB＝∠EBC＝7x°，∠AED＝∠ECB＝13x°，∵∠AED+∠DEB+∠BEC＝180°，∴13x+7x+100＝180，解得x＝4，∴∠EBC＝7x°＝28°，∵∠EBG＝∠EBC+∠CBG，∴∠CBG＝∠EBG﹣∠EBC＝40°﹣28°＝12°．8．解：（1）∵EM平分∠AEF，∴∠AEF＝∠FME，又∵∠FEM＝∠FME，∴∠AEF＝∠FEM，∴AB∥CD；（2）①如图2，∵AB∥CD，β＝56°，∴∠AEG＝124°，又∵EH平分∠FEG，EM平分∠AEF，∴∠HEF＝∠FEG，∠MEF＝∠AEF，∴∠MEH＝∠AEG＝62°，又∵HN⊥ME，∴Rt△EHN中，∠EHN＝90°﹣62°＝28°，即α＝28°；②分两种情况讨论：如图2，当点G在点F的右侧时，α＝β．证明：∵AB∥CD，∴∠AEG＝180°﹣β，又∵EH平分∠FEG，EM平分∠AEF，∴∠HEF＝∠FEG，∠MEF＝∠AEF，∴∠MEH＝∠AEG＝（180°﹣β），又∵HN⊥ME，∴Rt△EHN中，∠EHN＝90°﹣∠MEH＝90°﹣（180°﹣β）＝β，即α＝；如图3，当点G在点F的左侧时，α＝90°﹣．证明：∵AB∥CD，∴∠AEG＝∠EGF＝β，又∵EH平分∠FEG，EM平分∠AEF，∴∠HEF＝∠FEG，∠MEF＝∠AEF，∴∠MEH＝∠MEF﹣∠HEF＝（∠AEF﹣∠FEG）＝∠AEG＝β，又∵HN⊥ME，∴Rt△EHN中，∠EHN＝90°﹣∠MEH，即α＝90°﹣．9．解：（1）DE∥BC，理由是：∵∠1+∠2＝180°，∴AB∥EF，∴∠ADE＝∠3，∵∠B＝∠3，∴∠ADE＝∠B，∴DE∥BC；（2）∵DE∥BC，∴∠C+∠DEC＝180°，∵∠C＝65°，∴∠DEC＝115°．10．解：（1）∠BDC+∠C＝155°．理由：∵BD平分∠ABC，∠ABC＝50°，∴∠ABD＝∠CBD＝25°；又∠ABD＝∠ADB＝25°，∠BDC+∠C＝180°﹣∠CBD＝155°．（2）是确定的值．理由：∵∠ADB＝∠CBD，∴AD∥BC，∴∠ADP+∠BPD＝180°；∴∠BDP+∠BPD＝180°﹣∠ADB＝155°．。

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平行线的判定课题§7.3平行线的判定主备审阅八年级数学组时间课型新授授课教师教师寄语:抛弃时间的人,时间也抛弃他一、学习目标-—目标明确、有的放矢1、体验平行线判定的过程，发展逻辑推理能力；2、理解和掌握平行线的判定公理和两个判定定理；3、掌握用数学语言表示平行线的判定公理及定理，逐步掌握规范的推理论证格式。

课标要求：掌握平行线的判定方法．二、温馨提示-—方法得当、事半功倍学习重点：会根据公理进行推理论证。

学习难点：感受几何中的推理。

预习提示：阅读教材172-173页.三、课前热身—-激发兴趣、温故知新1. 对顶角_______。

2。

同角（等角）的余角________,同角（等角)的补角________.3。

平行线的判定：⑴ ________相等，两直线平行；⑵________相等,两直线平行;⑶________互补，两直线平行；⑷平行于同一条直线的两条直线互相______.四、课堂探究——质疑解疑、合作探究探究点1：平行线判定定理的证明你能利用“同位角相等，两直线平行"这个基本事实，证明“内错角相等,两直线平行"吗?定理:两条直线被第三条直线所截,如果内错角相等，那么这两条直线平行.简述为:__________________________。

北师大版八年级上册数学第七章平行线的证明含答案一、单选题(共15题，共计45分)1、如图，△ABC中，∠A = 70°，⊙O在△ABC的三条边上所截得的弦长都相等，则∠BOC的度数是（）；A.140°B.135°C.130°D.125°2、如图,A,B,C,D是⊙O上四个点,且弧AB=弧BC=弧CD,BA和CD的延长线相交于P,∠P=40°,则∠ACD的度数是（）A.15°B.20°C.40°D.50°3、如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，ED是AC的垂直平分线，交AC于点D，交BC于点E．已知∠BAE=10°，则∠C的度数为（）A. B. C. D.4、如图，将纸片沿折叠，点A落在点F处，已知，则的度数等于（）A.40°B.50°C.60°D.70°5、如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数为（）A.180 oB.270 oC.360 oD.540 o6、如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=30°，以B为圆心，BC的长为半径圆弧，交AC于点D，连接BD，则∠ABD=（）A.30°B.45°C.60°D.90°7、在△ABC中，∠A=105°，∠B=45°，则tanC的值是( )A. B. C.1 D.8、将一把直尺与一块三角板如图所示放置，若∠1＝40°，则∠2的度数为（）A.50°B.110°C.130°D.150°9、如图，AB∥CD，AD，BC相交于O，∠BAD=35°，∠BOD=76°，则∠C的度数是（）A.31°B.35°C.41°D.76°10、如图，△ABC中，AB=AC，∠ABC=70°，点O是△ABC的内心，则∠BOC的度数为（）A.120°B.110°C.115°D.130°11、在△ABC中，∠A=30°,∠B=75°,则△ABC是（）A.直角三角形B.钝角三角形C.等边三角形D.等腰三角形12、在中，∠A+∠B+∠C的度数为（）A.100°B.90°C.180°D.200°13、在锐角中，，则（）A.30°B.45°C.60°D.75°14、如图是一副三角尺叠放的示意图，则∠α的度数为（）A.75°B.45°C.30°D.15°15、已知△ABC中，∠A与∠C的度数比为5:7，且∠B比∠A大10°，那么∠B 为( )A.40°B.50°C.60°D.70°二、填空题(共10题，共计30分)16、观察下列各式：┉┉请你将猜想到的规律用含自然数n(n≥1)的代数式表示出来是________.17、如图所示，是一个运算程序示意图．若第一次输入k的值为125，则第2018次输出的结果是________．18、如图，三角形纸片ABC中∠A=63°，∠B=77°，将纸片一角折叠，使点C 落在△ABC的内部，若∠2=50°，则∠1=________.19、如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，将△ABC绕顶点C逆时针旋转得到△A'B'C，M是BC的中点，N是A'B'的中点，连接MN，若BC＝4，∠ABC＝60°，则线段MN的最大值为________.20、如图所示，在中，，，将绕点顺时针旋转至，使得点恰好落在上，则旋转角度为________.(注：等腰三角形的两底角相等)21、如图，若AB∥CD，∠1=65°，则∠2的度数为________°．22、如图，已知，，垂足为E，若，则的度数为________．23、如图,在△ABC中,∠ABC=90°,∠A=50°,BD∥AC,则∠CBD的度数是________｡24、如图是有关x的代数式的方阵，若第10行第2项的值为1034，则此时x 的值为________ ．25、观察下列有规律的数：1，，，，，，则第n个数表示为________.三、解答题(共5题，共计25分)26、如图，从左上角标注2的圆圈开始，顺时针方向按an+b的规律（n表示前一个圆圈中的数字，a、b是常数）转换后得到下一个圆圈中的数字，求“？”代表的数．27、如图，在△ABC 和△DEF 中，点 B、F、C、E 在同一直线上，BF=CE，AC∥DF 且 AC=DF. 求证：AB∥DE.28、如图，AB和CD相交于点O，∠A＝∠D，OE∥AC，且OE平分∠BOC.求证：AC∥BD.29、如图，AD、AE分别是△ABC的高和角平分线，∠B＝20°，∠C＝80°，求∠AED的度数.30、如图，DE⊥AB，EF∥AC，∠A=24°,求∠DEF的度数.参考答案一、单选题(共15题，共计45分)1、D2、A3、B4、B5、A7、B8、C9、C10、B11、D12、C13、D14、A15、C二、填空题(共10题，共计30分)16、17、18、19、20、22、23、24、25、三、解答题(共5题，共计25分)26、28、29、30、。

北师大版八年级上册数学第七章平行线的证明含答案一、单选题(共15题，共计45分)1、如图，将纸片△ABC沿DE折叠，点A落在点F处，已知∠1+∠2＝100°，则∠A的度数等于( )A.70°B.60°C.50°D.40°2、如图，已知AB∥DE，∠ABC=80°，∠CDE=140°，则∠C=（）A.50°B.40°C.30°D.20°3、如图，三直线两两相交于A、B、C，CA⊥CB，∠1=30°，则∠2的度数为（）A.50°B.60°C.70°D.80°4、在△ABC中，∠A:∠B:∠C＝2:3:4，则∠B等于（）A.45°B.60°C.75°D.80°5、如图，直线，若，，则的度数为（）A. B. C. D.6、如图，△ABC的角平分线BE，CF相交于点O，且∠FOE=121°，则∠A的度数是（）A.52°B.62°C.64°D.72°7、如图，在△ABC中，∠A=45°，∠C=75°，BD是△ABC的角平分线，则∠BDC的度数为（）A.60°B.70°C.75°D.105°8、如图,在△ABC 中，AB=AC,∠BAC 的角平分线与∠ABC 的角平分线交于点 D,若∠ADB=130°，∠C=（）A.50°B.65°C.80°D.100°9、如图.在△ABC中，AC=BC，∠A=40°，观察图中尺规作图的痕迹，可知∠BCG的度数为（）A.40°B.45°C.50°D.60°10、如图，在中，的垂直平分线交于点，交于点，若，则的度数为（）A. B. C. D.11、在折纸活动中，小明制作了一张三角形ABC纸片，点D，E分别在边AB，AC上，将三角形ABC沿着DE折叠压平，点A落在点A'处(如图)。

第七章平行线的证明1 为什么要证明1．下列问题用到推理的是( )A．根据x＝1，y＝1得x＝yB．观察得到四边形有四个内角C．老师告诉了我们关于金字塔的许多奥秘D．由公理知道过两点有且只有一条直线2．小红为奶奶冲杯热牛奶，她需要做下列事情：烧开水(4.5分钟)，洗杯子(2分钟)，冲奶粉(1.5分钟)．她至少要用________分钟才能让奶奶喝上热牛奶．2 定义与命题第1课时定义与命题1．下列语句中属于定义的是( )A．直角都相等B．作已知角的平分线C．连接两点的线段的长度，叫作这两点间的距离D．两点之间，线段最短2．对于命题“若a2＞b2，则a＞b”，下面四组关于a，b的值中，能说明这个命题是假命题的反例是( )A．a＝3，b＝2 B．a＝3，b＝－2C．a＝－3，b＝－2 D．a＝－2，b＝－33．下列命题：①全等三角形的面积相等；②面积相等的两个三角形全等；③成轴对称的两个图形全等；④两个全等三角形是轴对称图形．其中真命题有( ) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个4．将命题“相等的两个角是对顶角”改写成“如果……那么……”的形式为________________________________________．第2课时定理与证明1．下列命题不是公理的是( )A．两点确定一条直线 B．三边分别相等的两个三角形全等C．两直线平行，内错角相等 D．同位角相等，两直线平行2．下列命题可作为定理的有( )①两直线平行，同旁内角互补；②相等的角是对顶角；③等角的补角相等；④垂线段最短．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个3．如图，下列判断中错误的是( )A．因为∠BAD＋∠ADC＝180°，所以AB∥CDB．因为AB∥CD，所以∠BAC＝∠ACDC．因为∠ABD＝∠CDB，所以AD∥BCD．因为AD∥BC，所以∠BCA＝∠DAC4．如果∠1＝∠2，∠2＝∠3，那么∠1＝∠3，其依据是____________．5．如图，点E、F在BC上，BE＝CF，AB＝DC，∠B＝∠C.求证：∠A＝∠D.6．如图，有三个论断：①∠1＝∠2；②∠B＝∠C；③∠A＝∠D.请你从中任选两个作为条件，另一个作为结论构成一个命题，并证明该命题的正确性．3平行线的判定1．如图，下列条件中能判断直线l1∥l2的是( )A．∠1＝∠2 B．∠1＝∠5C．∠3＝∠5 D．∠2＝∠42．如图，直线a，b被直线c所截，∠1＝55°，下列条件能推出a∥b的是( ) A．∠3＝55° B．∠2＝55° C．∠4＝55° D．∠5＝55°3．如图，∠C＝120°，请添加一个条件，使得AB∥CD，则符合要求的其中一个条件可以是______________．4．如图，直线a，b被直线c所截，给出下列条件：①∠1＝∠2；②∠3＝∠6；③∠4＋∠7＝180°；④∠5＝∠8.其中不能判断a∥b的条件的序号是________．5．如图，已知∠ACD＝70°，∠ACB＝60°，∠ABC＝50°.求证：AB∥CD.4 平行线的性质1．如图，由AB∥DC，能推出正确的结论是( )A．∠3＝∠4 B．∠1＝∠2C．∠A＝∠C D．AD∥BC2．如图，已知直线a∥b，∠1＝120°，则∠4的度数为( )A．120° B．80° C．75° D．60°3．如图，若∠1＝∠D＝39°，∠C＝51°，则∠B＝________°.4．将一直角三角形与两边平行的纸条如图所示放置，下列结论：①∠1＝∠2；②∠3＝∠4；③∠2＋∠4＝90°；④∠4＋∠5＝180°.其中正确的是____________(填序号)．5．如图，已知CD∥BF，∠B＋∠D＝180°.求证：AB∥DE.5 三角形内角和定理第1课时三角形内角和定理1．在△ABC中，若∠A＝50°，∠B＝80°，则∠C的度数为( )A．130° B．50° C．80° D．60°2．如果一个三角形的三个内角的度数比是2∶3∶4，那么它是( )A．锐角三角形 B．钝角三角形C．直角三角形 D．钝角或直角三角形3．在△ABC中，∠A＝55°，∠B比∠C大25°，则∠B的度数为( )A．125° B．100° C．75° D．50°4．如图是一块三角形木板的残余部分，量得∠A＝100°，∠B＝40°，则这块三角形木板另外一个角的度数为________．5．如图，在△ABC中，∠A＝72°，∠BCD＝31°，CD平分∠ACB，求∠B的度数．6．如图，在△ABC中，O是高AD，BE的交点．若∠C＝75°，求∠AOE的度数．第2课时三角形的外角1．如图，∠1的度数为( )A．70°B．100°C．120°D．130°2．下列图形中能说明∠1＞∠2的是( )3．如图，AD是△ABC的外角平分线，∠B＝35°，∠DAE＝60°，求∠C的度数．4．如图，点D，E分别在AC，AB上，且∠B＝∠C.求证：(1)∠AEC＝∠ADB；(2)∠BEC＞∠B.第七章平行线的证明1 为什么要证明1．A 2.62 定义与命题第1课时定义与命题1．C 2.C 3.B4．如果两个角相等，那么这两个角是对顶角第2课时 定理与证明1．C 2.C 3.C 4.等量代换5．证明：∵BE ＝CF ，∴BE ＋EF ＝CF ＋EF ，即BF ＝CE .在△ABF 和△DCE 中，⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝DC ，∠B ＝∠C ，BF ＝CE ，∴△ABF ≌△DCE (SAS)，∴∠A ＝∠D .6．解：答案不唯一，如：已知：∠1＝∠2，∠B ＝∠C .求证：∠A ＝∠D .证明：∵∠1＝∠CGD ，∠1＝∠2，∴∠CGD ＝∠2，∴EC ∥BF ，∴∠AEC ＝∠B .又∵∠B ＝∠C ，∴∠AEC ＝∠C ，∴AB ∥CD ，∴∠A ＝∠D .3 平行线的判定1．D 2.A 3.∠BEC ＝60°(答案不唯一) 4.④5．证明：∵∠ACD ＝70°，∠ACB ＝60°，∴∠BCD ＝∠ACB ＋∠ACD ＝130°.∵∠ABC ＝50°，∴∠ABC ＋∠BCD ＝180°，∴AB ∥CD .4 平行线的性质1．B 2.D 3.129 4.①②③④5．证明：∵CD ∥BF ，∴∠BOD ＝∠B .∵∠B ＋∠D ＝180°，∴∠BOD ＋∠D ＝180°，∴AB ∥DE .5 三角形内角和定理第1课时 三角形内角和定理1．B 2.A 3.C 4.40°5．解：∵CD 平分∠ACB ，∠BCD ＝31°，∴∠ACD ＝∠BCD ＝31°，∴∠ACB ＝62°.∵在△ABC 中，∠A ＝72°，∠ACB ＝62°，∴∠B ＝180°－∠A －∠ACB ＝180°－72°－62°＝46°.6．解：∵AD ，BE 为高，∴∠ADC ＝∠AEO ＝90°.在Rt △ACD 中，∠CAD ＝180°－90°－∠C ＝15°.在Rt △AOE 中，∠AOE ＝180°－∠AEO －∠CAD ＝180°－90°－15°＝75°.第2课时 三角形的外角1．D 2.C3．解：∵AD 平分∠CAE ，∴∠CAD ＝∠DAE ＝60°，∴∠CAE ＝120°.∵∠CAE ＝∠B ＋∠C ，∴∠C ＝∠CAE －∠B ＝120°－35°＝85°.4．证明：(1)∵∠AEC ＝∠B ＋∠EOB ，∠ADB ＝∠C ＋∠DOC ，且∠B ＝∠C ，∠EOB ＝∠DOC ，∴∠AEC ＝∠ADB .(2)∵∠BEC ＝∠C ＋∠A ＞∠C ，∠B ＝∠C ，∴∠BEC ＞∠B .。

2022-2023学年北师大版八年级数学上册《第7章平行线的证明》单元同步练习题（附答案）一．选择题1．如图，下列条件中不能判定AB∥CD的是（）A．∠3＝∠4B．∠1＝∠5C．∠4+∠5＝180°D．∠3+∠5＝180°2．如图，若∠1＝∠2，∠3＝48°22'，则∠4的度数为（）A．131°38'B．129°22'C．128°38'D．125°22'3．如图，已知△ABC中，BD、CE分别是边AC、AB上的高，BD与CE交于O点，如果设∠BAC＝n°，那么用含n的代数式表示∠BOC的度数是（）A．45°+n°B．90°﹣n°C．90°+n°D．180°﹣n°4．若三角形三个内角度数之比为1：3：5，则这个三角形一定是（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等腰直角三角形5．如图，在△ABC中，AD和BE是角平分线，其交点为O，若∠BOD＝70°，则∠ACB 的度数为（）A．10°B．20°C．30°D．40°6．在同一平面内，不重合的两条直线的位置关系是（）A．平行B．相交C．平行或相交D．平行、相交或垂直7．下面说法正确的个数为（）（1）在同一平面内，过直线外一点有一条直线与已知直线平行；（2）过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；（3）两角之和为180°，这两个角一定邻补角；（4）同一平面内不平行的两条直线一定相交．A．1个B．2个C．3个D．4个8．如图，将直角三角形ABC折叠，使点A与点B重合，折痕为DE，若∠C＝90°，∠A ＝35°，则∠DBC的度数为（）A．40°B．30°C．20°D．10°9．下列四个命题是真命题的是（）A．同位角相等B．互补的两个角一定是邻补角C．在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行D．相等的角是对顶角10．如图，AB∥CD，用含α，β，γ的式子表示θ，则θ＝（）A．α+γ﹣βB．β+γ﹣αC．180°+γ﹣α﹣βD．180°+α+β﹣γ二．填空题11．如图，共有组平行线段．12．如果直线a∥b，b∥c，那么直线a与c的位置关系是．13．如图，△ABE和△ACD是△ABC分别以AB、AC为对称轴翻折180°形成的，若∠1：∠2：∠3＝29：4：3，则∠α的度数为．14．一个三角形的最大角不会小于度．三．解答题15．写出下列命题的条件和结论，并指出它是真命题还是假命题：（1）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形；（2）等腰三角形底边上的高和底边上的中线、顶角的平分线互相重合．16．写出下列命题的逆命题，并判断其真假：（1）若a＝b，则a3＝b3；（2）个位数是0的数能被2整除．17．如图所示，在长方体中．（1）图中和AB平行的线段有哪些？（2）图中和AB垂直的直线有哪些？18．如图，DE平分∠ADC，CE平分∠BCD，且∠1+∠2＝90°．试判断AD与BC的位置关系，并说明理由．19．已知：△ABC，∠A、∠B、∠C之和为多少？为什么？解；∠A+∠B+∠C＝180°理由：作∠ACD＝∠A，并延长BC到E∵∠ACD＝∠（已作）AB∥CD（）∴∠B＝（）而∠ACB+∠ACD+∠DCE＝180°∴∠ACB++＝180°（）20．如图，在△ABC中，∠B＝24°，∠ACB＝104°，AD⊥BC交BC的延长线于点D，AE 平分∠BAC．（1）求∠DAE的度数．（2）若∠B＝α，∠ACB＝β，其它条件不变，请直接写出∠DAE与α、β的数量关系．21．对于同一平面内的三条直线a，b，c，给出下列五个判断：①a∥b；②b∥c；③a⊥b；④a∥c；⑤a⊥c，以其中两个判断为条件，一个判断为结论组成一个真命题，这样的命题有哪些？试写出来．22．如图1，已知线段AB、CD相交于点O，连接AD、CB，我们把形如图1的图形称之为“8字形”．试解答下列问题：（1）在图1中，写出∠A、∠B、∠C、∠D之间关系为；（2）如图2，在（1）的结论下，∠DAB和∠BCD的平分线AP和CP相交于点P，并且与CD、AB分别相交于点M、N．①仔细观察，在图2中有个以线段AD为边的“8字形”；②若∠D＝40°，∠B＝36°，试求∠P的度数；③∠D和∠B为任意角时，其他条件不变，试直接写出∠P与∠D、∠B之间数量关系，不需说明理由．参考答案一．选择题1．解：A、∵∠3＝∠4，∴AB∥CD，故本选项能判定AB∥CD；B、∵∠1＝∠5，∴AB∥CD，故本选项能判定AB∥CD；C、根据∠4+∠5＝180°不能推出AB∥CD，故本选项不能判定AB∥CD；D、∵∠3+∠5＝180°，∴AB∥CD，故本选项能判定AB∥CD；故选：C．2．解：∵∠1＝∠2，∴a∥b，∴∠3＝∠5，∵∠3＝48°22'，∴∠5＝48°22'，∴∠4＝180°﹣∠5＝131°38'，故选：A．3．解：∵BD、CE分别是边AC，AB上的高，∴∠ADB＝∠BDC＝90°，又∵∠BAC＝n°，∴∠ABD＝180°﹣∠ADB﹣∠A＝180°﹣90°﹣n°＝90°﹣n°，∴∠BOC＝∠EBD+∠BEO＝90°﹣n°+90°＝180°﹣n°．故选：D．4．解：设三角分别为x，3x，5x，依题意得x+3x+5x＝180°，解得x＝20°．∴三个角的度数分别为20°，60°，100°，∴这个三角形是钝角三角形．故选：C．5．解：∵∠BOD是△ABO的外角，∴∠ABO+∠BAO＝∠BOD＝70°，又∵AD和BE是角平分线，∴∠ABC+∠BAC＝2（∠ABO+∠BAO）＝2×70°＝140°，∴∠ACB＝180°﹣140°＝40°，故选：D．6．解：在同一平面内，不重合的两条直线只有两种位置关系，是平行或相交，所以在同一平面内，不重合的两条直线的位置关系是：平行或相交．故选：C．7．解：在同一平面内，过直线外一点有一条直线和已知直线平行，故（1）正确；只有在同一平面内，过一点有且只有一条直线和已知直线垂直，故（2）错误；如图：∠ABC＝∠DEF＝90°，且∠ABC+∠DEF＝180°，但是两角不是邻补角，故（3）错误；同一平面内不平行的两条直线一定相交正确，因为不特别指出时，一般认为，两条直线重合就是同一条直线，所以所提出的命题是正确的，故（4）正确．即正确的个数是2个．故选：B．8．解：∵∠C＝90°，∠A＝35°，∴∠ABC＝55°，由折叠可得，∠A＝∠ABD＝35°，∴∠DBC＝∠ABC﹣∠ABD＝55°﹣35°＝20°．故选：C．9．解：两直线平行、同位角相等，A是假命题；互补的两个角不一定是邻补角，B是假命题；在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行，C是真命题；相等的角不一定是对顶角，D是假命题；故选：C．10．解：过点E作EM∥AB，过点F作FN∥CD，由平行线的传递性得，AB∥EM∥NF∥CD，∵EM∥AB，∴∠α＝∠AEM，∵FN∥CD，∴∠β＝∠CFN，∵EM∥FN，∴∠MEF+∠EFN＝180°，又∠θ＝∠AEM+∠MEF＝∠α+180°﹣（∠γ﹣∠β）＝180°+∠α+∠β﹣∠γ．故选：D．二．填空题11．解：图中的平行线段有AD∥EF；BD∥EF；DE∥FB；DE∥FC；DF∥AE；DF∥EC；DE∥BC；DF∥AC；EF∥AB．共有9对．故答案为：9．12．解：∵在同一平面内，直线a∥b，直线b∥c，∴直线c与直线a的位置关系是：a∥c．故答案为：a∥c．13．解：由题可得，∠ACB＝∠ACD，∠ABC＝∠EBA，∵∠1：∠2：∠3＝29：4：3，∴∠2+∠3＝180°×＝35°，∴∠α＝∠EBC+∠DCB＝2（∠2+∠3）＝2×35°＝70°，故答案为：70°．14．解：由分析可知：如果三角形的最大角小于60°，那么此三角形的内角和小于180度，与三角形的内角和是180度矛盾．所以三角形的最大角不小于60度；故答案为：60．三．解答题15．解：填表如下：题号题设结论真假性（1）等腰三角形有一个角是60°这个三角形是等边三角形真真（2）三角形是等腰三角形底边上的高、中线、顶角的平分线互相重合16．解：（1）若a＝b，则a3＝b3的逆命题为若a3＝b3，则a＝b，是真命题；（2）个位数是0的数能被2整除的逆命题为能被2整除的数的个位数是0，是假命题．17．解：（1）AB∥A1B1∥C1D1∥CD，即和AB平行的线段有A1B1、C1D1、CD；（2）AB⊥BB1，AB⊥BC，AB⊥AA1，AB⊥AD，AB⊥C1C，AB⊥B1C1，AB⊥A1D1，AB ⊥D1D，即和AB垂直的直线有BB1、BC、AA1、AD、C1C、B1C1、A1D1、D1D．18．解：BC∥AD．理由如下：∵DE平分∠ADC，CE平分∠BCD，∴∠ADC＝2∠1，∠BCD＝2∠2，∵∠1+∠2＝90°，∴∠ADC+∠BCD＝2（∠1+∠2）＝180°，∴AD∥BC．19．解；∠A+∠B+∠C＝180°．理由：作∠ACD＝∠A，并延长BC到E∵∠ACD＝∠A（已作）∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行）∴∠B＝∠DCE（两直线平行，同位角相等）而∠ACB+∠ACD+∠DCE＝180°∴∠ACB+∠A+∠B＝180°（等量代换）故答案为：A，内错角相等，两直线平行，∠DCE，两直线平行，同位角相等，∠A，∠B，等量代换．20．解：（1）∵在△ABC中，∠B＝24°，∠ACB＝104°，∴∠BAC＝180°﹣24°﹣104°＝52°．∵AE平分∠BAC，∴∠BAE＝∠BAC＝26°，∴∠AEC＝∠B+∠BAC＝24°+26°＝50°．∵AD⊥BC，∴∠D＝90°，∴∠DAE＝90°﹣∠AED＝90°﹣50°＝40°．（2）∵AD⊥BC，∴∠D＝90°，∴∠AED＝90°﹣∠DAE，在△ABE中，∠BAE＝∠AED﹣∠B，在△ACD中，∠ACB＝∠CAD+∠D＝∠DAE﹣∠CAE+90°，∴∠CAE＝∠DAE+90°﹣∠ACB，∵AE平分∠BAC，∴∠BAE＝∠CAE，∴90°﹣∠DAE﹣∠B＝∠DAE+90°﹣∠ACB，∴∠ACB＝∠B+2∠DAE，即∠DAE＝（∠ACB﹣∠B），∴∠DAE＝（β﹣α）．21．解：（1）如果a∥b，b∥c，那么a∥c；（2）如果a∥b，a∥c，那么b∥c；（3）如果b∥c，a∥c，那么a∥b；（4）如果b∥c，a⊥b，那么a⊥c；（5）如果b∥c，a⊥c，那么a⊥b；（6）如果a⊥b，a⊥c，那么b∥c．22．解：（1）∵∠A+∠D+∠AOD＝180°，∠C+∠D+∠BOC＝180°，而∠AOD＝∠BOC，∴∠A+∠D＝∠B+∠C；（2）①3；②∵∠DAB和∠BCD的平分线AP和CP相交于点P，∴∠1＝∠2，∠3＝∠4，∵∠1+∠D＝∠3+∠P，∠2+∠P＝∠4+∠B，∴∠D﹣∠P＝∠P﹣∠B，即∠P＝（∠D+∠B），∵∠D＝40°，∠B＝36°∴∠P＝（40°+36°）＝38°；（4）∠P＝（∠B+∠D）．。

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八年级上册第七章平行线的证明【要点梳理】要点一、定义、命题及证明1。

定义：一般地，用来说明一个名词或者一个术语的意义的句子叫做定义。

2.命题：判断一件事情的句子，叫做命题。

要点诠释：(1)每个命题都由题设、结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项。

（2)正确的命题称为真命题，不正确的命题称为假命题。

(3）公认的真命题叫做公理.(4) 经过证明的真命题称为定理。

3。

证明:在很多情况下,一个命题的正确性需要经过推理,才能作出判断，这种演绎推理的过程称为证明。

要点诠释:（1)实验、观察、操作所得出的结论不一定都正确，必须推理论证后才能得出正确的结论．（2)证明中的每一步推理都要有根据,不能“想当然”,这些根据可以是已知条件，学过的定义、基本事实、定理等.（3）判断一个命题是正确的，必须经过严格的证明；判断一个命题是假命题，只需列举一个反例即可．要点二、平行线的判定与性质1．平行线的判定判定方法1:同位角相等，两直线平行．判定方法2:内错角相等，两直线平行．判定方法3：同旁内角互补，两直线平行．要点诠释：根据平行线的定义和平行公理的推论，平行线的判定方法还有：(1)平行线的定义：在同一平面内，如果两条直线没有交点（不相交)，那么两直线平行.(2）如果两条直线都平行于第三条直线，那么这两条直线平行（平行线的传递性）.(3)在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线平行。

北师大版八年级数学上册第七章《平行线的证明》测试题（含答案）一、选择题(本题共10小题，每小题3分，共30分)1．下列语句中，是命题的为( )．A．延长线段AB到C B．垂线段最短C．过点O作直线a∥b D．锐角都相等吗2．下列命题中是真命题的为( )．A．两锐角之和为钝角B．两锐角之和为锐角C．钝角大于它的补角D．锐角大于它的余角3．“两条直线相交，有且只有一个交点”的题设是( )．A．两条直线B．交点C．两条直线相交D．只有一个交点4．如果∠A和∠B的两边分别平行，那么∠A和∠B的关系是( )．A．相等B．互余或互补C．互补D．相等或互补5．若三角形的一个外角等于与它不相邻的一个内角的4倍，等于与它相邻的内角的2倍，则三角形各角的度数为( )．A．45°，45°，90°B．30°，60°，90°C．25°，25°，130°D．36°，72°，72°6．如图所示，AB⊥EF，CD⊥EF，∠1＝∠F＝30°，则与∠FCD相等的角有( )．A．1个B．2个C．3个D．4个7．下列四个命题中，真命题有( )．(1)两条直线被第三条直线所截，内错角相等．(2)如果∠1和∠2是对顶角，那么∠1＝∠2.(3)一个角的余角一定小于这个角的补角．(4)如果∠1和∠3互余，∠2与∠3的余角互补，那么∠1和∠2互补．A．1个B．2个C．3个D．4个8．如图所示，∠B＝∠C，则∠ADC与∠AEB的大小关系是( )．A．∠ADC＞∠AEB B．∠ADC＝∠AEBC．∠ADC＜∠AEB D．大小关系不能确定9．如图所示，AD平分∠CAE，∠B＝30°，∠CAD＝65°，则∠ACD＝( )．A．50°B．65°C．80° D．95°10．如图所示，已知AB∥CD，AD和BC相交于点O，若∠A＝42°，∠C＝58°，则∠AOB 的度数为( )．A．45°B．60°C．80°D．90°二、填空题(本大题共10小题，每小题4分，共40分)11．如图所示，∠1＝∠2，∠3＝80°，那么∠4＝__________.12．如图所示，∠ABC＝36°40′，DE∥BC，DF⊥AB于点F，则∠D＝__________.13．如图所示，AB∥CD，∠1＝115°，∠3＝140°，则∠2＝__________.14．如果一个三角形三个内角的比是1∶2∶3，那么这个三角形是__________三角形．15．一个三角形的三个外角的度数比为2∶3∶4，则与此对应的三个内角的比为__________．16.如图所示，在△ABC中，BF平分∠ABC，CF平分∠ACB，∠A＝65°，则∠BFC＝__________.17．“同角的余角相等”的题设是__________，结论是__________．18．如图所示，AB∥EF∥CD，且∠B＝∠1，∠D＝∠2，则∠BED的度数为__________．19．如果一个等腰三角形底边上的高等于底边的一半，那么这个等腰三角形的顶角等于__________．20．过△ABC的顶点C作AB的垂线，如果该垂线将∠ACB分为40°和20°的两个角，那么∠A，∠B中较大的角的度数是__________．三、解答题(本大题共5小题，共30分)21．(5分)如图所示，已知∠1＝∠2，AE∥BC，求证：△ABC是等腰三角形．22．(5分)如图所示，已知直线BF∥DE，∠1＝∠2，求证：GF∥BC.23．(6分)如图所示，已知直线AB∥CD，FH平分∠EFD，FG⊥FH，∠AEF＝62°，求∠GFC的度数．24．(6分)如图所示，已知直线AB∥CD，∠AEP＝∠CFQ，求证：∠EPM＝∠FQM.25．(8分)在△ABC中，BE平分∠ABC，AD为BC边上的高，且∠ABC＝60°，∠BEC＝75°，求∠DAC的度数．参考答案1答案：B2答案：C3答案：C4答案：D5答案：B6答案：B7答案：C8答案：B9答案：C10答案：C11答案：80°∴∠4＝∠3＝80°.12答案：53°20′13答案：75°14答案：直角15答案：5∶3∶116答案：122.5°17答案：两个角是同一个角的余角这两个角相等18 答案：90°19答案：90°20答案：70°21证明：∵AE∥BC，(已知)∴∠2＝∠C，(两直线平行，内错角相等)∠1＝∠B.(两直线平行，同位角相等)∵∠1＝∠2，(已知)∴∠B＝∠C.(等量代换)∴AB＝AC，△ABC是等腰三角形．(等角对等边)22证明：∵BF∥DE，(已知)∴∠2＝∠FBC.(两直线平行，同位角相等)∵∠2＝∠1，(已知)∴∠FBC＝∠1.(等量代换)∴GF∥BC.(内错角相等，两直线平行)23解：∵AB∥CD，∴∠AEF＝∠EFD＝62°，∠CFE＝180°－∠AEF＝118°. 又FH平分∠EFD，∴∠EFH＝31°.又GF⊥FH，∴∠EFG＝90°－31°＝59°.∴∠GFC＝∠CFE－∠EFG＝59°24证明：∵AB∥CD，(已知)∴∠AEF＝∠CFM.(两直线平行，同位角相等)又∵∠PEA＝∠QFC，(已知)∴∠AEF＋∠PEA＝∠CFM＋∠QFC，(等式性质)即∠PEF＝∠QFM.∴PE∥QF.(同位角相等，两直线平行)∴∠EPM＝∠FQM.(两直线平行，同位角相等)25解：∵BE平分∠ABC，且∠ABC＝60°，∴∠ABE＝∠EBC＝30°.∴∠C＝180°－∠EBC－∠BEC＝180°－30°－75°＝75°. 又∵∠C＋∠DAC＝90°，∴∠DAC＝90°－∠C＝90°－75°＝15°.。

第七章平行线的证明一．选择题（共10小题）1．下列说法中正确的是（）A．不相交的两条直线叫做平行线B．相等的角是对顶角C．过一点有且只有一条直线与已知直线平行D．在平面中过一点有且只有一条直线与已知直线垂直2．下列说法中可能错误的是（）A．过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行B．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直C．两条直线相交，有且只有一个交点D．若两条直线相交成直角，则这两条直线互相垂直3．如图，点E在CD延长线上，下列条件中不能判定AB∥CD的是（）A．∠1＝∠2 B．∠3＝∠4C．∠5＝∠B D．∠B+∠BDC＝180°4．如图，将一副三角板按如图方式叠放，则角α等于（）A．165°B．135°C．105°D．75°5．如图是由线段AB，CD，DF，BF，CA组成的平面图形，∠D＝28°，则∠A+∠B+∠C+∠F 的度数为（）A．62°B．152°C．208°D．236°6．如图，在△ABC中，∠C＝78°，沿图中虚线截去∠C，则∠1+∠2＝（）A．282°B．180°C．360°D．258°7．给出下列命题：①两边及一边上的中线对应相等的两个三角形全等；②底边和顶角对应相等的两个等腰三角形全等；③斜边和斜边上的高线对应相等的两个直角三角形全等，其中属于真命题的是（）A．①②B．②③C．①③D．①②③8．某届世界杯的小组比赛规则：四个球队进行单循环比赛（每两队赛一场），胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分，某小组比赛结束后，甲、乙、丙、丁四队分别获得第一、二、三、四名，各队的总得分恰好是四个连续奇数，则与乙打平的球队是（）A．甲B．甲与丁C．丙D．丙与丁9．如图，三角形纸片ABC中，∠A＝65°，∠B＝75°，将∠C沿DE对折，使点C落在△ABC 外的点C′处，若∠1＝20°，则∠2的度数为（）A．80°B．90°C．100°D．110°10．如图，在△ABC中，∠A＝20°，∠ABC与∠ACB的角平分线交于D1，∠ABD1与∠ACD1的角平分线交于点D2，依此类推，∠ABD4与∠ACD4的角平分线交于点D5，则∠BD5C的度数是（）A．24°B．25°C．30°D．36°二．填空题（共7小题）11．如图，当风车的一片叶子AB旋转到与地面MN平行时，叶子CD与地面MN，理由是．12．如图，MC∥AB，NC∥AB，则点M，C，N在同一条直线上，理由是．13．如图，下列条件中：①∠B+∠BCD＝180°；②∠1＝∠2；③∠3＝∠4；④∠B＝∠5；则一定能判定AB∥CD的条件有（填写所有正确的序号）．14．如图，若∠1＝∠D，∠C＝72°，则∠B＝．15．如图，在△ABC中，∠ABC＝∠ACB，∠A＝40°，P是△ABC内一点，且∠ACP＝∠PBC，则∠BPC＝．16．如图，在△ABC中，∠A＝80°，∠B＝60°，将△ABC沿EF对折，点C落在C′处．如果∠1＝50°，那么∠2＝．17．夏洛特去山里寻宝，来到藏有宝藏的地方，发现这里有编号分为一，二，三，四，五的五扇大门，每扇门上都写有一句话：一，宝藏在五号大门的后面；二，宝藏或者在三号大门的后面，或者在五号的后面；三，宝藏不在五号大门的后面；四，宝藏不在此门后面；五，宝藏在二号大门的后面，夏洛特从当地人得到，五句话中只有一句是真的，那么夏洛特应该去号大门后面寻找宝藏．三．解答题（共5小题）18．如图，AE与CD交于点O，∠A＝50°，OC＝OE，∠C＝25°，求证：AB∥CD．19．如图，已知直线AB，CD被直线EF所截，∠1+∠2＝180°．证明：AB∥CD．20．已知：如图，∠A＝∠F，∠C＝∠D．求证：BD∥CE．21．如图，A、B、C三点在同一直线上，∠1＝∠2，∠3＝∠D，试判断BD与CF的位置关系，并说明理由．22．已知：点A在射线CE上，∠C＝∠D．（1）如图1，若AC∥BD，求证：AD∥BC；（2）如图2，若∠BAC＝∠BAD，BD⊥BC，请探究∠DAE与∠C的数量关系，写出你的探究结论，并加以证明；（3）如图3，在（2）的条件下，过点D作DF∥BC交射线于点F，当∠DFE＝8∠DAE时，求∠BAD的度数．参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）1．下列说法中正确的是（）A．不相交的两条直线叫做平行线B．相等的角是对顶角C．过一点有且只有一条直线与已知直线平行D．在平面中过一点有且只有一条直线与已知直线垂直【分析】利用平行线的定义及公理，对顶角的性质和垂直的概念分析．【解答】解：A、在同一平面内永不相交的两条直线叫做平行线，故选项错误；B、两条直线相交后所得的只有一个公共顶点且两个角的两边互为反向延长线，这样的两个角叫做互为对顶角，故选项错误；C、在同一平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故选项错误；D、正确．故选：D．2．下列说法中可能错误的是（）A．过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行B．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直C．两条直线相交，有且只有一个交点D．若两条直线相交成直角，则这两条直线互相垂直【分析】根据平行公理和相交线、垂线的定义利用排除法求解．【解答】解：A、过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故本选项正确；B、应该是同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故本选项错误；C、两条直线相交，有且只有一个交点，故本选项正确；D、若两条直线相交成直角，则这两条直线互相垂直，直线垂直的定义，故本选项正确．故选：B．3．如图，点E在CD延长线上，下列条件中不能判定AB∥CD的是（）A．∠1＝∠2 B．∠3＝∠4C．∠5＝∠B D．∠B+∠BDC＝180°【分析】根据平行线的判定方法直接判定．【解答】解：选项B中，∵∠3＝∠4，∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行），所以正确；选项C中，∵∠5＝∠B，∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行），所以正确；选项D中，∵∠B+∠BDC＝180°，∴AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行），所以正确；而选项A中，∠1与∠2是直线AC、BD被AD所截形成的内错角，因为∠1＝∠2，所以应是AC∥BD，故A错误．故选：A．4．如图，将一副三角板按如图方式叠放，则角α等于（）A．165°B．135°C．105°D．75°【分析】根据三角形内角和定理求出∠1，根据三角形外角的性质求出∠2，根据邻补角的概念计算即可．【解答】解：∠1＝90°﹣30°﹣60°，∴∠2＝∠1﹣45°＝15°，∴∠α＝180°﹣15°＝165°，故选：A．5．如图是由线段AB，CD，DF，BF，CA组成的平面图形，∠D＝28°，则∠A+∠B+∠C+∠F 的度数为（）A．62°B．152°C．208°D．236°【分析】首先求出∠F+∠B＝∠D+∠EGD，然后证明出∠C+∠A+∠F+∠B﹣∠D＝180°，最后结合题干∠D＝28°求出∠A+∠B+∠C+∠F的度数．【解答】解：∵如图可知∠BED＝∠F+∠B，∠CGE＝∠C+∠A，又∵∠BED＝∠D+∠EGD，∴∠F+∠B＝∠D+∠EGD，又∵∠CGE+∠EGD＝180°，∴∠C+∠A+∠F+∠B﹣∠D＝180°，又∵∠D＝28°，∴∠A+∠B+∠C+∠F＝180°+28°＝208°，故选：C．6．如图，在△ABC中，∠C＝78°，沿图中虚线截去∠C，则∠1+∠2＝（）A．282°B．180°C．360°D．258°【分析】根据三角形内角和定理求出∠3+∠4，根据邻补角的概念计算即可．【解答】解：∵∠C＝78°，∴∠3+∠4＝180°﹣78°＝102°，∴∠1+∠2＝360°﹣（∠3+∠4）＝258°，故选：D．7．给出下列命题：①两边及一边上的中线对应相等的两个三角形全等；②底边和顶角对应相等的两个等腰三角形全等；③斜边和斜边上的高线对应相等的两个直角三角形全等，其中属于真命题的是（）A．①②B．②③C．①③D．①②③【分析】根据全等三角形的判定定理进行判断即可．【解答】解：①两边及一边上的中线对应相等的两个三角形全等是真命题；②底边和顶角对应相等的两个等腰三角形全等是真命题；③斜边和斜边上的高线对应相等的两个直角三角形全等是真命题，故选：D．8．某届世界杯的小组比赛规则：四个球队进行单循环比赛（每两队赛一场），胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分，某小组比赛结束后，甲、乙、丙、丁四队分别获得第一、二、三、四名，各队的总得分恰好是四个连续奇数，则与乙打平的球队是（）A．甲B．甲与丁C．丙D．丙与丁【分析】直接利用已知得出甲得分为7分，2胜1平，乙得分5分，1胜2平，丙得分3分，1胜0平，丁得分1分，0胜1平，进而得出答案．【解答】解：∵甲、乙、丙、丁四队分别获得第一、二、三、四名，各队的总得分恰好是四个连续奇数，∴甲得分为7分，2胜1平，乙得分5分，1胜2平，丙得分3分，1胜0平，丁得分1分，0胜1平，∵甲、乙都没有输球，∴甲一定与乙平，∵丙得分3分，1胜0平，乙得分5分，1胜2平，∴与乙打平的球队是甲与丁．故选：B．9．如图，三角形纸片ABC中，∠A＝65°，∠B＝75°，将∠C沿DE对折，使点C落在△ABC 外的点C′处，若∠1＝20°，则∠2的度数为（）A．80°B．90°C．100°D．110°【分析】根据三角形内角和定理求出∠C，根据折叠的性质求出∠C′，根据三角形的外角的性质计算，得到答案．【解答】解：∵∠A＝65°，∠B＝75°，∴∠C＝180°﹣65°﹣75°＝40°，由折叠的性质可知，∠C′＝∠C＝40°，∴∠3＝∠1+∠C′＝60°，∴∠2＝∠C+∠3＝100°，故选：C．10．如图，在△ABC中，∠A＝20°，∠ABC与∠ACB的角平分线交于D1，∠ABD1与∠ACD1的角平分线交于点D2，依此类推，∠ABD4与∠ACD4的角平分线交于点D5，则∠BD5C的度数是（）A．24°B．25°C．30°D．36°【分析】根据∠A＝20°，求出∠ABC+∠ACB的度数，根据题意依次求出∠D1BC+∠D1CB…∠D5BC+∠D5CB的度数，得到答案．【解答】解：∵∠A＝20°，∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣20°＝160°，∵∠ABC与∠ACB的角平分线交于D1，∴∠D1BC+∠D1CB＝80°，由题意得，∴∠D2BC+∠D2CB＝80°+40°＝120°，∴∠D3BC+∠D3CB＝120°+20°＝140°，∴∠D4BC+∠D4CB＝140°+10°＝150°，∴∠D5BC+∠D5CB＝150°+5°＝155°，∴∠BD5C＝180°﹣155°＝25°．故选：B．二．填空题（共7小题）11．如图，当风车的一片叶子AB旋转到与地面MN平行时，叶子CD与地面MN垂直，理由是在同一平面内，垂直于平行线中的一条则必垂直于另一条．【分析】根据AB⊥CD，AB∥MN来判定CD与MN的关系．【解答】解：∵AB⊥CD，AB∥MN，∴CD⊥MN（在同一平面内，垂直于平行线中的一条则必垂直于另一条）．故答案是：垂直；在同一平面内，垂直于平行线中的一条则必垂直于另一条．12．如图，MC∥AB，NC∥AB，则点M，C，N在同一条直线上，理由是经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行．【分析】直接利用平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行，得出即可．【解答】解：∵MC∥AB，NC∥AB，∴点M，C，N在同一条直线上，理由是：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行．故答案为：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行．13．如图，下列条件中：①∠B+∠BCD＝180°；②∠1＝∠2；③∠3＝∠4；④∠B＝∠5；则一定能判定AB∥CD的条件有①③④（填写所有正确的序号）．【分析】根据平行线的判定方法：同旁内角互补，两直线平行可得①能判定AB∥CD；根据内错角相等，两直线平行可得③能判定AB∥CD；根据同位角相等，两直线平行可得④能判定AB∥CD．【解答】解：①∵∠B+∠BCD＝180°，∴AB∥CD；②∵∠1＝∠2，∴AD∥CB；③∵∠3＝∠4，∴AB∥CD；④∵∠B＝∠5，∴AB∥CD，故答案为：①③④．14．如图，若∠1＝∠D，∠C＝72°，则∠B＝108°．【分析】先依据∠1＝∠D，判定AB∥CD，再根据平行线的性质，即可得到∠B的度数．【解答】解：∵∠1＝∠D，∴AB∥CD，∴∠B+∠C＝180°，又∵∠C＝72°，∴∠B＝108°，故答案为：108°．15．如图，在△ABC中，∠ABC＝∠ACB，∠A＝40°，P是△ABC内一点，且∠ACP＝∠PBC，则∠BPC＝110°．【分析】根据∠BAC＝40°的条件，求出∠ACB+∠ABC的度数，再根据∠ACB＝∠ABC，∠ACP＝∠CBP，求出∠PBA＝∠PCB，于是可求出∠ACP+∠ABP＝∠PCB+∠PBC，然后根据三角形的内角和定理求出∠BPC的度数．【解答】解：∵∠BAC＝40°，∴∠ACB+∠ABC＝180°﹣40°＝140°，又∵∠ACB＝∠ABC，∠ACP＝∠CBP，∴∠PBA＝∠PCB，∴∠ACP+∠ABP＝∠PCB+∠PBC＝140°×＝70°，∴∠BPC＝180°﹣70°＝110°．故答案为110°．16．如图，在△ABC中，∠A＝80°，∠B＝60°，将△ABC沿EF对折，点C落在C′处．如果∠1＝50°，那么∠2＝30°．【分析】根据三角形的内角和定理求出∠CEF+∠CFE＝∠A+∠B，然后根据平角等于180°列式计算即可得解．【解答】解：∵∠A+∠B+∠C＝180°，∠CEF+∠CFE+C＝180°，∴∠CEF+∠CFE＝∠A+∠B＝80°+60°＝140°，由翻折的性质得，2（∠CEF+∠CFE）+∠1+∠2＝180°×2，∴2×140°+50°+∠2＝360°，解得∠2＝30°．故答案为：30°．17．夏洛特去山里寻宝，来到藏有宝藏的地方，发现这里有编号分为一，二，三，四，五的五扇大门，每扇门上都写有一句话：一，宝藏在五号大门的后面；二，宝藏或者在三号大门的后面，或者在五号的后面；三，宝藏不在五号大门的后面；四，宝藏不在此门后面；五，宝藏在二号大门的后面，夏洛特从当地人得到，五句话中只有一句是真的，那么夏洛特应该去四号大门后面寻找宝藏．【分析】利用五句话中只有一句是真的，利用已知可得一号门和三号门上的话必有一个正确的，而另一个是不正确的，进而分析得出即可．【解答】解：由只有一句话正确可知，一号门和三号门上的话必有一个正确的，而另一个是不正确的．假设一号门上的话正确，则四号门上的话也是正确的，假设不成立；假设三号门的话是正确的，因为四号门上的话不正确，可知宝藏在四号门后，证明其它门上的话也是不正确的，假设成立；所以三号门上的话是正确的，宝藏在四号门后面．故答案为：四．三．解答题（共5小题）18．如图，AE与CD交于点O，∠A＝50°，OC＝OE，∠C＝25°，求证：AB∥CD．【分析】先利用等腰三角形的性质得到∠E＝∠C＝25°，再根据三角形外角性质计算出∠DOE＝50°，则有∠A＝∠DOE，然后根据平行线的判定方法得到结论．【解答】证明：∵OC＝OE，∴∠E＝∠C＝25°，∴∠DOE＝∠C+∠E＝50°，∵∠A＝50°，∴∠A＝∠DOE，∴AB∥CD．19．如图，已知直线AB，CD被直线EF所截，∠1+∠2＝180°．证明：AB∥CD．【分析】根据∠1+∠2＝180°，∠2+∠3＝180°，可知∠1＝∠3，根据平行线的判定定理即可求解．【解答】证明：∵∠1+∠2＝180°，∠2+∠3＝180°，∴∠1＝∠3（等量代换），∴AB∥CD（同位角相等，两直线平行）．20．已知：如图，∠A＝∠F，∠C＝∠D．求证：BD∥CE．【分析】由∠A＝∠F，根据内错角相等，两直线平行，即可求得AC∥DF，即可得∠C＝∠FEC，又由∠C＝∠D，则可根据同位角相等，两直线平行，证得BD∥CE．【解答】证明：∵∠A＝∠F，∴AC∥DF，∴∠C＝∠FEC，∵∠C＝∠D，∴∠D＝∠FEC，∴BD∥CE．21．如图，A、B、C三点在同一直线上，∠1＝∠2，∠3＝∠D，试判断BD与CF的位置关系，并说明理由．【分析】首先根据∠1＝∠2，可得AD∥BF，进而得到∠D＝∠DBF，再由∠3＝∠D，可以推出∠3＝∠DBF，进而根据平行线的判定可得DB∥CF．【解答】解：BD∥CF，理由如下：∵∠1＝∠2，∴AD∥BF，∴∠D＝∠DBF，∵∠3＝∠D，∴∠3＝∠DBF，∴BD∥CF．22．已知：点A在射线CE上，∠C＝∠D．（1）如图1，若AC∥BD，求证：AD∥BC；（2）如图2，若∠BAC＝∠BAD，BD⊥BC，请探究∠DAE与∠C的数量关系，写出你的探究结论，并加以证明；（3）如图3，在（2）的条件下，过点D作DF∥BC交射线于点F，当∠DFE＝8∠DAE时，求∠BAD的度数．【分析】（1）根据AC∥BD，可得∠DAE＝∠C，再根据∠C＝∠D，即可得到∠DAE＝∠D，则结论得证；（2）根据∠CGB是△ADG是外角，即可得到∠CGB＝∠D+∠DAE，再根据△BCG中，∠CGB+∠C＝90°，即可得到∠D+∠DAE+∠C＝90°，进而得出2∠C+∠DAE＝90°；（3）设∠DAE＝α，则∠DFE＝8α，∠AFD＝180°﹣8α，根据DF∥BC，即可得到∠C＝∠AFD＝180°﹣8α，再根据2∠C+∠DAE＝90°，即可得到2（180°﹣8α）+α＝90°，求得α的值，由三角形内角和定理得到∠BAD的度数．【解答】解：（1）如图1，∵AD∥BC，∴∠DAE＝∠C，又∵∠C＝∠D，∴∠DAE＝∠D，∴AD∥BC；（2）∠EAD+2∠C＝90°．证明：如图2，设CE与BD交点为G，∵∠CGB是△ADG是外角，∴∠CGB＝∠D+∠DAE，∵BD⊥BC，∴∠CBD＝90°，∴△BCG中，∠CGB+∠C＝90°，∴∠D+∠DAE+∠C＝90°，又∵∠D＝∠C，∴2∠C+∠DAE＝90°；（3）如图3，设∠DAE＝α，则∠DFE＝8α，∵∠DFE+∠AFD＝180°，∴∠AFD＝180°﹣8α，∵DF∥BC，∴∠C＝∠AFD＝180°﹣8α，又∵2∠C+∠DAE＝90°，∴2（180°﹣8α）+α＝90°，∴α＝18°，∴∠C＝180°﹣8α＝36°＝∠ADB，又∵∠C＝∠BDA，∠BAC＝∠BAD，∴∠ABC＝∠ABD＝∠CBD＝45°，∴△ABD中，∠BAD＝180°﹣45°﹣36°＝99°．。

章节测试题1.【答题】命题“垂直于同一条直线的两条直线互相平行”的条件是（）A.如果两条直线垂直于同一条直线B.两条直线互相平行C.两条直线互相垂直D.两条直线垂直于同一条直线【答案】D【分析】命题有条件和结论两部分组成，条件是已知的部分，结论是由条件得出的推论.【解答】命题“垂直于同一条直线的两条直线互相平行”的条件是“两条直线垂直于同一条直线”，结论是“两条直线互相平行”．选D.2.【答题】下列命题的逆命题是真命题的是（）A.直角都相等B.钝角都小于180°C.如果x2+y2=0，那么x=y=0D.对顶角相等【答案】C【分析】根据逆命题是否为真命题逐一进行判断即可.【解答】相等的角不都是直角，故A选项不符合题意，小于180°的角不都是钝角，故B选项不符合题意，如果x=y=0，那么x2+y2=0，正确，是真命题，符合题意，相等的角不一定都是对顶角，故D选项不符合题意，选C.3.【答题】把命题”对顶角相等”写成“如果……那么……”的形式是______.【答案】如果两个角是对顶角,那么这两个角相等【分析】对顶角相等的条件是两个角是对顶角，结论是两角相等，据此即可改写成“如果…，那么…”的形式．【解答】∵原命题的条件是：“两个角是对顶角”，结论是：“这两个角相等”，∴命题“对顶角相等”写成“如果…那么…”的形式为：“如果两个角是对顶角，那么这两个角相等”，故答案为：如果两个角是对顶角，那么两个角相等．4.【答题】命题“两个锐角的和是直角”是______命题（填“真”或“假”）.【答案】假【分析】根据真、假命题的定义判断即可。

【解答】两个锐角的和可能是锐角，直角或钝角，即两个锐角的和是直角是假命题.5.【题文】判断下列命题是真命题还是假命题，如果是假命题，请举出一个反例．(1)如果一个数是偶数，那么这个数是4的倍数．(2)两个负数的差一定是负数．【答案】（1）假命题（2）假命题【分析】分析是否为真命题，需要分别分析各题设是否能推出结论，从而利用排除法得出答案，假命题举出反例即可．【解答】解：(1)假命题．反例：6是偶数，但6不是4的倍数．(2)假命题．反例：(－5)－(－8)＝＋3.6.【题文】把命题改写成“如果……那么……”的形式．(1)对顶角相等．(2)两直线平行，同位角相等．(3)等角的余角相等．【答案】见解答【分析】根据命题由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，命题常常可以写为“如果…那么…”的形式，如果后面接题设，而那么后面接结论．由此可得结论.【解答】解：(1)如果两个角是对顶角，那么这两个角相等．(2)如果两条直线平行，那么同位角相等．(3)如果两个角同为等角的余角，那么这两个角相等．7.【题文】指出下列命题的条件和结论．(1)两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行．(2)如果∠1＝∠2，∠2＝∠3，那么∠1＝∠3.(3)锐角小于它的余角．【答案】见解析【分析】根据命题由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项,命题常常可以写为“如果…那么…”的形式，如果后面接题设，而那么后面接结论．由此可得结论.【解答】解：(1)条件：两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补；结论：这两条直线平行．(2)条件：∠1＝∠2，∠2＝∠3；结论：∠1＝∠3.(3)条件：一个角是锐角；结论：这个角小于它的余角．8.【答题】下列句子中，不是命题的是（）A. 两点之间，线段最短B. 对顶角相等C. 同位角相等D. 连结A.B两点【答案】D【分析】判断一件事情的语句叫做命题．【解答】解：A、B、C都符合命题的概念，故正确；D、没有作出判断，故错误．选D.9.【答题】下列语句不是命题的（）A. 鲸鱼是哺乳动物B. 植物都需要水C. 你必须完成作业D. 实数包括零【答案】C【分析】可以判定真假的语句是命题，根据其定义对各个选项进行分析，从而得到答案．【解答】解：A，是，因为可以判定这是个真命题；B，是，因为可以判定其是真命题；C，不是，因为这是一个陈述句，无法判断其真假；D，是，可以判定其是真命题；选C.10.【答题】“两条直线相交只有一个交点”的题设是（）A. 两条直线B. 相交C. 只有一个交点D. 两条直线相交【答案】D【分析】任何一个命题，都由题设和结论两部分组成．题设，是命题中的已知事项，结论，是由已知事项推出的事项．【解答】解：“两条直线相交只有一个交点”的题设是两条直线相交．选D.11.【答题】命题“同位角相等，两直线平行”中，条件是______，结论是A. 同位角相等；两直线平行B. 同位角不相等；两直线平行C. 同位角不相等；两直线不平行D. 同位角相等；两直线不平行【答案】A【分析】由命题的题设和结论的定义进行解答．【解答】解：命题中，已知的事项是“同位角相等”，由已知事项推出的事项是“两直线平行”，所以“同位角相等”是命题的题设部分，“两直线平行”是命题的结论部分．故空中填：同位角相等；两直线平行，选A.12.【答题】如果两条直线相交，那么它们只有一个交点．这个命题的条件是______，结论是______．A. 两条直线不相交；它们不只有一个交点B. 两条直线不相交；它们只有一个交点C. 两条直线相交；它们只有一个交点D. 两条直线相交；它们不只有一个交点【答案】C【分析】命题分为题设和结论两部分，题设是如果后面的部分，结论是那么后面的部分．【解答】解：这个命题的条件是两条直线相交，结论是它们只有一个交点，选C.13.【答题】命题：“内错角相等，两直线平行”的题设是______，结论是______．A. 内错角相等；两直线平行B. 内错角相等；两直线不平行C. 内错角不相等；两直线平行D. 内错角不相等；两直线不平行【答案】A【分析】根据题设与结论的定义即可判断．【解答】解：内错角相等，两直线平行”的题设是：内错角相等，结论是：两直线平行．故答案是： A.14.【答题】命题“直角三角形两个锐角互余”的条件是______，结论是______．A. 两个锐角互余，则这两个锐角不在一个直角三角形中B. 一个直角三角形中的两个锐角；这两个锐角互余C. 一个直角三角形中的两个锐角；这两个锐角互补D. 两个锐角互补，则这两个锐角在一个直角三角形中【答案】B【分析】命题有条件和结论两部分组成，条件是已知的，结论是结果．【解答】解：“直角三角形两个锐角互余”的条件是一个直角三角形中的两个锐角，结论是这两个锐角互余，选B.15.【答题】把命题“等角的补角相等”改写成“如果…那么…”的形式是（______ ）A. 如果两个角相等，那么它们是等角的补角B. 如果两个角是补角，那么它们相等C. 如果两个角是等角的补角，那么它们相等D. 如果两个角相等，那么它们是等角的余角【答案】C【分析】命题中的条件是两个角相等，放在“如果”的后面，结论是这两个角的补角相等，应放在“那么”的后面．【解答】解：题设为：两个角是等角的补角，结论为：相等，故写成“如果…那么…”的形式是：如果两个角是等角的补角，那么它们相等．故答案为： C.16.【答题】命题“等角的余角相等”写成“如果…，那么…”的形式（______）A. 如果两个角的补角相等，那么这两个角相等B. 如果两个角的余角相等，那么这两个角相等C. 如果两个角相等，那么这两个角的余角相等D. 如果两个角相等，那么这两个角的补角相等【答案】C【分析】任何一个命题都可以写成“如果…，那么…”的形式如果后面是题设，那么后面是结论．【解答】解：命题“等角的余角相等”的题设是“两个角相等”，结论是“这两个角的余角相等”．故命题“等角的余角相等”写成“如果…，那么…”的形式是：如果两个角相等，那么这两个角的余角相等，选C.17.【答题】下列语句中不是命题的是（）A. 两点之间线段最短B. 连接A，B两点C. 两条直线相交有且只有一个交点D. 对顶角不相等【答案】B【分析】找到不是判断一件事情的语句的选项即可．【解答】解：A、判断出两点之间，线段最短，是命题，不符合题意；B、没有做出任何判断，不是命题，符合题意；C、由两条直线相交可得只有一个交点，是命题，不符合题意；D、判断是对顶角不相等，是命题，不符合题意；选B.18.【答题】下列四个命题：①对顶角相等；②同位角相等；③等角的余角相等；④凡直角都相等．其中真命题的个数的是（）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个【答案】C【分析】分析是否为真命题，需要分别分析各题设是否能推出结论，从而利用排除法得出答案．【解答】解：①对顶角相等，是真命题，②只有在两直线平行时，同位角才相等，假命题，③等角的余角相等，是真命题，④直角都等于90°，是真命题，真命题有3个，选C.19.【答题】对于命题“如果∠1+∠2=90°，那么∠1≠∠2”，能说明它是假命题的反例是（）A. ∠1=50°，∠2=40°B. ∠1=50°，∠2=50°C. ∠1=∠2=45°D. ∠1=40°，∠2=40°【答案】C【分析】能说明是假命题的反例就是能满足已知条件，但不满足结论的例子．【解答】解：A，满足条件∠1+∠2=90°，也满足结论∠1≠∠2，故错误；B、不满足条件，故错误；C、满足条件，不满足结论，故正确；D、不满足条件，也不满足结论．选C.20.【答题】a、b是实数，下列命题是真命题的是（）A. a≠b，则a2≠b2B. 若a2＞b2，则a＞bC. 若|a|＞|b|，则a＞bD. 若|a|＞|b|，则a2＞b2【答案】D【分析】分析是否为真命题，需要分别分析各题设是否能推出结论，从而利用排除法得出答案．【解答】解：A、假命题，反例：2≠-2，但2 2 =（-2）2；B、假命题，反例：-3 2＞0 2，但-3＜0；C、假命题，反例：|-9|＞|0|，则-9＜0；D、真命题，|a|＞|b|，则a 2＞b 2．选D.。

7.3 平行线的判断学习目标：1.经历学习的过程，研究概括出平行线判断的方法，并能娴熟运用。

2.经过对平行线判断的研究，获取参加数学活动的体验，加强学习热忱。

学习要点：平行线的判断及其运用。

学习难点：用数学语言表达简单的说理过程。

学习方法：自主学习 +合作研究。

课前延长教案1、如图，在同一平面内两条直线a、b 被第三条直线 c 所截，形成几个角？此中“同位角”“内错角”“同旁内角”有哪些？cab2、“若两条直线a、b 不订交它们就是平行线”这句话对吗？为何？3、上图中，若直线a∥ b, 你能获取那些相等或互补的角？说出你的原因。

课内研究教案【自主学习】1、假如有a、b 两条直线，怎样判断它们能否平行？2、按要求作图：用直尺和三角板过点P 做已知直线 a 的平行线 b。

P●a【合作研究】可否由平行线的画法找到判断两直线平行的条件？如图，把直尺的一边作为第三条直线，在画平行线的过程中，一直保持什么角相等？由此你能猜想两条直线平行的依照吗？平行线判断公义：简称：你能用符号语言表述平行线判断公义吗？C1∵（）a ∴（）432b 【小试牛刀】1、如图③∵∠ 1=∠2，∴ _______∥ ________（）。

∵∠ 2=∠ 3，∴ _______∥ ________（）。

【合作沟通】1、两条直线被第三条直线所截形成“三线八角” ，同时获取同位角、内错角和同旁内角，由同位角相等能够判断两直线平行，那么，可否利用内错角和同旁内角来判断两直线平行呢？2、如图 2(1)∠1=∠ 2 时,a 与 b 是什么关系 ?(2)∠2 与∠ 3 是什么地点关系的角 ?(3)当∠ 2=∠3 时,a 与b 平行么 ?a(4) 当∠ 2+∠ 4=180°时 ,a 与b 平行么 ?b经过以上你能总结出什么结论？平行线判断方法2：简称：平行线判断方法3：简称：【知识运用】达成推理，写出依照1、如图④∵∠ 1=∠2，∴ _______∥ ________（）。

第七章平行线的证明一、选择题1.下列命题是真命题的是()A.同旁内角互补B.直角三角形的两个锐角互余C.三角形的一个外角等于它的两个内角之和D.三角形的一个外角大于它的任意一个内角答案B只有当两直线平行时,同旁内角才互补,故A选项是假命题.三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和,大于与它不相邻的任意一个内角,故C、D选项是假命题.2.如图,已知AB∥CD,∠C=70°,∠F=30°,则∠A的度数为()A.30°B.35°C.40°D.45°答案C∵AB∥CD,∠C=70°,∴∠FEB=∠C=70°,∴∠A=∠FEB-∠F=70°-30°=40°.3.如图所示,AB∥CD,AD∥BC,则下列各式中正确的是()A.∠1+∠2>∠3B.∠1+∠2=∠3C.∠1+∠2<∠3D.∠1+∠2与∠3无关答案B∵AB∥CD,∴∠2=∠CAB.又∵AD∥BC,∴∠DAB=∠3,∵∠DAB=∠1+∠CAB=∠1+∠2,∴∠1+∠2=∠3.4.如图,将一块三角板的直角顶点放在直尺的一边上,当∠2=38°时,∠1=()A.52°B.38°C.42°D.60°答案A因为直尺上下边平行,所以由同位角相等和平角的性质,可知∠1和∠2是互余关系,又因为∠2=38°,所以∠1=90°-38°=52°.5.直线a,b,c,d的位置如图所示,如果∠1=58°,∠2=58°,∠3=70°,那么∠4等于()A.58°B.70°C.110°D.116°答案C如图,∵∠1=∠2=58°,∴a∥b,又∵∠3=70°,∴∠4=∠5=180°-∠3=180°-70°=110°.故选C.6.如图所示,∠AOB的两边OA、OB均为平面反光镜,∠AOB=40°,在OB上有一点P,从P点射出一束光线经OA上的点Q 反射后,反射光线QR恰好与OB平行,则∠QPB的度数是()A.60°B.80°C.110°D.120°答案B∵QR∥PB,∴∠AQR=∠AOB,∠PQR+∠QPB=180°,∵∠AOB=40°,∴∠AQR=40°,由题意得∠AQR=∠OQP,∠AQR+∠PQO+∠RQP=180°,∴∠PQR=180°-2∠AQR=180°-2×40°=100°,∴∠QPB=180°-100°=80°,故选B.7.如图所示,∠1=∠2,∠3=∠4,若∠D=25°,则∠A=()A.25°B.50°C.65°D.75°答案B∵∠4=∠2+∠D,∠D=25°,∴∠4-∠2=25°,∵∠1=∠2,∠3=∠4,∴∠1+∠2=2∠2,∠3+∠4=2∠4,又∵∠3+∠4=∠1+∠2+∠A,∴2∠4=2∠2+∠A,∴∠A=2∠4-2∠2=50°.8.在直角三角形中,其中一个锐角是另一个锐角的2倍,则这个三角形中最小角的度数是()A.15°B.30°C.60°D.90°答案B设最小锐角为x°,则x+2x=90,解得x=30.9.如图所示,∠1、∠2、∠3、∠4恒满足的关系式是()A.∠1+∠2=∠3+∠4B.∠1+∠2=∠4-∠3C.∠1+∠4=∠2+∠3D.∠1+∠4=∠2-∠3答案D由题图知,∠5=∠4+∠3,∠2=∠5+∠1,∴∠2=∠1+∠3+∠4,∴∠1+∠4=∠2-∠3.故选D.10.如图,将一副三角板和一张对边平行的纸条按下列方式摆放,两个三角板的一直角边重合,含30°角的三角板的斜边与纸条一边重合,含45°角的三角板的一个顶点在纸条的另一边上,则∠1的度数是()A.30°B.20°C.15°D.14°答案C如图,延长BC,与直线b交于点E,∵∠BCA=90°,∴∠FCE=90°,又∵∠2=30°,∴∠3=60°,∵a∥b,∴∠1+∠4=∠3=60°,又∵∠4=45°,∴∠1=15°.二、填空题11.命题“邻补角的平分线互相垂直”的条件是,结论是.这个命题是真命题还是假命题?.答案邻补角的两条角平分线;这两条角平分线互相垂直;真命题12.如图,已知直线a∥b,∠1=120°,则∠2的度数是.答案60°解析因为a∥b,所以∠1+∠2=180°.又因为∠1=120°,所以∠2=60°.故答案为60°.13.如图,四边形ABCD中,若去掉一个60°的角得到一个五边形,则∠1+∠2=度.答案240解析∵∠1=∠A+∠4,∠2=∠A+∠3,∴∠1+∠2=∠A+∠4+∠A+∠3=60°+180°=240°.14.如图,直线a∥b,∠1=110°,∠2=55°,则∠3的度数为.答案55°解析如图,∵a∥b,∴∠4=∠1=110°,∵∠4=∠3+∠5,∠5=∠2=55°,∴∠3=110°-55°=55°.15.如图,∠1,∠2,∠3分别是△ABC的外角,则∠1+∠2+∠3=.答案360°解析∵∠1=∠ABC+∠ACB,∠2=∠BAC+∠ACB,∠3=∠BAC+∠ABC,∴∠1+∠2+∠3=2(∠ABC+∠BAC+∠ACB)=2×180°=360°.16.如图,直线l1∥l2,∠α=∠β,∠1=40°,则∠2=°.答案140解析如图,∵l1∥l2,∠1=40°,∴∠3=∠1=40°,∵∠α=∠β,∴AB∥CD,∴∠2+∠3=180°,∴∠2=180°-∠3=180°-40°=140°.三、解答题17.如图,EF∥AD,AD∥BC,CE平分∠BCF,∠DAC=120°,∠ACF=20°,求∠FEC的度数.答案∵EF∥AD,AD∥BC,∴EF∥AD∥BC,∴∠DAC+∠ACB=180°.∵∠DAC=120°,∠ACF=20°,∴∠BCF=180°-∠DAC-∠ACF=180°-120°-20°=40°.∵CE平分∠BCF,∴∠FCE=∠BCE=20°.∵EF∥BC,∴∠FEC=∠BCE=20°.18.已知:如图,D是BC上的一点,DE∥AC,DF∥AB.求证:∠A+∠B+∠C=180°.答案∵DE∥AC(已知),∴∠BED=∠A,∠BDE=∠C(两直线平行,同位角相等).∵DF∥AB(已知),∴∠BED=∠EDF(两直线平行,内错角相等),∠FDC=∠B(两直线平行,同位角相等).∴∠EDF=∠A(等量代换).∵∠BDE+∠EDF+∠FDC=180°(平角定义),∴∠C+∠A+∠B=180°(等量代换),即∠A+∠B+∠C=180°.19.如图所示,∠ACD的平分线与∠ABC的平分线交于点A1,则∠A1与∠A有怎样的数量关系?试说明理由;(2)继续作∠A1BC的平分线与∠A1CD的平分线交于点A2,∠A2BC的平分线与∠A2CD的平分线交于点A3,……,猜想∠A n 与∠A的数量关系;(3)若∠A=128°,则∠A4=°.答案(1)∠A1=12∠A.理由:∵A1B平分∠ABC,A1C平分∠ACD,∴2∠A1BC=∠ABC,2∠A1CD=∠ACD,又∵∠ACD=∠A+∠ABC,∴∠ACD=∠A+2∠A1BC,∴∠A1CD=12∠A+∠A1BC,又∵∠A1CD=∠A1+∠A1BC,∴∠A1=12∠A.(2)由(1)可得:∠A2=12∠A1=14∠A,∠A3=12∠A2=123∠A,……,∠A n=12n∠A.(3)8.∠A4=124∠A=124×128°=8°.20.如图,在△ABC中,∠ACB的平分线CF与∠BAE的平分线AF相交于点F,求证:∠AFC=12∠ABC.答案∵CF是∠ACB的平分线,∴∠ACF=12∠ACB,∵AF是∠BAE的平分线,∴∠FAE=12∠BAE,∵∠BAE是△ABC的外角,∴∠BAE=∠ABC+∠ACB,即∠ABC=∠BAE-∠ACB,∵∠FAE是△AFC的外角,∴∠AFC=∠FAE-∠ACF=12∠BAE-12∠ACB=12(∠BAE-∠ACB)=12∠ABC.。

7.2定义与命题「概念课」命题、定理、证明学习目标☐了解命题的定义，能够区分真命题与假命题☐了解定理、证明的定义1引导问题1什么是命题？什么是真命题？什么是假命题？.2.3.4判．断．一．件．事．情．的．语．句．叫作命题．命题是由________和________两部分组成的．题设是已．知．事．项．，结论是由．题．设．的．已．知．事．项．推．出．的．事．项．．请将下列命题写成“如果…那么…”的形式：蛋糕是甜的________________________________________________________________下雪天很冷________________________________________________________________同位角相等，两直线平行____________________________________________________邻补角互补________________________________________________________________对顶角相等________________________________________________________________真命题的特点是：如果________成立，那么________一定成立．假命题的特点是：________成立时，不能保证________一定成立．判断一个命题是假命题，只需要举出一个符合命题________，但不满足________的反．例．就可以了．.“如果AB CD ⊥，垂足为O ，那么90AOC ∠=︒”________（是/不是）真命题．“如果两个角相等，它们就是同位角”________（是/不是）真命题．“如果两个角互补，这两个角是邻补角”________（是/不是）真命题．5引导问题2什么是定理？什么是证明？.判断一个命题的真伪需要经过推理来进行判断，而这个推理的过程就叫作________．在判定真命题的几何证明中的每一步推理都要有确凿的证据，它们可以是________、________、________以及________．已知AB CD ∥，12∠=∠，求证：CD EF ∥6.．证明：∵12∥（________，________）∴AB EF∥（________）又∵AB CD∥（________________）∴CD EF7.定理是经过推理证实的，可以用做推理及证明的证据的________．7.3平行线的判定「解题课」平行线判定的应用能力目标角度转化证平行拔高练习 1.如图，∠1=∠2，∠3=∠4，分别可以得到哪两条直线平行？2.如图，已知AB CD ∥，A C ∠=∠，求证：AD BC ∥．3.如图，直线AB 、CD 被直线EF 所截，12∠=∠，180∠+∠=︒CNF AME ．（1）求证：AB CD ∥（2）求证：MPNQ ∥．攻略找平行画出已知角的两边就能看出谁平行证明平行证明角度关系攻略找平行画出已知角的两边就能看出谁平行证明平行证明角度关系利用平行线的性质攻略找平行画出已知角的两边就能看出谁平行证明平行证明角度关系利用平行线的性质「解题课」判断直线的位置关系能力目标根据垂直和平行判断直线的位置关系拔高练习2.若直线12a a ⊥，23a a ∥，34a a ⊥，则直线1a 与4a 的位置关系是什么？请尝试作图1.若直线a 1⊥a 2，a 2∥a 3，则直线a 1与a 3的位置关系是什么？请尝试作图．．3.现有2049条直线1a ，2a ，3a ， ，2049a ，且有12a a ⊥，23a a ∥，34a a ⊥，45a a ∥，，请写出1a 与2049a 的位置关系．攻略根据垂直和平行判断直线的位置关系攻略根据垂直和平行判断直线的位置关系攻略根据垂直和平行判断直线的位置关系7.4平行线的性质「解题课」平行线性质的应用能力目标☐利用平行线性质做角度转化☐标角法计算角度拔高练习 1.如图，直线a ∥b ，∠1=108︒，求∠2的度数．2.如图，AB CD ∥，AD AC ⊥，32ADC ∠=︒，求EAC ∠的度数．3.如图，已知DB FG EC ∥∥，70ABD ∠=︒，36ACE ∠=︒，AP 是BAC ∠的平分线，求PAG ∠的度数．攻略平行线的性质转化角度求目标角攻略平行线的性质转化角度求目标角攻略平行线的性质转化角度求目标角7.5三角形内角和定理「概念课」三角形的内角学习目标了解三角形的内角的定义1引导问题1三角形的内角和是多少度？请你尝试证明．.三角形的内角和等于________︒．如右图，已知ABC △，求证：180A B C ∠+∠+∠=︒．证明：如右图，过点A 作直线EF 与BC 平行2 EF ∥BC∴∠B =∠EAB （依据：________，________）________（两直线平行，内错角相等）. ∠EAB +∠BAC +∠FAC =________︒（平角定义）∴∠B +∠BAC +∠C =180︒（等量代换）请尝试利用下图证明三角形内角和等于180︒．已知：△ABC ，D 是BC 延长线上的一点，CE ∥BA ．求证：∠A +∠B +∠ACB =180︒．「概念课」三角形的外角学习目标了解三角形的外角的定义1引导问题1什么是三角形的外角？.三角形的外角的定义：三角形的一条边与另一条边的________________组成的角叫做三角形的外角．右图中的________是ABC △的外角．2.如右图，AOD △中1∠对应的外角是________和________．3.如右图，要表示B ∠的外角，应该延长________或________．请你在图上标示出来．4.一个三角形有________个外角．5引导问题2三角形的外角和与它相邻的内角有什么关系？.三角形的外角与相邻的内角________．如图，=50ACB ∠︒，求ACD ∠．「概念课」三角形外角的性质学习目标了解三角形的外角的性质1引导问题1三角形的外角有什么性质？.三角形内角和定理的推论：三角形的外角等于与它________的两个内角的________．如右图，1=∠∠____+∠____．2.如图，已知三角形中两个相邻内角A ∠、B ∠的度数，则和这两个角不相邻的外角1∠的度数是________︒．请写出简要的步骤．解：3.如右图，已知1∠等于150︒，则A B D ∠+∠+∠=________︒．解：如图，延长DC ，与AB 交于E 点．1=∠∠ ____+∠____又=BEC ∠∠ ____+∠____1A B D ∴∠=∠+∠+∠=________︒「解题课」三角形内外角代数应用和几何应用能力目标用三角形内外角的结论解决问题1.三角形中，三个内角的比为1:3:6，求相应的三个外角的比拔高练习1．2.已知三角形的三个外角的比为2:3:4，求它的最大内角的度数．拔高练习2不看视频．．．．先试试．．．！．做完再看洋葱数学视频【三角形内外角几何应用】讲题．1.如图，E 、B 、C 、D 在一条直线上，若70A ∠=︒，求ABE ACD ∠+∠．攻略1.三角形内角和等于180︒2.三角形外角和等于360︒3.外角等于不相邻的两个内角和攻略安能辨我是雄雌——判断内外角放开视野，洞察全局——寻找目标角和已知角间的等量关系「解题课」三角形与平行线能力目标解决三角形与平行线中的角度问题拔高练习求BDE △各内角的度数1.如图，BD 是∠ABC 的平分线，DE ∥CB 交AB 于点E ，∠A =45︒，∠BDC =60︒，．攻略判断内外角寻找目标角与已知角间的等量关系能力目标解决与角有关的几何证明问题拔高练习1.如图，在△ABC 中，D 在BC 上，∠DAC =∠B ．求证：∠ADC =∠BAC．2.如图，在ABC △中，90BAC ∠=︒，AD BC ⊥于D ，CF 平分BCA ∠交AD 于E ，交AB 于F ，证明：AEF AFE ∠=∠．攻略同一个角度同一个梦想同一个字母表示相同字母标记相等的角放开视野洞察全局寻找目标角和已知角攻略同一个角度同一个梦想同一个字母表示相同字母标记相等的角放开视野洞察全局寻找目标角和已知角能力目标解决与三角形折叠有关的问题拔高练习 1.把△ABC 纸片沿DE 折叠，当点A 落在四边形BCDE 内部的A '时，求∠A 与∠1、∠2之间的数量关系．2.把ABC △纸片沿DE 折叠，当点A 落在四边形BCDE 外部的'A 时，求A ∠与1∠、2∠之间的数量关系．攻略折叠形状相同大小相等寻找已知角和目标角间的等量关系和内外角平分线求角能力目标解决与两内角平分线和内外角平分线有关的角度问题1.如图，在ABC △中，若点P 是ABC ∠和ACB ∠的角平分线的交点，求证拔高练习1：1902P A ∠=︒+∠．1.如图，ABC △，点E 在BC 的延长线上，点P 是ABC ∠和ACE ∠的角平分线的交点拔高练习2，求证：12P A ∠=∠．攻略相同字母标记相等的角寻找目标角与已知角间的等量关系攻略通过条件标出已知角（用相同字母标记相等的角）寻找目标角和已知角间的等量关系△内角外角2.如图，在ABC △中，=64A ∠︒，点D 在BC 的延长线上，ABC ∠和ACD ∠的平分线交于点1A ，得1A ∠；1A BC ∠和1ACD ∠的平分线交于点2A得2A ∠；2A BC ∠和2A CD ∠的平分线交于点3A ，求3A ∠能力目标解决与两外角平分线有关的角度问题拔高练习1 2A ∠1.如图，已知点P为△ABC两外角平分线的交点，求证：∠P=90︒-．攻略通过条件标出已知角相同字母标记相等的角寻找目标角和已知角之间的等量关系基本图形能力目标解决与两同类角等分线有关的角度问题拔高练习（1）1G ∠与A ∠的数量关系．1.如图，△ABC 中，∠ABC 的三等分线与∠ACB 的三等分线分别相交于G 1，G 2．求：（2）2G ∠与A ∠的数量关系．攻略用相同字母标出相等的角找目标角与已知角的等量关系内角和△外角等于不相邻的两个内角之和消元「解题课」8字型中的角度关系和寻找隐藏的8字型4.如图，70A ∠=︒，30B ∠=︒，求C D ∠+∠的度数能力目标☐利用8字型做角度转化☐在复杂图形中发现8字型拔高练习1．5.已知，60A ∠=︒，求D E F G ∠+∠+∠+∠的度数．1.如图，求A B C D E ∠+∠+∠+∠+∠的度数拔高练习2．2.如图，求A B E F C D ∠+∠+∠+∠-∠-∠的度数．攻略8字型A B C D∠+∠=∠+∠攻略8字型A B C D∠+∠=∠+∠攻略角度转化攻略添加辅助线，构建基础图模型总结「解题课」三角形总结满分必学「解题课」三角形与多边形的计算能力目标解决三角形与多边形的计算问题拔高练习 2.如图，求证：123456360∠+∠+∠+∠+∠+∠=︒1.求证：∠A +∠B +∠C +∠D +∠E =180︒．．攻略三角形的内角和是180︒先转化在同一个图形里的角三角形的两个内角之和等于第三个外角攻略利用基本图形转化角「解题课」三角形与多边形证明能力目标解决三角形与多边形的证明问题拔高练习BAD BCF ∠=∠，求证：ED CF ∥1.如图，在△ABC 和△ADE 中，已知∠EAD =∠AED =∠BAC =∠BCA =45︒，并且．攻略明确已知角和目标角找到已知角和目标角的数量关系通过代数方法将数北师大版－八年级上册－平行线的证明2数学预习学案1「解题课」飞镖模型与角平分线能力目标解决飞镖模型与角平分线的问题拔高练习 1.在凹四边形ABCD 中，求证：∠A +∠B +∠D =∠BCD．2.如图所示，DC 平分ADB ∠，EC 平分AEB ∠，试探索A ∠、B ∠、C ∠的关系．攻略借助基本图形↓飞镖模型。