初中数学中考总复习：方程与不等式综合复习--知识讲解(提高)

中考数学第一轮复习方程与不等式知识总结一、方程基础概念方程是数学中用于描述两个数学表达式之间相等关系的一种形式。

它通常由未知数、已知数和运算符号组成。

在中考数学中，方程是解决问题的重要工具之一。

理解方程的定义、解的概念以及方程解的性质是后续学习的基础。

二、一元一次方程解法一元一次方程是只含有一个未知数，且未知数的次数为1的方程。

其一般形式为`ax + b = 0`（其中`a ≠0`）。

解一元一次方程的基本步骤包括：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1。

掌握这些步骤，能够高效地求解一元一次方程。

三、二元一次方程组二元一次方程组是由两个或两个以上含有两个未知数的一次方程组成的方程组。

解二元一次方程组的基本思想是通过消元法（代入消元法或加减消元法）将二元一次方程组转化为一元一次方程来求解。

掌握二元一次方程组的解法，对于解决实际问题具有重要意义。

四、一元二次方程公式法一元二次方程是只含有一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式方程。

其一般形式为`ax^2 + bx + c = 0`（其中`a ≠0`）。

对于一元二次方程的求解，当判别式`Δ= b^2 - 4ac`大于或等于0时，可以使用公式法求解。

公式法求解一元二次方程的公式为`x = [-b ±√(Δ)] / (2a)`。

掌握公式法，能够准确地求解一元二次方程的根。

五、不等式与解集不等式是表示两个数学表达式之间不等关系的一种形式。

它通常用“<”、“>”、“≤”、“≥”等符号表示。

不等式的解集是指满足不等式的所有未知数的值的集合。

理解不等式的性质，掌握不等式解集的表示方法，是求解不等式的基础。

六、一元一次不等式解法一元一次不等式是只含有一个未知数，且未知数的次数为1的不等式。

解一元一次不等式的基本步骤与解一元一次方程类似，包括去分母、去括号、移项、合并同类项等。

但需要注意的是，在解不等式时，当两边同时乘以或除以一个负数时，不等号的方向会发生变化。

初中数学专题复习——方程与不等式一、单选题（共20题；共40分）1.（2020七上·上思月考）一元一次方程x-2=0的解是( )A. x=2B. x=－2C. x=0D. x=12.若关于x的一元二次方程中ax2+bx+c=0有一个根是-1，则下列结论正确的是（）A. a+b+c=1B. a−b+c=0C. a+b+c=0D. a−b+c=−13.（2019七下·哈尔滨期中）满足-1≤x<1的数在数轴上表示为( )．A. B. C. D.4.（2015九上·重庆期末）一元二次方程x2﹣2x=0的根是（）A. x1=0，x2=﹣2B. x1=1，x2=2C. x1=1，x2=﹣2D. x1=0，x2=25.下列式子：① 1＜y＋5；②1＞－2；③3m－1≤4；④a＋2≠a－2中，不等式有( )xA. 2个B. 3个C. 4个D. 1个6.一元二次方程2x2−x+1=0的一次项系数和常数项依次是A. -1和1B. 1和1C. 2和1D. 0和17.一元二次方程-8x-1=0配方后可变形为（）A. =17B. =15C. （x-4）²=17D. =158.（2019九上·港口期中）把方程(x+1)(3x−2)=10化为一元二次方程的一般形式后为（）A. 2x2+3x−10=0B. 2x2−3x+10=0C. 3x2−x+12=0D. 3x2+x−12=09.（2019七上·滕州月考）下列各式中，一元一次方程是（）A. 1+2tB. 1﹣2x＝0C. m2+m＝1D. +1＝310.（2017九上·江津期中）某校进行体操队列训练，原有8行10列，后增加40人，使得队伍增加的行数、列数相同，你知道增加了多少行或多少列吗？设增加了x行或列，则列方程得（）A. (8﹣) (10﹣ )=8×10﹣40 B. (8﹣ )(10﹣ )=8×10+40 C. (8+ )(10+ )=8×10﹣40 D. (8+ )(10+ )=8×10+4011.甲乙两地相距360千米，一轮船往返于甲、乙两地之间，顺水行船用18小时，逆水行船用24小时，若设船在静水中的速度为x 千米/时，水流速度为y 千米/时，则下列方程组中正确的是( )A. {18(x +y )=36024(x −y )=360) B. {18(x +y )=36024(x +y )=360) C. {18(x −y )=36024(x −y )=360) D. {18(x −y )=36024(x +y )=360) 12.用白铁皮做罐头盒，每张铁皮可制盒身10个或制盒底40个，一个盒身与两个盒底配成一套罐头盒，现有120张白铁皮，设用x 张制盒身，y 张制盒底，得方程组（ ）A. {x +y =12040y =16x )B. {x +y =12040y =32x) C. {x +y =12040y =20x ) D. {x +y =12020y =10x) 13.（2020七下·番禺期末）若a<b ，则下列不等式一定成立的是（ ）A. a-5>b-5B. -2a>-2bC. 2a-5>2b-5D. -2a>-3b 14.方程2x (x −1)=4(x −1)的一次项是（ ）A. 2xB. 4xC. −6D. −6x15.若一元一次不等式组 {x ≤7x −1≥m)有解，则m 的取值范围是（ ） A. m≤6 B. m≥6 C. m ＜6 D. m ＞6 16.（2019·盘龙模拟）已知a 是方程x 2-2x-3=0的一个根，则代数式2a 2-4a-1的值为（ ）A. 3B. −4C. 3或 −4D. 5 17.（2017八下·辉县期末）若关于x 的方程 m−1x−2 = x 2−x 有增根，则m 的值为（ ） A. 3 B. 2 C. 1 D. ﹣1 18.若ma=mb ，则下列等式不一定成立的是（ ）A. ma+1=mb+1B. ma ﹣3=mb ﹣3C. a=bD. ﹣2ma ﹣1=﹣2mb ﹣119.不等式组{3x +1>02x <7)的整数解的个数是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 20.（2020·连山模拟）关于 x 的一元二次方程 kx 2−x −2=0 有实数根，则实数 k 的取值范围是（ ）A. k =−18B. k ≥−18C. k ≥−18 且 k ≠0D. k ≤−18二、填空题（共20题；共22分）21.（2017·埇桥模拟）方程2x−1= 3x+2的解是________．22.（2017九上·重庆开学考）方程（x﹣1）2=4的解为________．23.（2019九上·抚顺月考）一元二次方程2x2−3x+1=0的解为________.24.（2018·南京模拟）已知方程x2−x−3=0的两根是x1，x2,则x1+x2=________，x1x2=________．25.若关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+5x+m2﹣3m+2=0的常数项为0，则m的值等于________ ．26.（2018九上·徐闻期中）若一元二次方程x2﹣2x﹣m＝0无实根，则m的取值范围是________．27.（2018七上·柳州期中）方程3x+6=0的解为________28.（2018七上·辛集期末）若关于x的方程x﹣1=1与2x+3m﹣1=0的解相同，则m的值等于________．29.（2020七下·射阳月考）如果a<b，则2a________ a+b.30.（2019七下·红岗期中）从等式ac=bc变形得到a=b，则c必须满足条件________。

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方程与不等式综合复习【考纲要求】1．会从定义上判断方程（组)的类型，并能根据定义的双重性解方程（组）和研究分式方程的增根情况；2．掌握解方程（组)的方法,明确解方程组的实质是“消元降次”、“化分式方程为整式方程”、“化无理式为有理式”;3．理解不等式的性质，一元一次不等式(组）的解法，在数轴上表示解集，以及求特殊解集；4．列方程（组)、列不等式(组)解决社会关注的热点问题；5。

解方程或不等式是中考的必考点，运用方程思想与不等式(组）解决实际问题是中考的难点和热点．【知识网络】【考点梳理】考点一、一元一次方程1。

方程含有未知数的等式叫做方程。

2。

方程的解能使方程两边相等的未知数的值叫做方程的解.3.等式的性质(1）等式的两边都加上(或减去）同一个数或同一个整式，所得结果仍是等式。

（2）等式的两边都乘以（或除以)同一个数（除数不能是零），所得结果仍是等式.4.一元一次方程只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1的整式方程叫做一元一次方程，其中方程0≠=ax叫做一元一次方程的标准形式,a是未知数x的系数，b是常数项。

+bxa为未知数，）（05。

一元一次方程解法的一般步骤整理方程 -- 去分母—- 去括号—- 移项-- 合并同类项——系数化为1-—（检验方程的解).6。

列一元一次方程解应用题(1）读题分析法：多用于“和,差，倍,分问题”仔细读题，找出表示相等关系的关键字,例如：“大，小,多，少，是，共，合，为,完成，增加，减少，配套”，利用这些关键字列出文字等式,并且根据题意设出未知数,最后利用题目中的量与量的关系填入代数式，得到方程。

方程与不等式 【例题讲解】一：不等式1. 不等式的基本性质：（1）不等式的两边都加上（或减去）同一个整式，不等号的方向不改变；（2）不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不改变；（3）不等式的两边都乘以 (或除以)同一个负数，不等号的方向要反向．2. 解一元一次不等式组可以分以下两个步骤：（1）求出这个不等式组中各个不等式的解集。

（2）利用数轴求出这些不等式的解集的公共部分，即求出了这个不等式组的解集，如果各个不等式的解集没有公共部分，这个不等式组无解．（3）注意：在取有两个一元一次不等式组成的解集时，有如下口诀帮助记忆：“大大取大”；“小小取小”；“大小小大中间找”；“大大小小解没了”。

3. 已知不等式（组）的解集，确定不等式（组）中字母的取值范围，有以下四种方法：（1）逆用不等式（组）解集确定；（2）分类讨论确定；（3）从反面求解确定；（4）借助数轴确定。

考点一：不等式的性质例：已知a ＞b,c 为任意实数，则下列不等式中总是成立的是（ ）A.a+c ＜b+cB.a －c ＞b －cC.ac ＜bcD. ac ＞bc举一反三：1. 若0<a<1，则a aa ,1,2按从小到大排列为________ 2. 不等号填空：若a <b <0 ，则5a - 5b -；a 1 b 1；12-a 12-b ． 考点二：用数轴表示不等式的解集例1：在数轴上表示不等式x-1＜0的解集，正确的是( )A B C D例2：如图，数轴上表示某不等式组的解集，则这个不等式组可能是（ ）A.B ．C ．D ．考点三：解不等式或不等式组 例1：下列各数中，为不等式组⎩⎨⎧<->-04032x x 解的是（ ） Ａ．-1 Ｂ．0 Ｃ．2 Ｄ．4例2：已知点M(1－2m ，m －1)关于x 轴的对称点．．．在第一象限，则m 的取值范围在数轴上表示正确的是( )1 0 0.5 1 0 0.5 1 0 0.5 10 0.5 A ． B ． C ． D ．例3：解不等式组（1）27163(1)5x x x x +-⎧⎨-->⎩≥， ①，② （2）⎩⎨⎧+≤-07403＞x x （3）⎪⎩⎪⎨⎧-≥+--x x x ＜x 321334)1(372举一反三：1．不等式组235324x x +<⎧⎨->⎩的解集为 2．34125x +-<≤的整数解为 3．三角形三边长分别为4，1-2a ，7，则a 的取值范围是4. 已知关于x 、y 的方程组⎩⎨⎧-=++=+m y x m y x 12312的解x 、y 满足0y ＜x +，则m 的取值范围是（ ） A 、m ＞－1 B 、m ＞1 C 、m ＜－1 D 、m ＜1考点四：已知不等式（组）的解集，确定不等式（组）中字母的取值范围例1：若关于x 的一元一次不等式组0122x a x x ->⎧⎨->-⎩无解，则a 的取值范围是（ ） A ．a≥1 B ．a>1 C ．a≤-1 D ．a<-1例2：如果关于x 的不等式(a +1)x >a +1的解集为x <1，则a 的取值范围是（ ）A. a <0B.a <-1C.a >1D.a >-1例3：已知关于x 的不等式组的整数解共有6个，则a 的取值范围是 _____ ．例4：关于x 的不等式组的解集为x ＜2，则a 的取值范围是（ ） A.a≤﹣2B.a≥﹣2C.a≤2D.a≥2举一反三：1.已知不等式ax b <的解集为b x a>，则有（ ） A. 0a < B. 0a > C. 0,0a b << D. 0,0a b >>2. 如果不等式组8x x m <⎧⎨>⎩无解，那么m 的取值范围是（ ） A. 8m > B. 8m ≥ C. 8m < D. 8m ≤ 3. 关于x 的方程(3k+1)x=3的解为正数，则k 的取值范围是（ ）A . k>-31 B.K<-31 C. K>0 D. K<0 4. 关于x 的方程3k-5x=9的解是非负数，则k 的取值范围是【课堂训练】1. 如果a .b 表示两个负数，且a ＜b ，则( )．A.1>b aB.b a ＜1C.b a 11<D. ab ＜12. a.b 是有理数，下列各式中成立的是( )．A. 若a ＞b ，则a 2＞b 2B. 若a 2＞b 2，则a ＞bC. 若a ≠b ，则｜a ｜≠|b |D. 若｜a ｜≠|b |，则a ≠b3. 已知关于x 的不等式2＜x a )1(-的解集为x ＜a -12，则a 的取值范围是（ ）． A.a ＞0 B.a ＞1 C.a ＜0 D.a ＜14. 已知关于x 的不等式组无解，则a 的取值范围是 _________ ．5. 解不等式（1）⋅-->+22531x x （2）⋅-≥--+612131y y y（3）()⎪⎩⎪⎨⎧≤-->+13121223x x x （4）()⎪⎩⎪⎨⎧+-<-+<-1413158.35.03.04x x x x二：一元二次方程考点1：一元二次方程的概念只含一个未知数，并且未知数的最高次数是2，这样的整式方程叫做一元二次方程。

（二）中考总复习：方程与不等式综合复习责编：陆海霞知识点1 一元一次方程及其解法方程：一元一次方程：一般式：方程的解：等式的基本性质：（1）（2）一元一次方程的解法步骤：知识点2 二元一次方程（组）及其解法二元一次方程（解）：二元一次方程组（解）：基本思想：解法：（1）代入消元法（2）加减消元法知识点3 一次方程（组）的应用一般步骤：列一元一次方程解应用题：(1)读题分析法：多用于“和，差，倍，分问题”关键字，例如：“大，小，多，少，是，共，合，为，完成，增加，减少，配套”(2)画图分析法：多用于“行程问题”常用公式：(1)行程问题：相向而遇：同向追及（甲追乙）(2)工程问题：(3)比率问题：(4)顺逆流问题（水中航行）：(5)商品价格问题：增长（下降）率问题：配套问题：打折销售问题：(6)周长、面积、体积问题：知识点4 不等式及其性质1.不等式的概念（1）不等式（2）不等式的解集（3）解不等式2.不等式基本性质（1）（2）（3）3.一元一次不等式（1）一元一次不等式的概念（2）一元一次不等式的解法解一元一次不等式的一般步骤：4.一元一次不等式组（1）一元一次不等式组的概念（2）一元一次不等式组的解法知识点5 分式方程及其解法1.分式方程2.解分式方程的步骤3.增根的产生知识点6 分式方程的应用行程问题：工程问题：购买（盈利）问题：知识点7 一元二次方程及其解法1.一元二次方程2.一元二次方程的一般形式3.一元二次方程的解法4.一元二次方程根的判别式5.一元二次方程根与系数的关系。

12-13下学期初三数学总复习《方程（组）与不等式（组）》主备人：汤恒星本章教学分析一、本章教学目标1、方程（组）、一次方程（组）、一次不等式（组）、分式方程的概念及解法2、用方程（组）解决实际问题二、本章教学重难点重点：目标1,2难点：目标2三、学情分析初三复习阶段，学生对本部分内容有接触，但是遗忘比较多，教师在复习的过程中应加强基本技能的训练，适当加以示范。

四、课时安排（共计10 课时）第1节：2课时第2节：2课时第3节：2课时第4节：2课时测评及讲解：2课时五、章节测试命题人安排：汤恒星第一节 一次方程（组）及其应用（2课时）教学目标：1．方程、一元一次方程、方程的解、一元一次方程的解法；2．二元一次方程、二元一次方程组、二元一次方程的解、二元一次方程的解法、利用方程解决生活中的实际问题3. 用一元一次方程和二元一次方程组解决实际问题；4 数学思想方法：消元教学重难点：教学重点：一元一次方程解法、二元一次方程组的解法、用一元一次方程和二元一次方程组解决实际问题难点：用一元一次方程和二元一次方程组解决实际问题教学过程：一、知识点（1） 方程：含有未知数的等式（2） 等式性质：1、等式两边分别加上或减去一个数字或式子，结果仍然是等式；2、等式两边分别乘以或除以一个不为0的数，结果仍然是等式；（3） 方程的解：使方程左右两边相等的未知数的值（4） 一元一次方程的解法：去分母、去括号、移项、合并、系数化为1（5） 二元一次方程：含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的整式方程为二元一次方程（6） 二元一次方程组：把具有相同未知数的两个二元一次方程合在一起就组成了一个二元一次方程组（7） 二元一次方程组的解：一般地，能使二元一次方程组的两个方程左右两边的值都相等的一对未知数的值，叫做二元一次方程组的解，即二元一次方程组中方程的公共解。

（8） 二元一次方程组的解法：（1）代入消元法：多适用于方程组中有一个未知数的系数是1或-1的情形；（2）加减消元法：多适用于方程组中的两个方程中相同未知数的系数相同或互为相反数的情形（9） 列方程（组）解应用题的一般步骤二、例题精讲例1．下列方程组中，是二元一次方程组的是（ ） ⎪⎩⎪⎨⎧=+=+65115y x y x ⎩⎨⎧-=+=+2102y x y x ⎩⎨⎧==+158xy y x ⎩⎨⎧=+=31y x xA. B. C. D.例2．在 中，用x 的代数式表示y ，则y=______________．例3．（1）解方程.x x +--=21152156（2）解二元一次方程组⎩⎨⎧=+=+27271523y x y x 例4．已知a 、b 、c 满足⎩⎨⎧=+-=-+02052c b a c b a ，则a ：b ：c= ． 例5．已知x =-2是关于x 的方程()x m x m -=-284的解，求m 的值．例6．某电厂规定该厂家属区的每户居民如果一个月的用电量不超过A 度，那么这个月这户只需交 10 元用电费，如果超过 A 度，则这个月除了仍要交 10 元用电费外，超过部分还要按每度 0.5 元交费．①该厂某户居民 2 月份用电 90 度，超过了规定的 A 度，则超过部分应该交电费多少元（用 A 表示）？ ．②右表是这户居民 3 月、4 月的用电情况和交费情况：根据右表数据，求电厂规定A 度为 ．三、当堂检测1.若关于x 的方程x k =-153的解是x =-3，则k =_________． 2．解下列方程（组）： （1）x x -+=-2114135；（2）⎩⎨⎧=+=+832152y x y x 3．当x =-2时，代数式x bx +-22的值是12，求当x =2时，这个代数式的值．4．应用方程解下列问题：初一（4）班课外乒乓球组买了两副乒乓球板，若每人付9元，则多了5元，后来组长收了每人8元，自己多付了2元，问两副乒乓球板价值多少？四、小结（1）方程的相关概念（2）一次方程（组）的解法（3）用一次方程（组）解应用题五、作业：试题研究教学反思：032=-+y x第二节 一元二次方程及其应用（第2课时）教学目标：1．一元二次方程的相关概念及解法；2. 根的判别式、根与系数的关系3. 用一元二次方程解决实际问题教学重难点：教学重点：一元二次方程的相关概念及解法、根的判别式、根与系数的关系、用一元二次方程解决实际问题难点：根的判别式、根与系数的关系、用一元二次方程解决实际问题教学过程：五、 知识点1. 一元二次方程的概念及一般形式：ax 2+bx +c =0 (a ≠0)2. 一元二次方程的解法：①直接开平方法②配方法③公式法④因式分解法3．求根公式：当b 2-4ac ≥0时，一元二次方程ax 2+bx +c =0 (a ≠0)的两根为4．根的判别式： 当b 2-4ac ＞0时，方程有 实数根．当b 2-4ac=0时， 方程有 实数根．当b 2-4ac ＜0时，方程 实数根．5.（1）增长率问题；（2）利润问题二、例题精讲例1．选用合适的方法解下列方程：(1) (x-15)2-225=0； (2) 3x 2－4x －1＝0（用公式法）；(3) 4x 2－8x ＋1＝0（用配方法）； （4）x 2+22x=0 例2 ．已知一元二次方程0437122=-+++-m m mx x m ）（有一个根为零，求m 的值．例3．用22cm 长的铁丝，折成一个面积是30㎝2的矩形，求这个矩形的长和宽.又问：能否折成面积是32㎝2的矩形呢？为什么？三、当堂检测一、填空1．下列是关于x 的一元二次方程的有_______ ①02x 3x12=-+ aac b b x 242-±-=②01x 2=+③)3x 4)(1x ()1x 2(2--=- ④06x 5x k 22=++ ⑤021x x 2432=-- ⑥0x 22x 32=-+2．一元二次方程3x 2=2x 的解是 ．3．一元二次方程(m-2)x 2+3x+m 2-4=0有一解为0，则m 的值是 ．4．已知m 是方程x 2-x-2=0的一个根，那么代数式m 2-m = ．5．关于x 的一元二次方程kx 2+2x －1=0有两个不相等的实数根, 则k 的取值范围是__________．6．如果关于的一元二次方程的两根分别为3和4，那么这个一元二次方程可以是 ．三、解下方程：(1)(x+5)(x-5)=7 (2)x(x-1)=3-3x(3)x 2-4x-4=0 (4)x 2+x-1=0四、小结（1）一元二次方程的相关概念及解法；（2）根的判别式及根与系数关系；（3）用一次方程（组）解应用题五、作业：试题研究 教学反思：第三节 分式方程及其应用（2课时）教学目标：1、分式方程的相关概念及解法2. 了解分式方程产生增根的原因，会判断所求得的根是否是分式方程的增根．3. 列分式方程解决实际问题教学重点：目标1,2,3难点：目标2,3教学过程：一、知识点1.分式方程：分母中含有1个未知数的方程叫做分式方程2.解分式方程的步骤：去分母转化为整式方程，解整式方程，再将整式方程的解代入最公分母中，判断整式方程的解是否为分式方程的增根二、例题精讲例1：（1）013522=--+xx x x （2）41622222-=-+-+-x x x x x 例2 若分式方程xx k x --=+-2321有增根，则k 为（ ） A. 2 B.1 C. 3 D.-2三、当堂检测1.解分式方程． (1)22011x x x -=+- (2) x2)3(x 22x x -=--；(3) 11322x x x -=--- (4)11-x 1x 1x 22=+-- 2. 一列列车自2004年全国铁路第5次大提速后，速度提高了26千米/时，现在该列车从甲站到乙站所用的时间比原来减少了1小时，已知甲、乙两站的路程是312千米，若设列车提速前的速度是x 千米，则根据题意所列方程正确的是( )A. B.C. D.四、小结（1）解分式方程要注意检验（2）增根是把分式方程转化为整式方程的解五、作业：试题研究教学反思：第四节 一元一次不等式（组）及其应用（2课时） 教学目标：1、 不等式（组）的定义及解法2、 不等式的性质3、 不等式的解集在数轴上表示4、 用不等式解应用题教学重难点：教学重点：目标1,2,3难点：目标4教学过程：一、知识点1.定义：用不等号连接起来的式子2.解集：一个含有未知数的不等式的所有的解的集合3.解集在数轴上表示：（略）4.性质：（1）不等式的两边都加上（或减去）同一个数或整式，不等号的方向不变，即若,b a <则c b c a ±<±（2）不等式的两边都乘以（或除以）同一个整数，不等号的方向不变，即若,b a <且0c >，则bc ac <（或cb c a <） （3）不等式的两边都乘以（或除以）同一个整数，不等号的方向不变，即若,b a <且0c <，则bc ac >（或c b c a >） 二、例题精讲例1.如图所示，O 是原点，实数a 、b 、c 在数轴上对应的点分别为A 、B 、C ，则下列结论错误的是（ ）A. 0b a >-B. 0ab <C. 0b a <+D.例2. 不等式112x ->的解集是（ ） Ａ．12x >- Ｂ．2x >- Ｃ．2x <- Ｄ．12x <- 例3. 把不等式组21123x x +>-⎧⎨+⎩≤的解集表示在数轴上，下列选项正确A ．B ．C ．D ．BA O C 0)c a(b >-1 0 1- 10 1- 1 0 1- 10 1-例4. 不等式组221x x -⎧⎨-<⎩≤的整数解共有（ ） A ．3个 B ．4个 C ．5个 D ．6个例6.若关于x 的不等式x －m ≥－1的解集如图所示，则m 等于（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3 例7.解不等式组：（1）21113x x x +<⎧⎪⎨-≥⎪⎩ （2）⎪⎩⎪⎨⎧+<+->+)6(3)4(4,5351x x x x 【当堂检测】1.苹果的进价是每千克3.8元，销售中估计有5%的苹果正常损耗．为避免亏本，商家把售价应该至少定为每千克 元．2. 解不等式723<-x ，将解集在数轴上表示出来，并写出它的正整数解．3. 解不等式组⎪⎩⎪⎨⎧-<+--+≥+224313322x x x x ，并把它的解集在数轴上表示出来．4. 我市某镇组织20辆汽车装运完A 、B 、C 三种脐橙共100吨到外地销售．按计划，20辆汽车都要装运，每辆汽车只能装运同一种脐橙，且必须装满．根据下表提供的信息，解答以下问题：（1）设装运y ，求y 与x 之间的函数关系式；（2）如果装运每种脐橙的车辆数都不少于4辆，那么车辆的安排方案有几种？并写出每种安排方案；（3）若要使此次销售获利最大，应采用哪种安排方案？并求出最大利润的值．四、小结（1）解不等式时左右两边同时乘以负数时，不等号方向要改变（2）列不等式解应用题是要主要“至少、最多、不低于、不大于、高于”等字样的理解五、作业：试题研究教学反思：欢迎您的下载，资料仅供参考！致力为企业和个人提供合同协议，策划案计划书，学习课件等等打造全网一站式需求。

中考总复习：方程与不等式综合复习—知识讲解及经典例题解析【考纲要求】1．会从定义上判断方程(组)的类型，并能根据定义的双重性解方程(组)和研究分式方程的增根情况；2．掌握解方程(组)的方法，明确解方程组的实质是“消元降次”、“化分式方程为整式方程”、“化无理式为有理式”；3．理解不等式的性质，一元一次不等式(组)的解法，在数轴上表示解集，以及求特殊解集；4．列方程(组)、列不等式(组)解决社会关注的热点问题；5. 解方程或不等式是中考的必考点，运用方程思想与不等式(组)解决实际问题是中考的难点和热点．【知识网络】【考点梳理】考点一、一元一次方程1.方程含有未知数的等式叫做方程.2.方程的解能使方程两边相等的未知数的值叫做方程的解.3.等式的性质（1）等式的两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，所得结果仍是等式.（2）等式的两边都乘以（或除以）同一个数（除数不能是零），所得结果仍是等式.4.一元一次方程只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1的整式方程叫做一元一次方程，其中方程）为未知数，（0a x 0≠=+b ax 叫做一元一次方程的标准形式，a 是未知数x 的系数，b 是常数项. 5.一元一次方程解法的一般步骤整理方程 —— 去分母—— 去括号—— 移项—— 合并同类项——系数化为1——(检验方程的解).6.列一元一次方程解应用题(1)读题分析法：多用于“和，差，倍，分问题”仔细读题，找出表示相等关系的关键字，例如：“大，小，多，少，是，共，合，为，完成，增加，减少，配套”，利用这些关键字列出文字等式，并且根据题意设出未知数，最后利用题目中的量与量的关系填入代数式，得到方程.(2)画图分析法：多用于“行程问题”利用图形分析数学问题是数形结合思想在数学中的体现，仔细读题，依照题意画出有关图形，使图形各部分具有特定的含义，通过图形找相等关系是解决问题的关键，从而取得布列方程的依据，最后利用量与量之间的关系(可把未知数看作已知量)，填入有关的代数式是获得方程的基础. 要点诠释：列方程解应用题的常用公式：(1)行程问题： 距离=速度×时间 时间距离速度= 速度距离时间=； (2)工程问题： 工作量=工效×工时 工时工作量工效=工效工作量工时=； (3)比率问题： 部分=全体×比率 全体部分比率= 比率部分全体=；(4)顺逆流问题： 顺流速度=静水速度+水流速度，逆流速度=静水速度-水流速度； (5)商品价格问题： 售价=定价·折·101，利润=售价-成本， %100⨯-=成本成本售价利润率；(6)周长、面积、体积问题：C 圆=2πR ，S 圆=πR 2，C 长方形=2(a+b)，S 长方形=ab ， C 正方形=4a ，S 正方形=a 2，S 环形=π(R 2-r 2)，V 长方体=abh ，V 正方体=a 3，V 圆柱=πR 2h ，V 圆锥=31πR 2h.考点二、一元二次方程 1.一元二次方程含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程. 2.一元二次方程的一般形式)0(02≠=++a c bx ax ，它的特征是：等式左边是一个关于未知数x 的二次多项式，等式右边是零，其中2ax 叫做二次项，a 叫做二次项系数；bx 叫做一次项，b 叫做一次项系数；c 叫做常数项. 3.一元二次方程的解法（1）直接开平方法利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法.直接开平方法适用于解形如b a x =+2)(的一元二次方程.根据平方根的定义可知，a x +是b 的平方根，当0≥b 时，b a x ±=+，b a x ±-=，当b<0时，方程没有实数根.（2）配方法配方法是一种重要的数学方法，它不仅在解一元二次方程上有所应用，而且在数学的其他领域也有着广泛的应用.配方法的理论根据是完全平方公式2222()a ab b a b ±+=±，把公式中的a 看做未知数x ，并用x 代替，则有222)(2b x b bx x ±=+±.（3）公式法公式法是用求根公式求一元二次方程的解的方法，它是解一元二次方程的一般方法.一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的求根公式：21,240)2b x b ac a-±=-≥ （4）因式分解法因式分解法就是利用因式分解的手段，求出方程的解的方法，这种方法简单易行，是解一元二次方程最常用的方法.4.一元二次方程根的判别式一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 中，ac b 42-叫做一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的根的判别式，通常用“∆”来表示，即ac b 42-=∆. 5.一元二次方程根与系数的关系如果方程)0(02≠=++a c bx ax 的两个实数根是21x x ，，那么ab x x -=+21，a cx x =21.也就是说，对于任何一个有实数根的一元二次方程，两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商. 要点诠释：一元二次方程的解法中直接开平方法和因式分解法是特殊方法，比较简单，但不是所有的一元二次方程都能用这两种方法去解，配方法和公式法是普通方法，一元二次方程都可以用这两种方法去解.（1）判断一个方程是不是一元二次方程，应把它进行整理，化成一般形式后再进行判断，注意一元二次方程一般形式中0≠a .（2）用公式法和因式分解的方法解方程时要先化成一般形式. （3）用配方法时二次项系数要化1.（4）用直接开平方的方法时要记得取正、负.考点三、分式方程 1.分式方程分母里含有未知数的方程叫做分式方程. 2.解分式方程的一般方法解分式方程的思想是将“分式方程”转化为“整式方程”.它的一般解法是：①去分母，方程两边都乘以最简公分母；②解所得的整式方程；③验根：将所得的根代入最简公分母，若等于零，就是增根，应该舍去；若不等于零，就是原方程的根.口诀：“一化二解三检验”.3.分式方程的特殊解法换元法：换元法是中学数学中的一个重要的数学思想，其应用非常广泛，当分式方程具有某种特殊形式，一般的去分母不易解决时，可考虑用换元法.要点诠释：解分式方程时，有可能产生增根，增根一定适合分式方程转化后的整式方程，但增根不适合原方程，可使原方程的分母为零，因此必须验根．增根的产生的原因：对于分式方程，当分式中，分母的值为零时，无意义，所以分式方程，不允许未知数取那些使分母的值为零的值，即分式方程本身就隐含着分母不为零的条件.当把分式方程转化为整式方程以后，这种限制取消了，换言之，方程中未知数的值范围扩大了，如果转化后的整式方程的根恰好是原方程未知数的允许值之外的值，那么就会出现增根.考点四、二元一次方程（组）1.二元一次方程含有两个未知数，并且未知项的最高次数是1的整式方程叫做二元一次方程，它的一般形式是ax+by=c(a≠0，b≠0).2.二元一次方程的解使二元一次方程左右两边的值相等的一对未知数的值，叫做二元一次方程的一个解.3.二元一次方程组两个（或两个以上）二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组.4.二元一次方程组的解使二元一次方程组的两个方程左右两边的值都相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程组的解.5.二元一次方程组的解法①代入消元法；②加减消元法.6.三元一次方程（组）（1）三元一次方程把含有三个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的整式方程叫三元一次方程.（2）三元一次方程组由三个（或三个以上）一次方程组成，并且含有三个未知数的方程组，叫做三元一次方程组.要点诠释：二元一次方程组的解法：消元：将未知数的个数由多化少，逐一解决的想法，叫做消元思想.（1）代入消元法：将一个未知数用含有另一个未知数的式子表示出来，再代入另一个方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解，这种方法叫做代入消元法，简称代入法.（2）加减消元法：当两个方程中同一未知数的系数相反或相等时，将两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，这种方法叫做加减消元法，简称加减法.（3）二元一次方程组的解有三种情况，即有唯一解、无解、无限多解．教材中主要是研究有唯一解的情况，对于其他情况，可根据学生的接受能力给予渗透．考点五、不等式（组）1.不等式的概念（1）不等式用不等号表示不等关系的式子，叫做不等式.（2）不等式的解集对于一个含有未知数的不等式，任何一个适合这个不等式的未知数的值，都叫做这个不等式的解.对于一个含有未知数的不等式，它的所有解的集合叫做这个不等式的解的集合，简称这个不等式的解集.求不等式的解集的过程，叫做解不等式.2.不等式基本性质（1）不等式两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号的方向不变；（2）不等式两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；（3）不等式两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变.3.一元一次不等式（1）一元一次不等式的概念一般地，不等式中只含有一个未知数，未知数的次数是1，且不等式的两边都是整式，这样的不等式叫做一元一次不等式.（2）一元一次不等式的解法解一元一次不等式的一般步骤：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤将x项的系数化为1.4.一元一次不等式组（1）一元一次不等式组的概念几个一元一次不等式合在一起，就组成了一个一元一次不等式组.几个一元一次不等式的解集的公共部分，叫做它们所组成的一元一次不等式组的解集.求不等式组的解集的过程，叫做解不等式组.当任何数x都不能使不等式同时成立，我们就说这个不等式组无解或其解为空集.（2）一元一次不等式组的解法①分别求出不等式组中各个不等式的解集；②利用数轴求出这些不等式的解集的公共部分，即这个不等式组的解集.由两个一元一次不等式组成的一元一次不等式组的解集的四种情况如下表．注：不等式有等号的在数轴上用实心圆点表示.要点诠释：用符号“＜”“＞”“≤ ”“≥”“≠”表示不等关系的式子，叫做不等式.（1）不等式的其他性质：①若a ＞b ，则b ＜a ；②若a ＞b ，b ＞c ，则a ＞c ；③若a ≥b ，且b ≥a ，•则a=b ；④若a 2≤0，则a=0；⑤若ab ＞0或0a b >，则a 、b 同号；⑥若ab ＜0或0ab<，则a 、b 异号. （2）任意两个实数a 、b 的大小关系：①a -b ＞O ⇔a ＞b ；②a -b=O ⇔a=b ；③a-b ＜O ⇔a ＜b ．不等号具有方向性，其左右两边不能随意交换：但a ＜b 可转换为b ＞a ，c ≥d 可转换为d ≤c .【典型例题】类型一、方程的综合运用1．如图所示，是在同一坐标系内作出的一次函数y 1、y 2的图象1l 、2l ，设111y k x b =+，222y k x b =+，则方程组111222,y k x b y k x b =+⎧⎨=+⎩的解是( )不等式组 （其中a ＞b ）图示 解集 口诀x ax b >⎧⎨>⎩ bax a > （同大取大）x ax b <⎧⎨<⎩ b ax b <（同小取小） x ax b <⎧⎨>⎩ bab x a << （大小取中间）x ax b >⎧⎨<⎩ba无解 （空集） （大大、小小找不到）A ．2,2x y =-⎧⎨=⎩ B ．2,3x y =-⎧⎨=⎩ C ．3,3x y =-⎧⎨=⎩ D ．3,4x y =-⎧⎨=⎩【思路点拨】图象1l 、2l 的交点的坐标就是方程组的解. 【答案】B ；【解析】由图可知图象1l 、2l 的交点的坐标为(-2，3)，所以方程组111222,y k x b y k x b =+⎧⎨=+⎩的解为2,3.x y =-⎧⎨=⎩【总结升华】方程组与函数图象结合体现了数形结合的数学思想，这也是中考所考知识点的综合与相互渗透．2．近年来，由于受国际石油市场的影响，汽油价格不断上涨．请你根据下面的信息，帮小明计算今年5月份汽油的价格．如图所示．【思路点拨】根据“用150元给汽车加油今年比去年少18.75升”列方程. 【答案与解析】解：设今年5月份汽油价格为x 元/升，则去年5月份的汽油价格为(x-1.8)元/升．根据题意，得15015018.751.8x x-=-，整理，得21.814.40x x --=．解这个方程，得x 1＝4.8，x 2＝-3．经检验两根都为原方程的根，但x 2＝-3不符合实际意义，故舍去． 【总结升华】解题的关键是从对话中挖掘出有效的数学信息，构造数学模型，从而解决问题，让同学们更进一步地体会到数学就在我们身边．类型二、解不等式（组）3．已知A ＝a+2，B ＝a 2-a+5，C ＝a 2+5a-19，其中a ＞2． (1)求证：B-A ＞0，并指出A 与B 的大小关系； (2)指出A 与C 哪个大?说明理由． 【思路点拨】计算B-A 结果和0比大小，从而判断A 与B 的大小；同理计算C-A ，根据结果来比较A 与C 的大小． 【答案与解析】(1)证明：B-A ＝a 2-2a+3＝(a-1)2+2．∵ a ＞2，∴ (a-1)2＞0，∴ (a-1)2+2＞0．∴ a 2-2a+3＞0，即B-A ＞0． 由此可得B ＞A ．(2)解：C-A ＝a 2+4a-21＝(a+7)(a-3)． ∵ a ＞2，∴ a+7＞0．当2＜a ＜3时，a-3＜0， ∴ (a+7)(a-3)＜0．∴ 当2＜a ＜3时，A 比C 大；当a ＝3时，a-3＝0， ∴ (a+7)(a-3)＝0．∴ 当a ＝3时，A 与C 一样大；当a ＞3时，a-3＞0， ∴ (a+7)(a-3)＞0．∴ 当a ＞3时，C 比A 大． 【总结升华】比较大小通常用作差法，结果和0比大小，此时常常用到因式分解或配方法. 本题考查了整式的减法、十字相乘法分解因式，渗透了求差比较大小的思路及分类讨论的思想． 举一反三：【变式1】已知：A=222+-a a ，B=2, C=422+-a a ,其中1>a .(1)求证：A-B>0； (2)试比较A 、B 、C 的大小关系，并说明理由. 【答案】（1）A-B=222222(21)a a a a a a -+-=-=- ∵1>a ，∴0,210a a >-> ∴A-B>0(2) ∵C-B=22224222(1)10a a a a a -+-=-+=-+> ∴C>B∵A-C=22222242(2)(1)a a a a a a a a -+-+-=+-=+- ∵1>a ，∴20,10a a +>-> ∴A>C>B【变式2】如图，要使输出值y 大于100，则输入的最小正整数x 是______．【答案】解：设n 为正整数，由题意得 ⎩⎨⎧>+⨯>-.1001342,100)12(5n n 解得⋅>887n 则n 可取的最小正整数为11．若x 为奇数，即x ＝21时，y ＝105； 若x 为偶数，即x ＝22时，y ＝101． ∴满足条件的最小正整数x 是21．类型三、方程（组）与不等式（组）的综合应用4．宏志高中高一年级近几年来招生人数逐年增加，去年达到550名，其中有面向全省招收的“宏志班”学生，也有一般普通班的学生．由于场地、师资等限制，今年招生最多比去年增加100人，其中普通班学生可多招20%，“宏志班”学生可多招10%，问今年最少可招收“宏志班”学生多少名? 【思路点拨】根据招生人数列等式，根据今年招生最多比去年增加100人列不等式. 【答案与解析】设去年招收“宏志班”学生x 名，普通班学生y 名，由条件得550,10%20%100.x y x y +=⎧⎨+≤⎩将y ＝550-x 代入不等式，可解得x ≥100，于是(1+10%)x ≥110． 故今年最少可招收“宏志班”学生110名． 【总结升华】本题属于列方程与不等式组综合题. 举一反三：【变式】为了加强学生的交通安全意识，某中学和交警大队联合举行了“我当一日小交警”活动，星期天选派部分学生到交通路口值勤，协助交通警察维持交通秩序，若每一个路口安排4人，那么还剩下78人；若每个路口安排8人，那么最后一个路口不足8人，但不少于4人．求这个中学共选派值勤学生多少人?共有多少个交通路口安排值勤?【答案】设这个学校选派值勤学生x 人，共到y 个交通路口值勤．根据题意得478,48(1)8.x y x y -=⎧⎨≤--<⎩①②由①可得x ＝4y+78，代入②，得4≤78+4y-8(y-1)＜8，解得19.5＜y ≤20.5．根据题意y 取20，这时x 为158，即学校派出的是158名学生，分到了20个交通路口安排值勤．5．已知关于x 的一元二次方程 2(2)(1)0m x m x m ---+=.（其中m 为实数） （1）若此方程的一个非零实数根为k ， ① 当k = m 时，求m 的值；② 若记1()25m k k k+-+为y ，求y 与m 的关系式；（2）当14＜m ＜2时，判断此方程的实数根的个数并说明理由. 【思路点拨】（1）由于k 为此方程的一个实数根，故把k 代入原方程，即可得到关于k 的一元二次方程，①把k=m 代入关于k 的方程，即可求出m 的值；②由于k 为原方程的非零实数根，故把方程两边同时除以k ，便可得到关于y 与m 的关系式； （2）先求出根的判别式，再根据m 的取值范围讨论△的取值即可． 【答案与解析】（1）∵ k 为2(2)(1)0m x m x m ---+=的实数根，∴ 2(2)(1)0m k m k m ---+=.※① 当k = m 时，∵ k 为非零实数根，∴ m ≠ 0，方程※两边都除以m ，得(2)(1)10m m m ---+=.整理，得 2320m m -+=.解得 11m =，22m =.∵ 2(2)(1)0m x m x m ---+=是关于x 的一元二次方程， ∴ m ≠ 2. ∴ m= 1.② ∵ k 为原方程的非零实数根，∴ 将方程※两边都除以k ，得(2)(1)0mm k m k---+=. 整理，得 1()21m k k m k +-=-.∴ 1()254y m k k m k=+-+=+.（2）解法一：22[(1)]4(2)3613(2)1m m m m m m m ∆=----=-++=--+ .当14＜m ＜2时，m ＞0，2m -＜0.∴ 3(2)m m --＞0，3(2)1m m --+＞1＞0，Δ＞0.∴ 当14＜m ＜2时，此方程有两个不相等的实数根.解法二：直接分析14＜m ＜2时，函数2(2)(1)y m x m x m =---+的图象，∵ 该函数的图象为抛物线，开口向下，与y 轴正半轴相交，∴ 该抛物线必与x 轴有两个不同交点.∴ 当14＜m ＜2时，此方程有两个不相等的实数根.解法三：222[(1)]4(2)3613(1)4m m m m m m ∆=----=-++=--+.结合23(1)4m ∆=--+关于m 的图象可知，（如图）当14＜m ≤1时，3716＜∆≤4； 当1＜m ＜2时，1＜∆＜4.∴ 当14＜m ＜2时，∆＞0.∴ 当14＜m ＜2时，此方程有两个不相等的实数根. 【总结升华】和一元二次方程的根有关的问题往往可以借助于二次函数图象解决，数形结合使问题简化. 举一反三：【变式1】已知关于x 的一元二次方程2x 2+4x+k ﹣1=0有实数根，k 为正整数．（1）求k 的值（2）当此方程有两个非零的整数根时，将关于x 的二次函数y=2x 2+4x+k ﹣1的图象向右平移1个单位，向下平移2个单位，求平移后的图象的解析式．【答案】解：（1）∵方程2x 2+4x+k ﹣1=0有实数根，∴△=42﹣4×2×（k ﹣1）≥0，∴k≤3．又∵k 为正整数，∴k=1或2或3．（2）当此方程有两个非零的整数根时，当k=1时，方程为2x 2+4x=0，解得x 1=0，x 2=﹣2；不合题意，舍去．当k=2时，方程为2x 2+4x+1=0，解得x 1=﹣1+，x 2=﹣1﹣；不合题意，舍去． 当k=3时，方程为2x 2+4x+2=0，解得x 1=x 2=﹣1；符合题意．因此y=2x 2+4x+2的图象向右平移1个单位，向下平移2个单位，得出y=2x 2﹣2．【变式2】已知：关于x 的方程()0322=-+-+k x k x （1）求证：方程()0322=-+-+k x k x 总有实数根；（2）若方程()0322=-+-+k x k x 有一根大于5且小于7，求k 的整数值； (3)在⑵的条件下，对于一次函数b x y +=1和二次函数2y =()322-+-+k x k x ，当71<<-x 时，有21y y >，求b 的取值范围．【答案】⑴证明：∵△=(k －2)2－4(k －3)=k 2－4k +4－4k +12= k 2－8k +16=(k －4)2≥0∴此方程总有实根。

中考总复习：方程与不等式综合复习知识讲解方程与不等式综合复考纲要求：1.判断方程（组）类型，解方程（组），研究分式方程的增根情况。

2.掌握解方程（组）的方法，实质是“消元降次”，“化分式方程为整式方程”，“化无理式为有理式”。

3.理解不等式的性质，掌握一元一次不等式（组）的解法，在数轴上表示解集，求特殊解集。

4.列方程（组），列不等式（组）解决社会关注的热点问题。

5.解方程或不等式是中考的必考点，运用方程思想与不等式（组）解决实际问题是中考的难点和热点。

知识网络：考点一、一元一次方程1.方程是含有未知数的等式。

2.方程的解是能使方程两边相等的未知数的值。

3.等式有两个重要性质：两边加上（或减去）同一个数或同一个整式，仍是等式；两边乘以（或除以）同一个数（除数不能是零），仍是等式。

4.一元一次方程是只含有一个未知数，未知数的最高次数是1的整式方程，标准形式为ax + b = 0（a ≠ 0），其中a是未知数x的系数，b是常数项。

5.一元一次方程解法的一般步骤为整理方程，去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1，检验方程的解。

6.列一元一次方程解应用题有两种方法：读题分析法和画图分析法。

其中，读题分析法多用于“和，差，倍，分问题”，画图分析法多用于“行程问题”。

要点诠释：列方程解应用题的常用公式：1.行程问题：距离 = 速度 ×时间，速度 = 距离 ÷时间。

2.工程问题：工作量 = 工效 ×工时，工效 = 工作量 ÷工时。

3.比率问题：部分 = 全体 ×比率，比率 = 部分 ÷全体。

任何一个有实数根的一元二次方程，其两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数的相反数，两根之积等于常数项除以二次项系数。

虽然直接开平方法和因式分解法是解一元二次方程的特殊方法，但并不是所有的一元二次方程都能用这两种方法解决。

普通方法包括配方法和公式法，适用于所有的一元二次方程。