鲁教版九年级正多边形和圆

专题11 正多边形和圆概念规律重在理解一、正多边形和圆1.正多边形的定义：各边相等，各角也相等的多边形叫做正多边形。

2.正多边形和圆的关系：只要把一个圆分成相等的一些弧，就可以做出这个圆的内接正多边形，这个圆就是这个正多边形的外接圆。

二、正多边形的对称性1.正多边形的轴对称性。

正多边形都是轴对称图形。

一个正n边形共有n条对称轴，每条对称轴都通过正n 边形的中心。

2.正多边形的中心对称性。

边数为偶数的正多边形是中心对称图形，它的对称中心是正多边形的中心。

3.正多边形的画法。

先用量角器或尺规等分圆，再做正多边形。

三、正多边形的性质任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆.(1)正多边形的外接圆和内切圆的公共圆心，叫作正多边形的中心.(2)外接圆的半径叫作正多边形的半径.(3)内切圆的半径叫作正多边形的边心距.(4)正多边形每一条边所对的圆心角，叫做正多边形的中心角.正多边形的每个中心角都等于360n四、正多边形的有关计算(1)正n边形的中心角怎么计算？(2)正n边形的边长a，半径R，边心距r之间有什么关系？(3)边长a，边心距r的正n边形的面积如何计算？特别重要：圆内接正多边形的辅助线(1)连半径，得中心角；(2)作边心距，构造直角三角形.典例解析掌握方法【例题1】(2021贵州贵阳)如图，⊙O与正五边形ABCDE的两边AE，CD相切于A，C两点，则∠AOC的度数是（）A．144°B．130°C．129°D．108°【答案】A【解析】先根据五边形的内角和求∠E＝∠D＝108°，由切线的性质得：∠OAE＝∠OCD＝90°，最后利用五边形的内角和相减可得结论．正五边形的内角＝（5﹣2）×180°÷5＝108°，∴∠E＝∠D＝108°，∵AE、CD分别与⊙O相切于A、C两点，∴∠OAE＝∠OCD＝90°，∴∠AOC＝540°﹣90°﹣90°﹣108°﹣108°＝144°．FA GB HC ID JE是五边形ABCDE的外接圆的切线，则【例题2】（2021南京）如图，,,,,∠+∠+∠+∠+∠=______︒．BAF CBG DCH EDI AEJ【答案】180︒【解析】由切线性质可知切线垂直于半径，所以要求的5个角的和等于5个直角减去五边形的内角和的一半．如图：过圆心连接五边形ABCDE的各顶点，∠+∠+∠+∠+∠则OAB OBC OCD ODE OEA=∠+∠+∠+∠+∠OBA OCB ODC OED OAE1=-⨯︒=︒(52)1802702∴BAF CBG DCH EDI AEJ∠+∠+∠+∠+∠=⨯︒-∠+∠+∠+∠+∠590()OAB OBC OCD ODE OEA=︒-︒450270=︒．180【例题3】如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，若直线PA与⊙O相切于点A，则∠PAB=（）A．30°B．35°C．45°D．60°【答案】A【解析】连接OB，AD，BD，由多边形是正六边形可求出∠AOB的度数，再根据圆周角定理即可求出∠ADB 的度数，利用弦切角定理∠PAB．连接OB，AD，BD，∵多边形ABCDEF是正多边形，∴AD为外接圆的直径，∠AOB==60°，∴∠ADB=∠AOB=×60°=30°．∵直线PA与⊙O相切于点A，∴∠PAB=∠ADB=30°，故选A．23，点P为六边形内任一点．则点P到各边距离之和是【例题4】如图，正六边形ABCDEF的边长为多少？【答案】18【解析】过P作AB的垂线，分别交AB、DE于H、K，连接BD，作CG⊥BD于G.∵六边形ABCDEF是正六边形∴AB∥DE，AF∥CD，BC∥EF，∴P到AF与CD的距离之和，及P到EF、BC的距离之和均为HK的长.∵BC=CD，∠BCD=∠ABC=∠CDE=120°，∴∠CBD=∠BDC=30°，BD∥HK，且BD=HK∵CG⊥BD，∴BD=2BG=2×BC×cos∠CBD=6.∴点P到各边距离之和=3BD=3×6=18．各种题型强化训练一、选择题1．（2021江苏连云港）如图，正方形ABCD内接于⊙O，线段MN在对角线BD上运动，MN＝1，则△AMN 周长的最小值是（）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】B【解析】由正方形的性质，知点C是点A关于BD的对称点，过点C作CA′∥BD，且使CA′＝1，连接AA′交BD于点N，取NM＝1，连接AM、CM，则点M、N为所求点，进而求解．解：⊙O的面积为2π，则圆的半径为＝AC，由正方形的性质，知点C是点A关于BD的对称点，过点C作CA′∥BD，且使CA′＝1，连接AA′交BD于点N，取NM＝1、CM、N为所求点，理由：∵A′C∥MN，且A′C＝MN，则A′N＝CM＝AM，故△AMN的周长＝AM+AN+MN＝AA′+6为最小，则A′A＝＝2，则△AMN的周长的最小值为3+1＝8．2.一元钱硬币的直径约为24mm，则用它能完全覆盖住的正六边形的边长最大不能超过（）A．12mm B．12mm C．6mm D．6mm【答案】A【解析】理解清楚题意，此题实际考查的是一个直径为24mm的圆内接正六边形的边长．已知圆内接半径r为12mm，则OB=12，∴BD=OB•sin30°=12×=6，则BC=2×6=12，可知边长为12mm，就是完全覆盖住的正六边形的边长最大．3.如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，半径为4，则这个正六边形的边心距OM和的长分别为（）A．2， B．2，π C．， D．2，【答案】D【解析】正六边形的边长与外接圆的半径相等，构建直角三角形，利用直角三角形的边角关系即可求出OM，再利用弧长公式求解即可．连接OB，∵OB=4， ∴BM=2， ∴OM=2，==π，故选D ．4．如图，圆内接正六边形的边长为4，以其各边为直径作半圆，则图中阴影部分的面积为（ ）A ．34πB ．1234πC ．2438πD ．34π【答案】A【解析】正六边形的面积加上六个小半圆的面积，再减去中间大圆的面积即可得到结果． 正六边形的面积为：142362432⨯⨯=六个小半圆的面积为：22312ππ⋅⨯=，中间大圆的面积为：2416ππ⋅=， 所以阴影部分的面积为：24312162434πππ+-=-． 二、填空题1.如图是由两个长方形组成的工件平面图（单位：mm ），直线l 是它的对称轴，能完全覆盖这个平面图形的圆面的最小半径是 mm ．【答案】50．【解析】根据已知条件得到CM=30，AN=40，根据勾股定理列方程得到OM=40，由勾股定理得到结论．如图，设圆心为O，连接AO，CO∵直线l是它的对称轴，∴CM=30，AN=40，∵CM2+OM2=AN2+ON2，∴302+OM2=402+（70﹣OM）2，解得：OM=40，∴OC==50，∴能完全覆盖这个平面图形的圆面的最小半径是50mm．2．（2020•徐州）如图，A、B、C、D为一个正多边形的顶点，O为正多边形的中心，若∠ADB＝18°，则这个正多边形的边数为．【答案】10．【解析】连接OA，OB，根据圆周角定理得到∠AOB＝2∠ADB＝36°，于是得到结论．连接OA，OB，∵A、B、C、D为一个正多边形的顶点，O为正多边形的中心，∴点A、B、C、D在以点O为圆心，OA为半径的同一个圆上，∵∠ADB＝18°，∴∠AOB＝2∠ADB＝36°，∴这个正多边形的边数103．（2020•南京）如图，在边长为2cm的正六边形ABCDEF中，点P在BC上，则△PEF的面积为cm2．【答案】2．【解析】连接BF，BE，过点A作AT⊥BF于T，证明S△PEF＝S△BEF，求出△BEF的面积即可．连接BF，BE，过点A作AT⊥BF于T∵ABCDEF是正六边形，∴CB∥EF，AB＝AF，∠BAF＝120°，∴S△PEF＝S△BEF，∵AT⊥BE，AB＝AF，∴BT＝FT，∠BAT＝∠F AT＝60°，∴BT＝FT＝AB•sin60°，∴BF＝2BT＝2，∵∠AFE＝120°，∠AFB＝∠ABF＝30°，∴∠BFE＝90°，∴S△PEF＝S△BEF•EF•BF224．（2020•成都）如图，六边形ABCDEF是正六边形，曲线FA1B1C1D1E1F1…叫做“正六边形的渐开线”，，，，，，，…的圆心依次按A，B，C，D，E，F循环，且每段弧所对的圆心角均为正六边形的一个外角．当AB＝1时，曲线F A1B1C1D1E1F1的长度是．【答案】7π．【解析】利用弧长公式计算即可解决问题．的长，的长，的长，的长，的长，的长，∴曲线F A1B1C1D1E1F1的长度7π，5．（2020•贵阳）如图，△ABC是⊙O的内接正三角形，点O是圆心，点D，E分别在边AC，AB上，若DA＝EB，则∠DOE的度数是度．【答案】120．【分析】连接OA，OB，根据已知条件得到∠AOB＝120°，根据等腰三角形的性质得到∠OAB＝∠OBA＝30°，根据全等三角形的性质得到∠DOA＝∠BOE，于是得到结论．【解析】连接OA，OB，∵△ABC是⊙O的内接正三角形，∴∠AOB＝120°，∵OA＝OB，∴∠OAB＝∠OBA＝30°，∵∠CAB＝60°，∴∠OAD＝30°，∴∠OAD＝∠OBE，∵AD＝BE，∴△OAD≌△OBE（SAS），∴∠DOA＝∠BOE，∴∠DOE＝∠DOA+∠AOE＝∠AOB＝∠AOE+∠BOD＝120°6．如图，在正六边形ABCDEF中，分别以C，F为圆心，以边长为半径作弧，图中阴影部分的面积为24π，则正六边形的边长为_____．【答案】6【解析】根据多边形的内角和公式求出扇形的圆心角，然后按扇形面积公式列方程求解计算即可．∵正六边形的内角是120度，阴影部分的面积为24π，设正六边形的边长为r，∴2120224360rππ⨯⨯=，2224,3rππ∴=236,r∴=解得r＝6．（负根舍去）则正六边形的边长为6．故答案为：6.7．（2020•连云港）如图，正六边形A1A2A3A4A5A6内部有一个正五边形B1B2B3B4B5，且A3A4∥B3B4，直线l经过B2、B3，则直线l与A1A2的夹角α＝°．【答案】48．【分析】延长A1A2交A4A3的延长线于C，设l交A1A2于E、交A4A3于D，由正六边形的性质得出∠A1A2A3＝∠A2A3A4＝120°，得出∠CA2A3＝∠A2A3C＝60°，则∠C＝60°，由正五边形的性质得出∠B2B3B4＝108°，由平行线的性质得出∠EDA4＝∠B2B3B4＝108°，则∠EDC＝72°，再由三角形内角和定理即可得出答案．【解析】延长A1A2交A4A3的延长线于C，设l交A1A2于E、交A4A3于D，如图所示：∵六边形A1A2A3A4A5A6是正六边形，六边形的内角和＝（6﹣2）×180°＝720°，∴∠A1A2A3＝∠A2A3A4120°，∴∠CA2A3＝∠A2A3C＝180°﹣120°＝60°，∴∠C＝180°﹣60°﹣60°＝60°，∵五边形B1B2B3B4B5是正五边形，五边形的内角和＝（5﹣2）×180°＝540°，∴∠B2B3B4108°，∵A3A4∥B3B4，∴∠EDA4＝∠B2B3B4＝108°，∴∠EDC＝180°﹣108°＝72°，∴α＝∠CED＝180°﹣∠C﹣∠EDC＝180°﹣60°﹣72°＝48°。

正多边形与圆1.三角形的内心、外心、重心、垂心(1)三角形的内心：是三角形__________的交点，它是三角形内切圆的圆心，在三角形内部，它到三角形三边的距离相等，通常用“I”表示．(2)三角形的外心：是三角形__________的交点，它是三角形外接圆的圆心，锐角三角形外心在三角形内部，直角三角形的外心是斜边中点，钝角三角形外心在三角形外部，三角形外心到三角形三个顶点的距离相等，通常用O表示．(3)三角形重心：是三角形三边中线的交点，在三角形内部；它到顶点的距离是到对边中点距离的2倍，通常用G表示．(4)垂心：是三角形三边高线的交点．2.三角形的内切圆、外接圆三角形的内切圆：对比三角形的外接圆来学习三角形的内切圆三角形的外接圆：经过三角形三个顶点的圆叫三角形的外接圆三角形外接圆的圆心叫三角形的外心三角形的外心到三角形______________相等三角形的外心是三角形三边中垂线的交点三角形的内切圆：与三角形三边都相切的圆叫三角形的内切圆三角形内切圆的圆心叫三角形的内心三角形的内心到_________的距离相等三角形的内心是三角形三角平分线的交点3.圆内接四边形和外切四边形(1)四个点都在圆上的四边形叫圆的内接四边形，圆内接四边形对角________，外角等于内对角．(2)各边都和圆相切的四边形叫圆外切四边形，圆外切四边形______________．4.正多边形与圆在正多边形的有关计算中，如果分别以αn、a n、r n、R n、P n和S n表示正n(n≥3,n为整数)边形的中心角、边长、边心距、半径、周长和面积，则有：①αn=；②a n=2R n·sin；③r n=R n·cos；④+；⑤P n=na n；⑥S n=P n r n；⑦S n=n sin.（因为一个三角形的面积为：h·OB）注意两点：1.构造直角三角形（弦心距、边长的一半、半径组成的）求线段之间的关系等；2.准确记忆相关公式。

C B A O．第五章 中心对称图形（二）第26课时：正多边形与圆班级 姓名 学号学习目标：1、了解正多边形的概念、正多边形和圆的关系．2、会通过等分圆心角的方法等分圆周，画出所需的正多边形．3、能够用直尺和圆规作图，作出一些特殊的正多边形． 思考探索：问题1：如图,△ABC 内接于⊙O ．(1)若AC 是⊙O 的内接正三角形的一边,AB 是⊙O 内接正方形的一边, 则BC 是⊙O 的内接正 边形的一边; (2) 若AC 是⊙O 的内接正方形的一边,AB 是⊙O 的内接正五边的一边,则BC 是⊙O 的内接正 边形的一边;(3)若AC 是⊙O 的内接正n 边形(3≥n )的一边,AB 是⊙O 的内接正(1+n )边形的一边,则BC 是⊙O的内接正 边形的一边． 练一练：(1)下列多边形中，正多边形的为（ ）A ．各边都相等的多边形B ．有一个角为120°的等边多边形C ．各角都相等的四边形 D.每个角都是108°的等边多边形(2)正多边形的一个外角为15°，则边数为 ；正n 边形的一个内角是156°，则n = ; 正n 边形的一个外角与一个内角的比为1：3,则n = ．(3)试比较图中两个几何图形（一个是正方形，一个是正五边形）的异同，请分别写出它们的一个相同点和不同点：相同点：______________;不同点：____________.问题2： 下图中的正多边形，哪些是轴对称图形？哪些是中心对称图形？哪些既是轴对称图形，又是中心对称图形？如果是轴对称图形，画出它的对称轴；如果是中心对称图形，找出它的对称中心。

练一练：(1)正2006边形对称轴的条数是 （ ）A ．2006B ．2004C ．2005D ．1003(2)在正三角形、正方形、正五边形、正六边形中，其中共有几个是中心对称图形（ ）A ．0个B ．1个C ．2个D ．4问题3：已知⊙O 和⊙O 上的一点A ，如图（1）作⊙O 的内接正方形ABCD 和内接正六边形AEFCGH ；（2）在（1）题的作图中，如果点E 在弧AD 上，试说明：DE 是⊙O 内接正十二边形的一边。

2023-2024学年九年级上数学：第24章圆
24.3
正多边形和圆
正多边形和圆
（1）正多边形与圆的关系
只要把一个圆分成相等的一些弧，就可以作出这个圆的内接正多边形，这个圆就是这个正多边形的外接圆．
一个正多边形的外接圆的圆心叫作这个正多边形的中心，外接圆的半径叫作这个正多边形的半径；正多边形每一边所对的圆心角叫作正多边形的中心角；中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距.
把一个圆分成n（n是大于2的自然数）等份，依次连接各分点所得的多边形是这个圆的内接正多边形，这个圆叫做这个正多边形的外接圆．
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初三数学正多边形和圆知识点
嘿，同学们！今天咱来聊聊初三数学里超有趣的正多边形和圆的知识点呀！
你看，正多边形多有意思啊！就像那蜂巢，一格一格的，那可都是正六边形呢！比如说一个正六边形，它的各边相等，各角也相等。

假如我们画一个正六边形的地砖，那每一条边都是一样长的，每个角也都是一样大的呀，神奇吧！
再来说说圆，圆就像是一个超级包容的大怀抱！任何正多边形都可以和圆产生奇妙的联系呢。

比如说我们在一个圆里画一个正五边形，那这个正五边形的顶点肯定都在这个圆上呀！就好像五个小不点在圆这个大舞台上表演一样！
正多边形的中心角也很重要哦！就像是一场舞蹈里的节拍。

比如一个正八边形，它的中心角就是 360 度除以 8 等于 45 度呢。

这中心角就好像是指挥棒，引领着正多边形的节奏呀！
我觉得吧，正多边形和圆的知识点真的是太好玩啦！能让我们看到好多奇妙的图形组合。

怎么样，是不是很有意思？大家快来好好探索一下吧！
我的观点结论：正多边形和圆的知识点充满趣味和奇妙，值得我们深入研究和好好掌握！。

鲁教版数学九年级下册5.8《正多边形和圆》教学设计一. 教材分析《正多边形和圆》是鲁教版数学九年级下册第五章第八节的内容。

本节内容是在学生已经掌握了圆的基本概念和性质的基础上进行学习的，主要包括正多边形的定义、性质以及正多边形和圆之间的关系。

通过本节内容的学习，使学生能够理解正多边形的概念，掌握正多边形的性质，提高学生的空间想象能力和逻辑思维能力。

二. 学情分析学生在学习本节内容之前，已经掌握了圆的基本概念和性质，具备了一定的空间想象能力和逻辑思维能力。

但部分学生在学习过程中对正多边形的性质和特点理解不够深入，需要在学习过程中加强引导和巩固。

三. 教学目标1.了解正多边形的定义和性质。

2.掌握正多边形和圆之间的关系。

3.提高学生的空间想象能力和逻辑思维能力。

4.培养学生独立思考和合作交流的能力。

四. 教学重难点1.正多边形的定义和性质。

2.正多边形和圆之间的关系。

五. 教学方法1.采用问题驱动法，引导学生独立思考和探索。

2.利用多媒体辅助教学，直观展示正多边形的性质和特点。

3.学生进行合作交流，提高学生的团队协作能力。

4.运用练习法，巩固学生对正多边形和圆的理解。

六. 教学准备1.多媒体教学设备。

2.正多边形的图片和模型。

3.圆的图片和模型。

4.练习题。

七. 教学过程1.导入（5分钟）利用多媒体展示一些生活中的正多边形和圆的图片，如足球、篮球、车轮等，引导学生观察和思考：这些图形有什么共同的特点？它们之间有什么关系？2.呈现（10分钟）介绍正多边形的定义和性质，如正五边形、正六边形等。

通过多媒体展示正多边形的模型，让学生直观地了解正多边形的特点。

3.操练（10分钟）学生进行小组讨论，探讨正多边形和圆之间的关系。

让学生通过观察和思考，发现正多边形和圆之间的内在联系。

4.巩固（10分钟）发放练习题，让学生独立完成。

题目包括判断题、选择题和填空题，以巩固学生对正多边形和圆的理解。

5.拓展（10分钟）引导学生思考：除了正多边形和圆，还有哪些图形具有特殊的性质和关系？如椭圆、双曲线等。

正多边形和圆【学习目标】1．理解正多边形概念，初步掌握正多边形与圆的关系；2．会通过等分圆心角的方法等分圆周，画出所需的正多边形；3．能够用直尺和圆规作图，作出一些特殊的正多边形；4．理解正多边形的中心、半径、边心距、中心角等概念。

【学习重难点】1．重点：正多边形的概念及正多边形与圆的关系。

2．难点：利用直尺与圆规作特殊的正多边形。

【学习过程】一、概念理解（1）概念：各边相等、各角也相等的多边形叫做正多边形。

如果一个正多边形有n（n≥3）条边，就叫正n边形。

等边三角形有三条边叫正三角形，正方形有四条边叫正四边形。

（2）概念理解：①举例，说出自己在日常生活中见过的正多边形。

②矩形是正多边形吗？为什么？菱形是正多边形吗？为什么？问题：正多边形与圆有什么关系呢？什么是正多边形的中心？分析：正三角形三个顶点把圆三等分；正方形的四个顶点把圆四等分。

要将圆五等分，把等分点顺次连结，可得正五边形。

要将圆六等分呢？你知道为什么吗？（3）借助量角器将一个圆分为三等份、四等分、五等分。

二、自主探究1．问题：图中的正多边形，哪些是轴对称图形？哪些是中心对称图形？哪些既是轴对称图形，又是中心对称图形？如是轴对称图形，画出它的对称轴；如是中心对称图形，找出它的对称中心。

（如果一个正多边形是中心对称图形，那么它的中心就是对称中心。

）思考：任何一个正多边形既是轴对称图形，又是中心对称图形吗？跟边数有何关系？2．问题：用直尺和圆规作出正方形，正六多边形。

思考：如何作正三角形、正十二边形？三、拓展学习拓展1：已知：如图，五边形ABCDE内接于⊙O，AB=BC=CD=DE=EA。

求证：五边形ABCDE是正五边形。

拓展2：各内角都相等的圆内接多边形是否为正多边形。

相关概念：正多边形的外接圆（或内切圆）的圆心叫做正多边形的中心，外接圆的半径叫做正多边形的半径，内切圆的半径叫做正多边形的边心距。

正多边形各边所对的外接圆的圆心角都相等。

正多边形每一边所对的外接圆的圆心角叫做正多边形的中心角。

5.8正多边形和圆一、学习目标：1.使学生理解正多边形概念，初步掌握正多边形与圆的关系；2.会通过等分圆心角的方法等分圆周，画出所需的正多边形；3.能够用直尺和圆规作图，作出一些特殊的正多边形；4.理解正多边形的中心、半径、边心距、中心角等概念；5.培养学生对图形美的欣赏能力，让学生到生活中去发现美。

二、知识准备1.在理解感知圆和正多边形的基础上，理解正多边形与圆的关系，会用量角器画正多边形，会用直尺和圆规画特殊的正多边形。

2.通过观察大量的实物图形理解归纳这些图形的共同特征引出正多边形的概念。

三、学习内容（1）概念：各边相等、各角也相等的多边形叫做正多边形．如果一个正多边形有n（n≥3）条边，就叫正n边形．等边三角形有三条边叫正三角形，正方形有四条边叫正四边形。

（2）概念理解：①请同学们举例，自己在日常生活中见过的正多边形．（正三角形、正方形、正六边形，…….）②矩形是正多边形吗？为什么？菱形是正多边形吗？为什么？问题：正多边形与圆有什么关系呢？什么是正多边形的中心？发现：正三角形与正方形都有内切圆和外接圆，并且为同心圆．圆心就是正多边形的中心。

分析：正三角形三个顶点把圆三等分；正方形的四个顶点把圆四等分．要将圆五等分，把等分点顺次连结，可得正五边形．要将圆六等分呢？你知道为什么吗？（3）借助量角器将一个圆分为三等份、四等分、五等分。

问题：图中的正多边形，哪些是轴对称图形？哪些是中心对称图形？哪些既是轴对称图形，又是中心对称图形？如是轴对称图形，画出它的对称轴；如是中心对称图形，找出它的对称中心。

（如果一个正多边形是中心对称图形，那么它的中心就是对称中心。

）思考：任何一个正多边形既是轴对称图形，又是中心对称图形吗？跟边数有何关系？问题：用直尺和圆规作出正方形，正六多边形。

思考：如何作正三角形、正十二边形？拓展1：已知：如图，五边形ABCDE内接于⊙O，AB=BC=CD=DE=EA．求证：五边形ABCDE是正五边形。