2016届高考理科数学考点专题复习测试12

2016高考理科数学试题及答案[注意：此文章为模拟，非实际高考试题及答案]第一部分：选择题（共30题，每题4分，共120分）1. 在坐标平面内，已知A（4，0），B（0，6），C（-4，0），则△ABC的面积为（）。

A. 12B. 6C. 24D. 482. 函数y=|x-2|的图象是（）。

A. 一条过点A（2，0）的直线B. x轴上的一段直线C. 一段抛物线D. 一条过点B（2，-2）和C（2，2）的直线3. 若A，B是集合{1，2，3}的子集，则A∪B是（）。

A. {1，2，3}B. {1，2}C. {2，3}D. { }4. 一船从A港顺流而下，2小时到达B港；又向上游驶回A港，需3小时。

静水中船以每小时10千米速度行驶，则A，B港间的距离为（）。

A. 50千米B. 40千米C. 30千米D. 20千米......第二部分：填空题（共8题，每题5分，共40分）11. 已知过点A（2，-1）和点B（5，3）的直线的斜率为k，则k=____。

12. 若2x-3y=1，则7x-10y=____。

13. 已知集合A={2，4，6}，B={2，3，5}，则A∩B=____。

14. 若a:b=3:4，b:c=5:7，则a:b:c=____。

......第三部分：解答题（共2题，每题20分，共40分）21. 已知△ABC中，∠B=90°，AB=3，BC=4。

求∠A和AC的长度。

解：由勾股定理可得，AC^2 = AB^2 + BC^2即AC^2 = 3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25所以AC = √25 = 5又∠A + ∠B + ∠C = 180°，代入已知条件，得∠A + 90° + ∠C = 180°即∠A + ∠C = 90°由三角函数中的余弦定理可得：cosA = AC/AB = 5/3所以∠A = arccos(5/3) ≈ 53.13°所以∠A ≈ 53.13°，AC = 5.22. 解方程：2x^2 - 5x - 3 = 0解：根据二次方程求根公式，x = (-b ± √(b^2 -4ac))/(2a)代入 a=2, b=-5, c=-3，得x = (-(-5) ± √((-5)^2 - 4*2*(-3)))/(2*2)= (5 ± √(25 + 24))/4= (5 ± √49)/4所以 x1 = (5 + 7)/4 = 3x2 = (5 - 7)/4 = -1/2所以方程的解为 x = 3 和 x = -1/2.第四部分：答案选择题答案：1. C2. D3. B4. A填空题答案：11. 2/312. 213. {2}14. 15:20:28......解答题答案：21. ∠A ≈ 53.13°，AC = 5.22. x = 3 和 x = -1/2.总结：本文对2016年高考理科数学试题进行了整理和解答。

2016年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）设集合A={x|x2﹣4x+3＜0}，B={x|2x﹣3＞0}，则A∩B=（）A．（﹣3，﹣）B．（﹣3，）C．（1，）D．（，3）2．（5分）设（1+i）x=1+yi，其中x，y是实数，则|x+yi|=（）A．1B．C．D．23．（5分）已知等差数列{a n}前9项的和为27，a10=8，则a100=（）A．100B．99C．98D．974．（5分）某公司的班车在7：00，8：00，8：30发车，小明在7：50至8：30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是（）A．B．C．D．5．（5分）已知方程﹣=1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n的取值范围是（）A．（﹣1，3）B．（﹣1，）C．（0，3）D．（0，）6．（5分）如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径．若该几何体的体积是，则它的表面积是（）A．17πB．18πC．20πD．28π7．（5分）函数y=2x2﹣e|x|在[﹣2，2]的图象大致为（）A．B．C．D．8．（5分）若a＞b＞1，0＜c＜1，则（）A．a c＜b c B．ab c＜ba cC．alog b c＜blog a c D．log a c＜log b c9．（5分）执行下面的程序框图，如果输入的x=0，y=1，n=1，则输出x，y的值满足（）A．y=2x B．y=3x C．y=4x D．y=5x10．（5分）以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A、B两点，交C的准线于D、E两点．已知|AB|=4，|DE|=2，则C的焦点到准线的距离为（）A．2B．4C．6D．811．（5分）平面α过正方体ABCD﹣A1B1C1D1的顶点A，α∥平面CB1D1，α∩平面ABCD=m，α∩平面ABB1A1=n，则m、n所成角的正弦值为（）A．B．C．D．12．（5分）已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|≤），x=﹣为f（x）的零点，x=为y=f（x）图象的对称轴，且f（x）在（，）上单调，则ω的最大值为（）A．11B．9C．7D．5二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）设向量=（m，1），=（1，2），且|+|2=||2+||2，则m=．14．（5分）（2x+）5的展开式中，x3的系数是．（用数字填写答案）15．（5分）设等比数列{a n}满足a1+a3=10，a2+a4=5，则a1a2…a n的最大值为．16．（5分）某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料．生产一件产品A需要甲材料1.5kg，乙材料1kg，用5个工时；生产一件产品B需要甲材料0.5kg，乙材料0.3kg，用3个工时，生产一件产品A的利润为2100元，生产一件产品B的利润为900元．该企业现有甲材料150kg，乙材料90kg，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A、产品B的利润之和的最大值为元．三、解答题：本大题共5小题，满分60分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（12分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2cosC（acosB+bcosA）=c．（Ⅰ）求C；（Ⅱ）若c=，△ABC的面积为，求△ABC的周长．18．（12分）如图，在以A，B，C，D，E，F为顶点的五面体中，面ABEF为正方形，AF=2FD，∠AFD=90°，且二面角D﹣AF﹣E与二面角C﹣BE﹣F都是60°．（Ⅰ）证明平面ABEF⊥平面EFDC；（Ⅱ）求二面角E﹣BC﹣A的余弦值．19．（12分）某公司计划购买2台机器，该种机器使用三年后即被淘汰．机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元．在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元．现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得如图柱状图：以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率，记X表示2台机器三年内共需更换的易损零件数，n表示购买2台机器的同时购买的易损零件数．（Ⅰ）求X的分布列；（Ⅱ）若要求P（X≤n）≥0.5，确定n的最小值；（Ⅲ）以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据，在n=19与n=20之中选其一，应选用哪个？20．（12分）设圆x2+y2+2x﹣15=0的圆心为A，直线l过点B（1，0）且与x轴不重合，l交圆A于C，D两点，过B作AC的平行线交AD于点E．（Ⅰ）证明|EA|+|EB|为定值，并写出点E的轨迹方程；（Ⅱ）设点E的轨迹为曲线C1，直线l交C1于M，N两点，过B且与l垂直的直线与圆A交于P，Q两点，求四边形MPNQ面积的取值范围．21．（12分）已知函数f（x）=（x﹣2）e x+a（x﹣1）2有两个零点．（Ⅰ）求a的取值范围；（Ⅱ）设x1，x2是f（x）的两个零点，证明：x1+x2＜2．请考生在22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-1：几何证明选讲]22．（10分）如图，△OAB是等腰三角形，∠AOB=120°．以O为圆心，OA为半径作圆．（Ⅰ）证明：直线AB与⊙O相切；（Ⅱ）点C，D在⊙O上，且A，B，C，D四点共圆，证明：AB∥CD．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（t为参数，a＞0）．在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：ρ=4cosθ．（Ⅰ）说明C1是哪种曲线，并将C1的方程化为极坐标方程；（Ⅱ）直线C3的极坐标方程为θ=α0，其中α0满足tanα0=2，若曲线C1与C2的公共点都在C3上，求a．[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）=|x+1|﹣|2x﹣3|．（Ⅰ）在图中画出y=f（x）的图象；（Ⅱ）求不等式|f（x）|＞1的解集．2016年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）设集合A={x|x2﹣4x+3＜0}，B={x|2x﹣3＞0}，则A∩B=（）A．（﹣3，﹣）B．（﹣3，）C．（1，）D．（，3）【考点】1E：交集及其运算．【专题】11：计算题；4O：定义法；5J：集合．【分析】解不等式求出集合A，B，结合交集的定义，可得答案．【解答】解：∵集合A={x|x2﹣4x+3＜0}=（1，3），B={x|2x﹣3＞0}=（，+∞），∴A∩B=（，3），故选：D．【点评】本题考查的知识点是集合的交集及其运算，难度不大，属于基础题．2．（5分）设（1+i）x=1+yi，其中x，y是实数，则|x+yi|=（）A．1B．C．D．2【考点】A8：复数的模．【专题】34：方程思想；4O：定义法；5N：数系的扩充和复数．【分析】根据复数相等求出x，y的值，结合复数的模长公式进行计算即可．【解答】解：∵（1+i）x=1+yi，∴x+xi=1+yi，即，解得，即|x+yi|=|1+i|=，故选：B．【点评】本题主要考查复数模长的计算，根据复数相等求出x，y的值是解决本题的关键．3．（5分）已知等差数列{a n}前9项的和为27，a10=8，则a100=（）A．100B．99C．98D．97【考点】83：等差数列的性质．【专题】11：计算题；4O：定义法；54：等差数列与等比数列．【分析】根据已知可得a5=3，进而求出公差，可得答案．【解答】解：∵等差数列{a n}前9项的和为27，S9===9a5．∴9a5=27，a5=3，又∵a10=8，∴d=1，∴a100=a5+95d=98，故选：C．【点评】本题考查的知识点是数列的性质，熟练掌握等差数列的性质，是解答的关键．4．（5分）某公司的班车在7：00，8：00，8：30发车，小明在7：50至8：30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是（）A．B．C．D．【考点】CF：几何概型．【专题】5I：概率与统计．【分析】求出小明等车时间不超过10分钟的时间长度，代入几何概型概率计算公式，可得答案．【解答】解：设小明到达时间为y，当y在7：50至8：00，或8：20至8：30时，小明等车时间不超过10分钟，故P==，故选：B．【点评】本题考查的知识点是几何概型，难度不大，属于基础题．5．（5分）已知方程﹣=1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n的取值范围是（）A．（﹣1，3）B．（﹣1，）C．（0，3）D．（0，）【考点】KB：双曲线的标准方程．【专题】11：计算题；35：转化思想；4R：转化法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】由已知可得c=2，利用4=（m2+n）+（3m2﹣n），解得m2=1，又（m2+n）（3m2﹣n）＞0，从而可求n的取值范围．【解答】解：∵双曲线两焦点间的距离为4，∴c=2，当焦点在x轴上时，可得：4=（m2+n）+（3m2﹣n），解得：m2=1，∵方程﹣=1表示双曲线，∴（m2+n）（3m2﹣n）＞0，可得：（n+1）（3﹣n）＞0，解得：﹣1＜n＜3，即n的取值范围是：（﹣1，3）．当焦点在y轴上时，可得：﹣4=（m2+n）+（3m2﹣n），解得：m2=﹣1，无解．故选：A．【点评】本题主要考查了双曲线方程的应用，考查了不等式的解法，属于基础题．6．（5分）如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径．若该几何体的体积是，则它的表面积是（）A．17πB．18πC．20πD．28π【考点】L!：由三视图求面积、体积．【专题】11：计算题；29：规律型；31：数形结合；35：转化思想；5F：空间位置关系与距离．【分析】判断三视图复原的几何体的形状，利用体积求出几何体的半径，然后求解几何体的表面积．【解答】解：由题意可知三视图复原的几何体是一个球去掉后的几何体，如图：可得：=，R=2．它的表面积是：×4π•22+=17π．故选：A．【点评】本题考查三视图求解几何体的体积与表面积，考查计算能力以及空间想象能力．7．（5分）函数y=2x2﹣e|x|在[﹣2，2]的图象大致为（）A．B．C．D．【考点】3A：函数的图象与图象的变换．【专题】27：图表型；48：分析法；51：函数的性质及应用．【分析】根据已知中函数的解析式，分析函数的奇偶性，最大值及单调性，利用排除法，可得答案．【解答】解：∵f（x）=y=2x2﹣e|x|，∴f（﹣x）=2（﹣x）2﹣e|﹣x|=2x2﹣e|x|，故函数为偶函数，当x=±2时，y=8﹣e2∈（0，1），故排除A，B；当x∈[0，2]时，f（x）=y=2x2﹣e x，∴f′（x）=4x﹣e x=0有解，故函数y=2x2﹣e|x|在[0，2]不是单调的，故排除C，故选：D．【点评】本题考查的知识点是函数的图象，对于超越函数的图象，一般采用排除法解答．8．（5分）若a＞b＞1，0＜c＜1，则（）A．a c＜b c B．ab c＜ba cC．alog b c＜blog a c D．log a c＜log b c【考点】R3：不等式的基本性质．【专题】33：函数思想；35：转化思想；4R：转化法；51：函数的性质及应用；5T：不等式．【分析】根据已知中a＞b＞1，0＜c＜1，结合对数函数和幂函数的单调性，分析各个结论的真假，可得答案．【解答】解：∵a＞b＞1，0＜c＜1，∴函数f（x）=x c在（0，+∞）上为增函数，故a c＞b c，故A错误；函数f（x）=x c﹣1在（0，+∞）上为减函数，故a c﹣1＜b c﹣1，故ba c＜ab c，即ab c ＞ba c；故B错误；log a c＜0，且log b c＜0，log a b＜1，即=＜1，即log a c＞log b c．故D错误；0＜﹣log a c＜﹣log b c，故﹣blog a c＜﹣alog b c，即blog a c＞alog b c，即alog b c＜blog a c，故C正确；故选：C．【点评】本题考查的知识点是不等式的比较大小，熟练掌握对数函数和幂函数的单调性，是解答的关键．9．（5分）执行下面的程序框图，如果输入的x=0，y=1，n=1，则输出x，y的值满足（）A．y=2x B．y=3x C．y=4x D．y=5x【考点】EF：程序框图．【专题】11：计算题；28：操作型；5K：算法和程序框图．【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量x，y的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【解答】解：输入x=0，y=1，n=1，则x=0，y=1，不满足x2+y2≥36，故n=2，则x=，y=2，不满足x2+y2≥36，故n=3，则x=，y=6，满足x2+y2≥36，故y=4x，故选：C．【点评】本题考查的知识点是程序框图，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟循环的方法解答．10．（5分）以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A、B两点，交C的准线于D、E两点．已知|AB|=4，|DE|=2，则C的焦点到准线的距离为（）A．2B．4C．6D．8【考点】K8：抛物线的性质；KJ：圆与圆锥曲线的综合．【专题】11：计算题；29：规律型；31：数形结合；35：转化思想；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】画出图形，设出抛物线方程，利用勾股定理以及圆的半径列出方程求解即可．【解答】解：设抛物线为y2=2px，如图：|AB|=4，|AM|=2，|DE|=2，|DN|=，|ON|=，x A==，|OD|=|OA|，=+5，解得：p=4．C的焦点到准线的距离为：4．故选：B．【点评】本题考查抛物线的简单性质的应用，抛物线与圆的方程的应用，考查计算能力．转化思想的应用．11．（5分）平面α过正方体ABCD﹣A1B1C1D1的顶点A，α∥平面CB1D1，α∩平面ABCD=m，α∩平面ABB1A1=n，则m、n所成角的正弦值为（）A．B．C．D．【考点】LM：异面直线及其所成的角．【专题】11：计算题；29：规律型；31：数形结合；35：转化思想；5G：空间角．【分析】画出图形，判断出m、n所成角，求解即可．【解答】解：如图：α∥平面CB1D1，α∩平面ABCD=m，α∩平面ABA1B1=n，可知：n∥CD1，m∥B1D1，∵△CB1D1是正三角形．m、n所成角就是∠CD1B1=60°．则m、n所成角的正弦值为：．故选：A．【点评】本题考查异面直线所成角的求法，考查空间想象能力以及计算能力．12．（5分）已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|≤），x=﹣为f（x）的零点，x=为y=f（x）图象的对称轴，且f（x）在（，）上单调，则ω的最大值为（）A．11B．9C．7D．5【考点】H6：正弦函数的奇偶性和对称性．【专题】35：转化思想；4R：转化法；57：三角函数的图像与性质．【分析】根据已知可得ω为正奇数，且ω≤12，结合x=﹣为f（x）的零点，x=为y=f（x）图象的对称轴，求出满足条件的解析式，并结合f（x）在（，）上单调，可得ω的最大值．【解答】解：∵x=﹣为f（x）的零点，x=为y=f（x）图象的对称轴，∴，即，（n∈N）即ω=2n+1，（n∈N）即ω为正奇数，∵f（x）在（，）上单调，则﹣=≤，即T=≥，解得：ω≤12，当ω=11时，﹣+φ=kπ，k∈Z，∵|φ|≤，∴φ=﹣，此时f（x）在（，）不单调，不满足题意；当ω=9时，﹣+φ=kπ，k∈Z，∵|φ|≤，∴φ=，此时f（x）在（，）单调，满足题意；故ω的最大值为9，故选：B．【点评】本题考查的知识点是正弦型函数的图象和性质，本题转化困难，难度较大．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）设向量=（m，1），=（1，2），且|+|2=||2+||2，则m=﹣2．【考点】9O：平面向量数量积的性质及其运算．【专题】11：计算题；29：规律型；35：转化思想；5A：平面向量及应用．【分析】利用已知条件，通过数量积判断两个向量垂直，然后列出方程求解即可．【解答】解：|+|2=||2+||2，可得•=0．向量=（m，1），=（1，2），可得m+2=0，解得m=﹣2．故答案为：﹣2．【点评】本题考查向量的数量积的应用，向量的垂直条件的应用，考查计算能力．14．（5分）（2x+）5的展开式中，x3的系数是10．（用数字填写答案）【考点】DA：二项式定理．【专题】11：计算题；34：方程思想；49：综合法；5P：二项式定理．【分析】利用二项展开式的通项公式求出第r+1项，令x的指数为3，求出r，即可求出展开式中x3的系数．==25﹣【解答】解：（2x+）5的展开式中，通项公式为：T r+1r，令5﹣=3，解得r=4∴x3的系数2=10．故答案为：10．【点评】本题考查了二项式定理的应用，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．15．（5分）设等比数列{a n}满足a1+a3=10，a2+a4=5，则a1a2…a n的最大值为64．【考点】87：等比数列的性质；8I：数列与函数的综合．【专题】11：计算题；29：规律型；35：转化思想；54：等差数列与等比数列．【分析】求出数列的等比与首项，化简a1a2…a n，然后求解最值．【解答】解：等比数列{a n}满足a1+a3=10，a2+a4=5，可得q（a1+a3）=5，解得q=．a1+q2a1=10，解得a1=8．则a1a2…a n=a1n•q1+2+3+…+（n﹣1）=8n•==，当n=3或4时，表达式取得最大值：=26=64．故答案为：64．【点评】本题考查数列的性质数列与函数相结合的应用，转化思想的应用，考查计算能力．16．（5分）某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料．生产一件产品A需要甲材料1.5kg，乙材料1kg，用5个工时；生产一件产品B需要甲材料0.5kg，乙材料0.3kg，用3个工时，生产一件产品A的利润为2100元，生产一件产品B的利润为900元．该企业现有甲材料150kg，乙材料90kg，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A、产品B的利润之和的最大值为216000元．【考点】7C：简单线性规划．【专题】11：计算题；29：规律型；31：数形结合；33：函数思想；35：转化思想．【分析】设A、B两种产品分别是x件和y件，根据题干的等量关系建立不等式组以及目标函数，利用线性规划作出可行域，通过目标函数的几何意义，求出其最大值即可；【解答】解：（1）设A、B两种产品分别是x件和y件，获利为z元．由题意，得，z=2100x+900y．不等式组表示的可行域如图：由题意可得，解得：，A（60，100），目标函数z=2100x+900y．经过A时，直线的截距最大，目标函数取得最大值：2100×60+900×100=216000元．故答案为：216000．【点评】本题考查了列二元一次方程组解实际问题的运用，二元一次方程组的解法的运用，不等式组解实际问题的运用，不定方程解实际问题的运用，解答时求出最优解是解题的关键．三、解答题：本大题共5小题，满分60分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（12分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2cosC（acosB+bcosA）=c．（Ⅰ）求C；（Ⅱ）若c=，△ABC的面积为，求△ABC的周长．【考点】HU：解三角形．【专题】15：综合题；35：转化思想；49：综合法；58：解三角形．【分析】（Ⅰ）已知等式利用正弦定理化简，整理后利用两角和与差的正弦函数公式及诱导公式化简，根据sinC不为0求出cosC的值，即可确定出出C的度数；（2）利用余弦定理列出关系式，利用三角形面积公式列出关系式，求出a+b的值，即可求△ABC的周长．【解答】解：（Ⅰ）∵在△ABC中，0＜C＜π，∴sinC≠0已知等式利用正弦定理化简得：2cosC（sinAcosB+sinBcosA）=sinC，整理得：2cosCsin（A+B）=sinC，即2cosCsin（π﹣（A+B））=sinC2cosCsinC=sinC∴cosC=，∴C=；（Ⅱ）由余弦定理得7=a2+b2﹣2ab•，∴（a+b）2﹣3ab=7，∵S=absinC=ab=，∴ab=6，∴（a+b）2﹣18=7，∴a+b=5，∴△ABC的周长为5+．【点评】此题考查了正弦、余弦定理，三角形的面积公式，以及三角函数的恒等变形，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．18．（12分）如图，在以A，B，C，D，E，F为顶点的五面体中，面ABEF为正方形，AF=2FD，∠AFD=90°，且二面角D﹣AF﹣E与二面角C﹣BE﹣F都是60°．（Ⅰ）证明平面ABEF⊥平面EFDC；（Ⅱ）求二面角E﹣BC﹣A的余弦值．【考点】MJ：二面角的平面角及求法．【专题】11：计算题；34：方程思想；49：综合法；5H：空间向量及应用；5Q：立体几何．【分析】（Ⅰ）证明AF⊥平面EFDC，利用平面与平面垂直的判定定理证明平面ABEF⊥平面EFDC；（Ⅱ）证明四边形EFDC为等腰梯形，以E为原点，建立如图所示的坐标系，求出平面BEC、平面ABC的法向量，代入向量夹角公式可得二面角E﹣BC﹣A的余弦值．【解答】（Ⅰ）证明：∵ABEF为正方形，∴AF⊥EF．∵∠AFD=90°，∴AF⊥DF，∵DF∩EF=F，∴AF⊥平面EFDC，∵AF⊂平面ABEF，∴平面ABEF⊥平面EFDC；（Ⅱ）解：由AF⊥DF，AF⊥EF，可得∠DFE为二面角D﹣AF﹣E的平面角；由ABEF为正方形，AF⊥平面EFDC，∵BE⊥EF，∴BE⊥平面EFDC即有CE⊥BE，可得∠CEF为二面角C﹣BE﹣F的平面角．可得∠DFE=∠CEF=60°．∵AB∥EF，AB⊄平面EFDC，EF⊂平面EFDC，∴AB∥平面EFDC，∵平面EFDC∩平面ABCD=CD，AB⊂平面ABCD，∴AB∥CD，∴CD∥EF，∴四边形EFDC为等腰梯形．以E为原点，建立如图所示的坐标系，设FD=a，则E（0，0，0），B（0，2a，0），C（，0，a），A（2a，2a，0），∴=（0，2a，0），=（，﹣2a，a），=（﹣2a，0，0）设平面BEC的法向量为=（x1，y1，z1），则，则，取=（，0，﹣1）．设平面ABC的法向量为=（x2，y2，z2），则，则，取=（0，，4）．设二面角E﹣BC﹣A的大小为θ，则cosθ===﹣，则二面角E﹣BC﹣A的余弦值为﹣．【点评】本题考查平面与平面垂直的证明，考查用空间向量求平面间的夹角，建立空间坐标系将二面角问题转化为向量夹角问题是解答的关键．19．（12分）某公司计划购买2台机器，该种机器使用三年后即被淘汰．机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元．在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元．现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得如图柱状图：以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率，记X表示2台机器三年内共需更换的易损零件数，n表示购买2台机器的同时购买的易损零件数．（Ⅰ）求X的分布列；（Ⅱ）若要求P（X≤n）≥0.5，确定n的最小值；（Ⅲ）以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据，在n=19与n=20之中选其一，应选用哪个？【考点】CG：离散型随机变量及其分布列．【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；5I：概率与统计．【分析】（Ⅰ）由已知得X的可能取值为16，17，18，19，20，21，22，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列．（Ⅱ）由X的分布列求出P（X≤18）=，P（X≤19）=．由此能确定满足P （X≤n）≥0.5中n的最小值．（Ⅲ）法一：由X的分布列得P（X≤19）=．求出买19个所需费用期望EX1和买20个所需费用期望EX2，由此能求出买19个更合适．法二：解法二：购买零件所用费用含两部分，一部分为购买零件的费用，另一部分为备件不足时额外购买的费用，分别求出n=19时，费用的期望和当n=20时，费用的期望，从而得到买19个更合适．【解答】解：（Ⅰ）由已知得X的可能取值为16，17，18，19，20，21，22，P（X=16）=（）2=，P（X=17）=，P（X=18）=（）2+2（）2=，P（X=19）==，P（X=20）===，P（X=21）==，P（X=22）=，∴X的分布列为：X16171819202122P（Ⅱ）由（Ⅰ）知：P（X≤18）=P（X=16）+P（X=17）+P（X=18）==．P（X≤19）=P（X=16）+P（X=17）+P（X=18）+P（X=19）=+=．∴P（X≤n）≥0.5中，n的最小值为19．（Ⅲ）解法一：由（Ⅰ）得P（X≤19）=P（X=16）+P（X=17）+P（X=18）+P（X=19）=+=．买19个所需费用期望：EX1=200×+（200×19+500）×+（200×19+500×2）×+（200×19+500×3）×=4040，买20个所需费用期望：EX2=+（200×20+500）×+（200×20+2×500）×=4080，∵EX1＜EX2，∴买19个更合适．解法二：购买零件所用费用含两部分，一部分为购买零件的费用，另一部分为备件不足时额外购买的费用，当n=19时，费用的期望为：19×200+500×0.2+1000×0.08+1500×0.04=4040，当n=20时，费用的期望为：20×200+500×0.08+1000×0.04=4080，∴买19个更合适．【点评】本题考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法及应用，是中档题，解题时要认真审题，注意相互独立事件概率乘法公式的合理运用．20．（12分）设圆x2+y2+2x﹣15=0的圆心为A，直线l过点B（1，0）且与x轴不重合，l交圆A于C，D两点，过B作AC的平行线交AD于点E．（Ⅰ）证明|EA|+|EB|为定值，并写出点E的轨迹方程；（Ⅱ）设点E的轨迹为曲线C1，直线l交C1于M，N两点，过B且与l垂直的直线与圆A交于P，Q两点，求四边形MPNQ面积的取值范围．【考点】J2：圆的一般方程；KL：直线与椭圆的综合．【专题】34：方程思想；48：分析法；5B：直线与圆；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（Ⅰ）求得圆A的圆心和半径，运用直线平行的性质和等腰三角形的性质，可得EB=ED，再由圆的定义和椭圆的定义，可得E的轨迹为以A，B为焦点的椭圆，求得a，b，c，即可得到所求轨迹方程；（Ⅱ）设直线l：x=my+1，代入椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式，可得|MN|，由PQ⊥l，设PQ：y=﹣m（x﹣1），求得A到PQ的距离，再由圆的弦长公式可得|PQ|，再由四边形的面积公式，化简整理，运用不等式的性质，即可得到所求范围．【解答】解：（Ⅰ）证明：圆x2+y2+2x﹣15=0即为（x+1）2+y2=16，可得圆心A（﹣1，0），半径r=4，由BE∥AC，可得∠C=∠EBD，由AC=AD，可得∠D=∠C，即为∠D=∠EBD，即有EB=ED，则|EA|+|EB|=|EA|+|ED|=|AD|=4，故E的轨迹为以A，B为焦点的椭圆，且有2a=4，即a=2，c=1，b==，则点E的轨迹方程为+=1（y≠0）；（Ⅱ）椭圆C1：+=1，设直线l：x=my+1，由PQ⊥l，设PQ：y=﹣m（x﹣1），由可得（3m2+4）y2+6my﹣9=0，设M（x1，y1），N（x2，y2），可得y1+y2=﹣，y1y2=﹣，则|MN|=•|y1﹣y2|=•=•=12•，A到PQ的距离为d==，|PQ|=2=2=，则四边形MPNQ面积为S=|PQ|•|MN|=••12•=24•=24，当m=0时，S取得最小值12，又＞0，可得S＜24•=8，即有四边形MPNQ面积的取值范围是[12，8）．【点评】本题考查轨迹方程的求法，注意运用椭圆和圆的定义，考查直线和椭圆方程联立，运用韦达定理和弦长公式，以及直线和圆相交的弦长公式，考查不等式的性质，属于中档题．21．（12分）已知函数f（x）=（x﹣2）e x+a（x﹣1）2有两个零点．（Ⅰ）求a的取值范围；（Ⅱ）设x1，x2是f（x）的两个零点，证明：x1+x2＜2．【考点】51：函数的零点；6D：利用导数研究函数的极值．【专题】32：分类讨论；35：转化思想；4C：分类法；4R：转化法；51：函数的性质及应用．【分析】（Ⅰ）由函数f（x）=（x﹣2）e x+a（x﹣1）2可得：f′（x）=（x﹣1）e x+2a （x﹣1）=（x﹣1）（e x+2a），对a进行分类讨论，综合讨论结果，可得答案．（Ⅱ）设x1，x2是f（x）的两个零点，则﹣a==，令g（x）=，则g（x1）=g（x2）=﹣a，分析g（x）的单调性，令m＞0，则g（1+m）﹣g（1﹣m）=，设h（m）=，m＞0，利用导数法可得h（m）＞h（0）=0恒成立，即g（1+m）＞g（1﹣m）恒成立，令m=1﹣x1＞0，可得结论．【解答】解：（Ⅰ）∵函数f（x）=（x﹣2）e x+a（x﹣1）2，∴f′（x）=（x﹣1）e x+2a（x﹣1）=（x﹣1）（e x+2a），①若a=0，那么f（x）=0⇔（x﹣2）e x=0⇔x=2，函数f（x）只有唯一的零点2，不合题意；②若a＞0，那么e x+2a＞0恒成立，当x＜1时，f′（x）＜0，此时函数为减函数；当x＞1时，f′（x）＞0，此时函数为增函数；此时当x=1时，函数f（x）取极小值﹣e，由f（2）=a＞0，可得：函数f（x）在x＞1存在一个零点；当x＜1时，e x＜e，x﹣2＜﹣1＜0，∴f（x）=（x﹣2）e x+a（x﹣1）2＞（x﹣2）e+a（x﹣1）2=a（x﹣1）2+e（x﹣1）﹣e，令a（x﹣1）2+e（x﹣1）﹣e=0的两根为t1，t2，且t1＜t2，则当x＜t1，或x＞t2时，f（x）＞a（x﹣1）2+e（x﹣1）﹣e＞0，故函数f（x）在x＜1存在一个零点；即函数f（x）在R是存在两个零点，满足题意；③若﹣＜a＜0，则ln（﹣2a）＜lne=1，当x＜ln（﹣2a）时，x﹣1＜ln（﹣2a）﹣1＜lne﹣1=0，e x+2a＜e ln（﹣2a）+2a=0，即f′（x）=（x﹣1）（e x+2a）＞0恒成立，故f（x）单调递增，当ln（﹣2a）＜x＜1时，x﹣1＜0，e x+2a＞e ln（﹣2a）+2a=0，即f′（x）=（x﹣1）（e x+2a）＜0恒成立，故f（x）单调递减，当x＞1时，x﹣1＞0，e x+2a＞e ln（﹣2a）+2a=0，即f′（x）=（x﹣1）（e x+2a）＞0恒成立，故f（x）单调递增，故当x=ln（﹣2a）时，函数取极大值，由f（ln（﹣2a））=[ln（﹣2a）﹣2]（﹣2a）+a[ln（﹣2a）﹣1]2=a{[ln（﹣2a）﹣2]2+1}＜0得：函数f（x）在R上至多存在一个零点，不合题意；④若a=﹣，则ln（﹣2a）=1，当x＜1=ln（﹣2a）时，x﹣1＜0，e x+2a＜e ln（﹣2a）+2a=0，即f′（x）=（x﹣1）（e x+2a）＞0恒成立，故f（x）单调递增，当x＞1时，x﹣1＞0，e x+2a＞e ln（﹣2a）+2a=0，即f′（x）=（x﹣1）（e x+2a）＞0恒成立，故f（x）单调递增，故函数f（x）在R上单调递增，函数f（x）在R上至多存在一个零点，不合题意；⑤若a＜﹣，则ln（﹣2a）＞lne=1，当x＜1时，x﹣1＜0，e x+2a＜e ln（﹣2a）+2a=0，即f′（x）=（x﹣1）（e x+2a）＞0恒成立，故f（x）单调递增，当1＜x＜ln（﹣2a）时，x﹣1＞0，e x+2a＜e ln（﹣2a）+2a=0，即f′（x）=（x﹣1）（e x+2a）＜0恒成立，故f（x）单调递减，当x＞ln（﹣2a）时，x﹣1＞0，e x+2a＞e ln（﹣2a）+2a=0，即f′（x）=（x﹣1）（e x+2a）＞0恒成立，故f（x）单调递增，故当x=1时，函数取极大值，由f（1）=﹣e＜0得：函数f（x）在R上至多存在一个零点，不合题意；综上所述，a的取值范围为（0，+∞）证明：（Ⅱ）∵x1，x2是f（x）的两个零点，∴f（x1）=f（x2）=0，且x1≠1，且x2≠1，∴﹣a==，令g（x）=，则g（x1）=g（x2）=﹣a，∵g′（x）=，∴当x＜1时，g′（x）＜0，g（x）单调递减；当x＞1时，g′（x）＞0，g（x）单调递增；设m＞0，则g（1+m）﹣g（1﹣m）=﹣=，设h（m）=，m＞0，则h′（m）=＞0恒成立，即h（m）在（0，+∞）上为增函数，h（m）＞h（0）=0恒成立，即g（1+m）＞g（1﹣m）恒成立，令m=1﹣x1＞0，则g（1+1﹣x1）＞g（1﹣1+x1）⇔g（2﹣x1）＞g（x1）=g（x2）⇔2﹣x1＞x2，即x1+x2＜2．【点评】本题考查的知识点是利用导数研究函数的极值，函数的零点，分类讨论思想，难度较大．请考生在22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-1：几何证明选讲]22．（10分）如图，△OAB是等腰三角形，∠AOB=120°．以O为圆心，OA为半径作圆．（Ⅰ）证明：直线AB与⊙O相切；（Ⅱ）点C，D在⊙O上，且A，B，C，D四点共圆，证明：AB∥CD．【考点】N9：圆的切线的判定定理的证明．【专题】14：证明题；35：转化思想；49：综合法；5M：推理和证明．【分析】（Ⅰ）设K为AB中点，连结OK．根据等腰三角形AOB的性质知OK⊥AB，∠A=30°，OK=OAsin30°=OA，则AB是圆O的切线．（Ⅱ）设圆心为T，证明OT为AB的中垂线，OT为CD的中垂线，即可证明结论．【解答】证明：（Ⅰ）设K为AB中点，连结OK，∵OA=OB，∠AOB=120°，∴OK⊥AB，∠A=30°，OK=OAsin30°=OA，∴直线AB与⊙O相切；（Ⅱ）因为OA=2OD，所以O不是A，B，C，D四点所在圆的圆心．设T是A，B，C，D四点所在圆的圆心．∵OA=OB，TA=TB，∴OT为AB的中垂线，同理，OC=OD，TC=TD，∴OT为CD的中垂线，∴AB∥CD．【点评】本题考查了切线的判定，考查四点共圆，考查学生分析解决问题的能力．解答此题时，充分利用了等腰三角形“三合一”的性质．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（t为参数，a＞0）．在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：ρ=4cosθ．（Ⅰ）说明C1是哪种曲线，并将C1的方程化为极坐标方程；（Ⅱ）直线C3的极坐标方程为θ=α0，其中α0满足tanα0=2，若曲线C1与C2的公共点都在C3上，求a．【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程；QE：参数方程的概念．【专题】11：计算题；35：转化思想；4A：数学模型法；5S：坐标系和参数方程．【分析】（Ⅰ）把曲线C1的参数方程变形，然后两边平方作和即可得到普通方程，可知曲线C1是圆，化为一般式，结合x2+y2=ρ2，y=ρsinθ化为极坐标方程；（Ⅱ）化曲线C2、C3的极坐标方程为直角坐标方程，由条件可知y=x为圆C1与C2的公共弦所在直线方程，把C1与C2的方程作差，结合公共弦所在直线方程为y=2x可得1﹣a2=0，则a值可求．【解答】解：（Ⅰ）由，得，两式平方相加得，x2+（y﹣1）2=a2．∴C1为以（0，1）为圆心，以a为半径的圆．化为一般式：x2+y2﹣2y+1﹣a2=0．①由x2+y2=ρ2，y=ρsinθ，得ρ2﹣2ρsinθ+1﹣a2=0；（Ⅱ）C2：ρ=4cosθ，两边同时乘ρ得ρ2=4ρcosθ，∴x2+y2=4x，②即（x﹣2）2+y2=4．由C3：θ=α0，其中α0满足tanα0=2，得y=2x，∵曲线C1与C2的公共点都在C3上，∴y=2x为圆C1与C2的公共弦所在直线方程，①﹣②得：4x﹣2y+1﹣a2=0，即为C3 ，∴1﹣a2=0，∴a=1（a＞0）．【点评】本题考查参数方程即简单曲线的极坐标方程，考查了极坐标与直角坐标的互化，训练了两圆公共弦所在直线方程的求法，是基础题．[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）=|x+1|﹣|2x﹣3|．（Ⅰ）在图中画出y=f（x）的图象；（Ⅱ）求不等式|f（x）|＞1的解集．【考点】&2：带绝对值的函数；3A：函数的图象与图象的变换．【专题】35：转化思想；48：分析法；59：不等式的解法及应用．【分析】（Ⅰ）运用分段函数的形式写出f（x）的解析式，由分段函数的画法，即可得到所求图象；（Ⅱ）分别讨论当x≤﹣1时，当﹣1＜x＜时，当x≥时，解绝对值不等式，取交集，最后求并集即可得到所求解集．【解答】解：（Ⅰ）f（x）=，由分段函数的图象画法，可得f（x）的图象，如右：（Ⅱ）由|f（x）|＞1，可得当x≤﹣1时，|x﹣4|＞1，解得x＞5或x＜3，即有x≤﹣1；当﹣1＜x＜时，|3x﹣2|＞1，解得x＞1或x＜，即有﹣1＜x＜或1＜x＜；当x≥时，|4﹣x|＞1，解得x＞5或x＜3，即有x＞5或≤x＜3．综上可得，x＜或1＜x＜3或x＞5．则|f（x）|＞1的解集为（﹣∞，）∪（1，3）∪（5，+∞）．【点评】本题考查绝对值函数的图象和不等式的解法，注意运用分段函数的图象的画法和分类讨论思想方法，考查运算能力，属于基础题．。

2016年全国统一高考数学试卷（新课标Ⅱ）（理科）（使用地区 ：海南、宁夏、黑龙江、吉林、辽宁、新疆、内蒙古、青海、甘肃、重庆、陕西、西藏）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.【2016新课标Ⅱ(理）】已知(3)(1)i z m m =++-在复平面内对应的点在第四象限，则实数m 的取值范围是A.()31-，B.()13-，C.()1,∞+D.()3∞--，【答案】A【解析】∴30m +>，10m -<，∴31m -<<，故选A ．【2016新课标Ⅱ(理）】已知集合{1,23}A =,，{|(1)(2)0}B x x x x =+-<∈Z ，，则A B = A.{}1B.{12}，C.{}0123，，，D.{10123}-，，，， 【答案】C【解析】()(){}120Z B x x x x =+-<∈，{}12Z x x x =-<<∈，， ∴{}01B =，，∴{}0123A B = ，，，， 故选C ．【2016新课标Ⅱ(理）】已知向量(1,)(3,2)a m b =- ，=，且()a b b +⊥，则m = A.8- B.6- C.6 D.8【答案】D【解析】 ()42a b m +=-，， ∵()a b b +⊥ ，∴()122(2)0a b b m +⋅=--=解得8m =， 故选D ．【2016新课标Ⅱ(理）】圆2228130x y x y +--+=的圆心到直线10ax y +-= 的距离为1，则a=A.43-B.34- D.2【答案】A【解析】圆2228130x y x y +--+=化为标准方程为：()()22144x y -+-=，故圆心为()14，，1d =，解得43a =-，故选A ．【2016新课标Ⅱ(理）】如图，小明从街道的E 处出发，先到F 处与小红会合，再一起到位于G 处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为A.24B.18C.12D.9 【答案】B【解析】E F →有6种走法，F G →有3种走法，由乘法原理知，共6318⨯=种走法故选B ．【2016新课标Ⅱ(理）】右图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为A.20πB.24πC.28πD.32π 【答案】C【解析】几何体是圆锥与圆柱的组合体，设圆柱底面圆半径为r ，周长为c ，圆锥母线长为l ，圆柱高为h ．由图得2r =，2π4πc r ==，由勾股定理得：4l =，21π2S r ch cl =++表4π16π8π=++28π=，故选C ．【2016新课标Ⅱ(理）】若将函数y =2sin 2x 的图像向左平移π12个单位长度，则平移后图象的对称轴为 A.()ππ26k x k =-∈Z B.()ππ26k x k =+∈Z C.()ππ212Z k x k =-∈ D.()ππ212Z k x k =+∈ 【答案】B【解析】平移后图像表达式为π2sin 212y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，令ππ2π+122x k ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，得对称轴方程：()ππ26Z k x k =+∈，故选B ．【2016新课标Ⅱ(理）】中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，右图是实现该算法的程序框图.执行该程序框图，若输入的2x =，2n =，依次输入的a 为2，2，5，则输出的s =A.7B.12C.17D.34 【答案】C【解析】第一次运算：0222s =⨯+=，第二次运算：2226s =⨯+=， 第三次运算：62517s =⨯+=，故选C ．【2016新课标Ⅱ(理）】若π3cos 45α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则sin 2α=A.725B.15C.15-D.725-【答案】D【解析】∵3cos 45πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，2ππ7sin 2cos 22cos 12425ααα⎛⎫⎛⎫=-=--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故选D ．【2016新课标Ⅱ(理）】从区间[]0,1随机抽取2n 个数1x ,2x ，…，n x ，1y ，2y ，…，n y ，构成n 个数对()11,x y ，()22,x y ，…，(),n n x y ，其中两数的平方和小于1的数对共有m 个，则用随机模拟的方法得到的圆周率π 的近似值为A.4n m B.2n m C.4m n D.2mn【答案】C【解析】由题意得：()()12i i x y i n =⋅⋅⋅，，，，在如图所示方格中，而平方和小于1的点均在 如图所示的阴影中由几何概型概率计算公式知π41m n=，∴4πmn=，故选C ．【2016新课标Ⅱ(理）】已知1F ，2F 是双曲线E ：22221x y a b-=的左，右焦点，点M 在E 上，1MF 与x 轴垂直，sin 2113MF F ∠= ,则E 的离心率为B.32D.2 【答案】A【解析】离心率1221F F e MF MF =-，由正弦定理得122112sin 31sin sin 13F F Me MF MF F F ====--- 故选A ．【2016新课标Ⅱ(理）】已知函数()()R f x x ∈满足()()2f x f x -=-，若函数1x y x+=与()y f x =图像的交点为()11x y ，，()22x y ，，⋯，()m m x y ，，则()1mi i i x y =+=∑（ ）A.0B.mC.2mD.4m【答案】B【解析】由()()2f x f x =-得()f x 关于()01，对称， 而111x y x x+==+也关于()01，对称， ∴对于每一组对称点'0i i x x += '=2i i y y +， ∴()111022mmmi i i i i i i mx y x y m ===+=+=+⋅=∑∑∑，故选B ．第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第13~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22~24题为选考题，考生根据要求作答．【2016新课标Ⅱ(理）】ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若4c o s 5A =，5cos 13C =，1a =，则b = ． 【解析】2113∵4cos 5A =，5cos 13C =，3sin 5A =，12sin 13C =， ()63sin sin sin cos cos sin 65B AC A C A C =+=+=，由正弦定理得：sin sin b a B A =解得2113b =．【2016新课标Ⅱ(理）】α，β是两个平面，m ，n 是两条线，有下列四个命题：①如果m n ⊥，m α⊥，n β∥，那么αβ⊥． ②如果m α⊥，n α∥，那么m n ⊥． ③如果a β∥，m α⊂，那么m β∥．④如果m n ∥，αβ∥，那么m 与α所成的角和n 与β所成的角相等． 【解析】②③④【2016新课标Ⅱ(理）】有三张卡片，分别写有1和2，1和3，2和3．甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是 【解析】 (1,3)由题意得：丙不拿（2，3），若丙（1，2），则乙（2，3），甲（1，3）满足， 若丙（1，3），则乙（2，3），甲（1，2）不满足， 故甲（1，3），【2016新课标Ⅱ(理）】若直线y kx b =+是曲线ln 2y x =+的切线，也是曲线()ln 1y x =+的切线，b = ． 【解析】 1ln2-ln 2y x =+的切线为：111ln 1y x x x =⋅++（设切点横坐标为1x ） ()ln 1y x =+的切线为：()22221ln 111x y x x x x =++-++ ∴()122122111ln 1ln 11x x x x x x ⎧=⎪+⎪⎨⎪+=+-⎪+⎩解得112x =212x =-∴1ln 11ln 2b x =+=-．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．【2016新课标Ⅱ(理）】n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，且11a =，728S =．记[]lg n n b a =，其中[]x 表示不超过x 的最大整数，如[]0.90=，[]lg991=．（Ⅰ）求1b ，11b ，101b ；（Ⅱ）求数列{}n b 的前1000项和．【解析】⑴设{}n a 的公差为d ，74728S a ==，∴44a =，∴4113a a d -==，∴1(1)n a a n d n =+-=． ∴[][]11lg lg10b a ===，[][]1111lg lg111b a ===，[][]101101101lg lg 2b a ===． ⑵记{}n b 的前n 项和为n T ，则1000121000T b b b =++⋅⋅⋅+[][][]121000lg lg lg a a a =++⋅⋅⋅+．当0lg 1n a <≤时，129n =⋅⋅⋅，，，；当1lg 2n a <≤时，101199n =⋅⋅⋅，，，；当2lg 3n a <≤时，100101999n =⋅⋅⋅，，，； 当lg 3n a =时，1000n =．∴1000091902900311893T =⨯+⨯+⨯+⨯=．【2016新课标Ⅱ(理）】某险种的基本保费为a （单位：元），继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下：设该险种一续保人一年内出险次数与相应概率如下：（Ⅰ）求一续保人本年度的保费高于基本保费的概率；（Ⅱ）若一续保人本年度的保费高于基本保费，求其保费比基本保费高出60%的概率； （Ⅲ）求续保人本年度的平均保费与基本保费的比值． 【解析】 ⑴设续保人本年度的保费高于基本保费为事件A ，()1()1(0.300.15)0.55P A P A =-=-+=．⑵设续保人保费比基本保费高出60%为事件B ， ()0.100.053()()0.5511P AB P B A P A +===． ⑶解：设本年度所交保费为随机变量X ．平均保费0.850.300.15 1.250.20 1.50.20 1.750.1020.05EX a a a a a =⨯++⨯+⨯+⨯+⨯ 0.2550.150.250.30.1750.a a a a a a a =+++++=，∴平均保费与基本保费比值为1.23．【2016新课标Ⅱ(理）】如图，菱形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O ，5AB =，6AC =，点E ，F 分别在AD ，CD 上，54AE CF ==，EF 交BD 于点H .将△DEF 沿EF 折到△D EF '的位置OD '（I ）证明：DH'⊥平面ABCD ； （II ）求二面角B D A C '--的正弦值.【解析】⑴证明：∵54AE CF ==，∴AE CFAD CD=， ∴EF AC ∥．∵四边形ABCD 为菱形， ∴AC BD ⊥， ∴EF BD ⊥， ∴EF D H ⊥，∴EF DH'⊥． ∵6AC =， ∴3AO =；又5AB =，AO OB ⊥， ∴4OB =， ∴1AEOH OD AO=⋅=， ∴3DH D H '==， ∴222'OD OH D H '=+， ∴'D H OH ⊥． 又∵OH EF H =I ， ∴'D H ⊥面ABCD ． ⑵建立如图坐标系H xyz -．()500B ，，，()130C ，，，()'003D ，，，()130A -，，，()430AB =u u u r ，，，()'133AD =-u u u r ，，，()060AC =u u u r ，，， 设面'ABD 法向量()1n x y z =，，u r，由1100n AB n AD ⎧⋅=⎪⎨'⋅=⎪⎩ 得430330x y x y z +=⎧⎨-++=⎩，取345x y z =⎧⎪=-⎨⎪=⎩， ∴()1345n =-u r，，．同理可得面'AD C 的法向量()2301n =u u r，，，∴1212cos n n n n θ⋅===u r u u ru r u u r∴sin θ=【2016新课标Ⅱ(理）】已知椭圆E :2213x y t +=的焦点在x 轴上，A 是E 的左顶点，斜率为(0)k k >的直线交E 于A ，M 两点，点N 在E 上，MA ⊥NA.（I ）当4t =，AM AN =时，求△AMN 的面积； （II ）当2AM AN =时，求k 的取值范围.【解析】 ⑴当4t =时，椭圆E 的方程为22143x y +=，A 点坐标为()20-，， 则直线AM 的方程为()2y k x =+．联立()221432x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩并整理得，()2222341616120k x k x k +++-= 解得2x =-或228634k x k -=-+，则222861223434k AM k k -=+=++ 因为AM AN ⊥，所以21212413341AN k kk =⎛⎫++⋅- ⎪⎝⎭因为AM AN =，0k >，212124343k k k=++，整理得()()21440k k k --+=， 2440k k -+=无实根，所以1k =．所以AMN △的面积为221112144223449AM ⎫==⎪+⎭． ⑵直线AM的方程为(y k x =，联立(2213x y t y k x ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩并整理得，()222223230tk x x t k t +++-=解得x =x =所以AM =所以3AN k k+因为2AM AN =所以23k k=+，整理得，23632k k t k -=-． 因为椭圆E 的焦点在x 轴，所以3t >，即236332k k k ->-，整理得()()231202k k k +-<-2k <<．【2016新课标Ⅱ(理）】(I)讨论函数2(x)e 2xx f x -=+的单调性，并证明当0x >时，(2)e 20;xx x -++>(II)证明：当[0,1)a ∈ 时，函数()2e =(0)x ax ag x x x --> 有最小值.设()g x 的最小值为()h a ，求函数()h a 的值域. 【解析】⑴证明：()2e 2xx f x x -=+ ()()()22224e e 222x xx x f x x x x ⎛⎫-'⎪=+= ⎪+++⎝⎭∵当x ∈()()22,-∞--+∞ ，时，()0f x '> ∴()f x 在()()22,-∞--+∞，和上单调递增 ∴0x >时，()2e 0=12xx f x ->-+∴()2e 20x x x -++>⑵ ()()()24e 2e xx a x x ax a g x x ----'=()4e 2e 2x x x x ax a x-++=()322e 2x x x a x x-⎛⎫+⋅+⎪+⎝⎭=[)01a ∈，由(1)知，当0x >时，()2e 2xx f x x -=⋅+的值域为()1-+∞，，只有一解． 使得2e 2tt a t -⋅=-+，(]02t ∈， 当(0,)x t ∈时()0g x '<，()g x 单调减；当(,)x t ∈+∞时()0g x '>，()g x 单调增()()()222e 1ee 1e 22t ttt t t a t t h a t t t -++⋅-++===+记()e 2tk t t =+，在(]0,2t ∈时，()()()2e 102t t k t t +'=>+，∴()k t 单调递增 ∴()()21e 24h a k t ⎛⎤=∈ ⎥⎝⎦，．请考生在22、23、24题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分,做答时请写清题号【2016新课标Ⅱ(理）】如图，在正方形ABCD ，E ，G 分别在边DA ，DC 上（不与端点重合），且DE =DG ，过D 点作DF ⊥CE ，垂足为F . (I) 证明：B ，C ，G ，F 四点共圆；(II)若1AB =，E 为DA 的中点，求四边形BCGF 的面积.【解析】（Ⅰ）证明：∵DF CE ⊥∴Rt Rt DEF CED △∽△∴GDF DEF BCF ∠=∠=∠ DF CFDG BC= ∵DE DG =，CD BC = ∴DF CFDG BC= ∴GDF BCF △∽△ ∴CFB DFG ∠=∠∴90GFB GFC CFB GFC DFG DFC ∠=∠+∠=∠+∠=∠=︒ ∴180GFB GCB ∠+∠=︒． ∴B ，C ，G ，F 四点共圆． （Ⅱ）∵E 为AD 中点，1AB =， ∴12DG CG DE ===， ∴在Rt GFC △中，GF GC =， 连接GB ，Rt Rt BCG BFG △≌△，∴1112=21=222BCG BCGF S S =⨯⨯⨯△四边形．【2016新课标Ⅱ(理）】选修4—4：坐标系与参数方程在直线坐标系xOy 中，圆C 的方程为()22625x y ++=．（I ）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C 的极坐标方程；（II ）直线l 的参数方程是cos sin x t y t αα=⎧⎨=⎩（t 为参数），l 与C 交于A 、B两点，AB l的斜率．【解析】解：⑴整理圆的方程得2212110x y +++=，由222cos sin x y x y ρρθρθ⎧=+⎪=⎨⎪=⎩可知圆C 的极坐标方程为212cos 110ρρθ++=．⑵记直线的斜率为k ，则直线的方程为0kx y -=，=即22369014k k =+，整理得253k =，则k =【2016新课标Ⅱ(理）】选修4—5：不等式选讲已知函数()1122f x x x =-++，M 为不等式()2f x <的解集. （I ）求M ；（II ）证明：当a ，b M ∈时，1a b ab +<+．【解析】解：⑴当12x <-时，()11222f x x x x =---=-，若112x -<<-；当1122x -≤≤时，()111222f x x x =-++=<恒成立；当12x >时，()2f x x =，若()2f x <，112x <<．综上可得，{}|11M x x =-<<．⑵当()11a b ∈-，，时，有()()22110a b -->， 即22221a b a b +>+，则2222212a b ab a ab b +++>++， 则()()221ab a b +>+， 即1a b ab +<+， 证毕．2016年全国统一高考数学试卷（新课标Ⅱ）（理科）（使用地区 ：海南、宁夏、黑龙江、吉林、辽宁、新疆、内蒙古、青海、甘肃、重庆、陕西、西藏） 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．【2016新课标Ⅱ(理）】已知z=（m+3）+（m ﹣1）i 在复平面内对应的点在第四象限，则实数m 的取值范围是（ ） A ．（﹣3，1） B ．（﹣1，3） C ．（1，+∞） D ．（﹣∞，﹣3）2．【2016新课标Ⅱ(理）】已知集合A={1，2，3}，B={x|（x+1）（x﹣2）＜0，x∈Z}，则A∪B=（）A．{1} B．{1，2} C．{0，1，2，3} D．{﹣1，0，1，2，3}3．【2016新课标Ⅱ(理）】已知向量=（1，m），=（3，﹣2），且（+）⊥，则m=（）A．﹣8 B．﹣6 C．6 D．84．【2016新课标Ⅱ(理）】圆x2+y2﹣2x﹣8y+13=0的圆心到直线ax+y﹣1=0的距离为1，则a=（）A．﹣B．﹣C．D．25．【2016新课标Ⅱ(理）】如图，小明从街道的E处出发，先到F处与小红会合，再一起到位于G处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为（）A．24 B．18 C．12 D．96．【2016新课标Ⅱ(理）】如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为（）A．20πB．24πC．28πD．32π7．【2016新课标Ⅱ(理）】若将函数y=2sin2x的图象向左平移个单位长度，则平移后的图象的对称轴为（）A．x=﹣（k∈Z）B．x=+（k∈Z）C．x=﹣（k∈Z）D．x=+（k∈Z）8．【2016新课标Ⅱ(理）】中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，如图是实现该算法的程序框图．执行该程序框图，若输入的x=2，n=2，依次输入的a为2，2，5，则输出的s=（）A．7 B．12 C．17 D．349．【2016新课标Ⅱ(理）】若cos（﹣α）=，则sin2α=（）A．B．C．﹣D．﹣10．【2016新课标Ⅱ(理）】从区间[0，1]随机抽取2n个数x1，x2，…，x n，y1，y2，…，y n构成n个数对（x1，y1），（x2，y2）…（x n，y n），其中两数的平方和小于1的数对共有m个，则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近似值为（）A．B．C．D．11．【2016新课标Ⅱ(理）】已知F1，F2是双曲线E：﹣=1的左、右焦点，点M在E上，MF1与x轴垂直，sin∠MF2F1=，则E的离心率为（）A．B．C．D．212．【2016新课标Ⅱ(理）】已知函数f（x）（x∈R）满足f（﹣x）=2﹣f（x），若函数y=与y=f（x）图象的交点为（x1，y1），（x2，y2），…，（x m，y m），则（x i+y i）=（）A．0 B．m C．2m D．4m二、填空题：本题共4小题，每小题5分．13．【2016新课标Ⅱ(理）】△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cosA=，cosC=，a=1，则b=．14．【2016新课标Ⅱ(理）】α，β是两个平面，m，n是两条直线，有下列四个命题：①如果m⊥n，m⊥α，n∥β，那么α⊥β．②如果m⊥α，n∥α，那么m⊥n．③如果α∥β，m⊂α，那么m∥β．④如果m∥n，α∥β，那么m与α所成的角和n与β所成的角相等．其中正确的命题是（填序号）15．【2016新课标Ⅱ(理）】有三张卡片，分别写有1和2，1和3，2和3．甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是．16．【2016新课标Ⅱ(理）】若直线y=kx+b是曲线y=lnx+2的切线，也是曲线y=ln（x+1）的切线，则b=．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．【2016新课标Ⅱ(理）】S n为等差数列{a n}的前n项和，且a1=1，S7=28，记b n=[lga n]，其中[x]表示不超过x的最大整数，如[0.9]=0，[lg99]=1．（Ⅰ）求b1，b11，b101；（Ⅱ）求数列{b n}的前1000项和．18．【2016新课标Ⅱ(理）】某保险的基本保费为a（单位：元），继续购买该保险的投保人成为（Ⅱ）若一续保人本年度的保费高于基本保费，求其保费比基本保费高出60%的概率；（Ⅲ）求续保人本年度的平均保费与基本保费的比值．19．【2016新课标Ⅱ(理）】如图，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O，AB=5，AC=6，点E，F分别在AD，CD上，AE=CF=，EF交于BD于点M，将△DEF沿EF折到△D′EF的位置，OD′=．（Ⅰ）证明：D′H⊥平面ABCD；（Ⅱ）求二面角B﹣D′A﹣C的正弦值．20．【2016新课标Ⅱ(理）】已知椭圆E：+=1的焦点在x轴上，A是E的左顶点，斜率为k（k＞0）的直线交E于A，M两点，点N在E上，MA⊥NA．（Ⅰ）当t=4，|AM|=|AN|时，求△AMN的面积；（Ⅱ）当2|AM|=|AN|时，求k的取值范围．21．（12分）（Ⅰ）讨论函数f（x）=e x的单调性，并证明当x＞0时，（x﹣2）e x+x+2＞0；（Ⅱ）证明：当a∈[0，1）时，函数g（x）=（x＞0）有最小值．设g（x）的最小值为h（a），求函数h（a）的值域．请考生在第22～24题中任选一个题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-1：几何证明选讲]22．【2016新课标Ⅱ(理）】如图，在正方形ABCD中，E，G分别在边DA，DC上（不与端点重合），且DE=DG，过D点作DF⊥CE，垂足为F．（Ⅰ）证明：B，C，G，F四点共圆；（Ⅱ）若AB=1，E为DA的中点，求四边形BCGF的面积．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．【2016新课标Ⅱ(理）】在直角坐标系xOy中，圆C的方程为（x+6）2+y2=25．（Ⅰ）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C的极坐标方程；（Ⅱ）直线l的参数方程是（t为参数），l与C交与A，B两点，|AB|=，求l 的斜率．[选修4-5：不等式选讲]24．【2016新课标Ⅱ(理）】已知函数f（x）=|x﹣|+|x+|，M为不等式f（x）＜2的解集．（Ⅰ）求M；（Ⅱ）证明：当a，b∈M时，|a+b|＜|1+ab|．。

考点12 三角函数的图象与性质一、选择题1.(2016年全国卷Ⅰ高考文科·T6)将函数y ＝2sin(2x ＋π6)的图象向右平移14个周期后,所得图象对应的函数为 ( ) A.y ＝2sin π2x 4⎛⎫+⎪⎝⎭ B.y ＝2sin π2x 3⎛⎫+ ⎪⎝⎭ C.y ＝2sin π2x-4⎛⎫⎪⎝⎭D.y ＝2sin π2x-3⎛⎫ ⎪⎝⎭【试题解析】选D.由函数y ＝2sin π2x 6⎛⎫+⎪⎝⎭得周期T ＝2π2＝π,将函数y ＝2sin π2x 6⎛⎫+ ⎪⎝⎭的图象向右平移14个周期,即为函数y ＝2sin π2x 6⎛⎫+⎪⎝⎭的图象向右平移π4个单位,得y ＝ 2sin ππ2x 46⎡⎤⎛⎫-+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦,解得y ＝2sin π2x-3⎛⎫⎪⎝⎭. 2.(2016年四川高考理科·T3)为了得到函数y ＝sin π2x 3⎛⎫- ⎪⎝⎭的图象,只需把函数y ＝sin2x 的图象上所有的点 ( ) A.向左平行移动π3个单位长度 B.向右平行移动π3个单位长度 C.向左平行移动π6个单位长度 D.向右平行移动π6个单位长度【解题指南】根据函数图象的平移法则判断,注意自变量系数对平移的影响.【试题解析】选D.由题意,为得到函数y ＝sin π2x 3⎛⎫-⎪⎝⎭＝sin π2x 6⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦,只需把函数y ＝sin2x 的图象上所有的点向右平行移动π6个单位长度.3.(2016年四川高考文科·T4)为了得到函数y ＝sin π x 3⎛⎫+⎪⎝⎭的图象,只需把函数y ＝sinx 的图象上所有的点 ( )A.向左平行移动π3个单位长度 B.向右平行移动π3个单位长度 C.向上平行移动π3个单位长度 D.向下平行移动π3个单位长度【解题指南】根据三角函数图象的平移法则判断. 【试题解析】选A.由题意,为得到函数y ＝sin π x 3⎛⎫+⎪⎝⎭,只需把函数y ＝sinx 的图象上所有点向左平行移动π3个单位长度. 二、填空题4.(2016年全国卷Ⅲ·文科·T14)函数y ＝sinx-cosx 的图象可由函数y ＝2sinx 的图象至少向右平移 个单位长度得到.【试题解析】函数y ＝＝2sin πx 3⎛⎫-⎪⎝⎭,根据左加右减原则可得只需将y ＝2sinx 向右平移π3个单位即可. 答案:π3【误区警示】注意是y ＝2sinx 如何平移得到y ＝sinx-。

题组层级快练 (十二 )1．函数 y＝ log 2|x|的图像大体是()答案C剖析函数 y＝ log2 |x|为偶函数，作出x>0 时 y＝ log 2x 的图像，图像关于y 轴对称，应选C.2．(2015·京海淀一模北)以下函数f( x)图像中，满足1f(4)>f(3)> f(2)的只可能是()答案D剖析11)<f(0) ＝ 1，f(3)> f(0) ，由于 f( )>f(3)> f(2)，因此函数 f(x)有增有减，不选 A ，B.又 C 中，f(441即 f(4)< f(3)，因此不选 C，选 D.3．(2015 ·东师大附中月考山 )函数 y＝ 2x－ x2的图像大体是()答案A剖析易研究知x＝2和 4 是函数的两个零点，故消除 B ，C；再结合y＝ 2x与y＝x2的变化趋势，可知当x→ －∞时， 0<2 x<1，而 x2→＋∞ ，因此 2x－ x2→ －∞，故消除D，选 A.4．函数 y＝ ln(1 － x)的大体图像为()答案C剖析将函数 y＝ lnx 的图像关于y 轴对称，获取y＝ln( － x)的图像，再向右平移 1 个单位即得 y＝ln(1 － x)的图像．1的图像是 ()5．函数 f(x)＝1＋|x|答案C1x≥ 0 ，剖析本题经过函数图像观察了函数的性质．f(x)＝11＋ x当 x≥ 0 时，＝1＋ |x|1x<0 .1－ xx 增大，1减小，因此 f(x)在当 x≥ 0时为减函数；当x<0 时， x 增大，1增大，因此 f(x) 1＋ x1－ x在当 x<0 时为增函数．本题也可以依照f(－ x)＝1＝1＝ f(x)，得 f(x)为偶函数，图像1＋ |－x|1＋|x|关于 y 轴对称，选 C.6．已知 lga＋ lgb＝ 0，函数 f(x) ＝a x与函数 g(x)＝－ log b x 的图像可能是 ()答案B1剖析∵lga＋ lgb＝ 0，∴lgab＝ 0，ab＝ 1，∴b＝a.∴g( x)＝－ log b x＝ log a x，∴函数 f( x)与 g(x)互为反函数，图像关于直线y＝ x 对称，应选 B.7．(2013 ·建文福 )函数 f(x)＝ ln(x2＋ 1)的图像大体是 ()答案A剖析依题意，得f(－ x)＝ ln(x2＋ 1)＝ f( x)，因此函数f( x)为偶函数，即函数f(x)的图像关于 y 轴对称，故消除 C.由于函数f(x)过定点 (0,0)，消除 B， D ，应选 A.8．为了获取函数1 x1x的图像 () y＝ 3×()的图像，可以把函数 y＝( )33A ．向左平移 3 个单位长度B．向右平移 3 个单位长度C．向左平移 1 个单位长度D．向右平移 1 个单位长度答案D1 x 1 1 1 x 1 x 1 1 x剖析y＝ 3×(3)＝ (3)－·(3)＝( 3) －，故它的图像是把函数y＝ (3)的图像向右平移 1 个单位长度获取的．4x－ 19．函数 f(x)＝2x的图像关于 ()A ．原点对称B．直线 y＝ x 对称C．直线 y＝－ x 对称D． y 轴对称答案A4x－ 1剖析由题意可知，函数f( x)的定义域为R，且 f( x)＝x＝ 2x－ 2－x， f(－ x)＝ 2－x－ 2x＝2－ f( x)，因此函数f(x)为奇函数，应选 A.10．(2014 ·建福 )若函数 y＝ log a x(a＞ 0，且 a≠1) 的图像以下列图，则以下函数图像正确的是 ()答案B剖析由于函数 y＝log a x 过点 (3,1)，因此 1＝log a3，解得 a＝ 3，因此 y＝ 3－x不可以能过点(1,3)，消除 A ；y＝ (－ x)3＝－ x3不可以能过点 (1,1)，消除 C；y＝ log3，(－ x)不可以能过点 (－ 3，－1)消除 D.应选 B.11．已知以下列图①的图像对应的函数为y＝f(x)，则图②的图像对应的函数在以下给出的四式中，只可能是()A ． y＝ f(|x|) C． y＝ f(－ |x|)答案C B． y＝ |f(x)| D． y＝－ f(|x|)12．若函数1|1－x|＋ m 的图像与 x 轴有公共点，则实数m 的取值范围是 ________．y＝ (2)答案－ 1≤m<0剖析1 |1 x| 1 |1x|第一作出y＝ (2) －的图像 (如右图所示 )，欲使 y＝ (2) －＋ m 的图像与 x 轴有交点，则－1≤ m<0.113．已知 x2>x3，则实数x 的取值范围是________．答案{ x|x<0 或 x>1}1剖析分别画出函数y＝ x2与 y＝ x3的图像，以下列图，由于两函数的图像都过点(1,1) ，1由图像可知不等式x2>x3的解集为 { x|x<0 或 x>1} ．14．设函数 f(x) ，g(x)的定义域分别为F，G，且 F G.若对任意的 x∈F，都有 g(x)＝ f(x)，则称 g(x)为 f(x)在 G 上的一个“延拓函数”．已知函数1 x，若 g(x)为 f(x)在R上f(x)＝ ( ) (x≤0)2的一个延拓函数，且 g(x)是偶函数，则函数g(x) 的剖析式为 ________．答案 g(x)＝ 2|x|剖析1 x (x ≤ 0)的图像关于 y 轴对称的这部分图像，即可获取偶函数g(x)画出函数 f(x)＝ ( )2的图像，由图可知：函数g(x) 的剖析式为 |x|g( x)＝ 2 .15．若是关于 x 的方程1 有且仅有一个正实数解，那么实数a 的取值范围为ax ＋ 2 ＝ 3x________．答案{ a|a ≤ 0 或 a ＝ 2}11剖析令 f( x)＝ ax － 3， g(x)＝－ x 2，在同一坐标系中分别作出 f(x)＝ ax － 3 与 g(x)＝－ x 2的图像，显然 a ≤ 0.又当 a ＝2 时， f(x)＝ g(x)有且只有一个正的实数解．16．关于 x 的方程 e x lnx ＝1 的实根个数是 ________． 答案1剖析题中问题可转变成求函数y ＝ lnx 与 y ＝ ( 1 x(图略 )可知交点e )的交点个数，作出图像个数是 1.17．已知 a>0，且 a ≠1， f(x)＝ x 2－ a x，当 x ∈ (－ 1,1)时，均有 f( x)<12，求实数a 的取值范围．答案[ 1， 1)∪ (1,2]2剖析由题知，当 x ∈(－ 1,1)时， f(x)＝ x2 x1 21 x－ a < 2，即 x － 2<a .在同一坐标系中分别作出二次函数 y ＝ x 2－12，指数函数y ＝a x 的图像，如图，当 x ∈(－ 1,1)时，要使指数函数的图像均在二次函数图像的上方，需1≤a ≤ 2 且 2a ≠ 1.故实数a 的取值范围是1≤ a<12或 1<a ≤ 2.x ay ＝g( x)的图像．18．已知函数 f(x)＝ 2 － x .将 y ＝ f(x)的图像向右平移两个单位，获取2(1)求函数 y ＝ g(x)的剖析式；(2)若函数 y ＝ h(x)与函数 y ＝g(x)的图像关于直线y ＝ 1 对称，求函数 y ＝ h(x)的剖析式．x －2a答案 (1) g(x)＝ 2－ x －22(2)h(x)＝ 2－ 2x －2a＋x－ 22剖析(1) 由题设， g(x)＝ f(x－ 2)＝ 2x－2－xa2.2 －(2)设 (x， y)在 y＝ h( x)的图像上， (x1， y1)在 y＝ g(x)的图像上，x1＝x，则y1＝ 2－ y，∴2－ y＝ g(x)， y＝ 2－g(x)．即 h(x)＝ 2－ 2x－2＋a .2x－21．(2014 ·课标全国Ⅰ理新)如图，圆O 的半径为1，A 是圆上的定点，P 是圆上的动点，角x 的始边为射线的距离表示成OA，终边为射线x 的函数 f(x)，则OP，过点 P 作直线 OA 的垂线，垂足为y＝ f(x) 在[0 ，π]的图像大体为()M.将点M 到直线OP答案B剖析1由题意 |OM |＝ |cosx|， f(x) ＝|OM ||sinx|＝ |sinxcosx|＝ |sin2x|，由此可知 B 正确．22．设函数 f(x)＝ |x＋ 1|＋ |x－ a|的图像关于直线x＝ 1 对称，则实数 a 的值为 ()A ． 3B． 2C． 1D．－ 1答案A剖析∵函数 f(x)图像关于直线x＝1 对称，∴f(1＋ x)＝ f(1 －x) ，∴f(2)＝ f(0)．即 3＋ |2－a|＝1＋ |a|，用代入法知选 A.3．函数 y＝ 1－1的图像是() x－ 1答案B剖析方法一： y＝ 1－1的图像可以看作由11 个单位，再向上x－ 1y＝－x的图像向右平移平移 1 个单位而获取的．方法二：由于x≠ 1，故消除C， D.又函数在(－∞，1)及 (1，＋∞ )上均为增函数，消除 A ，因此选 B.4．已知函数f(x)的定义域为[a，b] ，函数y＝ f(x)的图像以以下列图所示，则函数f(|x|)的图像大致是 ()答案B5．(2015 ·州质检荆 )若函数 y＝ f(x) 的曲线以下列图，则方程y＝ f(2－ x)的曲线是 ()答案C剖析先关于 y 轴对称，获取(x－ 2)) ＝f(2－ x)的图像．因此答案为y＝f(－ x)的图像，再向右平移两个单位，即可获取y＝ f(－C.注意，左右平移是针对字母x 变化，上下平移是针对整个式子变化．6．(2014 山·东理 )已知函数 y＝ f(x)( x∈R )．对函数 y＝ g(x)(x∈I )，定义 g(x) 关于 f(x) 的“对称函数”为函数 y＝ h(x)( x∈I)， y＝h(x)满足：对任意 x∈ I ，两个点 (x， h(x))， ( x， g( x))关于点(x， f(x)) 对称．若 h(x)是 g(x) ＝4－ x2关于 f(x)＝ 3x＋ b 的“对称函数”，且h(x)＞ g(x)恒成立，则实数 b 的取值范围是 ________．答案(2 10，＋∞ )h x ＋ g x剖析函数 g(x)的定义域是 [－ 2,2]，依照已知得＝ f(x)，2因此 h(x)＝ 2f(x)－ g(x)＝ 6x＋ 2b－4－x2.h( x)＞ g(x)恒成立，即 6x＋ 2b－4－ x2＞ 4－ x2恒成立，即3x＋ b＞ 4－ x2恒成立，令y＝3x＋ b， y＝4－ x2，则只要直线y＝ 3x＋ b 在半圆22|b|＞ 2，解得 b＞ 2 10(舍去负值 ) ，故实数 b 的取值范围是 (2 10，x＋ y ＝ 4(y≥ 0)上方即可，由10＋∞)．。

2016年全国各省市高考数学（理）试题及答案试题类型：2016年普通高等学校招生全国统一考试卷3 理科数学注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷3至5页. 2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置. 3.全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效.4. 考试结束后，将本试题和答题卡一并交回.第Ⅰ卷一. 选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）设集合S ={}{}(x 2)(x 3)0,T 0S x x x =--≥=I >P ，则S I T =(A) [2，3] (B)（-∞ ，2]U [3,+∞） (C) [3,+∞） (D)（0，2]U [3,+∞） （2）若z=1+2i ，则41izz =- (A)1 (B) -1 (C) i (D)-i（3）已知向量1(,22BA =uu v ,1),22BC =uu u v 则∠ABC= (A)300 (B) 450 (C) 600 (D)1200（4）某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中月平均最高气温和平均最低气温的雷达图。

图中A 点表示十月的平均最高气温约为150C ，B 点表示四月的平均最低气温约为50C 。

下面叙述不正确的是(A) 各月的平均最低气温都在00C 以上(B) 七月的平均温差比一月的平均温差大 (C) 三月和十一月的平均最高气温基本相同 (D) 平均气温高于200C 的月份有5个 （5）若3tan 4α=，则2cos 2sin 2αα+= (A)6425 (B) 4825 (C) 1 (D)1625（6）已知432a =，344b =，1325c =，则（A ）b a c << （B ）a b c <<（C ）b c a <<（D ）c a b << （7）执行下图的程序框图，如果输入的a =4，b =6，那么输出的n =（A ）3 （B ）4 （C ）5 （D ）6（8）在ABC △中，π4B =，BC 边上的高等于13BC ,则cos A = （A ）310 （B ）10 （C ）10- （D ）310-(9)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实现画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为（A ）185+（B ）54185+ （C ）90 （D ）81(10) 在封闭的直三棱柱ABC -A 1B 1C 1内有一个体积为V 的球，若AB ⊥BC ，AB =6，BC =8，AA 1=3，则V 的最大值是（A ）4π （B ）92π（C ）6π （D ）323π（11）已知O 为坐标原点，F 是椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点，A ，B 分别为C的左，右顶点.P 为C 上一点，且PF ⊥x 轴.过点A 的直线l 与线段PF 交于点M ，与y 轴交于点E .若直线BM 经过OE 的中点，则C 的离心率为 （A ）13（B ）12（C ）23（D ）34（12）定义“规范01数列”{a n }如下：{a n }共有2m 项，其中m 项为0，m 项为1，且对任意2k m ≤，12,,,k a a a L 中0的个数不少于1的个数.若m =4，则不同的“规范01数列”共有（A ）18个（B ）16个（C ）14个（D ）12个第II 卷本卷包括必考题和选考题两部分.第(13)题~第(21)题为必考题，每个试题考生都必须作答.第(22)题~第(24)题为选考题，考生根据要求作答. 二、填空题：本大题共3小题，每小题5分 （13）若x ，y 满足约束条件则z=x+y 的最大值为_____________.（14）函数的图像可由函数的图像至少向右平移_____________个单位长度得到。

绝密★启用并使用完毕前济钢高中2016-2017学年第一学期高三质量检测数学试题 (理科)2016.9.3说明：本试题分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，试卷满分150分，考试时间120分钟，除作图外，各题答案均需用黑色为签字笔书写在答题纸相应位置上。

第I 卷（选择题，共50分）一、选择题（本大题共10个小题，每小题5分,共50分，每小题中只有一个．．．．选项符合题意） 1.已知复数231iz i-=+（i 为虚数单位），则z 在复平面内对应的点位于（ ）C A .第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 2．已知集合A= {x|0＜x＜3}， B= {x|y=12-x },则集合A ∩（B ）为( )BA.[0，1)B.(O ，1)C.[1,3)D.(l,3) 3．下列选项错误．．的是．．（ ）D A.命题“若1x ≠，则2320x x -+≠”的逆否命题是“若2320x x -+=，则1x =”B.“2x >”是“2320x x -+>”的充分不必要条件C.若命题“2:,10P x R x x ∀∈++≠”，则“2000:,10P x R x x ⌝∃∈++=” D.若“p q ∨”为真命题，则,p q 均为真命题4．若)10()(≠>=a a a x f x且的反函数0)21(:)(<g x g 满足，则函数)(x f 的图像向左平移一个单位后的图像大致是下图中的（ ）B5．已知平面向量a 与b 夹角为3π，且1b =，2a b += a = （ ）AA.21 D.36．在等差数列}{n a 中，24)(3)(2119741=++++a a a a a ，则此数列前13项的和=13S （ ）B A.13 B.26 C.52 D.1567.已知()y f x =是定义在R 上的奇函数，当x>0时，()1f x x =-，那么不等式()12f x <的解集是( ）DA ．{x|0<x<23} B ．{x|－21<x<0} C ．{x|－21<x<0或0<x<23} D ．{x|x<－21或0≤x<23}8.若直线220(,0ax by a b -+=>）的始终平分圆222410x y x y ++-+=的周长，则ba 11+的最小值是（ ）BA. 2B. 4 C ．41 D ．21 9.已知抛物线y 2=8x 的准线与双曲线222116x y a -=相交于A ，B 两点，点F 为抛物线的焦点，△ ABF 为直角三角形，则双曲线的离心率为（ ）AA ．3B ．2 C10.已知函数()0)f x x a =+>没有零点，则实数a 的取值范围是（ ）C A ．()0,1 B．( C ．()()0,12,+∞ D．(()2,+∞第Ⅱ卷（非选择题 共100分）二、填空题（本大题共5个小题，每小题5分，共25分，请把答案填在答题纸相应位置上） 11．某几何体的三视图如图所示，则该几何体中，面积最大的侧面的面积为12..如果随机变量ξ～N （0，σ2），且(02)0.4p x ≤≤=， 则(2)p x <-= 。

绝密 ★ 启用前2016年普通高等学校招生全国统一考试(全国1卷)数学（理科)注意事项: 1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。

第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷3至5页。

2。

答题前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置。

3.全部答案在答题卡上完成,答在本试题上无效。

4。

考试结束后,将本试题和答题卡一并交回.第Ⅰ卷一. 选择题：本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. （1）设集合{}2430A x x x =-+< ，{}230x x ->,则A B =（A ）33,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭ （B)33,2⎛⎫- ⎪⎝⎭ （C ）31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭（D)3,32⎛⎫⎪⎝⎭【答案】D考点：集合的交集运算【名师点睛】集合是每年高考中的必考题,一般以基础题形式出现，属得分题.解决此类问题一般要把参与运算的集合化为最简形式再进行运算，如果是不等式解集、函数定义域及值域有关数集之间的运算,常借助数轴进行运算。

(2）设(1i)1i x y +=+,其中x ，y 实数，则i =x y + （A ）1 （2 （C 3 （D ）2 【答案】B 【解析】试题分析：因为(1)=1+,x i yi +所以=1+,=1,1,||=|1+|2,x xi yi x y x x yi i +==+=故选B.考点：复数运算【名师点睛】复数题也是每年高考必考内容，一般以客观题形式出现，属得分题。

高考中复数考查频率较高的内容有：复数相等，复数的几何意义,共轭复数，复数的模及复数的乘除运算,这类问题一般难度不大，但容易出现运算错误,特别是2i 1=-中的负号易忽略，所以做复数题要注意运算的准确性.(3）已知等差数列{}n a 前9项的和为27，108a =，则100a = (A ）100 （B ）99 (C ）98 （D ）97 【答案】C 【解析】试题分析：由已知,1193627,98a d a d +=⎧⎨+=⎩所以110011,1,9919998,a d a a d =-==+=-+=故选C 。

专题1 集合与常用逻辑用语1．(2016·高考全国卷乙)设集合A ＝{x |x 2－4x ＋3＜0}，B ＝{x |2x －3＞0}，则A ∩B ＝( ) A.⎝⎛⎭⎫－3，－32 B.⎝⎛⎭⎫－3，32 C.⎝⎛⎭⎫1，32 D.⎝⎛⎭⎫32，32．(2016·高考全国卷甲)已知集合A ＝{1，2，3}，B ＝{x |(x ＋1)(x －2)＜0，x ∈Z }，则A ∪B ＝( ) A ．{1}B ．{1，2}C ．{0，1，2，3}D ．{－1，0，1，2，3}3．(2016·高考全国卷丙)设集合S ＝{x |(x －2)(x －3)≥0}，T ＝{x |x ＞0}，则S ∩T ＝( ) A ．[2，3] B ．(－∞，2]∪[3，＋∞) C ．[3，＋∞)D ．(0，2]∪[3，＋∞)4．(2016·高考山东卷)设集合A ＝{y |y ＝2x ，x ∈R }，B ＝{x |x 2－1＜0}，则A ∪B ＝( ) A ．(－1，1) B ．(0，1) C ．(－1，＋∞)D ．(0，＋∞)5．(2016·高考浙江卷)命题“∀x ∈R ，∃n ∈N *，使得n ≥x 2”的否定形式是( ) A ．∀x ∈R ，∃n ∈N *，使得n <x 2 B ．∀x ∈R ，∀n ∈N *，使得n <x 2 C ．∃x ∈R ，∃n ∈N *，使得n <x 2 D ．∃x ∈R ，∀n ∈N *，使得n <x 26．(2016·高考北京卷)设a ，b 是向量．则“|a |＝|b |”是“|a ＋b |＝|a －b |”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件专题2 函 数1．(2016·高考全国卷乙)若a ＞b ＞1，0＜c ＜1，则( ) A ．a c ＜b c B ．ab c ＜ba c C ．a log b c ＜b log a cD ．log a c ＜log b c2．(2016·高考全国卷甲)已知函数f(x)(x ∈R )满足f (－x )＝2－f (x )，若函数y ＝x ＋1x 与y ＝f (x )图像的交点为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x m ，y m )，则∑i ＝1m(x i ＋y i )＝( )A ．0B ．mC ．2mD ．4m3．(2016·高考全国卷丙)已知a ＝243，b ＝425，c ＝2513，则( ) A ．b ＜a ＜c B ．a ＜b ＜c C ．b ＜c ＜aD ．c ＜a ＜b4．(2016·高考四川卷)某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入．若该公司2015年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是( )(参考数据：lg 1.12≈0.05，lg 1.3≈0.11，lg 2≈0.30) A.2018年 B ．2019年 C ．2020年D ．2021年5．(2016·高考全国卷乙)函数y ＝2x 2－e |x |在[－2，2]的图像大致为( )6．(2016·高考浙江卷)已知a ＞b ＞1.若log a b ＋log b a ＝52，a b ＝b a ，则a ＝______，b ＝____．7．(2016·高考浙江卷)已知a ≥3，函数F (x )＝min{2|x －1|，x 2－2ax ＋4a －2}，其中min{p ，q }＝⎩⎪⎨⎪⎧p ，p ≤q ，q ，p ＞q .(1)求使得等式F (x )＝x 2－2ax ＋4a －2成立的x 的取值范围； (2)①求F (x )的最小值m (a )；②求F (x )在区间[0，6]上的最大值M (a )．专题3 导数及其应用1．(2016·高考全国卷甲)若直线y ＝kx ＋b 是曲线y ＝ln x ＋2的切线，也是曲线y ＝ln(x ＋1)的切线，则b＝________．2．(2016·高考全国卷丙)已知f (x )为偶函数，当x ＜0时，f (x )＝ln(－x )＋3x ，则曲线y ＝f (x )在点(1，－3)处的切线方程是________．3．(2016·高考全国卷乙)已知函数f (x )＝(x －2)e x ＋a (x －1)2有两个零点． (1)求a 的取值范围；(2)设x 1，x 2是f (x )的两个零点，证明：x 1＋x 2<2.4．(2016·高考全国卷甲)(1)讨论函数f (x )＝x －2x ＋2e x 的单调性，并证明当x >0时，(x －2)e x ＋x ＋2＞0；(2)证明：当a ∈[0，1)时，函数g (x )＝e x －ax －ax 2(x ＞0)有最小值．设g (x )的最小值为h (a )，求函数h (a )的值域．5．(2016·高考全国卷丙)设函数f (x )＝αcos 2x ＋(α－1)(cos x ＋1)，其中α＞0，记|f (x )|的最大值为A . (1)求f ′(x )； (2)求A ； (3)证明|f ′(x )|≤2A .6．(2016·高考北京卷)设函数f (x )＝x e a －x ＋bx ，曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为y ＝(e －1)x ＋4.(1)求a ，b 的值； (2)求f (x )的单调区间．专题4 三角函数与解三角形1．(2016·高考全国卷甲)若cos ⎝⎛⎭⎫π4－α＝35，则sin 2α＝( ) A.725 B.15 C ．－15D ．－7252．(2016·高考全国卷丙)若tan α＝34，则cos 2α＋2sin 2α＝( )A.6425B.4825 C ．1D.16253．(2016·高考全国卷丙)在△ABC 中，B ＝π4，BC 边上的高等于13BC ，则cos A ＝( )A.31010B.1010C ．－1010D ．－310104．(2016·高考天津卷)在△ABC 中，若AB ＝13，BC ＝3，∠C ＝120°，则AC ＝( )A ．1B ．2C ．3D ．45．(2016·高考四川卷)为了得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3的图象，只需把函数y ＝sin 2x 的图象上所有的点( ) A ．向左平行移动π3个单位长度B ．向右平行移动π3个单位长度C ．向左平行移动π6个单位长度D ．向右平行移动π6个单位长度6．(2016·高考全国卷甲)若将函数y ＝2sin 2x 的图像向左平移π12个单位长度，则平移后图像的对称轴为( )A ．x ＝k π2－π6(k ∈Z )B ．x ＝k π2＋π6(k ∈Z )C ．x ＝k π2－π12(k ∈Z )D ．x ＝k π2＋π12(k ∈Z )7．(2016·高考全国卷乙)已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω＞0，||φ≤π2，x ＝－π4为f (x )的零点，x ＝π4为y ＝f (x )图像的对称轴，且f (x )在⎝⎛⎭⎫π18，5π36单调，则ω的最大值为( )A ．11B ．9C ．7D ．58．(2016·高考全国卷丙)函数y ＝sin x －3cos x 的图像可由函数y ＝sin x ＋3cos x 的图像至少向右平移________个单位长度得到．9．(2016·高考全国卷甲)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos A ＝45，cos C ＝513，a ＝1，则b ＝________．10．(2016·高考全国卷乙)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2cos C (a cos B ＋b cos A )＝c .(1)求C ；(2)若c ＝7，△ABC 的面积为332，求△ABC 的周长． 11．(2016·高考江苏卷)在△ABC 中，AC ＝6，cos B ＝45，C ＝π4.(1)求AB 的长； (2)求cos ⎝⎛⎭⎫A －π6的值．12．(2016·高考浙江卷)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知b ＋c ＝2a cos B . (1)证明：A ＝2B ；(2)若△ABC 的面积S ＝a 24，求角A 的大小．13．(2016·高考山东卷)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知2(tan A ＋tan B )＝tan A cos B ＋tan Bcos A .(1)证明：a ＋b ＝2c ； (2)求cos C 的最小值．专题5 平面向量、数系的扩充与复数的引入1．(2016·高考全国卷乙)设(1＋i)x ＝1＋y i ，其中x ，y 是实数，则|x ＋y i|＝( ) A ．1 B. 2 C. 3D ．22．(2016·高考全国卷甲)已知z ＝(m ＋3)＋(m －1)i 在复平面内对应的点在第四象限，则实数m 的取值范围是( )A ．(－3，1)B ．(－1，3)C ．(1，＋∞)D ．(－∞，－3)3．(2016·高考全国卷甲)已知向量a ＝(1，m )，b ＝(3，－2)，且(a ＋b )⊥b ，则m ＝( ) A ．－8 B ．－6 C ．6D ．84．(2016·高考全国卷丙)若z ＝1＋2i ，则4i z z －1＝( )A ．1B ．－1C ．iD ．－i5．(2016·高考山东卷)已知非零向量m ，n 满足4|m |＝3|n |，cos 〈m ，n 〉＝13.若n ⊥(t m ＋n )，则实数t 的值为( )A ．4B ．－4 C.94D ．－946．(2016·高考全国卷丙)已知向量BA →＝⎝⎛⎭⎫12，32，BC →＝⎝⎛⎭⎫32，12，则∠ABC ＝( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．120°7．(2016·高考全国卷乙)设向量a ＝(m ，1)，b ＝(1，2)，且|a ＋b |2＝|a |2＋|b |2，则m ＝________．8．(2016·高考天津卷)已知a ，b ∈R ，i 是虚数单位．若(1＋i)(1－b i)＝a ，则ab的值为________．专题6 数 列1．(2016·高考全国卷乙)已知等差数列{a n }前9项的和为27，a 10＝8，则a 100＝( ) A ．100 B ．99 C ．98D ．972．(2016·高考天津卷)设{a n }是首项为正数的等比数列，公比为q ，则“q <0”是“对任意的正整数n ，a 2n －1＋a 2n <0”的( )A ．充要条件B ．充分而不必要条件C ．必要而不充分条件D ．既不充分也不必要条件3．(2016·高考全国卷乙)设等比数列{a n }满足a 1＋a 3＝10，a 2＋a 4＝5，则a 1a 2…a n 的最大值为________． 4．(2016·高考浙江卷)设数列{a n }的前n 项和为S n .若S 2＝4，a n ＋1＝2S n ＋1，n ∈N *，则a 1＝________，S 5＝________．5．(2016·高考全国卷甲)S n 为等差数列{a n }的前n 项和，且a 1＝1，S 7＝28.记b n ＝[lg a n ]，其中[x ]表示不超过x 的最大整数，如[0.9]＝0，[lg 99]＝1.(1)求b 1，b 11，b 101；(2)求数列{b n }的前1 000项和．6．(2016·高考全国卷丙)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝1＋λa n ，其中λ≠0. (1)证明{a n }是等比数列，并求其通项公式； (2)若S 5＝3132，求λ.7．(2016·高考四川卷)已知数列{a n }的首项为1，S n 为数列{a n }的前n 项和，S n ＋1＝qS n ＋1，其中q >0，n ∈N *.(1)若2a 2，a 3，a 2＋2成等差数列，求数列{a n }的通项公式；(2)设双曲线x 2－y 2a 2n ＝1的离心率为e n ，且e 2＝53，证明：e 1＋e 2＋…＋e n >4n －3n 3n －1.专题7 不等式、推理与证明1．(2016·高考全国卷丙)定义“规范01数列”{a n }如下：{a n }共有2m 项，其中m 项为0，m 项为1，且对任意k ≤2m ，a 1，a 2，…，a k 中0的个数不少于1的个数．若m ＝4，则不同的“规范01数列”共有( )A ．18个B ．16个C ．14个D ．12个2．(2016·高考北京卷)袋中装有偶数个球，其中红球、黑球各占一半．甲、乙、丙是三个空盒．每次从袋中任意取出两个球，将其中一个球放入甲盒，如果这个球是红球，就将另一个球放入乙盒，否则就放入丙盒．重复上述过程，直到袋中所有球都被放入盒中，则( )A ．乙盒中黑球不多于丙盒中黑球B ．乙盒中红球与丙盒中黑球一样多C ．乙盒中红球不多于丙盒中红球D ．乙盒中黑球与丙盒中红球一样多3．(2016·高考天津卷)设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2≥0，2x ＋3y －6≥0，3x ＋2y －9≤0，则目标函数z ＝2x ＋5y 的最小值为( )A ．－4B ．6C ．10D ．174．(2016·高考浙江卷)在平面上，过点P 作直线l 的垂线所得的垂足称为点P 在直线l 上的投影．由区域⎩⎪⎨⎪⎧x －2≤0，x ＋y ≥0，x －3y ＋4≥0中的点在直线x ＋y －2＝0上的投影构成的线段记为AB ，则|AB |＝( ) A ．2 2 B ．4 C ．3 2D ．65．(2016·高考全国卷丙)若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≥0，x －2y ≤0，x ＋2y －2≤0，则z ＝x ＋y 的最大值为____．6．(2016·高考全国卷乙)某高科技企业生产产品A 和产品B 需要甲、乙两种新型材料．生产一件产品A 需要甲材料1.5 kg ，乙材料1 kg ，用5个工时；生产一件产品B 需要甲材料0.5 kg ，乙材料0.3 kg ，用3个工时．生产一件产品A 的利润为2 100元，生产一件产品B 的利润为900元．该企业现有甲材料150 kg ，乙材料90 kg ，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A 、产品B 的利润之和的最大值为________元．7．(2016·高考全国卷甲)有三张卡片，分别写有1和2，1和3，2和3.甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是________．专题8 立体几何1．(2016·高考浙江卷)已知互相垂直的平面α，β交于直线l ，若直线m ，n 满足m ∥α，n ⊥β，则( ) A ．m ∥l B ．m ∥n C ．n ⊥lD ．m ⊥n2．(2016·高考全国卷乙)如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径．若该几何体的体积是28π3，则它的表面积是( )A ．17πB ．18πC ．20πD ．28π3．(2016·高考全国卷甲)如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为( )A ．20πB ．24πC ．28πD ．32π4．(2016·高考全国卷丙)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为( )A ．18＋36 5B ．54＋18 5C ．90D ．815．(2016·高考全国卷丙)在封闭的直三棱柱ABC -A 1B 1C 1内有一个体积为V 的球．若AB ⊥BC ，AB ＝6，BC ＝8，AA 1＝3，则V 的最大值是( )A ．4π B.9π2 C ．6πD.32π36．(2016·高考全国卷乙)平面α过正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的顶点A ，α∥平面CB 1D 1，α∩平面ABCD ＝m ，α∩平面ABB1A1＝n，则m，n所成角的正弦值为()A.32 B.22C.33 D.137．(2016·高考全国卷甲)α，β是两个平面，m，n是两条直线，有下列四个命题：①如果m⊥n，m⊥α，n∥β，那么α⊥β.②如果m⊥α，n∥α，那么m⊥n.③如果α∥β，m⊂α，那么m∥β.④如果m∥n，α∥β，那么m与α所成的角和n与β所成的角相等．其中正确的命题有________．(填写所有正确命题的编号)8．(2016·高考全国卷乙)如图，在以A，B，C，D，E，F为顶点的五面体中，面ABEF为正方形，AF＝2FD，∠AFD＝90°，且二面角D-AF-E与二面角C-BE-F都是60°.(1)证明：平面ABEF⊥平面EFDC；(2)求二面角E-BC-A的余弦值．9．(2016·高考全国卷甲)如图，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O，AB＝5，AC＝6，点E，F分别在AD，CD上，AE＝CF＝54，EF交BD于点H.将△DEF沿EF折到△D′EF的位置，OD′＝10.(1)证明：D′H⊥平面ABCD；(2)求二面角B-D′A-C的正弦值．10．(2016·高考全国卷丙)如图，四棱锥P-ABCD中，P A⊥底面ABCD，AD∥BC，AB＝AD＝AC＝3，P A ＝BC＝4，M为线段AD上一点，AM＝2MD，N为PC的中点．(1)证明MN∥平面P AB；(2)求直线AN 与平面PMN 所成角的正弦值． 11．(2016·高考江苏卷)如图，在直三棱柱ABC A 1B 1C 1中，D ，E 分别为AB ，BC 的中点，点F 在侧棱B 1B 上，且B 1D ⊥A 1F ，A 1C 1⊥A 1B 1.求证：(1)直线DE ∥平面A 1C 1F ； (2)平面B 1DE ⊥平面A 1C 1F.专题9 平面解析几何1．(2016·高考全国卷甲)圆x 2＋y 2－2x －8y ＋13＝0的圆心到直线ax ＋y －1＝0的距离为1，则a ＝( ) A ．－43B ．－34C. 3D ．22．(2016·高考全国卷乙)已知方程x 2m 2＋n －y 23m 2－n ＝1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n的取值范围是( )A ．(－1，3)B ．(－1，3)C ．(0，3)D ．(0，3)3．(2016·高考全国卷乙)以抛物线C 的顶点为圆心的圆交C 于A ，B 两点，交C 的准线于D ，E 两点．已知|AB |＝42，|DE |＝25，则C 的焦点到准线的距离为( )A ．2B ．4C ．6D ．84．(2016·高考全国卷甲)已知F 1，F 2是双曲线E ：x 2a 2－y 2b 2＝1的左，右焦点，点M 在E 上，MF 1与x 轴垂直，sin ∠MF 2F 1＝13，则E 的离心率为( )A. 2B.32C. 3D ．25．(2016·高考全国卷丙)已知O 为坐标原点，F 是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点，A ，B 分别为C的左，右顶点．P 为C 上一点，且PF ⊥x 轴．过点A 的直线l 与线段PF 交于点M ，与y 轴交于点E .若直线BM 经过OE 的中点，则C 的离心率为( )A.13B.12C.23D.346．(2016·高考天津卷)已知双曲线x 24－y 2b 2＝1(b >0)，以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于A ，B ，C ，D 四点，四边形ABCD 的面积为2b ，则双曲线的方程为( )A.x 24－3y 24＝1 B.x 24－4y 23＝1 C.x 24－y 24＝1 D.x 24－y 212＝1 7．(2016·高考全国卷丙)已知直线l ：mx ＋y ＋3m －3＝0与圆x 2＋y 2＝12交于A ，B 两点，过A ，B 分别作l 的垂线与x 轴交于C ，D 两点．若|AB |＝23，则|CD |＝________．8．(2016·高考浙江卷)若抛物线y 2＝4x 上的点M 到焦点的距离为10，则M 到y 轴的距离是________． 9．(2016·高考全国卷乙)设圆x 2＋y 2＋2x －15＝0的圆心为A ，直线l 过点B (1，0)且与x 轴不重合，l 交圆A 于C ，D 两点，过B 作AC 的平行线交AD 于点E .(1)证明|EA |＋|EB |为定值，并写出点E 的轨迹方程；(2)设点E 的轨迹为曲线C 1，直线l 交C 1于M ，N 两点，过B 且与l 垂直的直线与圆A 交于P ，Q 两点，求四边形MPNQ 面积的取值范围．10．(2016·高考全国卷甲)已知椭圆E ：x 2t ＋y 23＝1的焦点在x 轴上，A 是E 的左顶点，斜率为k (k >0)的直线交E 于A ，M 两点，点N 在E 上，MA ⊥NA .(1)当t ＝4，|AM |＝|AN |时，求△AMN 的面积； (2)当2|AM |＝|AN |时，求k 的取值范围．11．(2016·高考全国卷丙)已知抛物线C ：y 2＝2x 的焦点为F ，平行于x 轴的两条直线l 1，l 2分别交C 于A ，B 两点，交C 的准线于P ，Q 两点．(1)若F 在线段AB 上，R 是PQ 的中点，证明AR ∥FQ ；(2)若△PQF 的面积是△ABF 的面积的两倍，求AB 中点的轨迹方程．12．(2016·高考北京卷)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为32，A (a ，0)，B (0，b )，O (0，0)，△OAB 的面积为1.(1)求椭圆C 的方程；(2)设P 是椭圆C 上一点，直线P A 与y 轴交于点M ，直线PB 与x 轴交于点N . 求证：|AN |·|BM |为定值．专题10 计数原理、概率、随机变量及其分布1．(2016·高考全国卷乙)某公司的班车在7：30，8：00，8：30发车，小明在7：50至8：30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是( )A.13B.12C.23D.342．(2016·高考全国卷甲)如图，小明从街道的E 处出发，先到F 处与小红会合，再一起到位于G 处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为( )A ．24B ．18C ．12D ．93．(2016·高考全国卷甲)从区间[0，1]随机抽取2n 个数x 1，x 2，…，x n ，y 1，y 2，…，y n ，构成n 个数对(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )，其中两数的平方和小于1的数对共有m 个，则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近似值为( )A.4n mB.2n mC.4m nD.2m n4．(2016·高考全国卷乙)(2x ＋x )5的展开式中，x 3的系数是________．(用数字填写答案)5．(2016·高考四川卷)同时抛掷两枚质地均匀的硬币，当至少有一枚硬币正面向上时，就说这次试验成功，则在2次试验中成功次数X 的均值是________．6．(2016·高考天津卷)⎝⎛⎭⎫x 2－1x 8的展开式中x 7的系数为________．(用数字作答) 7．(2016·高考全国卷乙)某公司计划购买2台机器，该种机器使用三年后即被淘汰．机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元．在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元．现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状图：以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率，记X 表示2台机器三年内共需更换的易损零件数，n 表示购买2台机器的同时购买的易损零件数．(1)求X 的分布列；(2)若要求P (X ≤n )≥0.5，确定n 的最小值；(3)以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据，在n ＝19与n ＝20之中选其一，应选用哪个？ 8．(2016·高考全国卷甲)某险种的基本保费为a (单位：元)，继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下：上年度出险次数0 1 2 3 4 ≥5 保费0.85aa1.25a1.5a1.75a2a设该险种一续保人一年内出险次数与相应概率如下：一年内出险次数0 1 2 3 4 ≥5 概率0.300.150.200.200.100.05(1)求一续保人本年度的保费高于基本保费的概率；(2)若一续保人本年度的保费高于基本保费，求其保费比基本保费高出60%的概率； (3)求续保人本年度的平均保费与基本保费的比值．9．(2016·高考山东卷)甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语，在一轮活动中，如果两人都猜对，则“星队”得3分；如果只有一人猜对，则“星队”得1分；如果两人都没猜对，则“星队”得0分．已知甲每轮猜对的概率是34，乙每轮猜对的概率是23；每轮活动中甲、乙猜对与否互不影响，各轮结果亦互不影响．假设“星队”参加两轮活动，求：(1)“星队”至少猜对3个成语的概率；(2)“星队”两轮得分之和X 的分布列和数学期望EX .专题11 统计、统计案例及算法初步1．(2016·高考全国卷乙)执行如图所示的程序框图，如果输入的x ＝0，y ＝1，n ＝1，则输出x ，y 的值满足( )A．y＝2x B．y＝3xC．y＝4x D．y＝5x2．(2016·高考全国卷甲)中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，如图是实现该算法的程序框图．执行该程序框图，若输入的x＝2，n＝2，依次输入的a为2，2，5，则输出的s＝()A．7 B．12C．17 D．343．(2016·高考全国卷丙)某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中各月平均最高气温和平均最低气温的雷达图．图中A点表示十月的平均最高气温约为15 ℃，B点表示四月的平均最低气温约为5 ℃.下面叙述不正确的是()A．各月的平均最低气温都在0 ℃以上B．七月的平均温差比一月的平均温差大C．三月和十一月的平均最高气温基本相同D．平均最高气温高于20 ℃的月份有5个4．(2016·高考全国卷丙)执行如图所示的程序框图，如果输入的a＝4，b＝6，那么输出的n＝()A ．3B ．4C ．5D ．65．(2016·高考天津卷)某小组共10人，利用假期参加义工活动．已知参加义工活动次数为1，2，3的人数分别为3，3，4.现从这10人中随机选出2人作为该组代表参加座谈会．(1)设A 为事件“选出的2人参加义工活动次数之和为4”，求事件A 发生的概率；(2)设X 为选出的2人参加义工活动次数之差的绝对值，求随机变量X 的分布列和数学期望． 6．(2016·高考全国卷丙)下图是我国2008年至2014年生活垃圾无害化处理量(单位：亿吨)的折线图．注：年份代码1－7分别对应年份2008－2014.(1)由折线图看出，可用线性回归模型拟合y 与t 的关系，请用相关系数加以说明； (2)建立y 关于t 的回归方程(系数精确到0.01)，预测2016年我国生活垃圾无害化处理量． 附注：参考数据：∑i ＝17y i ＝9.32,∑i ＝17y i ＝40.17,∑i ＝17（y i －y ）2＝0.55，7≈2.646.参考公式：相关系数r ＝∑i ＝1n（t i －t ）（y i －y ）∑i ＝1n（t i －t ）2∑i ＝1n（y i －y ）2，回归方程y ^＝a ^＋b ^t 中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：b ^＝∑i ＝1n（t i －t ）（y i －y ）∑i ＝1n（t i －t ）2，a ^＝y －b ^t .专题12 选考部分选修4－1 几何证明选讲1．(2016·高考全国卷乙)如图，△OAB 是等腰三角形，∠AOB ＝120°.以O 为圆心，12OA 为半径作圆．(1)证明：直线AB 与⊙O 相切；(2)点C ，D 在⊙O 上，且A ，B ，C ，D 四点共圆，证明：AB ∥CD .2.(2016·高考全国卷甲)如图，在正方形ABCD 中，E ，G 分别在边DA ，DC 上(不与端点重合)，且DE ＝DG ，过D 点作DF ⊥CE ，垂足为F.(1)证明：B ，C ，G ，F 四点共圆；(2)若AB ＝1，E 为DA 的中点，求四边形BCGF 的面积．3．(2016·高考全国卷丙)如图，⊙O 中AB ︵的中点为P ，弦PC ，PD 分别交AB 于E ，F 两点．(1)若∠PFB ＝2∠PCD ，求∠PCD 的大小；(2)若EC 的垂直平分线与FD 的垂直平分线交于点G ，证明OG ⊥CD .4．(2016·高考江苏卷)如图，在△ABC 中，∠ABC ＝90°，BD ⊥AC ，D 为垂足，E 是BC 的中点．求证：∠EDC ＝∠ABD . 选修4－4 坐标系与参数方程1．(2016·高考北京卷)在极坐标系中，直线ρcos θ－3ρsin θ－1＝0与圆ρ＝2cos θ交于A ，B 两点，则|AB |＝________．2．(2016·高考全国卷乙)在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos t ，y ＝1＋a sin t ，(t 为参数，a ＞0)．在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2：ρ＝4cos θ.(1)说明C 1是哪一种曲线，并将C 1的方程化为极坐标方程；(2)直线C 3的极坐标方程为θ＝α0，其中α0满足tan α0＝2，若曲线C 1与C 2的公共点都在C 3上，求a . 3．(2016·高考全国卷甲)在直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为(x ＋6)2＋y 2＝25. (1)以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C 的极坐标方程；(2)直线l 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t cos α，y ＝t sin α(t 为参数)，l 与C 交于A ，B 两点，|AB |＝10，求l 的斜率．4．(2016·高考全国卷丙)在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3cos αy ＝sin α(α为参数)．以坐标原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρsin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝2 2. (1)写出C 1的普通方程和C 2的直角坐标方程；(2)设点P 在C 1上，点Q 在C 2上，求|PQ |的最小值及此时P 的直角坐标．5．(2016·高考江苏卷)在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝1＋12t ，y ＝32t(t 为参数)，椭圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)．设直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，求线段AB 的长．选修4－5 不等式选讲1．(2016·高考全国卷乙)已知函数f (x )＝|x ＋1|－|2x －3|. (1)画出y ＝f (x )的图像； (2)求不等式|f (x )|＞1的解集．2．(2016·高考全国卷甲)已知函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪x －12＋⎪⎪⎪⎪x ＋12，M 为不等式f (x )＜2的解集． (1)求M ；(2)证明：当a ，b ∈M 时，|a ＋b |＜|1＋ab |. 3．(2016·高考全国卷丙)已知函数f (x )＝|2x －a |＋a . (1)当a ＝2时，求不等式f (x )≤6的解集；(2)设函数g (x )＝|2x －1|.当x ∈R 时，f (x )＋g (x )≥3，求a 的取值范围． 4．(2016·高考江苏卷)设a >0，|x －1|<a 3，|y －2|<a3，求证：|2x ＋y －4|<a .参考答案与解析 专题1 集合与常用逻辑用语1．解析：选D.由题意得，A ＝{x |1＜x ＜3}，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ＞32，则A ∩B ＝⎝⎛⎭⎫32，3.选D. 2．解析：选C.由已知可得B ＝{x |(x ＋1)(x －2)＜0，x ∈Z }＝{x |－1＜x ＜2，x ∈Z }＝{0，1}，所以A ∪B ＝{0，1，2，3}，故选C.3．解析：选D.集合S ＝(－∞，2]∪[3，＋∞)，结合数轴，可得S ∩T ＝(0，2]∪[3，＋∞)．4．解析：选C.法一：(通性通法)集合A 表示函数y ＝2x 的值域，故A ＝(0，＋∞)．由x 2－1＜0，得－1＜x ＜1，故B ＝(－1，1)．所以A ∪B ＝(－1，＋∞)．故选C.法二：(光速解法)由函数y ＝2x 的值域可知，选项A ，B 不正确；由02－1＜0可知，0∈B ，故0∈A ∪B ，故排除选项D ，选C.5．解析：选D.根据含有量词的命题的否定的概念可知．6．解析：选D.取a ＝－b ≠0，则|a |＝|b |≠0，|a ＋b |＝|0|＝0，|a －b |＝|2a |≠0，所以|a ＋b |≠|a －b |，故由|a |＝|b |推不出|a ＋b |＝|a －b |.由|a ＋b |＝|a －b |, 得|a ＋b|2＝|a －b |2，整理得a ·b ＝0，所以a ⊥b ，不一定能得出|a |＝|b |, 故由|a ＋b |＝|a －b |推不出|a |＝|b |.故“|a |＝|b |”是“|a ＋b |＝|a －b |”的既不充分也不必要条件．故选D.专题2 函 数1．解析：选C.对于选项A ，考虑幂函数y ＝x c ，因为c ＞0，所以y ＝x c 为增函数，又a ＞b ＞1，所以a c＞b c，A 错．对于选项B ，ab c＜ba c⇔⎝⎛⎭⎫b a c＜b a ，又y ＝⎝⎛⎭⎫b a x是减函数，所以B 错．对于选项D ，由对数函数的性质可知D 错，故选C.2．解析：选B.因为f (x )＋f (－x )＝2，y ＝x ＋1x ＝1＋1x ，所以函数y ＝f (x )与y ＝x ＋1x 的图像都关于点(0，1)对称，所以∑i ＝1mx i =0, ∑i ＝1my i ＝m2×2＝m ，故选B.3．解析：选A.因为a ＝243＝1613，b ＝425＝1615，c ＝2513，且幂函数y ＝x 13在R 上单调递增，指数函数y ＝16x在R 上单调递增，所以b ＜a ＜c .4．解析：选B.根据题意，知每年投入的研发资金增长的百分率相同，所以，从2015年起，每年投入的研发资金组成一个等比数列{a n }，其中，首项a 1＝130，公比q ＝1＋12%＝1.12，所以a n ＝130×1.12n －1.由130×1.12n －1>200，两边同时取对数，得n －1>lg 2－lg 1.3lg 1.12，又lg 2－lg 1.3lg 1.12≈0.30－0.110.05＝3.8，则n >4.8，即a 5开始超过200，所以2019年投入的研发资金开始超过200万元，故选B.5．解析：选D.当x ≥0时，令函数f (x )＝2x 2－e x ，则f ′(x )＝4x －e x ，易知f ′(x )在[0，ln 4)上单调递增，在[ln 4，2]上单调递减，又f ′(0)＝－1＜0，f ′⎝⎛⎭⎫12＝2－e ＞0，f ′(1)＝4－e ＞0，f ′(2)＝8－e 2＞0，所以存在x 0∈⎝⎛⎭⎫0，12是函数f (x )的极小值点，即函数f (x )在(0，x 0)上单调递减，在(x 0，2)上单调递增，且该函数为偶函数，符合条件的图像为D.6．解析：由于a ＞b ＞1，则log a b ∈(0，1)，因为log a b ＋log b a ＝52，即log a b ＋1log a b ＝52，所以log a b ＝12或log a b ＝2(舍去)，所以a 12＝b ，即a ＝b 2，所以a b ＝(b 2)b ＝b 2b ＝b a ，所以a ＝2b ，b 2＝2b ，所以b ＝2(b ＝0舍去)，a ＝4.答案：4 27．解：(1)由于a ≥3，故当x ≤1时，(x 2－2ax ＋4a －2)－2|x －1|＝x 2＋2(a －1)(2－x )＞0， 当x ＞1时，(x 2－2ax ＋4a －2)－2|x －1|＝(x －2)(x －2a )．所以使得等式F (x )＝x 2－2ax ＋4a －2成立的x 的取值范围为[2，2a ]． (2)①设函数f (x )＝2|x －1|， g (x )＝x 2－2ax ＋4a －2，则f (x )min ＝f (1)＝0，g (x )min ＝g (a )＝－a 2＋4a －2， 所以由F (x )的定义知 m (a )＝min{f (1)，g (a )}，即m (a )＝⎩⎨⎧0，3≤a ≤2＋2，－a 2＋4a －2，a ＞2＋ 2.②当0≤x ≤2时，F (x )＝f (x )≤max{f (0)，f (2)}＝2＝F (2)， 当2≤x ≤6时，F (x )＝g (x )≤max{g (2)，g (6)}＝max{2，34－8a }＝max{F (2)，F (6)}．所以M (a )＝⎩⎪⎨⎪⎧34－8a ，3≤a ＜4，2，a ≥4.专题3 导数及其应用1．解析：设y ＝kx ＋b 与y ＝ln x ＋2和y ＝ln(x ＋1)的切点分别为(x 1，ln x 1＋2)和(x 2，ln(x 2＋1))． 则切线分别为y －ln x 1－2＝1x 1(x －x 1)，y －ln(x 2＋1)＝1x 2＋1(x －x 2)，化简得y ＝1x 1x ＋ln x 1＋1，y ＝1x 2＋1x －x 2x 2＋1＋ln(x 2＋1)，依题意，⎩⎨⎧1x 1＝1x 2＋1，ln x 1＋1＝－x2x 2＋1＋ln （x 2＋1），解得x 1＝12，从而b ＝ln x 1＋1＝1－ln 2.答案：1－ln 22．解析：由题意可得当x ＞0时，f (x )＝ln x －3x ，则f ′(x )＝1x －3，f ′(1)＝－2，则在点(1，－3)处的切线方程为y ＋3＝－2(x －1)，即y ＝－2x －1.答案：y ＝－2x －13．解：(1)f ′(x )＝(x －1)e x ＋2a (x －1)＝(x －1)(e x ＋2a )． (ⅰ)设a ＝0，则f (x )＝(x －2)e x ，f (x )只有一个零点．(ⅱ)设a ＞0，则当x ∈(－∞，1)时，f ′(x )＜0，当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )＞0，所以f (x )在(－∞，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增．又f (1)＝－e ，f (2)＝a ，取b 满足b ＜0且b ＜ln a 2，则f (b )＞a2(b －2)＋a (b －1)2＝a ⎝⎛⎭⎫b 2－32b ＞0， 故f (x )存在两个零点．(ⅲ)设a ＜0，由f ′(x )＝0得x ＝1或x ＝ln(－2a )．若a ≥－e2，则ln(－2a )≤1，故当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )＞0，因此f (x )在(1，＋∞)上单调递增．又当x ≤1时f (x )＜0， 所以f (x )不存在两个零点．若a ＜－e2，则ln(－2a )＞1，故当x ∈(1，ln(－2a ))时，f ′(x )＜0；当x ∈(ln(－2a )，＋∞)时，f ′(x )＞0.因此f (x )在(1，ln(－2a ))上单调递减，在(ln(－2a )，＋∞)上单调递增．又当x ≤1时，f (x )＜0，所以f (x )不存在两个零点．综上，a 的取值范围为(0，＋∞)．(2)不妨设x 1＜x 2.由(1)知，x 1∈(－∞，1)，x 2∈(1，＋∞)，2－x 2∈(－∞，1)，又f (x )在(－∞，1)上单调递减，所以x 1＋x 2＜2等价于f (x 1)＞f (2－x 2)，即f (2－x 2)＜0.由于f (2－x 2)＝－x 2e2－x 2＋a (x 2－1)2，而f (x 2)＝(x 2－2)e x 2＋a (x 2－1)2＝0， 所以f (2－x 2)＝－x 2e2－x 2－(x 2－2)e x 2. 设g (x )＝－x e 2－x －(x －2)e x ，则g ′(x )＝(x －1)(e 2－x －e x )．所以当x ＞1时，g ′(x )＜0，而g (1)＝0，故当x ＞1时，g (x )＜0.从而g (x 2)＝f (2－x 2)＜0，故x 1＋x 2＜2.4．解：(1)f (x )的定义域为(－∞，－2)∪(－2，＋∞)． f ′(x )＝（x －1）（x ＋2）e x －（x －2）e x （x ＋2）2＝x 2e x（x ＋2）2≥0，且仅当x ＝0时，f ′(x )＝0，所以f (x )在(－∞，－2)，(－2，＋∞)上单调递增． 因此当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＞f (0)＝－1. 所以(x －2)e x ＞－(x ＋2)，(x －2)e x ＋x ＋2＞0. (2)g ′(x )＝（x －2）e x ＋a （x ＋2）x 3＝x ＋2x3(f (x )＋a )．由(1)知，f (x )＋a 单调递增．对任意的a ∈[0，1)，f (0)＋a ＝a －1＜0，f (2)＋a ＝a ≥0.因此，存在唯一x a∈(0，2]，使得f (x a )＋a ＝0，即g ′(x a )＝0.当0＜x ＜x a 时，f (x )＋a ＜0，g ′(x )＜0，g (x )单调递减； 当x ＞x a 时，f (x )＋a ＞0，g ′(x )＞0，g (x )单调递增． 因此g (x )在x ＝x a 处取得最小值，最小值为g (x a )＝e xa －a （x a ＋1）x 2a ＝e xa ＋f （x a ）（x a ＋1）x 2a＝e xax a ＋2. 于是h (a )＝e xa x a ＋2，由⎝⎛⎭⎫e x x ＋2′＝（x ＋1）e x （x ＋2）2＞0，得e x x ＋2单调递增． 所以，由x a ∈(0，2]，得12＝e 00＋2＜h (a )＝e xa x a ＋2≤e 22＋2＝e 24.因为e x x ＋2单调递增，对任意的λ∈⎝⎛⎦⎤12，e 24，存在唯一的x a ∈(0，2]，a ＝－f (x a )∈[0，1)，使得h (a )＝λ，所以h (a )的值域是⎝⎛⎦⎤12，e 24.综上，当a ∈[0，1)时，g (x )有最小值h (a )，h (a )的值域是⎝⎛⎦⎤12，e 24. 5．解：(1)f ′(x )＝－2αsin 2x －(α－1)sin x . (2)当α≥1时，|f (x )|＝|αcos 2x ＋(α－1)(cos x ＋1)| ≤α＋2(α－1) ＝3α－2＝f (0)． 因此A ＝3α－2.当0＜α＜1时，将f (x )变形为f (x )＝2αcos 2x ＋(α－1)cos x －1. 令g (t )＝2αt 2＋(α－1)t －1，则A 是|g (t )|在[－1，1]上的最大值，g (－1)＝α，g (1)＝3α－2，且当t ＝1－α4α时，g (t )取得极小值，极小值为g ⎝⎛⎭⎫1－α4α＝－α2＋6α＋18α.令－1＜1－α4α＜1，得α＞15.(i)当0＜α≤15时，g (t )在[－1，1]内无极值点，|g (－1)|＝α，|g (1)|＝2－3α，|g (－1)|＜|g (1)|，所以A ＝2－3α.(ii)当15＜α＜1时，由g (－1)－g (1)＝2(1－α)＞0，知g (－1)＞g (1)＞g ⎝⎛⎭⎫1－α4α.又⎪⎪⎪⎪g ⎝⎛⎭⎫1－α4α－|g (－1)|＝（1－α）（1＋7α）8α＞0，所以A ＝⎪⎪⎪⎪g ⎝⎛⎭⎫1－α4α＝α2＋6α＋18α.综上，A ＝⎩⎨⎧2－3α，0＜α≤15，α2＋6α＋18α，15＜α＜1，3α－2，α≥1.(3)证明：由(1)得|f ′(x )|＝|－2αsin 2x －(α－1)sin x |≤2α＋|α－1|. 当0＜α≤15时，|f ′(x )|≤1＋α≤2－4α＜2(2－3α)＝2A .当15＜α＜1时，A ＝α8＋18α＋34＞1，所以|f ′(x )|≤1＋α＜2A . 当α≥1时，|f ′(x )|≤3α－1≤6α－4＝2A . 所以|f ′(x )|≤2A .6．解：(1)因为f (x )＝x e a －x ＋bx ，所以f ′(x )＝(1－x )e a －x ＋b .依题设，⎩⎪⎨⎪⎧f （2）＝2e ＋2，f ′（2）＝e －1，即⎩⎪⎨⎪⎧2e a －2＋2b ＝2e ＋2，－e a －2＋b ＝e －1，解得a ＝2，b ＝e. (2)由(1)知f (x )＝x e 2－x ＋e x .由f ′(x )＝e 2－x (1－x ＋e x －1)及e 2－x ＞0知，f ′(x )与1－x ＋e x－1同号．令g (x )＝1－x ＋e x －1，则g ′(x )＝－1＋e x －1.所以当x ∈(－∞，1)时，g ′(x )＜0，g (x )在区间(－∞，1)上单调递减； 当x ∈(1，＋∞)时，g ′(x )＞0，g (x )在区间(1，＋∞)上单调递增． 故g (1)＝1是g (x )在区间(－∞，＋∞)上的最小值， 从而g (x )＞0，x ∈(－∞，＋∞)． 综上可知，f ′(x )＞0，x ∈(－∞，＋∞)． 故f (x )的单调递增区间为(－∞，＋∞)．专题4 三角函数与解三角形1．解析：选D.因为cos ⎝⎛⎭⎫π4－α＝cos π4cos α＋sin π4sin α＝22(sin α＋cos α)＝35，所以sin α＋cos α＝325，所以1＋sin 2α＝1825，所以sin 2α＝－725，故选D.2．解析：选A.法一：(通性通法)由tan α＝sin αcos α＝34，cos 2α＋sin 2α＝1，得⎩⎨⎧sin α＝35，cos α＝45或⎩⎨⎧sin α＝－35，cos α＝－45，则sin 2α＝2sin αcos α＝2425，则cos 2α＋2sin 2α＝1625＋4825＝6425.法二：(光速解法)cos 2α＋2sin 2α＝cos 2α＋4sin αcos αcos 2α＋sin 2α＝1＋4tan α1＋tan 2α＝1＋31＋916＝6425.3．解析：选C.设△ABC 中角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，由题意可得13a ＝c sin π4＝22c ，则a ＝322c .在△ABC 中，由余弦定理可得b 2＝a 2＋c 2－2ac ＝92c 2＋c 2－3c 2＝52c 2，则b ＝102c .由余弦定理，可得cos A＝b 2＋c 2－a 22bc ＝52c 2＋c 2－92c22×102c ×c＝－1010，故选C.4．解析：选A.设△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，则a ＝3，c ＝13，∠C ＝120°，由余弦定理得13＝9＋b 2＋3b ，解得b ＝1，即AC ＝1.5．解析：选D.因为y ＝sin ⎝⎛⎫2x －π3＝sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎫x －π6，所以只需把函数y ＝sin 2x 的图象上所有的点向右平行移动π6个单位长度即可，故选D.6．解析：选B.函数y ＝2sin 2x 的图像向左平移π12个单位长度，得到的图像对应的函数表达式为y ＝2sin2⎝⎛⎭⎫x ＋π12，令2⎝⎛⎭⎫x ＋π12＝k π＋π2(k ∈Z )，解得x ＝k π2＋π6(k ∈Z )，所以所求对称轴的方程为x ＝k π2＋π6(k ∈Z )，故选B.7．解析：选B.因为x ＝－π4为函数f (x )的零点，x ＝π4为y ＝f (x )图像的对称轴，所以π2＝kT 2＋T4(k ∈Z ，T 为周期)，得T ＝2π2k ＋1(k ∈Z )．又f (x )在⎝⎛⎭⎫π18，5π36单调，所以T ≥π6，k ≤112，又当k ＝5时，ω＝11，φ＝－π4，f (x )在⎝⎛⎭⎫π18，5π36不单调；当k ＝4时，ω＝9，φ＝π4，f (x )在⎝⎛⎭⎫π18，5π36单调，满足题意，故ω＝9，即ω的最大值为9.8．解析：函数y ＝sin x －3cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x －π3的图像可由函数y ＝sin x ＋3cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3的图像至少向右平移2π3个单位长度得到．答案：2π39．解析：法一：因为cos A ＝45，cos C ＝513，所以sin A ＝35，sin C ＝1213，从而sin B ＝sin(A ＋C )＝sin A cos C ＋cos A sin C ＝35×513＋45×1213＝6365.由正弦定理a sin A ＝b sin B ，得b ＝a sin B sin A ＝2113. 法二： 因为cos A ＝45，cos C ＝513，所以sin A ＝35，sin C ＝1213，从而cos B ＝－cos(A ＋C )＝－cos A cos C＋sin A sin C ＝－45×513＋35×1213＝1665.由正弦定理a sin A ＝c sin C ，得c ＝a sin C sin A ＝2013.由余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cosB ，得b ＝2113.法三：因为cos A ＝45，cos C ＝513，所以sin A ＝35，sin C ＝1213，由正弦定理a sin A ＝c sin C ，得c ＝a sin C sin A ＝2013.从而b ＝a cos C ＋c cos A ＝2113.法四：如图，作BD ⊥AC 于点D ，由cos C ＝513，a ＝BC ＝1，知CD ＝513，BD ＝1213.又cos A ＝45，所以tan A ＝34，从而AD ＝1613.故b ＝AD ＋DC ＝2113.答案：211310．解：(1)由已知及正弦定理得， 2cos C (sin A cos B ＋sin B cos A )＝sin C ， 2cos C sin(A ＋B )＝sin C ， 故2sin C cos C ＝sin C . 可得cos C ＝12，所以C ＝π3.(2)由已知，12ab sin C ＝332.又C ＝π3，所以ab ＝6.由已知及余弦定理得，a 2＋b 2－2ab cos C ＝7， 故a 2＋b 2＝13，从而(a ＋b )2＝25. 所以△ABC 的周长为5＋7.11．解：(1)因为cos B ＝45，0<B <π，所以sin B ＝1－cos 2B ＝1－⎝⎛⎭⎫452＝35.由正弦定理知AC sin B ＝AB sin C ，所以AB ＝AC ·sin Csin B ＝6×2235＝5 2.(2)在△ABC 中，A ＋B ＋C ＝π，所以A ＝π－(B ＋C )， 于是cos A ＝－cos(B ＋C )＝－cos ⎝⎛⎭⎫B ＋π4 ＝－cos B cos π4＋sin B sin π4，又cos B ＝45，sin B ＝35，故cos A ＝－45×22＋35×22＝－210.因为0<A <π，所以sin A ＝1－cos 2A ＝7210.因此， cos ⎝⎛⎭⎫A －π6＝cos A cos π6＋sin A sin π6＝－210×32＋7210×12＝72－620. 12．解：(1)证明：由正弦定理得 sin B ＋sin C ＝2sin A cos B ， 故2sin A cos B ＝sin B ＋sin(A ＋B )＝sin B ＋sin A cos B ＋cos A sin B ，于是sin B ＝sin(A －B )． 又A ，B ∈(0，π)，故0＜A －B ＜π，所以， B ＝π－(A －B )或B ＝A －B ， 因此A ＝π(舍去)或A ＝2B ， 所以A ＝2B .(2)由S ＝a 24，得12ab sin C ＝a 24，故有sin B sin C ＝12sin 2B ＝sin B cos B ，因为sin B ≠0，所以sin C ＝cos B ， 又B ，C ∈(0，π)，所以C ＝π2±B .当B ＋C ＝π2时，A ＝π2；当C －B ＝π2时，A ＝π4.综上，A ＝π2或A ＝π4.13．解：(1)证明：由题意知2⎝⎛⎭⎫sin A cos A ＋sin B cos B ＝sin A cos A cos B ＋sin B cos A cos B ， 化简得2(sin A cos B ＋sin B cos A )＝sin A ＋sin B ， 即2sin(A ＋B )＝sin A ＋sin B ， 因为A ＋B ＋C ＝π.所以sin(A ＋B )＝sin(π－C )＝sin C . 从而sin A ＋sin B ＝2sin C . 由正弦定理得a ＋b ＝2c . (2)由(1)知c ＝a ＋b2，所以cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝a 2＋b 2－⎝⎛⎭⎫a ＋b 222ab＝38⎝⎛⎭⎫a b ＋b a －14≥12， 当且仅当a ＝b 时，等号成立． 故cos C 的最小值为12.专题5 平面向量、数系的扩充与复数的引入1．解析：选B.因为(1＋i)x ＝x ＋x i ＝1＋y i ，所以x ＝y ＝1，|x ＋y i|＝|1＋i|＝12＋12＝2，选B.2．解析：选A.由已知可得复数z 在复平面内对应的点的坐标为(m ＋3，m －1)，所以⎩⎪⎨⎪⎧m ＋3＞0，m －1＜0，解得－3＜m ＜1，故选A.3．解析：选D.由向量的坐标运算得a ＋b ＝(4，m －2)，由(a ＋b )⊥b ，得(a ＋b )·b ＝12－2(m －2)＝0，解得m ＝8，故选D.4．解析：选C.4i z z －1＝4i（1＋2i ）（1－2i ）－1＝i.5．解析：选B.由n ⊥(t m ＋n )可得n ·(t m ＋n )＝0， 即t m·n ＋n 2＝0，所以t ＝－n 2m·n ＝－n 2|m |·|n |cos 〈m ，n 〉＝－|n |2|m |×|n |×13＝－3×|n ||m |＝－3×43＝－4.故选B.6．解析：选A.由两向量的夹角公式，可得cos ∠ABC ＝BA →·BC →|BA →|·|BC →|＝12×32＋32×121×1＝32，则∠ABC ＝30°.7．解析：由|a ＋b |2＝|a |2＋|b |2得a ⊥b ，则m ＋2＝0， 所以m ＝－2. 答案：2专题6 数 列1．解析：选C.设等差数列{a n }的公差为d ，因为{a n }为等差数列，且S 9＝9a 5＝27，所以a 5＝3.又a 10＝8，解得5d ＝a 10－a 5＝5，所以d ＝1，所以a 100＝a 5＋95d ＝98，选C.2．解析：选C.由题意得，a n ＝a 1q n －1(a 1>0)，a 2n －1＋a 2n ＝a 1q 2n －2＋a 1q 2n －1＝a 1q 2n －2(1＋q )．若q <0，因为1＋q 的符号不确定，所以无法判断a 2n －1＋a 2n 的符号；反之，若a 2n －1＋a 2n <0，即a 1q 2n －2(1＋q )<0，可得q <－1<0.故“q <0”是“对任意的正整数n ，a 2n －1＋a 2n <0”的必要而不充分条件，故选C.3．解析：设{a n }的公比为q ，由a 1＋a 3＝10，a 2＋a 4＝5得a 1＝8，q ＝12，则a 2＝4，a 3＝2，a 4＝1，a 5＝12，所以a 1a 2…a n ≤a 1a 2a 3a 4＝64.答案：644．解析：由于⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 2＝4a 2＝2a 1＋1，解得a 1＝1.由a n ＋1＝S n ＋1－S n ＝2S n ＋1，得S n ＋1＝3S n ＋1，所以S n ＋1＋12＝3⎝⎛⎭⎫S n ＋12，所以{S n ＋12}是以32为首项，3为公比的等比数列，所以S n ＋12＝32×3n －1，即S n ＝3n－12，所以S 5＝121. 答案：1 1215．解：(1)设{a n }的公差为d ，据已知有7＋21d ＝28，解得d ＝1. 所以{a n }的通项公式为a n ＝n .b 1＝[lg 1]＝0，b 11＝[lg 11]＝1，b 101＝[lg 101]＝2.(2)因为b n＝⎩⎪⎨⎪⎧0，1≤n ＜10，1，10≤n ＜100，2，100≤n ＜1 000，3，n ＝1 000，所以数列{b n }的前1 000项和为1×90＋2×900＋3×1＝1 893. 6．解：(1)由题意得a 1＝S 1＝1＋λa 1，故λ≠1，a 1＝11－λ，a 1≠0.由S n ＝1＋λa n ，S n ＋1＝1＋λa n ＋1得a n ＋1＝λa n ＋1－λa n ，即a n ＋1(λ－1)＝λa n .由a 1≠0，λ≠0且λ≠1得a n ≠0， 所以a n ＋1a n ＝λλ－1.因此{a n }是首项为11－λ，公比为λλ－1的等比数列，于是a n ＝11－λ⎝⎛⎭⎫λλ－1n －1.(2)由(1)得S n ＝1－⎝⎛⎭⎫λλ－1n.由S 5＝3132得1－⎝⎛⎭⎫λλ－15＝3132，即⎝⎛⎭⎫λλ－15＝132.解得λ＝－1.7．解：(1)由已知，S n ＋1＝qS n ＋1，S n ＋2＝qS n ＋1＋1，两式相减得到a n ＋2＝qa n ＋1，n ≥1. 又由S 2＝qS 1＋1得到a 2＝qa 1，。

中档题满分练(三)1．已知向量a ＝(2sin x ，－cos x )，b ＝(3cos x ，2cos x )，f (x )＝a·b ＋1.(1)求函数f (x )的最小正周期，并求当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π12，2π3时f (x )的取值范围；(2)将函数f (x )的图象向左平移π3个单位，得到函数g (x )的图象，在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若g ⎝ ⎛⎭⎪⎫A 2＝1，a ＝2，b ＋c ＝4，求△ABC 的面积．2.某市随机抽取部分企业调查年上缴税收情况(单位：万元)，将所得数据绘制成频率分布直方图(如图)，年上缴税收范围是[0，100]，样本数据分组为[0，20)，[20，40)，[40，60)，[60，80)，[80，100]．(1)求直方图中x 的值；(2)如果年上缴税收不少于60万元的企业可申请政策优惠，若共抽取企业1 200个，试估计有多少企业可以申请政策优惠；(3)从企业中任选4个，这4个企业年上缴税收少于20万元的个数记为X ，求X 的分布列和数学期望．(以直方图中的频率作为概率)3．等边三角形ABC 的边长为3，点D 、E 分别是边AB 、AC 上的点，且满足AD DB ＝CE EA ＝12(如图)，将△ADE 沿DE 折起到△A 1DE 的位置，使二面角A 1－DE －B 成直二面角，连接A 1B 、A 1C . (1)求证：A 1D ⊥平面BCED ；(2)在线段BC 上是否存在点P ，使直线P A 1与平面A 1BD 所成的角为60°？若存在，求出PB 的长，若不存在，请说明理由．4．(2015·无锡质检)各项均为正数的数列{a n }的前n 项和为S n ，已知点(a n －1，a n )(n ∈N *，n ≥2)在函数y ＝3x 的图象上，且S 4＝80. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)在a n 与a n ＋1之间插入n 个数，使这n ＋2个数组成公差为d n 的等差数列，设数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1d n 的前n 项和为P n .①求P n ；②若16P n ＋6n 3n ≤40027成立，求n 的最大正整数值．中档题满分练(三)1．解 (1)f (x )＝a·b ＋1＝23sin x cos x －2cos 2x ＋1 ＝3sin 2x －cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6∴f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π.当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π12，2π3时，－π3≤2x －π6≤76π，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，1，因此f (x )的取值范围是[－3，2]．(2)依题意，g (x )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＝2cos 2x . 由g ⎝ ⎛⎭⎪⎫A 2＝1，得2cos A ＝1，∴cos A ＝12，∵0＜A ＜π，∴A ＝π3，在△ABC 中，a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝(b ＋c )2－3bc ∴4＝42－3bc ，则bc ＝4，故S △ABC ＝12bc sin A ＝12×4×sin π3＝ 3.2．解 (1)由频率分布直方图，得20x ＋0.025×20＋0.0 065×20＋0.003×20×2＝1.∴x ＝0.0 125.(2)企业年上缴税收不少于60万元的频率为0.003×20×2＝0.12， ∴1 200×0.12＝144(个)．因此1 200个企业中估计有144个可申请政策优惠． (3)法一 ∵X 的可能取值为0，1，2，3，4.由直方图可知，每个企业上缴税收少于20万元的概率为14，P (X ＝0)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫344＝81256，P (X ＝1)＝C 14⎝ ⎛⎭⎪⎫141⎝ ⎛⎭⎪⎫343＝2764，P (X ＝2)＝C 24⎝ ⎛⎭⎪⎫142⎝ ⎛⎭⎪⎫342＝27128， P (X ＝3)＝C 34⎝ ⎛⎭⎪⎫143⎝ ⎛⎭⎪⎫34＝364， P (X ＝4)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫144＝1256.E (X )＝0×81256＋1×2764＋2×27128＋3×364＋4×1256＝1. 法二 X 可能取值为0，1，2，3，4，由(1)可得某个企业缴税收少于20万元的概率为14，因此X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫4，14，所以分布列为P (x ＝k )＝C k 4⎝ ⎛⎭⎪⎫14k ⎝⎛⎭⎪⎫1－144－k(k ＝0，1，2，3，4)， ∴E (X )＝4×14＝1.3．(1)证明 因为等边△ABC 的边长为3，且AD DB ＝CE EA ＝12， 所以AD ＝1，AE ＝2. 在△ADE 中，∠DAE ＝60°，由余弦定理得DE ＝12＋22－2×1×2×cos 60°＝ 3. 因为AD 2＋DE 2＝AE 2，所以AD ⊥DE ，折叠后A 1D ⊥DE .因为二面角A 1－DE －B 是直二面角，所以平面A 1DE ⊥BCED . 又平面A 1DE ∩平面BCED ＝DE ，A 1D ⊂平面A 1DE ，A 1D ⊥DE ，又BD ∩DE ＝D ，所以A 1D ⊥平面BCED .(2)解 由(1)可知ED ⊥DB ，A 1D ⊥平面BCED .则DB ，DE ，DA 1两两垂直，以D 为坐标原点，以射线DB 、DE 、DA 1分别为x 轴、y 轴、z 轴的正半轴，建立空间直角坐标系D －xyz ，如图．作PH ⊥BD 于H ，连结A 1H .设PB ＝2a (0≤2a ≤3)．则BH ＝a ，PH ＝3a ，DH ＝2－a .所以A 1(0，0，1)，P (2－a ，3a ，0)，E (0，3，0)． 所以P A 1→＝(a －2，－3a ，1)，因为ED ⊥平面A 1BD ，所以平面A 1BD 的一个法向量为DE →＝(0，3，0)，因为直线P A 1与平面A 1BD 所成的角为60°， 所以sin 60°＝|P A →1·DE →||P A →1||DE →|＝3a 4a 2－4a ＋5×3＝32. 解得a ＝54，即PB ＝2a ＝52，满足0≤2a ≤3，所以在线段BC 上存在点P ，使得直线P A 1与平面A 1BD 所成的角为60°，此时线段PB ＝52.4．解 (1)依题意，a n ＝3a n －1(n ∈N *，n ≥2)， ∴数列{a n }为等比数列，且公比q ＝3. 又S 4＝a 1（1－34）1－3＝80，∴a 1＝2.因此数列{a n }的通项公式a n ＝2·3n －1. (2)①由(1)知，a n ＋1＝2·3n ，依题意，d n ＝2·3n －2·3n －1n ＋1＝4·3n －1n ＋1，1d n ＝n ＋14·3n －1.∴P n ＝24×1＋34×3＋44×32＋…＋n ＋14×3n －1，(*)则13P n ＝24×3＋34×32＋…＋n 4×3n －1＋n ＋14·3n ，(**)(*)－(**)，23P n ＝12＋14⎝ ⎛⎭⎪⎫13＋132＋…＋13n －1－n ＋14·3n ＝12＋14·13⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13n －11－13－n ＋14·3n ＝58－2n ＋58·3n .∴P n ＝1516－2n ＋516·3n －1.因此16P n ＋6n 3n ＝15－2n ＋53n －1＋6n 3n ＝15－153n ，解不等式15－153n ≤40027，3n ≤81，则n ≤4. 所以n 的最大正整数为4.薄雾浓云愁永昼， 瑞脑消金兽。

2016年普通高等学校招生全国统一考试（全国II ）数学（理科）第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． （1）【2016年全国Ⅱ，理1，5分】已知(3)(1)i z m m =++-在复平面内对应的点在第四象限，则实数m 取值范围是（ ） （A ）()31-， （B ）()13-， （C ）()1,∞+ （D ）()3∞--， 【答案】A【解析】∴30m +>，10m -<，∴31m -<<，故选A ． （2）【2016年全国Ⅱ，理2，5分】已知集合{}1,23A =,，{}|(1)(2)0B x x x x =+-<∈Z ，，则A B = （ ）（A ）{}1 （B ）{12}， （C ）{}0123，，， （D ）{}10123-，，，， 【答案】C【解析】()(){}120Z B x x x x =+-<∈，{}12Z x x x =-<<∈，，∴{}01B =，，{}0123A B = ，，，，所以选C ．（3）【2016年全国Ⅱ，理3，5分】已知向量()()1,3,2a m b ==- ，，且()a b b +⊥，则m =（ ）（A ）8- （B ）6- （C ）6 （D ）8 【答案】D【解析】由柱形图得，从2006年以来，我国二氧化硫排放量呈下降趋势，故年排放量与年份负相关． （4）【2016年全国Ⅱ，理4，5分】圆2228130x y x y +--+=的圆心到直线10ax y +-= 的距离为1，则a =（ ）（A ）43- （B ）34- （C （D ）2【答案】A【解析】圆2228130x y x y +--+=化为标准方程为：()()22144x y -+-=，故圆心为()14，，1d =，解得43a =-，故选A ．（5）【2016年全国Ⅱ，理5，5分】如图，小明从街道的E 处出发，先到F处与小红会合，再一起到位于G 处的老年公寓参加志愿者活动，则 小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为（ ）（A ）24 （B ）18 （C ）12 （D ）9 【答案】B【解析】E F →有6种走法，F G →有3种走法，由乘法原理知，共6318⨯=种走法，故选B ． （6）【2016年全国Ⅱ，理6，5分】右图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为（ ）（A ）20π （B ）24π （C ）28π （D ）32π 【答案】C【解析】几何体是圆锥与圆柱的组合体，设圆柱底面圆半径为r ，周长为c ，圆锥母线长为l ，圆柱高为h ．由图得2r =，2π4πc r ==，由勾股定理得：4l ==，21π2S r ch cl =++表4π16π8π=++28π=，故选C ．（7）【2016年全国Ⅱ，理7，5分】若将函数2sin 2y x =的图像向左平移π12个单位长度，则平移后图象的对称轴为( )（A ）()ππ26k x k =-∈Z （B ）()ππ26k x k =+∈Z （C ）()ππ212k x k =-∈Z （D ）()ππ212k x k =+∈Z【答案】B【解析】平移后图像表达式为π2sin 212y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，令ππ2π+122x k ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，得对称轴方程：()ππ26Z k x k =+∈，故选B ．（8）【2016年全国Ⅱ，理8，5分】中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，右图是实现该算法的程序框图.执行该程序框图，若输入的2x =，2n =，依次输入的a 为2，2，5，则输出的s =（ ） （A ）7 （B ）12 （C ）17 （D ）34 【答案】C【解析】第一次运算：0222s =⨯+=，第二次运算：2226s =⨯+=，第三次运算：62517s =⨯+=，故选C ．（9）【2016年全国Ⅱ，理9，5分】若π3cos 45α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则sin 2α=（ ）（A ）725 （B ）15 （C ） 15- （D ）725-【答案】D【解析】∵3cos 45πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，2ππ7sin 2cos 22cos 12425ααα⎛⎫⎛⎫=-=--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故选D ．（10）【2016年全国Ⅱ，理10，5分】从区间[]0,1随机抽取2n 个数1x ，2x ，…，n x ，1y ，2y ，…，n y ，构成n 个数对()11,x y ，()22,x y ，…，(),n n x y ，其中两数的平方和小于1的数对共有m 个，则用随机模拟的方法得到的圆周率π 的近似值为（ ）（A ）4n m （B ）2n m（C ）4m n （D ）2m n【答案】C【解析】由题意得：()()12i i x y i n =⋅⋅⋅，，，，在如图所示方格中，而平方和小于1的点均在如图所示的 阴影中由几何概型概率计算公式知π41m n=，∴4πmn=，故选C ．（11）【2016年全国Ⅱ，理11，5分】已知1F ，2F 是双曲线E ：22221x y a b-=的左，右焦点，点M 在E 上，1MF 与x 轴垂直，sin 2113MF F ∠=，则E 的离心率为（ ）（A（B ）32（C（D ）2【答案】A【解析】离心率1221F F e MF MF =-，由正弦定理得122112sin 3sin sin 13F F M e MF MF F F ====---，故选A ． （12）【2016年全国Ⅱ，理12，5分】已知函数()()f x x ∈R 满足()()2f x f x -=-，若函数1x y x+=与()y f x =图像的交点为()11x y ，，()22x y ，，⋯，()m m x y ，，则()1mi i i x y =+=∑（ ）（A ）0 （B ）m （C ）2m （D ）4m 【答案】B【解析】由()()2f x f x =-得()f x 关于()01，对称，而111x y x x+==+也关于()01，对称，∴对于每一组对称点 '0i i x x += '=2i i y y +，∴()111022m m mi i i i i i i mx y x y m ===+=+=+⋅=∑∑∑，故选B ．第II 卷本卷包括必考题和选考题两部分．第（13）题~第（21）题为必考题，每个试题考生都必须作答．第（22）题~第（24）题为选考题，考生根据要求作答．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上（13）【2016年全国Ⅱ，理13，5分】ABC △的内角A B C ，，的对边分别为a b c ，，，若4c o s 5A =，5cos 13C =，1a =，则b =______．【答案】2113【解析】∵4cos 5A =，5cos 13C =，3sin 5A =，12sin 13C =，()63sin sin sin cos cos sin 65B A C A C A C =+=+=，由正弦定理得：sin sin b a B A =解得2113b =． （14）【2016年全国Ⅱ，理14，5分】α，β是两个平面，m ，n 是两条线，有下列四个命题：①如果m n ⊥，m α⊥，n β∥，那么αβ⊥． ②如果m α⊥，n α∥，那么m n ⊥． ③如果a β∥，m α⊂，那么m β∥．④如果m n ∥，αβ∥，那么m 与α所成的角和n 与β所成的角相等． 其中正确的命题有 ．(填写所有正确命题的编号） 【答案】②③④ 【解析】． （15）【2016年全国Ⅱ，理15，5分】有三张卡片，分别写有1和2，1和3，2和3．甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是_______． 【答案】()1,3【解析】由题意得：丙不拿()2,3，若丙()1,2，则乙()2,3，甲()1,3满足，若丙()1,3，则乙()2,3，甲()1,2不满足，故甲()1,3． （16）【2016年全国Ⅱ，理16，5分】若直线y kx b =+是曲线ln 2y x =+的切线，也是曲线()ln 1y x =+的切线，b = _______．【答案】1ln2-【解析】ln 2y x =+的切线为：111ln 1y x x x =⋅++（设切点横坐标为1x ），()ln 1y x =+的切线为： ()22221ln 111x y x x x x =++-++，∴()122122111ln 1ln 11x x x x x x ⎧=⎪+⎪⎨⎪+=+-⎪+⎩，解得112x = 212x =-，∴1ln 11ln 2b x =+=-．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． （17）【2016年全国Ⅱ，理17，12分】n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，且11a =，728S =．记[]lg n n b a =，其中[]x 表示不超过x 的最大整数，如[]0.90=，[]lg991=．（1）求1b ，11b ，101b ；（2）求数列{}n b 的前1000项和．解：（1）设{}n a 的公差为d ，74728S a ==，∴44a =，∴4113a a d -==，∴1(1)n a a n d n =+-=． ∴[][]11lg lg10b a ===，[][]1111lg lg111b a ===，[][]101101101lg lg 2b a ===．（2）记{}n b 的前n 项和为n T ，则1000121000T b b b =++⋅⋅⋅+[][][]121000lg lg lg a a a =++⋅⋅⋅+．当0lg 1n a <≤时，129n =⋅⋅⋅，，，；当1lg 2n a <≤时，101199n =⋅⋅⋅，，，；当2lg 3n a <≤时，100101999n =⋅⋅⋅，，，；当lg 3n a =时，1000n =． ∴1000091902900311893T =⨯+⨯+⨯+⨯=．（18）【2016年全国Ⅱ，理18，12分】某险种的基本保费为a （单位：元），继续购买该险种的投保人称为续保（1（2）若一续保人本年度的保费高于基本保费，求其保费比基本保费高出60%的概率． （3）求续保人本年度的平均保费与基本保费的比值． 解：（1）设续保人本年度的保费高于基本保费为事件A ，()1()1(0.300.15)0.55P A P A =-=-+=． （2）设续保人保费比基本保费高出60%为事件B ，()0.100.053()()0.5511P AB P B A P A +===． （30.2550.150.250.30.1750.1 1.23a a a a a a a =+++++=，∴平均保费与基本保费比值为1.23．（19）【2016年全国Ⅱ，理19，12分】如图，菱形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O ，5AB =，6AC =，点E ，F 分别在AD ，CD 上，54AE CF ==，EF 交BD 于点H ．将DEF ∆沿EF 折到D EF '∆的位置OD '=（1）证明：DH'⊥平面ABCD ； （2）求二面角B D A C '--的正弦值．解：（1）∵54AE CF ==，∴AE CF AD CD =，∴EF AC ∥．∵四边形ABCD 为菱形，∴AC BD ⊥，∴EF BD ⊥， ∴EF D H ⊥，∴EF DH '⊥．∵6AC =，∴3AO =；又5AB =，AO OB ⊥，∴4OB =，∴1AEOH OD AO=⋅=，∴3DH D H '==，∴222'OD OH D H '=+，∴'D H OH ⊥．又∵OH EF H =I ，∴'D H ⊥面ABCD ． （2）建立如图坐标系H xyz -．()500B ，，，()130C ，，，()'003D ，，， ()130A -，，，()430AB =u u u r ，，，()'133AD =-u u u r ，，，()060AC =u u u r，，，设面'ABD 法向量()1n x y z =，，u r ，由1100n AB n AD ⎧⋅=⎪⎨'⋅=⎪⎩得430330x y x y z +=⎧⎨-++=⎩， 取345x y z =⎧⎪=-⎨⎪=⎩，∴()1345n =-u r ，，．同理可得面'AD C 的法向量()2301n =u u r ，，， ∴1212cos n n n nθ⋅===u r u u r u r u u r sin θ=． （20）【2016年全国Ⅱ，理20，12分】已知椭圆E :2213x y t +=的焦点在x 轴上，A 是E的左顶点，斜率为(0)k k > 的直线交E 于A ，M 两点，点N 在E 上，MA NA ⊥． （1）当4t =，AM AN =时，求AMN ∆的面积；（2）当2AM AN =时，求k 的取值范围．解：（1）当4t =时，椭圆E 的方程为22143x y +=，A 点坐标为()20-，，则直线AM 的方程为()2y k x =+．联立()221432x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩并整理得，()2222341616120k x k x k +++-=，解得2x =-或228634k x k -=-+，则222861223434k AM k k -=+=++，因为AM AN ⊥，所以21212413341AN k k k =⎛⎫++⋅- ⎪⎝⎭，因为AM AN =，0k >，212124343k k k=++，整理得()()21440k k k --+=，2440k k -+=无实根，所以1k =． 所以AMN △的面积为221112144223449AM ⎫==⎪+⎭． （2）直线AM的方程为(y k x =+，联立(2213x y t y k x ⎧+=⎪⎨⎪=⎩并整理得，()222223230tk x x t k t +++-=，解得x =x =AM ==所以3AN k k =+，因为2AM AN =，所以23k k=+，整理得， 23632k k t k -=-．因为椭圆E 的焦点在x 轴，所以3t >，即236332k k k ->-，整理得()()231202k k k +-<-，2k <．（21）【2016年全国Ⅱ，理21，12分】（1）讨论函数2(x)e 2xx f x -=+的单调性，并证明当0x >时，(2)e 20x x x -++>；（2）证明：当[0,1)a ∈ 时，函数()2e =(0)x ax ag x x x --> 有最小值.设()g x 的最小值为()h a ，求函数()h a的值域．解：（1）()2e 2x x f x x -=+，()()()22224e e 222x xx x f x x x x ⎛⎫-' ⎪=+= ⎪+++⎝⎭，∵当x ∈()()22,-∞--+∞ ，时，()0f x '>， ∴()f x 在()()22,-∞--+∞，和上单调递增，∴0x >时，()2e 0=12xx f x ->-+，∴()2e 20x x x -++>． （2）()()()24e 2e x x a x x ax a g x x ----'=()4e 2e 2x xx x ax a x -++=()322e 2x x x a x x-⎛⎫+⋅+ ⎪+⎝⎭= [)01a ∈， 由（1）知，当0x >时，()2e 2x x f x x -=⋅+的值域为()1-+∞，，只有一解．使得2e 2tt a t -⋅=-+，(]02t ∈， 当(0,)x t ∈时()0g x '<，()g x 单调减；当(,)x t ∈+∞时()0g x '>，()g x 单调增()()()222e 1e e 1e 22tt t t t t a t t h a t t t -++⋅-++===+，记()e 2t k t t =+，在(]0,2t ∈时，()()()2e 102t t k t t +'=>+， ∴()k t 单调递增，∴()()21e 24h a k t ⎛⎤=∈ ⎥⎝⎦，．请考生在（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做第一个 题目计分，做答时请写清题号． （22）【2016年全国Ⅱ，理22，10分】（选修4-1：几何证明选讲）如图，在正方形ABCD ，E ，G分别在边DA ，DC 上（不与端点重合），且DE DG =，过D 点作DF CE ⊥，垂足为F ． （1）证明：B C G F ，，，四点共圆；（2）若1AB =，E 为DA 的中点，求四边形BCGF 的面积．解：（1）∵DF CE ⊥，∴Rt Rt DEF CED △∽△，∴GDF DEF BCF ∠=∠=∠，DF CFDG BC=， ∵DE DG =，CD BC =，∴DF CFDG BC=，∴GDF BCF △∽△，∴CFB DFG ∠=∠， ∴90GFB GFC CFB GFC DFG DFC ∠=∠+∠=∠+∠=∠=︒，∴180GFB GCB ∠+∠=︒． ∴B ，C ，G ，F 四点共圆．（2）∵E 为AD 中点，1AB =，∴12DG CG DE ===，∴在Rt GFC △中，GF GC =，连接GB ，Rt Rt BCG BFG △≌△，∴1112=21=222BCG BCGF S S =⨯⨯⨯△四边形．（23）【2016年全国Ⅱ，理23，10分】（选修4-4：坐标系与参数方程）在直线坐标系xOy 中，圆C 的方程为()22625x y ++=．（1）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C 的极坐标方程；（2）直线l 的参数方程是cos sin x t y t αα=⎧⎨=⎩（t 为参数），l 与C 交于A B 、两点，AB =l 的斜率．解：（1）整理圆的方程得2212110x y +++=，由222cos sin x y x y ρρθρθ⎧=+⎪=⎨⎪=⎩可知圆C 的极坐标方程为212cos 110ρρθ++=．（2）记直线的斜率为k ，则直线的方程为0kx y -=，由垂径定理及点到直线距离公式知：22369014k k =+，整理得253k =，则k = （24）【2016年全国Ⅱ，理24，10分】（选修4-5：不等式选讲）已知函数()1122f x x x =-++，M 为不等式()2f x <的解集．（1）求M ；（2）证明：当a ，b M ∈时，1a b ab +<+．解：（1）当12x <-时，()11222f x x x x =---=-，若112x -<<-；当1122x -≤≤时，()111222f x x x =-++=<恒成立；当12x >时，()2f x x =，若()2f x <，112x <<．综上可得，{}|11M x x =-<<．（2）当()11a b ∈-，，时，有()()22110a b -->，即22221a b a b +>+，则2222212a b ab a ab b +++>++， 则()()221ab a b +>+，即1a b ab +<+，证毕．。

【创新教程】2016年高考数学大一轮复习 第二章 第12节 定积分概念及简单应用课时冲关 理 新人教A 版对应学生用书课时冲关(十五)第261页 一、选择题1．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，0≤x ≤1，1，1<x ≤2，则定积分⎠⎛02f (x )d x 等于( )A.83 B ．2 C.43D.13解析：⎠⎛02f (x )d x ＝⎠⎛01x 2d x ＋⎠⎛121d x＝13x 3|10＋x |21＝43. 故选C. 答案：C2．(2015·厦门模拟)设函数f (x )＝x m＋ax 的导函数f ′(x )＝2x ＋1，则⎠⎛12f (－x )d x 的值等于( )A.56B.12C.23D.16解析：f ′(x )＝mxm －1＋a ＝2x ＋1，得m ＝2，a ＝1，所以f (x )＝x 2＋x ，所以f (－x )＝x 2－x ，所以⎠⎛12f (－x )d x ＝⎠⎛12(x 2－x )d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3－12x 2|21＝56.故选A.答案：A3．如果1 N 的力能拉长弹簧1 cm ，为了将弹簧拉长6 cm ，所耗费的功为( ) A ．0.18 J B ．0.26 J C ．0.12 JD ．0.28 J解析：由物理知识F ＝kx 知，1＝0.01k ， ∴k ＝100 N/m ，则W ＝⎠⎛00.06 100x d x ＝50x 2|0.060＝0.18(J)．故选A. 答案：A4．(2015·合肥模拟)如图，由函数f (x )＝e x－e 的图象，直线x ＝2及x 轴所围成的阴影部分面积等于( )A ．e 2－2e －1 B ．e 2－2e C.e 2－e 2D ．e 2－2e ＋1解析：由已知得S ＝⎠⎛12f (x )d x ＝⎠⎛12(e x－e)d x ＝(e x－e x )|21＝(e 2－2e)－(e －e)＝e 2－2e.故选B.答案：B5．(2015·南昌模拟)若a ＝⎠⎛02x 2d x ，b ＝⎠⎛02x 3d x ，c ＝⎠⎛02sin x d x ，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．a ＜c ＜bB ．a ＜b ＜cC ．c ＜b ＜aD ．c ＜a ＜b解析：因为a ＝⎠⎛02x 2d x ＝13x 3|20＝83∈(2,3)，b ＝⎠⎛02x 3d x ＝14x 4|20＝4>3，c ＝⎠⎛02sin x d x＝(－cos x )|20＝1－cos 2＜2，所以c ＜a ＜b . 故选D. 答案：D6．一质点运动时速度与时间的关系为v (t )＝t 2－t ＋2，质点做直线运动，则此质点在时间[1,2]内的位移为( )A.176B.143C.136D.116解析：∵v (t )>0，∴质点在[1,2]内的位移s 即为v (t )在[1,2]上的定积分， ∴s ＝⎠⎛12v (t )d t ＝⎠⎛12(t 2－t ＋2)d t＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13t 3－12t 2＋2t | 21＝176.答案：A7．(2015·中山模拟)已知t ＞0，若⎠⎛0t (2x －1)d x ＝6，则t 的值等于( )A ．2B ．3C ．6D ．8解析：⎠⎛0t (2x －1)d x ＝(x 2－x )|t0＝t 2－t ，由t 2－t ＝6得t ＝3或t ＝－2(舍去)．故选B.答案：B8．由直线x ＋y －2＝0，曲线y ＝x 3以及x 轴围成的图形的面积为( ) A.43 B.54 C.56D.34解析：由题意得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2＝0，y ＝x 3，解得交点坐标是(1,1)．故由直线x ＋y －2＝0，曲线y ＝x 3以及x 轴围成的图形的面积为⎠⎛01x 3d x ＋⎠⎛12(2－x )d x ＝14x 4|10＋⎝⎛⎭⎪⎫2x －12x 2|21＝14＋12＝34.故选D. 答案：D9．(2015·石家庄模拟)已知等比数列{a n }，且a 4＋a 8＝⎠⎛024－x 2d x ，则a 6(a 2＋2a 6＋a 10)的值为( )A ．π2B ．4C ．πD ．－9π解析：∵a 4＋a 8＝π，∴a 6(a 2＋2a 6＋a 10)＝a 6a 2＋2a 26＋a 6a 10＝a 24＋2a 4a 8＋a 28＝(a 4＋a 8)2＝π2，故选A.答案：A10．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1(－1≤x <0)，cos x ⎝ ⎛⎭⎪⎫0≤x ≤π2的图象与x 轴所围成的封闭图形的面积为( )A.32 B ．1 C ．2D.12答案：A11．(2013·北京高考)直线l 过抛物线C ：x 2＝4y 的焦点且与y 轴垂直，则l 与C 所围成的图形的面积等于( )A.43 B ．2 C.83D.1623解析：由题意知抛物线的焦点坐标为F (0,1)，故直线l 的方程为y ＝1，该直线与抛物线在第一象限的交点坐标为(2,1)，根据对称性和定积分的几何意义可得所求的面积是2⎠⎛02⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 24d x ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －x 312|20＝83.答案：C12．(2015·珠海模拟)由曲线y ＝x 2和直线x ＝0，x ＝1，y ＝t 2(t 为常数且t ∈(0,1))所围成图形(阴影部分)面积的最小值为( )A.14B.13C.12D.23解析：由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2，y ＝t 2，x >0，得x ＝t .故S ＝⎠⎛0t (t 2－x 2)d x ＋⎠⎛t1(x 2－t 2)d x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫t 2x －13x 3|t 0＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3－t 2x |1t＝43t 3－t 2＋13， 令S ′＝4t 2－2t ＝0，因为0<t <1，所以t ＝12，易知当t ＝12时，S min ＝14，故选A.答案：A 二、填空题13．(2015·昆明模拟)⎠⎛23⎝⎛⎭⎪⎫x ＋1x 2d x ＝________.解析：⎠⎛23⎝⎛⎭⎪⎫x ＋1x 2d x ＝⎠⎛23⎝⎛⎭⎪⎫x ＋1x＋2d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2＋ln x ＋2x |32 ＝92＋ln 32. 答案：92＋ln 3214．(2015·南宁模拟)在同一坐标系中作出曲线xy ＝1和直线y ＝x 以及直线y ＝3的图象如图所示，曲线xy ＝1与直线y ＝x 和y ＝3所围成的平面图形的面积为________．解析：所求区域面积为S ＝⎠⎜⎛13113⎝ ⎛⎭⎪⎫3－1x d x ＋⎠⎛13(3－x )d x ＝4－ln 3. 答案：4－ln 315．已知曲线y ＝x 2与直线y ＝kx (k >0)所围成的曲边图形的面积为43，则k ＝________.解析：由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2，y ＝kx 得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝k ，y ＝k 2，则曲线y ＝x 2与直线y ＝kx (k ＞0)所围成的曲边梯形的面积为⎠⎛0k(kx －x 2)d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫k 2x 2－13x 3|k 0＝k 32－13k 3＝43，即k 3＝8，∴k ＝2.答案：216．(2015·成都模拟)函数y ＝⎠⎛0x (sin t ＋cos t sin t )d t 的最大值是________．解析：y ＝⎠⎛0x (sin t ＋cos t sin t )d t＝⎠⎛0x ⎝⎛⎭⎪⎫sin t ＋12sin 2t d t＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－cos t －14cos 2t |x＝－cos x －14cos 2x ＋54＝－cos x －14(2cos 2x －1)＋54＝－12cos 2x －cos x ＋32＝－12(cos x ＋1)2＋2≤2，当cos x ＝－1时取等号． 答案：2 [备课札记]————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————高考大题冲关导数综合应用的热点问题导数的综合应用是历年高考必考的热点，试题难度较大，多以压轴题形式出现，命题的热点主要有利用导数研究函数的单调性、极值、最值；利用导数研究不等式；利用导数研究方程的根(或函数的零点)；利用导数研究恒成立问题等．体现了分类讨论、数形结合、函数与方程、转化与化归的数学思想的运用．题型一利用导数研究函数性质综合问题对应学生用书理52页文49页[典例赏析1] (理科)(2014·重庆高考)已知函数f(x)＝a e2x－b e－2x－cx(a，b，c∈R)的导函数f′(x)为偶函数，且曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线的斜率为4－c.(1)确定a，b的值；(2)若c＝3，判断f(x)的单调性；(3)若f(x)有极值，求c的取值范围．[思维导引] (1)先求导函数f′(x)，再利用f′(x)为偶函数和曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线的斜率为4－c建立关于a，b的方程组求解；(2)把c＝3代入函数解析式，利用基本不等式求f′(x)的最小值，进而确定f′(x)的符号，从而确定函数f(x)的单调性；(3)对c分类，讨论方程f′(x)＝0是否有实根，从而确定极值．[解] (1)对f(x)求导得f′(x)＝2a e2x＋2b e－2x－c，由f′(x)为偶函数，知f′(－x)＝f′(x)，即2(a－b)(e2x－e－2x)＝0，所以a＝b.又f′(0)＝2a＋2b－c＝4－c，故a＝1，b＝1.(2)当c＝3时，f(x)＝e2x－e－2x－3x，那么f′(x)＝2e2x＋2e－2x－3≥22e2x·2e－2x－3＝1>0，故f(x)在R上为增函数．(3)由(1)知f′(x)＝2e2x＋2e－2x－c，而2e2x＋2e－2x≥22e2x·2e－2x＝4，当x＝0时等号成立．下面分三种情况进行讨论．当c<4时，对任意x∈R，f′(x)＝2e2x＋2e－2x－c>0，此时f(x)无极值；当c ＝4时，对任意x ≠0，f ′(x )＝2e 2x ＋2e－2x－4>0，此时f (x )无极值；当c >4时，令e 2x＝t ，注意到方程2t ＋2t －c ＝0有两根t 1＝c ＋c 2－164，t 2＝c ＋c 2－164，t 1t 2>0，即f ′(x )＝0有两个根x 1＝12ln t 1或x 2＝12ln t 2.当x 1<x <x 2时，f ′(x )<0； 又当x >x 2时，f ′(x )>0， 从而f (x )在x ＝x 2处取得极小值．综上，若f (x )有极值，则c 的取值范围为(4，＋∞)．[典例赏析1] (文科)(2014·广东高考)已知函数f (x )＝13x 3＋x 2＋ax ＋1(a ∈R )．(1)求函数f (x )的单调区间；(2)当a ＜0时，试讨论是否存在x 0∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12∪⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，使得f (x 0)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12. [思维导引] (1)由函数的导数与函数的单调性之间的关系求解；(2)先由a <0得函数的单调性，求得函数的最大值是f (0)或f (1)再讨论求解得答案．[解] (1)f ′(x )＝x 2＋2x ＋a ，方程x 2＋2x ＋a ＝0的判别式Δ＝4－4a ＝4(1－a )， 若a ≥1，则Δ≤0，f ′(x )＝x 2＋2x ＋a ≥0， ∴f (x )在R 上单调递增．若a <1，则Δ>0，方程x 2＋2x ＋a ＝0有两个不同的实数根，x 1＝－1－1－a ，x 2＝－1＋1－a ，当x <x 1或x >x 2时，f ′(x )>0； 当x 1<x <x 2时，f ′(x )<0， ∴f (x )的单调递增区间为()－∞，－1－1－a 和()－1＋1－a ，＋∞，单调递减区间为()－1－1－a ，－1＋1－a . (2)当a <0时，Δ>0，且f (0)＝1， f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝3124＋a2，f (1)＝73＋a ， 此时x 1<0，x 2>0，令x 2＝12得a ＝－54.①当－54<a <0时，x 1<0<x 2<12，f (x )在(0，x 2)上单调递减，在⎝⎛⎭⎪⎫x 2，12上单调递增，在⎝⎛⎭⎪⎫12，1上单调递增．(ⅰ)若－54<a <－712，则f (0)＝1>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12， ∴存在x 0，使得f (x 0)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12；(ⅱ)当－712≤a <0时，f (0)≤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12， ∴不存在x 0，使得f (x 0)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12；②当a ＝－54时，f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12上单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1上单调递增． ∴不存在x 0，使得f (x 0)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12.③当－2512<a <－54时，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12<f (1)， ∴存在x 0，使得f (x 0)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12.④当a ≤－2512时，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12≥f (1)， ∴不存在x 0，使得f (x 0)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12.综上，当a ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫－712，0∪⎩⎨⎧⎭⎬⎫－54∪⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－2512时，不存在x 0，使得f (x 0)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12； 当a ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－2512，－54∪⎝ ⎛⎭⎪⎫－54，－712时，存在x 0，使得f (x 0)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12.函数性质综合问题难点是函数单调性和极值、最值的分类讨论．(1)单调性讨论策略：单调性的讨论是以导数等于零的点为分界点，把函数定义域分段，在各段上讨论导数的符号，在不能确定导数等于零的点的相对位置时，还需要对导数等于零的点的位置关系进行讨论．(2)极值讨论策略：极值的讨论是以单调性的讨论为基础，根据函数的单调性确定函数的极值点．(3)最值讨论策略：图象连续的函数在闭区间上最值的讨论，是以函数在该区间上的极值和区间端点的函数值进行比较为标准进行的，在极值和区间端点函数值中最大的为最大值、最小的为最小值．1．(2015·呼伦贝尔市二模)已知函数f (x )＝1＋ln xx，(x ≥1)．(1)试判断函数f (x )的单调性，并说明理由； (2)若f (x )≥kx ＋1恒成立，求实数k 的取值范围．解：(1)f ′(x )＝－ln xx2.∵x ≥1，∴ln x ≥0，∴f ′(x )≤0，故f (x )在[1，＋∞)单调递减． (2)f (x )≥kx ＋1⇔(x ＋1)(1＋ln x )x≥k . 记g (x )＝(x ＋1)(1＋ln x )x，g ′(x )＝[(x ＋1)(1＋ln x )]′x －(x ＋1)(1＋ln x )x 2＝x －ln xx2.再令h (x )＝x －ln x 则h ′(x )＝1－1x.∵x ≥1则h (x )≥0，∴h (x )在[1，＋∞)上单调递增，∴[h (x )]min ＝h (1)＝1>0，从而g ′(x )>0，故g (x )在[1，＋∞)上也单调递增，∴[g (x )]min ＝g (1)＝2，∴k ≤2.题型二 利用导数证明不等式[典例赏析2] (2013·新课标全国高考Ⅱ)已知函数f (x )＝e x－ln(x ＋m )． (1)设x ＝0是f (x )的极值点，求m ，并讨论f (x )的单调性； (2)当m ≤2时，证明f (x )>0.[思维导引] (1)f ′(x )＝0解得m ，在f (x )的定义域内确定f ′(x )>0，f ′(x )<0的区间即得其单调区间；(2)m ≤2时，ln(x ＋m )≤ln(x ＋2)，只要f (x )＝e x－ln(x ＋2)>0即可，故只要f (x )min >0，确定函数f (x )的最小值点后论证其最小值大于0.[解] (1)解：f ′(x )＝e x－1x ＋m. 由x ＝0是f (x )的极值点得f ′(0)＝0，所以m ＝1. 于是f (x )＝e x－ln(x ＋1)，定义域为(－1，＋∞)，f ′(x )＝e x －1x ＋1.函数f ′(x )＝e x－1x ＋1在(－1，＋∞)上单调递增，且f ′(0)＝0，因此当x ∈(－1,0)时，f ′(x )<0；当x ∈(0，＋∞)时，f ′(x )>0，所以f (x )在(－1,0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增． (2)证明：当m ≤2，x ∈(－m ，＋∞)时，ln(x ＋m )≤ln(x ＋2)， 故只需证明当m ＝2时，f (x )>0. 当m ＝2时，函数f ′(x )＝e x－1x ＋2在(－2，＋∞)上单调递增．又f ′(－1)<0，f ′(0)>0， 故f ′(x )＝0在(－2，＋∞)上有唯一实根x 0， 且x 0∈(－1,0)．当x ∈(－2，x 0)时，f ′(x )<0；当x ∈(x 0，＋∞)时，f ′(x )>0，从而当x ＝x 0时，f (x )取得最小值．由f ′(x 0)＝0得e x 0＝1x 0＋2，ln(x 0＋2)＝－x 0， 故f (x )≥f (x 0)＝1x 0＋2＋x 0＝(x 0＋2)2x 0＋2>0.综上，当m ≤2时，f (x )>0.导数研究实数区间D 上的不等式的主要表现形式是“证明不等式在区间D 上成立，不等式在区间D 上恒成立，求参数k 的范围”等．(1)证明区间D 上不等式成立的策略：构造函数f (x )，把不等式转化为证明f (x )>0，f (x )<0等，把其转化为求函数f (x )在区间D 上的最值或值域的端点值，通过最值和值域端点值与0的比较得证．(2)根据区间D 上不等式恒成立求参数k 范围的策略：如果能够分离参数k ，即得到φ(k )>f (x )或φ(k )<f (x )，问题等价于求函数在区间D 上的最值或值域的端点值，通过最值与值域端点值得到关于k 的不等式解之；如果不能分离参数，则在含有参数的情况下，其处理策略同证明区间D 上不等式成立的策略．2．(2015·湛江一模)已知f (x )＝ln(x ＋1)，g (x )＝12ax 2＋bx (a ，b ∈R )．(1) 若b ＝2且h (x )＝f (x －1)－g (x )存在单调递减区间，求实数a 的取值范围； (2)若a ＝0，b ＝1，求证：当x ∈(－1，＋∞)时，f (x )－g (x )≤0恒成立； (3) 利用(2)的结论证明：若x >0，y >0，则x ln x ＋y ln y >(x ＋y )ln x ＋y2.解：(1)当b ＝2时，h (x )＝ln x －12ax 2－2x∴h ′(x )＝1x－ax －2.∵h (x )有单调减区间，∴h ′(x )<0有解，即1－ax 2－2xx<0∵x >0，∴ax 2＋2x －1>0有解． (ⅰ)当a ≥0时符合题意；(ⅱ)当a <0时，Δ＝4＋4a >0，即a >－1. ∴a 的取值范围是(－1，＋∞)．(2)当a ＝0，b ＝1时，设φ(x )＝f (x )－g (x )＝ln(x ＋1)－x ，∴φ′(x )＝1x ＋1－1＝－xx ＋1. ∵x >－1，讨论φ′(x )的正负得下表：∴当x ＝0即φ(x )≤0恒成立，∴当x ∈(－1，＋∞)时，f (x )－g (x )≤0恒成立． (3)证明：∵x >0，y >0， ∴x ln x ＋y ln y －(x ＋y )ln x ＋y2＝x ⎝⎛⎭⎪⎫ln x －ln x ＋y 2＋y ⎝⎛⎭⎪⎫ln y －ln x ＋y 2＝x ln2x x ＋y ＋y ln 2y x ＋y ＝－x ln x ＋y 2x －y ln x ＋y 2y＝－x ln ⎝⎛⎭⎪⎫1＋y －x 2x －y ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋x －y 2y .由(2)有－x ln ⎝⎛⎭⎪⎫1＋y －x 2x －y ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋x －y 2y >－x ·y －x 2x －y ·x －y 2y ＝0∴x ln x ＋y ln y >(x ＋y )ln x ＋y2.题型三 利用导数研究恒成立问题 对应学生用书理53页 文50页[典例赏析3] (2015·珠海检测)已知函数f (x )＝(a ＋1)ln x ＋ax 2＋12，a ∈R .(1)当a ＝－13时，求f (x )的最大值；(2)讨论函数f (x )的单调性；(3)如果对任意x 1，x 2∈(0，＋∞)，|f (x 1)－f (x 2)|≥4|x 1－x 2|恒成立，求实数a 的取值范围．[思维导引] (1)对函数f (x )求导，得到f (x )的单调递增区间和单调递减区间，进而得到f (x )最小值； (2)对函数f (x )求导，然后对a 分情况进行讨论得到f (x )的单调区间； (3)分①当a ≥0时， ②当a ≤－1时， ③当－1<a <0时进行讨论，在这三种情况中分别找到a 的范围，最后取并集．[规范答题] (1)当a ＝－13时，f (x )＝23ln x －13x 2＋12，f ′(x )＝23x －23x ＝2－2x 23x ＝－2(x ＋1)(x －1)3x，所以f (x )的单调递增区间为(0,1)，单调递减区间为(1，＋∞)，所以f (x )max ＝f (1)＝16.(2)函数f (x )＝(a ＋1)ln x ＋ax 2＋12的定义域为(0，＋∞)，且f ′(x )＝a ＋1x ＋2ax ＝2ax 2＋a ＋1x.下面对参数进行如下讨论：当a ≥0时，f ′(x )>0，故f (x )在(0，＋∞)上单调递增； 当a ≤－1时，f ′(x )<0，故f (x )在(0，＋∞)上单调递减； 当－1<a <0时，令f ′(x )＝0，解得x ＝－a ＋12a， 则当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，－a ＋12a ，f ′(x )>0；当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫－a ＋12a ，＋∞，f ′(x )<0. 故f (x )在x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0， －a ＋12a 上单调递增；在x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－a ＋12a ，＋∞上单调递减． (3)不妨设0<x 1≤x 2：①当a ≥0时，f ′(x )>0，故f (x )在(0，＋∞)上单调递增，即f (x 2)＋4x 2≥f (x 1)＋4x 1恒成立．构造函数g (x )＝f (x )＋4x ，须证g (x )＝f (x )＋4x 在(0，＋∞)上单调递增，即证g ′(x )＝f ′(x )－4＝a ＋1x＋2ax －4≥0，即2ax 2－4x ＋a ＋1≥0(x >0)恒成立．当a ＝0时，则由－4x ＋1>0得x >14，不合题意，即a ≠0，则a >0.根据二次函数y ＝2ax 2－4x ＋a ＋1(x >0)开口方向向上，对称轴x ＝1a>0，所以只需Δ≤0，可得16－8a (a ＋1)≤0， 解得a ≥1(a ≤－2舍去)．②当a ≤－1时，f ′(x )<0，故f (x )在(0，＋∞)上单调递减，即f (x 2)＋4x 2≤f (x 1)＋4x 1恒成立．构造函数g (x )＝f (x )＋4x ，须证g (x )＝f (x )＋4x 在(0，＋∞)上单调递减，即证g ′(x )＝f ′(x )＋4＝a ＋1x＋2ax ＋4≤0，得2ax 2＋4x ＋a ＋1≤0(x >0)恒成立. 根据二次函数y ＝2ax 2＋4x ＋a ＋1(x >0)开口方向向下，对称轴x ＝－1a>0， 所以只需Δ≤0，可得16－8a (a ＋1)≤0，解得a ≤－2(a ≥1舍去)． ③当－1<a <0时，f (x )在x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，－a ＋12a 上单调递增；在x ∈⎝⎛⎭⎪⎫－a ＋12a ，＋∞上单调递减，此时|f (x 1)－f (x 2)|≥4|x 1－x 2|等价于f (x 2)－4x 2≥f (x 1)－4x 1恒成立或者f (x 2)＋4x 2≥f (x 1)＋4x 1恒成立，由上可知a ≥1或a ≤－2，这与－1<a <0不符，故此情况无解．综上所述：实数a 的取值范围是(－∞，－2]∪[1，＋∞)．利用导数解决恒成立问题主要涉及以下方面：(1)已知不等式在某一区间上恒成立，求参数的取值范围：一般先分离参数，再转化为函数在给定区间上的最值问题求解．(2)如果无法分离参数可以考虑对参数a 或自变量进行分类求解，如果是二次不等式恒成立的问题，可以考虑限制二次项系数或判别式的方法求解．(3)已知函数的单调性求参数的取值范围：转化为f ′(x )≥0(或f ′(x )≤0)恒成立的问题．3．(2015·青岛一模)已知函数f (x )＝23x 3－2ax 2－3x .(1)当a ＝0时，求曲线y ＝f (x )在点(3，f (3))的切线方程；(2)对一切x ∈(0，＋∞)，af ′(x )＋4a 2x ≥ln x －3a －1恒成立，求实数a 的取值范围； (3)当a >0时，试讨论f (x )在(－1,1)内的极值点的个数．解：(1)由题意知f (x )＝23x 3－3x ，所以f ′(x )＝2x 2－3.又f (3)＝9，f ′(3)＝15，所以曲线y ＝f (x )在点(3，f (3))的切线方程为15x －y －36＝0.(2)由题意2ax 2＋1≥ln x ，即a ≥ln x －12x 2对一切x ∈(0，＋∞)恒成立． 设g (x )＝ln x －12x 2，则g ′(x )＝3－2ln x2x 3. 当0<x <e 32时，g ′(x )>0；当x >e 32时，g ′(x )<0.所以当x ＝e 32时，g (x )取得最大值g (x )max ＝14e 3，故实数a 的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫14e 3，＋∞.(3)f ′(x )＝2x 2－4ax －3，f ′(－1)＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫a －14，f ′(1)＝－4⎝⎛⎭⎪⎫a ＋14.①当a >14时，∵⎩⎪⎨⎪⎧f ′(－1)＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫a －14>0，f ′(1)＝－4⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋14<0，∴存在x 0∈(－1,1)，使得f ′(x 0)＝0.因为f ′(x )＝2x 2－4ax －3开口向上，所以在(－1，x 0)内f ′(x )>0，在(x 0,1)内f ′(x )<0， 即f (x )在(－1，x 0)内是增函数，f (x )在(x 0,1)内是减函数， 故a >14时，f (x )在(－1,1)内有且只有一个极值点，且是极大值点．②当0<a ≤14时，∵⎩⎪⎨⎪⎧f ′(－1)＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫a －14≤0，f ′(1)＝－4⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋14<0.又因为f ′(x )＝2x 2－4ax －3开口向上，所以在(－1,1)内f ′(x )<0，则f (x )在(－1,1)内为减函数，故没有极值点． 综上可知：当a >14，f (x )在(－1,1)内的极值点的个数为1；当0<a ≤14时，f (x )在(－1,1)内的极值点的个数为0.题型四 利用导数研究方程的根(或函数的零点) 对应学生用书理54页 文51页[典例赏析4] (2015·包头市二模)已知函数f (x )＝x 2ln x . (1)求函数f (x )的单调区间；(2)若关于x 的方程f (x )＝kx －1有实数解，求实数k 的取值范围．[思维导引] (1)在定义域范围内，解不等式f ′(x )>0得单调递增区间，解不等式f ′(x )<0得单调递减区间；(2)将实数k 分离出来，转化为求函数的值域．[规范答题] (1)函数的定义域为{x |x >0}，f ′(x )＝x (2ln x ＋1)令f ′(x )＝x (2ln x ＋1)>0，得2ln x ＋1>0，即x >ee；令f ′(x )＝x (2ln x ＋1)<0，得2ln x ＋1<0，即0<x <e e； 所以，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，e e 时，f (x )单调递减；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫e e ，＋∞时，f (x )单调递增 (2)由f (x )＝kx －1，得x 2ln x ＝kx －1， 所以有k ＝x ln x ＋1x(x >0)，设g (x )＝x ln x ＋1x ，g ′(x )＝ln x ＋x 2－1x2g ′(1)＝0，当0<x <1时，g ′(x )<0，g (x )单调递减；当x >1时，g ′(x )>0，g (x )单调递增， 所以x >0时，g (x )min ＝g (1)＝1所以k ≥1，k 的取值范围是[1，＋∞)．研究方程根，可以通过构造函数g (x )的方法，把问题转化为研究构造的函数g (x )的零点问题．研究函数g (x )零点的策略是：(1)如果函数g (x )在已知区间上是单调的，则其最多只有一个零点，再结合函数的零点存在定理，确定其零点是否存在．(2)如果函数g (x )在已知区间不是单调的，则求出这个函数的极值点和单调区间，再结合g (x )的极值与零的大小，以及函数g (x )的单调性、结合零点存在定理判断其零点的个数．4．已知函数f (x )＝x 2－2a ln x －bx .(1)若a ＝－12，函数f (x )在其定义域内是增函数，求b 的最大值；(2)若b ＝0，关于x 的方程f (x )－2ax ＝0有唯一解，求实数a 的取值范围．解：(1)依题意a ＝－12时，f (x )＝ln x ＋x 2－bx ，且在其定义域(0，＋∞)上是增函数，∴f ′(x )＝1x＋2x －b ≥0对x ∈(0，＋∞)恒成立，即b ≤1x＋2x 对x ∈(0，＋∞)恒成立，∴只需b ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋2x min .∵x >0，∴1x ＋2x ≥22，当且仅当x ＝22时取“＝”，∴b ≤22，故b 的最大值为2 2.(2)记(g )x ＝f (x )－2ax ＝x 2－2a ln x －2ax ， g ′(x )＝2x －2a x －2a ＝2x(x 2－ax －a )．若方程f (x )＝2ax 有唯一解，即g (x )＝0有唯一解. 令g ′(x )＝0，得x 2－ax －a ＝0.因为a >0，x >0， 所以x 1＝a －a 2＋4a2<0(舍去)，x 2＝a ＋a 2＋4a2.当x ∈(0，x 2)时，g ′(x )<0，g (x )在(0，x 2)是单调递减函数； 当x ∈(x 2，＋∞)时，g ′(x )>0，g (x )在(x 2，＋∞)上是单调递增函数． 当x ＝x 2时，g ′(x 2)＝0，g (x )min ＝g (x 2)． 因为g (x )＝0有唯一解，所以g (x 2)＝0.则⎩⎪⎨⎪⎧g (x 2)＝0，g ′(x 2)＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 22－2a ln x 2－2ax 2＝0，x 22－ax 2－a ＝0，两式相减得a ln x 2＋ax 2－a ＝0， 因为a >0，所以2ln x 2＋x 2－1＝0(*)． 设函数h (x )＝2ln x ＋x －1，因为在x >0时，h (x )是增函数，所以h (x )＝ 0至多有一解． 因为h (1)＝0，所以方程(*)的解为x 2＝1，从而解得a ＝12.1．(2015·武威市凉州区一诊)已知函数f (x )＝(ax －2)e x在x ＝1处取得极值． (1)求a 的值；(2)求函数f (x )在[m ，m ＋1]上的最小值；(3)求证：对任意x 1，x 2∈[0,2]，都有|f (x 1)－f (x 2)|≤e.解：(1)解：f ′(x )＝a e x ＋(ax －2)e x ＝(ax ＋a －2)e x. 由已知得f ′(1)＝0，即(2a －2)e x＝0，解得a ＝1.当a ＝1时，在x ＝1处函数f (x )＝(x －2)e x取得极小值，所以a ＝1. (2)解：f (x )＝(x －2)e x，f ′(x )＝e x＋(x －2)e x＝(x －1)e x.所以函数f 当m ≥1时，f (x )在[m ，m ＋1]单调递增，f min (x )＝f (m )＝(m －2)e m .当0<m <1时，m <1<m ＋1，f (x )在[m,1]上单调递减，在[1，m ＋1]上单调递增， f min (x )＝f (1)＝－e.当m ≤0时，m ＋1≤1，f (x )在[m ，m ＋1]上单调递减，f min (x )＝f (m ＋1)＝(m －1)e m ＋1.综上，f (x )在[m ，m ＋1]上的最小值f min (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(m －2)e m，m ≥1，－e ，0<m <1，(m －1)e m ＋1，m ≤0.(3)证明：由(Ⅰ)知f (x )＝(x －2)e x，f ′(x )＝e x ＋(x －2)e x ＝(x －1)e x .令f ′(x )＝0得x ＝1.因为f (0)＝－2，f (1)＝－e ，f (2)＝0，所以f max (x )＝0，f min (x )＝－e ，所以，对任意x 1，x 2∈[0,2]，都有|f (x 1)－f (x 2)|≤f max (x )－f min (x )＝e.2．(2015·常州市监测)已知函数f (x )＝ln x －x －ax，a ∈R . (1)当a ＝0时，求函数f (x )的极大值； (2)求函数f (x )的单调区间；(3)当a >1时，设函数g (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪f (x －1)＋x －1＋a x －1，若实数b 满足b >a 且g ⎝ ⎛⎭⎪⎫b b －1＝g (a )，g (b )＝2g ⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 2，求证：4<b <5.解：(1)函数f (x )的定义域为(0，＋∞)．当a ＝0时，f (x )＝ln x －x ，f ′(x )＝1x－1，令f ′(x )＝0得x ＝1.列表：所以f (x )(2)f ′(x )＝1x －1＋a x 2＝－x 2＋x ＋ax2. 令f ′(x )＝0，得－x 2＋x ＋a ＝0，记Δ＝1＋4a .(ⅰ)当a ≤－14时，f ′(x )≤0，所以f (x )单调减区间为(0，＋∞)；(ⅱ)当a >－14时，由f ′(x )＝0得x 1＝1＋1＋4a 2，x 2＝1－1＋4a2，①若－14<a <0，则x 1>x 2>0，由f ′(x )<0，得0<x <x 2，x >x 1；由f ′(x )>0，得x 2<x <x 1.所以，f (x )的单调减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1－1＋4a 2，⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1＋4a 2，＋∞，单调增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1＋4a 2，1＋1＋4a 2；②若a ＝0，由(1)知f (x )单调增区间为(0,1)，单调减区间为(1，＋∞)； ③若a >0，则x 1>0>x 2，由f ′(x )<0，得x >x 1；由f ′(x )>0，得0<x <x 1.f (x )的单调减区间为⎝⎛⎭⎪⎫1＋1＋4a 2，＋∞，单调增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1＋1＋4a 2. 综上所述：当a ≤－14时，f (x )的单调减区间为(0，＋∞)；当－14<a <0时，f (x )的单调减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1－1＋4a 2，⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1＋4a 2，＋∞，单调增区间为⎝⎛⎭⎪⎫1－1＋4a 2，1＋1＋4a 2； 当a ≥0时，f (x )单调减区间为⎝⎛⎭⎪⎫1＋1＋4a 2，＋∞，单调增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1＋1＋4a 2. (3)证明： g (x )＝|ln(x －1)|(x >1)． 由g ⎝⎛⎭⎪⎫b b －1＝g (a )得⎪⎪⎪⎪⎪⎪ln 1b －1＝|ln(a －1)|.∵1<a <b ，∴b －1＝a －1(舍)，或(a －1)(b －1)＝1. ∵1＝(a －1)(b －1)<(b －1)2，∴b >2.由g (b )＝2g ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2得|ln(b －1)|＝2⎪⎪⎪⎪⎪⎪ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋2b －1＝2⎪⎪⎪⎪⎪⎪ln 12[(a －1)＋(b －1)]，(*)因为a －1＋b －12≥(a －1)(b －1)＝1，所以(*)式可化为ln(b －1)＝2ln 12[(a －1)＋(b －1)]，即b －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12⎝ ⎛⎭⎪⎫1b －1＋b －12.令b －1＝t (t >1)，则t ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋1t 2，整理得t 4－4t 3＋2t 2＋1＝0，从而(t －1)(t 3－3t 2－t －1)＝0，即t 3－3t 2－t －1＝0.记h (t )＝t 3－3t 2－t －1，t >1.h ′(t )＝3t 2－6t －1，令h ′(t )＝0得t ＝1－233(舍去)，t ＝1＋233，列表：所以，h ，h (4)>0，所以3<t <4，从而4<b <5.对应学生用书理55页 文52页3．(2015·临沂市质检)已知函数f (x )＝ln x .(1)若直线y ＝x ＋m 与函数f (x )的图象相切，求实数m 的值； (2)证明曲线y ＝f (x )与曲线y ＝x －1x有唯一的公共点；(3)设0<a <b ，比较f (b )－f (a )2与b －ab ＋a的大小，并说明理由． 解：(1)f ′(x )＝1x，设切点为(x 0，y 0)，则k ＝1x 0＝1，∴x 0＝1，y 0＝ln x 0＝ln 1＝0， 代入y ＝x ＋m ，得m ＝－1.(2)证明：令h (x )＝f (x )－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x ＝ln x －x ＋1x ，则h ′(x )＝1x －1－1x 2＝－x 2＋x －1x 2＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122－34x2<0， ∴h (x )在(0，＋∞)内单调递减．又h (1)＝ln 1－1＋1＝0，∴x ＝1是函数h (x )唯一的零点，故点(1,0)是两曲线唯一的公共点．(3)ln b －ln a 2－b －a b ＋a ＝12 ln b a －ba －1ba＋1，∵0<a <b ，∴ba>1.构造函数φ(x )＝12ln x －x －1x ＋1，(x >1)，则φ′(x )＝12x －x ＋1－(x －1)(x ＋1)2＝12x －2(x ＋1)2＝(x －1)22x (x ＋1)2>0，∴φ(x )在(1，＋∞)内单调递增， 又当x ＝1时，φ(1)＝0，∴x >1时，φ(x )>0，即12ln x >x －1x ＋1，则有12ln b a >b a －1b a＋1成立，即ln b －ln a 2>b －a b ＋a.即f (b )－f (a )2>b －ab ＋a. 4．(2015·湖北省八市联考)定义在R 上的函数g (x )及二次函数h (x )满足g (x )＋2g (－x )＝e x ＋2ex －9，h (－2)＝h (0)＝1且h (－3)＝－2.(1)求g (x )和h (x )的解析式；(2)对于x 1，x 2∈[－1,1]，均有h (x 1)＋ax 1＋5≥g (x 2)－x 2g (x 2)成立，求a 的取值范围；(3)设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧g (x )，(x >0)h (x )，(x ≤0)，讨论方程f [f (x )]＝2的解的个数情况．解：(1)∵g (x )＋2g (－x )＝e x＋2ex －9，①g (－x )＋2g (x )＝e －x ＋2e－x －9，即 g (－x )＋2g (x )＝2e x ＋1ex －9.②由①②联立解得：g (x )＝e x－3.∵h (x )是二次函数，且h (－2)＝h (0)＝1，可设h (x )＝ax (x ＋2)＋1，由h (－3)＝－2，解得a ＝－1.∴h (x )＝－x (x ＋2)＋1＝－x 2－2x ＋1. ∴g (x )＝e x －3，h (x )＝－x 2－2x ＋1.(2)设φ(x )＝h (x )＋ax ＋5＝－x 2＋(a －2)x ＋6，F (x )＝e x －3－x (e x －3)＝(1－x )e x ＋3x －3，依题意知：当－1≤x ≤1时，φ(x )min ≥F (x )max . ∵F ′(x )＝－e x＋(1－x )(e x－3)＋3＝－x e x＋3，F ″(x )＝－e x (1＋x )，当x ∈[－1,1]时，F ″(x )≤0，∴F (x )在[－1,1]上单调递减，∴F ′(x )min ＝F ′(1)＝3－e>0.∴F (x )在[－1,1]上单调递增，∴F (x )max ＝F (1)＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧φ(－1)＝7－a ≥0，φ(1)＝a ＋3≥0，解得－3≤a ≤7，∴实数a 的取值范围为[－3,7]． (3)f (x )的图象如图所示： 令T ＝f (x )，则f (T )＝2.∴T 1＝－1，T 2＝ln 5，f (x )＝－1有两个解，f (x )＝ln 5有3个解． ∴f [f (x )]＝2有5个解．5．(理科)(2015·漳州市质检)给出定义在(0，＋∞)上的三个函数f (x )＝ln x ，g (x )＝x 2－af (x )，h (x )＝x －a x ，已知g (x )在x ＝1处取极值．(1)求实数a 的值，并确定函数h (x )的单调性； (2)求证：当1<x <e 2时，恒有x <2＋f (x )2－f (x )成立；(3)若函数y ＝m －g (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，e 上有两个零点，求实数m 的取值范围． 解：(1)由题设，g (x )＝x 2－a ln x ，则g ′(x )＝2x －ax.由已知，g ′(1)＝0，即2－a ＝0⇒a ＝2.于是h (x )＝x －2x ，则h ′(x )＝1－1x，且x ∈(0，＋∞)． 由h ′(x )＝1－1x>0⇒x >1，h ′(x )＝1－1x<0⇒0<x <1.所以h (x )在(1，＋∞)上是增函数，在(0,1)上是减函数．(2)当1<x <e 2时，0<ln x <2，即0<f (x )<2，欲证x <2＋f (x )2－f (x )，只需证x [2－f (x )]<2＋f (x )，即证f (x )>2(x －1)x ＋1.设γ(x )＝f (x )－2(x －1)x ＋1＝ln x －2(x －1)x ＋1，则γ′(x )＝1x －2(x ＋1)－2(x －1)(x ＋1)2＝(x －1)2x (x ＋1)2. 当1<x <e 2时，γ′(x )>0，所以γ(x )在区间(1，e 2)上为增函数． 从而当1<x <e 2时，γ(x )>γ(1)＝0，即f (x )>2(x －1)x ＋1，故x <2＋f (x )2－f (x ).(3)∵y ＝2ln x －x 2＋m ，则y ′＝2x －2x ＝－2(x ＋1)(x －1)x，∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，e ，故y ′＝0时，x ＝1.当1e <x <1时，y ′>0；当1<x <e 时，y ′<0.故函数y ＝φ(x )在x ＝1处取得极大值φ(1)＝m －1. 又φ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ＝m －2－1e 2，φ(e)＝m ＋2－e 2，φ(e)－φ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ＝4－e 2＋1e2<0，则φ(e)<φ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e， ∴y ＝φ(x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，e 上的最小值是φ(e)． y ＝φ(x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，e 上有两个零点的条件是⎩⎪⎨⎪⎧φ(1)＝m －1>0，φ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ＝m －2－1e 2≤0，解得1<m ≤2＋1e2，∴实数m 的取值范围是⎝⎛⎦⎥⎤1，2＋1e 2. 5．(文科)(2015·大连市二模)设函数f (x )＝ln x －cx (x ∈R )． (1)讨论函数f (x )的单调性；(2)若f (x )≤x 2恒成立，求c 的取值范围；(3)设函数f (x )有两个相异零点x 1、x 2，求证：x 1·x 2>e 2.解析：(1)∵f (x )＝ln x －cx ，∴x ∈(0，＋∞)， f ′(x )＝1x －c ＝1－cxx.当c ≤0时，f (x )单调增区间为(0，＋∞)；当c >0时，f (x )单调增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e ，f (x )单调减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，＋∞.(2)∵f (x )≤x 2，∴ln x －cx ≤x 2，∴c ≥ln x x－x .设g (x )＝ln x x －x ，∴g ′(x )＝1－ln x －x 2x2， ∴g (x )在(0,1)单调递增，在(1，＋∞)单调递减． ∴g (x )max ＝g (1)＝－1，∴c ≥－1.(3)证明： f (x )有两个相异零点，ln x 1＝cx 1，ln x 2＝cx 2，① ∴ln x 1－ln x 2＝c (x 1－x 2)， ∴ln x 1－ln x 2x 1－x 2＝c ，②而x 1·x 2>e 2，等价于ln x 1＋ln x 2>2，即cx 1＋cx 2>2，③ 由①②③得：ln x 1－ln x 2x 1－x 2(x 1＋x 2)>2.不妨设x 1>x 2>0，则t ＝x 1x 2>1， 上式转化为ln t >2(t －1)t ＋1(t >1)．设H (t )＝ln t －2(t －1)t ＋1(t >1)，则H (t )＝(t －1)2t (t ＋1)2>0，故函数H (t )是(1，＋∞)上的增函数，所以H (t )－H (l )＝0，即不等式ln t >2(t －1)t ＋1成立，故所证不等式x 1·x 2>e 2成立.6．(理科)(2015·南平市质检)设函数g (x )＝x 2－2x ＋1＋m ln x ，(m ∈R )． (1)当m ＝1时，求过点P (0，－1)且与曲线y ＝g (x )－(x －1)2相切的切线方程； (2)求函数y ＝g (x )的单调增区间；(3)若函数y ＝g (x )有两个极值点a ，b ，且a <b ，记[x ]表示不大于x 的最大整数，试比较sin [g (a )][g (b )]与cos([g (a )][g (b )])的大小．解：(1)曲线方程为y ＝ln x ，设切点为(x 0，ln x 0)．由y ′＝1x 得切线的斜率k ＝1x 0，则切线方程为y －ln x 0＝1x 0(x －x 0)．因为切线过点P (0，－1)，所以－1－ln x 0＝－1，即x 0＝1，故所求切线方程为x －y －1＝0.(2)函数y ＝g (x )的定义域为(0，＋∞)，g ′(x )＝2x －2＋m x ＝2x 2－2x ＋mx.令g ′(x )>0并结合定义域得2x 2－2x ＋m >0， 对应一元二次方程的判别式Δ＝4(1－2m )．①当Δ≤0，即m ≥12时，g ′(x )≥0，则函数g (x )的增区间为(0，＋∞)；②当0<m <12时，函数g (x )的增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1－1－2m 2，⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1－2m 2，＋∞；③当m ≤0时，函数g (x )的增区间为⎝⎛⎭⎪⎫1＋1－2m 2，＋∞. (3)g ′(x )＝2x －2＋m x ＝2x 2－2x ＋m x ，令g ′(x )＝0得2x 2－2x ＋m ＝0，由题意知方程有两个不相等的正数根a ，b (a <b )，则⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝4(1－2m )>0，m2>0解得0<m <12， 解方程得b ＝1＋1－2m 2，则12<b <1.又由2b 2－2b ＋m ＝0得m ＝－2b 2＋2b ，所以g (b )＝b 2－2b ＋1＋m ln b ＝b 2－2b ＋1＋(－2b 2＋2b )ln b ，b ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1.g ′(b )＝2b －2＋(－4b ＋2)ln b ＋2－2b＝－4⎝ ⎛⎭⎪⎫b －12ln B.当b ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1时，g ′(b )>0，即函数g (b )是⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1上的增函数，所以1－2ln 24<g (b )<0，故g (b )的取值范围是⎝⎛⎭⎪⎫1－2ln 24，0.则[g (b )]＝－1.同理可求0<a <12，g (a )＝a 2－2a ＋1＋(－2a 2＋2a )ln a ，a ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，g ′(a )＝－4⎝ ⎛⎭⎪⎫a －12ln a <0，即函数g (a )是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12上的减函数，所以1－2ln 24<g (a )<1，故g (a )的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫1－2ln 24，1，则[g (a )]＝－1或[g (a )]＝0.当[g (a )]＝－1时，sin [g (a )][g (b )]>cos([g (a )][g (b )])；当[g (a )]＝0时，sin [g (a )][g (b )]<cos([g (a )][g (b )])．6．(文科)(2015·南平市质检)已知函数f (x )＝e x－x . (1)求曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程；(2)已知t 为实数，求函数f (x )在区间[t ，t ＋2]上的最小值；(3)定义在区间D 上的函数g (x )，若存在区间[a ，b ]⊆D 及实常数m ，当x ∈[a ，b ]时，g (x )的取值范围恰为[a ＋m ，b ＋m ]，则称区间[a ，b ]为g (x )的一个同步偏移区间，m 为同步偏移量．试问函数y ＝[f (x )＋x ](x 2－1)在(1，＋∞)上是否存在同步偏移区间？若存在，请求出一个同步偏移区间及对应的偏移量；若不存在，请说明理由．解：(1)由题意知f (1)＝e －1，f ′(x )＝e x－1. ∴函数f (x )在点(1，f (1))处的切线斜率k ＝e －1， ∴切线方程为y －(e －1)＝(e －1)(x －1)，即y ＝(e －1)x . (2)令f ′(x )＝e x－1＝0得x ＝0.①当t ≥0时，在[t ，t ＋2]上f ′(x )≥0，f (x )单调递增，f min x ＝f (t )＝e t－t . ②当－2<t <0时，在[t,0]上f ′(x )≤0，f (x )单调递减；在[0，t ＋2]上f ′(x )≥0，f (x )单调递增，∴f min (x )＝f 极小(x )＝f (0)＝1.③当t ≤－2时，在[t ，t ＋2]上f ′(x )≤0，f (x )单调递减，f min (x )＝f (t ＋2)＝et ＋2－t －2.∴f min (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e t ＋2－t －2，t ≤－21，－2<t <0e t －t ，t ≥0(3)函数y ＝[f (x )＋x ](x 2－1)在(1，＋∞)上不存在同步偏移区间． 证明如下：假设函数g (x )＝[f (x )＋x ](x 2－1)＝(x 2－1)e x存在同步偏移区间[a ，b ]， 则g ′(x )＝(x 2＋2x －1)e x.∵x >1时，g ′(x )>0，∴g (x )为增函数，∴⎩⎪⎨⎪⎧g (a )＝(a 2－1)e a＝a ＋m ，g (b )＝(b 2－1)e b＝b ＋m ，即方程(x 2－1)e x＝x ＋m 有两个大于1的相异实根．设φ(x )＝(x 2－1)e x －x －m (x >1)，则φ′(x )＝(x 2＋2x －1)e x－1.∵x>1，φ′(x)>0，∴φ(x)在(1，＋∞)上单调递增.∴φ(x)在区间(1，＋∞)上至多有一个零点与方程(x2－1)e x＝x＋m有两个大于1的相异实根矛盾，∴假设不成立，即g(x)在(1，＋∞)上不存在同步偏移区间．。

【12份】2016版高考数学大二轮总复习（全国通用，理科）审题+解题+回扣配套Word 版文档审题是解题的基础，深入细致的审题是成功解题的前提，审题不仅存在于解题的开端，还要贯穿于解题思路的全过程和解法后的反思回顾．正确的审题要多角度地观察，由表及里，由条件到结论，由数式到图形，洞察问题实质，选择正确的解题方向．事实上，很多考生往往对审题掉以轻心，或不知从何处入手进行审题，致使解题失误而丢分．本讲结合实例，教你正确的审题方法，给你制订一条“审题路线图”，攻克高考解答题． 一审条件挖隐含任何一个数学问题都是由条件和结论两部分构成的．条件是解题的主要素材，充分利用条件间的内在联系是解题的必经之路．条件有明示的，有隐含的，审视条件更重要的是要充分挖掘每一个条件的内涵和隐含的信息，发挥隐含条件的解题功能． 例 1 (2014·重庆)已知函数f (x )＝3sin(ωx ＋φ)(ω>0，－π2≤φ<π2)的图象关于直线x ＝π3对称，且图象上相邻两个最高点的距离为π. (1)求ω和φ的值；(2)若f (α2)＝34(π6<α<2π3)，求cos(α＋3π2)的值．审题路线图(1)条件：f (x )图象上相邻两个最高点距离为π ↓挖掘三角函数图象的特征f (x )的周期为π↓T ＝2π|ω|，ω>0(已知)ω＝2条件：f (x )图象关于直线x ＝π3对称↓f (π3)取到最值2×π3＋φ＝k π＋π2(k ↔Z ) ↓－π2≤φ<π2(已知)φ＝－π6↓(2)条件：f (α2)＝34↓代入f (x )sin (α－π6)＝14↓条件π6<α<2π3cos (α－π6)＝154↓欲求cos(α＋3π2)＝sin α＝sin[(α－π6)＋π6]sin α＝3＋158↓cos (α＋3π2)＝3＋158解 (1)因为f (x )的图象上相邻两个最高点的距离为π，所以f (x )的最小正周期为T ＝π，从而ω＝2πT＝2.又因为f (x )的图象关于直线x ＝π3对称，所以2×π3＋φ＝k π＋π2，k ↔Z .由－π2≤φ<π2，得k ＝0，所以φ＝π2－2π3＝－π6.(2)由(1)得f (α2)＝3sin(2·α2－π6)＝34，所以sin(α－π6)＝14.由π6<α<2π3， 得0<α－π6<π2，所以cos(α－π6)＝1－sin 2(α－π6)＝1－(14)2＝154.所以cos(α＋3π2)＝sin α＝sin[(α－π6)＋π6]＝sin(α－π6)cos π6＋cos(α－π6)sin π6＝14×32＋154×12＝3＋158. 跟踪演练1 (2014·四川)已知函数f (x )＝sin(3x ＋π4)．(1)求f (x )的单调递增区间；(2)若α是第二象限角，f (α3)＝45cos(α＋π4)cos 2α，求cos α－sin α的值．二审结论会转换问题解决的最终目标就是求出结论或说明已给结论正确或错误．因而解决问题时的思维过程大多都是围绕着结论这个目标进行定向思考的．审视结论，就是在结论的启发下，探索已知条件和结论之间的内在联系和转化规律．善于从结论中捕捉解题信息，善于对结论进行转化，使之逐步靠近条件，从而发现和确定解题方向． 例2 (2015·北京)已知函数f (x )＝ln1＋x1－x. (1)求曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程； (2)求证：当x ↔(0,1)时，f (x )＞2⎝⎛⎭⎫x ＋x33； (3)设实数k 使得f (x )＞k ⎝⎛⎭⎫x ＋x33对x ↔(0,1)恒成立，求k 的最大值． 审题路线图(2)x ↔(0，1)时f (x )>2(x ＋x 33)――→转化要证结论f (x )－2(x ＋x 33)>0在(0，1)上恒成立―――――――→构造函数g (x )＝f (x )－2(x ＋x 33)g (x )>0→研究函数g (x )的单调性求g (x )(3)求k 的最大值 ―――――――→构造函数h (x )＝f (x )－k (x ＋x 33)研究h (x )单调性――――――――――→讨论参数k结合(2)知k ≤2时符合题意k >2时h (x )的单调性解 (1)因为f (x )＝ln(1＋x )－ln(1－x )， 所以f ′(x )＝11＋x ＋11－x，f ′(0)＝2.又因为f (0)＝0，所以曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程为y ＝2x . (2)令g (x )＝f (x )－2⎝⎛⎭⎫x ＋x33， 则g ′(x )＝f ′(x )－2(1＋x 2)＝2x 41－x 2.因为g ′(x )>0(0<x <1)，所以g (x )在区间(0,1)上单调递增． 所以g (x )>g (0)＝0，x ↔(0,1)，即当x ↔(0,1)时，f (x )>2⎝⎛⎭⎫x ＋x 33.(3)由(2)知，当k ≤2时，f (x )>k ⎝⎛⎭⎫x ＋x33对x ↔(0,1)恒成立． 当k >2时，令h (x )＝f (x )－k ⎝⎛⎭⎫x ＋x 33， 则h ′(x )＝f ′(x )－k (1＋x 2)＝kx 4－(k －2)1－x 2.所以当0<x < 4k －2k 时，h ′(x )<0，因此h (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫0， 4k －2k 上单调递减． 当0<x < 4k －2k 时，h (x )<h (0)＝0，即f (x )<k ⎝⎛⎭⎫x ＋x 33. 所以当k >2时，f (x )>k ⎝⎛⎭⎫x ＋x33并非对x ↔(0,1)恒成立． 综上可知，k 的最大值为2.跟踪演练2 已知函数f (x )＝12x 2＋a ln x .(1)若a ＝－1，求函数f (x )的极值，并指出是极大值还是极小值； (2)若a ＝1，求函数f (x )在[1，e]上的最大值和最小值；(3)若a ＝1，求证：在区间[1，＋∞)上，函数f (x )的图象在函数g (x )＝23x 3的图象的下方．三审图形抓特点在不少数学高考试题中，问题的条件往往是以图形的形式给出，或将条件隐含在图形之中，因此在审题时，要善于观察图形，洞悉图形所隐含的特殊关系、数值的特点、变化的趋势．抓住图形的特征，运用数形结合的数学思想方法，是破解考题的关键．例 3 如图(1)所示，在边长为4的菱形ABCD中，∠DAB＝60°.点E、F分别在边CD、CB上，点E与点C、D不重合，EF⊥AC，EF∩AC＝O.沿EF将△CEF翻折到△PEF的位置，使平面PEF⊥平面ABFED，如图(2)所示．(1)求证：BD⊥平面POA；(2)当PB取得最小值时，求四棱锥P－BDEF的体积．审题路线图(1)(2)(1)证明因为菱形ABCD的对角线互相垂直，所以BD⊥AC.所以BD⊥AO.因为EF⊥AC，所以PO⊥EF.因为平面PEF⊥平面ABFED，平面PEF∩平面ABFED＝EF，且PO⊂平面PEF，所以PO⊥平面ABFED.因为BD⊂平面ABFED，所以PO⊥BD.因为AO ∩PO ＝O ，所以BD ⊥平面POA .(2)解 设AO ∩BD ＝H . 因为∠DAB ＝60°， 所以△BDC 为等边三角形． 故BD ＝4，HB ＝2， HC ＝2 3.设PO ＝x (0<x <23)，则OH ＝23－x ，OA ＝43－x .连接OB ，由OH ⊥BD ，得OB 2＝(23－x )2＋22. 又由(1)知PO ⊥平面BFED ， 则PO ⊥OB .所以PB ＝OB 2＋OP 2＝(23－x )2＋22＋x 2 ＝2(x －3)2＋10.当x ＝3时，PB min ＝10，此时PO ＝3＝OH ， 所以V 四棱锥P －BDEF ＝13×S 梯形BDEF ×PO＝13×(34×42－34×22)×3＝3. 跟踪演练3 如图，在△ABC 中，AB ＝3，AC ＝5，若O 为△ABC 的外心，则AO →·BC→的值为________．四审结构定方案数学问题中的条件和结论，很多都是以数式的结构形式进行搭配和呈现的．在这些问题的数式结构中，往往都隐含着某种特殊关系，认真审视数式的结构特征，对数式结构进行深入分析，加工转化，可以寻找到突破问题的方案． 例4 (2015·四川)设数列{a n }(n ＝1,2,3，…)的前n 项和S n 满足S n ＝2a n －a 1，且a 1，a 2＋1，a 3成等差数列． (1)求数列{a n }的通项公式；(2)记数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的前n 项和为T n ，求使得|T n －1|＜11 000成立的n 的最小值．审题路线图解 (1)由已知S n ＝2a n －a 1， 有a n ＝S n －S n －1＝2a n －2a n －1(n ≥2)， 即a n ＝2a n －1(n ≥2)， 从而a 2＝2a 1，a 3＝2a 2＝4a 1， 又因为a 1，a 2＋1，a 3成等差数列， 即a 1＋a 3＝2(a 2＋1)，所以a 1＋4a 1＝2(2a 1＋1)，解得a 1＝2，所以，数列{a n }是首项为2，公比为2的等比数列， 故a n ＝2n . (2)由(1)得1a n ＝12n ，所以T n ＝12＋122＋…＋12n ＝12⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫12n 1－12＝1－12n .由|T n －1|＜11 000，得⎪⎪⎪⎪1－12n －1＜11 000， 即2n ＞1 000，因为29＝512＜1 000＜1 024＝210，所以n ≥10， 于是，使|T n －1|＜11 000成立的n 的最小值为10. 跟踪演练4 (1)(2015·临川一中月考)已知数列{a n }满足a 1＝6，a n ＋1－a n ＝2n ，记c n ＝a nn，且存在正整数M ，使得对一切n ↔N *，c n ≥M 恒成立，则M 的最大值为________． (2)(2014·课标全国Ⅰ)已知a ，b ，c 分别为△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，a ＝2，且(2＋b )·(sinA －sinB )＝(c －b )·sinC ，则△ABC 面积的最大值为________． 五审图表找规律题目中的图表、数据包含着问题的基本信息，往往也暗示着解决问题的目标和方向．在审题时，要认真观察分析图表、数据的特征和规律，常常可以找到解决问题的思路和方法． 例5下表中的数阵为“森德拉姆素数筛”，其特点是每行每列都成等差数列，记第i 行第j 列的数为a i ，j (i ，j ↔N *)，则 (1)a 9,9＝________；(2)表中的数82共出现________次.审题路线图审视图表数据a i ，j ――→每行成等差数列a 1，9＝a 1，1＋8×1＝10 ――→每列成等差数列a 9，9＝a 1，9＋8×9＝72――→一般规律a i ，j ＝(i ＋1)＋(j －1)·i ＝ij ＋1――→82出现次数ij ＋1＝82解的个数【详细分析】(1)a 9,9表示第9行第9列，第1行的公差为1，第2行的公差为2，……，第9行的公差为9，第9行的首项b 1＝10，则b 9＝10＋8×9＝82；(2)第1行数组成的数列a 1，j (j ＝1,2，…)是以2为首项，公差为1的等差数列，所以a 1，j ＝2＋(j －1)·1＝j ＋1；第i 行数组成的数列a i ，j (j ＝1,2，…)是以i ＋1为首项，公差为i 的等差数列，所以a i ，j ＝(i ＋1)＋(j －1)i ＝ij ＋1，由题意得a i ，j ＝ij ＋1＝82，即ij ＝81，且i ，j ↔N *，所以81＝81×1＝27×3＝9×9＝1×81＝3×27，故表格中82共出现5次． 答案 (1)82 (2)5跟踪演练 5为调查企业工人的身体情况，社保局从某企业800名男职工中随机抽取50名测量其身高，据测量，被测职工的身高全部在155cm 到195cm 之间．将测量结果按如下方式分成8组：第一组[155,160)，第二组[160,165)，……，第八组[190,195]，频率分布直方图的部分图象如图所示，频数统计表的一部分如下表，已知第一组与第八组的人数相同，第七组与第六组的人数差恰好为第八组与第七组的人数差，则x ＝________，y ＝________.六审细节更完善审题不仅要从宏观上、整体上去分析、去把握，还要更加注意审视一些细节上的问题．例如括号内的标注、数据的范围、图象的特点等．因为标注、范围大多是对数学概念、公式、定理中所涉及的一些量或解析式的限制条件．审视细节能适时地利用相关量的约束条件，调整解决问题的方向．所以说重视审视细节，更能体现审题的深刻性． 例6 各项均为正数的数列{a n }的前n 项和为S n ，S n ＝14a 2n＋12a n (n ↔N *)． (1)求a n ；(2)令b n ＝⎩⎪⎨⎪⎧a n， n 为奇数，b 2n ， n 为偶数，c n ＝b 24n ＋(n ↔N *)，求{c n }的前n 项和T n .审题路线图 (1)S n ＝14a 2n ＋12a n↓(注意n ↔N *，a n >0) a 1＝2↓(下面的变形是有条件的，条件是n ≥2) a n ＝S n －S n －1＝14a 2n ＋12a n －14a 2n －1－12a n －1 ↓(进行代数式变形) (a n ＋a n －1)(a n －a n －1－2)＝0 ↓(a n ＋a n －1>0) a n －a n －1＝2↓(利用等差数列的定义) a n ＝2＋(n －1)×2＝2n↓(注意b n 与a n 的关系，n 是分奇偶的) (2)b 1＝a 1＝2；b 2＝a 1＝2；b 3＝a 3＝6； b 4＝b 2＝2↓(注意c n 与b n 的关系) c 1＝b 6＝b 3＝6 c 2＝b 8＝b 4＝2↓(注意下面变化的条件是n ≥3)12221242221n n n n n c b b b a －－－＋＋＋＋＝＝＝＝＝2n －1＋2.↓T n ＝c 1＋c 2＋c 3＋…＋c n＝6＋2＋(22＋2)＋(23＋2)＋…＋(2n －1＋2) ＝2n ＋2n↓(当n ＝1，n ＝2时，对T n 的表达式的验证)T n ＝⎩⎪⎨⎪⎧6， n ＝1，2n ＋2n ， n ≥2且n ↔N *. 解 (1)a 1＝S 1＝14a 21＋12a 1⇒14a 21－12a 1＝0，因为a 1>0，故a 1＝2； 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝14a 2n ＋12a n －14a 2n －1－12a n －1， 所以14(a 2n －a 2n －1)－12(a n ＋a n －1)＝0， 即(a n ＋a n －1)(a n －a n －1－2)＝0. 因为a n >0，所以a n －a n －1＝2， 即{a n }为等差数列， 所以a n ＝2n (n ↔N *)．(2)c 1＝b 6＝b 3＝a 3＝6，c 2＝b 8＝b 4＝b 2＝b 1＝a 1＝2， n ≥3时，12422n n n c b b －＋＋＝＝221212122n n n b a －－－＋＋＝＝＝＋，此时，T n ＝8＋(22＋2)＋(23＋2)＋…＋(2n －1＋2)＝2n ＋2n ；当n ＝1时，2＋2＝4≠6，不符合上式，当n ＝2时，T 2＝22＋2×2＝8＝c 1＋c 2，符合上式．所以T n ＝⎩⎪⎨⎪⎧6， n ＝1，2n ＋2n ， n ≥2且n ↔N *. 跟踪演练6 (2015·惠州市调研)设数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1＝1，2S n n ＝a n ＋1－13n 2－n －23，n ↔N *.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)证明：对一切正整数n ，有1a 1＋1a 2＋…＋1a n <74.审题突破练A 组 专题通关1．已知点A (－3,0)，B (0,3)，若点P 在圆x 2＋y 2－2x ＝0上运动，则△P AB 面积的最小值为( ) A ．6 B ．6 2 C ．6＋322D ．6－3222．如图所示，用K ，A 1，A 2三类不同的元件连接成一个系统，当K 正常工作且A 1，A 2至少有一个正常工作时，系统正常工作，已知K ，A 1，A 2正常工作的概率依次是0.9,0.8,0.8，则系统正常工作概率为( )A ．0.960B ．0.864C ．0.70D ．0.5763．一个多面体的三视图如图所示，则该多面体的体积为( )A.233B.476C ．6D ．74．(2015·重庆)执行如图所示的程序框图，若输出k 的值为8，则判断框内可填入的条件是( )A ．s ≤34？B ．s ≤56？C ．s ≤1112？D ．s ≤2524？5．(2015·佛山市高三上学期期中试题)已知a ＞0，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧sin π2x ，x ↔[－1，0)，ax 2＋ax ＋1，x ↔[0，＋∞)，若f (t －13)＞－12，则实数t 的取值范围为________．6．(2015·福建)若锐角△ABC 的面积为103，且AB ＝5，AC ＝8，则BC 等于________． 7．已知在△ABC 中，sin A ＋cos A ＝15.(1)求sin(3π2－A )cos(π2＋A )；(2)求tan A 值．8．数列{a n }，{b n }的通项公式分别为a n ＝ln(1＋1n )，b n ＝1n －1n 2(n ↔N *)，证明：a n ＞b n .B 组 能力提高9．已知a ↔R ，函数f (x )＝16x 3＋12(a －2)x 2＋b ，g (x )＝2a ln x .(1)若曲线y ＝f (x )与曲线y ＝g (x )在它们的交点(1，c )处的切线互相垂直，求a ，b 的值； (2)设F (x )＝f ′(x )－g (x )，若对任意的x 1，x 2↔(0，＋∞)，且x 1≠x 2，都有F (x 2)－F (x 1)＞a (x 2－x 1)，求a 的取值范围．10．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的焦距为2，且过点(1，22)，右焦点为F 2.设A ，B 是C 上的两个动点，线段AB 的中点M 的横坐标为－12，线段AB 的中垂线交椭圆C 于P ，Q 两点．(1)求椭圆C 的方程； (2)求F 2P →·F 2Q →的取值范围．学生用书答案精析第一篇 活用审题路线图，教你审题不再难跟踪演练1 解 (1)因为函数y ＝sin x 的单调递增区间为[－π2＋2k π，π2＋2k π]，k ↔Z ，由－π2＋2k π≤3x ＋π4≤π2＋2k π，k ↔Z ，得－π4＋2k π3≤x ≤π12＋2k π3，k ↔Z .所以函数f (x )的单调递增区间为[－π4＋2k π3，π12＋2k π3]，k ↔Z .(2)由已知，有sin(α＋π4)＝45cos(α＋π4)(cos 2α－sin 2α)，所以sin αcos π4＋cos αsin π4＝45(cos αcos π4－sin αsin π4)(cos 2α－sin 2α)， 即sin α＋cos α＝45(cos α－sin α)2(sin α＋cos α)．当sin α＋cos α＝0时，由α是第二象限角，知α＝3π4＋2k π，k ↔Z .此时，cos α－sin α＝－ 2.当sin α＋cos α≠0时，有(cos α－sin α)2＝54.由α是第二象限角，知cos α－sin α<0， 此时cos α－sin α＝－52. 综上所述，cos α－sin α＝－2或－52. 跟踪演练2 (1)解 由于函数f (x )的定义域为(0，＋∞)， 当a ＝－1时，f ′(x )＝x －1x ＝(x ＋1)(x －1)x ，令f ′(x )＝0得x ＝1或x ＝－1(舍去)， 当x ↔(0,1)时，函数f (x )单调递减， 当x ↔(1，＋∞)时，函数f (x )单调递增， 所以f (x )在x ＝1处取得极小值为12.(2)解 当a ＝1时，易知函数f (x )在[1，e]上为增函数， 所以f (x )min ＝f (1)＝12，f (x )max ＝f (e)＝12e 2＋1.(3)证明 设F (x )＝f (x )－g (x )＝12x 2＋ln x －23x 3，则F ′(x )＝x ＋1x －2x 2＝(1－x )(1＋x ＋2x 2)x， 当x >1时，F ′(x )<0，故f (x )在区间[1，＋∞)上是减函数， 又F (1)＝－16<0，所以在区间[1，＋∞)上，F (x )<0恒成立． 即f (x )<g (x )恒成立．因此，当a ＝1时，在区间[1，＋∞)上，函数f (x )的图象在函数g (x )的图象的下方． 跟踪演练3 8【详细分析】方法一 取边BC 的中点D ，由于O 为△ABC 的外心，所以DO →⊥BC →，所以DO →·BC →＝0，AO →＝AD →＋DO →＝12(AB →＋AC →)＋DO →，所以AO →·BC →＝[12(AB →＋AC →)＋DO →]·BC →＝12(AB→＋AC →)·(AC →－AB →) ＝12(|AC →|2－|AB →|2)＝8. 方法二 取AB 的中点E ，AC 的中点F ，连接OE ，OF ，则OE ⊥AB ，OF ⊥AC .易知向量AO →在AB →上的投影为|AE →|，AO →在AC →上的投影为|AF →|，所以AO →·BC →＝AO →·(AC →－AB →)＝AO →·AC →－AO →·AB → ＝|AC →|·|AF →|－|AB →|·|AE →|＝5×52－3×32＝8.跟踪演练4 (1)4 (2) 3 【详细分析】(1)∵a n ＋1－a n ＝2n ， ∴a n －a n －1＝2n －2，……，a 2－a 1＝2， ∴a n －a 1＝2[(n －1)＋(n －2)＋…＋1] ＝n (n －1)， ∴a n ＝n (n －1)＋6，∴c n ＝a n n ＝n ＋6n －1≥5－1＝4，∵对一切n ↔N *，c n ≥M 恒成立， ∴M 的最大值为4. (2)∵a sin A ＝b sin B ＝c sin C＝2R ，a ＝2，又(2＋b )·(sin A －sin B )＝(c －b )sin C 可化为(a ＋b )(a －b )＝(c －b )·c ，∴a 2－b 2＝c 2－bc ，∴b 2＋c 2－a 2＝bc . ∴b 2＋c 2－a 22bc ＝bc 2bc ＝12＝cos A ，∴A ＝60°.∴△ABC 中，4＝a 2＝b 2＋c 2－2bc ·cos 60°＝b 2＋c 2－bc ≥2bc －bc ＝bc (“＝”当且仅当b ＝c 时取得)，∴S △ABC ＝12·bc ·sin A ≤12×4×32＝ 3.跟踪演练5 4 3【详细分析】由频率分布直方图可知前五组的频率之和是(0.008＋0.016＋0.04＋0.04＋0.06)×5＝0.82，第八组的频率是0.008×5＝0.04， 所以第六、七组的频率之和为1－0.82－0.04＝0.14. 故第八组的人数为50×0.04＝2， 第六、七组的人数之和为50×0.14＝7.由题意，可得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝7，y －x ＝2－y ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝3.跟踪演练6 (1)解 依题意，2S 1＝a 2－13－1－23，又S 1＝a 1＝1，所以a 2＝4，当n ≥2时，2S n ＝na n ＋1－13n 3－n 2－23n ，2S n －1＝(n －1)a n －13(n －1)3－(n －1)2－23(n －1)，两式相减得2a n ＝(na n ＋1－13n 3－n 2－23n )－[(n －1)·a n －13(n －1)3－(n －1)2－23(n －1)]．整理得(n ＋1)a n ＝na n ＋1－n (n ＋1)， 即a n ＋1n ＋1－a nn＝1， 又a 22－a 11＝1， 故数列{a nn }是首项为1，公差为1的等差数列，所以a nn ＝1＋1×(n －1)＝n ，所以a n ＝n 2.(2)证明 当n ＝1时，1a 1＝1<74；当n ＝2时，1a 1＋1a 2＝1＋14＝54<74；当n ≥3时，1a n ＝1n 2<1n (n －1)＝1n －1－1n，此时1a 1＋1a 2＋…＋1a n ＝1＋122＋132＋142＋…＋1n 2<1＋14＋(12－13)＋(13－14)＋…＋(1n －1－1n )＝1＋14＋12－1n ＝74－1n <74. 综上，对一切正整数n ，有1a 1＋1a 2＋…＋1a n <74.审题突破练1．D [由圆的方程x 2＋y 2－2x ＝0，得(x －1)2＋y 2＝1， 所以圆的圆心G (1,0)，且圆的半径r ＝1， 由A (－3,0)，B (0,3)，得k AB ＝33＝1，所以AB 的方程为y ＝x ＋3， 即x －y ＋3＝0，所以点G (1,0)到AB 的距离d ＝|1－0＋3|2＝22＞1，所以AB 与给定的圆相离，圆上到AB 的距离的最小值t ＝d －r ＝22－1， 又|AB |＝9＋9＝32，所以△P AB 面积的最小值为12×32×(22－1)＝6－322.]2．B [由题意可知K ，A 1，A 2三类元件正常工作相互独立．A 1，A 2至少有一个正常工作的概率为P ＝1－(1－0.8)2＝0.96.所以系统正常工作的概率为P K P ＝0.9×0.96＝0.864.] 3．A [由题意知，该多面体是由正方体挖去两个小三棱锥后所成的几何体，如图所示，所以该几何体的体积为V ＝2×2×2－2×13×(12×1×1)×1＝233]4．C [由s ＝0，k ＝0满足条件，则k ＝2，s ＝12，满足条件；k ＝4，s ＝12＋14＝34，满足条件；k ＝6，s ＝34＋16＝1112，满足条件；k ＝8，s ＝1112＋18＝2524，不满足条件，输出k ＝8，所以应填s ≤1112？.]5．(0，＋∞)【详细分析】①当－1≤t －13＜0时，f (t －13)＝sin[π2(t －13)]＞－12，∴－π6＋2k π＜π2(t －13)＜7π6＋2k π(k ↔Z )．∴－13＋4k ＜t －13＜73＋4k (k ↔Z )．∵－1≤t －13＜0，∴－13＜t －13＜0，∴0＜t ＜13.②当t －13≥0时，f (t －13)＝a (t －13)2＋a (t －13)＋1＞－12(a ＞0)恒成立，∴t ≥13.综上可知：实数t 的取值范围为(0，＋∞)． 6．7【详细分析】S ＝12AB ·AC ·sin A ，∴sin A ＝32，在锐角三角形中A ＝π3，由余弦定理得BC ＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC ·cos A ＝7. 7．解 方法一 (1)∵sin A ＋cos A ＝15，∴1＋2sin A ·cos A ＝125，∴sin 2A ＝－2425，sin(3π2－A )cos(π2＋A )＝－cos A ·(－sin A )＝sin A cos A ＝12sin 2A ＝－1225.(2)∵sin A ＋cos A ＝15，∴(sin A －cos A )2＝(sin A ＋cos A )2－4sin A cos A ＝125＋4825＝4925， 又0＜A ＜π且sin A ＋cos A ＝15，∴π2＜A ＜π， ∴sin A ＞0，cos A ＜0， ∴sin A －cos A ＝75，∴sin A ＝45，cos A ＝－35，∴tan A ＝sin A cos A ＝－43.方法二 (1)同方法一． (2)sin 2A ＝2sin A cos Acos 2A ＋sin 2A＝2tan A 1＋tan 2A＝－2425， ∴12tan 2A ＋25tan A ＋12＝0∴tan A ＝－43或tan A ＝－34又0＜A ＜π，sin A ＋cos A ＝15，∴π2＜A ＜3π4，∴tan A ＜－1， 故tan A ＝－43.8．证明 欲证原不等式成立， 需证明ln(1＋1n )－1n ＋1n2＞0.构造函数F (x )＝ln(1＋x )－x ＋x 2(0＜x ≤1) 所以F ′(x )＝11＋x －1＋2x ＝x (2x ＋1)x ＋1.当0＜x ≤1时，F ′(x )＞0， 所以函数F (x )在(0,1]上单调递增． 所以函数F (x )＞F (0)＝0，即F (x )＞0. 所以∀x ↔(0,1]，ln(1＋x )－x ＋x 2＞0， 即ln(1＋x )＞x －x 2. 令x ＝1n(n ↔N *)，则有ln(1＋1n )＞1n －1n 2，即a n ＞b n .9．解 (1)f ′(x )＝12x 2＋(a －2)x ，f ′(1)＝a －32.g ′(x )＝2ax ，g ′(1)＝2a .依题意有f ′(1)g ′(1)＝－1， 且f (1)＝g (1)，可得⎩⎨⎧2a (a －32)＝－1，16＋12(a －2)＋b ＝0，解得a ＝1，b ＝13，或a ＝12，b ＝712.(2)F (x )＝12x 2＋(a －2)x －2a ln x .不妨设x 1＜x 2，F (x 2)－F (x 1)＞a (x 2－x 1)，等价于F (x 2)－ax 2＞F (x 1)－ax 1. 设G (x )＝F (x )－ax ，则对任意的x 1，x 2↔(0，＋∞)， 且x 1≠x 2，都有F (x 2)－F (x 1)x 2－x 1＞a ，等价于G (x )＝F (x )－ax 在(0，＋∞)上是增函数． G (x )＝12x 2－2a ln x －2x ，可得G ′(x )＝x －2ax －2＝x 2－2x －2a x，依题意有，对任意x ＞0，有x 2－2x －2a ≥0恒成立． 由2a ≤x 2－2x ＝(x －1)2－1， 可得a ≤－12.10．解 (1)因为焦距为2，所以a 2－b 2＝1. 又因为椭圆C 过点(1，22)， 所以1a 2＋12b 2＝1.故a 2＝2，b 2＝1.所以椭圆C 的方程为x 22＋y 2＝1.(2)由题意可知，当直线AB 垂直于x 轴时，直线AB 的方程为x ＝－12，此时P (－2，0)，Q (2，0)， 得F 2P →·F 2Q →＝－1.当直线AB 不垂直于x 轴时，设直线AB 的斜率为k (k ≠0)，M (－12，m )(m ≠0)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎨⎧x 212＋y 21＝1，x222＋y 22＝1，得(x 1＋x 2)＋2(y 1＋y 2)·y 1－y 2x 1－x 2＝0，则－1＋4mk ＝0，故4mk ＝1.此时，直线PQ 的斜率为k 1＝－4m ， 直线PQ 的方程为y －m ＝－4m (x ＋12)．即y ＝－4mx －m .联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－4mx －m ，x 22＋y 2＝1消去y ， 整理得(32m 2＋1)x 2＋16m 2x ＋2m 2－2＝0. 设P (x 3，y 3)，Q (x 4，y 4)所以x 3＋x 4＝－16m 232m 2＋1，x 3x 4＝2m 2－232m 2＋1.于是F 2P →·F 2Q →＝(x 3－1)(x 4－1)＋y 3y 4＝x 3x 4－(x 3＋x 4)＋1＋(4mx 3＋m )·(4mx 4＋m ) ＝(4m 2－1)(x 3＋x 4)＋(16m 2＋1)x 3x 4＋m 2＋1 ＝(4m 2－1)(－16m 2)32m 2＋1＋(1＋16m 2)(2m 2－2)32m 2＋1＋1＋m 2 ＝19m 2－132m 2＋1. 由于M (－12，m )在椭圆的内部，故0<m 2<78，令t ＝32m 2＋1,1<t <29，则F 2P →·F 2Q →＝1932－5132t .又因为1<t <29，所以－1<F 2P →·F 2Q →<125232.综上所述，F 2P →·F 2Q →的取值范围为(－1，125232)．第1讲 选择题的解法技巧题型概述选择题考查基础知识、基本技能，侧重于解题的严谨性和快捷性，以“小”“巧”著称．解选择题只要结果，不看过程，更能充分体现学生灵活应用知识的能力．解题策略：充分利用题干和选项提供的信息作出判断，先定性后定量，先特殊后推理，先间接后直接，先排除后求解，一定要小题巧解，避免小题大做．方法一 直接法直接从题设条件出发，运用有关概念、性质、定理、法则和公式等知识，通过严密地推理和准确地运算，从而得出正确的结论，然后对照题目所给出的选项“对号入座”，作出相应的选择．涉及概念、性质的辨析或运算较简单的题目常用直接法． 例1 (1)(2015·课标全国Ⅰ)已知M (x 0，y 0)是双曲线C ：x 22－y 2＝1上的一点，F 1，F 2是C 的两个焦点，若MF 1→·MF 2→<0，则y 0的取值范围是( ) A.⎝⎛⎭⎫－33，33 B.⎝⎛⎭⎫－36，36 C.⎝⎛⎭⎫－223，223 D.⎝⎛⎭⎫－233，233 (2)(2015·广雅中学高三一模)在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若a ＝3，A ＝π3，cosB ＝55，则b 等于( ) A.855 B.255 C.455 D.1255【详细分析】(1)由题意知a ＝2，b ＝1，c ＝3， ∴F 1(－3，0)，F 2(3，0)，∴MF 1→＝(－3－x 0，－y 0)，MF 2→＝(3－x 0，－y 0)． ∵MF 1→·MF 2→<0，∴(－3－x 0)(3－x 0)＋y 20<0，即x 20－3＋y 20<0.∵点M (x 0，y 0)在双曲线上，∴x 202－y 20＝1，即x 20＝2＋2y 20，∴2＋2y 20－3＋y 20<0，∴－33<y 0<33.故选A. (2)由题意可得，△ABC 中，sin B ＝1－cos 2B ＝255， 再由正弦定理可得a sin A ＝bsin B，即3sinπ3＝b 255，解得b ＝455. 答案 (1)A (2)C思维升华 涉及概念、性质的辨析或运算较简单的题目常用直接法．只要推理严谨，运算正确必能得出正确的答案．平时练习中应不断提高用直接法解选择题的能力，不能一味求快导致快中出错． 跟踪演练1(1)数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1＝13，且对任意正整数m 、n ，都有a m ＋n ＝a m ·a n ，若S n <a 恒成立，则实数a 的最小值为( ) A.12 B.23 C.32D ．2 (2)(2015·四川)执行如图所示的程序框图，输出S 的值为( )A ．－32B. 32C ．－12D.12方法二 特例法从题干(或选项)出发，通过选取特殊情况代入，将问题特殊化或构造满足题设条件的特殊函数或图形位置，进行判断．特殊化法是“小题小做”的重要策略，要注意在怎样的情况下才可使用，特殊情况可能是：特殊值、特殊点、特殊位置、特殊函数等．例 2 (1)(2014·上海)设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(x －a )2，x ≤0，x ＋1x ＋a ，x >0.若f (0)是f (x )的最小值，则a 的取值范围为( ) A ．[－1,2] B ．[－1,0] C ．[1,2] D ．[0,2](2)已知等比数列{a n }满足a n >0，n ＝1,2,3，…，且a 5·a 2n －5＝22n (n ≥3)，当n ≥1时，log 2a 1＋l og 2a 3＋…＋log 2a 2n －1等于( )A ．n (2n －1)B ．(n ＋1)2C ．n 2D ．(n －1)2【详细分析】(1)若a ＝－1，则f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(x ＋1)2，x ≤0，x ＋1x－1，x >0，易知f (－1)是f (x )的最小值，排除A ，B ；若a ＝0，则f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ≤0，x ＋1x，x >0，易知f (0)是f (x )的最小值，故排除C.D 正确．(2)因为a 5·a 2n －5＝22n (n ≥3)，所以令n ＝3，代入得a 5·a 1＝26，再令数列为常数列，得每一项为8，则log 2a 1＋log 2a 3＋log 2a 5＝9＝32.结合选项可知只有C 符合要求． 答案 (1)D (2)C思维升华 特例法具有简化运算和推理的功效，比较适用于题目中含有字母或具有一般性结论的选择题，但用特例法解选择题时，要注意以下两点： 第一，取特例尽可能简单，有利于计算和推理；第二，若在不同的特殊情况下有两个或两个以上的结论相符，则应选另一特例情况再检验，或改用其他方法求解． 跟踪演练2(1)已知f (x )，g (x )分别是定义在R 上的偶函数和奇函数，且f (x )－g (x )＝x 3＋x 2＋1，则f (1)＋g (1)等于( )A ．－3B ．－1C ．1D ．3(2)已知O 是锐角△ABC 的外接圆圆心，∠A ＝60°，cos Bsin C·AB→＋cos C sin B·AC→＝2m ·AO →，则m 的值为( ) A.32 B. 2 C ．1 D.12方法三 排除法排除法也叫筛选法或淘汰法，使用排除法的前提条件是答案唯一，具体的做法是采用简捷有效的手段对各个备选答案进行“筛选”，将其中与题干相矛盾的干扰项逐一排除，从而获得正确答案． 例3 (1)(2015·课标全国Ⅱ)根据下面给出的2004年至2013年我国二氧化硫排放量(单位：万吨)柱形图．以下结论不正确的是( )A ．逐年比较，2008年减少二氧化硫排放量的效果最显著B ．2007年我国治理二氧化硫排放显现成效C ．2006年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势D ．2006年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关(2)(2015·浙江)函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫x －1x cos x (－π≤x ≤π且x ≠0)的图象可能为( )【详细分析】(1)从2006年，将每年的二氧化硫排放量与前一年作差比较，得到2008年二氧化硫排放量与2007年排放量的差最大，A 选项正确； 2007年二氧化硫排放量较2006年降低了很多，B 选项正确；虽然2011年二氧化硫排放量较2010年多一些，但自2006年以来，整体呈递减趋势，即C 选项正确；自2006年以来我国二氧化硫年排放量与年份负相关，D 选项错误，故选D. (2)∵f (x )＝(x －1x)cos x ，∴f (－x )＝－f (x )，∴f (x )为奇函数，排除A ，B ；当x →π时，f (x )＜0，排除C.故选D. 答案 (1)D (2)D思维升华 排除法适应于定性型或不易直接求解的选择题．当题目中的条件多于一个时，先根据某些条件在选项中找出明显与之矛盾的予以否定，再根据另一些条件在缩小选项的范围内找出矛盾，这样逐步筛选，直到得出正确的答案． 跟踪演练3 (1)已知f (x )＝14x 2＋sin(π2＋x )，则f ′(x )的图象是( )(2)(2015·北京)设{a n }是等差数列，下列结论中正确的是( ) A ．若a 1＋a 2＞0，则a 2＋a 3＞0 B ．若a 1＋a 3＜0，则a 1＋a 2＜0 C ．若0＜a 1＜a 2，则a 2＞a 1a 3 D ．若a 1＜0，则(a 2－a 1)(a 2－a 3)＞0方法四 数形结合法在处理数学问题时，能够将抽象的数学语言与直观的几何图形有机结合起来，通过对规范图形或示意图形的观察分析，将数的问题(如解方程、解不等式、判断单调性、求取值范围等)与某些图形结合起来，利用图象的直观性，化抽象为直观，化直观为精确，从而使问题得到解决，这种方法称为数形结合法．例4 设函数g (x )＝x 2－2(x ↔R )，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧g (x )＋x ＋4，x <g (x )，g (x )－x ，x ≥g (x )， 则f (x )的值域是( )A ．[－94，0]∪(1，＋∞)B ．[0，＋∞)C ．[－94，＋∞)D ．[－94，0]∪(2，＋∞)【详细分析】由x <g (x )得x <x 2－2，∴x <－1或x >2； 由x ≥g (x )得x ≥x 2－2，∴－1≤x ≤2.∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ＋2，x <－1或x >2，x 2－x －2，－1≤x ≤2.即f (x )＝⎩⎨⎧(x ＋12)2＋74，x <－1或x >2，(x －12)2－94，－1≤x ≤2.当x <－1时，f (x )>2；当x >2时，f (x )>8.∴当x ↔(－∞，－1)∪(2，＋∞)时，函数的值域为(2，＋∞)． 当－1≤x ≤2时，－94≤f (x )≤0.∴当x ↔[－1,2]时，函数的值域为[－94，0]．综上可知，f (x )的值域为[－94，0]∪(2，＋∞)．答案 D思维升华 数形结合法是依靠图形的直观性进行分析的，用这种方法解题比直接计算求解更能抓住问题的实质，并能迅速地得到结果．使用数形结合法解题时一定要准确把握图形、图象的性质，否则会因为错误的图形、图象得到错误的结论．跟踪演练4 函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫12|x －1|＋2cos πx (－2≤x ≤4)的所有零点之和等于( ) A ．2 B ．4 C ．6 D ．8方法五 构造法构造法是一种创造性思维，是综合运用各种知识和方法，依据问题给出的条件和结论给出的信息，把问题作适当的加工处理，构造与问题相关的数学模式，揭示问题的本质，从而沟通解题思路的方法．例5 已知函数f (x )是定义在R 上的可导函数，且对于∀x ↔R ，均有f (x )>f ′(x )，则有( ) A ．e 2 016f (－2 016)<f (0)，f (2 016)>e 2 016f (0) B ．e 2 016f (－2 016)<f (0)，f (2 016)<e 2 016f (0) C ．e 2 016f (－2 016)>f (0)，f (2 016)>e 2 016f (0) D ．e 2 016f (－2 016)>f (0)，f (2 016)<e 2 016f (0) 【详细分析】构造函数g (x )＝f (x )e x， 则g ′(x )＝f ′(x )e x －(e x )′f (x )(e x )2＝f ′(x )－f (x )e x ，因为∀x ↔R ，均有f (x )>f ′(x )，并且e x >0， 所以g ′(x )<0，故函数g (x )＝f (x )e x 在R 上单调递减，所以g (－2 016)>g (0)，g (2 016)<g (0)， 即f (－2 016)e－2 016>f (0)，f (2 016)e 2 016<f (0)，也就是e 2 016f (－2 016)>f (0)，f (2 016)<e 2 016f (0)． 答案 D思维升华 构造法求解时需要分析待求问题的结构形式，特别是研究整个问题复杂时，单独摘出其中的部分进行研究或者构造新的情景进行研究． 跟踪演练5 (1)(2015·课标全国Ⅱ)设函数f ′(x )是奇函数f (x )(x ↔R )的导函数，f (－1)＝0，当x >0时，xf ′(x )－f (x )＜0，则使得f (x )>0成立的x 的取值范围是( ) A ．(－∞，－1)∪(0,1) B ．(－1,0)∪(1，＋∞) C ．(－∞，－1)∪(－1,0)D ．(0,1)∪(1，＋∞)(2)若四面体ABCD 的三组对棱分别相等，即AB ＝CD ，AC ＝BD ，AD ＝BC ，给出下列五个命题：①四面体ABCD 每组对棱相互垂直； ②四面体ABCD 每个面的面积相等；③从四面体ABCD 每个顶点出发的三条棱两两夹角之和大于90°而小于180°； ④连接四面体ABCD 每组对棱中点的线段相互垂直平分；⑤从四面体ABCD 每个顶点出发的三条棱的长可作为一个三角形的三边长． 其中正确命题的个数是( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．5方法六 估算法由于选择题提供了唯一正确的选项，解答又无需过程，因此，有些题目不必进行准确的计算，只需对其数值特点和取值界限作出适当的估计，便能作出正确的判断，这就是估算法．估算法往往可以减少运算量，但是加强了思维的层次．例6 (1)已知x 1是方程x ＋lg x ＝3的根，x 2是方程x ＋10x ＝3的根，则x 1＋x 2等于( ) A ．6 B ．3 C ．2 D ．1(2)如图，在多面体ABCDEF 中，四边形ABCD 是边长为3的正方形，EF ∥AB ，EF ＝32，EF 与平面ABCD 的距离为2，则该多面体的体积为( )A.92 B ．5 C ．6 D.152【详细分析】(1)因为x 1是方程x ＋lg x ＝3的根，所以2<x 1<3， x 2是方程x ＋10x ＝3的根， 所以0<x 2<1， 所以2<x 1＋x 2<4.(2)该多面体的体积比较难求，可连接BE 、CE ，问题转化为四棱锥E －ABCD 与三棱锥E －BCF 的体积之和， 而V E －ABCD ＝13S ·h＝13×9×2＝6，所以只能选D. 答案 (1)B (2)D思维升华 估算法是根据变量变化的趋势或极值的取值情况进行求解的方法．当题目从正面解析比较麻烦，特值法又无法确定正确的选项时(如难度稍大的函数的最值或取值范围、函数图象的变化等问题)常用此种方法确定选项．跟踪演练6 (1)(2015·成都七中测试)设a ＝log 23，b ＝232，c ＝343，则( )A ．b <a <cB ．c <a <bC ．c <b <aD ．a <c <b(2)(2015·课标全国Ⅱ)如图，长方形ABCD 的边AB ＝2，BC ＝1，O 是AB 的中点，点P 沿着边BC ，CD 与DA 运动，记∠BOP ＝x .将动点P 到A ，B 两点距离之和表示为x 的函数f (x )，则y ＝f (x )的图象大致为( )知识方法总结 快速破解选择题(一)直接法 (二)特例法 (三)排除法 (四)数形结合法 (五)构造法 (六)估算法选择题突破练A 组 专题通关1．(2015·温州市联考)已知集合A ＝{x |x 2－x －2＜0}，B ＝{x ||x |＜1}，则A ∩(∁U B )等于( ) A ．(1,2) B ．(1,2] C ．[1,2) D ．[1,2]2．(2015·安徽)下列函数中，既是偶函数又存在零点的是( ) A ．y ＝cos x B ．y ＝sin x C ．y ＝ln x D ．y ＝x 2＋13．(2015·湖南)执行如图所示的程序框图，如果输入n ＝3，则输出的S 等于( )A.67B.37C.89D.494．(2015·浙江)存在函数f (x )满足：对任意x ↔R 都有( ) A ．f (sin 2x )＝sin x B ．f (sin 2x )＝x 2＋x C ．f (x 2＋1)＝|x ＋1| D ．f (x 2＋2x )＝|x ＋1|5．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|sin x |，x ↔[－π，π]，lg x ，x >π，x 1，x 2，x 3，x 4，x 5是方程f (x )＝m 的五个不等的实数根，则x 1＋x 2＋x 3＋x 4＋x 5的取值范围是( ) A ．(0，π) B ．(－π，π) C ．(lg π，1)D ．(π，10)6．如图，在棱柱的侧棱A 1A 和B 1B 上各有一动点P 、Q 满足A 1P ＝BQ ，过P 、Q 、C 三点的截面把棱柱分成两部分，则其体积之比为( ) A ．3∶1 B ．2∶1 C ．4∶1 D.3∶17．(2015·湖北)设x ↔R ，[x ]表示不超过x 的最大整数．若存在实数t ，使得[t ]＝1，[t 2]＝2，…，[t n ]＝n 同时成立，则正整数n的最大值是( )A．3 B．4 C．5 D．68．函数y＝x cos x＋sin x的图象大致为( )9．(2015·成都新都区高三诊断测试)等差数列{a n}的前n项和为S n，若a1＜0，且S2 015＝0，则当S n取得最小值时，n的取值为( )A．1 009 B．1 008C．1 007或1 008 D．1 008或1 00910．已知四面体P－ABC的四个顶点都在球O的球面上，若PB⊥平面ABC，AB⊥AC，且AC ＝1，PB＝AB＝2，则球O的表面积为( )A．7π B．8π C．9π D．10π11．(2015·浙江省桐乡第一中学高三联考)若a＝20.5，b＝logπ3，c＝log222，则有( )A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．c＞a＞b D．b＞c＞a12．若圆x2＋y2＝r2(r＞0)上恰好有相异两点到直线4x－3y＋25＝0的距离等于1，则r的取值范围是( )A．[4,6]B．[4,6) C．(4,6]D．(4,6)B组能力提高13．(2015·杭州调研)已知m、n是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，给出下列命题：①若α⊥β，m∥α，则m⊥β；②若m⊥α，n⊥β，且m⊥n，则α⊥β；③若m⊥β，m∥α，α⊥β；④若m∥α，n∥β，且m∥n，则α∥β.其中正确命题的序号是( )A ．①④B ．②④C ．②③D ．①③ 14．(2015·广州联考)已知点P 是抛物线x 2＝4y 上的一个动点，则点P 到点M (2,0)的距离与点P 到抛物线准线的距离之和的最小值为( ) A.172 B. 5 C ．2 2 D.9215．(2015·北京朝阳区测试)设a 、b 为两个非零的平面向量，下列说法正确的是( ) ①若a ·b ＝0，则有|a ＋b |＝|a －b |； ②|a ·b |＝|a ||b |；③若存在实数λ，使得a ＝λb ，则|a ＋b |＝|a |＋|b |； ④若|a ＋b |＝|a |－|b |，则存在实数λ，使得a ＝λb . A ．①③ B ．①④ C ．②③ D ．②④ 16．(2015·浙江省桐乡四校联考)已知函数f (x )＝1－|2x －1|，x ↔[0,1]．定义：f 1(x )＝f (x )，f 2(x )＝f (f 1(x ))，…，f n (x )＝f (f n －1(x ))，n ＝2,3,4，…，满足f n (x )＝x 的点x ↔[0,1]称为f (x )的n 阶不动点，则f (x )的n 阶不动点的个数是( )A ．2nB ．2n 2C ．2(2n －1)D ．2n学生用书答案精析第二篇 掌握技巧，快速解答客观题第1讲 选择题的解法技巧跟踪演练1 (1)A (2)D【详细分析】(1)对任意正整数m 、n ，都有a m ＋n ＝a m ·a n ，取m ＝1，则有a n ＋1＝a n ·a 1⇒a n ＋1a n ＝a 1＝13，故数列{a n }是以13为首项，以13为公比的等比数列，则S n ＝13(1－13n )1－13＝12(1－13n )<12，由于S n <a 对任意n ↔N *恒成立，故a ≥12，即实数a 的最小值为12，选A.(2)每次循环的结果依次为：k ＝2，k ＝3，k ＝4，k ＝5＞4， ∴S ＝sin5π6＝12.选D. 跟踪演练2 (1)C (2)A【详细分析】(1)∵f (x )－g (x )＝x 3＋x 2＋1， ∴f (－x )－g (－x )＝－x 3＋x 2＋1. ∵f (x )是偶函数，g (x )是奇函数， ∴f (－x )＝f (x )，g (－x )＝－g (x )． ∴f (x )＋g (x )＝－x 3＋x 2＋1. ∴f (1)＋g (1)＝－1＋1＋1＝1.(2)如图，当△ABC 为正三角形时，A ＝B ＝C ＝60°，取D 为BC 的中点， AO →＝23AD →，则有13AB →＋13AC →＝2m ·AO →， ∴13(AB →＋AC →)＝2m ×23AD →，∴13·2AD →＝43mAD →，∴m ＝32，故选A. 跟踪演练3 (1)A (2)C【详细分析】(1)f (x )＝14x 2＋sin(π2＋x )＝14x 2＋cos x ，故f ′(x )＝(14x 2＋cos x )′＝12x －sin x ，记g (x )＝f ′(x )，其定义域为R ，且g (－x )＝12(－x )－sin(－x )＝－(12x －sin x )＝－g (x )，所以g (x )为奇函数，所以排除B ，D 两项，g ′(x )＝12－cosx ，显然当x ↔(0，π3)时，g ′(x )<0，g (x )在(0，π3)上单调递减，故排除C.选A.(2)设等差数列{a n }的公差为d ，若a 1＋a 2>0，a 2＋a 3＝a 1＋d ＋a 2＋d ＝(a 1＋a 2)＋2d ，由于d 正负不确定，因而a 2＋a 3符号不确定，故选项A 错；若a 1＋a 3<0，a 1＋a 2＝a 1＋a 3－d ＝(a 1＋a 3)－d ，由于d 正负不确定，因而a 1＋a 2符号不确定，故选项B 错；若0<a 1<a 2，可知a 1>0，d >0，a 2>0，a 3>0，∴a 22－a 1a 3＝(a 1＋d )2－a 1(a 1＋2d )＝d 2>0，∴a 2>a 1a 3，故选项C正确；若a 1<0，则(a 2－a 1)·(a 2－a 3)＝d ·(－d )＝－d 2≤0，故选项D 错． 跟踪演练4 C [由f (x )＝⎝⎛⎭⎫12|x －1|＋2cos πx ＝0，得⎝⎛⎭⎫12|x －1|＝－2cos πx ， 令g (x )＝⎝⎛⎭⎫12|x －1|(－2≤x ≤4)， h (x )＝－2cos πx (－2≤x ≤4)，又因为g (x )＝⎝⎛⎭⎫12|x －1|＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝⎛⎭⎫12x －1， 1≤x ≤4，2x －1， －2≤x <1.在同一坐标系中分别作出函数g (x )＝⎝⎛⎭⎫12|x －1|(－2≤x ≤4)和h (x ) ＝－2cos πx (－2≤x ≤4)的图象(如图)，由图象可知，函数g (x )＝⎝⎛⎭⎫12|x －1|关于x ＝1对称， 又x ＝1也是函数h (x )＝－2cos πx (－2≤x ≤4)的对称轴，所以函数g (x )＝⎝⎛⎭⎫12|x －1|(－2≤x ≤4)和h (x )＝－2cos πx (－2≤x ≤4)的交点也关于x ＝1对称，且两函数共有6个交点，所以所有零点之和为6.] 跟踪演练5 (1)A (2)C【详细分析】(1)因为f (x )(x ↔R )为奇函数，f (－1)＝0，所以f (1)＝－f (－1)＝0.当x ≠0时，令g (x )＝f (x )x，则g (x )为偶函数，且g (1)＝g (－1)＝0.则当x ＞0时，g ′(x )＝⎝⎛⎭⎫f (x )x ′＝xf ′(x )－f (x )x 2＜0，故g (x )在(0，＋∞)上为减函数，在(－∞，0)上为增函数．所以在(0，＋∞)上，当0＜x ＜1时，g (x )＞g (1)＝0⇔f (x )x ＞0⇔f (x )＞0；在(－∞，0)上，当x ＜－1时，g (x )＜g (－1)＝0⇔f (x )x ＜0⇔f (x )＞0.综上，得使f (x )＞0成立的x 的取值范围是(－∞，－1)∪(0,1)，选A.(2)构造长方体，使三组对棱恰好是长方体的三组平行面中异面的对角线，在此背景下，长方体的长、宽、高分别为x ，y ，z . 对于①，需要满足x ＝y ＝z ，才能成立；。

2016年普通高等学校招生考试真题试卷数 学（理科）参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么 球的表面积公式P （A+B ）=PA ．+PB ． S=4лR 2如果事件A 、B 相互独立，那么 其中R 表示球的半径P （A ·B ）=PA ．+PB ． 球的体积公式1+2+…+n 2)1(+n n V=334R π 12+22+…+n 2=6)12)(1(++n n n 其中R 表示球的半径 13+23++n 3=4)1(22+n n 第Ⅰ卷（选择题 共55分）一、选择题：本大题共11小题，每小题5分，共55分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．下列函数中，反函数是其自身的函数为A ．[)+∞∈=,0,)(3x x x f B ．[)+∞∞-∈=,,)(3x x x f C ．),(,)(+∞-∞∈=x e x f x D ．),0(,1)(+∞∈=x xx f 2．设l ，m ，n 均为直线，其中m ，n 在平面α内，“l ⊥α”是l ⊥m 且“l ⊥n ”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件3．若对任意∈x R,不等式x ≥ax 恒成立，则实数a 的取值范围是A ．a ＜-1B ．a ≤1C ． a ＜1D ．a ≥14．若a 为实数，iai212++＝-2i ，则a 等于 A ．2 B ．—2 C ．22 D ．—225．若}{8222<≤Z ∈=-x x A ，{}1log R 2>∈=x x B ，则)(C R B A ⋂的元素个数为A ．0B ．1C ．2D ．3 6．函数)3π2sin(3)(-=x x f 的图象为C ， ①图象C 关于直线π1211=x 对称； ②函灶)(x f 在区间)12π5,12π(-内是增函数； ③由x y 2sin 3=的图象向右平移3π个单位长度可以得到图象C .以上三个论断中，正确论断的个数是A ．0B ．1C ．2D ．37．如果点P 在平面区域⎪⎩⎪⎨⎧≤-+≤+-≥+-02012022y x y x y x 上，点Q 在曲线1)2(22=++y x 上，那么Q P 的最小值为A ．15-B ．154- C ．122- D ．12-8．半径为1的球面上的四点D C B A ,,,是正四面体的顶点，则A 与B 两点间的球面距离为A ．)33arccos(-B ．)36arccos(-C ．)31arccos(- D ．)41arccos(- 9．如图，1F 和2F 分别是双曲线)0,0(12222>>=-b a br a x 的两个焦点，A 和B 是以O 为圆心，以1F O 为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且△AB F 2是等边三角形，则双曲线的离心率为A ．3B ．5C ．25D ．31+10．以)(x φ表示标准正态总体在区间（x ,∞-）内取值的概率，若随机变量ξ服从正态分布),(2σμN ，则概率)(σμξ<-P 等于 A ．)(σμφ+-)(σμφ-B ．)1()1(--φφC ．)1(σμφ-D ．)(2σμφ+ 11．定义在R 上的函数)(x f 既是奇函数，又是周期函数，T 是它的一个正周期.若将方程0)(=x f 在闭区间][T T ,-上的根的个数记为n ，则n 可能为A ．0B ．1C ．3D ．5二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分。