张家口市一中高二数学一轮复习学案作业2-2

河北省张家口市第一中学2017-2018学年 高二下学期期末复习综合测试（二）注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

第I 卷（选择题）一、选择题1．已知全集U ＝Z ，集合A ＝{x |x 2＝x }，B ＝{－1,0,1,2}，则图中的阴影部分所表示的集合等于 ( )A. {－1,2}B. {－1,0}C. {0,1}D. {1,2} 2．下列命题中，真命题是（ ）A. ∃x 0∈R ， 00x e≤ B. ∀x ∈R,2x >x 2C. a ＋b ＝0的充要条件是1ab=- D. a>1，b>1是ab>1的充分条件 3．已知＝1－y i ，其中x ，y 是实数，i 是虚数单位，则x ＋y i 的共轭复数为（ ）A. 1＋2iB. 1－2iC. 2＋iD. 2－i4．已知命题p ：|x －1|≥2，命题q ：x ∈Z ，若“p 且q”与“非q”同时为假命题，则满足条件的x 为（ ）A. {x|x≥3或x≤－1，x ∈Z}B. {x|－1≤x≤3， x ∈Z}C. {0,1,2}D. {－1,0,1,2,3} 5．已知f （x 5）＝lgx ，则f （2）等于（ ）A ．lg2B ．lg32C ．lg132D ．1lg 256．定义运算,@{,a a ba b b a b≤=>则函数f （x ）＝1@2x 的图像是（ ）A. B. C. D.7．若f （x ）＝ax 2＋bx ＋c （a≠0）是偶函数，则g （x ）＝ax 3＋bx 2＋cx 是（ ）A ．奇函数B ．偶函数C ．非奇非偶函数D ．既奇又偶函数9．设()1,0{2,0xx x f x x -≥=<，则()()2f f -=（ ）A. 1-B.14 C. 12 D. 3210．已知函数f （x ）＝e x －1，g （x ）＝－x 2＋4x －4．若有f （a ）＝g （b ），则b 的取值范围为（ ）A. [2－2，2＋2]B.（2－2，2＋2）C. [1,3]D. （1,3）11．设f （x ）＝3x －x 2，则在下列区间中，使函数f （x ）有零点的区间是（ ）A ．[0,1]B ．[1,2]C ．[－2，－1]D ．[－1,0]12．已知定义在R 上的偶函数，在时，，若，则a的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．()f x 0x >()ln xf x e x =+()()1f a f a <-(),1-∞1(,)2-∞1(,1)2()1,+∞第II 卷（非选择题）二、填空题13．在极坐标系中，点（2，6π）到直线ρsinθ＝2的距离等于________． 14．函数f （x ）＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d 的部分数值如下表： x －3 －2 －1 0 1 2 3 4 5 f （x ）－80－2441660144则函数y ＝lgf （x ）的定义域为__________． 15．设a ，b 是两个实数，给出下列条件：①a ＋b>1；②a ＋b ＝2；③a ＋b>2；④a 2＋b 2>2；⑤ab>1．其中能推出：“a ，b 中至少有一个大于1”的条件是______．（填序号） 16．函数x y xe =在其极值点处的切线方程为 ．三、解答题17．（本题满分10分）已知集合M ＝{x|x<－3，或x>5}，P ＝{x|（x －a ）·（x －8）≤0}．（1）求实数a 的取值范围，使它成为M∩P ＝{x|5<x≤8}的充要条件；（2）求实数a 的一个值，使它成为M∩P ＝{x|5<x≤8}的一个充分但不必要条件．18．某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到如下数据： 单价x （元）8 8.2 8.4 8.6 8.8 9 销量y （件）908483807568（1）求回归直线方程＝bx ＋a ，其中b ＝－20，a ＝－b（2）预计在今后的销售中，销量与单价仍然服从（1）中的关系，且该产品的成本是4元/件，为使工厂获得最大利润，该产品的单价应定为多少元？（利润＝销售收入—成本）19．已知函数()2af x x x=+（x≠0，常数a ∈R ）． （1）判断f （x ）的奇偶性，并说明理由；（2）若f （1）＝2，试判断f （x ）在[2，＋∞）上的单调性20．已知 函数()()32032a b F x x x x a =++>， ()()f x F x ='，若()10f -=且对任意实数x 均有()0f x ≥成立．（1）求()f x 表达式；（2）当[]2,2x ∈-时， ()()g x f x kx =-是单调函数，求实数k 的取值范围．21．如图， AB 切圆于点B ，直线AO 交圆于,D E 两点， BC DE ⊥,垂足为C .（1）证明： CBD DBA ∠=∠（2）若3AD DC =, 2BC =，求圆的直径.22．选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系 中，直线 的参数方程为（ 为参数），以原点为极点， 轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆 的极坐标方程为 .（1）写出圆 的直角坐标方程；（2） 为直线 上一动点，当 到圆心 的距离最小时，求 的直角坐标.23．若 ,且（1）求的最小值；（2）是否存在，使得？并说明理由.24．如图，四边形ABCD是圆O的内接四边形，AB的延长线与DC的延长线交于点E，且CB CE=.∠=∠；（1）证明：D E=，证明：ADE为等边（2）设AD不是圆O的直径，AD的中点为M，且MB MC三角形.25．在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），它与曲线C：（y－2）2－x2＝1交于A、B两点．（1）求|AB|的长；（2）在以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设点P的极坐标为，求点P到线段AB中点M的距离．26．已知关于的不等式的解集为（1）求实数的值；（2）求的最大值. 联系电话：4000-916-716参考答案1．A【解析】试题分析：依题意知A ＝{0,1}，（∁U A ）∩B 表示全集U 中不在集合A 中，但在集合B 中的所有元素，故图中的阴影部分所表示的集合等于{－1,2}，选A ．考点：集合韦恩图 2．D【解析】 由题意，当1,1a b >>，则1ab >；例如1,42a b ==时，则1ab >，但1,1a b >>不成立， 所以1,1a b >>是1ab >成立的充分条件，故选D. 3．D【解析】试题分析：依题意得x ＝（1＋i ）（1－yi ）＝（1＋y ）＋（1－y ）i ；又x ，y ∈R ，于是有解得x ＝2，y ＝1．x ＋yi ＝2＋i ，因此x ＋yi 的共轭复数是2－i ．考点：复数概念 4．C【解析】试题分析：由命题12p x -≥：，得到命题1212p x x -≥-≤-：或，即命题31p x x q ≥≤-⌝：或；为假命题，∴q x Z ∈：命题为真翕题．再由“p q 且”为假命题，知命题40p x x ≥≤：或是假命题． 故13x x Z -∈＜＜，．∴满足条件的x 的值为：0，1，2． 故选C ．考点：复合命题的真假 5．D 【解析】试题分析： 令x 5＝t ，则x ＝15t （t>0），∴f （t ）＝lg 15t ＝1lg 5t ．∴f （2）＝1lg 25，故选D ．考点：函数值 联系电话：4000-916-7166．A【解析】 由已知新运算a b ⊗的意义就是取得,a b 中的最小值，因此函数()1,012{ 2,0xx x f x x >=⊗=≤，因此选项A 中的图象符合要求，故选A.7．A 【解析】试题分析：由f （x ）是偶函数知b ＝0，∴g （x ）＝ax 3＋cx 是奇函数．选A ． 考点：函数性质9．C【解析】 因为()1,0{ 2,0xx x f x x -≥=<，所以()()11121442f f f ⎛⎫-==-= ⎪⎝⎭，故选C. 10．D【解析】试题分析：由题可知f （x ）＝e x －1>－1，g （x ）＝－x 2＋4x －3＝－（x －2）2＋1≤1，若有f （a ）＝g （b ），则g （b ）∈（－1,1]．即－b 2＋4b －3>－1，解得2－2<b<2＋2．考点：函数性质 11．D 【解析】试题分析：函数f （x ）在区间[a ，b]上有零点，需要f （x ）在此区间上的图像连续且两端点函数值异号，即f （a ）f （b ）≤0，把选择项中的各端点值代入验证可得答案D ．考点：零点存在定理 12．B 联系电话：4000-916-716【解析】试题分析：当时，，'1()0xf x e x=+>，∴函数()f x 在(0,)+∞上为增函数，∵函数()f x 是定义在R 上的偶函数，∴(||)(|1|)f a f a ⇔<-，∴|||1|a a <-，∴22(1)a a <-，即12a <． 考点：函数的单调性、奇偶性、解不等式． 13．1．【解析】试题分析：在极坐标系中，点（2，6π）对应直角坐标系中坐标（3，1），直线ρsinθ＝2对应直角坐标系中的方程为y ＝2，所以点到直线的距离为1．考点：极坐标化直角坐标 14．【解析】试题分析：由表格可知函数的图象的变化趋势如图所示，则的解为．考点：函数的图象，函数的定义域． 15．③ 【解析】试题分析：若a ＝12，b ＝23，则a ＋b>1，但a<1，b<1，故①推不出； 0x >()ln xf x e x =+()()1f a f a <- 联系电话：4000-916-716若a ＝b ＝1，则a ＋b ＝2，故②推不出； 若a ＝－2，b ＝－3，则a 2＋b 2>2，故④推不出； 若a ＝－2，b ＝－3，则ab>1，故⑤推不出； 对于③，即a ＋b>2，则a ，b 中至少有一个大于1， 反证法：假设a≤1且b≤1， 则a ＋b≤2与a ＋b ＞2矛盾，因此假设不成立，故a ，b 中至少有一个大于1．[来源:Z§ 考点：不等式性质 16．y=1e-【解析】试题分析：依题意得y′=e x +xe x ，令y′=0，可得x=-1，∴y=1e-． 因此函数y=xe x 在其极值点处的切线方程为y=1e-． 考点：导数与切线．【名师点睛】本题考查利用导数求切线方程，解题关键是掌握函数极值的定义，求得极值点与极值．方法是求得导函数'()f x ，解方程'()0f x =，得极值点，若极值是0y ，则所求切线方程为0y y =．本题是填空题，因此只要求得'()0f x =的解后，可以直接写出切线方程．如果是解答题还要判断方程'()0f x =的解0x 是不是极值点，否则易出错． 17．（1）－3≤a≤5； （2）a ＝0 【解析】试题分析：（1）由数轴可知实数a 的取值范围，注意数形结合在集合运算中应用 （2）一个充分但不必要条件，从集合角度理解就是取充要条件的一个真子集，本题答案有无数个，例如a ＝0是M∩P ＝{x|5<x≤8}的一个充分不必要条件．试题解析：（1）由M∩P ＝{x|5<x≤8}，得－3≤a≤5，因此M∩P ＝{x|5<x≤8}的充要条件是－3≤a≤5；（2）求实数a 的一个值，使它成为M∩P ＝{x|5<x≤8}的一个充分但不必要条件，就是在集合{a|－3≤a≤5}中取一个值，如取a ＝0，此时必有M∩P ＝{x|5<x≤8}；反之，M∩P ＝{x|5<x≤8}未必有a ＝0，故a ＝0是M∩P ＝{x|5<x≤8}的一个充分不必要条件． 联系电话：4000-916-716考点：集合运算，充要关系18．（1）20250ˆyx =-+（2）334【解析】试题分析：（I ）计算平均数，利用b=-20， ˆa ybx =-，即可求得回归直线方程；（II ）设工厂获得的利润为L 元，利用利润=销售收入-成本，建立函数，利用配方法可求工厂获得的利润最大试题解析：（1）x ＝16（8＋8.2＋8.4＋8.6＋8.8＋9）＝8.5， y ＝16（90＋84＋83＋80＋75＋68）＝80，a ＝y ＋20x ＝80＋20×8.5＝250⇒20250ˆyx =-+ （2）工厂获得利润z ＝（x －4）y ＝－20x 2＋330x －1000 当x ＝334时，z max ＝361.25（元） 考点：回归分析的初步应用；线性回归方程 19．（1）见解析；（2）见解析【解析】试题分析：（1）利用函数奇偶性的定义进行判断，要对a 进行分类讨论； （2）由()12f =，确定a 的值，然后用单调性的定义进行判断和证明即可. 试题解析：（1）当a ＝0时，f （x ）＝x 2， f （－x ）＝f （x ），函数是偶函数．当a≠0时，f （x ）＝x 2＋（x≠0，常数a ∈R ），取x ＝±1，得f （－1）＋f （1）＝2≠0；f （－1）－f （1）＝－2a≠0，即f （－1）≠－f （1），f （－1）≠f （1）． 故函数f （x ）既不是奇函数也不是偶函数．（2）若f （1）＝2，即1＋a ＝2，解得a ＝1，这时f （x ）＝x 2＋．任取x 1，x 2∈[2，＋∞），且x 1<x 2，则f （x 1）－f （x 2）＝ 联系电话：4000-916-716＝（x 1＋x 2）（x 1－x 2）＋（注：若用导数论证，同样给分）＝（x 1－x 2）．由于x 1≥2，x 2≥2，且x 1<x 2．故x 1－x 2<0，，所以f （x 1）<f （x 2），故f （x ）在[2，＋∞）上是单调递增函数． 20．（1）()221f x x x =++；（2）(][),26,-∞-⋃+∞【解析】试题分析：（1）根据()10f -=可以得到a 与b 的关系，将()f x 中b 代换成a 表示，再根据对任意实数x 均有()0f x ≥成立，列出关于a 的不等式，求解得到a 的值，进而得到b 的值，即可求得()f x 的表达式；（2）()()g x f x kx =-为二次函数，利用二次函数的单调性与开口方向和对称轴的关系，列出关于k 的不等关系，求解即可得到实数k 的取值范围.试题解析： (1）∵,∴．∵，∴，∴， ∴．∵恒成立，∴∴∴，从而，∴．(2） ．∵在上是单调函数，∴或，解得，或．∴的取值范围为．点睛：本题考查了求导公式求函数的导函数，考查了函数的恒成立问题，一般选用参变量分离法、最值法，数形结合法解决，同时考查了二次函数的单调性问题，二次函数的单调性与开口方向和对称轴有关，试题有一定的综合性，属于中档试题.21．（1）见解析；（2）3∠=∠；【解析】试题分析：（1）根据直径的性质，即可证明CBD DBA（2）结合圆的切割线定理进行求解，即可求出O的直径.试题解析：（1）因为是的直径，则又，所以又切于点，得所以（2）由（1）知平分，则，又，从而，所以所以，由切割线定理得即，故，即的直径为3.联系电话：4000-916-71622．（Ⅰ）；（Ⅱ）．【解析】试题分析：（1）由圆的极坐标方程为．化为，把，代入即可得出；（2）设，又．利用两点之间的距离公式可得，再利用二次函数的性质即可得出．试题解析：（1）由，得，从而有，所以.（2）设，又，则，故当时，取得最小值，此时点的坐标为考点：（1）点的极坐标和直角坐标的互化；（2）直线与圆的位置关系. 23．（1）；（2）见解析【解析】试题分析：（Ⅰ）由已知，利用基本不等式的和积转化可求，利用基本不等式可将转化为，由不等式的传递性，可求的最小值；（Ⅱ）由基本不等式可求的最小值为，而，故不存在．试题解析：（I）由，得，且当时取等号．故，且当时取等号．所以的最小值为．（II）由（I）知，．由于，从而不存在，使得．【考点定位】基本不等式．试题解析：联系电话：4000-916-716（1）由题设知A，B，C，D四点共圆，所以，由已知得，故.（2）设BC的中点为N，连结MN，则由知，故O在直线MN上.又AD不是圆O的直径，M为AD的中点，故，即.所以，故，又，故.由（1）知，，所以为等边三角形.25．（1）；（2）【解析】试题分析：（1）直线的参数方程是标准参数方程，因此可把直线参数方程代入曲线的方程，由利用韦达定理可得；（2）把点极坐标化为直角坐标，知为直线参数方程的定点，因此利用参数的几何意义可得．试题解析：（1）把直线的参数方程对应的坐标代入曲线方程并化简得7t2+60t﹣125=0设A，B对应的参数分别为t1，t2，则．∴．（2）由P的极坐标为，可得，．联系电话：4000-916-716∴点P在平面直角坐标系下的坐标为（﹣2，2），根据中点坐标的性质可得AB中点M对应的参数为．∴由t的几何意义可得点P到M的距离为．点睛：过点，倾斜角为的直线的标准参数方程为参数），其中直线上任一点参数的参数具有几何意义：，且方向向上时，为正，方向向下时，为负．26．（1）；（2）4【解析】试题分析：（Ⅰ）先由可得，再利用关于的不等式的解集为可得，的值；（Ⅱ）先将变形为，再利用柯西不等式可得的最大值．试题解析：（Ⅰ）由，得则解得,（Ⅱ）当且仅当，即时等号成立，故．考点：1、绝对值不等式；2、柯西不等式．联系电话：4000-916-716。

2.2双曲线2．2.1双曲线及其标准方程取一条拉链，拉开它的一部分，在拉开的两边上各选择一点，分别固定在点F1、F2处，把笔尖放于点M，拉开闭拢拉链，笔尖经过的点可画出一条曲线，思考曲线满足什么条件？【提示】如图，曲线上的点满足条件：|MF1|－|MF2|＝常数；如果改变一下位置，使|MF2|－|MF1|＝常数，可得到另一条曲线．把平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线，这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．【问题导思】双曲线定义中强调平面内动点到两定点的距离差的绝对值为常数，若没有绝对值，则动点的轨迹是什么？【提示】双曲线的一支.1．能否用推导椭圆标准方程的方法推出双曲线的方程？怎样推导？【提示】能．(1)建系：以直线F1F2为x轴，F1F2的中点为原点建立平面直角坐标系．(2)设点：设M(x，y)是双曲线上任一点，且双曲线的焦点坐标为F1(－c,0)，F2(c,0)．(3)列式：由|MF1|－|MF2|＝±2a，可得(x＋c)2＋y2－(x－c)2＋y2＝±2a.(4)化简：移项，平方后可得(c2－a2)x2－a2y2＝a2(c2－a2)．令c2－a2＝b2，得双曲线的标准方程为x2 a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)．2．双曲线的标准形式有两种，如何区别焦点所在的坐标轴？【提示】双曲线标准方程中x2与y2的系数的符号决定了焦点所在的坐标轴：当x2系数为正时，焦点在x轴上；当y2的系数为正时，焦点在y轴上，而与分母的大小无关．双曲线的标准方程(2013·泰安高二检测)方程x 24－k ＋y 2k －1＝1表示的曲线为C ，给出下列四个命题：①曲线C 不可能是圆；②若1＜k ＜4，则曲线C 为椭圆；③若曲线C 为双曲线，则k ＜1或k ＞4；④若曲线C 表示焦点在x 轴上的椭圆，则1＜k ＜52.其中正确命题的序号是________．【思路探究】 方程x 24－k ＋y 2k －1＝1表示什么曲线？此时k 的取值范围是多少？【自主解答】 当4－k ＝k －1＞0时，即k ＝52时，曲线C 是圆，∴命题①是假命题．对于②，当1＜k ＜4且k ≠52时，曲线C 是椭圆，则②是假命题．根据双曲线和椭圆定义及其标准方程，③④是真命题． 【答案】 ③④1．双曲线焦点在x 轴上⇔标准方程中x 2项的系数为正；双曲线焦点在y 轴上⇔标准方程中y 2项的系数为正．2．在曲线方程x 2m ＋y 2n ＝1中，若m ＝n ＞0，则曲线表示一个圆；若m ＞0，n ＞0，且m ≠n ，则曲线表示一个椭圆；若mn ＜0，则曲线表示双曲线．若k ∈R ，则“k ＞3”是“方程x 2k －3－y 2k ＋3＝1表示双曲线”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【解析】 方程x 2k －3－y 2k ＋3＝1表示双曲线的充要条件是(k －3)(k ＋3)＞0，即k ＜－3或k ＞3；当k ＞3时，一定有(k －3)(k ＋3)＞0，但反之不成立．∴k ＞3是方程表示双曲线的充分不必要条件．【答案】 A已知双曲线上两点P 1、P 2的坐标分别为(3，－42)、(94，5)，求双曲线的标准方程．【思路探究】 (1)当双曲线的焦点位置不确定时，应怎样求双曲线的方程？ (2)已知双曲线上两点的坐标，可将双曲线的方程设为怎样的形式，以便于计算？ 【自主解答】 法一 若双曲线的焦点在x 轴上，设其方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)．根据题意得⎩⎨⎧ 9a 2－32b 2＝1，8116a 2－25b 2＝1，该方程组无解；若双曲线的焦点在y 轴上，设其方程为y 2a 2－x 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)．根据题意得⎩⎨⎧32a 2－9b 2＝1，25a 2－8116b 2＝1，解得a 2＝16，b 2＝9.故所求双曲线的标准方程为y 216－x 29＝1.法二 设所求双曲线的方程为mx 2＋ny 2＝1(mn ＜0)．根据题意得⎩⎪⎨⎪⎧9m ＋32n ＝1，8116m ＋25n ＝1，解得m ＝－19，n ＝116.故所求双曲线的标准方程为y 216－x 29＝1.1．求双曲线标准方程一般有两种方法：一是定义法，二是待定系数法． 2．用待定系数法求双曲线标准方程的步骤：(1)定位：确定双曲线的焦点位置，如果题目没有建立坐标系，一般把焦点放在x 轴上； (2)设方程：根据焦点的位置设相应的双曲线标准方程(当焦点在两个坐标轴上都有可能时，一般设为Ax 2＋By 2＝1(AB ＜0))；(3)定值：根据题目的条件确定相关的系数的方程，解出系数，代入所设方程．求适合下列条件的双曲线的标准方程． (1)a ＝5，c ＝3，焦点在y 轴上；(2)双曲线过P 1(－2，325)和P 2(437，4)两点．【解】 (1)由a ＝5，c ＝3得b 2＝c 2－a 2＝4.∴所求双曲线的标准方程为y 25－x 24＝1.(2)因为双曲线的焦点位置不确定，所以设双曲线方程为mx 2＋ny 2＝1(mn ＜0)，因为P 1、P 2在双曲线上，所以有⎩⎨⎧4m ＋45n4＝1，169×7m ＋16n ＝1，解得⎩⎨⎧m ＝－116，n ＝19.所以所求双曲线的方程为－x 216＋y 29＝1，即y 29－x 216＝1.如图2－2－1所示，已知双曲线x 24－y 29＝1，F 1，F 2是其两个焦点，点M 在双曲线上．图2－2－1(1)若∠F 1MF 2＝90°，求△F 1MF 2的面积； (2)若∠F 1MF 2＝120°，△F 1MF 2的面积是多少？若∠F 1MF 2＝60°，△F 1MF 2的面积又是多少？【思路探究】 (1)求三角形的面积该联想到哪些方法？ (2)如何运用双曲线的定义解决问题？ 【自主解答】 (1)由双曲线方程知，a ＝2，b ＝3，c ＝13，设|MF 1|＝r 1，|MF 2|＝r 2(r 1＞r 2)． 由双曲线定义知，有r 1－r 2＝2a ＝4，两边平方得r 21＋r 22－2r 1·r 2＝16， 即|F 1F 2|2－4S △F 1MF 2＝16， 也即52－16＝4S △F 1MF 2， 求得S △F 1MF 2＝9. (2)若∠F 1MF 2＝120°， 在△MF 1F 2中，由余弦定理得，|F 1F 2|2＝r 21＋r 22－2r 1r 2cos 120°， |F 1F 2|2＝(r 1－r 2)2＋3r 1r 2＝(2c )2，r 1r 2＝12，求得S △F 1MF 2＝12r 1r 2sin 120°＝3 3.同理可求得若∠F 1MF 2＝60°，S △F 1MF 2＝9 3.双曲线的定义是用双曲线上任意一点到两焦点的距离来描述的．定义中||PF 1|－|PF 2||＝2a ＜|F 1F 2|，包含|PF 1|－|PF 2|＝2a 和|PF 1|－|PF 2|＝－2a ，即要看到点离定点的距离的“远”与“近”．涉及双曲线上点到焦点的距离问题，或符合双曲线定义的轨迹问题可用双曲线的定义求解．常见题目类型为：(1)双曲线的焦点三角形问题； (2)判断点的轨迹或求轨迹方程．已知圆C 1：(x ＋3)2＋y 2＝1和圆C 2：(x －3)2＋y 2＝9，动圆M 同时与圆C 1及圆C 2相外切，求动圆圆心M 的轨迹方程．【解】如图所示，设动圆M 与圆C 1及圆C 2分别外切于点A 和B ，根据两圆外切的条件，得 |MC 1|－|AC 1|＝|MA |， |MC 2|－|BC 2|＝|MB |. ∵|MA |＝|MB |，∴|MC 1|－|AC 1|＝|MC 2|－|BC 2|， ∴|MC 2|－|MC 1|＝|BC 2|－|AC 1|＝3－1＝2.这表明动点M 与两定点C 2，C 1的距离的差是常数2. 根据双曲线的定义，动点M 的轨迹为双曲线的左支， 则2a ＝2，a ＝1，c ＝3， ∴b 2＝c 2－a 2＝8.因此所求动点M 的轨迹方程为x 2－y 28＝1(x ＜0)．记不清a 、b 、c 的关系致误双曲线8kx 2－ky 2＝8的一个焦点为(0,3)，则k ＝A ．1B ．－1 C.79 D ．－79【错解】 将双曲线化为标准方程为x 21k －y 28k＝1，∵焦点在y 轴上，且c ＝3，∴a 2＝－8k ，b 2＝－1k ，∴－8k －(－1k )＝－7k ＝32，∴k ＝－79.【答案】 D【错因分析】 双曲线中a 、b 、c 的关系不是a 2－b 2＝c 2.【防范措施】 要区别椭圆与双曲线中a 、b 、c 的关系．在椭圆中a 2－b 2＝c 2，在双曲线中a 2＋b 2＝c 2，二者一定不要混淆．【正解】 将双曲线化为标准方程为x 21k －y 28k ＝1，∵焦点在y 轴上，且c ＝3，∴a 2＝－8k ，b 2＝－1k.∴－8k －1k＝9，∴k ＝－1.【答案】 B1．理解双曲线的定义应特别注意以下两点：(1)距离的差要加绝对值，否则表示双曲线的一支． (2)距离差的绝对值必须小于焦距，否则不是双曲线．2．求双曲线的标准方程包括“定位”和“定量”两个过程．“定位”指确定焦点在哪个坐标轴上，“定量”是指确定a 2，b 2的大小.(对应学生用书第31页)1．到两定点F 1(－3,0)、F 2(3,0)的距离之差的绝对值等于6的点M 的轨迹是( ) A ．椭圆 B ．线段 C ．双曲线 D ．两条射线 【解析】 由题意|F 1F 2|＝|||MF 1|－|MF 2|＝6. ∴点M 的轨迹是两条射线． 【答案】 D2．双曲线x 225－k ＋y 29－k＝1的焦距为( )A ．16B ．8C ．4D ．234 【解析】 ∵25－k ＞9－k 且25－k ＞0,9－k ＜0， 即a 2＝25－k ，b 2＝k －9， ∴c 2＝16，c ＝4.焦距为2c ＝8. 【答案】 B3．双曲线方程为x 2－2y 2＝1，则它的右焦点坐标为( )A.⎝⎛⎭⎫22，0 B.⎝⎛⎭⎫52，0C.⎝⎛⎭⎫62，0 D.()3，0【解析】 将双曲线方程化为标准形式x 2－y 212＝1，所以a 2＝1，b 2＝12，∴c ＝a 2＋b 2＝62，∴右焦点坐标为⎝⎛⎭⎫62，0.【答案】 C4．双曲线的一个焦点为(0，－6)，且经过点(－5,6)，求此双曲线的标准方程．【解】 由题意知c ＝6，且焦点在y 轴上，另一焦点为(0,6)，所以由双曲线的定义有： 2a ＝|(－5－0)2＋(6＋6)2－(－5－0)2＋(6－6)2|＝8，∴a ＝4，∴b 2＝62－42＝20，∴双曲线的标准方程为y 216－x 220＝1.已知B (－5,0)，C (5,0)是△ABC 的两个顶点，且sin B －sin C ＝35sin A ，求顶点A 的轨迹方程．【解】 ∵sin B －sin C ＝35sin A ，∴由正弦定理得|AC |－|AB |＝35|BC |＝35×10＝6.又∵|AC |＞|AB |,6＜|BC |，∴点A 的轨迹是以B ，C 为焦点的双曲线的左支(且除去左顶点)， 由2a ＝6,2c ＝10，得a＝3，c ＝5，b 2＝c 2－a 2＝16， ∴顶点A 的轨迹方程为x 29－y 216＝1(x ＜－3)．已知定点A (3,0)和定圆C ：(x ＋3)2＋y 2＝16，动圆和圆C 相外切，并且过点A ，求动圆圆心P 的轨迹方程．【解】 设动圆半径为r ，圆心为P (x ，y )，定圆C 的圆心为C (－3,0)，半径为4， 由平面几何知识有|PC |＝r ＋4，|P A |＝r ， ∴|PC |－|P A |＝4，∴动点P 的轨迹为双曲线右支． c ＝3，a ＝2，b 2＝c 2－a 2＝5，∴圆心P 的轨迹方程为x 24－y 25＝1(x ＞0)．2.2.2 双曲线的简单几何性质双曲线的简单几何性质类比椭圆的几何性质，结合图象，你能得到双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的哪些几何性质？【提示】 范围、对称性、顶点、离心率、渐近线．续表椭圆中，离心率可以刻画椭圆的扁平程度，在双曲线中，离心率描述怎样的特征？ 【提示】 双曲线的离心率描述双曲线“开口”的大小，离心率越大，双曲线的“开口”越大.1.双曲线的对称中心叫做双曲线的中心．2．实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线，其离心率e ＝2.(对应学生用书第32页)求双曲线25y 2－4x 2＋100＝0的实半轴长、虚半轴长、焦点坐标、顶点坐标、离心率、渐近线方程．【思路探究】【自主解答】 双曲线的方程25y 2－4x 2＋100＝0可化为x 225－y 24＝1.∴实半轴长a ＝5，虚半轴长b ＝2，顶点坐标为(－5,0)，(5,0)． 由c ＝a 2＋b 2＝29，焦点坐标为(29，0)，(－29，0)．离心率e ＝c a ＝295，渐近线方程y ＝±25x .1．已知双曲线的方程求其几何性质时，若不是标准形式的先化为标准方程，确定方程中a 、b 的对应值，利用c 2＝a 2＋b 2得到c ，然后确定双曲线的焦点位置，从而写出双曲线的几何性质．2．写渐近线方程时要特别注意焦点在x 轴上还是在y 轴上，以免写错．求双曲线16x 2－9y 2＝－144的实轴长、虚轴长、焦点坐标、离心率、顶点坐标和渐近线方程．【解】 把方程16x 2－9y 2＝－144化为标准方程得y 242－x 232＝1，由此可知，实轴长2a ＝8，虚轴长2b ＝6，c ＝a 2＋b 2＝5.焦点坐标为(0，－5)，(0,5)．离心率e ＝c a ＝54.顶点坐标为(0，－4)，(0,4)．渐近线方程为：y ＝±4x .双曲线的方程分别求适合下列条件的双曲线的标准方程．(1)虚轴长为12，离心率为54；(2)顶点间距离为6，渐近线方程为y ＝±32x ；(3)求与双曲线x 2－2y 2＝2有公共渐近线，且过点M (2，－2)．【思路探究】 (1)双曲线的焦点位置确定了吗？如果不确定该怎么办？(2)与双曲线x 2－2y 2＝2有公共渐近线的双曲线有什么特点？如何设出方程？【自主解答】 (1)设双曲线的标准方程为 x 2a 2－y 2b 2＝1或y 2a 2－x 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)． 由题意知2b ＝12，c a ＝54且c 2＝a 2＋b 2，∴b ＝6，c ＝10，a ＝8，∴双曲线标准方程为x 264－y 236＝1或y 264－x 236＝1.(2)当焦点在x 轴上时，由b a ＝32且a ＝3得b ＝92.∴所求双曲线标准方程为x 29－4y281＝1.当焦点在y 轴上时，由a b ＝32且a ＝3得b ＝2.∴所求双曲线标准方程为y 29－x 24＝1.(3)设与双曲线x 22－y 2＝1有公共渐近线的双曲线方程为x 22－y 2＝k ，将点(2，－2)代入得k＝222－(－2)2＝－2， ∴双曲线标准方程为y 22－x 24＝1.1．利用待定系数法求双曲线方程应先“定形”(确定标准方程的形式)，再“定量”(求出a ，b 的值)．由于双曲线的标准方程有两种形式，因此，根据相关几何特征确定焦点的位置是很重要的，其次，在解题过程中应熟悉a ，b ，c ，e 等元素的几何意义及它们之间的联系，并注意方程思想的应用．2．若已知双曲线的渐近线方程为Ax ±By ＝0，为避免讨论，可设双曲线方程为A 2x 2－B 2y 2＝λ(λ≠0)或x 2B 2－y 2A2＝λ(λ≠0)的形式，从而使运算更简捷．3．与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)共渐近线的双曲线方程可设为x 2a 2－y 2b2＝λ(λ≠0)．已知双曲线的一条渐近线方程是x －2y ＝0，且双曲线过点P (4,3)，求双曲线的标准方程． 【解】 法一 ∵双曲线的一条渐近线方程为x －2y ＝0，当x ＝4时，y ＝2＜y P ＝3.∴双曲线的焦点在y 轴上．从而有a b ＝12，∴b ＝2a .设双曲线方程为y 2a 2－x24a 2＝1，由于点P (4,3)在此双曲线上， ∴9a 2－164a2＝1，解得a 2＝5. ∴双曲线方程为y 25－x 220＝1.法二 ∵双曲线的一条渐近线方程为x －2y ＝0， 即x 2－y ＝0，∴双曲线的渐近线方程为x 24－y 2＝0. 设双曲线方程为x24－y 2＝λ(λ≠0)，∵双曲线过点P (4,3)，∴424－32＝λ，即λ＝－5.∴所求双曲线方程为x 2－y 2＝－5，即y 2－x 2＝1.求双曲线的离心率分别求适合下列条件的双曲线的离心率．(1)双曲线的渐近线方程为y ＝±32x ；(2)双曲线x 2a 2－y2b 2＝1(0＜a ＜b )的半焦距为c ，直线l 过(a,0)，(0，b )两点，且原点到直线l 的距离为34c .【思路探究】 (1)由渐近线方程能得到a 、b 、c 的关系吗？利用这种关系能求出离心率吗？(2)由题意你能得到关于a 、b 、c 的什么关系式？【自主解答】 (1)若焦点在x 轴上，则b a ＝32，∴e ＝b 2a 2＋1＝132； 若焦点在y 轴上，则a b ＝32，即b a ＝23，∴e ＝b 2a 2＋1＝133. 综上可知，双曲线的离心率为132或133.(2)依题意，直线l ：bx ＋ay －ab ＝0. 由原点到l 的距离为34c ，得ab a 2＋b 2＝34c ， 即ab ＝34c 2，∴16a 2b 2＝3(a 2＋b 2)2， 即3b 4－10a 2b 2＋3a 4＝0，∴3(b 2a 2)2－10×b 2a 2＋3＝0.解得b 2a 2＝13或b2a2＝3.又∵0＜a ＜b ，∴b 2a 2＝3.∴e ＝1＋b 2a2＝2.求双曲线的离心率，通常先由题设条件得到a ，b ，c 的关系式，再根据c 2＝a 2＋b 2，直接求a ，c 的值．而在解题时常把c a 或b a 视为整体，把关系式转化为关于c a 或ba 的方程，解方程求之，从而得到离心率的值．在本题的(2)中，要注意条件0＜a ＜b 对离心率的限制，以保证题目结果的准确性．已知F 1，F 2是双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的两个焦点，PQ 是经过F 1且垂直于x 轴的双曲线的弦，如果∠PF 2Q ＝90°，求双曲线的离心率．【解】 设F 1(c,0)，将x ＝c 代入双曲线的方程得c 2a 2－y 2b 2＝1，那么y ＝±b 2a.∴|PF 1|＝b2a.由双曲线对称性，|PF 2|＝|QF 2|且∠PF 2Q ＝90°.知|F 1F 2|＝12|PQ |＝|PF 1|，∴b2a＝2c ，则b 2＝2ac . ∴c 2－2ac －a 2＝0，∴⎝⎛⎭⎫c a 2－2×ca －1＝0. 即e 2－2e －1＝0.∴e ＝1＋2或e ＝1－2(舍去)． ∴所求双曲线的离心率为1＋ 2.(对应学生用书第35页)忽略点在双曲线上的位置致误已知双曲线方程为x 2－y 2＝1，双曲线的左支上一点P (a ，b )到直线y＝x 的距离是2，求a ＋b 的值．【错解】 ∵P (a ，b )到直线y ＝x 的距离是 2. 故|a －b |2＝2，∴a －b ＝±2.又∵a 2－b 2＝1，∴(a ＋b )(a －b )＝1，∴a ＋b ＝±12.【错因分析】 错解中忽略了点P 在双曲线的左支上，此时，a －b ＜0，∴a －b ＝－2. 【防范措施】 由于双曲线有两支，解题时要特别留意所给点是在哪一支上，以防因判断不准导致增根产生．【正解】 ∵点P (a ，b )到直线y ＝x 的距离为2， 故|a －b |2＝2，∴a －b ＝±2.又∵P 在双曲线的左支上，故a －b ＜0，则有a －b ＝－2.又∵a 2－b 2＝1，即(a －b )(a ＋b )＝1，∴a ＋b ＝－12.1．通过双曲线的方程可以讨论双曲线的几何性质，由双曲线的几何性质也可以得到双曲线的方程．2．双曲线的渐近线和离心率都可以描述其“张口”的大小、渐近线是双曲线特有的性质，应注意以下三点：(1)当焦点在x 轴上时，渐近线为y ＝±b a x ；当焦点在y 轴上时，渐近线为y ＝±abx .(2)当渐近线为y ＝b a x 时，可设双曲线标准方程为x 2a 2－y2b 2＝λ(λ≠0)．(3)与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1共渐近线的双曲线标准方程可设为x 2a 2－y 2b2＝λ(λ≠0)．(对应学生用书第35页)1．中心在原点，实轴长为10，虚轴长为6的双曲线的标准方程是( ) A.x 225－y 29＝1 B.x 225－y 29＝1或y 225－x 29＝1C.x 2100－y 236＝1 D.x 2100－y 236＝1或y 2100－x 236＝1 【解析】 由题意：a ＝5，b ＝3，且焦点不确定，应选B. 【答案】 B2．双曲线x 24－y 29＝1的渐近线方程是( )A ．y ＝±23xB ．y ＝±49xC ．y ＝±32xD ．y ＝±94x【解析】 由题意，焦点在x 轴上，且a ＝2，b ＝3，故渐近线方程为y ＝±32x .【答案】 C3．下列曲线中离心率为62的是( )A.x 22－y 24＝1B.x 24－y 22＝1C.x 24－y 26＝1D.x 24－y 210＝1 【解析】 选项B 双曲线中a ＝2，b ＝2，∴c ＝6，e ＝62.【答案】 B4．若双曲线的顶点在x 轴上，两顶点的距离为8，离心率是54，求双曲线的标准方程．【解】 由题设，设双曲线的标准方程为x 2a 2－y2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)． ∵2a ＝8，∴a ＝4，由e ＝54＝ca ，得c ＝5，∴b 2＝c 2－a 2＝52－42＝9.因此所求双曲线标准方程为x 216－y 29＝1.已知双曲线x 2－y 2＝4，直线l ：y ＝k (x －1)，试讨论实数k 的取值范围，使直线l 与双曲线有两个公共点；直线l 与双曲线有且只有一个公共点；直线l 与双曲线没有公共点．【解】 由⎩⎪⎨⎪⎧x 2－y 2＝4y ＝k (x －1)消去y ，得(1－k 2)x 2＋2k 2x －k 2－4＝0. (*)(1)当1－k 2＝0，即k ＝±1时，直线l 与双曲线的渐近线平行，方程化为2x ＝5，故此时方程(*)只有一个实数解，即直线与双曲线相交，且只有一个公共点，交点在双曲线右支上．(2)当1－k 2≠0，即k ≠±1时，Δ＝(2k 2)2－4(1－k 2)·(－k 2－4)＝4(4－3k 2)．①⎩⎪⎨⎪⎧ 4－3k 2＞0，1－k 2≠0，即－233＜k ＜233，且k ≠±1时，方程(*)有两个不同的实数解，即直线与双曲线有两个公共点．②⎩⎪⎨⎪⎧4－3k 2＝0，1－k 2≠0，即k ＝±233时，方程(*)有两个相同的实数解，即直线与双曲线相交于一个公共点．综上所述：当－233＜k ＜233，且k ≠±1时，直线l 与双曲线有两个公共点，当k ＝±1或k ＝±233时，直线l 与双曲线有且只有一个公共点，当k ＜－233或k ＞233时，直线l 与双曲线没有公共点．已知双曲线3x 2－y 2＝3，直线l 过右焦点F 2，且倾斜角为45°，与双曲线交于A 、B 两点，试问A 、B 两点是否位于双曲线的同一支上？并求弦AB 的长．【解】 双曲线3x 2－y 2＝3化为x 2－y 23＝1，则a ＝1，b ＝3，c ＝2.∵直线l 过点F 2且倾斜角为45°， ∴直线l 的方程为y ＝x －2， 代入双曲线方程，得2x 2＋4x －7＝0. 设A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，∵x 1·x 2＝－72＜0，∴A 、B 两点分别位于双曲线的左、右两支上．∵x 1＋x 2＝－2，x 1·x 2＝－72，∴|AB |＝1＋12|x 1－x 2|＝2·x 1＋x 22－4x 1x 2＝2·－2－－72＝6.因此弦AB 的长为6.。

作业二、一、选择题(每小题5分，共20分)1．下列各点中与(2，π6)不表示极坐标系中同一个点的是( ) A ．(2，－116π) B ．(2，136π) C ．(2，116π) D ．(2，－236π) 2．将点的极坐标(π，－2π)化为直角坐标为( )A ．(π，0)B ．(π，2π)C ．(－π，0)D ．(－2π，0)3．在极坐标系中，已知A (2，π6)、B (6，－π6)，则OA 、OB 的夹角为( ) A.π6 B ．0C.π3 D.5π64．在平面直角坐标系xOy 中，点P 的直角坐标为(1，－3)．若以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，则点P 的极坐标可以是( )A ．(2，－π3)B ．(2，4π3) C ．(1，－π3) D ．(2，－4π3) 二、填空题(每小题5分，共10分)5．平面直角坐标系中，若点P (3，7π2)经过伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2x y ′＝13y 后的点为Q ，则极坐标系中，极坐标为Q 的点到极轴所在直线的距离等于________．6．极坐标系中，点A 的极坐标是(3，π6)，则 (1)点A 关于极轴的对称点的极坐标是________；(2)点A 关于极点的对称点的极坐标是________；(3)点A 关于过极点且垂直于极轴的直线的对称点的极坐标是________．(本题中规定ρ>0，θ∈[0,2π))三、解答题(每小题10分，共30分)7．已知点P 的直角坐标按伸缩变换⎩⎨⎧x ′＝2x y ′＝3y变换为点P ′(6，－3)，限定ρ>0,0≤θ<2π时，求点P 的极坐标．8．(1)已知点的极坐标分别为A (3，－π4)，B (2，2π3)，C (32，π)，D (－4，π2)，求它们的直角坐标．(2)已知点的直角坐标分别为A (3，3)，B (0，－53)，C (－2，－23)，求它们的极坐标(ρ≥0,0≤θ<2π)．9．在极坐标系中，已知△ABC 的三个顶点的极坐标分别为A (2，π3)，B (2，π)，C (2，5π3)． (1)判断△ABC 的形状；(2)求△ABC 的面积．10．某大学校园的部分平面示意图如图：用点O ，A ，B ，C ，D ，E ，F ，G 分别表示校门，器材室，操场，公寓，教学楼，图书馆，车库，花园，其中|AB |＝|BC |，|OC |＝600 m ．建立适当的极坐标系，写出除点B 外各点的极坐标(限定ρ≥0,0≤θ<2π且极点为(0,0))．。

【考纲知识梳理】 一、随机变量及其分布列 1．离散型随机变量所有取值可以一一列出的随机变量，称为离散型随机变量。

2．离散型随机变量的分布列及性质（1）一般地，若离散型随机变量X 可能取的不同值为12,,,,,,i n x x x x X 取每一个值(1,2,,)i x i n =的概率()i i P X x p ==，则表称为X 的分布列，(),1,2,,i i P X x p i n === 为X 的分布列。

（2）离散型随机变量的分布列的性质 ①i p ≥0（1,2,,i n =）；②11ni i p ==∑。

3．常见离散型随机变量的分布列 （1）两点分布若随机变量X 服从两点分布，即其分布列为（2）超几何分布其中m=min{M,n},且n ≤N,M ≤N,n,M,N ∈*N ,称分布列为超几何分布列。

二、二项分布及其应用1．条件概率及其性质（1）条件概率的定义A 、B 为两个事件，且P （A ）＞0，P （B|A ）=P （AB ）/P （A ） 若A ，B 相互独立，则P （B|A ）=P （B ）。

（2）条件概率的性质 ①0≤P （B|A ）≤1；②如果B 、C 是两个互斥事件，则P （B ∪C|A ）=P （B|A ）+P （C|A ）。

2．事件的相互独立性如果P （AB ）=P （A ）P （B ），则称事件A 与事件B 相互独立。

3．独立重复试验与二项分布那么在n 次独立重复试验中，事件A 恰好发生k 次的概率为P （X=k ）=(1)(0,1,2,,)k k n k n C p p k n --=，此时称随机变量X 服从二项分布，记作X ～B （n,p ）三、离散型随机变量的均值与方差 1．离散型随机变量的均值与方差 若离散型随机变量X 的分布列为EX=1x 1p +2x 2p +……+i x i p +……+n x n p 为随机变量X 的均值或数学期望DX=21()nii i x EX p =-∑为随机变量X 的方差，为随机变量X 的标准差，记作X σ。

第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页高二文科数学周测141．把98化成五进制数的末位数字为（） A 1 B 2 C 3 D 42．已知椭圆的一个焦点为F(0，1)，离心率12e =，则该椭圆的标准方程为 A ．22134x y += B ．22143x y += C ．2212x y += D ．2212y x += 3．椭圆的焦距为 ( )A.10B.5C.D.4．已知双曲线22221y x a b-=(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线与圆22(3)9x y -+=相交于A ，B 两点，若|AB|=2，则该双曲线的离心率为( )A 、8B 、、3 D 、325．下列函数求导运算正确的个数为( ) ①(3x)′＝3xlog 3e ；②(log 2x)′＝1ln 2x ⋅；③(e x )′＝e x ；④(1ln x)′＝x ；⑤(x·e x)′＝e x ＋1.A ．1B ．2C ．3D ．46．过点)1,1(-且与曲线x x y 23-=相切的直线方程为（ ） A ． 20x y --=或5410x y +-= B ．02=--y x C ．20x y --=或4510x y ++= D ．02=+-y x 7．已知条件:p x y >，条件:q >p 是q 的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件8．已知命题“若a,b,c 构成等比数列，则2b ac =”，在它的逆命题、否命题，逆否命题中，真命题的个数是（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3 9．下列命题正确的是A.“1<x ”是“0232>+-x x ”的必要不充分条件B.对于命题p ：R x ∈∃，使得210x x +-<，则p ⌝：,R x ∈∀均有012≥-+x xC.若q p ∧为假命题，则q p ,均为假命题D.命题“若0232=+-x x ，则2=x ”的否命题为“若,0232=+-x x 则2≠x10．已知点,,P A B 在双曲线12222=-by a x 上，直线AB 过坐标原点，且直线PA 、PB的斜率之积为31，则双曲线的离心率为（ ） A.332 B.315 C.2 D.21011．设()f x 是可导函数，且000(2)()lim 2x f x x f x x∆→-∆-=∆，则0()f x '=（）A ．21B ．1-C ．0D ．2- 12．若方程13122=-+-my m x 表示椭圆，则m 的取值范围是______________. 13．运行右边的程序（“\”为取商运算，“MOD ”为取余运算），当输入x 的值为54时，最后输出的x 的值为．14．已知函数f (x )＝x (x －1)(x －2)(x －3)(x －4)(x －5)，则f ′(0)＝________.15．已知函数()y f x =(x R ∈)的图象如图所示，则不等式'()0xf x <的解集为________.第3页 共4页 ◎ 第4页 共4页16．已知椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 的离心率为36，长轴长为32，直线2:+=kx y l 交椭圆于不同的B A ,两点.（1）求椭圆的方程；（2）O 是坐标原点，求AOB ∆面积的最大值. 17．已知函数()ln ()f x x a x a R =-∈(1)当2a =时,求曲线()y f x =在点(1,(1))A f 处的切线方程; (2)求函数()f x 的极值.参考答案1．C 2．A 【解析】试题分析：由题意得，椭圆的焦点在y 轴上，标准方程为)0(12222>>=+b a b x a y ，且21,1===a c e c ，3,2222=-==∴c a b a ，即椭圆的标准方程为13422=+x y .考点：椭圆的标准方程.3．D【解析】由题意知，所以，所以，即焦距为，选D. 4．C 【解析】试题分析：双曲线的一条渐近线方程为0bx ay -=，因为圆心为(3，0)，半径为3，由|AB|＝2，可知圆心到直线AB 的距离为228b a =于是3c a 所以，3c e a==，选C考点：圆的方程，双曲线的渐近线，直线与双曲线的位置关系，弦长，双曲线的离心率. 5．B 【解析】试题分析：x x x xx e x e e x x xx x ⋅+='⋅-='='='--)(,)(ln 1))((ln )ln 1(,3ln 3)3(21,所以正确的有②③.考点：函数导数的运算. 6．A 【解析】试题分析：设切点为3000(,2)x x x -，因为232y x '=-，所以切线的斜率为020|32x x k y x ='==-，所以切线方程为320000(2)(32)()y x x x x x --=--，又因为切线过点(1,1)-，所以3200001(2)(32)(1)x x x x ---=--即32002310x x -+=，注意到(1,1)-是在曲线32y x x =-上的，故方程32002310x x -+=必有一根01x =，代入符合要求，进一步整理可得32002(1)3(1)0x x ---=即2000002(1)(1)3(1)(1)0x x x x x -++--+=，也就本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。

张家口市2022－2023学年度高二年级第一学期期末考试数学参考答案及评分标准一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.D 【解析】由l 1⊥l 2，可得5a －6＝0，所以a ＝，故选D.652.B 【解析】将点(2，4)代入y 2＝2px ，则4p ＝16，得p ＝4，故准线方程为x ＝－2，故选B.3.A 【解析】由题意椭圆C 的长半轴长为a ＝＝5，短半轴长为b ＝，又a 2＝b 2＋50230c 2，所以半焦距c ＝＝2，所以椭圆C 的离心率e ＝＝，故选A.205ca1054.B 【解析】圆C 1的标准方程为(x －2)2＋2＝4，所以圆心为(2，3)，半径为2.圆C 2(y －3)是以(－1，－1)为圆心，半径为3的圆，故＝＝5＝2＋3，所以两|C 1C 2|(2＋1)2 ＋(3＋1)2圆外切，故选B.5.A 【解析】如图，以D 为坐标原点，建立空间直角坐标系，所以D (0，0，0)，A ，B ，B 1.又＝2，＝21，所以E ，F(3，0，0)(3，3，0)(3，3，3)BE → ED → AF → FB →(1，1，0)，故＝＝3.故选A.(3，2，2)|EF |(3－1)2 ＋(2－1)2 ＋(2－0)26.B 【解析】设首项为第1组，接下来两项为第2组，再接下来三项为第3组，以此类推．设第k 组的项数为k ，则前k 组的项的个数之和为.又＝k （k ＋1）213×（13＋1）291，＝105，所以第100项为第14组的第9项，所以a 100＝38.故选B.14×（14＋1）27.C 【解析】设点P (x ，y )为直线x ＋y ＝0上的动点，又＋＝＋. x 2＋y 2－2x －2y ＋2（x －2）2＋y 2（x －1）2＋（y －1）2（x －2）2＋y 2设点M (1，1)，N (2，0)，则点M ′(－1，－1)为点M (1，1)关于直线x ＋y ＝0的对称点， 故|PM |＝|PM ′|，且|M ′N |＝＝，（2＋1）2＋（0＋1）210所以|PM |＋|PN |＝＋＝|PM ′|＋|PN |≥|M ′N |＝， （x －1）2＋（y －1）2（x －2）2＋y 210所以＋的最小值为.故选C. x 2＋y 2－2x －2y ＋2（x －2）2＋y 2108.C 【解析】由题意，得a 5a 8＝a 6a 7＝－18.又a 5＋a 8＝－3，所以联立解得或{a 5a 8＝－18，a 5＋a 8＝－3，){a 5＝3，a 8＝－6){a 5＝－6，a 8＝3.)当a 5＝3，a 8＝－6时，＝－2＝q 3，所以a 2＝＝－，a 11＝a 8q 3＝12，a 8a 5a 5q 332所以a 2＋a 11＝；212当a 5＝－6，a 8＝3时，＝－＝q 3，所以a 2＝＝12，a 11＝a 8q 3＝－，a 8a 512a 5q 332所以a 2＋a 11＝.故选C.212二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.BCD 【解析】由＝2可知y ≠y 0，所以＝2不过点P 且斜率为，所以x －x 0y －y 0x －x 0y －y 0(x 0，y 0)12A 错误；直线x －2y －4＝0过点A ，B ，a ＝，所以a ＝是直线x －2y －4＝(4，0)(0，－2)12BA →(2，1)0的方向向量，所以B 正确；设以A ，B 为直径的圆上的任意点为P ，则⊥，所以·＝(4，1)(1，－2)(x ，y )PA → PB → PA → PB →0，即(x －1)＋＝0，所以C 正确； (x －4)(y －1)(y ＋2)因为×2＋×1－1－4m ＝0，所以D 正确．(m ＋1)(2m －1)10.BC 【解析】设{a n }的公差为d .因为a 9＋a 10＋a 11＝3a 10>0，所以a 10>0. 又a 9＋a 12＝a 10＋a 11<0，所以a 11＝a 10＋d <0，故d <0，所以A 错误； 因为d <0，所以a 1>a 2>a 3>a 4>a 5>a 6>a 7>a 8>a 9>a 10>0>a 11>…>a n ， 所以当n ＝10时，S n 最大，所以B 正确；因为S 19＝＝>0，S 20＝＝<0，19（a 1＋a 19）219×2a 10220（a 1＋a 20）220（a 10＋a 11）2S 21＝＝<0，21（a 1＋a 21）221×2a 112所以C 正确，D 错误．11.ABD 【解析】设焦距为2c ，由题意，得＝，△F 1PF 2的周长为＋＋c a 34|PF 1||PF 2||F 1F 2|＝2a ＋2c ＝14，解得a ＝4，c ＝3.又a 2＝b 2＋c 2，所以b ＝，故椭圆C 的方程为＋＝7x 216y 271，所以A 正确；因为＋＝2a ＝8，所以8＝＋≥2，当且仅当|PF 1|＝|PF 2|＝|PF 1||PF 2||PF 1||PF 2||PF 1|·|PF 2|4时等号成立，所以·≤16，所以B 正确；|PF 1||PF 2|设△F 1PF 2内切圆的半径为r ，则S △F 1PF 2＝＝r ，12|F 1F 2||y p |12(|PF 1|＋|PF 2|＋|F 1F 2|)所以r ＝.又≤，所以r ≤，所以S ≤，所以C 错误；3|y p |7|y p |73779π7因为cos ∠F 1PF 2＝|PF 1|2 ＋|PF 2|2 －|F 1F 2|22|PF 1|·|PF 2|＝＝－1＋.(|PF 1|＋|PF 2|)2 －2|PF 1|·|PF 2|－|F 1F 2|2 2|PF 1|·|PF 2|14|PF 1|·|PF 2|又·≤16，所以－1＋≥－，所以D 正确．|PF 1||PF 2|14|PF 1|·|PF 2|1812.AB 【解析】如图，以点D 为坐标原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DD 1为z 轴，建立空间直角坐标系D －xyz .由题意可得D (0，0，0)，A (2，0，0)，B (2，2，0)，C (0，2，0)，M (0，1，0)，C 1(0，2，2)，D 1(0，0，2)，B 1(2，2，2)，222所以＝(－2，0，0)，＝(0，0，2)，＝(0，2，－2)，＝(0，2，0)，＝BC → BB 1→ 2D 1C → 2AB → D 1B →(2，2，－2)，2＝(2，2，2)，＝(0，1，2)， DB 1→ 2MC 1→2所以＝λ＋μ＝λ(－2，0，0)＋μ(0，0，2)＝(－2λ，0，2μ)．BP → BC → BB 1→22当λ＝，μ＝时，＝＋＝(0，2，0)＋(－1，0，)＝(－1，2，)，1212AP → AB → BP →22所以异面直线AP 与DB 1所成角的余弦值为＝＝＝，所以A 正确； |cos 〈AP → ，DB 1→〉||AP → ·DB 1→ ||AP → |·|DB 1→||－2＋4＋4|1＋4＋2·4＋4＋83714当μ＝时，＝(－2λ，0，)，12BP →2＝＋＝(0，2，0)＋(－2λ，0，)＝(－2λ，2，)， AP → AB → BP →22故·＝(－2λ，2，)·(0，2，－2)＝0，所以B 正确； AP → D 1C →22当λ＝时，＝(－1，0，2μ)，＝＋＝(0，2，0)＋(－1，0，2μ)＝(－1，12BP → 2AP → AB → BP →22，2μ)，2＝＋＝(2，2，－2)＋(－1，0，2μ)＝(1，2，－2＋2μ)， D 1P → D 1B → BP →2222故·＝(－1，2，2μ)·(1，2，－2＋2μ)＝0，得8μ2－8μ＋3＝0无解，所以C 错AP → D 1P →222误；当λ＝1时，＝(－2，0，2μ)，＝＋＝(0，2，0)＋(－2，0，2μ)＝(－2，BP → 2AP → AB → BP →22，2μ)，2故·＝2＋8μ＝0，解得μ＝－∉[0，1]，所以D 错误．MC 1→ AP →14三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13.－58　【解析】由a ∥b ，得＝＝，所以λ＝－4，故a ＝(3，2，－4)，b ＝(－6，3λ－22λλ8－4，8)，故a ·b ＝3×＋2×＋×8＝－58.(－6)(－4)(－4)14.－＝1　【解析】直线l 与双曲线C 有唯一交点P ，则直线l 与双曲线C 的渐近线平x 216y 248行，所以＝tan 60°＝，ba 3故b ＝a ，所以c 2＝a 2＋b 2＝4a 2. 3又|FP |＝6，所以P (3－c ，3)，所以－＝－＝1，3（3－c ）2a 2（33）2b 2（3－2a ）2a 2（33）23a 2解得a ＝4，所以b ＝4，3所以双曲线C 的方程为－＝1.x 216y 24815.　【解析】当n ＝1时，S n ＝S 1＝1， 43又当n ≥2时，a n ＝＝＝－，1n 2＋3n ＋21(n ＋1)(n ＋2)1n ＋11n ＋2所以S n ＝1＋－＋－＋…＋－＝－<，所以λ≥，故λ的最小值为.131414151n ＋11n ＋2431n ＋243434316.x －3y －1＝0　【解析】圆E 的标准方程为(x －1)2＋(y －2)2＝6，所以E .(1，2)由题意，得PA ⊥AE ，PB ⊥BE ，所以P ，A ，E ，B 四点在以PE 为直径的圆上，且直线AB 为该圆与圆E 的交线，以PE 为直径的圆的方程为(x －1)(x －2)＋(y －2)＝0，化(y ＋1)简得x 2＋y 2－3x －y ＝0，所以直线AB 的方程为x 2＋y 2－2x －4y －1－＝0，即x －3y －1＝0. (x 2＋y 2－3x －y )另解：圆E 的标准方程为(x －1)2＋(y －2)2＝6，由切点弦方程可知，直线AB 的方程为(x －1)＋(y －2)＝6，化简得x －3y －1＝0.(2－1)(－1－2)四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17.(本小题满分10分)解：(1)设数列{a n }的首项为a 1，公差为d . 由S 21＝21a 1＋d ＝0，得a 1＋10d ＝0 (2)21×202分又a 8＝a 1＋7d ＝6，所以d ＝－2，a 1＝20，......................................................3分 所以a n ＝20＋×＝－2n ＋22..........................................................4分 (n －1)(－2)(2)由a n ＝－2n ＋22≥0，解得n ≤11，............................................................5分 所以数列＝ (6)|a n |{a n ，n ≤11，－a n ，n >11，)分故T 50＝a 1＋a 2＋…＋a 11－a 12－a 13－…－a 50………………………………………………7分 ＝－＋2(a 1＋a 2＋…＋a 11＋a 12＋a 13＋…＋a 50)(a 1＋a 2＋…＋a 11)＝－S 50＋2S 11…………………………………………………………………………………9分 ＝－＋2×[50×20＋50×492×（－2）][11×20＋11×102×（－2）]＝1450＋220＝1670.…………………………………………………………………………10分 18.(本小题满分12分)(1)解：圆E 是以E (2，3)为圆心，3为半径的圆，…………………………………………1分当直线l 过圆E 的圆心时，最大，………………………………………………………2|AB |分所以3＝2k －1，解得k ＝2，…………………………………………………………………3分所以当最大时，直线l 的方程为y ＝2x －1. ……………………………………………4|AB |分(2)证明：设A ，B ，由题意知k 存在， (x 1，y 1)(x 2，y 2)联立得x 2－x ＋11＝0，………………………6分{y ＝kx －1，（x －2）2＋(y －3)2＝9，)(k 2＋1)(8k ＋4)所以x 1＋x 2＝，x 1x 2＝，且2－44>0.……………………………8分8k ＋4k 2＋111k 2＋1(8k ＋4)(k 2＋1)因为·＝·＝x 1x 2＋，…………………………10分DA → DB →(x 1，y 1＋1)(x 2，y 2＋1)(y 1＋1)(y 2＋1)y 1＝kx 1－1，y 2＝kx 2－1，所以·＝x 1x 2＝11，即·为定值.…………………………………………12分DA → DB → (k 2＋1)DA → DB →19.(本小题满分12分)解：(1)以该桥抛物线拱形部分对应抛物线的顶点为原点，建立直角坐标系．设对应抛物线的方程为x 2＝2py (p <0).………………………………………………………1分 又点(32，－32)在抛物线上，所以322＝2p ×，……………………………………3分 (－32)所以p ＝－16，即＝16，故抛物线的焦准距为16米.……………………………………4|p |分(2)由题意，得|OF |＝8米，|FP |＝16米，……………………………………………………5分所以tan ∠POF ＝＝＝2.………………………………………………………………6分 |FP ||OF |168又PO ⊥PQ ，所以tan ∠QPF ＝tan ∠POF ＝2，……………………………………………8分 所以tan ∠QPF ＝＝＝2，所以|QF |＝32米.………………………………………10分 |QF ||PF ||QF |16又拱形最高点与桥面距离为32米，所以桥面与水面的距离d ＝|OF |＝8米，所以桥面与水面的距离为8米.……………………………………………………………12分20.(本小题满分12分)解：(1)由b n ＝a 2n －1，得b 1＝a 1＝2，b n ＋1＝a 2n ＋1.…………………………………………1分 又a 2k ＝a 2k －1＋2，a 2k ＋1＝2a 2k ，k ∈N *，……………………………………………………2分故a 2k ＋1＝2＝2a 2k －1＋4，…………………………………………………………3(a 2k －1＋2)分所以b n ＋1＝2b n ＋4，故＝2.…………………………………………………………4分b n ＋1＋4b n ＋4又b 1＋4＝6，…………………………………………………………………………………5分 所以数列是以6为首项，2为公比的等比数列，{b n ＋4}所以b n ＋4＝6×2n －1＝3×2n ，故b n ＝3×2n －4.……………………………………………6分(2)nb n ＝3n ·2n －4n .……………………………………………………………………………7分 设c n ＝n ·2n ，其前n 项和为T n ，则T n ＝1×2＋2×22＋…＋n ·2n ，…………………………………………………………8分 2T n ＝1×22＋2×23＋…＋n ·2n ＋1，　所以－T n ＝2＋22＋23＋…＋2n －n ·2n ＋1＝－2＋2n ＋1－n ·2n ＋1，…………………………9分 所以T n ＝2n ＋1＋2，…………………………………………………………………10分 (n －1)所以S n ＝3T n －4＝32n ＋1＋6－4×＝2n ＋1－2n 2－2n ＋6. (1＋2＋…＋n )(n －1)n(n ＋1)2(3n －3)………………………………………………………………………………………………12分 21.(本小题满分12分)(1)证明：如图，以点D 为坐标原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，过D 垂直于平面ABCD 的直线为z 轴，建立空间直角坐标系D －xyz ，故D ，A ，B ，C .…………………………………1分(0，0，0)(4，0，0)(4，4，0)(0，4，0)因为平面ADP ⊥平面ABCD ，设P ，(a ，0，c )所以PD ＝＝2，PB ＝＝2， ………………………2分a 2＋c 2(a －4)2 ＋(0－4)2＋c 27所以a 2＋c 2＝4，a 2＋c 2－8a ＋32＝28，所以a ＝1，c ＝±，3由图可得c >0，所以c ＝，所以P ，………………………………………3分 3(1，0，3)所以＝，＝.AP → (－3，0，3)DP →(1，0，3)又＝，所以·＝－3＋3＝0，·＝0，………………………………4DC → (0，4，0)AP → DP → AP → DC →分所以⊥，⊥，又CD ∩PD ＝D ，且CD ⊂平面CDP ，PD ⊂平面CDP ，AP → DP → AP → DC →故AP ⊥平面CDP .……………………………………………………………………………5分 (2)解：设＝λ，0≤λ≤1，则E ，…………………………………6分AE → AC →(4－4λ，4λ，0)所以＝.PE →(3－4λ，4λ，－3)又直线PE 与直线DC 所成的角为，所以＝＝π4|cos 〈PE → ，DC →〉|16λ4(3－4λ)2 ＋(4λ)2＋322，解得λ＝，……………………………………………………………………………………7分12故E ，所以＝.(2，2，0)DE →(2，2，0)设m ＝(x 1，y 1，z 1)为平面PDE 的法向量，则有{m ·DE →＝0，m ·DP →＝0，)即可取m ＝(1，－1，－).………………………………………………8分 {2x 1＋2y 1＝0，x 1＋3z 1＝0，)33设n ＝(x 2，y 2，z 2)为平面PAC 的法向量，则有{n ·AC →＝0，n ·AP →＝0，)即可取n ＝(1，1，)，………………………………………………10{－4x 2＋4y 2＝0，－3x 2＋3z 2＝0，)3分∴|cos 〈m ，n 〉|＝＝，|m ·n |m ||n ||10535所以平面PDE 与平面PAC 夹角的余弦值为.………………………………………12分1053522.(本小题满分12分)解：(1)设动圆的圆心为M ，半径为r ，则＝r ＋3，＝r －，(x ，y )|ME |2|MF |2所以－＝4<＝6.……………………………………………………………2分 |ME ||MF |2|EF |由双曲线定义可知，M 的轨迹是以E ，F 为焦点，实轴长为4的双曲线的右支， 2所以2a ＝4，2c ＝6，即a ＝2，c ＝3，所以b 2＝c 2－a 2＝1，22所以曲线C 的方程为－y 2＝1，x ≥2.…………………………………………………4分x 282(2)选择①②⇒③：设直线l ：y ＝kx ＋m ，A ，B ，(x 1，y 1)(x 2，y 2)联立得x 2－16mkx －8m 2－8＝0，……………………………………5{y ＝kx ＋m ，x 28－y 2＝1，)(1－8k 2)分所以x 1＋x 2＝－，x 1x 2＝ (6)16mk8k 2－18m 2＋88k 2－1分因为P (4，1)，k 1＋k 2＝0，所以＋＝0，y 2－1x 2－4y 1－1x 1－4即＋＝0， ………………………………………7分 (x 1－4)(kx 2＋m －1)(x 2－4)(kx 1＋m －1)即2kx 1x 2＋－8＝0，(m －1－4k )(x 1＋x 2)(m －1)所以2k ×＋－8＝0，………………………………8分8m 2＋88k 2－1(m －1－4k )(－16mk8k 2－1)(m －1)化简得8k 2＋2k －1＋m ＝0，即＝0，(2k ＋1)(2k ＋1)(4k －1＋m )所以k ＝－或m ＝1－4k .…………………………………………………………………10分12当m ＝1－4k 时，直线l ：y ＝kx ＋m ＝k ＋1过点P ，与题意不符，舍去， (x －4)(4，1)故k ＝－，所以③成立. (12)12分选择①③⇒②：设直线l ：y ＝－x ＋m ，A ，B ，12(x 1，y 1)(x 2，y 2)联立得x 2－8mx ＋8m 2＋8＝0，……………………………………………5分{y ＝－12x ＋m ，x28－y 2＝1，)所以x 1＋x 2＝8m ，x 1x 2＝8m 2＋8，..................................................................6分 所以k 1＋k 2＝＋ (7)y 2－1x 2－4y 1－1x 1－4分＝＋………………………………………………………………8分－12x 2＋m －1x 2－4－12x 1＋m －1x 1－4＝－1＋＋m －3x 2－4m －3x 1－4＝－1＋ (10)(m －3)(x 1＋x 2－8)x 1x 2－4(x 1＋x 2)＋16分 ＝－1＋＝0，(m －3)(8m －8)8m 2＋8－4×8m ＋16所以②成立.…………………………………………………………………………………12分 选择②③⇒①：设直线l ：y ＝－x ＋m ，A ，B ，P (x 0，y 0)，12(x 1，y 1)(x 2，y 2)联立得x 2－8mx ＋8m 2＋8＝0，……………………………………………5分{y ＝－12x ＋m ，x28－y 2＝1，)所以x 1＋x 2＝8m ，x 1x 2＝8m 2＋8.6分 由k 1＋k 2＝＋＝＋＝0，…………………………7分y 2－y 0x 2－x 0y 1－y 0x 1－x 0－12x2＋m －y 0x 2－x 0－12x 1＋m －y 0x 1－x 0得＋＝0，(x 1－x 0)(－12x 2＋m －y 0)(x 2－x 0)(－12x 1＋m －y 0)即－x 1x 2＋－2x 0＝0，………………………………………8分(m －y 0＋12x 0)(x 1＋x 2)(m －y 0)所以－8m 2－8＋8m ×－2x 0＝0，(m －y 0＋12x 0)(m －y 0)故2m ＋2x 0y 0－8＝0，……………………………………………………………9分(x 0－4y 0)所以………………………………………………………………………10分00002200402801.8x y x y x y ⎧⎪-=⎪⎪-=⎨⎪⎪-=⎪⎩，，高二数学参考答案及评分标准　第 页(共10页) 11又x 0>0，解得所以P ，①成立.……………………………………………12{x 0＝4，y 0＝1，)(4，1)分12高二数学参考答案及评分标准　第页共10页。

河北省张家口第一中学2021-2022高二数学9月月考试题（衔接班，含解析）一：选择题。

1.为了研究某班学生的脚长x （单位厘米）和身高y （单位厘米）的关系，从该班随机抽取10名学生，根据测量数据的散点图可以看出y 与x 之间有线性相关关系，设其回归直线方程为ˆˆˆybx a =+．已知101225ii x==∑，1011600i i y ==∑，ˆ4b=．该班某学生的脚长为24，据此估计其身高为（ ） A. 160 B. 163C. 166D. 170【答案】C 【解析】由已知22.5,160,160422.570,42470166ˆx y ay ==∴=-⨯==⨯+= ,选C. 【名师点睛】（1）判断两个变量是否线性相关及相关程度通常有两种方法：（1）利用散点图直观判断；（2）将相关数据代入相关系数r 公式求出r ，然后根据r 的大小进行判断．求线性回归方程时在严格按照公式求解时，一定要注意计算的准确性．2.如图茎叶图记录了在一次数学模拟考试中甲、乙两组各五名学生的成绩(单位：分).已知甲组数据的中位数为106,乙组数据的平均数为105.4,则x ,y 的值分别为（ ）A. 5,7B. 6,8C. 6,9D. 8,8【答案】B 【解析】 【分析】根据茎叶图中的数据，结合中位数与平均数的概念，即可求出x 、y 的值． 【详解】根据茎叶图中的数据，得；∵甲组数据的中位数为106，∴x ＝6； 又∵乙组数据的平均数为105.4， ∴()891061001091155y +++++=105.4，解得y ＝8；综上，x 、y 的值分别为6、8． 故选：B ．【点睛】本题考查了利用茎叶图求数据的中位数与平均数的问题，是基础题．3.某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名学生参加演讲比赛，那么下列对立的两个事件是（ ）A. “至少1名男生”与“至少有1名是女生”B. 恰好有1名男生”与“恰好2名女生”C. “至少1名男生”与“全是男生”D. “至少1名男生”与“全是女生” 【答案】D 【解析】从3名男生和2名女生中任选2名学生参加演讲比赛， “至少1名男生”与“至少有1名是女生”不互斥； “恰好有1名男生”与“恰好2名女生”是互斥不对立事件； “至少1名男生”与“全是男生”不互斥； “至少1名男生”与“全是女生”是对立事件； 故选：D4.已知21()2'(2016)2016ln 2f x x xf x =+-，则'(2016)f =（ ） A. 202X B. ﹣2015C. 202XD. ﹣202X【答案】B 【解析】 【分析】将函数求导后，令2016x =代入导函数，可求得所求的结果. 【详解】对函数求导得()()201622016f x x f x+-'='，令2016x =代入得()()20162016220161f f ='+-'，解得()20162015f =-'，故选B.【点睛】本小题主要考查导数的运算公式，考查运算求解能力.属于基础题.主要考点是()()'af x af x ⎡⎤=⎣⎦'.5.(2021·宝鸡二检)已知p ：k；q ：直线y ＝kx ＋2与圆x 2＋y 2＝1相切．则p ⌝是q ⌝的( )A. 充要条件B. 必要不充分条件C. 充分不必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】直线y ＝kx ＋2与圆x 2＋y 2＝11=，解得k＝q ：k＝因为p ：k⌝p ：k⌝q ：k≠⌝p 是⌝q 的必要不充分条件．6.有5支彩笔（除颜色外无差别），颜色分别为红、黄、蓝、绿、紫.从这5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔，则取出的2支彩笔中含有红色彩笔的概率为 A.45B.35C.25D.15【答案】C 【解析】选取两支彩笔的方法有25C 种，含有红色彩笔的选法为14C 种，由古典概型公式，满足题意的概率值为142542105C p C ===. 本题选择C 选项. 考点：古典概型名师点睛：对于古典概型问题主要把握基本事件的种数和符合要求的事件种数，基本事件的种数要注意区别是排列问题还是组合问题，看抽取时是有、无顺序，本题从这5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔，是组合问题，当然简单问题建议采取列举法更直观一些.7.直线20xsin y α++=的倾斜角的取值范围是（ ）A. [)0,πB. ][30,,44πππ⎡⎫⋃⎪⎢⎣⎭C. 0,4π⎡⎤⎢⎥⎣⎦D. 042πππ⎡⎤⎛⎫⋃⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭，， 【答案】B 【解析】 【分析】由直线的方程可确定直线的斜率，可得其范围，进而可求倾斜角的取值范围． 【详解】直线x sinα+y +2＝0的斜率为k ＝﹣sinα， ∵﹣1≤sinα≤1，∴﹣1≤k ≤1 ∴倾斜角的取值范围是[0，4π]∪[34π，π） 故选：B ．【点睛】本题考查直线的斜率与倾斜角的关系，属基础题．8.已知函数1()ln 1f x x x =--，则=()y f x 的图象大致为（ ）A. B.C. D.【答案】A 【解析】 【分析】利用特殊值，对函数图像进行排除，由此得出正确选项.【详解】由于12201112ln 1ln 2222f ⎛⎫==> ⎪⎝⎭---，排除B 选项.由于()()2222,23f e f e e e ==--，()()2f e f e >，函数单调递减，排除C 选项.由于()10010020101f e e =>-，排除D 选项.故选A. 【点睛】本小题主要考查已知具体函数的解析式，判断函数的图像，属于基础题.9.采用系统抽样方法从960人中抽取32人做问卷调查，为此将他们随机编号1，2，⋯，960，分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为29，则抽到的32人中，编号落入区间[]200,480的人数为 A. 7B. 9C. 10D. 12【答案】C 【解析】 【分析】根据系统抽样的定义，可知抽到的号码数可组成一个以301=-n a n 为通项公式的等差数列，令*200301480,≤-≤∈n n N ，解不等式可得结果。

河北省张家口第一中学2021-2022高二数学9月月考试题（衔接班）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.为了研究某班学生的脚长单位：厘米和身高单位：厘米的关系,从该班随机抽取10名学生,根据测量数据的散点图可以看出y与x之间有线性相关关系,设其回归直线方程为,已知,,,该班某学生的脚长为24,据此估计其身高为( )A. 160B. 163C. 166D. 1702.如图茎叶图记录了在一次数学模拟考试中甲、乙两组各五名学生的成绩单位：分已知甲组数据的中位数为106,乙组数据的平均数为,则x,y的值分别为A. 5,7B. 6,8C. 6,9D. 8,83.某小组有3名男生和2名女生,从中任选2名学生参加演讲比赛,那么下列对立的两个事件是( )A. “至少1名男生”与“至少有1名是女生”B. 恰好有1名男生”与“恰好2名女生”C. “至少1名男生”与“全是男生”D. “至少1名男生”与“全是女生”4.已知,则( )A. 202XB.C. 202XD.5.已知条件p：；条件q：直线与圆相切,则是的A. 充分必要条件B. 必要不充分条件C. 充分不必要条件D. 既不充分也不必要条件6.有5支彩笔除颜色外无差别,颜色分别为红、黄、蓝、绿、紫从这5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔,则取出的2支彩笔中含有红色彩笔的概率为( )A. B. C. D.7.直线的倾斜角的取值范围是( )A. B. C. D. ,8.已知函数,则的图象大致为( )A. B.C. D.9.采用系统抽样方法从960人中抽取32人做问卷调查,为此将他们随机编号1,2,,960,分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为29,则抽到的32人中,编号落入区间的人数为( )A. 7B. 9C. 10D. 1210.若函数在上是单调函数,则a的取值范围是( )A. B.C. D.11.给出如下四个命题：若“p且q”为假命题,则p、q均为假命题；命题“若,则”的否命题为“若,则”；“,”的否定是“,”；在中,“”是“”的充要条件．其中正确的命题的个数是A. 1B. 2C. 3D. 412.已知函数的定义域为,且满足是的导函数,则不等式的解集为( )A. B. C. D.二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.若命题“,”是假命题,则实数a的取值范围是______．14.设抛物线C：的焦点为F,M为抛物线C上一点,,则的取值范围为______．15.已知,分别为双曲线的左、右焦点,过与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线于点P,若,则双曲线的离心率为______ ．16.一束光线从点出发,经x轴反射到圆C：上的最短路径的长度是______ ．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分。

教学目标（1）理解随机变量的方差和标准差的含义；（2）会求随机变量的方差和标准差，并能解决一些实际问题．教学重点，难点：理解方差和标准差公式所表示的意义，并能解决一些实际问题． 教学过程一．问题情境甲、乙两个工人生产同一种产品，在相同的条件下，他们生产100件产品所出的不合格品数分别用12,X X 表示，12,X X 的概率分布如下．1X0 1 2 3kp0.7 0.1 0.1 0.12X0 1 2 3kp0.5 0.3 0.2 0如何比较甲、乙两个工人的技术？我们知道，当样本平均值相差不大时，可以利用样本方差考察样本数据与样本平均值的偏离程度．能否用一个类似于样本方差的量来刻画随机变量的波动程度呢？ 三．建构数学1. 方差: 对于离散型随机变量ξ，如果它所有可能取的值是1x ，2x ，…，n x ，…，且取这些值的概率分别是1p ，2p ，…，n p ，…，那么,ξD ＝121)(p E x ⋅-ξ＋222)(p E x ⋅-ξ＋…＋n n p E x ⋅-2)(ξ＋…称为随机变量ξ的均方差，简称为方差，式中的ξE 是随机变量ξ的期望．2. 标准差:ξD 的算术平方根ξD 叫做随机变量ξ的标准差，记作σξ．3.方差的性质：（1）ξξD a b a D 2)(=+；（2）22)(ξξξE E D -=；4 一般地，由定义可求出超几何分布和二项分布的方差的计算公式：当~(,,)X H n M N 时，2()()()(1)nM N M N n D X N N --=-，当~(,)X B n p 时，()(1)D X np p =-．思考：随机变量的方差和样本方差有何区别和联系？ 四．数学运用 1．例题：例1．若随机变量X 的分布如表所示：求方差()D X．解：因为()0(1)1E Xp p p =⨯-+⨯=，所以22()(0)(1)(1)(1)D X p p p p p p =--+-=-，=注：若X 服从两点分布，则()()1D X p p =-例2．随机抛掷一枚质地均匀的骰子,求向上一面的点数的均值、方差和标准差.从而111111123456 3.5666666EX =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=;2222221111(1 3.5)(2 3.5)(3 3.5)(4 3.5)666611(5 3.5)(6 3.5) 2.9266DX =-⨯+-⨯+-⨯+-⨯+-⨯+-⨯≈1.71X σ=≈.例3．已知离散型随机变量1ξ的概率分布为离散型随机变量2ξ的概率分布为解：47177127111=⨯+⋅⋅⋅+⨯+⨯=ξE ； 471)47(71)42(71)41(2221=⨯-+⋅⋅⋅+⨯-+⨯-=ξD ；211==ξσξD .4713.4718.3717.32=⨯+⋅⋅⋅+⨯+⨯=ξE ；2ξD =0.04, 2.022==ξσξD .点评：本题中的1ξ和2ξ都以相等的概率取各个不同的值，但1ξ的取值较为分散，2ξ的取值较为集中．421==ξξE E ，41=ξD ，04.02=ξD ，方差比较清楚地指出了2ξ比1ξ取值更集中．例4 高三（1）班的联欢会上设计了一项游戏，在一个小口袋中装有10个红球，20个白球，这些球除颜色外完全相同．某学生一次从中摸出5个球，其中红球的个数为X ，求X 的数学方差． 例5．从批量较大的成品中随机取出10件产品进行质量检查，若这批产品的不合格品率为0.05，随机变量X 表示这10件产品中不合格品数，求随机变量X 的方差. 五．回顾小结：1．离散型随机变量的方差和标准差的概念和意义； 2．离散型随机变量的方差和标准差的计算方法；3．超几何分布和二项分布的方差和标准差的计算方法．。

高二数学同步训练第1页（共1页）第16讲 复数、推理证明与导数复习1.若复数2(32)(1)a a a i -++-是纯虚数，则实数a =2.复数65i +,23i -+对应的点分别为,A B ，若C 为线段AB 的中点，则点C 对应的复数是3.在复平面内，复数sin 2cos 2z i =+对应的点位于第 象限4.复数32322323i ii i+--=-+ 5.方程)(04)4(2R a ai x i x ∈=++++有实根b ，且bi a z +=，则=z6.已知三角形的三边分别为c b a ,,，内切圆的半径为r ，则三角形的面积为a s (21=r c b )++；四面体的四个面的面积分别为4321,,,s s s s ，内切球的半径为R 。

类比三角形的面积可得四面体的体积为7.数列 ,4,4,4,4,3,3,3,2,2,1的第50项是8.在证明12)(+=x x f 为增函数的过程中，有下列四个命题：①增函数的定义是大前提；②增函数的定义是小前提；③函数12)(+=x x f 满足增函数的定义是小前提；④函数12)(+=x x f 满足增函数的定义是大前提；其中正确的命题是 9.用火柴棒按下图的方法搭三角形：按图示的规律搭下去，则所用火柴棒数n a 与所搭三角形的个数n 之间的关系式可以是 .10.已知12n n n a +=，n S 为{}n a 的前n 项和，试比较n S 与521nn +的大小，并予以证明。

11.已知数列{}n a 的各项都是正数，且满足：0111,(4),.2n n n a a a a n N +==-∈ 证明：21<<+n n a a12.设3()f x x =11()f x dx -⎰的值等于13.给出以下命题：⑴若()0b af x dx >⎰，则f(x)>0； ⑵20sin 4xdx =⎰π;⑶f(x)的原函数为F(x)，且F(x)是以T 为周期的函数，则()()a a T Tf x dx f x dx+=⎰⎰；其中正确命题的个数为14.已知曲线32y x x =+-在点0P 处的切线1l 平行于直线410x y --=且点0P 在第三象限， ⑴求0P 的坐标;⑵若直线1l l ⊥, 且l 也过切点0P ,求直线l 的方程.15.某地区的一种特色水果上市时间仅能持续5个月，预测上市初期和后期会因供不应求使价格呈连续上涨态势，而中期又将出现供大于求使价格下跌．现有三种价格模拟函数：①xq p x f ⋅=)(；②2()1f x px qx =++；③2()()f x x x q p =-+．（以上三式中p q ，均为常数，且1q >） ⑴为准确研究其价格走势，应选哪种价格模拟函数，为什么？⑵若(0)4f =，(2)6f =，求出所选函数()f x 的解析式（注：函数的定义域是[05]，）．其中0x =表示4月1日，1x =表示5月1日，…，依此类推；⑶为保护果农的收益，打算在价格下跌期间积极拓宽外销，请你预测该果品在哪几个月内价格下跌． 16.已知函数()ln (,)f x ax x b a b R =∙+∈，在点(,())e f e 处的切线方程是20x y e --=（e 为自然对数的底）。

河北省张家口市第一中学2024-2025学年高二数学12月月考试题一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.椭圆的离心率是( )A. B. C. D.2.从5名学生中选出4名分别参与数学,物理,化学,生物四科竞赛,其中甲不能参与生物竞赛,则不同的参赛方案种数为A. 48B. 72C. 90D. 963.设是公比为q的等比数列,则“”是“为递增数列”的A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件4.设双曲线的离心率是3,则其渐近线的方程为( )A. B. C. D.5.设P为椭圆上的一点,、是该椭圆的两个焦点,若：：1, 则的面积为( )A. 2B. 3C. 4D. 56.若,则等于A. 5B. 25C.D.7.椭圆上的点到直线的距离的最小值为 ( )A. B. C. 3 D. 68.已知直线与曲线相切,则a的值为( )A. 1B. 2C.D.9.设,其中x,y是实数,则A. 1B.C.D. 210.已知等于( )A. 1B.C. 3D.11.已知函数若存在,使得,则实数b的取值范围是( )A. B. C. D.12.已知在R上存在三个单调区间,则b的取值范围是( )A. 或B.C. D. 或二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.过抛物线的焦点F的直线交抛物线于A、B两点,则______．14.若命题“p：,”是假命题,则实数a的取值范围是______．15.已知直线l：,若直线l与直线垂直,则m的值为______．16.已知函数,为的导函数,则的值为______．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.已知椭圆的左右焦点分别为、,左顶点为A,若,椭圆的离心率为．Ⅰ求椭圆的标准方程．Ⅱ若P是椭圆上的随意一点,求的取值范围．18.设,命题q：,,命题p：,满意．若命题是真命题,求a的范围；为假,为真,求a的取值范围．19.设,若,,成等差数列．求绽开式的中间项；求绽开式中全部含x奇次幂的系数和；求绽开式中系数最大项．20.已知抛物线C：和直线l：,O为坐标原点．求证：l与C必有两交点；设l与C交于A,B两点,且直线OA和OB斜率之和为1,求k的值．21.已知函数,其中．Ⅰ求的单调区间；Ⅱ若在上的最大值是,求a的值．22.已知函数且．若,求函数的单调区间；当时,设,若有两个相异零点,,求证：．高二年级12月月考连接班数学试卷答案和解析【答案】1. B2. D3. D4. A5. C6. B7. A8. B9. B10. C11. A12. D13. 114.15. 0或216. 317. 解：Ⅰ由题意,,椭圆的离心率为,,,,椭圆的标准方程为Ⅱ设,,,,点在椭圆上,,,,由椭圆方程得,二次函数开口向上,对称轴,当时,取最小值0,当时,取最大值12．的取值范围是．18. 解：真,则或得；q真,则,得,命题是真命题,的范围为．由为假,为真、q同时为假或同时为真,若p假q假,则若p真q真,则,综上或．19. 解：依题意得,,1,．则,,,由得可得舍去,或,所以绽开式的中间项是第五项为：；,即．令则,令则,所以,所以绽开式中含x的奇次幂的系数和为；假设第项的系数为,令,解得：,所以绽开式中系数最大项为和．20. 解：证明：联立抛物线C：和直线l：,可得,,与C必有两交点；解：设,,则因为,,代入,得又由韦达定理得,,代入得．21. 解：由题意可得函数的定义域为,由求导公式可得：,,当时,,在单调递增；当时,令,可解得,即在单调递增,同理由,可解得,即在单调递减．由可知：若时,在单调递增,故函数在处取到最大值,解得,与冲突应舍去；若,即,函数在单调递增,在单调递减．函数在处取到最大值 , 解得故若,即时,在单调递增,故函数在处取到最大值,解得,应舍去．综上可得所求a的值为：22. 解：由知,当时,函数的单调增区间是,单调减区间是,当时,函数的单调增区间是,单调减区间是；证明：,设的两个相异零点为,,设,,,,,,,要证,即证,即,即,设,上式转化为,,设,,在上单调递增,,,．函数,依据导数和函数的最值的关系即可证明．。

河北省张家口市第一中学2021-2022高二数学上学期12月月考试题（实验班，含解析）一、选择题（本大题共12小题，共60分）1.某工厂甲，乙，丙三个车间生产了同一种产品，数量分别为600件，400件，300件，用分层抽样方法抽取容量为n 的样本，若从丙车间抽取6件，则n 的值为（ ） A. 18 B. 20C. 24D. 26【答案】D 【解析】由分层抽样的定义可得：6300600400300n =++，解得：26n =. 本题选择D 选项.2.若0,0a b >>，则“4a b +≤”是 “4ab ≤”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】 【分析】本题根据基本不等式，结合选项，判断得出充分性成立，利用“特殊值法”，通过特取,a b 的值，推出矛盾，确定必要性不成立.题目有一定难度，注重重要知识、基础知识、逻辑推理能力的考查.【详解】当0, 0a >b >时，a b +≥，则当4a b +≤时，有4a b ≤+≤，解得4ab ≤，充分性成立；当=1, =4a b 时，满足4ab ≤，但此时=5>4a+b ，必要性不成立，综上所述，“4a b +≤”是“4ab ≤”的充分不必要条件.【点睛】易出现的错误有，一是基本不等式掌握不熟，导致判断失误；二是不能灵活的应用“赋值法”，通过特取,a b 的值，从假设情况下推出合理结果或矛盾结果.3.《史记》中讲述了田忌与齐王赛马的故事．“田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马；田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马；田忌的下等马劣于齐王的下等马．”双方从各自的马匹中随机选一匹进行一场比赛，则田忌的马获胜的概率为A.13B.14C.15D.16【答案】A 【解析】分析：由题意结合古典概型计算公式即可求得最终结果.详解：记田忌的上等马、中等马、下等马分别为a ,b ,c ，齐王的上等马、中等马、下等马分别为A ,B ,C ，由题意可知，可能的比赛为：Aa ,Ab ,Ac ,Ba ,Bb ,Bc ,Ca ,Cb ,Cc ,共有9种，其中田忌可以获胜的事件为：Ba ，Ca ,Cb ，共有3种，则田忌马获胜的概率为3193p ==.本题选择A 选项.点睛：有关古典概型的概率问题，关键是正确求出基本事件总数和所求事件包含的基本事件数．(1)基本事件总数较少时，用列举法把所有基本事件一一列出时，要做到不重复、不遗漏，可借助“树状图”列举．(2)注意区分排列与组合，以及计数原理的正确使用. 4.随机调查某学校50名学生在学校的午餐费，结果如表：这50个学生的午餐费的平均值和方差分别是( )A. 7.2元，0.56元2B. 7.2C. 7元，0.6元2D. 7元，【答案】A 【解析】 【分析】直接利用平均数公式与方差公式求解即可. 【详解】先计算这50个学生午餐费的平均值是()16107208207.250x =⨯⨯+⨯+⨯=， 所以方差是()()()222211067.22077.22087.20.5650S ⎡⎤=⨯⨯-+⨯-+⨯-=⎣⎦,故选A ．【点睛】本题主要考查平均数公式与方差公式的应用，属于基础题. 样本数据的算术平均数公式：12n 1(++...+)x x x x n =；样本方差公式：2222121[()()...()]n s x x x x x x n=-+-++-.5.方程221102x y m m +=--表示焦点在x 轴上的椭圆，则m 的取值范围为（ ）A. ()2,+∞B. ()()2,66,10⋃C. ()2,10D. ()2,6【答案】D 【解析】根据题意，方程221102x y m m +=--表示焦点在x 轴上的椭圆，则有10020102x m m m ->⎧⎪->⎨⎪->-⎩，解可得2＜m ＜6； 故答案为D ．6.已知双曲线C 的离心率为2，焦点为1F 、2F ，点A 在C 上，若122F A F A =，则21cos AF F ∠=（ ）A.14B.13D.3【答案】A 【解析】 试题分析：由已知设21,2,F A m F A m ==则由定义得12122,2,4,2.F A F A a m a F A a F A a -=∴===122,24.ce F F c a a====在12AF F ∆中，由余弦定理得()()2222222121212124441cos 22244a a a AF F F AF AF F AF F F a a+-+-∠===⋅⨯⨯，故选A ． 考点：1.双曲线的几何性质（焦点三角形问题）；2.余弦定理． 【此处有视频，请去附件查看】7.已知抛物线24y x =，过焦点且倾斜角为60°的直线与抛物线交于A 、B 两点，则△AOB 的面积为A.3 B.83C.43D.23【答案】C 【解析】试题分析：由题意知，直线AB 的方程为3(1)y x =-，联立直线AB 与抛物线的方程可得：，解之得：(3,23)A ，123(,33B -，所以2212316(3)(23)333AB =-++=，而原点到直线AB 的距离为3d =1432ABC S AB d ∆=⨯⨯=C ． 考点：1、抛物线的简单几何性质；2、直线与抛物线的相交问题；8.已知动点(,)M x y 2222(5)(5)8x y x y ++-+=，则M 的轨迹方程是（ ）A. 221169x y +=B. 221169x y -= C. 221(0)169x y x -=>D. 221(0)169y x y -=>【答案】C 【解析】【详解】此方程表示点M 到点(5,0)-的距离与到点(5,0)的距离之差为8，而这正好符合双曲线的定义，点M 的轨迹是双曲线的右支，534c b a =⎧⇒=⎨=⎩，M 的轨迹方程是221(0)169x y x -=>，故选C. 9.已知非零向量12,e e 不共线，如果12AB e e =+，1228AC e e =+，1233AD e e =-，则四点A ，B ，C ，D （ ） A. 一定共线B. 恰是空间四边形的四个顶点C. 一定共面D. 可能不共面【答案】C 【解析】 【分析】通过已知向量关系，求出5AC AB AD =-，说明四点A ，B ，C ，D 共面. 【详解】非零向量12,e e 不共线， 12AB e e =+，1228AC e e =+，1233AD e e =-,∴ 1212125553328AB AD e e e e e e AC -=+-+=+=, ∴5AC AB AD =-,由平面向量基本定理可知，四点A ，B ，C ，D 共面. 故选：C【点睛】本题主要考查了平面向量基本定理的应用，平面向量的基本运算，属于中档题. 10.数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线C ：221||x y x y +=+就是其中之一（如图）.给出下列三个结论：①曲线C 恰好经过6个整点（即横、纵坐标均为整数的点）； ②曲线C 2； ③曲线C 所围成“心形”区域的面积小于3. 其中，所有正确结论的序号是 A. ① B. ②C. ①②D. ①②③【答案】C 【解析】 【分析】将所给方程进行等价变形确定x 的范围可得整点坐标和个数，结合均值不等式可得曲线上的点到坐标原点距离的最值和范围，利用图形的对称性和整点的坐标可确定图形面积的范围. 【详解】由221x y x y+=+得,221y xy x -=-,2222||3341,10,2443x x x y x ⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭, 所以x 可为的整数有0,-1,1,从而曲线22:1C x y x y +=+恰好经过(0,1),(0,-1),(1,0),(1,1), (-1,0),(-1,1)六个整点,结论①正确.由221x y x y +=+得,222212x y x y +++,解得222x y +≤,所以曲线C 上任意一点到原点的距离都不超过2. 结论②正确.如图所示,易知()()()()0,1,1,0,1,1,,0,1A B C D -, 四边形ABCD 的面积13111122ABCD S =⨯⨯+⨯=,很明显“心形”区域的面积大于2ABCD S ,即“心形”区域的面积大于3,说法③错误.故选C.【点睛】本题考查曲线与方程､曲线的几何性质，基本不等式及其应用,属于难题,注重基础知识､基本运算能力及分析问题解决问题的能力考查,渗透“美育思想”.11.如图，设动点P 在棱长为1的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的对角线BD 1上，记11D PD Bλ=，当∠APC 为钝角时，λ的取值范围是（ ）A. 20,3⎛⎫ ⎪⎝⎭B. 1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭C. 12,33⎛⎫⎪⎝⎭D. 2,13⎛⎫⎪⎝⎭【答案】B 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，利用∠APC 不是平角，∠APC 为钝角等价于cos 0APC ∠<，即0PA PC ⋅<,从而可求λ的取值范围.【详解】由题设，建立如图所示空间直角坐标系：则有(1,0,0),(1,1,0),(0,1,0),,(0,0,1)A B C D ，11(1,1,1),(,,)D B D P λλλ∴=-=-，()112,,(1,0,1)(1,,1)PA PD D A λλλλλλ∴=+=--+-=---， ()112,,(0,1,1)(,1,1)PC PD DC λλλλλλ=+=--+-=---， 显然∠APC 不是平角，所以∠APC 为钝角等价于cos 0APC ∠<，∴ 0PA PC ⋅<，2(1)()()(1)(1)(1)(31)0λλλλλλλ∴--+--+-=--<，得113λ<<，因此，λ的取值范围是1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭, 故选：B【点睛】本题主要考查了利用空间向量求向量的夹角，解一元二次不等式，属于中档题. 12.设f （x ）在x 处可导，则()()lim2h f x h f x h h→+--等于（ ）A. ()2'f xB.()1'2f x C. ()'f xD.()4'f x【答案】C 【解析】 【分析】利用导数的定义即可求解. 【详解】()f x 在x 处可导，()()lim()2h f x h f x h f x h'→+--∴=.故选：C【点睛】本题主要考查了导数的定义，属于容易题. 二、填空题（本大题共4小题，共20分）13.若向量(2a =，1，2)-，//e a 且1e =，则e =______．【答案】212,,333⎛⎫- ⎪⎝⎭或212,,333⎛⎫-- ⎪⎝⎭【解析】 【分析】设e =（2λ，λ，﹣2λ），则|e |==1，由此能求出结果． 【详解】∵向量a =（2，1，﹣2），e ∥a 且|e |＝1， ∴设e =（2λ，λ，﹣2λ），则|e |==1， 解得13λ=±，∴e =（212333-，，）或e =（23-，13-，23）．故答案为（212333-，，）或（23-，13-，23）． 【点睛】本题考查向量的求法，考查向量平行的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．14.如图茎叶图记录了甲．乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩（单位：分）已知甲组数据的中位数为15，乙组数据的平均数为16.8，则x ，y 的值分别为______，______．【答案】 (1). 5 (2). 8 【解析】 【分析】根据茎叶图中的数据，结合中位数与平均数的概念，求出x 、y 的值． 【详解】根据茎叶图中的数据，得： ∵甲组数据的中位数为15，∴x ＝5； 又∵乙组数据的平均数为16.8， ∴()9151018245y +++++=16.8，解得：y ＝8；综上，x 、y 的值分别为5、8． 故答案为(1). 5 (2). 8【点睛】本题考查了利用茎叶图求数据的中位数与平均数的问题，是基础题．15.如图，在平面直角坐标系xOy 中，F 是椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的右焦点，直线2b y =与椭圆交于,B C 两点，且090BFC ∠=，则该椭圆的离心率是__________．【答案】63【解析】由题意得33(,),(,),22b b B a C a -，故，3(,)2bc -， 又90BFC ∠=，所以2222236()()0322b c c a e -+=⇒=⇒= 【考点】椭圆离心率【名师点睛】椭圆离心率的考查，一般分两个层次，一是由离心率的定义，只需分别求出,a c ，这注重考查椭圆标准方程中量的含义，二是整体考查，求,a c 的比值，这注重于列式，即需根据条件列出关于,a c 的一个等量关系，通过解方程得到离心率的值. 【此处有视频，请去附件查看】16.函数y ＝13x 3－ax 2＋x －2a 在R 上不是单调函数，，则a 的取值范围是________． 【答案】(－∞，－1)∪(1，＋∞) 【解析】试题分析：函数导数221y x ax =-+'，因为函数在R 上不是单调函数，所以导数值有正有负，即导函数221y x ax =-+'与x 轴有两个交点01a ∴∆>∴>或1a <- 考点：函数单调性点评：本题通过函数导数判定函数单调性，在R 上不是单调函数，则存在极值点，即存在导数值大于零和小于零的情况三、解答题（本大题共6小题，共72分）17.已知命题p ：“曲线C 1：22228x y m m ++=1表示焦点在x 轴上的椭圆”，命题q ：“曲线C 2：2211x y m t m t +=---表示双曲线”．（1）若命题p 是真命题，求m 的取值范围； （2）若p 是q 的必要不充分条件，求t 的取值范围． 【答案】（1）-4＜m ＜-2，或m ＞4；（2）-4≤t ≤-3或t ≥4 【解析】 【分析】（1）方程表示焦点在x 轴上的椭圆需满足228280m m m ⎧>+⎨+>⎩，解不等式即可求解（2）化简命题q 可得t ＜m ＜t +1，利用p 是q 的必要不充分条件可知{m |t ＜m ＜t +1}≠⊂{m |-4＜m ＜-2，或m ＞4}，建立不等式求解即可.【详解】（1）若p 为真：则228280m m m ⎧>+⎨+>⎩，解得-4＜m ＜-2，或m ＞4；（2）若q 为真，则（m -t )(m -t -1)＜0，即t ＜m ＜t +1，∵p 是q 的必要不充分条件， 则{m |t ＜m ＜t +1}≠⊂{m |-4＜m ＜-2，或m ＞4}， 即412t t -≤≤+≤-或t ≥4，解得-4≤t ≤-3或t ≥4.【点睛】本题主要考查了椭圆、双曲线的简单几何性质，必要不充分条件，真子集，属于中档题.18.20名学生某次数学考试成绩(单位：分)的频率分布直方图如下：(1)求频率直方图中a 的值；(2)分别求出成绩落在[50,60)与[60,70)中的学生人数；(3)从成绩在[50,70)的学生中人选2人，求这2人的成绩都在[60,70)中的概率． 【答案】(1)0.005,(2)2,3,(3)0.3 【解析】【详解】（1）据直方图知组距=10，由()23672101a a a a a ++++⨯=，解得10.005200a == （2）成绩落在[)50,60中的学生人数为20.00510202⨯⨯⨯= 成绩落在[)60,70中的学生人数为30.00510203⨯⨯⨯= （3）记成绩落在中的2人为12,A A ，成绩落在[)60,70中的3人为1B 、2B 、3B ， 则从成绩在的学生中人选2人的基本事件共有10个：()()()()()()()()()()12111213212223121323,,,,,,,,,,,,,,,,,,,A A A B A B A B A B A B A B B B B B B B其中2人的成绩都在中的基本事伯有3个：()()()121323,,,,,B B B B B B 故所求概率为310P =【此处有视频，请去附件查看】19.如图，已知三棱锥D －ABC 中，二面角A －BC －D 的大小为90°，且∠BDC ＝90°，∠ABC ＝30°，BC ＝3，23AB =．（1）求证：AC ⊥平面BCD ；（2）二面角B －AC －D 为45°，且E 为线段BC 的中点，求直线AE 与平面ACD 所成的角的正弦值．【答案】（1）见解析；（242【解析】 【分析】（1））△ABC 中,根据条件利用余弦定理求出AC,根据勾股定理证明垂直即可（2）以C 为原点，CB 所在直线为x 轴，CA 所在直线为y 轴，过点C 作垂直于平面ABC 的直线为z 轴建立空间直角坐标系，求出平面ACD 的法向量，利用直线与平面所成角公式计算即可.【详解】（1）△ABC 中，由2223cos 22AB BC AC ABC AB BC +-∠==⋅， 解得3AC =，从而AC 2+BC 2＝AB 2，∴AC ⊥BC ；又二面角A -BC -D 的大小为90°，即平面BCD ⊥平面ABC ，而平面BCD ∩平面ABC ＝BC ，AC ⊂平面ABC ，故AC ⊥平面BCD ；（2）以C 为原点，CB 所在直线为x 轴，CA 所在直线为y 轴，过点C 作垂直于平面ABC 的直线为z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，故平面ABC 的法向量u ＝(0，0，1)，设平面ACD 的法向量v ＝(1，m ，n )，由v CA ⊥，易知m ＝0， 从而v ＝(1，0，n )，22|cos ,|21n u v n 〈〉==+， 解得n ＝±1，结合实际图形，可知n 取1时，二面角为135°，应舍去， 所以v ＝(1，0，-1)，易知()0,3,0A ，B (3，0，0)，故3,0,02E ⎛⎫⎪⎝⎭，则3,3,02EA ⎛⎫=- ⎪⎝⎭， 设直线AE 与平面ACD 所成的角为θ， 则42sin |cos ,|14EA v θ=〈〉=，即直线AE 与平面ABC 所成的角的正弦值为4214． 【点睛】本题主要考查了余弦定理，利用空间向量求直线与平面所成的角，二面角，属于中档题.20.若直线l 为曲线C 1：y =x 2与曲线C 2：y =x 3的公切线，求直线l 的斜率. 【答案】0或6427【解析】 【分析】分别设l 与C 1, C 2的切点分别为（a ，b ），（m ，n ），利用导数分别求出切线方程，由l 为公切线可知两切线重合，即可求解.【详解】曲线C 1：y =x 2，则y ′=2x ，曲线C 2：y =x 3，则y ′=3x 2， 直线l 与曲线C 1的切点坐标为（a ，b ），则切线方程为y =2ax -a 2， 直线l 与曲线C 2的切点坐标为（m ，n ），则切线方程为y =3m 2x -2m 3， ∴2a =3m 2，a 2=2m 3，∴m =0或m =89， ∴直线l 的斜率为0或6427【点睛】本题主要考查了利用导数的几何意义求切线，属于中档题.21.已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>过点(0,2)，且离心率2e =（1）求椭圆E方程；（2）设直:1()l x my m R =-∈交椭圆E 于,A B 两点，判断点9(,0)4G -与以线段AB 为直径的圆的位置关系，并说明理由.【答案】(1)22142x y += (2) 点G 在以AB 为直径的圆外【解析】解法一：（Ⅰ）由已知得222{2,b c a a b c ===+解得2{a b c ===所以椭圆E 的方程为22142x y +=．（Ⅱ）设点1122(y ),B(,y ),A x x AB 中点为00H(,y )x ．由22221{(2)230,142x my m y my x y =-+--=+=得 所以12122223+=,=22m y y y y m m ++，从而022y m 2. 所以222222200000095525GH|()()(+1)++44216x y my y m y my =++=++=.22222121212()()(+1)()|AB|444x x y y m y y -+--==22221212012(+1)[()4](+1)()4m y y y y m y y y +-==-,故222222012222|AB|52553(+1)25172|GH|(+1)042162(2)21616(2)m m m my m y y m m m +-=++=-+=>+++ 所以|AB||GH|>2，故G 9(4-,0)在以AB 为直径的圆外． 解法二：（Ⅰ）同解法一.（Ⅱ）设点1122(y ),B(,y ),A x x ，则112299GA (,),(,).44x y GB x y =+=+由22221{(2)230,142x my m y my xy =-+--=+=得所以12122223+=,=22m y y y y m m ++， 从而121212129955GA GB ()()()()4444x x y y my my y y ⋅=+++=+++22212122252553(+1)25(+1)()4162(2)216m m m y y m y y m m =+++=-+++22172016(2)m m +=>+所以cos GA,GB 0,GA GB 〈〉>又，不共线，所以AGB ∠锐角.故点G 9(4-,0)在以AB 为直径的圆外．考点：1、椭圆的标准方程；2、直线和椭圆的位置关系；3、点和圆的位置关系． 【此处有视频，请去附件查看】22.已知抛物线C ；22y px =过点()1,1A ．()1求抛物线C 的方程；()2过点()3,1P -的直线与抛物线C 交于M ，N 两个不同的点(均与点A 不重合)，设直线AM ，AN 的斜率分别为1k ，2k ，求证：12k k ⋅为定值． 【答案】（1）2y x =．（2）见解析． 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法，可求抛物线的标准方程；（2）设过点P （3，﹣1）的直线MN 的方程为()13x t y =++，代入y 2=x 利用韦达定理，结合斜率公式，化简，即可求k 1•k 2的值．【详解】（1）由题意得21p =，所以抛物线方程为2y x =．（2）设()11,M x y ，()22,N x y ，直线MN 的方程为()13x t y =++， 代入抛物线方程得230y ty t ---=．所以()2280t ∆=++>，12y y t +=，123y y t =--． 所以()()121212221212121212111111111111111312y y y y k k x x y y y y y y y y t t ----⋅=⋅=⋅====-----+++++--++,所以1k ，2k 是定值．【点睛】求定值问题常见的方法①从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关．②直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．。

河北省张家口第一中学2021-2022高二数学9月月考试题（衔接班，含解析）一：选择题。

1.为了研究某班学生的脚长x （单位厘米）和身高y （单位厘米）的关系，从该班随机抽取10名学生，根据测量数据的散点图可以看出y 与x 之间有线性相关关系，设其回归直线方程为ˆˆˆybx a =+．已知101225ii x==∑，1011600i i y ==∑，ˆ4b=．该班某学生的脚长为24，据此估计其身高为（ ） A. 160 B. 163C. 166D. 170【答案】C 【解析】由已知22.5,160,160422.570,42470166ˆx y ay ==∴=-⨯==⨯+= ,选C. 【名师点睛】（1）判断两个变量是否线性相关及相关程度通常有两种方法：（1）利用散点图直观判断；（2）将相关数据代入相关系数r 公式求出r ，然后根据r 的大小进行判断．求线性回归方程时在严格按照公式求解时，一定要注意计算的准确性．2.如图茎叶图记录了在一次数学模拟考试中甲、乙两组各五名学生的成绩(单位：分).已知甲组数据的中位数为106,乙组数据的平均数为105.4,则x ,y 的值分别为（ ）A. 5,7B. 6,8C. 6,9D. 8,8【答案】B 【解析】 【分析】根据茎叶图中的数据，结合中位数与平均数的概念，即可求出x 、y 的值． 【详解】根据茎叶图中的数据，得；∵甲组数据的中位数为106，∴x ＝6； 又∵乙组数据的平均数为105.4， ∴()891061001091155y +++++=105.4，解得y ＝8；综上，x 、y 的值分别为6、8． 故选：B ．【点睛】本题考查了利用茎叶图求数据的中位数与平均数的问题，是基础题．3.某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名学生参加演讲比赛，那么下列对立的两个事件是（ ）A. “至少1名男生”与“至少有1名是女生”B. 恰好有1名男生”与“恰好2名女生”C. “至少1名男生”与“全是男生”D. “至少1名男生”与“全是女生” 【答案】D 【解析】从3名男生和2名女生中任选2名学生参加演讲比赛， “至少1名男生”与“至少有1名是女生”不互斥； “恰好有1名男生”与“恰好2名女生”是互斥不对立事件； “至少1名男生”与“全是男生”不互斥； “至少1名男生”与“全是女生”是对立事件； 故选：D4.已知21()2'(2016)2016ln 2f x x xf x =+-，则'(2016)f =（ ） A. 202X B. ﹣2015C. 202XD. ﹣202X【答案】B 【解析】 【分析】将函数求导后，令2016x =代入导函数，可求得所求的结果. 【详解】对函数求导得()()201622016f x x f x+-'='，令2016x =代入得()()20162016220161f f ='+-'，解得()20162015f =-'，故选B.【点睛】本小题主要考查导数的运算公式，考查运算求解能力.属于基础题.主要考点是()()'af x af x ⎡⎤=⎣⎦'.5.(2021·宝鸡二检)已知p ：k；q ：直线y ＝kx ＋2与圆x 2＋y 2＝1相切．则p ⌝是q ⌝的( )A. 充要条件B. 必要不充分条件C. 充分不必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】直线y ＝kx ＋2与圆x 2＋y 2＝11=，解得k＝q ：k＝因为p ：k⌝p ：k⌝q ：k≠⌝p 是⌝q 的必要不充分条件．6.有5支彩笔（除颜色外无差别），颜色分别为红、黄、蓝、绿、紫.从这5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔，则取出的2支彩笔中含有红色彩笔的概率为 A.45B.35C.25D.15【答案】C 【解析】选取两支彩笔的方法有25C 种，含有红色彩笔的选法为14C 种，由古典概型公式，满足题意的概率值为142542105C p C ===. 本题选择C 选项. 考点：古典概型名师点睛：对于古典概型问题主要把握基本事件的种数和符合要求的事件种数，基本事件的种数要注意区别是排列问题还是组合问题，看抽取时是有、无顺序，本题从这5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔，是组合问题，当然简单问题建议采取列举法更直观一些.7.直线20xsin y α++=的倾斜角的取值范围是（ ）A. [)0,πB. ][30,,44πππ⎡⎫⋃⎪⎢⎣⎭C. 0,4π⎡⎤⎢⎥⎣⎦D. 042πππ⎡⎤⎛⎫⋃⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭，， 【答案】B 【解析】 【分析】由直线的方程可确定直线的斜率，可得其范围，进而可求倾斜角的取值范围． 【详解】直线x sinα+y +2＝0的斜率为k ＝﹣sinα， ∵﹣1≤sinα≤1，∴﹣1≤k ≤1 ∴倾斜角的取值范围是[0，4π]∪[34π，π） 故选：B ．【点睛】本题考查直线的斜率与倾斜角的关系，属基础题．8.已知函数1()ln 1f x x x =--，则=()y f x 的图象大致为（ ）A. B.C. D.【答案】A 【解析】 【分析】利用特殊值，对函数图像进行排除，由此得出正确选项.【详解】由于12201112ln 1ln 2222f ⎛⎫==> ⎪⎝⎭---，排除B 选项.由于()()2222,23f e f e e e ==--，()()2f e f e >，函数单调递减，排除C 选项.由于()10010020101f e e =>-，排除D 选项.故选A. 【点睛】本小题主要考查已知具体函数的解析式，判断函数的图像，属于基础题.9.采用系统抽样方法从960人中抽取32人做问卷调查，为此将他们随机编号1，2，⋯，960，分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为29，则抽到的32人中，编号落入区间[]200,480的人数为 A. 7B. 9C. 10D. 12【答案】C 【解析】 【分析】根据系统抽样的定义，可知抽到的号码数可组成一个以301=-n a n 为通项公式的等差数列，令*200301480,≤-≤∈n n N ，解不等式可得结果。

3.2导数的计算3．2.1几个常用函数的导数3．2.21．用导数的定义求导数的步骤是怎样的？【提示】①求函数值的变化量；②求平均变化率；③取极值，得导数．2．我们发现，用导数的定义求导数很复杂，能不能总结出常用函数的求导公式呢？【提示】能．基本初等函数的导数公式续表一个函数可以求其导数，那么两个函数加、减、乘、除能求导吗？【提示】能．(1)y ＝x 8 (2)y ＝1x4 (3)y ＝3x(4)y ＝2x (5)y ＝log 2x (6)y ＝cos x【思路探究】 (1)以上函数分别是什么类型的函数？ (2)这种函数的求导公式是怎样的？ 【自主解答】 (1)y ′＝(x 8)′＝8x 8－1＝8x 7.(2)y ′＝(1x 4)′＝(x －4)′＝－4x －5.(3)y ′＝(3x )′＝(x 13)′＝13x 13－1＝13x －23.(4)y ′＝(2x )′＝2x ln 2. (5)y ′＝(log 2x )′＝1x ln 2.(6)y ′＝(cos x )′＝－sin x .1．基本初等函数的求导公式是求导数基本依据，一定要记清形式，学会使用公式求导． 2．对于形如y ＝1x p ，y ＝nx 的函数一般先转化为幂函数的形式，再用幂函数的求导公式求导．3．要区分指数函数、对数函数的求导公式，以免在运用时混淆．求下列函数的导数； (1)y ＝10；(2)y ＝x 10； (3)y ＝3x 2；(4)y ＝13x2；(5)y ＝3x ；(6)y ＝log 3x . 【解】 (1)y ′＝(10)′＝0(2)y ′＝(x 10)′＝10x 10－1＝10x 9.(3)y ′＝(x 23)′＝23x 23－1＝23x －13＝233x.(4)y ′＝(x －23)′＝－23x －23－1＝－23x －53＝－233x 5.(5)y ′＝(3x )′＝3x ln 3.(6)y ′＝(log 3x )′＝1.求下列函数的导数：(1)f (x )＝(x ＋2)(x －3)；(2)f (x )＝lg x －3x ；(3)f (x )＝11－x ＋11＋x；(4)f (x )＝sin x1＋sin x .【思路探究】【自主解答】 (1)∵f (x )＝x 2－x －6，∴f ′(x )＝(x 2－x －6)′＝2x －1.(2)f ′(x )＝(lg x )′－(3x )′＝1x ·ln 10－3x ln 3.(3)y ＝11－x ＋11＋x ＝1＋x ＋1－x (1－x )(1＋x )＝21－x ，∴y ′＝(21－x )′＝－2(1－x )′(1－x )2＝2(1－x )2.(4)∵f (x )＝sin x 1＋sin x ＝1－11＋sin x，∴f ′(x )＝1′－(11＋sin x )′＝－－(1＋sin x )′(1＋sin x )2＝cos x (1＋sin x )2.1．应用导数运算法则求函数的导数的技巧：(1)求导之前，对三角恒等式先进行化简，然后再求导，这样既减少了计算量，又可少出错．(2)利用代数恒等变形可以避开对商的形式求导．(3)在函数中有两个以上的因式相乘时，要注意多次使用积的求导法则，能展开的先展开成多项式，再求导．2．应用导数运算法则求函数的导数的原则：结合函数解析式的特点先进行恒等变形，把一个函数化成几个基本初等函数的加、减、乘、除运算，再套运算法则．求下列函数的导数：(1)y ＝x 5－3x 3－5x 2＋6； (2)y ＝(2x 2＋3)(3x －2)；(3)y ＝x －1x ＋1； (4) y ＝－sin x 2(1－2cos 2x 4)．【解】 (1)y ′＝(x 5－3x 3－5x 2＋6)′ ＝(x 5)′－(3x 3)′－(5x 2)′＋6′ ＝5x 4－9x 2－10x .(2)法一 y ′＝(2x 2＋3)′(3x －2)＋(2x 2＋3)(3x －2)′ ＝4x (3x －2)＋3(2x 2＋3)＝18x 2－8x ＋9.法二 ∵y ＝(2x 2＋3)(3x －2)＝6x 3－4x 2＋9x －6，∴y ′＝18x 2－8x ＋9.(3)法一 y ′＝(x －1x ＋1)′＝(x －1)′(x ＋1)－(x －1)(x ＋1)′(x ＋1)2＝(x ＋1)－(x －1)(x ＋1)2＝2(x ＋1)2.法二 ∵y ＝x －1x ＋1＝x ＋1－2x ＋1＝1－2x ＋1，∴y ′＝(1－2x ＋1)′＝(－2x ＋1)′＝－2′(x ＋1)－2(x ＋1)′(x ＋1)2＝2(x ＋1)2.(4)y ＝－sin x 2(1－2cos 2x )＝－sin x (－cos x )＝1sin x ，y ′＝(1sin x )′＝1(sin x )′＝12cos x .【思路探究】 (1)平行于直线4x ＋3y －8＝0且与抛物线相切的直线与抛物线y ＝－x 2的切点是否满足题意？(2)该切点的坐标如何求出？【自主解答】 如图所示，由题意知作与4x ＋3y －8＝0平行的直线l ，当l 与y ＝－x 2相切时，切点P 到直线4x ＋3y －8＝0的距离最小．设切点为(x 0，－x 20)，又y ′＝(－x 2)′＝－2x ，∴－2x 0＝－43，∴x 0＝23，y 0＝－x 20＝－49，∴点P (23，－49)，即抛物线y ＝－x 2上的点(23，－49)到直线的距离最小．利用导数的四则运算法则和基本初等函数的求导公式，结合导数的几何意义，可以求解一些与距离、面积有关的几何问题，解题的关键是正确运用曲线的切线．已知点P 是曲线y ＝x 2－ln x 上一点，求点P 到直线y ＝x －2的最小距离．【解】 过p 作y ＝x －2的平行直线，且与曲线y ＝x 2－ln x 相切，设P (x 0，x 20－ln x 0)，则k ＝y ′|x ＝x 0＝2x 0－1x 0＝1，∴x 0＝1或x 0＝－12(舍去)，∴p 的坐标为(1,1)，∴d min ＝|1－1－2|1＋1＝ 2.(对应学生用书第54页)因公式记忆不准确致误求函数y ＝sin x －cos x 的导数． 【错解】 y ′＝(sin x )′－(cos x )′＝cos x －sin x【错因分析】 (cos x )′＝－sin x ，错解中因漏掉负号致误．【防范措施】 应熟记基本初等函数的求导公式和导数的四则运算法则，以防因记忆不牢而致误．【正解】 y ′＝(sin x )′－(cos x )′＝cos x ＋sin x .本堂课的主要内容是利用基本初等函数的求导公式和导数的运算法则求导数的运算．在运算中，熟记有关的求导公式是关键，但对运算法则更应熟练掌握，特别是对商的运算，应与积的运算予以区别记忆，同时也要注意它们之间的联系.(对应学生用书第54页)1．已知函数f (x )＝1x ，则f ′(－3)等于( )A ．4 B.19 C ．－14 D ．－19【解析】 ∵(1x )′＝－1x 2，∴f ′(－3)＝－1(－3)2＝－19. 【答案】 D2．下列各式中正确的是( ) A ．(ln x )′＝xB ．(cos x )′＝sin xC ．(sin x )′＝cos xD ．(x －5)′＝－15x －6【解析】 ∵(ln x )′＝1x ，(cos x )′＝－sin x ，(x －5)′＝－5x －5－1＝－5x 6，∴A 、B 、D 均不正确；C 正确．【答案】 C3．下列求导正确的是( )A ．(x ＋1x )′＝1＋1x2B ．(log 2x )′＝1x ln 2C ．(3x ＋ln 3)′＝3x ·ln 3＋13D ．(x 2cos x )′＝－2x sin x【解析】 ⎝⎛⎭⎫x ＋1x ′＝1＋⎝⎛⎭⎫1x ′＝1－1x 2，A 不正确． (3x ＋ln 3)′＝(3x )′＋(ln 3)′＝3x ln 3，C 不正确． (x 2cos x )′＝2x cos x －x 2sin x ，D 不正确．【答案】 B4．求曲线y ＝xx －2在点(1，－1)处的切线方程．【解】 y ′＝(xx －2)′＝－2(x －2)2. ∴k ＝y ′|x ＝1＝－2∴切线方程为y ＋1＝－2(x －1)，即2x ＋y －1＝0.3.3导数在研究函数中的应用。

[名校联盟]河北省张家口一中高二数学《参数方程的概念》学案 教学目标：通过抛物运动中时间与运动物体位置的关系，写出抛物线运动轨迹的参数方程，体会参数方程的意义教学重点：参数方程的概念教学难点：对参数书方程的充分理解教学过程：一、物理背景探究：一架救援飞机在离灾区底面500m 高处以100m/s 的速度作水平直线飞行．设飞机在点Ａ将物质投出机舱，在过飞机航线且垂直于底面的平面上建立平面直角坐标系，其中ｘ轴为该平面与地面的交线，ｙ轴经过Ａ点．记物质从被投出到落地这段时间内的运动曲线为Ｃ，)(y x M ，为Ｃ上任意点，其中ｘ表示物质的水平位移，ｙ表示物质距地面的高度（１）为使投放的救援物质准确落于灾区指定的地面飞行员应如何确定投放时机？（不计空气阻力，重力加速度2/8.9s m g =）（２）写出Ｃ的方程0)(=y x f ，．分析：救援物质从被投出到落地这段时间内做初速度为水平方向100m/s 的平抛运动．该运动为两种运动的合成：水平方向的匀速直线运动；竖直方向的自由落体运动，且竖直方向上的位移为500m ．可知完成两种运动的时间是相等的．直接建立ｘ、y 的关系不容易，考虑引入时间t 作为中介．记物质投出机舱为０时刻，在时刻ｔ时物质的位置为点)(y x M ，，则有：水平方向： ；竖直方向： ， )0(≥t ，即：当0=y 时，物质落地，所用时间 ，在这段时间内，物质的水平位移为 ．则飞行员应该在离救援点的水平距离约 时投放物质． 易知在①式中，消掉t 便得x 、y 的关系式：②思考：①式与②式都可以用来描述物质的运动状态，两者各自有何特征？在这个物理问题中，用哪个描述运动状态更好些？二、参数方程的定义定义：一般的，在平面直角坐标系中，如果曲线上的任意一点的坐标x ，y 都是某个变数t 的函数：⎩⎨⎧==)()(t g y t f x ③ 且对于t 的每一个允许值，由方程组③确定的点)(y x M ，都在这条曲线上，那么方程组③叫做这条曲线的参数方程．．．．，联系变数x 、y 的变数t ．叫做参变数．．．，简称参数．．．相对于参数方程而言，直接给出点坐标x 、y 之间关系的方程0)(=y x f ，叫普通方程．．．．． 参数t （也可用其它小写字母表示）是联系变数x 、y 的桥梁，它可以是有物理意义或几何意义的变数，也可以是没有明显实际意义的变数；参数方程和普通方程都是在直角坐标系之下．例1.已知曲线C 的参数方程是为参数）（t t y t x ⎩⎨⎧+==1232 （1）判断点)1,0(1M ，)4,5(2M 与曲线C 的位置关系（2）已知点),6(3a M 在曲线C 上，求a 的值（3）求出C 的普通方程小结：例2.将下列两个参数方程化为普通方程，并说出该方程表示何种曲线（其中0>r ）（1）⎩⎨⎧==θθsin cos r y r x )(为参数r ；（2）⎩⎨⎧==θθsin cos r y r x )(为参数θ小结：例3．下列哪个方程可以作为直线t y 2=的参数方程（ ）A. ⎪⎩⎪⎨⎧==222t y t x )(为参数t B. ⎩⎨⎧==θθsin 2sin y x 为参数）（θC. ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==ty t x 21)(为参数t D. ⎩⎨⎧==sy sx 2为参数）（s小结：。

高三年级周考衔接16、17班数学试卷时间 2月26日第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知全集U R =，集合{0,1,2,3,4,5}A =，{|2}B x x =≥，则图中阴影部分表示的集合为（ ）A ．{0,1}B ．{1}C ．{1,2}D ．{0,1,2}2. 已知i 为虚数单位，图中复平面内的点A 表示复数z ，则表示复数1zi+的点是（ ）A ．MB ．NC ．PD ．Q3. 如图所示，墙上挂有边长为a 的正方形木板，它的四个角的空白部分都是以正方形的顶点为圆心，半径为2a的圆弧，某人向此板投镖.假设每次都能击中木板，且击中木板上每个点的可能性都一样，则他击中阴影部分的概率是（ ）A ．14π-B ．4πC ．18π-D ．与a 的取值有关 4. 某公司为确定明年投入某产品的广告支出，对近5年的广告支出m 与销售额t （单位：百万元）进行了初步统计，得到下列表格中的数据：经测算，年广告支出m 与年销售额t 满足线性回归方程 6.517.5t m =+，则p 的值为（ ） A ．45 B ．50 C.55 D ．605. 已知焦点在y 轴上的双曲线C 的中点是原点O ，离心率等于22222152c a b a e a a a ++==== 52.以双曲线C 的一个焦点为圆心，1为半径的圆与双曲线C 的渐近线相切，则双曲线C 的方程为（ ）A ．221164y x -= B ．2214x y -= C. 2214y x -= D ．2214x y -= 6. 已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．1133 B ．35 C. 1043 D ．10747. 公元263年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，并创立了割圆术.利用割圆术刘徽得到了圆周率精确到小数点后面两位的近似值3.14，这就是著名的徽率.如图是利用刘徽的割圆术设计的程序框图，则输出的n 为（ ） 3 1.732≈,sin150.2588≈°,sin7.50.1305≈°）A ．12B ．24 C. 36 D ．48. 如图，周长为1的圆的圆心C 在y 轴上，顶点(0,1)A ，一动点M 从A 开始逆时针绕圆运动一周，记走过的弧长AM x =，直线AM 与x 轴交于点(,0)N t ，则函数()t f x =的图象大致为（ ）A ．B ． C. D ．9. 三棱锥A BCD -的外接球为球O ，球O 的直径是AD ，且ABC ∆，BCD ∆都是边长为1的等边三角形，则三棱锥A BCD -的体积是（ ） A 2 B 22310. 在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2cos 2c B a b =+.若ABC ∆的面积312S c =，则ab 的最小值为（ ） A ．12 B ．13 C. 16D ．311. 已知直线y mx =与函数20.51,0,()12(),03xx x f x x ⎧+>⎪=⎨-≤⎪⎩的图象恰好有3个不同的公共点，则实数m 的取值范围是（ ）A．4) B．)+∞C. D． 12. 已知直线y a =分别与函数1x y e +=和y =,A B 两点，则,A B 之间的最短距离是（ ） A ．3ln 22- B ． 5ln 22- C. 3ln 22+ D ．5ln 22+第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.若6(n x +的展开式中含有常数项，则n 的最小值等于________.14. 已知抛物线方程为22(0)y px p =>，焦点为F ，O 是坐标原点，A 是抛物线上的一点，FA 与x 轴正方向的夹角为60，若OAF ∆，则p 的值为__________.15. 在送医下乡活动中，某医院安排甲、乙、丙、丁、戊五名医生到三所乡医院工作，每所医院至少安排一名医生，且甲、乙两名医生不安排在同一医院工作，丙、丁两名医生也不安排在同一医院工作，则不同的分配方法总数为__________.16. 若不等式组20,5100,80x y x y x y -+≥⎧⎪-+≤⎨⎪+-≤⎩，所表示的平面区域存在点00(,)x y ，使0020x ay ++≤成立，则实数a 的取值范围是___________.三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. （本小题满分12分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，*1111(,1)n n a a S n N λλ+==+∈≠-，,且12323a a a +、、为等差数列{}n b 的前三项.（1）求数列{}n a ,{}n b 的通项公式； （2）求数列{}n n a b 的前n 项和.18. （本小题满分12分）甲、乙两人轮流投篮，每人每次投一次篮，先投中者获胜．投篮进行到有人获胜或每人都已投球3次时结束．设甲每次投篮命中的概率为 25，乙每次投篮命中的概率为 23，且各次投篮互不影响．现由甲先投．（1）求甲获胜的概率；（2）求投篮结束时甲的投篮次数X 的分布列与期望． 19. （本小题满分12分）已知在三棱柱111ABC A B C -中，侧面11ABB A 为正方形，延长AB 到D ，使得AB BD =，平面11AA C C ⊥平面11ABB A ，1112AC AA =，114C A A π∠=.（1）若,E F 分别为11C B ，AC 的中点，求证：//EF 平面11ABB A ； （2）求平面111A B C 与平面1CB D 所成的锐二面角的余弦值.20. （本小题满分12分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>，圆22(2)(2)2Q x y -+-=的圆心Q 在椭圆C 上，点2)P 到椭圆C 6.（1）求椭圆C 的方程；（2）过点P 作互相垂直的两条直线12,l l ，且1l 交椭圆C 于,A B 两点，直线2l 交圆Q 于,C D 两点，且M 为CD 的中点，求MAB ∆面积的取值范围.21. （本小题满分12分）已知函数221()()(1)(22)2xf x ax bx a b e x x x a R =++---++∈，，且曲线()y f x =与x 轴切于原点O .（1）求实数,a b 的值；（2）若2()()0f x x mx n +-≥•恒成立，求m n +的值.请考生在22、23中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22. （本小题满分10分）选修4-1：坐标系与参数方程已知曲线C 的极坐标方程是2ρ=，以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线l的参数方程为12x ty =+⎧⎪⎨=⎪⎩（t 为参数）.（1）写出直线l 的普通方程与曲线C 的直角坐标方程；（2）设曲线C 经过伸缩变换'1'2x xy y =⎧⎪⎨=⎪⎩得到曲线'C ，设(,)M x y 为曲线'C上任一点，求222x y -+的最小值，并求相应点M 的坐标.23. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知实数0a >，0b >，函数()||||f x x a x b =---的最大值为3. （1）求a b +的值；（2）设函数2()g x x ax b =---，若对于x a ∀≥均有()()g x f x <，求a 的取值范围.第Ⅰ卷（共60分） 衔接班16、17周考答案一、选择题：ADADC CBDBB BD 二、填空题13. 5 14. 2 15. 84 16. 1a ≤-三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.（2）()1322n n n a b n -=-⋅，()121114272322n n T n -∴=⋅+⋅+⋅++-⋅………………①()()12312124272352322n n n T n n -∴=⋅+⋅+⋅++-⋅+-⋅……………②…………8分① —②得()12111323232322n n n T n --=⋅+⋅+⋅++⋅--⋅…()()12121332212n n n -⋅-=+⋅--⋅-…………10分整理得：()3525n n T n =-⋅+………………12分 18.（2）X所有可能取的值为1，2，3．则 P (X ＝1)＝25＋35×23＝45；P (X ＝2)＝225＋35×13×35×23＝425；P (X ＝3)＝(35)2×(13)2×1＝125．即X 的概率分布列为X 1 2 3 P45425125所以X 的数学期望E (X )＝1×45＋2×425＋3×125＝3125． ……………………… 10分19. （本小题满分12分）（2）连接1AC ，在11AAC 中，11111,24C A A AC AA π∠==， 所以由余弦定理得2222111111*********cos ,,AC AA AC AA AC AAC AA AA AC A AC =+-⨯∠=∴=∆是等腰直角三角形，11AC AA ⊥，又因为平面11AAC C ⊥平面11ABB A ，平面11AAC C 平面1111,ABB A AA AC =∴⊥平面11ABB A ，AB ⊂平面11ABB A ，1AC AB ∴⊥，…………7分又因为侧面11ABB A ，为正方形，1AA AB ∴⊥，分别以11,,AA AB AC 所在直线作为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，设1AB =，则()()()()()()1110,0,0,1,0,0,1,1,0,0,0,1,1,0,1,0,2,0A A B C C D -，()()()()111112,1,1,1,2,1,1,0,1,0,1,0CB CD AC A B ∴=-=-=-，………………8分设平面111A B C 的一个法向量为()111,,m x y z =，则11110,0m A C m A B •=•=，即11100x z y -+=⎧⎨=⎩，令11x =，则221,3y z ==，故()1,1,3n =为平面1CB D 的一个法向量，20. （本小题满分12分） (1) 22184x y +=；(2) 45,4⎛⎤⎥ ⎝⎦.21. （本小题满分12分）(1)0,1a b ==；(2)1m n +=-.请考生在22、23中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.（2）∵'1'2x xy y =⎧⎪⎨=⎪⎩，∴'C 的直角坐标方程为2214x y +=.∴设()2cos ,sin M θθ，则2cos ,sin x y θθ==.∴2222324cos 23cos 2sin 2cos 233x xy y πθθθθθ⎛⎫-+=-+=++ ⎪⎝⎭.∴当cos 213πθ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，即132x y =⎧⎪⎨=⎪⎩或132x y =-⎧⎪⎨=-⎪⎩，上式取最小值1.即当1,2M ⎛⎝⎭或1,2⎛-- ⎝⎭，222x y +的最小值为1. 23. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲(1) 3a b +=；(2)132a <<.。

高考真题演练指数、指数函数性质1．(2014·辽宁卷)已知a ＝2－13，b ＝log 213，c ＝log 1213，则( )A ．a >b >cB ．a >c >bC ．c >a >bD ．c >b >a解析：由指数函数及对数函数的单调性易知0<2－ 13<1，log 213<log 21＝0，log 12 13>log 1212＝1，故选C.答案：C2．(2012·大纲全国卷)已知x ＝lnπ，y ＝log 52，z ＝e －12，则( )A ．x <y <zB ．z <x <yC ．z <y <xD ．y <z <x解析：z ＝1e ，由2<e<3得2<e<3，∴13<z <12，∴12<z <1，又y ＝log 52<log 55＝12，x ＝lnπ>lne ＝1，故选D.答案：D3．(2011·山东卷)若点(a,9)在函数y ＝3x的图象上，则tan a π6的值为( )A ．0 B.33 C ．1D. 3解析：由题意有3a ＝9，则a ＝2，所以tan a π6＝tan π3＝3，故选D. 答案：D指数函数性质的应用4．(2015·山东卷)已知函数f (x )＝a x ＋b (a >0，a ≠1)的定义域和值域都是[－1,0]，则a ＋b ＝________.解析： ①当a >1时，f (x )在[－1,0]上单调递增，则⎩⎪⎨⎪⎧a －1＋b ＝－1，a 0＋b ＝0，无解． ②当0<a <1时，f (x )在[－1,0]上单调递减，则⎩⎪⎨⎪⎧a －1＋b ＝0，a 0＋b ＝－1，解得⎩⎨⎧a ＝12，b ＝－2，∴a ＋b ＝－32.答案：－325．(2015·江苏卷)不等式2 x 2－x<4的解集为________．解析：不等式2x 2－x<4可转化为2x 2－x<22，利用指数函数y ＝2x 的性质可得，x 2－x <2，解得－1<x <2，故所求解集为{x |－1<x <2}．答案：{x |－1<x <2}6．(2012·山东卷)若函数f (x )＝a x (a >0，a ≠1)在[－1,2]上的最大值为4，最小值为m ，且函数g (x )＝(1－4m )x 在[0，＋∞)上是增函数，则a ＝________.解析：g (x )＝(1－4m )x 在[0，＋∞)上是增函数，应有1－4m >0，即m <14.当a >1时，f (x )＝a x 为增函数，由题意知⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，a －1＝m ⇒a ＝2，m ＝12，与m <14矛盾．当0<a <1时，f (x )＝a x 为减函数．由题意知⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝m ，a －1＝4，⇒a ＝14，m ＝116， 满足m <14.故a ＝14. 答案：14。

2016-2017学年度第一学期期末考试高二年级衔接班理科数学试卷（时间120分钟 总分150分）第I 卷一、选择题(本大题共12小题，共60.0分) 1.设复数z 满足（i -1）z =2，则z =（ ）A.-1-iB.-1+iC.1-iD.1+i 2.已知随机变量X 满足D （X ）=3，则D （3X+2）=（ ） A.2 B.27 C.18 D.20 3.函数y =x -lnx 的单调递减区间是（ ）A.（1，+∞）B.（-∞，1）C.（e ，+∞）D.（0，1）4.已知随机变量X 服从正态分布N （3，4），且P （3≤X≤a ）=0.35（其中a ＞3），则P （X ＞a ）=（ ） A.0.35 B.0.25 C.0.15 D.0.35.下面几种推理过程是演绎推理的是（ ）A.某校高三有8个班，1班有51人，2班有53人，由此推断各班人数都超过50人B.由三角形的性质，推测空间四面体的性质C.在数列{a n }中，a 1=1，nnn a a a +=+11（n =1，2，3），由此归纳出{a n }的通项公式 D.三角函数都是周期函数，αtan 是三角函数，因此αtan 是周期函数 6.定积分⎰-+112)sin (dx x x 的值为（ ）A.32 B.52- C.41 D.65 7.已知1010221052)13(x a x a x a a x x ++++=+- ，则10321a a a a ++++ =（ ）A.-1B.1C.-2D.0 8.已知函数18)3ln(2)(++=x x x f ，则xf x f x ∆-∆-→∆)1()21(lim的值为（ ）A.10B.-20C.-10D.209.若函数y =f （x ）的导函数y =f ′（x ）的图象如图所示，则y =f （x ）的图象可能（ ） A. B.C. D.10.对标有不同编号的16件正品和4件次品的产品进行检测，不放回地依次摸出2件．在第一次摸出次品的条件下，第二次也摸到次品的概率是（ ） A.51 B.953 C.193 D.951 11.若不等式|2x -1|-|x +a |≥a 对任意的实数x 恒成立，则实数a 的取值范围是（ ） A.（-∞，-31] B.（-21，-41] C.（-21，0） D.（-∞，-41] 12.已知函数f （x ）的定义域为（0，+∞），且满足0)()(>'+x f x x f （)(x f '是)(x f ）的导函数），则不等式)1()1()1(2+<--x f x f x 的解集为（ ）A.（-1，2）B.（1，2）C.（1，+∞）D.（-∞，2）第II 卷二、填空题(本大题共4小题，共20.0分) 13.已知样本数为11，计算得132,66111111==∑∑==i i i iy x，回归方程为y =0.3x +a ，则a = ______ ．14.四名高二学生报名参加数学、物理、化学三门学科竞赛，要求每名学生都参加且只参加1门学科竞赛，则3门学科都有学生参赛的种数有 ______ 种．15.用数学归纳法证明（n +1）（n +2）（n +3）…（n +n ）=2n•1•3•5…（2n -1）（n ∈N *）时，从n =k 到n =k +1时左边需增乘的代数式是 ______ ．16.已知函数f （x ）的定义域为[-1，5]，部分对应值如下表，f （x ）的导函数y =f '（x ）的图象如图所示．下列关于f （x ）的命题：①函数f （x ）的极大值点为0，4； ②函数f （x ）在[0，2]上是减函数；③如果当x ∈[-1，t ]时，f （x ）的最大值是2，那么t 的最大值为4； ④当1＜a ＜2时，函数y =f （x ）-a 有4个零点． 其中正确命题的序号是 ______ ．三、解答题(本大题共6小题，共70.0分) 17.（10分）已知函数f （x ）=|x -4|+|x -a |． （I ）当a =2时，求函数f （x ）＞10的解集；（II ）若关于x 的不等式f （x ）≥1的解集是R ，求a 的取值范围．18.（12分）某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此做了四次试验，得到的数据如表：（1）求出y 关于x 的线性回归方程a x b yˆˆˆ+=； （2）试预测加工10个零件需要多少小时？（参考公式：2121121)())((ˆx n xy x n yx x xy y x xbni ini ii ni ini i i--=---=∑∑∑∑====；x b y a ˆˆ-=；）19. （12分）已知函数2)(23++-=x x x x f ． （1）求曲线f （x ）在点（1，f （1））处的切线方程； （2）求经过点A （1，3）的曲线f （x ）的切线方程．20. （12分）已知甲箱中有4个红球和2个黑球，乙箱中有3个红球和2个黑球，这些球除颜色外，完全相同，现从甲、乙两个箱中各任取2个球． （Ⅰ）求取出的4个球均为红球的概率； （Ⅱ）求取出的4个球中恰有3个黑球的概率；（Ⅲ）设ξ为取出的4个球中，黑球的个数，求ξ的分布列和数字期望．21. （12分）心理学家分析发现视觉和空间能力与性别有关，某数学兴趣小组为了验证这个结论，从兴趣小组中按分层抽样的方法抽取50名同学 （男30女20），给所有同学几何题和代数题各一题，让各位同学自由选择一道题进行解答．选题情况如下表：（单位：人）下面的临界值表供参考：（参考公式))()()(()(22d b c a d c b a bc ad n k ++++-=其中n =a +b +c +d ）（1）能否在犯错的概率不超过0.025的前提下认为视觉和空间能力与性别有关？（2）现从选择做几何题的10名女生中任意抽取3人对她们的答题情况进行全程研究，记甲、乙、丙三位女生被抽到的人数为X ，求X 的分布列及数学期望EX ．22. （12分）已知函数xxx f ln 1)(+= （1）求函数f （x ）的极值 （2）设g （x ）=)1(1x a x-+[xf （x ）-1]，若对任意x ∈（0，1）恒有g （x ）＜-2求实数a 的取值范围．2016-2017学年度第一学期期末考试 高二年级衔接班理科数学试卷答案和解析1.A2.B3.D4.C5.D6.A7.C8.B9.C 10.C 11.D 12.B 13.10.2 14. 36 15. 4k +2 16. ①②17.(10分)解：（Ⅰ）a =2时，f （x ）=|x -4|+|x -2|＞10， x ≥4时，x -4+x -2＞10，解得：x ＞8， 2＜x ＜4时，4-x +x -2＞10，不成立， x ≤2时，4-x +2-x ＞10，解得：x ＜-2， 故不等式的解集是{x |x ＞8或x ＜-2}；（Ⅱ）若关于x 的不等式f （x ）≥1的解集是R ， 则f （x ）=|x -4|+|x -a |≥|x -4-x +a |=|a -4|≥1， 解得：a ≥5或a ≤3．18.(12分)解：（1）由表中数据得：==3.5， ==3.5，54,5.5241241==∑∑==i i i ii x yx ， ∴bˆ==0.7， ∴aˆ=-=1.05，∴线性回归方程是=0.7x +1.05；（2）将x =10代入回归直线方程，得=0.7×10+1.05=8.05， ∴预测加工10个零件需要8.05小时．19.(12分)解：（1）函数f （x ）=x 3-x 2+x +2的导数为)(x f '=3x 2-2x +1， 可得曲线f （x ）在点（1，f （1））处的切线斜率为3-2+1=2， 切点为（1，3）， 即有曲线f （x ）在点（1，f （1））处的切线方程为y -3=2（x -1）， 即为2x -y +1=0；（2）设切点为（m ，n ），可得n =m 3-m 2+m +2， 由f （x ）的导数)(x f '=3x 2-2x +1，可得切线的斜率为3m 2-2m +1， 切线的方程为y -（m 3-m 2+m +2）=（3m 2-2m +1）（x -m ）， 由切线经过点（1，3），可得 3-（m 3-m 2+m +2）=（3m 2-2m +1）（1-m ）， 化为m （m -1）2=0，解得m =0或1． 则切线的方程为y -2=x 或y -3=2（x -1）， 即为y =x +2或y =2x +1．20.(12分)解：（Ⅰ）设“从甲箱内取出的2个球均为红球”为事件A ， “从乙箱内取出2个球均为红球”为事件B ，则P （A ）=522624=C C ，P （B ）=1032523=C C ， ∵事件A 与B 相互独立，∴P（A ）P （B ）==，∴取出的个球均为红球的概率为．（Ⅱ）设“从甲箱中取出的2个球均为黑球， 从乙箱中取出的2个球中，1个是红球，1个是黑球”为事件C ， “从甲箱中取出的2个球中，1个是红球，1个是黑球， 从乙箱中取出的2个球均为黑球”为事件D ， 则P （C ）===251，P （D ）==，∵事件C 、D 互斥，∴取出的4个球中恰有3个黑球的概率： p =757754753=+． （Ⅲ）ξ的可能取值为0，1，2，3，4， 由（Ⅰ），（Ⅱ）得P （ξ=0）=253，P （ξ=1）=5225121326242523261412=⋅+⋅C C C C C C C C C C ，P （ξ=2）=1505711251312261214252624252326=⋅+⋅+⋅C C C C C C C C C C C C ， P （ξ=3）=757，P （ξ=4）=1501112526=⋅C C ，ξ的分布列为：E ξ=51504753150251250=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯． 21.(12分)解：（1）K 2=024.56340015352030)5101025(502>⨯⨯⨯⨯-⨯⨯，故在犯错的概率不超过0.025的前提下认为视觉和空间能力与性别是有关的；…（4分） （2）X 可取的值为0，1，2，3P （X=0）=24731037=C C ，P （X=1）=40213101327=C C C ， P （X=2）=4073102317=C C C ，P （X=3）=120131033=C C ．…（12分）22.(12分)解：（1）由f （x ）=x x ln 1+，得)0(ln )ln 1()(2>-='+='x xxx x x f ， 当0＜x ＜1时，0)(>'x f ；当x ＞1时，0)(<'x f ， ∴f （x ）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减， 故f （x ）在x =1处取得极大值，极大值为f （1）=1； （2）由题意可知，a ≠0，且x x a xx g ln )1(1)(-+=，∵x ∈（0，1），∴0ln 11<-+x xx． 当a ＜0时，g （x ）＞0，不合题意； 当a ＞0时，由g （x ）＜-2，可得01)1(2ln <+-+xx a x 恒成立．设xx a x x h +-+=1)1(2ln )(，则h max （x ）＜0．求导得：22)1(1)42()(x x x a x x h ++-+='． 设t （x ）=x 2+（2-4a ）x +1，△=（2-4a ）2-4=16a （a -1）．①当0＜a ≤1时，△≤0，此时t （x ）≥0，h ′（x ）≥0，∴h （x ）在（0，1）内单调递增， 又h （1）=0，∴h （x ）＜h （1）=0，此时0＜a ≤1符合条件； ②当a ＞1时，△＞0，注意到t （0）=1＞0，t （1）=4（1-a ）＜0，∴存在x 0∈（0，1），使得t （x 0）=0，于是对任意x ∈（x 0，1），t （x ）＜0，h ′（x ）＜0， 则h （x ）在（x 0，1）内单调递减，又h （1）=0，∴当x ∈（x 0，1）时，h （x ）＞0，不合要求． 综①②可得0＜a ≤1．。