辽宁省鞍山市高考数学一轮复习：27 数列的概念与简单表示法

考点28 数列的概念与简单表示法1、数列{a n }满足a n ＋a n ＋1＝(n ∈N *)，a 2＝2，S n 是数列{a n }的前n 项和，则S 21为( )12A ．5 B ．72C ．D ．92132【答案】B【解析】∵a n ＋a n ＋1＝，a 2＝2，12∴a n ＝Error!∴S 21＝11×＋10×2＝.(－32)722、给定数列1,2+3+4,5+6+7+8+9,10+11+12+13+14+15+16,…,则这个数列的一个通项公式是( )A.a n =2n 2+3n-1B.a n =n 2+5n-5C.a n =2n 3-3n 2+3n-1D.a n =2n 3-n 2+n-2【答案】C 【解析】当n=1时,a 1=1,代入四个选项,排除A 、D;当n=2时,a 2=9,代入B 、C 选项,B 、C 都正确;当n=3时,a 3=35,代入B 、C 选项,B 错误,C 正确,所以选C .3、在数列{a n }中，a 1＝1，a n a n －1＝a n －1＋(－1)n (n ≥2，n ∈N *)，则的值是( )a 3a 5A. B ．　1516158C ．D ．　3438【答案】C【解析】由已知得a 2＝1＋(－1)2＝2，∴2a 3＝2＋(－1)3，a 3＝，∴a 4＝＋(－1)1212124，a 4＝3，∴3a 5＝3＋(－1)5，∴a 5＝，∴＝×＝.23a 3a 51232344、意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时,发现有这样一列数:1,1,2,3,5,8, 13,….该数列的特点是:前两个数都是1,从第三个数起,每一个数都等于它前面两个数的和,人们把这样的一列数所组成的数列{a n }称为“斐波那契数列”,则(a 1a 3-)(a 2a 4-)(a 3a 5-)…(a 2 015a 2 017-)=( )A.1B.-1C.2 017D.-2 017【答案】B 【解析】∵a 1a 3-=1×2-12=1,a 2a 4-=1×3-22=-1,a 3a 5-=2×5-32=1,…,a 2 015a 2 017-=1.∴(a 1a 3-)(a 2a 4-)(a 3a 5-)·…·(a 2 015a 2 017-)=11 008×(-1)1 007=-1.5、已知数列{a n }的前n 项和S n ＝2a n －1，则满足≤2的正整数n 的集合为( )an n A ．{1,2,3}B ．{2,3,4}C ．{1,2,3,4}D ．{1,2,3,4,5}【答案】C【解析】因为S n ＝2a n －1，所以当n ≥2时，S n －1＝2a n －1－1，两式相减得a n ＝2a n －2a n －1，整理得a n ＝2a n －1.又a 1＝2a 1－1，所以a 1＝1，故a n ＝2n －1.又≤2，即2n －1≤2n ，所以有n ∈{1,2,3,4}．an n 6、已知数列{a n }满足a 1＝2，a n ＋1＝(n ∈N *)，则a 2 018的值为( )1＋an1－an A ．－8 B ．－3C ．－4D ．13【答案】B【解析】由a 1＝2，a n ＋1＝(n ∈N *)得，a 2＝－3，a 3＝－，a 4＝，a 5＝2，可见数列{a n }的周期为4，1＋an 1－an 1213所以a 2 018＝a 504×4＋2＝a 2＝－3.7、已知数列{a n }的前n 项和为S n ,若3S n =2a n -3n ,则a 2 018=( )A.22 018-1B.32 018-6C. 2 018-D. 2 018-【答案】A 【解析】由题意可得3S n =2a n -3n ,3S n+1=2a n+1-3 (n+1),两式作差可得3a n+1=2a n+1-2a n -3,即a n+1=-2a n -3,则a n+1+1=-2(a n +1),结合3S 1=2a 1-3=3a 1可得a 1=-3,a 1+1=-2,则数列{a n +1}是首项为-2,公比为-2的等比数列,据此有a 2 018+1=(-2)×(-2)2 017=22 018,∴a 2 018=22 018-1.故选A .8、已知数列{a n }与{b n }的通项公式分别为a n ＝－n 2＋4n ＋5，b n ＝n 2＋(2－a )n －2a .若对任意正整数n ，a n ＜0或b n ＜0，则a 的取值范围为( )A ．(5，＋∞)　B ．(－∞，5)C ．(6，＋∞)D ．(－∞，6)【答案】A 【解析】由a n ＝－n 2＋4n ＋5＝－(n ＋1)(n －5)可知，当n ＞5时，a n ＜0.由b n ＝n 2＋(2－a )n －2a ＝(n ＋2)(n －a )＜0及已知易知－2＜n ＜a ，为使当0＜n ≤5时，b n ＜0，只需a ＞5.故选A.9、在数列{a n }中，已知a 1＝1，a n ＋1＝2a n ＋1，则其通项公式a n ＝( )A ．2n －1B ．2n －1＋1C ．2n －1D ．2(n －1)【答案】A【解析】由a n ＋1＝2a n ＋1，可求a 2＝3，a 3＝7，a 4＝15，…，验证可知a n ＝2n －1.10、若数列{a n }满足(n －1)a n ＝(n ＋1)a n －1(n ≥2)且a 1＝2，则满足不等式a n ＜462的最大正整数n 为( )A ．19 B ．20C ．21D ．22【答案】B 【解析】由(n －1)a n ＝(n ＋1)a n －1得，＝，则an an －1n ＋1n －1a n ＝a 1×××…×＝2×××…×＝n (n ＋1)．又a n ＜462，即n (n ＋1)＜462，所以(a 2a 1)(a 3a 2)(an an －1)3142n ＋1n －1n 2＋n －462＜0，即(n －21)(n ＋22)＜0，因为n ＞0，所以n ＜21.故所求的最大正整数n ＝20.11、数列{a n }满足a 1=,a n+1-1=a n (a n -1)(n ∈N +),且S n =+…+,则S n 的整数部分的所有可能值构成的集合是( )A.{0,1,2}B.{0,1,2,3}C.{1,2}D.{0,2}【答案】A 【解析】对a n+1-1=a n (a n -1)两边取倒数,得-=,S n =++…+=-+-+…+-=3-,由a n+1-a n =≥0,a n+1≥a n ,a n 为递增数列,a 1=,a 2=,a 3=,其中S 1=,整数部分为0,S 2=3-=,整数部分为0,S 3=,整数部分为1,由于S n <3,故选A .12、在一个数列中,如果每一项与它的后一项的和为同一个常数,那么这个数列叫做等和数列,这个常数叫做该数列的公和,已知数列{a n }是等和数列,且a 1=2,公和为5,那么a 18= .【答案】3　【解析】由题意得a n +a n+1=5⇒a n+2+a n+1=5⇒a n =a n+2,所以a 18=a 2=5-a 1=3.13、已知数列{a n }的通项公式a n ＝Error!则a 3a 4＝________.【答案】 54【解析】由题意知，a 3＝2×3－5＝1，a 4＝2×34－1＝54，∴a 3a 4＝54.14、数列{a n }的前n 项和为S n .若S 2=4,a n+1=2S n +1,n ∈N +,则S 5= .【答案】121　【解析】由于解得a 1=1.由a n+1=S n+1-S n =2S n +1,得S n+1=3S n +1,所以S n+1+=3S n +,所以是以为首项,3为公比的等比数列,所以S n +=×3n-1,即S n =,所以S 5=121.15、已知数列{a n }的前n 项和S n ＝a n ＋，则{a n }的通项公式a n ＝________.1323【答案】n －1(－12)【解析】当n ＝1时，a 1＝S 1＝a 1＋，1323∴a 1＝1; 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝a n －a n －1，∴＝－.1313an an －112∴数列{a n }是首项a 1＝1，公比q ＝－的等比数列，故a n ＝n －1.12(－12)16、在数列{a n }中,a 1=0,a n+1=,则S 2 019= .【答案】0　【解析】∵a 1=0,a n+1=,∴a 2==,a 3===-,a 4==0,即数列{a n }的取值具有周期性,周期为3,且a 1+a 2+a 3=0,则S 2 019=S 3×673=0.17、已知数列{a n }的前n 项和为S n ,S n =2a n -n ,则a n = .【答案】2n -1　【解析】当n ≥2时,a n =S n -S n-1=2a n -n-2a n-1+(n-1),即a n =2a n-1+1,∴a n +1=2(a n-1+1).又a 1=S 1=2a 1-1,∴a 1=1.∴数列{a n +1}是以首项为a 1+1=2,公比为2的等比数列,∴a n +1=2·2n-1=2n ,∴a n =2n -1.18、已知数列{a n }，{b n }，S n 为数列{a n }的前n 项和，且满足a 2＝4b 1，S n ＝2a n －2，nb n ＋1－(n ＋1)b n ＝n 3＋n 2(n ∈N *)．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)求数列{b n }的通项公式．【答案】(1) 2n (2) ，n ∈N *n 3－n 2＋2n 2【解析】(1)当n ＝1时，S 1＝2a 1－2，则a 1＝2.当n ≥2时，由Error!得a n ＝2a n －2a n －1，则a n ＝2a n －1，n ≥2.综上，数列{a n }是以2为首项，2为公比的等比数列，故a n ＝2n ，n ∈N *.(2)∵a 2＝4b 1＝4，∴b 1＝1.∵nb n ＋1－(n ＋1)b n ＝n 3＋n 2，∴－＝n ，bn ＋1n ＋1bn n 故－＝n －1，…，－＝2，－＝1，n ≥2，bn n bn －1n －1b 33b 22b 22b 11将上面各式累加得－＝1＋2＋3＋…＋(n －1)＝，bn n b 11n n －1 2∴b n ＝，n ∈N *.n 3－n 2＋2n 219、设数列{a n }的前n 项和为S n .已知a 1＝a (a ∈R 且a ≠3)，a n ＋1＝S n ＋3n ，n ∈N *.(1)设b n ＝S n －3n ，求数列{b n }的通项公式；(2)若a n ＋1≥a n ，n ∈N *，求a 的取值范围．【答案】(1) (a －3)2n －1 (2) [－9,3)∪(3，＋∞)【解析】(1)由题意知，S n ＋1－S n ＝a n ＋1＝S n ＋3n ，即S n ＋1＝2S n ＋3n ，由此得S n ＋1－3n ＋1＝2S n ＋3n －3n ＋1＝2(S n －3n )，又S 1－31＝a －3(a ≠3)，故数列{S n －3n }是首项为a －3，公比为2的等比数列，因此，所求通项公式为b n ＝S n －3n ＝(a －3)2n －1，n ∈N *.(2)由(1)知S n ＝3n ＋(a －3)2n －1，n ∈N *，于是，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝3n ＋(a －3)2n －1－3n －1－(a －3)2n －2＝2×3n －1＋(a －3)2n －2，所以a n ＋1－a n ＝4×3n －1＋(a －3)2n －2＝2n －2，[12·(32)n －2＋a －3]当n ≥2时，a n ＋1≥a n ⇔12·n －2＋a －3≥0⇔a ≥－9.(32)又a 2＝a 1＋3＞a 1.综上，所求的a 的取值范围是[－9,3)∪(3，＋∞)．20、已知{a n }是公差为d 的等差数列，它的前n 项和为S n ，S 4＝2S 2＋4，数列{b n }中，b n ＝.1＋an an (1)求公差d 的值；(2)若a 1＝－，求数列{b n }中的最大项和最小项的值；52(3)若对任意的n ∈N *，都有b n ≤b 8成立，求a 1的取值范围．【答案】(1) 1 (2) 3 －1 (3) (－7，－6)【解析】(1)∵S 4＝2S 2＋4，∴4a 1＋d ＝2(2a 1＋d )＋4，解得d ＝1.3×42(2)∵a 1＝－，∴数列{a n }的通项公式为a n ＝－＋(n －1)＝n －，525272∴b n ＝1＋＝1＋.1an 1n －72∵函数f (x )＝1＋在和上分别是单调减函数，1x －72(－∞，72)(72，＋∞)∴b 3＜b 2＜b 1＜1，当n ≥4时，1＜b n ≤b 4，∴数列{b n }中的最大项是b 4＝3，最小项是b 3＝－1.(3)由b n ＝1＋，得b n ＝1＋.1an 1n ＋a 1－1又函数f (x )＝1＋在(－∞，1－a 1)和(1－a 1，＋∞)上分别是单调减函数，且x ＜1－a 1时，1x ＋a 1－1y ＜1；当x ＞1－a 1时，y ＞1.∵对任意的n ∈N *，都有b n ≤b 8，∴7＜1－a 1＜8，∴－7＜a 1＜－6，∴a 1的取值范围是(－7，－6)．。

考点规范练27数列的概念与简单表示法基础巩固组1.数列1,-3,5,-7,9,…的一个通项公式为()A.a n=2n-1B.a n=(-1)n(2n-1)C.a n=(-1)n+1(2n-1)D.a n=(-1)n(2n+1)2.数列{a n}中,a1=1,对所有n∈N*都有a1a2…a n=n2,则a3+a5等于()A. B. C. D.3.(2017浙江温州测试)设S n为数列{a n}的前n项和,且S n=(a n-1)(n∈N*),则a n=()A.3(3n-2n)B.3n+2C.3nD.3·2n-14.(2017广西南宁测试)已知数列{a n}满足:,且a2=2,则a4等于()A.-B.23C.12D.115.数列{a n}满足a n+1+a n=2n-3,若a1=2,则a8-a4=()A.7B.6C.5D.46.已知数列{a n}中,首项a1=1,a n=a n-1·3n-1(n≥2,n∈N*),则数列{b n}的通项公式为.7.数列{a n}满足:a1+3a2+5a3+…+(2n-1)·a n=(n-1)·3n+1+3(n∈N*),则数列{a n}的通项公式a n=.8.若数列{a n}满足a1=2,a n+1=(n∈N*),则该数列的前2 018项的乘积a1·a2·a3·…·a2-=.018能力提升组9.(2017浙江嘉兴模拟)已知数列{a n}中的任意一项都为正实数,且对任意m,n∈N*,有a m·a n=a m+n,如果a10=32,则a1的值为()A.-2B.2C.D.-10.已知函数f(x)是定义在(0,+∞)上的单调函数,且对任意的正数x,y都有f(xy)=f(x)+f(y).若数列{a n}的前n项和为S n,且满足f(S n+2)-f(a n)=f(3)(n∈N*),则a n等于()-A.2n-1B.nC.2n-1D.11.已知数列{a n}满足:a1=1,a n+1=(n∈N*).若b n+1=(n-λ)·,b1=-λ,且数列{b n}是单调递增数列,则实数λ的取值范围为()A.λ>2B.λ>3C.λ<2D.λ<312.(2017辽宁沈阳期末)若数列{a n}满足=0,则称{a n}为“梦想数列”,已知正项数列为“梦想数列”,且b1+b2+b3=2,则b6+b7+b8=()A.4B.16C.32D.6413.已知数列{a n}满足a1=,a n+1-1=-a n(n∈N*),则m=+…+的整数部分是()A.1B.2C.3D.414.古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数,如图,他们研究过图中的1,5,12,22,…,由于这些数能够表示成五角形,将其称为五角形数.若按此规律继续下去,第n个五角形数a n=.15.(2017浙江温州瑞安模拟)已知数列{a n}中,a n=1+(n∈N*,a∈R且a≠0).-(1)若a=-7,求数列{a n}中的最大项和最小项的值;(2)若对任意的n∈N*,都有a n≤a6成立,求a的取值范围.16.在数列{a n}中,a1=1,2a n a n+1+a n+1-a n=0(n∈N*).(1)求证:数列为等差数列,并求{a n}的通项公式;(2)若ta n+1(a n-1)+1≥0对任意n≥2的整数恒成立,求实数t的取值范围.答案：1.C由数列{a n}中1,-3,5,-7,9,…可以看出:符号正负相间,通项的绝对值为1,3,5,7,9…为等差数列{b n},其通项公式b n=2n-1.∴数列1,-3,5,-7,9,…的一个通项公式为a n=(-1)n+1(2n-1).故选C.2.A∵当n≥2时,a1a2a3…a n=n2,当n≥3时,a1a2a3…a n-1=(n-1)2,两式相除,得a n=-,∴a3=,a5=a3+a5=故选A.3.C当n≥2时,a n=S n-S n-1=(a n-1)-(a n-1-1),整理,得a n=3a n-1.由a1=(a1-1),得a1=3,-=3,∴数列{a n}是以3为首项,3为公比的等比数列,∴a n=3n,故选C.4.D由已知得=2,则{a n+1}是公比为2的等比数列,所以a4+1=(a2+1)·22=12,则a4=11.故选D.5.D依题意得(a n+2+a n+1)-(a n+1+a n)=[2(n+1)-3]-(2n-3),即a n+2-a n=2,所以a8-a4=(a8-a6)+(a6-a4)=2+2=4.6.a n=-∵a n=---…a1=3n-1·3n-2·…·3·1=-a1也满足上式,∴a n=-7.3n a1+3a2+5a3+…+(2n-3)·a n-1+(2n-1)·a n=(n-1)+3,把n替换成n-1得,a1+3a2+5a3+…+(2n-3)·a n-1=(n-2)·3n+3,两项相减得a n=3n.8.-6经计算,得a1=2,a2=-3,a3=-,a4=,a5=2,…则{a n}是以4为周期的一个周期数列.∴a1a2a3a4=1.∴a1·a2·…·a2 013·a2 014·a2 018=2×(-3)=-6.9.C令m=1,则=a1,所以数列{a n}是以a1为首项,公比为a1的等比数列,从而a n=,因为a10=512,所以a1=10.D由题意知f(S n+2)=f(a n)+f(3)=f(3a n)(n∈N*),∴S n+2=3a n,S n-1+2=3a n-1(n≥2),两式相减得,2a n=3a n-1(n≥2).又n=1时,S1+2=3a1=a1+2,∴a1=1.∴数列{a n}是首项为1,公比为的等比数列.∴a n=-11.C由已知可得+1,+1=2又+1=2≠0,则+1=2n,b n+1=2n(n-λ),b n=2n-1(n-1-λ)(n≥2).b1=-λ也适合上式,故b n=2n-1(n-1-λ)(n∈N*).由b n+1>b n,得2n(n-λ)>2n-1(n-1-λ),即λ<n+1恒成立.而n+1的最小值为2,故λ的取值范围为λ<2.12.D因为正项数列为“梦想数列”,所以=0,即b n+1=2b n,所以{b n}是以2为公比的等比数列,所以b6+b7+b8=(b1+b2+b3)×25=2×25=64,故选D.13.B∵a1=,a n+1-1=-a n(n∈N*),∴a n+1-a n=(a n-1)2>0,∴a n+1>a n,∴数列{a n}是单调递增数列,由a n+1-1=-a n=a n(a n-1), ---,--,∴m=+…+------+…+-----=3--,由a1=>1,则a n+1-a n=(a n-1)2>0,∴a2=1+,a3=1+,a4=1+>2,…,a2 018>2,∴0<-<1,∴2<m<3,∴整数部分是2,故选B.14n2-n观察图象,发现a1=1,a2=a1+4,a3=a2+7,a4=a3+10,猜测当n≥2时,a n=a n-1+3n-2,∴a n-a n-1=3n-2.∴a n=(a n-a n-1)+(a n-1-a n-2)+…+(a2-a1)+a1=(3n-2)+[3(n-1)-2]+…+(3×2-2)+1=n2-n.15.解(1)∵a n=1+-(n∈N*,a∈R,且a≠0),∵a=-7,∴a n=1+-(n∈N*).结合函数f(x)=1+-的单调性,可知1>a1>a2>a3>a4, a5>a6>a7>…>a n>1(n∈N*).∴数列{a n}中的最大项为a5=2,最小项为a4=0.(2)a n=1+-=1+--,已知对任意的n∈N*,都有a n≤a6成立, 结合函数f(x)=1+--的单调性,可知5<-<6,即-10<a<-8.即a的取值范围是(-10,-8).16.解(1)由题意得2a n a n+1+a n+1-a n=0,两边同除a n a n+1得,=2,∵a1=1,∴数列是以1为首项、2为公差的等差数列,则=1+2(n-1)=2n-1,∴a n=-(2)由(1)得,ta n+1(a n-1)+1≥0可化为t--+1≥0,由n≥2化简得t--,设b n=--,则b n+1-b n=-------->0,∴当n≥2时,数列{b n}是递增数列,则--, ∴实数t的取值范围是-。

第六章 数 列§6.1 数列的概念与简单表示法考点梳理1．数列的概念(1)定义：按照一定顺序排列着的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的________．数列中的每一项都和它的序号有关，排在第一位的数称为这个数列的第1项(通常也叫做__________)，排在第n 位的数称为这个数列的第n 项．所以，数列的一般形式可以写成__________，其中a n 是数列的第n 项，叫做数列的通项．常把一般形式的数列简记作{a n }．(2)通项公式：如果数列{a n }的__________与序号__________之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式．(3)从函数的观点看，数列可以看作是一个定义域为正整数集N *(或它的有限子集{1，2，3，…，n })的函数(离散的)，当自变量从小到大依次取值时所对应的一列________．(4)数列的递推公式：如果已知数列的第1项(或前几项)，且从第二项(或某一项)开始的任一项__________与它的前一项__________ (或前几项)间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式．(5)数列的表示方法有__________、__________、__________、__________. 2．数列的分类(1)数列按项数是有限还是无限来分，分为__________、__________.(2)按项的增减规律分为__________、__________、__________和__________．递增数列⇔a n ＋1______a n ；递减数列⇔a n ＋1_____a n ；常数列⇔a n ＋1______a n .递增数列与递减数列统称为__________．3．数列前n 项和S n 与a n 的关系已知S n ，则a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧（n ＝1）_________，（n ≥2）_________.自查自纠：1．(1)项 首项 a 1，a 2，a 3，…，a n ，… (2)第n 项 n (3)函数值 (4)a n a n －1(5)通项公式法(解析式法) 列表法 图象法 递推公式法 2．(1)有穷数列 无穷数列 (2)递增数列 递减数列 摆动数列 常数列 ＞ ＜ ＝ 单调数列 3．S 1 S n －S n －1典型例题讲练类型一 数列的通项公式例题1 根据下面各数列前几项的值，写出数列的一个通项公式： (1)－1，7，－13，19，…； (2)23，415，635，863，1099，…； (3)12，2，92，8，252，…； (4)5，55，555，5 555，….解：(1)偶数项为正，奇数项为负，故通项公式正负性可用(－1)n 调节，观察各项的绝对值，后一项的绝对值总比它前一项的绝对值大6，故数列的一个通项公式为a n ＝(－1)n (6n －5)．(2)这是一个分数数列，其分子构成偶数数列，而分母可分解为1×3，3×5，5×7，7×9，9×11，…，每一项都是两个相邻奇数的乘积．故数列的一个通项公式为a n ＝2n（2n －1）（2n ＋1）.(3)数列的各项，有的是分数，有的是整数，可将数列的各项都统一成分数再观察．即12，42，92，162，252，…，故数列的一个通项公式为a n ＝n 22. (4)将原数列改写为59×9，59×99，59×999，…，易知数列9，99，999，…的通项为10n－1，故数列的一个通项公式为a n ＝59(10n －1)．变式1 写出下列数列的一个通项公式：(1)－1，12，－13，14，－15，…；(2)3，5，9，17，33，…； (3)23，－1，107，－179，2611，…. (4)1，2，2，4，3，8，4，16，….解：(1)a n ＝(－1)n ·1n ；(2)a n ＝2n ＋1；(3)由于－1＝－55，故分母为3，5，7，9，11，…，即{2n ＋1}，分子为2，5，10，17，26，…，即{n 2＋1}．符号看作各项依次乘1，－1，1，－1，…，即{(－1)n ＋1}，故a n ＝(－1)n ＋1·n 2＋12n ＋1. (4)观察数列{a n }可知，奇数项成等差数列，偶数项成等比数列，∴a n ＝⎩⎨⎧n ＋12（n 为奇数），2n 2（n 为偶数）.类型二 由前n 项和公式求通项公式例题2 (1)若数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2－10n ，则此数列的通项公式为a n ＝______________．(2)若数列{a n }的前n 项和S n ＝2n ＋1，则此数列的通项公式为a n ＝ ．解：(1)当n ＝1时，a 1＝S 1＝1－10＝－9； 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n 2－10n －[(n －1)2－10(n －1)]＝2n －11. 当n ＝1时，2×1－11＝－9＝a 1.∴a n ＝2n －11. 故填2n －11.(2)当n ＝1时，a 1＝S 1＝21＋1＝3； 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(2n ＋1)－(2n －1＋1) ＝2n －2n －1＝2n －1.综上有 a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧3（n ＝1），2n －1（n ≥2）.故填⎩⎪⎨⎪⎧3（n ＝1），2n －1（n ≥2）.变式2 已知下列数列{a n }的前n 项和S n ，分别求它们的通项公式a n . (1)S n ＝2n 2－3n ； (2)S n ＝3n ＋b.解：(1)a 1＝S 1＝2－3＝－1，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(2n 2－3n )－[2(n －1)2－3(n －1)]＝4n －5，a 1也适合此等式，∴a n ＝4n －5. (2)a 1＝S 1＝3＋b ， 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1 ＝(3n ＋b )－(3n －1＋b )＝2·3n －1. 当b ＝－1时，a 1适合此等式． 当b ≠－1时，a 1不适合此等式． ∴当b ＝－1时，a n ＝2·3n －1；当b ≠－1时，a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧3＋b ，n ＝1，2·3n －1，n ≥2.类型三 由递推公式求通项公式例题3 写出下面各数列{a n }的通项公式．(1)a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋n ＋1；(2)a 1＝1，前n 项和S n ＝n ＋23a n；(3)a 1＝1，a n ＋1＝3a n ＋2.解：(1)由题意得，当n ≥2时，a n －a n －1＝n ， ∴a n ＝a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n －a n －1)＝2＋(2＋3＋…＋n )＝2＋（n －1）（2＋n ）2＝n （n ＋1）2＋1.又a 1＝2＝1×（1＋1）2＋1，适合上式，因此a n ＝n （n ＋1）2＋1.(2)由题设知，a 1＝1. 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n ＋23a n －n ＋13a n －1. ∴a n a n －1＝n ＋1n －1. ∴a na n －1＝n ＋1n －1，…，a 4a 3＝53，a 3a 2＝42，a 2a 1＝3.以上n －1个式子的等号两端分别相乘， 得到a n a 1＝n （n ＋1）2.又∵a 1＝1，∴a n ＝n （n ＋1）2.(3)解法一：(累乘法)a n ＋1＝3a n ＋2，得a n ＋1＋1＝3(a n ＋1)，即a n ＋1＋1a n ＋1＝3，∴a 2＋1a 1＋1＝3，a 3＋1a 2＋1＝3，a 4＋1a 3＋1＝3，…，a n ＋1＋1a n ＋1＝3. 将这些等式两边分别相乘得a n ＋1＋1a 1＋1＝3n .∵a 1＝1，∴a n ＋1＋11＋1＝3n ，即a n ＋1＝2×3n －1(n ≥1)， ∴a n ＝2×3n －1－1(n ≥2)， 又a 1＝1也适合上式，故数列{a n }的一个通项公式为a n ＝2×3n －1－1. 解法二：(迭代法) a n ＋1＝3a n ＋2，即a n ＋1＋1＝3(a n ＋1)＝32(a n －1＋1)＝33(a n －2＋1)＝…＝3n (a 1＋1)＝2×3n (n ≥1)， ∴a n ＝2×3n －1－1(n ≥2)，又a 1＝1也满足上式，故数列{a n }的一个通项公式为a n ＝2×3n －1－1.变式3 写出下面各递推公式表示的数列{a n }的通项公式．(1)a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋1n （n ＋1）；(2)a 1＝1，a n ＋1＝2n a n ； (3)a 1＝1，a n ＋1＝2a n ＋1.解：(1)∵当n ≥2时，a n －a n －1＝1n （n －1）＝1n －1－1n，∴当n ≥2时，a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1－1n ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －2－1n －1＋…＋⎝⎛⎭⎫12－13＋⎝⎛⎭⎫1－12＋2＝3－1n . 当n ＝1时，适合．故a n ＝3－1n .(2)∵a n ＋1a n ＝2n ，∴a 2a 1＝21，a 3a 2＝22，…，a na n －1＝2n －1， 将这n －1个等式叠乘， 得a n a 1＝21＋2＋…＋(n －1)＝2n （n －1）2，∴a n ＝2n （n －1）2.当n ＝1时，适合．故a n ＝2n （n －1）2.(3)由题意知a n ＋1＋1＝2(a n ＋1)，∴数列{a n ＋1}是以2为首项，2为公比的等比数列，∴a n ＋1＝2n ，∴a n ＝2n －1.类型四 数列通项的性质例题4 已知数列{a n }，且a n ＝(n ＋1)⎝⎛⎭⎫1011n(n ∈N *)．求数列{a n }的最大项．解：因为a n ＝(n ＋1)⎝⎛⎭⎫1011n 是积幂形式的式子且a n ＞0，所以可用作商法比较a n 与a n －1的大小．解：令a na n －1≥1(n ≥2)， 即（n ＋1）⎝⎛⎭⎫1011nn ·⎝⎛⎭⎫1011n －1≥1，整理得n ＋1n ≥1110，解得n ≤10.令a na n ＋1≥1，即（n ＋1）⎝⎛⎭⎫1011n （n ＋2）⎝⎛⎭⎫1011n ＋1≥1，整理得n ＋1n ＋2≥1011，解得n ≥9.∴从第1项到第9项递增，从第10项起递减．故a 9＝a 10＝1010119最大．变式4 数列{a n }的通项a n ＝nn 2＋90，则数列{a n }中的最大项是( )A ．310B ．19 C.119 D.1060解：易得a n ＝1n ＋90n ，运用基本不等式得，1n ＋90n ≤1290，由于n ∈N *，不难发现当n＝9或10时，a n ＝119最大．故选C.方法规律总结1．已知数列的前几项，求数列的通项公式，应从以下几方面考虑：(1)如果符号正负相间，则符号可用(－1)n 或(－1)n ＋1来调节．(2)分式形式的数列，分子和分母分别找通项，并充分借助分子和分母的关系来解决． (3)对于比较复杂的通项公式，要借助于等差数列、等比数列和其他方法来解决．2．a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1（n ＝1），S n －S n －1（n ≥2），注意a n ＝S n －S n －1的条件是n ≥2，还须验证a 1是否符合a n (n ≥2)，是则合并，否则写成分段形式．3．已知递推关系求通项掌握先由a 1和递推关系求出前几项，再归纳、猜想a n 的方法，以及“累加法”“累乘法”等．(1)已知a 1且a n －a n －1＝f (n )，可以用“累加法”得： a n ＝a 1＋f (2)＋f (3)＋…＋f (n －1)＋f (n )．(2)已知a 1且a na n －1＝f (n )，可以用“累乘法”得：a n ＝a 1·f (2)·f (3)·…·f (n －1)·f (n )．注：以上两式均要求{f (n )}易求和或积． 4．数列的简单性质(1)单调性：若a n ＋1＞a n ，则{a n }为递增数列；若a n ＋1＜a n ，则{a n }为递减数列．(2)周期性：若a n ＋k ＝a n (n ∈N *，k 为非零正整数)，则{a n }为周期数列，k 为{a n }的一个周期．(3)最大值与最小值：若⎩⎪⎨⎪⎧a n ≥a n ＋1，a n ≥a n －1， 则a n 最大；若⎩⎪⎨⎪⎧a n ≤a n ＋1，a n ≤a n －1， 则a n 最小．课后练习1．1，2，7，10，13，…中，219是这个数列的( ) A ．第16项 B ．第24项 C ．第26项 D ．第28项解：观察a 1＝1＝1，a 2＝2＝4，a 3＝7，a 4＝10，a 5＝13，…，所以a n ＝3n －2.令a n ＝3n －2＝219＝76，得n ＝26.故选C.2．数列{a n }的前n 项积为n 2，那么当n ≥2时，a n ＝( )A ．2n －1B ．n 2C.（n ＋1）2n 2D.n 2（n －1）2解：设数列{a n }的前n 项积为T n ，则T n ＝n 2，当n ≥2时，a n ＝T n T n －1＝n 2（n －1）2.故选D.3．数列{a n }满足a n ＋1＋a n ＝2n －3，若a 1＝2，则a 8－a 4＝( ) A ．7 B ．6 C ．5 D ．4解：依题意得(a n ＋2＋a n ＋1)－(a n ＋1＋a n )＝[2(n ＋1)－3]－(2n －3)，即a n ＋2－a n ＝2，∴a 8－a 4＝(a 8－a 6)＋(a 6－a 4)＝2＋2＝4.故选D.4．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝2a n －1，则满足a nn ≤2的正整数n 的集合为( )A ．{1,2}B ．{1,2,3,4}C ．{1,2,3}D ．{1,2,4}解：B5．在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋lg ⎝⎛⎭⎫1＋1n ，则a n 的值为( ) A ．2＋lg nB ．2＋(n －1)lg nC ．2＋n lg nD ．1＋n lg n解法一：∵a n ＋1－a n ＝lg n ＋1n，∴a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1 ＝lgn n －1＋lg n －1n －2＋…＋lg 21＋2＝lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫n n －1·n －1n －2·…·32·21＋2＝lg n ＋2. 解法二：a n ＋1＝a n ＋lg(n ＋1)－lg n ，a n ＋1－lg(n ＋1)＝a n －lg n ，所以数列{a n －lg n }是常数列，a n －lg n ＝a 1－lg1＝2，a n ＝2＋lg n.故选A.6．若数列{a n }满足a 1＝2，a n ＋1a n ＝a n －1，则a 2017的值为( )A ．－1 B.12C ．2D ．3解：根据题意，∵数列{a n }满足a 1＝2，a n ＋1a n ＝a n －1，∴a n ＋1＝1－1a n ，∴a 2＝12，a 3＝－1，a 4＝2，…，可知数列的周期为3，∵2017＝3×672＋1，∴a 2017＝a 1＝2.故选C.7．已知数列{a n }满足a s ·t ＝a s a t (s ，t ∈N *)，且a 2＝2，则a 8＝________.解：令s ＝t ＝2，则a 4＝a 2×a 2＝4，令s ＝2， t ＝4，则a 8＝a 2×4＝a 2×a 4＝8.故填8. 8．下列关于星星图案的个数构成一个数列，该数列的一个通项公式是a n ＝________.解：从题图中可观察星星的个数构成规律，n＝1时，有1个；n＝2时，有3个；n＝3时，有6个；n＝4时，有10个；…，∴a n＝1＋2＋3＋4＋…＋n＝n（n＋1）2.故填n（n＋1）2.9．若数列{a n}满足1a n＋1－pa n＝0，n∈N*，p为非零常数，则称数列{a n}为“梦想数列”．已知正项数列{1b n}为“梦想数列”，且b1b2b3…b99＝299，则b8＋b92的最小值是________．解：4依题意可得b n＋1＝pb n，则数列{b n}为等比数列．又b1b2b3…b99＝299＝b9950，则b50＝2. b8＋b92≥2b8·b92＝2b50＝4，当且仅当b8＝b92，即该数列为常数列时取等号．10．已知数列{a n}的前n项和为S n.(1)若S n＝(－1)n＋1·n，求a5＋a6及a n；(2)若S n＝3n＋2n＋1，求a n.解：(1)a5＋a6＝S6－S4＝(－6)－(－4)＝－2，当n＝1时，a1＝S1＝1；当n≥2时，a n＝S n－S n－1＝(－1)n＋1·n－(－1)n·(n－1)＝(－1)n＋1·[n＋(n－1)]＝(－1)n＋1·(2n－1), a1适合此式，∴a n＝(－1)n＋1·(2n－1)．(2)当n＝1时，a1＝S1＝6；当n≥2时，a n＝S n－S n－1＝(3n＋2n＋1)－[3n－1＋2(n－1)＋1]＝2·3n －1＋2，a 1不适合此式，∴a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧6，n ＝1，2·3n －1＋2，n ≥2.。

课时作业(二十七) 第27讲 数列的概念与简单表示法时间：45分钟 分值：100分基础热身1．2011·阜阳质检 数列{a n }：1，－58，715，－924，…的一个通项公式是( )A ．a n ＝(－1)n ＋12n －1n ＋n (n ∈N ＋) B ．a n ＝(－1)n －12n ＋1n 3＋3n (n ∈N ＋) C ．a n ＝(－1)n ＋12n －1n 2＋2n (n ∈N ＋) D ．a n ＝(－1)n －12n ＋1n 2＋2n(n ∈N ＋) 2．2010·安徽卷 设数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2，则a 8的值为( ) A ．15 B ．16 C ．49 D ．643．在数列{a n }中，a 1＝1，a n a n －1＝a n －1＋(－1)n(n ≥2，n ∈N *)，则a 3a 5的值是( ) A.1516 B.158 C.34 D.384．2011·沈阳模拟 已知数列{a n }中，a 1＝12，a n ＋1＝1－1a n(n ∈N *)，则a 16＝________.能力提升5．2011·福州质检 把1,3,6,10,15,21，…这些数叫做三角形数，这是因为用这些数目的点可以排成一个正三角形(如图K27－1)．则第7个三角形数是( )图K27－1A ．27B ．28C ．29D ．306．2011·太原模拟 已知S n 是非零数列{a n }的前n 项和，且S n ＝2a n －1，则S 2011等于( )A ．1－22010B ．22011－1C ．22010－1D ．1－220117．已知数列{a n }，a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋2n (n ∈N *)，则a 100的值是( ) A ．9900 B ．9902 C ．9904 D ．110008．已知数列{a n }中，a 1＝1，1a n ＋1＝1a n＋3(n ∈N *)，则a 10＝( )A ．28B ．33 C.133 D.1289．2011·黄冈中学模拟 已知数列{a n }的通项a n ＝nanb ＋c(a ，b ，c ∈(0，＋∞))，则a n 与a n ＋1的大小关系是( )A ．a n >a n ＋1B ．a n <a n ＋1C ．a n ＝a n ＋1D ．不能确定10．2011·朝阳二模 已知数列{a n }满足a 1＝2，且a n ＋1a n ＋a n ＋1－2a n ＝0(n ∈N *)，则a 2＝________；并归纳出数列{a n }的通项公式a n ＝________.11．2011·淮南一模 已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2＋2n －1，则a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 25＝________.12．若数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2－10n (n ＝1,2,3，…)，则数列{a n }的通项公式为________________________________________________________________________；数列{na n }中数值最小的项是第________项．13．2011·厦门质检 若f (n )为n 2＋1(n ∈N *)的各位数字之和，如62＋1＝37，f (6)＝3＋7＝10.f 1(n )＝f (n )，f 2(n )＝f (f 1(n ))，…，f k ＋1(n )＝f (f k (n ))，k ∈N *，则f 2013(4)＝________.14．(10分)在2011年10月1日的国庆阅兵式上，有n (n ≥2)行、n ＋1列的步兵方阵． (1)写出一个数列，用它表示当n 分别为2,3,4,5,6，…时方阵中的步兵人数； (2)说出(1)题中数列的第5、6项，并用a 5，a 6表示；(3)把(1)中的数列记为{a n }，求该数列的通项公式a n ＝f (n )；(4)已知a n ＝9900，问a n 是第几项？此时步兵方阵有多少行、多少列？(5)画出a n ＝f (n )的图像，并利用图像说明方阵中步兵人数有可能是56,28吗？15．(13分)2011·蚌埠调研 已知数列{a n }满足前n 项和S n ＝n 2＋1，数列{b n }满足b n ＝2a n ＋1，且前n 项和为T n ，设c n ＝T 2n ＋1－T n .(1)求数列{b n }的通项公式； (2)判断数列{c n }的单调性；(3)当n ≥2时，T 2n ＋1－T n <15－712log a (a －1)恒成立，求a 的取值范围．难点突破16．(1)(6分)2011·浙江卷 若数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫n (n ＋4)23n 中的最大项是第k 项，则k ＝________.(2)(6分)2010·湖南卷 若数列{a n }满足：对任意的n ∈N *，只有有限个正整数m 使得a m ＜n 成立，记这样的m 的个数为(a n )*，则得到一个新数列{(a n )*}．例如，若数列{a n }是1,2,3，…，n ，…，则数列{(a n )*}是0,1,2，…，n －1，….已知对任意的n ∈N *，a n ＝n 2，则(a 5)*＝________，((a n )*)*＝________.课时作业(二十七)【基础热身】1．D 解析 观察数列{a n }各项，可写成：31×3，－52×4，73×5，－94×6. 2．A 解析 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n 2－(n －1)2＝2n －1，则a 8＝2×8－1＝15.3．C 解析 由已知得a 2＝1＋(－1)2＝2，由a 3·a 2＝a 2＋(－1)3，得a 3＝12，又由12a 4＝12＋(－1)4，得a 4＝3，由3a 5＝3＋(－1)5，得a 5＝23，则a 3a 5＝1223＝34.4.12 解析 由题可知a 2＝1－1a 1＝－1，a 3＝1－1a 2＝2，a 4＝1－1a 3＝12，a 5＝1－1a 4＝－1，…，则此数列为周期数列，周期为3，故a 16＝a 1＝12.【能力提升】5．B 解析 根据三角形数的增长规律可知第七个三角形数是1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＝28. 6．B 解析 当n ＝1时，S 1＝2a 1－1，得S 1＝a 1＝1； 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1，代入S n ＝2a n －1，得 S n ＝2S n －1＋1，即S n ＋1＝2(S n －1＋1)，∴S n ＋1＝(S 1＋1)·2n －1＝2n ，∴S 2011＝22011－1.7．B 解析 a 100＝(a 100－a 99)＋(a 99－a 98)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1 ＝2(99＋98＋…＋2＋1)＋2＝2·99·(99＋1)2＋2＝9902.8．D 解析 对递推式叠加得1a 10－1a 1＝27，故a 10＝128.9．B 解析 把数列{a n }的通项化为a n ＝na nb ＋c ＝ab ＋cn， ∵c >0，∴y ＝c n是单调递减函数，又∵a >0，b >0，∴a n ＝a b ＋c n为递增数列，因此a n <a n ＋1.10.43 2n2－1 解析 当n ＝1时，由递推公式，有a 2a 1＋a 2－2a 1＝0，得a 2＝2a 1a 1＋1＝43；同理a 3＝2a 2a 2＋1＝87，a 4＝2a 3a 3＋1＝1615，由此可归纳得出数列{a n }的通项公式为a n ＝2n2n －1.11．350 解析 当n ＝1时，a 1＝S 1＝12＋2－1＝2， 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(n 2＋2n －1)－(n －1)2＋2(n －1)－1＝2n ＋1，又a 1＝2不适合上式，则数列{a n }的通项公式为a n ＝⎩⎨⎧2，n ＝1，2n ＋1，n ≥2.所以a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 25＝(a 1＋1)＋a 3＋a 5＋…＋a 25－1＝(3＋51)2×13－1＝350.12．a n ＝2n －11 3 解析 n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n 2－10n －(n －1)2－10(n －1)＝2n －11； n ＝1时，a 1＝S 1＝－9符合上式．∴数列{a n }的通项公式为a n ＝2n －11.∴na n ＝2n 2－11n ，∴数列{na n }中数值最小的项是第3项．13．5 解析 因为42＋1＝17，f (4)＝1＋7＝8，则f 1(4)＝f (4)＝8，f 2(4)＝f (f 1(4))＝f (8)＝11， f 3(4)＝f (f 2(4))＝f (11)＝5，f 4(4)＝f (f 3(4))＝f (5)＝8，…，而2013＝3×671， 故f 2013(4)＝5.14．解答 (1)该数列为6,12,20,30,42，…； (2)a 5＝42，a 6＝56；(3)a n ＝(n ＋1)(n ＋2)(n ∈N *)；(4)由9900＝(n ＋1)(n ＋2)，解得n ＝98，a n 是第98项，此时步兵方阵有99行，100列；(5)f (n )＝n 2＋3n ＋2，如图，图像是分布在函数f (x )＝x 2＋3x ＋2上的孤立的点，由图可知，人数可能是56，不可能是28.15．解答 (1)当n ＝1时，a 1＝2，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n －1(n ≥2)． ∴数列{b n}的通项公式为b n＝⎩⎨⎧23，n ＝1，1n ，n ≥2.(2)∵c n ＝T 2n ＋1－T n ，∴c n ＝b n ＋1＋b n ＋2＋…＋b 2n ＋1＝1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n ＋1， ∴c n ＋1－c n ＝12n ＋2＋12n ＋3－1n ＋1<0，∴数列{c n }是递减数列．(3)由(2)知，当n ≥2时c 2＝13＋14＋15为最大，∴13＋14＋15<15－712log a (a －1)恒成立， ∴1<a <5＋12. 【难点突破】 16．(1)4 (2)2 n 2解析 (1)设最大项为第k 项，则有⎩⎨⎧k (k ＋4)⎝⎛⎭⎫23k≥(k ＋1)(k ＋5)⎝⎛⎭⎫23k ＋1，k (k ＋4)⎝⎛⎭⎫23k ≥(k －1)(k ＋3)⎝⎛⎭⎫23k －1，∴⎩⎨⎧k 2≥10，k 2－2k －9≤0 ⇒⎩⎨⎧k ≥10或k ≤－10，1－10≤k ≤1＋10⇒k ＝4.(2)本题以数列为背景，通过新定义考查学生自学能力、创新能力、探究能力，属于难题．因为a m <5，而a n ＝n 2，所以m ＝1,2，所以(a 5)*＝2.因为(a 1)*＝0，(a 2)*＝1，(a 3)*＝1，(a 4)*＝1，(a 5)*＝2，(a 6)*＝2，(a 7)*＝2，(a 8)*＝2，(a 9)*＝2，(a10)*＝3，(a11)*＝3，(a12)*＝3，(a13)*＝3，(a14)*＝3，(a15)*＝3，(a16)*＝3，所以((a1)*)*＝1，((a2)*)*＝4，((a3)*)*＝9，((a4)*)*＝16，猜想((a n)*)*＝n2.。

高考数学知识点：数列的概念与简单表示法1500字数列是指按照一定规律排列的数字集合。

在高考数学中，数列是一个重要的知识点，它不仅会在选择题和填空题中出现，还会涉及到解答题的证明和计算。

本文将从数列的概念、简单表示法、常见数列以及数列的应用等方面，详细介绍高考数学数列知识点。

一、数列的概念数列中的数字按照一定的顺序排列，每个数字依次被称为数列的项。

一般来说，数列用字母表示，如a₁, a₂, a₃, ...，其中a₁表示数列的第一项，a₂表示数列的第二项，以此类推。

数列中的项可以是整数、分数或者实数，也可以是变量。

数列可以分为等差数列和等比数列两种。

等差数列是指相邻的两项之差都是一常数的数列，等差数列的通项公式一般为an = a₁ + (n-1)d，其中a₁表示首项，d表示公差，n表示项数。

等比数列是指相邻的两项之比都是一常数的数列，等比数列的通项公式一般为an = a₁ * r^(n-1)，其中a₁表示首项，r表示公比，n表示项数。

二、数列的简单表示法在高考数学中，常见的数列表示法有两种：通项公式和递推公式。

通项公式是指通过数列的第n项表示数列的任意一项，递推公式是指通过数列的前一项表示数列的后一项。

以等差数列为例，该数列的递推公式为an = an-1 + d，表示每一项都是前一项与公差之和。

而通项公式为an = a₁ + (n-1)d，表示数列的任意一项可以通过项数和公差计算得出。

另外，数列也可以通过数列的前几项给出，例如{1, 2, 3, ...}表示自然数列，{2, 4, 6, ...}表示偶数列。

这种表示法在高考数学中较少使用，但在解答题时可能会用到。

三、常见数列在高考数学中，有一些常见的数列被广泛应用。

这些数列包括等差数列、等比数列、等差数列的前n项和、等比数列的前n项和、斐波那契数列等等。

1. 等差数列：等差数列是指相邻的两项之差都是一常数的数列。

例如{1, 3, 5, 7, ...}是一个公差为2的等差数列。

自主梳理1．数列的定义按____________着的一列数叫数列，数列中的________都叫这个数列的项；在函数意义下，数列是______________________的函数，数列的一般形式为：________________________，简记为{a n }，其中a n 是数列的第____项．2．通项公式：如果数列{a n }的________与____之间的关系可以______________来表示，那么这个式子叫做数列的通项公式．但并非每个数列都有通项公式，也并非都是唯一的．3．数列常用表示法有：____________________、________、________.4．数列的分类：数列按项数来分，分为____________、____________；按项的增减规律分为____________、____________、____________和________．递增数列⇔a n ＋1____a n ；递减数列⇔a n ＋1____a n ；常数列⇔a n ＋1____a n .5．a n 与S n 的关系：已知S n ，则a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧，n ＝1， ，n ≥2，.自我检测1．在数列{a n }中，若a 1＝1，a 2＝12，2a n ＋1＝1a n ＋1a n ＋2(n ∈N *)，则该数列的通项a n ＝______.2．已知数列{a n }对任意的p ，q ∈N *满足a p ＋q ＝a p ＋a q ，且a 2＝－6，那么a 10＝________.3．已知数列－1，85，－157，249，…按此规律，则这个数列的通项公式是______________________________．学生姓名教师姓名 班主任 日期时间段 年级 课时 教学内容数列的概念与简单表示法 教学目标1.了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式).2.了解数列是自变量为正整数的一类特殊函数． 重点数学归纳方法、递推法 难点 同上4．下列对数列的理解：①数列可以看成一个定义在N *(或它的有限子集{1,2,3，…，n })上的函数； ②数列的项数是有限的；③数列若用图象表示，从图象上看都是一群孤立的点；④数列的通项公式是唯一的．其中说法正确的序号是________．5．设a n ＝－n 2＋10n ＋11，则数列{a n }从首项到第________项的和最大．探究点一 由数列前几项求数列通项例1 写出下列数列的一个通项公式，使它的前几项分别是下列各数：(1)23，415，635，863，1099，… (2)12，－2，92，－8，252，…变式迁移1 写出下列数列的一个通项公式：(1)3,5,9,17,33，… (2)2，5，22，11，…(3)1,0,1,0，…探究点二 由递推公式求数列的通项例2 根据下列条件，写出该数列的通项公式．(1)a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋n ；(2)a 1＝1,2n －1a n ＝a n －1 (n ≥2)．变式迁移2 根据下列条件，确定数列{a n }的通项公式．(1)a 1＝1，a n ＋1＝3a n ＋2；(2)a 1＝1，a n ＋1＝(n ＋1)a n ；(3)a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋ln ⎝⎛⎭⎫1＋1n .探究点三 由a n 与S n 的关系求a n例3 已知数列{a n }的前n 项和S n ＝2n 2－3n ＋1，求{a n }的通项公式．变式迁移3 (1)已知{a n }的前n 项和S n ＝3n ＋b ，求{a n }的通项公式．(2)已知在正项数列{a n }中，S n 表示前n 项和且2S n ＝a n ＋1，求a n .1．数列的递推公式是研究的项与项之间的关系，而通项公式则是研究的项a n 与项数n 的关系．2．求数列的通项公式是本节的重点，主要掌握三种方法：(1)由数列的前几项归纳出一个通项公式，关键是善于观察；(2)数列{a n }的前n 项和S n 与数列{a n }的通项公式a n 的关系，要注意验证能否统一到一个式子中；(3)由递推公式求通项公式，常用方法有累加、累乘．3．本节易错点是利用S n 求a n 时，忘记讨论n ＝1的情况．一、填空题1．设数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2，则a 8的值为________．2．已知数列{a n }满足：a 4n －3＝1，a 4n －1＝0，a 2n ＝a n ，n ∈N *，则a 2 009＝________，a 2 014＝________.3．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝2(a n －1)，则a 2＝________.4．数列{a n }中，若a n ＋1＝a n 2a n ＋1，a 1＝1，则a 6＝________.5．数列{a n }满足a n ＋a n ＋1＝12(n ∈N *)，a 2＝2，S n 是数列{a n }的前n 项和，则S 21＝________.6．数列{a n }满足a n ＋1＝⎩⎨⎧2a n (0≤a n <12)，2a n －1 (12≤a n <1)，若a 1＝67，则a 2 010的值为________．7．已知S n 是数列{a n }的前n 项和，且有S n ＝n 2＋1，则数列{a n }的通项a n ＝__________________.8．将全体正整数排成一个三角形数阵：12 34 5 67 8 9 1011 12 13 14 15… … … … … …根据以上排列规律，数阵中第n (n ≥3)行从左至右的第3个数是____________．二、解答题9．写出下列各数列的一个通项公式．(1)112，223，334，445，…(2)－1，32，－13，34，－15，36…10．由下列数列{a n }递推公式求数列{a n }的通项公式：(1)a 1＝1，a n －a n －1＝n (n ≥2)；(2)a 1＝1，a n a n －1＝n －1n (n ≥2)； (3)a 1＝1，a n ＝2a n －1＋1 (n ≥2)．11．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝2n 2＋2n ，数列{b n }的前n 项和T n ＝2－b n .(1)求数列{a n }与{b n }的通项公式；(2)设c n ＝a 2n ·b n ，证明：当且仅当n ≥3时，c n ＋1<c n .。

高三数学《数列的概念与简单表示法》知识
点总结
．数列的定义、分类与通项公式
数列的定义：
①数列：按照一定顺序排列的一列数．
②数列的项：数列中的每一个数．
数列的分类：
分类标准类型满足条
项数有穷数列项数有限
无穷数列项数无限
项与项间的大小关系递增数列an＋1>an其中
n∈N*
递减数列an＋1<an
常数列an＋1＝an数列的通项公式：
如果数列{an}的第n项与序号n之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式．．数列的递推公式
如果已知数列{an}的首项，且任一项an与它的前一项an－1间的关系可用一个公式来表示，那么这个公式叫数列的递推公式．
．对数列概念的理解
数列是按一定“顺序”排列的一列数，一个数列不仅与构成它的“数”有关，而且还与这些“数”的排列顺序有关，这有别于集合中元素的无序性．因此，若组成两个数列的数相同而排列次序不同，那么它们就是不同的两个数列．数列中的数可以重复出现，而集合中的元素不能重复出现，这也是数列与数集的区别．
．数列的函数特征
数列是一个定义域为正整数集N*的特殊函数，数列的通项公式也就是相应的函数解析式，即f＝an．。

高考数学复习数列的概念与简单表示法困难。

图像法能直观形象地表示出项随序号的变化而变化的趋势。

数列项数较多的时候用图像表示困难。

递推公式法可以揭示数列的一些性质，如前后几项之间的关系。

不容易了解数列的全貌，计算也不方便。

(2)数列的分类①按照项数可以分为有穷数列和无穷数列;②按每一项随序号的变化来分类，可以分为递增数列、递减数列、常数列、还有摆动数列。

2.数列的通项公式(1)数列与函数的关系①数列可以看成以正整数集N*(或它的有限子集{1,2，…，n})为定义域的函数an=f(n)。

②对于函数y=f(x)，如果f(i)(i=1,2,3，…)有意义，那么我们可以得到一个数列f(1),f(2),f(3),…,f(n),…. (2)数列的通项公式如果数列{an}的第n项与序号n之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式。

①数列的通项公式也就是相应的函数解析式，即an=f(n);②并非所有的数列都有通项公式;③如果一个数列可以写出通项公式，它的形式可能不唯一。

3.如何根据数列的前几项写出一个通项公式(1)先找出每一项中哪些是变化的，哪些是不变的，再探索各项中变化部分与序号间的关系。

(2)常用方法与技巧①观察、分析数列的前几项的特征，找到数列的一个构成规律;②为了突出显现数列的构成规律，可把序号1,2,3，…标在相应项上，这样便于突出第n项an与项数n的关系，即an 如何用n表示。

③由于给出的数列的前几项是一些特殊值，有时是进行了化简的，因此我们要观察出它的构成规律，就必须要对它们进行还原。

④当一个数列出现“+”“-”相间时，应先把符号分离出来，即用(-1)n或(-1)n-1表示。

⑤当一个数列间隔几项才具有相同规律(特别是奇数项与偶数项)时，不妨用分段函数来表示其通项公式。

⑥在根据数列的前几项求数列的通项公式时，要注意观察每一项的特点，可使用添项、还原、分割等办法，转化为一些常见数列来求解。

考点28 数列的概念与简单表示法1、数列{a n }满足a n ＋a n ＋1＝12(n ∈N *)，a 2＝2，S n 是数列{a n }的前n 项和，则S 21为( )A ．5B ．72C ．92D ．132【答案】B【解析】∵a n ＋a n ＋1＝12，a 2＝2，∴a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧－32，n 为奇数，2，n 为偶数.∴S 21＝11×⎝⎛⎭⎫－32＋10×2＝72. 2、给定数列1,2+3+4,5+6+7+8+9,10+11+12+13+14+15+16,…,则这个数列的一个通项公式是( ) A.a n =2n 2+3n-1 B.a n =n 2+5n-5 C.a n =2n 3-3n 2+3n-1 D.a n =2n 3-n 2+n-2【答案】C【解析】当n=1时,a 1=1,代入四个选项,排除A 、D;当n=2时,a 2=9,代入B 、C 选项,B 、C 都正确;当n=3时,a 3=35,代入B 、C 选项,B 错误,C 正确,所以选C .3、在数列{a n }中，a 1＝1，a n a n －1＝a n －1＋(－1)n (n ≥2，n ∈N *)，则a 3a 5的值是( )A.1516 B ．158C ．34D ．38【答案】C【解析】由已知得a 2＝1＋(－1)2＝2，∴2a 3＝2＋(－1)3，a 3＝12，∴12a 4＝12＋(－1)4，a 4＝3，∴3a 5＝3＋(－1)5，∴a 5＝23，∴a 3a 5＝12×32＝34.4、意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时,发现有这样一列数:1,1,2,3,5,8, 13,….该数列的特点是:前两个数都是1,从第三个数起,每一个数都等于它前面两个数的和,人们把这样的一列数所组成的数列{a n }称为“斐波那契数列”,则(a 1a 3-)(a 2a 4-)(a 3a 5-)…(a 2 015a 2 017-)=( ) A.1 B.-1 C.2 017 D.-2 017【答案】B【解析】∵a 1a 3-=1×2-12=1,a 2a 4-=1×3-22=-1,a 3a 5-=2×5-32=1,…,a 2 015a 2 017-=1.∴(a 1a 3-)(a 2a 4-)(a 3a 5-)·…·(a 2 015a 2 017-)=11 008×(-1)1 007=-1. 5、已知数列{a n }的前n 项和S n ＝2a n －1，则满足a nn ≤2的正整数n 的集合为( )A ．{1,2,3}B ．{2,3,4}C ．{1,2,3,4}D ．{1,2,3,4,5}【答案】C【解析】因为S n ＝2a n －1，所以当n ≥2时，S n －1＝2a n －1－1，两式相减得a n ＝2a n －2a n －1，整理得a n ＝2a n －1.又a 1＝2a 1－1，所以a 1＝1，故a n ＝2n －1.又a n n ≤2，即2n －1≤2n ，所以有n ∈{1,2,3,4}．6、已知数列{a n }满足a 1＝2，a n ＋1＝1＋a n1－a n (n ∈N *)，则a 2 018的值为( )A ．－8B ．－3C ．－4D ．13【答案】B【解析】由a 1＝2，a n ＋1＝1＋a n 1－a n (n ∈N *)得，a 2＝－3，a 3＝－12，a 4＝13，a 5＝2，可见数列{a n }的周期为4，所以a 2 018＝a 504×4＋2＝a 2＝－3.7、已知数列{a n }的前n 项和为S n ,若3S n =2a n -3n ,则a 2 018= ( )A.22 018-1B.32 018-6C. 2 018-D. 2 018-【答案】A【解析】由题意可得3S n =2a n -3n ,3S n+1=2a n+1-3 (n+1), 两式作差可得3a n+1=2a n+1-2a n -3, 即a n+1=-2a n -3,则a n+1+1=-2(a n +1), 结合3S 1=2a 1-3=3a 1可得a 1=-3,a 1+1=-2, 则数列{a n +1}是首项为-2,公比为-2的等比数列, 据此有a 2 018+1=(-2)×(-2)2 017=22 018,∴a 2 018=22 018-1.故选A .8、已知数列{a n }与{b n }的通项公式分别为a n ＝－n 2＋4n ＋5，b n ＝n 2＋(2－a )n －2a .若对任意正整数n ，a n ＜0或b n ＜0，则a 的取值范围为( )A ．(5，＋∞)B ．(－∞，5)C ．(6，＋∞)D ．(－∞，6)【答案】A【解析】由a n ＝－n 2＋4n ＋5＝－(n ＋1)(n －5)可知，当n ＞5时，a n ＜0.由b n ＝n 2＋(2－a )n －2a ＝(n ＋2)(n －a )＜0及已知易知－2＜n ＜a ，为使当0＜n ≤5时，b n ＜0，只需a ＞5.故选A. 9、在数列{a n }中，已知a 1＝1，a n ＋1＝2a n ＋1，则其通项公式a n ＝( ) A ．2n －1 B ．2n －1＋1C ．2n －1D ．2(n －1)【答案】A【解析】由a n ＋1＝2a n ＋1，可求a 2＝3，a 3＝7，a 4＝15，…，验证可知a n ＝2n －1.10、若数列{a n }满足(n －1)a n ＝(n ＋1)a n －1(n ≥2)且a 1＝2，则满足不等式a n ＜462的最大正整数n 为( ) A ．19 B ．20 C ．21 D ．22【答案】B【解析】由(n －1)a n ＝(n ＋1)a n －1得，a n a n －1＝n ＋1n －1，则a n ＝a 1×⎝⎛⎭⎫a 2a 1×⎝⎛⎭⎫a 3a 2×…×⎝⎛⎭⎫a n a n －1＝2×31×42×…×n ＋1n －1＝n (n ＋1)．又a n ＜462，即n (n ＋1)＜462，所以n 2＋n －462＜0，即(n －21)(n ＋22)＜0，因为n ＞0，所以n ＜21.故所求的最大正整数n ＝20.11、数列{a n }满足a 1=,a n+1-1=a n (a n -1)(n ∈N +),且S n =+…+,则S n 的整数部分的所有可能值构成的集合是( ) A.{0,1,2} B.{0,1,2,3} C.{1,2} D.{0,2}【答案】A【解析】对a n+1-1=a n (a n -1)两边取倒数,得-=, S n =++…+=-+-+…+-=3-,由a n+1-a n =≥0,a n+1≥a n ,a n 为递增数列,a 1=,a 2=,a 3=,其中S 1=,整数部分为0,S 2=3-=,整数部分为0,S 3=,整数部分为1,由于S n <3,故选A .12、在一个数列中,如果每一项与它的后一项的和为同一个常数,那么这个数列叫做等和数列,这个常数叫做该数列的公和,已知数列{a n }是等和数列,且a 1=2,公和为5,那么a 18= . 【答案】3【解析】由题意得a n +a n+1=5⇒a n+2+a n+1=5⇒a n =a n+2,所以a 18=a 2=5-a 1=3.13、已知数列{a n }的通项公式a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2·3n －1n 为偶数，2n －n 为奇数，则a 3a 4＝________.【答案】 54【解析】由题意知，a 3＝2×3－5＝1，a 4＝2×34－1＝54，∴a 3a 4＝54.14、数列{a n }的前n 项和为S n .若S 2=4,a n+1=2S n +1,n ∈N +,则S 5= . 【答案】121【解析】由于解得a 1=1.由a n+1=S n+1-S n =2S n +1,得S n+1=3S n +1, 所以S n+1+=3S n +,所以是以为首项,3为公比的等比数列,所以S n +=×3n-1,即S n =,所以S 5=121.15、已知数列{a n }的前n 项和S n ＝13a n ＋23，则{a n }的通项公式a n ＝________.【答案】⎝⎛⎭⎫－12n －1 【解析】当n ＝1时，a 1＝S 1＝13a 1＋23，∴a 1＝1; 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝13a n －13a n －1，∴a n a n －1＝－12.∴数列{a n }是首项a 1＝1，公比q ＝－12的等比数列，故a n ＝⎝⎛⎭⎫－12n －1. 16、在数列{a n }中,a 1=0,a n+1=,则S 2 019= . 【答案】0【解析】∵a 1=0,a n+1=,∴a 2==,a 3===-, a 4==0,即数列{a n }的取值具有周期性,周期为3,且a 1+a 2+a 3=0,则S 2 019=S 3×673=0. 17、已知数列{a n }的前n 项和为S n ,S n =2a n -n ,则a n = .【答案】2n-1【解析】当n ≥2时,a n =S n -S n-1=2a n -n-2a n-1+(n-1), 即a n =2a n-1+1,∴a n +1=2(a n-1+1).又a 1=S 1=2a 1-1,∴a 1=1.∴数列{a n +1}是以首项为a 1+1=2,公比为2的等比数列,∴a n +1=2·2n-1=2n , ∴a n =2n -1.18、已知数列{a n }，{b n }，S n 为数列{a n }的前n 项和，且满足a 2＝4b 1，S n ＝2a n －2，nb n ＋1－(n ＋1)b n ＝n 3＋n 2(n ∈N *)．(1)求数列{a n }的通项公式； (2)求数列{b n }的通项公式．【答案】(1) 2n (2) n 3－n 2＋2n 2，n ∈N *【解析】(1)当n ＝1时，S 1＝2a 1－2，则a 1＝2.当n ≥2时，由⎩⎪⎨⎪⎧S n ＝2a n －2，S n －1＝2a n －1－2得a n ＝2a n －2a n －1，则a n ＝2a n －1，n ≥2.综上，数列{a n }是以2为首项，2为公比的等比数列，故a n ＝2n ，n ∈N *. (2)∵a 2＝4b 1＝4，∴b 1＝1.∵nb n ＋1－(n ＋1)b n ＝n 3＋n 2，∴b n ＋1n ＋1－b nn ＝n ，故b n n －b n －1n －1＝n －1，…，b 33－b 22＝2，b 22－b 11＝1，n ≥2， 将上面各式累加得b n n －b 11＝1＋2＋3＋…＋(n －1)＝n n －2，∴b n ＝n 3－n 2＋2n2，n ∈N *.19、设数列{a n }的前n 项和为S n .已知a 1＝a (a ∈R 且a ≠3)，a n ＋1＝S n ＋3n ，n ∈N *. (1)设b n ＝S n －3n ，求数列{b n }的通项公式； (2)若a n ＋1≥a n ，n ∈N *，求a 的取值范围． 【答案】(1) (a －3)2n －1 (2) [－9,3)∪(3，＋∞)【解析】(1)由题意知，S n ＋1－S n ＝a n ＋1＝S n ＋3n ，即S n ＋1＝2S n ＋3n ，由此得S n ＋1－3n ＋1＝2S n ＋3n －3n ＋1＝2(S n －3n )，又S 1－31＝a －3(a ≠3)，故数列{S n －3n }是首项为a －3，公比为2的等比数列，因此，所求通项公式为b n ＝S n －3n ＝(a －3)2n －1，n ∈N *.(2)由(1)知S n ＝3n ＋(a －3)2n －1，n ∈N *，于是，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝3n ＋(a －3)2n －1－3n －1－(a －3)2n －2＝2×3n －1＋(a －3)2n －2，所以a n ＋1－a n ＝4×3n －1＋(a －3)2n －2＝2n －2⎣⎡⎦⎤12·⎝⎛⎭⎫32n －2＋a －3， 当n ≥2时，a n ＋1≥a n ⇔12·⎝⎛⎭⎫32n －2＋a －3≥0⇔a ≥－9. 又a 2＝a 1＋3＞a 1.综上，所求的a 的取值范围是[－9,3)∪(3，＋∞)．20、已知{a n }是公差为d 的等差数列，它的前n 项和为S n ，S 4＝2S 2＋4，数列{b n }中，b n ＝1＋a na n .(1)求公差d 的值；(2)若a 1＝－52，求数列{b n }中的最大项和最小项的值；(3)若对任意的n ∈N *，都有b n ≤b 8成立，求a 1的取值范围． 【答案】(1) 1 (2) 3 －1 (3) (－7，－6)【解析】(1)∵S 4＝2S 2＋4，∴4a 1＋3×42d ＝2(2a 1＋d )＋4，解得d ＝1.(2)∵a 1＝－52，∴数列{a n }的通项公式为a n ＝－52＋(n －1)＝n －72，∴b n ＝1＋1a n ＝1＋1n －72.∵函数f (x )＝1＋1x －72在⎝⎛⎭⎫－∞，72和⎝⎛⎭⎫72，＋∞上分别是单调减函数， ∴b 3＜b 2＜b 1＜1，当n ≥4时，1＜b n ≤b 4，∴数列{b n }中的最大项是b 4＝3，最小项是b 3＝－1. (3)由b n ＝1＋1a n ，得b n ＝1＋1n ＋a 1－1.又函数f (x )＝1＋1x ＋a 1－1在(－∞，1－a 1)和(1－a 1，＋∞)上分别是单调减函数，且x ＜1－a 1时，y ＜1；当x ＞1－a 1时，y ＞1.∵对任意的n ∈N *，都有b n ≤b 8， ∴7＜1－a 1＜8，∴－7＜a 1＜－6， ∴a 1的取值范围是(－7，－6)．。

辽宁省沈阳市高考数学一轮复习：27 数列的概念与简单表示法姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分） (2016高二下·广州期中) 在数列{an}中，an=1﹣ + ﹣+…+ ﹣，则ak+1=（）A . ak+B . ak+ ﹣C . ak+D . ak+ ﹣2. （2分） (2016高二上·会宁期中) 数列，，，，…的第10项是（）A .B .C .D .3. （2分）在等差数列{an}中，a1=3，2a2=a4 ，则a7等于（）A . 12B . 15C . 18D . 214. （2分） (2016高二上·阳东期中) 设函数f（x）= ，数列{an}满足an=f（n），n∈N+ ，且数列{an}是递增数列，则实数a的取值范围是（）A . （1，3）B . （2，3）C . ，3）D . （1，2）5. （2分） (2017高二下·蕲春期中) 定义“规范03数列”{an}如下：{an}共有2m项，其中m项为0，m项为3，且对任意k≤2m，a1 ， a2 ，…，ak中0的个数不少于3的个数，若m=4，则不同的“规范03数列”共有（）A . 18个B . 16个C . 14个D . 12个6. （2分） (2018高三上·定远期中) 已知{an}是公差为1的等差数列；Sn为{an}的前n项和，若S8=4S4 ，则a10=（）A .B .C . 10D . 127. （2分）设函数，，若数列是单调递减数列，则实数k的取值范围为（）A .B .C .D .8. （2分）在数列1，2，，…中，2 是这个数列的（）A . 第16项B . 第24项C . 第26项D . 第28项9. （2分） (2017高三上·綦江期末) 等差数列{an}中，a1=2，a5=a4+2，则a3=（）A . 4B . 10C . 8D . 610. （2分）已知{an}是等差数列，a1=-9,S3=S7,那么使其前n项和Sn最小的n是（）A . 4B . 5C . 6D . 711. （2分）已知数列{an}的通项公式an=n2﹣2n﹣8（n∈N*），则a4等于（）A . 1B . 2C . 0D . 312. （2分）(2020·茂名模拟) 记为等比数列的前项和，若，，则（）A . 64B . 729C . 64或729D . 64或243二、填空题 (共9题；共9分)13. （1分）已知{}是等差数列，公差d不为0，若,，成等比数列，且2+=1，则= ________ 。