人教版数学高一-算法案例 同步教学设计

§1.3算法案例第三课时割圆术一、教学背景分析（一）教学内容解析本节课虽非普通高中课程标准实验教科书的内容，但人教A版必修3中的第一章《算法结构》的“阅读与思考”内容以刘徽的“割圆术”为载体，让学生通过了解“割圆术”的基本特点及其中蕴含的递推思想与迭代算法，体会“割圆术”是几何算法阶段计算圆周率的既有效又科学的方法，又让学生感受到计算工具的不断发展，为圆周率的计算乃至整个数学学科的发展带来前所未有的突破.在数学史上，简洁而精确的圆周率求法，曾经是数学家们不懈追求的目标，在不同历史阶段，各个国家的数学家们提出了形形色色的圆周率近似值求法，如经验实测方法，蒙特卡洛方法，刘徽割圆术，阿基米德割圆术，级数逼近等等.每一次方法的改进，都在严密性与精确性的角度上体现了重要的数学思想，因此在高中阶段，让学生了解和学习各种不同的圆周率近似值的求法，并对这些方法进行比较与分析，是十分必要的.（二）学生学情分析在深化课改的背景下，现阶段的学生并没有学过如何求圆周率，只有人教A版必修3 中的第一章《算法结构》的“阅读与思考”内容是以刘徽的“割圆术”为载体，通过算法知识来介绍求圆周率，但是，必修3中算法的相关知识，也没有学过，在算法的建构方面存在一定的困难，同时对圆周率π认知基本上停留在能背出小数点后多少位，却不知圆周率π是如何得到的.学生通过课前资料收集和阅读思考，对历史上几种不同的圆周率求法进行了初步的了解，同时以教材中的“阅读与思考”内容，同时也是历史上完备性最好，且具有算法思想的刘徽的“割圆术”作为重点介绍内容，让学生领悟刘徽的割圆术中所蕴含的递推思想及迭代算法.对于刘徽割圆术的掌握，对学生来说是一个挑战，圆内接正多边形的面积公式的递推关系的推导对学生来说是十分困难的．根据教学内容解析和学情分析，我确定本节课的教学重点和难点如下：重点：在学生通过课前阅读与课外查阅与研究所了解的有关求圆周率的方法的基础上，对各种不同的方法进行简要的介绍与对比，同时深入探究刘徽割圆术的思想方法，获得面积递推公式，同时体会其中蕴含的递推思想与迭代算法．难点：割圆术中“内外夹逼”的极限思想与算法实现过程中递推关系的建立．二、教学目标设置依据课程标准，基于上述分析，我确定本节课的教学目标如下：（一）让学生经历从直观感受到随机模拟，最后到严格推理，然后以计算机实现近似值求解的过程，既对相关数学史有所了解，同时又让学生体会了求解圆周率的历史实质是运算工具的发展史．（二）理解割圆术对于圆周率估计的完备性与精确性，以及求解过程中所蕴含的递推思想，体会计算机程序迭代算法和割圆术的应用价值．（三）了解求解圆周率的历史，感受数学的文化价值．三、教学策略分析本节课在教学材料的组织上选择了让学生课前探究求解圆周率π的方法，自主学习刘徽的割圆术，并以小组交流的形式汇报阅读成果.应用问题探究式教学方式，对课本介绍的刘徽的割圆术进行再思考，让学生自主探究如何方便地计算圆内接正多边形的面积．借助Ｅxcel软件的迭代功能实现算法，完成对圆周率π的近似值的初步估计. 因此本节课采用学生课前阅读与课内思考相结合的方式，让学生体会以阅读学习所获得的知识为基础，在经过再思考后，获得对问题的深刻理解的过程；同时采用公式的理论推导和信息技术相结合的手段，让学生体会到中国古代数学中所蕴含的算法思想，给学生提供了一次动手实践、还原历史的经历．四、教学过程为了达到以上教学目标，在具体教学中，我把这节课分为以下五个阶段：分别从数学史的发展角度，与方法的完备性角度来逐步递进探索并对比不同方法的优劣.下面我将对每一阶段教学中计划解决的主要问题和教学步骤作出说明.（一）呈现背景【学生活动】学生课前查阅圆周率π的相关知识，自主学习刘徽的割圆术，并相互交流对圆周率的认识.【教师总结】那圆周率的值到底是多少呢？又是如何得到的呢？在绵延的历史长河中，人们又是怎样“计算” 圆周率的呢？【设计意图】从数学史与数学文化的角度，来引起学生对于圆周率求解方法的兴趣，为后面各种方法的介绍做好铺垫.（二）探索方法【第一组：实测法】第一小组学生代表介绍：“用实测的方法求圆周率π”【学生活动】学生讨论实测法的不准确之处：1.圆周是曲线，用细绳去拟合时，存在误差.2.测量长度时，存在误差.【教师总结】尺子的精度越高，得到的测量值可能会越准确.精度再高的刻度尺也无法量得线段长的真实值.其实，早在明代就有一位名叫邢云路的数学家，他呈现背景探索方法完善方法实现算法归纳小结就用实测的方法求圆周率，后来茅以升这样评价他：“云路欲以度量所得，抹煞古人诸率，所见甚浅.”可见，实测的办法是比较粗糙的.【设计意图】通过实测与经验来估计圆周率的近似值，是人类历史上最早采用的方法，但这种方法在数学上既不严密，同时所求得的近似值的精确度也无法保证，在课前让学生通过实验，切身体会到用实测的方法求圆周率π是比较粗糙的.【第二组：布丰投针】第二小组学生代表介绍：“用布丰投针实验求圆周率π”【学生活动】求解任意给出3个正数，以这3个正数为边长可以围成一个钝角三角形的概率. 解：设这三个正数为c b a ，，，不妨设a b c ≤，，由以c b a ，，为边长可以围成一个钝角三角形得：222c b a c b a <+>+，，变形，得：1122<⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛>+c b c a c b c a ，，令c b y c a x ==,，则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<+>+≤<≤<11101022y x y x y x ， 由线性规划可知：满足题意的可行域为直线1+-=x y 与圆122=+y x 围成的弓形，总的区域是一个边长为1的正方形.则可以围成一个钝角三角形的概率1--24214S P S ππ===弓形正方形. 【教师总结】早在1904年，R 查特发现，两个随意写出的整数中，互素的概率为26π.然后，我们可以通过“像投针一样的操作实验”或者“让计算机产生随机数，进行计算机模拟实验”，从而得到实验频率，求出圆周率的近似值.【设计意图】布丰投针实验至少给了我们两大启示：1.可以利用概率原理来解释圆周率的计算，虽然实验结果具有随机性；2.投针实验拓宽了人们运用数学知识解决复杂问题的渠道，它已发展为一种新的数学方法——统计实验法，也就是著名的蒙特卡罗法.利用概率论的大数定律，可以保证用该方法求得的近似值在概率意义上是收敛于真实值的，但所得结果的精确度无法准确估计，因此相对于实测的方法，有所进步，但仍不够完善.【第三组：割圆术】第三小组学生代表介绍：“刘徽的割圆术”通过课前学习，让学生对刘徽的割圆术有了基本的认识，并得到了课本上的圆内接正多边形的面积递推公式21(1)2n n n n S S n x h =+⋅⋅-. 【学生活动】小组交流1：刘徽为什么不从圆内接正三角形的面积开始，而是从六边形开始？——好算，且精确度相对较高.小组交流2：如果以正四边形面积为起始可以吗？——以任意正n 边形面积为起始都可以，因为2n x 与n x 及2n S 与n x 之间的递推关系并不会因为初始值的不同而发生改变.随着正多边形边数的增加，最终的效果是一致的.【教师总结】回味刘徽的割圆术，他是以圆内接正六边形的面积为起始，借助6x 来求6S ，然后在6x ，6S 的基础上，求12x ，12S ，依次类推，……，要求2n S ，只需借助于n x ，n S ，得到了圆内接正多边形的面积的递推公式.【设计意图】让学生通过课外阅读与课前学习，以小组交流的形式汇报阅读成果. 为本节课内针对刘徽的割圆术的再思考奠定了必要的认知基础，同时也让学生认识到在数学学习中“阅读．．”的重要性． 【师生互动】在算完正六边形的面积后，为什么不算正七边形的面积，而是选择计算正十二边形的面积？【学生活动】分析与讨论在算完正六边形的面积后，不算正七边形面积的理由.【教师总结】正十二边形的面积容易计算，关键在于在正六边形的基础上，增加的顶点B 是CD 的中点，根据垂径定理，正十二边形的“特征三角形”的底就是半径1，高其实是正六边．．．．．．．形的边长的一半．．．．．．．． 【设计意图】正六边形的面积算完后，为什么直接跳到算正十二边形的面积？正是因为我们可以借助正六边形的边长，来求正十二边形的面积（及边长）. 而知道正六边形的边长和面积，却没有为算正七边形的面积带来任何帮助. 这样设问，是为了让学生在计算的过程中体会从正六边形过渡到正十二边形的合理性．同时让学生体会其中蕴含的递归思想，发现问题本质，为下面的递归关系的建立奠定基础．（三）完善方法问题1：是否有其他办法可以求圆内接正多边形的面积?能否把刚才的方法推广到一般情形？【学生活动】学生介绍不同于课本教材的圆内接正十二边形的面积的求法:把正十二边形分割成十二个特征三角形，容易算得它的面积为： 61211121212222COB x S S OB CA ==⨯⨯⨯=⨯⨯（）（） 【学生活动】那么正2n 边形的面积2n S 就等于：2COB 122222n n n x n S nS n x ==⨯⨯=（）【教师总结】从此式看出：只需借助正n 边形的边长n x 来求正2n 边形的面积2n S ．相比于之前介绍的递推公式))2(1-121(22）（n n n n x x n S S -⨯⨯⨯+=，表达式上更加简洁. 同时，也要注意到：这两个面积递推公式，都是借助于2n x 与n x 之间的递推关系，其本质是一样的.【师生互动】这两种递推公式，哪一种在计算机里运行速度更快？效率更高？【学生活动】后者在表达式上更加简洁，减少了开方运算的次数，效率更高.【教师总结】在1800年前，刘徽只计算到了圆内接正192边形的面积，相当于只迈开了六步.现在，我们已拥有具有强大计算能力的计算机.这个递推公式，恰好符合计算机的迭代算法.我们可以借助计算机来实现算法.【设计意图】割圆术作为历史上第一个出现的完备性最好的求圆周率的方法，也并非在各个方面尽善尽美，因此引导学生在知识的获得之后，但作为课内针对学生课前阅读的“第一次思考”，引导学生成功建立正n 边形的边长与正2n 边形的面积之间的递归关系，而且此面积递推公式比课本介绍的递推公式更加简洁，为后续计算边数更多的正多边形面积提供了一个可行、高效的方法，也为后续的程序的实现提供了算法依据，让学生体会到“阅读”之后“思．考．”的重要性与必要性． （四）实现算法回味此递推公式：2224n n x x =--，已知6x ，求得12x 后，再由12x ，代入此式，求得24x ，……，依此类推，这是一种迭代的算法，而Excel 软件刚好有迭代的功能，我们就借助Excel 来实现算法.nx n S 2n 6 1.0000000 3.0000000120.5176381 3.1058285240.2610524 3.1326286480.1308063 3.1393502960.0654382 3.14103201920.0327235 3.14145253840.0163623 3.14155767680.0081812 3.141583915360.0040906 3.1415905通过表格，我们看到：随着n 的增大，2n S 的面积越来越大，越来越趋近于π真实值. 运用Excel 软件实现的算法，可以用程序框图来表示，再翻译成程序语言，利用计算机实现算法.【数学史介绍】数学家祖冲之在此基础上，把圆周率π精确到小数点后第七位. 在西方，这个成绩由法国数学家韦达于1593年取得, 比祖冲之晚了一千多年.【设计意图】揭示递推公式与迭代算法之间的关系，借助计算机来实现圆周率π的近似值的估计，既是对刘徽割圆术的方法的有效验证，又体现了中国古代数学的算法特征．同时让学生体会用程序框图来表示算法，能使算法的逻辑结构更清楚、步骤更直观．同时了解求解圆周率π的历史，感受数学的文化价值．问题2：已知圆内接正四边形的面积42S =，在此基础上往下算，会选择计算圆内接正几边形的面积？理由是什么？（请看视频）【学生活动】计算圆内接正八边形的面积8S ，再计算圆内接正十六边形的面积16S ，依此类推. 可以借助正n 边形的边长与正2n 边形的面积.【教师总结】2n x 与n x 及2n S 与n x 之间的递推关系并没有因为初始值的不同而发生改变.即使初始值的误差比较大，随着正多边形边数的增加，最终的效果会是一致的.【设计意图】作为课内针对学生课前阅读的“第二次思考”，让学生牢牢把握刘徽的割圆术的本质——递推关系的应用与迭代算法的实现，与迭代过程的初始值无关．我们刚才都是用圆内接正多边形的面积2n S 来近似代替圆的面积，这样得到的π的近似值肯定要比π的真实值小.也就是说，我们得到的是（圆面积）的下限.出于考虑问题的严谨性，还要对圆面积的上限加以估计.问题3：选择哪个几何图形的面积作为圆面积的上限？【学生活动】设圆外切正n 边形的边长为n y ,外切正n 边形的面积为n T . 利用相似比：212n n n x x y ⎛⎫- ⎪⎝⎭=得：24n n ny x =-所以21124nn n n T n y x =⨯⨯⨯=-问题4：是否有更合适的几何图形的面积可以做为圆面积的上限？【学生活动】思考是否有更佳的上限估计方式，并提出自己的看法：这些圆内接正多边形每边外有一余径，用边长乘以余径，加到正多边形的面积上，则大于圆的面积，即数学家刘徽的想法. 此时，此几何图形的面积为：()()2222n n n n n n S S S S S S +-=+-.【设计意图】通过圆面积的上限的讨论，进一步完善割圆术的思想，作为课内针对学生课前阅读的“第三次思考”，通过计算、对比，让学生深刻体会刘徽的割圆术的精明之处：1、已有的成果2,n n S S 来表示圆的面积的上限，成功的将计算量减半；2、刘徽的割圆术的完备性与数学研究过程中所要求的严密性相符．让学生感受在“阅读”的基础上“思考”所带来的成果．我们也借助Excel 软件来实现算法:n x S 3.2945078 n 2n S 2n +ΔS 4 1.4142136 2.8284271 80.7653669 3.0614675 160.3901806 3.1214452 3.1814228 320.1960343 3.1365485 3.1516518 640.0981353 3.1403312 3.1441138 1280.0490825 3.1412773 3.1422233 2560.0245431 3.1415138 3.1417504 5120.0122718 3.1415729 3.1416321 10240.0061359 3.1415877 3.1416025 20480.0030680 3.1415914 3.1415951 40960.0015340 3.1415923 3.1415933【设计意图】再次通过Excel 软件实现上限的估计，验证了运用割圆术求解π的近似值的可行性与有效性，实现了学生课前的“阅读成果”．问题5：同学们还有什么感触吗？【学生活动】学生介绍利用三角函数来求圆内接正多边形的的面积：把正十二边形分割成十二个特征三角形，利用三角函数算得它的面积为：2012COB 112121sin 302S S ∆==⋅⋅⋅ 【学生活动】那么正2n 边形的面积2n S 就等于：222sin n n S nS n θ==特征三角形【教师总结】利用三角函数求解圆内接正多边形的面积，在历史上，直到文艺复兴时期，哥白尼（1473--1543）和开普勒（1571-1630）研制了相当精确地三角函数表，这个问题才得以解决.看来同学们都能学以致用！【数学史介绍】事实上，历史上还出现了很多求圆周率的方法，比如：韦达的无穷乘积法，欧拉的无穷级数法，1844年，达赛利用π的反正切函数表达式把π值计算到了小数点后200位.【设计意图】在详细介绍了“实测方法”、“蒙特卡洛方法”与“割圆术”之后，又对如何用高等方法求解圆周率进行了简要的介绍，让学生增加了对近代数学求解π的历史，使得数学史上对于π的求解历程有了更加完整的认识，再次感受数学的文化价值．（五）归纳小结从实测的直觉与粗糙，到割圆术的以直代曲、无限逼近、内外夹逼的严谨，再到三角函数加入割圆术，π的计算精度越来越高，但方法上没有本质改变.直到1665年牛顿等人发明微积分，才使π的计算走到了历史转折点，然而追溯建立微积分的先驱人物又当数阿基米德和刘徽，他们提出的割圆术中已相当自觉地运用了“无穷”和“愈来愈接近”等属于微积分的基本概念.同时，1777年，布丰的投针实验则另辟蹊径，充满创新.纵观几千年来，为了得到更精确地圆周率的值，数学家们千方百计，花费了很多时间和精力，进行着不懈的探索.这个过程不仅仅是“从公元前2000年的几位小数，到公元后2000年的2061亿位小数”的变化，而是在其背后的运算工具的不断发展，昭示了人类在数学领域的卓越追求.高中数学-打印版1761年，当人们还在狂热于计算π值的时候，兰伯特(H·Lambert)证明了π是一个无理数；1882年，林德曼F·vonLindermann于又证明了它是超越数，圆周率的神秘面纱就被揭开了.这一结论解答了公元前434年提出的“化圆为方”的问题是无法实现的.可见，数学越向前发展，人们对事物的认识就越加清晰、深刻.所以说，数学是有用的.愿今天的圆周率之旅，能让你领略到一些数学的魅力，触发起你心中的探索欲望.五、教学特点及反思（1）课前阅读与课内思考紧密结合本节课采用学生课前阅读与课内思考相结合的方式，课前组织学生自主查阅并学习历史上有关圆周率π的各种不同的求法，是为“阅读”；而后在课内引导学生在通过对各种不同的圆周率求法的介绍，对比，以及相关问题进行更加深入的探究，是为“思考”，紧密结合阅读与思考，突破传统的新授课课堂教学模式．通过“阅读”带动“思考”，再经过“思考”加深“阅读”所获得的知识的理解，既给学生创设了自主探究、小组合作交流等平台，又充分挖掘了思维的深度和广度.（2）历史发展与数学进步有效契合本节课既介绍了有关圆周率求解的数学历史，又渗透了各种求解方法所蕴含的数学思想与方法，在方法的介绍与探讨过程中，成功地将历史发展过程，与不同方法的逻辑严密性与精确性的提高过程这两条线索有效契合，贯穿整节课堂，做到数学中有历史，历史中有数学. （3）信息技术与课程内容有机整合通过揭示递推公式与迭代算法之间的关系，用程序框图来表示算法，借助计算机中的Excel软件来实现算法，完成对圆周率π的近似值的初步估计，既验证了运用割圆术求解π的近似值的可行性与有效性，又体现了中国古代数学的算法特征．精心校对完整版。

人教版高中必修31.1.1算法的概念教学设计一、引言计算机科学是一个快速发展的领域，算法作为计算机科学的基础，是计算机科学的核心内容之一。

在高中阶段，学生需要逐渐了解计算机科学中的基础概念和原理，因此本文旨在介绍人教版高中必修31.1.1中算法的概念，提供适合高中学生的算法教学设计思路。

二、算法的概念算法指的是一个计算过程，该过程在给定输入后，按照一定规则来计算输出。

简单来说，算法就是一组解决问题的有限指令集。

算法主要被用于解决一些计算性问题，比如排序、搜索、加密等等。

一个好的算法应该能够在有限时间内处理输入值，且其输出结果应该正确、完整、易于理解和实现。

三、算法教学设计3.1 引入为了引起学生对算法的兴趣，可以运用一些有趣的例子进行讲解。

比如，可以讲解一些困难的游戏或难题，然后通过讲解算法的原理帮助学生理解并解决难题。

3.2 普及算法知识在学生对算法有了兴趣之后，应该分步骤来讲解算法的概念和原理。

可以通过讲解算法的基础知识，如时间复杂度、空间复杂度等概念，以及几个经典的算法来普及算法知识。

3.3 练习为了更好地巩固学生的算法知识，应该设计一些算法练习。

可以让学生练习一些基本算法，如冒泡排序、二分查找等等。

在完成练习后，可以让学生相互分享自己的思路和方法，以帮助提高彼此的算法实现能力。

3.4 实践在学生已经掌握一些基本算法后，可以针对一些具体的应用场景，如图像处理、网络安全等领域进行设计实践。

通过实践，不仅能够帮助学生更好地理解算法的实现过程，还能够帮助学生锻炼解决问题的能力。

四、总结本文针对人教版高中必修31.1.1算法的概念进行了教学设计。

在引入、普及、练习和实践的过程中，可以帮助学生更好地了解算法及其应用，提高学生的计算机科学素养，为未来的学习和工作打下基础。

第一章算法初步1.3 算法案例第1课时（李雪）一、教学目标1．核心素养在学习古代数学家解决数学问题的方法的过程中培养严谨的逻辑思维能力，在利用算法解决数学问题的过程中培养理性的精神和动手实践的能力．2．学习目标（1）通过求较大的两个数的最大公约数感知其中蕴含的数学原理．（2）理解辗转相除法与更相减损术并进行算法分析．3．学习重点掌握辗转相除法与更相减损术求最大公约数的方法，理解二者的区别与联系．4．学习难点认识并把握辗转相除法程序框图与程序语言．二、教学设计（一）课前设计1．预习任务任务1阅读教材P34－P37，思考：你会求两个较为简单数的最大公约数吗？任务2辗转相除法与更相减损术中蕴含的数学原理是什么？2．预习自测1．有关辗转相除法，下列说法正确的是( )A．它和更相减损术一样是求多项式值的一种方法B．基本步骤是用较大的数m除以较小的数n得到除式m＝nq＋r，直至r<n为止C．基本步骤是用较大的数m除以较小的数n得到除式m＝qn＋r(0≤r<n)，反复进行，直到r＝0为止D．以上说法都错误【解析】：C 由辗转相除法的含义可得，故选C.2．用更相减损术求36与134的最大公约数，第一步为( )A．134－36＝98B．134＝3×36＋26C．先除以2，得到18与67D．134÷36＝3(余26)【解析】：C 利用更相减损术求两个数的最大公约数时，若两个数都是偶数，则首先将两个数都除以2之后再作减法，故选C．（二）课堂设计1．知识回顾（1）最大公因数：两个数的所有公因数中最大的一个数．（2）本课的辗转相除法与更相减损术对于求两数的最大公约数有什么意义？2．问题探究问题探究一如何求两个较大的数的最大公约数？●活动一回顾旧知在初中，我们已经学过求两数的最大公约数，你能求出18与30的最大公约数吗？易知18与30的公约数有：2、3、6，所以18与30的最大公约数是6.我们都是利用找公约数的方法来求最大公约数，如果两个数数比较大而且根据我们的观察又不能得到一些公约数，我们又应该怎样求它们的最大公约数？比如求8251与6105的最大公约数？●活动二突破探索方法分析：8251与6105两数都比较大，而且没有明显的公约数，如能把它们都变小一点，根据已有的知识即可求出最大公约数.8251＝6105×1＋2146显然8251的最大公约数也必是2146的约数，同样6105与2146的公约数也必是8251的约数，所以8251与6105的最大公约数也是6105与2146的最大公约数.以此类推：步骤：8251＝6105×1＋21466105＝2146×2＋18132146＝1813×1＋3331813＝333×5＋148333＝148×2＋37148＝37×4＋0则37为8251与6105的最大公约数.问题探究二什么是辗转相除法与更相减损术，其算法是什么？将上述求两个较大的数的最大公约数的方法推广至一般，以上求最大公约数的方法就是辗转相除法.利用辗转相除法求最大公约数的步骤如下：。

1.3算法案例第三、四课时 秦九韶算法与排序（1）教学目标（a ）知识与技能1.了解秦九韶算法的计算过程，并理解利用秦九韶算法可以减少计算次数提高计算效率的实质。

2.掌握数据排序的原理能使用直接排序法与冒泡排序法给一组数据排序，进而能设计冒泡排序法的程序框图及程序，理解数学算法与计算机算法的区别，理解计算机对数学的辅助作用。

（b ）过程与方法模仿秦九韶计算方法，体会古人计算构思的巧妙。

能根据排序法中的直接插入排序法与冒泡排序法的步骤，了解数学计算转换为计算机计算的途径，从而探究计算机算法与数学算法的区别，体会计算机对数学学习的辅助作用。

（c ）情态与价值通过对秦九韶算法的学习，了解中国古代数学家对数学的贡献，充分认识到我国文化历史的悠久。

通过对排序法的学习，领会数学计算与计算机计算的区别，充分认识信息技术对数学的促进。

（2）教学重难点重点：1.秦九韶算法的特点2.两种排序法的排序步骤及计算机程序设计难点：1.秦九韶算法的先进性理解2.排序法的计算机程序设计（3）学法与教学用具学法：1.探究秦九韶算法对比一般计算方法中计算次数的改变，体会科学的计算。

2.模仿排序法中数字排序的步骤，理解计算机计算的一般步骤，领会数学计算在计算机上实施的要求。

教学用具：电脑，计算器，图形计算器（4）教学设想（一）创设情景，揭示课题我们已经学过了多项式的计算，下面我们计算一下多项式1)(2345+++++=x x x x x x f 当5=x 时的值，并统计所做的计算的种类及计算次数。

根据我们的计算统计可以得出我们共需要10次乘法运算，5次加法运算。

我们把多项式变形为：1)))1(1(1()(2+++++=x x x x x x f 再统计一下计算当5=x 时的值时需要的计算次数，可以得出仅需4次乘法和5次加法运算即可得出结果。

显然少了6次乘法运算。

这种算法就叫秦九韶算法。

（二）研探新知1.秦九韶计算多项式的方法01210123120132211012211)))((())(()()(a a x a x a x a a x a x a x a x a a x a x a x a x a a x a x a x a x a x f n n n n n n n n n n n n n n n n n n n +++++==+++++=+++++=+++++=--------------例1 已知一个5次多项式为8.07.16.25.325)(2345-+-++=x x x x x x f 用秦九韶算法求这个多项式当5=x 时的值。

高中数学算法案例教案
课题：排序算法——冒泡排序
教学目标：
1.了解冒泡排序算法的基本原理及实现过程。

2.掌握冒泡排序算法在实际应用中的应用场景。

3.能够通过编程实现冒泡排序算法。

4.培养学生的逻辑思维能力和编程实践能力。

教学过程：
一、导入新知识（5分钟）
向学生介绍冒泡排序算法的基本原理及实现过程，通过示例演示冒泡排序的排序过程。

二、理论学习（15分钟）
1.讲解冒泡排序算法的原理：比较相邻的元素，如果前一个比后一个大，则交换两个元素
的位置。

2.详细讲解冒泡排序的实现过程，并通过示例展示冒泡排序的排序过程。

三、算法分析（15分钟）
与学生一起分析冒泡排序算法的时间复杂度，引导学生思考如何优化冒泡排序算法的性能。

四、实际操作（20分钟）
1.让学生通过编程实现冒泡排序算法，并让他们自行编写测试用例进行验证。

2.引导学生思考如何改进冒泡排序算法，提高其效率。

五、应用拓展（10分钟）
探讨冒泡排序算法在实际应用中的场景，并引导学生思考如何在实际问题中应用冒泡排序
算法。

六、总结归纳（5分钟）
回顾本节课的主要内容，强调冒泡排序算法的重要性和应用价值。

七、作业布置（5分钟）
布置任务：要求学生练习编写冒泡排序算法，并结合实际问题进行应用。

教学反思：
通过本堂课的教学，学生对冒泡排序算法有了更深刻的理解，通过实际操作提高了他们的编程实践能力，培养了他们的逻辑思维能力。

在未来的教学中，需要更加注重培养学生的实践能力和创新能力，引导学生将所学知识应用到实际问题中。

1.3 算法案例第2课时（李雪）一、教学目标1．核心素养在学习古代数学家解决数学问题的方法的过程中培养严谨的逻辑思维能力，在利用算法解决数学问题的过程中培养理性的精神和动手实践的能力．2．学习目标通过对变形前后的多项式进行计算，进而理解秦九韶算法的数学原理及其意义；3．学习重点掌握秦九韶算法的数学原理及其计算过程，理解它的实质4．学习难点深刻理解秦九韶算法的对多项式计算的意义二、教学设计（一）课前设计1．预习任务任务1阅读教材P37－P39，你可以熟练的求解多项式吗？理解秦九韶算法的原理吗？任务2用不同方法计算多项式，感知二者有什么不同？2．预习自测1. 秦九韶算法是我国南宋数学家秦九韶提出的一种用于计算________的值的方法．【解析】：多项式考查秦九韶算法的定义.2．秦九韶算法与直接计算多项式的值相比有什么优越性？【解析】：秦九韶算法在计算多项式的值时，减少了乘法的运算次数，提高了运算效率．（二）课堂设计1．知识回顾（1）对于一元n次多项式的计算（2）本课的秦九韶算法对于求解多项式有什么意义？2．问题探究问题探究 什么是秦九韶算法？●活动一 回顾旧知在初中，我们已经学过了多项式的计算，下面我们计算一下多项式1)(2345+++++=x x x x x x f 当5=x 时的值，并统计所做的计算的种类及计算次数.当5=x 时，f (x )x x x x x =+++++=+++++=+++++=543254321555551312562512525513906根据我们的计算统计可以得出我们共需要10次乘法运算，5次加法运算. 这是一个这是一个相对复杂的运算过程，有没有简便的方法呢？●活动二 尝试探索我们不妨把多项式变形为：1)))1(1(1()(2+++++=x x x x x x f 再统计一下计算当5=x 时的值时需要的计算次数，可以得出仅需4次乘法和5次加法运算即可得出结果.显然少了6次乘法运算.我们就可以发现，在变形之后再进行计算减少了乘法的运算次数，提高了运算效率●活动三 拓广总结将上述求多项式的方法推广至一般，以上计算多项式的方法就是秦九韶算法. 秦九韶计算多项式的方法：把一个一元n 次多项式改写成如下形式1210123120132211012211)))((())(()()(a a x a x a x a a x a x a x a x a a x a x a x a x a a x a x a x a x a x f n n n n n n n n n n n n n n n n n n n +++++==+++++=+++++=+++++=--------------求多项式的值时，首先计算最内层括号内一次多项式的值，即n n a x a v -+11＝，然后由内向外逐层计算一次多项式的值，即 =n n n n v v v x a ,v x a ,v v x a .---+++12323102…＝＝，这样，求n 次多项式f (x )的值就转化为求n 个一次多项式的值．所以秦九韶算法在计算多项式的值时，减少了乘法的运算次数，提高了运算效率. 例1 用初中的方法和秦九韶算法分别求多项式f (x )＝6x 7＋5x 6＋3x 4＋2x ＋1当x ＝2时的值．解：当x ＝2时，f (x )x x x x =++++=⨯+⨯+⨯+⨯+=++++=7647646532162523222176832048411141秦九韶算法：f (x )＝6x 7＋5x 6＋0·x 5＋3·x 4＋0·x 3＋0·x 2＋2x ＋1＝((((((6x ＋5)x ＋0)x ＋3)x ＋0)x ＋0)x ＋2)x ＋1，v 0＝6，v 1＝6·2＋5＝17，v 2＝v 1·2＋0＝34，v 3＝v 2·2＋3＝71，v 4＝v 3·2＋0＝142，v 5＝v 4·2＋0＝284，v 6＝v 5·2＋2＝570，v 7＝v 6·2＋1＝1 141，∴x ＝2时，f (x )＝1 141.3．课堂总结【知识梳理】①秦九韶算法是一种用于计算一元二次多项式的值的方法，它的特点在于，它通过一次式的反复运算，逐步得到高次多项式的值.具体的说，它将一个n 次多项式的求解问题，归结为重复计算n 个一次式k k n k v v x a --=+1来实现.②用秦九韶算法求多项式的值时，要正确将多项式的形式进行改写．然后依次由内到外计算，当多项式函数中间出现空项时，要以系数为零的齐次项补充． ③秦九韶算法在计算多项式的值时，减少了乘法的运算次数，提高了运算效率.【重难点突破】在秦九韶算法的数学模型中，计算k v 时要用到k v -1的值，若令n v a =0，我们可以得到下面的递推公式：),2,1(10n k a x v v a v k n k k n ⋅⋅⋅=⎩⎨⎧+==--这是一个在秦九韶算法中反复执行的步骤，可以用循环结构来实现.4．随堂检测1．当x ＝0.4时，用秦九韶算法计算f (x )＝3x 6＋4x 5＋5x 4＋6x 3＋7x 2＋8x ＋1的值，需要进行的乘法和加法的次数分别是( )A ．6，6B ．5，6C ．5，5D ．6，5【解析】：A 秦九韶算法中最多需用加法和乘法的次数，由多项式的次数n 可知，故选A.2.利用秦九韶算法求多项式f (x )＝11-5x +3x 2＋7x 3在x ＝23时的值时，下列数中用不到的是（ ）A.164B.3767C.86652D.85169 【解析】：D 由秦九韶算法的运算过程可知：f (x )((x )x )x ,v v v =+-+=⨯+==⨯-==⨯+=12373511723316416423537673767231186652所以选项D 中的值用不到.（三）课后作业基础型自主突破 1.用秦九韶算法计算多项式f (x )＝12＋35x －8x 2＋79x 3＋6x 4＋5x 5＋3x 6在x ＝－4时的值时，v 3的值为________．【解析】：－57 将多项式按降幂排列得f (x )＝3x 6＋5x 5＋6x 4＋79x 3－8x 2＋35x ＋12，所以v 0＝3，v 1＝v 0x ＋5，v 2＝v 1x ＋6，v 3＝v 2x ＋79，逐层代入可得v 3＝－57.2.用秦九韶算法计算f (x )＝3x 4＋2x 2＋x ＋4当x ＝10时的值的过程中，v 1的值为________．【解析】：30 改写多项式为f (x )＝(((3x ＋0)x ＋2)x ＋1)x ＋4.则v 0＝3，v 1＝3×10＋0＝30.3.用秦九韶算法求多项式f (x )＝7x 7＋6x 6＋5x 5＋4x 4＋3x 3＋2x 2＋x 的值，当x ＝3时，v3的值为( )A．27 B．86 C．262 D．789【解析】：C 多项式变形为：f(x)＝((((((7x＋6)x＋5)x＋4) x＋3)x＋2)x＋1)x，v0＝7，v1＝7×3＋6＝27，v2＝27×3＋5＝86，v3＝86×3＋4＝262.故选C.4.已知f(x)＝x5＋2x3＋3x2＋x＋1，应用秦九韶算法计算x＝3时的值时，v3的值为( )A．27 B．11 C．109 D．36【解析】：D将函数式化成如下形式．f(x)＝((((x＋0)x＋2)x＋3)x＋1)x＋1，由内向外依次计算：v0＝1，v1＝1×3＋0＝3，v2＝3×3＋2＝11，v3＝11×3＋3＝36.故选D.5.已知函数f(x)＝x3－2x2－5x＋6，用秦九韶算法，则f(10)＝________.【解析】：756 f(x)＝x3－2x2－5x＋6＝(x2－2x－5)x＋6＝((x－2)x－5)x＋6.当x ＝10时，f(10)＝((10－2)×10－5)×10＋6＝(8×10－5)×10＋6＝75×10＋6＝756. 6.用秦九韶算法求函数f(x)＝1＋2x＋x2－3x3＋2x4，当x＝－1时的值时，v2的结果是________．【解析】：6 此题的n＝4，a4＝2，a3＝－3，a2＝1，a1＝2，a0＝1，由秦九韶算法的递推关系式(k＝1，2，…，n)，得v1＝v0x＋a3＝2×(－1)－3＝－5，v2＝v1x ＋a2＝－5×(－1)＋1＝6.能力型师生共研7.当x＝9时，用秦九韶算法计算f(x)＝12x6＋5x5＋8x4＋11x3＋18x2＋52x＋99的值，需要进行的乘法和加法的次数分别是( )A．12，12 B．6，7 C．21，6 D．6，6【解析】D f(x)＝(((((12x＋5)x＋8)x＋11)x＋18)x＋52)x＋99，所以需要6次乘法运算和6次加法运算.故选D.8.用秦九韶算法求多项式f(x)＝7x6＋6x5＋3x2＋2当x＝4时的值时，先算的是( ) A．4×4＝16 B．7×4＝28 C．4×4×4＝64 D．7×4＋6＝34 【解析】D 因为f(x)＝a n x n＋a n－1x n－1＋…＋a1x＋a0＝(…((a n x＋a n－1)x＋a n－2)x ＋…＋a1)x＋a0，所以用秦九韶算法求多项式f(x)＝7x6＋6x5＋3x2＋2当x＝4时的值时，先算的是7×4＋6＝34.故选D.9.用秦九韶算法求一元n次多项式f(x)＝a n x n＋a n－1x n－1＋…＋a1x＋a0当x＝x0时的值时，一个反复执行的步骤是( )[注：k ＝1，2，…，n ]A.0010k k n k v a v v x a --=⎧⎨=+⎩B.010n kk n k v a v v x a --=⎧⎨=+⎩ C.010n k k k v a v v x a -=⎧⎨=+⎩ D.0010k k kv a v v x a -=⎧⎨=+⎩ 【解析】B 由秦九韶算法的执行过程可知选B.10.已知多项式f (x )＝3x 5＋9x 4＋x 3＋kx 2＋4x ＋11，当x ＝3时的值为1616，则k ＝________.【解析】12 f (x )＝((((3x ＋9)x ＋1)x ＋k )x ＋4)x ＋11，f (3)＝((((3×3＋9) ×3＋1) ×3＋k ) ×3＋4)×3＋11＝1616，∴k ＝12.探究型多维突破11.利用秦九韶算法判断方程x 5＋x 3＋x 2－1＝0在[0，2]上是否存在实根.【解析】利用秦九韶算法求出当x ＝0及x ＝2时，f (x )＝x 5＋x 3＋x 2－1的值. f (x )＝x 5＋x 3＋x 2－1可改写成如下形式：f (x )＝((((x ＋0)x ＋1)x ＋1)x ＋0)x －1. 当x ＝0时，v 0＝1，v 1＝0，v 2＝1，v 3＝1，v 4＝0，v 5＝－1，即f (0)＝－1. 当x ＝2时，v 0＝1，v 1＝2，v 2＝5，v 3＝11，v 4＝22，v 5＝43，即f (2)＝43.由f (0)f (2)<0知f (x )在[0，2]上存在零点，即方程x 5＋x 3＋x 2－1＝0在[0，2]上存在实根．12.用秦九韶算法求多项式f (x )＝1－5x －8x 2＋10x 3＋6x 4＋12x 5＋3x 6，当x ＝－4时，值v 0、v 1、v 2、v 3、v 4中最大值与最小值的差是________．【解析】：62 多项式变形为f (x )＝3x 6＋12x 5＋6x 4＋10x 3－8x 2－5x ＋1＝(((((3x ＋12)x ＋6)x ＋10)x －8)x －5)x ＋1，v 0＝3，v 1＝3×(－4)＋12＝0，v 2＝0×(－4)＋6＝6，v 3＝6×(－4)＋10＝－14，v 4＝－14×(－4)－8＝48，所以v 4最大，v 3最小，所以v 4－v 3＝48＋14＝62.自助餐1.用秦九韶算法计算多项式f (x )＝x 5＋2x 4＋3x 3＋4x 2＋5x ＋6在x ＝5时需要进行的乘法和加法的次数分别是( )A．6，6 B．5，6 C．5，5 D．6，5【解析】：C 秦九韶算法中最多需用加法和乘法的次数，由多项式的次数n可知，故选C.2.用秦九韶算法计算多项式f(x)＝12＋35x－8x2＋6x4＋5x5＋3x6，在x＝－4时的值时，v3的值为( )A．－144 B．－136 C．－57 D．34【解析】： B 根据秦九韶算法，把多项式变形为f(x)＝(((((3x+5)x+6)x+0)x+8)x+35)x+123.利用秦九韶算法计算f(x)＝x5＋2x4＋3x3＋4x2＋5x＋6在x＝5时的值为( ) A．4881B．220C．975D．4818【解析】：A 依据秦九韶算法，把多项式改写为f(x)＝((((x＋2)x＋3)x＋4)x＋5)x ＋6.按照从内到外的顺序，依次计算x＝5时的值：v0＝1；v1＝1×5＋2＝7；v2＝7×5＋3＝38；v3＝38×5＋4＝194；v4＝194×5＋5＝975；v5＝975×5＋6＝4 881.故f(5)＝4 881. 故选A.4.用秦九韶算法求多项式f(x)＝2x4－6x3－5x2＋4x－6在x＝5时的值．【解析】：389 由于f(x)＝2x4－6x3－5x2＋4x－6＝(((2x－6)x－5)x＋4)x－6.根据秦九韶算法，v0＝2，v1＝2x－6＝2×5－6＝4，v2＝4x－5＝4×5－5＝15，v3＝15x＋4＝15×5＋4＝79，v4＝79x－6＝79×5－6＝389.5.用秦九韶算法求多项式f(x)＝8x7＋5x6＋3x4＋2x＋1当x＝2时的值．【解析】：1397 根据秦九韶算法，把多项式改写成如下形式：f(x)＝8x7＋5x6＋0·x5＋3·x4＋0·x3＋0·x2＋2x＋1＝((((((8x＋5)x＋0)x＋3)x＋0)x＋0)x＋2)x＋1.而x＝2，所以有v0＝8，v1＝8×2＋5＝21，v2＝21×2＋0＝42，v3＝42×2＋3＝87，v4＝87×2＋0＝174，v5＝174×2＋0＝348，v6＝348×2＋2＝698，v7＝698×2＋1＝1 397.所以当x＝2时，多项式的值为1 397.6.已知一个五次多项式为f(x)＝5x5＋2x4＋3.5x3－2.6x2＋1.7x－0.8用秦九韶算法求这个多项式当x＝5的值．【解析】：17255.2 将多项式变形：f(x)＝((((5x＋2)x＋3.5)x－2.6)x＋1.7)x－0.8按由里到外的顺序，依此计算一次多项式当x＝5时的值：v0＝5，v1＝5×5＋2＝27，v2＝27×5＋3.5＝138.5，v3＝138.5×5－2.6＝689.9，v4＝689.9×5＋1.7＝3 451.2，v5＝3 451.2×5－0.8＝17 255.2，所以，当x＝5时，多项式的值等于17 255.2.。

高中数学《算法初步复习课》教案新人教版必修一、教学目标：1. 知识与技能：使学生掌握算法的基本概念和常见的算法思想，能够熟练运用基本的算法解决问题。

2. 过程与方法：通过复习和练习，提高学生运用算法解决问题的能力，培养学生的逻辑思维和抽象思维能力。

3. 情感态度与价值观：激发学生对数学算法的学习兴趣，培养学生的耐心和细心，提高学生解决问题的自信心。

二、教学重难点：1. 教学重点：算法的基本概念，常见的算法思想。

2. 教学难点：算法的设计和分析，运用算法解决问题的能力。

三、教学过程：1. 回顾与导入：教师简要回顾上节课的内容，引导学生复习算法的基本概念和常见的算法思想。

2. 案例讲解：教师通过讲解一些典型的算法案例，让学生加深对算法概念的理解，并学会运用算法解决问题。

3. 自主练习：学生自主完成一些算法题目，巩固所学知识，提高运用算法解决问题的能力。

4. 讨论与交流：学生分组讨论，分享自己的解题思路和经验，互相学习和借鉴。

5. 总结与反思：教师引导学生总结节课的收获和不足，鼓励学生思考如何改进和提高自己的算法能力。

四、教学评价：1. 课堂参与度：观察学生在课堂上的积极参与程度和表现，以及与同学的合作情况。

2. 练习成果：检查学生完成的练习题目，评估学生的算法理解和运用能力。

3. 讨论与交流：评价学生在讨论和交流中的表现，鼓励学生的思考和创新。

五、课后作业：1. 完成教材上的相关练习题目。

2. 选择一些算法题目进行深入研究和尝试，提高自己的算法能力。

3. 思考和总结自己在算法学习中的优点和不足，制定提高算法的计划和目标。

六、教学策略：1. 实例演示：通过具体的算法案例，让学生直观地理解算法的步骤和思想。

2. 问题驱动：设计一些具有挑战性的问题，激发学生的思考和探索欲望。

3. 循序渐进：从简单的算法开始，逐步增加难度，让学生逐步掌握算法的精髓。

4. 互动教学：鼓励学生提问和发表见解，促进师生之间的互动和交流。

教学对象：高中一年级学生教学目标：1. 知识与技能：理解并掌握高中常用的算法，如排序算法、查找算法等。

2. 过程与方法：通过实例分析和编程实践，培养学生的逻辑思维能力和算法设计能力。

3. 情感态度与价值观：激发学生对算法学习的兴趣，培养学生严谨的学术态度。

教学重点：1. 掌握常用的算法概念和原理。

2. 能够运用算法解决实际问题。

教学难点：1. 算法复杂度的分析。

2. 算法的优化。

教学准备：1. 教学课件2. 编程环境（如Python、Java等）3. 练习题教学过程：一、导入1. 通过生活中的实例引入算法的概念，如排序、查找等。

2. 引导学生思考算法在实际生活中的应用。

二、新课讲解1. 排序算法：a. 介绍冒泡排序、选择排序、插入排序等基本排序算法；b. 分析算法的时间复杂度和空间复杂度；c. 通过实例演示算法的运行过程。

2. 查找算法：a. 介绍顺序查找、二分查找等基本查找算法；b. 分析算法的时间复杂度和空间复杂度；c. 通过实例演示算法的运行过程。

三、实例分析1. 选择一个实际问题，如学生成绩排序、商品查找等，引导学生分析问题并设计算法；2. 学生分组讨论，每组设计一种算法，并进行分析比较；3. 教师点评并总结，强调算法优化的重要性。

四、编程实践1. 学生根据所学算法，在编程环境中实现排序和查找功能；2. 学生之间互相交流，分享自己的编程经验；3. 教师点评学生的编程作品，指出优点和不足。

五、课堂小结1. 总结本节课所学内容，强调算法在实际生活中的应用；2. 引导学生思考如何优化算法，提高算法效率。

六、作业布置1. 完成课后习题，巩固所学知识；2. 选择一个实际问题，设计并实现一个算法。

教学反思：1. 关注学生的学习情况，及时调整教学策略；2. 注重培养学生的编程能力和逻辑思维能力；3. 引导学生将所学算法应用于实际问题，提高学生的实践能力；4. 激发学生对算法学习的兴趣，培养学生的创新精神。

高一数学第一课时算法的含义教案教学目标：1.通过实例体会算法思想，了解算法的含义与主要特点；2.能按步骤用自然语言写出简单问题的算法过程学；3.培养学生逻辑思维能力与表达能力.教学重点：将问题的解决过程用自然语言表示为算法过程．教学难点：用自然语言描述算法．教学过程一．序言算法不仅是数学及其应用的重要组成部分，也是计算机理论和技术的核心．在现代社会里，计算机已经成为人们日常生活和工作不可缺少的工具．听音乐、看电影、玩游戏、打字、画卡通画、处理数据，计算机几乎渗透到了人们生活的所有领域．那么，计算机是怎样工作的呢？要想弄清楚这个问题，算法的学习是一个开始．同时，算法有利于发展有条理的思考与表达的能力，提高逻辑思维能力．在以前的学习中，虽然没有出现算法这个名词，但实际上在数学教学中已经渗透了大量的算法思想，如四则运算的过程、求解方程的步骤等等，完成这些工作都需要一系列程序化的步骤，这就是算法的思想．阅读教材第4页．二．问题情境1．情境：介绍猜数游戏（见教材第5页）．2．问题：解决这一问题有哪些策略，哪一种较好？三．学生活动学生容易说出“二分法策略”，教师要引导学生进行算法化（按步骤）的表达． 说明：以上过程实际上是按一种机械的程序进行的一系列操作．四．建构数学在解决某些问题时，需要设计出一系列可操作或可计算的步骤，通过实施这些步骤来解决问题，通常把这些步骤称为解决这些问题的算法．1．广义的算法——某一工作的方法和步骤，例如：歌谱是一首歌曲的算法，空调说明书是空调使用的算法．在数学中，现代意义上的“算法”通常是指可以用计算机来解决的某一类问题的程序．2．本章主要讨论的算法（计算机能够实现的算法）——对一类问题的机械的、统一的求解方法．例如：解方程（组）的算法，函数求值的算法，作图问题的算法等．3．本节采用自然语言来描述算法．五．数学运用1．算法描述举例例1．给出求1+2+3+4+5的一个算法．解： 算法1 按照逐一相加的程序进行．第一步：计算1+2，得到3；第二步：将第一步中的运算结果3与3相加，得到6；第三步：将第二步中的运算结果6与4相加，得到10；第四步：将第三步中的运算结果10与5相加，得到15．算法2 运用公式123n ++++= 2)1(+n n 直接计算． 第一步：取n =5；第二步：计算2)1(+n n ； 第三步：输出运算结果．算法3 用循环方法求和．第一步：使1S =，；第二步：使2I =；第三步：使S S I =+；第四步：使1I I =+；第五步：如果5I ≤，则返回第三步，否则输出S ．说明：①一个问题的算法可能不唯一．②若将本例改为“给出求123100++++ 的一个算法”，则上述算法2和算法3 表达较为方便．例2．给出求解方程组274511x y x y +=⎧⎨+=⎩的一个算法．分析：解线性方程组的常用方法是加减消元法和代入消元法，这两种方法没有本质的差别，为了适用于解一般的线性方程组，以便于在计算机上实现，我们用高斯消元法（即先将方程组化为一个三角形方程组，在通过回代过程求出方程组的解）解线性方程组． 解：用消元法解这个方程组，步骤是：第一步：方程①不动，将方程②中x 的系数除以方程①中x 的系数，得到乘数422m ==； 第二步：方程②减去m 乘以方程①，消去方程②中的x 项，得到 2733x y y +=⎧⎨=-⎩； 第三步：将上面的方程组自下而上回代求解，得到1y =-，4x =．所以原方程组的解为41x y =⎧⎨=-⎩．说明：（1）．从例1、例2可以看出，算法具有两个主要特点：①有限性：一个算法在执行有限个步骤后必须结束．“有限性”往往指在合理的范围之内，如果让计算机执行一个历时1000年才结束的算法，这虽然是有限的，但超过了合理的限度，人们也不把它视作有效算法．“合理限度”一般由人们的常识和需要以及计算机的性能而定．②确定性：算法的每一个步骤和次序应当是确定的．例如，一个健身操中一个动作“手举过头顶”，这个步骤就是不确定的、含糊的．是双手都举过头，还是左手或右手？举过头顶多少厘米不同的人可以有不同的理解．算法中的每一个步骤不应产生歧义，而应当是明确无误的．（2）．一般来说，算法应有一个或多个输出，算法的目的是为了求解，没有输出的算法是没有意义的．2．练习：课本第6页练习第1、2、3题．练习1答案：第一步 移项得23x =-；第二步 两边同除以2得32x =-． 练习2答案：第一步：使1S =，；第二步：使3I =；第三步：使S S I =⨯；第四步：使2I I =+；第五步：如果7I ≤，则返回第三步，否则输出S ．练习3答案：第一步 计算斜率203(1)AB k -=--； 第二步 用点斜式写出直线方程0(1)AB y k x -=+． 补充：1．一个人带三只狼和三只羚羊过河，只有一条船，同船可以容纳一个人和两只动物．没有人在的时候，如果狼的数量不少于羚羊的数量，狼就会吃掉羚羊．请设计过河的算法．解：算法或步骤如下：S1 人带两只狼过河；S2 人自己返回；S3 人带一只羚羊过河；S4 人带两只狼返回；S5 人带两只羚羊过河；S6 人自己返回；S7 人带两只狼过河；S8 人自己返回；S9 人带一只狼过河．2．写出求111123100++++ 的一个算法． 解：第一步：使1S =，；第二步：使2I =；第三步：使1n I=； 第四步：使S S n =+；第五步：使1I I =+；第六步：如果100I ≤，则返回第三步，否则输出S ． 六．回顾小结1．算法的概念：对一类问题的机械的、统一的求解方法．算法是由基本运算及规定的运算顺序所构成的完整的解题步骤，或者是按照要求设计好的有限的计算序列，并且这样的步骤或序列能解决一类问题．2．算法的重要特征：（1）有限性：一个算法在执行有限步后必须结束；（2）确切性：算法的每一个步骤和次序必须是确定的；（3）输入：一个算法有0个或多个输入，以刻划运算对象的初始条件．所谓0个输入是指算法本身定出了初始条件．（4）输出：一个算法有1个或多个输出，以反映对输入数据加工后的结果．没有输出的算法是毫无意义的．七、课外作业：课本第6页第4题，补充：1． 有A 、B 、C 三个相同规格的玻璃瓶，A 装着酒精，B 装着醋，C 为空瓶，请设计一个算法，把A 、B 瓶中的酒精与醋互换．2．写出解方程0322=--x x 的一个算法．3．已知),(11y x A ，),(22y x B ，写出求直线AB 斜率的一个算法．4．“鸡兔同笼”是我国隋朝时期的数学著作《孙子算经》中的一个有趣而具有深远影响的题目：“今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉兔各几何？”请你先列出解决这个问题的方程组，并设计一个解该方程组的算法．。

§1.3 算法案例一、教材分析在学生学习了算法的初步知识，理解了表示算法的算法步骤、程序框图和程序三种不同方式以后，再结合典型算法案例，让学生经历设计算法解决问题的全过程，体验算法在解决问题中的重要作用，体会算法的基本思想，提高逻辑思维能力，发展有条理地思考与数学表达能力.二、教学目标1、知识与技能（1）理解辗转相除法与更相减损术中蕴含的数学原理，并能根据这些原理进行算法分析。

（2）基本能根据算法语句与程序框图的知识设计完整的程序框图并写出算法程序。

（3）了解秦九韶算法的计算过程，并理解利用秦九韶算法可以减少计算次数提高计算效率的实质。

（4）掌握数据排序的原理能使用直接排序法与冒泡排序法给一组数据排序，进而能设计冒泡排序法的程序框图及程序，理解数学算法与计算机算法的区别，理解计算机对数学的辅助作用。

（5）了解各种进位制与十进制之间转换的规律，会利用各种进位制与十进制之间的联系进行各种进位制之间的转换。

2、过程与方法（1）在辗转相除法与更相减损术求最大公约数的学习过程中对比我们常见的约分求公因式的方法，比较它们在算法上的区别，并从程序的学习中体会数学的严谨，领会数学算法计算机处理的结合方式，初步掌握把数学算法转化成计算机语言的一般步骤。

（2）模仿秦九韶计算方法，体会古人计算构思的巧妙。

能根据排序法中的直接插入排序法与冒泡排序法的步骤，了解数学计算转换为计算机计算的途径，从而探究计算机算法与数学算法的区别，体会计算机对数学学习的辅助作用。

（3）学习各种进位制转换成十进制的计算方法，研究十进制转换为各种进位制的除k去余法，并理解其中的数学规律。

3、情态与价值观（1）通过阅读中国古代数学中的算法案例，体会中国古代数学对世界数学发展的贡献。

（2）在学习古代数学家解决数学问题的方法的过程中培养严谨的逻辑思维能力，在利用算法解决数学问题的过程中培养理性的精神和动手实践的能力。

（3）通过对秦九韶算法的学习，了解中国古代数学家对数学的贡献，充分认识到我国文化历史的悠久。

算法的概念（教学设计）——人教A版数学必修3第1章第1节第一课时罗田县骆驼坳中学徐进一、教学内容分析1.教材的地位和作用算法的概念是人教A版数学必修3第一章算法初步第一节的内容：算法初步是课程标准的新增内容，是数学及其应用的重要组成部分，也是计算科学的基础；而算法的概念则是算法初步的奠基石，其重要性不言而喻；学生在前面的学习中，已经接触过算法的实例，算法的概念早已存在于学生的意识之中，并已经在不同场合被不自觉的“实际使用”过，只是没有明确定义而已，故此时引入概念可谓水到渠成，教师的责任就是为学生建立概念、疏通渠道，让学生借助已有的大量经验提炼出算法的概念并认识其特点；然后再依据算法的概念和特点来设计一个具体的算法，进一步深化对概念的认识；最后通过典型例题的解题步骤提炼出算法的过程，使算法思想得到进一步的升华，这一过程不仅有利于培养学生的思维能力、理性认知和实践的能力，也有利于学生理解构造性数学，从而培养其数学应用意识。

本节是起始课，不仅应让学生体会概念，认识到这一概念的重要性，还要为进一步的学习程序框图、算法的基本结构和语句奠定基础，而且算法思想是逻辑数学最重要的体现形式，这一切都决定了本节课的重要地位。

2.学情分析知识结构：学生在以前的学习和生活中已经认识过大量的算法实例，本节课就是在此基础上使学生进一步理解和提炼算法的概念，体会算法的思想。

心里特征：高二的学生已经具备了分辨是非的能力，高度的语言概括能力，能够从具体问题中去体会和提炼重要数学思想。

3.教学重点与难点重点：理解算法的概念及其特点，体会算法思想，能用自然语言描述算法。

难点：根据算法实例抽象概括算法的概念和特点：依据概念设计算法。

关键：算法思想的渗透。

二、教学目标分析秉承以人为本的教学理念，遵照发挥学生主动性，使学生成为课堂的主体的教学原则，遵循学生的认知规律，让学生通过回顾已有的数学经验，概括出算法的概念，并通过对算法特点的研究、设计算法的过程，进一步深化对概念的认识。

1. 3算法案例【教学目标】：1.理解辗转相除法与更相减损术中蕴含的数学原理，并能根据这些原理进行算法分析。

2.基本能根据算法语句与程序框图的知识设计完整的程序框图并写出算法程序。

【教学重难点】：重点：理解辗转相除法与更相减损术求最大公约数的方法。

难点：把辗转相除法与更相减损术的方法转换成程序框图与程序语言。

【教学过程】：情境导入：1.教师首先提出问题：在初中，我们已经学过求最大公约数的知识，你能求出18与30的公约数吗？2.接着教师进一步提出问题，我们都是利用找公约数的方法来求最大公约数，如果公约数比较大而且根据我们的观察又不能得到一些公约数，我们又应该怎样求它们的最大公约数？比如求8251与6105的最大公约数？这就是我们这一堂课所要探讨的内容。

新知探究：1.辗转相除法例1 求两个正数8251和6105的最大公约数。

（分析：8251与6105两数都比较大，而且没有明显的公约数，如能把它们都变小一点，根据已有的知识即可求出最大公约数）解：8251＝6105×1＋2146显然8251的最大公约数也必是2146的约数，同样6105与2146的公约数也必是8251的约数，所以8251与6105的最大公约数也是6105与2146的最大公约数。

6105＝2146×2＋18132146＝1813×1＋3331813＝333×5＋148333＝148×2＋37148＝37×4＋0则37为8251与6105的最大公约数。

以上我们求最大公约数的方法就是辗转相除法。

也叫欧几里德算法，它是由欧几里德在公元前300年左右首先提出的。

利用辗转相除法求最大公约数的步骤如下：第一步：用较大的数m除以较小的数n得到一个商q0和一个余数r0；第二步：若r0＝0，则n为m，n的最大公约数；若r0≠0，则用除数n除以余数r0得到一个商q1和一个余数r1；第三步：若r1＝0，则r1为m，n的最大公约数；若r1≠0，则用除数r0除以余数r1得到一个商q2和一个余数r2；……依次计算直至r n＝0，此时所得到的r n-1即为所求的最大公约数。

第一章算法初步一、课标要求：1、本章的课标要求包括算法的含义、程序框图、基本算法语句，通过阅读中国古代教学中的算法案例，体会中国古代数学世界数学发展的贡献。

2、算法就是解决问题的步骤，算法也是数学及其应用的重要组成部分，是计算机科学的基础，利用计算机解决问需要算法，在日常生活中做任何事情也都有算法，当然我们更关心的是计算机的算法，计算机可以解决多类信息处理问题，但人们必须事先用计算机熟悉的语言，也就是计算能够理解的语言（即程序设计语言）来详细描述解决问题的步骤，即首先设计程序，对稍复杂一些的问题，直接写出解决该问题的程序是困难的，因此，我们要首先研究解决问题的算法，再把算法转化为程序，所以算法设计是使用计算机解决具体问题的一个极为重要的环节。

3、通过对解决具体问题的过程与步骤的分析（如二元一次方程组的求解等问题），体会算法的思想，了解算法的含义。

理解程序框图的三种基本逻辑结构：顺序结构、条件结构、循环结构。

理解并掌握几种基本的算法语句——输入语句、输出语句、赋值语句、条件语句、循环语句。

进一步体会算法的基本思想。

4、本章的重点是体会算法的思想，了解算法的含义，通过模仿、操作、探索，经过通过设计程序框图解决问题的过程。

点是在具体问题的解决过程中，理解三种基本逻辑结构，经历将具体问题的程序框图转化为程序语句的过程，理解几种基本的算法语句。

二、编写意图与特色：算法是数学及其应用的重要组成部分，是计算科学的重要基础。

随着现代信息技术飞速发展，算法在科学技术、社会发展中发挥着越来越大的作用，并日益融入社会生活的许多方面，算法思想已经成为现代人应具备的一种数学素养。

需要特别指出的是，中国古代数学中蕴涵了丰富的算法思想。

在本模块中，学生将在义务教育阶段初步感受算法思想的基础上，结合对具体数学实例的分析，体验程序框图在解决问题中的作用；通过模仿、操作、探索，学习设计程序框图表达解决问题的过程；体会算法的基本思想以及算法的重要性和有效性，发展有条理的思考与表达的能力，提高逻辑思维能力。