第二章_勾股定理与平方根测试

第二章勾股定理与平方根单元测评卷（A）（附答案）（满分：100分时间：60分钟）一、选择题（每题4分，共28分）1．一个直角三角形的两边长分别为6 cm、8 cm，则这个三角形的斜边长为( )A．8 cm B．10 cm C．8 cm或10 cm D．10 cm或cm2．若等腰三角形中相等的两边长为10 cm，第三边长为16 cm，则第三边上的高为( ) A．6 cm B．8 cm C．10 cm D．12 cm3．若三角形的三边长分别为10、24、26，则它最长边上的中线长是( ) A．10 B．11 C．13 D．344．（2010．阜新）国家游泳中心——“水立方”是2008年北京奥运会标志性建筑物之一，其工程占地面积为62 828平方米，将62 828用科学记数法表示是（结果保留3个有效数字）( )A．6.28×103B．6.28×104C．6.282 8×l04D．0.628 28×1055( )A．5个B．4个C．3个D．2个6．如图，在四边形ABCD中，AB＝3 cm，BC＝4 cm，CD＝12 cm，DA＝13 cm，且∠ABC ＝90°，则四边形ABCD的面积是( )A．84 cm2B．36 cm2C．25.5 cm2D．无法确定7．如图，在由16个边长为1的小正方形拼成的图案中，有五条线段PA、PB、PC、PD、PE，其中长度是无理数的有( )A．1条B．2条C．3条D．4条二、填空题（每题4分，共28分）8．－4的绝对值是_______ ．81的平方根是______．9．如图，在数轴上点A和点B之间表示整数的点有_______个．10．如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为7 cm，则A、B．C、D四个正方形的面积之和是______cm2．11．上海世博会的中国建筑外观以“东方之冠，鼎盛中华，天下粮仓，富庶百姓”为构思主题，建筑面积为4. 645 7万平方米，4.645 7保留2个有效数字是______万平方米．12．已知实数a 、b 10b -=，则a 2012＋b 2011＝______．13．如图，A 村到公路l 的距离AB ＝2 km ，C 村到公路l 的距离CD ＝6 km ，且BD ＝6 km现要在公路l 上取一点P ，使AP ＋CP 的值最小，则这个最小值为______．14．如图，△ABC 是直角边长为1的等腰直角三角形，以Rt △ABC 的斜边AC 为直角边，画第二个等腰Rt △ACD ，再以Rt △ACD 的斜边AD 为直角边，画第三个等腰Rt △ADE ，……依此类推，第n 个等腰直角三角形的斜边长是______．三、解答题（共44分）15．（6分）把下列各数填入相应的集合内：－6，0.45，0，2273π- 有理数集合：{ …}；无理数集合：{ …}．16．（6分）求下面各式中x 的值．(1)8－2(x －1)2＝－10；30-．17．（7分）如图，正方形网格中每个小正方形的边长都是1，每个小格的顶点叫做格点，以格点为顶点分别按下面的要求画三角形．(1)在图①中画一个三角形，使它的三边长都是有理数；(2)在图②、图③中分别画一个直角三角形，使它们的三边长都是无理数，且所画的两个三角形不全等．18．（7分）如图，为了求出湖两岸的A、B两点之间的距离，一个观测者在点C设桩，使△ABC恰好为直角三角形，且∠ABC＝90°．通过测量，得到AC长为160米，BC长为128米．问从点A穿过湖到点B有多远？19．（9分）《中华人民共和国道路交通管理条例》规定：小汽车在城市街路上的行驶速度不得超过70 km/h．如图，一辆小汽车在一条城市街路上沿直道CB行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪A点正前方30 m的C点处，过了2s后，测得小汽车与车速检测仪之间的距离AB＝50 m．这辆小汽车超速了吗？20．（9分）如图，折叠长方形的一边AD，使点D落在BC边上的点F处．如果AB＝8 cm，BC＝10 cm，求EC的长．参考答案一、1．C 2．A 3．C 4．B 5．A 6．B 7．C二、8．4 ±9 9．4 10． 49 11．4.6 12．2 13．10 km 14．n三、 15．－6，0.45， 0，227 3π-16．(1)x ＝4或x ＝－2 (2)x ＝5或x ＝117．答案不惟一，(1)如图①所示 (2)如图②、③所示18．从点A 穿过湖到点B 有96米 19．这辆小汽车超速了20．EC 的长为3。

八年级数学(上)第二章勾股定理与平方根第3课时神秘的数组（附答案）1．以下列各组数作为三角形三边的长，不能构成直角三角形的是( ) A．5，12，13 B．7，24，25 C．8，15，17 D．4，6，92．在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，下列说法中正确的个数有( )①如果∠B－∠C=∠A，则△ABC是直角三角形；②如果c2=b2－a2，则△ABC是直角三角形，且∠C=90°；③如果(c+a)(c一a)= b2，则△ABC是直角三角形；④如果∠A：∠B：∠C =5：2：3，则△ABC是直角三角形．A．1 B．2 C．3 D．43．满足下列条件的三角形中，不是直角三角形的是( ) A．三内角之比为l：2：3 B．三边平方的比为1：2：3C．三边长为41，40，9 D．三边长为10，15，20，4．若3条线段的长a、b、c满足a2－c2=b2，那么这3条线段组成的三角形是_____三角形．5．已知三角形三边长分别为a、b、c，满足等式(a+b)2－c2=2ab．则此三角形是______三角形．6．一个三角形的三边长之比为3：4：5，则这个三角形是__________．7．三角形的最长边为5，最短边为3，要使它成为直角三角形，则第三边边长为________．8．若三角形的三边长分别为a+1，a+2，a+3，则当a=_______时，此三角形为直角三角形．9．以三角形的三边为边长的三个正方形的面积分别为9、16、25，则这个三角形的面积为_______．10．如图所示，每个小方格都是边长为l的正方形，点A、B是方格纸的两个格点(即正方形的顶点)，在这个6×6的方格纸中，找出格点C，使△ABC的面积为1个平方单位的直角三角形的点的个数是___________．11．下列各组数是勾股数吗?为什么?(1)8，15，17；(2)7，12，15；(3)12，15，20；(4)15，20，25．12．如图，在△ABC中，AB=13，AD=5，BC=24，A D⊥BC于点D．试说明△ABC是等腰三角形．13．如果一个三角形的三边a、b、c满足下列条件，判断它是否是直角三角形，并说明理由．(1)a=9，b=40，c=41．(2)a=2x，b=2x，c=3x(其中x>0)．(3)a=n+1，b=n－1，c=n．(4)a=n2－1，b=2n，c=n2+1(n为大于l的整数)．14．如下表所示，表中所给的每行三个数a、b、c满足a<b<c，则根据表中已有数据的规律，可得当a=20时，b=__________，c=___________．15．如图，在四边形花圃ABCD中，AB=9 m，BC=12 m，CD=20 cm，AD=25 m，∠B=90°．求这个四边形花圃ABCD的面积．16．如图，AD=4，CD=3，∠ADC=90°，AB=13，BC=12．求四边形ABCD的面积．17．如图(1)所示为一上面无盖的正方体纸盒，现将其剪开展成平面图，如图(2)所示，已知展开图中每个正方形的边长为1．试比较立体图中∠BAC与平面展开图中∠B′A′C′的大小关系．参考答案1．D 2．C 3．D4．直角 5．直角 6．直角三角形 7．4 8．2 9．6 10．6 11．(1)、(4)是勾股数12．在R t △ABD 中，∵BD 2=AB 2－AD 2=144，∴BD=12．∵BC=24．∴D 为BC 的中点．又∵AD ⊥BC ，∴AB=AC ．∴△ABC 为等腰三角形13．(1)是 (2)不是 (3)当n=4时是，当n ≠4时不是 (4)是 14．99 10115．连接AC ．在Rt △ABC 中．∵AC 2=AB 2+BC 2=225，AD 2=625，CD 2=400．∴AD 2=AC 2+CD 2．∴△ADC 是直角三角形，∠ACD=90°．∴S四边形ABCD=12×9×12+12×15×20=204(m 2) 16．连接AC ．∵CD ⊥AD ，AD=4，CD=30．∴AC=5．∵AB=13，BC=12，又∵52+122=132．∴AC 2+BC 2=AB 2．∴△ABC 为直角三角形．∴四边形ABCD 的面积为S四边形ABCD=12AC BC －12AD CD=24 17．∠BAC=∠B ′A ′C ′。

-343210-1-2DC B O A 八年级数学练习班级 姓名 得分一、选择题：（每题3分，共24分）1．16的平方根是A.4 B ．±4 C.256 D ．±256 2、下列说法正确的是（ ）．A 、81-的平方根是9±B 、任何数的平方是非负数，因而任何数的平方根也是非负C 、任何一个非负数的平方根都不大于这个数D 、2是4的平方根 3 .下列实数722，3，38，4，3π，0.1， 010010001.0-，其中无理数有 A.2个 B.3个 C.4个 D.5个4. 地球七大洲的总面积约是1494800002km ，如对这个数据保留3个有效数字可表示为 A ．1492km B ．1.5×1082km C ．1.49×1082km D ．1.50×1082km5. 如图,若数轴上的点A ，B ，C ，D 表示数-2，1，2，3，则表示74-的点P 应在线段 A ．线段AB 上 B ．线段BC 上 C ．线段CD 上 D ．线段OB 上6. 对于10.08与0.1008这两个近似数,它们的A ．有效数字与精确位数都不相同B ．有效数字与精确位数相同C ．精确位数不同,有效数字相同D ．有效数字不同,精确位数相同7．三角形三边c b a ,,满足ab c b a 2)(22+=+，则这个三角形是 （ ）A ．锐角三角形B ．钝角三角形C ．直角三角形D ．等腰三角形⒏ 一座建筑物发生了火灾，消防车到达现场后，发现最多只能靠近建筑物底端5米，消防车的云梯最大升长为13米，则云梯可以达到该建筑物的最大高度是 A. 12米 B. 13米 C. 14米 D. 15米 二、填空题（每空2分，共40分）9、写出一个3到4之间的无理数 。

10、5的相反数是 ;=-|32|_______．－（比较大小） 11 若x 2＝9，则x ＝ ；若23-=y ，则y ＝ ．12. 算术平方根等于它本身的数是 ；立方根等于它本身的数是 ． 13 数的平方根为3a+1，2a-6，则该数是 .14求图中直角三角形中未知的长度：b=__________，c=____________．。

八年级数学(上)第二章勾股定理与平方根第4课时平方根(一)（附答案）1．(1)因为32=9，(－3) 2=_________，所以3和－3都是_________的平方根；(2)2有_________个平方根，它们互为________数，记作________；(3)4的平方根是__________；(4)__________的平方根．2．若a、b分别是10的平方根，则a+b=________．3．(1)一个数的平方等于它本身，这个数是__________；(2)一个数的平方根等于它本身，这个数是_________．4．(1)16的平方根是________；0．25的平方根是________；1649的平方根是_________；(2)2．56的平方根是_________；(－2) 2的平方根是_________；10－2的平方根是_______．5．若4x+1的平方根是±5，则x=________．若x 2=16，则5－x的平方根是_________．6．一个正数n的两个平方根为m+1和m－3，则m=_________，n=__________．7．若式子13x-的平方根只有一个，则x的值是__________．8．下列说法正确的是( )A．116的平方根是14B．任何有理数都有平方根C．任何非负数都有两个平方根D．一个正数的两个平方根的和等于零9．下列各数中没有平方根的是( )A．216⎛⎫- ⎪⎝⎭B．216⎛⎫- ⎪⎝⎭C．216⎛⎫± ⎪⎝⎭D．1610．求下列各数的平方根：(1)144；(2)21；(3)116；(4)10－4；(5)(－3) 2．11．求下列各式中的x：(1)x2=36；(2)9－x2=0．12．下列各数有平方根吗?如果有，求出它的平方根；如果没有，说明理由．(1)－64；(2)0；(3)(－4) 2；(4)10－2．13．求下列方程中的x：(1)x 2+9 2=41 2；(2)x 2=(－4) 2；(3)(1－x) 2=9 2；(4)(2x－3) 2－9=16．14．(1)一个正数的平方等于361，求这个正数．(2)一个负数的平方等于169，求这个负数．(3)一个数的平方等于121，求这个数．参考答案1．(1)9 9 (2)2 相反(3)±2 (4)5 2．0 3．(1)1，0 (2)04．(1)±4 ±0．547±(2)±1．6 ±2110±5．6 ±3或±1 6．1 4 7．1 38．D 9．B10．(1)±12 (2)(3)14±(4)±10－2(5)±311．(1)x=±6 (2)x=±312．(1)没有理由略(2)0 (3)±4 (4)±10－113．(1)x=±40 (2)x=±4 (3)x=－8或x =10 (4)x=4或x=－1 14．(1)19 (2)－13 (3)±11。

第二章勾股定理与平方根检测卷（附答案）（总分100分时间90分钟）一、选择题（每小题3分，共30分）1．下列各组数中，不能作为直角三角形三边长的是( )A．9，12，15 B．7，24，25 C．6，8，10 D．3，5，7 2．(－6)2的平方根是( )A．－6 B．36 C．±6 D3．下列说法中不正确的是( )A．－2是4的一个平方根B8的立方根C．立方根等于它本身的数只有1和0 D．平方根等于它本身的数只有0 4．下列说法正确的是( )A．无限小数是无理数B．带根号的数都是无理数C．无理数是无限小数D．无理数是开方开不尽的数5．下列说法中正确的有( )①0的平方根是0；②1的平方根是1；③－1是1的平方根；④－1是－1的平方根；⑤8A．1个B．2个C．3个D．4个6．如图一直角三角形纸片，两直角边AC＝6 cm，BC＝8 cm，现将直角边AC沿直线AD折叠，使它落在斜边AB上，且与AE重合，则CD等于( )A．2 cm B．3 cmC．4 cm D．5 cm7．把32. 982保留三个有效数字，并用科学记数法表示为( )A．3.92×10 B．3.2982×10 C．33.0 D．3.30×108．数轴上的任何一点表示( )A．有理数B．无理数C．实数D．正数和负数9．如果梯子的底端离建筑物5米，13米长的梯子可以达到该建筑物的高度是( ) A．12米B．13米C．14米D．15米10．要从电杆离地面4m处向地面拉—条长为5m的电缆，则地面电缆固定点与电线杆底部的距离应为( )A．5 m B．4 m C．3 m D．2 m二、填空题（每小题2分，共16分）11．直角三角形两条直角边的长分别为5、12，则斜边上的高为______．y+=，12_______()260则x＋y＝______．13．如图，在锐角三角形ABC中，AD⊥BC，AD＝12，AC＝13，BC＝14．则AB＝______．14．如图是一个育苗棚，棚宽a＝6 m，棚高b＝2.5 m，棚长d＝10 m，则覆盖在棚斜面上的塑料薄膜的面积为______m2．15．如图所示，15只空油桶(每只油桶底面直径均为60 cm)堆在一起，要给它盖一个遮雨棚，遮雨棚起码要_______cm 高．16．若一正数的两个平方根是2a －l 与－a ＋2，则a ＝______．17．如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A 、B 、C 、D 的边长分别是3、5、2、3，则最大正方形E 的面积是______．18．如图，已知Rt △ABC 是直角边长为1的等腰直角三角形，以Rt △ABC 的斜边AC 为直角边，画第二个等腰Rt △ACD ，再以Rt △ACD 的斜边AD 为直角边，画第三个等腰Rt △ADE ，…，依此类推，第n 个等腰直角三角形的斜边长是______． 三、解答题(19题8分，20题6分，其余每题各10分，共54分) 19．求下列各式中x 的值(1)5x 2－10＝0； (2)25(m ＋2)2－49＝0；20．把下列实数填在相应的集合中2273，0.1，－0.010010001…，－5． 正整数集合{ }． 正有理数集合{ }． 无理数集合{ }．21．《中华人民共和国道路交通管理条例》规定：小汽车在城市街道上的行驶速度不得超过70千米／时．一辆“小汽车”在一条城市街道上直道行驶，如图某一时刻刚好行驶到路对面“车速检测仪A ”正前方50米C 处，过了6秒后，测得“小汽车”位置B 与“车速检测仪A ”之间的距离为130米，这辆“小汽车”超速了吗？请说明理由．22．如图，一张长方形纸片宽AB ＝8 cm ，长BC ＝10 cm ．现将纸片折叠，使顶点D 落在BC 边上的点F 处(折痕为AE)，求EC 的长．23．先观察下列等式，再回答问题：111111112=+-=+111112216=+-=+1111133112=+-=+…(1) (2)请按照上面各等式反映的规律，试写出用n(n 为正整数)表示的等式．24．在图中．正方形ABCD的边长为a，等腰直角三角形FAE的斜边AE＝2b，且边AD和AE在同一直线上．操作示例当2b<a时，如图①，在BA上选取点G，使BG＝b，连接FG和CG，裁掉△FAG 和△CGB并分别拼接到△FEH和△CHD的位置构成四边形FGCH．思考发现小明在操作后发现：该剪拼方法就是先将△FAG绕点F逆时针旋转90°到△FEH 的位置，易知EH与AD在同一直线上，连接CH，由剪拼方法可得DH＝BG，故△CHD≌△CGB，从而又可将△CGB绕点C顺时针旋转90°到△CHD的位置．这样，对于剪拼得到的四边形FGCH（如图①），过点F作FM⊥AE于点M(图略)，利用“SAS”可判断△HFM≌△CHD，易得FH＝HC＝GC＝FG，∠FHC＝90°．进而根据正方形的判定方法，可以判断出四边形FGCH是正方形．实践探究(1)正方形FGCH的面积是______ ；（用含a，b的式子表示）(2)类比①的剪拼方法，请你就②～④的三种情形分别画出剪拼成一个新正方形的示意图．联想拓展小明通过探究后发现：当b≤a时，此类图形都能剪拼成正方形，且所选取的点G 的位置在BA方向上随着b的增大不断上移．当b>a时，如⑤的图形能否剪拼成一个正方形？若能，请你在图中画出剪拼的示意图；若不能，简要说明理由．参考答案1．D 2．C 3．C 4．C 5．B 6．B 7．D 8．C 9．A 10．C 11．601312．±2，±1，0 －213．15 14．65 15．60) 16．－1 17．47 1819．(1)x (2)m ＝－35或－17520．正整数集合{．正有理数集合{227，0.1}．无理数集合3π，－0.010010001…}． 21．小汽车超速了． 22．EC 长3cm23．(1)1111144120+-=- (2) 11(1)n n =++ 24．(1)22a b +(2)剪拼方法如图联想拓展 能； 剪拼方法如图④。

《勾股定理和平方根》单元测试9.22命题：徐红石 审核：席美丽 时间：45分钟班级 姓名____ ___学号一、选择题（本题共5题，每题3分，共15分）1．下列几组数中不能作为直角三角形三边的是 （ ）A a 7,b 24,c 25===B 1.5,2, 2.5a b c ===C 25,2,34a b c ===D 15,8,17a b c === 2．小强量得家里彩电屏幕长为cm 58，宽为cm 46，则这台彩电尺寸（即为对角线）是（ ）A 9英寸（23cm ）B 21英寸（54cm ）C 29英寸（74cm ）D 34英寸（87cm ）3．等腰三角形腰长5cm ，底边6cm ，其面积是 （ ）A 248cmB 224cmC 212cmD 216cm4．直角三角形边长为b a ,，斜边上高为h ，则下列各式总能成立的是（ ）A 2ab h =B 2222a b h +=C 111a b h+= D 222111a b h += 5．如图一直角三角形纸片，两直角边6,8AC cm BC cm ==，现将直角边AC 沿直线AD 折叠，使它落在斜边AB 上，且与AE 重合，则CD 等于（ ）A cm 2B cm 3C cm 4D cm 5 二、填空题（本题共15空，每空3分，共45分）6．下列实数(1)3.1415926 .(2)0.3 22(3)7(5)- (6)2(7)0.3030030003... 其中无理数有 ，有理数有 ．（填序号）7．49的平方根________，0.216的立方根________．________， 8．算术平方根等于它本身的数有 ，立方根等于本身的数有________．9．若2256x =，则x =______ __，若3216x =-，则x =________．10．已知甲往东走了4km ，乙从同处出发往南走了3km ，这时甲、乙俩人相距 .A EB DC 第5题图11，则它的算术平方根是 .12．x是2(-的平方根，y 是64的立方根，则x y += .13．如果2(6)0y +=，则x y += ．14．如果21a -和5a -是一个数m 的平方根，则.a =15．直角三角形三角形两直角边长为3和4，三角形内一点到各边距离相等，那么这个距离为 ．三、计算题（本题共2题，每题4分，共8分）16．求下列各式中x 的值2(1)(1)25x -=；； 3(2)(3)27x --=．四、作图题（本题共2题，每题4分，共8分）17．在数轴上画出-18．下图的正方形网格，每个正方形顶点叫格点，请在图中画一个面积为10的正方形．第17题图第18题图— 3 —五、解答题（本题共4题，每题6分，共24分）19．如图，一根电线杆因超过使用寿命被大风刮倒，折断处离地面9m ，电线杆顶部在离电线杆底部12m ，处，这根电线杆在折断前有多少米？20．已知如图所示，四边形ABCD 中，3,4,13,12AB cm AD cm BC cm CD cm==== 090A ?求四边形ABCD 的面积．21．如图，有一只小鸟上从小树顶飞到大树顶上，请问它飞行的最短路程是多少米？（先画出示意图，然后再求解）．A 第19题图22拼图填空：材料：硬纸板、剪刀、三角板，方法：剪裁、拼图、探索，操作：剪裁出若干个大小、形状完全相同的直角三角形，三边长分别记为a、b、c，如图①。

第二章 勾股定理与平方根 单元测试一、填空题1、下列和数1415926.3)1( .3.0)2( 722)3( 2)4( 38)5(-2)6(π (3030030003).0)7( 其中无理数有________，有理数有________（填序号） 2、94的平方根________，216.0的立方根________。

3、16的平方根________，64的立方根________。

4、算术平方根等于它本身的数有________，立方根等于本身的数有________。

5、若2562=x ，则=x ________，若2163-=x ，则=x ________。

6、已知ABC Rt ∆两边为3，4，则第三边长________。

7、若三角形三边之比为3：4：5，周长为24，则三角形面积________。

8、已知三角形三边长n n n n n n ,122,22,1222++++为正整数，则此三角形是________三角形。

9、如果0)6(42=++-y x ，则=+y x ________。

10、如果12-a 和-5是一个数m 的平方根，则.__________,==m a11、三角形三边分别为8，15，17，那么最长边上的高为________。

12、直角三角形三角形两直角边长为3和4，三角形内一点到各边距离相等，那么这个距离为________。

二、选择题13、下列几组数中不能作为直角三角形三边长度的是（ ） A 25,24,6===c b a B 5.2,2,5.1===c b a C 45,2,32===c b aD 17,8,15===c b a14、小强量得家里彩电荧屏的长为cm 58，宽为cm 46，则这台电视机尺寸是（ ） A 9英寸（cm 23） B 21英寸（cm 54） C 29英寸（cm 74） D 34英寸（cm 87） 15、等腰三角形腰长cm 10，底边cm 16，则面积（ ） A 296cmB 248cmC 224cmD 232cm16、三角形三边c b a ,,满足ab c b a 2)(22+=+，则这个三角形是（ ） A 锐角三角形B 钝角三角形C 直角三角形D 等腰三角形17、2)6(-的平方根是（ ） A 6-B 36C ±6D 6±18、下列命题正确的个数有：a a a a==233)2(,)1(（3）无限小数都是无理数（4）有限小数都是有理数（5）实数分为正实数和岁实数两类（ ） A 1个 B 2个 C 3个D 4个19、x 是2)9(-的平方根，y 是64的立方根，则=+y x （ ） A 3 B 7 C 3，7 D 1，7 20、直角三角形边长度为5，12，则斜边上的高（ ） A 6B 8C1318 D136021、直角三角形边长为b a ,，斜边上高为h ，则下列各式总能成立的是（ ） A 2h ab =B 2222h b a =+ Chb a 111=+ D222111hba=+22、如图一直角三角形纸片，两直角边cm BC cm AC 8,6==，现将直角边AC 沿直线AD 折叠，使它落在斜边AB 上，且与AE 重合，则CD 等于（ ） A cm 2 B cm 3 C cm 4 D cm 5 三、计算题23、求下列各式中x 的值04916)1(2=-x 25)1)(2(2=-x8)2)(3(3-=x27)3()4(3=--x四、作图题 25、在数轴上画出8-的点。

第2章 勾股定理与平方根 单元测试卷（附答案）满分：100分 时间：60分钟一、选择题(每小题3分，共30分) 1．下列说法中，正确的是 ( )A ．B ．-a 2一定没有平方根C ．0.9的平方根是±0.3D ．a 2-1一定有平方根 2．下列各组数中，互为相反数的是 ( ) A ．2和12 B ．-2和-12C ．-2和|-2 | D3．下列数据：①王雨考试得了96分；②全班学生数学测试的平均分约为88.2分；③小红今天做了5道作业题；④珠穆朗玛峰高8 844米．其中，属于精确数据的有 ( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个4．如图，火柴盒的一个侧面ABCD 倒下到．AB ’C ’D ’的位置，连接CC ’．设．AB=a ，BC=b ，AC=c ，这样可以用来说明我们学习过的定理或者公式是 ( ) A ．勾股定理 B ．平方差公式C ．完全平方公式D ．以上3个答案都可以5．如图，等边△ABC 的高AH 等于 ( )A ．B ．2C ．D ．46．已知等腰三角形的底边长为10，腰长为13，则一腰上的高为 ( ) A. 12 B ．6013C ．12013D ．13572=；②数轴上的点与实数一一对应；③-2根；④任何实数不是有理数就是无理数；⑤两个无理数的和还是无理数；⑥无理数都是无限小数．其中，正确的有 ( )A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个8．三角形的三边长分别为22a b +，2ab ，22a b -(a 、b 都是正整数，且a>b)，则这个三角形是 ( )A ．直角三角形B ．钝角三角形C ．锐角三角形D ．不能确定 9．用四舍五入法按要求对846.31取近似值，下列四个结果中，错误的是 ( ) A ．846.3(保留4个有效数字) B ．846(精确到个位)C ．800(保留1个有效数字)D ．8.5×102(保留2个有效数字)10- 2的值 ( )A ．在1到2之间B ．在2到3之间C ．在3到4之间D ．在4到5之间 二、填空题(每小题3分，共24分)11．平方根等于它本身的数是__________，算术平方根等于它本身的数是__________；12．__________开立方得__________．13．数学家发明了一个魔术盒，当任意实数对(a ，b)进入其中时，会得到一个新的实数：a 2+b+1．例如把(3，-2)放入其中，就会得到32+(-2)+l=8．现将实数对(-3)放入其中，得到实数m ，再将实数对(m ，1)放入其中后，得到的实数是__________．14 3.14，2，0.202 002 000 2…，227，1.56，π--中，正无理数是__________．15．如果直角三角形的两条边长分别是3和5，那么第三边长为__________．16．如图，在Rt △ABC 中，∠ABC=90°,BD ⊥AC 于D ，点E 为AC 的中点，若BC=7，AB=24，则BE= __________，BD=__________．17．如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为7 cm ，则图中所有正方形的面积之和为__________cm 2．18．如图，把长方形纸片ABCD 折叠，B 、C 两点恰好重合落在AD 边上的点P 处．已知∠MPN=90°，且PM=3，PN=4，那么长方形纸片ABCD 的面积为__________．三、解答题(共46分)19．(6分)求下列各式中x 的值：(1) ()213430x --=； (2)25(x+2)2-36=0；(3)(2x+1)220．(10分)如图，在△ABC中，AC=8，BC=6,在△ABE中，DE为AB边上的高，DE=12，S△ABE=60；求△ABC的面积．21．(10分)如图①是单位长度均为1的方格图．(1)请把方格图中带阴影的图形适当剪开，重新拼成正方形(画出分割线与拼成正方形的草图)；(2)所拼成正方形的边长为多少?周长为多少?(3)利用这个例子，在图②的数轴上画出(2)中正方形边长表示的点(保留画图痕迹)．22．(10分)如图，点P是等边△ABC内的一点，分别连接PA、PB、PC，以BP为边作∠PBQ=60°，且BQ=BP，连接OQ．(1)观察并猜想AP与CQ之间的大小关系，并说明你的结论；(2)已知PA：PB：PC=3：4：5，连接PQ，试判断△PQC的形状，请说明理由．23．(10分)如图，长方体的长为2，宽为1，高为4．(1)求该长方体中能放入木棒的最大长度；(2)现有一只蚂蚁从点A处沿长方体的表面爬到点G处，求它爬行的最短路程．参考答案一、1．A 2．C 3．B 4．A 5．A 6．C 7．C 8．A 9．C 10．C 二、11．0 0、1 1213．2714．0.202 002 000 2… 15．416．25216825 17．147 18．1445三、19．(1)x=-6 (2)x=45-或165- (3)x=12或32-20．由于S △ABC =12×AB ×DE=60，所以12×AB ×12=60，解得AB=10．又因为AC 2+BC 2=82+62=100=AB 2，所以∠C=90°．从而S △ABC =12×AB ×DE=12×6×8=2421．(1)分割线如图①，拼成正方形如图②(2)设所拼成正方形的边长为x ，则x 2=5，所以(舍去负值)．所以拼成正方形的边长为(3)如图③22．(1)AP=CQ 理由：因为△ABC 为等边三角形，所以AB=BC ，∠ABC=60°．因为∠PBQ=60°，所以∠ABC=∠PBQ ，所以∠ABP=∠CBQ ．在△ABP 与△CBQ 中，,,,AB CB ABP CBQ BP BQ =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩所以△ABP ≌△CBQ(SAS)．所以AP=CQ 。

八年级数学(上)第二章勾股定理与平方根第10课时勾股定理的应用(一)（附答案）1．下列三角形中，是直角三角形的是( ) A．三边关系满足a+b=c B．三边之比为4：5：6C．其中一边等于另一边的一半D．三边分别为9、40、412．如图，一圆柱高8 cm，底面半径1 cm，一只蚂蚁从点A爬到点B处吃食，要爬行的最短路程是( 取3) ( )A．10 cm B．5 cm C D．无法确定3．如图，是某几何体的三视图及相关数据，则判断正确的是( ) A．a>c B．b>c C．4a2+b2=c2D．a2+b2=c24．在Rt△ABC中，∠C=90°，若BC=4，AC=2，则AB=_________；若AB=4，BC=2，则AC=_________．5．如图，为了测量湖两岸A、B间的距离，小兰在C点设桩，使△ABC为直角三角形，∠ABC=90°，并测得BC=12 m，AC=15 m，则A、B两点间的距离是_________m．6．如果消防梯的底端离建筑物7 m，则25 m的消防梯可到达建筑物的高度是_______m．7．学校有一块长方形的花圃，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在花圃内走出了一条“路”，他们仅仅少走了________步路(假设2步为1 m)，却踩伤了花草．8．某宾馆装修，需在台阶上铺上地毯．已知台阶宽2．8 m，其剖面如图所示，则需要_______m2的地毯才能铺满所有的台阶．9．如图，长10米的梯子AB斜靠在墙上，梯子顶端距地面的垂直距离为8米，若梯子的顶端下滑1米，则底端也右滑1米吗?若是，请说明理由；若不是，则底端应右滑多少米(精确到0．01)?10．小强家有一块三角形菜地，量得两边长分别为40 m、50 m，第三边上的高为30 m．请你帮小强计算这块菜地的面积(精确到0．01)．11．在一个底面直径为5 cm、高为12 cm的圆柱状水杯中，放了一根15 cm长的玻璃棒．问这根玻璃棒露出杯口至少有多长?12．一个正方体的棱长为3 cm，一只小蚂蚁想从A点爬到H点找食吃．已知蚂蚁每秒爬2 cm，则最少需要多少秒(精确到0．01)?13．《中华人民共和国道路交通安全法》规定：小汽车在城市道路上行驶速度不得超过70km ／h．如图，一辆小汽车在一条城市道路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪的正前方30 m处，过了2 s后，测得小汽车与车速检测仪之间的距离为50 m这辆小汽车超速了吗?参考答案1．D 2．C 3．D4．5．96．247．48．19．69．不是，底端向右滑1．41米10．996．86 m2或203．14 m211．2 cm12．3．3513．超速，小汽车速度为72 km／h，大于70 km／h。

《勾股定理及平方根》练习题一、选择题 1．下列实数：2π，错误！未找到引用源。

0，38-，32.0 ，1－2，227，3.1415926，2.121121112……（每两个2之间1的数目每次多一个）中无理数个数为（ )A ．2 个B ．3 个C ．4 个D ．5 个2．如图，△ABC 中AD ⊥BC 于D ，AB =3，BD =2，DC =1，则AC 等于（ ）A ．6B ．6C ． 5D ．43．81的平方根．．．为（ ） A ．9 B ．9± C ．3± D ．34．在ΔABC 中,∠A 、∠B 、∠C 的对边分别是a 、b 、c,则下列条 件能判定ΔABC 是直角三角形的有（ ）①∠B -∠C =∠A ②(c+a)(c-a)=b 2 ③∠A :∠B :∠C =3:7:4 ④a :b :c=1:3:22 ⑤中线AD 等于BC 的一半A. 2B. 3C. 4D. 55．要使式子2a a+有意义，a 的取值范围是（ ）A ．a ≠0B ．a>－2且a ≠0C ．a>－2或a ≠0D ．a ≥－2且a ≠06．如图，在Rt ABC △中，90A ∠=°，BD 平分ABC ∠，交AC于点D ，且4,5AB BD ==，则点D 到BC 的距离是（ ）A. 3B. 4C. 5D. 6 7．已知x ＜1，则12x -x 2+化简的结果是（ ）A ．x －1B ．1－xC ．－x －1D ．x ＋1 8．A 、B 、C 分别表示三个村庄，AB ＝3900米，BC ＝1500米， AC ＝3600米，在社会主义新农村建设中，为了丰富群众生活， 拟建一个文化活动中心，要求这三个村庄到活动中心的距离 相等，则活动中心P 的位置应在（ ） A ．ABC △内部 B ．ABC △外部 C ．ABC △的AB 边上 D ．ABC △的AC 边上二、填空题9．已知一个正数的平方根是32x -和6x +，则这个数是 . 10．如图在Rt ABC △中，90A ∠=°.AD ⊥BC 交BC 于点D ． 若AB ＝8，AC ＝6，则AD 的长为 . 11．若115y x x =-+-+，则y x +的平方根．．．为__________. 12．若0)25(2472=-+-+-c b a ，则以a 、b 、c 为三边的三角形的形状是_________ _____.13．如图，直线a 经过正方形ABCD 的顶点A ,分别过顶点B 、D 作 DE ⊥a 于点E 、BF ⊥a 于点F ，若DE =4,BF =3,则正方形ABCD 的边长 为______ ________.14．如图，长方体的底面边长分别为1cm 和3cm ，高为6cm ．如果用 一根细线从点A 开始经过4个侧面缠绕一圈到达点B ，那么所用细线 最短需要 cm .15.如图（1），已知小正方形ABCD 的面积为1，把它的各边延长一倍 得到新正方形A 1B 1C 1D 1；把正方形A 1B 1C 1D 1边长按原法延长一倍得到（第8题图）BAC（第2题图）（第10题图）ABC D（第13题图） a FEBCADABDC（第6题图）B A 6cm 3cm1cm（第15题图）新正方形A 2B 2C 2D 2（如图（2））；以此下去…，则正方形A 4B 4C 4D 4的 面积为 ．16. 如图：等边△ABC 的边长为3， AD 是BC 边上的中线，M 是AD 上 的动点，E 是AC 边上一定点．若 AE =1，EM +CM 的最小值为_______．三、解答题 17.计算 （1）3312536216449-+-- （2）04)1(1-+-π＋21()2--＋524－.（3）25936.0+（4）8119125111⨯-（5）33332734312512581---+--18、若△ABC 的三边a 、b 、c 满足条件a 2＋b 2＋c 2＋338＝10a ＋24b ＋26c ，试判断△ABC 的形状.19、如图，在四边形ABCD 中，已知AB ：BC ：CD ：DA ＝2：2：3：1，且∠B ＝90°，则∠DAB 的度数是多少？ DABC20、如图，已知D 是△ABC 边BC 上的一点，且AC 2＝AD 2＋DC 2，小明说，由上面条件可以得到AB 2－AC 2＝BD 2－CD 2，你说小明说的对吗？为什么？ AB DC 21、如图，AB 是一东西向的马路，在A 点的东南方向10002m 的地方有一所中学C ，现有一拖拉机自西向东行驶，拖拉机发出的噪声800m 范围内均有影响，该拖拉机在行驶过程中对中学C 有影响吗？试说明理由。

A．4 B．5 C．6 D．72A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．锐角三角形或钝角三角形A．1+B．-1+C．1-D．-1-A．-6 B．-2 C．2 D．65A．B．（1+D．C．3aA．0.34×103亿元B．3.4×104亿元C．0.34×103亿元D．3.4×102亿元A．0个B．1个C．2个D．3个）A．B．C．D．A．B．C．D．1-A．（1，B．（C．（3，4，5）D．（32，42，52）A．55＜B．65＜C．75＜D．85＜A．在9.1～9.2之间B．在9.2～9.3之间C．在9.3～9.4之间D．在9.4～9.5之间13A．10个B．12个C．14个D．16个A．1到2之间B．2到3之间C．3到4之间D．4到5之间A．1个B．3个C．4个D．5个A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．c＞b＞a D．b＞c＞aA．1个B．2个C．3个D．4个18A．2个B．4个C．6个D．8个19A．6cm B．12cm C．13cm D．16cm20A．4B．3C．2D．A．1 B．2 C．3 D．4A．B．C．（D．23A．-a＜b＜a＜-b B．a＜b＜-a＜-b C．-b＜a＜-a＜b D．b＜-a＜a＜-bA．a+2 B．C．D．a2+2A．P＜Q B．P=QC．P＞Q D．与n的取值有关A．3.67×1010元B．3.673×1010元C．3.67×1011元D．3.67×108元27A．B．4cm C．D．3cmA．B．2+ C．D．29A．S1=S2B．S1＜S2C．S1＞S2D．无法确定A．B．-C．D．-31A．B．2C．3D．3A．1与2 B．2与3 C．3与4 D．4与5A．B．2-3=-6 C．x2•x3=x6D．（-2x）4=16x4 A．在1到2之间B．在2到3之间C．在3到4之间D．在4到5之间A．在3到4之间B．在4到5之间C．在5到6之间D．在6到7之间A．B．C．D．(-37A．3m B．5m C．7m D．9m38A．2 B．2 C．4D．739A．2cm B．4cm C．6cm D．8cmA．在4和5之间B．在5和6之间C．在6和7之间D．在7和8之间A．平行四边形B．矩形C．等腰三角形D．梯形A．2与3之间B．3与4之间C．4与5之间D．5与6之间A．3+B．C．D．A．3 B．7 C．-3 D．-7 45A．B．C．D．A．1＜m＜2 B．2＜m＜3 C．3＜m＜4 D．4＜m＜5 A．（-2）0=0 B．3-2=-9C．D．A．2B．C．D．A．4cm～5cm之间B．5cm～6cm之间C．6cm～7cm之间D．7cm～8cm之间50A．1B．C．D．2 52．5559606266 677072，则两条桌腿的张角∠74808182．8487 8889919293 949598 100。

八年级数学(上)第二章勾股定理与平方根第2课时勾股定理(二)（附答案）1．利用图①或图②两个图形中有关面积的等量关系都能证明数学中一个十分著名的定理，这个定理称为_________，该定理的数学表达式是__________．2．在Rt△ABC中，∠C=90°，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C所对的边．(1)若a=12，b=16，则c=_________；(2)若a=20，c=25，则b=_________；(3)若c=61，b=60，则a=_________．3．如图，直线l上有三个正方形a、b、c．若a、c的面积分别为5和11，则b的面积为________．4．在△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C所对的边分别是a、b、c，则(1)若a=5，b=12，则c=__________；(2)若b=8，c=10，则a=__________；(3)若a：b=8：15，c=34，则a=__________，b=___________．5．如图，等腰△ABC的一条腰长是5，底边BC长是6，则它底边上的高为_______．6．若线段a、b、c能构成直角三角形，则它们的比可能为( ) A．2：3：4 B．3：4：6 C．5：12：13 D．4：6：77．如图，美国第二十任总统加菲尔德利用该图完成了勾股定理的证明，那么证明过程中用到的面积相等的关系是( )A．S△EDA=S△CEB B．S△EDA +S△CEB=S△CDEC．S四边形CDAE=S四边形CDEB D．S△EDA +S△CDE+S△CEB=S四边形ABCD8．已知直角三角形中斜边长为5 cm，周长为12 cm，则这个三角形的面积为( ) A．12 cm2B．6 cm2C．8 cm2 D．10 cm29．如图，分别以直角△ABC的三边AB，BC，CA为直径向外作半圆。

设直线AB左边阴影部分的面积为S1，右边阴影部分的面积和为S2，则( )A．S1= S2B．S1< S2 C．S1> S2D．无法确定10．如图，是一个圆柱体饮料罐，底面半径是5，高是12，上底面中心有一个小圆孔，则一条到达底部的直吸管在罐内部分a(罐壁的厚度和小圆孔的大小忽略不计)的长度范围是( )A．12≤a≤13 B．12≤a≤15C．5≤a≤12 D．5≤a≤1311．意大利画家达·芬奇也对勾股定理进行验证，下图即是他的验证方法，请你仔细看图后，对验证方法加以说明．12．如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为10．求正方形A、B、C、D的面积之和．13．如图，小方格的面积为1，画出图中以格点为端点且长度为5的线段．参考答案1．勾股定理a2+b2=c2，2．(1)20 (2)15 (3)113．164．(1)13 (2)6 (3)16 305．46．C 7．D 8．B 9．A 10．A11．略12．10013．略。

第二章 勾股定理与平方根复习卷班级： 姓名： 学号：一、选择题：1.下列实数中，是无理数的为（ ）A . 3.14B . 13 C . 3 D . 92．下列各数：2π,0·,227，0.30003… )A ．2 个B ．3 个C ．4 个D ．5 个3．下面说法中，正确的是（ ）A ．任何数的平方根有两个B ．一个正数的平方根的平方是它本身C ．只有正数才有平方根D ．正数的平方根是正数 4．4的平方根是（ ）A ．2B ．2±C ．4D ．4± 5．2的算术平方根是（ ）A ．4B ．4±C ．2D ．2±6．-8的立方根是 （ ）A ．2B ． -2C ．12D ．12-7．64的立方根是（ ）A ．4B ．4±C ．8D ．8±8等于（ ）A ．3B ．3-C ．9D ．9- 9．下列计算正确的是（ ）Ａ．020=Ｂ．331-=- 3= +=10．下列式子中正确的是（ ）A ．525±= B ．332±= C ．525= D ．332-=11．下列式子中，正确的是（ ）A ．2=-B ．2(9=C 3=±D 3=12．－2是2的（ ）．A ．相反数B ．倒数C ．绝对值D ．算术平方根 13．比较2，）A．2<<B．2<C2<< D2<14．如图，数轴上点P 表示的数可能是（ ）．A．B． C ． 3.5- D ．15．下列各数中，在1与2之间的数是（ ）A ．1-BC ．12D ．316．估计 ）A ．在3与4之间B ．在4与5之间C ．在5与6之间D ．在6与7之间 17．估算2的值（ ）A ．在1和2之间B ．在2和3之间C ．在3和4之间D ．在4和5之间 18．实数2-，3-的大小关系是（ ）A ．3-<2-B ．3-<2-C ．2-<<3-D ．3-<2-< 19．给出四个数0，2，－12，0.3，其中最小的是（ ）A ．0B ． 2C ．－12D ．0.320. 在 -3 －1， 0 这四个实数中，最大的是（ ）A . -3B .－C . －1D . 0 21．下列说法中，正确的是（ ）A ．近似数1.70和1.7是一样的B ．近似数六百和近似数600的精确度是相同的C ．近似数35.0是精确到个位的数，它的有效数字是3和5两个数D ．近似数35.0是精确到十分位的数，它的有效数字是3,5,0三个数22．湖州市第11届房交会总成交金额约2.781亿元．近似数2.781亿元的有效数字的个数是 （ ）A ．1B ．2C ．3D ．4 23．德州市2009年实现生产总值（GDP ）1545.35亿元，用科学记数法表示应是 （结果保留3个有效数字） （ ）Ａ．81054.1⨯ 元 Ｂ．1110545.1⨯元 Ｃ．101055.1⨯元 Ｄ．111055.1⨯元24．2010年4月20日晚，“支援青海玉树抗震救灾义演晚会”，热心企业和现场观众踊跃捐款31083.58元.将31083.58元保留两位有效数字可记为 （ ）第7题图A．3.1×106元B．3.11×104元C．3.1×104元D．3.10×105元25．据统计，截止到5月31日上海世博会累计入园人数803.27万人．803.27万这个数字（保留两位有效数字）用科学记数法表示为（）A．8.0×102 B. 8.03×102 C. 8.0×106 D. 8.03×10626．由四舍五入法得到的近似数8.8×103，下列说法中正确的是（）．A．精确到十分位，有2个有效数字 B．精确到个位，有2个有效数字C．精确到百位，有2个有效数字 D．精确到千位，有4个有效数字27．图①是一个边长为()m n+的正方形，小颖将图①中的阴影部分拼成图②的形状，由图①和图②能验证的式子是（）A．22()()4m n m n mn+--=B．222()()2m n m n mn+-+=C．222()2m n m n m n-+=+D．22()()m n m n m n+-=-28．把长为8cm的矩形按虚线对折，按图中的虚线剪出一个直角梯形，打开得到一个等腰梯形，剪掉部分的面积为6cm2，则打开后梯形的周长是（）A．（cm B．（）cm C．20cm D．18cm29.如图①，矩形ABCD，AB=12cm，AD=16cm，现将其按下列步骤折叠：（1）将边AB向AD折去，使AB落在AD上，得到折痕AF，如图②（2）将△AFB沿BF折叠，AF与DC交点G，如图③则所得梯形BDGF的周长等于（）A.12+22B.24+22C.24+42D.12+42C F CD ”①②③第28题图图①第27题图图②1．勾股定理：直角三角形两直角边的 等于 的平方．2．对一个近似数，从 起，到 止，所有的数字都称为这个近似数的有效数字． 3．下列各数：12，227，0.2020020002 （每两个2之间0的个数逐次加1），，3π，0.89- 无理数有 ．4．（1）无限不循环小数称为 ；（2） 和 统称为实数； （3） 与数轴上的点一一对应 ．5．1-的相反数是 ，的绝对值是 ．6的倒数是 ，2-的绝对值是 ．7．正数的平方根有 个，它们互为 ，零的平方根为 ，负数 ．8．因为42= ，（—4）2= ，所以4和—4都是 的平方根． 9．如果62=x ，那么x 叫做6的 ，记作 ． 10． 的平方根是0， 的平方根是8±． 11．（1）8149的平方根为 ； （2）1.44的平方根为 ；（3）（—2）2的平方根为 ； （4）0.1-2的平方根为 ． 12．5的平方根是 ，算术平方根是 ．13．若24x =，则3x -的算术平方根是 ．14．（1）0．16的算术平方根为 ； （2）49的算术平方根为 ；（3）10-6的算术平方根为 ； （4）216()81-的算术平方根为 ．15．（1= ； （2）= ； （3）= ；（42= ． 16．求下列各数的平方根：81： ；289： ；0： ；124： ；2.56： ；210-： ．17．写出下列各数的算术平方根：0．01： ；2516： ；0： ；10： ；21()3-： ．18．（1）100的平方根为 ，算术平方根为 ；（2）169的平方根为 ，算术平方根为 ；（3）0.25的平方根为 ，算术平方根为 ；（4）10-6的平方根为 ，算术平方根为 ．19．（1）= ；（2）= ；（3）= ；（4= ．20．求下列各数的平方根： （1）425： ； （2）62-： ； （3）4910⨯： ．21．求下列各数的立方根： （1）8125： ； （2）0.064-： ； （3）0： ； （4）17427： ．22．0．001的立方根是 ，18-的立方根是 ．23= ，= ，= ．24．如果33(3)a =-，那么a = ，如果8=-，那么x = ．25．（1）= ； （2= ；（3）3= ； （4= ．26．写出下列各数的立方根： —27： ；0.008： ；1125： ；—1： ；0.064： ；4： ．27．求下列各数的立方根： （1）338-： ； （2）62-： ； （3）56.410-⨯： ．28．求下列各式的值：3= ；= ；3= ；= ．29．比较下列数的大小：（1）； （2）2； （320.5．30．比较下列各组数的大小：（1） （2）π 3.142； （3）1.5．31．比较下列各组数的大小：（1）； （2 （3）3-； （4）1434．32．比较大小：（1）1； （2）1218+； （3．（1）精确到10kg ： ； （2）精确到1kg ： ； （3）精确到0.1kg ： ．34．按要求用科学记数法表示下列各近似数： （1）33 400 000 000 000（保留2个有效数字）： ； （2）361 000 000（精确到10 000 000）： ．35．由四舍五入法得到的下列近似数，分别精确到哪一位？各有几个有效数字？ （1）小明身高1.59m ；精确到 位，有 个有效数字，分别为 ； （2）地球的半径约为36.410km ⨯；精确到 位，有 个有效数字，分别为 ； （3）组成云的小水滴很小，最大的直径约为0.2mm ；精确到 位，有 个有效数字，分别为 ；36．3．45精确到 位，有 个有效数字，它们是 ；37．52.6710⨯精确到 位，有 个有效数字，它们是 ； 38．2.5万精确到 位，有 个有效数字，它们是 ． 39．按括号内的要求，用四舍五入法对下列各数取近似数： （1）2．0368（精确到0.001）≈ ；（2）3．987（保留2个有效数字）≈ ； （3）0．0155（保留2个有效数字）≈ ； （4）20549（保留3个有效数字）≈ ．40．已知直角三角形的两边长分别为3和5，则第三边的长为 ．41．直角三角形两直角边长分别是6和8，则斜边为 ，斜边上的高为 ． 42．在Rt △ABC 中，∠C =90°，AB =25，AC =7，则三角形面积为 ．43．已知：如图，在△ABC 中，AD ⊥BC ，AB =AC =5cm ，BC =6cm ．则AD = cm ，△ABC 的面积等于 cm 2．44．如图，等腰△ABC 的周长32cm ，底边长12cm ．则高AD = cm ；S △ABC = cm 2． 45．在等腰三角形ABC 中，AB=AC=17cm ，BC=30cm ，△ABC 的面积= cm 2． 46．如图，图中字母代表正方形的面积，那么A = ，B = ． 47．在Rt △ABC 中，∠C =90°．（1）如果BC =9，AC =12，那么AB = ； （2）如果BC =8，AB =10，那么AC = ； （3）如果AC =20，BC =15，那么AB = ；（4）如果AB =13，AC =12，那么BC = ； （5）如果AB =61，BC =11，那么AC = ． 48．在△ABC 中，∠C =90°．（1）若a=3，b=4，则c= ； （2）若c=13，b=5，则a= ；（3）若c=17，a=15，则b= ； （2）若a :c =3:5，且b=16，则a= ． 49．如图，一旗杆离地面6m 处折断，旗杆顶部落在离旗杆底部8m 处，144AB 1002536 第48题图ＡBCD第46题图50．如图，要建一个育苗棚，棚宽a 为2m ，高b 为1.5m ，长d 为10m ．则覆盖在顶上的塑料薄膜需 m 2．51．如图，要为一段高5m 、长13m 的楼梯铺上红地毯，红地毯至少需要 m ．52．如图是一张直角三角形的纸片，两直角边AC ＝6 cm 、BC ＝8 cm ， 现将△ABC 折叠，使点B 与点A 重合，折痕为DE ，则BE 的长为 cm .53．如图，三个直角三角形（Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ）拼成一个直角梯形（两底分别为a 、b ，高为a +b ），利用这个图形，小明验证了勾股定理．请你填写计算过程中留下的空格：①，即（高下底）（上底梯形梯形).(21)()2121=+⋅+=⋅+=S b a b a SS 梯形=Ⅰ+Ⅱ+Ⅲ（罗马数字表式相应图形的面积） = + + ，即②梯形).(21=S由①、②，得222c b a =+．54．如图，等边三角形ABC 的边长为2，则它的高为 ．55．如图，四边形ABCD 的面积等于56．如图，两个阴影部分都是正方形，两个正方形的面积之比为1：2，这两个正方形的面积分别为 ．57．如图，BC 长为3cm ，AB 长为4cm ，AF 长为12cm ．正方形CDEF 的面积为 cm ． 58．有一张圆形铁片，面积为94πm 2，则半径为 m ．a bb cc ⅠⅡⅢa第53题图ABCD第54题图BCDEF第49题图13m5mABCDE第51题图 第52题图ADB 4 12 3第55题图 第57题图AB CD E FG59．把一张矩形纸片（矩形ABCD ）按如图方式折叠，使顶点B 和点D 重合，折痕为EF ．若AB = 3 cm ，BC = 5 cm ，则重叠部分△DEF 的面积是 cm 2．60．如图，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AD ＝BC ，对角线AC ⊥BD ，垂足为O ．若CD ＝3，AB ＝5，则AC 的长为 ．61．如图，在等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，对角线AC ⊥BD 于点O ，AE ⊥BC ，DF ⊥BC ，垂足分别为E 、F ，AD ＝4，BC ＝8，则AE ＋EF 等于62．如图，以第①个等腰直角三角形的斜边长作为第②个等腰直角三角形的腰，以第②个等腰直角三角形的斜边长做为第③个等腰直角三角形的腰，依次类推，若第⑨个等腰直角三角形的斜边长为厘米，则第①个等腰直角三角形的斜边长为 _________厘米.63．已知△ABC 是边长为1的等腰直角三角形，以Rt △ABC 的斜边AC 为直角边，画第二个等腰Rt △ACD ，再以Rt △ACD 的斜边AD 为直角边，画第三个等腰Rt △ADE ，…，依此类推，第n 个等腰直角三角形的斜边长是 ． 三、解答题：1．求下列各式中的x ：（1）216x =； （2）22549x =； （3）215x =；（4）2418x =； （5）1022=x ； （6）07532=-x ．ABCFE'A 第59题图（'B ）D 第64题图ABCDO第60题图第61题图第63题图2．求下列各式中的x ：（1）30.125x =-； （2）3827x =； （3）321x +=；（4）3(1)8x -=； （5）327343x =； （6）330.6480x +=．3．计算：（－1）2010－| －7 |＋ 9 ×（ 5 －π）0＋（ 15）－14.计算：（1）92|21|)3(12-+----； （2）)1()2010(40---+．5．在数轴上描出表示6．a -是否有平方根？为什么？7．若一个正数的平方根是12+x 和7-x ，则322+-x x 的平方根是什么？8．一个三角形三边长的比为3:4:5，它的周长是60cm ．求这个三角形的面积．9．如图，在△ABC 中，AB=26，BC=20， 边BC 上的中线AD=24．求AC ．10．如图，在△ABC 中，AD 为边BC 上的高，AB=13，AD=12，AC=15．求BC 的长．ABCDA11．计算四边形ABCD 的面积．12．已知：如图，AD=4，CD=3，∠ADC=90°， AB=13，BC=12．求该图形的面积．13．如图，把火柴盒放倒，这个过程中也能验证勾股定理． 你能利用下图验证勾股定理吗？14．做8个全等的直角三角形（两条直角边长分别为a 、b ，斜边长c ），再做3个边长分别为a 、b 、c 的正方形，把它们拼成两个正方形（如图）．你能利用这两个图形验证勾股定理吗？写出你的验证过程．15．如图，你能用它验证勾股定理吗？（提示：以斜边为边长的正方形的面积＋四个三角形的面积＝外正方形的面积）16．如图，以Rt △ABC 的三边为直径的3个半圆的面积之间有什么关系？请说明理由．17．如图，AD ⊥BC ，垂足为D ．如果CD =1，AD =3， BD =9，那么△ABC 是直角三角形吗？请说明理由．BC D Ea baabＡBCA BCDABCD- 11 -18．如图，在正方形ABCD 中，E 是边AD 的中点，点F 在边DC 上，且14D F D C ．试判断△BEF 的形状，并说明理由．19．如图，在四边形ABCD 中，∠B=90°，AB=BC=4，CD=6，DA=2．求∠DAB 的度数．20．如图，长为10m 的梯子AB 斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为8m ．如果梯子的顶端下滑1m ，那么它的底端是否也滑动1m ？21．飞机在空中水平飞行，某一时刻刚好飞到一个男孩头顶正上方4000米处，过了20秒，飞机距离这个男孩5000米，飞机每小时飞行多少千米？22．某港口位于东西方向的海岸线上，“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行16海里，“海天”号每小时航行12海里．它们离开港口1.5小时后相距30海里．如果知道“远航”号沿东北方向航行，能知道“海天”号沿哪个方向航行吗？23．古希腊的哲学家柏拉图曾指出，如果m 表示大于1的整数，a =2m ，b =m 2-1，c = m 2+1，那么a 、b 、c 为勾股数．你认为正确吗？如果正确，请说明理由，并利用这个结论得出一些勾股数．BCB ACD EFABC D- 12 -24．学校计划用1000块统一规格的正方形地板砖铺设面积为250m 2的学生食堂地面．购买的地板砖的边长为多少时，才正好合适（即不浪费）？25．有两棵树，一棵高8m ，另一棵高2m ，它们相距8m ，一只小鸟从一棵树梢飞到另一棵树梢，要飞多少米？26．甲、乙两位探险者到沙漠进行探险．某日早晨8：00甲先出发，他以6km/h 的速度向东行走．1h 后乙出发，他以5km/h 的速度向北行进．上午10：00时，甲、乙两人相距有多远？27．在我国古代数学著作《九章算术》中记载了一道有趣的问题，这个问题的意思是：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形．在水池正中央有一根新生的芦苇，它高出水面1尺．如果把这根芦苇垂直拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面．请问这个水池的深度和这根芦苇的长度各是多少？28．如图，马路边一根电线杆高为5.4m ，被一辆卡车从离地面 1.5m 处撞断．倒下的电线杆顶部是否会落在离它的底部4m29．如图，有两只猴子在一棵树CD 高5m 的点B 处，它们都要到A 处的池塘去喝水，其中一只猴子沿树爬下走到离树10m 处的池塘A 处，另一只猴子爬到树顶D 后直线越向池塘的A 处．如果两只猴子所经过的路程相等，这棵树高有多少米？ABCD。

第二章期末复习作业纸A 组1．下列说法正确的是【 】A 一个数的平方等于1，那么这个数就是1。

B ±6是36的算术平方根。

C 6是（-6）2的算术平方根。

D 4是8的算术平方根。

2．若032=-++y x ，则xy 的值为__________。

3．已知a ，b 为两个连续整数，且b a <<7，则a+b=__________。

4．实数a ，b 在数轴上的位置如图所示，则化简代数式a b a -+的结果是_______。

5．计算()32843+--=_______________。

6．若a 和b 互为相反数，c 和d 互为倒数，m 的倒数等于它本身。

求()m m b a mcd-++2的立方根的值。

7．已知实数a ，b ，c 在数轴上对应点如图所示，化简：c b a c b a a -+-+--。

8．直角三角形中，两直角边长度之和为8，斜边的长为34，则此三角形的面积是_________。

9．一个有盖的长方体形状的文具盒的长、宽、高分别是12cm ，4cm ，3cm ，那么它最多能放________cm 长的铅笔。

10．如图，把长方形纸条ABCD 沿EF 、GH 同时折叠，B ，C 两点恰好落在AD 边的P 点处，若∠FPH=90°，PF=8，PH=6，则长方形ABCD 的边BC 长为___________。

11．如图，在长方形一边CD 上取一点E ，沿AE 把△ADE 折叠，使点D 落在BC 边的点F 处，已知AB=8cm ，BC=10cm ，求EC 的长。

EC12．如图所示，AC ⊥BD ，O 为垂足，设22CD AB m +=，22BC AD n +=，请比较m 和n 的大小。

D13．如图所示，CE 、CF 分别是△ABC 的内角∠ACB ，外角∠ACD 的平分线，若EF=10，则22CF CE +=____________。

14．如图所示，已知在△ABC 中，∠B=90°，点D 、点E 分别在BC 和AB 上，求证：2222DE AC CE AD +=+。

八年级数学(上)第二章勾股定理与平方根第11课时勾股定理的应用(二)（附答案）1．直角三角形中，以直角边为边长的两个正方形的面积为36 cm2和64 cm2，则以斜边为边长的正方形的面积为__________cm2．2．如图，在△ABC中，C D⊥AB于点D，且AD=BC=5，BD=3，则AC边的长为_________．3．如图，长方形网格中有△ABC，若小方格边长为1，求△ABC的面积是多少?4．等腰三角形的腰长为10，底边长为12，求其底边上的高．5．如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，∠C=45°，BC=2AD，CD 求梯形的面积．6．一个直角三角形的两直角边长分别为3和4，下列说法正确的是( ) A．斜边长为25 B．三角形的周长为25C．斜边长为5 D．三角形面积为207．在R t△ABC中，∠C=90°，AB=2，则AB2+BC2+CA2的值为( ) A．2 B．4 C．8 D．168．底边长为16，底边上的高为6的等腰三角形的腰长为( )A．8 B．9 C．10 D 139．如图，A C⊥CE于点C，AD=BE=13，BC=5，DE=7．试求AC的长．10．已知一直角三角形的三边长都是正整数，其中斜边长为13，并且周长为30．求这个直角三角形的面积．11．如图，长方体底面的长和宽分别为4和3，长方体的高为12．求长方体对角线的长．12．如图，小明先向东走1 m，然后向南走4 m，再向西走2 m，再向南走4 m，最后再向东走7 m，如图所示，求出发点到终点的距离．13．如图，每个小方格的边长为1，求图中以格点为端点的四边形AB C D的面积．14．第七届国际数学教育大会会徽的主题图案是由一连串如图所示的直角三角形演化而成的．设第一个Rt△OA1A2是等腰直角三角形，且OA1=A1A2=A2A3=A3A4=…=A n－1A n=1(n 为正整数)．请你先把图中其他7条线段的长计算出来．观察计算结果，猜想OA n－1和OA n的长．15．如图，A市接到台风警报时，台风中心位于A市正南方125 km的B处，正以15 km／h的速度沿BC方向移动．(1)已知A市到BC的距离AD=35 km，求台风中心从B处移到D处所需的时间．(2)如果在距台风中心40 km的圆形区域内都将受台风影响，那么A市受影响的时间是多长?(精确到1 min)参考答案1．100 2 3．13 4．8 5．150 6．C 7．C 8．C 9．在Rt △BCE 中，BE 2=CE 2+BC 2，132=CE 2+52，CE=12．∴DC=5．∵BC=5，∴BC=DC ．又∵AD=BE ， ∴Rt △ACD ≌Rt △ECB ．∴AC=EC ．∴AC=12 10．30 11．13 12．10 m 13．12．514．计算略 猜想：1n OA -=n OA = 15．(1)在Rt △ABD 中，∠ADB=90°，∴120BD =(km)．∴120÷15=8 h (2)以A 为圆心，40 km 为半径作圆，交BD 于点E ，交BD 延长线于点F ．在Rt △ADE 中，∠ADB=90°，∴19.365DE ==(km)．∴EF=38．73 km ．∴38．73÷15≈2．582 h ，2．582×60≈155 min ．∴A 市受影响时间约为155 min。

一、选择题1．如图，在ABC 中，90C ∠=︒，点E 是AB 的中点，点D 是AC 边上一点，且DE AB ⊥，连接DB ．若6AC =，3BC =，则CD 的长（ ）A ．112B ．32C ．94D ．32．以下列各组数为三边的三角形中不是直角三角形的是 ( )A ．1，2，5B ．3，5，4C ．5，12，13D ．1，3，7 3．如图，在ABC 中，AB AC =，8BC cm =，AE 平分BAC ∠，交BC 于点E ，D 为AE 上一点，且ACD CAD ∠=∠，3DE cm =，连接CD ．过点作DF AB ⊥，垂足为点F ．则下列结论正确的有（ ）①5CD cm =；②10AC cm =；③3DF cm =；④ACD △的面积为210cmA ．1B ．2C ．3D ．44．下列各组数中，以a ，b ，c 为边的三角形不是直角三角形的是（ ）A ．a ＝7，b ＝25，c ＝24B ．a ＝11，b ＝41，c ＝40C ．a ＝12，b ＝13，c ＝5D ．a ＝8，b ＝17，c ＝155．如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝2，BC ＝1，在BA 上截取BD ＝BC ，再在AC 上截取AE ＝AD ，则AE AC的值为（ ）A ．352B ．512-C ．5﹣1D ．512+ 6．如图，在长方形ACD 中，3AB cm =，9AD cm =，将此长方形折叠，便点D 与点B 重合，折痕为EF ，则ABE △的面积为（ ）2cm ．A ．12B ．10C ．6D ．157．如果三角形有一边上的中线长恰好等于这边的长，那么称这个三角形为“匀称三角形”．若Rt ABC 是“匀称三角形”，且90C ∠=︒，AC BC >，则::AC BC AB 为（ ） A ．3:1:2 B ．2:3:7 C ．2:1:5 D ．无法确定 8．为准备一次大型实景演出，某旅游区划定了边长为12m 的正方形演出区域，并在该区域画出4×4的网格以便演员定位（如图所示），其中O 为中心，A ，B ，C ，D 是某节目中演员的四个定位点．为增强演出效果，总策划决定在该节目演出过程中增开人工喷泉．喷头位于演出区域东侧，且在中轴线l 上与点O 相距14m 处．该喷泉喷出的水流落地半径最大为10m ，为避免演员被喷泉淋湿，需要调整的定位点的个数是（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个9．如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，点D 是线段AB 的垂直平分线与BC 的交点，连结AD ．若CD ＝2，BD ＝4，则AC 的长为( )A ．4B ．3C ．23D ．310．如图，是我国古代数学家赵爽的《勾股圆方图》，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形．如果大正方形的面积是12，小正方形的面积是2，直角三角形的短直角边为a ，较长的直角边为b ，那么(a+b)2的值为（ ）A ．144B ．22C ．16D ．1311．如图，在Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，3AC =，4BC =，AD 平分CAB ∠交BC 于D 点，E ，F 分别是AD ，AC 上的动点，则CE EF +的最小值为（ ）A ．152B ．152C ．3D ．12512．1876年，美国总统伽菲尔德利用如图所示的方法验证了勾股定理，其中两个全等的直角三角形的边AE ，EB 在一条直线上，证明中用到的面积相等关系是（ ）A ．EDA CEB S S =△△B ．EDA CDE CEB ABCD S S S S ++=△△△四边形C ．EDA CEB CDE S S S +=△△△D ．AECD DEBC S S =四边形四边形二、填空题13．如图，已知在Rt ABC △中，90ACB ∠=，3AB =，分别以AC ，BC 为直径作半圆，面积分别记为1S ，2S ，则12S S +的值等于________．14．如图，数轴上点A 表示的数是__________．15．已知△ABC 中，AB=AC=5，BC=6，动点P 在线段BC 上从B 点向C 点运动，连接AP ，则AP 的最小值为等于________．16．如图，已知点A ，点B 分别为y 轴和x 轴正半轴上两点，以AB 为斜边作等腰直角三角形ABC ，点A ，点B ，点C 按顺时针方向排列，若4,AB AOB =∆的面积为3，则点C 的坐标为_________．17．如图在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，BC=3，AC=4，点D 是AB 的中点，过点D 作DE 垂直AB 交BC 的延长线于点E ，则CE 的长是_______．18．如图所示的正方形网格中，A，B，C，D，P是网格线交点．若∠APB＝α，则∠BPC的度数为 ____（用含α的式子表示）．19．如图，透明的圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为12cm，底面周长为10cm，在容器内壁离容器底部3cm的点B处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，且离容器上沿3cm的点A处，则蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径是______cm．20．如图，点A是∠MON=45°内部一点，且OA=4cm，分别在边OM，ON上各取一点B，C，分别连接A，B，C三点组成三角形，则△ABC最小周长为 ________ .三、解答题21．为迎接十四运，我区强力推进“三改一通一落地”，加速城市更新步伐．绿地广场有一=，E是AC上的一点，块三角形空地将进行绿化，如图，在ABC中，AB ACBC=，12CE=，135BE=．（1）判断ABE △的形状，并说明理由．（2）求线段AB 的长．22．如图是一个滑梯示意图，左边是楼梯，右边是滑道，已知滑道AC 与AE 的长度一样，滑梯的高度4,1BC m BE m ==．求滑道AC 的长度．23．如果正方形网格中的每一个小正方形边长都是1则每个小格的顶点叫做格点．（1）在图1中，以格点为顶点画一个三角形，使三角形的三边长分别为，3，5，22；（2）在图2中，线段AB 的端点在格点上，请画出以AB 为一边的三角形使这个三角形的面积为6（要求至少画出3个）；（3）在图3中，MNP △的顶点M ，N 在格点上，P 在小正方形的边上，问这个三角形的面积相当于多少个小方格的面积？24．如图，一架云梯长25米，斜靠在一面墙上，梯子靠墙的一端距地面24米． （1）这个梯子底端离墙有多少米？（2）如果梯子的顶端下滑了4米，那么梯子的底部在水平方向也滑动了4米吗？25．如图，△ABC 中，AB ＝6cm ，AC ＝42cm ，BC ＝25cm ，点P 以1cm/s 的速度从点B 出发沿边BA→AC 运动到点C 停止，运动时间为ts ，点Q 是线段BP 的中点． （1）若CP ⊥AB 时，求t 的值；（2）若△BCQ 是直角三角形时，求t 的值；26．阅读下面的情景对话，然后解答问题：老师：我们新定义一种三角形，两边平方和等于第三边平方的2倍的三角形叫做奇异三角形．小华：等边三角形一定是奇异三角形！小明：那直角三角形是否存在奇异三角形呢？（1）根据“奇异三角形”的定义，请你判断小华的说法：“等边三角形一定是奇异三角形”______正确（填“是”或“不是”）（2）在Rt ABC 中，两边长分别是52a =10c =，这个三角形是否是奇异三角形？请说明理由．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．C解析：C【分析】根据线段垂直平分线的性质得到AD=BD ，继而在Rt △BCD 中利用勾股定理列式进行计算即可．【详解】∵E 是AB 中点，DE AB ⊥，∴DE 是AB 的垂直平分线，∴DA DB =，则6DA DB AC CD CD ==-=-，在Rt CDB 中，∠C=90°，BC=3，∴222CD CB DB +=，即()22236CD CD +=-，∴94CD =． 故选：C ．【点睛】 本题考查了勾股定理，线段垂直平分线的性质，准确识图，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键．2．D解析：D【分析】直接利用勾股定理的逆定理验证即可．【详解】A 、∵222125+==， ∴以1、2为三边的三角形是直角三角形，A 不符合题意；B 、∵22234255+==，∴以3、5、4为三边的三角形是直角三角形，B 不符合题意；C 、∵22251216913+==，∴以5、12、13为三边的三角形是直角三角形，C 不符合题意；D 、∵2221310+=≠，∴以1、3为三边的三角形不是直角三角形，D 符合题意；故选：D ．【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理的应用，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键． 3．B解析：B【分析】根据AB AC =，AE 平分BAC ∠，得AE BC ⊥，12BE EC BC ==，从而得CD ，结合ACD CAD ∠=∠，得AD CD =，从而计算得AE ；连接BD ，通过证明BED CED △≌△，得BD CD AD ==，通过勾股定理得DF ，即可完成求解．【详解】∵AB AC =，AE 平分BAC ∠∴AE BC ⊥，142BE EC BC ===∴5CD ===∵ACD CAD ∠=∠∴5AD CD ==cm ，故①正确；∴8AE AD DE =+= ∴22224845AC EC AE =+=+=cm ，故②错误；∴45AB AC ==如图，连接BD∵90DE DE DEB DEF BE EC =⎧⎪∠=∠=⎨⎪=⎩∴BED CED △≌△∴BD CD = ∴5BD CD AD ===∵DF AB ⊥ ∴1252AF BF AB === ∴()22225255DF AD AF =-=-=cm ，故③错误； ∴11541022ACD S AD EC =⨯=⨯⨯=△cm ，故④正确； 故选：B ．【点睛】本题考查了等腰三角形、勾股定理、全等三角形的知识；解题的关键是熟练掌握等腰三角形三线合一、勾股定理、全等三角形的性质，从而完成求解． 4．B解析：B【分析】根据勾股定理的逆定理：如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个是直角三角形判定则可．如果有这种关系，就是直角三角形，没有这种关系，就不是直角三角形．【详解】解：A 、72+242＝52，能构成直角三角形，不符合题意；B 、112+402≠412，不能构成直角三角形，符合题意；C 、52+122＝132，能构成直角三角形，不符合题意；D 、82+152＝172，能构成直角三角形，不符合题意．故选：B ．【点睛】本题主要考查了勾股定理的逆定理，准确分析计算是解题的关键．5．B解析：B【分析】先由勾股定理求出BD=BC=1，得1，即可得出结论．【详解】解：∵∠C=90°，AC=2，BC=1，∴==∵BD=BC=1，∴1-，∴12AE AC =， 故选B ．【点睛】本题考查了黄金分割以及勾股定理，熟练掌握黄金分割和勾股定理是解题的关键． 6．C解析：C【分析】设AE=x ，由折叠BE=ED=9-x ，再在Rt △ABE 中使用勾股定理即可求出x ，进而求出△ABE 的面积．【详解】解：设AE=x ，由折叠可知：BE=ED=9-x ，在Rt △ABE 中，由勾股定理有：AB²+AE²=BE²，代入数据：3²+x²=(9-x)²，解得x=4，故AE=4，此时11=43622∆⨯=⨯⨯=ABE S AE AB ， 故选：C ．【点睛】本题考查了折叠问题中的勾股定理，利用折叠后对应边相等，设要求的边为x ，在一个直角三角形中，其余边用x 的代数式表示，利用勾股定理建立方程求解x ． 7．B解析：B【分析】作Rt △ABC 的三条中线AD 、BE 、CF ，由“匀称三角形”的定义可判断满足条件的中线是BE ，它是AC 边上的中线，设AC=2a ，则CE=a ，BE=2a ，在Rt △BCE 中∠BCE=90°，根据勾股定理可求出BC 、AB ，则AC ：BC ：AB 的值可求出．【详解】解：如图①，作Rt △ABC 的三条中线AD 、BE 、CF ，∵∠ACB=90°， ∴12CF AB AB =≠， 又在Rt △ABC 中，AD ＞AC ＞BC ，,AD BC ∴≠ ∴满足条件的中线是BE ，它是AC 边上的中线，设AC=2a ，则,2,CE AE a BE a ===在Rt △BCE 中∠BCE=90°， ∴223,BC BE CE a =-在Rt △ABC 中，()()2222237,AB BC AC a a a =+=+=∴AC ：BC ：AB=237237.a a a =故选：B ．【点睛】考查了新定义、勾股定理的应用，算术平方根的含义，解题的关键是理解“匀称三角形”的定义，灵活运用所学知识解决问题．8．B解析：B【分析】把此题转化成一个直角坐标系的问题，然后求各点坐标，最后利用勾股定理即可判断.【详解】设喷头在点P ，则A(6，0)，B （3，0）；C （3，3）；D （4.5；1.5）；P （14，0） 则AP=14-6=8m<10m ，故A 需调整；BP=14-3=11m>10m ，故B 不需调整；()221433130-+=，不需调整； ()2214 4.5 1.592.5-+=<10m ，故D 需调整；故选：B【点睛】此题考查了勾股定理的应用，根据坐标系找到相应点的坐标，根据勾股定理计算长度是解答此题的关键.9．C解析：C【分析】根据线段垂直平分线性质得出AD=BD，再用勾股定理即可求出AC．【详解】解：∵点D是线段AB的垂直平分线与BC的交点，BD=4，∴AD=BD=4，∴2222AC AD CD；4223故选：C．【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质，勾股定理的应用，掌握线段垂直平分线的性质是解题关键．10．B解析：B【分析】先求出四个直角三角形的面积，再求出直角三角形的斜边的长即可求解．【详解】解：∵大正方形的面积12，小正方形的面积是2，∴四个直角三角形的面积和是12-2=10，即4×1ab=102∴2ab=10，∵直角三角形的短直角边为a，较长的直角边为b∴a2+b2=12∴(a+b)2= a2+b2+2ab=22．故答案为B．【点睛】本题主要考查了勾股定理、三角形的面积、完全平方公式等知识点，完全平方公式和勾股定理的灵活变形是解答本题的关键．11．D解析：D【分析】利用角平分线构造全等，使两线段可以合二为一，则EC+EF的最小值即为点C到AB的垂线段长度．【详解】在AB 上取一点G ，使AG ＝AF∵在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝3，BC ＝4∴AB=5，∵∠CAD ＝∠BAD ，AE ＝AE ，∴△AEF ≌△AEG （SAS ）∴FE ＝GE ，∴要求CE+EF 的最小值即为求CE+EG 的最小值，故当C 、E 、G 三点共线时，符合要求，此时，作CH ⊥AB 于H 点，则CH 的长即为CE+EG 的最小值，此时，AC BC AB CH =，∴CH=·AC AB BC=125， 即：CE+EF 的最小值为125，故选：D ．【点睛】本题考查了角平分线构造全等以及线段和差极值问题，灵活构造辅助线是解题关键． 12．B解析：B【分析】直接根据梯形ABCD 的面积的两种算法进行解答即可．【详解】解：由图形可得：EDA CDE CEB ABCD S S S S ++=△△△四边形故答案为B ．【点睛】本题主要考查了勾股定理的证明方法，将图形的面积用两种方式表示出来成为解答本题的关键．二、填空题13．【分析】根据图形得到根据勾股定理推出【详解】解：由题意得所以故答案为：【点睛】此题考查勾股定理的应用观察图形理解各部分图形的面积的关系利用勾股定理解决问题是解题的关键 解析：98π．【分析】 根据图形得到22111228AC S AC ππ⎛⎫== ⎪⎝⎭，22211228BC S BC ππ⎛⎫== ⎪⎝⎭，根据勾股定理推出()22121188S S AC BC π+=+=298AB ππ=. 【详解】 解：由题意，得22111228AC S AC ππ⎛⎫== ⎪⎝⎭，22211228BC S BC ππ⎛⎫== ⎪⎝⎭， 所以()22121188S S AC BC π+=+=298AB ππ=， 故答案为：98π.【点睛】此题考查勾股定理的应用，观察图形理解各部分图形的面积的关系，利用勾股定理解决问题是解题的关键. 14．【分析】根据勾股定理得到圆弧的半径长利用数轴上两点间的距离公式即可求解【详解】解：根据题意可得：圆的半径为则点A 表示的数是故答案为：【点睛】本题考查勾股定理数轴上两点间的距离利用勾股定理求出半径长是解析：1【分析】根据勾股定理得到圆弧的半径长，利用数轴上两点间的距离公式即可求解．【详解】=则点A 表示的数是1，故答案为：1【点睛】本题考查勾股定理、数轴上两点间的距离，利用勾股定理求出半径长是解题的关键． 15．4【分析】过A 作AP ⊥BC 于P 根据勾股定理以及垂线段最短即可得到结论【详解】解：过A 作AP ⊥BC 于P ∵AB=AC=5∴BP=BC=3在Rt △ABP 中由勾股定理得AP=4∵点P 是线段BC 上一动点∴AP解析：4【分析】过A 作AP ⊥BC 于P ，根据勾股定理以及垂线段最短即可得到结论．【详解】解：过A 作AP ⊥BC 于P ，∵AB=AC=5，∴BP=12BC=3， 在Rt △ABP 中，由勾股定理得，AP=4∵点P 是线段BC 上一动点，∴AP≥4所以，AP 的最小值为4故答案为：4．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质以及勾股定理，求出AP=4是解题的关键．16．或【分析】过点C 作交x 轴于点N 延长NC 至点M 使根据勾股定理解得ACBC 的长再证明由全等三角形对应边相等解得再根据设用加减消元法解得x 的值最终得到点C 的坐标【详解】解：过点C 作交x 轴于点N 延长NC 至点 解析：()1,1-或()1,1-【分析】过点C 作CN OA ⊥交x 轴于点N ，延长NC 至点M 使BM CM ⊥，根据勾股定理解得AC 、BC 的长，再证明()NAC BCM AAS ≅，由全等三角形对应边相等解得NC BM =，再根据3AOB S =△，设=,NC BM x ON AN CM y ====，用加减消元法解得x 的值，最终得到点C 的坐标．【详解】解：过点C 作CN OA ⊥交x 轴于点N ，延长NC 至点M 使BM CM ⊥，Rt ABC 为等腰直角三角形，222AC BC AB ∴+=22AC BC ∴==90NAC ACN ∠+∠=︒90BCM ACN ∠+∠=︒NAC MCB ∴∠=∠()NAC MCB AAS ∴≅NC BM ∴=设=,NC BM x ON AN CM y ====AO y x ∴=-在t R CMB 中，2228x y BC +==① 3AOB S =1()()32x y y x ∴+-= 226y x -=②①-②得，21x =1x ∴=±(1,1)C ∴-或(1,1)C -故答案为：()1,1-或()1,1-．【点睛】本题考查等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质，其中涉及勾股定理等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．17．【分析】连接AE 设CE ＝x 由线段垂直平分线的性质可知AE ＝BE ＝BC ＋CE 在Rt △ACE 中利用勾股定理即可求出CE 的长度【详解】解：如图连接AE 设∵点D 是线段AB 的中点且∴DE 是AB 的垂直平分线∴∴ 解析：76【分析】连接AE ，设CE ＝x ，由线段垂直平分线的性质可知AE ＝BE ＝BC ＋CE ，在Rt △ACE 中，利用勾股定理即可求出CE 的长度．【详解】解：如图，连接AE ，设CE x =， ∵点D 是线段AB 的中点，且DE AB ⊥，∴DE 是AB 的垂直平分线，∴3AE BE BC CE x ==+=+，∴在Rt ACE 中，222AE AC CE =+，即()22234x x +=+， 解得76x =． 故答案为：76． 【点睛】 本题考查了线段垂直平分线的性质、勾股定理的应用，熟练掌握线段垂直平分线的性质并利用勾股定理求解线段的长度是解题的关键．18．【分析】由图可知AC 的长根据勾股定理可以求得PAPC 的长再利用勾股定理的逆定理可以判断△PAC 的形状从而可以得到∠CPA 的度数然后即可得到∠BPC=∠CPA−∠APB 的度数【详解】设网格的长度为1则解析：90-α︒ 【分析】由图可知AC 的长，根据勾股定理可以求得PA 、PC 的长，再利用勾股定理的逆定理可以判断△PAC 的形状，从而可以得到∠CPA 的度数，然后即可得到∠BPC=∠CPA−∠APB 的度数．【详解】设网格的长度为1，则223332+=223332+= ，AC=6222AP PC AC +=∴ △PAC 为等腰直角三角形∴∠CPA=90︒∴∠BPC=∠CPA−∠APB=90-α︒故答案为：90-α︒【点睛】本题考查勾股定理的逆定理、勾股定理，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．19．13【分析】如图将容器侧面展开建立A 关于的对称点根据两点之间线段最短可知的长度即为所求【详解】将圆柱沿A 所在的高剪开展平如图所示则作A 关于的对称点连接则此时线段即为蚂蚁走的最短路径过B 作于点则在中由 解析：13【分析】如图，将容器侧面展开，建立A 关于MM '的对称点A '，根据两点之间线段最短可知A B '的长度即为所求．【详解】将圆柱沿A 所在的高剪开，展平如图所示，则10cm MM NN '='=，作A 关于MM '的对称点A '，连接A B '，则此时线段A B '即为蚂蚁走的最短路径，过B 作BD A A ⊥'于点D ，则5,''123312cm BD NE cm A D MN A M BE ===+-=+-=，在Rt A BD '中， 由勾股定理得2213cm A B A D BD ''=+=，故答案为：13．【点睛】本题考查了轴对称的性质，最短路径问题，勾股定理的应用等，正确利用侧面展开图、熟练运用相关知识是解题的关键．20．4【分析】作A 关于OM 的对称点A´A 关于ON 的对称点A´´根据垂直平分线上的点到两端点的距离相等得AB=A´BAC=A´´COA=OA´=OA´´=4再由勾股定理求得A´A´´长由三角形周长公式结合解析：42【分析】作A 关于OM 的对称点A´，A 关于ON 的对称点A´´，根据垂直平分线上的点到两端点的距离相等得AB=A´B ，AC=A´´C ，OA=OA´=OA´´=4，再由勾股定理求得A´A´´长，由三角形周长公式结合等量代换即可求得答案．【详解】作A 关于OM 的对称点A´，A 关于ON 的对称点A´´，如图，∴AB=A´B ，AC=A´´C ，OA=OA´=OA´´=4，∵∠MON=45°∴∠AOA´´=90°∴A´A´´2244+2（cm ）∴△ABC 周长=AB+AC+BC=A´B+A´´C+BC=A´A´´2（cm ）即△ABC 的周长最小值为2故答案为：2【点睛】本题考查了轴对称、垂直平分线、勾股定理的知识；解题的关键是熟练掌握轴对称、垂直平分线、勾股定理的性质，从而完成求解．三、解答题21．（1）ABE △是直角三角形；理由见解析；（2）线段AB 的长为16.9．【分析】（1）根据勾股定理的逆定理证明即可；（2）设AB AC x ==，则5AE x =-，由勾股定理列得222BE AE AB +=，代入数值得22212(5)x x +-=，计算即可．【详解】解：（1）ABE △是直角三角形．理由：∵22222213169,12144,525BC BE CE ======，∴222169BE CE BC +==，∴90BEC ∠=︒，∴BE AC ⊥，∴ABE △是直角三角形．（2）设AB AC x ==，则5AE x =-，由（1）可知ABE △是直角三角形，∴222BE AE AB +=，∴22212(5)x x +-=，解得16.9x =，∴线段AB 的长为16.9．【点睛】此题考查勾股定理及逆定理，熟练掌握勾股定理及逆定理的运算及应用是解题的关键． 22．5m【分析】设AC xm =，则(),1AE AC xm AB AE BE x m ===-=-，根据勾股定理得到222AB BC AC +=，即()22214x x -+=，解方程即可． 【详解】解：设AC xm =，则(),1AE AC xm AB AE BE x m ===-=-，由题意得：090ABC ∠=，在Rt ABC ∆中，222AB BC AC +=，∴()22214x x -+= 解得8.5x =，∴8.5AC m =．【点睛】此题考查勾股定理的实际应用，解一元一次方程，根据题意建立直角三角形，从而利用勾股定理解决实际问题是解题的关键．23．（1）见解析；（2）见解析；（3）10【分析】（1）可先画长度为32，宽为1的矩形的对角线，是边长为2的正方形的对角线，画图即可；（2）画高为3的三角形即可；（3）首先求出△MNP 的面积，进而得出答案．【详解】解：（1）如图所示，（2）如图所示：（3）△MNP 的面积为：1542⨯⨯=10，故这个小三角形的面积相当于10个小正方形的面积．【点睛】本题考查无理数概念、勾股定理的应用、三角形的面积，正确掌握三角形面积求法是解题关键．24．（1）7米；（2）不是【分析】（1）利用勾股定理直接求出边长即可；（2）梯子的顶端下滑了4米，则20a =米，利用勾股定理求出b 的值，判断是否梯子的底部在水平方向也滑动了4米．【详解】（1）如图，由题意得此时a ＝24米，c ＝25米，由勾股定理得222+=a b c ，∴2225247b =-=（米）；（2）不是，如果梯子的顶端下滑了4米，此时20a =米，25c =米， 由勾股定理，22252015b =-=（米），1578-=（米），即梯子的底部在水平方向滑动了8米．【点睛】本题考查勾股定理的应用，解题的关键是掌握用勾股定理解直角三角形的方法． 25．（1）2；（2）4或6＋42﹣25【分析】（1）如图1中，作CH ⊥AB 于H ．设BH ＝x ，利用勾股定理构建方程求出x ，当点P 与H 重合时，CP ⊥AB ，此时t ＝2；（2）由题意易知分两种情形①如图2中，当点Q 与H 重合时，BP ＝2BQ ＝4，②如图3中，当CP ＝CB ＝25时，CQ ⊥PB ，然后根据题意求解即可解决问题．【详解】解：（1）如图1中，作CH ⊥AB 于H ．设BH ＝x ，∵CH ⊥AB ，∴∠CHB ＝∠CHA ＝90°，∴AC 2﹣AH 2＝BC 2﹣BH 2，∴（42）2﹣（6﹣x ）2＝（25）2﹣x 2，解得x ＝2，∴当点P 与H 重合时，CP ⊥AB ，此时t ＝2．（2）由（1）可得：BH=2，CH=4，∴点P 的运动路程为1×t=t ，∴如图2中，当点Q 与H 重合时，则有BP ＝2BQ ＝4，此时t ＝4；如图3中，当CP ＝CB ＝5CQ ⊥PB ，此时t ＝6＋（2﹣56＋2﹣5+，△BCQ是直角三角形．综上所述：当t＝4或64225【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质及勾股定理，熟练掌握等腰三角形的性质及勾股定理是解题的关键．26．（1）是；（2）①当c为斜边时，Rt△ABC不是奇异三角形；②当b为斜边时，Rt△ABC是奇异三角形．【分析】（1）根据题中所给的奇异三角形的定义直接进行判断即可；（2）分c是斜边和b是斜边两种情况，再根据勾股定理判断出所给的三角形是否符合奇异三角形的定义．【详解】解：（1）设等边三角形的边长为a，∵a2+a2=2a2，∴等边三角形一定是奇异三角形，∴“等边三角形一定是奇异三角形”是正确的，故答案为：是；(2)①当c为斜边时，Rt△ABC不是奇异三角形；②当b为斜边时，Rt△ABC是奇异三角形；理由如下，分两种情况：①当c为斜边时，2252c a-=∴a=b，∴a2+c2≠2b2(或b2+c2≠2a2)，∴Rt△ABC不是奇异三角形；②当b为斜边时，22c a=，+56∵a2+b2=200，∴2c2=200，∴a2+b2=2c2，∴Rt△ABC是奇异三角形．【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，需要熟练掌握勾股定理的公式，运用分类讨论的思想是解决第（2）问的关键．。

一、选择题1．如图，在ABC 中，90C ∠=︒，点E 是AB 的中点，点D 是AC 边上一点，且DE AB ⊥，连接DB ．若6AC =，3BC =，则CD 的长（ ）A ．112B ．32C ．94D ．32．如图，长方形的长为3，宽为2，对角线为OB ，且OA OB =，则下列各数中与点A 表示的数最接近的是（ ）A ．-3.5B ．-3.6C ．-3.7D ．-3.8 3．在ABC 中，10AB =，40AC =，BC 边上的高6AD =，则另一边BC 等于（ ）A ．10B ．8C ．6或10D ．8或104．有一圆柱高为12cm ，底面半径为5πcm ，在圆柱下底面点A 处有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与点A 相对的点B 处的食物，则沿侧面爬行的最短路程是（ ）A ．12cmB ．13cmC ．10cmD ．16cm 5．如图，在Rt ABC 中，AB AC =，BAC 90∠=︒，点D ，E 为BC 上两点．DAE 45∠=︒，F 为ABC 外一点，且FB BC ⊥，FA AE ⊥，则下列结论： ①CE BF =；②222BD CE DE +=；③ADE 1S AD EF 4=⋅△；④222CE BE 2AE +=，其中正确的是( )A ．①②③④B ．①②④C ．①③④D ．②③ 6．如图甲，直角三角形ABC 的三边a ，b ，c ，满足222+=a b c 的关系．利用这个关系，探究下面的问题：如图乙，OAB 是腰长为1的等腰直角三角形，90OAB ∠=︒，延长OA 至1B ，使1AB OA =，以1OB 为底，在OAB 外侧作等腰直角三角形11OA B ，再延长1OA 至2B ，使121A B OA =，以2OB 为底，在11OA B 外侧作等腰直角三角形22OA B ，……，按此规律作等腰直角三角形n n OA B （1n ≥，n 为正整数），则22A B 的长及20212021OA B 的面积分别是（ ）A ．2，20202B ．4，20212C ．22，20202D ．2，20192 7．在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ＝1.点Q 在直线BC 上，且AQ ＝2，则线段BQ 的长为（ ）A ．3B ．5C ．31+或31-D ．51+或51- 8．如图，90ABC ︒∠=，//AD BC ，以B 为圆心，BC 长为半径画弧，与射线AD 相交于点E ，连接BE ，过点C 作CF BE ⊥，垂足为F ．若6AB =，10BC =，则EF 的长为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．49．如图，在△ABC 中，∠C =90°，点D 在边BC 上，AD =BD ，DE 平分∠ADB 交AB 于点E ．若AC =12，BC =16，则AE 的长为（ ）A ．6B ．8C ．10D ．1210．在ABC 中，A ∠、B 、C ∠的对应边分别是a 、b 、c ，下列条件中不能说明ABC 是直角三角形的是（ ）A ．222b a c =-B ．C A B ∠=∠+∠ C ．::3:4:5A B C ∠∠∠=D ．::5:12:13a b c =11．下图是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案，已知大正方形面积为49，小正方形面积为4，若用x ，y 表示直角三角形的两直角边()x y >，下列四个说法：①2249x y +=，②2x y -=，③2449xy +=，④9x y +=．其中说法正确的是（ ）．A ．①③B ．①②③C ．②④D ．①②③④12．给出下列说法： ①在直角三角形ABC 中，已知两边长为3和4，则第三边长为5；②三角形的三边a b c 、、满足222+=a b c ，则90︒∠=C ；③ABC ∆中，若::1:5:6A B C ∠∠∠=，则ABC ∆是直角三角形；④ABC ∆中，若::1:2:3a b c =其中，错误的说法的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4二、填空题13．清代数学家梅文鼎在《勾股举隅》一书中，用四个全等的直角三角形拼出正方形ABCD 的方法证明了勾股定理（如图），若Rt ABC △的斜边10AB =，=6BC ，则图中线段CE 的长为______．14．如图，△ABC 中，∠ACB ＝90°，分别以AC 、BC 为斜边作等腰直角三角形 S 1、S 2，以AB 为边作正方形S ．若S 1与S 2的面积和为9，则正方形S 的边长等于_______．15．如图，在长方形ABCD 中，4AB =，8BC =，点E 是BC 边上一点，且AE EC =，点P 是AD 边上一动点，连接PE 、PC ．给出下列结论：①3BE =；②当5AP =时，//AE CP ；③当256AP =时，AE 平分BEP ∠； ④若PBE EPC ∠=∠，则BPC PEC ∠=∠．其中正确的是______．16．《九章算术》中有一道“引葭赴岸”问题：“仅有池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问水深，葭长各几何？”题意是：有一个池塘，其地面是边长为10尺的正方形，一棵芦苇AB 生长在它的中央，高出水面部分BC 为1尺．如果把芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边，那么芦苇的顶部B 恰好碰到岸边的B '（示意图如图，则水深为__尺．17．已知一个三角形三边的长分别为5,10,15，则这个三角形的面积是_________________．18．如图，在边长为23的等边三角形ABC 中，过点C 作垂直于BC 的直线交∠ABC 的平分线于点P ，则点P 到边AB 所在直线的距离为_________．19．如图，教室的墙面ADEF 与地面ABCD 垂直，点P 在墙面上．若5PA AB ==米，点P 到AD 的距离是3米，有一只蚂蚁要从点P 爬到点B ，它的最短行程是______米．20．如图ABC 中，∠C ＝90°，∠B ＝22.5°，DE 垂直平分AB ，交BC 于点E ，若CE ＝2，则BE ＝______________．三、解答题21．三国时代东吴数学家赵爽（字君卿，约公元3世纪）在《勾股圆方图注》一书中用割补的方法构造了“弦图”（如图1，并给出了勾股定理的证明．已知，图2中涂色部分是直角边长为,a b ，斜边长为c 的4个直角三角形，请根据图2利用割补的方法验证勾股定理．22．如图，长方体盒子（无盖）的长、宽、高分别是12cm ，8cm ，30cm ，在AB 中点C 处有一滴蜜糖，一只小虫从D 处爬到C 处去吃，有无数种走法，则最短路程是多少？23．某学习小组在探究三角形全等时，发现了下面这种典型的基本图形：（1）如下图，已知：在ABC 中，90BAC ∠=︒，AB AC =，直线m 经过点A ，BD ⊥直线m ，CE ⊥直线m ，垂足分别为点D 、E 、试猜想DE 、BD 、CE 有怎样的数量关系，请直接写出_________（2）组员小颖想，如果三个角不是直角，那结论是否会成立呢？如下图，将（1）中的条件改为：在ABC 中，AB AC =，D 、A 、E 三点都在直线m 上，并且有BDA AEC BAC α∠=∠=∠=（其中α为任意锐角或钝角）﹒如果成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由．（3）数学老师赞赏了他们的探索精神，并鼓励他们运用这个知识来解决问题：如下图，F 是BAC ∠角平分线上的一点，且ABF 和ACF 均为等边三角形，D 、E 分别是直线m 上A 点左右两侧的动点（D 、E 、A 互不重合），在运动过程中线段DE 的长度为n ，连接BD 、CE ，若BDA AEC BAC ∠=∠=∠．①试判断DEF 的形状，并说明理由．②直接写出DEF 的面积．24．如图，在ABC 中，AB AC =，点D 是BC 的中点，连接AD ，CBE 45∠=︒，BE 分别交AC ，AD 于点E 、F ，若AB 13,BC 10==，求AF 的长度．25．学校操场边上一块空地（阴影部分）需要绿化，测出3m CD =，4m AD =，12m BC =，13m AB =，AD CD ⊥．（1）求证：90ACB ∠=︒．（2）求需要绿化部分的面积．26．如图：AB =AC ，AD ⊥BC 于D ，AE =DE ．求证：（1）DE ∥AB ；（2）若∠B =60°，DE =2，求AD 的长．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．C解析：C【分析】根据线段垂直平分线的性质得到AD=BD ，继而在Rt △BCD 中利用勾股定理列式进行计算即可．【详解】∵E 是AB 中点，DE AB ⊥，∴DE 是AB 的垂直平分线，∴DA DB =，则6DA DB AC CD CD ==-=-，在Rt CDB 中，∠C=90°，BC=3，∴222CD CB DB +=，即()22236CD CD +=-， ∴94CD =． 故选：C ．【点睛】 本题考查了勾股定理，线段垂直平分线的性质，准确识图，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键．2．B解析：B【分析】先根据勾股定理求得A 点坐标，再利用二分法估算即可得出13比较接近-3.6．【详解】解：∵长方形的长为3，宽为2， ∴223213OA OB ==+=，∴A 所表示的数为13-，∵23.612.9613=<，23.713.6913=>，∴13-介于-3.6和-3.7之间，∵23.6513.322513=>， ∴13-比较接近-3.6，故选：B ．【点睛】本题考查勾股定理，算术平方根的估算．掌握二分法估算是解题关键．3．C解析：C【分析】分两种情况分类讨论，如图所示，分别在Rt ABD △与Rt ACD △中，利用勾股定理求出BD 与CD 的长，即可求出BC 的长．【详解】根据题意画出图形，如图所示，AD 是ABC 的高，∴90ADB ADC ∠=∠=︒，如图1，10AB =，40AC ，6AD =，在Rt ABD △中，由勾股定理得：222AD BD AB +=，∴22221068BD AB AD =--=，在Rt ACD △中，由勾股定理得：222AD CD AC +=，∴()22224062CD AC AD =-=-=，∴10BC BD CD =+=；如图2，10AB =，40AC 6AD =，在Rt ABD △中，由勾股定理得：222AD BD AB +=，∴22221068BD AB AD =--=，在Rt ACD △中，由勾股定理得：222AD CD AC +=，∴()22224062CD AC AD =-=-=，∴6BC BD CD =-=，∴BC 的长度为：6或10．故选：C ．【点睛】本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．4．B解析：B【分析】要想求得最短路程，首先要把A 和B 展开到一个平面内．根据两点之间，线段最短求出蚂蚁爬行的最短路程．【详解】解：展开圆柱的半个侧面是矩形，矩形的长是圆柱的底面周长的一半，即52ππ=5cm ，矩形的宽是圆柱的高12cm ． 根据两点之间线段最短，知最短路程是矩形的对角线AB 的长，即AB=222251213AC BC +=+=cm 故选：B ．【点睛】此题考查最短路径问题，求两个不在同一平面内的两个点之间的最短距离时，一定要展开到一个平面内．根据两点之间，线段最短．确定要求的长，再运用勾股定理进行计算． 5．A解析：A【分析】①利用全等三角形的判定得AFB ≌AEC ，再利用全等三角形的性质得结论；②利用全等三角形的判定和全等三角形的性质得FD DE =，再利用勾股定理得结论；③利用等腰三角形的性质得AD EF EF 2EG ⊥=，，再利用三角形的面积计算 结论；④利用勾股定理和等腰直角三角形的性质计算得结论．【详解】解：如图：对于①，因为BAC 90FA AE DAE 45∠∠=︒⊥=︒，，，所以CAE 90DAE BAD 45BAD ∠∠∠∠=︒--=︒-，FAB 90DAE BAD 45BAD ∠∠∠∠=︒--=︒-，因此CAE FAB ∠∠=．又因为BAC 90AB AC ∠=︒=，，所以ABC ACB 45∠∠==︒．又因为FB BC ⊥，所以FBA ACB 45∠∠==︒．因此AFB ≌()AEC ASA △，所以CE BF =．故①正确．对于②，由①知AFB ≌AEC ，所以AF AE =．又因为DAE 45FA AE ∠=︒⊥，，所以FAD DAE 45∠∠==︒，连接FD ， 因此AFD ≌()AED SAS △．所以FD DE =．在Rt FBD △中，因为CE BF =，所以222222BD CE BD BF FD DE +=+==．故②正确．对于③，设EF 与AD 交于G ．因为FAD DAE 45AF AE ∠∠==︒=，，所以AD EF EF 2EG ⊥=，． 因此ΔADE 11S AD EG AD EF 24=⨯⨯=⨯⨯． 故③正确．对于④，因为CE BF =， 又在Rt FBE △中，22222CE BE BF BE FE +=+= 又AEF △是以EF 为斜边的等腰直角三角形，所以22EF 2AE =因此，222CE BE 2AE +=．故④正确．故选A ．【点睛】本题考查了全等三角形的判定，全等三角形的性质，勾股定理，等腰三角形的性质和三角形的面积． 6．A解析：A【分析】根据题意结合等腰直角三角形的性质，即可判断出22A B 的长，再进一步推出一般规律，利用规律求解20212021OA B 的面积即可．【详解】由题意可得：11OA AB AB ===，12OB =，∵11OA B 为等腰直角三角形，且“直角三角形ABC 的三边a ，b ，c ，满足222+=a b c 的关系”，∴根据题意可得：1112OA A B ==， ∴21222OB OA ==， ∴()222222OA A B ===， ，∴总结出()2n n OA =， ∵111122△OAB S =⨯⨯=，1112212△OA B S =⨯⨯=，2212222△OA B S =⨯⨯=， ∴归纳得出一般规律：()()112222n n n n n OA B S-=⨯⨯=， ∴2021202120202OA B S =，故选：A ．【点睛】本题考查等腰直角三角形的性质，图形变化类的规律探究问题，立即题意并灵活运用等腰直角三角形的性质归纳一般规律是解题关键．7．C解析：C【分析】分Q 在CB 延长线上和Q 在BC 延长线上两种情况分类讨论，求出CQ 长，根据线段的和差关系即可求解．【详解】解：如图1，当Q 在CB 延长线上时，在Rt △ACQ 中，2222213CQ AQ AC =-=-=，∴BQ=CQ-BC=31-；如图2，当Q 在BC 延长线上时，在Rt △ACQ 中，2222213CQ AQ AC =-=-=，∴BQ=CQ+BC=31+；∴BQ 3131．故选：C【点睛】本题考查了勾股定理，根据题意画出图形，分类讨论是解题关键． 8．B解析：B【分析】根据题意结合勾股定理可求出AE 长，再根据//AD BC ，可证明AEB CBF ∠=∠，即可证明()ABE FCB AAS ≅，得出结论BF=AE ，即可求出EF ． 【详解】根据题意可知BC=BE=10，90BAE BFC ∠=∠=︒．在Rt ABE △中，22221068AEBE AB ． ∵//AD BC ，∴AEB CBF ∠=∠，∴()ABE FCB AAS ≅，∴BF=AE=8，∴EF=BE-BF=10-8=2．故选：B ．【点睛】本题考查三角形全等的判定和性质，平行线的性质以及勾股定理．利用“角角边”证明ABE FCB ≅是解答本题的关键．9．C解析：C【分析】首先根据勾股定理求得斜边AB 的长度，然后结合等腰三角形的性质来求AE 的长度．【详解】解：如图，在△ABC 中，∠C=90°，AC=12，BC=16，由勾股定理知：2222121620AB AC BC =+=+=，∵AD=BD ，DE 平分∠ADB 交AB 于点E ．∴1102AE BE AB ===， 故选：C ．【点睛】 本题主要考查了勾股定理和等腰三角形三线合一．在直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．10．C解析：C【分析】根据直角三角形的定义和勾股定理逆定理逐项判断即可．【详解】A ．222b a c =-，即222b c a +=，根据勾股定理逆定理可知ABC 是直角三角形，故A 不符合题意．B ．根据三角形内角和180A BC ∠+∠+∠=︒与C A B ∠=∠+∠，得出2180C ∠=︒，即90C ∠=︒，所以ABC 是直角三角形，故B 不符合题意．C ．设3A x ∠=，则4B x ∠=，5C x ∠=，根据三角形内角和180A B C ∠+∠+∠=︒，即345180x x x ++=︒，解得15x =︒，即45A ∠=︒、60B ∠=︒、75C ∠=︒．所以ABC 不是直角三角形，故C 符合题意．D ．设5a x =，则12b x =，13c x =，由222(5)(12)(13)x x x +=可知222+=a b c ，根据勾股定理逆定理可知ABC 是直角三角形，故D 不符合题意．故选：C ．【点睛】本题考查直角三角形的判定，利用勾股定理逆定理判断是否为直角三角形是解题的关键． 11．B解析：B【分析】根据直角三角形的性质，直角三角形面积的计算公式及勾股定理解答即可．【详解】解：如图所示，∵△ABC 是直角三角形，∴根据勾股定理：22249x y AB +==，故①正确；由图可知2x y CE -===，故②正确；由图可知，四个直角三角形的面积与小正方形的面积之和为大正方形的面积， 列出等式为144492xy ⨯+=， 即2449xy +=，故③正确； 由2449xy +=可得245xy =，又∵2249x y +=，两式相加得：2224945x xy y ++=+，整理得：()294x y +=，9x y +=≠，故④错误； 故正确的是①②③．故选：B ．【点睛】 本题主要考查了勾股定理的应用，掌握勾股定理、直角三角形的面积公式和完全平方公式是解题的关键．12．A解析：A【分析】分4为直角三角形的直角边和斜边两种情况，根据勾股定理即可判断①；根据勾股定理的逆定理即可判断②④；根据三角形的内角和定理即可求出三角形的三个内角，进而可判断③；从而可得答案．【详解】解：若4为直角三角形ABC 5=，若4为直角三角形ABC=，故①错误；三角形的三边a b c 、、满足222+=a b c ，则90C ∠=︒，故②正确；△ABC 中，若::1:5:6A B C ∠∠∠=，所以11801512A ∠=︒⨯=︒，51807512B ∠=︒⨯=︒，61809012C ∠=︒⨯=︒，所以ABC 是直角三角形，故③正确；△ABC 中，若::1:2a b c =,2,a k b k c ===，因为)()222222242a c k k k b +=+===，所以这个三角形是直角三角形，故④正确．综上，错误的说法是①，有1个．故选：A ．【点睛】本题考查了三角形的内角和、勾股定理及其逆定理等知识，属于基础题型，熟练掌握上述知识是解题的关键．二、填空题13．【分析】根据勾股定理求出AC 根据全等三角形的性质得到AF ＝BC ＝6EF ＝AC ＝8求出FC 根据勾股定理计算得到答案【详解】解：在Rt △ABC 中AC ＝∵Rt △ACB ≌Rt △EFA ∴AF ＝BC ＝6EF ＝A 解析：217 【分析】 根据勾股定理求出AC ，根据全等三角形的性质得到AF ＝BC ＝6，EF ＝AC ＝8，求出FC ，根据勾股定理计算，得到答案．【详解】解：在Rt △ABC 中，AC ＝22221068AB BC -=-=，∵Rt △ACB ≌Rt △EFA ，∴AF ＝BC ＝6，EF ＝AC ＝8，∴FC ＝AC ﹣AF ＝2，∴CE ＝222282217EF FC +=+=，故答案为：217．【点睛】本题考查的是勾股定理、全等三角形的性质，掌握勾股定理、全等三角形的对应边相等是解题的关键．14．6【分析】过D 作DE ⊥AC 于E 根据等腰直角三角形的性质推出DE=AE=CE=AC 求得同理：求出=36根据勾股定理得求出S==36即可得到答案【详解】如图：过D 作DE ⊥AC 于E ∵△ACD 是等腰直角三角解析：6【分析】过D 作DE ⊥AC 于E ，根据等腰直角三角形的性质推出DE=AE=CE=12AC ，求得21111224S AC AC AC =⋅=，同理：2214S BC =，求出22AC BC +=36，根据勾股定理得222AC BC AB +=，求出S=2AB =36，即可得到答案．【详解】如图：过D 作DE ⊥AC 于E ，∵△ACD 是等腰直角三角形，∴AD=CD ，90D ∠=︒，45CAD ACD ∠=∠=︒，∴AE=CE ，45ADE CDE ∠=∠=︒，∴CAD ACD ADE CDE ∠=∠=∠=∠，∴DE=AE=CE=12AC ， ∴21111224S AC AC AC =⋅=， 同理：2214S BC =， ∴221211944S S AC BC +=+=， ∴22AC BC +=36，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，222AC BC AB +=，∴S=2AB =36，∴正方形S 的边长等于6，故答案为：6．．【点睛】此题考查等腰直角三角形的性质，勾股定理，正确掌握与运用等腰直角三角形的性质是解题的关键．15．①②③④【分析】设BE=x 则=8－x 利用勾股定理列出方程即可判断①；利用SAS 证出△AEP ≌△CPE 即可证出∠AEP=∠CPE 从而判断②；过点E 作EH ⊥AD 于H 利用勾股定理求出PE 从而得出PA=PE解析：①②③④【分析】设BE=x ，则AE EC ==8－x ，利用勾股定理列出方程即可判断①；利用SAS 证出△AEP ≌△CPE ，即可证出∠AEP=∠CPE ，从而判断②；过点E 作EH ⊥AD 于H ，利用勾股定理求出PE ，从而得出PA=PE ，利用等边对等角可得∠PAE=∠PEA ，再根据平行线的性质可得∠AEB=∠PAE，从而判断③；根据三角形的内角和定理即可判断④．【详解】解：设BE=x，则AE EC==8－x，在Rt△ABE中，AB2＋BE2=AE2∴42＋x2=（8－x）2解得：x=3即BE=3，故①正确；∴BE=EC=5若5AP=∴AP=CE，∵四边形ABCD为长方形∴AD∥BC∴∠APE=∠CEP∵PE=EP∴△AEP≌△CPE∴∠AEP=∠CPE∴//AE CP，故②正确；当256AP=时，过点E作EH⊥AD于H，∴AH=BE=3，HE=AB=4∴PH=AP－AH=76∴22PH HE+25 6∴PA=PE∴∠PAE=∠PEA∵AD∥BC∴∠AEB=∠PAE，∴∠AEB=∠PEA∴EA平分BEP∠，故③正确；∵∠BPC=180°－∠PCB－∠PBE∠PEC=180°－∠PCB－∠EPC∵PBE EPC∠=∠∴BPC PEC∠=∠，故④正确；综上：正确的有①②③④故答案为：①②③④．【点睛】此题考查的是勾股定理、全等三角形的判定及性质、等腰三角形的性质、平行线的判定及性质和三角形内角和定理的应用，掌握勾股定理、全等三角形的判定及性质、平行线的判定及性质和三角形内角和定理是解题关键．16．12【分析】依题意画出图形设芦苇长AB=AB=x尺则水深AC=（x﹣1）尺因为BE=10尺所以BC=5尺利用勾股定理求出x的值即可得到答案【详解】解：依题意画出图形设芦苇长AB=AB=x尺则水深AC解析：12【分析】依题意画出图形，设芦苇长AB=AB'=x尺，则水深AC=（x﹣1）尺，因为B'E=10尺，所以B'C=5尺，利用勾股定理求出x的值即可得到答案．【详解】解：依题意画出图形，设芦苇长AB=AB'=x尺，则水深AC=（x﹣1）尺，因为B'E=10尺，所以B'C=5尺，在Rt△AB'C中，52+（x﹣1）2=x2，解之得x=13，即水深12尺，芦苇长13尺．故答案为：12．．【点睛】此题考查勾股定理的实际应用，正确理解题意，构建直角三角形利用勾股定理解决问题是解题的关键．17．【分析】根据勾股定理的逆定理判断这是一个直角三角形再结合面积公式求解【详解】解：∵∴∴该三角形为直角三角形∴其面积为故答案为：【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理以及二次根式的乘法法则熟练掌握勾股定理522【分析】根据勾股定理的逆定理，判断这是一个直角三角形，再结合面积公式求解．【详解】解：∵2215+=，215=， ∴222+=，∴该三角形为直角三角形，∴其面积为12=【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理以及二次根式的乘法法则，熟练掌握勾股定理的逆定理是解决本题的关键． 18．2【分析】根据△ABC 为等边三角形BP 平分∠ABC 得到∠PBC=30°利用PC ⊥BC 所以∠PCB=90°根据含30°直角三角形边的特殊关系和勾股定理即可解答【详解】解：∵△ABC 为等边三角形BP 平分解析：2【分析】根据△ABC 为等边三角形，BP 平分∠ABC ，得到∠PBC=30°，利用PC ⊥BC ，所以∠PCB=90°，根据含30°直角三角形边的特殊关系和勾股定理即可解答.【详解】解：∵△ABC 为等边三角形，BP 平分∠ABC ， ∴1302PBC ABC ∠=∠=︒ ， ∵PC ⊥BC ，∴∠PCB=90°，在Rt △PCB 中，设PC x =，则 2PB x =,根据勾股定理可得：(()2222x x +=，且0x >， 解得：2x =，∵∠ABC 的平分线是PB ，∴点P 到边AB 所在直线的距离与点P 到边BC 所在直线的距离相等.故答案为：2．【点睛】本题考查了等边三角形的性质、角平分线的性质、利用勾股定理求值，解决本题的关键是等边三角形的性质． 19．【分析】可将教室的墙面ADEF 与地面ABCD 展开连接PB 根据两点之间线段最短利用勾股定理求解即可【详解】解：如图过P 作PG ⊥BF 于G 连接PB ∵AG=3AP=AB=5∴∴BG=8∴故这只蚂蚁的最短行程解析：【分析】可将教室的墙面ADEF与地面ABCD展开，连接PB，根据两点之间线段最短，利用勾股定理求解即可．【详解】解：如图，过P作PG⊥BF于G，连接PB，∵AG=3，AP=AB=5，∴224-，==PG AP AG∴BG=8，∴2245B+=P GB GP故这只蚂蚁的最短行程应该是5故答案为：5【点睛】本题考查了平面展开-最短路径问题，立体图形中的最短距离，通常要转换为平面图形的两点间的线段长来进行解决．20．2【分析】根据线段垂直平分线的性质和等腰直角三角形的性质即可得到结论【详解】∵DE垂直平分AB∴AE＝BE∴∠EAB＝∠B＝225°∴∠AEC＝∠EAB＋∠B＝45°∵∠C＝90°∴AC＝CE＝2A解析：2【分析】根据线段垂直平分线的性质和等腰直角三角形的性质即可得到结论．【详解】∵DE垂直平分AB，∴AE＝BE，∴∠EAB＝∠B＝22.5°，∴∠AEC＝∠EAB＋∠B＝45°，∵∠C＝90°，∴AC＝CE＝2，AE2＝AC2＋CE2，∴AE2CE＝2，∴BE＝AE＝2．故答案为：2【点睛】此题考查了线段垂直平分线的性质以及等腰直角三角形性质．此题难度不大，注意数形结合思想的应用．三、解答题21．见解析【分析】根据总面积=以c 为边的正方形的面积+2个直角边长为,a b 的三角形的面积=以b 为上底、(a+b)为下底、高为b 的梯形的面积+以a 为上底、(a+b)为下底、高为a 的梯形的面积，据此列式求解．【详解】 证明：总面积()()21112222S c ab a b b b a a b a =+⨯=++⋅+++⋅ 222c a b ∴=+【点睛】此题考查的是勾股定理的证明，用两种方法表示同一图形的面积是解题关键．22．25cm【分析】根据题意易知可分三种情况进行展开，如图所示，然后根据勾股定理求出最短路程，最后比较即可．【详解】解：由题意分三种情况：①如图展开，连接DC ，则DC 的长就是从点D 爬到C 处的最短路程，在Rt △ADC 中，AD=12+8=20cm ，130152AC =⨯=cm ， ∴由勾股定理得：2225DC AD AC =+=cm ，②如图所示：在Rt △DFC 中，DF=12cm ，FC=8+15=23cm ，∴根据勾股定理得：2267325DC DF FC cm cm =+=>，因为长方体盒子是无盖的，所以这种情况不符合题意；③把长方体盒子按照正面、底面、背面进行展开，如图所示：∴DF=12cm ，FC=30+8+15=53cm ，∴在Rt △DFC 中，22295325DC DF FC cm cm +=>， 综上所述：从点D 爬到C 处的最段路程是25cm ． 【点睛】本题主要考查几何图形的展开图及勾股定理，熟练掌握几何图形的展开图及勾股定理是解题的关键．23．（1）DE BD CE =+；（2）结论DE BD CE =+成立，证明见解析；（3）①DFE △为等边三角形，证明见解析．23． 【分析】（1）由题意可知90ADB CEA ∠=∠=︒，又可推出ABD CAE ∠=∠，即可证明(AAS)ADB CEA ≌，得出BD AE =，AD CE =．即推出DE AD AE BD CE =+=+．（2）由题意易证ABD CAE ∠=∠，即证明(AAS)ADB CEA ≌，同理即DE AD AE BD CE =+=+．（3）①由（2）知(AAS)ADB CEA ≌，得出BD AE =，由ABD CAE ∠=∠，易证FBD FAE ∠=∠，又由题意可知FB=FA ，即证明出(SAS)FBD FAE ≌，得出结论FD FE =，BFD AFE ∠=∠，即可求出60DFE ∠=︒，即证明DEF 为等边三角形． ②由DE n =，DEF 为等边三角形，即可求出DEF 的面积．【详解】（1）DE BD CE =+，理由：∵90BAC ∠=︒，∴90BAD CAE ∠+∠=︒，∵BD m ⊥，∴90ADB CEA ∠=∠=︒，∴90BAD ABD ∠+∠=︒，∴ABD CAE ∠=∠，在ADB △和CEA 中，90ADB CEA ABD CAE AB AC ∠=∠=︒⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴(AAS)ADB CEA ≌， ∴BD AE =，AD CE =，∴DE AD AE BD CE =+=+．故答案为：DE BD CE =+．（2）结论DE BD CE =+成立；理由如下：∵180BAD CAE BAC ∠+∠=︒-∠，180BAD ABD ADB ∠+∠=︒-∠，BDA BAC ∠=∠，∴ABD CAE ∠=∠，在BAD 和ACE △中，ABD CAE ADB CEA AB AC α∠=∠⎧⎪∠=∠=⎨⎪=⎩，∴(AAS)BAD ACE ≌， ∴BD AE =，AD CE =，∴DE DA AE BD CE =+=+．（3）①DEF 为等边三角形，理由：由（2）得，BAD ACE ≌△△，∴BD AE =，∵ABD CAE ∠=∠，∴ABD FBA CAE FEC ∠+∠=∠+，即FBD FAE ∠=∠，在FBD 和FAE ∠中，FB FA FBD FAE BD AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴(SAS)FBD FAE ≌，∴FD FE =，BFD AFE ∠=∠，∴60DFE DFA AFE DFA BFD ∠=∠+∠=∠+∠=︒，∴DEF 为等边三角形．②∵DEF 为等边三角形．∴DEF 的高为2DE ．∴2132DFE S DE DE ==． 【点睛】本题考查三角形全等的判定和性质，等边三角形的判定和性质以及勾股定理．熟练掌握判定三角形全等的方法是解答本题的关键．24．7AF =【分析】根据点D 是BC 的中点得到BD=5 ，由勾股定理计算可得AD 的长，由等腰直角三角形性质得DF=5，最后由线段的差可得结论．【详解】解：AB AC AD BC =⊥，，BD CD ∴=，10BC =， 5BD ∴=，Rt ABD 中，13AB =，12AD ∴===，Rt BDF 中，45CBE ∠=，BDF ∴是等腰直角三角形，5DF BD ∴==，1257AF AD DF ∴=-=-=．【点睛】本题主要考查的是等腰三角形的性质，勾股定理，等腰直角三角形，结合题干中条件找出对应量是关键．25．（1）证明见解析；（2）224m【分析】（1）由AD ⊥CD ，可得△ACD 是直角三角形，根据勾股定理可求出AC=5，在△ABC 中，AB=13，BC=12，AC=5，可知222AB BC AC =+ ，继而证得∠ACB= 90︒；（2）根据S 阴影=ABC ACD SS -计算即可． 【详解】（1）证明：∵AD CD ⊥，∴ACD 为直角三角形，由勾股定理得：222AC CD AD =+，∵3m CD =，4m AD =，∴5m AC =，在ABC 中，2213169AB ==，2212144BC ==，22525AC ==，∴222AB BC AC =+，∴ACB △为直角三角形，∴90ACB ∠=︒．（2）ABC ACD S S S =-阴1122AC BC CD AD =⋅-⋅ 111253422=⨯⨯-⨯⨯ 306=-()224m =答：需要绿化的面积为224m ．【点睛】本题考查勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．26．（1）证明见解析；（2）【分析】（1）根据三线合一得BAD =∠CAD ，由AE =DE ，得∠CAD =∠EDA ，从而∠BAD =∠EDA ，所以DE ∥AB ；（2）由AB =AC ，∠B =60°，DE ∥AB ，得∠C =60°，∠EDC =∠B =60°，从而△DEC 为等边三角形， DE =DC =EC =AE =2，最后在Rt △ADC 中，由勾股定理求AD ．【详解】解：（1）∵AB =AC ，AD ⊥BC ，∴∠BAD =∠CAD ，∵AE =DE ，∴∠CAD =∠EDA ，∴∠BAD =∠EDA ，∴DE ∥AB（2）∵AB =AC ，∠B =60°，∴∠C =60°∵DE ∥AB ，∴∠EDC =∠B =60°，∴△DEC 为等边三角形，∴DE =DC =EC =AE =2在Rt △ADC 中，AD【点睛】本题考查了等腰三角形三线合一、等边对等角、平行线的判定和性质、等边三角形的判定和性质、勾股定理等内容，灵活运用是解题的关键．。