山东交通学院概率论期末考试及答案

概率论期末试题及答案一、选择题（每题2分，共20分）1. 随机事件A的概率为P(A)，则其对立事件的概率为：A. P(A) + 1B. 1 - P(A)C. P(A) - 1D. P(A) / 22. 某校有男女生比例为3:2，随机抽取1名学生，该学生是男生的概率为：A. 1/5B. 3/5C. 2/5D. 5/73. 抛一枚均匀硬币两次，至少出现一次正面的概率是：A. 1/2B. 1/4C. 3/4D. 5/84. 设随机变量X服从二项分布B(n, p)，若n=15，p=0.4，则P(X=7)是：A. C^7_15 * 0.4^7 * 0.6^8B. C^7_15 * 0.6^7 * 0.4^8C. C^7_15 * 0.4^15D. C^8_15 * 0.4^7 * 0.6^85. 若随机变量Y服从泊松分布，λ=2，则P(Y=1)是：A. e^(-2) * 2B. e^(-2) * 2^2C. e^(-2) * 2^1D. e^(-2) * 2^06. 设随机变量Z服从标准正态分布，则P(Z ≤ 0)是：A. 0.5B. 0.25C. 0.75D. 0.337. 若两个事件A和B相互独立，P(A)=0.6，P(B)=0.7，则P(A∩B)是：A. 0.42B. 0.35C. 0.6D. 0.78. 随机变量X服从均匀分布U(0, 4)，则E(X)是：A. 2B. 4C. 0D. 19. 设随机变量X和Y的协方差Cov(X, Y)=-2，则X和Y：A. 正相关B. 负相关C. 独立D. 不相关10. 若随机变量X服从指数分布，λ=0.5，则P(X > 1)是：A. e^(-0.5)B. e^(-1)C. 1 - e^(-0.5)D. 2 - e^(-1)二、填空题（每题3分，共30分）11. 若随机变量X服从参数为θ的概率分布，且P(X=θ)=0.3，P(X=2θ)=0.4，则P(X=3θ)=________。

交 通 大 学2014~2015学年第二学期概率论与数理统计期末考试试卷（A 卷）一．（本题满分8分）一间宿舍住有6位同学，求这6位同学中至少有2位同学的生日在同一月份的概率． 解：设=A “6位同学的生日至少有两位在同一月份”，则 =A “6位同学的生日都在不同的月份”，所以()()7771990741.02985984665280112116612=-=-=-=P A P A P ． 二．（本题满分8分）验收一批共有60件的产品．按照验收规则，随机抽取3件，只要3件中有一件是不合格品，就拒收整批产品．设验收时不合格品被误判为合格品的概率为0.03；而合格品被误判为不合格品的概率为0.01．如果这60件产品中有3件为不合格品，问这批产品被接收的概率是多少？ 解：设：{}这批产品被接收=A{}件是不合格品件产品中有抽取的i B i 3= ()3210，，，=i 则由全概率公式，得 ()()()i i i B A P B P A P ∑==3()()()()()3360573323601572333602571333603570303.001.0103.001.0103.001.01⋅+-⨯⋅+-⨯⋅+-⋅=C C C C C C C C C C C C 8338.0=三．（本题满分8分）甲、乙两艘轮船驶向一个不能同时停泊两艘轮船的码头，它们在一昼夜内到达的时间是等可能的．如果甲船的停泊时间是3小时，乙船的停泊时间是2小时，求它们中任何一艘都不需要等候码头空出的概率是多少？解：设甲船于X 时到达码头，乙船于Y 时到达码头．则240,240≤≤≤≤Y X ．并且X 与Y 相互独立．甲、乙两船的到达时刻()y x ,与平面中区域(){}240,240,≤≤≤≤=y x y x D ：中的点一一对应．设=A “甲乙两船中任何一艘都不需要等候码头空出．” 则随机事件A 发生当且仅当3≥-X Y 或者2≥-Y X ． 因此随机事件A 与平面区域(){}2,3,-≤-≥-=x y x y y x D A 或者：中的点一一对应．所以，()()802951388.024222121222=+⨯==的面积的面积A D D A P ． 四．（本题满分8分） 设随机变量X 服从区间()b a ,上的均匀分布，并且()3=X E ，()34=X D ，试求常数a 与b ． 解：因为随机变量X 服从区间()b a ,上的均匀分布，所以()2ba X E +=，()()122a b X D -=． 由题设条件()3=X E ，()34=X D ，得方程组 ()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=+3412322a b ba ，解此方程组，得1=a ，5=b ． 五．（本题满分8分）设随机变量X 的密度函数为()⎪⎩⎪⎨⎧≤>=-0002222x x ex x f x σσ ，其中0>σ为常数，求()nX E ，（n 为正整数）（结果用Γ函数表示）．解：()()⎰⎰⎰+∞-++∞-+∞∞-=⋅==2122222221dx e x dx e xxdx x f x X E x n x nn n σσσσ．作变量替换222σx u =，则u x 222σ=，u x ⋅=σ2，dx x xdx du 2222σσ==．当0=x 时，0=u ；当+∞→x 时，+∞→u ．代入上式，得 ()()⎰+∞-=022du eu XE un nσ()()()⎪⎭⎫ ⎝⎛+Γ===⎰⎰+∞--⎪⎭⎫ ⎝⎛++∞-12222220112220222n du e udu eu nu n n unn σσσ． 六．（本题满分9分）设二维随机变量()Y X ,的联合密度函数为()⎩⎨⎧<<<=其它010,2x y y cx y x f ， ⑴ 求常数c （3分）；⑴ 求随机变量X 的边缘密度函数()x f X （4分）；⑶ 求随机变量Y 关于X 条件密度函数()x y f XY（2分）． 解：⑴ 由联合密度函数的性质，有()1,=⎰⎰+∞∞-+∞∞-dxdy y x f ，因此()102,11040210cdx x c ydy cx dx dxdy y x f x====⎰⎰⎰⎰⎰+∞∞-+∞∞-，所以，10=c ． ⑵ 当10<<x 时， ()()402510,x ydy x dy y x f x f xX ===⎰⎰+∞∞-所以随机变量X 的边缘密度函数为()⎩⎨⎧<<=其它1054x x x f X ．⑶ 当10<<x 时，()054>=x x f X ，因此当10<<x 时，()()()⎪⎩⎪⎨⎧<<==其它02,2x y x yx f y x f x y f X X Y七．（本题满分9分）设二维随机变量()Y X ，服从矩形(){}1020,≤≤≤≤=y x y x D ，：上的均匀分布．记：⎩⎨⎧>≤=YX YX U 10 ⎩⎨⎧>≤=Y X Y X V 2120 试求U 与V 的相关系数V U ,ρ；（7分）并判断U 与V 是否相互独立？（2分） 解：由题意可得 {}41=≤Y X P ， {}212=>Y X P ， {}412=<<Y X Y P ，所以，{}{}{}41200=≤=≤≤===Y X P Y X Y X P V U P ，，，{}{}()0210=∅=>≤===P Y X Y X P V U P ，，， {}{}{}41201=≤<=≤>===Y X Y P Y X Y X P V U P ，，， {}214141111=--===V U P ，， ()V U ，的联合分布律及各自的边缘分布律为所以，()43=U E ，()163=U D ，()21=V E ，()41=V D ．又 ()21=UV E ， 所以，()()()()()()81214321cov =⨯-=-=V E U E UV E V U ， ()314116381cov ,=⨯==DVDU V U V U ，ρ 由于0≠ρ，所以U 与V 相关，从而U 与V 不独立．八．（本题满分8分）设随机变量X 与Y 相互独立，分别服从参数为1λ与2λ的Poisson 分布．试求随机变量Y X Z +=的分布律； 解：X 的分布律为 ()1!1λλ-==e k k X P k() ，，，210=kY 的分布律为 ()2!2λλ-==e k k Y P k () ，，，210=k所以，Y X Z +=的取值为 ，，，210，并且 ()(){}∑=-====+==nk k n Y k X P n Y X P n Z P 0，{}{}∑=-===nk k n Y P k X P 0()∑=----=nk k n ke k n ek 02121!!λλλλ()()∑=-+--=n k kn k k n k n n e 021!!!!21λλλλ()()21!21λλλλ+-+=en n 即Y X Z +=的分布律为{}()()21!21λλλλ+-+==en n Z P n () ，，，210=n九．（本题满分8分）一报刊亭出售4种报纸，它们的价格分别为8.1,5.1,0.1,6.0（元），而且每份报纸售出的概率分别为1.0,35.0,3.0,25.0．若某天售出报纸400份，试用中心极限定理计算该天收入至少450元的概率．标准正态分布()1,0N 的分布函数()x Φ的值：解：设k X ：该天售出第k 份报纸的收入．()400.,2,1 =k 则k X 的分布律为()155.11.08.135.05.13.00.125.06.0=⨯+⨯+⨯+⨯=k X E ， ()5015.11.08.135.05.13.00.125.06.022222=⨯+⨯+⨯+⨯=k X E ， 所以，()()()[]167475.0155.15015.1222=-=-=k k k X E X E X D令X 表示该天的总收入，则有 ∑==4001k k X X ．由独立同分布场合下的大数定律，有{}⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⨯⨯-≥⨯⨯-=⎭⎬⎫⎩⎨⎧≥=≥∑∑==167475.0400155.1400450167475.0400155.140045045040014001k k k k X P X P X P()9292.0466.11466.1167475.0400155.140014001=-Φ-≈⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-<⨯⨯--=∑=k k X P ．十．（本题满分9分）设总体X 存在二阶矩，记()μ=X E ，()2σ=X D ．()n X X X ,,,21 是取自该总体的一个样本，2S 是样本方差．计算()2SE ．解：()()()⎪⎭⎫⎝⎛--=⎪⎭⎫ ⎝⎛--=∑∑==n i in i i X X E n X X n E SE 121221111 ()()()⎪⎭⎫⎝⎛----=∑=n i i X X E n 1211μμ()()()()()⎪⎭⎫ ⎝⎛----+--=∑=n i i i X X X X E n 122211μμμμ()()()()⎪⎭⎫ ⎝⎛----+--=∑∑==n i n i i i X X X n X E n 1122211μμμμ()()⎪⎭⎫ ⎝⎛----=∑=n i i X n X E n 12211μμ()()⎪⎭⎫ ⎝⎛----=∑=n i i X nE X E n 12211μμ()()()()⎪⎭⎫ ⎝⎛----=∑=n i i i X E X nE X E X E n 12211()()⎪⎭⎫⎝⎛--=∑=n i i X nD X D n 111()2221221111σσσσσ=--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅--=∑=n n n n n n i 十一．（本题满分8分） 设总体X 的密度函数为()()1;+-=θθθθx c x f ， ()c x >．其中0>c 是已知参数，而1>θ是未知参数．()n X X X ,,,21 是从该总体中抽取的一个样本，求未知参数θ的矩估计量． 解：()()()11111-=-⋅==⋅==-+∞-+∞+-+∞∞-⎰⎰⎰θθθθθθθθθθθθcc c dx x c dx xc x dx x xf X E cc，解方程 ()1-=θθcX E ，得 ()()c X E X E -=θ．将()X E 用样本均值X 替换，得参数θ的矩估计量为cX X-=θˆ． 十二．（本题满分9分）设总体X 服从指数分布，其概率密度函数为()⎪⎩⎪⎨⎧≤>=-001x x ex f xθθ，()n X X X ,,,21是取自该总体中的一个样本．⑴ 求出统计量()i n i X X ≤≤=11min 的密度函数()()x f 1，并指出该分布是什么分布？（5分）⑵ 求常数a ，使得i ni X a T ≤≤=1min 为θ的无偏估计（4分）．解：① 由于总体X 的密度函数为()⎪⎩⎪⎨⎧≤>=-001x x ex f xθθ，因此其分布函数为 ()()⎪⎩⎪⎨⎧>-≤==-∞-⎰0100x ex dt t f x F x xθ ．所以()i ni X X ≤≤=11min 的密度函数为()()()()()θθθθθnxxn xn enee n xf x F n x f -----=⋅⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-=11111，()0>x ．即随机变量()i n i X X ≤≤=11min 服从参数为nθ的指数分布．② 由于随机变量()i n i X X ≤≤=11min 服从参数为nθ的指数分布，所以()()()n X E X E i n i θ==≤≤11min ．所以，若使()()()θθ=⋅==≤≤n a X aE X E i n i 11min ，只需取n a =即可．即若取n a =，即i ni X n T ≤≤=1min ，则T 是未知参数θ的无偏估计量．。

大学《概率论与数理统计》期末考试试卷含答案一、填空题(每空 3 分，共 30分)在显著性检验中，若要使犯两类错误的概率同时变小，则只有增加 样本容量 .设随机变量具有数学期望与方差，则有切比雪夫不等式 .设为连续型随机变量,为实常数，则概率= 0 . 设的分布律为，,若绝对收敛(为正整数),则=.某学生的书桌上放着7本书，其中有3本概率书,现随机取2本书,则取到的全是概率书的概率为. 设服从参数为的分布,则=. 设，则数学期望= 7 .为二维随机变量, 概率密度为, 与的协方差的积分表达式为 .设为总体中抽取的样本的均值,则＝ . (计算结果用标准正态分布的分布函数表X ()E X μ=2()D X σ={}2P X μσ-≥≤14X a {}P X a =X ,{}1,2,k k P X x p k ===2Y X =1n k k k x p ∞=∑n()E Y 21k k k x p ∞=∑17X λpoisson (2)E X 2λ(2,3)YN 2()E Y (,)X Y (,)f x y X Y (,)Cov X Y (())(())(,)d d x E x y E y f x y x y +∞+∞-∞-∞--⎰⎰X N （3，4）14,,X X {}15P X ≤≤2(2)1Φ-()x Φ示)10. 随机变量,为总体的一个样本，,则常数=.A 卷第1页共4页 概率论试题(45分) 1、(8分)题略解：用，分别表示三人译出该份密码,所求概率为 （2分）由概率公式 （4分）（2分） 2、(8分) 设随机变量，求数学期望与方差.解：(1) = （3分） (2) （3分） （2分）(8分) 某种电器元件的寿命服从均值为的指数分布,现随机地取16只，它们的寿命相互独立，记，用中心极限定理计算的近似值(计算结果用标准正态分布的分布函数表示).2(0,)XN σn X X X ,,,21 X221()(1)ni i Y k X χ==∑k 21n σA B C 、、P A B C （）P A B C P ABC P A P B P C （）=1-（）=1-（）（）（）1-1-1-p q r =1-（）（）（）()1,()2,()3,()4,0.5XY E X D X E Y D Y ρ=====()E X Y +(23)D X Y -()E X Y +E X E Y （）+（）=1+3=4(23)4()9()12ov(,)D X Y D X D Y C X Y -=+-8361244XYρ=+-=-100h i T 161ii T T ==∑{1920}P T ≥()x Φ解： （3分） （5分）(4分)(10分)设随机变量具有概率密度,.(1)求的概率密度； (2) 求概率.解: (1) （1分）A 卷第2页共4页（2分）（2分）概率密度函数 （2分）(2) . （3分） (11分) 设随机变量具有概率分布如下,且.i i ET D T E T D T 2（）=100，（）=100，（）=1600，（）=160000{1920}0.8}1P T P ≥=≥≈-Φ（0.8）X 11()0x x f x ⎧-≤≤=⎨⎩，，其它21Y X =+Y ()Y f y 312P Y ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭12Y Y y F y y F y≤>时（）=0,时（）=1212,{}{1}()d Y y F yP Y y P X y f x x <≤≤=+≤=（）=02d 1x y ==-2()=Y Y y f y F y≤⎧'⎨⎩1,1<（）=0，其它3102Y YP Y F F ⎧⎫-<<=-=⎨⎬⎩⎭311（）-（-1）=222(,)X Y {}110P X Y X +===(1)求常数； (2)求与的协方差,并问与是否独立?解: (1) （2分）由（2分） 可得 （1分）(2), , （3分） （2分） 由可知与不独立 （1分） 三、数理统计试题(25分)1、(8分) 题略. A 卷第3页共4页 证明:,相互独立（4分） ,（4分）,p q X Y (,)Cov X Y X Y 1111134123p q p q ++++=+=，即{}{}{}{}{}101011010033P X Y X P Y X p P X Y X P X P X p +====+========+，，1p q ==EX 1（）=2E Y 1（）=-3E XY 1（）=-6,-CovX Y E XY E X E Y （）=（）（）（）=0..ij i j P P P ≠X Y 222(1)(0,1),(1)X n S N n χσ--22(1)X n S σ-2(1)X t n -(1)X t n -(10分) 题略解：似然函数 （4分）由 可得为的最大似然估计 (2分)由可知为的无偏估计量，为的有偏估计量 (4分) 、(7分) 题略 解： （2分）检验统计量，拒绝域 （2分）而 （1分）因而拒绝域，即不认为总体的均值仍为4.55 （2分）A 卷第4页共4页2221()(,)2n i i x L μμσσ=⎧⎫-=-⎨⎬⎩⎭∑2221()ln ln(2)ln() 222ni i x n n L μπσσ=-=---∑2222411()ln ln 0,022n ni i i i x x L L nμμμσσσσ==--∂∂===-+=∂∂∑∑221111ˆˆ,()n n i i i i x x n n μσμ====-∑∑2,μσ221ˆˆ(),()n nE E μμσσ-==11ˆn i i x n μ==∑μ2211ˆ()ni i x n σμ==-∑2σ01: 4.55: 4.55H H μμ=≠x z =0.025 1.96z z ≥=0.185 1.960.036z ==>0H。

概率论期末试题及答案在概率论的学习过程中，期末试题是评估学生对该学科知识理解和应用的重要方式。

本文将给出一份概率论的期末试题及答案，以供参考。

试题将按照适当的格式整理，确保排版整洁美观，语句通顺，全文表达流畅，同时符合阅读体验的要求。

试题一：概率基础1. 已知事件A发生的概率为0.4，事件B发生的概率为0.6，求事件A和事件B同时发生的概率。

2. 一桶中装有6个红色球和4个蓝色球，从中随机抽取2个球，求这2个球颜色相同的概率。

3. 掷一颗骰子，点数为1至6的概率各为1/6。

连续投掷两次，求两次投掷结果和为7的概率。

试题二：概率分布1. 某商品的销售量服从正态分布N(150, 25)，计算销售量在120至180之间的概率。

2. 某批产品的质量服从均匀分布U(60, 80)，求产品质量小于75的概率。

3. 甲、乙两个小组分别进行同一项任务，甲组平均完成时间为4小时，标准差为0.5小时；乙组平均完成时间为3.8小时，标准差为0.3小时。

求完成时间小于4.2小时的概率。

试题三：条件概率1. 假设事件A和事件B是相互独立的，已知P(A)=0.3，P(B)=0.4，求P(A|B)和P(B|A)。

2. 某城市的天气预报根据历史数据和气象模型给出，根据预报可以推测出降雨的概率。

已知天气预报准确率为80%，预报为有降雨的概率为30%，求实际发生降雨的概率。

3. 从一批产品中随机抽取一件进行检验，已知该批产品中次品率为5%，已检一件产品为次品，求该件产品来自次品批次的概率。

试题四：随机变量1. 设随机变量X服从指数分布Exp(λ)，已知λ=0.1，求P(X≥2)。

2. 设随机变量X服从均匀分布U(20, 40)，求X的期望值E(X)和方差Var(X)。

3. 设随机变量X服从正态分布N(60, 16)，求P(X>70)和P(50≤X≤80)。

试题五：大数定律和中心极限定理1. 设随机变量X服从参数为p的二项分布B(n,p)，当n=200，p=0.4时，根据大数定律，计算X的期望值E(X)和方差Var(X)。

概率论期末试题答案一、选择题1. 概率论中的“概率”是指：A. 事件发生的可能性B. 事件发生的频率C. 事件发生的必然性D. 不确定性的度量答案：A2. 若事件A和B相互独立，则以下哪项正确？A. P(A ∪ B) = P(A) + P(B)B. P(A ∩ B) = P(A) + P(B)C. P(A ∩ B) = P(A) × P(B)D. P(A | B) = P(A)答案：C3. 标准正态分布的数学期望和方差分别是：A. 0和1B. 1和0C. 1和1D. 0和0答案：A4. 若随机变量X服从参数为λ的指数分布，其概率密度函数为：A. f(x) = λe^(-λx), x ≥ 0B. f(x) = λe^(-x/λ), x ≥ 0C. f(x) = 1/λe^(-x/λ), x ≥ 0D. f(x) = 1/λe^(-λx), x ≥ 0答案：B5. 以下哪个不是中心极限定理的内容？A. 独立同分布的随机变量之和趋于正态分布B. 独立同分布的随机变量之差的平方和趋于卡方分布C. 独立同分布的随机变量之和的均值趋于正态分布D. 独立同分布的随机变量之和的标准差趋于正态分布答案：D二、填空题1. 事件A和B相互独立，则P(A ∩ B) = _______ 。

答案：P(A) × P(B)2. 若随机变量X服从均匀分布U(a,b)，则其概率密度函数为f(x) =_______ 。

答案：1/(b-a), a ≤ x ≤ b3. 二项分布的期望值E(X)和方差Var(X)分别为np和np(1-p)，其中n表示试验次数，p表示每次试验成功的概率。

若n=10, p=0.5，则E(X) = _______ ，Var(X) = _______ 。

答案：5；2.54. 设随机变量X服从正态分布N(μ,σ^2)，则其概率密度函数为f(x) = _______ 。

答案：(1/(σ√(2π))) * e^(-(x-μ)^2 / (2σ^2))5. 条件概率P(A|B)是指在事件B已经发生的条件下，事件A发生的概率，其计算公式为P(A|B) = _______ 。

山东交通学院2021～2021学年第二学期2021级本科?概率论与数理统计?期终考试试卷〔A 〕〔本场考试属闭卷考试，考试时间120分钟，可使用计算器〕 共8页学院 班级 学号 姓名一、单项选择题〔每题2分，共10分〕在每题列出的四个选项中只有一个选项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母填在题后的括号内。

1．设B A 与为对立事件，0)(>A P ，0)(>B P .则以下结论错误的选项是 〔 〕 A .0)(=AB P B .1)(=B A P C .0)|(=B A P D .0)|(=A B P2．在数集}4,3,2,1{中依次随机取出三个数，记事件A 为“取出的三个数依次为1，2，3〞。

〔1〕假设依次取出，取后放回，此时记1)(p A P =〔2〕假设依次取出，取后不放回，此时记2)(p A P =，则 〔 〕 A .21p p < B .21p p = C .21p p > D .无法比拟3．设随机变量X 具有对称的概率密度，即)()(x f x f =-，则对任意0>a ，=>)|(|a X P〔 〕A .)(21a F -B .1)(2-a FC .)(2a F -D .)](1[2a F - 4．设)(1x F 与)(2x F 分别为随机变量21X X 与的分布函数，为使)()()(21x bF x aF x F -=是某一个随机变量的分布函数，在以下给定的各组数值中应取 〔 〕A .52,53-==b a B .32,32==b a C .23,21=-=b a D .23,21-==b a 5．设总体X 服从正态分布),(2σμN ，其中σ为未知参数，),,(321X X X 是取自总体X 的一个容量为3的样本，以下不是统计量的是 〔 〕 A .321X X X ++ B .},,m ax {321X X X C .)(1321X X X ++σ D .)(41321X X X ++二、填空题〔每题2分，共10分〕1．假设事件A 和事件B 相互独立，3.0)(=B P ，7.0)(=B A P ，则=)(A P 23．设3P{0,0}7X Y ≥≥=，4{0}{0}7P X P Y ≥=≥=，则{max{,}0}P X Y ≥= 4．设随机变量321,,X X X 相互独立，其中1X 在[0，6]上服从均匀分布，2X 服从正态分布N (0，22)，3X 服从参数为λ=3的泊松分布，记32132X X X Y +-=，则=)(Y E5．设随机变量X 和Y 相互独立且都服从正态分布)3,0(2N ，而91,,X X 和91,,Y Y 分别是来自总体X 和Y 的简单随机样本，则统计量29212921Y Y X X V ++++= 服从 分布。

《概率论》考试试题（含答案） ................................................................................................... 1 解答与评分标准 . (3)《概率论》考试试题（含答案）一．单项选择题（每小题3分，共15分） 1．设事件A 和B 的概率为12(),()23P A P B == 则()P AB 可能为（ ） (A) 0; (B) 1; (C) 0.6; (D) 1/62. 从1、2、3、4、5 这五个数字中等可能地、有放回地接连抽取两个数字,则这两个数字不相同的概率为（ ）(A)12; (B) 225; (C) 425; (D)以上都不对 3．投掷两个均匀的骰子，已知点数之和是偶数，则点数之和为6的概率为（ ）(A)518; (B) 13; (C) 12; (D)以上都不对 4．某一随机变量的分布函数为()3xxa be F x e +=+，则F (0)的值为（ ）(A) 0.1; (B) 0.5; (C) 0.25; (D)以上都不对5．一口袋中有3个红球和2个白球，某人从该口袋中随机摸出一球，摸得红球得5分，摸得白球得2分，则他所得分数的数学期望为（ ）(A) 2.5; (B) 3.5; (C) 3.8; (D)以上都不对二．填空题（每小题3分，共15分）1．设A 、B 是相互独立的随机事件，P (A )=0.5, P (B )=0.7, 则()P A B =_____.2．设随机变量~(,), ()3, () 1.2B n p E D ξξξ==，则n =______.3．随机变量ξ的期望为()5E ξ=，标准差为()2σξ=，则2()E ξ=_______.4．甲、乙两射手射击一个目标，他们射中目标的概率分别是0.7和0.8.先由甲射击，若甲未射中再由乙射击。

设两人的射击是相互独立的，则目标被射中的概率为_________. 5．设连续型随机变量ξ的概率分布密度为2()22af x x x =++，a 为常数，则P (ξ≥0)=_______.三．(本题10分)将4个球随机地放在5个盒子里，求下列事件的概率 (1) 4个球全在一个盒子里; (2) 恰有一个盒子有2个球.四．(本题10分) 设随机变量ξ的分布密度为, 03()10, x<0x>3Ax f x x⎧⎪=+⎨⎪⎩当≤≤当或 (1) 求常数A ; (2) 求P (ξ<1)； (3) 求ξ的数学期望.五．(本题10分) 设二维随机变量(ξ,η)的联合分布是η＝1 η=2 η＝4 η＝5ξ＝0 0.05 0.12 0.15 0.07 ξ＝1 0.03 0.10 0.08 0.11 ξ＝2 0.070.010.110.10(1) ξ与η是否相互独立? (2) 求ξη⋅的分布及()E ξη⋅；六．(本题10分)有10盒种子，其中1盒发芽率为90％，其他9盒为20％.随机选取其中1盒，从中取出1粒种子，该种子能发芽的概率为多少？若该种子能发芽，则它来自发芽率高的1盒的概率是多少？七．(本题12分) 某射手参加一种游戏，他有4次机会射击一个目标.每射击一次须付费10元. 若他射中目标，则得奖金100元，且游戏停止. 若4次都未射中目标，则游戏停止且他要付罚款100元. 若他每次击中目标的概率为0.3,求他在此游戏中的收益的期望.八．(本题12分)某工厂生产的零件废品率为5％，某人要采购一批零件，他希望以95％的概率保证其中有2000个合格品.问他至少应购买多少零件？ (注：(1.28)0.90Φ=,(1.65)0.95Φ=)九．(本题6分)设事件A 、B 、C 相互独立，试证明AB 与C 相互独立.某班有50名学生，其中17岁5人，18岁15人，19岁22人，20岁8人，则该班学生年龄的样本均值为________.十．测量某冶炼炉内的温度，重复测量5次，数据如下（单位：℃）：1820，1834，1831，1816，1824 假定重复测量所得温度2~(,)N ξμσ.估计10σ=，求总体温度真值μ的0.95的置信区间. (注：(1.96)0.975Φ=,(1.65)0.95Φ=)解：1(18201834183118161824)18255ξ=++++=-------------------2分 已知10.95, 0.05αα-==，0.02521.96u u α==---------------------------5分10σ=，n=5,0.025210 1.96108.7755u u nασ⨯===-------------------8分所求真值μ的0.95的置信区间为[1816.23, 1833.77]（单位：℃）-------10分解答与评分标准一．1．（D ）、2.（D ）、3.（A ）、4.（C ）、5.（C ） 二．1．0.85、2. n =5、3. 2()E ξ=29、4. 0.94、5. 3/4三．把4个球随机放入5个盒子中共有54=625种等可能结果--------------3分 （1）A={4个球全在一个盒子里}共有5种等可能结果,故P (A )=5/625=1/125------------------------------------------------------5分(2) 5个盒子中选一个放两个球，再选两个各放一球有302415=C C 种方法----------------------------------------------------7分4个球中取2个放在一个盒子里，其他2个各放在一个盒子里有12种方法因此，B={恰有一个盒子有2个球}共有4×3=360种等可能结果.故12572625360)(==B P --------------------------------------------------10分四．解：（1）⎰⎰∞∞-==+=34ln 1,4ln 1)(A A dx x A dx x f ---------------------3分 （2）⎰==+=<1212ln 1)1(A dx x A P ξ-------------------------------6分 （3）3300()()[ln(1)]1AxE xf x dx dx A x x x ξ∞-∞===-++⎰⎰13(3ln 4)1ln 4ln 4=-=-------------------------------------10分 五．解：（1）ξ的边缘分布为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛29.032.039.02 10--------------------------------2分 η的边缘分布为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛28.034.023.015.05 4 2 1---------------------------4分 因)1()0(05.0)1,0(==≠===ηξηξP P P ,故ξ与η不相互独立-------5分 （2）ξη⋅的分布列为ξη⋅0 1 2 4 5 8 10。

概率论期末考试题及答案一、选择题（每题4分，共40分）1. 随机变量X服从标准正态分布，则P(-1 < X < 1)的值是（）。

A. 0.6827B. 0.9545C. 0.9772D. 0.5000答案：B2. 设随机变量X服从参数为λ的泊松分布，那么E(X)等于（）。

A. λB. λ^2C. 1/λD. 1答案：A3. 两个相互独立的随机事件A和B，P(A)=0.3，P(B)=0.5，则P(A∪B)等于（）。

A. 0.2B. 0.5C. 0.8D. 0.6答案：D4. 设随机变量X服从二项分布B(n,p)，则X的方差Var(X)等于（）。

A. npB. np(1-p)C. n(1-p)D. p(1-p)答案：B5. 随机变量X服从均匀分布U(a,b)，则其概率密度函数f(x)为（）。

A. 1/(b-a), a≤x≤bB. 1/(b-a), x≤a 或x≥bC. 1/(b-a), x<a 或 x>bD. 1/(b-a), x<b答案：A6. 设随机变量X服从正态分布N(μ,σ^2)，则X的期望E(X)等于（）。

A. σB. μC. 0D. 1答案：B7. 设随机变量X服从正态分布N(μ,σ^2)，则X的均值μ和方差σ^2的关系是（）。

A. μ = σ^2B. μ^2 = σ^2C. μ = 0D. μ ≠ σ^2答案：D8. 随机变量X服从二项分布B(n,p)，当n趋于无穷大时，X的分布趋近于（）。

A. 泊松分布B. 正态分布C. 均匀分布D. 指数分布答案：B9. 设随机变量X服从指数分布，其概率密度函数为f(x) = λe^(-λx) (x≥0)，则其均值E(X)等于（）。

A. λB. 1/λC. 0D. 1答案：B10. 随机变量X和Y相互独立，且X和Y都服从标准正态分布N(0,1)，则Z=X+Y服从（）。

A. N(0,2)B. N(0,1)C. N(2,1)D. N(1,2)答案：A二、填空题（每题4分，共20分）1. 设随机变量X服从二项分布B(10,0.5)，则P(X=5) = _______。

概率论期末试题答案1. (a) 解：根据题意，已知事件A和事件B相互独立，可以得到以下关系式：P(A | B) = P(A) （由事件A和事件B相互独立可得）P(B | A) = P(B) （由事件A和事件B相互独立可得）又根据贝叶斯定理，可以得到以下关系式：P(A | B) = P(B | A) * P(A) / P(B)将以上两个关系式结合在一起，即可得到答案：P(A) = P(B | A) * P(A) / P(B)(b) 解：根据题意，已知事件A和事件B相互依赖，可以得到以下关系式：P(A | B) ≠ P(A) （由事件A和事件B相互依赖可得）P(B | A) ≠ P(B) （由事件A和事件B相互依赖可得）又根据贝叶斯定理，可以得到以下关系式：P(A | B) = P(B | A) * P(A) / P(B)将以上两个关系式结合在一起，即可得到答案：P(A) ≠ P(B | A) * P(A) / P(B)2. 此题为条件概率的计算。

根据题意，已知P(A) = 0.4，P(B) = 0.6，P(A | B) = 0.5，求P(A ∪ B)。

解：根据概率公式，可以得知：P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A | B)将已知的数值代入上述公式，即可求解：P(A ∪ B) = 0.4 + 0.6 - 0.5 = 0.5所以，P(A ∪ B) = 0.5。

3. 解：根据题意，已知事件A和事件B相互独立，且P(A) = 0.2，P(B) = 0.3，求P(A' ∪ B')。

首先，我们可以得到以下关系式：P(A' ∪ B') = 1 - P((A' ∪ B')') （根据全概率公式）= 1 - P((A ∩ B)') （德摩根定律）= 1 - (1 - P(A ∩ B)) （补集的概率为1减去该集合的概率）= P(A ∩ B)由于事件A和事件B相互独立，可以得到以下关系式：P(A ∩ B) = P(A) * P(B)将已知的数值代入上述关系式，即可求解：P(A' ∪ B') = P(A ∩ B) = P(A) * P(B) = 0.2 * 0.3 = 0.06所以，P(A' ∪ B') = 0.06。

概率论与数理统计期末考试试卷答案一、选择题（每题5分，共25分）1. 下列事件中，不可能事件是（）A. 抛掷一枚硬币，正面朝上B. 抛掷一枚硬币，正面和反面同时朝上C. 抛掷一枚骰子，出现7点D. 抛掷一枚骰子，出现1点答案：C2. 设A、B为两个事件，若P(A-B)=0，则下列选项正确的是（）A. P(A) = P(B)B. P(A) ≤ P(B)C. P(A) ≥ P(B)D. P(A) = 0答案：B3. 设随机变量X服从二项分布B(n, p)，则下列结论正确的是（）A. 当n增加时，X的期望值增加B. 当p增加时，X的期望值增加C. 当n增加时，X的方差增加D. 当p增加时，X的方差减少答案：B4. 设X～N(μ, σ^2)，下列选项中错误的是（）A. X的期望值E(X) = μB. X的方差D(X) = σ^2C. X的概率密度函数关于X = μ对称D. 当σ增大时，X的概率密度函数的峰值减小答案：D5. 在假设检验中，显著性水平α表示（）A. 原假设为真的情况下，接受原假设的概率B. 原假设为假的情况下，接受原假设的概率C. 原假设为真的情况下，拒绝原假设的概率D. 原假设为假的情况下，拒绝原假设的概率答案：C二、填空题（每题5分，共25分）6. 设A、B为两个事件，P(A) = 0.5，P(B) = 0.6，P(A∩B) = 0.3，则P(A-B) = _______。

答案：0.27. 设随机变量X服从泊松分布，已知P(X=1) = 0.2，P(X=2) = 0.3，则λ = _______。

答案：1.58. 设随机变量X～N(μ, σ^2)，若P(X<10) = 0.2，P(X<15) = 0.8，则μ = _______。

答案：12.59. 在假设检验中，若原假设H0为μ=10，备择假设H1为μ≠10，显著性水平α=0.05，则接受原假设的临界值是_______。

答案：9.5或10.510. 设X、Y为两个随机变量，若X与Y相互独立，则下列选项正确的是（）A. E(XY) = E(X)E(Y)B. D(X+Y) = D(X) + D(Y)C. D(XY) = D(X)D(Y)D. 上述选项都正确答案：D三、解答题（每题25分，共100分）11. 设某班有50名学生，其中有20名男生，30名女生。

概率论期末考试试题和答案### 概率论期末考试试题#### 第一部分：选择题（每题2分，共20分）1. 事件A和事件B是互斥的，如果P(A)=0.3，P(B)=0.4，那么P(A∪B)的值是：A. 0.1B. 0.3C. 0.7D. 0.52. 若随机变量X服从参数为λ的泊松分布，那么P(X=k)的表达式是：A. \( e^{-\lambda}\lambda^k / k! \)B. \( \lambda^k / e^{\lambda} \)C. \( e^{-k}\lambda^k / k! \)D. \( k! / \lambda^k e^{\lambda} \)3. 以下哪个不是随机变量的期望值的性质？A. 线性B. 非负性C. 可加性D. 可分解性4. 两个事件A和B独立，如果P(A)=0.6，P(B)=0.5，那么P(A∩B)的值是：A. 0.3B. 0.5C. 0.6D. 0.35. 随机变量X和Y的协方差Cov(X,Y)表示的是：A. X和Y的平均值B. X和Y的方差C. X和Y的线性相关性D. X和Y的独立性6. 如果随机变量X服从标准正态分布，那么P(X<0)的值是：A. 0.5B. 0.3C. 0.7D. 0.257. 以下哪个是大数定律的表述？A. 随机变量的期望值等于其观察值的平均值B. 随机变量的方差随着观察次数的增加而减小C. 随机变量的观察值的平均值随着观察次数的增加而趋于稳定D. 随机变量的观察值的方差随着观察次数的增加而趋于稳定8. 以下哪个是中心极限定理的结论？A. 独立同分布的随机变量之和的分布趋近于正态分布B. 独立同分布的随机变量之差的分布趋近于正态分布C. 独立同分布的随机变量之积的分布趋近于正态分布D. 独立同分布的随机变量之比的分布趋近于正态分布9. 以下哪个是马尔可夫链的性质？A. 状态转移概率只依赖于当前状态B. 状态转移概率只依赖于初始状态C. 状态转移概率只依赖于最终状态D. 状态转移概率依赖于所有历史状态10. 以下哪个是贝叶斯定理的应用？A. 根据先验概率和似然函数计算后验概率B. 根据后验概率和先验概率计算似然函数C. 根据似然函数和后验概率计算先验概率D. 根据先验概率和后验概率计算似然函数#### 第二部分：简答题（每题10分，共30分）1. 解释什么是条件概率，并给出一个实际的例子。

概率论期末考试题及答案概率论是一门研究随机现象及其规律性的数学分支。

以下是一套概率论期末考试题及答案，供参考。

一、选择题（每题2分，共20分）1. 事件A和事件B是互斥的，P(A)=0.3，P(B)=0.4，那么P(A∪B)等于多少？A. 0.1B. 0.7C. 0.35D. 0.6答案：B2. 抛一枚均匀的硬币两次，求正面朝上的次数为1的概率。

A. 0.25B. 0.5C. 0.75D. 1答案：B3. 随机变量X服从参数为λ的泊松分布，求P(X=1)。

A. λB. λe^(-λ)C. e^(-λ)D. 1/λ答案：B4. 某工厂有5台机器，每台机器正常工作的概率都是0.9，求至少有3台机器正常工作的概率。

A. 0.999B. 0.99C. 0.95D. 0.9答案：C5. 一个骰子连续抛掷两次，求点数之和为7的概率。

A. 1/6B. 1/3C. 5/36D. 2/9答案：C二、填空题（每题2分，共10分）6. 随机变量X服从正态分布N(μ, σ²)，其密度函数的峰值出现在X=______。

答案：μ7. 假设事件A和B相互独立，P(A)=0.6，P(B)=0.5，则P(A∩B)=______。

答案：0.38. 某随机试验中，事件A发生的概率为0.2，事件B发生的概率为0.3，且P(A∪B)=0.4，则P(A∩B)=______。

答案：0.19. 连续型随机变量X的分布函数F(x)=1-e^(-λx)，其中λ>0，当x≥0时，X服从______分布。

答案：指数10. 假设随机变量X服从二项分布B(n, p)，求其期望E(X)=______。

答案：np三、简答题（每题10分，共30分）11. 简述什么是条件概率，并给出条件概率的公式。

答案：条件概率是指在某个事件已经发生的条件下，另一个事件发生的概率。

条件概率的公式为P(A|B) = P(A∩B) / P(B)，其中 P(A|B) 表示在事件B发生的条件下事件A发生的概率，P(A∩B) 是事件A和B 同时发生的概率，P(B) 是事件B发生的概率。