数学：1.6《三角函数模型的简单应用》课件(3)(新人教A版必修4)

⑤ 搁置问题抓住老师的思路。碰到自己还没有完全理解老师所讲内容的时候，最好是做个记号，姑且先把这个问题放在一边，继续听老师讲后面 的内容，以免顾此失彼。来自：学习方法网
解 (1)T＝2|ωπ|＝126π0π ＝810 min. (2)f＝T1＝80 次. (3)p(t)max＝115＋25＝140 mmHg， p(t)min＝115－25＝90 mmHg. 即收缩压为 140 mmHg，舒张压为 90 mmHg，比正常值高.
[课堂小结] 1.三角函数模型是研究周期现象最重要的数学模型.三角函数 模型在研究物理、生物、自然界中的周期现象(运动)有着广 泛的应用. 2.三角函数模型构建的步骤
π 6
t＋1(0≤t≤24).
②因为 y＞1 时，才对冲浪爱好者开放，
所以 y＝12cos
π 6
t＋1＞1，cos
π 6
t＞0，
2kπ －π2 ＜π6 t＜2kπ ＋π2 ，
即 12k－3＜t＜12k＋3(k∈Z). 又 0≤t≤24，所以 0≤t＜3 或 9＜t＜15 或 21＜t≤24， 所以在规定时间内只有 6 个小时冲浪爱好者可以进行活动， 即 9＜t＜15.
解 (1)令 t＝0，得 h＝3sinπ4 ＝322，所以开始振动的位置为
0，3

2
2 .

(2)由题意知，当 h＝3 时，t＝π8 ，即最高点为π8 ，3；
当 h＝－3 时，t＝5π8 ，即最低点为5π8 ，－3.
(3)T＝2π2 ＝π ≈3.14，即每经过约 3.14 秒小球往返振动一次.
③ 根据老师的提示抓住老师的思路。老师在教学中经常有一些提示用语，如“请注意”、“我再重复一遍”、“这个问题的关键是····”等 等，这些用语往往体现了老师的思路。来自：学习方法网

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【知识点拨】 三角函数应用题的三种模式 (1)给定呈周期变化规律的三角函数模型,根据所给模型,结合三角函数的 性质,解决一些实际问题(wèntí). (2)给定呈周期变化的图象,利用待定系数法求出函数解析式,再解决其他 问题(wèntí). (3)整理一个实际问题(wèntí)的调查数据,根据数据作出散点图,通过拟 合函数图象,求出可以近似表示变化规律的函数模型,进一步用函数模型 来解决问题(wèntí).
4
2
2
－， 4
即 f x 2sin( x－) 71 x 12, x N *．
44
答案：f x 2sin( x－) 71 x 12, x N *
44
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类型 三 根据数据拟合函数(hánshù) 【典型例题】 1.某港口水的深度是关于时间t(时)的函数(hánshù)，其中0≤t≤24， 下表是该港口某一天从0至24时记录的时间t与水深y的关系.
23
3
所以T=4π，可得 2 1 .
又因为函数(hánshù)最大T值为22，最小值为-4，
所以2A=2-(-4)=6，
可得
因此，A函数3，(hBáns12hù)表4达 式2为 1，
y 3sin(1 x ) 1， 2
第十五页，共42页。
因为(yīnxwèi)2当 时，函数最小值为-4，
3
t 0 3 6 9 12 15 18 21 24 经长y 期1.观5测1，.0y=f0(.t5)的1图.0象可1.近5 似地1 看0成.5是函0.数99 1.5 y=Acos ωt+b的图象. (1)根据以上数据，求其最小正周期，振幅及函数解析式. (2)根据规定，当海浪高度大于1米时才对冲浪(chōnɡ lànɡ)爱 好者开放， 请依据(1)的结论，判断一天内的8：00到20：00之间，有多 少时间可供冲浪(chōnɡ lànɡ)者进行活动？

解：(1)散点图如下：
(2)设t时的体温y＝Asin(ωt＋φ)＋C，则 C＝37.4＋2 36.6＝37，A＝37.4－37＝0.4，
ω＝2Tπ＝224π＝1π2.
由0.4sin(1π2×16＋φ)＋37＝37.4，得
sin(43π＋φ)＝1，取φ＝－56π.
故可用函数y＝0.4sin(
π 12
解：(1)由图象可知ymax＝900，ymin＝700， 且A＋b＝ymax，－A＋b＝ymin， ∴A＝ymax－2 ymin＝900－2 700＝100， b＝ymax＋2 ymin＝800，且T＝12＝2ωπ，所以ω＝6π， 将(7,900)看作函数的第二个特殊点应有π6×7＋φ＝2π. ∴φ＝－23π. 因此所求的函数解析式为：y＝100sin(6πt－23π)＋800.
时间(时) 温度(℃)
0 2 4 6 8 10 12 36.8 36.7 36.6 36.7 36.8 37 37.2
时间(时) 14 16 18 20 22 24 温度(℃) 37.3 37.4 37.3 37.2 37 36.8 (1)作出这些数据的散点图； (2)选用一个三角函数来近似描述这些数据； (3)作出(2)中所选函数的图象．
解：(1)∵ω＝
gl ，∴T＝2ωπ＝2π
gl ，f＝21π
g l.
(2)若T＝1 s，则l＝4gπ2≈24.8 (cm)．
【解析】 由奇偶性的定义可知函数y＝x＋sin|x|，x∈ [－π，π]既不是奇函数也不是偶函数．选项A，D中图象表 示的函数为奇函数，B中图象表示的函数为偶函数，C中图 象表示的函数既不是奇函数也不是偶函数．
【答案】 C
通法提炼 已知函数解析式判断函数图象，可结合函数的有关性 质排除干扰项即可得到正确的选项.

数据拟合函数问题
【例3】 某港口的水深y(单位：m)是时间t(0≤t≤24，单 位：h)的函数，下面是每天时间与水深的关系表：
t 0 3 6 9 12 15 18 21 24 y 10 13 9.9 7 10 13 10.1 7 10 经过长期观测，y＝f(t)可近似地看成是函数y＝Asin ωt＋b. (1)根据以上数据，求出y＝f(t)的解析式；
1.6 三角函数模型的简单应用
目标定位
重点难点
1.会用三角函数解决一些简单 重点：会用三角函数解决一些
的实际问题
简单的实际问题
2.体会三角函数是描述周期变 难点：三角函数模型的简单应
化现象的重要函数模型
用
三角函数的应用 (1)根据实际问题的图象求出函数解析式． (2)将实际问题抽象为与三角函数有关的简单函数模型． (3)利用搜集的数据作出_散__点__图___，并根据_散__点__图__进行函 数拟合，从而得到函数模型．
若 y＝－2cos π3t＋2.5，则当 t＝0 时，y＝－2cos 0＋2.5＝2.5－2 ＝0.5，满足条件．若 y＝－2sin π3t＋2.5，则当 t＝0 时，y＝－ 2sin 0＋2.5＝2.5－0＝2.5，不满足条件，排除 D.故选 C.
【方法规律】解三角函数应用问题的基本步骤
如图为一个观览车示意图，该观览车圆半径为 4.8 m，圆上最低点与地面距离为 0.8 m，图中 OA 与地面垂直， 以 OA 为始边，逆时针转动 θ(θ＞0)角到 OB，设 B 点与地面距 离为 h，则 h 与 θ 的关系式为( )
【正解】(1)设振幅为 A， 则 2A＝20 cm，A＝10 cm. 设周期为 T，则T2＝0.5 s， T＝1 s，f＝1 Hz. (2)振子在 1T 内通过的距离为 4A， 故在 t＝5 s＝5T 内通过的路程 s＝5×4A＝20A＝20×10 cm＝200 cm＝2 m.

cos t 0，2k－ t 2k （kZ）,
6
26
2
即12k－3 t 12k3(kZ)，
又0 t 24
所以0 t 3或9 t 15或21 t 24，
所以在规定时间内只有6个小时可以进行活动，即9 t 15.
【核心素养培优区】 【易错案例】 三角函数模型问题 【典例】弹簧振子以点O为平衡位置,在B,C两点间做简 谐运动,B,C两点相距20cm,某时刻振子处在B点,经0.5 秒振子首次到达C点,则振子在5秒内通过的路程为 _1_0_0_c_m_.
【失误案例】因为B,C相距20cm,所以振幅A=20cm,又因 为振子从B点经过0.5秒首次到达C点,所以周期 T=0.5s,5秒内通过的路程为5A=100cm.
【错解分析】分析解题过程,请找出错误之处. 提示:错误的原因在于没弄清楚B,C相距20cm应为振幅 的2倍,即2A=20cm,周期T的求解错误.
1.6 三角函数模型的简单应用
三角函数的应用 (1)根据实际问题的图象求出函数解析式. (2)将实际问题抽象为与_三__角__函__数__有关的简单函数模型. (3)利用搜集的数据作出_散__点__图__,并根据_散__点__图__进行函 数拟合,从而得到函数模型.
【点拨】(1)三角函数应用题的三种模式 ①给定呈周期变化规律的三角函数模型,根据所给模型, 结合三角函数的性质,解决一些实际问题; ②给定呈周期变化的图象,利用待定系数法求出函数模 型,再解决其他问题;
为( )
A.60
B.70
C.80
D.90
【解析】选C.由题意可得频率f= 1 = 1 6 =0 80(次/分),
T
2
所以此人每分钟心跳的次数是80.

化曲线近似满足函数 y Asin(x ) by
(1)求这一天6~14时的最大温差;
(2)写出这段曲线的函数解析式.
30Biblioteka 20解:(1)由图可知,这段时间的最大温差是200C. 10
(2)从图中可以看出,从6~14时的图象是
0 6 10 14 x
函数 y Asin(x ) b的半个周期
的图象，所以，A 1 30 10 10, b 1 30 10 20
y 2.5sin x 5 6
P
y 5.5 0.3 x 2
2 4 6 8 10
x
作业讲评
▪ P46 A2最值问题 使原函数取得最大值的集合是
(3)
y
3 2
cos
1 2
x
6
解：令z 1 x
26
x
|
x
7
3
4k ,k
Z
要使y 3 COSz有最小值， 2
要使y 3 cos z有最大值， 2
必须 z 2k ,k z
必须 z 2k ,k z
1 x 2k
例3 如图,设地球表面某地正午太阳高度角为θ,δ为此 时太阳直射纬度,φ为该地的纬度值,那么这三个量之间 的关系是θ=90°-|φ-δ|.当地夏半年δ取正值,冬半年δ负 值.
如果在北京地区(纬度数约为北纬40°)的一幢高 为h0的楼房北面盖一新楼,要使新楼一层正午的太阳全 年不被前面的楼房遮挡,两 楼的距离不应小于多少?
y
6 4 2
O
23
y 5.5 0.3(x 2)
x
6
9
12
15
(3)设在时刻x货船的安全水深为y,那么y=5.5-0.3(x-2)(x≥2).在同

??f
?x?max ?
f
?x?min??,
b?
1 2
??
f
?x?max ?
f
?x?min??
利用T ? 2? ，求得? ?
利用最低点或最高点在图象上, 该点的坐标满足函数解析式可求得? , 注意通常? ? ?
练习1： 函数 y? Asin(? x? ? ),(A? 0,? ? 0,|? |? ? )
时刻
0:00 3:00 6:00
水深（米）
5.0 7.5 5.0
时刻
9:00 12:00 15:00
水深（米）
2.5 5.0 7.5
时刻
18:00 21:00 24:00
水深（米）
5.0 2.5 5.0
（1）选用一个函数来近似描述这个港口的水深与时间的函数关 系，并给出整点时的水深的近似数值. （精确到0.001 ） （2）一条货船的吃水深度（船底与水面的距离）为 4米，安全 条例规定至少要有1.5 米的安全间隙（船底与洋底的距离），该 船何时能进入港口？在港口能呆多久？ （3）若某船的吃水深度为 4米，安全间隙为1.5 米，该船在2:00 开始卸货，吃水深度以每小时 0.3 米的速度减少，那么该船在什 么时间必须停止卸货，将船驶向较深的水域？
地心
北半球 南半球
???
? 太阳光
?
?
? ? 90 ? | ? ? ? |
太阳光直射南半球
???
??
地心
?
太阳光
90 ? ? ? ? ? ? 90 ? ? ?| ? ? ? |
? ? 90o ? | ? ? ? |
如果在北京地区（纬度数约为北纬40o）的一幢高为H 的楼房北面盖一新楼，要使新楼一层正午的太阳全年不被 前面的楼房遮挡，两楼的距离应不小于多少？

例1 如图，某地一天从6～14时的温度变化曲线近
似满足函数: y Asin(x ) b.
T/℃ 30
思考1：这一天6～14时的最大温差是多少？
20
30°-10°=20°
10
思考2：函数式中A、b的值分别是多少？
A=10, b=20.
o
6 10 14
t/h
思考3：如何确定函数式中 和 的值?
思考4：这段曲线对应的函数是什么？
B或D点所对就的时间 问题2：如何求出 A、B、C、D四点
所对应的时间？ 由Y≥5.5 得 2.5sin
x 5 5.5
sin
x 0.2
根令据或周sin期-66性xx可0.02得0.214(：已知xx三Dcx角A6函1122数0.值3xx8求BA4角6),1122用 xB 计50(..算6318器054.2可466014求 )11出672..6553x.68115460464.2014
问题2： 潮汐对轮船进出港口有什么影响？
轮船必须在安全水深内进出港口，否则会搁浅.
问题3：上述变化过程中，是哪些量发生变化？哪个量是自变量？ 哪个是因变量？
上述变化过程中，时间、水深都发生变化，是水深是随时间变化， 因此，时间是自变量，水深是因变量(函数) 问题4： 选择一个适当的函数来近似描述水深与时间的关系？
若所用点为五点法中的“第一点”，则令ωm＋φ＝0； 若所用点为五点法中的“第二点”，则令ωm＋φ＝ ；
2
若所用点为五点法中的“第三点”，则令ωm＋φ＝π； 若所用点为五点法中的“第四点”，则令ωm＋φ＝3 ；
2
若所用点为五点法中的“第五点”，则令ωm＋φ＝2π.
题类Ⅰ：根据正、余弦函数的Fra bibliotek段图象去求其解析式

（3）若某船的吃水深度为4米，安全间隙为 1.5米，该船在2：00开始卸货，吃水深度以 每小时0.3米的速度减少，那么该船在什么 时候必须停止卸货，将船驶向较深的水域?
解：设在时刻x船舶的安全水深为y， 那么y=5.5-0.3(x-2) (x≥2),在同一坐标 系内作出这两个函数的图象，可以看 到在6时到7时之间两个函数图象有一 个交点. 通过计算可得在6时的水深约为5米，此时船舶的安全水深约为 4.3米；6.5时的水深约为4.2米，此时船舶的安全水深约为4.1米； 7时的水深约为3.8米，而船舶的安全水深约为4米，因此为了安 全，船舶最好在6.5时之前停止卸货，将船舶驶向较深的水域。
3
由图象求解析式
y Asin(x )
(1)A 3
yA 3
(2) T 10 4 2
23 3
又T 2 1
2
T 4
O
4
10
3
x
(3) y 3sin(1 x )
3
2 A点的坐标为(
4
, 3)
3
3sin( 1 4 ) 3
23
sin(2 ) 1
3
2k , k Z
水深 5.000 6.250 7.165 7.500 7.165 6.250 5.000 3.754 2.835 2.500 2.835 3.754
时刻 12:00 13:00 14:00 15:00 16:00 17:00 18:00 19:00 20:00 21:00 22:00 23:00
水深 5.000 6.250 7.165 7.500 7.165 6.250 5.000 3.754 2.835 2.500 2.835 3.754
6
y
6 4 2 O 3 6 912 15182124 x

三角函数模型的简单应用
学习目标： 1.会用三角函数解决一些简单的实际问题； 2．体会三角函数是描述周期性变化现象的重要 函数模型．
引入:
三角函数能够模拟许多周期现象.因此,在解决实际问题 和物理问题中有着广泛的应用.
新授
例1.画出y=|sinx|的图象并观察其周期.
解：
y
y | sin x |
2
D. y 1 sin(2x ) o 7
x
5
5
10 20
2.已知函数 y Asin(x ) 在同一周期内，当 x 时有最大值 2，当 x=0
3
时有最小值-2，那么函数的解析式为（ C ）
A． y 2sin 3 x
2
C． y 2sin(3x )
2
B． y 2sin(3x )
叫潮。一般地，早潮叫潮，晚潮叫汐。在通常情况下，船 在涨潮时驶进航道，靠近码头；卸货后，在落潮时返回海 洋。下面是某港口在某季节每天的时间与水深关系表：
时刻
水深 (米)
时刻 水深(米) 时刻
水深 (米)
0.00 5.00
9.00
2.50
18.0 0
5.00
（13）.0选0 用7一.5个0 函1数2.0来0近似5.描00述这2个10.0港口2的.50水深与时间的 函解数6:.关0以0系时，间5.给为00出横整坐15点标.0时,0水的深7水为.5深0纵的坐近2标40似.,0画数出值5散.0（0点精图确(如0.0图0)1.）根.
解:建立直角坐标
H A
系如图所示
O
T
M
由题意知:所求函数的模型为
h Asin(t ) B.
则A=2, B=2.5, ∵ T=12, ∴ω=

ห้องสมุดไป่ตู้
B
北回归线
南回归线


C

太阳光
讲授新课
例3. 如图，设地球表面某地正午太阳高度角为，为 此时太阳直射纬度，为该地的纬度值，那么这三个 量之间的关系是 ＝90º －| － |.当地夏半年取正值， 冬半年取负值. 如果在北京地区(纬度数约为北纬40º )的一幢高为 h0的楼房北面盖一新楼，要使新楼一层正午的太阳全 年不被前面的楼房遮挡，两楼的距离不应小于多少？
讲授新课
练习. 教材P.65练习第3题.
课堂小结
1. 三角函数模型应用基本步骤: (1)根据图象建立解析式; (2)根据解析式作出图象; (3)将实际问题抽象为与三角函数有关 的简单函数模型. 2. 利用收集到的数据作出散点图，并 根据散点图进行函数拟合，从而得到 函数模型.
课后作业
1. 阅读教材P.60-P.64；
太阳光 － 北回归线
¦ Õ-¦ Ä
－
B



C

太阳光
南回归线
讲授新课
例4. 海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的 现象叫潮，一般地，早潮叫潮，晚潮叫汐.在通常情 况下，船在涨潮时驶进航道，靠近码头；卸货后， 在落潮时返回海洋.下面是某港口在某季节每天的时 间与水深的关系表：
时刻 0:00 3:00 6:00 水深/米 5.0 7.5 5.0 时刻 水深/米 时刻 水深/米 9:00 2.5 18:00 5.0 12:00 5.0 21:00 2.5 15:00 7.5 24:00 5.0
讲授新课
例2. 画出函数y＝|sinx|的图象并观察其 周期. y＝|sinx|
y
x

18
解析：设出厂价波动函数为 y1＝6＋Asin(ω1x＋φ1)．由
题意，知 A＝2，T1＝8，ω1＝π4.当 x＝3 时，34π＋φ1＝π2，
∴
φ1
＝
－
π 4
，
∴
出
厂
价
的
函
数
关
系
为
y1
＝
6＋
2sin(
π 4
x
－
π4)．设销售价波动函数为 y2＝8＋Bsin(ω2x＋φ2)．由题意，
知 B＝2，T2＝8，ω2＝π4.当 x＝5 时，有54π＋φ2＝π2，∴φ2
5
探究一：
根据图象建立三角函数关系：
T/℃
例1.如图，某地一天从6～ 30
14时的温度变化曲线近似满 20
足函数
10
y A sin( x ) b.
O 6 810 12 14 t/h
（1）求这一天6～14时的最大温
差.
（2）写出这段曲线的函数解析式.
6
解：（1）观察图象可知，这段时间的最大温差是20 ℃.
17
【变式练习】
以一年为一个周期调查某商品的出厂价格及该商品 在商店的销售价格时发现：该商品的出厂价格是在 6 元 的基础上按月份随正弦曲线波动的，已知 3 月份出厂价 格最高为 8 元，7 月份出厂价格最低为 4 元；而该商品在 商店的销售价格是在 8 元基础上按月份也是随正弦曲线 波动的，并已知 5 月份销售价最高为 10 元，9 月份销售 价最低为 6 元．请分别建立出厂价、销售价随时间变化 的函数关系式．
所以，函数 y sin是x以π为周期的函数.
利用函数图象的直观性,通过观察图象而获得对函数 性质的认识,这是研究数学问题的常用方法.