《直线的倾斜角和斜率》课件2 (北师大版必修2)

§1直线与直线的方程1.1 直线的倾斜角和斜率问题导学1．求直线的倾斜角活动与探究1已知直线l1的倾斜角是30°，直线l2⊥l1，试求直线l2的倾斜角．迁移与应用1．如图，有三条直线l1，l2，l3，倾斜角分别是α1，α2，α3，则下列关系正确的是( )．A．α1＞α2＞α3 B．α1＞α3＞α2C．α2＞α3＞α1 D．α3＞α2＞α12．直线l过原点，且倾斜角为150°，若将直线l绕原点逆时针方向旋转30°，得到直线l1，那么l1的倾斜角为__________．求直线的倾斜角，主要是根据题意画出图形，根据倾斜角的定义，找出直线向上的方向与x轴正半轴所成的角，即为倾斜角，注意平面几何中相关知识的应用．2．求直线的斜率活动与探究2(1)已知两条直线的倾斜角α1＝30°，α2＝45°，求这两条直线的斜率；(2)如图，已知A(3,2)，B(－4,1)，C(0，－1)，求直线AB，BC，AC的斜率；(3)求经过两点A(a,2)，B(3,6)的直线的斜率．迁移与应用1．(1)若直线l 的倾斜角为60°，则该直线的斜率为__________；(2)经过两点A (3,2)，B (4,7)的直线的斜率是__________．2．经过下列两点的直线的斜率是否存在？如果存在，求其斜率．①(1,1)，(－1，－2)；②(1，－1)，(－2,4)；③(2,2)，(10,2)；④(－2，－3)，(－2,3)．1．求直线的斜率通常有两种方法：一是已知直线的倾斜角α时，可根据斜率的定义，利用k ＝tan α求得；二是已知直线上经过的两点时，可利用两点连线的斜率公式计算求得．2．使用斜率公式k ＝y 2－y 1x 2－x 1时，要注意前提条件x 1≠x 2.若x 1＝x 2，则斜率不存在．当两点的横坐标含有字母时，要先讨论横坐标是否相等再确定直线的斜率．3．直线的倾斜角和斜率的关系活动与探究3a 为何值时，过点A (2a,3)，B (2，－1)的直线的倾斜角是锐角？钝角？直角？迁移与应用已知直线l经过点P(5,10)，Q(m,12)，若l的倾斜角θ≥90°，则实数m的取值范围是__________．根据斜率与倾斜角的关系(即当倾斜角0°≤α＜90°时，斜率是非负的；当倾斜角90°＜α＜180°时，斜率是负的)来解答直线的倾斜角是锐角还是钝角问题．4．运用斜率公式解决三点共线问题活动与探究4已知三点A(a,2)，B(3,7)，C(－2，－9a)在同一条直线上，求实数a的值．迁移与应用已知三点A(1，－1)，B(3,3)，C(4,5)，求证：三点在同一直线上．三点共线问题的证明(1)用斜率法证明三点共线问题．(2)三点共线问题也可利用线段长度之间的关系来证明，即若|AB |＋|BC |＝|AC |，则可判定A ，B ，C 三点共线．当堂检测1．对于下列命题：①若θ是直线l 的倾斜角，则0°≤θ＜180°；②若k 是直线l 的斜率，则k ∈R ；③任一条直线都有倾斜角，但不一定都有斜率；④任一条直线都有斜率，但不一定有倾斜角．其中正确命题的个数是( )．A ．1B ．2C ．3D ．42．若直线l 的斜率k ＝－1，则其倾斜角等于( )．A ．0° B．45° C．90° D．135°3．过点P (－2，m )，Q (m,4)的直线的斜率为1，则m 的值为( )．A ．1B ．4C ．1或3D ．1或44．已知A (3，0)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，－3，C (a ，2a )三点共线，求实数a 的值． 5．已知直线l 的倾斜角为30°，且过点P (1,2)和Q (x,0)，求该直线的斜率和x 的值．答案：课前预习导学预习导引1．一个点 方向2．(1)逆时针 倾斜角 0° 0°≤α＜180°预习交流1 提示：任何一条直线都有唯一的倾斜角；倾斜角相同的直线不是唯一的，它们是一组平行线；不同的直线其倾斜角可能是相同的．(2)正切 tan α预习交流2 提示：并非每一条直线都有斜率，当直线与x 轴垂直时，即倾斜角为90°时，该直线的斜率不存在；当倾斜角0°≤α＜90°时，斜率k ≥0；当90°＜α＜180°时，斜率k ＜0，故可知斜率k 的取值范围为(－∞，0)∪[0，＋∞)，即k ∈R .预习交流3 提示：斜率和倾斜角之间的关系是“数与形”的关系，斜率是个实数，倾斜角则是一个角；每条直线都有唯一的倾斜角与之对应，但并不是每条直线都有斜率，当倾斜角0°≤α＜90°时，斜率是非负的，倾斜角越大，直线的斜率就越大；当倾斜角90°＜α＜180°时，斜率是负的，倾斜角越大，直线的斜率也越大．3．y 2－y 1x 2－x 1(x 2≠x 1) 预习交流4 提示：不能．斜率公式的适用条件是x 1≠x 2，当两点的横坐标相同时，不能用斜率公式，因为此时直线与x 轴垂直，其倾斜角为90°，斜率不存在．预习交流5 提示：无关，即k ＝y 2－y 1x 2－x 1＝y 1－y 2x 1－x 2. 课堂合作探究问题导学活动与探究1 思路分析：由l 1⊥l 2知两直线与x 轴可构成直角三角形，因此可利用三角形内角和定理以及倾斜角的定义求出l 2的倾斜角．解：如图所示，由于l 2⊥l 1，所以△MAB 是直角三角形，而l 1的倾斜角等于30°，即∠MAB ＝30°，于是∠MBA ＝60°，从而∠MBx ＝180°－60°＝120°，即直线l 2的倾斜角等于120°.迁移与应用 1．D2．0° 解析：将l 绕原点旋转30°后，直线与x 轴重合，其倾斜角为0°.活动与探究2 思路分析：利用斜率公式k ＝tan α和k ＝y 2－y 1x 2－x 1(x 1≠x 2)来解决． 解：(1)k 1＝tan 30°＝33，k 2＝tan 45°＝1. (2)直线AB 的斜率k AB ＝1－2－4－3＝17； 直线BC 的斜率k BC ＝－1－10－(－4)＝－24＝－12； 直线AC 的斜率k AC ＝2－(－1)3－0＝33＝1. (3)当a ＝3时，斜率不存在．当a ≠3时，直线的斜率k ＝43－a . 迁移与应用 1．(1) 3 (2)52．解：①k ＝－2－1－1－1＝32；②k ＝4－(－1)－2－1＝－53；③k ＝2－210－2＝0；④∵x 1＝x 2＝－2，∴斜率不存在．活动与探究3 思路分析：根据倾斜角与斜率的关系解决本题．若直线的倾斜角是锐角，则k ＞0，若为钝角，则k ＜0，若为直角，则斜率不存在．解：当过点A ，B 的直线的倾斜角是锐角时，k AB ＞0，根据斜率公式得k AB ＝3＋12a －2＝2a －1＞0， ∴a ＞1；同理，当倾斜角为钝角时，k AB ＜0，即2a －1＜0， ∴a ＜1.当倾斜角为直角时，A ，B 两点的横坐标相等．即2a ＝2，∴a ＝1.迁移与应用 m ≤5 解析：当θ＝90°时，直线l 的斜率不存在，故m ＝5；当θ＞90°时，倾斜角为钝角，l 的斜率k ＜0，即2m －5＜0，解得m ＜5.综上m 的取值范围是m ≤5. 活动与探究4 思路分析：先用k AB ＝k BC 建立关于a 的方程，然后解方程求实数a 的值． 解：∵A ，B ，C 三点共线，且3≠－2，∴BC ，AB 的斜率都存在，且k AB ＝k BC .又∵k AB ＝7－23－a ＝53－a ，k BC ＝－9a －7－2－3＝9a ＋75， ∴9a ＋75＝53－a ，解得a ＝2或a ＝29. 迁移与应用 证明：∵k AB ＝3＋13－1＝2，k BC ＝5－34－3＝2， ∴k AB ＝k BC .又直线AB 和BC 有公共点B ，∴A ，B ，C 三点共线．当堂检测1．C 2．D 3．A4．解：∵A ，B ，C 三点共线，3≠32， ∴AB ，AC 的斜率都存在，且k AB ＝k AC .∴－3－032－3＝2a －0a －3，解得a ＝2. 5．解：由斜率的计算公式得，该直线的斜率k ＝tan 30°＝33. 又l 过点P (1,2)和Q (x,0)，则k ＝2－01－x ＝33，解得x ＝1－2 3.。