2018年数学同步优化指导北师大版选修2-3练习：2-3 第2课时 事件的相互独立性 活页作业14 含解析 精品

活页作业(十四)　最大值、最小值问题1．已知函数y ＝－x 2－2x ＋3在[a,2]上的最大值为，则a 等于( )154A ．－　B ．　3212C ．－　D ．或－121232解析：对y 求导得y ′＝－2x －2.令y ′＝0，得x ＝－1.当a ≤－1时，最大值为f (－1)＝4，不合题意．当－1<a <2时，f (x )在[a,2]上是减少的，最大值为f (a )＝－a 2－2a ＋3＝，154解得a ＝－或a ＝－(舍去)．1232答案：C2．f (x )＝x 3－3x 2＋2在区间[－1,1]上的最大值是( )A ．－2B ．0C ．2D ．4解析：对y 求导得f ′(x )＝3x 2－6x ＝3x (x －2)．令f ′(x )＝0可得x ＝0或x ＝2(舍去)，当－1≤x <0时，f ′(x )>0；当0<x ≤1时，f ′(x )<0.所以当x ＝0时，f (x )取得最大值为2.答案：C3．要做一个圆锥形的漏斗，其母线长为20 cm ，要使其体积最大，则高为( )A ． cmB ． cm331033C ． cmD ． cm16332033解析：设圆锥的高为x cm ，则底面半径为cm ，202－x 2其体积为V ＝πx (202－x 2)(0<x <20)，13V ′＝π(400－3x 2)，令V ′＝0，13解得x 1＝，x 2＝－(舍去)．20332033当0<x <时，V ′>0；2033当<x <20时，V ′<0.2033∴当x ＝时，V 取最大值．2033答案：D4．已知某生产厂家的年利润y (单位：万元)与年产量x (单位：万件)的函数关系式为y ＝－x 3＋81x －234，则使该生产厂家获得最大年利润的年产量为( )13A ．13万件B ．11万件C ．9万件D ．7万件解析：x >0，y ′＝－x 2＋81＝(9－x )(9＋x )，令y ′＝0，解得x ＝9.∴x ∈(0,9)时，y ′>0；x ∈(9，＋∞)时，y ′<0.∴x ＝9时函数取得最大值．答案：C 5．用长为18m 的钢条围成一个长方体形状的框架，要求长方体的长与宽之比为2∶1，则该长方体的最大体积为( )A ．2 m 3B ．3 m 3C ．4 m 3D ．5 m 3解析：设长方体的宽为x m ，则长为2x m ，高为h ＝(4.5－3x )m .(0<x <32)∴长方体的体积为V (x )＝2x 2(4.5－3x )＝9x 2－6x 3.(0<x <32)∴V ′(x )＝18x －18x 2＝18x (1－x )．令V ′(x )＝0，解得x ＝1或x ＝0(舍去)．当0<x <1时，V ′(x )>0；当1<x <时，V ′(x )<0.32∴在x ＝1处V (x )取得极大值，并且这个极大值就是V (x )的最大值．∴最大体积V max ＝V (1)＝9×12－6×13＝3(m 3)．答案：B6．f (x )＝x 3－12x ＋8在[－3,3]上的最大值为M ，最小值为m ，则M －m ＝________.解析：f ′(x )＝3x 2－12.由f ′(x )>0，得x >2或x <－2；由f ′(x )<0，得－2<x <2.∴f (x )在[－3，－2]上是增加的，在[－2,2]上是减少的，在[2,3]上是增加的．又f (－3)＝17，f (－2)＝24，f (2)＝－8，f (3)＝－1，∴最大值M ＝24，最小值m ＝－8.∴M －m ＝24－(－8)＝32.答案：327．在半径为r 的圆内，作内接等腰三角形，当底边上的高为________时，它的面积最大．解析：如右图，设∠OBC ＝θ，则0<θ<，OD ＝r sin θ，BD ＝r cos θ.π2∴S △ABC ＝r cos θ(r ＋r sin θ)＝r 2cos θ＋r 2sin θcos θ.令S ′△ABC ＝－r 2sin θ＋r 2(cos 2θ－sin 2θ)＝0，得cos 2θ＝sin θ.又0<θ<，π2∴θ＝.即当θ＝时，△ABC 的面积最大．π6π6∴高为OA ＋OD ＝r ＋＝时面积最大．r23r2答案：3r 28．函数y ＝x ＋2cos x 在区间上的最大值是________．[0，π2]解析：对f (x )求导得f ′(x )＝1－2sin x .由f ′(x )＝0，得x ＝.π6∴在上，f ′(x )＞0，(0，π6)在上，f ′(x )＜0.(π6，π2)∴在x ＝处f (x )取到极大值也是最大值f ＝＋.π6(π6)π63答案：＋π639．已知函数f (x )＝x 2－ln x －ax ，a ∈R .(1)当a ＝1时，求f (x )的最小值；(2)若f (x )>x ，求a 的取值范围．解：(1)当a ＝1时，f (x )＝x 2－ln x －x ，f ′(x )＝.(2x ＋1)(x －1)x当x ∈(0,1)时，f ′(x )<0；当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )>0.∴f (x )的最小值为f (1)＝0.(2)由f (x )>x ，得f (x )－x ＝x 2－ln x －(a ＋1)x >0.∵x >0，∴f (x )>x 等价于x －>a ＋1.ln xx 令g (x )＝x －，则g ′(x )＝.ln xx x 2－1＋ln xx 2当x ∈(0,1)时，g ′(x )<0；当x ∈(1，＋∞)时，g ′(x )>0.∴g (x )有最小值g (1)＝1.∴a ＋1<1，即a 的取值范围是(－∞，0)．10．某网球中心欲建连成片的网球场数块，用128万元购买土地10 000 m 2，该中心每块球场的建设面积为1 000 m 2，球场每平方米的平均建设费用与球场数有关，当该中心建球场x 块时，每平方米的平均建设费用(单位：元)可近似地用f (x )＝800来刻(1＋15ln x )画．为了使该球场每平方米的综合费用最省(综合费用是建设费用与购地费用之和)，该网球中心应建几块球场？解：设建成x 个球场，则1≤x ≤10，每平方米的购地费用为＝元．128×1041 000x1 280x ∵每平方米的平均建设费用(单位：元)可近似地用f (x )＝800来表示，(1＋15ln x )∴每平方米的综合费用为g (x )＝f (x )＋＝800＋160ln x ＋(x >0)，1 280x 1 280x ∴g ′(x )＝(x >0)．160(x －8)x 2令g ′(x )＝0，则x ＝8.当0<x <8时，g ′(x )<0；当x >8时，g ′(x )>0.∴当x ＝8时，函数取得极小值，且为最小值．故当建成8块球场时，每平方米的综合费用最省．11．某工厂生产某种产品，已知该产品的月产量x (t)与每吨产品的价格P (元/t)之间的关系式为P ＝24 200－x 2，且生产x t 的成本为C ＝50 000＋200x (元)，则月产量为多少t 时，15利润达到最大值？( )A ．100B ．160C ．200D ．240解析：根据题意，列出函数关系式，求导求解．每月生产x t 时的利润为f (x )＝x －(50 000＋200x )＝(24 200－15x 2)－x 3＋24 000x －50 000(x ≥0)．15令f ′(x )＝－x 2＋24 000＝0，35解得x 1＝200，x 2＝－200(舍去)．∵f (x )在[0，＋∞)内只有一个点x ＝200使f ′(x )＝0，∴它就是最大值点，且最大值为f (200)＝－×2003＋24 000×200－50 000＝3 150 000(元)．15∴每月生产200 t 产品时利润达到最大，最大利润为315万元．答案：C12．容积为256的方底无盖水箱，它的高为________时用料最省．解析：设方底无盖水箱的底面边长为a ，高为h ，则V ＝a 2h ＝256，即h ＝.256a 2用料最省，即表面积最小，由题意列式如下：S 表＝S 底＋S 侧＝a 2＋4ah ＝a 2＋4a ＝a 2＋256a 2 1 024aS ′＝2a －.1 024a 2令S ′＝0，即2a －＝0，解得a ＝8.1 024a 2当0<a <8时，S ′<0；当a >8时，S ′>0.∴当a ＝8时，S 表取得极小值，也是最小值．∴h ＝＝4.25664答案：413．函数f (x )＝5－36x ＋3x 2＋4x 3在区间[－2，＋∞)上的最大值为________，最小值为________．解析：∵f ′(x )＝－36＋6x ＋12x 2，令f ′(x )＝0，解得x 1＝－2，x 2＝.32当x >时，f (x )是增加的；32当－2≤x ≤时，f (x )是减少的．32∴在[－2，＋∞)上无最大值．又f ＝－28，(32)34∴最小值为－28.34答案：不存在　－283414．函数f (x )＝，当－6≤x ≤8时的最大值为________，最小值为________．100－x 2解析：f ′(x )＝－，令f ′(x )＝0，得x ＝0.x100－x 2又f (－6)＝8，f (0)＝10，f (8)＝6.∴f (x )min ＝6，f (x )max ＝10.答案：10　615．已知某公司生产某品牌服装的年固定成本为10万元，每生产1千件需另投入2.7万元，设该公司一年内共生产该品牌服装x 千件并全部销售完，每销售1千件的收入为R (x )万元，且R (x )＝Error!(1)写出年利润W (万元)关于年产量x (千件)的函数关系式；(2)年产量为多少千件时，该公司在这一品牌服装的生产中所获年利润最大？解：(1)当0<x ≤10时，W ＝xR (x )－(10＋2.7x )＝8.1x －－10；x 330当x >10时，W ＝xR (x )－(10＋2.7x )＝98－－2.7x .1 0003x ∴W ＝Error!(2)当0<x ≤10时，令W ′＝8.1－＝0，得x ＝9.x 210且x ∈(0,9)时，W ′>0；x ∈(9,10)时，W ′<0.∴当x ＝9时，W 取极大值，也是最大值，且W max ＝8.1×9－×93－10＝38.6；130当x >10时，令W ′＝－2.7＝0，得x ＝.1 0003x 21009当x ∈时，W ′>0；(10，1009)当x ∈时，W ′<0.(1009，＋∞)∴当x ＝时，W 取极大值，也是最大值，1009且W max ＝98－－2.7×＝38.10003×10091003综上可知，x ＝9时，W 有最大值38.6，即年产量为9千件时，该公司所获年利润最大．16．已知函数f (x )＝ax 2＋1(a >0)，g (x )＝x 3＋bx .(1)若曲线y ＝f (x )与曲线y ＝g (x )在它们的交点(1，c )处具有公共切线，求a ，b 的值；(2)当a 2＝4b 时，求函数f (x )＋g (x )的单调区间，并求其在区间(－∞，－1]上的最大值．解：(1)由(1，c )为公共切点，f (x )＝ax 2＋1(a >0)，则f ′(x )＝2ax ，k 1＝2a ，g (x )＝x 3＋bx ，g ′(x )＝3x 2＋b ，k 2＝3＋b .∴2a ＝3＋b .①又f (1)＝a ＋1，g (1)＝1＋b ，∴a ＋1＝1＋b ，即a ＝b ，代入①式可得Error!(2)∵a 2＝4b ，∴设h (x )＝f (x )＋g (x )＝x 3＋ax 2＋a 2x ＋1.14∴h ′(x )＝3x 2＋2ax ＋a 2.14令h ′(x )＝0，解得x 1＝－，x 2＝－.a2a6∵a >0，∴－<－.a2a 6∴原函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递(－∞，－a2)(－a 2，－a 6)(－a 6，＋∞)增．①当－1≤－，即a ≤2时，最大值为h (－1)＝a －.a 2a 24②当－<－1<－，即2<a <6时，最大值为h＝1.a2a6(－a2)③当－1≥－，即a ≥6时，最大值为h＝1.a6(－a2)综上所述：当a ∈(0,2]时，最大值为h (－1)＝a －；当a ∈(2，＋∞)时，最大值为ha 24＝1.(－a2)。

模块综合检测卷(时间：120分钟 满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．如图，要用三根数据线将四台电脑A ，B ，C ，D 连接起来以实现资源共享，则不同的连接方案种数为( )A ．20B ．16C ．10D ．8解析：画一个正方形和它的两条对角线，在这6条线段中，选3条的选法有C 36＝20种．其中，组成直角三角形的三条线段不能将四台电脑全部连接起来，这样的直角三角形有4个，故不同的连接方案共有C 36－4＝16种．答案：B2．已知随机变量ξ服从正态分布N (3，σ2)，则P (ξ＜3)等于( ) A ．15B ．14C ．13D ．12解析：由正态分布图像知，x ＝μ＝3为该图像的对称轴，则P (ξ＜3)＝P (ξ＞3)＝12．答案：D3．已知x ∈{2,3,7}，y ∈{－31，－24,4}，则xy 可表示的不同值的个数是( ) A ．1＋1＝2 B ．1＋1＋1＝3 C ．2×3＝6D ．3×3＝9解析：两个集合各有三个元素，且任何两个xy 都不相同，故由分步乘法计数原理得3×3＝9．答案：D4．掷一枚硬币，记事件A ＝“出现正面”，B ＝“出现反面”，则有( ) A ．A 与B 相互独立B ．P (AB )＝P (A )P (B )C ．A 与B 不相互独立D ．P (AB )＝14解析：由于事件A 和事件B 是同一个试验的两个结果，且不可能同时发生，故A 与B 为互斥事件．∵P (AB )＝0≠P (A )·P (B )＝14，∴A 与B 不相互独立． 答案：C5．(1－x )6展开式中x 的奇次项系数和为( ) A ．32 B ．－32 C ．0D ．－64解析：(1－x )6＝1－C 16x ＋C 26x 2－C 36x 3＋C 46x 4－C 56x 5＋C 66x 6,所以x 的奇次项系数和为－C 16－C 36－C 56＝－32．故选B ． 答案：B6．某射手射击所得环数ξ的分布列为已知ξ的均值Eξ＝8.9A ．0.2,0.3 B ．0.3,0.4 C ．0.2,0.4 D ．0.4,0.2解析：由题意得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋0.1＋0.3＋y ＝1，7x ＋0.1×8＋0.3×9＋10y ＝8.9⇒ ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0.2，y ＝0.4. 答案：C7．下列是x 与y 之间的一组数据：则y 关于x ( ) A ．⎝⎛⎭⎫32，4 B ．⎝⎛⎭⎫32，2 C ．(2,2)D ．(1,2)解析：⎝⎛⎭⎫32，4为样本点的中心，一定在回归直线上．答案：A8．有A ，B ，C ，D ，E ，F 6个集装箱，准备用甲、乙、丙三辆卡车运送，每辆卡车一次运两个．若卡车甲不能运A 箱，卡车乙不能运B 箱，此外无其他任何限制．要把这6个集装箱分配给这3辆卡车运送，则不同的分配方案的种数为( )A ．168B ．84C ．56D ．42解析：分两类．①甲运B 箱有C 14C 24C 22种；②甲不运B 箱有C 24C 23C 22种．所以不同的分配方案共有C 14C 24C 22＋C 24C 23C 22＝42种．答案：D9．甲射击命中目标的概率为34，乙射击命中目标的概率为23，当两人同时射击同一目标时，该目标被击中的概率为( )A ．12B ．1C ．1112D ．56解析：所求的概率为34×13＋14×23＋34×23＝1112．答案：C10．以圆x 2＋y 2－2x －2y －1＝0内横坐标与纵坐标均为整数的点为顶点的三角形个数为( )A ．76B ．78C ．81D ．84解析：如图，首先求出圆内的整数点个数，然后求组合数．圆的方程为(x －1)2＋(y －1)2＝3，圆内共有9个整数点，组成的三角形的个数为C 39－8＝76.故选A ．答案：A11．将三枚骰子各掷一次，设事件A 为“三个点数都不相同”，事件B 为“至少出现一个6点”，则概率P (A |B )的值为( )A ．6091B ．12C ．518D ．91216解析：事件B 的实验结果共有63－53＝91种．事件AB 的试验结果有C 13C 15C 14＝60种．∴P (A |B )＝P (AB )P (B )＝n (AB )n (B )＝6091．答案：A12．一射手对靶射击，直到第一次命中为止，每次命中的概率为0.6，现有4颗子弹，命中后的剩余子弹数目ξ的期望为( )A ．2.44B ．3.376C ．2.376D ．2.4解析：由题意知ξ＝0,1,2,3．∵当ξ＝0时，表示前三次都没射中，第四次还要射击，但结果不计， ∴P (ξ＝0)＝0.43；当ξ＝1时，表示前2次都没射中，第3次射中， P (ξ＝1)＝0.6×0.42；当ξ＝2时，表示第1次没射中，第2次射中， P (ξ＝2)＝0.6×0.4；当ξ＝3时，表示第1次就射中， P (ξ＝3)＝0.6．∴Eξ＝1×0.6×0.42＋2×0.6×0.4＋3×0.6＝2.376． 答案：C二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中的横线上) 13．数列a 1，a 2，…，a 7中，恰好有5个a,2个b (a ≠b )，则不相同的数列共有________个．解析： 7个位置中选2个位置放入2个b ，其余5个位置放入5个a ，共有C 27＝21个数列．答案：2114．设(1＋x )＋(1＋x )2＋(1＋x )3＋…＋(1＋x )10＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 10x 10，则a 2的值是________．解析：a 2即所有x 2项的系数和，∴a 2＝C 22＋C 23＋C 24＋…＋C 210＝165．答案：16515．某班有50名同学，一次数学考试的成绩ξ服从正态分布N (110,102)，已知P (100≤ξ≤110)＝0.34，估计该班数学成绩在120分以上的有________人．解析：数学成绩ξ的正态曲线关于直线x ＝110对称． ∵P (100≤ξ≤110)＝0.34，∴P (ξ≥120)＝P (ξ≤100)＝12×(1－0.34×2)＝0.16.数学成绩在120分以上的人数为0.16×50＝8．答案：816．某射手射击1次，击中目标的概率是0.9，他连续射击4次，且他各次射击是否击中目标相互之间没有影响．有下列结论：①他第3次击中目标的概率是0.9； ②他恰好击中目标3次的概率是0.93×0.1； ③他至少击中目标1次的概率是1－0.14．其中正确结论的序号是________．(写出所有正确结论的序号)解析：“射手射击1次，击中目标的概率是0.9”是指射手每次射击击中目标的概率都是0.9，由于他各次射击是否击中目标相互之间没有影响，因此他在连续射击4次时，第1次、第2次、第3次、第4次击中目标的概率都是0.9，①正确；“他恰好击中目标3次”是在4次独立重复试验中有3次发生，其概率是C 34×0.93×0.1，②不正确；“他至少击中目标1次”的反面是“1次也没有击中”，而“1次也没有击中”的概率是0.14，故至少击中目标1次的概率是1－0.14，③正确．答案：①③三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)下表是高考第一批录取的一份志愿表．如果有4所重点院校，每所院校有3个专业是你较为满意的选择．若表格填满且规定学校没有重复，同一学校的专业也没有重复的话，你将有多少种不同的填表方法？解：填表过程可分两步．第一步，确定填报学校及其顺序，则在4所学校中选出3所并加以排列，共有A 34种不同的排法；第二步，从每所院校的3个专业中选出2个专业并确定其顺序，其中又包含3小步，因此总的排列数有A 23A 23A 23种．综合以上两步，由分步乘法计数原理得不同的填表方法有A 34A 23A 23A 23＝5 184种．18．(本小题满分12分)已知(a 2＋1)n 展开式中的各项系数之和等于⎝⎛⎭⎫165x 2＋1x 5的展开式的常数项，(a 2＋1)n 的展开式中系数最大的项等于54，求a 的值．解：⎝⎛⎭⎫165x 2＋1x 5的展开式的通项为T r ＋1＝C r 5⎝⎛⎭⎫165x 25－r ⎝⎛⎭⎫1x r ＝⎝⎛⎭⎫1655－r C r 5x 20－5r 2，令20－5r ＝0，得r ＝4， 故常数项T 5＝C 45×165＝16． 又(a 2＋1)n 展开式的各项系数之和等于2n ，由题意知2n ＝16，得n ＝4． 由二项式系数的性质知，(a 2＋1)4展开式中系数最大的项是中间项T 3，故有C 24a 4＝54，解得a ＝±3．19．(本小题满分12分)有研究者欲考察某一高考试题的得分情况是否存在性别差异，统计结果如下：及格的人中男生有290人，女生有100人，不及格的人中男生有160人，女生有350人．试根据这些数据判断得分与性别是否有关系．解：根据题中的数据建立如下列联表.χ2＝900×(290×350－160×100)450×450×390×510≈163.35，∵163.35＞10.828，∴有99.9%的把握认为“这一试题的得分情况与性别有关系”． 20．(本小题满分12分)一个袋中装有若干个大小相同的黑球、白球和红球．已知从袋中任意摸出1个球，得到黑球的概率是25；从袋中任意摸出2个球，至少得到1个白球的概率是79．(1)若袋中共有10个球． ①求白球的个数；②从袋中任意摸出3个球，记得到白球的个数为X ，求随机变量X 的数学期望EX ． (2)试说明从袋中任意摸出2个球，至少得到1个黑球的概率不大于710，并指出袋中哪种颜色的球的个数最少．解：(1)①记“从袋中任意摸出2个球，至少得到1个白球”为事件A ，设袋中白球的个数为x ，则P (A )＝1－C 210－xC 210＝79，解得x ＝5，所以白球有5个．②随机变量X 的所有可能取值为0,1,2,3，分布列是所以X 的数学期望为EX ＝112×0＋512×1＋512×2＋112×3＝32．(2)设袋中有n 个球，其中有y 个黑球，由题意得y ＝25n ，所以2y <n,2y ≤n －1.所以y n －1≤12．记“从袋中任意摸出2个球，至少得到1个黑球”为事件B ，则P (B )＝25＋35×y n －1≤25＋35×12＝710.所以白球的个数比黑球多，白球的个数多于25n ，红球的个数少于n5，所以袋中红球的个数最少．21．(本小题满分12分)2016年4月14日，某财经频道报道了某地建筑市场存在违规使用未经淡化海砂的现象．为了研究使用淡化海砂与混凝土耐久性是否达标有关，某大学实验室随机抽取了60个样本，得到了相关数据如下表：(1)根据表中数据，求出s ，t 的值，利用独立性检验的方法判断，能否在犯错误的概率不超过1%的前提下认为使用淡化海砂与混凝土耐久性是否达标有关？(2)若用分层抽样的方法在使用淡化海砂的样本中抽取了6个，现从这6个样本中任取2个，则取出的2个样本混凝土耐久性都达标的概率是多少？参考数据：参考公式：χ2＝(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )．解：(1)s ＝30－15＝15，t ＝30－25＝5．由已知数据可求得χ2＝60×(25×15－5×15)230×30×40×20＝7.5>6.635．因此，能在犯错误的概率不超过1%的前提下，认为使用淡化海砂与混凝土耐久性是否达标有关．(2)用分层抽样的方法在使用淡化海砂的样本中抽取了6个，其中应抽取“混凝土耐久性达标”的个数为2530×6＝5．“混凝土耐久性不达标”的个数为1．“混凝土耐久性达标”的记为A 1，A 2，A 3，A 4，A 5，“混凝土耐久性不达标”的记为B ． 从这6个样本中任取2个，共有15种可能．设“取出的2个样本混凝土耐久性都达标”为事件A ，它的对立事件A －为“取出的2个样本至少有一个混凝土耐久性不达标”，包含(A 1，B )，(A 2，B )，(A 3，B )，(A 4，B )，(A 5，B )，共5种可能，所以P (A )＝1－P (A －)＝1－515＝23.故取出的2个样本混凝土耐久性都达标的概率是23．22．(本小题满分12分)甲、乙两人进行围棋比赛，约定先连胜两局者直接赢得比赛，若赛完5局仍未出现连胜，则判定获胜局数多者赢得比赛．假设每局甲获胜的概率为23，乙获胜的概率为13，各局比赛结果相互独立．(1)求甲在4局以内(含4局)赢得比赛的概率；(2)记X 为比赛决出胜负时的总局数，求X 的分布列和均值(数学期望)．解：用A 表示“甲在4局以内(含4局)赢得比赛”，A k 表示“第k 局甲获胜”，B k 表示“第k 局乙获胜”，则P (A k )＝23，P (B k )＝13，k ＝1,2,3,4, 5．(1)P (A )＝P (A 1A 2)＋P (B 1A 2A 3)＋P (A 1B 2A 3A 4)＝P (A 1)P (A 2)＋P (B 1)P (A 2)P (A 3)＋P (A 1)P (B 2)P (A 3)P (A 4)＝⎝⎛⎭⎫232＋13×⎝⎛⎭⎫232＋23×13×⎝⎛⎭⎫232＝5681．(2)X 的可能取值为2,3,4,5．P (X ＝2)＝P (A 1A 2)＋P (B 1B 2)＝P (A 1)P (A 2)＋P (B 1)P (B 2)＝59，P (X ＝3)＝P (B 1A 2A 3)＋P (A 1B 2B 3)＝P (B 1)P (A 2)P (A 3)＋P (A 1)P (B 2)P (B 3)＝29，P (X ＝4)＝P (A 1B 2A 3A 4)＋P (B 1A 2B 3B 4)＝P (A 1)P (B 2)P (A 3)P (A 4)＋P (B 1)P (A 2)P (B 3)P (B 4)＝1081， P (X ＝5)＝1－P (X ＝2)－P (X ＝3)－P (X ＝4)＝881．故X 的分布列为X 的数学期望EX ＝2×59＋3×29＋4×1081＋5×881＝22481．。

第二章 2.2 2.2.21．坛子中放有3个白球，2个黑球，从中进行不放回地取球2次，每次取一球，用A 1表示第一次取得白球，A 2表示第二次取得白球，则A 1和A 2是( )A ．互斥的事件B ．相互独立的事件C ．对立的事件D ．不相互独立的事件解析：∵P (A 1)＝35.若A 1发生了，P (A 2)＝24＝12；若A 1不发生，P (A 2)＝34，即A 1发生的结果对A 2发生的结果有影响，∴A 1与A 2不是相互独立事件．答案：D2．有二种产品，合格率分别为0.90,0.95，各取一件进行检验，恰有一件不合格的概率为( )A ．0.45B ．0.14C ．0.014D ．0.045解析：恰有一件不合格包含两种情况，第一种产品合格且第二种产品不合格或第一种产品不合格且第二种产品合格，所以概率为0.90×(1－0.95)＋(1－0.90)×0.95＝0.14. 答案：B3．甲、乙、丙三人独立地去译一个密码，分别译出的概率为15，13，14，则此密码能译出的概率是( )A ．160B ．25C ．35D ．5960解析：用A 、B 、C 分别表示甲、乙、丙三人破译出密码，则P (A )＝15，P (B )＝13，P (C )＝14，且P (A ·B ·C )＝P (A )·P (B )·P (C )＝45×23×34＝25.∴此密码被译出的概率为1－25＝35. 答案：C4．有一道数学难题，在半小时内，甲能解决的概率是12，乙能解决的概率是13，2人试图独立地在半小时内解决它，则两人都未解决的概率为________，问题得到解决的概率为________．解析：都未解决的概率为⎝⎛⎭⎫1－12⎝⎛⎭⎫1－13＝12×23＝13.问题得到解决就是至少有1人能解决问题，∴P ＝1－13＝23. 答案： 13 235．某班有两个课外活动小组，其中第一小组有足球票6张，排球票4张；第二小组有足球票4张，排球票6张，甲从第一小组的10张票中任抽1张，乙从第二小组的10张票中任抽1张．(1)两人都抽到足球票的概率是多少？(2)两人中至少有1人抽到足球票的概率是多少？解：记“甲从第一小组的10张票中任抽1张，抽到足球票”为事件A ，“乙从第二小组的10张票中任抽1张，抽到足球票”为事件B ；记“甲从第一小组的10张票中任抽1张，抽到排球票”为事件A －，“乙从第二小组的10张票中任抽1张，抽到排球票”为事件B －，于是P (A )＝610＝35，P (A －)＝25； P (B )＝410＝25，P (B －)＝35. 由于甲(或乙)是否抽到足球票，对乙(或甲)是否抽到足球票没有影响，因此A 与B 是相互独立事件．(1)甲、乙两人都抽到足球票就是事件A ·B 发生，根据相互独立事件的概率乘法公式，得到两人都抽到足球票的概率为P (AB )＝P (A )P (B )＝35×25＝625. (2)甲、乙两人均未抽到足球票(事件A －B －发生)的概率为P (A －B －)＝P (A －)P (B －)＝25×35＝625. ∴两人中至少有1人抽到足球票的概率为P ＝1－P (A －B －)＝1－625＝1925.。

第三章 §2 2.11．某人拉动一个物体前进，他所做的功W 是时间t 的函数W ＝W (t )，则W ′(t 0)表示( )A ．t ＝t 0时做的功B ．t ＝t 0时的速度C ．t ＝t 0时的位移D ．t ＝t 0时的功率解析：功率＝做功时间答案：D2．一个物体的运动方程为s ＝1－t ＋t 2(s 的单位是m ，t 的单位是s)，那么物体在3 s 末的瞬时速度是( )A ．7 m/sB ．6 m/sC ．5 m/sD ．4 m/s 解析：s ′＝－1＋2t ，s ′|t ＝3＝－1＋2×3＝5.答案：C3．设球的半径为时间t 的函数R (t )．若球的体积以均匀速度C 增长，则球的表面积的增长速度与球半径( )A ．成正比，比例系数为CB ．成正比，比例系数为2CC ．成反比，比例系数为CD ．成反比，比例系数为2C解析：根据题意，V ＝43πR 3(t )，S ＝4πR 2(t )， 球的体积增长速度为V ′＝4πR 2(t )·R ′(t )，球的表面积增长速度S ′＝2·4πR (t )·R ′(t )， 又∵球的体积以均匀速度C 增长，∴球的表面积的增长速度与球半径成反比，比例系数为2C ．答案：D4．人体血液中药物的质量浓度c ＝f (t )(单位：mg/mL)随时间t (单位：min)变化，且f ′(2)＝0.3，则f ′(2)表示__________.答案：服药后2 min 时血液中药物的质量浓度以每分钟0.3 mg/mL 的速度增加5．物体做自由落体运动，其方程为s (t )＝12gt 2.(其中位移单位：m ，时间单位：s ，g ＝9.8 m/s 2)(1)计算当t 从2 s 变到4 s 时，位移s 关于时间t 的平均变化率，并解释它的意义；(2)求当t ＝2 s 时的瞬时速度，并解释它的意义．解：(1)当t 从2 s 变到4 s 时，位移s 从s (2)变到s (4)，此时，位移s 关于时间t 的平均变化率为s (4)－s (2)4－2＝12g ×42－12g ×224－2＝9.8×3＝29.4(m/s)． 它表示物体从2 s 到4 s 这段时间平均每秒下落29.4 m.(2)∵s ′(t )＝gt ，∴s ′(2)＝2g ＝19.6(m/s)．它表示物体在t ＝2 s 时的速度为19.6 m/s.。

活页作业(六)组合的综合应用一、选择题1．9件产品中，有4件一等品，3件二等品，2件三等品，现在要从中抽出4件产品，抽出产品中至少有2件一等品的抽法种数为()A．81B．60C．6 D．11解析：分三类．恰有2件一等品，有C24C25＝60种取法；恰有3件一等品，有C34C15＝20种取法；恰有4件一等品，有C44＝1种取法．∴抽法种数为60＋20＋1＝81．答案：A2．以一个正方体的顶点为顶点的四面体共有()A．70个B．64个C．58个D．52个解析：∵四个顶点共面的情况有6个表面和6个对角面共12个，∴共有四面体C48－12＝58个．故选C．答案：C3．某班班会准备从甲、乙等7名学生中选派4名学生发言，要求甲、乙两人至少有一人发言，那么不同的选派方法有()A．30种B．50种C．60种D．120种解析：若甲、乙两人中只有一人参加发言，有C12C35＝20种方法；若甲、乙均参加发言，有C22C25＝10种方法．所以共有20＋10＝30种方法．答案：A4．直角坐标系xOy平面上，平行直线x＝n(n＝0,1,2，…，5)与平行直线y＝n(n＝0,1,2，…，5)组成的图形中，矩形共有()A．25个B．36个C．100个D．225个解析：在垂直于x轴的6条直线中任取2条，在垂直于y轴的6条直线中任取2条，四条直线相交得出一个矩形，所以矩形总数为C26×C26＝15×15＝225个．答案：D二、填空题5．甲、乙、丙三名同学选修课程，在4门课程中，甲选修2门，乙、丙各选修3门，则不同的选修方案共有________种．解析：甲选修2门，有C24＝6种选法，乙、丙各选修3门，各有C34＝4种选法，由分步乘法计数原理得，共有6×4×4＝96种选法．答案：966．某单位有15名成员，其中男性10人，女性5人，现需要从中选出6名成员组成考察团外出参观学习，如果按性别分层，并在各层按比例随机抽样，则此考察团的组成方法种数是________．解析：按性别分层，并在各层按比例随机抽样，则需从10名男性中抽取4人，5名女性中抽取2人，共有C410C25＝2 100种抽法．答案：2 100三、解答题7．空间有10个点，其中有5个点共面(除此之外再无4点共面)，以每4个点为顶点作一个四面体，问一共可作多少个四面体？解：不考虑任何限制，10个点可得C410个四面体．由于有5个点共面，这5个点中的任意4个点都不能构成四面体，共有C45种情形．所以构成四面体的个数为C410－C45＝210－5＝205．8．12件产品中，有10件正品，2件次品，从这12件产品中任意抽出3件．(1)共有多少种不同的抽法？(2)抽出的3件中恰好有1件次品的抽法有多少种？(3)抽出的3件中至少有1件次品的抽法有多少种？解：(1)有C312＝220种抽法．(2)分两步：先从2件次品中抽出1件有C12种方法；再从10件正品中抽出2件有C210种方法．所以共有C12C210＝90种抽法．(3)方法一(直接法)分两类，即包括恰有1件次品和恰有2件次品两种情况，与(2)小题类似共有C12C210＋C22C110＝100种抽法．方法二(间接法)从12件产品中任意抽出3件有C312种方法，其中抽出的3件全是正品的抽法有C310种，所以共有C312－C310＝100种抽法．一、选择题1．在某种信息传输过程中，用4个数字的一个排列(数字允许重复)表示一个信息，不同排列表示不同信息，若所用数字只有0和1，则与信息0110至多有两个对应位置上的数字相同的信息个数为()A．10 B．11C．12 D．15解析：与信息0110至多有两个位置上的数字对应相同的信息包括三类．第一类：与信息0110只有两个对应位置上的数字相同有C24＝6个；第二类：与信息0110只有一个对应位置上的数字相同有C14＝4个；第三类：与信息0110没有一个对应位置上的数字相同有C04＝1个．∴与信息0110至多有两个对应位置上的数字相同的信息有6＋4＋1＝11个．答案：B2．将标号为1,2，…，10的10个球放入标号为1，2，…，10的10个盒子里，每个盒内放一个球，恰好3个球的标号与其所在盒子的标号不一致的放入方法种数为() A．120 B．240C．360 D．720解析：先选出3个球有C310＝120种方法，不妨设为1,2,3号球，则1,2,3号盒中能放的球为2,3,1或3,1,2两种．这3个号码放入标号不一致的盒子中有2种不同的方法，故共有120×2＝240种方法．答案：B二、填空题3．若从1,2,3，…，9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为偶数，则不同的取法共有________种．解析：对于4个数之和为偶数，可分三类．第一类：4个数均为偶数，有C44种取法；第二类：2个数为偶数，2个数为奇数，有C24C25种取法；第三类：4个数均为奇数，有C45种取法．由分类加法计数原理，可得不同的取法共有C44＋C24C25＋C45＝66种．答案：664．已知直线xa＋yb＝1(a，b是非零常数)与圆x2＋y2＝100有公共点，且公共点的横坐标和纵坐标均为整数，那么这样的直线共有________条．解析：如图所示，在圆x2＋y2＝100上，整点坐标有(±10,0)，(6,8)，(－6，－8)，(－6,8)，(6，－8)，(8,6)，(－8，－6)，(－8,6)，(8，－6)，(0，±10)共12个点．这12点确定的直线数为C212条；过这12点的切线数有12条；由于a，b不为零，应去掉过原点的直线6条；又其中平行于坐标轴的直线有12条，故符合题意的直线共有C 212＋12－(6＋12)＝60条． 答案：60 三、解答题5．10双互不相同的鞋子混装在一只口袋中，从中任意取出4只，试求各有多少种情况出现如下结果：(1)4只鞋子没有成双的； (2)4只鞋子恰成两双；(3)4只鞋中有2只成双，另2只不成双．解：(1)从10双鞋子中选取4双，有C 410种不同选法，每双鞋子中各取一只，分别有2种取法，根据分步乘法计数原理，选取种数为N ＝C 410·24＝3 360． 即4只鞋子没有成双有3 360种不同取法． (2)从10双鞋子中选取2双有C 210种取法， 所以选取种数为N ＝C 210＝45，即4只鞋子恰成两双有45种不同取法．(3)先选取一双有C 110种选法，再从9双鞋中选取2双有C 29种选法，每双鞋只取一只各有2种取法．根据分步乘法计数原理，不同取法有N ＝C 110C 29·22＝1 440种． 6．已知一组曲线y ＝13ax 3＋bx ＋1，其中a 为2,4,6,8中的任意一个，b 为1,3,5,7中的任意一个．现从这些曲线中任取两条．求它们在x ＝1处的切线相互平行的组数．解：y ′＝ax 2＋b ，曲线在x ＝1处切线的斜率k ＝a ＋b .切线相互平行，则需它们的斜率相等，因此按照在x ＝1处切线的斜率的可能取值可分为五类完成．第一类：a ＋b ＝5，则a ＝2，b ＝3；a ＝4，b ＝1.故可构成2条曲线，有C 22组． 第二类：a ＋b ＝7，则a ＝2，b ＝5；a ＝4，b ＝3；a ＝6，b ＝1.可构成三条曲线，有C 23组． 第三类：a ＋b ＝9，则a ＝2，b ＝7；a ＝4，b ＝5；a ＝6，b ＝3；a ＝8，b ＝1.可构成四条曲线，有C 24组．第四类：a ＋b ＝11，则a ＝4，b ＝7；a ＝6，b ＝5；a ＝8，b ＝3.可构成三条曲线，有C 23组．第五类：a ＋b ＝13，则a ＝6，b ＝7；a ＝8，b ＝5.可构成两条曲线，有C 22组．故共有C22＋C23＋C24＋C23＋C22＝14组．。

阶段质量评估(一)计数原理A卷(时间：60分钟满分：80分)一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．如果k∈{1,3,5,7}，b∈{2,4,6,8}，则直线y＝kx＋b共有()A．4条B．16条C．8条D．64条解析：确定直线y＝kx＋b需分两步．第一步：选k，有4种方法；第二步：选b，有4种方法．由乘法原理可知，直线y＝kx＋b共有4×4＝16条．答案：B2．已知集合A＝{1,2,3,4}，B＝{5,6,7}，C＝{8,9}．现在从这三个集合中取出两个集合，再从这两个集合中各取出一个元素，组成一个含有两个元素的集合，则一共可以组成多少个集合()A．24个B．36个C．26个D．27个解析：从三个集合中取出两个集合，有C23种取法，分别是集合A，B；集合A，C；集合B，C．当取出集合A，B时，从这两个集合中各取出一个元素，组成一个含有两个元素的集合有C14×C13＝12个；当取出集合A，C时，从这两个集合中各取出一个元素，组成一个含有两个元素的集合有C14×C12＝8个；当取出集合B，C时，从这两个集合中各取出一个元素，组成一个含有两个元素的集合有C13×C12＝6个．∵集合A，B，C的元素各不相同，∴一共可以组成12＋8＋6＝26个集合．故选C．答案：C3．(1＋2x)5的展开式中，x2的系数等于()A．80 B．40C．20 D．10解析：(1＋2x)5的展开式的通项为T r＋1＝C r5(2x)r＝2r C r5·x r，令r＝2，得x2的系数为22×C25＝4×10＝40，故选B．答案：B4．某单位准备用不同花色的装饰石材分别装饰办公楼中的办公室、走廊、大厅的地面及楼的外墙，现有编号为1～6的六种不同花色的装饰石材可选择，其中1号石材有微量的放射性，不可用于办公室内，则不同的装饰效果有( )A ．350种B ．300种C ．65种D ．50种解析：先给办公室选装饰石材，有5种选择，走廊、大厅、外墙从剩余的5种装饰石材中选取3种进行装饰，有A 35种方法，所以共有5A 35＝300种装饰效果．答案：B5．设(2－x )5＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 5x 5，那么a 0＋a 2＋a 4a 1＋a 3的值为( )A ．－122121B ．－6160C ．－244241D ．－1解析：令x ＝1，可得a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝1，再令x ＝－1，可得a 0－a 1＋a 2－a 3＋a 4－a 5＝35.两式相加除以2求得a 0＋a 2＋a 4＝122，两式相减除以2可得a 1＋a 3＋a 5＝－121．结合a 5＝－1，故a 0＋a 2＋a 4a 1＋a 3＝－6160．答案：B6．某微信群中甲、乙、丙、丁、戊五名成员同时抢4个红包，每人最多抢一个红包，且红包全被抢光，4个红包中有两个2元，两个3元(金额相同视为相同红包)，则甲、乙两人都抢到红包的情况有( )A ．36种B ．24种C ．18种D ．9种解析：甲、乙两人都抢到红包有三种情况．(1)都抢到2元红包，有C 23＝3种；(2)都抢到3元红包，有C 23＝3种；(3)一个抢到2元，一个抢到3元，有C 12A 23＝12种．故总共有18种情况．答案：C二、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分．请把正确答案填在题中的横线上) 7．要排出某班一天中语文、数学、政治、英语、体育、艺术6堂课的课程表，要求数学排在上午(前4节)，体育排在下午(后2节)，不同的排法种数是________．解析：由题意，要求数学课排在上午(前4节)，体育课排在下午(后2节)，有C 14C 12＝8种．再排其余4节，有A 44＝24种．根据乘法原理，共有8×24＝192种排法． 答案：1928．今有2个红球、3个黄球、4个白球，同色球不加以区分，将这9个球排成一列有________种不同的方法(用数字作答)．解析：由题意可知，因同色球不加以区分，实际上是一个组合问题，我们把完成这件事分为三个步骤．第一步：在9个位置中取4个位置放白球；第二步：在余下的5个位置中取2个位置放红球；第三步：余下三个位置放黄球．由分步计数原理，可知共有C 49·C 25·C 33＝1 260种不同的排法．答案：1 2609．若(1－2x )2 017＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 2 017x 2 017 (x ∈R )，则(a 0＋a 1)＋(a 0＋a 2)＋(a 0＋a 3)＋…＋(a 0＋a 2 017)＝________(用数字作答)．解析：令x ＝0得a 0＝1，令x ＝1得a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 2 017＝－1，所以(a 0＋a 1)＋(a 0＋a 2)＋(a 0＋a 3)＋…＋(a 0＋a 2 017)＝2 016－1＝2 015．答案：2 015三、解答题(本大题共3小题，共35分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)10．(本小题满分10分)已知⎝ ⎛⎭⎪⎫3a －3a n 的展开式的各项系数之和等于⎝ ⎛⎭⎪⎫43b －15b 5展开式中的常数项，求⎝⎛⎭⎪⎫3a －3a n 展开式中含a －1的项的二项式系数． 解：设⎝⎛⎭⎪⎫43b －15b 5的展开式的通项为T r ＋1＝C r 5(43b )5－r ⎝⎛⎭⎫－15b r ＝⎝⎛⎭⎫－15r ·45－rC r 5·b 10－5r6，(r ＝0,1,2,3,4,5)． 若它为常数项，则10－5r6＝0，∴r ＝2．代入上式，得T 3＝27． 即常数项是27，从而可得⎝ ⎛⎭⎪⎫3a －3a n中n ＝7， 同理⎝ ⎛⎭⎪⎫3a －3a 7二项展开式的通项公式为T r ＋1＝(－1)r ·37－r C r 7·a 5r －216，令5r －21＝－1，得r ＝4．故含a－1的项是第5项，其二项式系数是C 47＝C 37＝35．11．(本小题满分12分)某单位职工义务献血，在体检合格的人中，O 型血的共有28人，A 型血的共有7人，B 型血的共有9人，AB 型血的有3人．(1)从中任选1人去献血，有多少种不同的选法？(2)从四种血型的人中各选1人去献血，有多少种不同的选法？解：从O型血的人中选1人有28种不同的选法，从A型血的人中选1人有7种不同的选法，从B型血的人中选1人有9种不同的选法，从AB型血的人中选1人有3种不同的选法．(1)任选1人去献血，即无论选哪种血型中的哪一个人，这件“任选1人去献血”的事情都能完成，所以由分类加法计数原理，共有28＋7＋9＋3＝47种不同的选法．(2)要从四种血型的人中各选1人，即要在每种血型的人中依次选出1人后，这件“各选1人去献血”的事情才完成，所以用分步乘法计数原理，共有28×7×9×3＝5 292种不同的选法．12．(本小题满分13分)有5个男生和3个女生，从中选出5人担任5门不同学科的课代表，分别求符合下列条件的选法数：(1)有女生但人数必须少于男生；(2)某女生一定要担任语文课代表；(3)某男生必须包括在内，但不担任数学课代表；(4)某女生一定要担任语文课代表，某男生必须担任课代表，但不担任数学课代表．解：(1)先选后排，分两步．第一步：先选课代表人员的选法有(C35C23＋C45C13)种，第二步：再排列方法有A55种，所以满足题意的选法有(C35C23＋C45C13)A55＝5 400种．(2)除去该女生后，即相当于从剩余的7名学生中选4人担任四科的课代表，有A47＝840种选法．(3)先选后排．从剩余的7名学生中选出4名有C47种选法，排列方法有C14A44，所以选法共有C47C14A44＝3 360种．(4)先从除去该男生该女生的6人中选出3人，有C36种选法，该男生的安排方法有C13种，其余3人做全排列，有A33种选法．因此满足题意的选法共有C36C13A33＝360种．B卷(时间：60分钟满分：80分)一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．两人进行乒乓球比赛，先赢3局者获胜，决出胜负为止，则所有可能出现的情形(各人输赢局次的不同视为不同情形)共有()A．10种B．15种C．20种D．30种解析：分三种情况．恰好打3局，有2种情形；恰好打4局(一人前3局中赢2局，输1局，第4局赢)，共有2C23＝6种情形；恰好打5局(一人前4局中赢2局，输2局，第5局赢)，共有2C 24＝12种情形．所有可能出现的情形共有2＋6＋12＝20种．答案：C2．在二项式⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋14x n的展开式中，前三项的系数成等差数列，则该二项展开式中x－2项的系数为 ( ) A ．2 B ．4 C ．1D ．16 解析：由题意可得2n ，C 1n ·2n －1，C 2n ·2n －2成等差数列，∴2C 1n ·2n －1＝2n ＋C 2n ·2n －2，解得n ＝8.故展开式的通项公式为T r ＋1＝C r 8·28－r ·x 4－3r 4，令4－3r 4＝－2，求得r ＝8，故该二项展开式中x －2项的系数为C 88·20＝1，故选C ． 答案：C3．将A ，B ，C ，D 四个小球放入编号为1,2,3的三个盒子中，若每个盒子中至少放一个球且A ，B 不能放入同一个盒子中，则不同的放法有( )A ．15种B ．18种C ．30种D ．36种解析：先把A ，B 放入不同盒中，有3×2＝6种放法，再放C ，D ， 若C ，D 在同一盒中，只能是第3个盒，1种放法；若C ，D 在不同盒中，则必有一球在第3个盒中，另一球在A 或B 的盒中，有2×2＝4种放法．故共有6×(1＋4)＝30种放法． 答案：C4．某市践行“干部村村行”活动，现有3名干部可供选派，下乡到5个村蹲点指导工作，每个村至少有1名干部，每个干部至多住3个村，则不同的选派方案共( )A ．243种B ．210种C ．150种D ．125种解析：3名干部可供选派，下乡到5个村蹲点指导工作，每个村至少有1名干部，每个干部至多住3个村，于是可以把5个村分为(1,1,3)和(1,2,2)两组，当为(1,1,3)时，有C 35A 33＝60种，当为(1,2,2)时，有C 25·C 23A 22·A 33＝90种，根据分类计数原理可得60＋90＝150种． 答案：C5．在(1＋x )n 的展开式中，奇数项之和为p ，偶数项之和为q ，则(1－x 2)n 等于( ) A ．0B ．pqC．p2－q2D．p2＋q2解析：由于(1＋x)n与(1－x)n展开式中奇数项相同，偶数项互为相反数，因此(1－x)n＝p －q，所以(1－x2)n＝(1＋x)n(1－x)n＝(p＋q)(p－q)＝p2－q2．答案：C6．用红，黄，蓝，绿，黑这5种颜色给如图所示的四连圆涂色，要求相邻两个圆所涂颜色不能相同，红色至少要涂两个圆，则不同的涂色方案种数为()A．28 B．32C．44 D．56解析：根据题意，红色至少要涂两个圆，而且相邻两个圆所涂颜色不能相同，则红色只能涂第一、三个圆，第二、四个圆或第一、四个圆，分3种情况讨论．①用红色涂第一、三个圆，此时第2个圆不能为红色，有4种涂色方法，第4个圆也不能为红色，有4种涂色方法，则此时共有4×4＝16种涂色方案；②同理，当用红色涂第二、四个圆也有16种涂色方案；③用红色涂第一、四个圆，此时需要在剩下的4种颜色中，任取2种，涂在第二、三个圆中，有A24＝12种涂色方案．则一共有16＋16＋12＝44种不同的涂色方案．答案：C二、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分．请把正确答案填在题中的横线上)7．如图，在杨辉三角中，从上往下数共有n行(n∈N＋)，在这些数中，非1的数之和为________．解析：所求和S＝(20＋21＋22＋…＋2n－1)－(2n－1)＝2n－12－1－2n＋1＝2n－2n．答案：2n－2n8．某种产品的加工需要A，B，C，D，E五道工艺，其中A必须在D的前面完成(不一定相邻)，其他工艺的顺序可以改变，但不能同时进行，为了节省加工时间，B 与C 必须相邻，那么完成加工该产品的不同工艺的排列顺序有________种．(用数字作答)解析：B 与C 必须相邻，看做一个元素，与剩下三个元素排列共有A 44种排法，而B 与C 共有A 22种排法，因为A 必须在D 的前面完成，所以完成加工该产品的不同工艺的排列顺序有A 44·A 22A 22＝24种．答案：249．用红、黄、蓝三种颜色去涂图中标号为1,2，…，9的9个小正方形(如图所示)，使得任意相邻(有公共边)的小正方形所涂颜色都不相同，且标号为1,5,9的小正方形涂相同的颜色，则符合条件的所有涂法共有________种．解析：把区域分为三部分，第一部分1,5,9，有3种涂法．第二部分4,7,8，当5,7同色时，4,8各有2种涂法，共4种涂法；当5,7异色时，7有2种涂法，4,8均只有1种涂法，故第二部分共4＋2＝6种涂法．第三部分与第二部一样，共6种涂法．由乘法原理可得共有3×6×6＝108种涂法．答案：108三、解答题(本大题共3小题，共35分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)10．(本小题满分10分)设f (x )＝(1＋x )m ＋(1＋x )n 展开式中x 的系数是19(m ，n ∈N ＋)． (1)求f (x )展开式中x 2的系数的最小值；(2)当f (x )展开式中x 2的系数取最小值时，求f (x )展开式中x 7的系数． 解：(1)由题设条件，得m ＋n ＝19．∴m ＝19－n ，x 2的系数为C 2m ＋C 2n ＝C 219－n ＋C 2n ＝(19－n )(18－n )2＋n (n －1)2＝n 2－19n ＋171＝⎝⎛⎭⎫n －1922＋3234． ∵n ∈N ＋，∴当n ＝9或n ＝10时，x 2的系数取最小值⎝⎛⎭⎫122＋3234＝81．(2)当n ＝9，m ＝10或n ＝10，m ＝9时，x 2的系数取最小值，此时x 7的系数为C 710＋C 79＝C 310＋C 29＝156．11．(本小题满分12分)为了下一次的航天飞行，现准备从10名预备队员(其中男6人，女4人)中选4人参加“神舟十一号”的航天任务．(1)若男甲和女乙同时被选中，共有多少种选法？(2)若至少两名男航天员参加此次航天任务，问共有几种选法？(3)若选中的四个航天员被分配到A ，B ，C 三个实验室去，其中每个实验室至少一个航天员，共有多少种选派法？解：(1)若男甲和女乙同时被选中，剩下的2人从8人中任选即可，即有C 28＝28种．(2)至少两名男航天员，可分为2名，3名，4名三类，利用分类加法计数原理可得C 26C 24＋C 36C 14＋C 46＝185种．(3)先选4名航天员，然后把这4名航天员分2,1,1三组，再分配到A ，B ，C 三个实验室去，共有C 410·C 24C 12C 11A 22·A 33＝7 560种．12．(本小题满分13分)规定C m x ＝x (x －1)…(x －m ＋1)m ！，其中x ∈R ，m 是正整数，且C 0x＝1，这是组合数C mn (n ，m 是正整数，且m ≤n )的一种推广．(1)求C 3－15的值．(2)设x ＞0，当x 为何值时，C 3x(C 1x )2取得最小值？(3)组合数的两个性质：①C m n ＝C n－mn；②C m n ＋C m －1n ＝C m n ＋1是否都能推广到C mx (x ∈R ，m 是正整数)的情形？若能推广，则写出推广的形式并给出证明；若不能，说明理由．解：(1)C 3－15＝(－15)(－16)(－17)3！＝－680．(2)C 3x(C 1x )2＝x (x －1)(x －2)6x 2＝16⎝⎛⎭⎫x ＋2x －3．∵x ＞0，∴x ＋2x ≥22，当且仅当x ＝2时，等号成立．∴当x ＝2时，C 3x(C 1x )2取得最小值．(3)性质①不能推广，例如当x ＝2时，C 12有定义，但C2－12无意义；性质②能推广，它的推广形式是C m x ＋C m －1x ＝C m x ＋1，其中x ∈R ，m 是正整数．事实上，当m ＝1时，有C 1x ＋C 0x ＝x ＋1＝C 1x ＋1，当m ≥2时，C m x ＋C m －1x＝x (x －1)…(x －m ＋1)m ！＋x (x －1)…(x －m ＋2)(m －1)！＝x (x －1)…(x －m ＋2)(m －1)！ ·⎝⎛⎭⎫x －m ＋1m ＋1＝x (x －1)…(x －m ＋2)(x ＋1)m ！＝C mx ＋1．。

第三章§2 2.1、2、31．想要检验是否参加体育运动是不是与性别有关，应该检验()A．男性喜欢参加体育运动B．女性不喜欢参加体育运动C．喜欢参加体育运动与性别有关D．喜欢参加体育运动与性别无关解析：独立性检验假设有反证法的意味，应假设两类变量无关，这时的χ2应该很小，如果χ2很大，那么可以否定假设，如果χ2很小，那么不能够肯定或者否定假设．答案：D2．下面是2×2列联表：则表中a，b的值分别为()A．94,96B．52,50C．52,54 D．54,52解析：a＝73－21＝52，b＝100－46＝54，故选C．答案：C3．如果有99%的把握认为“X与Y有关系”，那么具体算出的数据满足()A．χ2＞6.635 B．χ2＞5.024C．χ2＞7.879 D．χ2＞3.841解析：当χ2＞6.635时，有99%的把握认为“X与Y有关系”．答案：A4．假设有两个分类变量X和Y，它们的可能取值分别为{x1，x2}和{y1，y2}，其2×2列联表如下：对于以下数据，对同一样本能说明X与Y有关的可能性最大的一组的序号为________．①a＝9，b＝8，c＝7，d＝6；②a＝9，b＝7，c＝6，d＝8；③a＝8，b＝6，c＝9，d＝7；④a＝6，b＝7，c＝8，d＝9．解析：对于同一样本，|ad—bc|越小，说明X与Y之间有关系的可能性越弱；|ad－bc|越大，说明X与Y之间有关系的可能性越强．答案：②5．给出如下列联表：由以上数据判断糖尿病与有无家族病史有没有关系．解：χ2＝1 537×(11×1 495－6×25)2(11＋6)(25＋1 495)(11＋25)(6＋1 495)≈292.285＞6.635，故约有99%的把握认为糖尿病与家族病史有关系．。

综合质量评估一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．给出以下四个说法：①绘制频率分布直方图时，各小长方形的面积等于相应各组的组距； ②在刻画回归模型的拟合效果时，R 2的值越大，说明拟合的效果越好； ③设随机变量ξ服从正态分布N (4,22)，则P (ξ>4)＝12；④对分类变量X 与Y ，若它们的随机变量K 2的观测值k 越小，则判断“X 与Y 有关系”的犯错误的概率越小．其中正确的说法是( ) A ．①④ B ．②③ C ．①③D ．②④解析：①中各小长方形的面积等于相应各组的频率；②正确，相关指数R 2越大，拟合效果越好，R 2越小，拟合效果越差；③随机变量ξ服从正态分布N (4,22)，正态曲线对称轴为x ＝4，所以P (ξ>4)＝12；④对分类变量X 与Y ，若它们的随机变量K 2的观测值k 越小，则说明“X 与Y 有关系”的犯错误的概率越大．答案：B2．甲、乙两人进行围棋比赛，比赛采取五局三胜制，无论哪一方先胜三局则比赛结束，假定甲每局比赛获胜的概率均为23，则甲以3∶1的比分获胜的概率为( )A ．827B ．6481C ．49D ．89解析：设甲胜为事件A ，则P (A )＝23，P (A )＝13，∵甲以3∶1的比分获胜，∴甲前三局比赛中胜2局，第四局胜，故所求概率为P ＝C 23·⎝⎛⎭⎫232·13·23＝827.答案：A3．设集合S ＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9}，集合A ＝{a 1，a 2，a 3}，A ⊆S ，a 1，a 2，a 3满足a 1<a 2<a 3且a 3－a 2≤6，那么满足条件的集合A 的个数为( )A ．76B ．78C ．83D ．84解析：在集合S 中任取三个数共C 39＝84种情况，这三个数大小关系确定，其中不满足a 3－a 2≤6，即最大数减去次大数大于6的共一个，即a 1＝1，a 2＝2，a 3＝9，其他均满足题意，所以满足条件的集合A 的个数为C 39－1＝83.答案：C4．(2015·湖北卷)已知(1＋x )n 的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为( )A ．212B ．211C ．210D ．29解析：由题意得：C 3n ＝C 7n ，解得n ＝10.故奇数项的二项式系数和为 2102＝29.答案：D5．三名学生与两名老师并排站成一排。

第2课时 离散型随机变量的分布列1设随机变量ξ的分布列为P (ξ=i )=a (13)i,i=1,2,3,则a 的值为( ) A.1 B .913C .2713D .11132某项试验的成功率是失败率的2倍,用随机变量ξ描述1次试验的成功次数,则P (ξ=1)等于( ) A.0B .12C .13D .23a ,则成功率为2a ,∴a+2a=1.∴a=13,P (ξ=1)=2a=23.3随机变量ξ的所有等可能取值为1,2,…,n ,若P (ξ<4)=0.3,则( ) A.n=3 B.n=4C.n=10D.不能确定ξ的所有等可能取值为1,2,…,n ,故P (ξ=1)=…=P (ξ=n )=1n ,故P (ξ<4)=P (ξ=1)+P (ξ=2)+P (ξ=3)=3n =0.3,解得n=10. 答案C4随机变量ξ的分布列如下:ξ -1 0 1 其中a ,b ,c 成等差数列,则P (|ξ|=1)等于( ) A .13B .14C .12D .23a ,b ,c 成等差数列,∴2b=a+c.又a+b+c=1,∴b=13,∴P (|ξ|=1)=P (ξ=-1)+P (ξ=1)=a+c=2b=23.5已知随机变量X 的分布列为:若P (X 2<x )=1112,则实数x 的取值范围是( ) A.4≤x ≤9 B.4<x ≤9 C.4≤x<9D.4<x<9解析若P (X 2<x )=1112,则X 要取遍0,±1,±2各个值.当x ≤4时,X 2≤3,X 取不到±2;当x>9时,X 2可以等于9,即X 取到3. 均与已知矛盾.故4<x ≤9.6若离散型随机变量X 的分布列是X 0 1 P9c 2-c 3-8c则常数c 的值为 .,得9c 2-c+3-8c=1,解得c=13或c=23.∵{0≤9c 2-c ≤1,0≤3-8c ≤1,∴c=13.7设随机变量X 的分布列为:则q 的值为 .{12+(1-2q )+q 2=1,1-2q >0,解得q=1-√22.-√228随机变量X 的分布列为P (X=k )=Ck (k+1),k=1,2,3,C 为常数,则P (0.5<X<2.5)= .P (X=1)+P (X=2)+P (X=3)=1,得C 1×2+C 2×3+C3×4=1, 解得C=43.故随机变量X 的分布列为X 因此,P (0.5<X<2.5)=P (X=1)+P (X=2)=23+29=89.★9从装有6个白球,4个黑球和2个黄球的箱中随机地取出两个球,规定每取出一个黑球赢2元,而每取出一个白球输1元,取出黄球无输赢,以X 表示赢得的钱数,随机变量X 可以取哪些值呢?求X 的分布列.X 的概率分布列,需先写出X 的可能取值,然后求出X 中每一个可能值的概率,从而列出分布列.:{2白},{1白1黄},{1白1黑},{2黄},{1黑1黄},{2黑}.当取到2白时,结果输2元,随机变量X=-2,此时 P (X=-2)=C 62C 122=522;当取到1白1黄时,结果输1元,随机变量X=-1,此时P (X=-1)=C 61C 21C 122=211;当取到1白1黑时,结果赢1元,随机变量X=1,此时P (X=1)=C 61C 41C 122=411;当取到2黄时,结果不输不赢,随机变量X=0,此时P (X=0)=C 22C 122=166;当取到1黑1黄时,结果赢2元,随机变量X=2,此时P (X=2)=C 41C 21C 122=433;当取到2黑时,结果赢4元,随机变量X=4,此时P (X=4)=C 42C 122=111,综上所述,随机变量X 可以取-2,-1,0,1,2,4,其分布列为★10从装有2只红球,2只白球和1只黑球的袋中逐一取球,已知每只球被抽取的可能性相同.若抽取后不放回,设抽完红球所需的次数为ξ,求ξ的分布列.ξ的所有可能取值为2,3,4,5.若把2只红球、2只白球都看成不一样的元素,则试验就相当于依次取出5只不同的球,其包含的基本事件的个数为A 55.“ξ=2”表示“第一、二次取出的都是红球,后三次无要求”,则P (ξ=2)=A 22A 33A 55=110;“ξ=3”表示“前两次取出的球有一只是红球,第三次取出的是红球,其他无要求”,则P (ξ=3)=C 21C 31A 22A 22A 55=15;“ξ=4”表示“前三次取出的球有一只是红球,第四次取出的是红球,其他无要求”,则P (ξ=4)=C 21C 32A 33A 55=310;“ξ=5”表示“前四次取出的球有一只是红球,第五次取出的是红球”,则P (ξ=5)=C 21C 33A 44A 55=25.所以ξ的分布列为★11如图所示,A ,B 两点之间有6条网线连接,每条网线能通过的最大信息量分别为1,1,2,2,3,4,从中任取3条网线且使每条网线通过最大信息量,设这3条网线通过的最大信息量之和为ξ.(1)当ξ≥6时,则保证线路信息畅通,求线路信息畅通的概率; (2)求ξ的分布列.解(1)从6条网线中随机任取3条网线共有C 63=20种情况.∵1+1+4=1+2+3=6,∴P (ξ=6)=1+C 21C 21C 63=14.∵1+2+4=2+2+3=7,∴P (ξ=7)=C 21C 21+1C 63=14.∵1+3+4=2+2+4=8,∴P (ξ=8)=C 21+1C 63=320.∵2+3+4=9,∴P (ξ=9)=C 21C 63=110.∵P (ξ≥6)=P (ξ=6)+P (ξ=7)+P (ξ=8)+P (ξ=9)=14+14+320+110=34.∴线路信息畅通的概率为34. (2)ξ的取值为4,5,6,7,8,9.∵1+1+2=4,∴P (ξ=4)=C 21C 63=110.∵1+1+3=1+2+2=5,∴P (ξ=5)=1+C 21C 63=320.∴ξ的分布列为6 7 814 14 20。

第二章 §21．在15个村庄中，有7个村庄交通不方便，若用随机变量X 表示任选10个村庄中交通不方便的村庄的个数，则X 服从超几何分布，其参数为( )A ．N ＝15，M ＝7，n ＝10B ．N ＝15，M ＝10，n ＝7C ．N ＝22，M ＝10，n ＝7D ．N ＝22，M ＝7，n ＝10解析：由超几何分布中参数N ，M ，n 的意义知选A ． 答案：A2．一批产品共10件，次品率为20%，从中任取2件，则正好取到1件次品的概率是( ) A ．2845B ．1645C ．1145D ．1745解析：由题意，10件产品中有2件次品，故所求概率为P ＝C 12C 18C 210＝1645.答案：B3．盒中有10只螺丝钉，其中有3只是坏的，现从盒中随机地抽取4只，那么310等于( )A ．恰有1只是坏的概率B ．恰有两只是好的概率C ．4只全是好的概率D ．至多有两只是坏的概率解析：恰好两只是好的概率为P ＝C 23C 27C 410＝310.答案：B4．10张奖券中有3张有奖，5个人每人购买1张，至少有1人中奖的概率是_ _______．解析：可求得没有人中奖的概率为C 03C 57C 510＝112，所以至少有1人中奖的概率为1－112＝1112.答案：11125．现有10张奖券，其中8张1元，2张5元，从中同时任取3张，求所得金额的分布列．解：设所得金额为X ，X 的可能取值为3,7,11.P (X ＝3)＝C 38C 310＝715，P (X ＝7)＝C 28C 12C 310＝715，P (X ＝11)＝C 18C 22C 310＝115.故X 的分布列为。

第三章 本章整合提升一、选择题1．已知变量x 和y 满足关系y ＝－0.1x ＋1，变量y 与z 正相关，则下列结论正确的是( ) A ．x 与y 负相关，x 与z 负相关 B ．x 与y 正相关，x 与z 正相关 C ．x 与y 正相关，x 与z 负相关D ．x 与y 负相关，x 与z 正相关解析：由回归方程知x 与y 负相关，又因为y 与z 正相关，所以x 与z 负相关．故选A ． 答案：A2．(2015·福建卷)为了解某社区居民的家庭年收入与年支出的关系，随机调查了该社区5户家庭，得到如下统计数据表：根据上表可得回归直线方程y ^＝b ^x ＋a ^，其中b ^＝0.76，a ^＝y －b ^x .据此估计，该社区一户年收入为15万元家庭的年支出为( )A ．11.4万元B ．11.8万元C ．12.0万元D ．12.2万元解析：回归直线一定过样本中心(10,8)，∵b ^＝0.76，∴a ^＝0.4.由y ^＝0.76x ＋0.4得当x ＝15万元时，y ^＝11.8万元，故选B ． 答案：B3．设某大学的女生体重y (单位：kg)与身高x (单位：cm)具有线性相关关系．根据一组样本数据(x i ，y i )(i ＝1,2，…，n )，用最小二乘法建立的回归方程为y ＝0.85x －85.71，则下列结论不正确的是( )A ．y 与x 具有正的线性相关关系B ．回归直线过样本点的中心(x －，y －)C ．若该大学某女生身高增加1 cm ，则其体重约增加0.85 kgD ．若该大学某女生身高为170 cm ，则可断定其体重必为58.79 kg解析：当x ＝170时，y ＝0.85×170－85.71＝58.79，体重的估计值为58.79 kg ，故D 不正确．答案：D4．已知x 与y 之间的几组数据如下表：假设根据上表数据所得线性回归方程为y ＝bx ＋a .若某同学根据上表中的前两组数据(1,0)和(2,2)求得的直线方程为y ＝b ′x ＋a ′，则以下结论正确的是( )A ．b ＞b ′，a ＞a ′B ．b ＞b ′，a ＜a ′C ．b ＜b ′，a ＞a ′D ．b ＜b ′，a ＜a ′解析：由两组数据(1,0)和(2,2)可求得直线方程为y ＝2x －2，b ′＝2，a ′＝－2.而利用线性回归方程的公式与已知表格中的数据，可求得b ＝∑i ＝16x i y i －6x ·y∑i ＝16x 2i －6x －2＝58－6×72×13691－6×⎝⎛⎭⎫722＝57，a ＝y －b x －＝136－57×72＝－13，所以b ＜b ′，a ＞a ′．答案：C 二、填空题5．有同学在用电子邮件时发现了一个有趣的现象，中国人的邮箱名称里含有数字的比较多，而外国人的邮箱名称里含有数字的比较少，为了研究国籍与邮箱名称是否含有数字有关，于是我们共收集了124个邮箱名称，其中中国人的64个，外国人的60个，中国人的邮箱名称中有43个含数字，外国人的邮箱名称中有27个含数字．那么认为“国籍和邮箱名称里是否含有数字有关”的把握性为________．(用百分数表示)．附：χ2＝n (ad －bc )2(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d ).由表中数据，得χ2＝124×(43×33－27×21)270×54×64×60≈6.201．∵χ2≥5.024，∴有97.5%的把握认为“国籍和邮箱名称里是否含有数字有关”． 答案：97.5%6．已知x ，y 的取值如下表：从散点图分析，y 与x 则实数a 的值为________． 解析：x ＝2＋3＋4＋54＝3. 5，y ＝2.2＋3.8＋5.5＋6.54＝4.5，回归直线必过样本的中心点(x ，y )，把(3.5，4.5)代入回归方程，计算得a ＝－0.61．答案：－0.617．调查者通过随机询问72名男女生喜欢文科还是理科，得到如下列联表(单位：名)： 性别与喜欢文科还是理科列联表学生的性别和喜欢文科还是理科________关系．(填“有”或“没有”) 附：当χ2＞7.879时，有99.5%以上的把握判定变量A ，B 有关联． 解析：通过计算χ2＝72×(8×16－28×20)236×36×28×44≈8.42＞7.879．故我们有99.5%的把握认为学生的性别和喜欢文科还是理科有关系． 答案：有 三、解答题8．某火锅店为了解气温对营业额的影响，随机记录了该店1月份中5天的日营业额y (单位：千元)与该地当日最低气温x (单位：℃)的数据，如下表：(1)求y 关于x (2)判定y 与x 之间是正相关还是负相关；若该地1月份某天的最低气温为6 ℃，用所求回归方程预测该店当日的营业额．附：回归方程y ＝bx ＋a 中，b ＝∑i ＝1nx i y i －n x － y－∑i ＝1nx 2i －n x2，a ＝y －b x ．解：(1)列表.这里n ＝5，x ＝1n ∑i ＝1n x i ＝355＝7，y ＝1n ∑i ＝1n y i ＝455＝9．又l xx ＝∑i ＝1nx 2i －n x 2＝295－5×72＝50，l xy ＝∑i ＝1nx i y i －n x －y －＝287－5×7×9＝－28，从而，b ＝l xy l xx ＝－2850＝－0.56，a ＝y －b x ＝9－(－0.56)×7＝12.92， 故所求回归方程为y ＝－0.56x ＋12.92． (2)由b ＝－0.56<0知y 与x 之间是负相关． 将x ＝6代入回归方程可预测该店当日的营业额为 y ＝－0.56×6＋12.92＝9.56(千元)．9．心理学家分析发现视觉和空间能力与性别有关，某数学兴趣小组为了验证这个结论，从兴趣小组中按分层抽样的方法抽取50名同学(男30，女20)，给所有同学几何题和代数题各一题，让各位同学自由选择一道题进行解答．选题情况如下表(单位：人)：(1)能否据此判断有97.5%的把握认为视觉和空间能力与性别有关？ 附：当χ2＞5.024时，有97.5%以上的把握判定变量A ，B 有关联．(2)经过多次测试后，甲每次解答一道几何题所用的时间在5～7 min ，乙每次解答一道几何题所用的时间在6～8 min ，现甲、乙各解同一道几何题，求乙比甲先解答完的概率．解：(1)由表中数据得χ2＝50×(22×12－8×8)230×20×30×20＝509≈5.556＞5.024，所以根据统计有97.5%的把握认为视觉和空间能力与性别有关． (2)设甲、乙解答一道几何题的时间分别为x min ，y min ，则基本事件满足的区域为⎩⎪⎨⎪⎧5≤x ≤7，6≤y ≤8(如图所示)．设事件A 为“乙比甲先做完此道题”， 则满足的区域为x >y ， 所以P (A )＝12×1×12×2＝18，即乙比甲先解答完的概率为18．。

第一章§3第1课时1．圆上有10个点，过每三个点画一个圆内接三角形，则一共可以画的三角形个数为()A．720B．360C．240 D．120解析：确定三角形的个数为C310＝120．答案：D2．从10名大学毕业生中选3人担任村长助理，则甲、乙至少有1人入选，而丙没有入选的不同选法的种数为()A．28 B．49C．56 D．85解析：依题意，满足条件的不同选法的种数为C22C17＋C12C27＝49．答案：B3．已知两条异面直线a，b上分别有5个点和8个点，这13个点可确定的平面个数为()A．5 B．8C．13 D．40解析：由于直线及直线外任意一点可确定一个平面，所以这13个点可确定C15＋C18＝13个平面．答案：C4．安排3名支教教师去4所学校任教，每校至多2人，则不同的分配方案共有________种(用数字作答)．解析：每名教师有4种选择学校的方案，共有43种方案，但3名教师不能同时分到一所学校，故应排除C14＝4种方案，故共有43－C14＝64－4＝60种．答案：605．假设在10件产品中有3件是次品，从中任意抽取5件，则下列抽取方法各有多少种？(1)没有次品；(2)恰有两件是次品；(3)至少有两件是次品．解：(1)没有次品的抽法就是从7件正品中抽取5件的抽法，共有C57＝21种．(2)恰有2件次品的抽法就是从7件正品中抽取3件，并从3件次品中抽取2件的抽法，共有C37C23＝105种．(3)至少有2件次品的抽法，按次品件数来分有两类：第一类，从7件正品中抽取3件，并从3件次品中抽取2件，有C37C23种；第二类，从7件正品中抽取2件，并将3件次品全部抽取，有C27C33种．按分类加法计数原理，有C37C23＋C27C33＝126种．。

第三章　§1　1.1　第2课时1．若f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d (a >0)在R 上为增函数，则( )A ．b 2－4ac >0 B ．b >0，c <0C ．b ＝0，c >0D ．b 2－3ac ≤0解析：由f ′(x )＝3ax 2＋2bx ＋c ≥0，知Δ＝4b 2－12ac ≤0，故b 2－3ac ≤0.答案：D2．若函数h (x )＝2x －＋在(1，＋∞)上是增函数，则实数k 的取值范围是( )k x k 3A ．[－2，＋∞)B ．[2，＋∞)C ．(－∞，－2]D ．(－∞，2]解析：根据已知条件得h ′(x )＝2＋＝≥0在(1，＋∞)上恒成立，即k ≥－2x 2k x 22x 2＋k x 2在(1，＋∞)上恒成立，所以k ∈[－2，＋∞)．答案：A3．若函数f (x )＝x 3－3ax 2－2x ＋5在(0,1)内单调递减，则实数a 的取值范围是( )A ．a ≥B ．a >1616C ．a ＝D ．0<a <1616解析：∵f ′(x )＝3x 2－6ax －2，f (x )在(0,1)内单调递减，∴不等式3x 2－6ax －2<0在(0,1)内恒成立．∴a >x －在(0,1)内恒成立．1213x ∵函数g (x )＝x －在(0,1)内是增函数，且g (x )<g (1)＝－＝，∴a ≥.1213x 12131616答案：A4．已知函数f (x )＝x 3＋ax 在区间[0，＋∞)上是增加的，则a 的取值范围是________．解析：∵f ′(x )＝3x 2＋a ，当x ≥0时，f ′(x )≥0恒成立，即3x 2＋a ≥0恒成立，∴a ≥－3x 2.又当x ≥0时，－3x 2≤0，∴a ≥0.即a 的取值范围是[0，＋∞)．答案：[0，＋∞)5．设函数f (x )＝a 2ln x －x 2＋ax ，a >0.(1)求f (x )的单调区间；(2)求所有实数a ，使e －1≤f (x )≤e 2对x ∈[1，e]恒成立．解：(1)∵f (x )＝a 2ln x －x 2＋ax ，∴x >0，f ′(x )＝－2x ＋a ＝－.a 2x (x －a )(2x ＋a )x ∵x >0，a >0，∴f (x )的递增区间为(0，a )，递减区间为(a ，＋∞)．(2)由题意，得f (1)＝a －1≥e －1，∴a ≥e.由(1)知f (x )在[1，e]内单调递增．要使e －1≤f (x )≤e 2对x ∈[1，e]恒成立，只要Error!解得a ＝e.。

阶段质量评估(二)概率A卷(时间：60分钟满分：80分)一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．下列表格可以作为X的分布列的是()解析：根据分布列的性质，各概率之和等于1，易知D正确．答案：D2．正态分布N1(μ1，σ21)，N2(μ2，σ22)，N3(μ3，σ23)(其中σ1，σ2，σ3均大于0)所对应的密度函数图像如图所示，则下列说法正确的是()①N1(μ1，σ21)②N2(μ2，σ22)③N3(μ3，σ23)A．μ1最大，σ1最大B．μ3最大，σ3最大C．μ1最大，σ3最大D．μ3最大，σ1最大解析：在正态曲线N(μ，σ2)中，x＝μ为正态曲线的对称轴，结合图像可知，μ3最大；又参数σ确定了曲线的形状，σ越大，曲线越“矮胖”，σ越小，曲线越“高瘦”．故由图像知σ1最大．故选D．答案：D3．已知离散型随机变量X的分布列如下：则其均值EX等于()A．1B．0.6C．2＋3m D．2.4解析：由分布列的性质得m＝1－0.5－0.2＝0.3，所以EX ＝1×0.5＋3×0.3＋5×0.2＝2.4． 答案：D4．设随机变量X 服从正态分布N (0,1)，且P (X ＞1)＝p ，则P (－1＜X ＜0)等于( ) A ．12pB ．1－pC ．1－2pD ．12－p解析：由于随机变量服从正态分布N (0,1)，由正态分布图可得P (－1＜X ＜0)＝12－P (X＜－1)＝12－P (X ＞1)＝12－p ．答案：D5．甲、乙两个实习生每人加工一个零件，加工为一等品的概率分别为23和34，两个零件是否加工为一等品相互独立，则这两个零件中恰有一个一等品的概率为 ( )A ．12B ．512C ．14D ．16解析：设事件A 为“甲实习生加工的零件为一等品”， 事件B 为“乙实习生加工的零件为一等品”， 则P (A )＝23，P (B )＝34．所以这两个零件中恰有一个一等品的概率为P (A B －)＋P (A －B )＝P (A )P (B －)＋P (A －)P (B )＝23×⎝⎛⎭⎫1－34＋⎝⎛⎭⎫1－23×34＝512． 答案：B6．将1枚硬币连掷5次，如果出现k 次正面向上的概率等于出现k ＋1次正面向上的概率，则k 的值为( )A ．0B ．1C ．2D ．3解析：设正面向上的次数为X ，则X ～B ⎝⎛⎭⎫5，12． 由题意知，C k 5⎝⎛⎫125＝C k ＋15⎝⎛⎭⎫125．∴k ＋k ＋1＝5.∴k ＝2． 答案：C二、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分．请把正确答案填在题中的横线上) 7．设随机变量X 服从正态分布N ⎝⎛⎭⎫12，σ2，集合A ＝{x |x ＞X }，集合B ＝⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫x ＞12，则A ⊆B 的概率为________．解析：由A ⊆B 得X ≥12．又∵μ＝12，∴P ⎝⎛⎭⎫X ≥12＝12． 答案：128．一个均匀小正方体的6个面中，三个面上标注数字0，两个面上标注数字1，一个面上标注数字2.将这个小正方体抛掷2次，则向上的数之积的数学期望是________．解析：设X 表示向上的数之积， 则P (X ＝1)＝13×13＝19，P (X ＝2)＝C 12×13×16＝19， P (X ＝4)＝16×16＝136，P (X ＝0)＝34．∴EX ＝1×19＋2×19＋4×136＝49．答案：499．甲、乙、丙三人将参加某项测试，他们能达标的概率分别是0.8,0.6,0.5，则三人都达标的概率是________，三人中至少有一人达标的概率是________．解析：三人都达标的概率为0.8×0.6×0.5＝0.24，三人中至少有一人达标的概率为1－(1－0.8)×(1－0.6)×(1－0.5)＝0.96．答案：0.24 0.96三、解答题(本大题共3小题，共35分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)10．(本小题满分10分)袋中有5个大小相同的小球，其中1个白球和4个黑球，每次从中任取一球，每次取出的黑球不再放回去，直到取出白球为止．求取球次数X 的分布列．解：取球次数X 是一个随机变量，X 的所有可能值是1,2,3,4,5． P (X ＝1)＝15＝0.2，P (X ＝2)＝45×14＝0.2，P (X ＝3)＝45×34×13＝0.2，P (X ＝4)＝45×34×23×12＝0.2，P (X ＝5)＝45×34×23×12×11＝0.2，于是，我们得到随机变量X 的分布列为11．(本小题满分12分)某单位为绿化环境，移栽了甲、乙两种大树各2株．设甲、乙两种大树移栽的成活率分别为56和45，且各株大树是否成活互不影响．求移栽的4株大树中：(1)至少有1株成活的概率； (2)两种大树各成活1株的概率．解：设事件A k 表示“第k 株甲种大树成活”，k ＝1,2，设事件B l 表示“第l 株乙种大树成活”，l ＝1,2，则A 1，A 2，B 1，B 2相互独立，且P (A 1)＝P (A 2)＝56，P (B 1)＝P (B 2)＝45．(1)至少有1株成活的概率为1－P (A －1A －2B －1B －2)＝1－P (A －1)·P (A －2)·P (B －1)·P (B －2)＝1－⎝⎛⎭⎫162×⎝⎛⎭⎫152＝899900．(2)由独立重复试验中事件发生的概率公式知，两种大树各成活1株的概率为P ＝C 12×56×16×C 12×45×15＝1036×825＝445． 12．(本小题满分13分)某食品企业一个月内被消费者投诉的次数用X 表示．据统计，随机变量X 的概率分布如下表所示.(1)求a 的值和X 的数学期望；(2)假设一月份与二月份被消费者投诉的次数互不影响，求该企业在这两个月内共被消费者投诉2次的概率．解：(1)由概率分布的性质有0.1＋0.3＋2a ＋a ＝1， 解得a ＝0.2． ∴X 的分布列为∴EX ＝0×0.1＋1×0.3＋2×0.4＋3×0.2＝1.7．(2)设事件A 表示“两个月内共被投诉2次”；事件A 1表示“两个月内有一个月被投诉2次，另外一个月被投诉0次”；事件A 2表示“两个月内每个月均被投诉1次”．则由事件的独立性，得P (A 1)＝C 12P (X ＝2)·P (X ＝0)＝2×0.4×0.1＝0.08， P (A 2)＝[P (X ＝1)]2＝0.32＝0.09．∴P (A )＝P (A 1)＋P (A 2)＝0.08＋0.09＝0.17．故该企业在这两个月内共被消费者投诉2次的概率为0.17．B 卷(时间：60分钟 满分：80分)一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．甲、乙两歼击机的飞行员向同一架敌机射击，设击中的概率分别为0.4,0.5，则恰有一人击中敌机的概率为( )A ．0.9B ．0.2C ．0.7D ．0.5解析：设事件A ，B 分别表示“甲飞行员击中敌机”“乙飞行员击中敌机”，则P (A )＝0.4，P (B )＝0.5，事件“恰有一人击中敌机”的概率为P (A B －＋A －B )＝P (A )·[1－P (B )]＋[1－P (A )]·P (B )＝0.5．答案：D2．周老师上数学课时，给班里同学出了两道选择题，她预估计做对第一道题的概率为0.80，做对两道题的概率为0.60，则预估计做对第二道题的概率为( )A ．0.80B ．0.75C ．0.60D ．0.48解析：记“做对第一道题”为事件A ，“做对第二道题”为事件B ，则P (A )＝0.80，P (AB )＝0.60.因为做对第一道、第二道题这两个事件是相互独立的，所以P (AB )＝P (A )P (B )，即P (B )＝P (AB )P (A )＝0.60.8＝0.75.故选B ． 答案：B3．若X 是离散型随机变量，P (X ＝x 1)＝23，P (X ＝x 2)＝13，且x 1＜x 2.又已知EX ＝43，DX＝29，则x 1＋x 2的值为( ) A ．53B ．73C ．3D ．113解析：∵EX ＝23x 1＋13x 2＝43，∴x 2＝4－2x 1．DX ＝⎝⎛⎭⎫43－x 12×23＋⎝⎛⎭⎫43－x 22×13＝29． ∵x 1＜x 2，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝1，x 2＝2. ∴x 1＋x 2＝3． 答案：C4．某地区气象台统计，该地区下雨的概率是415，刮风的概率为25，既刮风又下雨的概率为110，设A 为下雨，B 为刮风，那么P (B |A )等于( ) A ．34B ．38C ．110D ．875解析：P (A )＝415，P (AB )＝110，由条件概率公式得P (B |A )＝P (AB )P (A )＝110415＝38．答案：B5．已知某类型的高射炮在它们控制的区域内击中敌机的概率为15. 假定现有5门这种高射炮控制某个区域，则敌机进入这个区域后被击中的概率是( )A ．2 1013 125B ．49C ．15D ．2 1033 125解析：设敌机被各高射炮击中的事件分别为A 1，A 2，A 3，A 4，A 5，敌机被击中为事件C ．因为各高射炮射击的结果是相互独立的，所以P (C －)＝P (A 1)·P (A 2)·P (A 3)·P (A 4)·P (A 5)＝⎝⎛⎭⎫1－155＝⎝⎛⎭⎫455.因此敌机被击中的概率P (C )＝1－P (C －)＝1－⎝⎛⎭⎫455＝2 1013 125.答案：A6．甲、乙两名工人在同样的条件下生产，日产量相等，每天出废品的情况如下表所示，则有结论( )A ．甲的产品质量比乙的产品质量好一些B ．乙的产品质量比甲的产品质量好一些C ．两人的产品质量一样好D ．无法判断谁的产品质量好一些解析：∵EX 甲＝0×0.4＋1×0.3＋2×0.2＋3×0.1＝1， EX 乙＝0×0.3＋1×0.5＋2×0.2＋3×0＝0.9， ∴EX 甲＞EX 乙，即甲的废品数期望值大于乙的． ∴乙的产品质量比甲的产品质量好一些． 答案：B二、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分．请把正确答案填在题中的横线上) 7．一袋中有5个白球，3个红球，现从袋中往外取球，每次任取一个记下颜色后放回，直到红球出现10次时停止，设停止时共取了X 次球，则P (X ＝12)＝________．解析：“X ＝12”表示第12次取到红球，且前11次有9次取到红球，2次取到白球，因此P (X ＝12)＝38C 911⎝⎛⎭⎫389×⎝⎛⎭⎫582＝C 911⎝⎛⎭⎫3810⎝⎛⎭⎫582． 答案：C 911⎝⎛⎭⎫3810⎝⎛⎭⎫5828．某射击运动员在练习射击中，每次射击命中目标的概率是35，则这名运动员在10次射击中，至少有9次命中的概率是________⎝⎛⎭⎫记⎝⎛⎭⎫3510＝p ，结果用含p 的代数式表示． 解析：这名运动员在10次射击中，至少有9次命中的概率是P ＝C 910⎝⎛⎭⎫359⎝⎛⎭⎫25＋C 1010⎝⎛⎭⎫3510＝10×25×⎝⎛⎭⎫359＋⎝⎛⎭⎫3510＝4p ×53＋p ＝233p ．答案：233p9．甲、乙两人进行一场比赛，已知甲在一局中获胜的概率为0.6，无平局，比赛有3种方案：①比赛3局，先胜2局者为胜者； ②比赛5局，先胜3局者为胜者； ③比赛7局，先胜4局者为胜者．则方案________对乙最有利．解析：设三种方案乙获胜的概率分别为P 1，P 2，P 3，每种方案都可以看成独立重复试验，则P 1＝C 22×0.42＋C 12×0.6×0.42＝0.352，P 2＝C 33×0.43＋C 23×0.6×0.43＋C 24×0.62×0.43≈0.317，P 3＝C 44×0.44＋C 34×0.44×0.6＋C 35×0.44×0.62＋C 36×0.44×0.63≈0.290．由于P 1＞P 2＞P 3，所以方案①对乙最有利． 答案：①三、解答题(本大题共3小题，共35分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)10．(本小题满分10分)某班有6名班干部，其中男生4人，女生2人，任选3人参加学校的义务劳动．(1)设所选3人中女生人数为X ，求X 的分布列； (2)求男生甲或女生乙被选中的概率；(3)设“男生甲被选中”为事件A ，“女生乙被选中”为事件B ，求P (B )和P (B |A )． 解：(1)X 的所有可能取值为0,1,2，依题意得P (X ＝0)＝C 34C 36＝15，P (X ＝1)＝C 24C 12C 36＝35，P (X ＝2)＝C 14C 22C 36＝15．∴X 的分布列为(2)设“甲、乙都不被选中”为事件C ，则P (C )＝C 34C 36＝15.∴所求概率为P (C －)＝1－P (C )＝1－15＝45．(3)P (B )＝C 25C 36＝1020＝12；P (AB )＝C 14C 36＝15，P (A )＝C 25C 36＝12.故P (B |A )＝P (AB )P (A )＝25．11．(本小题满分12分)下图是某市3月1日至14日的空气质量指数趋势图．空气质量指数小于100表示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染．某人随机选择3月1日至3月13日中的某一天到达该市，并停留2天．(1)求此人到达当日空气重度污染的概率；(2)设X是此人停留期间空气质量优良的天数，求X的分布列与数学期望；(3)由图判断从哪天开始连续三天的空气质量指数方差最大．(结论不要求证明) 解：设事件A i表示“此人于3月i日到达该市”(i＝1,2，…，13)．根据题意，P(A i)＝113，且A i∩A j＝∅(i≠j).(1)设事件B为“此人到达当日空气重度污染”，则B＝A5∪A8．所以P(B)＝P(A5∪A8)＝P(A5)＋P(A8)＝213．(2)由题意可知，X的所有可能取值为0,1,2，且P(X＝1)＝P(A3∪A6∪A7∪A11)＝P(A3)＋P(A6)＋P(A7)＋P(A11)＝413，P(X＝2)＝P(A1∪A2∪A12∪A13)＝P(A1)＋P(A2)＋P(A12)＋P(A13)＝4 13，P(X＝0)＝1－P(X＝1)－P(X＝2)＝513．所以X的分布列为故X的数学期望EX＝0×513＋1×413＋2×413＝1213．(3)从3月5日开始连续三天的空气质量指数方差最大．12．(本小题满分13分)汽车租赁公司为了调查A，B两种车型的出租情况，现随机抽取了这两种车型各100辆汽车，分别统计了每辆车某个星期内的出租天数，统计数据如下表：A型车B型车(1)从出租天数为3天的汽车(仅限A，B两种车型)中随机抽取一辆，估计这辆汽车恰好是A型车的概率；(2)根据这个星期的统计数据，估计该公司一辆A型车，一辆B型车一周内合计出租天数恰好为4天的概率；(3)如果两种车型每辆车每天出租获得的利润相同，该公司需要从A，B两种车型中购买一辆，请你根据所学的统计知识，建议应该购买哪一种车辆，并说明你的理由．解：(1)估计这辆汽车恰好是A型车的概率为P＝3030＋20＝0.6．(2)设事件A i表示“一辆A型车在一周内出租天数恰好为i天”，事件B j表示“一辆B型车在一周内出租天数恰好为j天”，其中i，j＝1,2,3， (7)则该公司一辆A型车，一辆B型车一周内合计出租天数恰好为4天的概率为P(A1B3＋A2B2＋A3B1)＝P(A1B3)＋P(A2B2)＋P(A3B1)＝P(A1)P(B3)＋P(A2)P(B2)＋P(A3)P(B1)＝5100×20100＋10100×20100＋30100×14100＝9 125．该公司一辆A型车，一辆B型车一周内合计出租天数恰好为4天的概率为9125．(3)设X为A型车出租的天数，则X的分布列为设Y为EX＝1×0.05＋2×0.10＋3×0.30＋4×0.35＋5×0.15＋6×0.03＋7×0.02＝3.62，EY＝1×0.14＋2×0.20＋3×0.20＋4×0.16＋5×0.15＋6×0.10＋7×0.05＝3.48．一辆A型车一个星期出租天数的平均值为3.62天，一辆B型车一个星期出租天数的平均值为3.48天，因此选择A型车更加合理．。

活页作业(十一) 导数与函数的单调性(第二课时)1．函数f (x )＝2x 3＋ax 2＋1(a 为常数)在区间(－∞，0)和(2，＋∞)内单调递增，且在区间(0,2)内单调递减，则a 值为( )A ．1B ．2C ．－6D ．－12解析：f ′(x )＝6x 2＋2ax ，依题意得f ′(2)＝24＋4a ＝0，∴a ＝－6. 答案：C2．若函数f (x )＝13x 3＋x 2－ax 在区间(1，＋∞)上是增加的，且在区间(1,2)上有零点，则实数a 的取值范围是( )A ．⎝⎛⎭⎫43，3B ． ⎝⎛⎭⎫43，103 C ．⎝⎛⎦⎤43，3D ．(－∞，3]解析：∵函数f (x )＝13x 3＋x 2－ax 在区间(1，＋∞)上是增加的，∴f ′(x )＝x 2＋2x －a ≥0在区间(1，＋∞)上恒成立． ∴a ≤x 2＋2x ，x ∈(1，＋∞)恒成立． ∵当x >1时，x 2＋2x >3， ∴a ≤3.①∵函数f (x )＝13x 3＋x 2－ax 在区间(1，＋∞)上是增加的，且在区间(1,2)上有零点，∴f (1)<0，f (2)>0. ∴43<a <103.② 由①②得，43<a ≤3.答案：C3．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2(x ≥0)，x 3－(a －1)x ＋a 2－3a －4(x <0) 在(－∞，＋∞)上是增函数，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，1] B ．[－1,1] C ．(－∞，1)D ．[－1,4]解析：若原函数在R 上为增函数，则当x <0时，f ′(x )＝3x 2－(a －1)≥0恒成立．因此有a ≤1.还需注意函数在分段点处函数值的大小，应有a 2－3a －4≤0，解得－1≤a ≤4.综上－1≤a ≤1.答案：B4．已知定义在R 上的偶函数f (x )满足x ∈(－∞，0)时，f (x )＋xf ′(x )<0成立，若a ＝20.2f (20.2)，b ＝ln 2·f (ln 2)，c ＝log 0.50.25·f (log 0.50.25)，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．a >b >cB ．c >a >bC ．b >a >cD ．a >c >b解析：构造函数h (x )＝xf (x )，由函数y ＝f (x )是R 上的偶函数，函数y ＝x 是R 上的奇函数，可得h (x )＝xf (x )是R 上的奇函数．又当x ∈(－∞，0)时，h ′(x )＝f (x )＋xf ′(x )<0. ∴函数h (x )在x ∈(－∞，0)上为单调递减函数． ∴h (x )在x ∈(0，＋∞)上为单调递减函数． ∵2>20.2>1,0<ln 2<1，log 0.50.25＝2， ∴log 0.50.25>20.2>ln 2.∴b >a >c . 答案：C5．设p ：f (x )＝x 3＋2x 2＋mx ＋1在(－∞，＋∞)内单调递增，q ：m ≥43，则p 是q 的________条件．( )A ．充要B ．充分不必要C ．必要不充分D ．既不充分又不必要解析：对于p ，由题意知f ′(x )＝3x 2＋4x ＋m ≥0在R 上恒成立，即Δ≤0. ∴4－3m ≤0.∴m ≥43.又当m ＝43时，f (x )＝x 3＋2x 2＋43x ＋1＝⎝⎛⎭⎫x ＋233＋1927在R 上单调递增，∴m ≥43.∴p 是q 的充要条件．答案：A6．若函数f (x )＝x 3＋bx 2＋cx ＋d 的递减区间为[－1， 2]，则b ＝________，c ＝________. 解析：由题意知，f ′(x )＝3x 2＋2bx ＋c ≤0在[－1,2]上恒成立，所以－1,2为方程3x 2＋2bx ＋c ＝0的两根，则b ＝－32，c ＝－6.答案：－32－67．若函数f (x )＝ax 3＋x 恰有三个单调区间，则实数a 的取值范围是________． 解析：∵f ′(x )＝3ax 2＋1，f (x )有三个单调区间， ∴方程3ax 2＋1＝0有两个不等实根． ∴Δ＝0－4×3a ×1>0.解得a <0.答案：(－∞，0)8．已知函数f (x )＝x 3－ax 在[1，＋∞)上是单调递增函数，则a 的最大值是________． 解析：由题意得f ′(x )＝3x 2－a ≥0在[1，＋∞)上恒成立，因此a ≤3.故a 的最大值为3.答案：39．已知函数f (x )＝ln x ，g (x )＝ax (a >0)，设F (x )＝f (x )＋g (x )．(1)求F (x )的单调区间；(2)若以y ＝F (x )(x ∈(0,3])图像上任意一点P (x 0，y 0)为切点的切线的斜率k ≤12恒成立，求实数a 的最小值．解：(1)F (x )＝f (x )＋g (x )＝ln x ＋ax (x >0)，F ′(x )＝1x －a x 2＝x －ax2(x >0)．∵a >0，由F ′(x )>0得x ∈(a ，＋∞)， ∴F (x )在(a ，＋∞)上是增加的． 由F ′(x )<0得x ∈(0，a )， ∴F (x )在(0，a )上是减少的．∴F (x )的递减区间为(0，a )，递增区间为(a ，＋∞)． (2)∵F ′(x )＝x －ax2(0<x ≤3)，∴k ＝F ′(x 0)＝x 0－a x 20≤12(0<x 0≤3)恒成立．即a ≥⎝⎛⎭⎫－12x 20＋x 0max .当x 0＝1时，－12x 20＋x 0取得最大值12， ∴a ≥12.∴a min ＝12.10．设f (x )＝－13x 3＋12x 2＋2ax .若f (x )在⎝⎛⎭⎫23，＋∞上存在单调递增区间，求a 的取值范围． 解：f ′(x )＝－x 2＋x ＋2a ＝－⎝⎛⎭⎫x －122＋14＋2a ， 当x ∈⎣⎡⎭⎫23，＋∞时，f ′(x )的最大值为f ′⎝⎛⎭⎫23＝29＋2a . 函数有单调递增区间，即在⎝⎛⎭⎫23，＋∞内，导函数大于0有解，令29＋2a >0，得a >－19. 所以当a ∈⎝⎛⎭⎫－19，＋∞时，f (x )在⎝⎛⎭⎫23，＋∞上存在单调递增区间．11．已知函数f (x )(x ∈R )满足f (1)＝1，且f (x )的导函数f ′(x )<12，则f (x )<x 2＋12的解集为( )A ．{x |－1<x <1}B ．{x |x <－1}C ．{x |x <－1或x >1}D ．{x |x >1}解析：设g (x )＝f (x )－x 2－12，则g ′(x )＝f ′(x )－12<0.∴g (x )在R 上是减函数．∵g (1)＝f (1)－12－12＝1－1＝0，∴g (x )＝f (x )－x 2－12<0的解集为{x |x >1}．答案：D12．已知函数f (x )＝2e x －mx (其中e ≈2.718…)在区间[－1,0]上单调递减，则实数m 的取值范围为________．解析：由题意得f ′(x )＝2e x －m ≤0在[－1,0]上恒成立，即m ≥2e x 恒成立，可得m ≥2. 答案：[2，＋∞)13．若函数f (x )＝x 3－3ax 2－bx ，其中a ，b 为实数，f (x )在区间[－1,2]上为减函数，且b ＝9a ，则a 的取值范围是________．解析：由已知得f ′(x )＝3x 2－6ax －b ≤0对∀x ∈[－1，2]恒成立， ∵b ＝9a ，∴x 2－2ax －3a ≤0.∵2x ＋3>0. ∴a ≥x 22x ＋3对x ∈[－1,2]恒成立．解得a ≥1. 答案：[1，＋∞)14．已知函数f (x )＝ax －ln x ，若f (x )>1在区间(1，＋∞)内恒成立，则实数a 的取值范围为_________．解析：由已知a >1＋ln xx 在区间(1，＋∞)内恒成立．设g (x )＝1＋ln xx ，∴g ′(x )＝－ln xx2<0(x >1)．∴g (x )＝1＋ln xx 在区间(1，＋∞)内递减．∴g (x )<g (1)． ∵g (1)＝1，∴1＋ln xx<1在区间(1，＋∞)内恒成立．∴a ≥1. 答案：[1，＋∞)15．已知函数f (x )＝a ln x ＋x 3(a 为常数)．(1)若a ＝－3，判断函数f (x )在(1，＋∞)上的单调性； (2)函数f (x )在[1，e]上单调递减，求实数a 的取值范围；(3)若存在x ∈[1，e]，使得f (x )≥ax ＋x 3－x 2＋2x 成立，求实数a 的取值范围．解：(1)当a ＝－3时f ′(x )＝3x 2－3x ＝3(x 3－1)x.当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )>0. ∴函数f (x )在(1，＋∞)上是增函数．(2)由已知得f ′(x )＝a x ＋3x 2＝3x 3＋a x.∵f (x )在[1，e]上单调递减，∴f ′(x )≤0在[1，e]上恒成立．即a ≤－3x 3在[1，e]上恒成立． ∵(－3x 3)min ＝－3e 3，∴a ≤－3e 3. (3)不等式f (x )≥ax ＋x 3－x 2＋2x 可化为 a (x －ln x )≤x 2－2x .∵x ∈[1，e]，∴ln x ≤1≤x ，且不能同时取等号． ∴ln x <x ，即x －ln x >0. ∴a ≤x 2－2xx －ln x (x ∈[1，e])．令g (x )＝x 2－2xx －ln x (x ∈[1，e])，则g ′(x )＝(x －1)(x ＋2－2ln x )(x －ln x )2.当x ∈[1，e]时，x －1≥0，ln x ≤1，x ＋2－2ln x >0，从而g ′(x )≥0(仅当x ＝1时取等号)， ∴g (x )在[1，e]上为增函数． ∴g (x )的最小值为g (1)＝－1. ∴实数a 的取值范围是(－∞，－1]． 16．设函数f (x )＝1＋x 1－xe －ax .(1)试写出定义域及f ′(x )的解析式； (2)设a >0，讨论函数y ＝f (x )的单调性． 解：(1)f (x )的定义域为(－∞，1)∪(1，＋∞)， f ′(x )＝ax 2＋2－a (1－x )2e －ax，其中x ≠1.(2)①当0<a ≤2时，f ′(x )≥0且仅在有限个点处取等号，∴f (x )在(－∞，1)，(1，＋∞)上为增函数．②当a >2时，由f ′(x )>0得ax 2＋2－a >0，解得x >a －2a或x <－a －2a；由f ′(x )<0得ax 2＋2－a <0，解得－a －2a<x < a －2a. 综上所述，当0<a ≤2时，函数y ＝f (x )在(－∞，1)，(1，＋∞)上单调递增；当a >2时，函数y ＝f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－a －2a ，⎝ ⎛⎭⎪⎫a －2a ，1，(1，＋∞)上单调递增，在⎝⎛⎭⎪⎫－a －2a ， a －2a 上单调递减．。