2020年春北师大版七年级数学下册同步分层练 1 第2课时垂线与垂线段(附解析)

1.如图,OA⊥OB,∠1=35°,则∠2的度数是( )A.35°B.45°C.55°D.70°2.如图,CD⊥EF,垂足为O,AB是过点O的直线,∠1=50°,则∠2的度数为( )A.50°B.40°C.60°D.70°3.如图,点O在直线AB上且OC⊥OD,若∠COA=36°,则∠DOB的大小为( )A.36°B.54°C.55°D.44°4.如图,已知OA⊥OB,OC⊥OD,∠AOC=27°,则∠BOD的度数是( )A.117°B.127°C.153°D.163°5.已知在同一平面内:①两条直线相交成直角;②两条直线互相垂直;③一条直线是另一条直线的垂线.那么下列因果关系:①→②③;②→①③;③→①②中,正确的有( )A.0个B.1个C.2个D.3个6.下列选项中,过点P画AB的垂线,三角板放法正确的是( )7.过一条线段外一点,作这条线段的垂线,垂足在( )A.这条线段上B.这条线段的端点处C.这条线段的延长线上D.以上都有可能8.下列说法正确的有( )①在同一平面内,过直线上一点有且只有一条直线垂直于已知直线;②在同一平面内,过直线外一点有且只有一条直线垂直于已知直线;③在同一平面内,过一点可以画一条直线垂直于已知直线;④在同一平面内,有且只有一条直线垂直于已知直线.A.1个B.2个C.3个D.4个9.如图,过点P作直线l的垂线和斜线,叙述正确的是( )A.都能作且只能作一条B.垂线能作且只能作一条,斜线可作无数条C.垂线能作两条,斜线可作无数条D.均可作无数条10.如图,如果直线ON⊥直线a,直线OM⊥直线a,那么OM与ON重合(即O,M,N三点共线),其理由是( )A.过两点只有一条直线B.在同一平面内,过两点有且只有一条直线与已知直线垂直C.在同一平面内,过一点有且只有一条直线与已知直线垂直D.两点之间,线段最短11.(1)在图①中,过AB外一点M作AB的垂线;(2)在图②中,分别过A,B作OB,OA的垂线.提升训练12.在直线AB上任取一点O,过点O作射线OC,OD,使OC⊥OD,当∠AOC=30°时,∠BOD的度数是多少?13.如图,直线AB与CD交于点O,OE⊥AB于点O,∠EOD：∠DOB=3：1,求∠COE的度数.14.已知OA⊥OB,OC⊥OD.(1)如图①,若∠BOC=50°,求∠AOD的度数.(2)如图②,若∠BOC=60°,求∠AOD的度数.(3)根据(1)(2)结果猜想∠AOD与∠BOC有怎样的关系?并根据图①说明理由.(4)如图②,若∠BOC∶∠AOD=7∶29,求∠COB和∠AOD的度数.15.(1)在图①中以P为顶点画∠P,使∠P的两边分别和∠1的两边垂直;(2)量一量∠P和∠1的度数,它们之间的数量关系是;(3)同样在图②和图③中以P为顶点作∠APB,使∠APB的两边分别和∠1的两边垂直,分别写出图②和图③中∠APB和∠1之间的数量关系(不要求写出理由).图②:,图③:;(4)由上述三种情形可以得到一个结论:如果一个角的两边分别和另一个角的两边垂直,那么这两个角(不要求写出理由).参考答案1.【答案】C2.【答案】B解：因为CD⊥EF,所以∠DOF=90°,即∠1+∠DOB=90°,而∠1=50°,所以∠DOB=40°.又∠DOB与∠2是对顶角,所以∠2=∠DOB=40°,故选B.3.【答案】B解：因为OC⊥OD,所以∠COD=90°.又因为∠AOC+∠COD+∠DOB=180°,所以∠DOB=180°-36°-90°=54°.故选B.4.【答案】C5.【答案】D6.【答案】C7.【答案】D解：作一条线段的垂线,实际上是作线段所在直线的垂线,垂足可能在这条线段上,可能在端点处,也可能在线段的延长线上.8.【答案】C解：①②③的说法都正确,但④的说法是错误的,平面内有无数条直线垂直于已知直线,故选C.9.【答案】B 10.【答案】C11.解:(1)如图①. (2)如图②.分析：本题易错之处在于误认为垂足一定落在线段或射线上.①②12.解:如图①,当OC,OD在AB同侧时,因为OC⊥OD,所以∠COD=90°.因为∠AOC=30°,所以∠BOD=180°-∠COD-∠AOC=60°.如图②,当OC,OD在AB异侧时,因为OC⊥OD,所以∠COD=90°.因为∠AOC=30°,所以∠AOD=90°-∠AOC=60°.所以∠BOD=180°-∠AOD=120°.分析：本题应用分类讨论思想,射线OC,OD的位置有两种情况:位于直线AB的同侧和位于直线AB的异侧,易错之处在于考虑不周忽略其中一种情况.13.解:因为OE⊥AB,所以∠EOB=∠EOA=90°.因为∠EOD∶∠DOB=3∶1,所以∠DOB=90°×=22.5°.因为∠AOC=∠DOB=22.5°,所以∠COE=∠EOA+∠AOC=90°+22.5°=112.5°.14.解:(1)因为OA⊥OB,所以∠AOB=90°,所以∠AOC=∠AOB-∠BOC=90°-50°=40°.因为OC⊥OD,所以∠CO D=90°,所以∠AOD=∠AOC+∠COD=40°+90°=130°.(2)因为OA⊥OB,所以∠AOB=90°.因为OC⊥OD,所以∠COD=90°,所以∠AOD=360°-∠AOB-∠BOC-∠COD=360°-90°-60°-90°=120°. (3)∠AOD与∠BOC互补.理由:因为OA⊥OB,所以∠AOB=90°,所以∠AOC=∠AOB-∠BOC=90°-∠BOC.因为OC⊥OD,所以∠COD=90°,所以∠AOD=∠AOC+∠COD=90°-∠BOC+90°=180°-∠BOC,所以∠AOD+∠BOC=180°,即∠AOD与∠BOC互补.(4)易知∠BOC+∠AOD=180°,又因为∠BOC∶∠AOD=7∶29,所以∠COB=35°,∠AOD=145°.15.解:(1)如图①.(2)∠1+∠P=180°(3)如图②,图③.∠1=∠APB;∠1=∠APB或∠1+∠APB=180°(4)相等或互补中考数学知识点代数式一、重要概念分类：1.代数式与有理式用运算符号把数或表示数的字母连结而成的式子，叫做代数式。

第2课时垂线与垂线段1．如图，OA⊥OB，若∠1＝55°，则∠2的度数是(A)A．35° B．40° C．45° D．60°2．如图所示，直线AB与CD相交于点O.下列说法不正确的是(D)A．若∠AOC＝90°，则AB⊥CDB．若AB⊥CD，垂足为O，则∠BOD＝90°C．当∠COB＝90°时，称AB与CD互相垂直D．AB与CD相交于点O，点O为垂足3．如图，点O为直线AB上一点，∠1＝20°，当∠2＝ 70°时，OC⊥OD.4．如图所示，直线AB与CD交于点O，MO⊥AB，垂足为O，ON平分∠AOD.若∠COM＝50°，求∠AON的度数．解：因为MO⊥AB，所以∠BOM＝90°.因为∠COM＝50°，所以∠AOD＝∠BOC＝90°－50°＝40°.因为ON平分∠AOD，所以∠AON＝12∠AOD＝20°.5．在下列各图中，分别过点P画线段MN的垂线．(用三角尺画图)解：如图．6．如图所示的方格纸中，每个方格均为边长为1的正方形，我们把每个小正方形的顶点称为格点．已知A，B，C都是格点，请按以下要求作图(注：下列求作的点均是格点)过点B作线段AB的垂线段BE.解：如图，线段BE即为所求．7．如图，已知OA⊥m，OB⊥m，所以OA与OB重合，其理由是(D)A．经过两点有且只有一条直线B．在同一平面上，一条直线只有一条垂线C．两点之间，线段最短D．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直8．(教材P42，想一想，T(2)改编)如图所示，点P到直线l的距离是(B)A．线段P A的长度B．线段PB的长度C．线段PC的长度D．线段PD的长度9．(2019·山东淄博一模)在下列图形中，线段PQ的长度能表示点P到直线l的距离的是(D)10．如图所示，在三角形ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D.(1)点A到BC的距离是线段AC的长，点A到CD的距离是线段AD的长；(2)比较大小：AC＞AD，AC＜AB，AB＞BC(填“＞”“＜”或“＝”)，其根据是垂线段最短；(3)AD＋CD＞AC(填“＞”“＜”或“＝”)，其根据是两点之间，线段最短．11．下列时刻中，时针与分针互相垂直的是(D)A．2时20分B．6时15分C．12时15分D．3时整12．在数学课上，同学们在练习过点B作线段AC所在直线的垂线段BE时，有一部分同学画出下列四种图形，请你数一数，错误的个数为(D)A．1个 B．2个 C．3个 D．4个13．已知OA⊥OB，O为垂足，且∠AOC∶∠AOB＝1∶2，则∠BOC等于(C)A．45°B．135°C．45°或135°D．60°或20°14．两条直线相交成四个角，则：①如果有三个角相等，那么这两条直线垂直；②如果有两个角相等，那么这两条直线垂直；③如果有一对对顶角互余，那么这两条直线垂直；④如果有两个角互补，那么这两条直线垂直．其中说法正确的个数为(A)A．1 B．2 C．3 D．415．小华站在长方形操场的左侧A处．(1)若要到操场的右侧，怎样走最近，在图1中画出所走路线．这是因为垂线段最短．；(2)若要到操场对面的B处，怎样走最近，在图2中画出所走路线．这是因为两点之间，线段最短．．16．如图，直线AB，CD相交于点O，OE⊥AB，点O为垂足，OF平分∠AOC，且∠COE∶∠AOC＝2∶5，求∠DOF的度数．解：因为OE⊥AB，所以∠AOE＝∠BOE＝90°.设∠COE＝2x°，∠AOC＝5x°.因为∠AOC－∠COE＝∠AOE，所以5x－2x＝90，解得x＝30，所以∠COE＝60°，∠AOC＝150°.因为OF 平分∠AOC，所以∠AOF＝75°.因为∠AOD＝∠BOC＝90°－∠COE＝30°，所以∠DOF＝∠AOD＋∠AOF＝105°.17．(2019·辽宁鞍山铁西区期末)已知直线CD⊥AB于点O，∠EOF＝90°，射线OP平分∠COF.(1)如图1，∠EOF在直线CD的右侧：①若∠COE＝30°，求∠BOF和∠POE的度数；②请判断∠POE与∠BOP之间存在怎样的数量关系，并说明理由．(2)如图2，∠EOF在直线CD的左侧，且点E在点F的下方：①请直接写出∠POE与∠BOP之间的数量关系；②请直接写出∠POE与∠DOP之间的数量关系．解：(1)①因为CD⊥AB，所以∠COB＝90°.因为∠EOF＝90°，所以∠COE＋∠BOE＝∠BOE ＋∠BOF＝90°，所以∠BOF＝∠COE＝30°，所以∠COF＝90°＋30°＝120°.因为OP平分∠COF，所以∠COP＝12∠COF＝60°，所以∠POE＝∠COP－∠COE＝30°.②∠POE＝∠BOP.理由如下：由①得∠BOF＝∠COE.因为OP平分∠COF，所以∠COP＝∠POF.又∠POE＝∠COP－∠COE，∠BOP＝∠POF－∠BOF，所以∠POE＝∠BOP.(2)①因为OP平分∠COF，所以∠COP＝∠POF.因为∠EOF＝∠BOC＝90°，所以∠POE＝90°＋∠POF，∠BOP＝90°＋∠COP，所以∠POE＝∠BOP.②因为∠POE＝∠BOP，∠DOP＋∠BOP＝270°，所以∠POE＋∠DOP＝270°.。

第2课时垂线1．理解并掌握垂线的概念及性质，了解点到直线的距离；2．能够运用垂线的概念及性质进行运算并解决实际问题．(重点，难点)一、情境导入如图是教室的一幅图片，黑板相邻两边的夹角等于多少度？这样的两条边所在的直线有什么位置关系？二、合作探究探究点一：垂线【类型一】运用垂线的概念求角度如图，直线BC与MN相交于点O，AO⊥BC，∠BOE＝∠NOE，若∠EON＝20°，求∠AOM和∠NOC的度数．解析：要求∠AOM的度数，可先求它的余角∠COM.由已知∠EON＝20°，结合∠BOE ＝∠NOE，即可求得∠BON.再根据“对顶角相等”即可求得∠COM的度数；要求∠NOC的度数，根据邻补角的定义即可．解：∵∠BOE＝∠NOE，∴∠BON＝2∠EON＝2×20°＝40°，∴∠NOC＝180°－∠BON＝180°－40°＝140°，∠MOC＝∠BON＝40°.∵AO⊥BC，∴∠AOC＝90°，∴∠AOM＝∠AOC －∠MOC＝90°－40°＝50°，∴∠NOC＝140°，∠AOM＝50°.方法总结：(1)由两条直线互相垂直可以得出这两条直线相交所成的四个角中，每一个角都等于90°；(2)在相交线中求角度，一般要利用垂直、对顶角相等、余角、补角等知识．【类型二】运用垂线的概念判定两直线垂直如图所示，已知OA⊥OC于点O，∠AOB＝∠COD.试判断OB和OD的位置关系，并说明理由．解析：由于OA⊥OC，根据垂直的定义，可知∠AOC＝90°，即∠AOB＋∠BOC＝90°.又∠AOB＝∠COD，则∠COD＋∠BOC＝90°，即∠BOD＝90°.再根据垂直的定义，得出OB ⊥OD.解：OB⊥OD.理由如下：因为OA⊥OC，所以∠AOC＝90°，即∠AOB＋∠BOC＝90°.因为∠AOB＝∠COD，所以∠COD＋∠BOC＝90°，所以∠BOD＝90°，所以OB⊥OD.方法总结：由垂直这一条件可得两条直线相交构成的四个角为直角，反过来，由两条直线相交构成的角为直角，可得这两条直线互相垂直．判断两条直线垂直最基本的方法就是说明这两条直线的夹角等于90°.探究点二：垂线的性质(垂线段最短)如图所示，修一条路将A，B两村庄与公路MN连起来，怎样修才能使所修的公路最短？画出线路图，并说明理由．解析：连接AB，过点B作BC⊥MN即可．解：连接AB，作BC⊥MN，C是垂足，线段AB和BC就是符合题意的线路图．因为从A到B，线段AB最短，从B到MN，垂线段BC最短，所以AB＋BC最短．方法总结：与垂线段有关的作图，一般是过一点作已知直线的垂线，作图的依据是“垂线段最短”．探究点三：点到直线的距离如图，AC⊥BC，AC＝3，BC＝4，AB ＝5.(1)试说出点A到直线BC的距离；点B到直线AC的距离；(2)点C到直线AB的距离是多少？解析：(1)点A 到直线BC 的距离就是线段AC 的长；点B 到直线AC 的距离就是线段BC 的长；(2)过点C 作CD ⊥AB ，垂足为D.点C 到直线AB 的距离就是线段CD 的长，可利用面积求得．解：(1)点A 到直线BC 的距离是3；点B 到直线AC 的距离是4；(2)过点C 作CD ⊥AB ，垂足为D.S △ABC ＝12BC ·AC ＝12AB ·CD ，所以5CD ＝3×4，所以CD ＝125.所以点C 到直线AB 的距离为125.方法总结：点到直线的距离是过这一点作已知直线的垂线，垂线段的长度才是这一点到直线的距离．三、板书设计 1．垂线的概念：两条直线相交所成的四个角中，如果有一个角是直角，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足．2．垂线的作法3．垂线的性质：平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短．本节课学习了垂线的概念和垂线的性质，垂直是相交的一种特殊情况，要说明两条相交线的位置关系，一般都是垂直．垂线的两条性质中，不要遗漏条件“在同一平面内”，以保证定理的精确性．对于垂线的概念和性质，要让学生理解记忆。

2.1两条直线的位置关系第2课时垂线教学目标1．理解并掌握垂线的概念及性质，了解点到直线的距离；2．能够运用垂线的概念及性质进行运算并解决实际问题．(重点，难点)教学过程一、情境导入如图是教室的一幅图片，黑板相邻两边的夹角等于多少度？这样的两条边所在的直线有什么位置关系？二、合作探究探究点一：垂　线【类型一】运用垂线的概念求角度如图，直线BC与MN相交于点O，AO⊥BC，∠BOE＝∠NOE，若∠EON＝20°，求∠AOM和∠NOC的度数．解析：要求∠AOM的度数，可先求它的余角∠COM.由已知∠EON＝20°，结合∠BOE＝∠NOE，即可求得∠BON.再根据“对顶角相等”即可求得∠COM的度数；要求∠NOC的度数，根据邻补角的定义即可．解：∵∠BOE＝∠NOE，∴∠BON＝2∠EON＝2×20°＝40°，∴∠NOC＝180°－∠BON＝180°－40°＝140°，∠MOC＝∠BON＝40°.∵AO⊥BC，∴∠AOC＝90°，∴∠AOM＝∠AOC－∠MOC＝90°－40°＝50°，∴∠NOC＝140°，∠AOM＝50°.方法总结：(1)由两条直线互相垂直可以得出这两条直线相交所成的四个角中，每一个角都等于90°；(2)在相交线中求角度，一般要利用垂直、对顶角相等、余角、补角等知识．【类型二】运用垂线的概念判定两直线垂直如图所示，已知OA⊥OC于点O，∠AOB＝∠COD.试判断OB和OD的位置关系，并说明理由．解析：由于OA⊥OC，根据垂直的定义，可知∠AOC＝90°，即∠AOB＋∠BOC＝90°.又∠AOB ＝∠COD ，则∠COD ＋∠BOC ＝90°，即∠BOD ＝90°.再根据垂直的定义，得出OB ⊥OD .解：OB ⊥OD .理由如下：因为OA ⊥OC ，所以∠AOC ＝90°，即∠AOB ＋∠BOC ＝90°.因为∠AOB ＝∠COD ，所以∠COD ＋∠BOC ＝90°，所以∠BOD ＝90°，所以OB ⊥OD .方法总结：由垂直这一条件可得两条直线相交构成的四个角为直角，反过来，由两条直线相交构成的角为直角，可得这两条直线互相垂直．判断两条直线垂直最基本的方法就是说明这两条直线的夹角等于90°.探究点二：垂线的性质(垂线段最短)如图所示，修一条路将A ，B 两村庄与公路MN 连起来，怎样修才能使所修的公路最短？画出线路图，并说明理由．解析：连接AB ，过点B 作BC ⊥MN 即可．解：连接AB ，作BC ⊥MN ，C 是垂足，线段AB 和BC 就是符合题意的线路图．因为从A 到B ，线段AB 最短，从B 到MN ，垂线段BC 最短，所以AB ＋BC 最短．方法总结：与垂线段有关的作图，一般是过一点作已知直线的垂线，作图的依据是“垂线段最短”．探究点三：点到直线的距离如图，AC ⊥BC ，AC ＝3，BC ＝4，AB ＝5.(1)试说出点A 到直线BC 的距离；点B 到直线AC 的距离；(2)点C 到直线AB 的距离是多少？解析：(1)点A 到直线BC 的距离就是线段AC 的长；点B 到直线AC 的距离就是线段BC 的长；(2)过点C 作CD ⊥AB ，垂足为D .点C 到直线AB 的距离就是线段CD 的长，可利用面积求得．解：(1)点A 到直线BC 的距离是3；点B 到直线AC 的距离是4；(2)过点C 作CD ⊥AB ，垂足为D .S △ABC ＝BC ·AC ＝AB ·CD ，所以5CD ＝3×4，所1212以CD ＝.所以点C 到直线AB 的距离为.125125方法总结：点到直线的距离是过这一点作已知直线的垂线，垂线段的长度才是这一点到直线的距离．三、板书设计1．垂线的概念：两条直线相交所成的四个角中，如果有一个角是直角，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足．2．垂线的作法3．垂线的性质：平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短．教学反思本节课学习了垂线的概念和垂线的性质，垂直是相交的一种特殊情况，要说明两条相交线的位置关系，一般都是垂直．垂线的两条性质中，不要遗漏条件“在同一平面内”，以保证定理的精确性．对于垂线的概念和性质，要让学生理解记忆。