坐标系及直角坐标与极坐标间的互化 ppt课件

04
极坐标与直角坐标的互化
极坐标与直角坐标的转换公式
极坐标系中的位置由两个角度和半径确定，其中角度以极轴为0度，顺时针增加角度，而半径从极轴的 长度开始。
直角坐标系中，点的位置由x和y坐标确定，其中x轴沿水平方向，y轴沿垂直方向。
极坐标与直角坐标之间的转换公式为：x = rcos(θ)，y = rsin(θ)，其中(r, θ)为极坐标系中的坐标，(x, y) 为直角坐标系中的坐标。
03
直角坐标系
直角坐标系的基本概念
定义
01
直角坐标系是一个二维坐标系统，其中点被定义为一对数值，
称为坐标。
坐标轴
02
在直角坐标系中，垂直相交的两条数轴称为坐标轴。
象限
03
在直角坐标系中，将平面分为四个象限，每个象限都包括一个
坐标轴和原点。
直角坐标系中的点和弧长
点
在直角坐标系中，每个点都有一个唯一 的坐标值，可以通过水平和垂直轴上的 刻度来测量。
在极坐标系中，一条曲线可以由其上面的一系列点来定义，这些点满足某个极坐标方程。弧长可以由这些点的极 径和极角计算出来。
极坐标系中的曲线方程
极坐标系中的曲线方程
在极坐标系中，曲线的形状由极径和极角的函数关系来定义，这种函数关系就是曲线在该坐标系下的 方程。
常见的极坐标系中的曲线方程
例如，圆形、椭圆形、心形等曲线的极坐标方程都有各自的形式。
03
极坐标系和直角坐标系之间的 转换是一个非常重要的数学技 能，也是解决许多实际问题的 基础。
课程知识点概述
极坐标系与直角坐标系之间的转换公式 极坐标系与直角坐标系在实际问题中的应用
极坐标系与直角坐标系的定义和性质
如何使用转换公式进行极坐标系与直角坐标系之间的转 换

y＝ρsin θ＝4sin(－1π2)＝－4sin1π2＝ 2－ 6.
∴点的极坐标(4，－1π2)化为直角坐标为( 2＋ 6， 2－
6)．
1．点的极坐标与直角坐标的互化公式的三个前提条件： ①极点与直角坐标系的原点重合；②极轴与直角坐标系的 x 轴的正半轴重合；③两种坐标系的长度单位相同．
2．将点的极坐标(ρ，θ)化为点的直角坐标(x，y)时，运 用到求角 θ 的正弦值和余弦值，熟练掌握特殊角的三角函数 值，灵活运用三角恒等变换公式是关键．
下表：
点 M 直角坐标(x，y) 极坐标(ρ，θ)
互化公式
x＝ρcos θ y＝ ρsin θ
ρ2＝ x2＋y2 tan θ＝xy(x≠0)
在一般情况下，由 tan θ 确定角时，可根据点 M 所在的
象限取最小正角．
1．联系点的极坐标与直角坐标的互化公式的纽带是什 么？
【提示】 任意角的三角函数的定义及其基本关系式是 联系点的极坐标与直角坐标的互化公式的纽带．事实上，若 ρ＞0，sin θ＝ρy，cos θ＝ρx，所以 x＝ρcos θ，y＝ρsin θ，ρ2＝ |OM|2＝x2＋y2，tan θ＝xy(x≠0)．
① ②
①＋②并化简得 ρ2＝12， 由于 ρ>0，解得 ρ＝2 3， 再代入①得 cos(θ－π4)＝0， ∴θ－4π＝π2＋kπ，k∈Z， ∴θ＝34π＋kπ，k∈Z， 由于 0≤θ<2π，令 k＝0,1 分别得 θ＝34π或74π， ∴点 C 的极坐标为(2 3，34π)或(2 3，74π)．
设点 C 的直角坐标为(x，y)，由于△ABC 为等边三角形，
故有|BC|＝|AC|＝|AB|.
∴(x＋ 2)2＋(y＋ 2)2
＝(x－ 2)2＋(y－ 2)2

极坐标和直角坐标的互化
如图所示，平面内的一个点既可以用直角坐标表示，也可 以用极坐标表示，如果平面内的一个点的直角坐标是 M(1， 3)．
那么这个点的极坐标是什么样的呢？
点的极坐标和直角坐标的互化 (1)互化背景：把直角坐标系的原点作为___极__点__，x轴的正 半轴作为_极__轴__，并在两种坐标系中取相同的长__度__单__位___，如图 所示．
76π＝－ 76π＝－1
3
故 A 的直角坐标为(－ 3，－1)． 答案： C
2．已知点A的极坐标为(2，－2)，则点A在( )
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
解析： ∵－π<－2<－π2，
∴－2 为第三象限角，故点 A 在第三象限．
答案： C
3．极坐标为(3，－4)的点到极轴的距离为________． 解析： 由y＝ρsin θ知y＝3×sin(－4)＝－3sin 4 故极坐标为(3，－4)的点到极轴的距离为－3sin 4. 答案： －3sin 4
4．完成下列点的坐标的转化． (1)将极坐标(2,0)化为直角坐标； (2)将直角坐标(－2,0)化为极坐标(ρ>0,0≤θ<2π)． 解析： (1)∵ρ＝2，θ＝0， ∴x＝2cos θ＝2，y＝2sin θ＝0， ∴将极坐标(2,0)化为直角坐标为(2,0)． (2)∵ρ＝ －22＋02＝2，tan θ＝－02＝0， 由于点(－2,0)在 x 轴的非正半轴上，所以 θ＝π， ∴将直角坐标(－2,0)化为极坐标为(2，π)．
在一般情况下，由 tan θ 确定角时，可根据点 M 所在的象
限取最小正角．
1．点 A 的极坐标是2，76π，则点 A 的直角坐标为(

33
2、独到：独具慧眼——风景
教师的教育智慧常常表现在对教材有真知灼见， 能够于平凡中见新奇，发人之所未发，见人之所未 见。他的课如同一首诗、一幅画、一段旋律、一项 发明，是独一无二的创造，学生听这样的课就像是 在独享一片风景。
首创性 独创性
独到的对立面是平庸，平庸的特征是从众。平庸者
只肯定别人肯定的，也只否认别人否认的。至于那些应
练习5 课本P15 第3题
类型四直角坐标方程与极坐标方程的互化
例4、把下列极坐标方 成程 直化 角坐标方程：
(1)2cos 3sin 10 (2) 4sin
思路:将极坐标方程化为直角坐标方程,只要将 ρcos θ，ρsin θ 和ρ2分别替换成 x，y，和x2 +y2再化简即可 ， 有时要方程两边要先乘以ρ才能转化 ；
③ 地图 ④ “合同法” 19
6、绝招：教学特长中的特长
名师常常身怀绝招，绝招使其教学锦上添花， 如虎添翼，叫人赞口不绝。
教师的绝招是教师教学特长中的特长，是对某种 教学技艺的精益求精、千锤百炼，以至达到炉火纯青 的地步，是一种令人叹为观止、甚至望而生畏、无人 相匹的境界
智慧怎么来的：
① 多想出智慧
庸 师：想——我想听到开花的声音。
活泼——河里的水很活泼。
悄悄——我们听不懂小鱼的悄悄话。
丢——上街时，毛毛把爸爸丢了。
爬——牵牛花像个小弟弟，爬在树上。
淘气——风很淘气，把水逗笑了。
类型一 把点的极坐标化为直角坐标
例1.将点M的极坐标
(
5
,
2 3
)化成直角坐标.
练习1将点的极坐标化为直角坐标。
A(4, )
3
D(1,)
B(3, )

则
y
x cos
y
sin
2 x2 y2
tan
y x
(x
0)
ρ
θ
x
y
x
公式与结论
极坐标与直角坐标的互化公式。
公式与结论
极坐标与直角坐标的互化公式。
x cos
y
sin
2 x2 y2
tan
y x
(x
0)
通常情况下，将点的直角坐标, 化为极
坐标时，取 0, 0,
互化公式的三个前提条件：
24
2
半径为 5 的圆。 2
（2）极坐标方程 sin 2 cos所表示的
曲线是
解：将极坐标方程化为直角坐标方程即可判断
曲线的形状，因为给定的不恒等于零，用同
乘方程的两边得 2＝ sin 2 cos
化成直角坐标方程为x2 y2 y 2x
即(x 1)2 ( y 1 )2 5 这是以点(1, 1 )为圆心，
曲线是
（2）极坐标方程 sin 2 cos所表示的
曲线是
解：将极坐标方程化为直角坐标方程即可判断
曲线的形状，因为给定的不恒等于零，用同
乘方程的两边得 2＝ sin 2 cos
化成直角坐标方程为x2 y2 y 2x
即(x 1)2 ( y 1 )2 5 这是以点(1, 1 )为圆心，
tan y 1 3 ,
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
x 3 3
因为点M在第三象限, 所以
7 .
6
问题解析
(2) 将点M的直角坐标 ( 3,1) 化成极坐标.
解: (2) x2 y2 ( 3)2 (1)2 2
tan y 1 3 ,
x 3 3

例1 把下列点的极坐标化成直角坐标：
A 2, 3
4
B 4,14
3
C 5, D 3,
6
分析
x 5 cos 5 3
6
2
y 5sin 5
6
2
（ ， （2k 1） ) （，）
cos( （2k 1） ) cos sin( （2k 1） ) sin
思路:利用x=ρcosθ, y=ρsinθ计算
笛卡尔法国著名哲学家、 物理学家、数学家、神 学家。他对现代数学的 发展做出了重要的贡献， 因将几何坐标体系公式 化而被认为是解析几何
之父。
r=a（1-sinθ）
平面内的一个点既可以用直角坐
标表示，也可以用极坐标表示
？ y
x M x, y
?
M ,
y
o
x
Oo
xx
平面直角坐标系
平面极坐标系
2.2点的极坐标与直角坐标的互化
互化前提:把直角坐标系的原点作为极点，
x轴的正半轴作为极轴，并在两种坐标系
中取相同的长度单位。 0, 0,2
y
M x, y
M ,
y
o
x
x
思考1 平面内的一个点的直角坐标是A(1, 1),则该
点极坐标为____2_, 4_
思考2 平面内的一个点的极坐标B(2, )则该点直
角坐标为____3_,1_
3
3
则 AB ____,SAOB _____.
1.极坐标与直角坐标互化的前提
2.点M的直角坐标 (x, y)与极坐标 (ρ,θ)的互化关系
x cos y sin
坐标思想 数形结合
转化与化归
在极坐标系中，已知点A(2, ), B(3, 2 ),