高中物理之平抛运动和斜面组合模型及其应用

·当平抛遇到斜面斜面上的平抛问题是一种常见的题型，本文通过典型例题的分析，希望能帮助大家突破思维障碍，找到解决办法。

一．物体的起点在斜面外，落点在斜面上1.求平抛时间例1.如图1, 以v 0＝ m/s 的水平初速度抛出的物体, 飞行一段时间后, 垂直地撞在倾角θ为30°的斜面上, 求物体的飞行时间解: 由图2知，在撞击处：(tan 30y v v =︒, ∴3y v t g==s.2.求平抛初速度例2.如图3，在倾角为370的斜面底端的正上方H 处，平抛一小球，该小球垂直打在斜面上的一点，求小球抛出时的初速度。

解：小球水平位移为0x v t =，竖直位移为212y gt =由图3可知，20012tan 37H gt v t-=， 《又0tan 37v gt =， 解之得：0153gH v =. 点评：以上两题都要从速度关系入手，根据合速度和分速度的方向（角度）和大小关系进行求解。

而例2中还要结合几何知识，找出水平位移和竖直位移间的关系，才能解出最终结果。

3.求平抛物体的落点例3．如图4，斜面上有a 、b 、c 、d 四个点，ab =bc =cd 。

从a 点正上方的O 点以速度v 0水平抛出一个小球，它落在斜面上b 点。

若小球从O 点以速度2v 0水平抛出，不计空气阻力，则它落在斜面上的（ ）A ．b 与c 之间某一点B ．c 点C ．c 与d 之间某一点D ．d 点解：当v 水平变为2v 0时，若作过b 点的直线be ，小球将落在c 的正下方的直线上一点，连接O 点和e 点的曲线，和斜面相交于bc 间的一点，故A 对.图1图2图3图4；点评：此题的关键是要构造出水平面be ，再根据从同一高度平抛出去的物体，其水平射程与初速度成正比的规律求解.二、物体的起点和落点均在斜面上此类问题的特点是物体的位移与水平方向的夹角即为斜面的倾角。

一般要从位移关系入手，根据位移中分运动和合运动的大小和方向（角度）关系进行求解。

2平抛运动[学习目标] 1.知道什么是抛体运动，知道抛体运动是匀变速曲线运动.2.理解平抛运动及其运动规律，会用平抛运动的规律解决有关问题.3.了解斜上抛运动及其运动规律.4.掌握分析抛体运动的方法——运动的合成与分解．一、抛体运动[导学探索](1)将一些小石子沿与水平方向成不同角度的方向抛出，观察其轨迹是直线还是曲线？这些石子的运动过程中受力有什么相同之处？(2)羽毛球比赛中，打出去的羽毛球运动过程中受力和抛出的石子受力有什么不同？[知识梳理]对抛体运动的理解(1)抛体运动的特点①初速度．②物体只受的作用，加速度为，方向竖直③抛体运动是运动．④抛体运动是一种理想化的运动模型．(2)平抛运动①条件：物体的初速度v方向．物体只受作用．②性质：加速度为g的曲线运动．[即学即用]下列哪种运动是抛体运动()A．随电梯一起运动的物体的运动B．抛向空中的细绳的运动C．抛向空中的铅球的运动D．水平抛向空中的纸片的运动二、平抛运动的规律[导学探索](1)平抛运动是匀变速曲线运动，研究平抛运动，我们可以建立平面直角坐标系，如图1所示，沿初速度方向建立x轴，沿重力方向竖直向下建立y轴．物体在x轴方向、y 轴方向分别做什么运动？图1(2)关于“平抛运动的速度变化量”，甲同学认为任意两个相等的时间内速度变化量相等，乙同学认为不相等，你的观点呢？[知识梳理] 对平抛运动规律的理解(1)研究方法：分别在水平和竖直方向上运用两个分运动规律求分速度和分位移，再 用 合成得到平抛运动的速度、位移等． (2)平抛运动的速度如图2所示：图2①水平分速度v x ＝ ，竖直分速度v y ＝②t 时刻平抛物体的速度v ＝v 2x ＋v 2y ＝v 20＋g 2t 2，设v 与x 轴正方向的夹角为θ，则tan θ＝v yv x ＝gt v 0. (3)平抛运动的位移①水平位移x ＝ ，竖直位移y ＝ ②t 时刻平抛物体的位移：l ＝x 2＋y 2＝(v 0t )2＋(12gt 2)2，位移l 与x 轴正方向的夹角为α，则tan α＝y x ＝gt2v 0.(4)平抛运动的轨迹方程：y ＝g2v 20x 2，即平抛物体的运动轨迹是一个顶点在原点、开口向下的[即学即用] (多选)如图3所示，x 轴在水平地面内，y 轴沿竖直方向．图中画出了从y 轴上沿x 轴正向抛出的三个小球a 、b 和c 的运动轨迹，其中b 和c 是从同一点抛出的．不计空气阻力，则( )图3A ．a 的飞行时间比b 的长B ．b 和c 的飞行时间相同C ．a 的水平速度比b 的小D ．b 的初速度比c 的大三、平抛运动的两个推论[导学探索] (1)以初速度v 0水平抛出的物体，经时间t 后速度方向和位移方向相同吗？两量与水平方向夹角的正切值有什么关系？(2)结合以上结论并观察速度反向延长线与x 轴的交点，你有什么发现？[知识梳理] 对两个推论的理解(1)推论一：某时刻速度、位移与初速度方向的夹角θ、α的关系为tan θ＝ (2)推论二：平抛运动的物体在任意时刻瞬时速度的反向延长线一定通过此时 ． [即学即用] (多选)如图4所示，从某高度水平抛出一小球，经过时间t 到达地面时，速度与水平方向的夹角为θ，不计空气阻力，重力加速度为g .下列说法正确的是( )图4A ．小球水平抛出时的初速度大小为gt tan θB ．小球着地速度大小为gtsin θC ．小球在t 时间内的位移方向与水平方向的夹角为θ2D ．若小球初速度增大，则θ减小四、普通的抛体运动[导学探索] 应怎样处理普通的抛体运动？[知识梳理](1)斜抛运动：把物体以一定的初速度斜 或者斜 抛出，只受 作用的运动．如图5甲、乙所示．甲 乙图5(2)斜上抛运动的规律(如图6所示)图6①水平方向：v x ＝ ，x ＝v 0t cos θ.②竖直方向：v y ＝ ，y ＝v 0t sin θ－12gt 2.③三个参量飞行时间：t ＝2v 0y g ＝2v 0sin θg射高：h ＝v 20y 2g ＝v 20sin 2θ2g射程：s ＝v 0cos θ·t ＝2v 20sin θcos θg ＝v 20sin 2θg.一、对平抛运动的理解例1 关于平抛物体的运动，以下说法正确的是( ) A ．做平抛运动的物体，速度和加速度都随时间的增加而增大 B ．做平抛运动的物体仅受到重力的作用，所以加速度保持不变 C ．平抛物体的运动是匀变速运动 D ．平抛物体的运动是变加速运动二、平抛运动规律的应用例2如图7所示，滑板运动员以速度v从离地高h处的平台末端水平飞出，落在水平地面上．忽略空气阻力，运动员和滑板可视为质点，下列表述正确的是()图7A．v越大，运动员在空中运动时间越长B．v越大，运动员落地瞬间速度越大C．运动员落地瞬间速度与高度h无关D．运动员落地位置与v大小无关[方法总结]有关平抛运动的几个结论(1)空中运动的总时间tt＝2hg，由高度决定，与初速度无关．(2)离抛出点的最大高度h为落地点的竖直位移h，与v无关．(3)水平位移x的大小x＝v02hg，与初速度及高度h都有关系．(4)落地速度v 的大小v＝v20＋2gh，由水平初速度v及高度h决定．(5)速度方向、位移方向与水平面夹角θ和α的关系α、θ都随h(或者t)的增大而增大，tan θ＝2tan α.针对训练 (多选)一架飞机以200 m/s的速度在高空沿水平方向做匀速直线运动，每隔1 s先后从飞机上自由释放A、B、C三个物体，若不计空气阻力，则()A．在运动过程中A在B前200 m，B在C前200 mB．A、B、C在空中罗列成一条抛物线C．A、B、C在空中罗列成一条竖直线D．落地后A、B、C在地上罗列成水平线且间距相等三、与斜面结合的平抛运动的问题例3跳台滑雪是勇敢者的运动，运动员在专用滑雪板上，不带雪杖在助滑路上获得高速后水平飞出，在空中飞行一段距离后着陆，这项运动极其壮观．设一位运动员由a点沿水平方向跃起，到山坡b点着陆，如图8所示．测得a、b间距离L＝40 m，山坡倾角θ＝30°，山坡可以看成一个斜面．试计算：(不计空气阻力，g取10 m/s2)图8(1)运动员起跳后在空中从a到b飞行的时间．(2)运动员在a点的起跳速度大小．例4如图9所示，以9.8 m/s的水平初速度v抛出的物体，飞行一段时间后，垂直地撞在倾角为30°的斜面上，这段飞行所用的时间为(g取9.8 m/s2)()图9A.23s B.223sC. 3 s D．2 s[技巧点拨]与斜面相结合的平抛运动的问题的求解技巧(1)常见类型：(如图10甲、乙所示)图10(2)求解方法：解答这种问题往往需要充分利用几何关系找位移(或者速度)与斜面倾角的关系．1．从水平匀速飞行的飞机上向外自由释放一个物体，不计空气阻力，在物体下落的过程中，下列说法中正确的是( ) A ．从飞机上看，物体静止B ．从飞机上看，物体始终在飞机的后方C ．从地面上看，物体做平抛运动D ．从地面上看，物体做自由落体运动2．(多选)对于平抛运动，下列条件可以确定初速度的是(不计阻力，g 为已知)( ) A ．已知水平位移B ．已知下落高度和水平位移C ．已知下落高度D ．已知合位移3．(多选)物体以初速度v 0水平抛出，若不计空气阻力，则当其竖直分位移与水平分位移相等时，以下说法中正确的是( ) A ．竖直分速度等于水平分速度 B ．瞬时速度大小为5v 0 C ．运动的时间为2v 0gD ．运动的位移为22v 2g4．如图11所示，AB 为斜面，倾角为30°，小球从A 点以初速度v 0水平抛出，恰好落在B 点，求：图11(1)AB 间的距离；(2)小球在空中飞行的时间．一、选择题(1～8为单项选择题，9～11为多项选择题)1．在平整的垒球运动场上，击球手挥动球棒将垒球水平击出，垒球飞行一段时间后落地．若不计空气阻力，则( )A ．垒球落地时瞬时速度的大小仅由初速度决定B ．垒球落地时瞬时速度的方向仅由击球点离地面的高度决定C ．垒球在空中运动的水平位移仅由初速度决定D ．垒球在空中运动的时间仅由击球点离地面的高度决定 2．斜抛运动与平抛运动相比较，正确的是( )A ．斜抛运动是曲线运动，它的速度方向不断改变，不可能是匀变速运动B ．都是加速度逐渐增大的曲线运动C ．平抛运动是速度向来增大的运动，而斜抛运动是速度向来减小的运动D ．都是任意两段相等时间内的速度变化量相等的运动3．如图1所示，在同一竖直面内，小球a 、b 从高度不同的两点，分别以初速度v a 和v b 沿水平方向抛出，经过时间t a 和t b 后落到与两抛出点水平距离相等的P 点．若不计空气阻力，下列关系式正确的是( )图1A ．t a ＞t b ，v a ＜v bB ．t a ＞t b ，v a ＞v bC ．t a ＜t b ，v a ＜v bD ．t a ＜t b ，v a ＞v b4．从同一高度分别以初速度v 和2v 水平抛出两物体，两物体落地点距抛出点的水平距离之比为( ) A ．1∶1 B ．1∶3 C ．1∶2 D ．1∶45．物体在某一高度以初速度v 0水平抛出，落地时速度为v ，则该物体在空中运动的时间为(不计空气阻力)( ) A.v －v 0gB.v 0gC.v 2－v 20gD.v 20＋v 2g6.斜面上有P 、R 、S 、T 四个点，如图2所示，PR ＝RS ＝ST ，从P 点正上方的Q 点以速度v 水平抛出一个物体，物体落于R 点，若从Q 点以速度2v 水平抛出一个物体，不计空气阻力，则物体落在斜面上的( )图2A ．R 与S 间的某一点B ．S 点C ．S 与T 间某一点D ．T 点7.如图3所示，斜面上a 、b 、c 三点等距，小球从a 点正上方O 点抛出，做初速度为v 0的平抛运动，恰落在b 点．若小球初速度变为v ，其落点位于c ，则( )图3A ．v 0<v <2v 0B ．v ＝2v 0C ．2v 0<v <3v 0D ．v >3v 08.某人向放在水平地面的正前方的小桶中水平抛球，结果球划着一条弧线飞到小桶的右侧(如图4所示)．不计空气阻力，为了能把小球抛进小桶中，则下次再水平抛球时，他可能作出的调整为( )图4A ．减小初速度，抛出点高度不变B ．增大初速度，抛出点高度不变C ．初速度大小不变，降低抛出点高度D ．初速度大小不变，提高抛出点高度9．平抛一物体，当抛出1 s 后它的速度与水平方向成45°角，落地时速度方向与水平方向成60°角，已知重力加速度g ＝10 m/s 2，则下列说法中正确的是( ) A ．初速度为10 m/s B ．落地速度为10 3 m/sC ．开始抛出时距地面的高度为15 mD ．水平射程为20 m10．如图5所示，在网球的网前截击练习中，若练习者在球网正上方距地面H处，将球以速度v沿垂直球网的方向击出，球刚好落在底线上．已知底线到网的距离为L，重力加速度取g，将球的运动视作平抛运动，下列叙述正确的是()图5A．球的速度v等于Lg 2HB．球从击出至落地所用时间为2H gC．球从击球点至落地点的位移等于LD．球从击球点至落地点的位移与球的质量有关二、非选择题11．从离地高80 m处水平抛出一个物体，3 s末物体的速度大小为50 m/s，取g＝10 m/s2.求：(1)物体抛出时的初速度大小；(2)物体在空中运动的时间；(3)物体落地时的水平位移．12．如图6所示，在倾角为θ的斜面顶端A处以速度v水平抛出一小球，落在斜面上的某一点B处，设空气阻力不计，求：图7(1)小球从A运动到B所需要的时间；(2)从抛出开始计时，经过多长期小球离斜面的距离达到最大？13．女排比赛时，某运动员进行了一次跳发球，若击球点恰在发球处底线上方3.04 m高处，击球后排球以25 m/s的速度水平飞出，球的初速度方向与底线垂直，排球场的有关尺寸如图7所示，试计算说明：(不计空气阻力，g取10 m/s2)图7(1)此球能否过网？(2)球是落在对方界内，还是界外？。

深谙高中物理斜面与平抛结合模型发表时间：2020-12-08T11:47:46.697Z 来源：《中国教师》2020年12月作者：李双莲[导读]李双莲会泽县实验高级中学校云南曲靖 654200中图分类号：G688.2 文献标识码：A 文章编号：ISSN1672-2051（2020）12-012-01斜面上的平抛运动问题是一种常见的模型，这一模型在高考中多以选择题型出现、难度中等。

解答这类问题时除要运用平抛运动的位移和速度规律，还要充分运用斜面倾角，找出斜面倾角同位移和速度与水平方向夹角的关系，作出“速度三角形”和“位移三角形”、利用好数学的几何知识，做到物理平抛知识和数学几何知识的无缝对接、从而使问题得到顺利解决。

第一种模型：从斜面上顶点水平抛出，又落到斜面上的平抛运动。

（如图1）图 11、第一种模型基本特点(1)位移方向相同，竖直位移与水平位移之比等于斜面倾斜角的正切值。

(2)末速度方向平行，竖直分速度与水平分速度(初速度)之比等于斜面倾斜角正切值的2倍。

(3)运动的时间与初速度成正比。

(4)位移与初速度的二次方成正比。

（5）当速度与斜面平行时，物体到斜面的距离最远，且从抛出到距斜面最远所用的时间为平抛运动时间的一半 2.第一种模型解题方法及步骤（1）分解位移，构建位移三角形，隐含条件：斜面倾角θ等于位移与水平方向的夹角（如图2）图 2（2）利用平抛物理知识和几何知识求合位移方向：tanθ＝例1．如图3为某滑雪场跳台滑雪的部分示意图，一滑雪者从倾角为的斜坡上的顶点先后以不同初速度水平滑出，并落到斜面上，当滑出的速度为v1时，滑雪者到达斜面的速度方向与斜面的夹角为，当滑出的速度增大为v2时，滑雪者到达斜面的速度方向与斜面的夹角为，则( )【答案】 B【解析】根据位移关系可知：，对末速度进行分解得：，联立解得：，因为倾角是定值，所以是定值，即：是定值，所以是定值，ACD错误B正确例2．如图4所示，倾角为的斜面上有A、B、C三点，现从这三点分别以不同的初速度水平抛出一小球，三个小球均落在斜面上的D 点，已知AB：BC：CD=5：3：1，由此可判断（）图 4A．A、B、C处三个小球从抛出至落到D点运动时间之比为1：2：3B．A、B、C处三个小球落在斜面上时的速度与初速度的夹角之比为1：1：1 C．A、B、C处三个小球的初速度大小之比为10：9：6D．A、B、C处三个小球的运动轨迹可能在空中相交【答案】B【解析】A．由几何关系可得三个小球下落的高度之比为9：4：1，由可得飞行时间之比为3：2：1，故A错误；B．因为三个小球位移的方向相同，速度偏向角正切值一定是位移偏向角正切值的2倍，所以速度与初速度之间的夹角一定相等，比值为1：1：1，故B正确；C．因三个小球下落的水平位移之比为9：4：1，时间之比为3：2：1，水平方向有x=vt可得初速度大小之比为3：2：1，故C错误；D．最后三个小球落到同一点，故三个小球的运动轨迹不可能在空中相交，故D错误。

专题04模型1：平抛运动与斜面结合模1．模型构建两类与斜面结合的平抛运动（1）物体从斜面上某一点水平抛出以后又重新落在斜面上，此时平抛运动物体的合位移方向与水平方向的夹角等于斜面的倾角。

（2）做平抛运动的物体垂直打在斜面上，此时物体的合速度与竖直方向的夹角等于斜面的倾角。

2．求解思路已知信息实例处理思路速度方向垂直打到斜面上的平抛运动(1)确定速度与竖直方向的夹角θ，画出速度分解图。

(2)根据水平方向和竖直方向的运动规律分析v x、v y。

(3)根据tan θ＝v xv y列式求解。

位移方向从斜面上一点水平抛出后落回在斜面上的平抛运动(1)确定位移与水平方向的夹角θ，画出位移分解图。

(2)根据水平方向和竖直方向的运动规律分析x、y。

(3)根据tan θ＝yx列式求解。

模型2：类平抛运动模型1．运动建模当一种运动和平抛运动特点相似，即合外力恒定且与初速度方向垂直的运动都可以称为类平抛运动。

2．模型特点3．分析方法与平抛运动的处理方法一致，将运动分解成沿初速度方向的匀速直线运动和垂直初速度方向的由静止开始的匀加速直线运动。

4．解类平抛运动问题的步骤（1）分析物体的初速度与受力情况，确定物体做类平抛运动，并明确物体两个分运动的方向。

（2）利用两个分运动的规律求解分运动的速度和位移。

（3）根据题目的已知条件和要求解的量充分利用运动的等时性、独立性、等效性解题。

模型三：平抛运动中的临界模型1．模型特点（1）若题目中有“刚好”“恰好”“正好”等字眼，表明题述过程中存在临界点。

（2）若题目中有“最大”“最小”“至多”“至少”“取值范围”等字眼，表明题述的过程中存在着极值，这些极值点也往往是临界点。

2．求解思路（1）画出临界轨迹，找出临界状态对应的临界条件。

（2）分解速度或位移。

（3）列方程求解结果。

与斜面、曲面相结合的平抛运动[学习目标] 1.了解平抛运动与斜面、曲面相结合问题的特点.2.熟练运用平抛运动规律解决相关问题．一、与斜面有关的平抛运动运动情形题干信息分析方法从空中水平抛出垂直落到斜面上速度方向分解速度，构建速度三角形v x＝v0v y＝gtθ与v0、t的关系：tan θ＝v xv y＝v0gt从斜面水平抛出又落到斜面上位移方向分解位移，构建位移三角形x＝v0ty＝12gt2θ与v0、t的关系：tan θ＝yx＝gt2v0如图1所示，小球以v0＝15 m/s的水平初速度向一倾角为37°的斜面抛出，飞行一段时间后，恰好垂直撞在斜面上．求这一过程中：(不计空气阻力，g取10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8)图1(1)小球在空中的飞行时间t；(2)抛出点距撞击点的高度h.答案(1)2 s(2)20 m解析 (1)将小球垂直撞在斜面上的速度分解，如图所示：由图可知θ＝37°，β＝53° 则tan β＝v y v x ＝gt v 0代入数据解得：t ＝2 s(2)根据平抛运动的规律有：h ＝12gt 2，可求得抛出点距撞击点的高度 h ＝12×10×22 m ＝20 m. 跳台滑雪是一项勇敢者的运动，它需要利用山势特点建造一个特殊跳台．一运动员穿着专用滑雪板，不带雪杖，在滑雪道上获得较高速度后从A 点沿水平方向飞出，在空中飞行一段距离后在山坡上B 点着陆，如图2所示．已知可视为质点的运动员从A 点水平飞出的速度v 0＝20 m/s ，山坡可看成倾角为37°的斜面，不考虑空气阻力，(g ＝10 m/s 2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8)求：图2(1)运动员在空中的飞行时间t 1；(2)运动员从飞出至落在斜面上的位移大小s ； (3)运动员落到斜面上时的速度大小v ； (4)运动员何时离斜面最远？答案 (1)3 s (2)75 m (3)1013 m/s (4)1.5 s 解析 (1)运动员从A 点到B 点做平抛运动， 水平方向的位移：x ＝v 0t 1， 竖直方向的位移：y ＝12gt 12，又有tan 37°＝yx ，代入数据解得：t 1＝3 s ，x ＝60 m ，y ＝45 m.(2)运动员从飞出至落在斜面上的位移大小s ＝x 2＋y 2＝75 m. (3)运动员落在斜面上时速度的竖直分量v y ＝gt 1＝10×3 m/s ＝30 m/s ，运动员落到斜面上时的速度大小v ＝v 02＋v y 2＝1013 m/s. (4)如图，运动员距离斜面最远时，合速度方向与斜面平行，tan 37°＝v y ′v x ，即tan 37°＝gt 2v 0，解得t 2＝v 0·tan 37°g＝1.5 s.如图3所示，若质点以初速度v 0正对倾角为θ＝37°的斜面水平抛出，要求质点到达斜面时位移最小，则质点的飞行时间为(重力加速度为g ，tan 37°＝34)( )图3A.3v 04gB.3v 08gC.8v 03gD.4v 03g 答案 C解析 要使质点到达斜面时位移最小，则质点的位移应垂直斜面，如图所示，有x ＝v 0t ，y ＝12gt 2，且tan θ＝x y ＝v 0t 12gt 2＝2v 0gt ，所以t ＝2v 0g tan θ＝8v 03g，选项C 正确．1．在分析与斜面有关的平抛运动问题时，注意分析题干信息，强调的是速度方向还是位移方向，然后进行分解并利用两分量与已知角关系求解． 2．与斜面有关的平抛运动拓展运动情形题干信息 分析方法 斜面外开始，要求以最短位移打到斜面位移方向分解位移x ＝v 0t y ＝12gt 2tan α＝x y＝2v 0gt斜面外开始，沿斜面方向落入斜面速度方向分解速度v x ＝v 0 v y ＝gt tan α＝v yv x＝gt v 0二、平抛运动与曲面相结合(2020·烟台一中高一月考)如图4所示，在竖直放置的半球形容器的中心O 点分别以水平初速度v 1、v 2沿相反方向抛出两个小球1和2(可视为质点)，最终它们分别落在圆弧上的A 点和B 点，已知OA 与OB 互相垂直，且OA 与竖直方向成α角，则两小球的初速度之比v 1v 2为( )图4A ．tan αB ．cos αC ．tan αtan αD ．cos αcos α答案 C解析 两小球被抛出后都做平抛运动，设容器的半径为R ，两小球运动的时间分别为t 1、t 2. 对球1：R sin α＝v 1t 1，R cos α＝12gt 12，对球2：R cos α＝v 2t 2，R sin α＝12gt 22，联立以上四式解得v 1v 2＝tan αtan α，故选C.(2020·南通中学高一检测)如图5所示，一小球从一半圆轨道左端A 点正上方某处开始做平抛运动(小球可视为质点)，运动过程中恰好与半圆轨道相切于B 点．O 为半圆轨道圆心，半圆轨道半径为R ，OB 与水平方向的夹角为60°，重力加速度为g ，则小球抛出时的初速度为( )图5A.3gR2B.33gR2C.3gR2D.3gR3答案 B解析 小球运动过程中恰好与半圆轨道相切于B 点，则小球在B 点的速度方向与水平方向的夹角为30°，故v y ＝v 0tan 30°，又v y ＝gt ，则v 0tan 30°＝gt ， 联立解得t ＝v 0tan 30°g.小球在水平方向上做匀速直线运动，则有R ＋R cos 60°＝v 0t ， 联立解得v 0＝33gR2，故选B.1．(2021·浙江绍兴市柯桥中学高一月考)滑雪运动员在训练过程中，从斜坡顶端以5.0 m/s 的速度水平飞出，落在斜坡上，然后继续沿斜坡下滑．已知斜坡倾角为45°，空气阻力忽略不计，g 取10 m/s 2，则他在该斜坡上方平抛运动的时间为( ) A ．0.5 s B ．1.0 s C ．1.5 s D ．5.0 s 答案 B解析 滑雪运动员做平抛运动，在水平方向有x ＝v 0t ，在竖直方向有y ＝12gt 2根据题意有tan 45°＝y x ＝12gt 2v 0t解得t ＝1.0 s ，故选B.2.如图1所示，某物体(可视为质点)以水平初速度抛出，飞行一段时间t ＝ 3 s 后，垂直地撞在倾角θ＝30°的斜面上(g 取10 m/s 2)，由此计算出物体的水平位移x 和水平初速度v 0分别为( )图1A ．x ＝25 mB ．x ＝521 mC ．v 0＝10 m/sD ．v 0＝20 m/s答案 C解析 物体撞在斜面上时竖直分速度v y ＝gt ＝10 3 m/s ，将速度进行分解，根据平行四边形定则知，tan 30°＝v 0v y ，解得v 0＝103×33 m/s ＝10 m/s ，则水平位移x ＝v 0t ＝10× 3 m ＝10 3 m ．故C 正确，A 、B 、D 错误．3.某军区某旅展开的实兵实弹演练中，某火箭炮在山坡上发射炮弹，所有炮弹均落在山坡上，炮弹的运动可简化为平抛运动，如图2所示，则下列说法正确的是( )图2A ．若将炮弹初速度减为v 02，炮弹落在斜面上的速度方向与斜面的夹角不变B ．若将炮弹初速度减为v 02，炮弹落在斜面上的速度方向与斜面的夹角变小C ．若将炮弹初速度减为v 02，炮弹落在斜面上的速度方向与斜面的夹角变大D ．若将炮弹初速度减为v 02，炮弹位移变为原来的12答案 A解析 因为炮弹落在斜面上的位移方向不变，所以落在斜面上的速度方向不变，B 、C 项错误，A 项正确；由tan θ＝12gt 2v 0t 得：t ＝2v 0tan θg ，而h ＝12gt 2，故h ∝v 02，若将炮弹初速度减为v 02，则炮弹下落高度变为原来的14，由于炮弹位移x ＝h sin θ，所以炮弹位移也变为原来的14，D 项错误．4.(2021·淮南二中高一第二学期期末)如图3所示，两个相对的斜面的倾角分别为37°和53°，在斜面顶点把两个可视为质点的小球以同样大小的初速度分别向左、向右水平抛出，小球都落在斜面上．若不计空气阻力，则A 、B 两个小球的运动时间之比为(sin 53°＝0.8，cos 53°＝0.6)( )图3A ．1∶1B ．1∶3C ．16∶9D ．9∶16答案 D解析 根据平抛运动的规律可知，x ＝v 0t ，y ＝12gt 2，tan θ＝yx ，则运动时间t ＝2v 0tan θg ，分别将37°、53°代入可得A 、B 两个小球运动时间之比为t A ∶t B ＝tan 37°∶tan 53°＝9∶16，选项D 正确，A 、B 、C 错误．5.如图4所示，B 为竖直圆轨道的左端点，它和圆心O 的连线与竖直方向的夹角为α.一小球在圆轨道左侧的A 点以速度v 0平抛，恰好沿B 点的切线方向进入圆轨道．已知重力加速度为g ，不计空气阻力，则A 、B 之间的水平距离为( )图4A.v 02tan αgB.2v 02tan αgC.v 02g tan αD.2v 02g tan α答案 A解析 如图所示，对在B 点时的速度进行分解，小球运动的时间t ＝v y g ＝v 0tan αg ，则A 、B间的水平距离x ＝v 0t ＝v 02tan αg，故A 正确，B 、C 、D 错误．6.(2021·兰州第一中学高一下月考)如图5所示，小球以速度v 0正对倾角为θ的斜面水平抛出，若小球到达斜面的位移最小，则以下说法正确的是(重力加速度为g )( )图5A ．小球在空中的运动时间为v 0g tan θB ．小球的水平位移大小为2v 02g tan θC ．小球的竖直位移大小为v 02g tan θD ．由于不知道抛出点位置，位移大小无法求解 答案 B解析 如图所示，过抛出点作斜面的垂线与斜面交于B 点，当小球落在斜面上的B 点时，位移最小．设运动的时间为t ，则水平方向有x ＝v 0t ， 竖直方向有y ＝12gt 2.根据几何关系有xy ＝tan θ，联立解得t ＝2v 0g tan θ，小球的水平位移大小为x ＝v 0t ＝2v 02g tan θ，竖直位移的大小为y ＝12gt 2＝2v 02g tan 2θ，由水平位移和竖直位移可求解总位移的大小， 故A 、C 、D 错误，B 正确．7.如图6，斜面上有a 、b 、c 、d 四个点，ab ＝bc ＝cd .从a 点正上方的O 点以速度v 0水平抛出一个小球，它落到斜面上b 点．若小球从O 点以速度2v 0水平抛出，则它落在斜面上的(不计空气阻力)( )图6A ．b 与c 之间某一点B ．c 点C ．c 与d 之间某一点D ．d 点答案 A解析 当水平初速度变为2v 0时，如果去掉斜面，作过b 点垂直于Oa 的直线be ，小球将落在c 点正下方的直线上的e 点，连接O 点和e 点的抛物线与斜面相交于b 、c 间的一点(如图)，该点即为小球以速度2v 0水平抛出时在斜面上的落点，故选A.8.(2021·江苏连云港市月考)如图7所示，某次空中投弹的军事演习中，战斗机以恒定速度沿水平方向飞行，先后释放两颗炸弹，分别击中山坡上的M 点和N 点．释放两颗炸弹的时间间隔为Δt 1，此过程中飞机飞行的距离为s 1；击中M 、N 的时间间隔为Δt 2，M 、N 两点间水平距离为s 2.不计空气阻力．下列判断正确的是( )图7A ．Δt 1>Δt 2，s 1>s 2B ．Δt 1>Δt 2，s 1<s 2C ．Δt 1<Δt 2，s 1>s 2D ．Δt 1<Δt 2，s 1<s 2答案 A解析 释放的炸弹做平抛运动，若落地点在同一水平面上，落地的时间间隔与释放的时间间隔相等，由于N 在M 点的上方，则击中M 、N 的时间间隔Δt 2<Δt 1.因炸弹飞行时间小于飞机的飞行时间，所以飞机飞行的距离为s 1，大于M 、N 间的水平距离s 2，故A 正确，B 、C 、D 错误．9.如图8所示，固定斜面的倾角为α，高为h ，一小球从斜面顶端水平抛出，落至斜面底端，重力加速度为g ，不计空气阻力，则小球从抛出到离斜面距离最大所用的时间为( )图8A.h sin α2gB.2h gC.h gD.h 2g答案 D解析 对于整个平抛运动过程，根据h ＝12gt 2得t ＝2h g ，则平抛运动的初速度为v 0＝h t tan α＝2gh 2tan α；当速度方向与斜面平行时，小球距离斜面最远，此时竖直分速度为v y ＝v 0tan α＝gh2，则经历的时间为t ′＝v y g＝h2g，故选D. 10.(2021·河北武强中学高一月考)跳台滑雪是冬奥会的传统项目，其运动过程可以简化成如图9所示模型．运动员从雪坡斜面顶端A 点以不同的初速度水平飞出，分别落在斜面上B 、C 点，AB ＝BC ，落到B 、C 点对应的起跳初速度分别为v 1、v 2，下落的时间分别为t 1、t 2，不计空气阻力．下列判断正确的是( )图9A ．两次下落的时间之比t 1∶t 2＝1∶2B ．两次落在斜面上时速度与斜面的夹角之比为1∶2C ．两次落在斜面上时速度大小之比为1∶ 2D ．两次初速度大小之比为v 1∶v 2＝1∶2 答案 C解析 运动员落到斜面中点与斜面底端，下降的高度h 1h 2＝12，通过的水平位移为x 1x 2＝12，运动员做平抛运动，下落的时间与高度有关，根据h ＝12gt 2可知t ＝2hg，故两次下落的时间之比t 1t 2＝22，故A 错误；运动员落到C 点，根据h ＝12gt 2，x ＝v 0t ，位移偏向角α正切值为tan α＝hx ，联立解得t ＝2v 0tan αg ，落地时速度与水平方向的夹角为tan θ＝v y v 0＝gt v 0＝2tan α落在斜面上时速度与斜面的夹角大小β＝θ－α，同一斜面α不变，故落在斜面上时速度与斜面的夹角与运动员飞出时的初速度无关，故两次落在斜面上时速度与斜面的夹角之比为1∶1，故B 错误；水平方向匀速运动，则v 1v 2＝x 1t 1x 2t 2＝12，两次初速度大小之比为v 1∶v 2＝1∶2，故D 错误；落地时的速度v ＝v 0cos θ，故落地时的速度之比与初速度之比相等，故两次落在斜面上速度大小之比为1∶2，故C 正确．11.如图10所示，一个小球从高h ＝10 m 处以速度v 0＝10 m/s 水平抛出，撞在倾角θ＝45°的斜面上的P 点，已知AC ＝5 m ．取g ＝10 m/s 2，不计空气阻力，求：图10(1)P 、C 之间的距离；(2)小球撞击P 点时速度的大小和方向．答案 (1)5 2 m (2)10 2 m/s 方向垂直于斜面向下解析 (1)设P 、C 之间的距离为L ，根据平抛运动规律有AC ＋L cos θ＝v 0t ，h －L sin θ＝12gt 2 联立并代入数据解得L ＝5 2 m ，t ＝1 s(2)小球撞击P 点时的水平速度v 0＝10 m/s竖直速度v y ＝gt ＝10 m/s所以小球撞击P 点时速度的大小v ＝v 02＋v y 2＝10 2 m/s设小球撞击P 点时的速度方向与水平方向的夹角为α，则tan α＝v y v 0＝1 解得α＝45°故小球撞击P 点时速度方向垂直于斜面向下．12.如图11所示，AB 为固定斜面，倾角为30°，小球从A 点以初速度v 0水平抛出，恰好落到B 点．求：(空气阻力不计，重力加速度为g )图11(1)A 、B 间的距离及小球在空中飞行的时间；(2)从抛出开始，经过多长时间小球与斜面间的距离最大？最大距离为多大？答案 (1)4v 023g 23v 03g (2)3v 03g 3v 0212g解析 (1)设飞行时间为t ，则水平方向位移l AB cos 30°＝v 0t ，竖直方向位移l AB sin 30°＝12gt 2， 解得t ＝2v 0g tan 30°＝23v 03g ，l AB ＝4v 023g.(2)如图所示，把初速度v 0、重力加速度g 都分解成沿斜面和垂直斜面的两个分量．在垂直斜面方向上，小球做的是以v 0y 为初速度、g y 为加速度的“竖直上抛”运动．小球到达离斜面最远处时，速度v y ＝0， 由v y ＝v 0y －g y t ′可得t ′＝v 0y g y ＝v 0sin 30°g cos 30°＝v 0g tan 30°＝3v 03g小球离斜面的最大距离y ＝v 0y 22g y ＝v 02sin 2 30°2g cos 30°＝3v 0212g .。

2024版新课标高中物理模型与方法专题抛体运动模型目录【平抛运动模型的构建及规律】【三类常见的斜面平抛模型】【半圆模型的平抛运动】【平抛与圆相切模型】【台阶平抛运动模型】【体育生活中平抛运动的临界模型】【对着竖直墙壁的平抛模型】【斜抛运动模型】【平抛运动模型的构建及规律】1.平抛运动的条件和性质(1)条件：物体只受重力作用，具有水平方向的初速度v0。

(2)性质：加速度恒定a=g，竖直向下，是匀变速曲线运动。

2.平抛运动的规律规律：(按水平和竖直两个方向分解可得)水平方向：不受外力，以v0为速度的匀速直线运动，x=v0t,v x=v0竖直方向：竖直方向只受重力且初速度为零，做自由落体运动，y=12gt2，v y=gt平抛运动的轨迹：是一条抛物线y=g2v20x2合速度：大小：v=v2x+v2y即v=v20+(gt)2，方向：v与水平方向夹角为tan a=gtv0，即a=tan−1gtv0合位移：大小：S=x2+y2即S=(v0t)2+12gt2 2，方向：S与水平方向夹角为tanθ=gt2v0，即θ=tan−1gt2v0一个关系：tanα=2tanθ，说明了经过一段时间后，物体位移的方向与该时刻合瞬时速度的方向不相同，速度的方向要陡一些。

如图所示:3.对平抛运动的研究(1)平抛运动在空中的飞行时间由竖直方向上的自由落体运动y =12gt 2可以得到时间t =2y g可见，平抛运动在空中的飞行时间由抛出点到落地点的竖直距离和该地的重力加速度决定，抛出点越高或者该地的重力加速度越小，抛体飞行的时间就越长，与抛出时的初速度大小无关。

(2)平抛运动的射程由平抛运动的轨迹方程y =g 2v 20x 2可以写出其水平射程x =v 02yg 可见，在g 一定的情况下，平抛运动的射程与初速度成正比，与抛出点高度的平方根成正比，即抛出的速度越大、抛出点到落地点的高度越大时，射程也越大。

(3)平抛运动轨迹的研究平抛运动的抛出速度越大时，抛物线的开口就越大。

平抛运动的几个推论及应用第一部分绪论一、引入平抛运动是曲线运动的一个特例，是一种简单的曲线运动。

在高中的教学中，也是一个重点的教学内容。

对于平抛运动无论是重力场中的平抛运动，还是重力场中的“类平抛运动”，或是匀强电场中的“类平抛运动”，在历年的考试中也都是一个考试的热点。

本文将在重力场对平抛运动论述的基础上，从平抛运动的性质、规律、推论等几方面简述，再把其推论应用扩展到重力场中的平抛运动、重力场中的“类平抛运动”和匀强电场中的“类平抛运动”二、研究意义动力学是高中物理的一个主要的内容之一，而平抛运动是动力学中的一个小内容，也是曲线运动中的一个特例。

物理教学中，平抛运动对于初学的学生来说，是一个难度不小的内容，因此有必要找到适合的教学方法，引导学生，让学生在不断的思考中，构建平抛运动的物理图景及意义，从而达到真正的理解平抛运动。

平抛运动是一种有规律的曲线运动，可以把运动过程进行水平方向和竖直方向的分解，其效果等效于：水平方向是一种匀速直线运动，而竖直方向是一种自由落体运动，由此可以运动这两个规律推倒出平抛运动过程中，速度、位移、时间、夹角等等的几个结论出来，然后学生对这些结论的掌握往往是以死记硬背为主的，很难理解其中的意义，所以在教学中若能带领学生走进生活中，让生活的情景融入生活中，应用于生活中，那学生才有可以真正的理解其意义。

三、研究综述平抛运动是中学物理中的一个重要的内容，相关的研究有不少，比如：陶成龙（新高考）他从当前高考方向的角度分析平抛运动的知识点、重点难点及出题的方向等。

徐德军（中学理科杂志）他主要是分析了平抛运动的规律、推论及在常见的例题中应用。

郝国胜(河北盐山中学)他也是对平抛运动的规律做了分析，推导出其推论，再以例题的方式呈现平抛运动推论的应用。

综述这些已有的论述，主要是有以下几个方面：1、详细分析平抛运动的特点。

2、细解平运动的规律，由规律推导出常见的几个结论。

3、以例题的形式，论述推论的应用。

学科教师辅导教案组长审核：年 级：高三 班级名称：理科班 辅导科目：物理 班级学生总数： 学科教师： 教学进度：第 次课 授课主题 抛体运动的规律（平抛、斜面上的平抛） 教学目的掌握抛体运动的规律和提高理解应用能力 教学重难点平抛运动的特点和公式斜面上的平抛运动授课日期及时段教学内容一、入门测（共10分） 二、新课讲解（一）课程导入 提问知识点（二）大数据分析（ - 年，共 年）（三）本节考点讲解考点一：斜抛运动力 学主题主题考点考点要求要求 考纲解读考纲解读抛体运动与圆周运动运动运动的合成与分解运动的合成与分解 抛体运动抛体运动匀速圆周运动、角速度、线速度、向心加速度向心加速度匀速圆周运动的向心力匀速圆周运动的向心力 离心现象离心现象Ⅱ Ⅱ Ⅰ Ⅱ Ⅰ1、斜抛运动只作定性要求2、平抛运动的规律及其研究方法、圆周运动的角速度、线速度及加速度是近年高考的热点，且多数与电场、磁场、机械能结合命制综合类试题．常考点1、抛体运动规律大数据：08（14）12（15）15（18）16（25）17（15） 五年考了5次常考点2、曲线运动、圆周运动大数据： 11（20）12（21）14（20）16（18、25） 四年考了5次一）例题解析 1．（．（201720172017•武汉模拟）如图是中世纪的不学者依据观察画出的斜向上方抛出的物体的运动轨迹，该轨迹可分为•武汉模拟）如图是中世纪的不学者依据观察画出的斜向上方抛出的物体的运动轨迹，该轨迹可分为3段，第1段是斜向上方的直线，第2段是圆运动的一部分，第3段是竖直向下的直线．如果空气阻力不可忽略，关于这3段轨迹（段轨迹（ ）A ．第1段轨迹可能正确段轨迹可能正确B ．第2段轨迹可能正确段轨迹可能正确C ．第3段轨迹可能正确段轨迹可能正确D ．3段轨迹不正确段轨迹不正确二）相关知识点讲解、方法总结基本规律(以斜上抛为例，如图所示)(1)水平方向：v 0x ＝v 0cos θ，F 合x ＝0，在最高点，v x ＝v 0cos θ。