上海市区高考数学一模试卷解析版

上海高中2024年高三第一次模拟考试（数学试题含解析）请考生注意：1．请用2B 铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。

写在试题卷、草稿纸上均无效。

2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合2{|1}M x x ==．N 为自然数集，则下列表示不正确的是（ ）A ．1M ∈B ．{1,1}M =-C ．M ∅⊆D ．M N ⊆ 2．下列说法正确的是（ ）A ．“若1a >，则21a >”的否命题是“若1a >，则21a ≤”B ．“若22am bm <，则a b <”的逆命题为真命题C ．0(0,)x ∃∈+∞，使0034x x >成立D ．“若1sin 2α≠，则6πα≠”是真命题 3．已知数列{}n a 中，112,()1,n n n a n a a a n N *+=-=+∈ ，若对于任意的[]*2,2,a n N ∈-∈，不等式21211n a t at n +<+-+恒成立，则实数t 的取值范围为（ ） A ．(][),21,-∞-⋃+∞B ．(][),22,-∞-⋃+∞C ．(][),12,-∞-⋃+∞D ．[]2,2- 4．已知15455,log log 2a b c ===，则,,a b c 的大小关系为（ ） A ．a b c >> B ．a c b >> C ．b a c >> D ．c b a >>5．已知m ∈R ，复数113z i =+，22z m i =+，且12z z ⋅为实数，则m =（ ）A ．23-B ．23C ．3D ．-36．为实现国民经济新“三步走”的发展战略目标，国家加大了扶贫攻坚的力度．某地区在2015 年以前的年均脱贫率（脱离贫困的户数占当年贫困户总数的比）为70%．2015年开始，全面实施“精准扶贫”政策后，扶贫效果明显提高，其中2019年度实施的扶贫项目，各项目参加户数占比（参加该项目户数占 2019 年贫困户总数的比）及该项目的脱贫率见下表：参加用户比 40% 40% 10% 10%脱贫率 95% 95% 90% 90%那么2019年的年脱贫率是实施“精准扶贫”政策前的年均脱贫率的（ ）A ．2728倍B ．4735倍C ．4835倍D ．75倍 7．已知函数()()614,7,7x a x x f x a x -⎧-+≤=⎨>⎩是R 上的减函数，当a 最小时，若函数()4y f x kx =--恰有两个零点，则实数k 的取值范围是（ ）A ．1(,0)2-B ．1(2,)2-C ．(1,1)-D ．1(,1)28．函数()3221f x x ax =-+在()0,∞+内有且只有一个零点，则a 的值为（ ）A ．3B ．－3C ．2D ．－2 9．函数的定义域为（ ）A ．[，3）∪（3，+∞）B ．（-∞，3）∪（3，+∞）C ．[，+∞）D ．（3，+∞）10．2019年某校迎国庆70周年歌咏比赛中，甲乙两个合唱队每场比赛得分的茎叶图如图所示（以十位数字为茎，个位数字为叶）.若甲队得分的中位数是86，乙队得分的平均数是88，则x y +=（ ）A ．170B ．10C ．172D ．12 11．下列与函数y x=定义域和单调性都相同的函数是（ ） A ．2log 2x y = B ．21log 2x y ⎛⎫= ⎪⎝⎭ C ．21log y x = D ．14y x =12．已知(1)n x +的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为（ ）．A ．122B ．112C ．102D ．92二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

上海市黄浦区2024届高三一模数学试卷（满分150分，时间120分钟）2023.12.6一、填空题（本大题共有12题，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分，满分54分）1.已知集合 2A x x ， 1B x x ，则A B ．2.若函数 1y x x a 为偶函数，则实数a 的值为．3.已知复数1z i （i 为虚数单位），则满足z w z 的复数w 为．4.5.6.7.某城市,34,36,418.在 若25a 9. 12010.若 ．11.设123,,,,n a a a a 是首项为3且公比为313233log log log a a a 1343log 1log 18n n a a 的最小正整数n 的值为．12.若正三棱锥A BCD 的底面边长为6，，动点P 满足DA CB PA PB PC PD ，则2PA PB PA 的最小值为．二、选择题（本大题共有4题，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分，满分18分）13.设x R ，则“38x ”是“2x ”的（）.A 充分而不必要条件；.B 必要而不充分条件；.C 充要条件；.D 既不充分也不必要条件．14.从3名男同学和2名女同学中任选2名同学参加志愿者服务，则选出的2名同学中至少有1名女同学的概率是（）.A 720；.B 710；.C 310；.D 35．15.若实数a 、b 满足221a b ab ，则必有（）.A 222a b ；.B 221a b ；.C 1a b ；.D 2a b ．16.O 最近的点为点①点p Q ）.A 三、17.4、3、2后，（1）（2）n t ，求数列 n t 的18.（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）如图，平面ABCD 平面ADEF ，四边形ADEF 是正方形，//BC AD ，45BAD CDA ，2CD，AD （1）证明：CD 平面ABF ；（2）求二面角B EF A 的正切值．19.（折线DCE ）（1）（2）第18题图第19题图设a 为实数，1 是以点 0,0O 为顶点、以点10,4F为焦点的抛物线，2 是以点 0,A a 为圆心、半径为1的圆位于y 轴右侧且在直线y a 下方的部分．（1）求1 与2 的方程；（2）若直线2y x 被1 所截得的线段的中点在2 上，求a 的值；（3）是否存在a ，满足：2 在1 的上方，且2 有两条不同的切线被1 所截得的线段长相等？若存在，求出a 的取值范围；若不存在，请说明理由．第20题图设函数 f x 与 g x 的定义域均为D ，若存在0x D ，满足 00 f x g x 且 00''f x g x ，则称函数 f x 与 g x “局部趋同”．（1）判断函数 151f x x 与 322f x x x 是否“局部趋同”，并说明理由；（2）已知函数 21g x x ax （0x ）， 2e xg x b （0x ）．求证：对任意的正数a ，都存在正数b ，使得函数 f x 与 g x “局部趋同”；（3）对于给定的实数m ，若存在实数n ，使得函数 1n h x mx x（0x ）与 2ln h x x “局部趋同”，求实数m 的取值范围．高三数学参考答案和评分标准说明：1．本解答仅列出试题的一种解法，如果考生的解法与所列解答不同，可参考解答中的评分精神进行评分．2．评阅试卷，应坚持每题评阅到底，不要因为考生的解答中出现错误而中断对该题的评阅，当考生的解答在某一步出现错误，影响了后继部分，但该步以后的解答未改变这一题的内容和难度时，可视影响程度决定后面部分的给分，这时原则上不应超过后面部分应给分数之半，如果有较严重的概念性错误，就不给分．一、填空题（本大题满分54分. 其中第1~6题每题满分4分，第7~12题每题满分5分）1. [1 2]−，；2. 1；3. i − ；4. 54；5. 12； 6. ； 7. 56； 8. 2425； 9.220； 10. π(0,]6； 11. 25； 12. 8. 二、选择题（本大题共4小题，满分18分.其中第13、14题每题满分4分，第15、16题每题满分5分）13. A 14. B 15. D 16. C三、解答题（本大题共有5题，满分78分．）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．17.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．解：（1）设等比数列{}n a 的公比为q ，由4345441000a a a a a a q q=⋅⋅=， 可得341000a =，即410a =. …………………………2分又由3454,3,2a a a 成等差数列，可得354426,a a a += 即402060,q q+=解得1q =或2，又{}n a 是严格增数列，所以2q =，…………………4分 故443410252n n n n a a q −−−==⋅=⋅. …………………………6分（2）由3(12)n n S =−，可得当2n ≥时，1113(22)32n n n n n n b S S −−−=−=−=−⋅，又1111332b S −==−=−⋅，所以对一切正整数n ，都有132n n b −=−⋅， …………………9分所以3132n n t −===⋅， ……………………11分所以{}n t 的前n 和为113131213(122)(21)44124n n n −−+++=⋅=−−. …………………14分 18.（本题满分14分）本题共有2小题，第小题满分6分，第小题满分8分．解：（1）在平面ABCD 内，BAD ∠=CDA ∠45=︒，∴直线AB, DC 相交，设它们交于点P ，90DPA ∴∠=︒, 即AB CD ⊥. 四边形ADEF 是正方形，AF AD ∴⊥，又平面ABCD ⊥平面ADEF ，它们的交线为AD ，AF ⊂平面ADEF ，故AF ⊥平面ABCD ，又CD ⊂平面ABCD ，AF CD ∴⊥. ……………4分又AB 与AF 是平面ABF 内的两条相交直线，∴CD ⊥平面ABF . ……………6分（2）在平面ABCD 内，过B 作BG AD ⊥，垂足为G .又平面ABCD ⊥平面ADEF , 它们的交线为AD ，故BG ⊥平面ADEF . ……………8分在平面ADEF 内，过G 作GH EF ⊥，垂足为H ，连BH ，则BH EF ⊥，故BHG ∠就是二面角B EF A −−的平面角， ……………11分又sin 45sin 45BG BA CD =︒=︒=，GH AF AD ===在直角BGH △中，1tan 4BG BHG GH ∠===， 所以二面角B EF A −−的正切值为14． ……………14分 法二：设O 是线段AD 的中点，由APD △是以AD 为底边的等腰直角三角形，可知PO AD ⊥，由平面ABCD ⊥平面ADEF , 它们的交线为AD ，且PO ⊂平面ABCD ，故PO ⊥平面ADEF , 设M 是线段EF 的中点，则OM ⊂平面ADEF ，可得PO OM ⊥，又,O M 是正方形ADEF 的对边,AD EF 的中点，可得AD OM ⊥， …………9分分别以,,OD OM OP 为,,x y z 轴建立如图的空间直角坐 标系，则(42,0,0)EF =−，(2,42,2)BF =−，设(,,1)n x y =是平面BEF 的一个法向量，则有(42)0,24220,n EF x n BF x y ⎧⋅=−=⎪⎨⋅=⋅+⋅−=⎪⎩解得0,1.4x y =⎧⎪⎨=⎪⎩故1(0,,1)4n =，又(0,0,22)OP =是平面ADEF 的一个法向量， ……………11分 所以二面角B EF A −−的余弦值为||4224172217||||n OP n OP ⋅⋅==⋅⋅， ，故二面角B EF A −−的正切值为14. ……………14分 19.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题6分，第2小题8分．解：（1）由πππ()333DOC αα∠=+−<<，2π3AOB ∠=, 可知 π3COE α∠=−, 作OF CD ⊥, 垂足为F ，由OD OC =，可知CF DF =且1π262DOF DOC α∠=∠=+， 在直角DOF △中，πsin()62DF OD α=+，故π2sin()62CD OD α=+， 同理可得ππ2sin()2sin()6262EC OC OD αα=−=−， ……………4分 所以π2sin()62OD α++π2sin()10062OD α−=，可得OD =5050ππsin()sin()cos 62622ααα=++−(米). ……6分（2）设花卉育苗区的面积为S 平方米，则221π1πsin()sin()2323S OD OD αα=++− 22150ππ[sin()sin()]233cos 2ααα=++−. ………9分1]1cos cos 2S =α==−+α. ……………12分 当且仅当cos 1α=且ππ33α−<<，即0α=时，S 取最大值，此时50OD =米. 故使π3DOC ∠=，且50OD =米，可使花卉育苗区的面积最大. ………………14分 20．（本题满分18分）第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分．解:（1）设1Γ的方程为22x py =，又124p =，得21p =，即1Γ的方程为2y x =， ……2分 2Γ的方程为22()1(0,)x y a x y a +−=><. ……………4分（2）设直线2y x =+与1Γ的交点为1122(,),(,)M x y N x y ，线段MN 中点为00(,)G x y ， 由22,,y x y x =+⎧⎨=⎩可得220x x −−=，故1200015,2222x x x y x +===+=， ……………7分 由点G 在2Γ上，可知215()142a +−=且52a <，解得52a =. ……………10分 （3）设(,)D x y 为2Γ上任一点，则1)y a x =−<<. 点D 在1Γ的上方等价于2a x >,即2a x >对于(0,1)x ∈t =, 由(0,1)x ∈, 可得(0,1)t ∈,故222151()24x t t t +=−++=−−+的最大值为54, 可得54a >. ………12分 设直线y kxb =+与2Γ相切, 被1Γ截得的线段长为L ，则0,1k b a ><−,1=,可得a b −=, 又由2,,y kx b y x =+⎧⎪⎨=⎪⎩可得20x kx b −−=, 设它的两个实根为12,x x , 则2222212(1)()(1)(4)L k x x k k b =+−=++， …………14分 设a b n −=，则1n >，n =，222432(144)4(41)L n n n a n n a n =−−+=−+−，令432()4(41)f n n n a n =−+−，则3223()412(82)[4()811]2f n n n a n n n a '=−+−=−+−， 当且仅当8110a −<，即118a <时，存在132n +=，使得在1(1.5,)n 与1(,)n +∞上， ()f n '分别小于0和大于0, 故()f n 分别严格增与严格减，故在(1.5,)+∞上必存在两个不同的n 值, 对应的()f n 相等，即存在两个不同的正数k ，使得对应的L 值相等.所以存在a 满足题中条件，且a 的取值范围是511(,)48. ……………18分21．（本题满分18分）第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分．解：（1）1212()(),()(),f x f x f x f x =⎧⎨''=⎩(*1)即为32512,532,x x x x ⎧+=+⎨=+⎩………………2分 也即3310,1,x x x ⎧−−=⎨=±⎩由1x =与1x =−都不满足方程3310x x −−=， 故(*1)无解，所以1()f x 与2()f x 非“局部趋同”. ……………4分（2）1212()(),()(),g x g x g x g x =⎧⎨''=⎩即为2e ,2e ,x x x ax b x a b ⎧−+=⎨−+=⎩ 等价于2(2)0,2e ,x x a x a x a b ⎧−++=⎨−+=⎩（*2） ………7分 令2()(2)g x x a x a =−++，对于任意正数a ，由(0)0g a =>，()02a g a =−<， 又()g x 在[0 ]2a ，上的图像是连续不间断的，故 ()g x 在(0 )2a ，上至少有一个零点， ……9分 设0x 是其中一个零点，则存在正数002e x x a b −+=，使得（*2）在(0 )+∞，上有解0x ， 故对任意的正数a ，都存在正数b ，使得函数1()g x 与2()g x “局部趋同”. …………10分（3）1212()(),()(),h x h x h x h x =⎧⎨''=⎩(*)即为2ln ,1,n mx x x n m x x ⎧+=⎪⎪⎨⎪−=⎪⎩等价于221ln ,,mx x n mx x −=⎧⎨=−⎩（*3） ………13分令()ln h x x =，则1()h x x'=，()h x 的图像在点(,ln )t t 处的切线的方程为1ln ()y t x t t −=−， 即1ln 1y x t t=+−，令ln 11t −=−，可得1t =，此时上述切线方程为1y x =−，………15分 故当且仅当21m =时，直线21y mx =−与()h x 的图像相切，由图像可知，当且仅当21m ≤时，直线21y mx =−与()h x 的图像有公共点（在y 轴右侧），故当且仅当12m ≤时，21ln mx x −= 有正数解0x ，此时存在200n mx x =−，使得（*3）有正数解，从而1()h x 与2()h x “局部趋同”.所以满足条件的实数m 的取值范围是1(,]2−∞. ……………18分。

2024年上海市长宁区高考数学一模卷及解析一、单项选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1、已知全集U = { x | -3 ≤x ≤5 }，A = { x | -1 < x < 2 }，B = { x | 0 ≤x ≤3 }，则A ∪(U的补集B) = （）A. ( - 3，2)B. [-3，-1]C. (-3，3]D. [-3，3]2、下列函数中，周期为π，并且在区间(0,π)上是减函数的是( )A.y=sin(2x)B.y=cos(2x)C.y=tan(2x)D.y=sin(x+4π)3、下列说法中正确的是( )A. 若f(x) = 0, 则f'(x) = 0B. 若g(x) = x^2, 则g'(x) = 2C. 若h(x) = sin^2x, 则h'(x) = 2cosxD. 若k(x) = e^(-x), 则k'(x) = -e^(-x)4、下列结论中正确的是( )A. 若y = x^2, 则dy = 2x dyB. 若y = (x + 1)^2, 则dy = 2x dy + 1 dyC. 若y = sin x, 则dy = cos x dyD. 若y = e^x, 则dy = e^x dy5、若a > b > c > 0，则下列结论中正确的是( )A. a^b > b^bB. a^c < b^cC. a^b < a^cD. log_a(b - c) > log_a(a - c)6、下列函数中，最小值为4的是( )A.y=x+x4B.y=x+4−xC.y=sinx+sinx4(0<x<π)D.y=ex+ex4(x=0)7、下列说法中正确的是（）A. 若a •b •c < 0，则(a •b) •c < 0B. 若a •b •c > 0，则(a •b) •c > 0C. 若a •b •c < 0，则(a •b) •c < 0 或(a •c) •b < 0D. 若a •b •c > 0，则(a •b) •c > 0 或(a •c) •b > 08、在平面直角坐标系xOy 中，直线l₁：kx - y + k - 1 = 0 与直线l₂：x + ky - k = 0 相交于点P，则当实数k 变化时，点P 的轨迹是( )A. 一条直线B. 一个圆C. 一个椭圆D. 双曲线的一支9、下列说法中正确的是( )A. "若a•b = 0,则a = 0 或b = 0" 的否命题是真命题B. "若x^2 + y^2 = 0,则xy = 0" 的逆命题是假命题C. "若x < y,则x^2 < y^2" 的逆命题是真命题D. "若p 则q" 为假命题，则p 为假命题10、若直线l₁：kx - y + k - 1 = 0 与直线l₂：x + ky - k = 0 的交点在椭圆C：(x²/9) + (y²/5)= 1 上，则实数k 的取值范围是_______．二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分）1、若f(x) 是定义在R 上周期为2 的函数，当x ∈(-1,1) 时，f(x) = { x^2 + ax; x +b; } ，且f(-1) = f(1),解析：2、对于选项A，A∪(U的补集B)=(−3,2)，这是因为集合B的补集是(−3,0]∪[3,5)，与集合A取并集后得到(−3,2)。

上海市长宁区2024届高三一模数学试卷（满分150分，时间120分钟）2023.12.12一、填空题（本大题共有12题，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分，满分54分）1.已知集合 ,4A ， 1,3,5,7B ，则A B ．2.复数z 满足11z i（i 为虚数单位），则z ．3.不等式11 的解集为． 4.5.将46.物体的瞬时速度为．7.第1支水笔的编号为．8.10lg II ．其中I 为2，则其相应的声9.10.11.若函数 sin cos f x x a x 在27,36上是严格单调函数，则实数a 的取值范围为．12.设 2log f x x ax b （0a ），记函数 y f x 在区间 ,1t t （0t ）上的最大值为 ,t M a b ，若对任意b R ，都有 ,1t M a b a ，则实数t 的最大值为．二、选择题（本大题共有4题，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分，满分18分）13.下列函数中既是奇函数又是增函数的是（）.A 2f x x ；.B 2f x x ；.C ln f x x ；.D x f x e ．14.“ P A B P A P B ”是“事件A 与事件B 互相独立”的（）.A 充分不必要条件；.B 必要不充分条件；.C 充要条件；.D 既不充分也不必要条件．15.设点P 是以原点为圆心的单位圆上的动点，它从初始位置 01,0P 出发，沿单位圆按逆时针方向转动角（02）后到达点1P ，然后继续沿单位圆按逆时针方向转动角4到达2P ．若点2P 的横坐标为35，则点1P 的纵坐标为（）.A 10；.B 5；.C 5；.D 10．16.，5AC ，点P 在ABC Q ，都存在点P ，满足.A 12三、17.（1）（2）A ，求事件A 发生如图，在三棱锥A BCD 中，平面ABD 平面BCD ，AB AD ，O 为BD 的中点．（1）求证：AO CD ；（2）若BD DC ，BD DC ，AO BO ，求异面直线BC 与AD 所成的角的大小．18题图汽车转弯时遵循阿克曼转向几何原理，即转向时所有车轮中垂线交于一点，该点称为转向中心．如图1，某汽车四轮中心分别为A 、B 、C 、D ，向左转向，左前轮转向角为 ，右前轮转向角为 ，转向中心为O ．设该汽车左右轮距AB 为w 米，前后轴距AD 为l 米．（1）试用w 、l 和 表示tan ；（2）如图2，有一直角弯道，M 为内直角顶点，EF 为上路边，路宽均为3.5米，汽车行驶其中，左轮A 、D 与路边FS 相距2米．试依据如下假设，对问题*做出判断，并说明理由．假设：①转向过程中，左前轮转向角 的值始终为30 ；②设转向中心O 到路边EF 的距离为d ，若OB d 且OM OD ，则汽车可以通过，否则不能通过；③ 1.570w ， 2.680l ．问题*：可否选择恰当转向位置，使得汽车通过这一弯道？第19题图1第19题图2已知椭圆22:142x y ，1F 、2F 为 的左、右焦点，点A 在 上，直线l 与圆22:2C x y 相切．（1）求12AF F 的周长；（2）若直线l 经过 的右顶点，求直线l 的方程；（3）设点D 在直线2y 上，O 为原点，若OA OD ，求证：直线AD 与圆C 相切．若函数 y f x 与 y g x 满足：对任意12,x x R ，都有 1212f x f x g x g x ，则称函数 y f x 是函数 y g x 的“约束函数”．（1）若 2f x x ，判断函数 yg x 的奇偶性，并说明理由；（2）若 3f x ax x （0a ）， sing x x ，求实数a 的取值范围；（3）若 y g x 为严格减函数， 01f f ，且函数 y f x 的图像是连续曲线，求证：y f x 是 0,1上的严格增函数．参考答案和评分标准一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果．1. {}1,3；2.2；3. ()0,1；4. 2；5.12；6. 80；7．14；8. 130；9.()0,1,1−；10．[)2,−+∞；11. ⎡⎢⎣；12.13.11解：()cos sin f x x a x '=−，因为()0f π'<，所以()y f x =在27,36ππ⎛⎫⎪⎝⎭上是严格减函数， 当27,36x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，cos sin 0x a x −<恒成立，所以1tan 0a x −>在27,36ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上恒成立，因为我tan x ⎛∈ ⎝是，所以a ≤≤ 12解：设2log u x ax b =++，因为[],1x t t ∈+，所以()()22log log 11t at b u t a t b ++≤≤++++ 所以()()(){}22,max log ,log 11t M a b t at b t a t b =++++++()()()()()()()()2222log 11loglog 11log 2t a t b t at b t a t b t at b ++++++++++++−++=()()()()()2222log 11loglog 1log 2122t a t b t at b t t aa ++++−+++−+≥=≥+得103t <≤二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分）每题有且只有一个正确选项．考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑． 13.A ；14.C ；15. D ；16.B16解：该几何体由一下几部分组成：一个底面与ABC 平行高为2的三棱柱；底面为半径为1的半圆，高分别3、4、5的三个圆柱；一个半径为1的球.所以该几何体的体积为()4226234512233πππ⨯++++=+三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤．BD17．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，公差2d =. （1）若10100S =，求{}n a 的通项公式；（2）从集合{}123456,,,,,a a a a a a 中任取3个元素，记这3个元素能成等差数列为事件A ，求事件A 发生的概率()P A .解：（1）因为()1112n S na n n d =+−，所以1011090100S a =+=， ……..2分得11a =， …….4分 所以()1121n a a n d n =+−=−. …….6分（2）随机实验样本空间中样本点的个数为3620C =， ……..3分 事件A 所含样本点分两类，公差为d 的有4个，公差为2d 的有2个， ……..6分 所以事件A 发生的概率()632010P A ==. …….8分 18．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）.如图，在三棱锥A BCD −中，平面ABD ⊥平面BCD ，AB AD =，O 为BD 的中点．（1）求证：AO CD ⊥；（2）若BD DC ⊥，BD DC =，AO BO =，求异面直线BC 与AD 所成的角的大小．（1）证明：因为AB AD =，O 为BD 的中点， 所以AO DB ⊥， …….2分 因为平面ABD ⊥平面BCD ，所以AO ⊥平面BCD ， …….4分因为CD ⊂平面BCD ，所以AH CD ⊥. …….6分 （2）由（1）知AO ⊥平面BCD ，作//OE CD ，因为CD BD ⊥，所以OE BD ⊥，进而可以OE 、OD 、OA 分别为x 轴、y 轴和z 轴正方向，建立坐标系，因为AO BO =，BD DC =，所以可设()0,0,A a ，()0,,0B a −，()0,,0D a ，()2,,0C a a ， …..6分 因为()2,2,0BC a a =，()0,,AD a a =− 设异面直线BC 与AD 所成的角为θ，则12121cos 2n n n n θ⋅==，所以60θ=︒ ……8分 19．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）.汽车转弯时遵循阿克曼转向几何原理，即转向时所有车轮中垂线交于一点，该点称为转向中心.如图，某汽车四轮中心分别为A 、B 、C 、D ，向左转向，左前轮转向角为α，前右轮转向角为β，转向中心为O. 设该汽车左右轮距AB 为w 米，前后轴距AD 为l 米.（1）试用w 、l 和α表示tan β； （2）如图2，有一直角弯道，M 为内直角顶点，EF 为上路边，路宽均为3.5米，汽车行驶其中，左轮A 、D 与路边FS 相距2米.试依据如下假设，对问题*做出判断，并说明理由.假设：①转向过程中，左前轮转向角α的值始终为30︒；②设转向中心O 到路边EF 的距离为d ，若OB d <且OM OD <，则汽车可以通过，否则不能通过；③ 1.570w =， 2.680l =.问题*：可否选择恰当转向位置，使得汽车通过这一弯道？解：（1）由已知AOD α∠=，tan BOC β∠=， …….2分 所以tan l OD α=，tan lOC w α=+，……..4分 进而tan tan llw βα=+. …….. 6分（2）以EF 和FS 分别为x 轴和y轴建立坐标系， 则()3.5, 3.5M −−. 4.642tan lOD α===， 6.766OB ==，……..2分设(),O a b ()0,0a b <<，2 6.642a =−=−，d b =−，OM ==， ……..4分由OM OD <，得()29.872 3.521.548b ++<，进而 6.9170.83b −<<−， 由OB d <，得 6.766b <−，…….6分所以当 6.917 6.765b −<<时，OB d <且OM OD <，此时汽车可以通过弯道. 答：选择恰当转向位置，汽车可以通过弯道. …….8分 20．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）.xD C BA B C S F E C D B A已知椭圆22142x y Γ+=：，1F 、2F 为Γ的左、右焦点，点A 在Γ上，直线l 与圆22:2C x y +=相切.（1）求△12AF F 的周长；（2）若直线l 经过Γ的右顶点，求直线l 的方程；（3）设点D 在直线2y =上，O 为原点，若OA OD ⊥，求证：直线AD 与圆C 相切.解：（1）设椭圆Γ的聚焦为2c ，长轴长为2a ，短轴长为2b ， 则24a =，22b =，所以22c =， ……..2分 所以1224AF AF a +==，122F F c ==得△12AF F的周长为4+. ……..4分 （2）椭圆Γ的右顶点为()2,0，所以可设直线l 的方程为()2y k x =−， ……..2分 因为圆222x y +=与直线l 相切，= ……..4分解得2k =±，直线l的方程为)22y x =±−. …….6分（3）设()00,A x y ，(),2D m ，因为OA OD ⊥，所以0020mx y +=， …….2分当0m x =时，2020x y +=， 由2200142x y +=，得01y =−，0x = 直线AD方程为x =22:2C x y +=相切， …….4分 当0m x ≠时，直线AD 的方程为()0000002222y y x my y x m x x m x m x m−−−=−+=+−−− 则原点O 到直线AD 的距离为d =， …….6分因为02y m x =−，2200142x y +=，所以2216844422202040020202020200200=+++=++++=x x x x x x y y x x y x d ． 此时直线AD 与圆22:2C x y +=相切． ……8分21．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）.若函数()y f x =与()y g x =满足：对任意12,R x x ∈，都有()()()()1212f x f x g x g x −≥−，则称函数()y f x =是函数()y g x =的“约束函数”.已知函数()y f x =是函数()y g x =的“约束函数”.（1）若()2f x x =，判断函数()y g x =的奇偶性，并说明理由； （2）若()()30f x ax x a =+>，()sin g x x =，求实数a 的取值范围；（3）若()y g x =为严格减函数，()()01f f <，且函数()y f x =的图像是连续曲线，求证：()y f x =是()0,1上的严格增函数.证明：（1）函数()y g x =为偶函数. ……2分 因为对任意R x ∈，都有()()()()f x f x g x g x −−≥−−， 所以()()()220g x g x x x −−≤−−=，得()()g x g x −=，所以()y g x =为偶函数. ………4分 （2）解：设12x x <因为()y f x =是R 上的严格增函数，所以()()12f x f x <， 进而()()()()1221g x g x f x f x −≤−，所以()()()()1122f x g x f x g x +≤+，()()()()1122f x g x f x g x −≤−， 设()()()u x f x g x =+，()()()v x f x g x =−，则()y u x =与()y v x =均为R 上的严格增函数， …….3分()23cos 0u x a x x '=++≥，()23cos 0v x a x x '=+−≥恒成立因为230x ≥，cos 1x −≥−，所以23cos 1a x x a +−≥−，得1a ≥， 当1a ≥时，()23cos 0u x a x x '=++≥恒成立，所以1a ≥. ………..6分 （3）设12x x <，因为()y g x =是严格减函数，所以()()12g x g x >， 而()()()()2112f x f x g x g x −≥−，所以()()120f x f x −> 所以对任意12x x <，都有()()12f x f x ≠（*） ……2分 ①首先证明，当01x <<时，()()()01f f x f <<， 假设存在001x <<，且()()01f f x <，设()()()1h x f x f =−，则()00h <，()00h x >， 所以存在()300,x x ∈，使得()30h x =， 得()()31f x f =，与结论*矛盾， 所以不存在001x <<，使得()()01f f x <同理也不存在001x <<，使得()()00f x f <，所以当01x <<时，()()()01f f x f <<. ……5分 ②再证明，当1201x x <<<时，()()12f x f x <， 假设存在1201x x <<<，使得()()12f x f x >， 则()()()()2101f f x f x f <<<设()()()2h x f x f x =−，则()00h <，()10h x >， 所以存在()300,x x ∈，使得()30h x =， 得()()32f x f x =，与结论*矛盾，所以假设不成立，即对任意()12,0,1x x ∈，都有()()12f x f x < 所以函数()y f x =是区间()0,1上的增函数 ……8分。

2024上海高考高三数学模拟试卷（本试卷共10页，满分150分，90分钟完成．答案一律写在答题纸上）命题：侯磊审核：杨逸峰一、填空题．（本题共12小题，前6题每小题4分；后6题每小题5分，共54分．请在横线上方填写最终的、最简的、完整的结果）1．已知集合{}()1,2,3,4,5,2,5A B ==，则A B =．2．已知圆柱底面圆的周长为2π，母线长为4，则该圆柱的体积为．3．101x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的二项展开式中，2x 项的系数为．4．等比数列{}n a 的各项和为2，则首项1a 的取值范围为．5．已知平面向量()()1,2,,4a b m == ，若a 与b的夹角为锐角，则实数m 的取值范围为．6．已知复数z 满足22z z -==，则3z =．7．已知空间向量()()1,1,0,0,1,1a b == ，则b 在a方向上的投影为．8．已知()ln(4f x ax c x =++（a 、b 、c 为实数），且3(lg log 10)5f =，则(lglg3)f 的值是9．已知A B 、是抛物线24y x =上的两个不同的点，且10AB =，若点M 为线段10AB =的中点，则M 到y 轴的距离的最小值为．10．一个飞碟射击运动员练习射击，每次练习可以开2枪．当他发现飞碟后，开第一枪命中的概率为0.8；若第一枪没有命中，则开第二枪，且第二枪命中的概率为0.6；若2发子弹都没打中，该次练习就失败了．若已知在某次练习中，飞碟被击中的条件下，则飞碟是运动员开第二枪命中的概率为．11．已知ABC 中，,,A B C 为其三个内角，且tan ,tan ,tan A B C 都是整数，则tan tan tan A B C ++=．12．已实数m n 、满足221m n +≤，则2263m n m n +-+--的取值范围是．二、选择题（本题共4小题，前2题每小题4分；后2题每小题5分，共18分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请填写符合要求的选项前的代号）13．以下能够成为某个随机变量分布的是（）A ．0111⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．101111236-⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．123111248⎛⎫ ⎪ ⎝⎭D ．11.222.40.50.50.30.7⎛⎫⎪-⎝⎭14．某高级中学高一年级、高二年级、高三年级分别有学生1400名、1200名、1000名，为了解学生的健康状况，用分层抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为n 的样本，若从高三年级抽取25名学生，则n 为A ．75B ．85C ．90D ．10015．设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，设甲：123a a a <<，乙：{}n S 是严格增数列，则甲是乙的（）A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既非充分又非必要条件16．椭圆具有如下的声学性质：从一个焦点出发的声波经过椭圆反射后会经过另外一个焦点．有一个具有椭圆形光滑墙壁的建筑，某人站在一个焦点处大喊一声，声音向各个方向传播后经墙壁反射（不考虑能量损失），该人先后三次听到了回音，其中第一、二次的回音较弱，第三次的回音较强；记第一、二次听到回音的时间间隔为x ，第二、三次听到回音的时间间隔为y ，则椭圆的离心率为（）A ．2xx y+B ．2x x y+C ．2y x y +D ．2y x y+三、解答题．（本大题共5小题，满分78分．请写出必要的证明过程或演算步骤）17．三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥平面ABC ，且1AB BC ==，12,90,AA ABC D =∠=︒为1CC中点．(1)求四面体1A ABD -的体积：(2)求平面ABD 与1ACB 所成锐二面角的余弦值．18．（1）在用“五点法”作出函数[]1sin ,0,2πy x x =-∈的大致图象的过程中，第一步需要将五个关键点列表，请完成下表：x0sin x -01sin x-1（2）设实数0a >且1a ≠，求证：()ln x x a a a '=；（可以使用公式：()e e x x '=）（3）证明：等式()()()32123x ax bx c x x x x x x +++=---对任意实数x 恒成立的充要条件是123122331123x x x a x x x x x x bx x x c ++=-⎧⎪++=⎨⎪=-⎩19．为帮助乡村脱贫，某勘探队计划了解当地矿脉某金属的分布情况，测得了平均金属含量y （单位：克每立方米）与样本对原点的距离x （单位：米）的数据，并作了初步处理，得到了下面的一些统计量的值．（表中9111,9i i i i u u u x ===∑）．xyu921()ii x x =-∑921()i i u u =-∑921()i i y y =-∑91(())i ii x y x y =--∑91()()i ii u u y y =--∑697.900.212400.1414.1226.13 1.40-(1)利用相关系数的知识，判断y a bx =+与dy c x=+哪一个更适宜作为平均金属含量y 关于样本对原点的距离x 的回归方程类型；(2)根据（1）的结果建立y 关于x 的回归方程，并估计样本对原点的距离20x =米时，平均金属含量是多少？20．已知抛物线2:2(0)C y px p =>，过点()(),00M a a ≠与x 轴不垂直的直线l 与C 交于()()1122,,A x y B x y 、两点．(1)求证：OA OB ⋅是定值（O 是坐标原点）；(2)AB 的垂直平分线与x 轴交于(),0N n ，求n 的取值范围；(3)设A 关于x 轴的对称点为D ，求证：直线BD 过定点，并求出定点的坐标．21．已知2()ln(1)2x f x a x x =++-，函数()y f x =的导函数为()y f x '=．(1)当1a =时，求()y f x =在2x =处的切线方程；(2)求函数()y f x =的极值点；(3)函数()y f x =的图象上是否存在一个定点(,)(.(0,))m n m n ∈+∞，使得对于定义域内的任意实数00()x x m ≠，都有000()()()2x mf x f x m n +'=-+成立？证明你的结论．1．{3,4}【分析】根据给定条件，利用交集的定义直接求解即可.【详解】集合{}()1,2,3,4,5,2,5A B ==，则{3,4}A B = .故答案为：{3,4}2．4π【分析】根据条件，直接求出1r =，再利用圆柱的体积公式，即可求出结果.【详解】设圆柱的底面半径为r ，所以2π2πr =，得到1r =，又圆柱的母线长为4l =，所以圆柱的体积为2π4πV r l ==，故答案为：4π.3．210【分析】先求出二项式展开式的通项公式，然后令x 的次数为2，求出r ，代入通项公式中可求得结果.【详解】101x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的二项展开式的通项公式为10102110101C C rr r rr r T x x x --+⎛⎫=⋅⋅=⋅ ⎪⎝⎭，令1022r -=，得4r =，所以2x 项的系数为410C 210=，故答案为：2104．(0,2)(2,4)【分析】根据给定条件，利用等比数列各项和公式，结合公比的取值范围求解即得.【详解】依题意，121a q=-，10q -<<或01q <<，则12(1)a q =-，102a <<或124a <<，所以首项1a 的取值范围为(0,2)(2,4) .故答案为：(0,2)(2,4) 5．(8,2)(2,)-+∞ 【分析】根据给定条件，利用向量夹角公式结合共线向量列出不等式组求解即得.【详解】向量()()1,2,,4a b m == 的夹角为锐角，则0a b ⋅> 且a 与b不共线，因此8024m m +>⎧⎨≠⎩，解得8m >-且2m ≠，所以实数m 的取值范围为(8,2)(2,)-+∞ .故答案为：(8,2)(2,)-+∞ 6．8-【分析】设i z a b =+，根据22z z -==得到方程组，求出1,a b ==答案，从而求出3z .【详解】设i z a b =+，则22i z a b -=-+，所以()2222424a b a b ⎧+=⎪⎨-+=⎪⎩，解得1,a b ==当1,a b =1=z ，故()222113i 22z =+=++=-+，()()322126i 8z =-++=-+=-；当1,a b ==1z =-，故()222113i 22z =-=-=--，()()322126i 8z =--=-+=-故答案为：-87．11(,,0)22【分析】根据给定条件，利用投影向量的定义求解即得.【详解】向量()()1,1,0,0,1,1a b == ，则1,||a b a ⋅==，所以b 在a 方向上的投影为2111(,,0)222||a b a a a ⋅==，故答案为：11(,,0)228．3【分析】令()ln(g x ax c x =+，则()()4f x g x =+，然后判断()g x 的奇偶性，再利用函数的奇偶性求值即可【详解】令()ln(g x ax c x =+，则()()4f x g x =+，函数的定义域为R ，因为()ln(g x ax c x -=---ln ax c ⎛⎫=--(1ln ax c x -=--+(ln ax c x =--+(ln ()ax c x g x ⎡⎤=-++=-⎢⎥⎣⎦，所以()g x 为奇函数，因为3(lg log 10)5f =，所以3(lg log 10)45g +=，所以(lg lg 3)1g -=，所以(lg lg 3)1g =-，所以(lg lg3)(lg lg3)4143f g =+=-+=，故答案为：39．4【分析】求出过抛物线焦点的弦长范围，再利用抛物线定义列式求解即得.【详解】抛物线24y x =的焦点(1,0)F ，准线方程=1x -，令过点F 与抛物线交于两点的直线方程为1x ty =+，由214x ty y x=+⎧⎨=⎩消去x 得，2440y ty --=，设两个交点为1122(,),(,)P x y Q x y ，则124y y t +=，21212()242x x t y y t +=++=+，于是212||11444PQ x x t =+++=+≥，当且仅当0=t 时取等号，令点,,A B M 的横坐标分别为0,,A B x x x ，而||104AB =≥，则0111[(1)(1)]1(||||)1||142222A B A B x x x x x FA FB AB +==+++-=+-≥-=，当且仅当,,A F B 三点共线时取等号，所以M 到y 轴的距离的最小值为4.故答案为：410．323【分析】根据给定条件，利用条件概率公式计算即得.【详解】记事件A 为“运动员开第一枪命中飞碟”，B 为“运动员开第二枪命中飞碟”，C 为“飞碟被击中”，则()0.20.60.12P B =⨯=，()()()()0.80.120.92P C P A B P A P B ==+=+= ，所以飞碟是运动员开第二枪命中的概率为()()0.123(|)()()0.9223P BC P B P B C P C P C ====.故答案为：32311．6【分析】不妨令A B C ≤≤，利用正切函数的单调性，结合已知求出tan A ，再利用和角的正切公式分析求解即得.【详解】在ABC 中，不妨令A B C ≤≤，显然A 为锐角，而tan A 是整数，若πtan 2tan3A =>=，又函数tan y x =在π(0,)2上单调递增，则π3A >，此时3πA B C A ++≥>与πA B C ++=矛盾，因此tan 1A =，π3π,44A B C =+=，tan tan tan()11tan tan B CB C B C++==--，整理得(tan 1)(tan 1)2B C --=，又tan ,tan B C 都是整数，且tan tan B C ≤，因此tan 2,tan 3B C ==，所以tan tan tan 6A B C ++=.故答案为：612．[3,13]【分析】确定动点(,)P m n 的几何意义，利用直线现圆的位置关系分段讨论，结合几何意义求解即得.【详解】显然点(,)P m n 在圆22:1O x y +=及内部，直线1:630l x y --=，直线2:220l x y +-=，1=>，得直线1l与圆O相离，且|63|63m n m n--=--，由222201x yx y+-=⎧⎨+=⎩，解得3545xy⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或1xy=⎧⎨=⎩，即直线2l与圆O交于点34(,),(1,0)55A B，①当220m n+-≥时，即点P在直线2l与圆O所围成的小弓形及内部，|22||63|226324m n m n m n m n m n+-+--=+-+--=-+，目标函数124z x y=-+，即142z x y-=-表示斜率为12，纵截距为142z-的平行直线系，画出直线0:20p x y-=，平移直线p分别到直线12,p p，当1p过点A时，142z-取得最大值，1z最小，当2p过点B时，142z-取得最小值，1z最大，因此1min34()24355z=-⨯+=，1max()12045z=-⨯+=，从而3245m n≤-+≤；②当220m n+-<时，即点P在直线2l与圆O所围成的大弓形及内部（不含直线2l上的点），|22||63|(22)63348m n m n m n m n m n+-+--=-+-+--=--+，目标函数2348z x y=--+，即2834z x y-=+表示斜率为34-，纵截距为282z-的平行直线系，画出直线0:340q x y+=，显直线q OA⊥，平移直线q分别到直线12,q q，直线12,q q与圆O分别相切于点34,(,)55A--，当1q过点A时，282z-取得最大值，2z最小，因此2min34()834355z=-⨯-⨯=，当2q过点34(,)55--时，282z-取得最小值，2z最大，因此2max34()8341355z=+⨯+⨯=，从而383413m n<--≤，所以2263m n m n+-+--的取值范围是[3,13].故答案为：[3,13]【点睛】方法点睛：求解线性规划问题的一般方法：①准确作出不等式组表示的平面区域，作图时一定要分清虚实线、准确确定区域；②根据目标函数的类型及几何意义结合图形判断目标函数在何处取得最值．13．B【分析】分布列中各项概率大于0，且概率之和为1，从而得到正确答案.【详解】由题意得，分布列中各项概率非负，且概率之和为1，显然AC 选项不满足概率之和为1，D 选项不满足各项概率大于0，B 选项满足要求.故选：B 14．C【详解】分析：由题意结合分层抽样的性质得到关于n 的方程，解方程即可求得最终结果.详解：由题意结合分层抽样的定义可得：251000140012001000n =++，解得：90n =.本题选择C 选项.点睛：进行分层抽样的相关计算时，常利用以下关系式巧解：(1)n N =样本容量该层抽取的个体数总体的个数该层的个体数；(2)总体中某两层的个体数之比＝样本中这两层抽取的个体数之比．15．D【分析】举出反例得到充分性和必要性均不成立.【详解】不妨设111,2a q =-=，则2311,24a a =-=-，满足123a a a <<，但{}n S 是严格减数列，充分性不成立，当111,2a q ==时，{}n S 是严格增数列，但123a a a >>，必要性不成立，故甲是乙的既非充分又非必要条件.故选：D 16．B【分析】根据给定条件，分析听到的三次回声情况确定几个时刻声音的路程，再列出等式求解即得.【详解】依题意，令声音传播速度为v ，1t 时刻，刚刚呐喊声音传播为0，2t 时刻听到第一次回声，声音的路程为2()-a c ，即从左焦点到左顶点再次回到左焦点，3t 时刻，声音的路程为2()a c +，即从左焦点到右顶点，又从右顶点回到左焦点，4t 时刻，声音的路程为4a ，即从左焦点反射到右焦点，再反射到左焦点，因此32,2()2()x t t a c a c vx =-+--=，43,42()y t t a a c vy =--+=，即4,22c vx a c vy =-=，则2a c y c x -=，即2a c y c x -=，整理得2a y xc x+=，所以椭圆的离心率为2c xa x y=+.故选：B【点睛】关键点点睛：利用椭圆几何性质，确定听到回声的时刻，回声的路程是解题的关键.17．(1)136【分析】（1）利用等体积法11A ABD D A AB V V --=，再根据条件，即可求出结果；（2）建立空间直角坐标系，求出平面ABD 与1ACB 的法向量，再利用面面角的向量法，即可求出结果.【详解】（1）因为1AA ⊥平面ABC ，又BC ⊂面ABC ，所以1AA BC ⊥，又AB BC ⊥，1AA AB A = ，1,AA AB ⊂面11ABB A ，所以CB ⊥面11ABB A ，因为1//CC 面11ABB A ，所以D 到面11ABB A 的距离即BC ,又111112122AA B S AB AA =⋅=⨯⨯= ，1BC =，所以1111133A ABD D A AB A AB V V S CB --=== .（2）如图，建立空间直角坐标系，因为1AB BC ==，12AA =，则1(0,0,0),(0,1,0),(1,0,0),(0,0,2),(1,0,1)B AC BD ，所以1(0,1,0),(1,0,1),(0,1,2),(1,1,0)BA BD AB AC ===-=-设平面ABD 的一个法向量为(,,)n x y z =，由1100BA n BD n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ，得到00y x z =⎧⎨+=⎩，取1x =，得到0,1y z ==-，所以(1,0,1)n =- ，设平面1ACB 的一个法向量为(,,)m a b c =，则由10AC m AB m ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，得到020a b b c -=⎧⎨-+=⎩，取2a =，则2,1b c ==，所以(2,2,1)m = ，设平面ABD 与1ACB 所成锐二面角为θ，则cos cos ,n mn m n m θ⋅====18．（1）表格见解析；（2）证明见解析；（3）证明见解析.【分析】（1）根据给定条件，结合“五点法”作图完善表格.（2）根据给定条件，利用复合函数求导法则计算即得.（3）根据给定条件，利用恒等式成立的充要条件推理即得.【详解】（1）“五点法”作函数[]sin ,0,2πy x x =∈的图象的5个关键点的横坐标为π3π0,,π,,2π22，所以表格如下：xπ2π3π22πsin x -01-0101sin x-1121（2）实数0a >且1a ≠，则ln ln e e xx a x a a ==，因此ln ln ()(e )e (ln )ln x x a x a x a x a a a '''==⋅=，所以()ln x x a a a '=.（3）212212133)())[()])(((x x x x x x x x x x x x x x =-----++32332121212312()()x x x x x x x x x x x x x x x x =+--+-++32123122331123()()x x x x x x x x x x x x x x x =-+++++-，依题意，3212312233112332()()x x x x x x x x x x x x ax bx x x x x c -+++-+++=++对任意实数x 恒成立，因此123123122331122331123123()a x x x x x x ab x x x x x x x x x x x x bc x x x x x x c=-++++=-⎧⎧⎪⎪=++⇔++=⎨⎨⎪⎪=-=-⎩⎩，所以等式32123()()()x ax bx c x x x x x x +++=---对任意实数x 恒成立的充要条件是123122331123x x x ax x x x x x b x x x c ++=-⎧⎪++=⎨⎪=-⎩.19．(1)dy c x=+更适宜作为回归方程类型；(2)10ˆ100yx=-，399.5g /m .【分析】（1）根据题意，分别求得相关系数的值，结合10.449r ≈和20.996r ≈-，结合12r r <，即可得到结论.（2）（i ）根据最小二乘法，求得回归系数，进而求得回归方程；（ii ）当20x =时，结合回归方程，即可求得预报值.【详解】（1）因为y a bx =+的线性相关系数91)9()(0.44iix y r x y --==≈∑，dy c x=+的线性相关系数92(0.996iiu u y r y --≈-∑，因为12r r <，所以dy c x=+更适宜作为平均金属含量y 关于样本对原点的距离x 的回归方程类型.（2）依题意，992110ˆ()()1(.4010.14)i ii i iu u y u u yβ==----===-∑∑，则ˆˆ97.9(10)0.21100y u αβ=-=--⨯=，于是10ˆ10010100y u x=-=-，所以y 关于x 的回归方程为10ˆ100yx=-.当20x =时，金属含量的预报值为31010099.5g /m 20ˆy=-=.20．(1)证明见解析；(2))||(,p a ++∞；(3)证明见解析，(),0a -.【分析】（1）联立直线和抛物线方程，再利用韦达定理及数量积的坐标表示计算即得..（2）求出弦AB 的中点坐标及弦AB 的中垂线方程，进而求出n ，再结合判别式求解即得.（3）设出D 点的坐标，求出直线BD 的方程211121()y y y x x y x x +=---，借助（1）的信息，推理判断即得.【详解】（1）显然直线l 不垂直于坐标轴，设过点(),0M a 的直线l 的方程为x my a =+，由22y px x my a ⎧=⎨=+⎩消去x 得：2220y pmy pa --=，22Δ480p m pa =+>，则121222y y pm y y pa +=⎧⎨⋅=-⎩，所以22212121212222y y OA OB x x y y y y a pa p p⋅=+=⋅+=- 为定值.（2）设,A B 两点的中点坐标为()33,Q x y ，则21212322x x my my x a pm a ++==+=+，1232y y y pm +==，则()2,Q pm a pm +，即AB 的垂直平分线为()2y m x pm a pm =---+，令0y =，解得2n pm a p =++，显然22480p m pa ∆=+>，当0a >时，恒有220pm a +>成立，则n p a >+，当a<0时，2pm a a +>-，则n p a >-，所以n 的取值范围为)||(,p a ++∞.（3）由A 关于x 轴的对称点为D ，得()11,D x y -，则直线BD ：211121()y y y x x y x x +=---，整理得：2112212121y y x y x yy x x x x x ++=---.又()()()1221211212122x y x y y my a y my a my y a y y +=+++=++422pam pam pam =-+=-.因此直线BD 为：212122pm pam y x x x x x =+--，即()212pmy x a x x =+-过定点(),0a -，所以直线BD 过定点(),0a -.【点睛】方法点睛：求解直线过定点问题常用方法如下：①“特殊探路，一般证明”：即先通过特殊情况确定定点，再转化为有方向、有目的的一般性证明；②“一般推理，特殊求解”：即设出定点坐标，根据题设条件选择参数，建立一个直线系或曲线的方程，再根据参数的任意性得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即为所求点；③求证直线过定点()00,x y ，常利用直线的点斜式方程()00y y k x x -=-或截距式y kx b =+来证明.21．(1)48ln 333y x =-+；(2)答案见解析；(3)不存在，理由见解析.【分析】（1）利用导数求切线斜率，再求出切点坐标，点斜式写出切线方程即可.（2）利用导数探讨单调性，进而确定函数的极值点.（3）假设存在，利用导数，将等式化简，减少变量，从而可构造适当新函数，研究新函数的性质，即可判断.【详解】（1）当1a =时，2()ln(1),(2)ln 32x f x x x f =++-=，求导得14()1,(2)13f x x f x ''=+-=+，切线方程为4ln 3(2)3y x -=-，所以所求切线方程为48ln 333y x =-+.（2）函数2()ln(1)2x f x a x x =++-的定义域为(1,)-+∞，求导得21()111a x af x x x x -+'=+-=++，令()0f x '=，即210x a -+=，即21x a =-，①当1a ≥时，函数()y f x =在定义域内严格增,无极值点；②当01a <<时，当1x -<<或x >时，()0f x '>，当x <()0f x '<，函数()y f x =在(1,-和)+∞严格增，在(严格减，此时极大值点为③当0a ≤时，当1x -<<时，()0f x '<，当x >时，()0f x '>，函数()y f x =在(-严格减，在)+∞严格增的，所以当1a ≥时，函数()y f x =无极值点；当01a <<时，函数()y f x =极大值点为当0a ≤时，函数()y f x =.（3）假设存在定点(,)m n 满足条件，由000()()()2x mf x f x m n +'=-+得：000)(2()f x n x m f x m -+'=-，又点(,)m n 在曲线()f x 上，则2()ln(1)2mn f m a m m ==++，于是220000001[ln(1)ln(1)])()()(2a x m x m x m f x n x mx m+-++----=--000[ln(1)ln(1)]12a x m x mx m +-++=+--，而()11a f x x x '=+-+，于是000002()1=1222212x m x m x m a af x m x m +++'=+-+-++++，因此000ln(1)ln(1)22x m x m x m +-+=-++，变形得00012(1)11ln 1111x x m x m m +-++=++++，令01(0)1x t t m +=>+，则2(1)ln 1t t t -=+，令函数22()ln ,01t g t t t t -=->+，求导得22214(1)()0(1)(1)t g t t t t t '-=-=≥++，则()g t 在(0,)+∞单调递增，又(1)0g =，于是()0g t =只有唯一解1t =，即0111x m +=+，又0m x ≠，则1t ≠，故不存在定点(,)m n 满足条件.【点睛】结论点睛：函数y =f (x )是区间D 上的可导函数，则曲线y =f (x )在点00(,())x f x 0()x D ∈处的切线方程为：000()()()y f x f x x x '-=-.。

上海黄浦区2025届高考数学一模试卷考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。

2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。

3．考生必须保证答题卡的整洁。

考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．甲在微信群中发了一个6元“拼手气”红包,被乙､丙､丁三人抢完,若三人均领到整数元,且每人至少领到1元,则乙获得“最佳手气”(即乙领到的钱数多于其他任何人)的概率是（ ） A ．13B ．310C ．25D ．342．已知a R ∈若（1-ai ）( 3+2i )为纯虚数，则a 的值为 （ ） A ．32-B ．32C ．23-D ．233．在ABC 中，12BD DC =，则AD =（ ） A ．1344+AB AC B ．21+33AB ACC ．12+33AB ACD ．1233AB AC -4．曲线24x y =在点()2,t 处的切线方程为（ ） A ．1y x =-B ．23y x =-C ．3y x =-+D ．25y x =-+5．设M 是ABC ∆边BC 上任意一点，N 为AM 的中点，若AN AB AC λμ=+，则λμ+的值为( ) A ．1B ．12C ．13D ．146．已知向量(3sin ,2)a x =-，(1,cos )b x =，当a b ⊥时，cos 22x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ） A ．1213-B ．1213C ．613-D ．6137．已知函数()sin(2)f x x ϕ=+，其中(0,)2πϕ∈，若,()6x R f x f π⎛⎫∀∈≤ ⎪⎝⎭恒成立，则函数()f x 的单调递增区间为（ ）A ．,()36k k k z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦ B ．2,()33k k k z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦C ．2,()33k k k z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦D ．2,()3k k k Z πππ⎡⎤+⎢⎥⎣∈⎦8．2019年10月1日，为了庆祝中华人民共和国成立70周年，小明、小红、小金三人以国庆为主题各自独立完成一幅十字绣赠送给当地的村委会，这三幅十字绣分别命名为“鸿福齐天”、“国富民强”、“兴国之路”，为了弄清“国富民强”这一作品是谁制作的，村支书对三人进行了问话，得到回复如下： 小明说：“鸿福齐天”是我制作的；小红说：“国富民强”不是小明制作的，就是我制作的； 小金说：“兴国之路”不是我制作的，若三人的说法有且仅有一人是正确的，则“鸿福齐天”的制作者是（ ） A ．小明B ．小红C ．小金D ．小金或小明9．已知()f x 是定义在[]2,2-上的奇函数，当(]0,2x ∈时，()21xf x =-，则()()20f f -+=（ ）A ．3-B ．2C ．3D ．2-10．如图，在ABC ∆中， 13AN AC =，P 是BN 上的一点，若23mAC AP AB =-，则实数m 的值为（ ）A ．13B ．19C ．1D ．211．已知集合A={x|y=lg （4﹣x 2）}，B={y|y=3x ，x ＞0}时，A∩B=（ ） A ．{x|x ＞﹣2} B ．{x|1＜x ＜2} C ．{x|1≤x≤2} D ．∅12．已知定义在R 上的函数()f x 在区间[)0,+∞上单调递增，且()1y f x =-的图象关于1x =对称，若实数a 满足()12log 2f a f ⎛⎫<- ⎪⎝⎭，则a 的取值范围是（ ） A ．10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．1,4⎛⎫+∞⎪⎝⎭C ．1,44⎛⎫⎪⎝⎭D ．()4,+∞二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2024年上海高考数学第一次模拟考试数学·全解全析（考试时间：120分钟试卷满分：150分）注意事项：1．本试卷由选择题、填空题和解答题三大题组成，共21题。

答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.本试卷分设试卷和答题纸．试卷包括试题与答题要求．作答必须涂（选择题）或写（非选择题）在答题纸上，在试卷上作答一律不得分．3.答卷前，务必用钢笔或圆珠笔在答题纸正面清楚地填写姓名、准考证号码等相关信息．4．测试范围：高考全部内容5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一．填空题（共12小题）1．若关于x的不等式|x+1|＜6﹣|x﹣m|的解集为∅，则实数m的取值范围是（﹣∞，﹣7]∪[5，+∞）．【分析】利用绝对值的几何意义求得|x+1|+|x﹣m|的最小值为|m+1|，结合题意可得|m+1|≥6，由此求得实数m的取值范围．【解答】解：由于关于x的不等式|x+1|+|x﹣m|＜6的解集为∅，而|x+1|+|x﹣m|表示数轴上的x对应点到﹣1、m对应点的距离之和，它的最小值为|m+1|，故有|m+1|≥6，∴m+1≥6，或m+1≤﹣6，求得m≤﹣7，或m≥5，故答案为：（﹣∞，﹣7]∪[5，+∞．【点评】本题主要考查绝对值的意义，绝对值不等式的解法，体现了等价转化的数学思想，属于基础题．2．在△ABC中，AB＝8，AC＝6，∠A＝60°，M为△ABC的外心，若，λ，μ∈R，则＝7．【分析】令边AB，AC中点分别为D，E，将分别用和表示，再与求数量积即可列式计算作答．【解答】解：如图，设边AB，AC中点分别为D，E，连接DM，EM，因为点M为△ABC的外心，于是DM⊥AB，EM⊥AC，所以，，，所以，，依题意，，，解得，所以＝7．故答案为：7．【点评】本题主要考查了向量的数量积运算，属于中档题．3．各项均为正数的等比数列{a n}的前n项和为S n，a1＝1，S3＝7a3，则使成立的n的最小值为8．【分析】先由题设条件求出公比q，再代入求S n，然后解不等式，求出结果．【解答】解：设数列{a n}的公比为q，由题设条件知：q＞0，∵a1＝1，S3＝7a3，∴a1（1+q+q2）＝7a1q2，解得q＝．∴S n＝＝2[1﹣（）n]．由解得n＞7，∴n的最小值为8．故填：8．【点评】本题主要考查等比数列的基本量的计算及指数不等式的解法，属于基础题．4．若4sin（x﹣）＝1，则cos（2x﹣）＝．【分析】由已知结合二倍角公式即可求解．【解答】解：由题意得sin（x﹣）＝，则cos（2x﹣）＝1﹣2sin2（x﹣）＝1﹣2×＝．故答案为：．【点评】本题主要考查了二倍角公式，属于基础题．5．若函数的值域为（﹣∞，3]，则实数m的取值范围是（2，5]．【分析】根据指数函数的单调性可得出，x≤1时，0＜f（x）≤3；根据二次函数的单调性可得出，x＞1时，f（x）＜m﹣2，再根据f（x）∈（﹣∞，3]即可得出0＜m﹣2≤3，解出m的范围即可．【解答】解：∵x≤1时，0＜3x≤3；x＞1时，﹣2x2+m＜m﹣2，且f（x）的值域为（﹣∞，3]，∴0＜m﹣2≤3，∴2＜m≤5，∴实数m的取值范围是：（2，5]．故答案为：（2，5]．【点评】本题考查了指数函数、二次函数的单调性，根据函数单调性求函数值域的方法，函数值域的定义及求法，考查了推理和计算能力，属于基础题．6．已知i为虚数单位，设z1＝x+2i，z2＝3﹣yi（x，y∈R），且z1+z2＝5﹣6i，则z1﹣z2＝﹣1+10i 【分析】由z1+z2＝x+3+（2﹣y）i＝5﹣6i可求得x＝2，y＝8，从而求解．【解答】解：∵z1＝x+2i，z2＝3﹣yi（x，y∈R），∴z1+z2＝x+3+（2﹣y）i＝5﹣6i，∴x+3＝5且2﹣y＝﹣6，解得x＝2，y＝8，故z1﹣z2＝2+2i﹣（3﹣8i）＝﹣1+10i，故答案为：﹣1+10i．【点评】本题考查了复数的四则运算的应用，属于基础题．7．圆x2+y2﹣2x﹣3＝0的半径为2．【分析】由圆的一般方程化为标准方程，可得圆的半径的值．【解答】解：圆x2+y2﹣2x﹣3＝0的标准方程为（x﹣1）2+y2＝4，可得圆的半径为2，故答案为：2．【点评】本题考查圆的半径的求法，属于基础题．8．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a2＝2b2，sin C＝sin B，则cos A＝．【分析】由已知结合正弦定理可得a，b，c的关系，然后结合余弦定理求解．【解答】解：∵a2＝2b2，∴a＝，∵sin C＝sin B，∴c＝，∴cos A＝＝＝．故答案为：．【点评】本题主要考查了正弦定理和余弦定理的应用，属于基础题．9．已知一组数据为﹣3，5，7，x，11，且这组数据的众数为5，那么该组数据的中位数是5．【分析】根据题意，由数据的众数为5可得x的值，由中位数的定义把这组数据从小到大排列，分析可得答案．【解答】解：根据题意，数据为﹣3，5，7，x，11的众数为5，即5出现的次数最多，则x＝5，把这组数据从小到大排列，得﹣3，5，5，7，11，则数据的中位数是5，故答案为：5．【点评】本题考查众数、中位数的计算，关键是求出x的值，属于基础题．10．在（x﹣2y+3z）74y3项的系数为﹣280．【分析】利用二项式定理，展开式的通项，即可解出．【解答】解：x4y3项的系数为：C＝﹣280．故答案为：﹣280．【点评】本题考查了二项式定理，学生的数学运算能力，属于基础题．11．下列说法中，正确的个数为0．（Ⅰ）有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥；（Ⅱ）有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台；（Ⅲ）底面是等边三角形，侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥；（Ⅳ）棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则此棱锥可能是正六棱锥．【分析】根据棱锥的概念可判断（Ⅰ）；根据棱台的概念可判断（Ⅱ）；根据正三棱锥的概念可判断（Ⅲ）；根据正六棱锥的侧棱长一定大于底面边长可判断（Ⅳ）．【解答】解：对于（Ⅰ），棱锥的定义是：有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体叫做棱锥，故错误；对于（Ⅱ），有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体不一定是棱台，只有当四个等腰梯形的腰延长后交于一点时，这个六面体才是棱台，如图1，侧棱延长线可能不交于一点，故错误；对于（Ⅲ），底面是等边三角形，侧面都是等腰三角形的三棱锥不一定是正三棱锥，只有当三棱锥的顶点在底面的射影是底面中心时，才是正三棱锥，故错误；对于（Ⅳ），因为正六棱锥的底面是正六边形，侧棱在底面内的射影与底面边长相等，所以正六棱锥的侧棱长一定大于底面边长，故错误．故答案为：0．【点评】本题考查了棱锥，棱台的结构特征，属于中档题．12．已知△ABC的边AC＝2，且，则△ABC的面积的最大值为．【分析】首先根据三角恒等变形和正弦定理变形得到，再利用三角形面积公式得，再转化为三角函数的性质，求函数的最大值．【解答】解：由题意，设△ABC中角A，B，C所对应的边长度分别为a，b，c，则有b＝2，由，可得，整理得3cos A sin B+2sin A cos B＝sin A sin B，∴cos A sin B+2sin（A+B）＝sin A sin B，∵A+B+C＝π，∴cos A sin B+2sin C＝sin B sin A，∴2sin C＝sin B（sin A﹣cos A），由正弦定理可得2c＝b（sin A﹣cos A）＝2（sin A﹣cos A），∴c＝sin A﹣cos A＞0，则有．故△ABC的面积＝sin A（sin A﹣cos A）＝sin2A﹣sin A cos A＝．∵，∴，当时，△ABC的面积S取得最大值．故答案为：．【点评】本题考查三角函数和解三角形相结合的综合应用，本题的关键是利用三角恒等变形和正弦定理得到，为后面转化为关于A的三角函数求最值奠定基础，属中档题．二．选择题（共4小题）13．设集合A＝{x|x＞3}，则（）A．∅∈A B．0∈A C．2∈A D．4∈A【分析】根据集合A的元素的范围对应各个选项即可判断求解．【解答】解：因为集合A＝{x|x＞3}，则∅⊆A，且0∉A，2∉A，4∈A，故选：D．【点评】本题考查了集合元素的性质，考查了学生的分析问题的能力，属于基础题．14．对三组数据进行统计，获得以下散点图．关于其相关系数依次是r1，r2，r3，则它们的大小关系是（）A．r1＞r3＞r2B．r1＞r2＞r3C．r2＞r1＞r3D．r3＞r1＞r2【分析】由图分析得到正负相关即可．【解答】解：由题意得，第一组数据线性相关，且正相关，第二组数据线性相关，且负相关，第三组数据无相关关系，故r1＞r3＞r2，故选：A．【点评】本题考查了变量相关关系的判断，属于基础题．15．关于曲线C：x2﹣xy+y2＝1有下列四个结论：①曲线C关于y轴对称；②曲线C关于原点对称；③曲线C上任意一点的横坐标不大于1；④曲线C上任意一点到原点的距离不超过．其中所有正确结论的个数是（）A．1B．2C．3D．4【分析】由题意，根据曲线方程，利用对称性设点代入检验是否符合曲线方程可判断①②，结合判别式可取特殊点代入排除③，根据两点距离公式及基本不等式可判定④．【解答】解：不妨设曲线上一点A（x0，y0），此时，设A关于y轴对称的点为B（﹣x0，y0），将点B代入曲线C可得，随x0变化的值不一定始终为1，故①错误；同理，设A关于原点对称的点为B（﹣x0，﹣y0），将点B代入曲线C可得恒成立，故②正确；易知曲线方程y＝，可得﹣≤x≤，令，可得，解得y＝，即曲线C上有一点，故③错误；易知，整理得，故④正确．综上，结论正确的有②④．故选：B．【点评】本题考查曲线与方程，考查了逻辑推理和运算能力．16．设函数在区间上的最大值为M，最小值为m，则M﹣m的最小值为（）A．B．C．D．【分析】求出的范围，把它作为整体，结合正弦函数性质得最大值M与最小值m并分析它们的差最小时结论．【解答】解：时，，令，则问题转化为g（t）＝sin t在[上的最大值是M，最小值是m，由正弦函数性质，g（t）＝sin t的周期是2π，要使得M﹣m最小，则g（t）的最大值或最小值点是区间[的中点，由周期性，不妨取或，或，时，，时，，故选：B．【点评】本题考查了三角函数的性质和最值问题，属于中档题．三．解答题（共5小题）17．由四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1截去三棱锥C1﹣B1CD1后得到的几何体如图所示，四边形A1ADD1和ABCD是全等的边长为2的菱形，且∠A1AD＝∠ABC＝，A1C＝3．（1）求三棱锥A1﹣ACD的体积；（2）求直线CD和平面B BC所成角的正弦值．【分析】（1）取AD中点O，连接A1O，CO，可得AD⊥平面A1OC，进而可求三棱锥A1﹣ACD 的体积；（2）以O为原点，以OC，OD所在直线分别为x，y轴，建立如图所示空间直角坐标系．利用向量法求直线CD1和平面B1BC所成角的正弦值．【解答】解：（1）取AD中点O，连接A1O，CO，则A1O⊥AD，CO⊥AD，则AD⊥平面A1OC，则＝••AD，∵，，A1C＝3，，＝A 1O•CO•sin＝×××＝，＝••AD＝•2•＝；（2）以O为原点，以OC，OD所在直线分别为x，y轴，建立如图所示空间直角坐标系．∵AD⊥平面A1OC，AD⊂平面ABCD，∴平面A1OC⊥平面ABCD，交线为CO，过点A1作A1H⊥OC，则A1H⊥平面ABCD，∵，∴H点在CO的延长线上，，A（0，﹣1，0），D（0，1，0），，，，，＝（0，2，0），，，设平面CBB1的法向量为＝（x，y，2），则，即，令，则，设直线CD1和平面B1BC所成角为θ，则sinθ＝＝．【点评】本题考查空间几何体的体积的计算，考查线面角的正弦值的求法，属中档题．18．已知f（x）是定义在R上的奇函数，当时x＜0时，f（x）＝x2+2x﹣1．（1）求f（x）解析式；（2）画出函数图像，并写出单调区间．（无需证明）【分析】（1）由奇函数的定义和性质，结合已知f（x）的解析式，可得所求解析式；（2）由分段函数的图象画法可得f（x）的图象，由图象可得f（x）的单调区间．【解答】解：（1）f（x）是定义在R上的奇函数，可得f（0）＝0，当x＜0时，f（x）＝x2+2x﹣1，当x＞0时，﹣x＜0，f（﹣x）＝x2﹣2x﹣1＝﹣f（x），可得x＞0时，f（x）＝﹣x2+2x+1，所以f（x）＝；（2）由分段函数的图象画法，可得f（x）的图象如右：f（x）的减区间为：（﹣∞，﹣1），（1，+∞）；增区间为：（﹣1，0），（0，1）【点评】本题考查函数的奇偶性的定义和运用，以及分段函数的图象和单调性，考查转化思想和运算能力，属于基础题．19．在某校开展的知识竞赛活动中，共有A，B，C三道题，答对A，B，C分别得1分、1分、2分，答错不得分．已知甲同学答对问题A，B，C的概率分别为，乙同学答对问题A，B，C的概率均为，甲、乙两位同学都需回答这三道题，且各题回答正确与否相互独立．（1）求乙同学恰好答对两道题的概率；（2）运用你学过的知识判断，谁的得分能力更强．【分析】（1）利用二项分布可求乙同学恰好答对两道题的概率；（2）利用独立事件和二项分布可求甲同学在本次竞赛中得分和乙同学在本次竞赛中得分的数学期望，从而可求判断谁的得分能力更强．【解答】解：（1）设“乙同学恰好答对两道题”为事件为A，所以P（A）＝＝．（2）设甲同学本次竞赛中得分为X，则X的可能取值为0，1，2，3，4分，则P（X＝0）＝＝，P（X＝1）＝＝，P（X＝2）＝＝，P（X＝3）＝+＝，P（X＝4）＝＝，所以X的概率分布列为：X01234P所以E（X）＝0×+1×+2×+3×+4×＝；设乙同学本次竞赛中得分为Y，由Y的可能取值为0，1，2，3，4分，P（Y＝0）＝＝，P（Y＝1）＝＝，P（Y＝2）＝＝，P（Y＝3）＝×＝，P（Y＝4）＝＝，所以Y的概率分布列为：Y01234P所以E（Y）＝0×+1×+2×+3×+4×＝，所以，所以乙的得分能力更强．【点评】本题主要考查离散型随机变量的期望，是中档题．20．设椭圆是椭圆Γ的左、右焦点，点在椭圆Γ上，点P（4，0）在椭圆Γ外，且．（1）求椭圆Γ的方程；（2）若，点C为椭圆Γ上横坐标大于1的一点，过点C的直线l与椭圆有且仅有一个交点，并与直线PA，PB交于M，N两点，O为坐标原点，记△OMN，△PMN的面积分别为S1，S2，求的最小值．【分析】（1）结合已知条件，将可得到一个关系式，然后再结合求出半焦距c，最后再结合a2﹣b2＝c2即可求解；（2）首先设出直线MN的方程x＝my+t，然后利用直线与椭圆相切求出m与t的关系，再通过联立直线间的方程表示出直线M与N点的纵坐标，并表示出S1和S2，进而表示出，最后利用换元法和均值不等式即可求解．【解答】解：（1）因为点在椭圆Γ上，所以，①因为点P（4，0）在椭圆Γ外，且，所以，即a2﹣b2＝c2＝3，②由①②解得a2＝4，b2＝1，故椭圆Γ的方程为．（2）设点M（x1，y1），N（x2，y2），设直线MN：x＝my+t，由椭圆性质以及点C的横坐标大于1可知，t＞2，将直线MN代入方程并化简可得，（my+t）2+4y2﹣4＝0，即（m2+4）y2+2mty+t2﹣4＝0，因为直线l与椭圆有且仅有一个交点，所以Δ＝4m2t2﹣4（m2+4）（t2﹣4）＝0，即t2＝m2+4，直线AP的方程为：；直线BP的方程为l BP：，联立方程得，同理得，所以，所以，，所以＝，令9t+8＝λ（λ＞26），则，当且仅当λ＝28，即时，不等式取等号，故当时，取得最小值．【点评】本题主要考查椭圆方程的求解，直线与圆锥曲线的位置关系，韦达定理及其应用，圆锥21．设函数．（1）求函数f3（x）在点（1，f3（1））处的切线方程；（2）证明：对每个n∈N*，存在唯一的，满足f n（x n）＝0；（3）证明：对于任意p∈N*，由（2）中x n构成的数列{x n}满足．【分析】（1）求出导函数，然后求解导数值即切线斜率，代入点斜式方程即可求解；（2）根据f′（x）＞0，得函数f（x）在（0，+∞）上是增函数，又f n（1）＞0，，根据零点存在性定理可证；（3）由f n+1（x）在（0，+∞）上单调递增，可得x n+1＜x n，再f n+p（x n+p）减f n（x n）变形化简，利用放缩法得证．【解答】解：（1），所以，所以，又，所以函数f3（x）在点（1，f3（1））处的切线方程为，即；（2）证明：对每个n∈N*，当x＞0时，由函数，可得，故函数f（x）在（0，+∞）上是增函数．由于f1（1）＝0，当n≥2时，，即f n（1）＞0．又＝，根据函数的零点的判定定理，可得存在唯一的，满足f n（x n）＝0；（3）证明：对于任意p∈N*，由（1）中x n构成数列{x n}，当x＞0时，∵，∴f n+1（x n）＞f n（x n）＝f n+1（x n+1）＝0．由f n+1（x）在（0，+∞）上单调递增，可得x n+1＜x n，即x n﹣x n+1＞0，故数列{x n}为减数列，即对任意的n、p∈N*，x n﹣x n+p＞0．由于①，②，用①减去②并移项，利用0＜x n+p≤1，可得．综上可得，对于任意p∈N*，由（1）中x n构成数列{x n}满足．【点评】本题考查数列与函数的综合运用，考查逻辑推理能力和运算求解能力，属于难题．。

上海市虹口区2024届高三一模数学试卷（满分150分，时间120分钟）2023.12.12一、填空题（本大题共有12题，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分，满分54分）1.已知集合 0,1,2,3,4,5A ，21B x x ，则A B ．2.函数lg 2y x的定义域为．3.4.5.在x6.已知7.双曲线8.9.已知y 且21(1)0f a f a ，则实数a 的10.天值班，若每天安排两人，则甲、乙两人安排在同一天的概率为11.设a ．12.设312231,,,,,a a a b b b是平面上两两不相等的向量，若1223312a a a a a a ，且对任意的,i j1,2,3，均有 j i a b ，则122331b b b b b b．二、选择题（本大题共有4题，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分，满分18分）13.设i 为虚数单位，若2521iz i i，则z （）.A 12i ；.B 12i ；.C 2i ；.D 2i ．第8题图14.空气质量指数AQI 是反映空气质量状况的指数，其对应关系如下表：为监测某化工厂排放废气对周边空气质量指数的影响，某科学兴趣小组在工厂附近某处测得10月1日—20日AQI 的数据并绘成折线图如下：.A .B .C .D 15..A .C 316.已知曲线 的对称中心为O ，若对于 上的任意一点A ，都存在 上两点B 、C ，使得O 为ABC 的重心，则称曲线 为“自稳定曲线”．现有如下两个命题：①任意椭圆都是“自稳定曲线”；②存在双曲线是“自稳定曲线”．则（）.A ①是假命题，②是真命题；.B ①是真命题，②是假命题；.C ①②都是假命题；.D ①②都是真命题．第18题图三、解答题（本大题共有5题，满分78分）【解答下列各题必须写出必要的步骤】17.（本题满分14分，第1小题满分7分，第2小题满分7分）设ABC 的内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若 sin sin sin ,sin m A B C A，,n c b c a ，//m n ．（1）求角B 的大小；（2）若ABC 为锐角三角形，求sin sin y A C 的取值范围．18.1CC 的中点，满足11AM A B （1）（2）所成角的大小．19.（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）2022年12月底，某厂的废水池已储存废水800吨，以后每月新产生的2吨废水也存入废水池．该厂2023年开始对废水处理后进行排放，1月底排放10吨处理后的废水，计划以后每月月底排放一次，每月排放处理后的废水比上月增加2吨．（1）若按计划排放，该厂在哪一年的几月份排放后，第一次将废水池中的废水排放完毕？（2）该厂加强科研攻关，提升废水处理技术，经过深度净化的废水可以再次利用．该厂从2023年7月开始对该月计划排放的废水进行深度净化，首次净化废水5吨，以后每月比上月提高20%的净化能力．试问：哪一年的几月份开始，当月排放的废水能被全部净化？已知点 ,4M m 在抛物线2:2x py （0p ）上，点F 为 的焦点，且5MF ．过点F 的直线l 与及圆 2211x y 依次相交于点A 、B 、C 、D ，如图．（1）求抛物线 的方程及点M 的坐标；（2）求证：AC BD 为定值；（3）过A 、B 两点分别作 的切线1l 、2l ，且1l 与2l 相交于点P ，求ACP 与BDP 的面积之和的最小值．第20题图已知 y f x 与 y g x 都是定义在 0, 上的函数，若对任意 12,0,x x ，当12x x 时，都有121212f x f xg x g x x x，则称 y g x 是 y f x 的一个“控制函数”．（1）判断2y x 是否为函数2y x （0x ）的一个控制函数，并说明理由；（2）设 ln f x x 的导数为 'f x ，0a b ，求证：关于x 的方程'f b f a f x b a在区间,a b 上有实数解（3）设 ln f x x x ，函数 y f x 是否存在控制函数？若存在，请求出 y f x 的所有控制函数；若不存在，请说明理由．1M 1( 第18题图1 )B 虹口区2023学年度第一学期期终学生学习能力诊断测试高三数学 参考答案和评分标准 2023年12月一、填空题（本大题共12题，满分54分；第1-6题每题4分;第7-12题每题5分 ） 1．{}1,2,3 2．(2,5) 3. 924． 12π 5．560 6.7. 35 8．cos(2)6x π− 9. (1, 10．1711．()9,+∞ 12.3二、选择题（本大题共4题，满分18分；第13-14题每题4分，第15-16题每题5分） 13. A 14. C 15. D 16. B 三、解答题（本大题共5题，满分78分）17．(本题满分14分，第1小题7分，第2小题7分)解：(1) 因为m //n ，所以 ()()sin sin sin sin A B C b c a c A +−⋅+−=⋅， …… 2分由正弦定理，可得 ()()a b c b c a ac +−⋅+−=，即 222ac a c b =+−. …… 4分于是，由余弦定理得 2221cos 22a cb B ac +−==，又()0,B π∈，所以3B π=．…… 7分（2）由（1）可知2,3A C π+=所以23sin sin sin sin()sin )326y A C A A A A A ππ=+=+−==+ …… 11分 由△ABC 为锐角△,得20,0,232A A πππ<<<−<且所以,62A ππ<<从而362.3A πππ<+<所以sin sin )6y A C A π=+=+的取值范围为32,.⎛ ⎝ …… 14分 18．(本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分) 证：(1) 取AC 中点D ，连接DN ，A 1D .因AA 1＝AC ，AD ＝CM ，∠A 1AD ＝∠ACM 90=︒， 故△A 1AD ≌△ACM . …… 2分从而∠AA 1D ＝∠CAM ，又因∠AA 1D ＋∠A 1DA 90=︒， 故∠CAM ＋∠A 1DA 90=︒.所以AM ⊥A 1D .由于AM ⊥A 1B 1及A 1B 111,A D A ⋂=因此( 第18题图2 )AM ⊥平面A 1B 1D. …… 4分因D , N 分别为AC , BC 的中点，故D N // AB ，从而D N // A 1B 1，于是A 1，P ，B 1，N ，D 在同一平面内，故AM ⊥面A1PN. …… 6分 解：(2) 因为AB ＝AC ＝4，BC ＝AB 2＋AC 2＝BC 故AB ⊥AC.因AM ⊥A 1B 1，A 1B 1∥AB ，故AM ⊥AB ； 又因AM ∩AC ＝A ，所以AB ⊥面ACC 1A 1 ， 从而AB ⊥AA 1；因此AB ，AC ，AA 1两两垂直.以A 为原点，以AB ，AC ，AA 1分别为x ，y ，z 轴， 建立空间直角坐标系，如图. ……8分则由条件，相关点的坐标为M (0，4，2)，N (2，2，0)，P ( 1，0，4)，B 1(4，0，4). 设平面MNP 的一个法向量为(,,),n x y z =则(,,)(2,2,2)2220,,2,(,,)(1,4,2)420,n MN x y z x y z y z x z n MP x y z x y z ⎧⋅=⋅−−=−−==⎧⎪⎨⎨=⋅=⋅−=−+=⎩⎪⎩即取1,(2,1,1).z n ==得 ……11分因1AB = (4，0，4)，设直线1AB 与平面PMN 所成的角为θ，则111(4,0,4)(2,1,1)123sin cos ,.(4,0,4)(2,1,1)2426AB n AB n AB nθ⋅⋅=<>====⋅⋅⋅故直线1AB 与平面PMN 所成角的大小为.3π ……14分 19．(本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分)解：（1）设从2023年1月起第n 个月处理后的废水排放量为n a 吨，则由已知条件知： 数列{}n a 是首项为10，公差为2的等差数列，故28n a n =+. ……2分当18002nni an =≥+∑时，即[]10(28)80022n n n ++≥+， ……4分化简得278000n n +−≥，解得25,32;n n ≥≤−或 由n 是正整数，则25n ≥.故该厂在2025年1月底第一次将废水池中的废水排放完毕. ……6分 （2）设从2023年1月起第n 个月深度净化的废水量为n b 吨. 由已知条件，1260b b b ====，当7n ≥时， 数列{}n b 是首项为5，公比为1.2的等比数列，故70,16,5 1.2,7,n n n b n −≤≤⎧=⎨⨯≥⎩ （n 为正整数）. ……8分 显然，当16n ≤≤时，n n a b >. 当7n n n a b ≥≤时,由得 7285 1.2n n −+≤⨯. （*） ……10分设7285 1.2n n c n −=+−⨯，则812 1.2n n n c c −−−=−，所以当711n ≤≤时，数列{}n c 是严格增数列，且0;n c > 当12n ≥时，数列{}n c 是严格减数列. ……12分由于19 1.420c ≈>，20 5.500c ≈−<.所以不等式（*）的解为20n ≥（n 为正整数）. 故该厂在2024年8月开始计划排放的废水能被全部净化. ……14分20．（本题满分18分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分） 解：（1）易知抛物线Γ的焦点F 的坐标为(0,),2p 准线为2py =−，由抛物线的定义，得 452pMF +==，故2p =.所以，抛物线Γ的方程为24.x y = ………2分将 (,4)M m 代入Γ的方程，得4x =±，所以点M 的坐标为：(4,4),或(4,4).− ………4分 （2）由（1）知F (0,1),又由条件知直线l 的斜率 存在，设直线l 的方程为1y k x =+，并设A 11(,),x yB 22(,),x y 则由21,4,y k x x y =+⎧⎨=⎩得2440,x kx −−=故216(1)0,k ∆=+>且12124, 4.x x k x x +==−………7分由抛物线的定义，可知11,AF y =+2 1.BF y =+又因圆22(1)1x y +−=的圆心为F （0,1），半径为1，于是 11,AC AF y =−= 21.BD FB y =−=所以 AC BD ⋅222121212()14416x x x x y y ==⋅==. ………10分（3）由24x y =得24x y =，而12y x '=.故过点A 211(,)4x x 的抛物线 Γ的切线1l 的方程为2111(),42x x y x x −=−即 21120.2x x x y −−= ①………12分同理，过点B 222(,)4x x 的抛物线Γ的切线2l 的方程为 22220.2x x x y −−= ②由①，②可得：2212121212112,() 1.2424P P P x x x x x k y x x x x x ⎡⎤++===+−==−⎢⎥⎣⎦即(2,1).P k − ……15分 所以点P 到直线l : 10k x y −+=的距离为d ==于是 111()222ACP BDP S S AC d BD d AC BD d ∆∆+=⋅+⋅=+⋅ ()()()()22212121212221112224811682218x x y y d d x x x x d k k ⎛⎫+⎡⎤=+⋅=⋅=+−⋅ ⎪⎣⎦⎝⎭=+⋅+ 故当k =0，即直线l 为y =1 时，ACP BDP S S ∆∆+有最小值2. ……18分 21. (本题满分18分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分)解：（1）由于对任意()12,0x x ∈+∞，，当12x x <时，都有112222x x x x ≤+≤； ……2分 即有2212121222,x x x x x x −≤≤−故由控制函数的定义，22y x y x ==是函数的控制函数. ……4分证：（2）关于x 的方程ln ln 1b a b a x −=−在区间(),a b 上有实数解1ln ln 1b a b b a a−⇔<<−()()ln ln ln ln a b a b a b b a ⇔−<−<−ln ln ln 10ln ln ln 10b a b b b a a a a a b a a a b b b b−⎧⎧−<−+<⎪⎪⎪⎪⇔⇔⎨⎨−⎪⎪−<−+<⎪⎪⎩⎩. ……7分 记()ln 1F x x x =−+，则()11'1x F x x x−=−=，当()0,1x ∈时()'0F x >，()F x 在()0,1上严格增；当()1,x ∈+∞时()'0F x <，()F x 在()1,+∞上严格减. 而01a b b a <<<，故()()10,10a b F F F F b a ⎛⎫⎛⎫<=<= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，于是所要证的结论成立.……10分 另证：关于x 的方程ln ln 1b a b a x −=−在区间(),a b 上有实数解1ln ln 1b a b b a a −⇔<<− ()()ln ln ln ln a b a b a b b a ⇔−<−<−ln ln 0ln ln 0a b b a a a b a a b b b −+−<⎧⇔⎨−+−<⎩. ……7分 记()ln ln F x a x x a a a =−+−，则()'1a F x x =−，当[],x a b ∈时()'0F x ≤，故()F x 在[],a b 上严格减，()()0F b F a <=.记()ln ln G x b x x b b b =−+−，则()G'1b x x=−，当[],x a b ∈时()'0G x ≥，故()G x 在[],a b 上严格增，()()0G a G b <=. 于是所要证的结论成立. ……10分解：（3）①先证引理：对任意0a b <<，关于x 的方程()()()'f b f a f x b a −=−在区间(),a b 上恒有实数解. 这等价于()()()()ln ln ln 1ln 1ln 1ln ln ln 1b b a a a b a b a b b a a b b a b a −+<<+⇔+−<−<+−− 1ln ln 1b a b b a a−⇔<<−，由（2）知结论成立. ……12分 ②（证控制函数的唯一性）假设()y f x =存在“控制函数”()y g x =，由上述引理知，对任意()12,0x x ∈+∞，，当12x x <时，都存在()12,c x x ∈使得()12()'()g x f c g x ≤≤.……（*） 下证：()()()',0,g x f x x =∈+∞.若存在()10,t ∈+∞使得()()11'g t f t >，考虑到()'ln 1f x x =+是值域为R 的严格增函数，故存在21t t >使得()()21'f t g t =.由（*）知存在()012,c t t ∈使得()102()'()g t f c g t ≤≤，于是有()()()012''f c g t f t ≥=，由()'f x 的单调性知02c t ≥，矛盾.故对任意()0,x ∈+∞都有()()'g x f x ≤.同理可证，对任意()0,x ∈+∞都有()()'g x f x ≥，从而()()'g x f x =. ……15分 ③（证控制函数的存在性）最后验证，()()'g x f x =是()y f x =的一个“控制函数”. 对任意()12,0x x ∈+∞，，当12x x <时，都存在()12,c x x ∈使得()1212()()'f x f x f c x x −=−，而由()'f x 的单调性知()12'()''()f x f c f x ≤≤，即121212()()()()f x f x g x g x x x −≤≤−. 综上，函数()y f x =存在唯一的控制函数ln 1y x =+. ……18分。

上海市徐汇区南洋模范中学2025届高考数学一模试卷请考生注意：1．请用2B 铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。

写在试题卷、草稿纸上均无效。

2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知函数2()ln(1)33x x f x x x -=+-+-，不等式()22(4)50f a x f x +++对x ∈R 恒成立，则a 的取值范围为（ ） A ．[2,)-+∞B ．(,2]-∞-C ．5,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭D ．5,2⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦2．设函数()f x 的定义域为R ，满足(2)2()f x f x +=，且当2(]0,x ∈时，()(2)f x x x =--.若对任意(,]x m ∈-∞，都有40()9f x ≤，则m 的取值范围是（ ）. A ．9,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B ．19,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦C ．(,7]-∞D ．23,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦3．正方体1111ABCD A B C D -，()1,2,,12i P i =是棱的中点，在任意两个中点的连线中，与平面11A C B 平行的直线有几条（ ）A ．36B ．21C ．12D ．64．公元263年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，并创立了“割圆术”，利用“割圆术”刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值3.14，这就是著名的“徽率”。

如图是利用刘徽的“割圆术”思想设计的一个程序框图，则输出的n 值为（ ）（参考数据：003 1.732,sin150.2588,sin750.9659≈≈≈ ）A ．48B ．36C ．24D ．125．运行如图所示的程序框图，若输出的值为300，则判断框中可以填（ ）A ．30i >?B ．40i >?C ．50i >?D ．60i >?6．设命题p:n ∃>1,n 2>2n ,则⌝p 为（ ） A ．21,2n n n ∀>> B ．21,2n n n ∃≤≤ C ．21,2n n n ∀>≤D ．21,2n n n ∃>≤7．已知集合{}21|A x log x =<，集合{}|2B y y x ==-，则A B =（ ）A ．(),2-∞B ．(],2-∞C ．()0,2D ．[)0,+∞8．某四棱锥的三视图如图所示，记S 为此棱锥所有棱的长度的集合，则（ ）.A ．22S ，且3SB ．22S ，且23SC ．22S ，且3SD ．22S ，且23S9．已知命题p ：“a b >”是“22a b >”的充要条件；:q x ∃∈R ，|1|x x +≤，则（ ） A ．()p q ⌝∨为真命题 B ．p q ∨为真命题 C ．p q ∧为真命题D ．()p q ∧⌝为假命题10．已知函数2(0)()ln (0)x x f x x x ⎧≤=⎨>⎩，且关于x 的方程()0f x x a +-=有且只有一个实数根，则实数a 的取值范围（ ）． A ．[0,)+∞B ．(1,)+∞C ．(0,)+∞D ．[,1)-∞11．第七届世界军人运动会于2019年10月18日至27日在中国武汉举行，中国队以133金64银42铜位居金牌榜和奖牌榜的首位.运动会期间有甲、乙等五名志愿者被分配到射击、田径、篮球、游泳四个运动场地提供服务，要求每个人都要被派出去提供服务，且每个场地都要有志愿者服务，则甲和乙恰好在同一组的概率是（ ） A ．110B ．15C ．140D ．94012．已知三棱锥P ABC -中，O 为AB 的中点，PO ⊥平面ABC ，90APB ∠=︒，2PA PB ==，则有下列四个结论：①若O 为ABC 的外心，则2PC =；②ABC 若为等边三角形，则⊥AP BC ；③当90ACB ∠=︒时，PC 与平面PAB 所成的角的范围为0,4π⎛⎤⎥⎝⎦；④当4PC =时，M 为平面PBC 内一动点，若OM ∥平面PAC ，则M 在PBC内轨迹的长度为1．其中正确的个数是（ ）． A ．1B ．1C ．3D ．4二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2023-2024学年上海市高考数学模拟试题（一模）一、填空题（1-4每题4分，5-6每题5分，共26分）1.已知集合{}21,RA y y x x ==-∈，{B x y ==，则A B = ______.【正确答案】⎡-⎣【分析】先求函数21,R y x x =-∈的值域，即可化简集合A，再求函数y =的定义域，即可化简集合B ，最后由集合的交集运算即可得到答案.【详解】因为{}21,R A y y x x ==-∈，所以A 为函数21,R y x x =-∈的值域，因为211y x =-≥-，所以{}1A y y =≥-.因为{B x y ==，所以B为函数y =的定义域，由220x -≥得22x ≤，即x ≤≤，所以{B x x =≤≤，所以{}{1A B y y x x ⎡⋂=≥-⋂≤≤=-⎣.故⎡-⎣2.若复数z 满足32iiz -=（其中i 是虚数单位），则||z =______.【分析】化简复数z ，再求出z ，进而求出||z .【详解】∵32i (32i)i 23i23i i i i 1z --+====--⨯-，∴23i z =-+，∴||z ==3.已知向量()3,6a = ，()3,4b =- ，则a 在b方向上的数量投影为______.【正确答案】3-【分析】根据题意，结合向量的投影公式，即可求解.【详解】因为向量()3,6a =，()3,4b =- ，所以a 在b方向上的数量投影为336415cos ,35a b a a b b⨯+⨯-⋅-====-.故答案为.3-4.若函数2()lg(2)f x ax x a =-+的定义域为R ，则实数a 的取值范围为__________．【正确答案】(1,)+∞【分析】由题意，函数2()lg(2)f x ax x a =-+的定义域为R ，转化为不等式220ax x a -+>在R 上恒成立，利用一元二次函数的性质，即可求解.【详解】由题意，函数2()lg(2)f x ax x a =-+的定义域为R ，即不等式220ax x a -+>在R 上恒成立，当0a =时，不等式等价与20x ->，不符合题意；则满足2)22(40a a ->⎧⎨∆=-<⎩，解得1a >，即实数a 的取值范围是(1,)+∞.本题主要考查了对数函数的性质，以及一元二次函数的图象与性质的应用，其中解答中把函数的定义域为R ，转化为不等式220ax x a -+>在R 上恒成立，利用一元二次函数的性质求解是解答的关键，着重考查了转化思想，以及分析问题和解答问题的能力.5.等差数列{}n a 中，18153120a a a ++=，则9102a a -的值是______.【正确答案】24【分析】先由等差数列的通项公式化简18153120a a a ++=得到1724a d +=，再由等差数列的通项公式把9102a a -化为17a d +即可求出答案.【详解】设等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d ，则()1815111173312014535d a a a a a a a d d ++=++++=+=，所以1724a d +=.所以()()9101112224897d a a a a a d d -=++-=+=.故246.过抛物线24x y =的焦点且倾斜角为3π4的直线被抛物线截得的弦长为______.【正确答案】8【分析】写出直线方程，联立抛物线的方程，运用定义和焦点弦长公式，计算即可得到.【详解】抛物线24x y =的焦点为()0,1F ，准线方程为1y =-，直线l 的倾斜角为3π4，设直线l 与抛物线交于,M N 两点，则直线l 的方程为1y x =-+，代入24x y =得2610y y -+=，则1(M x ，1)y ，2(N x ，2)y ，126y y +=，则1228MN MF NF y y =+=++=，故8二、单项选择题（每题5分，共50分）7.设:x a α>，1:0x xβ->，若α是β的充分条件，则实数a 的取值范围是（）A.()0,+∞ B.(],1-∞ C.[)1,+∞ D.(],0-∞【正确答案】C【分析】解分式不等式10x x->得β，由α是β的充分条件等价于β包含α，根据包含关系列不等式求解即可【详解】()1010x x x x->⇔->，解得1x >或0x <，由α是β的充分条件，则有1a ≥.故选：C8.函数()(1f x x =+）A.奇函数B.偶函数C.非奇非偶函数D.既奇又偶函数【正确答案】C【分析】求出()f x 的定义域不关于原点对称，即可判断()f x 为非奇非偶函数.【详解】函数()(1f x x =+的定义域为101x x -≥+，则()()110111x x x x ⎧+-≥⇒-<≤⎨≠-⎩，由于定义域不关于原点对称，故()f x 为非奇非偶函数.故选：C .9.已知事件A 与事件B 是互斥事件，则（）A.)(0P A B ⋂= B.)()()(P A B P A P B ⋂=C.)()(1P A P B =- D.)(1P A B ⋃=【正确答案】D【分析】根据互斥事件、对立事件、必然事件的概念可得答案.【详解】因为事件A 与事件B 是互斥事件，则A B 、不一定是互斥事件，所以()P A B ⋂不一定为0，故选项A 错误；因为事件A 与事件B 是互斥事件，所以A B ⋂=∅，则()0P A B ⋂=，而()()P A P B 不一定为0，故选项B 错误；因为事件A 与事件B 是互斥事件，不一定是对立事件，故选项C 错误；因为事件A 与事件B 是互斥事件，A B ⋃是必然事件，所以()1P A B ⋃=，故选项D 正确.故选：D.10.甲，乙两个小组各10名学生的数学测试成绩如下（单位：分）．甲组：76，90，84，86，81，87，86，82，85，83乙组：82，84，85，89，79，80，91，89，79，74现从这20名学生中随机抽取一人，将“抽出的学生为甲组学生”记为事件A ；“抽出的学生的数学测试成绩不低于85分”记为事件B ，则()|P A B 的值是（）A.59B.49C.29D.19【正确答案】A【分析】利用条件概率公式求解即可得()P A B到答案.【详解】由题意知，()101202P A ==，()920P B =()P AB 表示20人随机抽取一人，既是甲组又是数学测试成绩不低于85分的概率，()51204P AB ==，根据条件概率的计算公式得()()()1549920P AB P A B P B ===.故选：A11.如图，四边形ABCD 是边长为1的正方形，MD ⊥平面ABCD ，NB ⊥平面ABCD ，且1MD NB ==，点G 为MC 的中点.则下列结论中不．正确的是（）A.MC AN⊥ B.平面//DCM 平面ABN C.直线GB 与AM 是异面直线 D.直线GB 与平面AMD 无公共点【正确答案】D【分析】根据给定条件，证明//AN DG 判断A ；利用线面、面面平行的判定推理判断B ；取DM 中点O ，证得四边形ABGO 是梯形判断CD 作答.【详解】因为MD ⊥平面ABCD ，NB ⊥平面ABCD ，则//MD NB ，取,,AB CD AN 的中点,,F E H ，连接,,,EF EG FH GH ，如图，点G 为MC的中点，则//////EG MD NB FH ，且1122EG MD NB FH ===，于是四边形EFHG 是平行四边形，//,GH EF GH EF =，在正方形ABCD 中，//,EF AD EF AD =，则//,GH AD GH AD =，因此四边形ADGH 为平行四边形，//AN DG ，而1MD CD ==，点G 为MC 的中点，有DG MC ⊥，所以MC AN ⊥，A 正确；因为//MD NB ，MD ⊂平面DCM ，NB ⊄平面DCM ，则//NB 平面DCM ，又//AB CD ，CD ⊂平面DCM ，AB ⊄平面DCM ，则//AB 平面DCM ，而,,NB AB B NB AB =⊂ 平面ABN ，所以平面//DCM 平面ABN ，B 正确；取DM 中点O ，连接,GO AO ，则有11////,22GO CD AB GO CD AB ==，即四边形ABGO 为梯形，因此直线,AO BG 必相交，而AO ⊂平面AMD ，于是直线GB 与平面AMD 有公共点，D 错误；显然点A ∈平面ABGO ，点M ∉平面ABGO ，直线BG ⊂平面ABGO ，点A ∉直线BG ，所以直线GB 与AM 是异面直线，C 正确.故选：D结论点睛：经过平面内一点和外一点的直线，与平面内不经过该点的直线是异面直线.12.数列{}n a 的前n 项和1nn S a =-，*n ∈N ，关于数列{}n a 有以下命题：①{}n a 一定是等比数列，但不可能是等差数列；②{}n a 一定是等差数列，但不可能是等比数列；③{}n a 可能是等比数列，也可能是等差数列；④{}n a 可能既不是等差数列，也不是等比数列；⑤{}n a 可能既是等差数列，又是等比数列；其中正确命题的个数是（）A.1B.2C.3D.4【正确答案】B【分析】分0a =，1a =，0a ≠且1a ≠三种情况讨论，由11,1,2n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩求出n a ，根据等差、等比数列的通项公式的特征可作出判断．【详解】当0a =时，1n S =-，则111a S ==-，当2n ≥时，10n n n a S S -=-=，即1,10,2n n a n -=⎧=⎨≥⎩，此时，数列{}n a 既不是等差数列，也不是等比数列；当1a =时，0n S =，则110a S ==，当2n ≥时，10n n n a S S -=-=，则()0n a n N *=∈，此时，数列{}n a 为等差数列，但不是等比数列；当0a ≠且1a ≠时，111a S a ==-，当2n ≥时，()()()111111nn n n n n a S S a aa a ---=-=---=-，则()21a a a =-，()()1111n n n n a a a a a a a+--∴==-且()2111a a a a a a -==-，则数列{}n a 是以a 为公比的等比数列.由以上分析知，正确的说法为③④．故选：B.本题考查数列通项n a 与n S 的关系及等差、等比数列的通项公式，准确把握等差、等比数列的通项公式特征是解决问题的关键．13.已知参数方程3342x t ty t ⎧=-⎪⎨=⎪⎩[]1,1t ∈-，则下列曲线方程符合该方程的是（）A.B.C.D.【正确答案】B【分析】利用特殊值法即可选出答案.【详解】令20y t ==得1,0,1t =-，将其分别代入334x t t =-得1,0,1x =-，所以该方程所表示的曲线恒过点()()()1,0,0,0,1,0-，显然只有B 项满足.故选：B.14.设函数()sin 6f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，若对于任意5,62ππα⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦，在区间[]0,m 上总存在唯一确定的β，使得()()0f f αβ+=，则m 的最小值为A.π6B.π2C.7π6D.π【正确答案】B【分析】先求()3[,0]2f α∈-，再由存在唯一确定的β，使得()()3[0,]2f f βα=-∈，得2[,)633m πππ-∈，从而得解.【详解】当5,62ππα⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦时，有2,36ππαπ⎡⎤-∈--⎢⎥⎣⎦，所以()3[,0]2f α∈-.在区间[]0,m 上总存在唯一确定的β，使得()()0f f αβ+=，所以存在唯一确定的β，使得()()3[0,]2f f βα=-∈.[]0,,[,]666m m πππββ∈-∈--，所以25[,),[,63326m m πππππ-∈∈.故选B.本题主要考查了三角函数的图像和性质，考查了函数与方程的思想，正确理解两变量的关系是解题的关键，属于中档题.15.若曲线||2y x =+与曲线22:144x y C λ+=恰有两个不同的交点，则实数λ的取值范围是（）A.(1,)+∞B.(,1]-∞C.(](),11,-∞-⋃+∞ D.[1,0)(1,)-+∞U 【正确答案】C【分析】先分析出||2y x =+表示起点为()2,0A -的两条斜率分别为1和-1的射线.若曲线22:144x y C λ+=为椭圆，只需点()2,0A -落在椭圆内，列不等式求出λ的范围；若当曲线22:144x y C λ+=为双曲线时，只需把||2y x =+表示的射线与渐近线比较，列不等式求出λ的范围.【详解】如图示：||2y x =+表示起点为()2,0A -的两条斜率分别为1和-1的射线.当曲线22:144x y C λ+=为椭圆时，即0λ>，只需点()2,0A -落在椭圆内，即240144λ+<，解得：1λ>；当曲线22:144x y C λ+=为双曲线时，即0λ<，渐近线方程：y =要使曲线||2y x =+与曲线22:144x y C λ+=恰有两个不同的交点，1≤，解得.1λ≤-所以实数λ的取值范围是(],1(1,)-∞-+∞ 故选：C16.已知定义在R 上的函数()f x 满足如下条件：①函数()f x 的图象关于y 轴对称；②对于任意x R ∈，()(2)f x f x =-；③当[0,1]x ∈时，3()2f x x =；④()(4)g x f x =．若过点(1,0)-的直线l 与函数()g x 的图象在[0,2]x ∈上恰有8个交点，则直线l 斜率k 的取值范围是()A.60,11⎛⎫⎪⎝⎭B.30,5⎛⎫ ⎪⎝⎭C.(0,1)D.330,8⎛⎫ ⎪⎝⎭【正确答案】A【分析】结合①②可知()f x 是周期为2的函数，再结合④可知()g x 是周期为12的函数，结合③作出()g x 在[0,2]上的图像，然后利用数形结合即可求解.【详解】因为函数()f x 的图象关于y 轴对称，所以()f x 为偶函数，即()()f x f x =-，又因为对于任意x R ∈，()(2)f x f x =-，所以()(2)()f x f x f x =-=-，从而()(2)f x f x =+，即()f x 是周期为2的函数，因为()(4)g x f x =，则()g x 图像是()f x 的图像的横坐标缩短为原来的14得到，故()g x 也是偶函数，且周期为11242⨯=，结合当[0,1]x ∈时，3()2f x x =，可作出()g x 在[0,2]的图像以及直线l 的图像，如下图所示：当74x =时，易知3()2g x =，即73(,)42A ，则直线MA 的斜率362711(1)4MAk -==--，过点(1,0)-的直线l 与函数()g x 的图象在[0,2]x ∈上恰有8个交点，则只需6011MA k k <<=，即直线l 斜率k 的取值范围是60,11⎛⎫ ⎪⎝⎭.故选：A.三、解答题（本题满分14分，第1小题满分4分，第2小题满分10分）17.已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的离心率为2，椭圆的一个顶点与两个焦点构成的三角形面积为2.（1）求椭圆C 的方程；（2）已知直线()()10y k x k =->与椭圆C 交于A ，B 两点，且与x 轴，y 轴交于M ，N 两点.①若MB AN = ，求k 的值；②若点Q 的坐标为7,04⎛⎫⎪⎝⎭，求证：QA QB ⋅ 为定值.【正确答案】（1）22142x y +=（2）①22k =；②证明见解析【分析】（1）根据椭圆的离心率和三角形的面积即可求出224,2a b ==，则椭圆方程可得；（2）①根据根与系数的关系以及向量的数量积的运算即可求出；②根据根与系数的关系以及向量的数量积的运算即可求出．【小问1详解】22c e a ==，222a c ∴=，代入222a b c =+得b c =.又椭圆的一个顶点与两个焦点构成的三角形的面积为2，即1222b c ⨯=，即2bc =，以上各式联立解得224,2a b ==，则椭圆方程为22142x y +=.【小问2详解】①直线()1y k x =-与x 轴交点为()1,0M ，与y 轴交点为()0,N k -，联立()22241x y y k x ⎧+=⎪⎨=-⎪⎩消去y 得:()222124240k x k x k +-+-=，()()4222164122424160k k k k ∆=-+-=+>设()()1122,,,A x y B x y ，则2122412kx x k+=+()()22111,,,,MB x y AN x k y =-=--- 又212241,12k MB AN x x k =+==+ 由得：解得:2k =±.由0k >得22k =;②证明：由①知2122412k x x k +=+212224,12k x x k-=+)()()2112212127777,,114444QA QB x y x y x x k x x ⎛⎫⎛⎛⎫⎛⎫∴⋅=-⋅-=--+-- ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎝⎭⎝⎭ ()()22212127491416k x x k x x k ⎛⎫=++--+++⎪⎝⎭()2222222472449151124121616k k k k k k k -⎛⎫=++--++=- ⎪++⎝⎭，QA QB ∴⋅为定值.方法点睛：求定值问题常见的方法①从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关．②直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．（卷二）一、填空题（每题5分，共20分）18.已知圆22:16C x y +=，直线:()(32)0l a b x b a y a -+--=（,a b 不同时为0），当,a b 变化时，圆C 被直线l 截得的弦长的最小值为___________.【正确答案】【分析】由题意知直线l 恒过定点(3,1)，当圆心到直线距离取最大值时，此时圆C 被直线l 截得的弦长为最小值，即可求出答案.【详解】把直线:()(32)0l a b x b a y a -+--=化为(21)(3)0a x yb x y --+-+=2103301x y x x y y --==⎧⎧⇒⎨⎨-+==⎩⎩，恒过定点(3,1)，当圆C 被直线l 截得的弦长的最小值时，圆心(0,0)到定点(3,1)的距离为，圆心到直线:()(32)0l a b x b a y a -+--=距离，此时直线弦长为最小值=.故答案为.19.若随机变量()3,XB p ，()22,YN σ，若()10.657P X ≥=，()02P Y p <<=，则()4P Y >=______．【正确答案】0.2【分析】解不等式1﹣（1﹣p ）3＝0.657得到p ＝0.3，再利用正态分布求解.【详解】解：∵P （X ≥1）＝0.657，∴1﹣（1﹣p ）3＝0.657，即（1﹣p ）3＝0.343，解得p ＝0.3，∴P （0＜Y ＜2）＝p ＝0.3，∴P （Y ＞4）＝12(02)2P Y -<<＝120.30.22-⨯=．故0.2．20.已知在R 上的减函数()y f x =，若不等式()()2233f x x f y y -≤---成立，函数()1y f x =-的图象关于点()1,0中心对称，则当14x ≤≤时，yx的取值范围是______.【正确答案】12,4⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【分析】由对称性得函数()f x 是奇函数，由奇函数的定义及单调性化简不等式为具体的不等式，变形为两个不等式组，在平面直角坐标系中作出这两个不等式组表示的平面区域在直线1x =和4x =之间的部分，yx表示这部分的点到原点连线的斜率，由图可得其取值范围．【详解】∵函数(1)=-y f x 的图象关于点(1,0)中心对称，∴函数()y f x =的图象关于原点对称，即()f x 是奇函数，不等式()()2233f x x f y y -≤---可化为()()2233f x x f y y -≤+，又()f x 是R 上的减函数，∴2233x x y y -≥+，即()(3)0x y x y +--≥030x y x y +≥⎧⎨--≥⎩或030x y x y +≤⎧⎨--≤⎩，作出这两个不等式组表示的平面区域在直线1x =和4x =之间的部分，如图阴影部分（含边界），yx表示阴影部分的点与原点连线的斜率，1x =与4x =分别代入30x y --=，可得(1,2)D -，(4,1)B ，2OD k =-，14OB k =，∴124y x -≤≤．故12,4⎡⎤-⎢⎥⎣⎦．21.设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且2n S 是6和n a 的等差中项，若对任意的*n ∈N ，都有[]13,n nS s t S -∈，则t s -的最小值为________．【正确答案】94【分析】先根据和项与通项关系得{}n a 通项公式，再根据等比数列求和公式得n S ，再根据函数单调性得13n nS S -取值范围，即得t s ，取值范围，解得结果.【详解】因为2n S 是6和n a 的等差中项，所以46n n S a =+当2n ≥时，111114643n n n n n n n S a a a a a a ----=+∴=-∴=-当1n =时，11146=2S a a =+∴因此112[1()]13132([1()]132313n n n n n a S ---=⨯-∴==--+当n 为偶数时，3143[1()][,)2332n n S =-∈当n 为奇数时，313[1(](,2]232n n S =+∈因此343(,2][,)232n S ∈U 因为13n n S S -在343(,2][,232U 上单调递增，所以[]113232*********,,4662244n n S s t t s S ⎡⎤-∈⋃⊆∴-≥-=⎢⎥⎣⎦）（，故94本题考查根据和项求通项、等比数列定义、等比数列求和公式、利用函数单调性求值域，考查综合分析求解能力，属较难题.二、单项选择题（每题5分，共10分）22.在正四面体A BCD -中，点P 为BCD ∆所在平面上的动点，若AP 与AB 所成角为定值,0,4πθθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则动点P 的轨迹是（）A.圆B.椭圆C.双曲线D.抛物线【正确答案】B【分析】把条件转化为AB 与圆锥的轴重合，面BCD 与圆锥的相交轨迹即为点P 的轨迹后即可求解.【详解】以平面截圆锥面，平面位置不同，生成的相交轨迹可以为抛物线、双曲线、椭圆、圆.令AB 与圆锥的轴线重合，如图所示，则圆锥母线与AB 所成角为定值，所以面BCD 与圆锥的相交轨迹即为点P 的轨迹.根据题意，AB 不可能垂直于平面BCD ，即轨迹不可能为圆.面BCD 不可能与圆锥轴线平行，即轨迹不可能是双曲线.可进一步计算AB 与平面BCD 所成角为θ=时，轨迹为抛物线，arctan θ≠时，轨迹为椭圆， 0,4πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以轨迹为椭圆.故选：B.本题考查了平面截圆锥面所得轨迹问题，考查了转化化归思想，属于难题.23.若P 在曲线22:14x C y +=上，若存在过P 的直线交曲线C 于A 点，交直线:4l x =于B 点，满足||||PA PB =或||||PA AB =，则称P 点为“H 点”，那么下列结论中正确的是（）A.曲线C 上所有点都是H 点B.曲线C 上仅有有限多个点是H 点C.曲线C 上所有点都不是H 点D.曲线C 上有无穷多个点（但不是全部）是H 点【正确答案】D【分析】设出22P A x x -≤<≤,利用相似三角形求得P x 和A x 的关系,设出PA 的方程与椭圆方程联立求得A P x x 的表达式,利用判别式大于0求得k 和m 的不等式关系,最后联立①②③求得A x 的范围,进而通过1A x <时,242P A x x =-<-,故此时不存在H 点,进而求得H 点的横坐标取值范围,判断出题设的选项.【详解】解：由题意，P 、A 的位置关系对称，于是不妨设22,(P A x x -≤<≤此时)PA AB =.由相似三角形，244A P x x -=-即:24P A x x =-⋯①设:PA y kx m =+，与椭圆联立方程组，2214y kx mx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消y 得22212104k x kmx m ⎛⎫+++-= ⎪⎝⎭解得22114A P m x x k -=⋯+②0∆> ，2241k m >-⋯③联立①②③，得2222114A A x x k-<+，而2202114k<<+，即222A A x x -<，即12A x ≤≤，而当1A x <时，242P A x x =-<-，故此时不存在H 点又因为P 的位置可以和A 互换（互换后即)PA PB =，所以H 点的横坐标取值为[2,0][1,2]-⋃.故选:D.本题主要考查了直线与圆锥曲线的关系问题.解题的关键是求得H 点的横坐标取值范围.属于较难题.三、多项选择题（每题6分，共12分）24.“阿基米德多面体”也称为半正多面体，是由边数不全相同的正多边形为面围成的多面体，它体现了数学的对称美.如图，将正方体沿交于一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥，共截去八个三棱锥，得到的半正多面体的表面积为3，则关于该半正多面体的下列说法中正确的是（）A.与AB 所成的角是60°的棱共有8条B.AB 与平面BCD 所成的角为30°C.二面角A BC D --的余弦值为33-D.经过A ，B ，C ，D 四个顶点的球面面积为2π【正确答案】CD【分析】补全该半正多面体得到一正方体.对于A 选项，由正三角形可得60°角，再利用平行关系得结果；B 选项，利用正方体找出线面角为∠ABE=45°；C 选项，先作出二面角的补角∠AFE ，在△AEF 中，求出3cos 3EF AFE AF ∠==即可得结果；D 选项，由半正多面体的对称中心与相应的正方体的对称中心为同一点，构造三角形，求出球的半径，最后求得经过A ，B ，C ，D 四个顶点的球面面积.【详解】补全该半正多面体得到一正方体，设正方体的棱长为a .由题意，该半正多面体是由6个全等的正方形与8个全等的正三角形构成，由半正多面体的表面积为33+，可得223228633422a ⎛⎫⎫⨯⨯+⨯=+ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，解得a =1.对于A ，在与AB 相交的6条棱中，与AB 成60°角的棱有4条，这4条棱中，每一条都有3条平行的棱，故与AB 所成的角是60°的棱共有16条，故A 不正确；对于B ，因为AE ⊥平面BCD ，所以AB 与平面BCD 所成角为∠ABE =45°，故B 不正确；对于C ，取BC 中点F ，连接EF ，AF ，则有AF ⊥BC ，EF ⊥BC ，故二面角A -BC -D 的补角为∠AFE .二面角A -BC -D 的余弦值为-cos ∠AFE ，在Rt △AEF 中，1,,24AE EF AE EF ==⊥，∴AF =3cos 3EF AFE AF ∠==，cos 3AFE -∠=-，故C 正确;对于D ，由半正多面体的对称中心与相应的正方体的对称中心为同一点，即为正方体对角线的中点O ，点O 在平面ABE 的投影为投影点O 1，则有1111,22OO AO ==，∴22AO ==，故经过A ，B ，C ，D 四个顶点的球面的半径为面积为2422S ππ⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭，故D 正确.故选：CD立体几何中补形是一种常用的方法：(1)一个不规则几何体是由规则几何体经过截取得到的，通常可以用补形，还原为规则几何体，如正方体，长方体等；(2)通常可以用来求①体积（距离），②与外接球（内切球）相关的问题.25.在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，已知点P 为侧面11BCC B 上的一动点，则下列结论正确的是（）A.若点P 总保持1PA BD ⊥，则动点P 的轨迹是一条线段；B.若点P 到点A 的距离为3，则动点P 的轨迹是一段圆弧；C.若P 到直线AD 与直线1CC 的距离相等，则动点P 的轨迹是一段抛物线；D.若P 到直线BC 与直线11C D 的距离比为1:2，则动点P 的轨迹是一段双曲线.【正确答案】ABD【分析】由1BD ⊥平面1AB C 且平面1AB C 平面111BCC B B C =，即可判断A ；根据球的性质及与正方体的截面性质即可判断B ；作PE BC ⊥，EF AD ⊥，连接PF ，作1PQ CC ⊥.建立空间直角坐标系，由PF PQ =即可求得动点P 的轨迹方程，即可判断C ；根据题意，由距离比即可求得轨迹方程，进而判断D.【详解】对于A ，111,BD B C D A AB ⊥⊥，且1AC AB A ⋂=，所以1BD ⊥平面1AB C ，平面1AB C 平面111BCC B B C =，故动点P 的轨迹为线段1BC ，所以A 正确；对于B ，点P 的轨迹为以A 为球心、半径为233的球面与面11BCC B 的交线，即为一段圆弧，所以B 正确；对于C ，作PE BC ⊥，EF AD ⊥，连接PF ；作1PQ CC ⊥.由PF PQ =，在面11BCC B 内，以C 为原点、以直线CB 、CD 、1CC 为x ，y ，z轴建立平面直角坐标系，如下图所示：设(),0,P x z，则x =，化简得221x z -=，P 点轨迹所在曲线是一段双曲线，所以C 错误.对于D ，由题意可知点P 到点1C 的距离与点P 到直线BC 的距离之比为2:1，结合C 中所建立空间直角坐标系，可得121PC PE =，所以21241PC PE =，代入可得()222141x z z +-=，化简可得221314493z x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭-=，故点P 的轨迹为双曲线，所以D 正确.综上可知，正确的为ABD.故选：ABD.本题考查了空间几何体中截面的形状判断，空间直角坐标系的综合应用，轨迹方程的求法，属于难题.四、解答题（本题满分18分（本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）26.对于数列{}n a ，若存在正数k ，使得对任意*,m n ∈N ，m n ≠，都满足||||m n a a k m n -≤-，则称数列{}n a 符合“()L k 条件”.（1）试判断公差为2的等差数列{}n a 是否符合“(2)L 条件”？（2）若首项为1，公比为q 的正项等比数列{}n a 符合“1(2L 条件”.求q 的范围；（3）在（2）的条件下，记数列{}n a 的前n 项和为n S ，证明：存在正数0k ，使得数列{}n S 符合“0()L k 条件”.【正确答案】（1）符合（2）1[,1]2（3）证明见解析【分析】(1)将12(1)n a a n =+-代入||||m n a a k m n -≤-即可得证；(2)由“正项等比数列”分成1q =，1q >，01q <<三类，结合数列单调性进行分析求证；(3)1q =时，n S n =，01k ≥即可成立；当112q ≤<时，设m n <，则等价于证明0(1)()m n q q k q n m ---≤即可.【小问1详解】因为{}n a 是等差数列且公差为2，所以12(1)n a a n =+-，所以对任意m ，*n ∈N ，m n ≠，11|||[2(1)][2(1)]||2()|2m n a a a m a n m n m n -=+--+-=-≤-恒成立，所以数列{}n a 符合“(2)L 条件”.【小问2详解】因为0n a >，所以0q >.若1q =，则1||0||2m n a a m n -=≤-，数列{}n a 符合“1()2L 条件”；若1q >，因为数列{}n a 递增，不妨设m n <，则1()2n m a a n m ≤--，即1122n m a n a m -≤-，(*)设12n n b a n =-，由(*)式中的m ，n 任意性得数列{}n b 不递增，所以11111()(1)022n n n n n b b a a q q -++-=--=--≤，*n ∈N ，则当[2(1)]41log q n ->-时，11(1)02n q q --->，矛盾.若01q <<，则数列{}n a 单调递减，不妨设m n <，则1()2n m a a n m ≤--，即1122m n a m a n +≤+，(**)设12n n c a n =+，由(**)式中的m ，n 任意性得，数列{}n a 不递减，所以11111()(1)022n n n n n c c a a q q +++-=-+=-+≥，*n ∈N .因为01q <<时，11()(1)2n f n q q -=-+单调递增，所以1()(1)(1)02max f n f q ==-+≥，因为01q <<，所以112q ≤<.综上，公比q 的范围为1[,1]2.【小问3详解】由（2）得，11n n q S q-=-，112q ≤<，当1q =时，n S n =，要存在0k 使得0||||n m S S k n m -≤-，只要01k ≥即可.当112q ≤<时，要证数列{}n S 符合“0()L k 条件”，只要证存在00k >，使得011||11n mq q k n m q q---≤---，*n ∈N ，不妨设m n <，则只要证0(1)()m n q q k q n m ---≤，只要证00(1)(1)m m n n q k q q k q ≤+-+-.设0()(1)n n g n q k q =+-，由m ，n 的任意性，只要证00(1)()(1)(1)(1)()0n n g n g n q q k q q k q +-=-+-=--≥，只要证0n k q ≥，*n ∈N ，因为112q ≤<，所以存在0k q ≥，上式对*n ∈N 成立.所以，存在正数0k ，使得数列{}n S 符合“0()L k 条件”.思路点睛：对于数列中的恒成立或存在性问题，通常结合条件进行分类讨论，构造合适的函数模型，借助函数性质进行判断.。