21认识一元二次方程课件-广东省佛山市顺德区江义初级中学北师大版九年级数学上册(共18张PPT)

解:当x=-3时,左边=4×9-9=27,右边=-6-7=-13,左边≠右边,所以x=-3不是原方程的解;
当x=1时,左边=4-9=-5,右边=2-7=-5,左边=右边,所以x=1是原方程的解.
综上所述,x=1是原方程的解.
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10.已知关于x的一元二次方程( m+2 )x2+mx+m2-4=0有一个根是0,求m的值.
解:∵方程有一个根是0,
∴m2-4=0,∴m=±2,
∵m+2≠0,∴m≠-2,∴m=2.
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11.有两个正方形,小正方形的边长比大正方形的边长的一半多1 cm,大正方形的面积比小正方形的面积的2倍还多4
cm2.
( 1 )若求大正方形的边长,怎样列方程?并将其化为一般形式.
( 2 )若设大正方形的边长为x cm,x会小于0吗?x会小于4吗?x会大于10吗?
北师大版九年级数学上册《认识一元二次方程》一元二次方程PPT课件(第
2课时)
科
目：数学
适用版本：北师大版
适用范围：【教师教学】
第二章 一元二次方程
认识一元二次方程
第2课时
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知识点1 一元二次方程的解及应用
1.如果2是方程x2-3x+k=0的一个根,则常数k的值为( B )
A.1
B.2
x 不能小于 4,因为若 x<4,则 x2-4x-12<0,方程不成立;
同样地,若 x>10,则 x2-4x-12>0,方程不成立.
( 4 )大正方形的边长为 6 cm.
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B.3
C.±3
D.不确定
7.一个三角形的两边长为2和5,第三边的边长是方程( x-2 )( x-6 )=0的根,则这个三角形的周长是( B )

2．学生活动：请同学独立完成下列问题． 问题1：如图，一个长为10m的梯子斜靠在墙上，梯子的顶 端距地面的垂直距离为8m，那么梯子的底端距墙多少米？ 设梯子底端距墙为xm，那么， 根据题意，可得方程为__x_2＋__8_2_＝__1_0_2_． 整理，得___x_2_－__3_6_＝__0___． 列表：
1(a≠0)的一个根，求代数式2016(a＋b＋c)的 5－2x＞0，即x＜2.
解：将上面的这些数代入后，只有－2和－3满足该等式方程，所以x＝－2或x＝－3是一元二次方程2x2＋10x＋12＝0的两根．
值． 4．根据下表得知，方程x2＋2x－10＝0的一个近似解为x≈_______．(精确到0.
1．会进行简单的一元二次方程的试解．
北师大版数学九年级上册 第二章 一元二次方程
2.1 认识一元二次方程 第2课时
学习目标
1．会进行简单的一元二次方程的试解． 2．根据题意判定一个数是否是一元二次方 程的根及利用试解方法解决一些具体问题． 3．理解方程的解的概念，培养有条理的思 考与表达的能力．
回顾旧知
1．使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程 的解 ． 2．一元二次方程(x＋1)2－x＝3(x2－2)化成一般 形式是 2x2－x－7＝0 ． 3．近似数2.36≈ 2.4 (精确到十分位)．
理解 问题2中还有x＝－12的解．
(2)x的取值范围是0＜x＜2.
设苗圃的宽为xm，则长为________m.
解：将x＝1代入得a＋b＋c＝1， (8－2x)和(5－2x)分别表示地毯的长和宽，所以有8－2x＞0，
根据题意，可得方程为____________．
A．1
B．2
C．3
D．4
故2016(a＋b＋c)＝2016. 若设便道及休息区宽度为x米，则游泳池面积为(40－2x)(30－2x)米2，便道及休息区面积为2［40x+(30－2x)x］米2，依题意，可

当 a = 0 时，
bx＋c = 0，不符合定义；
当 a ≠ 0， b = 0 时，
ax2＋c = 0，符合定义；
当 a ≠ 0， c = 0 时，
ax2＋bx = 0，符合定义；
当 a ≠ 0，b = c =0 时，
ax2 = 0，符合定义．
总结：只要满足 a ≠ 0 即可，b，c 可以为任意实数.
4. 把下列方程化为一元二次方程的形式，并写出它 的二次项系数、一次项系数和常数项：
【选自教材P32 习题2.1 第2题】
方程
一般形式
二次项 系数
一次项系 数
常数项
3x2=5x-1 3x2－5x＋1＝0
3
－5
1
(x+2)(x-1)=6 x2 ＋x－8＝0
1
1
－8
4-7x2=0
－7x2 ＋4＝0
－7
复习导入
1.什么叫方程？我们学过哪些方程？
含有未知数的等式叫做方程.
我们学过的方程有一元一次方程，二元一次方程
(组)及分式方程，其中前两种方程想属一于想整：式什方么程是.
2.什么叫一元一次方程？
一元二次方程呢？
含有一个未知数，且未知数的次数是 1 的整式方程
叫做一元一次方程.
地毯问题
幼儿园活动教室矩形地面的长为 8 m，宽为 5 m，
为(x－4)尺，长为(x－2)尺，
依题意得方程： (x－4)2＋ (x－2)2＝ x2
即：x2－12x ＋20 ＝ 0
课堂小结
通过这节课的学习活动，你有什么收获？
只含有一个未知数 x 的整式方程， 并且都可以化为 ax2＋bx＋c＝0 (a，b，c为常数，a≠0)的 形式， 这样的方程叫做一元二次方程．

练一练
已知关于x 的一元二次方程x2+ax+a=0的一个解是3，
求a的值. 解：由题意把x=3代入方程x2+ax+a=0，得
32+3a+a=0 9+4a=0 4a=-9
a 9 4
知识点 2 一元二次方程解的估算
问题1：幼儿园某教室矩形地面的长为 8 m，宽为你能5 m设，法现估准计备四在周地面正
例：下面哪些数是方程 x 2 – x – 6 = 0 的解?
-4 ,-3 , -2 ,-1 ,0 ,1, 2, 3 ,4
解： 3和-2.
你注意到了吗？一元二次方 程可能不止一个解（根）.
提示方法： 验证一个未知数的值是否是一元二次方程的根，只需将这个 未知数的值分别代入方程两边，若所得的值相等，则这个未知数的值就是 方程的根，否则就不是方程的根．
(1)方法：根据实际情况确定一元二次方程的解的大致取值范围，再 通过具体的求值计算从两边接近方程的解，逐步求得符合精确度要求的 方程的解的近似值，一般简称为“夹逼法”．
(2)步骤：
第一步：化为一般形式ax2＋bx＋c＝0
第二步：根据实际情况确定 x 的大致取值范围 第三步：在 x 范围内取整数值，能够使方程左边等于0，则这个数就
能，写出方程的根；如果不能，请写出方程根的取值范围．
解：根据表格中的数据可知：
方程有一个根是x＝2； 另一个根x 的范围是2.5＜x＜3．
课堂小结 1.学习了一元二次方程的解的概念 2.知道了估算ax2＋bx＋c＝0（a，b，c为常数，a≠0）
近似解的方法（“夹逼法”）及估算的步骤； （1）先确定大致范围 （2）再取值计算，逐步逼近 想一想：有没有更便捷的方法求一元二次方程的解呢？

提出问题，建立模型
问题3：一个长为10 m的梯子斜靠在墙上，梯子顶 端距地面的垂直距离为8 m.
如果梯子的顶端下滑1 m，那么梯子的底端滑动多 少米？
设梯子底端滑动x m， (x6)272102
类比联想，探究新知
观察上述问题中列出的方程： （1） (82x)(52x)18
（2） x 2 ( x 1 ) 2 ( x 2 ) 2 ห้องสมุดไป่ตู้ x 3 ) 2 ( x 4 ) 2
一般形式：ax2+bx+c=0(a≠0).其中ax2，bx，c分别 叫做二次项、一次项、常数项， a叫做二次项系数，b 叫做一次项系数.
类比联想，探究新知
方程(8-2x)(5-2x)=18的解你能求出吗？请试着估算 此方程的解.
(1) x可能小于0吗？说说你的理由； x不可能小于0， 因为x表示四周未铺地毯部分的宽度. (2) x可能大于4吗？可能大于2.5吗？为什么？ x不可能大于4，也不可能大于2.5， x＞4时， 8-2x＜0； x＞2.5时，5-2x＜0.
类比联想，探究新知
在问题3中，梯子底端滑动的 距离x(m)满足方程 (x+6)2+72=102， 也就是x2+12x-15=0.
（1）小明认为底端也滑动了1 m，他的说法对吗？ 为什么？
当x=1时，则有(1+6)2+72＜102， 因此滑动的距离大于1 m.
类比联想，探究新知
（2）底端滑动的距离可能是2 m吗？可能是3 m吗？ 为什么？
（3） (x6)272102
这些方程有哪些共同特点？ 由此类比一元一次方程的定义，你能总结出一 元二次方程的定义吗？
9、要学生做的事，教职员躬亲共做；要学生学的知识，教职员躬亲共学；要学生守的规则，教职员躬亲共守。2021/9/82021/9/8Wednesday, September 08, 2021 10、阅读一切好书如同和过去最杰出的人谈话。2021/9/82021/9/82021/9/89/8/2021 10:16:18 AM 11、只有让学生不把全部时间都用在学习上，而留下许多自由支配的时间，他才能顺利地学习……（这）是教育过程的逻辑。2021/9/82021/9/82021/9/8Sep-218-Sep-21 12、要记住，你不仅是教课的教师，也是学生的教育者，生活的导师和道德的引路人。2021/9/82021/9/82021/9/8Wednesday, September 08, 2021

解 去括号，得 3x2-3x=2x-4-4
移项，合并同类项，得方程的一般形式：
3x2-5x+8=0 它的二次项系数是3，一次项系数是-5，常数项是8
1、填空：
方程
一般式
x2-4x-3=0 x2-4x-3=0
0.5x2= 5
0.5x2-√5 =0
2 y-4y2=0 -4y2 +√2y =0
(2x)2=(x+1)2 3x2-2x-1=0
谢谢观赏
You made my day!
我们，还在路上……
二次项系 数
1
一次项系数
-4
0.5
0
-4 √2
3
-2
常数项
-3 -√5 0 -1
下面还有题，你想再试一试吗？
3、已知关于x的方程 (m+1)x2+3x+1=0, 它二元一次方程吗？
解：根据一元二次方程的定义, 只需m +1≠0 即 m ≠-1
所以,当m ≠-1时方程是一元二次方程
在今天这节课上，你有什么样的 收获呢？有什么感想？
(1)x2 +
1 2x
－3=0
(不是)
(2)x3-x+4=0
(不是)
(3) x2 － 2y －3=0
(不是)
(4) –5y2 ＋3y +1=0
( 是)
(5) 2x2=0 (6)4x2＋3x－2=(2x-1)2
(是 ) (不是 )
为什么第6 3x －2=(2x-1)2 4x2＋3x －2=4x2-4x+1 4x2—4x2＋3x +4x=1+2
认识一元二次方程
问题1
5x-15=0

x
8
9 10 11 12
x2+2x-120 -40 -21 0 23 48
所以，矩形苗圃的宽为10m,长为12m.
四、随堂练习
3.有一条长为16m的绳子,你能否用它围出一个面积为15m2的矩形?若能， 则矩形的长、宽各是多少?
能.设矩形的宽为x米,则长为 骣琪琪桫126 - x 米， 根据题意得：x 骣 琪 琪 桫126 - x =15 即：x2-8x+15=0.
2020
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
2.1认识一元二次方程（2）
2020
教学目标
01 经历估计一元二次方程解的过程； 02 会估计一元二次方程的解，加深对解的理解； 03 培养估算意识和能力，发展数感.
一、复习回顾
一元二次方程的概念
①只含有一个未知数； ②含未知数项的最高次数是2； ③整式方程.
二次项系数 一次项系数
一元二次方程的一般形式 ax2 +bx +c = 0
梯子底端滑动的距离x(m)满足方程： A
(x+6)2+72=102
也就是： x2+12x-15=0
化成了 一般形式
C
B
三、典例分析
x2 +12x - 15 = 0
(1)小明认为底端也滑动了1m，他的说法正确吗？为什么？ 不正确，因为x=1m不满足方程.
(2)底端也滑动的距离可能是2m吗？可能是3m吗？为什么？ 不可能是2m，也不可能是3m，因为x=2m和x=3m都不满足方程.
10
4
二、探究新知
(5- 2x) (8- 2x) =18
x
0.5
1
1.5
2
(5- 2x) (8- 2x)

解： 若（2a-4）x2 -2bx+a=0是一元二次方程，则二次项系数不为零， ∴2a-4 ≠0，解得a≠2， 即当a≠2时， (2a-4）x2 -2bx+a=0是一元二次方程； 若（2a-4）x2 -2bx+a=0是一元一次方程，则二次项系数为零，一次项 系数不为零， ∴2a-4 =0且-2b ≠0，解得a＝2，b≠0, 即当a＝2，b≠0时， (2a-4）x2 -2bx+a=0是一元一次方程.
18m2的地毯，四周未铺地毯的条形区域的宽度都相同，你能求出这个宽度吗？
8m
18m2
5m
解:设所求的宽度为xm,则中间地毯的宽表示为_(_5_-_2_x_)_m___,长表示为__(_8_-_2_x_)m_, 则方程列为_(_8_-_2_x_)_(_5_-_2_x_)=__1_8 ，整理得__4_x_2_-_2_6_x_+_2_2__＝__0__.
14
随堂训练
3.将下列一元二次方程化成一般形式，并指出它们的二次项系数、一次项系数、常数 项分别是多少：
(1) 2x2=3x-1； (2)(x+2)(x-2)-2x(x-1)=0.
解：（1） 2x2=3x-1化为一般形式为 2x2-3x+1=0， ∴ 二次项系数、一次项系数、常数项分别是2，-3，1. (2)(x+2)(x-2)-2x(x-1)=0化为一般形式为 -x2+2x-4=0, ∴ 二次项系数、一次项系数、常数项分别是-1，2，-4.
解：去括号，得 3x2-3x=5x+10. 移项、合并同类项，得一元二次方程的一般形式为 3x2-8x-10=0.
其中二次项是3x2,系数是3；一次项是-8x,系数是-8；常数项是-10.

当堂训练
A同学的做法： 设五个连续整数中的第一个数为x，那么后面四个数依次可表 示为 x+1，x+2，x+3，x+4 . 根据题意，可得方程： x2 +(x+1)2 +(x+2)2 = (x+3)2 + (x+4)2 . 即 x2–8x–20=0.
x
–3
–2
…
9
10
x2–8x–20 13
0
…
–11
由． 通过上面的分析，可以得到0＜x＜2.5.
（3）完成下表：
x
0
0.5
1
1.5
2
( 8–2x )( 5–2x ) 40
28
18
10
4
探究新知
对于方程(8–2x)(5–2x) =18，即 2x2– （143）x+你11知=道0.所求的宽度 x（m）是多少吗? 还有其他求解方法吗? 与同伴进行交流．
把 ax2＋bx＋c＝0（a，b，c为常数，a≠0）称为一元二次 方程的一般形式，其中ax2，bx，c分别称为二次项、一次项和 常数项，a，b分别称为二次项系数和一次项系数．
当堂训练
1. 根据题意列出一元二次方程：已知直角三角形的三边长为 连续整数，求它的三边长.
答案不唯一. 例如，可设三边长分别为 x–1，x，x+1（x > 1）, 根据题意，得(x－1)2 ＋x2= (x＋1)2 ，化成一般形式为x2－4x =0 .
x
0
0.5
1
1.5
2
x2+12x–15 –15
–8.75
–2
5.25
13
所以1＜x＜1.5. 进一步计算：

或7x2 － 4＝0
7
－5 1 1 －8 04 0 －4
经营者提供商品或者服务有欺诈行为 的，应 当按照 消费者 的要求 增加赔 偿其受 到的损 失，增 加赔偿 的金额 为消费 者购买 商品的 价款或 接受服 务的费 用
下课了!
结束寄语
• 运用方程（方程组）解答相关 的实际问题是一种重要的数学 思想——方程的思想.
独立 作业
知识的升华
（２）三个连续整数两两相乘，再求和，结果为242，这三个 数分别是多少？
解：设第一个数为x，则另两个数分别为x＋１, x＋2，依题意 得方程：
x (x＋1) ＋ x(x＋2) ＋ (x＋1) (x＋2) ＝242.
即 x2 ＋2x－8 0＝0.
经营者提供商品或者服务有欺诈行为 的，应 当按照 消费者 的要求 增加赔 偿其受 到的损 失，增 加赔偿 的金额 为消费 者购买 商品的 价款或 接受服 务的费 用
一次项和常数项，a， b分别称为二次项系数和一次项系数．
经营者提供商品或者服务有欺诈行为 的，应 当按照 消费者 的要求 增加赔 偿其受 到的损 失，增 加赔偿 的金额 为消费 者购买 商品的 价款或 接受服 务的费 用
☞ 探索思考
“行家”看“门 道”
下列方程哪些是一元二次方程? 解: (1)、 (4)
☞ 回顾与思考
“知识” 知多少
你能根据商品的销售利润作出一定的 决策吗?
与一元一次方程和分式方程一样,一元二 次方程也是刻画现实世界的一个有效数学 模型。
经营者提供商品或者服务有欺诈行为 的，应 当按照 消费者 的要求 增加赔 偿其受 到的损 失，增 加赔偿 的金额 为消费 者购买 商品的 价款或 接受服 务的费 用
解：由勾股定理可知， 滑动前梯子底端距墙