莱芜市2017-2018学年度高三上学期期中质量检测文科数学试题解析(2017.11)

高三期中质量检测文科数学试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}|2A x x =≤，集合{}3|log 1B x x =<，则A B =（ ）A ．{}|2x x ≤B ．{}|3x x <C ．{}|02x x <≤D ．{}|12x x <≤2.下列命题中的假命题是（ ） A ．x R ∃∈，lg 0x = B ．,x R ∃∈tan 0x = C ．x R ∀∈，20x>D ．x R ∀∈，20x >3.下列函数中，既是奇函数又是区间(0,)+∞上的减函数的是（ ）A ．y =B ．1y x -=C ．3y x =D ．2x y -=4.数列{}n a 为等差数列，n S 是其前n 项的和，若7703S π=，则4sin a =（ ）A ．B ．12-C ．12 D 5.已知向量a ，b 的夹角为60︒，且||2a =，|2|27a b -=，则||b =（ ）A B C ．2D ．36.要得到函数()cos(2)6f x x π=-的图象，只需将函数()sin 2g x x =的图象（ ）A ．向左平移6π个单位 B ．向右平移6π个单位 C ．向左平移3π个单位D ．向右平移3π个单位7.ABC ∆的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若a 、b 、c 成等比数列，且2c a =，则cos C =（ ）A ．14-B ．4-C ．14D ．48.函数331x x y =-的大致图象是（ ）9.我国古代数学名著《九章算术》中，有已知长方形面积求一边的算法，其方法前两步分为： 第一步：构造数列1，12，13，14，…，1n．① 第二步：将数列①的各项乘以n ，得数列（记为）1a ，2a ，3a ，…，n a ． 则12231n n a a a a a a -+++=…（ ） A ．2(1)n -B ．(1)n n -C ．2nD ．(1)n n +10.函数223,0,()|2|ln ,0x x x f x x x x ⎧+-≤=⎨-->⎩零点的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．411.在平行四边形ABCD 中，60A ∠=︒，边2AB =，1AD =，若M 、N 分别是边BC 、CD 上的点，且满足||||||||BM CN BC CD =，则AM AN ⋅的取值范围是（ ） A ．[]1,3B ．[]1,5C ．[]2,4D ．[]2,512.函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且(1)f x -为偶函数，当[]0,1x ∈时，()f x =若函数()()g x f x x m =--有三个零点，则实数m 的取值范围是（ ）A ．11(2,2)()44k k k Z -+∈ B ．11(2,2)()33k k k Z -+∈C ．11(4,4)()44k k k Z -+∈D ．11(4,4)()33k k k Z -+∈第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.211log 522+的值为 ．14.计算：cos102sin 20sin10︒-︒=︒．15.已知曲线1C ：xy e =与曲线2C ：2()y x a =+，若两条曲线在交点处有相同的切线，则实数a 的值为 ．16.若对任意的x D ∈，均有()()()g x f x h x ≤≤成立，则称函数()f x 为函数()g x 和函数()h x 在区间D 上的“中间函数”．已知函数()(1)1f x k x =--，()2g x =-，()(1)ln h x x x =+，且()f x 是()g x 和()h x 在区间[]1,2上的“中间函数”，则实数k 的取值范围是 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.已知函数22()cos ()sin 6f x x x π=--．（1）求函数()f x 的最小正周期和单调递增区间；（2）求()f x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值． 18.在数列{}n a 中，已知121a a ==，212n n n a a a λ+++=+，*n N ∈，λ为常数． （1）证明：1a ，4a ，5a 成等差数列； （2）设12n na a nb +-=，求数列{}n b 的前n 项和n S ．19.已知ABC ∆的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，3C π=．（1）若224ab a c =-，求sin sin BA的值； （2）求sin sin A B 的取值范围． 20.已知函数3221()(1)3f x x ax a x b =-+-+（a ，b R ∈）． （1）若()y f x =的图象在点(1,(1))f 处的切线方程为30x y +-=，求()f x 在区间[]2,4-上的最大值和最小值；（2）若()f x 在区间(1,1)-上不是单调函数，求a 的取值范围．21.在等差数列{}n a 中，13a =，其前n 项和为n S ，等比数列{}n b 的各项均为正数，11b =，且2211b S +=，3329S b =．（1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）令12nnnacn b=⋅，设数列{}n c的前n项和为n T，求1nnTT-（*n N∈）的最小值．22.已知函数1()()3lnf x a x xx=--．（1）若函数()f x在其定义域内为增函数，求实数a的取值范围；（3）设函数3()eg xx=，若在[]1,e上至少存在一点x，使得00()()f xg x>成立，求实数a的取值范围．高三期中质量检测文科数学试题答案一、选择题1-5:CDBAD 6-10:ABCBC 11、12：DC二、填空题13.22ln 2- 16.1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦三、解答题17.解：（1）2211()cos ()sin 1cos(2)(1cos 2)6232f x x x x x ππ⎡⎤=--=+---⎢⎥⎣⎦1cos(2)cos 223x x π⎡⎤=-+⎢⎥⎣⎦132cos 2)22x x =+)3x π=+， 所以函数()f x 的最小正周期为π． 由222232k x k πππππ-≤+≤+，k Z ∈，得51212k x k ππππ-≤≤+，k Z ∈， 所以函数()f x 的单调递增区间为5,1212k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，k Z ∈． （2）因为0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以42,333x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，所以sin(2)123x π-≤+≤，所以3()4f x ≥-，所以()f x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值为34-． 18.解：（1）因为212n n n a a a λ+++=+，121a a ==， 所以32121a a a λλ=-+=+，同理，432231a a a λλ=-+=+，543261a a a λλ=-+=+，又因为413a a λ-=，543a a λ-=， 所以4154a a a a -=-， 故1a ，4a ，5a 成等差数列．（2）由212n n n a a a λ+++=+，得211n n n n a a a a λ+++-=-+， 令1n n n c a a +=-，则1n n c c λ+-=，1210c a a =-=， 所以{}n c 是以0为首项，公差为λ的等差数列， 所以1(1)(1)n c c n n λλ=+-=-，即1(1)n n a a n λ+-=-，21n n a a n λ++-=，两式相加，得：2(21)n n a a n λ+-=-， 所以1(1)22n na a n nb λ+--==，02(1)122222n n n S b b b λλλ-=+++=++++……，当0λ=，n S n =， 当0λ≠，02(1)12222212n n n S λλλλλ--=++++=-…．19.解：（1）由余弦定理及题设可知：22224c a b ab a ab =+-=-，得b =，由正弦定理sin sin B b A a =，得sin sin BA=． （2）由题意可知23A B π+=．21sin sin sin sin()sin sin )32A B A A A A A π=-=+112cos 244A A =-+11sin(2)264A π=-+． 因为203A π<<，所以2666A πππ7-<-<，故1sin(2)126A π-<-≤，所以sin sin A B 的取值范围是3(0,]4．20.解：（1）∵(1,(1))f 在30x y +-=上，∴(1)2f =， ∵点(1,2)在()y f x =的图象上，∴21213a ab =-+-+，又'(1)1f =-，∴21211a a -+-=-，∴2210a a -+=，解得1a =，83b =． ∴3218()33f x x x =-+，2'()2f x x x =-， 由'()0f x =可知0x =和2x =是()f x 的极值点． ∵8(0)3f =，4(2)3f =，(2)4f -=-，(4)8f =， ∴()f x 在区间[]2,4-上的最大值为8，最小值为4-．（2）因为函数()f x 在区间(1,1)-上不是单调函数，所以函数'()f x 在(1,1)-上存在零点． 而'()0f x =的两根为1a -，1a +，若1a -，1a +都在(1,1)-上，则111,111,a a -<+<⎧⎨-<-<⎩解集为空集，这种情况不存在；若有一个根在区间(1,1)-上，则111a -<+<或111a -<-<， ∴(2,0)(0,2)a ∈-．21.解：（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，等比数列{}n b 的公比为q ，则23311,2(3332)9,d q d d q +++=⎧⎨++++=⎩ 解得3d =，2q =， 所以3n a n =，12n n b -=． （2）由（1）得132n n c =⋅，故13(1)2nnT =-， 所以由13(1)2n n T =-可知，n T 随n 的增大而增大，所以132n T T ≥=， 令1()f x x x =-，0x >，则21'()10f x x=+>，故()f x 在0x >时是增函数，111156n n T T T T -≥-=， 所以，1n nT T -的最小值是56．22.解：（1）22233'()a ax x af x a x x x -+=+-=，0x >，因为函数()f x 在其定义域内为增函数， 所以230ax x a -+≥，0x >恒成立， 当0a ≤时，显然不成立； 当0a >时，302a>，要满足230ax x a -+≥，0x >时恒成立，则2940a ∆=-≤， ∴32a ≥． （2）设函数13()()()()3ln eh x f x g x a x x x x=-=---，[]1,x e ∈， 则原问题转化为在[]1,e 上至少存在一点0x ，使得0()0h x >，即max ()0h x >． ①0a ≤时，13()()3ln eh x a x x x x=---， ∵[]1,x e ∈，∴10x x -≥，30ex>，ln 0x >，则()0h x <，不符合条件； ②0a >时，22222333(3)(1)(33)'()a e ax x a e a x e x h x a x x x x +-++++-=+-==， 由[]1,x e ∈，可知22(1)(33)'()0a x e x h x x++-=>， 则()h x 在[]1,e 单调递增，max ()()60a h x h e ae e ==-->，整理得261e a e >-． 综上所述，26(,)1ea e ∈+∞-．。

山东省莱芜市大槐树中心中学2018年高三数学文月考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 函数的图像大致是参考答案：A略2. （5分）圆心角为135°，面积为B的扇形围成一个圆锥，若圆锥的全面积为A，则A：B等于（）A． 11：8 B． 3：8 C． 8：3 D． 13：8参考答案：A考点：旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．专题：空间位置关系与距离．分析：设扇形半径为1，l为扇形弧长，也为圆锥底面周长，由扇形面积公式求得侧面积，再利用展开图的弧长为底面的周长，求得底面半径，进而求底面面积，从而求得表面积，最后两个结果取比即可．解答：解：设扇形半径为1，则扇形弧长为1×=，设围成圆锥的底面半径为r，则2πr=，∴r=，扇形的面积B=×1×=，圆锥的表面积A=B+πr2=+=，∴A：B=11：8故选：A．点评：本题主要考查圆锥的侧面积和表面积的求法，同时，还考查了平面与空间图形的转化能力，属基础题．3. 下列图形中，不是三棱柱展开图的是（）A. B.C. D.参考答案：C【分析】根据三棱柱的展开图的可能情况选出选项.【详解】由图可知，ABD选项可以围成三棱柱，C选项不是三棱柱展开图.故选：C【点睛】本小题主要考查三棱柱展开图的判断，属于基础题.4. 已知点是双曲线的左焦点，离心率为e，过F且平行于双曲线渐近线的直线与圆交于点P，且点P在抛物线上，则e2 =（）A．B．C．D．参考答案：D5. 设函数y=f（x）在区间（a，b）上的导函数为f′（x），f′（x）在区间（a，b）上的导函数为f″（x），若在区间（a，b）上f″（x）＞0，则称函数f（x）在区间（a，b）上为“凹函数”，已知f（x）=x5﹣mx4﹣2x2在区间（1，3）上为“凹函数”，则实数m的取值范围为（）A．（﹣∞，）B．[，5] C．（﹣∞，﹣3] D．（﹣∞，5]参考答案：C【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】本题根据二阶导数的定义及函数特征，研究原函数的二阶导数，求出m的取值范围，得到本题结论．【解答】解：∵f（x）=x5﹣mx4﹣2x2，∴f′（x）=x4﹣mx3﹣4x，∴f″（x）=x3﹣mx2﹣4．∵f（x）=x5﹣mx4﹣2x2在区间（1，3）上为“凹函数”，∴f″（x）＞0．∴x3﹣mx2﹣4＞0，x∈（1，3）．∴，∵在（1，3）上单调递增，∴在（1，3）上满足：＞1﹣4=﹣3．∴m≤﹣3．故答案为：C．6. 设a，b∈R，则“a>0，b>0，，是“”的A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件参考答案：D略7. 下列函数中，在上具有零点的函数是（）A. B.C. D.参考答案：D略8. 已知，且sinθ＜0，则tanθ的值为（）．B参考答案：解：已知，且sinθ＜0，∴cos θ=2﹣1=2×﹣1=，故sinθ=﹣=﹣，∴tanθ==，故选C．本题主要考查同角三角函数的基本关系，二倍角公式的应用，属于中档题．9. 已知非零向量满足０，向量的夹角为，且，则向量与的夹角为A． B．C．D．参考答案：B略10. 若f (x)是偶函数，且当时，f (x) = x－1，则f (x－1) < 0的解集是（）A．{x |－1 < x < 0} B．{x | x < 0或1< x < 2} C．{x | 0 < x < 2} D．{x | 1 < x < 2}参考答案：C略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 四棱锥P-ABCD的五个顶点都在一个球面上，底面ABCD是矩形，其中AB=3,BC=4，又PA⊥平面ABCD，PA=5，则该球的表面积为____参考答案：考查球体专项由勾股定理得AC=5，等腰直角三角形，PC=2R＝因此表面积12. 若变量满足约束条件，则的最大值为_________.参考答案：713. 已知数列{}的前几项为：用观察法写出满足数列的一个通项公式＝＿＿＿参考答案：，或14. 设x，y满足约束条件，则的最小值是__________．参考答案：15. 抛物线的焦点坐标是.参考答案：（-2，0）16. 设函数，函数y=f[f（x）]﹣1的零点个数为．参考答案：2考点：函数的零点；根的存在性及根的个数判断．分析：根据函数，根据指数函数和对数函数的性质，我们可以分类讨论，化简函数函数y=f[f（x）]﹣1的解析式，进而构造方程求出函数的零点，得到答案．解：∵函数，当x≤0时y=f[f（x）]﹣1=f（2x）﹣1=﹣1=x﹣1令y=f[f（x）]﹣1=0，x=1（舍去）当0＜x≤1时y=f[f（x）]﹣1=f（log2x）﹣1=﹣1=x﹣1令y=f[f（x）]﹣1=0，x=1当x＞1时y=f[f（x）]﹣1=f（log2x）﹣1=log2（log2x）﹣1令y=f[f（x）]﹣1=0，log2（log2x）=1则log2x=2，x=4故函数y=f[f（x）]﹣1的零点个数为2个故答案为：2【点评】本题考查的知识点是函数的零点，根的存在性及根的个数判断，其中根据指数函数和对数函数的图象和性质，化简函数的解析式是解答的关键．17. 已知双曲线的离心率为2，且两条渐近线与抛物线y2=2px（p ＞0）的准线交于A，B两点，O为坐标原点，若，则抛物线的方程为．参考答案：y2=4x【考点】双曲线的简单性质．【分析】求出抛物线的准线方程和双曲线的渐近线方程，运用代入法，求得AB，再由三角形的面积公式，结合离心率公式和a，b，c的关系，化简整理，解方程可得p，进而得到双曲线方程．【解答】解：抛物线y2=2px（p＞0）的准线为x=﹣，双曲线的渐近线方程为y=±x，把x=﹣代入y=±x，解得y=±．∴|AB|=，∵△AOB的面积为，∴??=，由e===2，解得=．∴=1，解得p=2．∴该抛物线的标准方程是y2=4x．故答案为：y2=4x．三、解答题：本大题共5小题，共72分。

2017-2018学年度第一学期八县（市）一中期中联考高中 三 年 数学 科（理）参考答案一、选择题:（每题 5 分，共 60 分）13.12 14．11015.1- 16．①④ 三、解答题：本大题共6小题，共70分. 17.（本小题满分10分）解：若p 为真命题，则220mx x m -+->恒成立，即220mx x m -+<恒成立．……1分当0m =时，不等式为20x -<，解得0x >，显然不成立；当0m ≠时，2(2)40m m m <⎧⎨∆=--⨯<⎩，解得1m <-. ∴若p 为真命题，则1m <-．…………4分 若q 为真命题，则当1x >-时，4()12g x x m x '=+-+>，41m x x<+-，∵4113x x+-≥=，当且仅当1x =时取等号，∴3m <.…………6分 ∵“p q ∨”为真命题，“p q ∧”为假命题，∴p 真q 假或p 假q 真. ………8分若p 真q 假，则13m m <-⎧⎨≥⎩，∴m ∈∅；若p 假q 真，则13m m ≥-⎧⎨<⎩，∴13m -≤<.综上所述，实数m 得取值范围为[1,3)m ∈-.………10分 18.（本小题满分12分）解：（Ⅰ）∵()cos f x x x m ωω=-+，∴()2sin()6f x x m πω=-+，∵点(,1)3π，点(,3)6π--分别是函数()f x 图象上相邻的最高点和最低点，∴2()22362T ππππω==--=，且1(3)2m +-=，∴2ω=，1m =-. ∴()2sin(2)16f x x π=--. ∴令222,262k x k k Z πππππ-≤-≤+∈，解得,63k x k k Z ππππ-+≤≤+∈，∴函数()f x 的单调递增区间为[,],63k k k Z ππππ-++∈.（Ⅱ）∵在ABC ∆中，12AB BC ac ⋅=，∴1cos()2ac B ac π-=-，∴1cos 2B =，∵0B π<<，∴3B π=，∴23A C π+=.∵203A π<<，∴4023A π<<，72666A πππ-<-<，∴1sin(2)126A π-<-≤，∵()2sin(2)16f A A π=--， ∴2()1f A -<≤，∴()f A 的值域为(2,1]-.19.（本小题满分12分）解：（Ⅰ）由题可得：'2()(23)x f x x x e =+-⋅ …………………………………1分 令'()0f x <，得 2230x x +-<，解得：312x -<< …………………3分 ∴函数()f x 的单调递减区间是3(,1)2-．…………………………………4分 （Ⅱ）∵方程(23)xax e x-⋅=有且仅有一个实根 ∴方程2(23)x x x e a -⋅=有且仅有一个非零实根，即方程(),(0)f x a x =≠有且仅有一个实根． 因此，函数(),(0)y f x x =≠的图像与直线y a =有且仅有一个交点．……………………6分 结合（Ⅰ）可知，函数()f x 的单调递减区间是3(,1)2-，单调递增区间是3(,),(1,)2-∞-+∞ ∴函数()f x 的极大值是323()92f e --=，极小值是(1)f e =-．……………………9分又3(0)()02f f ==且0x <时，()0f x >．∴当329a e ->或0a =或a e =-时，函数(),(0)y f x x =≠的图像与直线y a =有且仅有一个交点．……………………11分∴若方程(23)xax e x-⋅=有且仅有一个实根， 实数a 的取值范围是32{,0}(9,)e e --+∞.…12分 20.（本小题满分12分）解：（Ⅰ）∵3cos cos cos a B b C c B -=，∴3sin cos sin cos sin cos A B C B B C =+，3sin cos sin()A B B C =+，∵B C A π+=-，∴3sin cos sin A B A =，∵(0,)A π∈，∴sin 0A >，1cos 3B =.…………2分3∵34ADC π∠=，∴4ADB π∠=，在ABD ∆中，由正弦定理得，sin sin ADAB B ADB =∠32=，83AD =.…………6分 （Ⅱ）设DC a =，则2BD a =，∵2BD DC =，ACD ∆∴3ABCACD S S ∆∆==12323a =⨯⨯⨯，∴2a=.…………8分∴AC ==42sin sin BAD ADB =∠∠， ∴1sin sin2BAD ADB ∠=∠．2sin sin CAD ADC =∠∠，∴sin sin 4CAD ADC ∠=∠，∵sin sin ADB ADC ∠=∠，∴sin sin BADCAD∠=∠．…………12分 21. （本小题满分12分）（Ⅰ）解：∵222n n a S n +=+，令1n =，得11434,3a a ==.…………2分 由222n n a S n +=+得 2n ≥时，1122(1)2n n a S n --+=-+ 两式相减得；132n n a a -=+…………3分∴111(1)(2)3n n a a n --=-≥ ………4分 ∴数列{}1n a -是以首项为113n a -=，公比为13的等比数列，∴11111()()333n n n a --=⋅=，∴1()13nn a =+.…………6分（Ⅱ）证明：∵1111131313(2)(2)333n n nn n n n n a a +++=----⋅⋅1113311()(31)(31)23131n n n n n +++==--⋅--- …8分 ∴2122311113(2)(2)3(2)(2)3(2)(2)nn n a a a a a a +⋯+++------ 13111111()2288263131n n +⋯=-+-++---1311()2231n +=--131342(31)4n +=-<-…………12分 22. （本小题满分12分）（Ⅰ）函数)(x f 的定义域为(0,)+∞．当2a =时,21() 4 f x x '=-+，令21()4 =0f x x '=-+，得112x =；212x =-（舍去）．……2分 当x 变化时，(),()f x f x '的取值情况如下：4分（Ⅱ）2221(21)(1)()2 a x ax f x a x x x --+'=-+=，令()0f x '=，得112x =，21x a=-， 当2a =-时，()0f x '≥，函数)(x f 的在定义域(0,)+∞单调递增；…… 5分当20a -<<时，在区间1(0,)2，1(,)a-+∞上()0f x '<，)(x f 单调递减， 在区间11(,)2a-，上()0f x '>，)(x f 单调递增；……7分当2a <-时，在区间1(0,)a -，1(,)2+∞上()0f x '<，)(x f 单调递减， 在区间11(,)2a -上()0f x '>，)(x f 单调递增．……8分 （Ⅲ）由（Ⅱ）知当(3,2)a ∈--时，函数)(x f 在区间[]1.3单调递减； ∴当[]1.3x ∈时，max ()(1)12f x f a ==+，min 1()(3)(2)ln 363f x f a a ==-++.……10分 问题等价于：对任意的(3,2)a ∈--，恒有1(ln 3)2ln 312(2)ln 363m a a a a +->+----成立，即a am 432->，∵0a <，∴243m a <-，∴min 2(4)3m a<-. ∴实数m 的取值范围是13(,]3-∞-.……12分。

2017-2018学年山东省莱芜市凤城高中高三（上）1月段考数学试卷（文科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的．1．已知集合A={1，3，5}，集合B={2，a，b}，若A∩B={1，3}，则a+b的值是（）A．10 B．9 C．4 D．72．一几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．B．C．4﹣πD．3．“2a＞2b”是“log2a＞log2b”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．已知点P在以F1、F2为焦点的双曲线上，且，则双曲线的离心率（）A．B．C．D．5．函数f（x）=xcos（2π﹣x）的图象大致为（）A．B．C．D．6．已知各项为正的等比数列{a n}中，a4与a14的等比中项为，则2a7+a11的最小值为（）A．16 B．8 C．D．47．设变量x，y满足约束条件：，则z=x﹣3y的最小值（）A．﹣2 B．﹣4 C．﹣6 D．﹣88．在平面直角坐标系xOy中，直线3x+4y﹣5=0与圆x2+y2=4相交于A、B两点，则弦AB 的长等于（）A．3B．2C．D．19．设l，m，n为不同的直线，α，β为不同的平面，有如下四个命题：①若α⊥β，l⊥α，则l∥β②若α⊥β，l⊂α，则l⊥β③若l⊥m，m⊥n，则l∥n④若m⊥α，n∥β且α∥β，则m⊥n其中正确命题的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．410．抛物线y2=4x的焦点为F，点P（x，y）为该抛物线上的动点，又点A（﹣1，0），则的最小值是（）A．B．C．D．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共计25分.=．11．在△ABC中，若b=1，，，则S△ABC12．已知f（x）是奇函数，g（x）=f（x）+4，g（1）=2，则f（﹣1）的值是．13．若双曲线C：4x2﹣y2=λ（λ＞0）与抛物线y2=4x的准线交于A，B两点，且的值是．14．定义方程f（x）=f′（x）的实数根x0叫做函数f（x）的“新零点”，若函数g（x）=x，h （x）=2lnx，ϕ（x）=x3﹣1的“新零点”分别为α，β，γ，则α，β，γ的大小关系为．15．如图，y=f（x）是可导函数，直线l是曲线y=f（x）在x=4处的切线，令g（x）=，则g′（4）=．三、解答题：本大题共6个小题，满分75分，解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤.16．已知△ABC的三个内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且cos（A+C）=，a=2csinA．（1）求cosC的值；（2）当x∈[0，]时，求函数f（x）=sin2x+4cosAcos2x的最大值．17．如图，在四棱锥E﹣ABCD中，底面ABCD为正方形，AE⊥平面CDE，已知AE=DE=2，F为线段DE的中点．（Ⅰ）求证：BE∥平面ACF；（Ⅱ）求四棱锥E﹣ABCD的体积．18．已知函数f（x）=2sin xcos x+2cos2x﹣，x∈R．（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期和单调递增区间；（Ⅱ）若函数f（x）图象上的两点P，Q的横坐标依次为2，4，O为坐标原点，求△OPQ 的外接圆的面积．19．已知数列{a n}满足：a1=1，a2=，且[3+（﹣1）n]a n﹣2a n+2[（﹣1）n﹣1]=0，n∈N*．+2，判断{b n}是否为等差数列，并求出b n；（Ⅰ）令b n=a2n﹣1（Ⅱ）记{a n}的前2n项的和为T2n，求T2n．20．已知向量=（x ， y ），=（1，0），且（+）（﹣）=0．（1）求点Q （x ，y ）的轨迹C 的方程；（2）设曲线C 与直线y=kx +m 相交于不同的两点M 、N ，又点A （0，﹣1），当|AM |=|AN |时，求实数m 的取值范围．21．已知函数f （x ）=x 2+ax ﹣lnx ，a ∈R ．（Ⅰ）若a=0时，求曲线y=f （x ）在点（1，f （1））处的切线方程；（Ⅱ）若函数f （x ）在[1，2]上是减函数，求实数a 的取值范围；（Ⅲ）令g （x ）=f （x ）﹣x 2，是否存在实数a ，当x ∈（0，e ]（e 是自然常数）时，函数g （x ）的最小值是3，若存在，求出a 的值；若不存在，说明理由．2015-2016学年山东省莱芜市凤城高中高三（上）1月段考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的．1．已知集合A={1，3，5}，集合B={2，a ，b }，若A ∩B={1，3}，则a +b 的值是（ ） A ．10B ．9C ．4D ．7 【考点】交集及其运算．【分析】根据题意，分析可得集合B={2，1，3}，从而有a=1、b=3或a=3、b=1，则有a +b=4成立，即可得答案．【解答】解：根据题意，若A ∩B={1，3}，又由集合A={1，3，5}，则集合B={2，1，3}，则a=1、b=3或a=3、b=1，∴a +b=4， 故选C ．【点评】本题考查集合的交集的意义，解题的关键是由交集的意义，得到集合B．2．一几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．B．C．4﹣πD．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】根据三视图得出三视图可判断该几何体是底面为边长位的正方形，高为1的长方体，长方体内挖掉一个圆锥，运用体积公式求解即可．【解答】解：∵三视图可判断该几何体是底面为边长位的正方形，高为1的长方体，长方体内挖掉一个圆锥，∴该几何体的体积为22×1π×12×1=4﹣，故选：A【点评】本题考查了空间几何体的三视图的运用，关键是你恢复几何体的直观图，计算体积，属于中档题．3．“2a＞2b”是“log2a＞log2b”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【考点】对数函数的单调性与特殊点；指数函数的单调性与特殊点．【分析】分别解出2a＞2b，log2a＞log2b中a，b的关系，然后根据a，b的范围，确定充分条件，还是必要条件．【解答】解：2a＞2b⇒a＞b，当a＜0或b＜0时，不能得到log2a＞log2b，反之由log 2a ＞log 2b 即：a ＞b ＞0可得2a ＞2b 成立．故选B ．【点评】本题考查对数函数的单调性与特殊点，必要条件、充分条件与充要条件的判断，是基础题．4．已知点P 在以F 1、F 2为焦点的双曲线上，且，则双曲线的离心率（ ）A ．B ．C ．D ．【考点】双曲线的简单性质．【分析】由题意可知：PF 2⊥F 1F 2，∠PF 1F 2=30°，求得|PF 1|=c ，|PF 2|=c ，由双曲线的性质可知：|PF 1|﹣|PF 2|=c=2a ，求得a=c ，由e==．【解答】解：设双曲线的焦距长为2c ，∵点P 为双曲线上一点，且=0，∴PF 2⊥F 1F 2， 由∠PF 1F 2=30°，∴|PF 1|=c ，|PF 2|=c ，∴|PF 1|﹣|PF 2|=c=2a ，a=c ，∴e===，故答案选：D ．【点评】本题考查双曲线的离心率，考查双曲线的定义，考查学生的计算能力，属于基础题．5．函数f （x ）=xcos （2π﹣x ）的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【考点】函数的图象．【分析】将函数f（x）进行化简，利用函数的奇偶性和取值特点进行判断即可．【解答】解：∵f（x）=xcos（2π﹣x）=xcosx，∴f（﹣x）=（﹣x）cos（﹣x）=﹣xcosx=﹣f（x），即函数f（x）=xcosx为奇函数，图象关于原点对称，排除B，C；又∵当时，f（x）=xcosx＞0，排除D故选A．【点评】本题主要考查函数图象的识别和判断，利用函数奇偶性的对称性和函数取值的规律进行排除和验证即可．6．已知各项为正的等比数列{a n}中，a4与a14的等比中项为，则2a7+a11的最小值为（）A．16 B．8 C．D．4【考点】等比数列的通项公式．【分析】由各项为正的等比数列{a n}中，a4与a14的等比中项为，知a4a14=（2）2=8，故a7a11=8，利用均值不等式能够求出2a7+a11的最小值．【解答】解：∵各项为正的等比数列{a n}中，a4与a14的等比中项为，∴a4a14=（2）2=8，∴a7a11=8，∵a7＞0，a11＞0，∴2a7+a11≥2=2=8．故选B．【点评】本题考查等比数列的通项公式的应用，是中档题．解题时要认真审题，仔细解答．7．设变量x，y满足约束条件：，则z=x﹣3y的最小值（）A．﹣2 B．﹣4 C．﹣6 D．﹣8【考点】简单线性规划．【分析】我们先画出满足约束条件：的平面区域，求出平面区域的各角点，然后将角点坐标代入目标函数，比较后，即可得到目标函数z=x﹣3y的最小值．【解答】解：根据题意，画出可行域与目标函数线如图所示，由图可知目标函数在点（﹣2，2）取最小值﹣8故选D．【点评】用图解法解决线性规划问题时，分析题目的已知条件，找出约束条件和目标函数是关键，可先将题目中的量分类、列出表格，理清头绪，然后列出不等式组（方程组）寻求约束条件，并就题目所述找出目标函数．然后将可行域各角点的值一一代入，最后比较，即可得到目标函数的最优解．8．在平面直角坐标系xOy中，直线3x+4y﹣5=0与圆x2+y2=4相交于A、B两点，则弦AB 的长等于（）A．3B．2C．D．1【考点】直线与圆相交的性质．【分析】由直线与圆相交的性质可知，，要求AB，只要求解圆心到直线3x+4y﹣5=0的距离【解答】解：由题意可得，圆心（0，0）到直线3x+4y﹣5=0的距离，则由圆的性质可得，，即．故选B【点评】本题主要考查了直线与圆相交性质的应用，点到直线的距离公式的应用，属于基础试题9．设l，m，n为不同的直线，α，β为不同的平面，有如下四个命题：①若α⊥β，l⊥α，则l∥β②若α⊥β，l⊂α，则l⊥β③若l⊥m，m⊥n，则l∥n④若m⊥α，n∥β且α∥β，则m⊥n其中正确命题的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】空间中直线与平面之间的位置关系；平面与平面之间的位置关系．【分析】由面面垂直的判定定理和性质定理判断①②，面面平行和线面平行的定理去判断④；用长方体举反例判断③．【解答】解：①不对，由面面垂直的判定定理知，l有可能在β内；②不对，由面面垂直的性质定理知，l有可能与β斜交；③不对，反例：长方体相连的三条棱；④对，由m⊥α，α∥β，得m⊥β，又因n∥β，所以m⊥n；故选A．【点评】本题考查了空间中线面位置关系，主要根据线面和面面平行及垂直的定理进行判断，考查了学生对定理的运用能力和空间想象能力．10．抛物线y2=4x的焦点为F，点P（x，y）为该抛物线上的动点，又点A（﹣1，0），则的最小值是（）A．B．C．D．【考点】直线与圆锥曲线的关系；抛物线的简单性质．【分析】通过抛物线的定义，转化PF=PN，要使有最小值，只需∠APN最大即可，作出切线方程即可求出比值的最小值．【解答】解：由题意可知，抛物线的准线方程为x=﹣1，A（﹣1，0），过P作PN垂直直线x=﹣1于N，由抛物线的定义可知PF=PN，连结PA，当PA是抛物线的切线时，有最小值，则∠APN最大，即∠PAF最大，就是直线PA的斜率最大，设在PA的方程为：y=k（x+1），所以，解得：k2x2+（2k2﹣4）x+k2=0，所以△=（2k2﹣4）2﹣4k4=0，解得k=±1，所以∠NPA=45°，=cos∠NPA=．故选B．【点评】本题考查抛物线的基本性质，直线与抛物线的位置关系，转化思想的应用，题目新颖．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共计25分.=．11．在△ABC中，若b=1，，，则S△ABC【考点】正弦定理的应用．【分析】由正弦定理求出sinB的值，可得B的值，再由三角形的内角和公式求出A的值，=，再由S△ABC运算求得结果．【解答】解：由于在△ABC中，若b=1，，，由正弦定理可得=，∴sinB=．再由大边对大角可得B=＜A，∴A=π﹣B﹣C=．==，∴则S△ABC故答案为．【点评】本题主要考查正弦定理的应用，三角形的内角和公式，大边对大角，属于中档题．12．已知f（x）是奇函数，g（x）=f（x）+4，g（1）=2，则f（﹣1）的值是2．【考点】函数奇偶性的性质．【分析】由g（1）=f（1）+4=2，求出f（1）=﹣2，再由奇函数的关系式得f（﹣1）=﹣f （1）=2．【解答】解：由g（1）=2得，g（1）=f（1）+4，解得f（1）=﹣2，∵f（x）是奇函数，∴f（﹣1）=﹣f（1）=2，故答案为：2．【点评】本题考查了利用奇函数的关系式：f（﹣x）=﹣f（x）求值，属于基础题．13．若双曲线C：4x2﹣y2=λ（λ＞0）与抛物线y2=4x的准线交于A，B两点，且的值是2．【考点】双曲线的简单性质．【分析】求出抛物线y2=4x的准线方程为x=1，代入双曲线，求出A，B两点的纵坐标，利用|AB|=2，即可求出λ的值．【解答】解：抛物线y2=4x的准线方程为x=1，代入双曲线C：4x2﹣y2=λ，可得y=±，∵|AB|=2，∴2=2，∴λ=2．故答案为：2．【点评】本题考查抛物线、双曲线的性质，考查学生的计算能力，比较基础．14．定义方程f（x）=f′（x）的实数根x0叫做函数f（x）的“新零点”，若函数g（x）=x，h （x）=2lnx，ϕ（x）=x3﹣1的“新零点”分别为α，β，γ，则α，β，γ的大小关系为γ＞β＞α．【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】分别对g（x），h（x），ϕ（x）求导，令g′（x）=g（x），h′（x）=h（x），ϕ′（x）=ϕ（x），则它们的根分别为α，β，γ，然后分别讨论α，β，γ的取值范围即可．【解答】解：∵g′（x）=1，h′（x）=，ϕ′（x）=3x2，由g（x）=g′（x）得x=1，即α=1，由h（x）=h′（x），得2lnx=，即lnx﹣=0，设m（x）=lnx﹣，在（0，+∞）上函数m（x）为增函数，∵m（1）=0﹣1＜0，m（2）=ln2﹣＞0，∴1＜β＜2；由ϕ（x）=ϕ′（x）得x3﹣1=3x2，即x3﹣3x2﹣1=0，设q（x）=x3﹣3x2﹣1，则q′（x）=3x2﹣6x=3x（x﹣2），由q′（x）＞0得x＞2或x＜0，此时函数单调递增，由q′（x）＜0得0＜x＜2，此时函数单调递递减，当x=0时，函数取得极大值q（0）=﹣1＜0，∵q（3）=33﹣3×32﹣1=﹣1＜0，∴函数q（x）=x3﹣3x2﹣1的零点γ＞3，∴γ＞β＞α．故答案为γ＞β＞α【点评】本题主要考查函数零点的大小比较，求函数的导数，建立方程关系，分别判断论α，β，γ的取值范围是解决本题的关键．15．如图，y=f（x）是可导函数，直线l是曲线y=f（x）在x=4处的切线，令g（x）=，则g′（4）=﹣．【考点】导数的运算．【分析】先从图中求出切线过的点，利用导数在切点处的导数值为斜率得到切线的斜率，最后结合导数的几何意义求出f′（4）的值，由g（x）=，则g′（x）=，进而得到g′（4）．【解答】解：由图知，切线过（0，3）、（4，5），∴直线l的斜率为，由于曲线在切点处的导数值为曲线的切线的斜率，所以f′（4）=，f（4）=5．令g（x）=，则g′（x）=故g′（4）==﹣故答案为：【点评】解决有关曲线的切线问题常考虑导数的几何意义：曲线在切点处的导数值为曲线的切线的斜率．三、解答题：本大题共6个小题，满分75分，解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤.16．已知△ABC的三个内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且cos（A+C）=，a=2csinA．（1）求cosC的值；（2）当x∈[0，]时，求函数f（x）=sin2x+4cosAcos2x的最大值．【考点】余弦定理．【分析】（1）利用诱导公式及内角和定理化简cos（A+C）求出cosB的值小于0，得到B 为钝角，求出B度数，利用正弦定理化简a=2csinA，求出sinC的值，确定出C度数，即可求出cosC的值；（2）由B与C的度数求出A的度数，代入f（x）中变形，利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，根据正弦函数的值域即可确定出f（x）最大值．【解答】解：（1）∵cos（A+C）=﹣cosB=，即cosB=﹣，∴B=120°，利用正弦定理化简a=2csinA得：sinA=2sinCsinA，∵sinA≠0，∴sinC=，∴C=30°，则cosC=cos30°=；（2）∵B=120°，C=30°，∴A=30°，∴f（x）=sin2x+4cosAcos2x=sin2x+2=sin2x+cos2x+=2sin（2x+）+，∵x∈[0，]，∴2x +∈[，]， ∴﹣≤sin （2x +）≤1，即0≤2sin （2x +）+≤2+，则f （x ）的最大值为2+．【点评】此题考查了正弦定理，诱导公式，两角和与差的正弦函数公式，正弦函数的定义域与值域，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．17．如图，在四棱锥E ﹣ABCD 中，底面ABCD 为正方形，AE ⊥平面CDE ，已知AE=DE=2，F 为线段DE 的中点． （Ⅰ）求证：BE ∥平面ACF ； （Ⅱ）求四棱锥E ﹣ABCD 的体积．【考点】直线与平面平行的判定；棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】（Ⅰ）连结BD 和AC 交于O ，连结OF ，证明OF ∥BE ，即可证明BE ∥平面ACF ；（Ⅱ）证明EG ⊥平面ABCD ，即可求四棱锥E ﹣ABCD 的体积． 【解答】（Ⅰ）证明：连结BD 和AC 交于O ，连结OF ，…∵ABCD 为正方形，∴O 为BD 中点， ∵F 为DE 中点，∴OF ∥BE ，… ∵BE ⊄平面ACF ，OF ⊂平面ACF ，∴BE ∥平面ACF ．…（Ⅱ）解：作EG ⊥AD 于G ，则∵AE ⊥平面CDE ，CD ⊂平面CDE ，∴AE ⊥CD ， ∵ABCD 为正方形，∴CD ⊥AD ，∵AE∩AD=A，AD，AE⊂平面DAE，∴CD⊥平面DAE，…∴CD⊥EG，∵AD∩CD=D，∴EG⊥平面ABCD…∵AE⊥平面CDE，DE⊂平面CDE，∴AE⊥DE，∵AE=DE=2，∴，…∴四棱锥E﹣ABCD的体积V=××=…【点评】本题考查线面平行，考查线面垂直，考查四棱锥E﹣ABCD的体积，掌握线面平行、线面垂直的判定方法是关键．18．已知函数f（x）=2sin xcos x+2cos2x﹣，x∈R．（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期和单调递增区间；（Ⅱ）若函数f（x）图象上的两点P，Q的横坐标依次为2，4，O为坐标原点，求△OPQ 的外接圆的面积．【考点】三角函数中的恒等变换应用；三角函数的周期性及其求法．【分析】（Ⅰ）借助于二倍角公式和辅助角公式化简函数解析式为：f（x）=2sin（x+），从而根据周期公式求解周期，根据三角函数的单调性求解单调递增区间；（Ⅱ）确定f（2）、f（4）的值，得到，然后利用余弦定理求解∠POQ的大小，最后，根据正弦定理的推论求解．【解答】解：（Ⅰ）=，∴f（x）=2sin（x+）∴．∴函数f（x）的最小正周期为8．由（k∈Z），得8k﹣3≤x≤8k+1（k∈Z），∴函数f（x）的单调递增区间是[8k﹣3，8k+1]（k∈Z）．（Ⅱ）∵，，∴，∴从而，∴，设△OPQ的外接圆的半径为R，由，∴△OPQ的外接圆的面积．【点评】本题重点考查了三角函数的图象与性质、二倍角公式、辅助角公式、解三角形等知识，属于综合题目．19．已知数列{a n}满足：a1=1，a2=，且[3+（﹣1）n]a n﹣2a n+2[（﹣1）n﹣1]=0，n∈N*．+2，判断{b n}是否为等差数列，并求出b n；（Ⅰ）令b n=a2n﹣1（Ⅱ）记{a n}的前2n项的和为T2n，求T2n．【考点】数列的求和；等差关系的确定．【分析】（1）利用等差数列的定义证明{b n}是等差数列；（2）利用分组求和法求数列{a n}的前2n项的和为T2n．【解答】解：（Ⅰ）∵，∴，即a 2n +1﹣a 2n ﹣1=2…∵b n =a 2n ﹣1，∴b n +1﹣b n =a 2n +1﹣a 2n ﹣1=2 ∴{b n }是以b 1=a 1=1为首项，以2为公差的等差数列 …b n =1+（n ﹣1）×2=2n ﹣1…（Ⅱ）对于，当n 为偶数时，可得（3+1）a n +2﹣2a n +2（1﹣1）=0，即，∴a 2，a 4，a 6，…是以为首项，以为公比的等比数列；…当n 为奇数时，可得（3﹣1）a n +2﹣2a n +2（﹣1﹣1）=0，即a n +2﹣a n =2，∴a 1，a 3，a 5，…是以a 1=1为首项，以2为公差的等差数列…∴T 2n =（a 1+a 3+…+a 2n ﹣1）+（a 2+a 4+…+a 2n ）==…【点评】本题主要考查等差数列的定义及数列的分组求和法，注意分类讨论，属难题．20．已知向量=（x ， y ），=（1，0），且（+）（﹣）=0．（1）求点Q （x ，y ）的轨迹C 的方程；（2）设曲线C 与直线y=kx +m 相交于不同的两点M 、N ，又点A （0，﹣1），当|AM |=|AN |时，求实数m 的取值范围．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；轨迹方程．【分析】（1）利用向量的数量积公式，结合（+）（﹣）=0，即可求点Q （x ，y ）的轨迹C 的方程；（2）直线方程代入椭圆方程，分类讨论，设弦MN 的中点为P ，利用|AM |=|AN |，AP ⊥MN ，即可求出实数m 的取值范围．【解答】解：（1）由题意向量=（x ， y ），=（1，0），且（+）（﹣）=0，∴，化简得，∴Q 点的轨迹C 的方程为．…（2）由得（3k 2+1）x 2+6mkx +3（m 2﹣1）=0，由于直线与椭圆有两个不同的交点，∴△＞0，即m 2＜3k 2+1．①…（i ）当k ≠0时，设弦MN 的中点为P （x P ，y P ），x M 、x N 分别为点M 、N 的横坐标，则，从而，，…又|AM |=|AN |，∴AP ⊥MN ．则，即2m=3k 2+1，②将②代入①得2m ＞m 2，解得0＜m ＜2，由②得，解得，故所求的m 的取值范围是（，2）．…（ii ）当k=0时，|AM |=|AN |，∴AP ⊥MN ，m 2＜3k 2+1，解得﹣1＜m ＜1．…综上，当k ≠0时，m 的取值范围是（，2），当k=0时，m 的取值范围是（﹣1，1）．…【点评】本题考查轨迹方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查小时分析解决问题的能力，属于中档题．21．已知函数f （x ）=x 2+ax ﹣lnx ，a ∈R ．（Ⅰ）若a=0时，求曲线y=f （x ）在点（1，f （1））处的切线方程；（Ⅱ）若函数f（x）在[1，2]上是减函数，求实数a的取值范围；（Ⅲ）令g（x）=f（x）﹣x2，是否存在实数a，当x∈（0，e]（e是自然常数）时，函数g （x）的最小值是3，若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】（I）欲求在点（1，f（1））处的切线方程，只须求出其斜率的值即可，故先利用导数求出在x=1处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率．从而问题解决．（II）先对函数f（x）进行求导，根据函数f（x）在[1，2]上是减函数可得到其导函数在[1，2]上小于等于0应该恒成立，再结合二次函数的性质可求得a的范围．（III）先假设存在，然后对函数g（x）进行求导，再对a的值分情况讨论函数g（x）在（0，e]上的单调性和最小值取得，可知当a=e2能够保证当x∈（0，e]时g（x）有最小值3．【解答】解：（I）a=0时，曲线y=f（x）=x2﹣lnx，∴f′（x）=2x﹣，∴g′（1）=1，又f（1）=1曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程x﹣y=0．（II）在[1，2]上恒成立，令h（x）=2x2+ax﹣1，有得，得（II）假设存在实数a，使g（x）=ax﹣lnx（x∈（0，e]）有最小值3，=①当a≤0时，g（x）在（0，e]上单调递减，g（x）min=g（e）=ae﹣1=3，（舍去），②当时，g（x）在上单调递减，在上单调递增∴，a=e2，满足条件．③当时，g（x）在（0，e]上单调递减，g（x）min=g（e）=ae﹣1=3，（舍去），综上，存在实数a=e2，使得当x∈（0，e]时g（x）有最小值3．【点评】本题主要考查导数的运算和函数的单调性与其导函数的正负之间的关系，当导函数大于0时原函数单调递增，当导函数小于0时原函数单调递减．。

2017-2018学年安徽省芜湖市高三（上）期末数学试卷（文科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合A={x|1＜2x≤4}，B={x|x＞1}，则A∩B=（）A．{x|1≤x＜2}B．{x|1＜x≤2}C．{x|0＜x≤2}D．{x|0≤x＜2}2．复数z=（i为虚数单位）在复平面内对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．有5支彩笔（除颜色外无差别），颜色分别为红、黄、蓝、绿、紫．从这5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔，则取出的2支彩笔中含有红色彩笔的概率为（）A．B．C．D．4．设，为非零向量，则“存在负数λ，使得=λ”是“•＜0”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件5．如图是一个算法的程序框图，当输入值x为10时，则其输出的结果是（）A．B．2C．D．46．若a＞1，则双曲线﹣y2=1的离心率的取值范围是（）A．（，+∞）B．（，2）C．（1，）D．（1，2）7．若直线过点（1，1），则4a+b的最小值为（）A．6B．8C．9D．108．某几何体的三视图如图所示，该几何体的体积为（）A．2πB．C．D．3π9．已知定义在R上的函数f（x）=2|x﹣m|+1（m∈R）为偶函数．记，b=f（log24），c=f（2m），则a，b，c的大小关系为（）A．a＜b＜c B．c＜a＜b C．a＜c＜b D．c＜b＜a10．古代数学著作《九章算术》有如下的问题：“今有女子善织，日自倍，五日织五尺，问日织几何？”意思是：“一女子善于织布，每天织的布都是前一天的2倍，已知她5天共织布5尺，问这女子每天分别织布多少？”根据上述已知条件，若要使织布的总尺数不少于30尺，则至少需要（）A．7B．8C．9D．1011．如图，在边长为2的正方形ABCD中，E，F分别为BC，CD的中点，H为EF的中点，沿AE，EF，FA将正方形折起，使B，C，D重合于点O，在构成的四面体A﹣OEF中，下列结论中错误的是（）A．AO⊥平面EOFB．直线AH与平面EOF所成角的正切值为C．异面直线OH和求AE所成角为60°D．四面体A﹣OEF的外接球表面积为6π12．已知函数，若方程f（x）﹣mx+1=0恰有四个不同的实数根，则实数m 的取值范围是（ ） A ．B ．C ．D ．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上） 13．函数f （x ）=sinxcosx +cos2x 的最小正周期是 ．14．若x ，y 满足，则x +2y 的最大值为 ．15．椭圆的左、右焦点分别为F 1，F 2，顶点B （0，b ）到F 2的距离为4，直线上存在点P ，使得△F 2PF 1为底角是30°的等腰三角形，则此椭圆方程为 ． 16．已知数列{a n }，令，则称{P n }为{a n }的“伴随数列”，若数列{a n }的“伴随数列”{P n }的通项公式为，记数列{a n ﹣kn }的前n 项和为S n ，若S n ≤S 4对任意的正整数n 恒成立，则实数k 的取值范围为 ． 三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（12分）已知a ，b ，c 分别为△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，向量，且．（1）求角C 的大小；（2）若sinA +sinB=2sinC ，且△ABC 面积为，求边c 的长．18．（12分）某城市随机抽取一年（365天）内100天的空气质量指数API 的监测数据，结果统计如下：记某企业每天由空气污染造成的经济损失S （单位：元），空气质量指数API 为x ．当0≤x ≤100时，企业没有造成经济损失；当100＜x ≤300对企业造成经济损失成直线模型（当x=150时造成的经济损失为S=200，当x=250时，造成的经济损失S=500；当x＞300时造成的经济损失为2000元；（1）试写出S（x）的表达式：（2）在本年内随机抽取一天，试估计该天经济损失超过350元的概率；（3）若本次抽取的样本数据有30天是在供暖季，其中有12天为重度污染，完成下面2×2列联表，并判断能否有99%的把握认为该市本年空气重度污染与供暖有关？19．（12分）如图，四边形ABCD和ADPQ均是边长为2的正方形，它们所在的平面互相垂直，E，F分别为AB，BC的中点，点M为线段PQ的中点．（1）求证：直线EM∥平面PBD；（2）求点F到平面AEM的距离．20．（12分）已知抛物线C：y2=4x的焦点为F，准线为l，在抛物线C上任取一点A，过A做l的垂线，垂足为E．（1）若|AF|=5，求cos∠EAF的值；（2）除A外，∠EAF的平分线与抛物线C是否有其他的公共点，并说明理由．21．（12分）已知函数f（x）=x3﹣alnx（a∈R）．（1）讨论函数f（x）的单调性；（2）若函数y=f（x）在区间（1，e]上存在两个不同零点，求实数a的取值范围．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）平面直角坐标系中，直线l的参数方程为（t为参数），以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为．（1）写出直线l的极坐标方程与曲线C的直角坐标方程；（2）已知与直线l平行的直线l'过点M（2，0），且与曲线C交于A，B两点，试求|AB|．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=|3x+2|．（Ⅰ）解不等式f（x）＜4﹣|x﹣1|；（Ⅱ）已知m+n=1（m，n＞0），若|x﹣a|﹣f（x）≤+（a＞0）恒成立，求实数a 的取值范围．2017-2018学年安徽省芜湖市高三（上）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合A={x|1＜2x≤4}，B={x|x＞1}，则A∩B=（）A．{x|1≤x＜2}B．{x|1＜x≤2}C．{x|0＜x≤2}D．{x|0≤x＜2}【分析】可求出集合A，然后进行交集的运算即可．【解答】解：A={x|0＜x≤2}；∴A∩B={x|1＜x≤2}．故选：B．【点评】考查描述法的定义，指数函数的单调性，以及交集的运算．2．复数z=（i为虚数单位）在复平面内对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【分析】运用复数的除法运算法则，化简复数z，再由复数的几何意义，即可得到所求象限．【解答】解：复数z===，可得复数z=（i为虚数单位）在复平面内对应的点为（﹣，），位于第二象限，故选：B．【点评】本题考查复数的除法运算法则，以及复数的几何意义，属于基础题．3．有5支彩笔（除颜色外无差别），颜色分别为红、黄、蓝、绿、紫．从这5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔，则取出的2支彩笔中含有红色彩笔的概率为（）A．B．C．D．【分析】先求出基本事件总数n==10，再求出取出的2支彩笔中含有红色彩笔包含的基本事件个数m==4，由此能求出取出的2支彩笔中含有红色彩笔的概率．【解答】解：有5支彩笔（除颜色外无差别），颜色分别为红、黄、蓝、绿、紫，从这5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔， 基本事件总数n==10，取出的2支彩笔中含有红色彩笔包含的基本事件个数m==4，∴取出的2支彩笔中含有红色彩笔的概率为p==．故选：C ．【点评】本小题主要考查概率、古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力和推理论证能力，是基础题．4．设，为非零向量，则“存在负数λ，使得=λ”是“•＜0”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【分析】，为非零向量，存在负数λ，使得=λ，则向量，共线且方向相反，可得•＜0．反之不成立，非零向量，的夹角为钝角，满足•＜0，而=λ不成立．即可判断出结论．【解答】解：，为非零向量，存在负数λ，使得=λ，则向量，共线且方向相反，可得•＜0．反之不成立，非零向量，的夹角为钝角，满足•＜0，而=λ不成立． ∴，为非零向量，则“存在负数λ，使得=λ”是•＜0”的充分不必要条件． 故选：A ．【点评】本题考查了向量共线定理、向量夹角公式、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．5．如图是一个算法的程序框图，当输入值x 为10时，则其输出的结果是（ ）A．B．2C．D．4【分析】模拟程序的运行过程，即可得出程序运行后输出的y值．【解答】解：模拟程序的运行过程，如下；输入x=10，x＞0，x=10﹣3=7，x＞0，x=7﹣3=4，x＞0，x=4﹣3=1，x＞0，x=1﹣3=﹣2，x≤0，y==4，输出y=4．故选：D．【点评】本题考查了程序的运行与应用问题，是基础题．6．若a＞1，则双曲线﹣y2=1的离心率的取值范围是（）A．（，+∞）B．（，2）C．（1，）D．（1，2）【分析】利用双曲线方程，求出a，c然后求解双曲线的离心率的范围即可．【解答】解：a＞1，则双曲线﹣y2=1的离心率为：==∈（1，）．故选：C．【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，考查计算能力．7．若直线过点（1，1），则4a+b的最小值为（）A．6B．8C．9D．10【分析】由直线过点（1，1）先求出，然后进行变形4a+b=（4a+b）（），即可求解【解答】解：∵直线过点（1，1），∴=1则4a+b=（4a+b）（）=5≥5+2=9∴4a+b的最小值为9故选：C．【点评】本题主要考查的基本不等式求解最值，解题的关键是进行1的代换8．某几何体的三视图如图所示，该几何体的体积为（）A．2πB．C．D．3π【分析】判断几何体的形状，利用三视图的数据求解几何体的体即可．【解答】解：由题意可知几何体是一个圆柱，被一个与底面成45°的平面，解去一部分的几何体；如图：该几何体的体积为：=3π．故选：D．【点评】本题考查的知识点是由三视图求体积和表面积，解决本题的关键是得到该几何体的形状．9．已知定义在R上的函数f（x）=2|x﹣m|+1（m∈R）为偶函数．记，b=f（log24），c=f（2m），则a，b，c的大小关系为（）A．a＜b＜c B．c＜a＜b C．a＜c＜b D．c＜b＜a【分析】根据f（x）=f（﹣x），求得m=0，可得f（x）的解析式．再计算，b=f（log24），c=f（2m）的值，可得结论．【解答】解：∵函数f（x）=2|x﹣m|+1（m∈R）为偶函数，∴f（x）=f（﹣x），∴|x﹣m|=|﹣x﹣m|，∴m=0，f（x）=2|x|+1．记=f（﹣1）=21+1=3，b=f（log24）=f（2）=22+1=5，c=f（2m）=f（0）=20+1=2，则a，b，c的大小关系为：b＞a＞c，故选：B．【点评】本题主要考查函数的奇偶性的应用，求函数的值，属于基础题．10．古代数学著作《九章算术》有如下的问题：“今有女子善织，日自倍，五日织五尺，问日织几何？”意思是：“一女子善于织布，每天织的布都是前一天的2倍，已知她5天共织布5尺，问这女子每天分别织布多少？”根据上述已知条件，若要使织布的总尺数不少于30尺，则至少需要（）A．7B．8C．9D．10【分析】由等比数列前n项和公式求出这女子每天分别织布尺，由此利用等比数列前n项和公式能求出要使织布的总尺数不少于30尺，该女子所需的天数至少为多少天．【解答】解：设该女五第一天织布x尺，则=5，解得x=，∴前n天织布的尺数为：，由30，得2n≥187，解得n的最小值为8．故选：B．【点评】本题考查等比数列在生产生活中的实际应用，是基础题，解题时要认真审题，注意等比数列的性质的合理运用．11．如图，在边长为2的正方形ABCD中，E，F分别为BC，CD的中点，H为EF的中点，沿AE，EF，FA将正方形折起，使B，C，D重合于点O，在构成的四面体A﹣OEF中，下列结论中错误的是（）A．AO⊥平面EOFB．直线AH与平面EOF所成角的正切值为C．异面直线OH和求AE所成角为60°D．四面体A﹣OEF的外接球表面积为6π【分析】作出三棱锥的直观图，作出要求的空间角，根据棱锥的结构特征进行判断．【解答】解：翻折前，AB⊥BE，AD⊥DF，故翻折后，OA⊥OE，OA⊥OF，又OE∩OF=O，∴OA⊥平面EOF．故A正确；连接OH，AH，则∠OHA为AH与平面EOF所成的角，∵OE=OF=1，H是EF的中点，OE⊥OF，∴OH=EF=．又OA=2，∴tan∠OHA==2，故B正确；取AF的中点P，连接OP，HP，则PH∥AE，∴∠OHP为异面直线OH和求AE所成角，∵OE=OF=1，OA=2，∴OP=AF=，PH=AE=，OH=EF=，∴cos∠OHP==，故C错误．由OA，OE，OF两两垂直可得棱锥的外接球也是棱长为1，1，2的长方体的外接球，∴外接球的半径r==，故外接球的表面积为S=4πr2=6π，故D正确．故选：C．【点评】本题考查了棱锥的结构特征，线面垂直的判定与空间角的计算，属于中档题．12．已知函数，若方程f（x）﹣mx+1=0恰有四个不同的实数根，则实数m的取值范围是（）A．B．C．D．【分析】函数，若方程f（x）﹣mx+1=0恰有四个不同的实数根，即f（x）=mx﹣1，有4个不同的交点，分别画出y=f（x），与y=mx﹣1的图象，利用导数的几何意义求出函数f（x）的切线方程，即可求出m的取值范围【解答】解：函数，若方程f（x）﹣mx+1=0恰有四个不同的实数根，即f（x）=mx﹣1，有4个不同的交点，分别画出y=f（x），与y=mx﹣1的图象，当x＞0时，f（x）=xlnx﹣2x，∴f′（x）=lnx﹣1，设直线y=mx﹣1与y=f（x）相切于点A（x1，y1），∴m=lnx1﹣1，∵y1=x1（lnx1﹣2），y1=mx1﹣1，∴x1=1，m=﹣1，当x＜0时，f（x）=x2+x，∴f′（x）=2x+，设直线y=mx﹣1y=f（x）相切于点B（x2，y2），∴m=2x2+，∵y2=x2（x2+），y2=mx2﹣1，∴x2=﹣1，m=﹣，结合图象可知﹣1＜m＜﹣，故选：B．【点评】本题考查了方程的根与函数的零点的关系应用及数形结合的思想应用，同时考查了分类讨论与转化思想的应用及导数的综合应用，属于中档题．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．函数f（x）=sinxcosx+cos2x的最小正周期是π．【分析】直接利用二倍角公式以及两角和与差的三角函数，化简函数的表达式然后求解函数的周期即可．【解答】解：，所以最小正周期．故答案为：π．【点评】本题考查二倍角公式以及两角和与差的三角函数，函数的周期的求法，考查计算能力．14．若x，y满足，则x+2y的最大值为9．【分析】作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求z的最大值．【解答】解：作出x，y满足对应的平面区域，由z=x+2y，得y=﹣x+，平移直线y=﹣x+，由图象可知当直线y=﹣x+经过点A时，直线y=﹣x+的截距最大，此时z最大．由，得A（3，3），此时z的最大值为z=3+2×3=9，给答案为：9．【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用图象平行求得目标函数的最大值，利用数形结合是解决线性规划问题中的基本方法．15．椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，顶点B（0，b）到F2的距离为4，直线上存在点P，使得△F2PF1为底角是30°的等腰三角形，则此椭圆方程为．【分析】由已知可得a=4，利用△F2PF1是底角为30°的等腰三角形，可得|PF2|=|F2F1|，根据P为直线x=上一点建立方程，由此可求椭圆的c，进一步求得b，则答案可求．【解答】解：由题意可得，a=4，则直线方程为=6，设x=6与x轴交于点M，∵△F2PF1是底角为30°的等腰三角形，∴∠PF2F1=120°，|PF2|=|F2F1|，且|PF2|=2|F2M|∵P为直线x=6上一点，∴2（6﹣c）=2c，解得c=3，∴b2=a2﹣c2=16﹣9=7，则此椭圆方程为．故答案为：．【点评】本题给出与椭圆有关的等腰三角形，在已知三角形形状的情况下求椭圆的标准方程，着重考查椭圆的几何性质，解题的关键是确定几何量之间的关系，是中档题．16．已知数列{a n}，令，则称{P n}为{a n}的“伴随数列”，若数列{a n}的“伴随数列”{P n}的通项公式为，记数列{a n﹣kn}的前n项和为S n，若S n≤S4对任意的正整数n恒成立，则实数k的取值范围为[] ．【分析】由题意可得：（a1+2a2+……+2n﹣1a n）=2n+1，即a1+2a2+……+2n﹣1a n=n•2n+1，n≥2时，=（n﹣1）•2n，可得：2n﹣1a n=n•2n+1﹣（n﹣1）•2n，n=1时，a1=4．可得：a n=2n+2．可得a n﹣kn．可得S n=n2+n，对k分类讨论：k≤2，不满足题意，舍去．k＞2时，由S n≤S4对任意的正整数n恒成立，可得3.5≤﹣≤4.5．解出即可得出．【解答】解：由题意可得：（a1+2a2+……+2n﹣1a n）=2n+1，即a1+2a2+……+2n﹣1a n=n•2n+1，∴n≥2时，=（n﹣1）•2n，可得：2n﹣1a n=n•2n+1﹣（n﹣1）•2n，可得：a n=2n+2．n=1时，a1=4．对于上式也成立．∴a n=2n+2．a n﹣kn=2n+2﹣kn=（2﹣k）n+2．∴S n===n2+n，k≤2，不满足题意，舍去．k＞2时，由S n≤S4对任意的正整数n恒成立，∴3.5≤﹣≤4.5．解得：≤k≤．则实数k的取值范围为．故答案为：．【点评】本题考查了数列递推关系、等差数列的通项公式与求和公式、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（12分）已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，向量，且．（1）求角C的大小；（2）若sinA +sinB=2sinC ，且△ABC 面积为，求边c 的长．【分析】（1）利用平面向量数量积的运算，三角形内角和定理，两角和的正弦函数公式可求有sinC=2sinCcosC ，可求，进而可求C 的值．（2）由已知结合正弦定理知：a +b=2c ，利用三角形面积公式可求ab 的值，再根据余弦定理可求c 的值． 【解答】解：（1）因为sinBcosA=sin （A +B ）=sin2C ，在三角形ABC 中有：sin （A +B ）=sinC ， 从而有sinC=2sinCcosC ，即，则C=60°；（2）由sinA +sinB=2sinC ，结合正弦定理知：a +b=2c ， 又，知：ab=36，根据余弦定理可知：c 2=a 2+b 2﹣2abcosC=（a +b ）2﹣3ab=4c 2﹣108， 解得：c=6．【点评】本题主要考查了平面向量数量积的运算，三角形内角和定理，两角和的正弦函数公式，正弦定理，三角形面积公式，余弦定理在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于中档题．18．（12分）某城市随机抽取一年（365天）内100天的空气质量指数API 的监测数据，结果统计如下：记某企业每天由空气污染造成的经济损失S （单位：元），空气质量指数API 为x ．当0≤x ≤100时，企业没有造成经济损失；当100＜x ≤300对企业造成经济损失成直线模型（当x=150时造成的经济损失为S=200，当x=250时，造成的经济损失S=500；当x ＞300时造成的经济损失为2000元； （1）试写出S （x ）的表达式：（2）在本年内随机抽取一天，试估计该天经济损失超过350元的概率；（3）若本次抽取的样本数据有30天是在供暖季，其中有12天为重度污染，完成下面2×2列联表，并判断能否有99%的把握认为该市本年空气重度污染与供暖有关？【分析】（1）用分段函数写出函数的解析式； （2）由（1）求得x ＞200的频数，计算所求概率值；（3）根据题意填写列联表，计算观测值，对照临界值得出结论． 【解答】解：（1）由题意，写出函数解析式为；（2）设“在本年内随机抽取一天，该天经济损失S 大于超过350元”为事件A ， 由（1）知：x ＞200，频数为38， 则所求的概率为；（3）根据以上数据得到如下2×2列联表：计算可得≈10.714＞6.635；所以有99%的把握认为该市本年空气重度污染与供暖有关．【点评】本题考查了列联表与独立性检验的应用问题，也考查了分段函数与概率的应用问题，是中档题．19．（12分）如图，四边形ABCD 和ADPQ 均是边长为2的正方形，它们所在的平面互相垂直，E ，F 分别为AB ，BC 的中点，点M 为线段PQ 的中点． （1）求证：直线EM ∥平面PBD ； （2）求点F 到平面AEM 的距离．【分析】（1）取AD 的中点G ，连接MG 和GE ，根据中位线定理可得EG ∥BD ，再根据线线平行可得平面EMG ∥平面PBD ，即可证明直线EM ∥平面PBD ； （2）利用等体积法，由V M ﹣AEF =V F ﹣AME ，即可求出．【解答】证明：（1）取AD 的中点G ，连接MG 和GE ，则易知MG ∥PD ， 又因为AE=EB ，AG=GD ， 所以EG 为△ABD 的中位线，所以EG ∥BD ，且MG ∥PD ，MG ∩EG=G ， 所以平面EMG ∥平面PBD ， 又EM ⊂平面EMG ， 所以EM ∥平面PBD ；解：（2）设点F 到平面AEM 的距离为h ， 由题可知，BA ⊥面AQPD ，所以BA ⊥AM ，由勾股定理可知， =，所以△AME 的面积，经过计算，有： =，由V M ﹣AEF =V F ﹣AME ，和，所以．【点评】本题考查了线面平行的判定定理和等体积法求点到平面的距离，属于中档题．20．（12分）已知抛物线C：y2=4x的焦点为F，准线为l，在抛物线C上任取一点A，过A做l的垂线，垂足为E．（1）若|AF|=5，求cos∠EAF的值；（2）除A外，∠EAF的平分线与抛物线C是否有其他的公共点，并说明理由．【分析】（1）求得抛物线的焦点F和准线l，由抛物线的定义可得A的坐标，求得向量，的坐标，运用向量的夹角公式，即可得到余弦值；（2）设A（x0，y0），运用角平分线性质可得角平分线方程，联立抛物线方程，解方程即可得到所求结论．【解答】解：（1）抛物线C：y2=4x的焦点为F（1，0），准线为l：x=﹣1，|AF|=x A+1=5，∴x A=4，即A（4，±4）由抛物线的对称性，不防取A（4，4），∵F（1，0），E（﹣1，4），∴，，∴=；（2）设A（x0，y0），∵F（1，0），E（﹣1，y0），．由|AE|=|AF|知∠EAF的平分线所在直线就是△EAF边EF上的高所在的直线．∴∠EAF的平分线所在的直线方程为2（x﹣x0）﹣y0（y﹣y0）=0．由，消x得，∵，方程化为，即y1=y2=y0即∠EAF的平分线与C只有一个公共点，除A以外没有其他公共点．【点评】本题考查抛物线的方程和性质，角平分线的性质，考查向量法和联立方程组，化简整理的运算能力，属于中档题．21．（12分）已知函数f（x）=x3﹣alnx（a∈R）．（1）讨论函数f（x）的单调性；（2）若函数y=f（x）在区间（1，e]上存在两个不同零点，求实数a的取值范围．【分析】（1）先求导，根据导数和函数的单调性的关系，分类讨论即可求出，（2）函数y=a图象与函数图象有两个不同的交点，再求导，求出函数的最小值，即可求出a的取值范围．【解答】解：（1）∵①若a≤0时，f'（x）＞0，此时函数在（0，+∞）上单调递增；②若a＞0时，又得：，当时f'（x）＜0，此时函数在上单调递减；当时f'（x）＞0，此时函数在上单调递增；（2）由题意知：在区间（1，e]上有两个不同实数解，即函数y=a图象与函数图象有两个不同的交点，因为，令g'（x）=0得：所以当时，g'（x）＜0，函数在上单调递减当时，g'（x）＞0，函数在上单调递增；则，而，且g（e）=e3＜27，要使函数y=a图象与函数图象有两个不同的交点，所以a的取值范围为（3e，e3]．【点评】本题综合考查了导数在解决函数的单调性，零点问题中的应用，构造函数运用求解参变量的范围问题．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）平面直角坐标系中，直线l的参数方程为（t为参数），以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为．（1）写出直线l的极坐标方程与曲线C的直角坐标方程；（2）已知与直线l平行的直线l'过点M（2，0），且与曲线C交于A，B两点，试求|AB|．【分析】（1）将直线l的参数方程消去t化为普通方程，再根据极坐标与普通方程的互化公式，化为极坐标方程，根据公式将曲线C化为直角坐标方程；（2）根据定点和斜率求出直线l′的参数方程，代入曲线C，根据根与系数的关系写出韦达定理，再由t′的几何意义以及弦长公式求出|AB|．【解答】.解：（1）直线l的参数方程可化为（t为参数），消去t可得直线的普通方程为y=+1，又∵，∴直线l的极坐标方程为ρcosθ﹣ρsinθ﹣+1=0，由ρ=可得ρ2（1﹣cos2θ）=2ρcosθ，∴曲线C的直角坐标方程为y2=2x．（2）直线l 的倾斜角为，∴直线l′的倾斜角也为，又直线l′过点M（2，0），∴直线l′的参数方程为（t′为参数），将其代入曲线C的直角坐标方程可得3t′2﹣4t′﹣16=0，设点A，B 对应的参数分别为t′1，t′2，由一元二次方程的根与系数的关系知t1′t2′=﹣，t1′+t2′=，∴AB|=|t1′﹣t2′|==．【点评】本题考查三种方程的互化，考查直线与抛物线的位置关系，一元二次方程的根与系数的关系，以及参数的几何意义，考查学生的计算能力，属于中档题．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=|3x+2|．（Ⅰ）解不等式f（x）＜4﹣|x﹣1|；（Ⅱ）已知m+n=1（m，n＞0），若|x﹣a|﹣f（x）≤+（a＞0）恒成立，求实数a 的取值范围．【分析】（Ⅰ）把要解的不等式等价转化为与之等价的三个不等式组，求出每个不等式组的解集，再取并集，即得所求．（Ⅱ）由条件利用基本不等式求得+≥4，结合题意可得|x﹣a|﹣|3x+2|≤4恒成立．令g（x）=|x﹣a|﹣|3x+2|，利用单调性求得它的最大值，再由此最大值小于或等于4，求得a的范围．【解答】解：（Ⅰ）不等式f（x）＜4﹣|x﹣1|，即|3x+2|+|x﹣1|＜4，∴①，或②，或③．解①求得﹣＜x＜﹣，解②求得﹣≤x＜，解③求得x∈∅．综上可得，不等式的解集为（﹣，）．（Ⅱ）已知m+n=1（m，n＞0），∴+=（m+n）（+）=2++≥2+2=4，当且仅当m=n=时，取等号．再根据|x﹣a|﹣f（x）≤+（a＞0）恒成立，可得|x﹣a|﹣f（x）≤4，即|x﹣a|﹣|3x+2|≤4．设g（x）=|x﹣a|﹣|3x+2|=，故函数g（x）的最大值为g（﹣）=+a，再由+a≤4，求得0＜a≤．【点评】本题主要考查绝对值不等式的解法，函数的恒成立问题，基本不等式的应用，体现了转化、分类讨论的数学思想，属于中档题．。

2017-2018学年山东省莱芜市莱钢高中高三（上）12月质检数学试卷（文科）一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．若复数i满足z（1+i）=2i，则在复平面内z对应的点的坐标是（）A．（1，1）B．（1，﹣1）C．（﹣1，1）D．（﹣1，﹣1）2．设全集U=R，集合A={x|2x＞1}，B={x|﹣1≤x≤5}，则（∁U A）∩B等于（）A．[﹣1，0）B．（0，5] C．[﹣1，0] D．[0，5]3．已知p、q，“¬p为真”是“p∧q为假”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件4．若圆C经过（1，0），（3，0）两点，且与y轴相切，则圆C的方程为（）A．（x﹣2）2+（y±2）2=3 B．C．（x﹣2）2+（y±2）2=4 D．5．运行如图所示的程序框图，则输出的结果S为（）A．1007 B．1008 C．2013 D．20146．高三某班有学生56人，现将所有同学随机编号，用系统抽样的方法，抽取一个容量为4的样本，已知5号、33号、47号学生在样本中，则样本中还有一个学生的编号为（）A．13 B．17 C．19 D．217．函数y=a|x|与y=sinax（a＞0且a≠1）在同一直角坐标系下的图象可能是（）A．B．C．D．8．三棱锥S﹣ABC的所有顶点都在球O的表面上，SA⊥平面ABC，AB⊥BC，又SA=AB=BC=1，则球O的表面积为（）A．B． C．3πD．12π9．对任意实数a，b定义运算“⊗”：，设f（x）=（x2﹣1）⊗（4+x），若函数y=f（x）+k的图象与x轴恰有三个不同交点，则k的取值范围是（）A．（﹣2，1）B．[0，1] C．[﹣2，0）D．[﹣2，1）10．如图，已知直线l：y=k（x+1）（k＞0）与抛物线C：y2=4x相交于A、B两点，且A、B 两点在抛物线C准线上的射影分别是M、N，若|AM|=2|BN|，则k的值是（）A．B．C．D．2二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）11．已知角α的顶点与原点重合，始边与x轴的正半轴重合，终边上一点的坐标为（3，4），则cos2α= ．13．若x、y满足条件，则z=x+3y的最大值是．14．已知a＞b＞0，ab=1，则的最小值为．15．已知函数y=f（x）为奇函数，且对定义域内的任意x都有f（1+x）=﹣f（1﹣x）．当x ∈（2，3）时，f（x）=log2（x﹣1），给出以下4个结论：①函数y=f（x）的图象关于点（k，0）（k∈Z）成中心对称；②函数y=|f（x）|是以2为周期的周期函数；③当x∈（﹣1，0）时，f（x）=﹣log2（1﹣x）；④函数y=f（|x|）在（k，k+1）（ k∈Z）上单调递增．其中所有正确结论的序号为．三、解答题（本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）16．已知函数f（x）=sinx+cosx．（Ⅰ）求函数y=f（x）在x∈[0，2π]上的单调递增区间；（Ⅱ）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知=（a，b），=（f（C），1）且∥，求B．17．如图，底面是等腰梯形的四棱锥E﹣ABCD中，EA⊥平面ABCD，AB∥CD，AB=2CD，∠ABC=．（Ⅰ）设F为EA的中点，证明：DF∥平面EBC；（Ⅱ）若AE=AB=2，求三棱锥B﹣CDE的体积．18．甲、乙两家商场对同一种商品开展促销活动，对购买该商品的顾客两家商场的奖励方案如下：甲商场：顾客转动如图所示圆盘，当指针指向阴影部分（图中四个阴影部分均为扇形，且每个扇形圆心角均为15°，边界忽略不计）即为中奖．乙商场：从装有3个白球3个红球的盒子中一次性摸出2球（球除颜色外不加区分），如果摸到的是2个红球，即为中奖．问：购买该商品的顾客在哪家商场中奖的可能性大？19．已知数列{a n}的前n项和s n=a n+n2﹣1，数列{b n}满足3n•b n+1=（n+1）a n+1﹣na n，且b1=3 （1）求a n，b n；（2）设T n为数列{b n}的前n项和，求T n．20．已知函数f（x）=x3﹣x﹣．（Ⅰ）判断的单调性；（Ⅱ）求函数y=f（x）的零点的个数；（Ⅲ）令g（x）=+lnx，若函数y=g（x）在（0，）内有极值，求实数a的取值范围．21．已知双曲线C：=1的焦距为3，其中一条渐近线的方程为x﹣y=0．以双曲线C的实轴为长轴，虚轴为短轴的椭圆记为E，过原点O的动直线与椭圆E交于A、B两点．（Ⅰ）求椭圆E的方程；（Ⅱ）若点P为椭圆的左顶点，，求|的取值范围；（Ⅲ）若点P满足|PA|=|PB|，求证为定值．2014-2015学年山东省莱芜市莱钢高中高三（上）12月质检数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．若复数i满足z（1+i）=2i，则在复平面内z对应的点的坐标是（）A．（1，1）B．（1，﹣1）C．（﹣1，1）D．（﹣1，﹣1）考点：复数的基本概念；复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩充和复数．分析：把已知等式两边同时乘以，然后利用复数的除法运算化简，则答案可求．解答：解：由z（1+i）=2i，得．∴在复平面内z对应的点的坐标是（1，1）．故选：A．点评：本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．2．设全集U=R，集合A={x|2x＞1}，B={x|﹣1≤x≤5}，则（∁U A）∩B等于（）A．[﹣1，0）B．（0，5] C．[﹣1，0] D．[0，5]考点：交、并、补集的混合运算．专题：计算题．分析：求出A中不等式的解集确定出A，根据全集U=R求出A的补集，找出A补集与B的交集即可．解答：解：由A中的不等式变形得：2x＞1=20，得到x＞0，∴A=（0，+∞），∵全集U=R，∴∁U A=（﹣∞，0]，∵B=[﹣1，5]，∴（∁U A）∩B=[﹣1，0]．故选：C．点评：此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．3．已知p、q，“¬p为真”是“p∧q为假”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：简易逻辑．分析：根据复合真假之间的关系，以及充分条件和必要条件的定义进行判断即可．解答：解：若¬p为真，则p且假，则p∧q为假成立，当q为假时，满足p∧q为假，但p真假不确定，∴￢p为真不一定成立，∴“¬p为真”是“p∧q为假”的充分不必要条件．故选：A．点评：本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用复合真假之间的关系是解决本题的关键，比较基础，4．若圆C经过（1，0），（3，0）两点，且与y轴相切，则圆C的方程为（）A．（x﹣2）2+（y±2）2=3 B．C．（x﹣2）2+（y±2）2=4 D．考点：圆的标准方程．专题：直线与圆．分析：由已知圆C经过（1，0），（3，0）两点，且与y轴相切．可得圆心在直线x=2上，且半径长为2．设圆的方程为（x﹣2）2+（y﹣b）2=4．将点（1，0）代入方程即可解得．从而得到圆C的方程．解答：解：∵圆C经过（1，0），（3，0）两点，∴圆心在直线x=2上．可设圆心C（2，b）．又∵圆C与y轴相切，∴半径r=2．∴圆C的方程为（x﹣2）2+（y﹣b）2=4．∵圆C经过点（1，0），∴（1﹣2）2+b2=4．∴b2=3．∴．∴圆C的方程为．故选：D．点评：本题考查圆的标准方程，直线与圆相切的性质等知识，属于中档题．5．运行如图所示的程序框图，则输出的结果S为（）A．1007 B．1008 C．2013 D．2014考点：程序框图．专题：算法和程序框图．分析：程序运行的功能是求S=1﹣2+3﹣4+…+（﹣1）k﹣1•k，根据计算变量n判断程序终止运行时的k值，利用并项求和求得S．解答：解：由程序框图知：程序运行的功能是求S=1﹣2+3﹣4+…+（﹣1）k﹣1•k，当n=2014时，不满足条件n＜2014，程序运行终止，此时k=2014，∴输出的S=1﹣2+3﹣4+…（﹣1）2012•2013=1+1006=1007．故选：A．点评：本题考查了循环结构的程序框图，根据计算变量n判断程序终止运行时的k值是解答本题的关键．6．高三某班有学生56人，现将所有同学随机编号，用系统抽样的方法，抽取一个容量为4的样本，已知5号、33号、47号学生在样本中，则样本中还有一个学生的编号为（）A．13 B．17 C．19 D．21考点：系统抽样方法．专题：概率与统计．分析：根据系统抽样的定义即可得到结论．解答：解：∵高三某班有学生56人，用系统抽样的方法，抽取一个容量为4的样本，∴样本组距为56÷4=14，则5+14=19，即样本中还有一个学生的编号为19，故选：C．点评：本题主要考查系统抽样的应用，根据系统抽样的定义得到样本组距为14是解决本题的关键．比较基础．7．函数y=a|x|与y=sinax（a＞0且a≠1）在同一直角坐标系下的图象可能是（）A．B．C．D．考点：函数的图象．专题：函数的性质及应用．分析：结合函数图象的对折变换法则和正弦型函数的伸缩变换，分当a＞1时和当0＜a＜1时两种情况，分析两个函数的图象，比照后，可得答案．解答：解：当a＞1时，函数y=a|x|与y=sinax（a＞0且a≠1）在同一直角坐标系下的图象为：当0＜a＜1时，函数y=a|x|与y=sinax（a＞0且a≠1）在同一直角坐标系下的图象为：比照后，发现D满足第一种情况，故选D点评：本题考查的知识点是函数的图象，其中熟练掌握函数图象的对折变换及伸缩变换是解答的关键．8．三棱锥S﹣ABC的所有顶点都在球O的表面上，SA⊥平面ABC，AB⊥BC，又SA=AB=BC=1，则球O的表面积为（）A．B． C．3πD．12π考点：球的体积和表面积．专题：计算题；球．分析：根据题意，三棱锥S﹣ABC扩展为正方体，正方体的外接球的球心就是正方体体对角线的中点，求出正方体的对角线的长度，即可求解球的半径，从而可求三棱锥S﹣ABC的外接球的表面积．解答：解：三棱锥S﹣ABC的所有顶点都在球O的表面上，SA⊥平面ABC，AB⊥BC，又SA=AB=BC=1，三棱锥扩展为正方体的外接球，外接球的直径就是正方体的对角线的长度，∴球的半径R==．球的表面积为：4πR2=4=3π．故选：C．点评：本题考查三棱锥S﹣ABC的外接球的表面积，解题的关键是确定三棱锥S﹣ABC的外接球的球心与半径．9．对任意实数a，b定义运算“⊗”：，设f（x）=（x2﹣1）⊗（4+x），若函数y=f（x）+k的图象与x轴恰有三个不同交点，则k的取值范围是（）A．（﹣2，1）B．[0，1] C．[﹣2，0）D．[﹣2，1）考点：根的存在性及根的个数判断．专题：函数的性质及应用．分析：化简函数f（x）的解析式，作出函数y=f（x）的图象，由题意可得，函数y=f（x）与y=﹣k的图象有3个交点，结合图象求得结果．．解答：解：当（x2﹣1）﹣（x+4）＜1时，f（x）=x2﹣1，（﹣2＜x＜3），当（x2﹣1）﹣（x+4）≥1时，f（x）=x+4，（x≥3或x≤﹣2），函数y=f（x）=的图象如图所示：由图象得：﹣2≤k＜1，函数y=f（x）与y=﹣k的图象有3个交点，即函数y=f（x）+k的图象与x轴恰有三个公共点；故答案选：D．点评：本题主要考查根据函数的解析式作出函数的图象，体现了化归与转化、数形结合的数学思想，属于基础题．10．如图，已知直线l：y=k（x+1）（k＞0）与抛物线C：y2=4x相交于A、B两点，且A、B 两点在抛物线C准线上的射影分别是M、N，若|AM|=2|BN|，则k的值是（）A．B．C．D．2考点：直线与圆锥曲线的综合问题．专题：空间向量及应用．分析：直线y=k（x+1）（k＞0）恒过定点P（﹣1，0），由此推导出|OB|=|AF|，由此能求出点B的坐标，从而能求出k的值．解答：解：设抛物线C：y2=4x的准线为l：x=﹣1直线y=k（x+1）（k＞0）恒过定点P（﹣1，0）如图过A、B分别作AM⊥l于M，BN⊥l于N，由|FA|=2|FB|，则|AM|=2|BN|，点B为AP的中点、连接OB，则|OB|=|AF|，∴|OB|=|BF|，点B的横坐标为，∴点B的坐标为B（，），把B（，）代入直线l：y=k（x+1）（k＞0），解得k=．故选：C．点评：本题考查直线与圆锥曲线中参数的求法，考查抛物线的性质，是中档题，解题时要注意等价转化思想的合理运用．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）11．已知角α的顶点与原点重合，始边与x轴的正半轴重合，终边上一点的坐标为（3，4），则cos2α= ﹣．考点：任意角的三角函数的定义；二倍角的余弦．专题：三角函数的求值．分析：根据任意角的三角函数的定义求得cosα=的值，再利用二倍角公式cos2α=2cos2α﹣1，计算求得结果．解答：解：由题意可得，x=3、y=4、r=5，∴cosα==，∴cos2α=2cos2α﹣1=﹣，故答案为：﹣．点评：本题主要考查任意角的三角函数的定义，二倍角公式的应用，属于中档题．13．若x、y满足条件，则z=x+3y的最大值是11 ．考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：作出不等式对应的平面区域，利用z的几何意义，进行平移即可得到结论．解答：解：作出不等式组对应的平面区域如图：由z=x+3y得y=，平移直线y=，当直线y=经过点A时，对应的直线的截距最大，此时z也最大，由，解得，即A（2，3），此时z=2+3×3=11，故答案为：11点评：本题主要考查线性规划的应用，利用z的几何意义，利用数形结合是解决本题的关键．14．已知a＞b＞0，ab=1，则的最小值为．考点：基本不等式．专题：不等式的解法及应用．分析：本题是基本不等式问题，可以利用a＞b＞0得到a﹣b＞0（正数），再利用条件ab 为定值将a2+b2转化为（a﹣b）2与ab，化简后，运用基本不等式解决问题．解答：解：∵a＞b＞0，ab=1∴a﹣b＞0∴=当且仅当a﹣b=时取等号故答案为点评：本题主要考查了基本不等式的应用和转化化归的数学思想，注意不等式成立的条件（一正二定三相等）15．已知函数y=f（x）为奇函数，且对定义域内的任意x都有f（1+x）=﹣f（1﹣x）．当x ∈（2，3）时，f（x）=log2（x﹣1），给出以下4个结论：①函数y=f（x）的图象关于点（k，0）（k∈Z）成中心对称；②函数y=|f（x）|是以2为周期的周期函数；③当x∈（﹣1，0）时，f（x）=﹣log2（1﹣x）；④函数y=f（|x|）在（k，k+1）（ k∈Z）上单调递增．其中所有正确结论的序号为①②③．考点：抽象函数及其应用．专题：函数的性质及应用．分析：根据奇函数的性质和f（1+x）=﹣f（1﹣x），求出函数的周期，再由所给的解析式和周期性，求出函数在一个周期性的解析式，再画出函数在R上的图象，由图象进行逐一判断．解答：解：令x取x+1代入f（1+x）=﹣f（1﹣x）得，f（x+2）=﹣f（﹣x）∵函数y=f（x）为奇函数，∴f（x+2）=f（x），则函数是周期为2的周期函数，设0＜x＜1，则2＜x+2＜3，∵当x∈（2，3）时，f（x）=log2（x﹣1），∴f（x）=f（x+2）=log2（x+1），设﹣1＜x＜﹣0，则0＜﹣x＜1，由f（x）=﹣f（﹣x）得，f（x）=﹣log2（﹣x+1），根据奇函数的性质和周期函数的性质画出函数的图象：由上图得，函数y=f（x）的图象关于点（k，0）（k∈Z）成中心对称；且函数y=|f（x）|的图象是将y=f（x）的图象在x轴下方的部分沿x轴对称过去，其他不变，则函数y=|f（x）|是以2为周期的周期函数；故①②③正确，而函数y=f（|x|）=，则图象如下图：由图得，图象关于y轴对称，故y=f（|x|）在（k，k+1）（ k∈Z）上不是单调递增的，故④不正确，故答案为：①②③．点评：本题考查了抽象函数的奇偶性、周期性的综合应用，以及对数函数的图象，考查了数形结合思想和转化能力，难度较大．三、解答题（本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）16．已知函数f（x）=sinx+cosx．（Ⅰ）求函数y=f（x）在x∈[0，2π]上的单调递增区间；（Ⅱ）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知=（a，b），=（f（C），1）且∥，求B．考点：正弦定理；平面向量数量积的运算．专题：三角函数的图像与性质．分析：（Ⅰ）利用辅助角公式求函数y=f（x）的表达式，即可求出函数在x∈[0，2π]上的单调递增区间；（Ⅱ）根据向量平行的坐标公式，以及正弦定理建立方程关系即可求B．解答：解：（Ⅰ）∵f（x）=sinx+cosx=sin（x+），∴由，得，当k=0时，，k=1时，，∵x∈[0，2π]，∴，∴函数y=f（x）在x∈[0，2π]上的单调递增区间为；（Ⅱ）∵f（C）=sinC+cosC，且∥，∴a﹣f（C）b=0，即a=b（sinC+cosC），由正弦定理得sinA=sinB（sinC+cosC），即sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC=sinBsinC+sinBcosC，即cosBsinC=sinBsinC，∵sinC≠0，∴cosB=sinB，即tanB=1，∴B=．点评：本题主要考查三角函数的化简以及正弦定理的应用，综合考查学生的运算能力．17．如图，底面是等腰梯形的四棱锥E﹣ABCD中，EA⊥平面ABCD，AB∥CD，AB=2CD，∠ABC=．（Ⅰ）设F为EA的中点，证明：DF∥平面EBC；（Ⅱ）若AE=AB=2，求三棱锥B﹣CDE的体积．考点：棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定．专题：综合题；空间位置关系与距离．分析：（Ⅰ）取EB的中点G，连接FG，CG，利用F为EA的中点，证明四边形CDFG为平行四边形，即可证明：DF∥平面EBC；（Ⅱ）等腰梯形ABCD中，作CH⊥AB于H，求出点B到CD的距离，即可求三棱锥B﹣CDE的体积．解答：（Ⅰ）证明：取EB的中点G，连接FG，CG，∵F为EA的中点，∴FG∥AB，FG=AB，∵AB∥CD，AB=2CD，∴FG∥CD，FG=CD，∴四边形CDFG为平行四边形，∴DF∥CG，∵DF⊄平面EBC，CG⊂平面EBC，∴DF∥平面EBC；（Ⅱ）解：等腰梯形ABCD中，作CH⊥AB于H，则BH=，在Rt△BHC中，∠ABC=60°，则CH=tan60°=，即点C到AB的距离d=，则点B到CD的距离为，∵EA⊥平面ACD，∴三棱锥B﹣CDE的体积为V E﹣BDC==．点评：本题考查线面平行，考查三棱锥的体积，考查学生分析解决问题的能力，难度中等．18．甲、乙两家商场对同一种商品开展促销活动，对购买该商品的顾客两家商场的奖励方案如下：甲商场：顾客转动如图所示圆盘，当指针指向阴影部分（图中四个阴影部分均为扇形，且每个扇形圆心角均为15°，边界忽略不计）即为中奖．乙商场：从装有3个白球3个红球的盒子中一次性摸出2球（球除颜色外不加区分），如果摸到的是2个红球，即为中奖．问：购买该商品的顾客在哪家商场中奖的可能性大？考点：几何概型；列举法计算基本事件数及事件发生的概率．专题：概率与统计．分析：分别计算两种方案中奖的概率．先记出事件，得到试验发生包含的所有事件，和符合条件的事件，由等可能事件的概率公式得到．解答：解：如果顾客去甲商场，试验的全部结果构成的区域为圆盘的面积π•R2，阴影部分的面积为，则在甲商场中奖的概率为：；如果顾客去乙商场，记3个白球为a1，a2，a3，3个红球为b1，b2，b3，记（x，y）为一次摸球的结果，则一切可能的结果有：（a1，a2），（a1，a3），（a1，b1），（a1，b2），（a1，b3）（a2，a3），（a2，b1），（a2，b2），（a2，b3），（a3，b1），（a3，b2），（a3，b3），（b1，b2），（b1，b3），（b2，b3），共15种，摸到的是2个红球有（b1，b2），（b1，b3），（b2，b3），共3种，则在乙商场中奖的概率为：P2=，又P1＜P2，则购买该商品的顾客在乙商场中奖的可能性大．点评：本题考查等可能事件的概率计算以及几何概率的求法，关键是正确列举事件的全部情况．此题用到的知识点还有：概率=相应的面积与总面积之比．19．已知数列{a n}的前n项和s n=a n+n2﹣1，数列{b n}满足3n•b n+1=（n+1）a n+1﹣na n，且b1=3 （1）求a n，b n；（2）设T n为数列{b n}的前n项和，求T n．考点：数列的求和；数列递推式．专题：等差数列与等比数列．分析：（1）n≥2时，，．两式相减即可得出．代入3n•b n+1=（n+1）a n+1﹣na n，即可得出b n．（2）利用“错位相减法”即可得出．解答：解：（1）n≥2时，，．两式相减得a n=a n﹣a n﹣1+2n﹣1，∴a n﹣1=2n﹣1，∴a n=2n+1，∴3n•b n+1=（n+1）（2n+3）﹣n（2n+1）=4n+3．∴，∴当n≥2时，，又b1=3适合上式，∴．（2）由（1）知，，∴，①②①﹣②得，=3+=5﹣，∴．点评：本题考查了递推式的应用、“错位相减法”、等比数列的前n和公式，考查了推理能力与计算能力，属于难题．20．已知函数f（x）=x3﹣x﹣．（Ⅰ）判断的单调性；（Ⅱ）求函数y=f（x）的零点的个数；（Ⅲ）令g（x）=+lnx，若函数y=g（x）在（0，）内有极值，求实数a的取值范围．考点：利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；利用导数求闭区间上函数的最值．专题：导数的综合应用．分析：（Ⅰ）化简，并求导数，注意定义域：（0，+∞），求出单调区间；（Ⅱ）运用零点存在定理说明在（1，2）内有零点，再说明f（x）在（0，+∞）上有且只有两个零点；（Ⅲ）对g（x）化简，并求出导数，整理合并，再设出h（x）=x2﹣（2+a）x+1，说明h（x）=0的两个根，有一个在（0，）内，另一个大于e，由于h（0）=1，通过h（）＞0解出a即可．解答：解：（Ⅰ）设φ（x）==x2﹣1﹣（x＞0），则φ'（x）=2x+＞0，∴φ（x）在（0，+∞）上单调递增；（Ⅱ）∵φ（1）=﹣1＜0，φ（2）=3﹣＞0，且φ（x）在（0，+∞）上单调递增，∴φ（x）在（1，2）内有零点，又f（x）=x3﹣x﹣=x•φ（x），显然x=0为f（x）的一个零点，∴f（x）在（0，+∞）上有且只有两个零点；（Ⅲ）g（x）=+lnx=lnx+，则g'（x）==，设h（x）=x2﹣（2+a）x+1，则h（x）=0有两个不同的根x1，x2，且有一根在（0，）内，不妨设0＜x1＜，由于x1x2=1，即x2＞e，由于h（0）=1，故只需h（）＜0即可，即﹣（2+a）+1＜0，解得a＞e+﹣2，∴实数a的取值范围是（e+﹣2，+∞）．点评：本题主要考查导数在函数中的综合运用：求单调区间，求极值，同时考查零点存在定理和二次方程实根的分布，是一道综合题．21．已知双曲线C：=1的焦距为3，其中一条渐近线的方程为x﹣y=0．以双曲线C的实轴为长轴，虚轴为短轴的椭圆记为E，过原点O的动直线与椭圆E交于A、B两点．（Ⅰ）求椭圆E的方程；（Ⅱ）若点P为椭圆的左顶点，，求|的取值范围；（Ⅲ）若点P满足|PA|=|PB|，求证为定值．考点：直线与圆锥曲线的综合问题．专题：圆锥曲线中的最值与范围问题．分析：（Ⅰ）由已知条件推导出，，由此能求出椭圆E的方程．（Ⅱ）由已知条件知P（﹣，0），设G（x0，y0），由，推导出G（﹣，0），由此能求出的取值范围．（Ⅲ）由|PA|=|PB|，知P在线段AB垂直平分线上，由椭圆的对称性知A，B关于原点对称，由此能够证明为定值．解答：（Ⅰ）解：∵双曲线C：=1的焦距为3，∴c=，∴，①∵一条渐近线的方程为x﹣y=0，∴，②由①②解得a2=3，b2=，∴椭圆E的方程为．（Ⅱ）解：∵点P为椭圆的左顶点，∴P（﹣，0），设G（x0，y0），由，得（x0+，y0）=2（﹣x0，﹣y0），∴，解得，∴G（﹣，0），设A（x1，y1），则B（﹣x1，﹣y1），||2+||2=（）2++（x1﹣）2+=2+2+=2+3﹣x+=+，又∵x1∈[﹣，]，∴∈[0，3]，∴，∴的取值范围是[]．（Ⅲ）证明：由|PA|=|PB|，知P在线段AB垂直平分线上，由椭圆的对称性知A，B关于原点对称，①若A、B在椭圆的短轴顶点上，则点P在椭圆的长轴顶点上，此时==2（）=2．②当点A，B，P不是椭圆的顶点时，设直线l的方程为y=kx（k≠0），则直线OP的方程为y=﹣，设A（x1，y1），由，解得，，∴|OA|2+|OB|2==，用﹣代换k，得|OP|2=，∴==2，综上所述：=2．点评：本题考查椭圆方程的求法，考查线段之和取值范围的求法，考查线段之和为定值的证明，解题要注意直线与圆锥曲线的位置关系的综合应用．。

2018-2018学年山东省莱芜市高三（上）期中数学试卷（文科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的．1．设集合A={x|x2﹣x=0}，B={x|log2x≤0}，则A∪B=（）A．{1}B．[0，1]C．（0，1]D．[0，1）2．设函数，则f（f（﹣2））=（）A．﹣1 B．C．D．3．在等比数列{a n}中，a3=4，a7=12，则a11=（）A．16 B．18 C．36 D．484．“cos2α=0”是“sinα+cosα=0”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件5．已知向量=（1，3），=（﹣1，2），则（2+）•=（）A．15 B．16 C．17 D．186．若为第四象限角，则的值等于（）A．B．C．D．7．函数f（x）=﹣（）A．是偶函数但不是奇函数B．是奇函数但不是偶函数C．既是偶函数又是奇函数D．既不是偶函数也不是奇函数8．设等差数列{a n}满足3a10=5a17，且a1＞0，S n为其前n项和，则数列{S n}的最大项是（）A．S24B．S23C．S26D．S279．设f（x）在定义域内可导，其图象如图所示，则导函数f′（x）的图象可能是（）A． B．C．D．10．若定义在R上的函数f（x）满足f（0）=﹣1，其导函数f′（x）满足f′（x）＞k＞1，则下列结论中一定正确的个数是（）①②f（k）＞k2 ③④．A．1 B．2 C．3 D．4二、填空题：本大题共5个小题，每小题5分，共计25分．11．已知函数f（x）=axlnx，a∈R，若f′（e）=3，则a的值为．12．已知的值为．13．设向量，不平行，若向量λ+与﹣2平行，则实数λ的值为．14．函数f（x）=sinxcosx+sinx+cosx的值域是．15．已知数列{a n}是等差数列，公差d不为0，S n是其前n项和，若a3，a4，a8成等比数列，则下列四个结论①a1d＜0；②dS4＜0；③S8=﹣20S4；④等比数列a3，a4，a8的公比为4．其中正确的是．（请把正确结论的序号全部填上）三、解答题：本大题共6个小题，满分75分．解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤．16．设函数．（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期；（Ⅱ）若，求函数f（x）的值域．17．已知函数．（Ⅰ）求f（x）的图象在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）求f（x）在区间上的值域．18．已知数列{a n}是公差不为0的等差数列，{b n}是等比数列，且b1=a1=3，b2=a3，b3=a9．（Ⅰ）求数列{a n}和{b n}的通项公式；（Ⅱ）设，求数列{|c n|}的前n项的和S n．19．已知向量，，函数f（x）=•．（Ⅰ）求函数f（x）的单调递减区间；（Ⅱ）在△ABC中，A、B、C的对边分别是a、b、c，若，求b的值．20．设数列{a n}前n项的和为．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设，求数列{b n}前n项的和T n．21．已知函数f（x）=e x﹣ax，a∈R．（Ⅰ）若函数f（x）在x=0处的切线过点（1，0），求a的值；（Ⅱ）若函数f（x）在（﹣1，+∞）上不存在零点，求a的取值范围；（Ⅲ）若a=1，求证：对恒成立．2018-2018学年山东省莱芜市高三（上）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的．1．设集合A={x|x2﹣x=0}，B={x|log2x≤0}，则A∪B=（）A．{1}B．[0，1]C．（0，1]D．[0，1）【考点】并集及其运算．【分析】求出A中方程的解得到x的值，确定出A，求出B中不等式的解集确定出B，找出两集合的并集即可．【解答】解：由A中方程变形得：x（x﹣1）=0，解得：x=0或x=1，即A={0，1}，由B中不等式变形得：log2x≤0=log21，即0＜x≤1，∴B=（0，1]，则A∪B=[0，1]，故选：B．2．设函数，则f（f（﹣2））=（）A．﹣1 B．C．D．【考点】函数的值．【分析】利用函数的解析式直接求解函数值即可．【解答】解：函数，则f（f（﹣2））=f（3﹣2）=f（）=1﹣=．故选：D．3．在等比数列{a n}中，a3=4，a7=12，则a11=（）A．16 B．18 C．36 D．48【考点】等比数列的通项公式．【分析】利用等比数列的性质即可得出．【解答】解：由等比数列的性质可得：a11===36．故选：C．4．“cos2α=0”是“sinα+cosα=0”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】先求出cos2α=0成立的充要条件，从而判断出其和sinα+cosα=0的关系即可．【解答】解：∵cos2α=（cosα+sinα）（cosα﹣sinα）=0，∴sinα+cosα=0或cosα﹣sinα=0，∴“cos2α=0”是“sinα+cosα=0”的必要不充分条件，故选：B．5．已知向量=（1，3），=（﹣1，2），则（2+）•=（）A．15 B．16 C．17 D．18【考点】平面向量数量积的运算．【分析】先求出向量的坐标，然后进行数量积的坐标运算即可．【解答】解：；∴．故选A．6．若为第四象限角，则的值等于（）A．B．C．D．【考点】同角三角函数基本关系的运用．【分析】由已知利用同角三角函数基本关系式可求cosα，tanα的值，根据两角和的正切函数公式及特殊角的三角函数值即可求解．【解答】解：∵为第四象限角，∴cosα==，tan=﹣，∴===．故选：A．7．函数f（x）=﹣（）A．是偶函数但不是奇函数B．是奇函数但不是偶函数C．既是偶函数又是奇函数D．既不是偶函数也不是奇函数【考点】函数奇偶性的判断．【分析】利用函数奇偶性的定义判断该函数的奇偶性，注意先把函数的定义域弄清楚，通过指数幂的运算法则判断得出该函数的奇偶性．【解答】解：该函数的定义域满足1﹣2x≠0，即x≠0，对于定义域内的每一个自变量x，f（﹣x）=故该函数为偶函数但不是奇函数．故选A．8．设等差数列{a n}满足3a10=5a17，且a1＞0，S n为其前n项和，则数列{S n}的最大项是（）A．S24B．S23C．S26D．S27【考点】等差数列的前n项和．【分析】由题意易得数列的公差，可得等差数列{a n}前27项为正数，从第28项起为负数，可得答案．【解答】解：设等差数列{a n}的公差为d，由3a10=5a17可得3（a1+9d）=5（a1+16d），解得d=﹣a1＜0，∴a n=a1+（n﹣1）d=a1，令a n=a1≤0可得≤0，解得n≥，∴递减的等差数列{a n}前27项为正数，从第28项起为负数，∴数列{S n}的最大项为S27，故选：D．9．设f（x）在定义域内可导，其图象如图所示，则导函数f′（x）的图象可能是（）A． B．C．D．【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】由f（x）的图象可得在y轴的左侧，图象下降，f（x）递减，y轴的右侧，图象先下降再上升，最后下降，即有y轴左侧导数小于0，右侧导数先小于0，再大于0，最后小于0，对照选项，即可判断．【解答】解：由f（x）的图象可得，在y轴的左侧，图象下降，f（x）递减，即有导数小于0，可排除C，D；再由y轴的右侧，图象先下降再上升，最后下降，函数f（x）递减，再递增，后递减，即有导数先小于0，再大于0，最后小于0，可排除A；则B正确．故选：B．10．若定义在R上的函数f（x）满足f（0）=﹣1，其导函数f′（x）满足f′（x）＞k＞1，则下列结论中一定正确的个数是（）①②f（k）＞k2 ③④．A．1 B．2 C．3 D．4【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】根据导数的概念得出＞k＞1，用x=，k，，代入即可判断①③④正确，②错误．【解答】解：∵f′（x）=，且f′（x）＞k＞1，∴＞k＞1，即＞k＞1，对于①，令x=，即有f（）+1＞•k=1，即为f（）＞0，故①正确；对于②，令x=k，即有f（k）＞k2﹣1，故②不一定正确；对于③，当x=时，f（）+1＞•k=，即f（）＞﹣1=，故f（）＞，故③正确；对于④，令x=＜0，即有f（）+1＜•k=，即为f（）＜﹣1=，故④正确．故正确个数为3，故选；C．二、填空题：本大题共5个小题，每小题5分，共计25分．11．已知函数f（x）=axlnx，a∈R，若f′（e）=3，则a的值为．【考点】导数的运算．【分析】根据导数的运算法则计算即可．【解答】解：f′（x）=a（1+lnx），a∈R，f′（e）=3，∴a（1+lne）=3，∴a=，故答案为：12．已知的值为﹣．【考点】两角和与差的正切函数．【分析】由条件利用两角差的正切公式，求得tanβ=tan[（α+β）﹣α]的值．【解答】解：∵已知=tan[（α+β）﹣α]===﹣，故答案为：﹣．13．设向量，不平行，若向量λ+与﹣2平行，则实数λ的值为﹣．【考点】向量数乘的运算及其几何意义．【分析】向量λ+与﹣2平行，存在实数k使得λ+=k（﹣2），再利用向量共面基本定理即可得出．【解答】解：∵向量λ+与﹣2平行，∴存在实数k使得λ+=k（﹣2），化为+=，∵向量，不平行，∴，解得．故答案为：．14．函数f（x）=sinxcosx+sinx+cosx的值域是[﹣1， +] ．【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象．【分析】令t=sinx+cosx=sin（x+），则﹣≤t≤，sinxcosx=，所以f（x）=+t=（t+1）2﹣1，从而求函数的值域．【解答】解：令t=sinx+cosx=sin（x+），则﹣≤t≤，t2=1+2sinxcosx，∴sinxcosx=，∴f（x）=sinxcosx+sinx+cosx=+t=（t+1）2﹣1，∵﹣≤t≤，∴﹣1≤（t+1）2﹣1≤+；即函数f（x）=sinxcosx+sinx+cosx的值域为[﹣1， +]．故答案为[﹣1， +]．15．已知数列{a n}是等差数列，公差d不为0，S n是其前n项和，若a3，a4，a8成等比数列，则下列四个结论①a1d＜0；②dS4＜0；③S8=﹣20S4；④等比数列a3，a4，a8的公比为4．其中正确的是①②④．（请把正确结论的序号全部填上）【考点】等差数列的通项公式．【分析】由题意求出等差数列的首项和公差的关系，然后逐一核对四个命题得答案．【解答】解：由a3，a4，a8成等比数列，得，∴，整理得：．∴，①正确；=，②正确；=，=，③错误；等比数列a3，a4，a8的公比为q=，④正确．故答案为：①②④．三、解答题：本大题共6个小题，满分75分．解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤．16．设函数．（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期；（Ⅱ）若，求函数f（x）的值域．【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象．【分析】（Ⅰ）化简可得=2sin（2x﹣）+，从而确定周期；（Ⅱ）由可得﹣＜2sin（2x﹣）+≤．【解答】解：（Ⅰ）=sin2x++sin2x﹣cos2x=sin2x﹣cos2x+=2sin（2x﹣）+，故函数f（x）的最小正周期为π；（Ⅱ）∵，∴﹣＜2x﹣＜，∴﹣＜sin（2x﹣）≤1，∴﹣1＜2sin（2x﹣）≤2，∴﹣＜2sin（2x﹣）+≤，故函数f（x）的值域为（﹣，]．17．已知函数．（Ⅰ）求f（x）的图象在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）求f（x）在区间上的值域．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，由条件解方程可得a，b，求得切点和切线的斜率，由点斜式方程可得切线的方程；（Ⅱ）求出函数的导数，求得f（x）在区间上的单调区间，可得极小值也为最小值，求得端点处的函数值，可得最大值，即可得到函数的值域．【解答】解：（Ⅰ）f（x）=ax2+blnx的导数为f′（x）=2ax+，由f（1）=，f′（2）=1，可得a=，4a+=1，解方程可得b=﹣2，即有f（x）=x2﹣2lnx，f′（1）=﹣1，则在点（1，f（1））处的切线方程为y﹣=﹣（x﹣1），即为2x+2y﹣3=0；（Ⅱ）f（x）的导数为f′（x）=x﹣=，当1＜x＜时，f′（x）＜0，f（x）递减；当＜x＜时，f′（x）＞0，f（x）递增．即有f（x）在x=处取得极小值，也为最小值，且为1﹣ln2；f（1）=，f（）=e﹣1，由f（）﹣f（1）=＜0，即有f（）＜f（1），则f（x）的值域为[1﹣ln2，]．18．已知数列{a n}是公差不为0的等差数列，{b n}是等比数列，且b1=a1=3，b2=a3，b3=a9．（Ⅰ）求数列{a n}和{b n}的通项公式；（Ⅱ）设，求数列{|c n|}的前n项的和S n．【考点】数列的求和；等差数列的通项公式．【分析】（I）设等差数列{a n}的公差为d≠0，等比数列{b n}的公比为q，由b1=a1=3，b2=a3，b3=a9．可得，解出即可得出．（II）=5n﹣32，设数列{c n}的前n项和为T n，则T n=．|c n|=．当n≤6时，S n=﹣T n．当n≥7时，S n=T n ﹣2T6．【解答】解：（I）设等差数列{a n}的公差为d≠0，等比数列{b n}的公比为q，∵b1=a1=3，b2=a3，b3=a9．∴，解得d=3，q=3．∴a n=3+3（n﹣1）=3n，b n=3n．（II）=5n﹣32，设数列{c n}的前n项和为T n，则T n==．令c n≥0，解得n≥7．∴|c n|=．∴当n≤6时，S n=﹣（a1+a2+…+a n）=﹣T n=．当n≥7时，S n=﹣T6+a7+a8+…+a n=T n﹣2T6=+174．∴数列{|c n|}的前n项的和S n=．19．已知向量，，函数f（x）=•．（Ⅰ）求函数f（x）的单调递减区间；（Ⅱ）在△ABC中，A、B、C的对边分别是a、b、c，若，求b的值．【考点】三角函数中的恒等变换应用；平面向量数量积的运算；正弦函数的图象．【分析】（Ⅰ）化简f（x）=2sin（2x+），从而可得2kπ+≤2x+≤2kπ+，从而解得；（Ⅱ）化简可得A=；再由sinC=可得C＜，cosC=，从而利用正弦定理求解．【解答】解：（Ⅰ）f（x）=•=sin（2x+）+cos（2x+）=2sin（2x+），当2kπ+≤2x+≤2kπ+，即kπ+≤x≤kπ+，（k∈Z），函数f（x）单调递减，故函数f（x）的单调递减区间为[kπ+，kπ+]，（k∈Z）；（Ⅱ）f（A）=2sin（2A+）=，∴sin（2A+）=，∴2A+=2kπ+或2A+=2kπ+，∴A=kπ或A=kπ+，（k∈Z）；又∵A∈（0，π），∴A=；∵sinC=，C∈（0，π），sinA=，∴C＜，cosC=，∴sinB=sin（A+C）=，∴b==+2．20．设数列{a n}前n项的和为．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设，求数列{b n}前n项的和T n．【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】（I）=a n﹣n+1，S n=na n﹣n（n﹣1），当n≥2时，S n﹣1=（n﹣1）a n﹣1=2，利用等差数列的通项公式即可得出．﹣（n﹣1）（n﹣2），化为a n﹣a n﹣1（II）=（2n﹣1）•32n﹣1=，利用“错位相减法”与等比数列的前n项和公式即可得出．【解答】解：（I）∵=a n﹣n+1，∴S n=na n﹣n（n﹣1），当n≥2时，S n﹣1=（n ﹣1）a n﹣（n﹣1）（n﹣2），﹣1两式相减可得：a n=na n﹣（n﹣1）a n﹣1﹣2（n﹣1），化为a n﹣a n﹣1=2，∴数列{a n}是等差数列，首项为1，公差为2．∴a n=1+2（n﹣1）=2n﹣1．（II）=（2n﹣1）•32n﹣1=，∴数列{b n}前n项的和T n=+5×93+…+（2n﹣1）•9n]，9T n=+…+（2n﹣3）•9n+（2n﹣1）•9n+1]，∴﹣8T n===，∴T n=+．21．已知函数f（x）=e x﹣ax，a∈R．（Ⅰ）若函数f（x）在x=0处的切线过点（1，0），求a的值；（Ⅱ）若函数f（x）在（﹣1，+∞）上不存在零点，求a的取值范围；（Ⅲ）若a=1，求证：对恒成立．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（Ⅰ）求得函数的导数，求得切线的斜率，由两点的斜率公式，解方程可得a；（Ⅱ）由题意可得a=在x＞﹣1无解，设h（x）=，求得导数，单调区间和极值，即可得到a的范围；（Ⅲ）a=1，根据导数和函数的最值的关系，求出f（x）min=f（0）=1，设g（x）==，根据导数和函数的最值的关系求出g（x）max=g（0）=1，问题得以证明．【解答】解：（Ⅰ）f（x）=e x﹣ax的导数为f′（x）=e x﹣a，函数f（x）在x=0处的切线斜率为1﹣a，在x=0处的切线过点（1，0），可得1﹣a=﹣1，解得a=2；（Ⅱ）函数f（x）在（﹣1，+∞）上不存在零点，即为a=在x＞﹣1无解，设h（x）=，即有h′（x）=，当﹣1＜x＜0，或0＜x＜1时，h′（x）＜0，h（x）递减；当x＞1时，h′（x）＞0，h（x）递增．则x＞0时，x=1处h（x）取得最小值e，﹣1＜x＜0时，h（x）＜﹣．则有a的范围是﹣≤a＜e；故a的求值范围为[﹣，e]（Ⅲ）证明：a=1，f（x）=e x﹣x，∴f′（x）=e x﹣1，当x∈（﹣∞，0）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，当x∈（0，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，∴f（x）在x=0处取得最小值，f（x）min=f（0）=1，即f（x）≥1，设g（x）==，则g′（x）=﹣，当x∈（﹣∞，0）时，g′（x）＞0，g（x）单调递增，当x∈（0，+∞）时，g′（x）＜0，g（x）单调递减，∴当x=0时取的最大值，g（x）max=g（0）=1，即g（x）≤1，∴f（x）≥g（x），即对恒成立．2018年1月15日。

2017-2018学年高三上学期期中考试数学（文）试题一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 已知集合{}0,1,A a =，{}22,B a =，若{}0,1,2,3,9A B = ,则a 的值为（ ）A ．3B ．1C ．2D ．0 2．复数z 满足21iz i-=-，则z 对应的点位于复平面的（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 3．如果命题" ()"p q ⌝∨为假命题，则（ ）A ．,p q 均为真命题B ．,p q 中至少有一个为真命题C ．,p q 均为假命题D ．,p q 中至多有一个真命题 4．设1.05.0=a ,1.0log 4=b ，1.04.0=c ,则( )A. a c b >> B ．a c b >> C ．c a b >> D. c a b >> 5. 若sin cos 1sin cos 2αααα-=+，则tan 2α的值为（ ）A ．34B ．35 C.34- D ．36．定义在R 上的函数()f x 在)(6,+∞上为减函数，且函数()6+=x f y 为偶函数，则（ ）A ．()()54f f >B ．()()74f f >C ．()()75f f >D ．()()85f f >7．一个五面体的三视图如右图，正视图是等腰直角三角形，侧视图是直角三角形，部分边长如图所示，则此五面体的体积为（ ）A.1B.2C.3D.48．函数()()2sin f x x ωϕ=+(0,2πωϕπ>≤≤)的部分图象如右图所示，其中,A B 两点之间的距离为5， 则=)1(f ( ) A ．3 B ． 3- C ．1 D ．1-9．已知数列}{n a 为等差数列，若11101,a a <-且它们的前n 项和n S 有最大值，则使得0n S >的n 的最大值为（ ）A.11B.21C.20D.19 10．在ABC ∆中，90C =o ，且3CA CB ==，点M 满足2=，则⋅等于（ ）A ．3B ．4C ．5D ．611．函数()f x 的导函数为()f x '，对x R ∀∈,都有()()f x f x '>成立，若(ln 2)2f =，则不等式()x f x e >的解是（ ）A ．1x >B ．01x <<C ．ln 2x > D. 0ln 2x <<12．已知方程|lnx|=kx+1在（0，e 3）上有三个不等实根，则实数k 的取值范围是（ ）A ．320,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭ B ．3232,e e ⎛⎫ ⎪⎝⎭ C ．3221,e e ⎛⎫⎪⎝⎭D ．3221,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．已知函数21,0()0xx f x x -⎧-≤⎪=>，则[(2)]f f -=14．已知两个等差数列{}n a 和{}n b 的前n 项和分别是n S 和n T ，且对任意正整数n 都有3523n n S n T n +=+，则77a b = ． 15．已知O 是坐标原点，点(1,1)A -，若点(,)M x y 为平面区域2,1,2,x y x y +≥⎧⎪≤⎨⎪≤⎩上一个动点，则OA OM ⋅的取值范围是____________16．已知函数()()02x f x f e x '=-+，点P 为曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线l 上的一点，点Q在曲线x y e =上，则PQ 的最小值为____________三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.（本小题满分12分）已知命题p ：函数()212log 2y x x a =++的定义域R ，命题q ：函数()250,a y x -=+∞在上是减函数.若p q ∧⌝为真命题，求实数a 的取值范围.18．（本小题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且对任意正整数n ，都有324n n a S =+成立． （1）记2log n n b a =，求数列{}n b 的通项公式； （2）设11n n n c b b +=，求数列{}n c 的前n 项和n T ．19．（本小题满分12分）已知△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且sin sin 1sin sin sin sin B CA C A B+=++．（1）求角A ；（2）若a =b c +的取值范围．20．（本小题满分12分）如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，△ABC 为正三角形，AB ⊥AD ，AC ⊥CD ，PA=AC ，PA ⊥平面ABCD ． （1）若E 为棱PC 的中点，求证PD ⊥平面ABE ； （2）若AB=3，求点B 到平面PCD 的距离．21.（本小题满分12分） 已知函数()ln ()f x x a x a R =-∈． （1）当2a =时，求曲线()f x 在1x =处的切线方程； （2）设函数1()()ah x f x x+=+，求函数()h x 的单调区间； （3）若1()ag x x+=-，在[]()1 2.71828e e =⋯，上存在一点0x ，使得()()00f x g x ≤成立，求a 的取值范围．请考生在22、23、二题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22．(本小题满分10分)在直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴，曲线C 的极坐标方程为2sin cos θρθ=． （Ⅰ）将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程；（Ⅱ）过点P （0，2）作斜率为1直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，试求11PA PB+的值．23．(本小题满分10分)已知函数|32||1|)(+--=x x x f . （I ）解不等式2)(>x f ；（II ）若关于x 的不等式a a x f -≤223)(的解集为R ，求正数a 的取值范围.2017-2018学年高三上学期期中考试文科数学答案1.A2.A3.B4. B5.C6.D7. B8. D9.D 10. A 11.C 12. C13.14.4429 15.[]0,2 16．17.解：对于命题p ：因其定义域为R ，故220x x a ++>恒成立， 所以440a ∆=-<，∴1a >．对于命题q ：因其在()0,+∞上是减函数，故250a -<，则52a <．……6分∵p q ∧⌝为真命题， ∴p 真q 假，则1,52a a >⎧⎪⎨≥⎪⎩，则52a ≥，故实数a 的取值范围为5[,)2+∞． …………………………12分18.解：（1）在中令n=1得a 1=8，因为对任意正整数n，都有成立，所以，两式相减得a n+1﹣a n=a n+1，所以a n+1=4a n ， 又a 1≠0，所以数列{a n }为等比数列， 所以a n =8•4n ﹣1=22n+1，所以b n =log 2a n =2n+1，……6分 （2）c n===（﹣）所以…12分19.解：（1）∵=1．∴由正弦定理可得：=1，整理可得：b 2+c 2﹣a 2=bc ，∴由余弦定理可得：cosA===，∵A ∈（0，π）， ∴A=．……6分（2）∵A=，a=4，∴由余弦定理a2=b2+c2﹣2bc，可得：48=b2+c2﹣bc≥2bc﹣bc=bc，解得：bc≤48，当且仅当b=c=4时等号成立，又∵48=b2+c2﹣bc=（b+c）2﹣3bc，可得：（b+c）2=48+3bc≤192，∴可得：b+c≤8，又∵b+c＞a=4，∴b+c∈（4，8]．…………12分20.（1）证明：∵PA⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD，∴PA⊥CD，∵AC⊥CD，PA∩AC=A，∴CD⊥平面PAC，而AE⊂平面PAC，∴CD⊥AE．∵AC=PA，E是PC的中点，∴AE⊥PC，又PC∩CD=C，∴AE⊥平面PCD，而PD⊂平面PCD，∴AE⊥PD．∵PA⊥底面ABCD，∴平面PAD⊥平面ABCD，又AB⊥AD，由面面垂直的性质定理可得BA⊥平面PAD，AB⊥PD，又AB∩AE=A，∴PD⊥平面ABE．……6分（2）∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥AC，∴，由（1）的证明知，CD⊥平面PAC，∴CD⊥PC，∵AB⊥AD，△ABC为正三角形，∴∠CAD=30°，∵AC⊥CD，∴设点B的平面PCD的距离为d，则．在△BCD中，∠BCD=150°，∴．∴，∵V B﹣PCD=V P﹣BCD，∴，解得，即点B到平面PCD的距离为．………12分21.………3分………7分………12分22．解：（I ）∵ρ=，∴ρ2cos 2θ=ρsin θ，∴曲线C 的直角坐标方程是x 2=y ，即y=x 2．……4分（II ）直线l的参数方程为（t 为参数）．将（t 为参数）代入y=x 2得t 2﹣﹣4=0． ∴t 1+t 2=，t 1t 2=﹣4．∴+====．……10分23.解：（1）函数⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥--<<----≤+=+--=1,4123,2323,4|32||1|)(x x x x x x x x x f ，当23-≤x 时，由24>+x 解得2->x ，即232-≤<-x ； 当123<<-x 时，由223>--x 解得2<x ，即3423-<<-x ；当1≥x 时，由24>--x 解得6-<x ，无解； 所以原不等式的解集为}342|{-<<-x x .……5分（2）由（1）知函数)(x f 在23-=x 处取函数的最大值25)23(=-f ， 要使关于x 的不等式a a x f -≤223)(的解集为R ，只需25232≥-a a ，即05232≥--a a ，解得1-≤a 或35≥a .又a 为正数，则35≥a .……10分。

2017-2018学年山东省高考数学模拟试卷（文科）一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知A={1，2，4，8，16}，B={y|y=log2x，x∈A}，则A∩B=（）A．{1，2}B．{2，4，8}C．{1，2，4}D．{1，2，4，8}2．已知z（2﹣i）=1+i，则=（）A．B．C．D．3．已知，p：已知m≠0，若2a＞2b，则am2＞bm2，则其否为（）A．已知m=0，若2a＞2b，则am2＞bm2B．已知m≠0，若2a≤2b，则am2＞bm2C．已知m≠0，若2a＞2b，则am2≤bm2D．已知m≠0，若2a≤2b，则am2≤bm24．已知向量，|，则＜等于（）A． B．C．D．5．函数f（x）=cosx•log2|x|的图象大致为（）A．B．C．D．6．如图为某几何体的三视图，则该几何体的体积等于（）A．B．C．D．7．已知变量x，y满足，则z=2x﹣y的最大值为（）A．2 B．10 C．1 D．128．2016年2月，为保障春节期间的食品安全，某市质量监督局对超市进行食品检查，如图所示是某品牌食品中微量元素含量数据的茎叶图，已知该组数据的平均数为11.5，则的最小值为（）A．9 B．C．8 D．49．过抛物线y2=4ax（a＞0）的焦点F作斜率为﹣1的直线，该直线与双曲线=1（a＞0，b＞0）的两条渐近线的交点分别为B，C，若x C是x B与x F的等比中项，则双曲线的离心率等于（）A．B． C． D．10．设函数y=f（x）是定义在R上的可导函数，当x≠0时，f（x）＜﹣f′（x），则函数g（x）=f（x）﹣的零点个数为（）A．0 B．1 C．2 D．0或2二、填空题（每题5分，满分25分，将答案填在答题纸上）11．函数f（x）=的定义域为_______．12．△ABC的三内角A、B、C的对边边长分别为a、b、c，若a=b，A=2B，则sinB=_______．13．如图是某算法的程序框图，若实数x∈（﹣1，4），则输出的数值不小于30的概率为_______．14．已知直线y=﹣2x+a与圆C：x2+y2﹣4x+4y+4=0相交于A，B两点，且△ABC的面积S=2，则实数a=_______．15．设互不相等的平面向量组（i=1，2，…，n）满足：①||=2；②=0（1≤i，j≤n）．若，记b n=|，则数列{b n}的前n项和S n为_______．三、解答题（本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）16．已知函数（ω＞0）的两条对称轴之间的最小距离为．（Ⅰ）求ω的值以及f（x）的最大值；（Ⅱ）已知△ABC中，cosA＜0，若f（A）≥m恒成立，求实数m的取值范围．17．2015年山东省东部地区土豆种植形成初步规模，出口商在各地设置了大量的代收点．已现从该代售点随机抽取了袋土豆，其中二级品为恰有袋．（Ⅰ）求m、n的值；（Ⅱ）利用分层抽样的方法从这n袋土豆中抽取10袋，剔除特级品后，再从剩余土豆中任意抽取两袋，求抽取的两袋都是一等品的概率．18．如图几何体中，长方形ACDF所在平面与梯形BCDE所在平面垂直，且BC=2DE，DE∥BC，BD⊥AD，M为AB的中点．．（Ⅰ）证明：EM∥平面ACDF；（Ⅱ）证明：BD⊥平面ACDF．19．已知数列{a n}的前n项和为S n，对一切正整数n，点P n（n，S n）在函数f（x）=x2﹣x的图象上．等比数列{b n}单调递减，且b1b2b3=8，b1+b2+b3=．（Ⅰ）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（Ⅱ）若c n是a n、b n的等比中项，求数列{c n2}的前n项和T n．20．已知f（x）=a+lnx，记g（x）=f′（x）．（Ⅰ）已知函数h（x）=f（x）•g（x）在[1，+∞）上单调递减，求实数a的取值范围；（Ⅱ）（ⅰ）求证：当a=1时，f（x）≤x；（ⅱ）当a=2时，若不等式h（x）≥tg（x+1）（x∈[1，+∞））恒成立，求实数t的取值范围．21．已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的离心率为，在椭圆C上．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）直线l与椭圆C交于不同的两点M、N，O为坐标原点，且k OM•k ON=﹣．（ⅰ）求证：△OMN的面积为定值；（ⅱ）求的最值．2016年山东省高考数学模拟试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知A={1，2，4，8，16}，B={y|y=log2x，x∈A}，则A∩B=（）A．{1，2}B．{2，4，8}C．{1，2，4}D．{1，2，4，8}【考点】交集及其运算．【分析】先求出集合B，再由交集的定义求A∩B．【解答】解：∵A={1，2，4，8，16}，∴B={y|y=log2x，x∈A}={0，1，2，3，4}，∴A∩B={1，2，4}．故选：C．2．已知z（2﹣i）=1+i，则=（）A．B．C．D．【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】把已知等式变形，然后利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．【解答】解：由z（2﹣i）=1+i，得，∴．故选：D．3．已知，p：已知m≠0，若2a＞2b，则am2＞bm2，则其否为（）A．已知m=0，若2a＞2b，则am2＞bm2B．已知m≠0，若2a≤2b，则am2＞bm2C．已知m≠0，若2a＞2b，则am2≤bm2D．已知m≠0，若2a≤2b，则am2≤bm2【考点】四种间的逆否关系．【分析】由否的定义直接写出结果盆选项即可．【解答】解：p：已知m≠0，若2a＞2b，则am2＞bm2，则其否为：已知m≠0，若2a≤2b，则am2≤bm2故选：D．4．已知向量，|，则＜等于（）A． B．C．D．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】求出，代入向量的夹角公式计算．【解答】解：||=，=2，∵（）（）=1，∴∴=﹣1．∴cos＜=．∴＜=．故选D．5．函数f（x）=cosx•log2|x|的图象大致为（）A．B．C．D．【考点】函数的图象．【分析】由条件判断函数为偶函数，且在（0，1）上单调递增，从而得出结论．【解答】解：由函数f（x）=cosx•log2|x|为偶函数，可得它的图象关于y轴对称，故排除A、D．在区间（0，1）上，f（x）=cosx•log2x，f′（x）=﹣sinx•log2x+＞0，故函数f（x）在（0，1）上单调递增，故排除C，故选：B．6．如图为某几何体的三视图，则该几何体的体积等于（）A ．B ．C ．D ．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】几何体为长方体和两个半球的组合体．【解答】解：由三视图可知几何体为长方体和两个半球的组合体， 长方体的棱长分别为2，2，1，半球的半径为1．∴几何体的体积V=2×2×1+=4+．故选：C ．7．已知变量x ，y 满足，则z=2x ﹣y 的最大值为（ ）A ．2B ．10C ．1D ．12【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，进行求最值即可． 【解答】解：由z=2x ﹣y 得y=2x ﹣z作出不等式组，对应的平面区域如图（阴影部分）：平移直线y=2x ﹣z由图象可知当直线y=2x ﹣z 过点A 时，直线y=2x ﹣z 的截距最小，此时z 最大，由，解得，即A （4，﹣2）．代入目标函数z=2x ﹣y ，得z=2×4+2=10，∴目标函数z=2x ﹣y 的最大值是10． 故选：B ．8．2016年2月，为保障春节期间的食品安全，某市质量监督局对超市进行食品检查，如图所示是某品牌食品中微量元素含量数据的茎叶图，已知该组数据的平均数为11.5，则的最小值为（）A．9 B．C．8 D．4【考点】众数、中位数、平均数；茎叶图．【分析】根据平均数的定义求出a+b=2，再利用基本不等式求出的最小值即可．【解答】解：根据茎叶图中的数据，该组数据的平均数为=（a+11+13+20+b）=11.5，∴a+b=2；∴=+=2+++≥2+=，当且仅当a=2b，即a=，b=时取“=”；∴+的最小值为．故选：B．9．过抛物线y2=4ax（a＞0）的焦点F作斜率为﹣1的直线，该直线与双曲线=1（a＞0，b＞0）的两条渐近线的交点分别为B，C，若x C是x B与x F的等比中项，则双曲线的离心率等于（）A．B． C． D．【考点】抛物线的简单性质．【分析】求出直线的方程和双曲线的渐近线方程，通过解方程组得出x C，x B，根据等比中项的性质列方程化简得出a，b的关系．代入离心率公式计算．【解答】解：抛物线的焦点为F（a，0），∴直线方程为y=﹣x+a．∵双曲线=1的渐近线为y=±，∴直线y=﹣x+a与渐近线的交点横坐标分别为，．∵x C是x B与x F的等比中项，∴（）2=a•或（）2=a，∴3ab+b2=0（舍）或3ab﹣b2=0，∴b=3a．∴c==，∴双曲线的离心率e==．故选：D．10．设函数y=f（x）是定义在R上的可导函数，当x≠0时，f（x）＜﹣f′（x），则函数g（x）=f（x）﹣的零点个数为（）A．0 B．1 C．2 D．0或2【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】令m（x）=x2f（x），根据当x≠0时，f（x）＜﹣f′（x），求出m（x）的单调性，令h（x）=x2g（x）=x2f（x）﹣1，求出h（x）的单调性，从而求出函数的零点的个数．【解答】解：∵满足当x≠0时，f（x）＜﹣f′（x），∴2f（x）+xf′（x）＜0，令m（x）=x2f（x），则g′（x）=x[2f（x）+xf′（x）]，∴当x＞0时，g′（x）＜0；当x＜0时，g′（x）＞0，∴g（x）在（0，+∞）递减，在（﹣∞，0）递增，令h（x）=x2g（x）=x2f（x）﹣1，则h′（x）=m′（x），∴当x＞0时，函数h（x）单调递减；当x＜0时，函数h（x）单调递增，∴h（x）的最大值是h（0）=0，显然g（x）的定义域是x≠0，∴关于x的函数g（x）=f（x）﹣的零点个数是0个．故选：A．二、填空题（每题5分，满分25分，将答案填在答题纸上）11．函数f（x）=的定义域为{x|0＜x≤2且x≠1}．【考点】函数的定义域及其求法．【分析】根据函数f（x）的解析式，列出使解析式有意义的不等式组，求出解集即可．【解答】解：函数f（x）=，∴，解得，∴f（x）的定义域为{x|0＜x≤2且x≠1}．故答案为：{x|0＜x≤2且x≠1}．12．△ABC的三内角A、B、C的对边边长分别为a、b、c，若a=b，A=2B，则sinB=．【考点】正弦定理．【分析】a=b，利用正弦定理可得：sinA=sinB．由A=2B，利用倍角公式可得：sinA=sin2B=2sinBcosB，化为cosB=，再利用同角三角函数基本关系式即可得出．【解答】解：∵a=b，∴sinA=sinB，∵A=2B，∴sinA=sin2B=2sinBcosB，∴sinB=2sinBcosB，∴cosB=，∵B∈（0，π），∴sinB==．故答案为：．13．如图是某算法的程序框图，若实数x∈（﹣1，4），则输出的数值不小于30的概率为．【考点】程序框图．【分析】由程序框图的流程，写出前三次循环得到的结果，得到输出的值与输入的值的关系，令输出值大于等于30得到输入值的范围，利用几何概型的概率公式求出输出的x不小于30的概率．【解答】解：设实数x∈（﹣1，4），经过第一次循环得到x=2x+2，n=3，经过第二循环得到x=2（2x+2）+2，n=5，经过第三循环得到x=2[2（2x+2）+2]+2，n=7，此时输出x，输出的值为8x+14，令8x+14≥30，得x≥2，由几何概型得到输出的x不小于30的概率为P==．故答案为：．14．已知直线y=﹣2x+a与圆C：x2+y2﹣4x+4y+4=0相交于A，B两点，且△ABC的面积S=2，则实数a=2±．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】根据圆的标准方程，求出圆心和半径，利用△ABC的面积S=2，可得圆心C到直线AB的距离d=，根据点到直线的距离公式即可得到结论．【解答】解：圆C：x2+y2﹣4x+4y+4=0可化为（x﹣2）2+（y+2）2=4∴圆心C（2，﹣2），半径r=2，∵△ABC的面积S=2∴AC⊥BC，∴圆心C到直线AB的距离d=，即d==，解得a=2±，故答案为：2±．15．设互不相等的平面向量组（i=1，2，…，n）满足：①||=2；②=0（1≤i，j≤n）．若，记b n=|，则数列{b n}的前n项和S n为S n=2n2+2n（n=1，2）．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】根据向量两两垂直可知平面向量组只有两个向量，代入计算即可．【解答】解：∵=0，∴，，∵，∴．∴=﹣，与矛盾．∴n最大值为2．∴=，．∴b1=，b2=||2==8．∴S1=4，S2=12．∴S n=2n2+2n．故答案为2n2+2n．三、解答题（本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）16．已知函数（ω＞0）的两条对称轴之间的最小距离为．（Ⅰ）求ω的值以及f（x）的最大值；（Ⅱ）已知△ABC中，cosA＜0，若f（A）≥m恒成立，求实数m的取值范围．【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象．【分析】（Ⅰ）由三角函数公式化简可得f（x）=sin（2ωx﹣）﹣，由函数图象和周期公式可得ω=1，易得最大值；（Ⅱ）可得＜A＜π，由三角函数最终可得sin（2A﹣）﹣的最小值，由恒成立可得．【解答】解：（Ⅰ）由三角函数公式化简可得f（x）=sinωxcosωx﹣cos2ωx=sin2ωx﹣=sin（2ωx﹣）﹣，∵函数f（x）图象两条对称轴之间的最小距离为，∴周期T==2×，解得ω=1，∴f（x）=sin（2x﹣）﹣，∴f（x）的最大值为1﹣=；（Ⅱ）∵△ABC中，cosA＜0，∴＜A＜π，∴＜2A﹣＜，∴﹣1≤sin（2A﹣）＜，∴﹣≤sin（2A﹣）﹣＜0，要使f（A）≥m恒成立，则m≤f（A）=sin（2A﹣）﹣的最小值，故实数m的取值范围为（﹣∞，﹣]17．2015年山东省东部地区土豆种植形成初步规模，出口商在各地设置了大量的代收点．已（Ⅰ）求m、n的值；（Ⅱ）利用分层抽样的方法从这n袋土豆中抽取10袋，剔除特级品后，再从剩余土豆中任意抽取两袋，求抽取的两袋都是一等品的概率．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率；分层抽样方法．【分析】（Ⅰ）由已知得0.30+2m+m+0.10=1，由此能求出m，n．（Ⅱ）由（Ⅰ）知利用分层抽样方法从这n袋土豆中抽取10袋土豆，由特级品有3袋，一等品有4袋，二等品有2袋，三等品有1袋，由此利用等可能事件概率计算公式能求出抽取的两袋都是一等品的概率．【解答】解：（Ⅰ）由已知得0.30+2m+m+0.10=1，解得m=0.20，∴n===200．（Ⅱ）由（Ⅰ）知利用分层抽样方法从这n袋土豆中抽取10袋土豆，由特级品有3袋，一等品有4袋，二等品有2袋，三等品有1袋，记一等品的四袋分别为A、B、C、D，二等品的两袋为a，b，三等品的一袋为c，则从中抽取两袋，不同的结果为：n==21，抽取的两袋都是一等品包含的基本事件个数m==6，∴抽取的两袋都是一等品的概率p==．18．如图几何体中，长方形ACDF所在平面与梯形BCDE所在平面垂直，且BC=2DE，DE∥BC，BD⊥AD，M为AB的中点．．（Ⅰ）证明：EM∥平面ACDF；（Ⅱ）证明：BD⊥平面ACDF．【考点】直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定．【分析】（Ⅰ）取BC中点N，连结EN、MN，推导出平面EMN∥平面ACDF，由此能证明EM∥平面ACDF．（2）由已知AC⊥平面BCDE，从而AC⊥BD，再由BD⊥AD，AC∩AD=A，能证明BD⊥平面ACDF．【解答】证明：（Ⅰ）取BC中点N，连结EN、MN，∵长方形ACDF所在平面与梯形BCDE所在平面垂直，且BC=2DE，DE∥BC，BD⊥AD，M 为AB的中点，∴EN∥CD，MN∥AC，∵EN∩MN=N，CD∩AC=C，EN，MN⊂平面EMN，CD，AC⊂平面ACDF，∴平面EMN∥平面ACDF，∵EM⊂平面EMN，∴EM∥平面ACDF．（2）∵长方形ACDF中，AC⊥CD，长方形ACDF所在平面与梯形BCDE所在平面垂直，∴AC⊥平面BCDE，∵BD⊂平面BCDE，∴AC⊥BD，∵BD⊥AD，AC∩AD=A，∴BD⊥平面ACDF．19．已知数列{a n}的前n项和为S n，对一切正整数n，点P n（n，S n）在函数f（x）=x2﹣x的图象上．等比数列{b n}单调递减，且b1b2b3=8，b1+b2+b3=．（Ⅰ）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（Ⅱ）若c n是a n、b n的等比中项，求数列{c n2}的前n项和T n．【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】（I）点P n（n，S n）在函数f（x）=x2﹣x的图象上，可得S n=n2﹣n，利用递推关系即可得出a n．设等比数列{b n}的公比为q，由b1b2b3=8，b1+b2+b3=．可得=8，+b2q=，解出即可得出．（II）利用等比数列的通项公式、“错位相减法”与等比数列的前n项和公式即可得出．【解答】解：（I）点P n（n，S n）在函数f（x）=x2﹣x的图象上，∴S n=n2﹣n，=（n2﹣n）﹣[（n﹣1）2﹣（n﹣1）]=2n﹣2．∴当n=1时，a1=0；当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1当n=1时上式也成立，∴a n=2n﹣2．设等比数列{b n}的公比为q，∵b1b2b3=8，b1+b2+b3=．∴=8， +b2q=，解得b2=2，q=或3，∵数列{b n}单调递减，∴q=，∴b n==2×．（II）∵c n是a n、b n的等比中项，∴=a n b n=（2n﹣2）×=．∴数列{c n2}的前n项和T n=+…+，=4+…+，∴==4=4，解得T n=9﹣．20．已知f（x）=a+lnx，记g（x）=f′（x）．（Ⅰ）已知函数h（x）=f（x）•g（x）在[1，+∞）上单调递减，求实数a的取值范围；（Ⅱ）（ⅰ）求证：当a=1时，f（x）≤x；（ⅱ）当a=2时，若不等式h（x）≥tg（x+1）（x∈[1，+∞））恒成立，求实数t的取值范围．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（Ⅰ）求出导数，由题意可得h′（x）≤0恒成立．即有1﹣a≤lnx在x≥1恒成立，求得右边函数的最小值即可；（Ⅱ）（i）令函数y=1+lnx﹣x，求出导数，判断单调性，即可得证；（ii）当a=2时，不等式h（x）≥tg（x+1）（x∈[1，+∞））恒成立即为t≤（1+）（2+lnx）在x∈[1，+∞）恒成立．令函数y=（1+）（2+lnx），求得导数，判断单调性，可得最小值，即可得到所求范围．【解答】解：（Ⅰ）g（x）=f′（x）=，h（x）=f（x）•g（x）=（a+lnx）•，h′（x）=﹣（a+lnx）•，由题意可得h′（x）≤0恒成立．即有1﹣a≤lnx在x≥1恒成立，由lnx≥0，则1﹣a≤0，即为a≥1；（Ⅱ（i）证明：令函数y=1+lnx﹣x，y′=﹣1=，当x＞1时，y′＜0，函数y递减；当0＜x＜1时，y′＞0，函数y递增．即有x=1处取得极大值，也为最大值，且为0，则1+lnx﹣x≤0，则f（x）≤x；（ii）当a=2时，不等式h（x）≥tg（x+1）（x∈[1，+∞））恒成立即为t≤（1+）（2+lnx）在x∈[1，+∞）恒成立．令函数y=（1+）（2+lnx），则y′=，由x≥1时，x﹣1≥lnx成立，可得y′≥0，函数y递增．则函数y的最小值为4．则t≤4．21．已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的离心率为，在椭圆C上．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）直线l与椭圆C交于不同的两点M、N，O为坐标原点，且k OM•k ON=﹣．（ⅰ）求证：△OMN的面积为定值；（ⅱ）求的最值．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（I）椭圆C的离心率为，在椭圆C上．可得，=1，a2=b2+c2，联立解得即可得出．（II））（i）证明：当l⊥x轴时，设M（x0，y0），N（x0，﹣y0），则+=1，由k OM•k ON=﹣，可得=﹣，联立解得即可得出．当l与x轴不垂直时，设直线l的方程为：y=kx+m，M（x1，y1），N（x2，y2），与椭圆方程联立化为：（1+4k2）x2+8kmx+4m2﹣4=0，△＞0，可得1+4k2＞m2．利用根与系数的关系可得|MN|=．由k OM•k ON=﹣，可得=﹣，化为4（kx1+m）（kx2+m）+x1x2=0，把根与系数的关系代入可得：2m2=1+4k2．把m2=代入|MN|，可得|MN|=，原点O到直线l的距离d=．即可得出．S△MON=|MN|d=1为定值．（ii）当l⊥x轴时，由（i）可得：=．当l与x轴不垂直时，可得：=x1x2+y1y2=x1x2+（kx1+m）（kx2+m）=（1+k2）x1x2+mk（x1+x2）+m2=．把m2=代入，化简整理即可得出．【解答】解：（I）∵椭圆C的离心率为，在椭圆C上．∴，=1，a2=b2+c2，联立解得a=2，b=1，c=，∴椭圆C的标准方程为+y2=1．（II）（i）证明：当l⊥x轴时，设M（x0，y0），N（x0，﹣y0），则+=1，由k OM•k ON=﹣，可得=﹣，联立解得：，，∴S△MON==1．当l与x轴不垂直时，设直线l的方程为：y=kx+m，M（x1，y1），N（x2，y2），联立，化为：（1+4k2）x2+8kmx+4m2﹣4=0，△＞0，可得1+4k2＞m2．∴x1+x2=，x1x2=，则|MN|===．由k OM•k ON=﹣，可得=﹣，化为4（kx1+m）（kx2+m）+x1x2=0，即（1+4k2）x1x2+4mk （x1+x2）+4m2=0，∴﹣+4m2=0，化为：2m2=1+4k2．把m2=代入|MN|，可得|MN|=，原点O到直线l的距离d=．∴S△MON=|MN|d=×|m|==1．综上可得S△MON=1为定值．（ii）当l⊥x轴时，由（i）可得：==．当l与x轴不垂直时，可得：=x1x2+y1y2=x1x2+（kx1+m）（kx2+m）=（1+k2）x1x2+mk （x1+x2）+m2=﹣+m2=．把m2=代入可得：==﹣．由△＞0，可得1+4k2＞恒成立，∴k∈R．∴∈．综上可得：∈．∴的最小值为，最大值为．2016年9月8日。

2017年山东省莱芜市高考数学二模试卷（文科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的．1．复数=（）A．﹣i B．i C．D．2．已知集合A={﹣1，0，1}，B={y|y=x2，x∈A}，则A∩B=（）A．{0，1}B．{﹣1，1}C．{﹣1，0}D．{﹣1，0，1}3．交通管理部门为了解机动车驾驶员（简称驾驶员）对某新法规的知晓情况，对甲、乙、丙、丁四个社区做分层抽样调查．假设四个社区驾驶员的总人数为N，其中甲社区有驾驶员96人．若在甲、乙、丙、丁四个社区抽取驾驶员的人数分别为12，21，25，43，则这四个社区驾驶员的总人数N为（）A．101 B．808 C．1212 D．20124．设x，y满足约束条件，则目标函数z=x+2y的最小值为（）A．3 B．4 C．5 D．65．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积等于（）A．6+6πB．6+8πC．8+6πD．8+8π6．已知m、n是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，给出下列命题：①若α⊥β，m∥α，则m⊥β；②若m⊥α，n⊥β，且m⊥n，则α⊥β；③若m⊥β，m∥α，则α⊥β；④若m∥α，n∥β，且m∥n，则α∥β．其中正确命题的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．47．已知，且，则的值为（）A．B．C．D．8．设、都是非零向量，下列四个条件中，使=成立的充要条件是（）A．=B．=2C．∥且||=|| D．∥且方向相同9．已知点A（1，2），过点P（5，﹣2）的直线与抛物线y2=4x相交于B，C两点，则△ABC是（）A．直角三角形B．钝角三角形C．锐角三角形D．不能确定10．已知集合M={（x，y）|y=f（x）}，若对于任意实数对（x1，y1）∈M，存在（x2，y2）∈M，使x1x2+y1y2=0成立，则称集合M具有∟性，给出下列四个集合：①M={（x，y）|y=x3﹣2x2+3}；②M={（x，y）|y=log2（2﹣x）}；③M={（x，y）|y=2﹣2x}；④M={（x，y）|y=1﹣sinx}；其中具有∟性的集合的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4二、填空题：本大题共5个小题，每小题5分，共计25分．11．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的S=．12．若双曲线的一个焦点到其渐近线的距离为2，则该双曲线的离心率为．13．已知=2，=3，=4，…，若=7，（a、b 均为正实数），则类比以上等式，可推测a、b的值，进而可得a+b=．14．已知点P是椭圆在第一象限上的动点，过点P引圆x2+y2=4的两条切线PA、PB，切点分别是A、B，直线AB与x轴、y轴分别交于点M、N，则△OMN面积的最小值为．15．若定义域为R的偶函数y=f（x）满足f（x+2）=﹣f（x），且当x∈[0，2]时，f（x）=2﹣x2，则方程f（x）=sin|x|在[﹣3π，3π]内根的个数是．三、解答题：本大题共6个小题，满分75分．解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤．16．在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，且（2a﹣c）cosB=bcosC．（Ⅰ）求角B的大小；（Ⅱ）若a=2，c=3，求sinC的值．17．已知等比数列{a n}满足a n+a n=9•2n﹣1，n∈N*．+1（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n=na n，数列{b n}的前n项和为S n，若不等式S n＞ka n﹣1对一切n∈N*恒成立，求实数k的取值范围．18．已知函数f（x）=x2+，现有一组数据，绘制得到茎叶图，且茎叶图中的数据的平均数为2．（茎叶图中的数据均为小数，其中茎为整数部分，叶为小数部分）（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）现从茎叶图小于3的数据中任取2个数据分别替换m的值，求恰有1个数据使得函数f（x）没有零点的概率．19．已知四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是菱形，∠BAD=60°，AB=PB=PD=2，PA=．（Ⅰ）求证：BD⊥PC；（Ⅱ）若E是PA的中点，求三棱锥P﹣BCE的体积．20．已知函数f（x）=e x（x2+ax+a）．（I）当a=1时，求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若关于x的不等式f（x）≤e a在[a，+∞）上有解，求实数a的取值范围．21．已知曲线C：=1（y≥0），直线l：y=kx+1与曲线C交于A，D两点，A，D两点在x轴上的射影分别为点B，C．记△OAD的面积S1，四边形ABCD的面积为S2．（Ⅰ）当点B坐标为（﹣1，0）时，求k的值；（Ⅱ）若S1=，求线段AD的长；（Ⅲ）求的范围．2017年山东省莱芜市高考数学二模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的．1．复数=（）A．﹣i B．i C．D．【考点】A5：复数代数形式的乘除运算．【分析】直接利用复数代数式的乘除运算化简得答案．【解答】解：=．故选：A．2．已知集合A={﹣1，0，1}，B={y|y=x2，x∈A}，则A∩B=（）A．{0，1}B．{﹣1，1}C．{﹣1，0}D．{﹣1，0，1}【考点】1E：交集及其运算．【分析】由二次函数的值域求法，运用列举法化简集合B，再由交集的定义，即可得到所求．【解答】解：集合A={﹣1，0，1}，B={y|y=x2，x∈A}={0，1}，则A∩B={0，1}，故选：A．3．交通管理部门为了解机动车驾驶员（简称驾驶员）对某新法规的知晓情况，对甲、乙、丙、丁四个社区做分层抽样调查．假设四个社区驾驶员的总人数为N，其中甲社区有驾驶员96人．若在甲、乙、丙、丁四个社区抽取驾驶员的人数分别为12，21，25，43，则这四个社区驾驶员的总人数N为（）A．101 B．808 C．1212 D．2012【考点】B3：分层抽样方法．【分析】根据甲社区有驾驶员96人，在甲社区中抽取驾驶员的人数为12求出每个个体被抽到的概率，然后求出样本容量，从而求出总人数．【解答】解：∵甲社区有驾驶员96人，在甲社区中抽取驾驶员的人数为12∴每个个体被抽到的概率为=样本容量为12+21+25+43=101∴这四个社区驾驶员的总人数N为=808故选B．4．设x，y满足约束条件，则目标函数z=x+2y的最小值为（）A．3 B．4 C．5 D．6【考点】7C：简单线性规划．【分析】先根据条件画出可行域，设z=x+2y，再利用几何意义求最值，将最小值转化为y轴上的截距最大，只需求出直线z=x+2y，取得截距的最小值，从而得到z最小值即可．【解答】解：作出x，y满足约束条件，所表示的平面区域，由z=x+2y可得y=﹣x+z，则z为直线y=﹣x+z，在y轴上的截距，截距越小，z越小，做直线L：x+2y=0，然后把直线L向可行域方向平移，当经过点A时，z最小，由可得A（3，1），此时z=5，故选：C．5．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积等于（）A．6+6πB．6+8πC．8+6πD．8+8π【考点】L!：由三视图求面积、体积．【分析】利用三视图判断几何体的形状，利用三视图的数据求解几何体的体积即可．【解答】解：几何体是下部为半个圆柱，底面半径为：2，高为4．上部是三棱柱底面是等腰三角形直角边长为2，高为4．组成的几何体，几何体的体积为：（）×4=8+8π．故选：D．6．已知m、n是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，给出下列命题：①若α⊥β，m∥α，则m⊥β；②若m⊥α，n⊥β，且m⊥n，则α⊥β；③若m⊥β，m∥α，则α⊥β；④若m∥α，n∥β，且m∥n，则α∥β．其中正确命题的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】LO：空间中直线与直线之间的位置关系．【分析】根据空间线面平行和垂直的几何特征及判定方法，逐一分析四个命题的真假，最后综合讨论结果，可得答案．【解答】解：若α⊥β，m∥α，则m与β可能平行，可能相交，也可能线在面内，故①错误；若m⊥α，且m⊥n，则n∥α或n⊂α，又由n⊥β，可得α⊥β，故②正确；若m⊥β，m∥α，则存在直线a⊂α，使m∥a，则a⊥β，则α⊥β，故③正确；若m∥α，n∥β，且m∥n，则α与β可能平行也可以相交，故④错误．故正确命题的个数是2个，故选：B7．已知，且，则的值为（）A．B．C．D．【考点】GT：二倍角的余弦；GQ：两角和与差的正弦函数．【分析】利用条件先计算，再将所求式化简，代入即可得到结论．【解答】解：∵∴两边平方可得：1﹣∴∴∴∵∴∴（sinα+cosα）=故选B．8．设、都是非零向量，下列四个条件中，使=成立的充要条件是（）A．=B．=2C．∥且||=|| D．∥且方向相同【考点】2L：必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】利用向量共线定理即可判断出结论．【解答】解：、都是非零向量，下列四个条件中，使=成立的充要条件是，且方向相同．故选：D．9．已知点A（1，2），过点P（5，﹣2）的直线与抛物线y2=4x相交于B，C两点，则△ABC是（）A．直角三角形B．钝角三角形C．锐角三角形D．不能确定【考点】K8：抛物线的简单性质．【分析】先讨论直线BC斜率不存在时，求出B，C的坐标，求出AB、AC斜率，求出k AB•k AC=﹣1，得到三角形ABC是直角三角形，当BC斜率存在时设出其方程，联立BC的方程与抛物线的方程，利用韦达定理，表示出AB、AC斜率，求出k AB•k AC=﹣1，得到三角形ABC是直角三角形．【解答】解：当BC斜率不存在时，方程为x=5，代入抛物线方程y2=4x得B，C所以AB斜率是，AC斜率是所以k AB•k AC=﹣1，所以AB与AC垂直，所以三角形ABC是直角三角形当BC斜率存在时，显然不能为0，否则与抛物线只有一个公共点，所以设方程为x﹣5=a（y+2）（a是斜率的倒数），代入抛物线方程化简得y2﹣4ay﹣8a﹣20=0 设B（x1，y1），C（x2，y2），则y1+y2=4a，y1y2=﹣8a﹣20 x1+x2=（ay1+2a+5）+（ay2+2a+5）=a（y1+y2）+4a+10=4a2+4a+10 x1x2=（ay1+2a+5）（ay2+2a+5）=4a2+20a+25因为（y1﹣2）（y2﹣2）=y1y2﹣2（y1+y2）+4=﹣16a﹣16 （x1﹣1）（x2﹣1）=x1x2﹣（x1+x2）+1=16a+16 所以AB和AC斜率乘积等于﹣1，即AB垂直于AC．综上可知，三角形ABC是直角三角形故选A．10．已知集合M={（x，y）|y=f（x）}，若对于任意实数对（x1，y1）∈M，存在（x2，y2）∈M，使x1x2+y1y2=0成立，则称集合M具有∟性，给出下列四个集合：①M={（x，y）|y=x3﹣2x2+3}；②M={（x，y）|y=log2（2﹣x）}；③M={（x，y）|y=2﹣2x}；④M={（x，y）|y=1﹣sinx}；其中具有∟性的集合的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】15：集合的表示法；35：函数的图象与图象变化．【分析】条件等价于：对于M中任意点P（x1，y1），在M中存在另一个点P′（x2，y2），使OP⊥OP′．作出函数图象，验证即可．【解答】解：由题意知：对于M中任意点P（x1，y1），在M中存在另一个点P′（x2，y2），使，即OP⊥OP′，即过原点任作一条直线与函数图象相交，都能过原点作另一条直线与此直线垂直，经验证①②③④皆满足．故选：D．二、填空题：本大题共5个小题，每小题5分，共计25分．11．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的S=127．【考点】EF：程序框图．【分析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的S，k的值，当k=14时，不满足条件k≤12，退出循环，输出S的值为127．【解答】解：模拟执行程序框图，可得k=0，S=1满足条件k≤12，S=1，k=2满足条件k≤12，S=7，k=4满足条件k≤12，S=19，k=6满足条件k≤12，S=37，k=8满足条件k≤12，S=61，k=10满足条件k≤12，S=91，k=12满足条件k≤12，S=127，k=14不满足条件k≤12，退出循环，输出S的值为127．故答案为：127．12．若双曲线的一个焦点到其渐近线的距离为2，则该双曲线的离心率为．【考点】KC：双曲线的简单性质．【分析】根据题意，设双曲线的焦点坐标为（±c，0），求出其渐近线方程，结合题意，由点到直线的距离可得=2，解可得b的值，进而由双曲线的几何性质可得c的值，由双曲线的离心率公式计算可得答案．【解答】解：根据题意，双曲线的焦点在x轴上，设其坐标为（±c，0），则有c=，双曲线的渐近线方程为：y=±bx，即y±bx=0，又由题意，双曲线的一个焦点到其渐近线的距离为2，则有d==b=2，即b=2，则c==，则其离心率e==；故答案为：．13．已知=2，=3，=4，…，若=7，（a、b 均为正实数），则类比以上等式，可推测a、b的值，进而可得a+b=55．【考点】F3：类比推理．【分析】观察所给的等式，照此规律，第7个等式中：a=7，b=72﹣1=48，即可写出结果．【解答】解：观察下列等式=2，=3，=4，…，照此规律，第7个等式中：a=7，b=72﹣1=48，∴a+b=55，故答案为：5514．已知点P是椭圆在第一象限上的动点，过点P引圆x2+y2=4的两条切线PA、PB，切点分别是A、B，直线AB与x轴、y轴分别交于点M、N，则△OMN面积的最小值为．【考点】K4：椭圆的简单性质．【分析】根据题意，设A（x1，y1），B（x2，y2），P（x0，y0），由圆的切线方程可得PA、PB的方程，而PA、PB交于P（x0，y0），由此能求出AB的直线方程，从而可得三角形的面积，利用基本不等式可求最值．【解答】解：根据题意，设A（x1，y1），B（x2，y2），P（x0，y0），PA是圆的切线且切点为A，则PA的方程为x1x+y1y=4，同理PB的方程为x2x+y2y=4，又由PA、PB交与点P，则有x1x0+y1y0=4，x2x0+y2y0=4，则直线AB的方程为x0x+y0y=4，则M的坐标为（，0），N的坐标为（0，），S△OMN=|OM||ON|=，又由点P是椭圆在第一象限上的动点，则有+=1，则有1=+≥2=|x0y0|，即|x0y0|≤4，S△OMN=|OM||ON||=≥，即△OMN面积的最小值为；故答案为：．15．若定义域为R的偶函数y=f（x）满足f（x+2）=﹣f（x），且当x∈[0，2]时，f（x）=2﹣x2，则方程f（x）=sin|x|在[﹣3π，3π]内根的个数是10．【考点】3L：函数奇偶性的性质．【分析】求出f（x）的周期，利用周期和对称性作出f（x）的函数图象，根据图象交点个数判断．【解答】解：∵f（x+2）=﹣f（x），∴f（x+4）=﹣f（x+2），∴f（x+4）=f（x），即f（x）的周期为4，作出f（x）和y=sin|x|在（0，10）上的函数图象如图所示：由图象可知两函数图象在（0，3π）上有5个交点，即5个零点，又f（x）与y=sin|x|都是偶函数，故在（﹣3π，0）上也有5个零点，∴f（x）=sin|x|在（﹣3π，3π）上有10个零点．故答案为：10．三、解答题：本大题共6个小题，满分75分．解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤．16．在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，且（2a﹣c）cosB=bcosC．（Ⅰ）求角B的大小；（Ⅱ）若a=2，c=3，求sinC的值．【考点】HR：余弦定理．【分析】（Ⅰ）由正弦定理化简条件中的等式，利用两角和的正弦值求出cosB的值，从而求出B的大小；（Ⅱ）根据余弦定理求出b的值，再由正弦定理求出sinC的值．【解答】解：（Ⅰ）△ABC中，（2a﹣c）cosB=bcosC，由正弦定理得（2sinA﹣sinC）cosB=sinBcosC；∴2sinAcosB=sinCcosB+sinBcosC=sin（B+C）=sinA．∵0＜A＜π，∴sinA≠0，∴cosB=，又0＜B＜π，∴B=；（Ⅱ）a=2，c=3，由余弦定理得：b2=a2+c2﹣2accosB=22+32﹣2×2×3cos=7，∴b=；再由正弦定理得sinC===．17．已知等比数列{a n}满足a n+a n=9•2n﹣1，n∈N*．+1（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n=na n，数列{b n}的前n项和为S n，若不等式S n＞ka n﹣1对一切n∈N*恒成立，求实数k的取值范围．【考点】8E：数列的求和；8H：数列递推式．+a n=9•2n﹣1，确定数列的公比与首项，【分析】（Ⅰ）利用等比数列{a n}满足a n+1即可求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）利用错误相减法求出S n，再利用不等式S n＞ka n﹣1，分离参数，求最值，即可求实数k的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）设等比数列{a n}的公比为q，∵a n+a n=9•2n﹣1，+1∴a2+a1=9，a3+a2=18，∴q===2又2a1+a1=9，∴a1=3．∴a n=3•2n﹣1．n∈N*．（Ⅱ）b n=na n=3n•2n﹣1．∴S n=3×1×20+3×2×21+…+3（n﹣1）×2n﹣2+3n×2n﹣1，∴S n=1×20+2×21+…+（n﹣1）×2n﹣2+n×2n﹣1，∴S n=1×21+2×22+…+（n﹣1）×2n﹣1+n×2n，∴﹣S n=1+21+22+…+2n﹣1﹣n×2n=﹣n×2n=（1﹣n）2n﹣1，∴S n=3（n﹣1）2n+3，∵S n＞ka n﹣1对一切n∈N*恒成立，∴k＜==2（n﹣1）+，令f（n）=2（n﹣1）+，∴f′（n）=2+•（）n＞0，∴f（n）随n的增大而增大，∴f（n）min=f（1）=，∴实数k的取值范围为（﹣∞，）．18．已知函数f（x）=x2+，现有一组数据，绘制得到茎叶图，且茎叶图中的数据的平均数为2．（茎叶图中的数据均为小数，其中茎为整数部分，叶为小数部分）（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）现从茎叶图小于3的数据中任取2个数据分别替换m的值，求恰有1个数据使得函数f（x）没有零点的概率．【考点】BA：茎叶图；CC：列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【分析】（Ⅰ）根据茎叶图中的数据，利用平均数的定义列方程求出a的值；（Ⅱ）写出茎叶图小于3的数据，从中任取2个数据的不同取法；利用判别式△＜0求出函数f （x ）没有零点时m 的取值范围，求出对应的事件数，计算所求的概率值．【解答】解：（Ⅰ）根据茎叶图中的数据，计算平均数为 =×（0.3+0.1×a +0.5+1.4+1.9+1.8+2.3+3.2+3.4+4.5）=2，解得a=7；（Ⅱ）茎叶图小于3的数据有0.3，0.7，0.5，1.4，1.9，1.8，2.3共7个；从中任取2个数据，有=21种不同的取法；函数f （x ）=x 2+中，△=2（m ﹣1）2﹣m=2m 2﹣5m +2，令△＜0，解得＜m ＜2，∴满足该条件的数据是0.7，1.4，1.8，1.9共4个；用抽出的2个数分别替换m 的值，恰有1个数据使得函数f （x ）没有零点的不同取法是•=12，故所求的概率为P==．19．已知四棱锥P ﹣ABCD 中，底面ABCD 是菱形，∠BAD=60°，AB=PB=PD=2，PA=．（Ⅰ）求证：BD ⊥PC ；（Ⅱ）若E 是PA 的中点，求三棱锥P ﹣BCE 的体积．【考点】LF ：棱柱、棱锥、棱台的体积；LO ：空间中直线与直线之间的位置关系．【分析】（I ）连接AC 交BD 于O 点，由BD ⊥AC ，BD ⊥OP 得出BD ⊥平面PAC ，故PC ⊥BD ；（II ）利用勾股定理计算OA ，OP ，证明OA ⊥OP ，得出三角形PCE 的面积，于是V P ﹣BCE =V B ﹣PCE =S △PCE •OP ．【解答】证明：（I ）连接AC 交BD 于O 点，∵四边形ABCD 是菱形，∴AC ⊥BD ，O 是BD 的中点， ∵PB=PD ，∴PO ⊥BD ，又AC ∩OP=O ，AC ⊂平面PAC ，OP ⊂平面PAC ， ∴BD ⊥平面PAC ，又PC ⊂平面PAC ， ∴BD ⊥PC ．（II ）∵四边形ABCD 是菱形，∠BAD=60°， ∴BD=AB=AD=2，∴OB=1，OA=，∴OP==，∴OA 2+OP 2=PA 2，即OA ⊥OP ．∴S △PCE =S △PAC =S △POA =×=．∴又OB ⊥平面PAC ，∴V P ﹣BCE =V B ﹣PCE =S △PCE •OB=×1=．20．已知函数f （x ）=e x （x 2+ax +a ）． （I ）当a=1时，求函数f （x ）的单调区间；（Ⅱ）若关于x 的不等式f （x ）≤e a 在[a ，+∞）上有解，求实数a 的取值范围．【考点】6B ：利用导数研究函数的单调性．【分析】（I ）当a=1时，f （x ）=e x （x 2+x +1），求出其导数，利用导数即可解出单调区间；（Ⅱ）若关于x 的不等式f （x ）≤e a 在[a ，+∞）上有解，即x 2+ax +a ≤e a ﹣x ，在[a，+∞）上有解，构造两个函数r（x）=x2+ax+a，t（x）=e a﹣x，研究两个函数的在[a，+∞）上的单调性，即可转化出关于a的不等式，从而求得共范围．【解答】解：（I）当a=1时，f（x）=e x（x2+x+1），则f′（x）=e x（x2+3x+2），令f′（x）＞0得x＞﹣1或x＜﹣2；令f′（x）＜0得﹣2＜x＜﹣1∴函数f（x）的单调增区间（﹣∞，﹣2）与（﹣1，+∞），单调递减区间是（﹣2，﹣1）（Ⅱ）f（x）≤e a，即e x（x2+ax+a）≤e a，可变为x2+ax+a≤e a﹣x，令r（x）=x2+ax+a，t（x）=e a﹣x，当a＞0时，在[a，+∞）上，由于r（x）的对称轴为负，故r（x）在[a，+∞）上增，t（x）在[a，+∞）上减，欲使x2+ax+a≤e a﹣x有解，则只须r（a）≤t（a），即2a2+a≤1，解得﹣1≤a≤，故0＜a≤．当a≤0时，在[a，+∞）上，由于r（x）的对称轴为正，故r（x）在[a，+∞）上先减后增，t（x）在[a，+∞）上减，欲使x2+ax+a≤e a﹣x有解，只须r（﹣）≤t（﹣），即﹣+a≤e，当a≤0时，﹣+a≤e显然成立综上知，a≤即为符合条件的实数a的取值范围．21．已知曲线C：=1（y≥0），直线l：y=kx+1与曲线C交于A，D两点，A，D两点在x轴上的射影分别为点B，C．记△OAD的面积S1，四边形ABCD的面积为S2．（Ⅰ）当点B坐标为（﹣1，0）时，求k的值；（Ⅱ）若S1=，求线段AD的长；（Ⅲ）求的范围．【考点】KL：直线与椭圆的位置关系．【分析】（Ⅰ）由题意B（﹣1，0），将x=﹣1代入椭圆方程，即可求得A点坐标，代入直线方程，即可求得k的值；（Ⅱ）将直线方程代入椭圆方程，由题意求得k的取值范围，利用韦达定理及弦长公式求得丨AD丨，根据三角形的面积公式，即可求得k的值，求得丨AD丨，（Ⅲ）求得，四边形ABCD的面积为S2，求得的表达式，由k的取值范围，即可求得的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）由题意，y=kx+1与曲线C交于A，D两点，A，D两点在x轴上的射影分别为点B，C．点B坐标为（﹣1，0），则点A的横坐标为﹣1，代入曲线C：=1（y≥0），解得点A的纵坐标为x=，即A（﹣1，）∵点A在直线y=kx+1，则有：=k×（﹣1）+1，∴解得k=﹣，k的值﹣；（Ⅱ）由题意，k不存在时，四边形ABCD也不存在，则k必须存在．设点A（x A，y A），点D（x D，y D），则点B（x A，0），点C（x D，0）直线l：y=kx+1与曲线C交于A，D两点，A，D两点代入曲线C，即，消去y，整理得：（3+4k2）x2+8kx﹣8=0，由直线l经过椭圆左右顶点时，k=±，则﹣≤k≤，解得：x A+x D=﹣，x A x D=，|AD|==，△OAD的面积为S1，设原点（0，0）到直线l：y=kx+1距离为h，则h=，S1==|AD|•h==，整理得：40k4+11k2﹣2=0，则k2=，解得k=±，|AD|=，∴线段AD的长；（Ⅲ）由题意及（i）：可知：S2=（y1+y2）丨x1﹣x2丨，则==，由y1+y2=kx1+1+kx2+1=k（x1+x2）+2，∴===，由﹣≤k≤，∴≤≤，∴的取值范围[，]．2017年6月8日。

山东省莱芜市2018届高三数学上学期期中试题（文科带答案）高三期中质量检测文科数学试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，集合，则（）A．B．C．D．2.下列命题中的假命题是（）A．，B．C．，D．，3.下列函数中，既是奇函数又是区间上的减函数的是（）A．B．C．D．4.数列为等差数列，是其前项的和，若，则（）A．B．C．D．5.已知向量，的夹角为，且，，则（）A．B．C．D．6.要得到函数的图象，只需将函数的图象（）A．向左平移个单位B．向右平移个单位C．向左平移个单位D．向右平移个单位7.的内角、、的对边分别为、、，若、、成等比数列，且，则（）A．B．C．D．8.函数的大致图象是（）9.我国古代数学名著《九章算术》中，有已知长方形面积求一边的算法，其方法前两步分为：第一步：构造数列，，，，…，．①第二步：将数列①的各项乘以，得数列（记为），，，…，．则（）A．B．C．D．10.函数零点的个数为（）A．1B．2C．3D．411.在平行四边形中，，边，，若、分别是边、上的点，且满足，则的取值范围是（）A．B．C．D．12.函数是定义在上的奇函数，且为偶函数，当时，，若函数有三个零点，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.的值为．14.计算：．15.已知曲线：与曲线：，若两条曲线在交点处有相同的切线，则实数的值为．16.若对任意的，均有成立，则称函数为函数和函数在区间上的“中间函数”．已知函数，，，且是和在区间上的“中间函数”，则实数的取值范围是．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.已知函数．（1）求函数的最小正周期和单调递增区间；（2）求在上的最小值．18.在数列中，已知，，，为常数．（1）证明：，，成等差数列；（2）设，求数列的前项和．19.已知的内角、、的对边分别为、、，．（1）若，求的值；（2）求的取值范围．20.已知函数（，）．（1）若的图象在点处的切线方程为，求在区间上的最大值和最小值；（2）若在区间上不是单调函数，求的取值范围．21.在等差数列中，，其前项和为，等比数列的各项均为正数，，且，．（1）求数列和的通项公式；（2）令，设数列的前项和为，求（）的最小值．22.已知函数．（1）若函数在其定义域内为增函数，求实数的取值范围；（3）设函数，若在上至少存在一点，使得成立，求实数的取值范围．高三期中质量检测文科数学试题答案一、选择题1-5:6-10:11、12：二、填空题13.14.15.16.三、解答题17.解：（1），所以函数的最小正周期为．由，，得，，所以函数的单调递增区间为，．（2）因为，所以，所以，所以，所以在上的最小值为．18.解：（1）因为，，所以，同理，，，又因为，，所以，故，，成等差数列．（2）由，得，令，则，，所以是以为首项，公差为的等差数列，所以，即，，两式相加，得：，所以，，当，，当，．19.解：（1）由余弦定理及题设可知：，得，由正弦定理，得．（2）由题意可知．．因为，所以，故，所以的取值范围是．20.解：（1）∵在上，∴，∵点在的图象上，∴，又，∴，∴，解得，．∴，，由可知和是的极值点．∵，，，，∴在区间上的最大值为8，最小值为．（2）因为函数在区间上不是单调函数，所以函数在上存在零点．而的两根为，，若，都在上，则解集为空集，这种情况不存在；若有一个根在区间上，则或，∴．21.解：（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为，则解得，，所以，．（2）由（1）得，故，所以由可知，随的增大而增大，所以，令，，则，故在时是增函数，，所以，的最小值是．22.解：（1），，因为函数在其定义域内为增函数，所以，恒成立，当时，显然不成立；当时，，要满足，时恒成立，则，∴．（2）设函数，，则原问题转化为在上至少存在一点，使得，即．①时，，∵，∴，，，则，不符合条件；②时，，由，可知，则在单调递增，，整理得．综上所述，．。

山东省莱芜市高三上学期期中数学试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共8题；共16分)1. （2分）甲、乙两人参加一次射击游戏，规则规定，每射击一次，命中目标得2分，未命中目标得0分．已知甲、乙两人射击的命中率分别为和p，且甲、乙两人各射击一次所得分数之和为2的概率是．假设甲、乙两人射击是相互独立的，则p的值为（）A .B .C .D .2. （2分）(2018·潍坊模拟) 设有下面四个命题：若复数满足，则；：若复数、满足，则或；：若复数，则；：若复数，满足，则，其中的真命题为（）A . ，B . ，C . ，D . ，3. （2分）设变量x、y满足约束条件：，则的最小值为（）A . -2B . -4C . -6D . -84. （2分）已知m∈R，“函数y=2x+m﹣1有零点”是“函数y=logmx在（0，+∞）上为减函数”的（）A . 充分不必要条件B . 必要不充分条件C . 充要条件D . 既不充分也不必要条件5. （2分）某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的体积是（）A .B . 4C . 2D .6. （2分）平行四边形ABCD中，,则等于（）A . 4B . -4C . 2D . -27. （2分） (2016高二上·莆田期中) 双曲线 =1的焦距为（）A . 2B . 4C . 2D . 48. （2分）已知函数f(x)=x2-cosx ，对于上的任意x1,x2 ，有如下条件：①x1>x2；②x12>x22；③|x1|>x2 ．其中能使f(x1)>f(x2)恒成立的条件序号是（）A . ①②B . ②C . ②③D . ③二、填空题 (共7题；共8分)9. （2分） (2015高二下·湖州期中) 设全集U=R，集合A={x|﹣1＜x＜4}，B={y|y=x+1，x∈A}，则A∩B=________；（∁UA）∩（∁UB）=________．10. （1分）(2017·上饶模拟) 已知函数f（x）=sin（3x+3φ）﹣2sin（x+φ）cos（2x+2φ），其中|φ|＜π，若f（x）在区间上单调递减，则φ的最大值为________．11. （1分） (2016高二下·南安期中) 一个兴趣学习小组由12男生6女生组成，从中随机选取3人作为领队，记选取的3名领队中男生的人数为X，则X的期望E（X）=________．12. （1分） (2017高一上·上海期中) 设实数a，b满足a+ab+2b=30，且a＞0，b＞0，那么的最小值为________．13. （1分）在二项式的展开式中，含x5的项的系数是________．14. （1分） (2016高一上·徐州期中) 已知函数在（﹣∞，+∞）上单调递减，则实数a的取值范围为________．15. （1分）已知=（﹣1，1，2），=（2，1，1）则（2+）•=________三、解答题 (共5题；共35分)16. （5分）(2017·福州模拟) 某保险公司针对一个拥有20000人的企业推出一款意外险产品，每年每位职工只要交少量保费，发生意外后可一次性获得若干赔偿金．保险公司把企业的所有岗位共分为A、B、C三类工种，从事三类工种的人数分布比例如图，根据历史数据统计出三类工种的赔付频率如下表（并以此估计赔付频率）．工种类别A B C赔付频率对于A、B、C三类工种职工每人每年保费分别为a元，a元，b元，出险后的赔偿金额分别为100万元，100万元，50万元，保险公司在开展此项业务过程中的固定支出为每年10万元．（Ⅰ）若保险公司要求利润的期望不低于保费的20%，试确定保费a、b所要满足的条件；（Ⅱ）现有如下两个方案供企业选择；方案1：企业不与保险公司合作，企业自行拿出与保险提供的等额的赔偿金额赔付给出险职工；方案2：企业与保险公司合作，企业负责职工保费的60%，职工个人负责保费的40%，出险后赔偿金由保险公司赔付．若企业选择翻翻2的支出（不包括职工支出）低于选择方案1的支出期望，求保费a、b所要满足的条件，并判断企业是否可与保险公司合作．（若企业选择方案2的支出低于选择方案1的支出期望，且与（Ⅰ）中保险公司所提条件不矛盾，则企业可与保险公司合作．）17. （10分）(2014·广东理) 设数列{an}的前n项和为Sn ，满足Sn=2nan+1﹣3n2﹣4n，n∈N* ，且S3=15．（1）求a1，a2，a3的值；（2）求数列{an}的通项公式．18. （5分）(2018·北京) 如图，在三菱柱ABC- 中，平面ABC。

莱芜市2016届高三上学期期中考试数学试卷（文）第I 卷(选择题，共50分)一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的。

1.设集合{}{}220,log 0A x x x B x x =-==≤，则A B ⋃=（ ） A. {}1B. []0,1C. (]0,1D. [)0,12.设函数()1,03,0xx x f x x ⎧-≥⎪=⎨<⎪⎩，则()()2f f -=（ ）A. 1-B.13C. 12D.233.在等比数列{}n a 中，374,12a a ==，则11a =（ ）A.16B.18C.36D.484.“cos20α=”是“sin cos 0αα+=”的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件5.已知向量()()()1,3,1,2,2a b a b b ==-+⋅=则（ ）A.15B.16C.17D.186.若5sin ,13αα=-且为第四象限角，则tan 4πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值等于（ ） A.717B.177C. 512-D.10177.函数()122xx xf x =--（ ）A.是偶函数但不是奇函数B.是奇函数但不是偶函数C.既是偶函数又是奇函数D.既不是偶函数也不是奇函数8.设等差数列{}n a 满足101735a a =，且10,n a S >为其前n 项和，则数列{}n S 的最大项是（ ） A. 24SB. 25SC. 26SD. 27S9.设()f x 在定义域内可导，其图象如右图所示，则导函数()f x '的图象可能是（ ）10.若定义在R 上的函数()f x 满足()01f =-，其导函数()f x '满足()1f x k '>>，则下列结论中一定正确的个数是（ ）①10f k ⎛⎫> ⎪⎝⎭②()2f k k > ③1111f k k ⎛⎫> ⎪--⎝⎭ ④12111k f k k-⎛⎫< ⎪--⎝⎭ A.1B.2C.3D.4第II 卷（非选择题，共100分）二、填空题：本大题共5个小题，每小题5分，共计25分。

山东莱芜市2018届高三数学上学期期中试卷（文科有答案）高三期中质量检测文科数学试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，集合，则（）A.B.C.D.【答案】C【解析】=,选C.2.下列命题中的假命题是（）A.，B.C.，D.，【答案】D【解析】，;;，;，,所以D为假命题,选D.3.下列函数中，既是奇函数又是区间上的减函数的是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】不是奇函数;既是奇函数又是区间上的减函数;是奇函数又是区间上的增函数;不是奇函数,所以选B.4.数列为等差数列，是其前项的和，若，则（）A.B.C.D.【答案】A【解析】,选A.5.已知向量，的夹角为，且，，则（）A.B.C.D.【答案】D,选D.6.要得到函数的图象，只需将函数的图象（）A.向左平移个单位B.向右平移个单位C.向左平移个单位D.向右平移个单位【答案】A【解析】,所以向左平移个单位,选A.7.的内角、、的对边分别为、、，若、、成等比数列，且，则（）A.B.C.D.【答案】B【解析】由、、成等比数列，得,所以8.函数的大致图象是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】由得,舍去A;当时,舍去B;当时,舍去D;选C. 点睛：有关函数图象识别问题的常见题型及解题思路(1)由解析式确定函数图象的判断技巧：（1）由函数的定义域，判断图象左右的位置，由函数的值域，判断图象的上下位置；②由函数的单调性，判断图象的变化趋势；③由函数的奇偶性，判断图象的对称性；④由函数的周期性，判断图象的循环往复．(2)由实际情景探究函数图象．关键是将问题转化为熟悉的数学问题求解，要注意实际问题中的定义域问题．9.我国古代数学名著《九章算术》中，有已知长方形面积求一边的算法，其方法前两步分为：第一步：构造数列，，，，…，.①第二步：将数列①的各项乘以，得数列（记为），，，…，.则（）A.B.C.D.【答案】B【解析】因为,所以,选B.点睛：裂项相消法是指将数列的通项分成两个式子的代数和的形式，然后通过累加抵消中间若干项的方法，裂项相消法适用于形如(其中是各项均不为零的等差数列，c为常数)的数列.裂项相消法求和，常见的有相邻两项的裂项求和(如本例)，还有一类隔一项的裂项求和，如或.10.函数零点的个数为（）A.1B.2C.3D.4【答案】C【解析】当时,当时,与有两个交点,因此一共有三个零点,选C.11.在平行四边形中，，边，，若、分别是边、上的点，且满足，则的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】设,选D.点睛：平面向量数量积的类型及求法(1)求平面向量数量积有三种方法：一是夹角公式；二是坐标公式；三是利用数量积的几何意义.(2)求较复杂的平面向量数量积的运算时，可先利用平面向量数量积的运算律或相关公式进行化简.12.函数是定义在上的奇函数，且为偶函数，当时，，若函数有三个零点，则实数的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】因为为偶函数,为奇函数,所以,即周期为4由与相切得;由与相切得;由图可知有三个零点时实数的取值范围是,选C.点睛：利用函数零点的情况求参数值或取值范围的方法(1)利用零点存在的判定定理构建不等式求解.(2)分离参数后转化为函数的值域(最值)问题求解.(3)转化为两熟悉的函数图象的上、下关系问题，从而构建不等式求解.第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.的值为__________.【答案】【解析】14.计算：__________.【答案】【解析】点睛：三角函数式的化简要遵循“三看”原则(1)一看“角”，这是最重要的一环，通过看角之间的差别与联系，把角进行合理的拆分，从而正确使用公式；(2)二看“函数名称”，看函数名称之间的差异，从而确定使用的公式，常见的有“切化弦”；(3)三看“结构特征”，分析结构特征，可以帮助我们找到变形的方向，如“遇到分式要通分”等15.已知曲线：与曲线：，若两条曲线在交点处有相同的切线，则实数的值为__________.【答案】【解析】设交点为，则切线斜率为16.若对任意的，均有成立，则称函数为函数和函数在区间上的“中间函数”.已知函数，，，且是和在区间上的“中间函数”，则实数的取值范围是__________.【答案】【解析】在区间上恒成立，所以点睛：利用导数研究不等式恒成立或存在型问题，首先要构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.已知函数.（1）求函数的最小正周期和单调递增区间；（2）求在上的最小值.【答案】(1)最小正周期为；单调递增区间为，.(2). 【解析】试题分析：（1）先利用二倍角公式降幂，再利用两角差余弦公式以及辅助角公式将函数化为基本三角函数，最后根据正弦函数性质求周期与单调区间（2）根据自变量范围确定正弦函数取值范围，再根据正弦函数图像确定最小值试题解析：（1），所以函数的最小正周期为.由，，得，，所以函数的单调递增区间为，.（2）因为，所以，所以，所以，所以在上的最小值为.18.在数列中，已知，，，为常数.（1）证明：，，成等差数列；（2）设，求数列的前项和.【答案】(1)证明见解析；(2)当，，当，.【解析】试题分析：（1）根据递推关系求，，再验证成立即可（2）先构造等差数列，再根据等差数列通项公式得，由等比数列定义得数列为等比数列，最后根据等比数列求和公式求数列的前项和.试题解析：（1）因为，，所以，同理，，，又因为，，所以，故，，成等差数列.（2）由，得，令，则，，所以是以为首项，公差为的等差数列，所以，即，，两式相加，得：，所以，，当，，当，.19.已知的内角、、的对边分别为、、，.（1）若，求的值；（2）求的取值范围.【答案】(1)；(2).【解析】试题分析：（1）先由余弦定理得，再代入条件化简得，最后根据正弦定理得的值；（2）由三角形内角关系得，利用两角差正弦公式以及二倍角公式、配角公式将函数化为基本三角函数，最后根据角A的范围以及正弦函数性质确定函数值域试题解析：（1）由余弦定理及题设可知：，得，由正弦定理，得.（2）由题意可知..因为，所以，故，所以的取值范围是.20.已知函数（，）.（1）若的图象在点处的切线方程为，求在区间上的最大值和最小值；（2）若在区间上不是单调函数，求的取值范围.【答案】(1)最大值为8，最小值为；(2).【解析】试题分析：（1）由导数几何意义得，求导函数解得；再根据，得.再根据导函数求得零点，列表可得导函数符号，确定函数单调性，最后得到最值（2）由题意得导函数在上存在零点，所以的两根满足或，解得的取值范围.试题解析：（1）∵在上，∴，∵点在的图象上，∴，又，∴，∴，解得，.∴，，由可知和是的极值点.∵，，，，∴在区间上的最大值为8，最小值为.（2）因为函数在区间上不是单调函数，所以函数在上存在零点.而的两根为，，若，都在上，则解集为空集，这种情况不存在；若有一个根在区间上，则或，∴.21.在等差数列中，，其前项和为，等比数列的各项均为正数，，且，.（1）求数列和的通项公式；（2）令，设数列的前项和为，求（）的最小值.【答案】(1)，；(2).【解析】试题分析：（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为，根据条件列方程组，解得，，再根据等差与等比数列通项公式求结果（2）为等比数列，根据求和公式得，根据数列单调性得取值范围，即为函数定义域，最后根据函数单调性求最小值试题解析：（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为，则解得，，所以，.（2）由（1）得，故，所以由可知，随的增大而增大，所以，令，，则，故在时是增函数，，所以，的最小值是.点睛：解决数列的单调性问题可用以下三种方法①用作差比较法，根据的符号判断数列是递增数列、递减数列或是常数列.②用作商比较法，根据与1的大小关系及符号进行判断.③结合相应函数的图像直观判断，注意自变量取值为正整数这一特殊条件22.已知函数.（1）若函数在其定义域内为增函数，求实数的取值范围；（3）设函数，若在上至少存在一点，使得成立，求实数的取值范围.【答案】(1)；(2).【解析】试题分析：（1）由题意得导函数在其定义域内恒非负，再根据二次方程恒成立条件得实数的取值范围；（2）将不等式有解问题，利用参变分离法转化为对应函数最值问题，再利用导数求对应函数最值，即得实数的取值范围.试题解析：（1），，因为函数在其定义域内为增函数，所以，恒成立，当时，显然不成立；当时，，要满足，时恒成立，则，∴.（2）设函数，，则原问题转化为在上至少存在一点，使得，即.①时，，∵，∴，，，则，不符合条件；②时，，由，可知，则在单调递增，，整理得.综上所述，.点睛：对于求不等式成立时的参数范围问题，在可能的情况下把参数分离出来，使不等式一端是含有参数的不等式，另一端是一个区间上具体的函数，这样就把问题转化为一端是函数，另一端是参数的不等式，便于问题的解决.但要注意分离参数法不是万能的，如果分离参数后，得出的函数解析式较为复杂，性质很难研究，就不要使用分离参数法.。