人教高中数学必修五课件：单元复习课 第一章
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高中数学 《第一章 数列》复习课件 新人教版必修5
2a10-a12的值为
（ C）
A.20 B.22
C.24 D.28
4.若｛an}是等比数列，且an>0,a2a4+2a3a5+a4a6=25,那
么a3+a5的值等于
（ A）
A.5
B.1
C.15 D.10
5.等差数列{an}中,已知前4项和是1,前8项和是4,则
a17+a18+a19+a20的值等于
( C)
A.7 B.8 C.9 D.10
三、基础练习
6.三数成等比数列,若将第三数减去32,则成等差 数列,若再将等差数列的第二个数减去4,又成 等比数列,原来三个是:____________________.
7.首项为-24的等差数列从第10项开始为正数,求公差为 d的取值范围
8.在数列{an}中,a1=3,an+1=an+3n(n≥1),求此数列的通 项公式
析：设这三个数为 x d, x, x d
则
(x d) x (x d) 15 (x d)2 x2 (x d)2 83
解得x＝5，d＝ ±2.
∴所求三个数分别为3，5，7 或7，5，3.
例1(2)：互不相等的三个数之积为 8 ，这三个数适当排列后可
成为等比数列也可排成等差数列，求这三数排成的等差数列.
二、知识应用
Ⅰ 、等差、等比数列的设法及应用
1.三个数成等差数列可设为 a, a d, a 2d; a d, a, a d
或者 x, x y , y，根据具体问题的不同特点而选择不同设法。
2
a
2. 三个数成等比数列，则这三个数可设为 , a, aq，也可以设为
a, aq, aq2.
高中数学 第一章 章末复习课课件 新人教A版必修5
值范围是
A．0<C≤π6
B．0<C<π2
本
C．π6<C<π2
D．π6<C≤π3
讲 解析 方法一 (应用正弦定理)
栏 目 开
∵siAnBC＝sBinCA，∴sin1 C＝sin2 A，
关
∴sin C＝12sin A.
∵0<sin A≤1，∴0<sin C≤12.
∵AB<BC，∴C<A，∴C 为锐角，∴0<C≤6π.
开
关
第十二页，共23页。
研一研·题型解法、解题(jiě tí)更 高效①当0≤t＜2时，
在△APQ中，AP＝8t，AQ＝20－10t，
所以PQ＝ AQ2＋AP2－2AP·AQcos 120°
＝ 20－10t2＋8t2－220－10t×8t×－12
＝ 84t2－240t＋400＝2 21t2－60t＋100.
栏
当C＝60°时，A＝180°－B－C＝90°.
目
开 关
由sina A＝sinb B＝6，解得a＝6.
当C＝120°时，A＝180°－B－C＝30°.
由sina A＝sinb B＝6，解得a＝3. 所以a的值为6或3.
第九页，共23页。
研一研·题型解法(jiě fǎ)、解题更 高效
小结 已知三角形的两边及一边的对角，可用正弦定理解三
题型三 构建辅助圆解三角形问题
例 3 在一个特定时段内，以点 E 为中心的 7 海里以内海域
被设为警戒水域．点 E 正北 55 海里处有一个雷达观测站
A.某时刻测得一艘匀速直线行驶的船只位于点 A 北偏东
本
45°且与点 A 相距 40 2海里的位置 B，经过 40 分钟又测
高中数学必修5全册复习( 版) PPT课件 图文
xy
xy
yx
yx
yx
当且仅x当 y，即 xy1时，不等式取等号
yx
2
所以11的最小值 4 为 xy
基本不等式的应用题：一般跟面积长度等相关
例6：某单位建造一间背面靠墙的小房，地面面积为 12㎡，房屋正面每平方米的造价为1200元，房屋侧面 每平方米的造价为800元，屋顶造价为5800元，如果 墙高3m,且不计房屋背面和地面的费用，问如何设计 才能使总造价最低，并求出最低总造价。
谢谢！ 学妹给我打电话，说她又换工作了，这次是销售。电话里，她絮絮叨叨说着一年多来工作上的不如意，她说工作一点都不开心，找不到半点成就感。 末了，她问我：学姐，为什么想找一份 自己热 爱的工 作这么 难呢？ 我问她上一份工作干了多久，她说不到 三个月 ，做的 还是行 政助理 的工作 ，工作 内容枯 燥乏味 不说， 还特别 容易得 罪人， 实在不 是自己 的理想 型。 我又问了她前几份工作辞职的原因，结 果都是 大同小 异，不 是因为 工作乏 味，就 是同事 不好相 处，再 者就是 薪水太 低，发 展前景 堪忧。 粗略估计，这姑娘毕业不到一年，工作 却已经 换了四 五份， 还跨了 三个行 业。 但即使如此频繁的跳槽，她也仍然没有 找不到 自己满 意的工 作。 2 我问她，心目中理想型的工作是什么样 子的。 她说， 姐，你 知道苏 明玉吗 ？就是 《都挺 好》电 视剧里 的女老 大，我 就喜欢 她样子 的工作 ，有挑 战有成 就感， 有钱有 权，生 活自由 ，如果 给我那 样的工 作，我 会投入 我全部 的热情 。 听她说完，我尴尬的笑了笑。 其实每一个人都向往这样的成功，但这 姑娘却 本末倒 置了， 并不是 有了钱 有了权 有了成 就以后 才全力 以赴的 工作， 而是全 力以赴 工作， 投入了 自己的 全部以 后，才 有了地 位
2017春人教版高中数学必修五课件：单元复习课-第一章
【解析】在△ABD中,设BD=x,
则BA2=BD2+AD2-2BD·AD·cos∠BDA,
即142=x2+102-2·10x·cos60°,
整理得:x2-10x-96=0,
解得x1=16,x2=-6(舍去),
在△BCD中,由正弦定理,得
BC BD ， sin CDB sin BCD
第18页，共33页。
由正弦定理sin∠ACB= sin 30 AB 3．
AC
2
所以∠ACB=120°(∠ACB=60°不合题意).
所以∠BAC=30°,所以BC=AC=1(千米),
在△ACD中,AC=AD,∠ACD=60°,
第24页，共33页。
所以△ACD为等边三角形,所以CD=1(千米). 因为 B×C60=5,所以在BC上需5分钟,CD上需5分钟.
2
由acosB=bcosA,得2RsinAcosB=2RsinBcosA(R为
△ABC外接圆的半径),
所以sin(A-B)=0,所以A-B=0,所以A=B=C=60°,
所以△ABC为等边三角形.
第15页，共33页。
类型三:正、余弦定理在生活中的应用
【典例3】如图,为了计算北江岸边两景点B与C的距离,由
第6页，共33页。
(3)已知两边和其中一边的对角,如已知a,b和A,应先用正 弦定理求B,由A+B+C=π求C,再由正弦定理或余弦定理求c, 要注意解可能有多种情况.
(4)已知三边a,b,c,可应用余弦定理求A,B,C.
第7页，共33页。
【巩固训练】(2016·大庆高二检测)在△ABC中,角
A,B,C的对边分别为a,b,c.若A= ,a=3,b=4,则 a b
高中数学必修5全册复习课件
注意： （1）若an+1>an恒成立，则{an}为递增数列；若an+1<an恒成立，则 {an}为递减数列 (2)在数列
{an} 中，若
an an 1 则 an最小. an an 1
a n a n 1 an an 1
则
an最大.
3.数列的通项公式、递推公式、数列与函数的关系。
n(a1 an ) n(n 1)d Sn na1 2 2
求和 公式
a1 (1 q n ) a1 an q Sn 1 q 1 q na1
q 1 q 1
关系式
an、Sn
S n S n1 n 2 an n 1 S1
适用所有数列
R
y
x1 x2
y
O
图像：
x
O
x x＝－b／2a
x
基础知识回顾
三、二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题：
1、用二元一次不等式（组）表示平面区域的方法：
（1）画直线（用实线或虚线表示），（2）代点（常代坐标原点（0,0))确定区域.
2、简单的线性规划问题：
要明确：（1）约束条件; （2）目标函数； （3）可行域； （4）可行解； （5）最优解等概念和判断方法.
c
B
SABC
1 1 1 ab sin C bc sin A ac sin B 2 2 2
ha
a
b
C
课堂小结 本章知识框架图
正弦定理
解 三 角 形
余弦定理 应 用 举 例
新课标人教版A必修5复习课 第二章 数列
知识回顾
一、数列的概念与简单的表示法：
1.数列的概念：按照一定的顺序排列着的一列数称为 数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项。 2.数列的分类：有穷数列;无穷数列;递增数列;递减 数列；常数列；摆动数列.
{an} 中，若
an an 1 则 an最小. an an 1
a n a n 1 an an 1
则
an最大.
3.数列的通项公式、递推公式、数列与函数的关系。
n(a1 an ) n(n 1)d Sn na1 2 2
求和 公式
a1 (1 q n ) a1 an q Sn 1 q 1 q na1
q 1 q 1
关系式
an、Sn
S n S n1 n 2 an n 1 S1
适用所有数列
R
y
x1 x2
y
O
图像：
x
O
x x＝－b／2a
x
基础知识回顾
三、二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题：
1、用二元一次不等式（组）表示平面区域的方法：
（1）画直线（用实线或虚线表示），（2）代点（常代坐标原点（0,0))确定区域.
2、简单的线性规划问题：
要明确：（1）约束条件; （2）目标函数； （3）可行域； （4）可行解； （5）最优解等概念和判断方法.
c
B
SABC
1 1 1 ab sin C bc sin A ac sin B 2 2 2
ha
a
b
C
课堂小结 本章知识框架图
正弦定理
解 三 角 形
余弦定理 应 用 举 例
新课标人教版A必修5复习课 第二章 数列
知识回顾
一、数列的概念与简单的表示法：
1.数列的概念：按照一定的顺序排列着的一列数称为 数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项。 2.数列的分类：有穷数列;无穷数列;递增数列;递减 数列；常数列；摆动数列.
新课标高中数学人教A版必修五全册课件第一章复习
例2. 在△ABC中，已知内角 (1) 求函数y＝f(x)的解析式和定义域； (2) 求y的最大值.
第四页，编辑于星期日：十三点 十八分。
二、例题分析：
例3. 在△ABC中，角A、B、C的对边 分别为a、b、c，tanC＝ (1) 求cosC； (2)
第五页，编辑于星期日：十三点 十八分。
二、例题分析：
例4. 已知△ABC的周长为
(1) 求边AB的长； (2) 若△ABC的面积为
求角C的度数.
第六页，编辑于星期日：十三点 十八分。
课后作业
1. 阅读必修5教材P.23;
2.2. 《习案》作业八.
湖南省长沙市一第七中页，卫编辑星于星远期日程：十三学点 星期日：十三点 十八分。
一、基本知识复习：
正弦定理
余弦定理
解三角形
应用举例
第二页，编辑于星期日：十三点 十八分。
二、例题分析：
例1. 在△ABC中， (1) 求角C的大小； (2) 若△ABC最大边的边长为
求最小边的边长．
第三页，编辑于星期日：十三点 十八分。
二、例题分析：
第四页，编辑于星期日：十三点 十八分。
二、例题分析：
例3. 在△ABC中，角A、B、C的对边 分别为a、b、c，tanC＝ (1) 求cosC； (2)
第五页，编辑于星期日：十三点 十八分。
二、例题分析：
例4. 已知△ABC的周长为
(1) 求边AB的长； (2) 若△ABC的面积为
求角C的度数.
第六页，编辑于星期日：十三点 十八分。
课后作业
1. 阅读必修5教材P.23;
2.2. 《习案》作业八.
湖南省长沙市一第七中页，卫编辑星于星远期日程：十三学点 星期日：十三点 十八分。
一、基本知识复习：
正弦定理
余弦定理
解三角形
应用举例
第二页，编辑于星期日：十三点 十八分。
二、例题分析：
例1. 在△ABC中， (1) 求角C的大小； (2) 若△ABC最大边的边长为
求最小边的边长．
第三页，编辑于星期日：十三点 十八分。
二、例题分析：
人教A版高中数学必修五课件第1章1.2.1
(2)东南方向：指经过目标的射线是正东和正南的 夹角平分线(如图2所示)．
课堂互动讲练
考点突破 测量距离问题
测量不可到达的两点间的距离时，若是其中一点 可以到达，利用一个三角形即可解决，一般用正 弦定理；若是两点均不可到达，则需要用两个三 角形才能解决，一般正、余弦定理都要用到．
例1 如图，某货轮在 A 处看灯塔 B 在货轮的北偏 东 75°，距离为 12 6 n mile，在 A 处看灯塔 C 在 货轮的北偏西 30°，距离为 8 3 n mile，货轮由 A 处向正北航行到 D 处时，再看灯塔 B 在北偏东 120°，求 A 与 D 间的距离．
【思路点拨】 根据示意图，明确货船和护航舰 大体方向，用时间t把AB、CB表示出来，利用余 弦定理求t.
【解】 设所需时间为 t 小时， 则 AB＝10 3t，CB＝10t， 在△ABC 中，根据余弦定理，则有 AB2＝AC2＋BC2－2AC·BCcos 120°， 可得(10 3t)2＝102＋(10t)2－2×10×10tcos 120°， 整理得 2t2－t－1＝0，解得 t＝1 或 t＝－12(舍去)． 即护航舰需 1 小时靠近货船．
解：如图所示，设预报时台风中心为B，开始影 响基地时台风中心为C，基地刚好不受影响时台 风中心为D，则B、C、D在一直线上，且AD＝20、 AC＝20.
由题意 AB＝20( 3＋1)，DC＝20 2，
BC＝( 3＋1)·10 2.在△ADC 中，∵DC2＝AD2＋
AC2，∴∠DAC＝90°，∠ADC＝45°.
【思路点拨】 要求 AD 的长，在△ABD 中，AB ＝12 6，B＝45°，可由正弦定理求解．
【解】 在△ABD 中，
∠ADB＝60°，∠DAB＝75°，
人教高中数学必修五 第一章 解三角形复习课件(共18张PPT)
应用举例
某渔船在航行中遇险发出呼救信号，我海军舰艇在A处获悉后
立即测出该渔船在方向角为北偏东45o，距离10海里的C处，
渔船沿着方位角为105o的方向以v海里 / 小时的速度向小岛靠拢， 我海军艇舰立即以4v海里 / 小时的速度前去营救。设艇舰在B处 与渔船相遇，求AB方向的方位角的正弦值
方向角
C B
1.在ＡＢＣ中，AC= 3,A 45 ,C 75 ,则BC A
A. 2 B. 3 C.2 D. 5
2.在ABC中，A 60 ，a 6,b 3,则ABC解得情况是A
A.无解 B.有一解 C.有两解 D.不能确定
３.ＡＢＣ中，a,b,c分别为A、B、C的对边，
如果a、b、c成等差数列，B=30 ，ABC的面积
C
b
一、正弦定理及其变形：
A
2R a
o
a
b
c
2R
B’
B
(R为三角形外接圆半径）
sin A sin B sin C
变 形
a : b : c sin A: sin B : sinC
正弦定理解决的题型：
1.已知两角和任意一边，求其他的两边及角. 2.已知两边和其中一边的对角，求其他边角.
a 2R sin A b 2R sin B c 2R sin C
且 tan A tan B 3 tan A • tan B 3，又ABC的面积为
SABC
3 3 ，求a 2
b的值
解：由已知 tan A tan B 3(tan A • tan B 1)
得 tan（A B） tan A tan B 3， C 60o
1 tan A• tan B
SABC
(sin A a ) 2R
最新-2021春高中数学必修五课件：单元复习课 第一章 精品
2
2,即bc=6.
由余弦定理,得a2=b2+c2-2bccosA,
所以9=(b+c)2-2bc(1+cosA)=(b+c)2-16,
所以b+c=5.
由bbcc6，5，得
b c
2，或 3
b c
3， 2.
【规律总结】关于正、余弦定理与三角函数的综合应 用 (1)首先要熟练使用正、余弦定理,其次要根据条件,合 理选用三角函数公式,达到简化问题的目的. (2)利用正、余弦定理解三角形问题时,常与平面向量 等知识结合给出问题的条件,这些知识的加入,一般只 起“点缀”作用,难度较小,易于化简.
BC=6,AC=8,cosC= 75 , 则△ABC的形状是 ( )
96
A.锐角三角形
B.直角三角形
C.等腰三角形
D.钝角三角形
(2)设△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若
bcosC+ccosB=asinA,则△ABC的形状为 ( )
A.锐角三角形
B.直角三角形
C.钝角三角形
D.不确定
【解析】在△ABD中,设BD=x, 则BA2=BD2+AD2-2BD·AD·cos∠BDA, 即142=x2+102-2·10x·cos60°, 整理得:x2-10x-96=0, 解得x1=16,x2=-6(舍去), 在△BCD中,由正弦定理,得 BC BD ，
sin CDB sin BCD
所以BC= 16 ·sin30°=8
【解析】(1)由3cos(B-C)-1=6cosBcosC,
得3(cosBcosC-sinBsinC)=-1, 即cos(B+C)=1- ,
3
在△ABC内,cosA=-cos(B+C)1= .
2,即bc=6.
由余弦定理,得a2=b2+c2-2bccosA,
所以9=(b+c)2-2bc(1+cosA)=(b+c)2-16,
所以b+c=5.
由bbcc6，5，得
b c
2，或 3
b c
3， 2.
【规律总结】关于正、余弦定理与三角函数的综合应 用 (1)首先要熟练使用正、余弦定理,其次要根据条件,合 理选用三角函数公式,达到简化问题的目的. (2)利用正、余弦定理解三角形问题时,常与平面向量 等知识结合给出问题的条件,这些知识的加入,一般只 起“点缀”作用,难度较小,易于化简.
BC=6,AC=8,cosC= 75 , 则△ABC的形状是 ( )
96
A.锐角三角形
B.直角三角形
C.等腰三角形
D.钝角三角形
(2)设△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若
bcosC+ccosB=asinA,则△ABC的形状为 ( )
A.锐角三角形
B.直角三角形
C.钝角三角形
D.不确定
【解析】在△ABD中,设BD=x, 则BA2=BD2+AD2-2BD·AD·cos∠BDA, 即142=x2+102-2·10x·cos60°, 整理得:x2-10x-96=0, 解得x1=16,x2=-6(舍去), 在△BCD中,由正弦定理,得 BC BD ，
sin CDB sin BCD
所以BC= 16 ·sin30°=8
【解析】(1)由3cos(B-C)-1=6cosBcosC,
得3(cosBcosC-sinBsinC)=-1, 即cos(B+C)=1- ,
3
在△ABC内,cosA=-cos(B+C)1= .
人教版必修五第一单元解三角形复习课课件
(6)ABC 中，A、B、C成等差数列的充要条件
是B=60
(7) ABC为正三角形的充要条件是A、B、C成等差数 列，a、b、c成等比数列.
(8)在ABC中，A B a b sinA sinB.
(9)sin sin 或 若、是 三角 形 的内 角 则有
正余弦推论的应用
sinA
sinA sinB
b
2
2
又b a, B A, A 60或120
当A 60时 ，C 75 c b sinC s i nB
2 sin75 sin45
6 2
2
当A 120时 ，C 15 c b sinC s i nB
2 sin15 sin45
6 2
2
方 法 二用 余 弦 定 理
k k 1 2k
与 第 三 边 得k 1 2k k k 2k k 1
解 得k 1 由 两 边 2
之 差 小 于 第 三 边 解 得k 1 k范 围 是( 1 , )
2
2
例3. 钝 角ABC中 ，a 1, b 2,则 最 大 边c的 取 值 范围是 5 c3
解：由余弦定理得cosC a2 b2 c2 5 c2
2ab
4
C是最大角钝角 5 c2 0c 5 4
a b c c 3 5 c 3
二、三角形解的个数的确定
解斜三角形有下表所示的四种情况：
已知条件 应用 定理
一般解法
一边和两角 正弦 由A+B+C=180求出角A；根据正弦
(如a、B、C)
定理求出b与c;在有解时只有一解
两边和夹角 余弦 由余弦定理求出c；由正弦定理求 (如a、b、C) 正弦 出A、B；在有解时只有一解
高中数学必修5全册(人教A版)PPT课件
q
q
q 1 三个数为 4,1,2 或 2,1,4 2
（3）若 2为2q,2 的等差中项，则 q 1 2 即：q2q20
q
q
q2 三个数为 4,1,2 或 2,1,4
综上：这三数排成的等差数列为. : 4,1,2或 2,1,4 30
Ⅱ 、运用等差、等比数列的性质
例2（1）已知等差数列{ a n } 满足 a1a2a1010，则 ( C )
域.在点E正北55海里处有一个雷达观测站A，
某时刻测得一艘匀速直线行驶的船，位于点A
北偏东45°方向，且与点A相距
海4 0里2的
位置B.经过40分钟又测得该船已行驶到
点A北偏东45°＋θ（其中sin 2266,0
90）
方向，且与点A相距1 0 1 3 海里的位置C.
（1）求该船的行驶速度；
（2）若该船不改变航行方向继续行驶，判断
.
9
例5 （2006年湖南卷）如图，D是直 角△ABC斜边BC上一点，AB=AD，记 ∠CAD=α，∠ABC=β. （Ⅰ）证明sinα+cos2β=0； （Ⅱ）若AC=DC，求β的值.
A
β=60°
α
β B
D
C
.
10
作业： P19习题1.2A组：3，4，5.
.
11
第一章 解三角形 单元复习
第二课时
Aa.1a10 10B.a2a10 00 Ca .3a990 D.a5151
（2）已知等差数列{ a n } 前 m项和为30，前 2m 项和为100，
则前 项和3m为
(C )
A.130
B. 170
C. 210
D. 260
（3）已知在等差数列{an}的前n项中，前四项之和为21，后 四项之和为67，前n项之和为286，试求数列的项数n.
高中数学人教版必修五示范课件第一章解三角形复习课
解：(1)在 Rt△PAB 中，∠APB＝60°，PA＝1，所以
AB＝ 3.
在 Rt△PAC 中，∠APC＝30°，
所以 AC＝ 33.在△ACB 中，∠CAB＝30°＋60°＝90°，
所以 BC＝ AC2＋AB2＝
332＋（
3）2＝
30 3.
则船的航行速度为 330÷16＝2 30(千米/时)．
归纳升华 利用正、余弦定理判断三角形形状的方法
主要有两种方法：方法一，通过边之间的关系判断 形状；方法二，通过角之间的关系判断形状．
利用正、余弦定理可以将已知条件中的边、角互化， 把条件转化为边的关系或转化为角的关系．
[变式训练] 在△ABC 中，若(a2＋b2)·sin(A－B)＝(a2
－b2)sin(A＋B)，请判断三角形的形状．
专题一 利用正、余弦定理解三角形(自主研析)
[例 1]
在△ABC 中，B＝45°，AC＝
10，cos
C＝2
5
5 .
(1)求 BC 边的长；
(2)求 AB 边上的中线 CD 的长．
解：(1)由 cos C＝255，得 sin C＝ 55，
sin
A＝sin(180°－45°－C)＝sin(135°－C)＝
(2)在△ACD 中，∠DAC＝90°－60°＝30°，
sin ∠ DCA ＝ sin(180°－ ∠ ACB) ＝ sin ∠ ACB ＝ ABBC ＝
330＝130 10， 3
sin∠CDA＝sin(∠ACB－30°) ＝sin∠ACB·cos 30°－cos∠ACB·sin 30°
＝130
10·23－12·
1－225＝
23 5.
(2)由题设及(1)知，
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<0,所以B角为钝角.
(2)选B.由正弦定理,得sinBcosC+cosBsinC=sin2A,
75 即sin(B+C)=sin2A,从而sinA=sin2A,
又sinA≠0,故sinA=1,所以A=
96
62 25 82
265
. 2
【规律总结】判断三角形形状的两种途径和方法
(1)两种途径: ①化边为角; ②化角为边.
2
3
5
【解析】在△ABD中,设BD=x, 则BA2=BD2+AD2-2BD·AD·cos∠BDA, 即142=x2+102-2·10x·cos60°, 整理得:x2-10x-96=0, 解得x1=16,x2=-6(舍去), 在△BCD中,由正弦定理,得
BC BD ， sin CDB sin BCD
【巩固训练】为保障高考的公平性,高考时每个考点都要安装手机屏蔽仪,要求在考点 周围1千米处不能收到手机信号,检查员抽查青岛市一考点,在考点正西约1.732千米有 一条北偏东60°方向的公路,在此处检查员用手机接通电话,以每小时12千米的速度沿 公路行驶,问最长需要多少分钟检查员开始收不到信号,并至少持续多长时间该考点才 算合格?
所以BC= ·sin30°=8 ≈11(km).
16 答:两景点B与C的距离约为11km.
sin 135
2
【规律总结】解三角形应用题常见的几种情况 (1)实际问题经抽象概括后,已知量与未知量全部集中在一个三角形中,可用正弦定理或 余弦定理求解.
(2)实际问题经抽象概括后,已知量与未知量涉及两个(或两个以上)三角形,这时需作出 这些三角形,然后从这几个三角形中列出方程(组),解方程(组)得出所要求的解. (3)实际问题经抽象概括后,涉及的三角形只有一个,但由已知条件解三角形需选择使用 正弦定理或余弦定理去求问题的解.
பைடு நூலகம்
sin 30gAB 3．
AC
2
所以△ACD为等边三角形,所以CD=1(千米). 因为 ×60=5,所以在BC上需5分钟,CD上需5分钟. 所以最长需要5分钟检查员开始收不到信号,并持续至少5分钟才算合格.
单元复习课 第一章
类型一:利用正、余弦定理解三角形 【典例1】(2016·郑州高二检测)在△ABC中,已知 2sin2 = sinA.sin(B-C)=2cosBsinC,求 的值.
A
AC
23
AB
【解析】由2sin2 = sinA,
A 可得2sin2 =2 sin cos ,
即tan = ,则A= .
3
2 结合余弦定理,可得a2=b2+c2+bc;
又sin(B-C)=2cosBsinC,
A 3 A 展开可化为sinBcosC=3cosBsinC,
A
2
2
2
A
2
23
3
结合正、余弦定理得b·
即a2=2b2-2c2,
代入a2=b2+c2+bc,可化为
解得
即
=3c·
,
a2 b2 c2 2ab
a2 c2 b2 2ac
2 所以△ABC为等边三角形.
类型三:正、余弦定理在生活中的应用 【典例3】如图,为了计算北江岸边两景点B与C的距离,由于地形的限制,需要在岸上选 取A和D两个测量点,现测得AD⊥CD,AD=10km,AB=14km,∠BDA=60°,∠BCD= 135°,求两景点B与C的距离(假设A,B,C,D在同一平面内,测量结果保留整数;参考数据: ≈1.414, ≈1.732, ≈2.236)
(3)已知两边和其中一边的对角,如已知a,b和A,应先用正弦定理求B,由A+B+C=π求C, 再由正弦定理或余弦定理求c,要注意解可能有多种情况. (4)已知三边a,b,c,可应用余弦定理求A,B,C.
【巩固训练】(2016·大庆高二检测)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.若 A= ,a=3,b=4,则
75 , 96
(2)设△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若bcosC+ccosB=asinA,则△ABC的形 状为 ( ) A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.不确定
【解析】(1)选D.由余弦定理得
AB2=62+82-2×6×8× =25,所以最大角为B角,
因为cosB=
=( )
【解析】选C.由正弦定理
可得sinB=
所以
6
ab sin A sin B
A.3 3 B.6 3 C.6 D.18
4
sin
6
2，
33
a b sin A sin B
sin
a A
b sin
B
3 1
4 2
6．
23
bsin A a
类型二:判断三角形的形状 【典例2】(1)(2016·合肥高二检测)已知△ABC中, BC=6,AC=8,cosC= 则△ABC的形状是 ( ) A.锐角三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形 D.钝角三角形
b 1 13 , c2
(b )2 b 3 0, cc AC 1 13 . AB 2
【规律总结】解三角形的一般方法
(1)已知两角和一边,如已知A,B和c,由A+B+C=π求C,由正弦定理求a,b. (2)已知两边和这两边的夹角,如已知a,b和C,应先用余弦定理求c,再应用正弦定理先求 较短边所对的角,然后利用A+B+C=π,求另一角.
(2)具体方法: ①通过正弦定理实施边角转换; ②通过余弦定理实施边角转换; ③通过三角变换找出角之间的关系; ④利用b2+c2>a2⇔A为锐角;b2+c2=a2⇔A为直角;b2+c2<a2⇔A为钝角.
【巩固训练】已知△ABC中, bcosA,试判断△ABC的形状.
a =c2,且acosB3 = b3 c3 abc
【解析】如图所示,考点为A,检查开始处为B,设公路上C,D两点到考点的距离为1千米,
在△ABC中,AB= ≈1.732(千米),
3 AC=1(千米),∠ABC=30°,
由正弦定理sin∠ACB= 所以∠ACB=120°(∠ACB=60°不合题意). 所以∠BAC=30°,所以BC=AC=1(千米), 在△ACD中,AC=AD,∠ACD=60°,
【解析】由
a b c =c23,得a3+3 b3-c33=c2(a+b)-c3,
所以a2+b2-ab=c2, a b c
所以cosC= ,所以C=60°.
由acosB=bcosA,得2RsinAcosB=2RsinBcosA(R为△ABC外接圆的半径),
1 所以sin(A-B)=0,所以A-B=0,所以A=B=C=60°,