最新经典试题系列--高考题选编(选择题填空题部分)导数与极限

十年（2014－2023）年高考真题分项汇编导数选择、填空目录题型一：导数的概念及其几何意义 ..................................... 1 题型二：导数与函数的单调性 ......................................... 8 题型三：导数与函数的极值、最值 ..................................... 9 题型四：导数与函数的零点 .......................................... 14 题型五：导数的综合应用 ............................................ 16 题型六：定积分 (20)题型一：导数的概念及其几何意义一、选择题1．(2021年新高考Ⅰ卷·第7题)若过点(),a b 可以作曲线e x y =的两条切线，则( )A ．e b a <B ．e a b <C ．0e b a <<D ．0e a b <<【答案】D解析:在曲线x y e =上任取一点(),tP t e ，对函数x y e =求导得e x y ′=，所以，曲线x y e =在点P 处的切线方程为()t t y e e x t −=−，即()1t ty e x t e +−， 由题意可知，点(),a b 在直线()1t t y e x t e +−上，可得()()11t tt b ae t e a t e =+−=+−，令()()1t f t a t e =+−，则()()t f t a t e ′=−．当t a <时，()0f t ′>，此时函数()f t 单调递增， 当t a >时，()0f t ′<，此时函数()f t 单调递减，所以，()()max a f t f a e ==， 由题意可知，直线y b =与曲线()y f t =的图象有两个交点，则()max a b f t e <=， 当1t a <+时，()0f t >，当1t a >+时，()0f t <，作出函数()f t 的图象如下图所示：由图可知，当0a b e <<时，直线y b =与曲线()y f t =的图象有两个交点,故选D ．2．(2020年高考课标Ⅰ卷理科·第0题)函数43()2f xx x =−的图像在点(1(1))f ，处的切线方程为( )A ．21y x =−− B ．21y x =−+ C ．23y x =− D ．21y x =+ 【答案】B【解析】()432f x x x =− ，()3246f x x x ′∴=−，()11f ∴=−，()12f ′=−， 因此，所求切线的方程为()121y x +=−−，即21y x =−+． 故选：B ．【点睛】本题考查利用导数求解函图象的切线方程，考查计算能力，属于基础题 3．(2020年高考课标Ⅲ卷理科·第0题)若直线l 与曲线yx 2+y 2=15都相切，则l 的方程为( )A ．y =2x +1B ．y =2x +12C ．y =12x +1 D ．y =12x +12【答案】D解析：设直线l在曲线y =(0x ，则00x >，函数y =的导数为y ′=，则直线l的斜率k =，设直线l的方程为)0y x x −−，即00x x −+=， 由于直线l 与圆2215x y +==， 两边平方并整理得2005410x x −−=，解得01x =，015x =−(舍)， 则直线l 的方程为210x y −+=，即1122y x =+． 故选：D ．【点睛】本题主要考查了导数的几何意义的应用以及直线与圆的位置的应用，属于中档题．4．(2019·全国Ⅲ·理·第6题)已知曲线e ln x y a x x =+在点()1,ae 处的切线方程为2y x b =+，则( )A ．,1a e b ==−B ．,1a e b ==C ．1,1a e b −==D ．1,1a e b −==−【答案】D【解析】由/ln 1x y ae x =++，根据导数的几何意义易得/1|12x y ae ==+=，解得1a e −=，从而得到切点坐标为(1,1)，将其代入切线方程2y x b =+，得21b +=，解得1b =−，故选D ．【点评】准确求导是进一步计算的基础，本题易因为导数的运算法则掌握不熟，二导致计算错误．求导要“慢”，计算要准，是解答此类问题的基本要求．另外对于导数的几何意义要注意给定的点是否为切点，若为切点，牢记三条：①切点处的导数即为切线的斜率；②切点在切线上；③切点在曲线上。

高中数学的导数与极限应用测试题在高中数学的学习中，导数与极限是极为重要的概念，它们在解决各种数学问题中发挥着关键作用。

为了帮助同学们更好地掌握这部分知识，以下是一套精心设计的导数与极限应用测试题。

一、选择题（每题 5 分，共 30 分）1、函数＼（f(x) ＝ x^3 3x ＋ 1\）的导数＼（f'（x)＼）为（）A ＼（3x^2 3\）B ＼（3x^2\）C ＼（3x^2 ＋ 3\）D ＼（3x^2 1\）2、已知函数＼（f(x) ＝＼frac{1}｛x}＼），则＼（f'（2)＼）的值为（）A ＼（＼frac{1}｛4}＼）B ＼（＼frac{1}｛4}＼）C ＼（＼frac{1}｛2}＼） D ＼（＼frac{1}｛2}＼）3、函数＼（y ＝＼sin x\）的导数为（）A ＼（＼cos x\）B ＼（＼cos x\）C ＼（＼sin x\）D ＼（＼sin x\）4、极限＼（＼lim_{x ＼to 0} ＼frac{＼sin x}｛x}＼）的值为（）A 0B 1C ＼（＼infty\）D 不存在5、函数＼（f(x) ＝ x^2 2x ＋ 3\）在＼（x ＝ 1\）处的导数为（）A 0B 1C 2D 36、若＼（f(x) ＝＼ln x\），则＼（f'（e)＼）的值为（）A ＼（＼frac{1}｛e}＼）B ＼（＼frac{1}｛e}＼）C ＼（ e\）D ＼（＼frac{1}｛e^2}＼）二、填空题（每题 5 分，共 30 分）1、函数＼（f(x) ＝ 2x^2 ＋ 3x 1\）的导数＼（f'（x) ＝＼）＿____。

2、曲线＼（y ＝ x^3 2x ＋ 1\）在点＼（（1, 0) ＼）处的切线方程为_____。

3、已知函数＼（f(x) ＝＼cos x\），则＼（f'（＼frac{＼pi}｛2}）＝＼）＿____。

4、极限＼（＼lim_{x ＼to 1} ＼frac{x^2 1}｛x 1} ＝＼）＿____。

第二章《极限与导数》测验题班级⎽⎽⎽⎽⎽⎽ 姓名⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽ 记分⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽一、选择题：1、对于数列{}n a ，若lim 0n n a →∞=，则称数列{}n a 为无穷小数列。

在下列各数列中为无穷小数列的是（ ） ①(1)1n n a n -=+；②1(1)n n a n+-=；③110n n a =；④sin cos n a n n ππ= A ．①②； B ．①③； C ．②④； D ．③④2、若数列134n n a n +=+从第m 项开始，其后面各项与13的差的绝对值都小于0.01，则m 等于（ ）A ．7；B ．8；C ．9；D ．103、设f (x )=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<<=<<21112110 x x x x 则f (x )的连续区间为( ) A.(0，2) B.(0，1) C.(0，1)∪(1，2) D.(1，2)4、若()f x 在0x x =处无定义，则()f x 在0x x =处（ ）A ．无极限；B ．不连续；C ．连续无极限；D ．不连续有极限5、若f (x )=11113-+-+x x 在点x =0处连续，则f (0)等于( )A.23B.32C.1D.06、已知函数()1x x f x x x ⎧=⎨-⎩， 为有理数， 为无理数，指出函数()f x 在哪一点连续（ ）A ．处处连续；B ．1x =；C ．0x =；D ．12x = 7、设函数()xf x e =，则下面叙述正确的是（ ） A ．当x →∞时，x e →∞； B ．当x →∞时，0x e →；C ．当x →+∞时，x e →+∞；D ．当x →-∞时，x e →-∞ 8、已知()()()01,lim x f x x f x f x x x→+-=等于（ ） A ．21x ； B ．x ； C ．21x-； D ．x - 9、下列极限中，其值等于2的是（ ）A ．2362lim 34x x x →+∞++；B ．23062lim 34x x x →++； C ．231621lim 341x x x x →-⎛⎫+- ⎪++⎝⎭； D ．012lim 1242n n n n n n n C C C C →∞++++++++…… 10、若,m n 是两个不相等的正整数，那么()()011lim m nx x x x →+-+等于（ ）Ａ．m n -； Ｂ．n m -； Ｃ．m n +； Ｄ．11m n+ 11、当0x →时，下列函数极限存在的是（ ） （1）(),00,0x x x f x x ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩（2）()1,00,0x e x f x x ⎧⎪≠=⎨⎪=⎩（3）(),0111x x x x f x x ⎧<≠-⎪+=≤< 且 （4）()1-,x x f x x x ⎧=⎨⎩ ,为有理数为无理数 A ．（1）（2）； B ．（3）（4）； C ．（1）（3）； D ．（2）（4）12、数列⋯⋯⋯⋯-,)21,)21(,)21(,21,1,132n ，（的极限为a,则a 的值为………（ （A ）a=1(B) a= -1 (C) a 不存在 (D) a=0二、填空题： 13、若d cx bx ax x f +++=23)(的极值点为－2和2／3，不等式f （-3-2x 2）＞f （-x 2+2x-4） 的解为14、函数y=x+2cosx 在区间[0，21]上的最大值为 ； 15、函数x e x y 2=的单调递增区间为 ．16、函数12)(+=x x f 的导数为三、解答题：17（1）limx →-∞ （2）4tan 2lim cot 4x x x ππ→⎛⎫- ⎪⎝⎭（3）x x x x arctan 4)2ln(lim 21--→ （4）()0sin sin lim x x xθθ→+-= ()θ为常数.18、设f(x)= ⎪⎩⎪⎨⎧=+-≠++-1)(x 3ax 1)(x x)(1112 ，()f x 在区间),(+∞-∞内连续，求 a 的值；19、函数()(),0,01sin ,0x e x f x k x k x x x⎧⎪<⎪==⎨⎪⎪>⎩ 为常数 在0x =处连续的充分必要条件 ；20、已知21lim 01x x ax b x →∞⎛⎫+--= ⎪+⎝⎭，求常数a b 、的值 ；21、已知P Q 、分别为圆222x y r +=与y 轴和抛物线2y x =在x 轴上方的交点，直线PQ交x 轴于M 点，当半径0r →时，求点M 的极限位置 ；22、已知函数⎩⎨⎧>≤-=0)(x0)(x 2)(x e b x x f ,若)(lim 0x f x →存在，求常数b 的值 ；。

高三数学第2、3章《极限》《导数》测试及答案一、选择题:本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个选项正确 1．（理）若复数z 满足方程022=+z ，则=3z（ ）A ．22±B ． 22-C ．i 22-D ． i 22±(文)曲线y=4x －x 3在点(－1,－3)处的切线方程是（ ）A ． y=7x+4B ． y=7x+2C ． y=x －4D ． y=x －22．函数y=x 2(－21≤x ≤21)图像上一点P,以点P 为切点的切线为直线l,则直线l 的倾斜角的范围是（ ）A ．［0,4π］∪［43π,π］B ．［0,π］C ．［4π,43π］D ．［0,4π］∪(2π,43π) 3．（理）若2lim →x 434222=--+x ax x ,则a 的值为（ ）A ．0B ．1C ．－1D ．21（文）在曲线y=x 2+1的图像上取一点（1,2）及邻近一点（1+Δx ,2+Δy ）,则yx∆∆为（ ） A ．Δx+x∆1+2 B ．Δx －x ∆1－2 C ．Δx+2D ．2+Δx －x ∆14．曲线y=51x 5+3x 2+4x 在x =－1处的切线的倾斜角是（ ）A ．－4πB ．4πC ．43πD ．45π5．函数f(x)=x 3－ax 2－bx+a 2在x=1时,有极值10,则a 、b 的值为（ ）A ．⎩⎨⎧=-=⎩⎨⎧-==1143,3b a b a 或 B ．⎩⎨⎧==⎩⎨⎧=-=1141,4b -a b a 或 C ．⎩⎨⎧=-=51b aD ．以上皆错6．（理）已知()23,12,1x x f x x +≠⎧=⎨=⎩，下面结论正确的是（ ）A ．()f x 在1x =处连续B ．()5f x =C ．()1lim 2x f x -→= D ．()1lim 5x f x +→=（文）设f （x ）=a x 3+3x 2+2,若f ′（－1）=4,则a 的值等于A ．319B ．316 C ．313 D ．3107．函数f(x )=x 3－3x +1,x ∈［－3,0］的最大值、最小值分别是（ ）A ．1,－1B ．1,－17C ．3, －17D ．9,－198．（理）数列{a n }中，a 1=1,S n 是前n 项和.当n ≥2时，a n =3S n ,则∞→n lim311-++n n S S 的值是（ ）A ．－31B ．－2C ．1D ．－54（文）曲线y=x 3－3x 2+1在点（1，－1）处的切线方程为（ ）A ．y=3x －4B ．y=－3x+2C ．y=－4x+3D ．y=4x －5 9．（理）2+23i 的平方根是（ ）A ．3+iB ．3±iC ．±3+iD ．±(3+i)（文）已知f （x ）=2x 3－6x 2+m （m 为常数）在［－2，2］上有最大值3，那么此函数在［－2，2］上的最小值是（ ）A ．－37B ．－29C ．－5D ．以上都不对10．已知函数)(x f x y '=的图像如右图所示（其中 )(x f '是函数)(x f 的导函数），下面四个图像中)(x f y =的图像大致是11．设f(x)、g(x)分别是定义在R 上的奇函数和偶函数,当x ＜0时,)()()()(x g x f x g x f '-' ＞0.且g(3)=0.则不等式f(x)g(x)＜0的解集是（ ）A ．（－3,0)∪(3,+∞)B ．(－3,0)∪(0, 3)C ．(－∞,- 3)∪(3,+∞)D ．(－∞,－ 3)∪(0, 3)12．已知两点O （0,0），Q （a ,b ）,点P 1是线段OQ 的中点，点P 2是线段QP 1的中点，P 3是线段P 1P 2的中点，┅，2+n P 是线段n P 1+n P 的中点，则点n P 的极限位置应是（ ） A ．（2a ,2b） B ．(3,3b a ) C ．(32,32b a ) D ． (43,43ba )二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在题中横线上)13．垂直于直线2x －6y+1=0且与曲线y=x 3+3x 2－1相切的直线方程的一般式是__________.14．(理) （2006年安徽卷）设常数0a >，42ax ⎛ ⎝展开式中3x 的系数为32，则2lim()n n a a a →∞++⋅⋅⋅+=_____.(文)(2006福建高考)已知直线10x y --=与抛物线2y ax =相切，则______.a = 15．函数f(x)=2x 3+3x 2－12x －5,则函数f(x)的单调增区间是______. 16．（理）用数学归纳法证)"(212111211214131211"*N n nn n n n ∈+++++=--++-+- 的过程中，当n=k 到n=k+1时，左边所增加的项为_______________.（文）若函数f （x ）=x 3+x 2+mx+1是R 上的单调递增函数，则m 的取值范围是______________．三、解答题(本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．（本小题满分12分）（理）设函数⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥-<≤-+-<≤<=)3(4)31(24)10()0(0)(2x xx x x x x x x f（1）画出函数的图像；（2）在x=0，x=3处函数)(x f 是否连续； （3）求函数)(x f 的连续区间. （文）已知函数ax ax x f 313)(23-+-=. （1）讨论函数)(x f 的单调性；（2）若曲线)(x f y =上两点A 、B 处的切线都与y 轴垂直，且线段AB 与x 轴有公共点，求实数a 的取值范围.18．（本题满分12分）（理）已知复数z 1=cosθ－i ，z 2=sinθ+i ，求| z 1·z 2|的最大值和最小值.（文）(2006福建高考)已知()f x 是二次函数，不等式()0f x <的解集是(0,5),且()f x 在区间[]1,4-上的最大值是12。

导数和极限的练习题导数和极限是高等数学中的重要概念，它们在微积分的学习中起着非常重要的作用。

它们在实际问题的解决中有广泛的应用。

接下来，我将给大家举一些关于导数和极限的练习题，帮助大家更好地理解和应用这两个概念。

例题一：求函数f(x)=2x^3-4x^2+2x的导数f'(x)。

解析：根据函数导数的定义，导数可以通过极限的方式求得。

我们需要求出函数在x点处的斜率lim(x->x0)(f(x)-f(x0))/(x-x0)，也就是函数f(x)在点x处的切线斜率。

对于给定的函数f(x)=2x^3-4x^2+2x，我们希望求出导数f'(x)。

首先，我们可以对f(x)进行化简，得到f'(x)=6x^2-8x+2。

这就是函数f(x)的导数。

这个例题让我们看到了导数的求解过程，它是一个通过极限来描述函数斜率的工具。

导数的概念在求解函数的极值、切线等问题时起着重要的作用。

例题二：计算极限lim(x->0)(sinx/x)。

解析：这是一个比较常见的极限计算问题，它在数学的初等部分就有讲解。

要计算这个极限，可以使用泰勒级数展开法，将函数sinx在x=0附近进行泰勒展开，即sinx=x-x^3/3!+x^5/5!-...。

我们将前几项进行简化，得到sinx=x+O(x^3)，其中O(x^3)表示当x趋于0时，高阶项的增长速度远远慢于x^3，可以忽略。

然后，我们希望求出lim(x->0)(sinx/x)的极限。

将sinx=x+O(x^3)代入极限的表达式中，得到lim(x->0)(sinx/x)=lim(x->0)(x+O(x^3))/x=lim(x->0)(1+O(x^2))=1。

因此，极限的结果为1。

这个例题展示了极限的计算方法，它是数学中非常重要的一个概念。

极限的计算在数学中有广泛的应用，它常常出现在求解连续性、收敛性等问题中。

通过以上的两个例题，我们可以看到导数和极限在高等数学中的重要性。

导数1．（上海文）计算：23(1)______61lim n n n n →∞+=+。

612（上海理）计算：1lim 33+∞→n C nn ＝ ．解：33223333321(1)(2)321lim lim limlim 161(1)3!(1)3!(1)3!n n n n n C n n n n n n n n n n n n→∞→∞→∞→∞-+---+====++++；3．（四川理）已知23,1(),2,1x x f x x +≠⎧=⎨=⎩ 下面结论正确的是D （A ）f(x)在x=1处连续 （B ）f(1)＝5 （C ）1lim ()2x f x →=－（D ）1lim ()5x f x →= 4．设函数()11+=x x f ，点0A 表示坐标原点，点()()()*,N n n f n A n ∈，若向量01121n n n a A A A A A A -=+++，n θ是n a 与i 的夹角，（其中()0,1=i），设n n S θθθtan tan tan 21+++= ，则n n S ∞→lim = ．15．（重庆理）213(21)lim21n n n n →∞+++-=-+ 。

213(21)lim 21n n n n →∞+++-=-+221lim 212n n n n →∞=-+。

6．（山东理）若==-+∞→a na n n n 则常数,1)(1lim.7．（山东理）（本小题满分12分）设函数()(1)ln(1)f x ax a x =-++，其中1a ≥-，求()f x 的单调区间.7．解：由已知得函数()f x 的定义域为(1,)-+∞，且'1()(1),1ax f x a x -=≥-+ （1）当10a -≤≤时，'()0,f x <函数()f x 在(1,)-+∞上单调递减， （2）当0a >时，由'()0,f x =解得1.x a='()f x 、()f x 随x 的变化情况如下表从上表可知当1(1,)x a∈-时，'()0,f x <函数()f x 在1(1,)a-上单调递减. 当1(,)x a∈+∞时，'()0,f x >函数()f x 在1(,)a+∞上单调递增. 综上所述：当10a -≤≤时，函数()f x 在(1,)-+∞上单调递减.当0a >时，函数()f x 在1(1,)a -上单调递减，函数()f x 在1(,)a+∞上单调递增. 8．（山东文）（本小题满分12分）设函数f(x)= 3223(1)1, 1.x a x a --+≥其中 (Ⅰ)求f(x)的单调区间； (Ⅱ) 讨论f(x)的极值.8．解：由已知得 []'()6(1)f x x x a =--，令'()0f x =，解得 120,1x x a ==-.（Ⅰ）当1a =时，'2()6f x x =，()f x 在(,)-∞+∞上单调递增当1a >时，()'()61f x x x a =--⎡⎤⎣⎦，'(),()f x f x 随x 的变化情况如下表：从上表可知，函数()f x 在(,0)-∞上单调递增；在(0,1)a -上单调递减；在(1,)a -+∞上单调递增.（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当1a =时，函数()f x 没有极值.当1a >时，函数()f x 在0x =处取得极大值，在1x a =-处取得极小值31(1)a --. 9．（陕西理）（本小题满分１4分）已知函数f(x)=x 3－x 2+x 2 + 14 , 且存在x 0∈(0,12) ,使f(x 0)=x 0.（I ）证明：f(x)是R 上的单调增函数；设x 1=0, x n+1=f(x n ); y 1=12, y n+1=f(y n ),其中 n=1,2,……（II ）证明：x n <x n+1<x 0<y n+1<y n ; （III ）证明：y n+1－x n+1y n －x n< 12 .9．解: （I ）∵f '(x )=3x 2－2x +12 = 3(x －13)2+16 >0 ， ∴f (x )是R 上的单调增函数．（II ）∵0<x 0<12 ， 即x 1<x 0<y 1．又f (x )是增函数， ∴f (x 1)<f (x 0)<f (y 1)．即x 2<x 0<y 2．又x 2=f (x 1)=f (0)=14>0 =x 1， y 2=f (y 1)=f (12)=38<12=y 1，综上， x 1<x 2<x 0<y 2<y 1．用数学归纳法证明如下:(1)当n =1时，上面已证明成立．(2)假设当n =k (k ≥1)时有x k <x k +1<x 0<y k +1<y k ．当n =k +1时，由f (x )是单调增函数，有f (x k )<f (x k +1)<f (x 0)<f (y k +1)<f (y k )，∴x k +1<x k +2<x 0<y k +2<y k +1 由(1)(2)知对一切n =1，2，…，都有x n <x n +1<x 0<y n +1<y n ．（III ）y n+1－x n+1y n －x n = f(y n )－f(x n )y n －x n= y n 2+x n y n +x n 2－(y n +x n )+ 12 ≤(y n +x n )2－(y n +x n )+ 12=[(y n +x n )－12]2+14 ． 由(Ⅱ)知 0<y n +x n <1．∴－12 < y n +x n －12 < 12 ， ∴y n+1－x n+1y n －x n < (12)2+14= 1210．（陕西文）（本小题满分１4分） 已知函数f (x )=kx 3－3x 2+1(k ≥0)． (Ⅰ)求函数f (x )的单调区间;(Ⅱ)若函数f (x )的极小值大于0， 求k 的取值范围． 10．解: （I ）当k =0时， f (x )=－3x 2+1 ∴f (x )的单调增区间为(－∞，0]，单调减区间[0，+∞)． 当k >0时 ， f '(x )=3kx 2－6x =3kx (x －2k)∴f (x )的单调增区间为(－∞，0] ， [2k ， +∞)， 单调减区间为[0， 2k ]．（II ）当k =0时， 函数f (x )不存在最小值． 当k >0时， 依题意 f (2k )= 8k 2 － 12k 2 +1>0 ，即k 2>4 ， 由条件k >0， 所以k 的取值范围为(2，+∞)11．（四川理）（本小题满分12分） 已知数列{}n a ，其中121,3,a a ==112,(2)n n n a a a n +-=+≥记数列{}n a 的前n 项和为,n S 数列{}ln n S 的前n 项和为.nU(Ⅰ)求n U ；(Ⅱ) 设22(),2(!)N U nn e F x x n n = 11()(),nn k i T x F x ==∑（其中1()k F x 为()k F x 的导函数），计算1()lim ()n n n T x T x →∞+11．解：（Ⅰ）由题意，{}n a 是首项为1，公差为2的等差数列前n 项和()211212n n S n n ++-=⋅=，2ln ln 2ln n S n n ==()()2ln1ln 2ln 2ln !n U n n =+++=（Ⅱ）()()()()222222!22!2!nU nn n n n e x F x x x n n n n n =⋅=⋅= ()'21n n F x x -= ()()()()()()()22'21112210111111n n nk n k k k nx x x x T x F x x n x x x x x -==⎧-⎪<<-⎪⎪====⎨⎪-⎪>⎪-⎩∑∑ ()()()()()22212221lim 1011lim lim 11111lim 11n n n n n n n n n n xx x T x n x T x n x x x x +→∞→∞→∞+→∞⎧⎪⎪-⎪=<<⎪-⎪⎪===⎨+⎪⎪⎛⎫- ⎪⎪⎝⎭⎪>⎛⎫⎪- ⎪⎪⎝⎭⎩12．（四川理）（本小题满分14分）已知函数22f(x)++ln (0),x a x x x=>f(x)的导函数是f (x)'。

极限计算测试题及答案高中一、选择题（每题3分，共15分）1. 函数\( f(x) = \frac{1}{x} \)在点x=0处的极限是（）A. 1B. 0C. 无穷大D. 不存在2. 如果\( \lim_{x \to 1} (x^2 - 1) = 2 \)，那么\( \lim_{x \to 1} \frac{1}{x - 1} \)等于（）A. 1B. 2C. 无穷大D. 不存在3. 函数\( f(x) = x^2 \)在x=2处的极限是（）A. 4B. 2C. 0D. 无穷大4. 函数\( f(x) = \sin(x) \)在x=0处的极限是（）A. 1B. 0C. -1D. 不存在5. 函数\( f(x) = x^3 - 6x^2 + 11x - 6 \)在x=2处的极限是（）A. 2B. 4C. 8D. 12二、填空题（每题4分，共20分）6. 函数\( f(x) = \frac{x^2 - 4}{x - 2} \)在x=2处的极限是______。

7. 如果\( \lim_{x \to 3} (x - 3) = 0 \)，那么\( \lim_{x \to 3} \frac{1}{x - 3} \)等于______。

8. 函数\( f(x) = \frac{\sin(x)}{x} \)在x=0处的极限是______。

9. 函数\( f(x) = \frac{\tan(x)}{x} \)在x=0处的极限是______。

10. 函数\( f(x) = \frac{\sin(x)}{x} \)在x=π处的极限是______。

三、解答题（每题10分，共30分）11. 计算函数\( f(x) = \frac{\sin(x)}{x} \)在x=0处的左极限和右极限，并判断其极限是否存在。

12. 证明函数\( f(x) = x^2 \)在任何实数x处的极限都存在，并求出这个极限。

13. 给定函数\( f(x) = \frac{1}{x} \)，计算其在x=1处的极限，并说明其性质。

高考数学必考点专项第9练 导数与函数的极值、最值习题精选一、单选题1. 若2x =-是函数2-1()=(+-1)x f x x ax e 的极值点，则()f x 的极小值为( ) A. 1-B. 32e --C. 35e -D. 12. 正项等比数列中的14031,a a 是函数的极值点，则20166log a = ( ) A. 1 B. 2D. 1-3. 若在上有两个极值点，则a 的取值范围为( )A.B.C.D.4. 已知函数3221()13f x x ax b x =+++，若a 是从1，2，3三个数中任取的一个数，b是从0，1，2三个数中任取的一个数，则该函数有两个极值点的概率为( )A.79 B. 13C. 59D.235. 设0a ≠，若x a =为函数2()()()f x a x a x b =--的极大值点，则( ) A. a b <B. a b >C. 2ab a <D. 2ab a >二、多选题6. 已知()f x 是定义在(0,3)上的连续可导函数.若()f x 的最大值为(1)f ，则( )321()4633f x x x x =-+-A. (1)0f '=B. ()f x -在1x =-处有最大值C. ()f x -在1x =处有极小值D. ()f x --在1x =-处有最大值7. 声音是由物体振动产生的声波，其中包含着正弦函数.纯音的数学模型是函数sin y A t ω=，我们听到的声音是由纯音合成的，称之为复合音.若一个复合音的数学模型是函数，则下列结论正确的是( )A. 2π是的一个周期；B. 在上有3个零点；C.的最大值为334； D. 在上是增函数．8. 已知定义在R 上的奇函数()f x 在(,0]-∞上单调递增，则“对于任意的(0,1],x ∈不等式2(2)(ln )0x f ae x f x x x ++-恒成立”的充分不必要条件可以是( )A. 10a e-<B.4312ea e <C.3211e a e <D.1a e e< 三、填空题9. 函数()|21|2ln f x x x =--的最小值为__________.10. 函数()ln f x x =的定义域为__________，最大值为__________. 11. 若直线2y x b =+是曲线2ln y a x =的切线，且0a >，则实数b 的最小值是__________.()f x ()f x [0,2]π()f x ()f x12. 已知函数在上无极值，则a =__________，()f x 在上的最小值是__________.13. 已知函数()f x 为奇函数，()g x 为偶函数，对于任意x R ∈均有()+2()=mx 4f x g x -，若()3lnx 0f x --对任意(0,+)x ∈∞都成立，则实数m 的取值范围是__________. 四、解答题14. 已知函数2()12.f x x =-(1)求曲线()y f x =的斜率等于2-的切线方程；(2)设曲线()y f x =在点(,())t f t 处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为()S t ，求()S t 的最小值．15. 已知函数232().xf x x a-=+ (1)若0a =，求曲线()y f x =在(1,(1))f 处的切线方程；(2)若函数()f x 在1x =-处取得极值，求()f x 的单调区间，以及最大值和最小值.16. 已知函数21()ln (1)(0).2f x a x a x x a =-++->(1)讨论()f x 的单调性； (2)若21()2f x x ax b -++恒成立，求实数ab 的最大值．17. 已知函数2().xf x e ax x =+-(1)当1a =时，讨论()f x 的单调性；(2)当0x 时，31()12f x x +，求a 的取值范围．18. 已知函数()sin ln()f x x a x b =++，()g x 是()f x 的导函数.(1)若0a >，当1b =时，函数()g x 在(,4)π内有唯一的极小值，求a 的取值范围； (2)若1a =-，1e 2b π<<-，试研究()f x 的零点个数.19. 已知函数，(1)若，求的最值；(2)若存在使得，求实数m 的取值范围.20. 已知函数，其中0.m >(1)讨论函数的单调区间；(2)若函数有两个极值点1x ，2x ，且12x x <，是否存在实数a 使得恒成立，如果存在请求出实数a 的取值范围，如果不存在请说明理由．()f x ()f x ()f x答案和解析1.【答案】A解： 函数2-1()=(+-1)x f x x ax e ，可得-12-1()=(2+)+(+-1)x x f x x a ex ax e '，又2x =-是函数2-1()=(+-1)x f x x ax e的极值点，可得-3-3(-2)=(-4+)+(4-2-1)=0f a e a e '， 即-4++(3-2)=0a a ，解得 1.a =- 可得2-1()=(+-2)x f x x x e'，令()=0f x '，解得12x =-，2=1.x当2x <-或1x >时，()0f x '>，()f x 单调递增， 当(-2,1)x ∈时，()0f x '<，()f x 单调递减， 可知=1x 时，函数取得极小值， 即21-1(1)=(1-1-1) 1.f e =-故选.A2.【答案】A解：321()4633f x x x x =-+-， 2()860f x x x ∴'=-+=，1a ，4031a 是函数321()4633f x x x x =-+-的极值点， 140316a a ∴⋅=，又0n a >，2016a ∴=20161.∴=故选.A3.【答案】D解：令sin x t =，(0,1],t ∈ 则2120.t t a -+-= 令，(0,1];t ∈当(0,1],a ∈函数()g t 在上与y a =只有一个交点，(1)0,sin g t x ==对应的x 值有两个.故而(0,1].a ∈ 故选.D4.【答案】D解：求导数可得22()2f x x ax b '=++，要满足题意需2220x ax b ++=有两不等实根， 即224()0a b ∆=->，即a b >， 又a ，b 的取法共339⨯=种，其中满足a b >的有(1,0)，(2,0)，(2,1)，(3,0)，(3,1)，(3,2)共6种， 故所求的概率为6293P == 故选D5.【答案】D解：因为0a ≠，()Ⅰ所以当a b =时，函数在单调，无极值，不合条件；()Ⅱ当a b ≠时，因为，所以，①若0a >并且a b <时，23a ba +<， 由，得：x a <或23a bx +>， 由，得：23a ba x +<<， 所以这时在上单调递增，在上单调递减，x a =是函数的极大值点，符合条件；②若0a >，并且a b >时，23a ba +>， 由，得：23a bx +<或x a >， 由，得：23a bx a +<<， 所以这时在上单调递减，在上单调递增，x a =是函数的极小值点，不符合条件；③若0a <，并且a b <时，23a ba +<， 由，得：23a ba x +<<， 由，得：x a <或23a bx +>， 这时在上单调递减，在上单调递增，x a =是函数的极小值()0f x '>()0f x '<()f x ()f x ()0f x '>()0f x '<()f x (,)a +∞()f x ()0f x '>()0f x '<()f x ()f x点，不符合条件；④若0a <，并且a b >时，23a ba +>， 由，得：23a bx a +<<， 由，得：23a bx +<或x a >， 所以这时在上单调递增，在上单调递减，x a =是函数的极大值点，符合条件；因此，若x a =为函数的极大值点，则a ，b 必须满足条件：0a >并且a b <或0a <并且.a b >由此可见，A ，B 均错误； 又总有成立，所以C 错误，D 正确.故选.D6.【答案】ABC解：()f x 是定义在(0,3)上的连续可导函数.若()f x 的最大值为(1)f ， 则()f x 在1x =处取得极大值，故(1)0f '=，故A 正确；将()y f x =的图象关于y 轴翻折得到()y f x =-，所以()f x -在1x =-处有最大值，故B 正确；将()y f x =的图象关于x 轴翻折得到()y f x =-，所以()f x -在1x =处有极小值，故C 正确；将()y f x =的图象关于y 轴翻折，再关于x 轴翻折得到()y f x =--，此时()y f x =与()y f x =--关于原点对称，()0f x '>()0f x '<()f x (,)a +∞()f x 2()()()f x a x a x b =--所以()f x --在1x =-处有最小值，故D 错误， 故选.ABC7.【答案】ABC解：11(2)sin(2)sin 2(2)sin sin 222f x x x x x πππ+=+++=+，A 正确；由()0f x =得到sin sin cos 0x x x +=，sin 0x ∴=或1cos 0x +=，x k π∴=，或2x k ππ=+，k Z ∈，∴函数()f x 在[0,2]π上有三个零点0，π，2π，B 正确；()cos cos 2f x x x '=+，∴当3x π=时，()0f x '=，且当03x π<<时()0f x '>，当3x ππ<<时，()0f x '<，()f x ∴在3x π=时取得最大值，121()sin sin 33232f πππ=+==，C 正确， 由上述求解知函数在[,]32ππ上一定递减，D 错误.故选.ABC8.【答案】CD解：因为定义在R 上的奇函数()f x 在(,0]-∞上单调递增，所以()f x 在R 上单调递增，所以不等式2(2)(ln )0x f ae x f x x x ++-即为22(2)(ln )(ln )xf ae x f x x x f x x x +--=-对于任意的(0,1]x ∈恒成立，所以22ln xae x x x x +-，也即ln 20xae x x x+-+对于任意的(0,1]x ∈恒成立.令，则，当0a 时，在(0,1]x ∈恒成立，所以在单调递增，又当0x →时，，所以不成立； 令，则在(0,1]x ∈恒成立，所以在单调递增，所以，即1.x x e e所以当1ae时，0xae x -在(0,1]x ∈恒成立，所以在(0,1]x ∈恒成立，所以在单调递减，所以有成立，故1ae时在(0,1]x ∈恒成立；当10a e<<时，存在，使得000xae x -=，所以当00x x <<时，0x ae x ->，所以，所以在单调递减；当01x x <时，0x ae x -<，所以，所以在单调递增.所以，因为000xae x -=，所以00x aex =，且，所以，所以由，可得31ae ，所以311a e e<时在(0,1]x ∈恒成立.综上所述，31ae 时在(0,1]x ∈恒成立.所以“对于任意的(0,1],x ∈不等式2(2)(ln )0x f ae x f x x x ++-恒成立”的充分不必要条件可以是.CD 故选：.CD()g x (0,1]()h x (0,1]()g x (0,1]()g x ()g x9.【答案】1解：函数()|21|2ln f x x x =--的定义域为(0,)+∞， 当102x<时，()|21|2ln 212ln f x x x x x =--=-+-， 此时函数()f x 在1(0,]2上为减函数，所以111()()212ln 2ln 2222f x f =-⨯+-=； 当12x >时，()|21|2ln 212ln f x x x x x =--=--， 则22(1)()2x f x x x-'=-=， 当1(,1)2x ∈时，()0f x '<，()f x 单调递减， 当(1,)x ∈+∞时，()0f x '>，()f x 单调递增，∴当1x =时()f x 取得最小值，为(1)2112ln11f =⨯--=，2ln 2ln 4ln 1e =>=，∴函数()|21|2ln f x x x =--的最小值为1.故答案为：1.10.【答案】(0,1]0 解：由，得0 1.x <∴函数()1ln f x x x =-⋅的定义域为(0,1]；令1x t -=，[0,1),t ∈则21x t =-，函数()1ln f x x x =-⋅化为2()ln(1)g t t t =⋅-，[0,1),t ∈2222()ln(1)01t g t t t-'=-+-， ()g t ∴在[0,1)上为减函数，则max ()(0)0g t g ==，则函数()ln f x x =的最大值为0， 故答案为(0,1]；0.11.【答案】2-解：2ln y a x =的导数为2a y x'=， 由于直线2y x b =+是曲线2ln y a x =的切线， 设切点为(,)m n ，则22am=，m a ∴=， 又22ln m b a m +=，2ln 2(0)b a a a a ∴=->，2(ln 1)22ln b a a '=+-=，当1a >时，0b '>，函数b 递增，当01a <<时，0b '<，函数b 递减，1a ∴=为极小值点，也为最小值点， b ∴的最小值为2ln12 2.-=-故答案为： 2.-12.【答案】232π-【解答】 函数()f x 的导数为22()cos 2(2)sin 1(12sin )(2)sin 12sin f x a x a x a a x a x a a x '=++--=-++--=-(2)sin 1(2sin 1)(sin 1).a x x a x ++-=---当1sin 2x =，即[,]622x πππ=∈-时，()0.f x '=所以要使()f x 在[,]22ππ-上无极值，则2a =，此时2()(2sin 1)0f x x '=--恒成立，即()f x 单调递减，故在区间[,]22ππ-上()f x 的最小值为3().22f ππ=- 13.【答案】解：由已知得……①， 所以，又因为为奇函数，为偶函数， 所以……②，①②联立解得，，将代入不等式得3ln 0mx x --，对任意都成立，即3ln xmx x+，对任意都成立， 设，则，令，解得21x e =， 由()0h x '>得2lnx 0-->，得210x e<<， 由()0h x '<得2lnx 0--<，得21e x >， ()f x ()g x (0,)x ∈+∞(0,)x ∈+∞()0h x '=所以在区间上单调递增，在区间21(,)e +∞上单调递减， 所以的最大值为，即2m e ，所以实数m 的取值范围是故答案为14.【答案】解：2(1)()12f x x =-的导函数()2f x x '=-，令切点为(,)m n ，可得切线的斜率为22m -=-，1m ∴=，12111n ∴=-=，∴切线的方程为213y x =-+；(2)曲线()y f x =在点(,())t f t 处的切线的斜率为2k t =-，切线方程为2(12)2()y t t x t --=--， 令0x =，可得212y t =+，令0y =，可得162x t t=+， 2116()||(12)22S t t t t∴=⋅+⋅+，由()()S t S t -=，可知()S t 为偶函数， 不妨设0t >，则2112()()(12)4S t t t t=++， 2222211443(4)(12)()(324)44t t S t t t t-+∴'=+-=⋅， 由()0S t '=，得2t =，当2t >时，()0S t '>，()S t 单调递增； 当02t <<时，()0S t '<，()S t 单调递减， 则()S t 在2t =处取得极小值，且为最小值32，()h x ()h x所以()S t 的最小值为32.15.【答案】解：(1)当0a =时，232()xf x x-=， 24322(32)26()x x x x f x x x ----'==，因此(1)1f =，()4f x '=-，所以曲线()y f x =在(1,(1))f 处的切线方程为14(1)y x -=--， 即为45y x =-+；(2)因为232()xf x x a-=+的导数为2222()2(32)()()x a x x f x x a -+--'=+， 而函数()f x 在1x =-处取得极值， 所以(1)0f '-=，即2820(1)aa -=+，解得4a =，因此232()4xf x x -=+，222(1)(4)().(4)x x f x x +-'=+ 由()0f x '>得4x >或1x <-；由()0f x '<得14x -<<， 因此函数()f x 在和上单调递增，在上单调递减，所以函数()f x 在1x =-处取得极大值1，在4x =处取得极小值1.4-又因为当32x <时，()0f x >；当32x <时，()0f x <， 作函数()y f x =的图象如下图，由图可知：函数()f x 在1x =-处取得最大值1；在4x =处取得最小值1.4- 所以函数()f x 的单调递增区间为和，单调递减区间为；()f x 的最大值为1，最小值为1.4-16.【答案】解：，(0,0)a x >>，①1a =时，，()f x ∴在(0,)+∞上单调递减；②01a <<时，由()0f x '>，解得：1a x <<，()f x ∴在(,1)a 上单调递增，在(0,)a ，(1,)+∞上单调递减；③1a >时，同理()f x 在(1,)a 上单调递增，在(0,1)，(,)a +∞上单调递减；21(2)()2f x x ax b -++恒成立，ln 0a x x b ∴-+恒成立，令()ln g x a x x b =-+，则()a xg x x-'=， ()g x ∴在(0,)a 上单调递增，在(,)a +∞上单调递减．max ()()ln 0g x g a a a a b ∴==-+，ln b a a a ∴-，22ln ab a a a ∴-，令22()ln (0)h x x x x x =->，则()(12ln )h x x x '=-，()h x ∴在上单调递增，在)+∞上单调递减，max ()2e h x h e e ∴==-=， .2e ab∴ 即ab 的最大值为.2e17.【答案】解：(1)当1a =时，2()x f x e x x =+-，()21x f x e x '=+-，设()()g x f x ='，因为()20xg x e '=+>，可得()g x 在R 上递增，即()f x '在R 上递增， 因为(0)0f '=，所以当0x >时，()0f x '>；当0x <时，()0f x '<， 所以()f x 的增区间为(0,)+∞，减区间为(,0)-∞；(2)当0x 时，31()12f x x +恒成立， ①当0x =时，不等式恒成立，可得a R ∈；②当0x >时，可得32112xx x e a x++-恒成立， 设32112()x x x e h x x++-=，则231(2)(1)2()x x e x x h x x ----'=， 可设21()12x m x e x x =---，可得()1x m x e x '=--，令()()t x m x ='，()1x t x e '=-， 由0x ，可得()0t x '恒成立，可得()m x '在(0,)+∞递增， 所以min ()(0)0m x m '='=，即()0m x '恒成立，即()m x 在(0,)+∞递增，所以min ()(0)0m x m ==， 再令()0h x '=，可得2x =，当02x <<时，()0h x '>，()h x 在(0,2)递增；2x >时，()0h x '<，()h x 在(2,)+∞递减，所以2max7()(2)4e h x h -==，所以274e a -，综上可得a 的取值范围是27[,).4e -+∞18.【答案】解：(1)当1b =时，()sin ln (1)f x x a x =++，()()cos 1ag x f x x x ='=++， 在单调递增，2()0(1)a g ππ'=-<+，(4)sin 425ag '=--， 当(4)sin 4025ag '=--时，()g x 在(,4)π单调递减，无极值； 当(4)sin 4025ag '=-->时，0(,4)x π∃∈，使得0()0g x '=， 从而()g x 在0(,)x π单调递减，在0(,4)x 单调递增，0x 为()g x 唯一的极小值点， 所以；(2)当1a =-时，()sin ln()f x x x b =-+，(1,)2b e π∈-，可知，时，()0f x <，无零点；所以只需研究(,)b π-上()f x 零点情况；()(,)2ii x ππ∈时，1()cos 0f x x x b'=-<+，可知()f x 单调递减，(,4)π()1ln()1ln()02222f b e ππππ=-+>-+-=，()0f π<， 存在唯一的(,)2s ππ∈，使得()0f s =；()iii 当(,)2x b π∈-，令1()()cos h x f x x x b'==-+， 则21()sin ()h x x x b '=-++单调递减， 且21(0)00h b '=+>，21()102()2h b ππ'=-+<+， 则1(0,)2x π∃∈，使得1()0h x '=，则在1(,)b x -单调递增，1(,)2x π单调递减，并且lim ()0x bf x +→-'<，，1()022f b ππ'=-<+， 所以2(,0)x b ∃∈-，2()0f x '=，3(0,)2x π∃∈，3()0f x '=，且知在单调递减，在单调递增，在3(,)2x π单调递减，又因为lim ()0x bf x +→->，，()02f π>，(,0)m b ∃∈-，()0f m =，(0,)2n π∃∈，()0f n =，综上所述，由()()()i ii iii 可知，()f x 有3个零点.19.【答案】的定义域为，，令，得1x =， 当时，，单调递减；()f x '()f x (0,)+∞()0f x '=()0f x '<()f x当时，，单调递增又，所以，； (2)由题意知：只需，由(1)知在单调递减，单调递增，①若01m <，则在单调递减，则只需， 即2ln 210m m m m e--+， 记，01m <， 因为，所以在单调递减，单调递增， 而，，所以在01m <恒成立，又因为2ln 0m m ，所以2ln 210m m m m e--+对任意01m <恒成立. ②若1m >，，只需， 即，解得1ln3m <， 综上，20.【答案】解：，定义域为 所以，(0,)x ∈+∞，令，(0,)x ∈+∞，对于方程，164m ∆=-，①当04m <<时，0∆>，有两个根，为12x =22x =120x x <<()0f x '>()f x ()f x (0,1)(1,)+∞()f x (0,)+∞2()4g x x x m =-+在和上；在上，所以函数的单调增区间为和； 单调减区间为， ②当4m 时，0∆，恒成立，所以函数的单调增区间为，无减区间. (2)由(1)知，若有两个极值点，则04m <<，又1x ，2x 是240x x m -+=的两个根，则124x x +=，12x x m ⋅= 所以214x x =-，，由(1)知，124x m=--，， 恒成立，，令，，只要即可； ，令则，，令，则，所以在上单调递减，在1(,2)e上单调递增． ，所以存在12a e -，使得恒成立． ()0f x '>()0f x '<()f x ()f x (0,)+∞()f x (0,2)t ∈min ()a h t ()h t。

高考数学专题复习训练 导数与极限 人教版一.选择题1.(理）若函数y=x ·2x且y '=0 ，则x= ( )A..2ln 1 B 2ln 1- C. ln2 D. -ln2 (文)函数32)(ax x x f +-=，若1)2(='f ，则=a （ ）A ．4B ．41 C ．-4 D ．41- 2．点P 在曲线323+-=x x y 上移动，在点P 处的切线的倾斜角为α，则α的取值范围是 （ ）A ．]2,0[πB ．),43[)2,0[πππC ．),43[ππ D ．]43,2(ππ 3.(理）下列命题不正确．．．的是 （ ） A ．如果 f (x ) =1x，则 lim x →+ ∞f (x ) = 0 B ．如果 f (x ) = 2 x－1，则 lim x →0f (x ) = 0C ．如果 f (n ) = n 2－2n n + 2 ，则 lim n →∞ f (n ) 不存在D ．如果 f (x ) = ⎩⎨⎧ x ， x ≥0 x + 1，x < 0，则 lim x →0f (x ) = 0(文) 已知函数1)6()(23++++=x a ax x x f 有极大值和极小值，则实数a 的取值范围是 ( )A ．-1＜a ＜2B ．-3＜a ＜6C ．a ＜-3或a ＞6D ．a ＜-1或a ＞2 4．(理）已知函数)(x f 是区间[－1，+∞)上的连续函数，当1111)(,03-+-+=≠x x x f x 时，则f (0)=（ ）A ．23 B ．1 C ．32 D ．0(文) 若函数)()(3x x a x f --=的递减区间为（33-，33），则a 的取值范围是 （ ）A ．a ＞0B ．-1＜a ＜0C ．a ＞1D ．0＜a ＜15．函数y=2x 3-3x 2-12x+5在[0,3]上的最大值与最小值分别是 （ ）A. 12 , -15B. 5 , - 4C. -4 , -15D. 5 , -156．函数b x b x a ax x f +-+-+=)3(48)1()(23的图象关于原点对称，则f (x )（ ）A ．在[34,34-]上为增函数B ．在[34,34-]上非单调函数C ．在[),34+∞上为增函数，（]34,-∞-上为减函数D ．在（34,-∞-）为增函数，在[),34+∞上也为增函数7(理）．设函数sin cos y x x x =+的图象上的点()00,x y 的切线的斜率为k ，若()0k g x =，则函数()0k g x =的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．(文)．与直线14-=x y 平行的曲线23-+=x x y 的切线方程是 （ ） A ．04=-y xB ．044=--y xC ．024=--y xD ．04=-y x 或044=--y x8(理）．设曲线y=21x和曲线y=x 1在它们交点处的两切线的夹角为θ，则tan θ的值为 （ ）A ．1B ．21 C ．31 D ．32 (文)曲线)2)(1(--=x x x y 在原点处的切线方程为 （ ） A. x y -=B. x y 2-=C. x y =D. x y 2=9．a 、b 为实数且b －a=2，若多项式函数f(x)在区间(a ，b)上的导数f ′(x)满足f ′(x)＜0，则一定成立的关系式是 （ ）A ．f(a)＜f(b)B ．f(a+1)＞f(b －21) C ．f(a+1)＞f(b －1) D ．f(a+1)＞f(b －23) 10．已知函数]2,2[,)(23-∈+++=x c bx ax x x f 表示的曲线过原点，且在1±=x 处的切线斜率均为－1，给出以下结论：①)(x f 的解析式为]2,2[,4)(3-∈-=x x x x f ；②)(x f 的极值点有且仅有一个；③)(x f 的最大值与最小值之和等于0，其中正确的结论有（ ）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个11(理）．函数x x y sin 2+=的单调递增区间为 （ ）A ．),(+∞-∞B ．),0(+∞1080604020-20-40-60-80-10-15-10-505010151080604020-20-40-60-80-10-15-10-505010151080604020-20-40-60-80-10-15-10-505010151080604020-20-40-60-80-10-15-10-50501015C ．))(22,22(Z k k k ∈+-ππππ D ．))(2,2(Z k k k ∈+πππ(文)方程076223=+-x x 在（0，2）内根的个数有 ( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 12．已知函数)(x f y =的导函数的图象如图甲所示，则)(x f y =的图象可能是 （ ）A B C D 二.填空题13．一质点的运动方程为S ＝5－3t 2，则在一段时间[1，1+∆t ]内相应的平均速度为 .14．若直线y=x 是曲线ax x x y +-=233的切线，则α= . 15．已知)(x f 是可导的偶函数，且22)1()1(lim-=-+→xf x f x ，则曲线)(x f y =在 点 (－1，2）处的切线方程是 .16(理）．函数x x y ln 2=的极小值为 (文) 已知函数f (x)=x 3+3ax 2+3(a+2)x+1既有极大值又有极小值，则实数a 的取值范围是 。

导数1（安徽理）、若曲线4y x =的一条切线l 与直线480x y +-=垂直，则l 的方程为A A ．430x y --= B ．450x y +-= C ．430x y -+= D ．430x y ++=2．（安徽理）（本大题满分12分）已知函数()f x 在R 上有定义，对任何实数0a >和任何实数x ，都有()()f ax af x =（Ⅰ）证明()00f =；（Ⅱ）证明(),0,0kx x f x hx x ≥⎧=⎨<⎩ 其中k 和h 均为常数；（Ⅲ）当（Ⅱ）中的0k >时，设()()()1(0)g x f x x f x =+>，讨论()g x 在()0,+∞内的单调性并求极值。

证明（Ⅰ）令0x =，则()()00f af =，∵0a >，∴()00f =。

（Ⅱ）①令x a =，∵0a >，∴0x >，则()()2f xxf x =。

假设0x ≥时，()f x kx =()k R ∈，则()22f x kx =，而()2xf x x kx kx =⋅=，∴()()2f x xf x =，即()f x kx =成立。

②令x a =-，∵0a >，∴0x <，()()2f x xf x -=-假设0x <时，()f x hx =()h R ∈，则()22f x hx -=-，而()2x f x x hx hx-=-⋅=-，∴()()2f x xf x -=-，即()f x hx =成立。

∴(),0,0kx x f x hx x ≥⎧=⎨<⎩成立。

（Ⅲ）当0x >时，()()()11g x f x kx f x kx =+=+，22211()x g x k kx kx-'=-+= 令()0g x '=，得11x x ==-或；当(0,1)x ∈时，()<0g x '，∴()g x 是单调递减函数； 当[1,)x ∈+∞时，()>0g x '，∴()g x 是单调递增函数；所以当1x =时，函数()g x 在()0,+∞内取得极小值，极小值为1(1)g k k=+ 3．（安徽理）（本大题满分12分）数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知()211,1,1,2,2n n a S n a n n n ==--=⋅⋅⋅（Ⅰ）写出n S 与1n S -的递推关系式()2n ≥，并求n S 关于n 的表达式；（Ⅱ）设()()()1/,n n n n n S f x x b f p p R n +==∈，求数列{}n b 的前n 项和n T 。

高考题选编---导数与极限一．选择题1．（湖南卷）数列{n a }满足:113a =,且对于任意的正整数m,n 都有m n m n a a a +=⋅,则 12lim()n n a a a →∞+++=A.12 B.23 C.32D.2 解：数列}{n a 满足: 311=a , 且对任意正整数n m ,都有n m n m a a a ⋅=+2111119a a a a +==⋅=，1113n n n a a a a +=⋅=，∴数列}{n a 是首项为31，公比为31的等比数列。

=++++∞→)(lim 21n n a a a 1112a q =-，选A.2．(陕西卷) n→∞lim 12n(n 2+1－n 2－1)等于A. 1B. 12C.14 D.0解：n →∞lim 12n(n 2+1－n 2－1) =n=12n →∞=，选B ． 3．（四川卷）已知2 3 , 1() 2 , 1x x f x x +≠⎧=⎨=⎩，下面结论正确的是（A ）()f x 在1x =处连续 （B ）(1)5f =（C ） 1lim ()2x f x -→= （D ） 1lim ()2x f x →= 解：已知()23,12,1x x f x x +≠⎧=⎨=⎩，则11lim ()lim ()5x x f x f x +-→→==，而(1)2f =，∴ 正确的结论 是()1lim 5x f x +→=，选D. 4．（江西卷）对于R 上可导的任意函数f （x ），若满足（x －1）f x '（）≥0，则必有A ． f （0）＋f （2）<2f （1） B. f （0）＋f （2）≤2f （1） C. f （0）＋f （2）≥2f （1） D. f （0）＋f （2）>2f （1）解：依题意，当x ≥1时，f '（x ）≥0，函数f （x ）在（1，＋∞）上是增函数；当x <1时，f '（x ）≤0， f （x ）在（－∞，1）上是减函数，故f （x ）当x ＝1时取得最小值，即有f （0）≥f （1），f （2）≥f （1），故选C5．（全国II ）过点（－1，0）作抛物线21y x x =++的切线，则其中一条切线为（A ）220x y ++= （B ）330x y -+= （C ）10x y ++= （D ）10x y -+=解：21y x '=+，设切点坐标为00(,)x y ，则切线的斜率为201x +，且20001y x x =++，于是切线方程为200001(21)()y x x x x x ---=+-，因为点（－1，0）在切线上，可解得0x ＝0或－4，代入可验正D 正确。

极限与导数练习题一、极限问题1. 计算以下极限：a) $ \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} $b) $ \lim_{x \to \infty} \left( 1 + \frac{1}{x} \right)^x $c) $ \lim_{x \to 0} \left( 1 + \frac{1}{x} \right)^x $d) $ \lim_{x \to \infty} \frac{x}{\sqrt{x^2 + 1}} $2. 当 $ x \to 0 $ 时，证明以下极限等式：a) $ \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1 $b) $ \lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{x^2} = \frac{1}{2} $c) $ \lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x} = 1 $d) $ \lim_{x \to 0} \frac{(1 + x)^{\frac{1}{x}}}{e} = 1 $二、导数问题1. 求以下函数的导数：a) $ f(x) = x^3 + 2x^2 - 3x + 1 $b) $ g(x) = \sin x \cos x $c) $ h(x) = \frac{1}{\sqrt{x}} + \frac{1}{\sqrt[3]{x}} + \frac{1}{\sqrt[4]{x}} $d) $ k(x) = \ln (2x + 3) $2. 求以下函数在指定点处的导数：a) $ f(x) = x^3 - 2x^2 + x $，求 $ f'(2) $b) $ g(x) = \frac{1}{x} $，求 $ g'(1) $c) $ h(x) = \sqrt{x} $，求 $ h'(4) $d) $ k(x) = e^x $，求 $ k'(0) $三、综合练习1. 求函数 $ f(x) = \frac{x^3 - 4x}{2x^2 + 3} $ 的极值点。

关于导数练习题的填空题一、基本概念与性质1. 函数f(x)在点x=a处可导，则f'(a)表示的是________。

2. 若函数f(x)在区间I上可导，且f'(x)>0，则f(x)在区间I上________。

3. 若函数f(x)在点x=a处取得极值，则f'(a)=________。

4.罗尔定理成立的条件是函数在闭区间上________，在开区间上________。

二、导数计算5. 设f(x) = x^3 3x，求f'(x) = ________。

6. 设g(x) = (x^2 + 1)^5，求g'(x) = ________。

7. 设h(x) = e^(2x) ln(x)，求h'(x) = ________。

8. 设p(x) = sin^2(x) + cos^2(x)，求p'(x) = ________。

三、应用题9. 某物体在时间t（单位：秒）内的速度v（单位：米/秒）为v = 3t^2 4t + 1，求物体在t=2秒时的加速度a = ________。

10. 已知某曲线的方程为y = x^3 3x + 2，求该曲线在x=1处的切线方程为________。

11. 设某函数f(x)在x=0处的导数为2，且f(0)=3，求f(x)在x=1处的值为________。

12. 已知函数f(x) = x^2 + 2x + 1，求f(x)在区间[1, 1]上的最大值和最小值分别为________和________。

四、复合函数导数13. 设y = (x^2 + 1)^3，求dy/dx = ________。

14. 设y = ln(e^x + x^2)，求dy/dx = ________。

15. 设y = sin(tan(x))，求dy/dx = ________。

16. 设y = sqrt(1 + cos^2(x))，求dy/dx = ________。

14 北京文科 导数与极限一 选择、填空题1（07北京文）9．()f x '是31()213f x x x =++的导函数，则(1)f '-的值是2（08北京文）(13)如图，函数f (x )的图象是折线段ABC , 其中A ,B ,C 的坐标分别为（0，4），（2，0），（6，4），则f (f (0))= ; 函数f (x )在x =1处的导数=)1('f .1.(3)2.(2,-2)二 解答题1（05北京文）（19）（14分）已知函数f (x )=－x 3＋3x 2＋9x ＋a , （I ）求f (x )的单调递减区间；（II ）若f (x )在区间[－2，2]上的最大值为20，求它在该区间上的最小值． 解：（I ） f ’(x )＝－3x 2＋6x ＋9．令f ‘(x )<0，解得x <－1或x >3， 所以函数f (x )的单调递减区间为（－∞，－1），（3，＋∞）． （II ）因为f (－2)＝8＋12－18＋a =2＋a ，f (2)＝－8＋12＋18＋a ＝22＋a ， 所以f (2)>f (－2)．因为在（－1，3）上f ‘(x )>0， 所以f (x )在[－1, 2]上单调递增， 又由于f (x )在[－2，－1]上单调递减，因此f (2)和f (－1)分别是f (x )在区间[－2，2]上的最大值和最小值，于是有 22＋a ＝20，解得 a ＝－2．故f (x )=－x 3＋3x 2＋9x －2，因此f (－1)＝1＋3－9－2＝－7， 即函数f (x )在区间[－2，2]上的最小值为－7．2（06北京文）16 （13分）已知函数32()f x ax bx cx =++在点0x 处取得极大值5，其导函数'()y f x =的图象经过点(1,0)，(2,0)，如图所示.求：（Ⅰ）0x 的值； （Ⅱ）,,a b c 的值. 解法一：(Ⅰ)由图象可知，在(-∝,1)上f '(x )＞0,在(1,2)上f '(x )＜0. 在(2,+∝)上f '(x )＞0.故f (x )在(-∝,1),(2,+∝)上递增，在(1,2)上递减. 因此f (x )在x =1处取得极大值，所以x 0=1.(Ⅱ) f '(x )=3ax 2+2bx +c , 由f '(1)=0, f '(2)=0, f (1)=5,得⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++.5,0412,023c b a c b a c b a 解得a =2,b =－9,c =12. 解法二：(Ⅰ)同解法一.(Ⅱ)设f '(x )=m (x -1)(x -2)=mx 2-3mx +2m , 又f '(x )=3ax 2+2bx +c , 所以a =3m,b =3,2,2m c m -=f (x )=.223323mx mx x m +- 由f (l)=5, 即,52233=+-m m m 得m =6. 所以a =2,b =－9,c =12.3（07北京文）20．（本小题共14分）已知函数y kx =与22(0)y x x =+≥的图象相交于11()A x y ，，22()B x y ，，1l ，2l 分别是22(0)y x x =+≥的图象在A B ，两点的切线，M N ，分别是1l ，2l 与x轴的交点．（I ）求k 的取值范围；（II ）设t 为点M 的横坐标，当12x x <时，写出t 以1x 为自变量的函数式，并求其定义域和值域；（III ）试比较OM 与ON 的大小，并说明理由（O 是坐标原点）．解：（I ）由方程22y kx y x =⎧⎨=+⎩，消y 得220x kx -+=． ············ ①依题意，该方程有两个正实根，故 212800k x x k ⎧∆=->⎨+=>⎩，，解得k >（II ）由()2f x x '=，求得切线1l 的方程为1112()y x x x y =-+，由2112y x =+，并令0y =，得1112x t x =- 1x ，2x 是方程①的两实根，且12x x <，故12k x -==k >1x 是关于k 的减函数，所以1x的取值范围是(0．t 是关于1x的增函数，定义域为(0，所以值域为()-∞，0，（III ）当12x x <时，由（II ）可知1112x OM t x ==-+． 类似可得2212x ON x =-．1212122x x x xOM ON x x ++-=-+． 由①可知122x x =．从而0OM ON -=．当21x x <时，有相同的结果0OM ON -=．所以OM ON =．4（08北京文）（17）（13分）已知函数32()3(0),()()2f x x ax bx c b g x f x =+++≠=-且是奇函数.（Ⅰ）求a ,c 的值；（Ⅱ）求函数f (x )的单调区间. 解：（Ⅰ）因为函数g (x )=f (x )-2为奇函数，所以，对任意的x ∈R , g (-x )= -g (x ), 即f (-x )- 2= -f (x )+2.又f (x )=x 3+ax 2+3bx +c , 所以-x 3+ax 2-3bx +c -2=-x 3-ax 2-3bx -c +2. 所以{.22,+-=--=c c a a 解得a =0，c ＝2.（Ⅱ）由（Ⅰ）得f (x )=x 3+3bx +2. 所以f ′(x )=3x 2+3b (b ≠0).当b ＜0时，由f ′(x )=0得x =±.b - x 变化时，f ′(x )的变化情况如下表：所以，当b ＜0时，函数f (x )在（-∞，-b -）上单调递增，在（-b -，b -）上单调递减，在（b -，+∞）上单调递增。

2023高考数学福建卷函数与极限历年真题及答案【提示】本文按照真题及答案的格式进行排版，每道题目后面附上详细解析和答案。

一、选择题1. 设函数f(x)=2x^3-7x^2+3x+1，那么f(-1)=（）。

解析：将x=-1代入函数表达式得到f(-1)=2(-1)^3-7(-1)^2+3(-1)+1=2+7-3+1=7。

答案：72. 已知函数f(x)=e^x-lnx，则f'(x)=（）。

解析：根据复合函数求导法则，f'(x)=e^x-(lnx)'=e^x-1/x。

答案：e^x-1/x......二、填空题1. 函数f(x)=2x+1与y轴交于点A，若点A坐标为（），则函数f(x)的图像必定过点A。

解析：当x=0时，函数f(x)=2(0)+1=1，所以点A的坐标为(0, 1)。

答案：0, 12. 设函数f(x)=ax^2+bx+c，已知f(-1)=2，f(1)=-2，当x=2时，f(x)的值为（）。

解析：根据已知条件，代入x=-1和x=1可以得到两个方程组，解得a=-2，b=1，c=-1。

当x=2时，代入函数表达式得到f(2)=(-2)(2)^2+(1)(2)-1=-7。

答案：-7......三、解答题1. 写出函数f(x)=x^3-3x^2-4x的导函数f'(x)。

解析：根据导数的定义和求导法则，对函数f(x)=x^3-3x^2-4x分别求导，得到f'(x)=3x^2-6x-4。

答案：f'(x)=3x^2-6x-42. 设函数f(x)=x^3-3x^2-4x，求f(x)的极值点和极值。

解析：首先求出f'(x)=3x^2-6x-4的解，解得x=-1和x=2。

代入函数得到f(-1)=6和f(2)=-14，所以极值点为(-1, 6)和(2, -14)。

答案：极值点：(-1, 6)和(2, -14)......通过以上的题目及解析，希望能够帮助学生们更好地理解和掌握2023年福建卷数学高考中的函数与极限的知识点。