高考数学复习 例题精选精练(14)

一、选择题(共6个小题，每小题5分，满分30分)1．已知a 、b 是异面直线，直线c ∥直线a ，则c 与b ( )A ．一定是异面直线B ．一定是相交直线C ．不可能是平行直线D ．不可能是相交直线解析：c 与b 不可能是平行直线，否则与条件矛盾．答案：C2．下列说法正确的是( )A ．如果两个不重合的平面α、β有一条公共直线a ，就说平面α、β相交，并记作α∩β＝aB ．两个平面α、β有一个公共点A ，就说α、β相交于过A 点的任意一条直线C ．两个平面α、β有一个公共点A ，就说α、β相交于A 点，并记作α∩β＝AD ．两个平面ABC 与DBC 相交于线段BC解析：根据平面的性质公理3可知，A 对；对于B ，其错误在于“任意”二字上；对于C ，错误在于α∩β＝A 上；对于D ，应为平面ABC 和平面DBC 相交于直线BC .答案：A3．如图，α∩β＝l ，A 、B ∈α，C ∈β，C ∉l ，直线AB ∩l ＝M ，过A 、B 、C 三点的平面记作γ，则γ与β的交线必通过( )A ．点AB ．点BC ．点C 但不过点MD ．点C 和点M解析：通过A 、B 、C 三点的平面γ，即是通过直线AB 与点C 的平面，M ∈AB .∴M ∈γ，而C ∈γ，又∵M ∈β，C ∈β.∴γ和β的交线必通过点C 和点M .答案：D4．正四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝2AB ，则异面直线A 1B 与AD 1所成角的余弦值为( ) A.15B.25C.35D.45解析：连结D 1C 、AC ，易证A 1B ∥D 1C ，∴∠AD 1C 即为异面直线A 1B 与AD 1所成的角．设AB ＝1，则AA 1＝2，AD 1＝D 1C ＝5，AC ＝2，∴cos ∠AD 1C ＝5＋5－22×5×5＝45， ∴异面直线A 1B 与AD 1所成角的余弦值为45.答案：D5．设四棱锥P－ABCD的底面不是平行四边形，用平面α去截此四棱锥(如图)，使得截面四边形是平行四边形，则这样的平面α( )A．不存在B．只有1个C．恰有4个D．有无数多个解析：设四棱锥的两组不相邻的侧面的交线为m、n，直线m、n确定了一个平面β.作与β平行的平面α，与四棱锥的各个侧面相截，则截得的四边形必为平行四边形．而这样的平面α有无数多个．答案：D6．正方体ABCD－A1B1C1D1中，P、Q、R分别是AB、AD、B1C1的中点．那么，正方体的过P、Q、R的截面图形是( )A．三角形B．四边形C．五边形D．六边形解析：边长是正方体棱长的22倍的正六边形．答案：D二、填空题(共3个小题，每小题5分，满分15分)7．如图所示，在三棱锥C－ABD中，E、F分别是AC和BD的中点，若CD＝2AB＝4，EF⊥AB，则EF与CD所成的角是________．解析：取CB的中点G，连结EG、FG，∴EG∥AB，FG∥CD，∴EF与CD所成的角为∠EFG.又∵EF⊥AB，∴EF⊥EG.在Rt △EFG 中，EG ＝12AB ＝1，FG ＝12CD ＝2， ∴sin ∠EFG ＝12，∴∠EFG ＝30°， ∴EF 与CD 所成的角为30°.答案：30°8．已知a 、b 为不垂直的异面直线，α是一个平面，则a 、b 在α上的射影可能是：①两条平行直线；②两条互相垂直的直线；③同一条直线；④一条直线及其外一点．则在上面的结论中，正确结论的编号是________(写出所有正确结论的编号)．解析：①、②、④对应的情况如下：用反证法证明③不可能．答案：①②④9．给出下面四个命题：①“直线a ∥直线b ”的充要条件是“a 平行于b 所在的平面”；②“直线l ⊥平面α内所有直线”的充要条件是“l ⊥平面α”；③“直线a 、b 为异面直线”的充分而不必要条件是“直线a 、b 不相交”；④“平面α∥平面β”的必要而不充分条件是“α内存在不共线三点到β的距离相等”．其中真命题的序号是________．(写出所有真命题的序号)解析：对于①，a 可能在b 所在的平面内，则由a ∥b ¿a 平行于b 所在的平面，同样由a 平行于b 所在的平面¿a ∥b ，①错；易知②正确；对于③，直线a ，b 不相交，则a ，b 除了异面外还可能平行，③错；易知④正确．答案：②④三、解答题(共3个小题，满分35分)10．如图，已知平面α，β，且α∩β＝l .设梯形ABCD 中，AD ∥BC ，且AB ⊂α，CD ⊂β.求证：AB ，CD ，l 共点(相交于一点)．证明：∵梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∴AB ，CD 是梯形ABCD 的两腰∴AB ，CD 必定相交于一点．设AB ∩CD ＝M .又∵AB ⊂α，CD ⊂β，∴M ∈α，且M ∈β，∴M ∈α∩β.又∵α∩β＝l ，∴M ∈l ，即AB ，CD ，l 共点．11．如图所示，在空间四边形ABCD 中，已知AD ＝1，BC ＝3，且AD⊥BC ，对角线BD ＝132，AC ＝32，求AC 和BD 所成的角的大小． 解：如图所示，分别取AD ，CD ，AB ，DB 的中点E ，F ，G ，H ，连结EF ，FH ，HG ，GE ，GF ，则由三角形中位线定理知EF ∥AC且EF ＝12AC ＝34， GE ∥BD 且GE ＝12BD ＝134， GH ∥AD ，GH ＝12AD ＝12， HF ∥BC ，HF ＝12BC ＝32， 从而可知GE 与EF 所成的锐角(或直角)即为AC 和BD 所成的角，GH 和HF 所成的锐角(或直角)即为AD 与BC 所成的角．∵AD ⊥BC ，∴∠GHF ＝90°∴GF 2＝GH 2＋HF 2＝1.在△EFG 中，EG 2＋EF 2＝1＝GF 2，∴∠GEF ＝90°，即AC 与BD 所成的角为90°.12．如图所示，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝AD ＝1，AA 1＝2，M 是棱CC 1的中点．(1)求异面直线A 1M 和C 1D 1所成的角的正切值；(2)证明：平面ABM ⊥平面A 1B 1M .解：(1)因为C1D1∥B1A1，所以∠MA1B1为异面直线A1M与C1D1所成的角．因为A1B1⊥平面BCC1B1，所以∠A1B1M＝90°.而A1B1＝1，B1M＝B1C21＋MC21＝2，故tan∠MA1B1＝B1MA1B1＝ 2.即异面直线A1M和C1D1所成的角的正切值为 2.(2)证明：由A1B1⊥平面BCC1B1，BM⊂平面BCC1B1，得A1B1⊥BM. ①由(1)知，B1M＝2，又BM＝BC2＋CM2＝2，B1B＝2，所以B1M2＋BM2＝B1B2，从而BM⊥B1M. ②又A1B1∩B1M＝B1，再由①②得BM⊥平面A1B1M，而BM⊂平面ABM，因此平面ABM⊥平面A1B1M.。

1、函数与导数（1）2、三角函数与解三角形3、函数与导数（2）4、立体几何5、数列（1）6、应用题7、解析几何8、数列（2）9、矩阵与变换10、坐标系与参数方程11、空间向量与立体几何12、曲线与方程、抛物线13、计数原理与二项式分布14、随机变量及其概率分布15、数学归纳法高考压轴大题突破练 (一)函数与导数(1)1．已知函数f (x )＝a e xx＋x .(1)若函数f (x )的图象在(1，f (1))处的切线经过点(0，－1)，求a 的值；(2)是否存在负整数a ，使函数f (x )的极大值为正值？若存在，求出所有负整数a 的值；若不存在，请说明理由．解 (1)∵f ′(x )＝a e x (x －1)＋x 2x 2，∴f ′(1)＝1，f (1)＝a e ＋1.∴函数f (x )在(1，f (1))处的切线方程为 y －(a e ＋1)＝x －1，又直线过点(0，－1)，∴－1－(a e ＋1)＝－1， 解得a ＝－1e.(2)若a <0，f ′(x )＝a e x (x －1)＋x 2x 2，当x ∈(－∞，0)时，f ′(x )>0恒成立，函数在(－∞，0)上无极值；当x ∈(0,1)时，f ′(x )>0恒成立，函数在(0,1)上无极值．方法一 当x ∈(1，＋∞)时，若f (x )在x 0处取得符合条件的极大值f (x 0)，则⎩⎪⎨⎪⎧x 0>1，f (x 0)>0，f ′(x 0)＝0，则0000200201,e 0,e (1)0,x x x a x x a x x x ⎛> +> -+ = ⎝①②③由③得0e x a ＝－x 20x 0－1，代入②得－x 0x 0－1＋x 0>0，结合①可解得x 0>2，再由f (x 0)＝0e x a x ＋x 0>0，得a >－020e x x ，设h (x )＝－x 2e x ，则h ′(x )＝x (x －2)e x ，当x >2时，h ′(x )>0，即h (x )是增函数， ∴a >h (x 0)>h (2)＝－4e2.又a <0，故当极大值为正数时，a ∈⎝⎛⎭⎫－4e 2，0， 从而不存在负整数a 满足条件．方法二 当x ∈(1，＋∞)时，令H (x )＝a e x (x －1)＋x 2， 则H ′(x )＝(a e x ＋2)x ，∵x ∈(1，＋∞)，∴e x ∈(e ，＋∞)， ∵a 为负整数，∴a ≤－1，∴a e x ≤a e ≤－e ， ∴a e x ＋2<0，∴H ′(x )<0， ∴H (x )在(1，＋∞)上单调递减．又H (1)＝1>0，H (2)＝a e 2＋4≤－e 2＋4<0， ∴∃x 0∈(1,2)，使得H (x 0)＝0， 且当1<x <x 0时，H (x )>0，即f ′(x )>0； 当x >x 0时，H (x )<0，即f ′(x )<0.∴f (x )在x 0处取得极大值f (x 0)＝0e x a x ＋x 0.(*)又H (x 0)＝0e x a (x 0－1)＋x 20＝0， ∴00e x a x ＝－x 0x 0－1，代入(*)得f (x 0)＝－x 0x 0－1＋x 0＝x 0(x 0－2)x 0－1<0， ∴不存在负整数a 满足条件． 2．已知f (x )＝ax 3－3x 2＋1(a >0)，定义h (x )＝max{f (x )，g (x )}＝⎩⎪⎨⎪⎧f (x )，f (x )≥g (x )，g (x )，f (x )<g (x ).(1)求函数f (x )的极值；(2)若g (x )＝xf ′(x )，且∃x ∈[1,2]使h (x )＝f (x )，求实数a 的取值范围． 解 (1)∵函数f (x )＝ax 3－3x 2＋1， ∴f ′(x )＝3ax 2－6x ＝3x (ax －2)， 令f ′(x )＝0，得x 1＝0或x 2＝2a ，∵a >0，∴x 1<x 2，当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：∴f (x )的极大值为f (0)＝1，极小值为f ⎝⎛⎭⎫2a ＝8a 2－12a 2＋1＝1－4a 2. (2)g (x )＝xf ′(x )＝3ax 3－6x 2， ∵∃x ∈[1,2]，使h (x )＝f (x )，∴f (x )≥g (x )在[1,2]上有解，即ax 3－3x 2＋1≥3ax 3－6x 2在[1,2]上有解， 即不等式2a ≤1x 3＋3x 在[1,2]上有解，设y ＝1x 3＋3x ＝3x 2＋1x 3(x ∈[1,2])，∵y ′＝－3x 2－3x 4<0对x ∈[1,2]恒成立，∴y ＝1x 3＋3x 在[1,2]上单调递减，∴当x ＝1时，y ＝1x 3＋3x 的最大值为4，∴2a ≤4，即a ≤2.高考中档大题规范练 (一)三角函数与解三角形1．(2017·江苏宿迁中学质检)已知函数f (x )＝sin 2x ＋23sin x cos x ＋sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4sin ⎝⎛⎭⎫x －π4，x ∈R . (1)求f (x )的最小正周期和值域；(2)若x ＝x 0⎝⎛⎭⎫0≤x 0≤π2为f (x )的一个零点，求sin 2x 0的值． 解 (1)易得f (x )＝sin 2x ＋3sin 2x ＋12(sin 2x －cos 2x )＝1－cos 2x 2＋3sin 2x －12cos 2x ＝3sin 2x －cos 2x ＋12＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6＋12， 所以f (x )的最小正周期为π，值域为⎣⎡⎦⎤－32，52. (2)由f (x 0)＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x 0－π6＋12＝0，得 sin ⎝⎛⎭⎫2x 0－π6＝－14<0，又由0≤x 0≤π2，得－π6≤2x 0－π6≤5π6，所以－π6≤2x 0－π6<0，故cos ⎝⎛⎭⎫2x 0－π6＝154， 此时sin 2x 0＝sin ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫2x 0－π6＋π6 ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x 0－π6cos π6＋cos ⎝⎛⎭⎫2x 0－π6sin π6 ＝－14×32＋154×12＝15－38.2．(2017·江苏南通四模)已知向量m ＝⎝⎛⎭⎫sin x 2，1，n ＝⎝⎛⎭⎫1，3cos x2，函数f (x )＝m ·n . (1)求函数f (x )的最小正周期；(2)若f ⎝⎛⎭⎫α－2π3＝23，求f ⎝⎛⎭⎫2α＋π3的值． 解 (1)f (x )＝m ·n ＝sin x 2＋3cos x2＝2⎝⎛⎭⎫12sin x 2＋32cos x2＝2⎝⎛⎭⎫sin x 2cos π3＋cos x 2sin π3 ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x 2＋π3，所以函数f (x )的最小正周期为T ＝2π12＝4π.(2)由f ⎝⎛⎭⎫α－2π3＝23，得2sin α2＝23，即sin α2＝13. 所以f ⎝⎛⎭⎫2α＋π3＝2sin ⎝⎛⎭⎫α＋π2＝2cos α ＝2⎝⎛⎭⎫1－2sin 2α2＝149. 3．(2017·江苏南师大考前模拟)已知△ABC 为锐角三角形，向量m ＝⎝⎛⎭⎫cos ⎝⎛⎭⎫A ＋π3，sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π3，n ＝(cos B ，sin B )，并且m ⊥n . (1)求A －B ；(2)若cos B ＝35，AC ＝8，求BC 的长．解 (1)因为m ⊥n ，所以m ·n ＝cos ⎝⎛⎭⎫A ＋π3cos B ＋sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π3sin B＝cos ⎝⎛⎭⎫A ＋π3－B ＝0. 因为0<A ，B <π2，所以－π6<A ＋π3－B <5π6，所以A ＋π3－B ＝π2，即A －B ＝π6.(2)因为cos B ＝35，B ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，所以sin B ＝45， 所以sin A ＝sin ⎝⎛⎭⎫B ＋π6＝sin B cos π6＋cos B sin π6 ＝45×32＋35×12＝43＋310， 由正弦定理可得BC ＝sin A sin B×AC ＝43＋3.4．(2017·江苏镇江三模)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且(a －c )(sin A ＋sin C )＝(b －3c )sin B . (1)求角A ；(2)若f (x )＝cos 2(x ＋A )－sin 2(x －A )，求f (x )的单调递增区间． 解 (1)由(a －c )(sin A ＋sin C )＝(b －3c )sin B 及正弦定理， 得(a －c )(a ＋c )＝(b －3c )b ，即a 2＝b 2＋c 2－3bc . 由余弦定理，得cos A ＝32， 因为0<A <π，所以A ＝π6.(2)f (x )＝cos 2(x ＋A )－sin 2(x －A ) ＝cos 2⎝⎛⎭⎫x ＋π6－sin 2⎝⎛⎭⎫x －π6 ＝1＋cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π32－1－cos ⎝⎛⎭⎫2x －π32＝12cos 2x ， 令π＋2k π≤2x ≤2π＋2k π，k ∈Z ， 得π2＋k π≤x ≤π＋k π，k ∈Z . 则f (x )的单调增区间为⎣⎡⎦⎤π2＋k π，π＋k π，k ∈Z .(二)函数与导数(2)1．设函数f (x )＝2(a ＋1)x (a ∈R )，g (x )＝ln x ＋bx (b ∈R )，直线y ＝x ＋1是曲线y ＝f (x )的一条切线． (1)求a 的值；(2)若函数y ＝f (x )－g (x )有两个极值点x 1，x 2. ①试求b 的取值范围； ②证明：g (x 1)＋g (x 2)f (x 1)＋f (x 2)≤1e 2＋12.解 (1)设直线y ＝x ＋1与函数y ＝f (x )的图象相切于点(x 0，y 0)， 则y 0＝x 0＋1，y 0＝2(a ＋1)x 0，a ＋1x 0＝1，解得a ＝0. (2)记h (x )＝f (x )－g (x )，则h (x )＝2x －ln x －bx .①函数y ＝f (x )－g (x )有两个极值点的必要条件是h ′(x )有两个正零点． h ′(x )＝1x －1x－b ＝－bx ＋x －1x ，令h ′(x )＝0，得bx －x ＋1＝0(x >0)． 令x ＝t ，则t >0.问题转化为bt 2－t ＋1＝0有两个不等的正实根t 1，t 2，等价于⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝1－4b >0，t 1t 2＝1b >0，t 1＋t 2＝1b>0，解得0<b <14.当0<b <14时，设h ′(x )＝0的两正根为x 1，x 2，且x 1<x 2，则h ′(x )＝－bx ＋x －1x ＝－b (x －x 1)(x －x 2)x ＝－b (x －x 1)(x －x 2)x (x ＋x 1)(x ＋x 2).当x ∈(0，x 1)时，h ′(x )<0； 当x ∈(x 1，x 2)时，h ′(x )>0； 当x ∈(x 2，＋∞)时，h ′(x )<0.所以x 1，x 2是h (x )＝f (x )－g (x )的极值点， ∴b 的取值范围是⎝⎛⎭⎫0，14. ②由①知x 1x 2＝x 1＋x 2＝1b.可得g (x 1)＋g (x 2)＝－2ln b ＋1b －2，f (x 1)＋f (x 2)＝2b ，所以g (x 1)＋g (x 2)f (x 1)＋f (x 2)＝12－b ln b －b .记k (b )＝12－b ln b －b ⎝⎛⎭⎫0<b <14， 则k ′(b )＝－ln b －2，令k ′(b )＝0，得b ＝1e 2∈⎝⎛⎭⎫0，14， 且当b ∈⎝⎛⎭⎫0，1e 2时，k ′(b )>0，k (b )单调递增； 当b ∈⎝⎛⎭⎫1e 2，14时，k ′(b )<0，k (b )单调递减， 且当b ＝1e 2时，k (b )取最大值1e 2＋12，所以g (x 1)＋g (x 2)f (x 1)＋f (x 2)≤1e 2＋12.2．设函数f (x )＝2ax ＋bx＋c ln x .(1)当b ＝0，c ＝1时，讨论函数f (x )的单调区间；(2)若函数f (x )在x ＝1处的切线为y ＝3x ＋3a －6且函数f (x )有两个极值点x 1，x 2，x 1<x 2. ①求a 的取值范围； ②求f (x 2)的取值范围．解 (1)f (x )＝2ax ＋bx ＋c ln x ，x >0，f ′(x )＝2a －b x 2＋c x ＝2ax 2＋cx －bx 2.当b ＝0，c ＝1时，f ′(x )＝2ax ＋1x. 当a ≥0时，由x >0，得f ′(x )＝2ax ＋1x >0恒成立，所以函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增．当a <0时，令f ′(x )＝2ax ＋1x >0，解得x <－12a ；令f ′(x )＝2ax ＋1x <0，解得x >－12a，所以，函数f (x )在⎝⎛⎭⎫0，－12a 上单调递增，在⎝⎛⎭⎫－12a ，＋∞上单调递减． 综上所述，①当a ≥0时，函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增；②当a <0时，函数f (x )在⎝⎛⎭⎫0，－12a上单调递增，在⎝⎛⎭⎫－12a ，＋∞上单调递减． (2)①函数f (x )在x ＝1处的切线为y ＝3x ＋3a －6， 所以f (1)＝2a ＋b ＝3a －3，f ′(1)＝2a ＋c －b ＝3， 所以b ＝a －3，c ＝－a ，f ′(x )＝2a －b x 2＋c x ＝2ax 2－ax ＋3－ax 2，函数f (x )有两个极值点x 1，x 2，x 1<x 2，则方程2ax 2－ax ＋3－a ＝0有两个大于0的解，⎩⎨⎧Δ＝(－a )2－8a (3－a )>0，a 2a >0，3－a2a >0，解得83<a <3.所以a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫83，3. ②2ax 22－ax 2＋3－a ＝0， x 2＝a ＋9a 2－24a 4a ＝14⎝⎛⎭⎫1＋9－24a ，由83<a <3，得x 2∈⎝⎛⎭⎫14，12， 由2ax 22－ax 2＋3－a ＝0，得a ＝－32x 22－x 2－1.f (x 2)＝2ax 2＋a －3x 2－a ln x 2＝a ⎝⎛⎭⎫2x 2＋1x 2－ln x 2－3x 2 ＝－32x 2＋1x 2－ln x 22x 22－x 2－1－3x 2. 设φ(t )＝－32t ＋1t －ln t2t 2－t －1－3t，t ∈⎝⎛⎭⎫14，12， φ′(t )＝－3⎝⎛⎭⎫2－1t 2－1t (2t 2－t －1)－⎝⎛⎭⎫2t ＋1t －ln t (4t －1)(2t 2－t －1)2＋3t2 ＝－31t 2(2t 2－t －1)2＋3⎝⎛⎭⎫2t ＋1t －ln t (4t －1)(2t 2－t －1)2＋3t 2＝3⎝⎛⎭⎫2t ＋1t －ln t (4t －1)(2t 2－t －1)2. 当t ∈⎝⎛⎭⎫14，12时，2t ＋1t－ln t >0,4t －1>0，φ′(t )>0，所以φ(t )在⎝⎛⎭⎫14，12上单调递增， φ(t )∈⎝⎛⎭⎫163ln 2，3＋3ln 2， 所以f (x 2)的取值范围是⎝⎛⎭⎫163ln 2，3＋3ln 2. (二)立体几何1．(2017·江苏扬州调研)如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 为梯形，CD ∥AB ，AB ＝2CD ，AC 交BD 于O ，锐角△P AD 所在平面⊥底面ABCD ，P A ⊥BD ，点Q 在侧棱PC 上，且PQ ＝2QC .求证：(1)P A ∥平面QBD ； (2)BD ⊥AD .证明 (1)如图，连结OQ ，因为AB ∥CD ，AB ＝2CD ，所以AO ＝2OC . 又PQ ＝2QC ，所以P A ∥OQ . 又OQ ⊂平面QBD ，P A ⊄平面QBD ， 所以P A ∥平面QBD .(2)在平面P AD 内过P 作PH ⊥AD 于点H ，因为侧面P AD ⊥底面ABCD ，平面P AD ∩平面ABCD ＝AD ，PH ⊂平面P AD ，所以PH ⊥平面ABCD .又BD ⊂平面ABCD ，所以PH ⊥BD .又P A ⊥BD ，P A ∩PH ＝P ，所以BD ⊥平面P AD . 又AD ⊂平面P AD ，所以BD ⊥AD .2．如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是正方形，AC 与BD 交于点O ，PC ⊥底面ABCD ，E 为PB 上一点，G 为PO 的中点．(1)若PD∥平面ACE，求证：E为PB的中点；(2)若AB＝2PC，求证：CG⊥平面PBD.证明(1)连结OE，由四边形ABCD是正方形知，O为BD的中点，因为PD∥平面ACE，PD⊂平面PBD，平面PBD∩平面ACE＝OE，所以PD∥OE.因为O为BD的中点，所以E为PB的中点．(2)在四棱锥P－ABCD中，AB＝2PC，因为四边形ABCD是正方形，所以OC＝22AB，所以PC＝OC.因为G为PO的中点，所以CG⊥PO.又因为PC⊥底面ABCD，BD⊂底面ABCD，所以PC⊥BD.而四边形ABCD是正方形，所以AC⊥BD，因为AC，PC⊂平面P AC，AC∩PC＝C，所以BD⊥平面P AC，因为CG⊂平面P AC，所以BD⊥CG.因为PO，BD⊂平面PBD，PO∩BD＝O，所以CG⊥平面PBD.3．(2017·江苏怀仁中学模拟)如图，在四棱锥E－ABCD中，△ABD为正三角形，EB＝ED，CB＝CD.(1)求证：EC⊥BD；(2)若AB⊥BC，M，N分别为线段AE，AB的中点，求证：平面DMN∥平面BCE.证明(1)取BD的中点O，连结EO，CO.∵CD＝CB，EB＝ED，∴CO⊥BD，EO⊥BD.又CO∩EO＝O，CO，EO⊂平面EOC，∴BD⊥平面EOC.又EC⊂平面EOC，∴BD⊥EC.(2)∵N是AB的中点，△ABD为正三角形，∴DN⊥AB，∵BC⊥AB，∴DN∥BC.又BC⊂平面BCE，DN⊄平面BCE，∴DN∥平面BCE.∵M为AE的中点，N为AB的中点，∴MN∥BE，又MN⊄平面BCE，BE⊂平面BCE，∴MN∥平面BCE.∵MN∩DN＝N，∴平面DMN∥平面BCE.4．(2017·江苏楚水中学质检)如图，在三棱锥P－ABC中，点E，F分别是棱PC，AC的中点．(1)求证：P A∥平面BEF；(2)若平面P AB⊥平面ABC，PB⊥BC，求证：BC⊥P A.证明(1)在△P AC中，E，F分别是棱PC，AC的中点，所以P A∥EF.又P A⊄平面BEF，EF⊂平面BEF，所以P A∥平面BEF.(2)在平面P AB内过点P作PD⊥AB，垂足为D.因为平面P AB ⊥平面ABC ，平面P AB ∩平面ABC ＝AB ，PD ⊂平面P AB ，所以PD ⊥平面ABC ， 因为BC ⊂平面ABC ，所以PD ⊥BC ，又PB ⊥BC ，PD ∩PB ＝P ，PD ⊂平面P AB ，PB ⊂平面P AB ，所以BC ⊥平面P AB ， 又P A ⊂平面P AB ，所以BC ⊥P A .(三)数 列(1)1．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＋a n ＝4，n ∈N *. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)已知c n ＝2n ＋3(n ∈N *)，记d n ＝c n ＋log C a n (C >0且C ≠1)，是否存在这样的常数C ，使得数列{d n }是常数列，若存在，求出C 的值；若不存在，请说明理由．(3)若数列{b n }，对于任意的正整数n ，均有b 1a n ＋b 2a n －1＋b 3a n －2＋…＋b n a 1＝⎝⎛⎭⎫12n －n ＋22成立，求证：数列{b n }是等差数列． (1)解 a 1＝4－a 1，所以a 1＝2，由S n ＋a n ＝4，得当n ≥2时，S n －1＋a n －1＝4， 两式相减，得2a n ＝a n －1，所以a n a n －1＝12，数列{a n }是以2为首项，公比为12的等比数列，所以a n ＝22－n (n ∈N *)． (2)解 由于数列{d n }是常数列， d n ＝c n ＋log C a n ＝2n ＋3＋(2－n )log C 2 ＝2n ＋3＋2log C 2－n log C 2＝(2－log C 2)n ＋3＋2log C 2为常数， 则2－log C 2＝0， 解得C ＝2，此时d n ＝7.(3)证明 b 1a n ＋b 2a n －1＋b 3a n －2＋…＋b n a 1 ＝⎝⎛⎭⎫12n －n ＋22，①当n ＝1时，b 1a 1＝12－32＝－1，其中a 1＝2，所以b 1＝－12.当n ≥2时，b 1a n －1＋b 2a n －2＋b 3a n －3＋…＋b n －1a 1＝⎝⎛⎭⎫12n －1－n ＋12，② ②式两边同时乘以12，得b 1a n ＋b 2a n －1＋b 3a n －2＋…＋b n －1a 2＝⎝⎛⎭⎫12n －n ＋14，③ 由①－③，得b n a 1＝－n －34，所以b n ＝－n 8－38(n ∈N *，n ≥2)，且b n ＋1－b n ＝－18，又b 1＝－12＝－18－38，所以数列{b n }是以－12为首项，公差为－18的等差数列．2．在数列{a n }中，已知a 1＝13，a n ＋1＝13a n －23n ＋1，n ∈N *，设S n 为{a n }的前n 项和．(1)求证：数列{3n a n }是等差数列； (2)求S n ；(3)是否存在正整数p ，q ，r (p <q <r )，使S p ，S q ，S r 成等差数列？若存在，求出p ，q ，r 的值；若不存在，说明理由．(1)证明 因为a n ＋1＝13a n －23n ＋1，所以3n ＋1a n ＋1－3n a n ＝－2. 又因为a 1＝13，所以31·a 1＝1，所以{3n a n }是首项为1，公差为－2的等差数列． (2)解 由(1)知3n a n ＝1＋(n －1)·(－2)＝3－2n ， 所以a n ＝(3－2n )⎝⎛⎭⎫13n，所以S n ＝1·⎝⎛⎭⎫131＋(－1)·⎝⎛⎭⎫132＋(－3)·⎝⎛⎭⎫133＋…＋(3－2n )·⎝⎛⎭⎫13n ， 所以13S n ＝1·⎝⎛⎭⎫132＋(－1)·⎝⎛⎭⎫133＋…＋(5－2n )·⎝⎛⎭⎫13n ＋(3－2n )·⎝⎛⎭⎫13n ＋1， 两式相减，得23S n ＝13－2⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫132＋⎝⎛⎭⎫133＋…＋⎝⎛⎭⎫13n －(3－2n )·⎝⎛⎭⎫13n ＋1＝13－2⎣⎢⎡⎦⎥⎤19×1－⎝⎛⎭⎫13n －11－13＋(2n －3)·⎝⎛⎭⎫13n ＋1 ＝2n ·⎝⎛⎭⎫13n ＋1， 所以S n ＝n 3n .(3)解 假设存在正整数p ，q ，r (p <q <r )，使S p ，S q ，S r 成等差数列，则2S q ＝S p ＋S r ，即2q3q ＝p 3p ＋r 3r. 当n ≥2时，a n ＝(3－2n )⎝⎛⎭⎫13n<0，所以数列{S n }单调递减． 又p <q ，所以p ≤q －1且q 至少为2， 所以p 3p ≥q －13q －1，q －13q －1－2q 3q ＝q －33q .①当q ≥3时，p 3p ≥q －13q －1≥2q 3q ，又r 3r >0，所以p 3p ＋r 3r >2q3q ，等式不成立． ②当q ＝2时，p ＝1，所以49＝13＋r 3r ，所以r 3r ＝19，所以r ＝3({S n }单调递减，解惟一确定)． 综上可知，p ，q ，r 的值为1,2,3.(三)应用题1．已知某食品厂需要定期购买食品配料，该厂每天需要食品配料200千克，配料的价格为1.8元/千克，每次购买配料需支付运费236元．每次购买来的配料还需支付保管费用，其标准如下：7天以内(含7天)，无论重量多少，均按10元/天支付；超出7天以外的天数，根据实际剩余配料的重量，以每天0.03元/千克支付．(1)当9天购买一次配料时，求该厂用于配料的保管费用P 是多少元？(2)设该厂x 天购买一次配料，求该厂在这x 天中用于配料的总费用y (元)关于x 的函数关系式，并求该厂多少天购买一次配料才能使平均每天支付的费用最少？ 解 (1)当9天购买一次时，该厂用于配料的保管费用 P ＝70＋0.03×200×(1＋2)＝88(元)．(2)①当x ≤7时，y ＝360x ＋10x ＋236＝370x ＋236，②当x >7时，y ＝360x ＋236＋70＋6[(x －7)＋(x －6)＋…＋2＋1]＝3x 2＋321x ＋432，∴y ＝⎩⎪⎨⎪⎧370x ＋236，x ≤7，3x 2＋321x ＋432，x >7，∴设该厂x 天购买一次配料平均每天支付的费用为f (x )元． f (x )＝⎩⎨⎧370x ＋236x，x ≤7，3x 2＋321x ＋432x，x >7.当x ≤7时，f (x )＝370＋236x ，当且仅当x ＝7时，f (x )有最小值2 8267≈404(元)；当x ＞7时，f (x )＝3x 2＋321x ＋432x ＝3⎝⎛⎭⎫x ＋144x ＋321≥393.当且仅当x ＝12时取等号．∵393<404，∴当x ＝12时f (x )有最小值393元．2．南半球某地区冰川的体积每年中随时间而变化，现用t 表示时间，以月为单位，年初为起点，根据历年的数据，冰川的体积(亿立方米)关于t 的近似函数的关系式为V (t )＝⎩⎪⎨⎪⎧－t 3＋11t 2－24t ＋100，0<t ≤10，4(t －10)(3t －41)＋100，10<t ≤12.(1)该冰川的体积小于100亿立方米的时期称为衰退期．以i －1<t <i 表示第i 月份(i ＝1,2，…，12)，问一年内哪几个月是衰退期？ (2)求一年内该地区冰川的最大体积．解 (1)当0<t ≤10时，V (t )＝－t 3＋11t 2－24t ＋100<100，化简得t 2－11t ＋24>0，解得t <3或t >8.又0<t ≤10，故0<t <3或8<t ≤10，当10<t ≤12时，V (t )＝4(t －10)(3t －41)＋100<100， 解得10<t <413，又10<t ≤12，故10<t ≤12.综上得0<t <3或8<t ≤12.所以衰退期为1月，2月，3月，9月，10月，11月，12月共7个月． (2)由(1)知，V (t )的最大值只能在(3,9)内取到．由V ′(t )＝(－t 3＋11t 2－24t ＋100)′＝－3t 2＋22t －24， 令V ′(t )＝0，解得t ＝6或t ＝43(舍去)．当t 变化时，V ′(t )与V (t )的变化情况如下表：由上表，V (t )在t ＝6时取得最大值V (6)＝136(亿立方米)． 故该冰川的最大体积为136亿立方米．3．如图，某城市有一条公路从正西方AO 通过市中心O 后转向东偏北α角方向的OB .位于该市的某大学M 与市中心O 的距离OM ＝313 km ，且∠AOM ＝β.现要修筑一条铁路L ，L 在OA 上设一站A ，在OB 上设一站B ，铁路在AB 部分为直线段，且经过大学M .其中tan α＝2，cos β＝313，AO ＝15 km.(1)求大学M 与站A 的距离AM ； (2)求铁路AB 段的长AB .解 (1)在△AOM 中，AO ＝15，∠AOM ＝β且cos β＝313，OM ＝313， 由余弦定理，得AM 2＝OA 2＋OM 2－2OA ·OM ·cos ∠AOM ＝152＋(313)2－2×15×313×313＝13×9＋15×15－2×3×15×3＝72.∴AM ＝62，即大学M 与站A 的距离AM 为6 2 km. (2)∵cos β＝313，且β为锐角，∴sin β＝213， 在△AOM 中，由正弦定理，得AM sin β＝OMsin ∠MAO ，即62213＝313sin ∠MAO ，sin ∠MAO ＝22， ∴∠MAO ＝π4，∴∠ABO ＝α－π4，∵tan α＝2，∴sin α＝25，cos α＝15， ∴sin ∠ABO ＝sin ⎝⎛⎭⎫α－π4＝110，又∠AOB ＝π－α，∴sin ∠AOB ＝sin(π－α)＝25. 在△AOB 中，OA ＝15，由正弦定理，得 AB sin ∠AOB ＝OA sin ∠ABO，即AB 25＝15110，∴AB ＝302，即铁路AB 段的长为30 2 km.4．(2017·江苏苏州大学指导卷)如图，某地区有一块长方形植物园ABCD ，AB ＝8(百米)，BC ＝4(百米)．植物园西侧有一块荒地，现计划利用该荒地扩大植物园面积，使得新的植物园为HBCEFG ，满足下列要求：E 在CD 的延长线上，H 在BA 的延长线上，DE ＝0.5(百米)，AH ＝4(百米)，N 为AH 的中点，FN ⊥AH ，EF 为曲线段，它上面的任意一点到AD 与AH 的距离的乘积为定值，FG ，GH 均为线段，GH ⊥HA ，GH ＝0.5(百米)．(1)求四边形FGHN 的面积；(2)已知音乐广场M 在AB 上，AM ＝2(百米)，若计划在EFG 的某一处P 开一个植物园大门，在原植物园ABCD 内选一点Q 为中心建一个休息区，使得QM ＝PM ，且∠QMP ＝90°，问点P 在何处时，AQ 最小．解 (1)以A 为坐标原点，AB 所在直线为x 轴，AD 所在直线为y 轴，建立平面直角坐标系如图所示．则E ⎝⎛⎭⎫－12，4，因为E 到AD 与AH 距离的乘积为2， 所以曲线EF 上的任意一点都在函数y ＝－2x 的图象上．由题意，N (－2,0)，所以F (－2,1)．四边形FGHN 的面积为12×⎝⎛⎭⎫12＋1×2＝32(平方百米)． (2)设P (x ，y )，则MP →＝(x －2，y )，MQ →＝(y ，－x ＋2)，AQ →＝(y ＋2，－x ＋2)，因为点Q 在原植物园内，所以⎩⎪⎨⎪⎧0≤y ＋2≤8，0≤2－x ≤4，即－2≤x ≤2.又点P 在曲线EFG 上，x ∈⎣⎡⎦⎤－4，－12， 所以－2≤x ≤－12，则点P 在曲线段EF 上，AQ ＝(y ＋2)2＋(2－x )2， 因为y ＝－2x ，所以AQ ＝⎝⎛⎭⎫－2x ＋22＋(2－x )2＝ x 2＋4x 2－4x －8x＋8＝ ⎝⎛⎭⎫x ＋2x 2－4⎝⎛⎭⎫x ＋2x ＋4 ＝⎝⎛⎭⎫x ＋2x －22＝－x ＋2－x＋2≥22＋2. 当且仅当－x ＝－2x，即x ＝－2时等号成立．此时点P (－2，2)，即点P 在距离AD 与AH 均为2百米时，AQ 最小．(四)解析几何1．已知点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)(x 1x 2≠0)，O 是坐标原点，P 是线段AB 的中点，若C 是点A 关于原点的对称点，Q 是线段BC 的中点，且OP ＝OQ ，设圆P 的方程为x 2＋y 2－(x 1＋x 2)x －(y 1＋y 2)y ＝0.(1)证明：线段AB 是圆P 的直径；(2)若存在正数p 使得2p (x 1＋x 2)＝y 21＋y 22＋8p 2＋2y 1y 2成立，当圆P 的圆心到直线x －2y ＝0的距离的最小值为255时，求p 的值．(1)证明 由题意知，点P 的坐标为⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22，y 1＋y 22，点A (x 1，y 1)关于原点的对称点为C (－x 1，－y 1)，那么点Q 的坐标为⎝⎛⎭⎫－x 1＋x 22，－y 1＋y 22，由OP ＝OQ ，得OP 2＝OQ 2， 即⎝⎛⎭⎫x 1＋x 222＋⎝⎛⎭⎫y 1＋y 222＝⎝⎛⎭⎫－x 1＋x 222＋⎝⎛⎭⎫－y 1＋y 222，得(x 1＋x 2)2＋(y 1＋y 2)2＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2， 从而x 1x 2＋y 1y 2＝0，由此得OA ⊥OB ，由方程x 2＋y 2－(x 1＋x 2)x －(y 1＋y 2)y ＝0知，圆P 过原点，且点A ，B 在圆P 上， 故线段AB 是圆P 的直径．(2)解 由2p (x 1＋x 2)＝y 21＋y 22＋8p 2＋2y 1y 2，得x 1＋x 2＝12p [(y 1＋y 2)2＋8p 2]，又圆心P ⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22，y 1＋y 22到直线x －2y ＝0的距离为d ＝⎪⎪⎪⎪x 1＋x 22－(y 1＋y 2)5＝⎪⎪⎪⎪14p [(y 1＋y 2)2＋8p 2]－(y 1＋y 2)5＝[(y 1＋y 2)－2p ]2＋4p 245p ≥4p 245p，当且仅当y 1＋y 2＝2p 时，等号成立，所以4p 245p ＝255，从而得p ＝2.2.如图，F 是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的右焦点，O 是坐标原点，OF ＝5，过点F 作OF 的垂线交椭圆C 于P 0，Q 0两点，△OP 0Q 0的面积为453.(1)求椭圆的标准方程；(2)若过点M (－5，0)的直线l 与上、下半椭圆分别交于点P ，Q ，且PM ＝2MQ ，求直线l 的方程．解 (1)由题设条件，P 0F ＝00OP Q S OF∆＝4535＝43.易知P 0F ＝b 2a ，所以b 2a ＝43.又c ＝OF ＝5，即a 2－b 2＝5，因此a 2－43a －5＝0，解得a ＝3或a ＝－53，又a >0，所以a ＝3，从而b ＝2. 故所求椭圆的标准方程为x 29＋y 24＝1.(2)设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，由题意y 1>0，y 2<0，并可设直线l ：x ＝ty －5， 代入椭圆方程得(ty －5)29＋y 24＝1，即(4t 2＋9)y 2－85ty －16＝0. 从而y 1＋y 2＝85t 4t 2＋9，y 1y 2＝－164t 2＋9.又由PM ＝2MQ ，得y 1－y 2＝PMMQ＝2，即y 1＝－2y 2.因此y 1＋y 2＝－y 2，y 1y 2＝－2y 22， 故－164t 2＋9＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫－85t 4t 2＋92，可解得t 2＝14.注意到y 2＝－85t 4t 2＋9且y 2<0，知t >0，因此t ＝12.故满足题意的直线l 的方程为2x －y ＋25＝0.3.如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为32，直线l ：y ＝－12x 与椭圆E 相交于A ，B 两点，AB ＝210，C ，D 是椭圆E 上异于A ，B 的两点，且直线AC ，BD 相交于点P ，直线AD ，BC 相交于点Q .(1)求椭圆E 的标准方程； (2)求证：直线PQ 的斜率为定值． (1)解 因为e ＝c a ＝32，所以c 2＝34a 2，即a 2－b 2＝34a 2，所以a ＝2b .所以椭圆方程为x 24b 2＋y 2b2＝1.由题意不妨设点A 在第二象限，点B 在第四象限，由⎩⎨⎧y ＝－12x ，x 24b 2＋y2b 2＝1，得A (－2b ，22b )． 又AB ＝210，所以OA ＝10，则2b 2＋12b 2＝52b 2＝10，得b ＝2，a ＝4.所以椭圆E 的标准方程为x 216＋y 24＝1.(2)证明 由(1)知，椭圆E 的方程为x 216＋y 24＝1，A (－22，2)，B (22，－2)．①当直线CA ，CB ，DA ，DB 的斜率都存在，且不为零时，设直线CA ，DA 的斜率分别为k 1，k 2，C (x 0，y 0)，显然k 1≠k 2.从而k 1·k CB ＝y 0－2x 0＋22·y 0＋2x 0－22＝y 20－2x 20－8＝4⎝⎛⎭⎫1－x 2016－2x 20－8＝2－x 204x 20－8＝－14，所以k CB ＝－14k 1.同理k DB ＝－14k 2.所以直线AD 的方程为y －2＝k 2(x ＋22)，直线BC 的方程为y ＋2＝－14k 1(x －22)， 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＋2＝－14k 1(x －22)，y －2＝k 2(x ＋22)，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝22(－4k 1k 2－4k 1＋1)4k 1k 2＋1，y ＝2(－4k 1k 2＋4k 2＋1)4k 1k 2＋1，从而点Q 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫22(－4k 1k 2－4k 1＋1)4k 1k 2＋1，2(－4k 1k 2＋4k 2＋1)4k 1k 2＋1.用k 2代替k 1，k 1代替k 2得点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫22(－4k 1k 2－4k 2＋1)4k 1k 2＋1，2(－4k 1k 2＋4k 1＋1)4k 1k 2＋1.所以k PQ ＝2(－4k 1k 2＋4k 2＋1)4k 1k 2＋1－2(－4k 1k 2＋4k 1＋1)4k 1k 2＋122(－4k 1k 2－4k 1＋1)4k 1k 2＋1－22(－4k 1k 2－4k 2＋1)4k 1k 2＋1＝42(k 2－k 1)82(k 2－k 1)＝12.即直线PQ 的斜率为定值，其定值为12.②当直线CA ，CB ，DA ，DB 中，有直线的斜率不存在时，由题意得，至多有一条直线的斜率不存在，不妨设直线CA 的斜率不存在，从而C (－22，－2)． 设DA 的斜率为k ，由①知，k DB ＝－14k.因为直线CA ：x ＝－22，直线DB ：y ＋2＝－14k (x －22)，得P ⎝⎛⎭⎫－22，－2＋2k . 又直线BC ：y ＝－2，直线AD ：y －2＝k (x ＋22)， 得Q ⎝⎛⎭⎫－22－22k ，－2， 所以k PQ ＝12.由①②可知，直线PQ 的斜率为定值，其定值为12.4．(2017·江苏预测卷)平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率是32，右准线的方程为x ＝433.(1)求椭圆C 的方程；(2)已知点P ⎝⎛⎭⎫12，2，过x 轴上的一个定点M 作直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，若三条直线P A ，PM ，PB 的斜率成等差数列，求点M 的坐标． 解 (1)因为椭圆的离心率为32，右准线的方程为x ＝433， 所以e ＝c a ＝32，a 2c ＝433，则a ＝2，c ＝3，b ＝1，椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)设M (m,0)，当直线l 为y ＝0时，A (－2,0)，B (2,0)， P A ，PM ，PB 的斜率分别为 k P A ＝45，k PM ＝41－2m，k PB ＝－43，因为直线P A ，PM ，PB 的斜率成等差数列，所以81－2m ＝45－43，m ＝8.证明如下：当M (8,0)时，直线P A ，PM ，PB 的斜率构成等差数列， 设AB ：y ＝k (x －8)，代入椭圆方程x 2＋4y 2－4＝0， 得x 2＋4k 2(x －8)2－4＝0，即(1＋4k 2)x 2－64k 2x ＋256k 2－4＝0， 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则 x 1＋x 2＝64k 21＋4k 2，x 1x 2＝256k 2－41＋4k 2，又k PM ＝0－28－12＝－415， 所以k P A ＋k PB ＝y 1－2x 1－12＋y 2－2x 2－12＝kx 1－8k －2x 1－12＋kx 2－8k －2x 2－12＝2k ＋⎝⎛⎭⎫－152k －2⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 1－12＋1x 2－12＝2k ＋⎝⎛⎭⎫－152k －2(x 1＋x 2)－1x 1x 2－12(x 1＋x 2)＋14＝2k ＋⎝⎛⎭⎫－152k －264k 21＋4k 2－1256k 2－41＋4k 2－12×64k 21＋4k 2＋14＝2k ＋⎝⎛⎭⎫－152k －260k 2－1154(60k 2－1)＝－815＝2k PM ，即证． (四)数 列(2)1．已知{a n }，{b n }，{c n }都是各项不为零的数列，且满足a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n ＝c n S n ，n ∈N *，其中S n 是数列{a n }的前n 项和，{c n }是公差为d (d ≠0)的等差数列． (1)若数列{a n }是常数列，d ＝2，c 2＝3，求数列{b n }的通项公式； (2)若a n ＝λn (λ是不为零的常数)，求证：数列{b n }是等差数列；(3)若a 1＝c 1＝d ＝k (k 为常数，k ∈N *)，b n ＝c n ＋k (n ≥2，n ∈N *)，求证：对任意的n ≥2，n ∈N *，数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫b n a n 单调递减．(1)解 因为d ＝2，c 2＝3，所以c n ＝2n －1. 因为数列{a n }是各项不为零的常数列， 所以a 1＝a 2＝…＝a n ，S n ＝na 1.则由c n S n ＝a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n 及c n ＝2n －1，得 n (2n －1)＝b 1＋b 2＋…＋b n ，当n ≥2时，(n －1)(2n －3)＝b 1＋b 2＋…＋b n －1， 两式相减得b n ＝4n －3.当n ＝1时，b 1＝1也满足b n ＝4n －3. 故b n ＝4n －3(n ∈N *)．(2)证明 因为a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n ＝c n S n ， 当n ≥2时，c n －1S n －1＝a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n －1b n －1， 两式相减得c n S n －c n －1S n －1＝a n b n ， 即(S n －1＋a n )c n －S n －1c n －1＝a n b n ， S n －1(c n －c n －1)＋a n c n ＝a n b n ， 所以S n －1d ＋λnc n ＝λnb n .又S n －1＝λ＋λ(n －1)2(n －1)＝λn (n －1)2，所以λn (n －1)2d ＋λnc n ＝λnb n ，即(n －1)2d ＋c n ＝b n ，(*) 所以当n ≥3时，(n －2)2d ＋c n －1＝b n －1，两式相减得b n －b n －1＝32d (n ≥3)，所以数列{b n }从第二项起是公差为32d 的等差数列．又当n ＝1时，由c 1S 1＝a 1b 1，得c 1＝b 1. 当n ＝2时，由(*)得b 2＝(2－1)2d ＋c 2＝12d ＋(c 1＋d )＝b 1＋32d ，得b 2－b 1＝32d .故数列{b n }是公差为32d 的等差数列．(3)证明 由(2)得当n ≥2时，S n －1(c n －c n －1)＋a n c n ＝a n b n ，即S n －1d ＝a n (b n －c n )．因为b n ＝c n ＋k ，所以b n ＝c n ＋kd ， 即b n －c n ＝kd ， 所以S n －1d ＝a n ·kd ， 即S n －1＝ka n ，所以S n ＝S n －1＋a n ＝(k ＋1)a n . 当n ≥3时，S n －1＝(k ＋1)a n －1， 两式相减得a n ＝(k ＋1)a n －(k ＋1)a n －1， 即a n ＝k ＋1k a n －1，故从第二项起数列{a n }是等比数列， 所以当n ≥2时，a n ＝a 2⎝⎛⎭⎫k ＋1k n －2，b n ＝c n ＋k ＝c n ＋kd ＝c 1＋(n －1)k ＋k 2＝k ＋(n －1)k ＋k 2＝k (n ＋k )， 另外由已知条件得(a 1＋a 2)c 2＝a 1b 1＋a 2b 2. 又c 2＝2k ，b 1＝k ，b 2＝k (2＋k )， 所以a 2＝1，因而a n ＝⎝⎛⎭⎫k ＋1k n －2.令d n ＝b na n ，则d n ＋1d n ＝b n ＋1a n a n ＋1b n ＝(n ＋k ＋1)k (n ＋k )(k ＋1).因为(n ＋k ＋1)k －(n ＋k )(k ＋1)＝－n <0， 所以d n ＋1d n<1，所以对任意的n ≥2，n ∈N *，数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫b n a n 单调递减．2．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＝1，a 2＝2，设b n ＝a n ＋a n ＋1，c n ＝a n ·a n ＋1(n ∈N *)． (1)若数列{b 2n －1}是公比为3的等比数列，求S 2n ； (2)若数列{b n }是公差为3的等差数列，求S n ；(3)是否存在这样的数列{a n }，使得{b n }成等差数列和{c n }成等比数列同时成立，若存在，求出{a n }的通项公式；若不存在，请说明理由． 解 (1)b 1＝a 1＋a 2＝1＋2＝3，S 2n ＝(a 1＋a 2)＋(a 3＋a 4)＋…＋(a 2n －1＋a 2n )＝b 1＋b 3＋…＋b 2n －1＝3(1－3n )1－3＝3n ＋1－32.(2)∵b n ＋1－b n ＝a n ＋2－a n ＝3，∴{a 2k －1}，{a 2k }均是公差为3的等差数列，a 2k －1＝a 1＋(k －1)·3＝3k －2，a 2k ＝a 2＋(k －1)·3＝3k －1，当n ＝2k (k ∈N *)时，S n ＝S 2k ＝(a 1＋a 3＋…＋a 2k －1)＋(a 2＋a 4＋…＋a 2k )＝k (1＋3k －2)2＋k (2＋3k －1)2＝3k 2＝3n 24； 当n ＝2k －1(k ∈N *)时，S n ＝S 2k －1＝S 2k －a 2k ＝3k 2－3k ＋1＝3×⎝⎛⎭⎫n ＋122－3·n ＋12＋1＝3n 2＋14.综上可知，S n＝⎩⎨⎧3n 24，n ＝2k ，k ∈N *，3n 2＋14，n ＝2k －1，k ∈N *.(3)∵{b n }成等差数列，∴2b 2＝b 1＋b 3，即2(a 2＋a 3)＝(a 1＋a 2)＋(a 3＋a 4)，a 2＋a 3＝a 1＋a 4，① ∵{c n }成等比数列，∴c 22＝c 1c 3. 即(a 2a 3)2＝(a 1a 2)·(a 3a 4)， ∵c 2＝a 2a 3≠0，∴a 2a 3＝a 1a 4，②由①②及a 1＝1，a 2＝2，得a 3＝1，a 4＝2，设{b n }的公差为d ，则b n ＋1－b n ＝(a n ＋1＋a n ＋2)－(a n ＋a n ＋1)＝d ，即a n ＋2－a n ＝d ，即数列{a n }的奇数项和偶数项都构成公差为d 的等差数列， 又d ＝a 3－a 1＝a 4－a 2＝0， ∴数列{a n }＝1,2,1,2,1,2，…，即a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，n ＝2k －1，k ∈N *，2，n ＝2k ，k ∈N *. 此时c n ＝2，{c n }是公比为1的等比数列，满足题意．∴存在数列{a n }，a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，n ＝2k －1，k ∈N *，2，n ＝2k ，k ∈N *， 使得{b n }成等差数列和{c n }成等比数列同时成立．高考附加题加分练 1.矩阵与变换1．已知矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 1b 0，点A (1,0)在矩阵M 对应的变换作用下变为A ′(1,2)，求矩阵M 的逆矩阵M －1.解 ∵⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 1b 0 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤10＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12， ∴a ＝1，b ＝2.∴M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 120，∴M －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 121 －12.2．(2017·江苏徐州一中检测)已知曲线C ：y 2＝12x ，在矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 －2对应的变换作用下得到曲线C 1，C 1在矩阵N ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0110对应的变换作用下得到曲线C 2，求曲线C 2的方程．解 设A ＝NM ，则A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 11 0 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 －2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －21 0， 设P (x ′，y ′)是曲线C 上任一点，在两次变换下，在曲线C 2上对应的点为P (x ，y )， 则⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －21 0 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2y ′ x ′， 即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2y ′，y ＝x ′，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝y ，y ′＝－12x .又点P (x ′，y ′)在曲线C ：y 2＝12x 上，∴⎝⎛⎭⎫－12x 2＝12y ，即x 2＝2y . 3．已知矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤122x 的一个特征值为3，求M 的另一个特征值及其对应的一个特征向量． 解 矩阵M 的特征多项式为f (λ)＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤λ－1 －2－2 λ－x ＝(λ－1)(λ－x )－4.因为λ1＝3是方程f (λ)＝0的一根，所以x ＝1. 由(λ－1)(λ－1)－4＝0，得λ2＝－1. 设λ2＝－1对应的一个特征向量为α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ， 则⎩⎪⎨⎪⎧－2x －2y ＝0，－2x －2y ＝0，得x ＝－y . 令x ＝1，则y ＝－1，所以矩阵M 的另一个特征值为－1，对应的一个特征向量为α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1－1.4．(2017·江苏江阴中学质检)若点A (2,2)在矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos α －sin αsin α cos α对应变换的作用下得到的点为B (－2,2)，求矩阵M 的逆矩阵．解 M ⎣⎢⎡⎦⎥⎤22＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2 2，即⎣⎢⎡⎦⎥⎤2cos α－2sin α2sin α＋2cos α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2 2， 所以⎩⎪⎨⎪⎧cos α－sin α＝－1，sin α＋cos α＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧cos α＝0，sin α＝1.所以M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －11 0.由M －1M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 001，得M －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－10. 2.坐标系与参数方程1．(2017·江苏兴化中学调研)已知曲线C 1的极坐标方程为ρcos ⎝⎛⎭⎫θ－π3＝－1，曲线C 2的极坐标方程为ρ＝22cos ⎝⎛⎭⎫θ－π4，判断两曲线的位置关系． 解 将曲线C 1，C 2化为直角坐标方程，得 C 1：x ＋3y ＋2＝0，C 2：x 2＋y 2－2x －2y ＝0， 即C 2：(x －1)2＋(y －1)2＝2. 圆心到直线的距离d ＝|1＋3＋2|12＋(3)2＝3＋32>2， ∴曲线C 1与C 2相离．2．(2017·江苏金坛一中期中)已知在极坐标系下，圆C ：ρ＝2cos ⎝⎛⎭⎫θ＋π2与直线l ：ρsin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝2，点M 为圆C 上的动点，求点M 到直线l 的距离的最大值． 解 圆C 化为直角坐标方程，得x 2＋(y ＋1)2＝1. 直线l 化为直角坐标方程，得x ＋y ＝2. 圆心C 到直线l 的距离d ＝|－1－2|2＝322，所以点M 到直线l 的距离的最大值为1＋322.3．已知直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1＋t ，y ＝－t (t 为参数)与圆C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝m ＋2sin θ(θ为参数)相交于A ，B 两点，m 为常数． (1)当m ＝0时，求线段AB 的长；(2)当圆C 上恰有三点到直线的距离为1时，求m 的值．解 (1)直线l ：x ＋y －1＝0，曲线C ：x 2＋y 2＝4， 圆心到直线的距离d ＝12， 故AB ＝2r 2－d 2＝14.(2)圆C 的直角坐标方程为x 2＋(y －m )2＝4， 直线l ：x ＋y －1＝0，由题意，知圆心到直线的距离d ＝|m －1|2＝1，∴m ＝1± 2.4．(2017·江苏昆山中学质检)已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点，极轴与x 轴的正半轴重合．曲线C 的极坐标方程为ρ2cos 2θ＋3ρ2sin 2θ＝3，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝－3t ，y ＝1＋t(t 为参数，t ∈R )．试在曲线C 上求一点M ，使它到直线l 的距离最大． 解 曲线C 的普通方程是x 23＋y 2＝1，直线l 的普通方程是x ＋3y －3＝0.设点M 的直角坐标是(3cos θ，sin θ)，则点M 到直线l 的距离是d ＝|3cos θ＋3sin θ－3|2＝3⎪⎪⎪⎪2sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4－12.因为－2≤2sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4≤2， 所以当sin ⎝⎛⎭⎫ θ＋π4＝－1，即θ＝2k π－3π4(k ∈Z )时，d 取得最大值．此时3cos θ＝－62，sin θ＝－22. 设点M 的极角为φ，则⎩⎨⎧ρcos φ＝－62，ρsin φ＝－22，所以⎩⎪⎨⎪⎧ρ＝2，φ＝7π6. 综上，当点M 的极坐标为⎝⎛⎭⎫2，7π6时，该点到直线l 的距离最大． 3.空间向量与立体几何1．(2017·江苏南通中学月考)如图，已知三棱锥O －ABC 的侧棱OA ，OB ，OC 两两垂直，且OA ＝1，OB ＝OC ＝2，E 是OC 的中点．(1)求异面直线BE 与AC 所成角的余弦值； (2)求二面角A －BE －C 的正弦值．解 (1)以O 为原点，分别以OB ，OC ，OA 为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，则A (0,0,1)，B (2,0,0)，C (0,2,0)，E (0,1,0)． EB →＝(2，－1,0)，AC →＝(0,2，－1)， ∴cos 〈EB →，AC →〉＝－25，即异面直线BE 与AC 所成角的余弦值为25.(2)AB →＝(2,0，－1)，AE →＝(0,1，－1)， 设平面ABE 的法向量为n 1＝(x ，y ，z )， 则由n 1⊥AB →，n 1⊥AE →，得⎩⎪⎨⎪⎧2x －z ＝0，y －z ＝0，取n 1＝(1,2,2)， 平面BEC 的法向量为n 2＝(0,0,1)， ∴cos 〈n 1，n 2〉＝23，∴二面角A －BE －C 的余弦值cos θ＝23，∴sin θ＝53， 即二面角A －BE －C 的正弦值为53.2．(2017·江苏宜兴中学质检)三棱柱ABC －A 1B 1C 1在如图所示的空间直角坐标系中，已知AB ＝2，AC ＝4，AA 1＝3，D 是BC 的中点．(1)求直线DB 1与平面A 1C 1D 所成角的正弦值； (2)求二面角B 1－A 1D －C 1的正弦值．解 (1)由题意知，B (2,0,0)，C (0,4,0)，D (1,2,0)，A 1(0,0,3)，B 1(2,0,3)，C 1(0,4,3)，则A 1D →＝(1,2，－3)，A 1C 1→＝(0,4,0)，DB 1→＝(1，－2,3)． 设平面A 1C 1D 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )． 由n ·A 1D →＝x ＋2y －3z ＝0，n ·A 1C 1→＝4y ＝0， 得y ＝0，x ＝3z ，令z ＝1，得x ＝3，n ＝(3,0,1)．设直线DB 1与平面A 1C 1D 所成的角为θ， 则sin θ＝|cos 〈DB 1→，n 〉|＝|3＋3|10×14＝33535.(2)设平面A 1B 1D 的一个法向量为m ＝(a ，b ，c )，A 1B 1→＝(2,0,0)． 由m ·A 1D →＝a ＋2b －3c ＝0，m ·A 1B 1→＝2a ＝0， 得a ＝0,2b ＝3c ，令c ＝2，得b ＝3，m ＝(0,3,2)． 设二面角B 1－A 1D －C 1的大小为α， |cos α|＝|cos 〈m ，n 〉|＝|m ·n ||m ||n |＝265， sin α＝3765＝345565.所以二面角B 1－A 1D －C 1的正弦值为345565.3．(2017·江苏运河中学质检)在四棱锥P －ABCD 中，侧面PCD ⊥底面ABCD ，PD ⊥CD ，底面ABCD 是直角梯形，AB ∥CD ，∠ADC ＝π2，AB ＝AD ＝PD ＝1，CD ＝2.设Q 为侧棱PC 上一点，PQ →＝λPC →.试确定λ的值，使得二面角Q －BD －P 为π4.解 因为侧面PCD ⊥底面ABCD ， 平面PCD ∩平面ABCD ＝CD ，PD ⊥CD ， 所以PD ⊥平面ABCD ，所以PD ⊥AD ， 又∠ADC ＝π2，故DA ，DC ，DP 两两互相垂直．如图，以D 为坐标原点，DA ，DC ，DP 分别为x 轴，y 轴，z 轴建立直角坐标系，A (1,0,0)，B (1,1,0)，C (0,2,0)，P (0,0,1)，则平面PBD 的一个法向量为n ＝(－1,1,0)， PC →＝(0,2，－1)，PQ →＝λPC →，λ∈(0,1)， 所以Q (0,2λ，1－λ)．设平面QBD 的一个法向量为m ＝(a ，b ，c )， 由m ·BD →＝0，m ·DQ →＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝0，2λb ＋(1－λ)c ＝0，所以取b ＝1，得m ＝⎝⎛⎭⎫－1，1，2λλ－1， 所以cos π4＝|m ·n ||m ||n |，即22·2＋⎝⎛⎭⎫2λλ－12＝22. 注意到λ∈(0,1)，解得λ＝2－1.4．在三棱锥S －ABC 中，底面是边长为23的正三角形，点S 在底面ABC 上的射影O 是AC 的中点，侧棱SB 和底面成45°角．。

专题14不等式选讲解答题30题1．（2022-2023学年高三上学期一轮复习联考（五）理科数学试题（全国卷））已知函数() 2 1f x x a x =-++，() 21g x x =-+.(1)当a =2时画出函数()f x 的图象，并求出其值域；(2)若()()f x g x ≥恒成立，求a 的取值范围.2．（陕西省榆林市2023届高三上学期一模文科数学试题）已知函数()23f x x a x =+-++.(1)当0a =时，求不等式()9f x ≥的解集；(2)若()2f x >，求a 的取值范围.3．（陕西省渭南市富平县2022-2023学年高三下学期期末文科数学试题）已知函数()|1||2|f x x x =++-的最小值为m ．(1)求不等式()5f x ≤的解集；(2)若a ，b 都是正数且ab m =，求2a b +的最小值．4．（江西省吉安市2023届高三上学期1月期末质量检测数学（文）试题）已知a ，b 均为正数，且2226a b +=，证明：(1)2a b +≤(2)12a b +≥5．（河南省郑州市2023届高三第一次质量预测理科数学试题）已知()223f x x x =++-．(1)求不等式()5f x ≤的解集；(2)若()f x 的最小值为m ，正实数a ，b ，c 满足a b c m ++=，求证：11192a b b c a c m++≥+++．6．（河南省洛平许济联考2022-2023学年高三上学期第一次质量检测理科数学试题）已知函数()121f x x x =++-．(1)求不等式()8f x <的解集；(2)设函数()()1g x f x x =--的最小值为m ，且正实数a ，b ，c 满足a b c m ++=，求证：2222a b c b c a++≥．7．（河南省部分名校2022-2023学年高三下学期学业质量联合检测理科数学试题）已知函数()12f x x x a =--+.(1)当12a =时，求不等式()0f x 的解集；(2)当1a -时，若函数()12g x x b =+的图象恒在()f x 图象的上方，证明：232b a ->.8．（河南省洛阳市第八高级中学2023届高三下学期开学摸底考试理科数学试题）已知函数()|||4|f x x a x =-++.(1)当2a =时，求不等式()8f x ≥的解集;(2)若()21>+f x a 恒成立，求a 的取值范围.9．（青海省西宁市大通回族土族自治县2022-2023学年高三下学期开学摸底考试数学（文）试题）已知函数()|2||22|(0,0)f x x a x b a b =++->>.(1)若2a =，2b =，求不等式()8f x >的解集；(2)若()f x 的最小值为1，求1123a b b++的最小值.10．（2023届甘肃省高考理科数学模拟试卷(四））已知函数()223f x x a x =-++，()12g x x =-+．（1）解不等式()5g x <．（2）若对任意1x R ∈，都有2x R ∈，使得()()12f x g x =成立，求实数a 的取值范围．11．（甘肃省兰州市第五十七中学2022-2023学年第一次模拟考试数学(文科)试题）已知函数()|21|,()||f x x g x x a=+=+（1）当0a =时，解不等式()()f x g x ≥；（2）若存在x ∈R ，使得()()f x g x ≤成立，求实数a 的取值范围．12．（安徽省江淮名校2022届高三下学期5月联考理科数学试题）已知函数()22212f x x m x m =-++-.(1)当3m =时，求不等式()10f x 的解集；(2)若()4f x 恒成立，求实数m 的取值范围.13．（河南省商开大联考2022-2023学年高三下学期考试文科数学试题）设函数()1f x x a x a =-+++．(1)当0a =时，求不等式()21f x x <+的解集；(2)若关于x 的不等式()2f x <有解，求实数a 的取值范围．14．（山西省太原市第五中学2022届高三下学期二模文科数学试题）（1）解不等式217x x -+-；（2）若正实数,a b 满足1a b +=，求2211a b b a +++的最小值．15．（山西省太原市2022届高三下学期模拟三理科数学试题）已知函数()2R f x x m m =+-∈，，且()0f x <的解集为[3,1]--．(1)求m 的值；(2)设a ，b ，c 为正数，且a b c m ++=，的最大值.16．（山西省吕梁市2022届高三三模理科数学试题）已知函数()22f x x a a x =---.(1)当1a =-时，求不等式()8f x <的解集；(2)当[]1,2x ∈时，()0f x ≥，求a 的取值范围.17．（内蒙古自治区包头市2022-2023学年高三上学期期末数学试题）已知()()4f x x m x x x m =-+--(1)当2m =时，求不等式()0f x ≥的解集；(2)若(),2x ∈-∞时，()0f x <，求m 的取值范围.18．（内蒙古自治区赤峰市2022-2023学年高三上学期10月月考数学文科试题）已知函数()|||2|f x x a x =++-，其中a 为实常数．（1）若函数()f x 的最小值为3，求a 的值；（2）若当[]1,2x ∈时，不等式()|4|f x x ≤-恒成立，求a 的取值范围．19．（内蒙古自治区呼和浩特市2023届高三上学期质量普查调研考试理科数学试题）已知m ≥0，函数()212f x x x m =--+的最大值为4，(1)求实数m 的值；(2)若实数a ，b ，c 满足2a b c m -+=，求222a b c ++的最小值.20．（宁夏石嘴山市第三中学2023届高三上学期期未考试数学(理)试题）已知函数f （x ）＝2|x ＋1|＋|x －3|．(1)求不等式f （x ）>10的解集；(2)若函数()()3g x f x x =+-的最小值为M ，正数a ，b ，c 满足a ＋b ＋c ＝M ，证明2228a b c c a b++≥．21．（河南省名校联盟2021-2022学年高三下学期2月大联考理科数学试卷）已知函数()1f x x =+.(1)求不等式()52f x x ≥--的解集；(2)记()1y f x x =+-的最小值为m ，若0a >，0b >，20a b m +-=，证明：189a b+≥.22．（新疆部分学校2023届高三下学期2月大联考（全国乙卷）数学（理）试题）已知函数()()22R f x ax x a =---∈.(1)当2a =时，求不等式()2f x >的解集；(2)若存在[]2,4x ∈，使得()0f x ≤，求a 的取值范围.23．（江西省部分学校2023届高三上学期1月联考数学（理）试题）已知函数()31f x x =-+．(1)求不等式()82f x x ≤-+的解集；(2)若对任意的0x >，关于x 的不等式()f x ax ≥恒成立，求a 的取值范围．24．（江西省赣州市2023届高三上学期1月期末考试数学（理）试题）已知函数()212f x x x =+++的最小值为m ．(1)求m 的值；(2)设,,a b c 为正数，且a b c m ++=，求证：2222222a b c a b c c b a+++++≥．25．（2020届广西柳州市高三毕业班4月模拟（三模）文科数学试题）已知函数()11f x x x =-++.（1）求不等式()3f x <的解集；（2）若二次函数22y x x m =--+与函数()y f x =的图象恒有公共点，求实数m 的取值范围.26．（广西玉林、贵港、贺州市2023届高三联合调研考试（一模）数学（文）试题）已知函数()21,R f x x a a =-+∈，(1)当3a =时，求()f x 的最小值；(2)若对()0,6,R,m x ∀∈∀∈，不等式()f x >a 的取值范围.27．（贵州省贵阳市普通中学2023届高三上学期期末监测考试数学（文）试题）已知0,0a b >>，函数()|2||2|1f x x a x b =++-+的最小值为3．(1)求a b +的值；(2)求证：3221log 42b a ab ⎛⎫++≥- ⎪⎝⎭．28．（贵州省毕节市2023届高三年级诊断性考试（一）数学（文）试题）已知函数()2f x a x x =-++．(1)当1a =付，求不等式()4f x ≤的解集；(2)若()2f x a >-恒成立，求实数a 的取值范围．29．（贵州省铜仁市2023届高三上学期期末质量监测数学（文）试题）设不等式|21||21|4x x ++-<的解集为,,M a b M ∈．(1)求证：115236a b -<；(2)试比较|2|a b -与|2|ab -的大小，并说明理由．30．（广西柳州市、梧州市2023届高中毕业班2月大联考数学（文）试题）已知函数()|21||1|f x x ax =++-．(1)当2a =时，求不等式()3f x ≥的解集；(2)若0a >时，存在x ∈R ，使得()12a f x <+成立，求实数a 的取值范围．。

【热点聚焦】从高考命题看，通过研究函数性质与最值证明一元不等式，是导数综合题常涉及的一类问题. 导数是研究函数的工具，利用导数我们可以方便地求出函数的单调性、极值、最值等，在证明与函数有关的不等式时，我们可以把不等式问题转化为函数的最值问题，也常构造函数，把不等式的证明问题转化为利用导数研究函数的单调性或最值问题【重点知识回眸】（一）证明方法的理论基础（1）若要证()f x C <(C 为常数）恒成立，则只需证明：()max f x C <，进而将不等式的证明转化为求函数的最值（2）已知()(),f x g x 的公共定义域为D ，若()()min max f x g x >，则()(),x D f x g x ∀∈> 证明：对任意的1x D ∈，有()()()()11min max ,f x f x g x g x ≥≤∴由不等式的传递性可得：()()()()11min max f x f x g x g x ≥>>，即()(),x D f x g x ∀∈>（二）证明一元不等式主要的方法1.方法一：将含x 的项或所有项均移至不等号的一侧，将一侧的解析式构造为函数，通过分析函数的单调性得到最值，从而进行证明. 例如：，可通过导数求出，由此可得到对于任意的，均有，即不等式.其优点在于目的明确，构造方法简单，但对于移项后较复杂的解析式则很难分析出单调性2.方法二：利用不等式性质对所证不等式进行等价变形，转化成为()()f x g x >的形式，若能证明()()min max f x g x >，即可得：()()f x g x >，本方法的优点在于对x 的项进行分割变形，可将较复杂的解析式拆成两个简单的解析式.但缺点是局限性较强，如果()min f x 与()max g x 不满足()()min max f x g x >，则无法证明()()f x g x >.（三）常见构造函数方法(1)直接转化为函数的最值问题：把证明f (x )＜g (a )转化为f (x )max ＜g (a ).(2)移项作差构造函数法：把不等式f (x )＞g (x )转化为f (x )－g (x )＞0，进而构造函数h (x )＝f (x )－g (x ).(3)构造双函数法：若直接构造函数求导，难以判断符号，导函数零点不易求得，即函数单调性与极值点都不易获得，可转化不等式为f (x )＞g (x )利用其最值求解.()ln 1f x x x =-+()()min 10f x f ==0x >()()min 0f x f x ≥=ln 1x x ≤-(4)换元法，构造函数证明双变量函数不等式：对于f (x 1，x 2)≥A 的不等式，可将函数式变为与x 1x 2或x 1·x 2有关的式子，然后令t ＝x 1x 2或t ＝x 1x 2，构造函数g (t )求解. (5)适当放缩构造函数法：一是根据已知条件适当放缩，二是利用常见的放缩结论，如ln x ≤x －1，e x ≥1＋x ，当且仅当x ＝0时取等号，ln x ＜x ＜e x (x ＞0)，1xx +≤ln(x ＋1)≤x (x ＞－1). e x ≥e x ，当且仅当x ＝1时取等号；当x ≥0时，e x ≥1＋x ＋12x 2,当且仅当x ＝0时取等号；当x ≥0时，e x ≥2e x 2＋1, 当且仅当x ＝0时取等号； 1x x -≤ln x ≤x －1≤x 2－x ，当且仅当x ＝1时取等号；当x ≥1时，2(1)1x x -+≤ln x x，当且仅当x ＝1时取等号．(6)构造“形似”函数：对原不等式同解变形，如移项、通分、取对数等．把不等式左、右两边转化为结构相同的式子，然后根据“相同结构”，构造函数.(7)赋值放缩法：函数中对与正整数有关的不等式，可对已知的函数不等式进行赋值放缩，然后通过多次求和达到证明的目的.【典型考题解析】热点一 直接将不等式转化为函数的最值问题【典例1】（2017·全国·高考真题（文））已知函数2()ln (21)f x x ax a x =+++. （1）讨论()f x 的单调性； （2）当0a <时，证明3()24f x a≤--. 【答案】（1）见解析；（2）见解析. 【分析】（1）先求函数导数(21)(1)'()(0)ax x f x x x++=>，再根据导函数符号的变化情况讨论单调性：当0a ≥时，'()0f x >，则()f x 在(0,)+∞单调递增；当0a <时，()f x 在1(0,)2a-单调递增，在1(,)2a-+∞单调递减. （2）证明3()24f x a≤--，即证max 3()24f x a ≤--，而max 1()()2f x f a =-，所以需证11ln()1022a a-++≤，设g （x ）=ln x -x +1 ，利用导数易得max ()(1)0g x g ==，即得证. 【详解】（1）()f x 的定义域为（0，+∞），()()‘1211)22(1x ax f x ax a x x++=+++=. 若a ≥0，则当x ∈（0，+∞）时，’)(0f x ＞，故f （x ）在（0，+∞）单调递增.若a ＜0，则当10,2x a ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，()0f x '＞时；当x ∈1()2a ∞-+，时，’)(0f x <. 故f （x ）在’)(0f x ＞单调递增，在1()2a∞-+，单调递减. （2）由（1）知，当a ＜0时，f （x ）在12x a =-取得最大值，最大值为111()ln()1224f a a a-=---. 所以3()24f x a ≤--等价于113ln()12244a a a ---≤--，即11ln()1022a a-++≤. 设g （x ）=ln x -x +1，则’1(1)g x x=-. 当x ∈（0,1）时，'；当x ∈（1，+∞）时，'.所以g （x ）在（0,1）单调递增，在（1，+∞）单调递减.故当x =1时，g （x ）取得最大值，最大值为g （1）=0.所以当x ＞0时，g （x ）≤0.从而当a ＜0时，11ln()1022a a -++≤，即3()24f x a ≤--.【典例2】（2018年新课标I 卷文）已知函数()e 1x f x a lnx =--．（1）设2x =是()f x 的极值点．求a ，并求()f x 的单调区间； （2）证明：当1ea ≥时，()0f x ≥．【答案】(1) a =212e ；f （x ）在（0，2）单调递减，在（2，+∞）单调递增．(2)证明见解析. 【详解】分析：(1)先确定函数的定义域，对函数求导，利用f ′（2）=0，求得a =212e ，从而确定出函数的解析式，之后观察导函数的解析式，结合极值点的位置，从而得到函数的增区间和减区间；(2)结合指数函数的值域，可以确定当a ≥1e 时，f （x ）≥e ln 1exx --，之后构造新函数g （x ）=e ln 1exx --，利用导数研究函数的单调性，从而求得g （x ）≥g （1）=0，利用不等式的传递性，证得结果.详解：（1）f （x ）的定义域为()0+∞，，f ′（x ）=a e x –1x． 由题设知，f ′（2）=0，所以a =212e ． 从而f （x ）=21e ln 12e x x --，f ′（x ）=211e 2e x x-． 当0<x <2时，f ′（x ）<0；当x >2时，f ′（x ）>0．所以f （x ）在（0，2）单调递减，在（2，+∞）单调递增．（2）当a ≥1e 时，f （x ）≥e ln 1exx --．设g （x ）=e ln 1e x x --，则()e 1'e x g x x=-．当0<x <1时，g′（x ）<0；当x >1时，g′（x ）>0．所以x =1是g （x ）的最小值点． 故当x >0时，g （x ）≥g （1）=0． 因此，当1a e≥时，()0f x ≥．(1)若证f (x )＞g (a )或f (x )＜g (a )，只需证f (x )min ＞g (a )或f (x )max ＜g (a )． (2)若证f (a )＞M 或f (a )＜M (a ，M 是常数)，只需证f (x )min ＞M 或f (x )max ＜M . 热点二 移项作差构造函数证明不等式【典例3】（辽宁·高考真题（文））设函数f （x ）=x+a 2x +blnx ，曲线y=f （x ）过P （1,0），且在P 点处的切斜线率为2. （I ）求a ，b 的值； （II ）证明：f(x)≤2x -2．【答案】（I ）a ＝－1，b ＝3. （II ）见解析【详解】试题分析： (1)f ′(x)＝1＋2ax ＋b x .由已知条件得(1)0{(1)2f f '==即10{122a ab +=++= 解得a ＝－1，b ＝3. (2)f(x)的定义域为(0，＋∞)， 由(1)知f(x)＝x －x 2＋3lnx.设g(x)＝f(x)－(2x －2)＝2－x －x 2＋3lnx ，则 g′(x)＝－1－2x ＋3x＝－.当0<x<1时，g′(x)>0；当x>1时，g′(x)<0. 所以g(x)在(0,1)单调递增，在(1，＋∞)单调递减． 而g(1)＝0，故当x>0时，g(x)≤0，即f(x)≤2x －2.【典例4】（2022·青海·模拟预测（理））已知函数().(1)求()f x 的最小值；(2)若0x >，证明：()()2e 3f x x x ≥+-.【答案】(1)0； (2)证明见解析.【分析】（1）利用导数求出函数的单调区间即得解；（2）即证2e 1e 2x x x--≥-，设()()2e 10x x h x x x --=>，求出函数()h x 的最小值即得证.(1)解：由题意可得()e 1xf x '=-.由()0f x '>，得0x >；由()0f x '<，得0x <. 则()f x 在(),0∞-上单调递减，在()0,∞+上单调递增， 故()()min 00f x f ==. (2)证明：要证()()2e 3f x x x >+-，即证()2e 1e 3x x x x -->+-，即证2e 1e 2x x x--≥-.设()()2e 10x x h x x x --=>，则()()()21e 1x x x h x x---'=. 由（1）可知当0x >时，e 10x x -->.由()0h x '>，得1x >，由()0h x '<，得01x <<， 则()()1e 2h x h ≥=-，当且仅当1x =时，等号成立.即()()2e 3f x x x ≥+-.若证明f (x )＞g (x )，x ∈(a ，b )，可以构造函数h (x )＝f (x )－g (x )．如果能证明h (x )min ＞0，x ∈(a ，b )，即可证明f (x )＞g (x )，x ∈(a ，b )．使用此法证明不等式的前提是h (x )＝f (x )－g (x )易于用导数求最值．热点三 构造双函数证明不等式 【典例5】已知函数f (x )＝e x 2－x ln x . 证明：当x ＞0时，f (x )＜x e x ＋1e. 【答案】见解析 【解析】要证f (x )＜x e x ＋1e ，只需证e x －ln x ＜e x ＋1ex ，即e x －e x ＜ln x ＋1ex. 令h (x )＝ln x ＋1ex (x ＞0)，则h ′(x )＝21ex ex -，易知h (x )在（0，1e ）上单调递减，在（1e ，+∞）上单调递增，则h (x )min ＝h （1e ）＝0，所以ln x ＋1ex≥0. 令φ(x )＝e x －e x ，则φ′(x )＝e －e x ，易知φ(x )在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，则φ(x )max ＝φ(1)＝0，所以e x －e x ≤0. 因为h (x )与φ(x )不同时为0，所以e x －e x ＜ln x ＋1ex，故原不等式成立． 【典例6】（2023·全国·高三专题练习）已知函数()e 1xf x x =--.(1)求()f x 的最小值；(2)证明：()22e ln 3f x x x x >+-.【答案】(1)0 (2)证明见解析【分析】（1）用导数法直接求解即可；（2）要证()22ln 3f x e x x x >+-，即证221ln 3x e x e x x x -->+-，即证221ln 2x e x e x x x-->-.构造函数()2ln 2e x g x x =-与()()210x e x h x x x--=>，这问题可转化为()()min max h x g x >，利用导数法即可求解【详解】(1)由题意可得()1xf x e '=-.由()0f x '>，得0x >；由()0f x '<，得0x <.()f x 在(),0∞-上单调递减，在()0,∞+上单调递增，故()()min 00f x f ==. (2)证明：要证()22ln 3f x e x x x >+-，即证221ln 3x e x e x x x -->+-，即证221ln 2x e x e x x x-->-.设()2ln 2e xg x x =-，则()()221ln e x g x x-'=， 由()0g x '>，得0x e <<，由()0g x '<，得x e >， 则()()2g x g e e ≤=-，当且仅当x e =时，等号成立.设()()210x e x h x x x --=>，则()()()211xx e x h x x ---'=. 由（1）可知当0x >时，10x e x -->.由()0h x '>，得1x >，由()0h x '<，得01x <<， 则()()12h x h e ≥=-，当且仅当1x =时，等号成立.因为2ln 22e xe x-≤-与212x e x e x --≥-等号成立的条件不同，所以221ln 2x e x e x x x -->-，即()22ln 3f x e x x x >+-.(1)若证f (x )＜g (x )，只需证f (x )max ＜g (x )min ； (2)若证f (x )＞g (x )，只需证f (x )min ＞g (x )max . 热点四 适当放缩构造函数证明不等式【典例7】（2022·全国·模拟预测（文））已知函数()sin 2cos xf x x=+在区间()0,a 上单调．(1)求a 的最大值；(2)证明：当0x >时，()31e xf x +<．【答案】(1)23π (2)证明见解析【分析】（1）利用导数的符号求出函数的单调区间，通过单调区间可求得结果． （2）将问题转化为证明e 1()33x x f x -<<，再分别证明1x e x ->及()3x f x <成立即可．(1)由已知得，22cos (2cos )sin sin 2cos 1()(2cos )(2cos )x x x x x f x x x +++'==++， 要使函数()f x 在区间(0,)a 上单调，可知在区间(0,)a 上单调递增， 令()0f x '>，得2cos 10x +>，即1cos 2x >-，解得22(2,2)33x k k ππππ∈-++，（k Z ∈）， 当0k =时满足题意，此时，在区间2(0,)3π上是单调递增的，故a 的最在值为23π.(2)当0x >时，要证明()31e xf x +<，即证明e 1()3x f x -<，而1xe x ->，故需要证明e 1()33x x f x -<<. 先证：e 133x x -<，（0x >）记()e 1x F x x =--，()e 1x F x '=-，,()0x ∈+∞时，()0F x '>，所以()F x 在(0,)+∞上递增，∴()e 1x F x x =--(0)0F >=，故1xe x ->，即e 133x x -<. 再证：()3x f x <，（0x >） 令1()()3G x f x x =-，则sin 1(),2cos 3x G x x x =-+则()()()()222cos 12cos 1132cos 32cos x x G x x x '--+=-=++, 故对于0x ∀>，都有()0'<G x ，因而()G x 在(0，)∞+上递减， 对于0x ∀>，都有()(0)0G x G <=， 因此对于0x ∀>，都有()3xf x <. 所以e 1()33x x f x -<<成立，即e 1()3x f x -<成立，故原不等式成立.【点睛】关键点点睛：本题第二问的关键利用不等式1x e x ->放缩，从而使得问题得以顺利解决. 通过适当放缩可将较复杂的函数变为简单的函数，一是根据已知条件适当放缩，二是利用常见的放缩结论，如ln x ≤x －1，e x ≥x ＋1，ln x ＜x ＜e x (x ＞0)，1xx +≤ln(x ＋1)≤x (x ＞－1)等. 热点五 利用二阶导数（两次求导）证明不等式【典例8】（2018·全国·高考真题（文））已知函数()21xax x f x e+-=． （1）求曲线()y f x =在点()0,1-处的切线方程； （2）证明：当1a ≥时，()0f x e +≥．【答案】（1）切线方程是210x y --=（2）证明见解析 【分析】（1）求导，由导数的几何意义求出切线方程．（2）当a 1≥时，()12f x e 1x x e x x e +-+≥++-（）,令12gx 1x e x x +=++-，只需证明gx 0≥即可．【详解】（1）()()2212xax a x f x e-++'-=，()02f '=．因此曲线()y f x =在点()0,1-处的切线方程是210x y --=．（2）当1a ≥时，()()211x xf x e x x e e +-+≥+-+．令()211x g x x x e +=+-+，则()121x g x x e +=++'，()120x g x e +''=+>当1x <-时，()()10g x g '-'<=，()g x 单调递减；当1x >-时，()()10g x g '-'>=，()g x 单调递增；所以()g x ()1=0g ≥-．因此()0f x e +≥．【典例9】（2023·全国·高三专题练习）已知函数()()ln 0f x ax x a =≠. (1)讨论函数()f x 的单调性；(2)当1a =时，证明：()e sin 1xf x x <+-.【答案】(1)答案见解析 (2)证明见解析【分析】（1）求导可得()()ln 1f x x '=+，再分0a >和0a <两种情况讨论即可；（2）当01x <≤根据函数的正负证明，当1x >时，转证ln sin 1e 0x x x x --+<，构造函数求导分析单调性与最值即可 (1)依题意知()0,x ∈+∞，()()ln ln 1f x a x a a x '=+=+， 令()0f x '=得1ex =，当0a >时，在10,e ⎛⎫⎪⎝⎭上()0f x '<，()f x 单调递减，在1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭单调递增；当0a <时，在10,e ⎛⎫⎪⎝⎭上()0f x '>，()f x 单调递增，在1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭单调递减.(2)依题意，要证ln e sin 1x x x x <+-，①当01x <≤时，ln 0x x ≤，1sin 0e x x -+>，故原不等式成立， ②当1x >时，要证：ln e sin 1x x x x <+-，即证：ln sin 1e 0x x x x --+<，令()()e ln sin 11x h x x x x x =--+>，则()e ln cos 1xh x x x '=--+，()e 1sin 0xh x x x''=-+<， ∴()h x '在()1,+∞单调递减，∴()()11e cos10h x h ''<=--<，∴()h x 在()1,+∞单调递减，∴()()11e sin10h x h <=--<，即ln sin 1e 0x x x x --+<，故原不等式成立.2()(42)4ln ()=-++∈g x mx m x x a R ．(1)当1m =时，求()g x 在点(1,(1))g 处的切线方程；(2)当0m =时，证明：()24e 8x g x x +<-（其中e 为自然对数的底数）． 【答案】(1)5y =-(2)证明见解析【分析】（1）求出函数的导函数，即可求切线的斜率，从而求出切线方程；（2）依题意只需证明e ln 2x x >+，令()e ln 2x h x x =--，(0)x >，利用导数说明函数的单调性，即可得到函数的最小值，再利用基本不等式计算可得； (1)解：当1m =时，2()64ln g x x x x =-+， 所以4()26g x x x=-+'，(1)0g '=，(1)5g =- 故()g x 在点(1,(1))g 处的切线方程是5y =-； (2)解：当0m =时，要证明()24e 8x g x x +<-， 只需证明e ln 2x x >+，令()e ln 2x h x x =--，(0)x >，则1()e x h x x '=-，令()1()e xu x h x x ='=-()21e 0x u x x'=+>，故()h x '在(0,)+∞上单调递增， 又(1)e 10h '=->，1e 202h ⎛⎫'=-< ⎪⎝⎭，故存在01,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得()00h x '=，即001e 0x x -=，当()00,x x ∈时，()0h x '<，即()h x 单调递减，当()0,x x ∈+∞时，()0h x '>，即()h x 单调递增， 故0x x =时，()h x 取得唯一的极小值，也是最小值，即()0000min 0011e ln 22220xh x x x x x x =--=+->⋅-=． 所以e ln 2x x >+，即()24e 8x g x x +<-． 两种做法，一是对函数直接两次求导，求导函数的最值；二是令导函数为一“新函数”，通过对其求导，进一步研究函数的最值． 热点六 构造“形似”函数证明不等式【典例11】（2022·河南·高三开学考试（理））设0.01a =，ln1.01b =，3log 0.01c =，则（ ）A ．a c b <<B ．c a b <<C ．b c a <<D ．c b a <<【答案】D【分析】构造()()()ln 10f x x x x =+-≥，并利用导数、对数的性质研究大小关系即可. 【详解】设函数()()()ln 10f x x x x =+-≥，则()01xf x x '=-≤+，所以()f x 为减函数，则()()0.0100f f <=，即ln1.010.01<，又0c b <<， 所以c b a <<． 故选：D【典例12】（2021·黑龙江·大庆实验中学高三开学考试（理））若08a <<且88a a =，032b <<且3232b b =，03c <<且33c c =，则（ ） A ．a b c << B ．c b a << C ．b a c << D ．a c b <<【答案】A【分析】构造函数()ln xf x x=，求导，根据函数的单调性比大小即可. 【详解】由88a a =，两边同时以e 为底取对数得ln ln 88a a =， 同理可得ln ln 3232b b =，ln ln 33c c =， 设()ln xf x x=，0x >，则()()8f a f =，()()32f b f =，()()3f c f =， ()21ln xf x x-'=，令()0f x '=，解得e x =， 当()0,e x ∈时，()0f x '>，函数()f x 单调递增， 当()e,x ∈+∞时，()0f x '<，函数()f x 单调递减， 则(),,0,e a b c ∈，且()()()3832f f f >>， 所以()()()f c f a f b >>， 故c a b >>， 故选：A. 根据条件构造“形似”函数，再判断此函数的单调性，最后根据函数的单调性证明不等式． 热点七 “放缩”“赋值”证明与数列有关的不等式【典例13】（2022·全国·高考真题）已知函数()e e ax x f x x =-． (1)当1a =时，讨论()f x 的单调性；(2)当0x >时，()1f x <-，求a 的取值范围； (3)设n *∈N 2221ln(1)1122n n n+>++++．【答案】(1)()f x 的减区间为(),0-∞，增区间为()0,+∞. (2)12a ≤(3)见解析【分析】（1）求出()f x '，讨论其符号后可得()f x 的单调性.（2）设()e e 1ax x h x x =-+，求出()h x ''，先讨论12a >时题设中的不等式不成立，再就102a <≤结合放缩法讨论()h x '符号，最后就0a ≤结合放缩法讨论()h x 的范围后可得参数的取值范围. （3）由（2）可得12ln t t t<-对任意的1t >恒成立，从而可得()21ln 1ln n n n n+-<+对任意的*n N ∈恒成立，结合裂项相消法可证题设中的不等式.（1）当1a =时，()()1e x f x x =-，则()e xf x x '=，当0x <时，()0f x '<，当0x >时，()0f x '>，故()f x 的减区间为(),0∞-，增区间为()0,∞+.（2）设()e e 1ax x h x x =-+，则()00h =，又()()1e e ax x h x ax '=+-，设()()1e e ax xg x ax =+-，则()()22e e ax xg x a a x '=+-，若12a >，则()0210g a '=->，因为()g x '为连续不间断函数，故存在()00,x ∈+∞，使得()00,x x ∀∈，总有()0g x '>，故()g x 在()00,x 为增函数，故()()00g x g >=，故()h x 在()00,x 为增函数，故()()01h x h >=-，与题设矛盾.若102a <≤，则()()()ln 11e e ee ax ax ax xx h x ax ++'=+-=-，下证：对任意0x >，总有()ln 1x x +<成立，证明：设()()ln 1S x x x =+-，故()11011x S x x x-'=-=<++，故()S x 在()0,∞+上为减函数，故()()00S x S <=即()ln 1x x +<成立.由上述不等式有()ln 12e e e e e e 0ax ax x ax ax x ax x +++-<-=-≤，故()0h x '≤总成立，即()h x 在()0,∞+上为减函数，所以()()01h x h <=-.当0a ≤时，有()e e e 1100ax x ax h x ax '=-+<-+=， 所以()h x 在()0,∞+上为减函数，所以()()01h x h <=-.综上，12a ≤. （3）取12a =，则0x ∀>，总有12e e 10x x x -+<成立，令12e x t =，则21,e ,2ln x t t x t >==，故22ln 1t t t <-即12ln t t t<-对任意的1t >恒成立.所以对任意的*n N ∈，有112ln 1n n nn n n ++<-+，整理得到：()21ln 1ln n n n n +-<+，故()222111ln 2ln1ln 3ln 2ln 1ln 1122n n n n+++>-+-+++-+++()ln 1n =+，故不等式成立.【典例14】（2022·广东·高三开学考试）已知函数()ln 1f x x x =++，0x >．(1)当4k =时，比较()f x 与2的大小； (2)求证：2222ln(1)35721n n ++++<++，*n ∈N ． 【答案】(1)答案见解析 (2)证明见解析【分析】（1）当4k =时，求得()f x 导函数()f x '，再根据()12f =，分不同范围讨论即可. （2）由（1）中结论可知，当1x >时，4ln 21x x +>+，然后换元，即可得21ln 21n n n +<+， 结合对数运算从而可证得结论. （1）当4k =时，4()ln 1f x x x =++，,()0x ∈+∞， 所以2222214(1)4(1)()0(1)(1)(1)x x x f x x x x x x x +--'=-==≥+++，所以()f x 在(0,)+∞上单调递增，又因为4(1)ln1211f =+=+，所以当01x <<时，()2f x ，当1x =时，()2f x =，当1x >时，()2f x > （2）由（1）知，当1x >时，4ln 21x x +>+，即2(1)ln 1x x x ->+，令11x n =+，*n ∈N ，则有12ln 121n n ⎛⎫+> ⎪+⎝⎭，即21ln 21n n n +<+， 所以222223412341ln ln ln lnln ln(1)35721123123n n n n n n ++⎛⎫++++<++++=⨯⨯⨯⨯=+ ⎪+⎝⎭，即2222ln(1)35721n n ++++<++，*n ∈N ． 证明与数列有关的不等式的策略(1)证明此类问题时常根据已知的函数不等式，用关于正整数n 的不等式替代函数不等式中的自变量．通过多次求和达到证明的目的．此类问题一般至少有两问，已知的不等式常由第一问根据待证式的特征而得到．(2)已知函数式为指数不等式(或对数不等式)，而待证不等式为与对数有关的不等式(或与指数有关的不等式)，还要注意指、对数式的互化，如e x ＞x ＋1可化为ln(x ＋1)＜x 等．【精选精练】一、单选题1．（2022·广东·高三开学考试）设2ea =2b =24ln 4e c -=，则（ ） A ．a b c <<B ．c b a <<C ．a c b <<D ．b c a <<【答案】A【分析】构造函数ln ()xf x x=，求导得其单调性，再利用()f x 单调性，即可判断出,,a b c 的大小关系. 【详解】设ln ()xf x x=，,()0x ∈+∞， 因为21ln ()xf x x -'=，令()0f x '>，得0e x <<； 令()0f x '<，得e x >．所以()f x 在(0,e)上单调递增，在(e,)+∞上单调递减， 而1(e)2ea f ==，12ln 2ln 4ln 2(2)(4)24b f f =====， 22222e ln 4ln 42ln 2e 2e e e 222c f ⎛⎫--==== ⎪⎝⎭， 因为0e 2e <<<<2e 42<，所以a b c <<． 故选：A ．2．（2022·福建省福安市第一中学高三阶段练习）设2,,ln 2e ea b c ===，则,,a b c 的大小关系为（ ） A ．a b c << B ．b a c <<C ．a c b <<D ．c a b <<【答案】D【分析】设ln ()(0)xf x x x =>，利用导数求得()f x 的单调性和最值，化简可得2e 2a f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，(e)b f =，(2)c f =，根据函数解析式，可得ln 4(4)(2)4f f ==且2e e 42<<，根据函数的单调性，分析比较，即可得答案. 【详解】设ln ()(0)xf x x x=>， 则221ln 1ln ()x xx x f x x x ⋅--'==， 当(0,e)x ∈时，()0f x '>，则()f x 为单调递增函数， 当(e,)x ∈+∞时，()0f x '<，则()f x 为单调递减函数，所以max 1()(e)ef x f ==，又222222e ln 4ln42(ln e e 2e e e 22ln 2)a f ⎛⎫-==-== ⎪⎝⎭，1(e)e b f ==，1ln 2ln 2(2)2c f ===， 又2ln 4ln 2ln 2(4)(2)442f f ====，2e e 42<<，且()f x 在(e,)+∞上单调递减，所以2e (2)(4)2f f f ⎛⎫=< ⎪⎝⎭，所以b a c >>. 故选：D 3．（2021·山东·高三开学考试）已知定义在π02⎡⎫⎪⎢⎣⎭，上的函数()f x 的导函数为()'f x ，且(0)0f =，()cos ()sin 0f x x f x x '+<，则下列判断中正确的是（ ） A ．π6f ⎛⎫ ⎪⎝⎭6π4f ⎛⎫⎪⎝⎭B ．πln 3f ⎛⎫⎪⎝⎭>0C ．π6f ⎛⎫ ⎪⎝⎭π33⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．π4f ⎛⎫ ⎪⎝⎭π23⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】CD【分析】根据题干中的条件，构造出新函数：()()π,0,cos 2f x g x x x ⎡⎫=∈⎪⎢⎣⎭，利用新函数的单调性逐一检查每个选项是否正确. 【详解】令()()π,0,cos 2f x g x x x ⎡⎫=∈⎪⎢⎣⎭，则()()()2cos sin cos f x x f x x g x x +''=， 因为()()cos sin 0f x x f x x '+<，所以()()()2cos sin 0cos f x x f x xg x x+='<'在π0,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭上恒成立，因此函数()()cos f x g x x =在π0,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭上单调递减，故ππ64g g ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即ππ64ππcos cos 64f f ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭>，即π6π624f f ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故A 错； 又()00=f ，所以()()000cos0f g ==，所以()()0cos f x g x x=≤在π0,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭上恒成立，因为ππ0ln1lnln e 132=<<=<，所以πln 03f ⎛⎫< ⎪⎝⎭，故B 错；又ππ63g g ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以ππ63ππcos cos63f f ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭>，即ππ363f f ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故C 正确； 又ππ43g g ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以ππ43ππcos cos43f f ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭>，即ππ243f f ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故D 正确. 故选：CD 4．（2023·全国·高三专题练习）已知a ，b 是实数，且e a b <<，其中e 是自然对数的底数，则b a 与a b 的大小关系是__． 【答案】b a a b >##a b b a < 【分析】构造函数()ln xf x x=，0x >，利用导数判断单调性，即得. 【详解】构造函数()ln x f x x =，0x >，则()21ln xf x x -'=， 当e x >时，()0f x '<，()f x 单调递减， ∵e a b <<， ∴ln ln a ba b>，即b ln a ＞a ln b ， 即ln ln b a a b >， 所以b a a b >． 故答案为：b a a b >． 5.（2023·全国·高三专题练习）设函数()e 1xf x a x =--，a R ∈．(1)当1a =时，求()f x 在点()()0,0f 处的切线方程； (2)当x ∈R 时，()0f x ≥恒成立，求a 的取值范围；(3)求证：当()0,x ∈+∞时，2e 1e xx x->． 【答案】(1)0y = (2)1a ≥ (3)证明见解析【分析】（1）利用导数的几何意义求解即可. （2）首先将问题转化为1e x a x +≥恒成立，设()1e xx g x +=，再利用导数求出其最大值即可得到答案.（3）首先将问题转化为()0,x ∈+∞，2e e 10xx x -->，设()2=e e 1xx h x x --，利用导数求出()()00h x h >=，即可得到答案.(1)()e 1x f x x =--，()00e 010f =--=，即切线()0,0. ()e 1x f x '=-，()00e 10k f '==-=，则切线方程为：0y =.(2)x ∈R ，0e 1x a x --≥恒成立等价于x ∈R ，1e xa x +≥恒成立. 设()1e x x g x +=，()ex xg x -'=， (),0∈-∞x ，()0g x '>，()g x 为增函数， ()0,x ∈+∞，()0g x '<，()g x 为减函数，所以()()max 01g x g ==，即1a ≥. (3)()0,x ∈+∞，2e 1e xx x->等价于()0,x ∈+∞，2e e 10x x x -->.设()2=e e 1xx h x x --，()0,x ∈+∞，()221=e e 12x x h x x ⎛⎫'-- ⎪⎝⎭，设()21=e 12xk x x --，()0,x ∈+∞，()21=e 102xk x ⎛⎫'-> ⎪⎝⎭，所以()k x 在()0,+∞为增函数，即()()00k x k >=，所以()221=e e 102xx h x x ⎛⎫'--> ⎪⎝⎭，即()h x 在()0,+∞为增函数，即()()00h x h >=，即证：2e 1e xx x->. 6．（2022·全国·长垣市第一中学高三开学考试（理））已知函数(). (1)若函数()f x 在(),a +∞上单调递增，求实数a 的取值范围；(2)证明：()21e x f x x -≥.【答案】(1)1,e ∞⎡⎫+⎪⎢⎣⎭(2)证明见解析【分析】（1）利用导数求得()f x 的单调区间，从而求得a 的取值范围.（2）将()21xf x x e -≥转化为11ln e x x x x-+≥，对不等式的两边分别构造函数，然后结合导数来证得不等式成立.（1）()f x 的定义域为()()0,,ln 1f x x ∞='++.令()0f x '=，可得1e x =.当10ex <<时，()()0,f x f x '<单调递减；当1e x >时，()()0,f x f x '>单调递增，所以()f x 的单调递增区间为1,e ∞⎡⎫+⎪⎢⎣⎭.因为函数()f x 在(),a +∞上单调递增，所以()1,,e a ∞∞⎡⎫+⊆+⎪⎢⎣⎭.所以1e a ≥.故实数a 的取值范围为1,e ∞⎡⎫+⎪⎢⎣⎭.（2）因为0x >，所以要证21ln 1e x x x x -+≥，只需证明11ln e x x x x-+≥成立.令()1ln g x x x =+，则()22111x g x x x x-'=-=.令()0g x '=，得1x =，当01x <<时，()()0,g x g x '<单调递减；当1x >时，()()0,g x g x '>单调递增，所以()min ()11g x g ==.令()1e xh x x -=，则()()11e x h x x -=-'，令()0h x '=，得1x =，当01x <<时，()()0,h x h x '>单调递增；当1x >时，()()0,h x h x '<单调递减，所以()max ()11h x h ==.因此()()g x h x ≥，即()21e xf x x -≥，当且仅当1x =时等号成立.(1)讨论函数()f x 的单调性；(2)证明：当1a ≤ 时，e ()0x f x -> ． 【答案】(1)答案见解析 (2)证明见解析【分析】（1）求出函数的导数，分类讨论导数的正负，即可求得答案;（2）当1a ≤时，要证e ()0x f x ->,即证e ()x f x >，只需证明e ln 2x x >+ ；构造函数()e ln x h x x =﹣，利用其导数，只需证明min ()()h x h x ≥，即证明min ()2h x >即可.（1）函数()ln (1)1()f x x a x a a =+-++∈R ,定义域：0,+∞（）,11(1)()1a xf x a x x+-'==+- ，①当1a ≥ 时，()0()f x f x '>， 单调递增，②当1a <时，由()0f x '=，得x 11a=-，当x ∈(0，11a -）时，()0()f x f x '>，单调递增；当x ∈(11a -，+∞）时，()0()f x f x '<，单调递减；综上讨论得：①当1a ≥时，()f x 在0,+∞（）单调递增；②当1a <时， 当x ∈(0，11a-）时，()f x 单调递增；当x ∈(11a-，+∞）时，()f x 单调递减；（2）证明：当1a ≤时，要证e ()0x f x ->,即证e ()x f x >，只需证e ln 2x x >+ ； 令()e ln x h x x =﹣ ，则1()e x h x x '=- ，令()e 1x m x x =- ，则2e 0()1xx m x '+=>，∴()h x '在0,+∞（）单调递增，而1()e 20,(1)e 102h h ''=-<=->故方程1e 0xx -=有唯一解0x ，即000011e 0,e x x x x -=∴=，则0000e ,ln x x x x -=∴-=，且0(0,)x x ∈ 时，()0h x '<，()h x 在0(0,)x 单调递减；0(,)x x ∈+∞时，()0h x '>，()h x 在0(,)x +∞单调递增；∴000001()()e ln 2x x h x x h x x ≥=-=+>，∴e ln 2x x >+，故当1a ≤ 时，e ()0x f x ->. 8．（2022·吉林·东北师大附中模拟预测（文））已知函数ln 1xf x x ，()1,x ∈+∞， (1)判断函数()f x 的单调性； (2)证明：()211f x x <<+. 【答案】(1)在(1,)∞+上单调递减 (2)证明见解析【分析】（1）求出函数的导数，判断导数的正负，从而判断原函数的单调性； （2）将不等式()2()1,11,f x x x <<∈++∞等价转化为2(1)ln 11x x x x -<<-+，然后构造函数，利用导数判断函数的单调性，从而证明不等式. (1)因为ln ()1xf x x =-，()1,x ∈+∞，所以21ln ()1x xxf x x --'=-（）， 设1()ln x g x x x -=-，则22111()xg x x x x-=-='， 因为(1)x ∈+∞,，故()0g x '<，()g x 在区间(1)+∞,上单调递减， 故()(1)0g x g <=，即()0f x '<， 所以函数()f x 在区间(1)+∞,上单调递减. (2) 证明：()22(1)()11,ln 111,x f x x x x x x -<<⇔<++∞<∈-+； 设()()ln 1,1,p x x x x =-+∈+∞，1()10p x x'=-<，()p x 在区间(1)+∞,上单调递减，(1)x ∈+∞,，()(1)0p x p <=，即ln 1x x <-，即()1f x <；设2(1)()ln 1x q x x x -=-+，()1,x ∈+∞，22214(1)()0(1)(1)x q x x x x x -'=-=≥++，则()q x 在(1)+∞,上单调递增，(1)x ∈+∞,，()(1)0q x q >=，即2(1)ln 1x x x ->+，所以ln 2()11x f x x x =>-+. 综上，2()11f x x <<+. 【点睛】本题考查了利用导数判断函数的单调性以及证明函数不等式的问题，解答时要明确导数与函数的单调性之间的关系，解答的关键是对不等式进行合理变形，从而构造函数，利用导数判断单调性，从而证明不等式.9．（2023·全国·高三专题练习）已知函数()f x a =-.(1)若函数f (x )的图象与直线y ＝x －1相切，求a 的值； (2)若a ≤2，证明f (x )>ln x . 【答案】(1)a ＝2 (2)证明见解析【分析】（1）求导函数，令f ′(x )＝1，得x ＝0，继而有f (0)＝－1，代入可求得答案； （2）由已知得f (x )＝e x －a ≥e x －2，令φ(x )＝e x －x －1，运用导函数分析所令函数的单调性得φ(x )≥0，可证得e x －2≥x －1，当且仅当x ＝0时等号成立，令h (x )＝ln x －x +1，运用导函数分析所令函数的单调性得()()10h x h ≤=，证得ln 1≤-x x ，当且仅当x ＝1时等号成立，从而有e x －2≥x －1≥ln x ，两等号不能同时成立，由此可得证. (1)解：f (x )＝e x －a ，∴f ′(x )＝e x ，令f ′(x )＝1，得x ＝0，而当x ＝0时，y ＝－1，即f (0)＝－1，所以()00e 1f a =-=-，解得a ＝2.(2)证明 ∵a ≤2，∴f (x )＝e x －a ≥e x －2，令φ(x )＝e x －x －1，则φ′(x )＝e x －1，令φ′(x )＝0⇒x ＝0， ∴当x ∈(0，＋∞)时，φ′(x )>0；当x ∈(－∞，0)时，φ′(x )<0， ∴φ(x )在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增， ∴φ(x )min ＝φ(0)＝0，即φ(x )≥0，即e x ≥x ＋1， ∴e x －2≥x －1，当且仅当x ＝0时等号成立，令h (x )＝ln x －x +1，则()111xh x x x-'==－，令h ′(x )＝0⇒x ＝1，∴当x ∈(0，1)时，h ′(x )>0；当x ∈(1，+∞)时，h ′(x )<0， ∴h (x )在(0，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减， ∴h(x )max ＝h (1)＝0，即()()10h x h ≤=，即ln 1≤-x x ， ∴ln 1≤-x x ，当且仅当x ＝1时等号成立，∴e x －2≥x －1≥ln x ，两等号不能同时成立， ∴e x －2>ln x ，即证f (x )>ln x .10．（2022·新疆·三模（理））已知函数()sin cos f x x ax x =-，a ∈R (1)若()f x 在0x =处的切线为y x =，求实数a 的值； (2)当13a ≥，[0,)x ∈+∞时，求证：()2.f x ax ≤【答案】(1)0a = (2)证明见解析【分析】（1）由导数的几何意义有()01f '=，求解即可； （2）将()2f x ax ≤变形成sin 02cos x ax x-≤+，故只需证sin ()02cos xg x ax x =-≤+，用导数法证明max ()0g x ≤即可 (1)∵()cos cos sin f x x a x ax x '=-+，∴(0)11f a '=-=，∴0a = (2)要证()2f x ax ≤，即证sin cos 2x ax x ax -≤，只需证sin (2cos )x ax x ≤+，因为2cos 0x +>，也就是要证sin 02cos xax x-≤+，令sin ()2cos xg x ax x=-+，22cos (2cos )sin (sin )2cos 1()(2cos )(2cos )x x x x x g x a a x x +--+'=-=-++∵13a ≥，∴2222cos 11(cos 1)()0(2cos )33(2cos )x x g x x x +--'≤-=≤++ ∴()g x 在[0,)+∞为减函数，∴()(0)0g x g ≤=， ∴sin cos 2x ax x ax -≤，得证(1)若()f x 有两个极值点，求实数a 的取值范围； (2)当0a =时，证明：2()f x x x>-. 【答案】(1)10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭(2)证明见解析【分析】（1）根据函数有两个极值点转化为导函数等于0有两不相等的根，分离参数后，转化为分析ln 1()(0)x g x x x+=>大致图象，根据数形结合求解即可;（2）不等式可转化为2ln 20x x x x+-+>，构造函数，求导后得到函数极小值，转化为求极小值大于0即可.（1）()f x 的定义域为(0,)+∞，()ln 21f x x ax '=-+，由题意()0f x '=在(0,)+∞上有两解，即ln 210x ax -+=，即ln 12x a x +=有两解.令ln 1()(0)x g x x x+=>，即()g x 的图象与直线2y a =有两个交点.2ln ()0xg x x'-==，得1x =，当(0,1)x ∈时，()0g x '>，()g x 递增；当(1,)x ∈+∞时，()0g x '<，()g x 递减，max ()(1)1g x g ∴==，10g e ⎛⎫= ⎪⎝⎭，0x →时，()g x →-∞；x →+∞时，()0g x →，021a ∴<<，102a ∴<<，∴a 的取值范围是10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭. （2）当0a =时，()ln 2f x x x =+，即证2ln 2x x x x+>-，即证2ln 20x x x x+-+>，令2()ln 2(0)h x x x x x x =+-+>，22()ln h x x x ='-，令22()ln m x x x =-，则314()m x x x '=+，当0x >时，()0m x '>，()h x '∴在(0,)+∞递增.(1)20h =-<'，22(e)10e h '=->，∴存在唯一的0(1,e)x ∈，使得00202()ln 0h x x x '=-=，当00(0,)x x ∈时，()0h x '<，()h x 递减；当0(,)x x ∈+∞时，()0h x '>，()h x 递增，min 0()()h x h x ∴=.又0(1,e)x ∈，0()0h x '=，0202ln 0x x ∴-=，000000000022244()ln 2222e 0e h x x x x x x x x x x ∴=+-+=+-+=-+>-+>，()0h x ∴>，2()f x x x∴>-. 12．（2023·全国·高三专题练习）已知函数()f x ax =-(e 为自然对数的底数，为常数)的图像在(0，1)处的切线斜率为1-. (1)求a 的值及函数()f x 的极值； (2)证明：当0x >时，2e x x <.【答案】(1)2a =，()f x 极小值22ln 2-，()f x 无极大值 (2)证明见解析【分析】（1）对函数()f x 求导得到()f x '，由导数的几何意义得到()01f '=-，解得a ，再利用导数研究其单调性和极值，即可得出；（2）令()2e x g x x =-，对其求导，结合（1）可得：()0g x '>，得到()g x 的单调性，即可证明. (1)由()e x f x ax =-，得()e xf x a '=-.由题意得，()00e 1f a '=-=-，即2a =，所以()e 2x f x x =-，()e 2xf x '=-.令()0f x '=，得ln 2x =，当ln 2x <时，()0f x '<，则()f x 在(),ln 2-∞上单调递减； 当ln 2x >时，()0f x '>，则()f x 在()ln 2,+∞上单调递增．所以当ln 2x =时，()f x 取得极小值，且极小值为()ln2ln 2e 2ln 222ln 2f =-=-，()f x 无极大值．(2)证明：令()2e x g x x =-，则()e 2xg x x '=-.由(1)知，()()()()ln 222ln 221ln 20g x f x f '=≥=-=->， 故()g x 在R 上单调递增．所以当0x >时，()()010g x g >=>， 即2e x x <.【点睛】本题考查不等式的恒成立问题，常用到以下两个结论： (1)()()f x g x ≥恒成立()()()0F x f x g x ⇔=-≥恒成立()min 0F x ⇔≥； (2)()()f x g x ≤恒成立()()()0F x f x g x ⇔=-≤恒成立()max 0F x ⇔≤. 13．（2023·全国·高三专题练习）已知()sin 2f x k x x =+． (1)当2k =时，判断函数()f x 零点的个数； (2)求证：()sin 2ln 1,(0,)2x x x x π-+>+∈.【答案】(1)1； (2)证明见解析.【分析】（1）把2k =代入，求导得函数()f x 的单调性，再由(0)0f =作答. （2）构造函数()2sin ln(1)g x x x x =--+，利用导数借助单调性证明作答. (1)当2k =时，()2sin 2f x x x =+，()2cos 20f x x '=+≥，当且仅当(21)π,Z x k k =-∈时取“=”， 所以()f x 在R 上单调递增，而(0)0f =，即0是()f x 的唯一零点， 所以函数()f x 零点的个数是1. (2)(0,)2x π∈，令()2sin ln(1)g x x x x =--+，则()12cos 1g x x x =-'-+，因1cos 1,11x x <<+，则()0g x '>，因此，函数()g x 在(0,)2π上单调递增，(0,)2x π∀∈，()(0)0g x g >=，所以当(0,)2x π∈时，()sin 2ln 1x x x -+>+成立.．（全国高三专题练习（文））已知函数()e e f x x =-． (1)当1a =时，讨论()f x 的单调性；(2)当0x >时，()1f x <-，求a 的取值范围； (3)设n *∈N 2221ln(1)1122n n n+>++++．【答案】(1)()f x 的减区间为(),0-∞，增区间为()0,+∞. (2)12a ≤(3)见解析【分析】（1）求出()f x '，讨论其符号后可得()f x 的单调性.（2）设()e e 1ax x h x x =-+，求出()h x ''，先讨论12a >时题设中的不等式不成立，再就102a <≤结合放缩法讨论()h x '符号，最后就0a ≤结合放缩法讨论()h x 的范围后可得参数的取值范围. （3）由（2）可得12ln t t t<-对任意的1t >恒成立，从而可得()21ln 1ln n n n n+-<+对任意的*n N ∈恒成立，结合裂项相消法可证题设中的不等式.（1）当1a =时，()()1e x f x x =-，则()e xf x x '=，当0x <时，()0f x '<，当0x >时，()0f x '>，故()f x 的减区间为(),0∞-，增区间为()0,∞+.（2）设()e e 1ax x h x x =-+，则()00h =，又()()1e e ax x h x ax '=+-，设()()1e e ax xg x ax =+-，则()()22e e ax xg x a a x '=+-，若12a >，则()0210g a '=->，因为()g x '为连续不间断函数，故存在()00,x ∈+∞，使得()00,x x ∀∈，总有()0g x '>，故()g x 在()00,x 为增函数，故()()00g x g >=，故()h x 在()00,x 为增函数，故()()01h x h >=-，与题设矛盾.若102a <≤，则()()()ln 11e e ee ax ax ax xx h x ax ++'=+-=-，下证：对任意0x >，总有()ln 1x x +<成立，证明：设()()ln 1S x x x =+-，故()11011x S x x x-'=-=<++，故()S x 在()0,∞+上为减函数，故()()00S x S <=即()ln 1x x +<成立.由上述不等式有()ln 12e e e e e e 0ax ax x ax ax x ax x +++-<-=-≤，故()0h x '≤总成立，即()h x 在()0,∞+上为减函数，所以()()01h x h <=-.当0a ≤时，有()e e e 1100ax x ax h x ax '=-+<-+=， 所以()h x 在()0,∞+上为减函数，所以()()01h x h <=-.综上，12a ≤.。

高三数学经典习题集一、综合题题目1：已知函数$f(x) = \frac{ax+b}{x+c}$，其中$a,b,c$为常数，且$f(x+1)-f(x) = \frac{1}{x}$，求函数$f(x)$的表达式。

解答：根据题意，我们可以得到如下等式：$\frac{a(x+1)+b}{x+1+c} - \frac{ax+b}{x+c} = \frac{1}{x}$化简上式，得到：$\frac{a(x+1)+b}{x+1+c} - \frac{ax+b}{x+c} = \frac{a(x+c)-(ax+b)}{(x+c)(x+1+c)} = \frac{1}{x}$进一步化简，得到：$\frac{ac+b}{(x+c)(x+1+c)} = \frac{1}{x}$两边交叉相乘，得到：$x(ac+b) = (x+c)(x+1+c)$化简上式，得到：$acx + bx = x^2 + cx + x^2 + 2cx + c + c^2$合并同类项，得到：$2x^2 + (2c-b)x + (2c+c^2) = 0$根据等式左边为多项式的形式，我们可以得到两个等式：$2c + c^2 = 0 \Rightarrow c = -2$$2c-b = 0 \Rightarrow b = -4$将$b$和$c$的值代入函数$f(x)$的表达式，得到：$f(x) = \frac{ax - 4}{x - 2}$综上所述，函数$f(x)$的表达式为$\frac{ax - 4}{x - 2}$。

题目2：已知等差数列$\{a_n\}$满足$a_1 = 2$，$a_2 = 5$，$a_3 = 8$，求$a_{100}$的值。

解答：根据等差数列的性质，我们可以得到通项公式为：$a_n = a_1 + (n-1)d$其中$a_1$为首项，$d$为公差。

代入已知条件，得到：$2 = a_1 + d$$5 = a_1 + 2d$$8 = a_1 + 3d$解方程组，得到：$a_1 = 2$$d = 3$将$a_1$和$d$的值代入通项公式，得到：$a_n = 2 + (n-1)3$$a_{100} = 2 + 99 \times 3 = 299$综上所述，$a_{100}$的值为299。

1．下图中，能表示函数y ＝f (x )的图象的是()2．已知函数f (x )＝Error!若f (f (0))＝a 2＋1，则实数a 等于()A ．－1B ．2C ．3D ．－1或33．已知函数f (x )的定义域为[3,6]，则函数y ＝f (2x )log (2－x )的定义域为()A.[32，＋∞)B.[12，2)C.(32，3)D.[32，2)4．(2019·甘肃省甘谷县第一中学检测)若函数y ＝x 2－3x ＋4的定义域为[0，m ]，值域为[74，4]，则m 的取值范围是()A.[32，3]B.[32，4]C ．(0,4] D.[32，＋∞)5．给出下列四个函数：①y ＝x ·sin x ；②y ＝x ·cos x ；③y ＝x ·|cos x |；④y ＝x ·2x .这四个函数的部分图象如图，但顺序被打乱，则按照abcd 顺序将图象对应的函数序号安排正确的一组是()A ．①④②③B ．①③④②C ．④①②③D ．③④②①6．(2018·云南省曲靖市第一中学质检)函数f (x )＝ln(|x |－1)－log (x 2＋1)，则使不等式f (x )－f (2x －1)<0成立的x 的取值范围是()A ．(1，＋∞) B.(－∞，－13)12C.(－∞，－13)∪(1，＋∞) D ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)7．(2019·四川省成都市棠湖中学月考)已知定义在R 上的函数y ＝f (x )满足以下三个条件：①对于任意的x ∈R ，都有f (x ＋4)＝f (x )；②对于任意的x 1，x 2∈R ，且0≤x 1<x 2≤2，都有f (x 1)<f (x 2)；③函数y ＝f (x ＋2)的图象关于y 轴对称，则下列结论中正确的是()A ．f (4.5)<f (7)<f (6.5)B ．f (7)<f (4.5)<f (6.5)C ．f (7)<f (6.5)<f (4.5)D ．f (4.5)<f (6.5)<f (7)8．(2019·安徽省肥东县高级中学调研)已知定义在R 上的函数f (x )满足f (x )＝Error!且f (x ＋2)＝f (x )，g (x )＝2x ＋5x ＋2，则方程f (x )＝g (x )在区间[－5,1]上的所有实根之和为()A ．－9B ．9C ．－7D ．79．已知函数f (x )＝Error!若关于x 的方程f 2(x )－3f (x )＋a ＝0(a ∈R )有8个不等的实数根，则a 的取值范围是()A.(0，14)B.(13，3)C ．(1,2) D.(2，94)10．(2018·安徽省定远重点中学月考)已知函数y ＝f (x )与y ＝F (x )的图象关于y 轴对称，当函数y ＝f (x )和y ＝F (x )在区间[a ，b ]上同时递增或同时递减时，把区间[a ，b ]叫做函数y ＝f (x )的“不动区间”．若区间[1,2]为函数y ＝|2x －t |的“不动区间”，则实数t 的取值范围是()A ．(0,2] B.[12，＋∞)C.[12，2]D.[12，2]∪[4，＋∞)11．(2019·厦门外国语学校月考)若不等式(x －1)2<log a x 在x ∈(1,2)内恒成立，则实数a 的取值范围为________．12．(2019·四川省绵阳市江油中学月考)若函数f (x )＝x －1＋m 在区间[a ，b ]上的值域为[a 2，b 2](b >a ≥1)，则实数m 的取值范围为________．13．(2018·广东省六校联考)已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx 满足f (1＋x )＋f (1－x )＋22＝0，则f (x )的单调递减区间是______________．14．函数f (x )＝Error!若关于x 的方程f (x )－log a (x ＋1)＝0(a >0且a ≠1)在区间[0,5]内恰有5个不同的根，则实数a 的取值范围是________．15．已知f (x )＝Error!若f (0)是f (x )的最小值，则t 的取值范围为________．16．设函数y ＝f (x )图象上不同两点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)处的切线的斜率分别是k A ，k B ，规定φ(A ，B )＝|k A －k B ||AB |(|AB |为线段AB 的长度)叫做曲线y ＝f (x )在点A 与点B 之间的“弯曲度”，给出以下命题：①函数y ＝x 3图象上两点A 与B 的横坐标分别为1和－1，则φ(A ，B )＝0；②存在这样的函数，图象上任意两点之间的“弯曲度”为常数；③设点A ，B 是抛物线y ＝x 2＋1上不同的两点，则φ(A ，B )>2；④设曲线y ＝e x (e 是自然对数的底数)上不同两点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则φ(A ，B )<1.其中真命题的序号为________．(将所有真命题的序号都填上)答案精析1．D[根据题意，对于A ，B 两图，可以找到一个x 与两个y 对应的情形；对于C 图，当x ＝0时，有两个y 值对应；对于D 图，每个x 都有唯一的y 值对应．因此，D 图可以表示函数y ＝f (x )，故选D.]2．D[由题意得f (0)＝20＋1＝2，∴f (f (0))＝f (2)＝2a ＋4，又f (f (0))＝a 2＋1，∴2a ＋4＝a 2＋1，即a 2－2a －3＝0，解得a ＝－1或a ＝3，故选D.]3．D[由题意得Error!⇒Error!⇒32≤x <2，故选D.]4．A[∵函数y ＝x 2－3x ＋4＝(x －32)2＋74，∴函数的对称轴为x ＝32，最小值为74，在(－∞，32)上单调递减，在(32，＋∞)上单调递增．∵当x ∈[0，m ]时，值域为[74，4]，∴x ＝32必在定义域内，即m ≥32；又当x ＝0或x ＝3时，y ＝4，∴m ≤3，综上，m ∈[32，3]，故选A.]5．A[对于①，令y ＝f (x )，∵f (x )的定义域关于原点对称，且f (－x )＝(－x )·sin(－x )＝x ·sin x ＝f (x )，∴函数y ＝f (x )为偶函数，故函数①的图象为第一个图象a ，从而可排除选项C 和D ；对于④，当x >0时，y >0，函数无零点；当x <0时，y <0，函数无零点，故函数④的图象为第二个图象b ，故可排除选项B.从而可得选项A 正确．]6．D[由题意知，函数f (x )＝ln(|x |－1)－log (x 2＋1)的定义域为(－∞，－1)∪(1，＋∞)，且是定义域上的偶函数，且在x >1时是单调递增函数，所以f (x )－f (2x －1)<0，即f (x )<f (2x －1)，即f (|x |)<f (|2x －1|)，即|x |<|2x －1|，平方得x 2<4x 2－4x ＋1，即3x 2－4x ＋1>0，解得x <13或x >1，所以不等式f (x )－f (2x －1)<0的解集为(－∞，－1)∪(1，＋∞)，故选D.]7．A[定义在R 上的函数y ＝f (x )满足以下三个条件：由①对于任意x ∈R 都有f (x ＋4)＝f (x )，可知函数f (x )是周期T ＝4的周期函数；②对于任意的x 1，x 2∈R ，且0≤x 1<x 2≤2，都有f (x 1)<f (x 2)，可得函数f (x )在[0,2]上单调递增；③函数y ＝f (x ＋2)的图象关于y 轴对称，可得函数f (x )的图象关于直线x ＝2对称．∴f (4.5)＝f (0.5)，f (7)＝f (3)＝f (1)，f (6.5)＝f (2.5)＝f (1.5)．∵f (0.5)<f (1)<f (1.5)．∴f (4.5)<f (7)<f (6.5)，故选A.]8．C[由题意知g (x )＝2x ＋5x ＋2＝2(x ＋2)＋1x ＋2＝2＋1x ＋2，即g (x )的图象关于点(－2,2)对称，函数f (x )的周期为2，则函数f (x )，g (x )在区间[－5,1]上的图象如图所示．12由图象可知函数f (x )，g (x )在区间[－5,1]上的交点为A ，B ，C ，易知B 的横坐标为－3，若设C 的横坐标为t (0<t <1)，则点A 的横坐标为－4－t ，所以方程f (x )＝g (x )在区间[－5,1]上的所有实数根之和为－3＋(－4－t )＋t ＝－7，故选C.]9．D[绘制函数f (x )＝Error!的图象如图所示，令f (x )＝t ，由题意可知，方程t 2－3t ＋a ＝0在区间(1,2)上有两个不同的实数根，令g (t )＝t 2－3t ＋a (1<t <2)，由题意可知，Error!由此可得2<a <94，即a 的取值范围是(2，94).]10．C[∵函数y ＝f (x )与y ＝F (x )的图象关于y 轴对称，∴F (x )＝f (－x )＝|2－x －t |，∵区间[1,2]为函数f (x )＝|2x －t |的“不动区间”，∴函数f (x )＝|2x －t |和函数F (x )＝|2－x －t |在[1,2]上单调性相同，∵y ＝2x －t 和函数y ＝2－x －t 的单调性相反，∴(2x －t )(2－x －t )≤0在[1,2]上恒成立，即1－t (2x ＋2－x )＋t 2≤0在[1,2]上恒成立，即2－x ≤t ≤2x 在[1,2]上恒成立，即12≤t ≤2.]11．(1,2]解析∵函数y ＝(x －1)2在区间(1,2)上单调递增，∴当x ∈(1,2)时，y ＝(x －1)2∈(0,1)，若不等式(x －1)2<log a x 恒成立，则a >1且1≤log a 2，解得a ∈(1,2]．12.(0，12]解析由于函数f (x )＝x －1＋m 在区间[a ，b ]上有意义且是增函数，值域为[a 2，b 2]，b >a ≥1，故有Error!∴x －1＋m ＝x 2在[1，＋∞)上有2个不等实数根，故函数y ＝x －1的图象和直线y ＝x 2－m 在[1，＋∞)上有2个交点．如图所示．当m ＝0时，函数y ＝x －1的图象和直线y ＝x 2－m 相切于点(2,1)．当直线y ＝x 2－m 经过点(1,0)时，由0＝12－m ，求得m ＝12，数形结合可得，m 的取值范围是(0，12].13．(－1,3)解析∵函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx 满足f (1＋x )＋f (1－x )＋22＝0，∴(1＋x )3＋a (1＋x )2＋b (1＋x )＋(1－x )3＋a (1－x )2＋b (1－x )＋22＝0，整理得(2a ＋6)x 2＋2a ＋2b ＋24＝0，即Error!解得Error!∴函数解析式为f (x )＝x 3－3x 2－9x ，f ′(x )＝3x 2－6x －9，令f ′(x )＝3x 2－6x －9<0，解得－1<x <3，∴f (x )的单调递减区间是(－1,3)．14．(3，＋∞)解析作y ＝f (x )以及y ＝log a (x ＋1)的图象，根据图象得Error!∴a >3.15．[0,2]解析由于当x >0时，f (x )＝x ＋1x＋t 在x ＝1时取得最小值为2＋t ，由题意知当x ≤0时，f (x )＝(x －t )2，若t ≥0，此时最小值为f (0)＝t 2，故t 2≤t ＋2，即t 2－t －2≤0，解得－1≤t ≤2，此时0≤t ≤2，若t <0，则f (t )<f (0)，条件不成立，故答案为[0,2]．16．①②④解析①y ＝x 3，y ′＝3x 2，k A ＝k B ＝3，因此φ(A ，B )＝0，正确；②若f (x )＝ax (a 为常数)，则φ(A ，B )＝0为常数，正确；③y ＝x 2＋1，y ′＝2x ，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则φ(A ，B )＝|2x 1－2x 2|(x 1－x 2)2＋(x 21－x 2)2＝21＋(x 1＋x 2)2≤2，错误；④y ＝e x ，y ′＝e x ，φ(A ，B )＝||(x 1－x 2)2＋()2<||()2＝1，正确．故答案为①②④.。

第14课 函数模型及其应用A. 课时精练一、 填空题1. 将进货价格为8元/个的商品按10元/个销售，每天可卖出100个．若每个商品涨价1元，则日销售量减少10个．为了获得最大利润，此商品当日销售价格应定为每个________元．2. 根据统计，一名工人组装第x 件某产品所用的时间(单位：min )为f(x)＝⎩⎨⎧cx，x<a ，ca，x ≥a (a ，c 为常数)．已知该名工人组装第4件产品用时30 min ，组装第a 件产品用时15 min ，那么c 和a 的值分别是________和________．3. 为了促进资源节约型和环境友好型社会建设，引导居民合理用电、节约用电，北京居民生活用电试行阶梯电价．其电价标准如下表：若北京市某户居民2019年1月的平均电费为0.498 3元/kW ·h ，则该用户1月份的用电量为________．4. 已知有一批材料可以建成200 m 长的围墙，如果用此材料在一边靠墙的地方围成一块矩形场地，中间用同样材料隔成三个面积相等的矩形(如图所示)，那么围成场地的最大面积为________．(围墙厚度不计)(第4题)5. 某工厂生产的A 种产品进入商场销售，商场为吸引厂家第一年免收管理费，因此第一年A 种产品定价为每件70元，年销售量为11.8万件，从第二年开始，商场对A 种产品征收销售额的x%的管理费(即销售100元要征收x 元)，于是该产品定价每件比第一年增加了70·x%1－x%元，预计年销售量减少x 万件，要使商场第二年在A 种产品经营中收取的管理费不少于14万元， 则x 的最大值是________．6. 某食品的保鲜时间y(单位：h )与储藏温度x(单位：℃)满足函数关系y ＝e kx ＋b (k ，b 为常数)．若该食品在0℃的保鲜时间是192h ，在22℃的保鲜时间是48h ，则该食品在33℃的保鲜时间是________h .7. 某高校为了提升科研能力，计划逐年加大科研经费投入．若该高校2017年全年投入科研经费1 300万元，在此基础上，每年投入的科研经费比上一年增长12%，则该高校全年投入的科研经费开始超过2 000万元的年份是________年．(参考数据： lg 1.12≈0.05，lg 1.3≈0.11，lg 2≈0.30)8. 某公司在甲、乙两地销售一种品牌车，利润(单位：万元)分别为L 1＝5.06x －0.15x 2和L 2＝2x ，其中x 为销售量(单位：辆)．若该公司在这两地共销售15辆该种品牌车，则能获得的最大利润为________．二、 解答题9. 食品安全问题越来越引起人们的重视，农药、化肥的滥用对人民群众的健康带来一定的危害，为了给消费者带来放心的蔬菜，某农村合作社每年投入200万元，搭建了甲、乙两个无公害蔬菜大棚，每个大棚至少要投入20万元，其中甲大棚种西红柿，乙大棚种黄瓜，根据以往的种菜经验，发现种西红柿的年收入P(单位：万元)、种黄瓜的年收入Q(单位：万元)与投入a(单位：万元)满足P ＝80＋42a ，Q ＝14a ＋120.设甲大棚的投入为x(单位：万元)，每年两个大棚的总收益为f(x)(单位：万元)．(1) 求f(50)的值；(2) 试问如何安排甲、乙两个大棚的投入，才能使总收益f(x)最大？10. (2018·南通、扬州、淮安、宿迁、泰州、徐州六市二调)将一铁块高温熔化后制成一张厚度忽略不计、面积为100 dm 2的矩形薄铁皮，如图所示，并沿虚线l 1，l 2裁剪成A ，B ，C 三个矩形(B ，C 全等)，用来制成一个柱体．现有以下两种方案：方案①：以l 1为母线，将A 作为圆柱的侧面展开图，并从B ，C 中各裁剪出一个圆形作为圆柱的两个底面；方案②：以l 1为侧棱，将A 作为正四棱柱的侧面展开图，并从B ，C 中各裁剪出一个正方形(各边分别与l 1或l 2垂直)作为正四棱柱的两个底面．(1) 设B ，C 都是正方形，且其内切圆恰为按方案①制成的圆柱的底面，求底面的半径； (2) 设l 1的长为x dm ，则当x 为多少时，能使按方案②制成的正四棱柱的体积最大？(第10题)11. (2018·姜堰、溧阳、前黄中学4月联考)经科学研究证实，二氧化碳等温空气体的排放(简称碳排放)对全球气候和生态环境产生了负面影响，环境部门对A市每年的碳排放总量规定不能超过550万吨，否则将采取紧急限排措施．已知A市2017年的碳排放总量为400万吨，通过技术改造和倡导低碳生活等措施，此后每年的碳排放量比上一年的碳排放总量减少10%.同时，因经济发展和人口增加等因素，每年又新增加碳排放量m万吨(m>0)．(1) 求A市2019年的碳排放总量(用含m的式子表示)；(2) 若A市永远不需要采取紧急限排措施，求m的取值范围．。

2020年高考数学大题专项练习数列四1.已知数列{a n}中，a n=1＋1a＋2(n－1)(n∈N*，a∈R，且a≠0)．(1)若a=-7，求数列{a n}中的最大项和最小项的值；(2)若对任意的n∈N*，都有a n≤a6成立，求a的取值范围．2.设无穷等差数列{a n}的前n项和为S n，已知a1=1，S3=12．(1)求a24与S7的值；(2)已知m、n均为正整数，满足a m=S n．试求所有n的值构成的集合．3.数列{a n}满足a1=1，a2=2，a n+2=2a n+1﹣a n+2．(Ⅰ)设b n=a n+1﹣a n，证明{b n}是等差数列；(Ⅱ)求{a n}的通项公式．4.设数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1=1，a n ＋1=3S n ＋1，n ∈N *.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)记T n 为数列{n ＋a n }的前n 项和，求T n .5.已知数列{a n }满足.（1）求证：是等比数列；（2）求{a n }的通项公式.6.已知公差不为0的等差数列{a n }的前n 项和为S n ，S 7=70且a 1，a 2，a 6成等比数列．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设nS b nn 2=，求数列{11+n n b b }前的n 项和T n ．7.已知数列{a n}与{b n}满足a n+1-a n=2(b n+1-b n)(,n∈N).(1)若a1=1,b n=3n+5，求数列{a n}的通项公式；(2)若a1=6，b n=2n(n∈N*)且λa n>2n+n+2λ对一切n∈N*恒成立，求λ的取值范围.8.等差数列{a n}中，，(1)求{a n}的通项公式；(2)若，且T n为{b n}的n项和，求T50的值.9.设分别是数列{a}和{b n}的前项和，已知对于任意，都有，数列{b n}n是等差数列，且.（Ⅰ）求数列{a n}和{b n}的通项公式；（Ⅱ）设，数列{c n}的前项和为，求使成立的n的取值范围.10.等差数列{a}的前n项和为S n，数列{b n}是等比数列，满足，n（1）求数列{a n}和{b n}的通项公式；（2）令c n=a n∙b n,设数列{c n}的前n项和为,求.11.已知数列{a}与{b n}满足，，，且．n（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设，为数列的前项和，求．12.已知等差数列和等比数列满足a 1=b 1=1,a 2+a 4=10,b 2b 4=a 5．（Ⅰ）求的通项公式；（Ⅱ）求和：．13.已知等比数列{a n }的公比q ＞1，且a 3＋a 4＋a 5=28，a 4＋2是a 3，a 5的等差中项．数列{b n }满足b 1=1，数列{(b n ＋1-b n )a n }的前n 项和为2n 2＋n. (1)求q 的值；(2)求数列{b n }的通项公式．14.已知数列{a n }是公差不为零的等差数列，a 10=15，且a 3，a 4，a 7成等比数列．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n =a n 2n ，数列{b n }的前n 项和为T n ，求证：-74≤T n ＜-1(n ∈N *)．答案解析1.解：(1)∵a n=1＋1a＋2(n－1)(n∈N*，a∈R，且a≠0)，a=-7，∴a n=1＋12n－9(n∈N*)．结合函数f(x)=1＋12x－9的单调性，可知1>a1>a2>a3>a4，a5>a6>a7>…>a n>1(n∈N*)．∴数列{a n}中的最大项为a5=2，最小项为a4=0．(2)a n=1＋1a＋2(n－1)=1＋12n－2－a2．∵对任意的n∈N*，都有a n≤a6成立，结合函数f(x)=1＋12x－2－a2的单调性，∴5<2－a2<6，∴-10<a<-8．2.解：3.解：(Ⅰ)由an+2=2a n+1﹣a n+2得，a n+2﹣a n+1=a n+1﹣a n+2，由b n=a n+1﹣a n得，b n+1=b n+2，即b n+1﹣b n=2，又b1=a2﹣a1=1，所以{b n}是首项为1，公差为2的等差数列．(Ⅱ)由(Ⅰ)得，b n=1+2(n﹣1)=2n﹣1，由b n=a n+1﹣a n得，a n+1﹣a n=2n﹣1，则a2﹣a1=1，a3﹣a2=3，a4﹣a3=5，…，a n﹣a n﹣1=2(n﹣1)﹣1，所以，a n﹣a1=1+3+5+…+2(n﹣1)﹣1=(n﹣1)2，又a1=1，所以{a n}的通项公式a n=(n﹣1)2+1=n2﹣2n+2．4.解：(1)设等差数列{an}的公差为d，∵a5=12，a20=-18．∴，解得a1=20，d=-2．∴a n=20-2(n-1)=22-2n．(2)数列{a n}的前n项和S n==21n-n2．5.解：(1)由a n＋1=3S n＋1，得当n≥2时，a n=3S n－1＋1，两式相减，得a n＋1=4a n(n≥2)．又a1=1，a2=4，a2a1=4，所以数列{a n}是首项为1，公比为4的等比数列，所以数列{a n}的通项公式是a n=4n－1(n∈N*)．(2)T n=(1＋a1)＋(2＋a2)＋(3＋a3)＋…＋(n＋a n) =(1＋2＋…＋n)＋(1＋4＋42＋…＋4n－1)=n1＋n2＋1×1－4n1－4=n＋n22＋4n－13.6.解：7.解：8.解：9.解：10.11.12.13.（Ⅰ）；（Ⅱ）.14.解：(1)由a 4＋2是a 3，a 5的等差中项得a 3＋a 5=2a 4＋4，所以a 3＋a 4＋a 5=3a 4＋4=28，解得a 4=8.由a 3＋a 5=20得8⎝⎛⎭⎫q ＋1q =20，解得q=2或q=12，因为q ＞1，所以q=2.(2)设c n =(b n ＋1-b n )a n ，数列{c n }的前n 项和为S n =2n 2＋n.由c n =⎩⎪⎨⎪⎧S 1，n ＝1，S n －S n －1，n≥2，解得c n =4n-1.由(1)可得a n =2n-1，所以b n ＋1-b n =(4n-1)×⎝⎛⎭⎫12n-1，故b n -b n-1=(4n-5)×⎝⎛⎭⎫12n-2，n≥2，b n -b 1=(b n -b n-1)＋(b n-1-b n-2)＋…＋(b 3-b 2)＋(b 2-b 1)=(4n-5)×⎝⎛⎭⎫12n-2＋(4n-9)×⎝⎛⎭⎫12n-3＋…＋7×12＋3.设T n =3＋7×12＋11×⎝⎛⎭⎫122＋…＋(4n-5)×⎝⎛⎭⎫12n-2，n≥2，12T n =3×12＋7×⎝⎛⎭⎫122＋…＋(4n-9)×⎝⎛⎭⎫12n-2＋(4n-5)×⎝⎛⎭⎫12n-1， 所以12T n =3＋4×12＋4×⎝⎛⎭⎫122＋…＋4×⎝⎛⎭⎫12n-2-(4n-5)×⎝⎛⎭⎫12n-1，因此T n =14-(4n ＋3)×⎝⎛⎭⎫12n-2，n≥2，又b 1=1，所以b n =15-(4n ＋3)×⎝⎛⎭⎫12n-2.15.解：(1)设数列{a n }的公差为d(d≠0)，由已知得⎩⎪⎨⎪⎧a 10＝15，a 24＝a 3a 7，即⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋9d ＝15，a 1＋3d 2＝a 1＋2d a 1＋6d ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－3，d ＝2.∴a n =2n-5(n ∈N *)．(2)证明：∵b n =a n 2n =2n －52n ，n ∈N *.∴T n =－32＋－122＋123＋…＋2n －52n ，①12T n =－322＋－123＋124＋…＋2n －72n ＋2n －52n ＋1，② ①-②得12T n =－32＋2⎝⎛⎭⎫122＋123＋…＋12n -2n －52n ＋1=-12＋1－2n 2n ＋1，∴T n =-1-2n －12n (n ∈N *)，∵2n －12n ＞0(n ∈N *)，∴T n ＜-1.T n ＋1-T n =⎝⎛⎭⎫－1－2n ＋12n ＋1-⎝⎛⎭⎫－1－2n －12n =2n －32n ＋1，∴T n ＜T n ＋1(n≥2)．又T 1=-1-12=-32，T 2=-1-4－14=-74.∵T 1＞T 2，∴T 2最小，即T n ≥T 2=-74.综上所述，-74≤T n ＜-1(n ∈N *)．。

数学精练（14）1 复数10i12i=- A 42i - B 42i -+ C 24i + D 24i -2 若集合{}21,A m =，{}3,4B =，则“2m =”是“{}4=B A ”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 3 已知平面向量,a b 满足()=3a a +b ⋅，且2,1ab ，则向量a 与b 的夹角为A6π B 3π C 32π D 65π 4 已知数列{}n a 的前项和为n S ，且21()n n S a n *=-∈N ，则 A 16- B 16 C 31 D 32 5 关于两条不同的直线,与两个不同的平面,，下列命题正确的是 A ．βα//,//n m 且βα//，则n m // B ．βα⊥⊥n m ,且βα⊥，则m //n C ．βα//,n m ⊥且βα//，则n m ⊥D ．βα⊥n m ,//且βα⊥，则n m //6 已知中心在原点，焦点在x轴上的双曲线的离心率e =其焦点到渐近线的距离为1，则此双曲线的方程为A ．2212x y -=B ．22123x y -=C 2214x y -= D 221x y -=7 （本小题满分14分）在如图所示的几何体中，四边形ABCD 为平行四边形，=90ABD ∠︒， EB ⊥平面ABCD ，EF//AB ，=2AB，=1EB EF，=BC ，且M 是BD 的中点（Ⅰ）求证：EM//平面ADF ； （Ⅱ）求二面角D-AF-B 的大小； （Ⅲ）在线段EB 上是否存在一点P ， 使得CP 与AF 所成的角为30︒CAF EBMD若存在，求出BP 的长度；若不 存在，请说明理由8 （本小题满分13分）设函数2e (),1axf x a x R =∈+ （Ⅰ）当1a =时，求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程； （Ⅱ）求函数)(x f 单调区间 9 （本小题满分14分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的两个焦点分别为1(F ，2F 点(1,0)M 与椭圆短轴的两个端点的连线相互垂直 （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）已知点N 的坐标为(3,2)，点P 的坐标为(,)(3)m n m ≠过点M 任作直线l 与椭圆 C 相交于A ，B 两点，设直线AN ，NP ，BN 的斜率分别为1k ，2k ，3k ，若 1322k k k +=，试求,m n 满足的关系式 10．（本小题满分13分）已知各项均为非负整数的数列001:,,,n A a a a ()n *∈N ，满足00a =，1n a a n ++=．若存在最小的正整数k ，使得(1)k a k k =≥，则可定义变换T ，变换T 将数列0A 变为数列00111():1,1,,1,0,,,k k n T A a a a a a -++++．设1()i i A T A +=，0,1,2i =．（Ⅰ）若数列0:0,1,1,3,0,0A ，试写出数列5A ；若数列4:4,0,0,0,0A ，试写出数列0A ； （Ⅱ）证明存在唯一的数列0A ，经过有限次T 变换，可将数列0A 变为数列,0,0,,0n n 个；（Ⅲ）若数列0A ，经过有限次T 变换，可变为数列,0,0,,0n n 个．设1m m m n S a a a +=+++，1,2,,m n =，求证[](1)1mm m S a S m m =-++，其中[]1m S m +表示不超过1m Sm +的最大整数．参考答案7）（本小题满分14分） 证明：（Ⅰ）取AD 的中点N ，连接MN,NF在△DAB 中，M 是BD 的中点，N 是AD 的中点，所以1=2MN//AB,MN AB ， 又因为1=2EF//AB,EF AB ，所以MN//EF 且MN =EF所以四边形MNFE 为平行四边形， 所以EM//FN又因为FN ⊂平面ADF ，⊄EM 平面ADF ，故EM//平面ADF …………… 4分解法二：因为EB ⊥平面ABD ，AB BD ⊥，故以B 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系-B xyz ……………1分 由已知可得 (0,0,0),(0,2,0),(3,0,0),B A D3(3,-2,0),(0,1(,0,0)2C E F M （Ⅰ）3=(,0,-3)(3,-2,0)2EM ,AD=， 设平面ADF 的一个法向量是()x,y,z n =NCA F EBMD由0,0,AD AF n n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩得32x -y =0,=0.⎧⎪⎨⎪⎩令y=3，则n = ……………3分又因为3(=3+0-3=02EM n ⋅=⋅，所以EM n ⊥，又EM ⊄平面ADF ，所以//EM 平面ADF ……………4分 （Ⅱ）由（Ⅰ）可知平面ADF的一个法向量是n = 因为EB ⊥平面ABD ，所以EB BD ⊥又因为AB BD ⊥，所以BD ⊥平面EBAF 故(3,0,0)BD =是平面EBAF 的一个法向量 所以1cos <=2BD BD,BD n n n⋅>=⋅，又二面角D-AF -B 为锐角， 故二面角D-AF -B 的大小为60︒ ……………10分 （Ⅲ）假设在线段EB 上存在一点P ，使得CP 与AF 所成的角为30︒ 不妨设(0,0,t)P（0t ≤≤，则=(3,-2,-),=PC AF t所以2cos <2PC AF PC,AF PC AF⋅>==⋅=， 化简得35-=， 解得0t =< 所以在线段EB 上不存在点P ，使得CP 与AF 所成的角为30︒…………14分 （ 8）（本小题满分13分）解：因为2e (),1ax f x x =+所以222e (2)()(1)ax ax x a f x x -+'=+ （Ⅰ）当1a =时, 2e ()1xf x x =+,222e (21)()(1)x x x f x x -+'=+, 所以(0)1,f = (0)1f '=所以曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程为10x y -+= ……………4分（Ⅱ）因为222222e (2)e ()(2)(1)(1)ax axax x a f x ax x a x x -+'==-+++， ……………5分 （1）当0a =时,由()0f x '>得0x <；由()0f x '<得0x >所以函数()f x 在区间(,0)-∞单调递增, 在区间(0,)+∞单调递减 ……………6分 （2）当0a ≠时, 设2()2g x ax x a =-+，方程2()20g x ax x a =-+=的判别式2444(1)(1),a a a ∆=-=-+ ……………7分①当01a <<时，此时0∆>由()0f x '>得x <,或x >；由()0f x '<得11x a a+<<所以函数()f x 单调递增区间是1(,a -∞和1()a +∞,单调递减区间 ……………9分②当1a ≥时，此时0∆≤所以()0f x '≥，所以函数()f x 单调递增区间是(,)-∞+∞ ……………10分 ③当10a -<<时，此时0∆>由()0f x '>x <<；由()0f x '<得x <,或x >所以当10a -<<时,函数()f x 单调递减区间是1(,a -∞和1()a +∞,单调递增区间11(,)a a + ……………12分④当1a ≤-时, 此时0∆≤，()0f x '≤，所以函数()f x 单调递减区间是(,)-∞+∞ …………13分（ 9）（本小题满分14分） 解:（Ⅰ）依题意，c =1b =，所以a ==故椭圆C 的方程为2213x y += ……………4分 （Ⅱ）①当直线l 的斜率不存在时，由221,13x x y =⎧⎪⎨+=⎪⎩解得1,x y ==不妨设(1,3A ，(1,)3B -，因为132233222k k +=+=，又1322k k k +=，所以21k =，所以,m n 的关系式为213n m -=-，即10m n --= ………7分 ②当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为(1)y k x =-将(1)y k x =-代入2213x y +=整理化简得，2222(31)6330k x k x k +-+-= 设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则2122631k x x k +=+,21223331k x x k -=+ ………9分 又11(1)y k x =-，22(1)y k x =- 所以12122113121222(2)(3)(2)(3)33(3)(3)y y y x y x k k x x x x ----+--+=+=---- 12211212[2(1)](3)[2(1)](3)3()9k x x k x x x x x x ---+---=-++121212122(42)()6123()9kx x k x x k x x x x -++++=-++222222223362(42)6123131336393131k k k k k k k k kk k -⨯-+⨯++++=--⨯+++222(126) 2.126k k +==+………12分所以222k =，所以2213n k m -==-，所以,m n 的关系式为10m n --=………13分 综上所述，,m n 的关系式为10m n --= ………14分 （10）（本小题满分13分）解：（Ⅰ）若0:0,1,1,3,0,0A ，则1:1,0,1,3,0,0A ；2:2,1,2,0,0,0A ； 3:3,0,2,0,0,0A ； 4:4,1,0,0,0,0A ； 5:5,0,0,0,0,0A ．若4:4,0,0,0,0A ，则 3:3,1,0,0,0A ； 2:2,0,2,0,0A ； 1:1,1,2,0,0A ； 0:0,0,1,3,0A ． ………4分（Ⅱ）先证存在性，若数列001:,,,n A a a a 满足0k a =及0(01)i a i k >≤≤-，则定义变换1T -，变换1T -将数列0A 变为数列10()T A -：01111,1,,1,,,,k k n a a a k a a -+---．易知1T -和T 是互逆变换． ………5分 对于数列,0,0,,0n 连续实施变换1T -（一直不能再作1T -变换为止）得,0,0,,0n 1T-−−→1,1,0,,0n -1T-−−→2,0,2,0,,0n -1T-−−→3,1,2,0,,0n -1T-−−→1T-−−→01,,,n a a a ，则必有00a =（若00a ≠，则还可作变换1T -）．反过来对01,,,n a a a 作有限次变换T ，即可还原为数列,0,0,,0n ，因此存在数列0A 满足条件．下用数学归纳法证唯一性：当1,2n =是显然的，假设唯一性对1n -成立，考虑n 的情形． 假设存在两个数列01,,,n a a a 及01,,,n b b b 均可经过有限次T 变换，变为,0,,0n ，这里000a b ==，1212n n a a a b b b n +++=+++=若0n a n <<，则由变换T 的定义，不能变为,0,,0n ；若n a n =，则120n a a a ====，经过一次T 变换，有0,0,,0,n T−−→1,1,,1,0由于3n ≥，可知1,1,,1,0（至少3个1）不可能变为,0,,0n ．所以0n a =，同理0n b =令01,,,n a a a T−−→121,,,,na a a '''，01,,,n b b b T−−→121,,,,nb b b '''，则0n n a b ''==，所以1211na a a n -'''+++=-，1211nb b b n -'''+++=-． 因为110,,,na a -''T−−−−→有限次-1,0,,0n ，110,,,nb b -''T−−−−→有限次-1,0,,0n ，故由归纳假设，有i i a b ''=，1,2,,1i n =-．再由T 与1T -互逆，有01,,,n a a a T−−→111,,,,0na a -''， 01,,,n b b b T−−→111,,,,0nb b -''，所以i i a b =，1,2,,i n =，从而唯一性得证． ………9分 （Ⅲ）显然i a i ≤(1,2,,)i n =，这是由于若对某个0i ，00i a i >，则由变换的定义可知，0i a通过变换，不能变为0．由变换T 的定义可知数列0A 每经过一次变换，k S 的值或者不变，或者减少k ，由于数列0A 经有限次变换T ，变为数列,0,,0n 时，有0m S =，1,2,,m n =，所以m m S mt =(m t 为整数)，于是1m m m S a S +=+1(1)m m a m t +=++，0m a m ≤≤， 所以m a 为m S 除以1m +后所得的余数，即[](1)1mm m S a S m m =-++．………13分。

一、选择题（共6个小题，每小题5分,满分30分）1．平面α∥平面β的一个充分条件是（）A．存在一条直线a，a∥α，a∥βB．存在一条直线a,a⊂α,a∥βC．存在两条平行直线a，b，a⊂α，b⊂β,a∥β，b∥αD．存在两条异面直线a，b，a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥α解析：A、B、C中α与β都有可能相交．答案：D2．已知a、b、l表示三条不同的直线，α、β、γ表示三个不同的平面，有下列四个命题:①若α∩β＝a，β∩γ＝b且a∥b,则α∥γ；②若a、b相交，且都在α、β外,a∥α，a∥β，b∥α,b∥β，则α∥β；③若α⊥β，α∩β＝a，b⊂β，a⊥b，则b⊥α;④若a⊂α，b⊂α，l⊥a，l⊥b，则l⊥α.其中正确的是( ）A．①②B．②③C．①④D．③④解析：可通过公理、定理判定其正确，通过特例、反例说明其错误．①在正方体A1B1C1D1－ABCD中，平面A1B1CD∩平面DCC1D1＝CD.平面A1B1C1D1∩平面DCC1D1＝C1D1，且CD∥C1D1，但平面A1B1CD与平面A1B1C1D1不平行,①错误．②因为a、b相交，可设其确定的平面为γ，根据a ∥α，b∥α，可得γ∥α.同理可得γ∥β，因此α∥β，②正确．③根据平面与平面垂直的判定定理：两平面垂直，在一个平面内垂直于交线的直线和另一个平面垂直，③正确．④当直线a∥b时，l垂直于平面α内两条不相交直线，得不出l⊥α,④错误．答案:B3．下列命题正确的是（)A．直线a与平面α不平行，则直线a与平面α内的所有直线都不平行B．如果两条直线在平面α内的射影平行,则这两条直线平行C．垂直于同一直线的两个平面平行D．直线a与平面α不垂直，则直线a与平面α内的所有直线都不垂直解析:当直线a在平面α内时,它与平面α不平行，但a可以与平面α内的一些直线平行，故选项A错误;两条直线在平面α内的射影平行，则可以为异面直线，故选项B错误;直线a与平面α不垂直，但直线a可以与平面α内的一些直线垂直，故选项D错误，只有选项C正确．答案:C4．给出下列命题：①若直线a∥直线b,且直线a∥平面α，则直线b与平面α的位置关系是平行或直线b在平面α内；②直线a∥平面α，平面α内有n条直线交于一点，那么这n条直线中与直线a平行的直线有且只有一条；③a∥α，b、c⊂α，a∥b，b⊥c，则有a⊥c；④过平面外一点只能引一条直线与这个平面平行；其中错误的个数是( )A．0 B．1C．2 D．3解析：②④错误．答案:C5．下列命题中正确的个数是( ）①若直线a不在α内，则a∥α；②若直线l上有无数个点不在平面α内，则l∥α;。