数学建模-微分解法-狗追狼问题
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数
学
建
模
微
分
作
业
烟台大学文经学院
解:设狼在A 点登岛,此时狗在O 点,以OA 为X 轴建立直角坐标系如下:
设t 时刻时,狗到达M 点,其速度1v 分解如上图,则易得2
2
2
1y x v v v +=(1)。
在极坐标下,狗跑到点M (ρ,θ),分解后对应的直角坐标上有:
cos x t ρω=,sin y t ρω=
设狼的角速度为ω,由题意知狼、狗、圆心始终在一条直线上,所以狼与狗的角速度相等,且2
v R
ω=。
分析M 点有:cos sin x dx d v t t dt dt
ρωρωω=
=-(2), sin cos y dy d v t t dt dt
ρ
ωρωω=
=+(3) 将(2)(3)式带入(1)式得2
2
22
1
d v dt ρωρ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭
,
即d dt
ρ
=
解得dt =
两边同乘ω得 2
2
21
ρ
ωρ
ωω-=
v d dt
=
2
2
21ρω
ρ-v
d
=
2
21
2
1
1ρω
ω
ρ
v
v d -
两边积分得
2
21
2
1
1ρω
ω
ρωv
v d dt -
=⎰
⎰
得1arcsin C t v ωθω⎛⎫
+=
⎪⎝⎭
当0=t 时,0ρ= 所以0=C
所以1sin v
ρθω
=(3)
根据 222ρ=+y x (4) ()s i n c o s x y ρθθ+=+(5)
根据(3)(4)(5)得()
2
2
1
sin cos v x y x y a θθω
+=+-
又cos x ρθ
=R v 2
=
ω 所以2
112
2v R v y v y y x ==+ω
算得狗的运动轨迹方程为 22
2
112222v v x y R R v v ⎛⎫⎛⎫+-=
⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭ 则该圆必过圆心,且与X 轴相切,所以狗运动的圆心必在Y 轴。
综上所述有以下三种情况: 第一种:当1222
v R
v <即12v Rv <时,狗追不上狼。
第二种 当1222
v R
v =,即12v Rv =时,狗在B 点追上狼。
第三种:
2
221R
v v >
,即21Rv v >时,狗在C 点追上狼。
狗追击的轨迹方程:22
2
112222v v x y R R v v ⎛⎫⎛⎫+-
= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭。