湖南省2017版中考数学压轴题专项突破(3)几何动态探究课件

2017年长沙中考数学之几何经典专题1.女口图，ABCD 为正方形，0 为 AC 、BD 的交点，△ DCE 为 Rt △，/ CED=90 ° Z DCE=30 °若 0E= 「〜,2则正方形的面积为( ) A . 5 B . 4 C . 3 D . 2 3. 如图，正方形 ABCD 中，点E 是AD 边中点，BD 、CE 交于点H , BE 、AH 交于点G ,则下列结论: ① AG 丄BE ;② BG=4GE ;③ JBHE =S A CHD ；④ Z AHB= Z EHD . 其中正确的个数是()A . 1 B . 2 C . 3 D . 4 4.已知点D 与点A (0, 6), B( 0, - 4), C( x, y )是平行四边形的四个顶点，其中x, y 满足3x - 4y+12=0 , 则CD 长的最小值为() A . 10 B . 2 " C . — D .42.如图，正方形 ABCD 的边长为6，点E 、F 分别在AB ,AD 上，若 CE=3 ，，且Z ECF=45 ，贝U CF的长为（ ）A . 2 —i B .3 -55. _____________________________________________________________________ 如图，已知平行四边形ABCD中，AB=BC , BC=10 ,Z BCD=60 °两顶点B、D分别在平面直角坐标系的y轴、x轴的正半轴上滑动，连接OA，则OA的长的最小值是 ____________________________________________________ .7. 如图，在 △ ABC 中，/ BAC=90 ° AB=6 , AC=8，点P 是BC 边上任意一点(B 、C 除外)PE 丄AB 于点E , PF 丄AC 于点F ,连接EF ，则EF 的最小值为 ___________________________ .& 如图，正方形 ABCD 的对角线交于点 0,以AD 为边向外作 Rt △ ADE , / AED=90 °连接0E , DE=6 , 0E=8二，则另一直角边 AE 的长为 _____________________ .9.若顺次连接四边形 ABCD 各边的中点所得四边形是矩形，则四边形 ABCD 一定是10. 如图，正方形 0ABC 的边0A , 0C 在坐标轴上，点 B 的坐标为(-3, 3).点P 从点A 出发，以每 秒1个单位长度的速度沿 x 轴向点0运动；点Q 从点0同时出发，以相同的速度沿 x 轴的正方向运动， 规定点P 到达点0时，点Q 也停止运动.连接 BP ，过P 点作BP 的垂线，与过点 Q 平行于y 轴的直线I 相交于点D . BD 与y 轴交于点E ,连接PE .设点P 运动的时间为t ( s ).(1) 求/ EBP 的度数；(2) 求点D 运动路径的长；(3) 探索△ P0E 周长是否随时间t 的变化而变化？若变化，说明理由；若不变，试求这个定值.AC=12 , P 为边BC 上一动点，PE 丄AB 于E , PF 丄AC11. 如图，把△ EFP按图示方式放置在菱形ABCD中，使得顶点E、F、P分别在线段AB、AD、AC上,已知EP=FP=4，EF=4 近，/ BAD=60 ° 且AB > 4 晶.(1)求/ EPF的大小；(2)若AP=6，求AE+AF 的值；(3)若厶EFP的三个顶点E、F、P分别在线段AB、AD、AC上运动，请直接写出AP长的最大值和最小值.12. 知，四边形ABCD是正方形，/ MAN=45 °它的两边AM、AN分别交CB、DC与点M、N，连接MN，作AH丄MN，垂足为点H(1)如图1，猜想AH与AB有什么数量关系？并证明；(2)如图2，已知/ BAC=45 ° AD丄BC于点D，且BD=2 , CD=3，求AD的长；小萍同学通过观察图① 发现，△ ABM和厶AHM关于AM对称，△ AHN和厶ADN关于AN对称，于是她巧妙运用这个发现，将图形如图③ 进行翻折变换，解答了此题.你能根据小萍同学的思路解决这个问题吗？图②13. 如图1 , BC是O O的直径，点A在O O上，点D在CA的延长线上，DE丄BC ,垂足为点E, DE与O O相交于点H，与AB相交于点I，过点A作O O的切线AF，与DE相交于点F.(1)求证：/ DAF= / ABO ;(2)当AB=AD 时，求证：BC=2AF ;(3)如图2，在(2)的条件下，延长FA, BC相交于点G,若tan/ DAF= ' , EH=2 ~，求线段CG的长.14. 如图，一次函数y= - x+4的图象与x轴、y轴分别相交于点A、B，过点A作x轴的垂线I，点P为直线I上的动点，点Q为直线AB与厶OAP外接圆的交点，点P、Q与点A都不重合.(1) 写出点A的坐标；(2) 当点P在直线I上运动时，是否存在点P使得△ OQB与厶APQ全等？如果存在，求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由.(3) 若点M在直线l上，且/ POM=90 °记厶OAP外接圆和△ OAM外接圆的面积分别是参考答案与试题解析一 •选择题（共4小题）1. 女口图，ABCD 为正方形，0 为 AC 、BD 的交点，△ DCE 为 Rt △，/ CED=90 ° Z DCE=30 °若 0E== 一 A . 5 B . 4 C . 3 D . 2【解答】 解：如图，过点 0作0M 丄CE 于M ,作ON 丄DE 交ED 的延长线于 N ,•••Z CED=90 °•••四边形OMEN 是矩形，•••Z MON=90 °• Z COM+ Z DOM= Z DON+ Z DOM ,• Z COM= Z DON ,• •四边形ABCD 是正方形，• OC=OD ,在厶COM 和厶DON 中，Nc 陆 ZDON-ZN=ZCIO-90QL OC =OD•••△ COM ◎△ DON （AAS ）,• OM=ON ,•四边形OMEN 是正方形， 设正方形ABCD 的边长为2a ,• Z DCE=30 ° Z CED=90 °• DE=a , CE= ■ . a ,设 DN=x , x+DE=CE - x ，解得: （V5+1）a• NE=x+a=——: -----------2 •/ OE = G 「NE ,• —_ -= p 一后:71• a=1,• S 正方形ABCD =4 故选B .2. 如图，正方形 ABCD 的边长为6，点E 、F 分别在AB , AD 上，若CE=3伍，且/ ECF=45 °则CF 的长为（ ）x= （V3 - 1）a则正方形的面积为（A. 2 厂B. 3 =C.-」D.上:，【解答】解：如图，延长FD到G,使DG=BE ; 连接CG、EF;•••四边形ABCD为正方形，在△ BCE与△ DCG中，r CB=CD-ZCBE=ZCDG ,,BE=DG•••△ BCE◎△ DCG (SAS),••• CG=CE，/ DCG= / BCE,•••/ GCF=45 °在厶GCF与厶ECF中，r GC=EC£ZGCF=ZECF ,L CF=CF•••△ GCF ◎△ ECF ( SAS),•GF=EF,•/ CE=3 二，CB=6 ,•BE= J 「J=：：」,"3，•AE=3 ,设AF=x，贝U DF=6 - x, GF=3+ (6 - x) =9 - x,•EF=• J=，2 2••( 9 - x) =9+x ,•x=4 ,即AF=4 ,•GF=5,•DF=2,•CF=-二「厂1宀二=2 ''，故选：A.3. 如图，正方形ABCD中，点E是AD边中点，BD、CE交于点H , BE、AH交于点G,则下列结论:① AG 丄BE;② BG=4GE ;③ S^BHE=S^CHD；④/ AHB= / EHD .其中正确的个数是（）【解答】证明：•••四边形ABCD是正方形，E是AD边上的中点, ••• AE=DE , AB=CD，/ BAD= / CDA=90 °在△ BAE和△ CDE中r AB=DEiAB二CD•△ BAE ◎△ CDE (SAS),•••/ ABE= / DCE ,•••四边形ABCD是正方形，•AD=DC，/ ADB= / CDB=45 °,•••在△ ADH和厶CDH中，r AD=CD円ZADH=ZCDH,L DH=DH•△ ADH ◎△ CDH ( SAS),•••/ HAD= / HCD ,•••/ ABE= / DCE•••/ ABE= / HAD ,•••/ BAD= / BAH+ / DAH=90 °•••/ ABE+ / BAH=90 °•••/ AGB=180。

《中考压轴题全揭秘》第二辑原创模拟预测题专题36：动态几何之线面动形成的全等、相似三角形存在性问题 数学因运动而充满活力，数学因变化而精彩纷呈．动态题是近年来中考的的一个热点问题，以运动的观点探究几何图形的变化规律问题，称之为动态几何问题，随之产生的动态几何试题就是研究在几何图形的运动中，伴随着出现一定的图形位置、数量关系的“变”与“不变”性的试题，就其运动对象而言，有点动、线动、面动三大类，就其运动形式而言，有轴对称（翻折）、平移、旋转（中心对称、滚动）等，就问题类型而言，有函数关系和图象问题、面积问题、最值问题、和差问题、定值问题和存在性问题等．解这类题目要“以静制动”，即把动态问题，变为静态问题来解，而静态问题又是动态问题的特殊情况．以动态几何问题为基架而精心设计的考题，可谓璀璨夺目、精彩四射．动态几何形成的存在性问题是动态几何中的基本类型，包括等腰（边）三角形存在问题；直角三角形存在问题；平行四边形存在问题；矩形、菱形、正方形存在问题；梯形存在问题；全等三角形存在问题；相似三角形存在问题；其它存在问题等．本专题原创编写动点形成的全等、相似三角形存在性问题模拟题． 在中考压轴题中，线面动形成的全等、相似三角形存在性问题的重点和难点在于应用数形结合的思想准确地进行分类．原创模拟预测题1．已知，如图①，在▱ABCD 中，AB =3cm ，BC =5cm ，AC ⊥AB ，△ACD 沿AC 的方向匀速平移得到△PNM ，速度为1cm /s ；同时，点Q 从点C 出发，沿CB 方向匀速移动，速度为1cm /s ，当△PNM 停止平移时，点Q 也停止移动，如图②，设移动时间为t （s ）（0＜t ＜4），连接PQ ，MQ ，MC ，解答下列问题：（1）当t 为何值时，PQ ∥MN ？（2）设△QMC 的面积为y （cm 2），求y 与x 之间的函数关系式；（3）是否存在某一时刻t ，使S △QMC ：S 四边形ABQP =1：4？若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由．（4）是否存在某一时刻t ，使PQ ⊥MQ ？若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）920=t ；（2）236105y t t =-+（0＜t ＜4）；（3）t =2；（4）23=t ．【解析】试题分析：（1）根据勾股定理求出AC ，根据PQ ∥AB ，得出CB CQ CA CP =，544t t =-，求解即可； （2）过点P 作PD ⊥BC 于D ，根据△CPD ∽△CBA ，得出453t PD -=，求出PD =1235t -，再根据S △QMC =S △QPC ，得出y =S △QMC =12QC •PD ，再代入计算即可； （3）根据S △QMC ：S 四边形ABQP =1：4，得出S △QPC ：S △ABC =1：5，代入得出（236105t t -+）：6=1：5，再计算即可；（4）根据PQ ⊥MQ 得出△PDQ ∽△MQP ，得出2PQ =MP •DQ ，根据勾股定理得出22PD DQ +=MP •DQ ，再分别代入得出59165)5916()5312(22t t t -⨯=-+-，求出t 即可．（4）若PQ ⊥MQ ，则∠PQM =∠PDQ ，∵∠MPQ =∠PQD ，∴△PDQ ∽△MQP ，∴DQ PQ PQ PM =，∴2PQ =MP •DQ ，∴22PD DQ +=MP •DQ ，∵CD =1645t -，∴DQ =CD ﹣CQ =1645t t --=1695t -，∴59165)5916()5312(22t t t -⨯=-+-，∴整理得0322=-t t ，解得10t =（舍去），232t =，∴23=t 时，PQ ⊥MQ ．考点：相似形综合题；动点型；存在型；综合题；压轴题．原创模拟预测题2．如图1，在△ABC 中，∠C =90°，点D 在AC 上，且CD ＞DA ，DA =2，点P ，Q 同时从点D 出发，以相同的速度分别沿射线DC 、射线DA 运动，过点Q 作AC 的垂线段QR ，使QR =PQ ，连接PR ，当点Q 到达点A 时，点P ，Q 同时停止运动．设PQ =x ，△PQR 与△ABC 重叠部分的面积为S ，S 关于x 的函数图象如图2所示（其中087x <≤，87x m <≤时，函数的解析式不同）． （1）填空：n 的值为 ；（2）求S 关于x 的函数关系式，并写出x 的取值范围．【答案】（1）3249；（2）228(0)7256328(4)41 2545457x x x x x S <≤-+⎧⎪⎪=⎨-<≤⎪⎪⎩． 【解析】试题分析：（1）当x =78时，△PQR 与△ABC 重叠部分的面积就是△PQR 的面积，然后根据PQ =78，QR =PQ ，求出n 的值是多少即可．（2）首先根据S 关于x 的函数图象，可得S 关于x 的函数表达式有两种情况：①当087x <≤时，求出S 关于x 的函数关系式，判断出当点Q 点运动到点A 时，x =2AD =4，据此求出m =4；②当847x <≤时，S 关于x 的函数关系式即可． 试题解析：（1）如图1，当x =78时，△PQR 与△ABC 重叠部分的面积就是△PQR 的面积，∵PQ =78，QR =PQ ，∴QR =78，∴n =S =21(287)⨯=3249；综上，可得：228(0)7256328(4)41 2545457x x x x x S <≤-+⎧⎪⎪=⎨-<≤⎪⎪⎩．考点：动点问题的函数图象；动点型；分类讨论；分段函数；综合题；压轴题．原创模拟预测题3．如图，在平面直角坐标系中，抛物线23y ax bx =++与x 轴交于A （﹣3，0），B （1，0）两点．与y 轴交于点C ，点D 与点C 关于抛物线的对称轴对称．（1）求抛物线的解析式，并直接写出点D 的坐标；（2）如图1，点P 从点A 出发，以每秒1个单位长度的速度沿A →B 匀速运动，到达点B 时停止运动．以AP 为边作等边△APQ （点Q 在x 轴上方），设点P 在运动过程中，△APQ 与四边形AOCD 重叠部分的面积为S ，点P 的运动时间为t 秒，求S 与t 之间的函数关系式；（3）如图2，连接AC ，在第二象限内存在点M ，使得以M 、O 、A 为顶点的三角形与△AOC 相似．请直接写出所有符合条件的点M 坐标．【答案】（1）23233y x x =+D （﹣23）；（2）223 (02)43 3 (23)3113 3 (34)22t t t t t t ≤≤⎪⎪⎪<≤⎨⎪-+-<≤⎪⎩；（3）M （﹣33）或（﹣3，3394-3334-33． 【解析】试题分析：（1）把A 、B 的坐标代入即可求得函数解析式即可，由点D 与C 对称求得点D 坐标即可；（2）由特殊角的三角函数值得出∠DAP =60°，则点Q 一直在直线AD 上运动，分别探讨当点P 在线段AO 上；点Q 在AD 的延长线上，点P 在线段OB 上以及点Q 在AD 的延长线上，点P 在线段OB 上时的重叠面积，利用三角形的面积计算公式求得答案即可；（3）由于OC 3OA =3，OA ⊥OC ，则△OAC 是含30°的直角三角形，分两种情况探讨：当△AMO 以∠AMO 为直角的直角三角形时；当△AMO 以∠OAM 为直角的直角三角形时；得出答案即可． 试题解析：（1）∵抛物线23y ax bx =++A （﹣3，0），B （1，0）两点，∴933030a b a b ⎧-+=⎪⎨+=⎪⎩，解得：3323a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴抛物线解析式为2323333y x x =--+D 点坐标为（﹣23；②当2＜t ≤3时，如图：此时点Q 在AD 的延长线上，点P 在OA 上，设QP 与DC 交于点H ，∵DC ∥AP ，∴∠QDH =∠QAP =∠QHD =∠QP A =60°，∴△QDH 是等边三角形，∴S =S △QAP ﹣S △QDH ，∵QA =t ，∴S △QAP =23t ，∵QD =t ﹣2，∴S △QDH =23(2)4t -，∴S =2233(2)44t t --=33t -； ③当3＜t ≤4时，如图：此时点Q 在AD 的延长线上，点P 在线段OB 上，设QP 与DC 交于点E ，与OC 交于点F ，过点Q 作AP 的垂涎，垂足为G ，∵OP =t ﹣3，∠FPO =60°，∴OF =OP •tan 60°=3（t ﹣3），∴S △FOP =132⨯（t ﹣3）（t ﹣3）=23(3)2t -，∵S =S △QAP ﹣S △QDE ﹣S △FOP ，S △QAP ﹣S △QDE =33t -． ∴S =2333(3)t t ---=23114332t t -+-． 综上所述，S 与t 之间的函数关系式为S =223 (02)3 3 (23)31143 3 (34)2t t t t t t t ⎧≤≤⎪⎪⎪-<≤⎨⎪-+-<≤⎪⎩；（3）∵OC =3，OA =3，OA ⊥OC ，则△OAC 是含30°的直角三角形．①当△AMO 以∠AMO 为直角的直角三角形时；如图：过点M 2作AO 的垂线，垂足为N ，∵∠M 2AO =30°，AO =3，∴M 2O =32，又∵∠OM 2N =M 2AO =30°， ∴ON =12OM 2=34，M 2N 3=334，∴M 2的坐标为（34-，334），同理可得M 1的坐标为（94-，334）； ②当△AMO 以∠OAM 为直角的直角三角形时；如图：∵以M、O、A为顶点的三角形与△OAC相似，∴OAAM3或AMOA3∵OA=3，∴AM3AM=33∵AM⊥OA，且点M在第二象限，∴点M的坐标为（﹣333，33．综上所述，符合条件的点M的所有可能的坐标为（﹣3，3，（﹣3，33，（94-，33），（34-，33．考点：二次函数综合题；相似三角形综合题；分段函数；分类讨论；动点型；相似三角形的判定；综合题；压轴题．。

题型三图形动态探究题类型一线段问题针对演练1. 在△ABC中，已知AB>AC，AD平分∠BAC交BC于点D，点E在DC的延长线上，过E 作EF∥AB交AC的延长线于点F.(1)如图①，当DEBD＝1时，求证：AF＋EF＝AB；(2)如图②，当DEBD＝2时，直接写出线段AF，EF，AB之间满足的数量关系：____________；(3)如图③，当DEBD＝k时，请猜想线段AF，EF，AB之间满足的数量关系(含k)，并证明你的结论．第1题图2. (2016甘孜州)如图①，AD为等腰直角△ABC的高，点A和点C分别在正方形DEFG 的边DG和DE上，连接BG、AE.(1)求证：BG＝AE；(2)将正方形DEFG绕点D旋转，当线段EG经过点A时(如图②所示)．①求证：BG⊥GE；②设DG与AB交于点M，若AG∶AE＝3∶4，求GMMD的值．第2题图3. (2016南平)已知在矩形ABCD中，∠ADC的平分线DE与BC边所在的直线交于点E，点P是线段DE上一定点(其中EP<PD)．(1)如图①，若点F在CD边上(不与D重合)，将∠DPF绕点P逆时针旋转90°后，角的两边PD、PF分别交射线DA于点H、G.①求证：PG＝PF;②探究：DF、DG、DP之间有怎样的数量关系，并证明你的结论；(2)拓展：如图②，若点F在CD的延长线上(不与D重合)，过点P作PG⊥PF，交射线DA于点G，你认为(1)中DF、DG、DP之间的数量关系是否仍然成立？若成立，给出证明；若不成立，请写出它们所满足的数量关系式，并说明理由．第3题图4. (2016葫芦岛)如图①，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点E在AC上(且不与点A，C重合)，在△ABC的外部作△CED，使∠CED＝90°，DE＝CE，连接AD，分别以AB，AD 为邻边作平行四边形ABFD，连接AF.(1)请直接写出线段AF，AE的数量关系______；(2)将△CED绕点C逆时针旋转，当点E在线段BC上时，如图②，连接AE，请判断线段AF、AE的数量关系，并证明你的结论；(3)在图②的基础上，将△CED绕点C继续逆时针旋转．请判断(2)问中的结论是否发生变化？若不变，结合图③写出证明过程；若变化，请说明理由．第4题图5.(2016达州)某数学兴趣小组在数学课外活动中，研究三角形和正方形的性质时，做了如下探究：在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D为直线BC上一动点(点D不与B，C 重合)，以AD为边在AD右侧作正方形ADEF，连接CF.(1)观察猜想如图①，当点D 在线段BC 上时．①BC 与CF 的位置关系为：____________；②BC ，CD ，CF 之间的数量关系为：____________；(将结论直接写在横线上) (2)数学思考如图②，当点D 在线段CB 的延长线上时，结论①，②是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请你写出正确结论再给予证明；(3)拓展延伸如图③，当点D 在线段BC 的延长线上时，延长BA 交CF 于点G ，连接GE .若已知AB ＝22，CD ＝14BC ，请求出GE 的长．第5题图6. (2016衡阳模拟)已知正方形ABCD中，点E为对角线BD上一点，过E点作EF⊥BD 交BC于点F，连接DF，点G为DF的中点，连接EG，CG.(1)求证：EG＝CG；(2)将图①中△BEF绕B点逆时针旋转45°，如图②所示，取DF的中点G，连接EG、CG，问(1)中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由；(3)将图①中△BEF绕B点旋转任意角度，如图③所示，再连接相应的线段，问(1)中的结论是否仍然成立？通过观察你还能得出什么结论？(均不要求证明)第6题图类型二图形形状问题针对演练1. (2014娄底)如图①，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4 cm，BC＝3 cm.如果点P由点B出发沿BA方向向点A匀速运动，同时点Q由点A出发沿AC方向向点C匀速运动，它们的速度均为1 cm/s.连接PQ，设运动时间为t(s)(0＜t＜4)，解答下列问题：(1)设△APQ的面积为S，当t为何值时，S取得最大值？S的最大值是多少？(2)如图②，连接PC，将△PQC沿QC翻折，得到四边形PQP′C，当四边形PQP′C为菱形时，求t的值；(3)当t为何值时，△APQ是等腰三角形？第1题图2. 已知，矩形ABCD中，AB＝4 cm，BC＝8 cm，AC的垂直平分线EF分别交AD、BC于点E、F，垂足为O.(1)如图①，连接AF、CE.求证四边形AFCE为菱形，并求AF的长；(2)如图②，动点P、Q分别从A、C两点同时出发，沿△AFB和△CDE各边匀速运动一周，即点P自A→F→B→A停止，点Q自C→D→E→C停止，在运动过程中，已知点P的速度为5 cm/s，点Q的速度为4 cm/s，运动时间为t s，当以A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，求t的值.第2题图3. 如图，已知四边形ABCD是平行四边形，AC为对角线，∠DAC＝30°，∠ACD＝90°，AD＝8，点M为AC的中点，动点E从点C出发以每秒1个单位的速度运动到点B停止，连接EM并延长交AD于点F，设点E的运动时间为t秒．(1)求四边形ABCD的面积；(2)当∠EMC＝90°时，判断四边形DCEF的形状，并说明理由；(3)连接BM，点E在运动过程中是否能使△BEM为等腰三角形？如果能，求出t；如果不能，请说明理由．第3题图4. (2016名校招生试题)如图，已知OABC是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片，O 为坐标原点，点A在x轴上，点C在y轴上，点B在第一象限，且OA＝15，OC＝9，在边AB 上选取一点D，将△AOD沿OD翻折，使点A落在BC边上，记为点E.(1)求点E和点D的坐标；(2)在x轴、y轴上是否分别存在点M、N，使四边形MNED的周长最小？如果存在，求出点M、N的坐标及四边形MNED周长的最小值；如果不存在，请说明理由；(3)设点P在x轴上，以点O、E、P为顶点的三角形是等腰三角形，请直接写出所有满足条件的点P的坐标．第4题图5. (2016包头)如图，已知一个直角三角形纸片ACB，其中∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，E、F分别是AC、AB边上的点，连接EF.(1)如图①，若将纸片ACB的一角沿EF折叠，折叠后点A落在AB边上的点D处，且使S四边形ECBF＝3S△EDF，求AE的长；(2)如图②，若将纸片ACB的一角沿EF折叠，折叠后点A落在BC边上的点M处，且使MF ∥CA .①试判断四边形AEMF 的形状，并证明你的结论； ②求EF 的长；(3)如图③，若FE 的延长线与BC 的延长线交于点N ，CN ＝1，CE ＝47，求AFBF的值．第5题图6. (2016镇江)如图①，在菱形ABCD 中，AB ＝65，tan ∠ABC ＝2，点E 从点D 出发，以每秒1个单位长度的速度沿着射线DA 的方向匀速运动，设运动时间为t (秒)．将线段CE绕点C顺时针旋转一个角α(α＝∠BCD)，得到对应线段CF.(1)求证：BE＝DF；(2)当t＝________秒时，DF的长度有最小值，最小值等于________；(3)如图②，连接BD、EF，BD交EC、EF于点P、Q.当t为何值时，△EPQ是直角三角形？第6题图7. (2017原创)已知点O是△ABC内任意一点，连接OA并延长到E，使得AE＝OA，以OB、OC为邻边作OBFC，连接OF，与BC交于点H，再连接EF.(1)如图①，若△ABC为等边三角形，求证：①EF⊥BC；②EF＝3BC；(2)如图②，若△ABC为等腰直角三角形(BC为斜边)，猜想(1)中的两个结论是否成立？若成立，直接写出结论即可；若不成立，请你直接写出你的猜想结果；(3)如图③，若△ABC是等腰三角形，且AB＝AC＝kBC，请你直接写出EF与BC之间的数量关系．第7题图类型三图形面积问题针对演练1. (2016梅州)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝5 cm，∠BAC＝60°，动点M 从点B出发，在BA边上以每秒2 cm的速度向点A匀速运动，同时动点N从点C出发，在CB边上以每秒 3 cm的速度向点B匀速运动，设运动时间为t秒(0≤t≤5)，连接MN.(1)若BM＝BN，求t的值；(2)若△MBN与△ABC相似，求t的值；(3)当t为何值时，四边形ACNM的面积最小？并求出最小值．第1题图2. 如图，在矩形ABCD中，AB＝6 cm，BC＝8 cm，动点M、N同时从点A出发，M点按折线A→C→B→A的路径以3 cm/s的速度运动，N点按折线A→C→D→A的路径以2 cm/s的速度运动．运动时间为t(s)，当点M回到A点时，两点都停止运动．(1)求对角线AC的长；(2)经过几秒，以点A、C、M、N为顶点的四边形是平行四边形？(3)设△CMN的面积为S(cm2)，求：当t >5时，S与t的函数关系式．3.(2016名校招生试题)如图，在直角坐标系中，矩形OABC的顶点A、C均在坐标轴上，且OA＝4，OC＝3，动点M从点A出发，以每秒1个单位长度的速度，沿AO向终点O移动；动点N从点C出发沿CB向终点B以同样的速度移动，当两个动点运动了x秒(0<x<4)时，过点N作NP⊥BC于点P，连接MP.(1)直接写出点B的坐标，并求出点P的坐标(用含x的式子表示)；(2)当x为何值时，△OMP的面积最大？并求出最大值；(3)在两个动点运动的过程中，是否存在某一时刻，使△OMP是等腰三角形？若存在，求出x的值；若不存在，请说明理由．4. (2016广东)如图，BD是正方形ABCD的对角线，BC＝2，边BC在其所在的直线上平移，将通过平移得到的线段记为PQ，连接PA、QD，并过点Q作QO⊥BD，垂足为O，连接OA、OP.(1)请直接写出线段BC在平移过程中，四边形APQD是什么四边形？(2)请判断OA、OP之间的数量关系和位置关系，并加以证明；(3)在平移变换过程中，设y＝S△OPB，BP＝x(0≤x≤2)，求y与x之间的函数关系式，并求出y的最大值．第4题图5. (2016名校招生试题)如图，已知在△ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ＝4，现将一块边长足够大的直角三角板的直角顶点置于AB 的中点O ，两直角边分别经过点B 、C ，然后将三角板绕点O 按顺时针方向旋转一个角度α(0°<α<90°)后，直角三角板的直角边分别与AC 、BC 相交于点K 、H ，四边形CHOK 是旋转过程中三角板与△ABC 的重叠部分，那么，在上述旋转过程中：(1)线段BH 与CK 具有怎样的数量关系？四边形CHOK 的面积是否发生变化？证明你发现的结论；(2)连接HK ，设BH ＝x .①当△CKH 的面积为32时，求出x 的值；②试问△OKH 的面积是否存在最小值？若存在，求出此时x 的值；若不存在，请说明理由．第5题图6. 提出问题：(1)如图①，在正方形ABCD中，点E、H分别在BC、AB上，若AE⊥DH于点O，求证：AE＝DH；类比探究：(2)如图②，在正方形ABCD中，点H、E、G、F分别在AB、BC、CD、DA上，若EF⊥HG 于点O，探究线段EF与HG的数量关系，并说明理由；综合运用：(3)在(2)条件下，HF∥GE，如图③所示，已知BE＝EC＝2，EO＝2FO，求图中阴影部分的面积．第6题图答案 类型一 线段问题1. (1)证明：如解图①，延长AD ，EF 交于点G ， 当DEBD＝1时，DE ＝BD ， ∵EF ∥AB ， ∴∠BAD ＝∠EGD ， 在△ABD 和△GED 中，,BAD EGD BDA EDG BD ED ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩第1题解图①∴△ABD ≌△GED (AAS)， ∴AB ＝GE ， 又∵AD 平分∠BAC ， ∴∠BAD ＝∠DAC ， ∴∠DAC ＝∠FGD ， ∴AF ＝GF ，∴AF＋EF＝GF＋EF＝GE＝AB，∴AF＋EF＝AB；(2)解：AF＋EF＝2AB；【解法提示】如解图②，延长AD，EF交于点G，当DEBD＝2时，DE＝2BD，∵EF∥AB，∴∠BAD＝∠EGD，又∵∠BDA＝∠EDG，第1题解图②∴△ABD∽△GED，∴ABGE＝BDED＝12，即GE＝2AB，又∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠DAC，∴∠DAC＝∠FGD，∴AF＝GF，∴AF＋EF＝GF＋EF＝GE＝2AB. ∴AF＋EF＝2AB. (3)解：AF＋EF＝kAB.证明：如解图③，延长AD、EF交于点G，当DEBD＝k时，DE＝kBD，∵EF∥AB，∴∠BAD＝∠EGD，又∵∠BDA＝∠EDG，∴△ABD∽△GED，∴ABGE＝BDED＝1k，即GE＝kAB，又∵AD平分∠BAC，∴∠BAD ＝∠DAC ，∴∠DAC ＝∠FGD ， 第1题解图③ ∴AF ＝GF ，∴AF ＋EF ＝GF ＋EF ＝EG ＝kAB . ∴AF ＋EF ＝kAB .2. (1)证明：∵AD 为等腰直角△ABC 的高， ∴AD ＝BD ，∠BDG ＝90°， ∵四边形DEFG 为正方形， ∴∠GDE ＝90°，DG ＝DE ， 在△BDG 和△ADE 中， ⎩⎪⎨⎪⎧ BD ＝AD ∠BDG ＝∠ADE ＝90° DG ＝DE， ∴△BDG ≌△ADE (SAS)， ∴BG ＝AE ；(2)①证明：如解图， ∵四边形DEFG 为正方形， ∴△DEG 为等腰直角三角形， ∴∠1＝∠2＝45°，∵∠ADG ＋∠BDG ＝∠ADG ＋∠ADE ＝90°， ∴∠BDG ＝∠ADE ，∵DE ＝DG ，由(1)得AD ＝BD ， ∴△BDG ≌△ADE ， ∴∠3＝∠2＝45°，∴∠1＋∠3＝45°＋45°＝90°，即∠BGE ＝90°， 第2题解图 ∴BG ⊥GE ；②解：设AG ＝3x ，则AE ＝4x ，即GE ＝7x ，∴DG ＝22GE ＝722x ， ∵△BDG ≌△ADE ， ∴BG ＝AE ＝4x ，在Rt △BGA 中，AB ＝BG 2＋AG 2＝（4x ）2＋（3x ）2＝5x ， ∵△ABD 为等腰直角三角形， ∴∠4＝45°，BD ＝22AB ＝522x ， ∴∠3＝∠4， ∵∠BDM ＝∠GDB ， ∴△DBM ∽△DGB ，∴BD ∶DG ＝DM ∶BD ，即522x ∶722x ＝DM ∶522x ，解得DM ＝25214x ，∴GM ＝DG －DM ＝722x －25214x ＝1227x ，∴GM MD ＝1227x 25214x ＝2425. 3. (1)①证明：由旋转性质得∠GPF ＝∠HPD ＝90°，∠GPH ＝∠FPD ， ∵DE 平分∠ADC ，∠ADC ＝90°， ∴∠PDF ＝∠ADP ＝45°， ∴△HPD 为等腰直角三角形， ∴∠DHP ＝∠FDP ＝45°，且PH ＝PD ， ∴△HPG ≌△DPF ， ∴PG ＝PF ；②解：DG＋DF＝2DP.证明：由①知△HPD为等腰直角三角形，△HPG≌△DPF，∴HD＝2DP，HG＝DF，∴HD＝DG＋HG＝DG＋DF，∴DG＋DF＝2DP；(2)解：(1)中结论不成立，它们所满足的数量关系式应为DG－DF＝2DP. 证明：如解图，过点P作PM⊥PD交射线DA于点M，∵PF⊥PG，∴∠GPF＝∠MPD＝90°，∴∠GPM＝∠FPD，∵DE平分∠ADC，∠ADC＝90°，∴∠MDP＝∠EDC＝45°，∴△MPD为等腰直角三角形，第3题解图∴∠DMP＝∠EDC＝45°，且PM＝PD，DM＝2DP，∴∠GMP＝∠FDP＝180°－45°＝135°，∴△MPG≌△DPF，∴MG＝DF，∴DM＝DG－MG＝DG－DF，∴DG－DF＝2DP.4. 解：(1)AF＝2AE；【解法提示】∵四边形ABFD是平行四边形，∴AB＝DF，∵AB＝AC，∴AC＝DF，∵DE＝CE，∴AE＝EF，∵∠AEF＝∠CED＝90°，∴△AEF为等腰直角三角形，∴AF＝2AE.(2)AF＝2AE.证明：如解图①，连接EF.∵∠BAC＝90°，AB＝AC，∴∠1＝∠C＝45°，∵在▱ABFD中，AB∥DF，AB＝DF，∴∠2＝∠1＝45°，DF＝AC，又∵∠DEC＝90°，∴∠3＝45°＝∠C，又∵DE＝CE，第4题解图①∴△DEF≌△CEA，∴EF＝AE，∠FED＝∠AEC，∴∠AEC－∠AED＝∠DEF－∠AED，即∠AEF＝∠DEC＝90°，∴△AEF为等腰直角三角形，∴AF＝2AE；(3)不变．证明：如解图②，延长FD交AC于M，连接EF，第4题解图②∵在ABFD中，AB＝DF，AB∥DF，且AB＝AC，∴DF＝AC，∠FMC＝∠BAC＝90°，又∵∠DEC＝90°，∴∠ACE＝180°－∠MDC－∠CDE＝135°－∠MDC，∵∠FDE＝180°－∠CDE－∠MDC＝135°－∠MDC，∴∠FDE＝∠ACE，∵CE＝DE，∴△DEF≌△CEA(SAS)，∴EF＝AE，∠DEF＝∠CEA，又∵∠AEF＝∠DEA＋∠DEF＝∠DEA＋∠AEC＝90°，∴△AEF是等腰直角三角形，∴AF＝2AE.5. 解：(1)①BC⊥CF；②BC＝CD＋CF；【解法提示】①∵∠BAC＝∠DAF＝90°，∴∠BAD＝∠CAF，又∵AB＝AC，AD＝AF，∴△ABD≌△ACF，∴∠ACF＝∠ABC＝45°，∵∠ACB＝45°，∴∠BCF＝90°，即BC⊥CF；②∵△ABD≌△ACF，∴BD＝CF，∵BC＝CD＋BD，∴BC＝CD＋CF.(2)结论①仍然成立，②不成立．①证明：∵∠BAC＝∠DAF＝90°，∴∠BAD ＝∠CAF ， 又∵AB ＝AC ，AD ＝AF ， ∴△ABD ≌△ACF ，∴∠ACF ＝∠ABD ＝180°－45°＝135°， ∵∠ACB ＝45°，∴∠BCF ＝90°，即BC ⊥CF ； ②结论为：BC ＝CD －CF . 证明：∵△ABD ≌△ACF ， ∴BD ＝CF ， ∵BC ＝CD －BD ， ∴BC ＝CD －CF ；(3)如解图，过点E 作EM ⊥CF 于点M ，作EN ⊥BD 于点N ，过点A 作AH ⊥BD 于点H ，则CN ＝ME ，CM ＝EN ，∵AB ＝AC ＝22，∴BC ＝4，AH ＝12BC ＝2，∵CD ＝14BC ， 第5题解图∴CD ＝1，∵∠BAC ＝∠DAF ＝90°，∴∠BAC ＋∠CAD ＝∠DAF ＋∠CAD ，即∠BAD ＝∠CAF ， 又∵AB ＝AC ，AD ＝AF ， ∴△ABD ≌△ACF ， ∴∠ACF ＝∠ABC ＝45°， ∵∠ACB ＝45°， ∴∠BCF ＝90°，∴∠ABC ＝∠AGC ＝45°，∴BC ＝CG ＝4，∵∠ADE ＝90°，∴∠ADH ＋∠EDN ＝∠EDN ＋∠DEN ＝90°，∴∠ADH ＝∠DEN ，又∵∠AHC ＝∠DNE ＝90°，AD ＝DE ，∴△AHD ≌△DNE ，∴DN ＝AH ＝2，EN ＝DH ＝5－2＝3，∴CM ＝EN ＝3，ME ＝CN ＝3，则GM ＝CG －CM ＝4－3＝1，∴EG ＝EM 2＋GM 2＝10.6. (1)证明：在Rt △FCD 中，∵点G 为DF 的中点，∴CG ＝12DF . 同理，在Rt △DEF 中，EG ＝12DF ， ∴CG ＝EG ；(2)解：(1)中结论仍然成立，即EG ＝CG .证明：如解图①，连接AG ，过G 点作MN ⊥AD 于点M ，与EF 的延长线交于N 点，则四边形AENM 是矩形．在△DAG 与△DCG 中，AD ＝CD ，∠ADG ＝∠CDG ，DG ＝DG ，∴△DAG ≌△DCG ，∴AG ＝CG .在△DMG 与△FNG 中，∠DGM ＝∠FGN ，FG ＝DG ，∠MDG ＝∠NFG ，∴△DMG ≌△FNG ，∴MG ＝NG .在矩形AENM 中，AM ＝EN .在Rt △AMG 与Rt △ENG 中，∵AM ＝EN ，MG ＝NG ，∴Rt △AMG ≌Rt △ENG ， 第6题解图①∴AG ＝EG ，∴EG ＝CG ；(3)解：(1)中的结论仍然成立，即EG ＝CG ，其他的结论还有EG ⊥CG .【解法提示】如解图②，连接AC 、BD 交于点M ，过点E 作EH ⊥BF 于点H ，连接GH 、GM ， ∵四边形ABCD 是正方形，∴AC ＝BD ，AC ⊥BD ，AM ＝CM ＝BM ＝DM ，∵△BEF 是等腰直角三角形，∴EH ＝FH ＝BH ，∵G 是DF 的中点，∴GH ∥BD ，GH ＝BM ＝DM ＝AM ＝CM ， 第6题解图②GM ∥BF ，GM ＝BH ＝FH ＝EH ，∴∠FHG ＝∠FBM ＝∠GMD ，∵∠EHG ＝90°＋∠FHG ，∠GMC ＝90°＋∠GMD ，∴∠EHG ＝∠GMC ，在△EHG 和△GMC 中，⎩⎪⎨⎪⎧ HG ＝MC ∠EHG ＝∠GMC EH ＝GM，∴△EHG ≌△GMC (SAS)，∴EG ＝GC ，∠EGH ＝∠GCM ，∵GH ∥BD ，AC ⊥BD ，∴AC ⊥GH ，∴∠HGM ＋∠GMA ＝90°，∴∠HGM ＋∠GCM ＋∠MGC ＝90°，∴∠EGH ＋∠HGM ＋∠MGC ＝90°，即EG ⊥CG .类型二 图形形状问题1. 解：(1)如解图①，过点P 作PH ⊥AC 于点H ，∵∠C ＝90°，∴AC ⊥BC ，∴PH ∥BC ，∴△APH ∽△ABC ，∴PH BC ＝AP AB，∵AC ＝4 cm ，BC ＝3 cm ，∴AB ＝5 cm ， 第1题解图①∴PH 3＝5－t 5， ∴PH ＝3－35t ， S △AQP ＝12·AQ ·PH ＝12·t ·(3－35t )＝－310(t －52)2＋158，∴当t 为52秒时，S 最大值为158cm 2； (2)如解图②，连接PP ′交QC 于E ，当四边形PQP ′C 为菱形时，PE 垂直平分QC ，即PE ⊥AC ，QE ＝EC ，∴△APE ∽△ABC ，∴AE AC ＝AP AB ，∴AE ＝AP ·AC AB ＝（5－t ）×45＝－45t ＋4， QE ＝AE －AQ ＝－45t ＋4－t ＝－95t ＋4， 第1题解图②又∵QE ＝12QC ＝12(4－t )＝－12t ＋2， ∴－95t ＋4＝－12t ＋2， 解得t ＝2013， ∵0＜2013＜4， ∴当四边形PQP ′C 为菱形时，t 的值是2013s ； (3)由(1)知，PH ＝－35t ＋3， 与(2)同理得：QH ＝AH －AQ ＝－95t ＋4， ∴PQ ＝PH 2＋QH 2＝(－35t ＋3) 2＋(－95t ＋4) 2 ＝185t 2－18t ＋25， 在△APQ 中，①当AQ ＝AP ，即t ＝5－t 时，解得t 1＝52s ； ②当PQ ＝AQ ，即185t 2－18t ＋25＝t 时， 解得t 2＝2513s ，t 3＝5 s ； ③当PQ ＝AP ，即185t 2－18t ＋25＝5－t 时， 解得t 4＝0，t 5＝4013s ； ∵0＜t ＜4，∴t 3＝5，t 4＝0不合题意，舍去， ∴当t 为52 s 或2513 s 或4013s 时，△APQ 是等腰三角形． 2. (1)证明：∵四边形ABCD 是矩形，∴AD ∥BC ，∴∠EAO ＝∠FCO ，∵AC 的垂直平分线为EF ，∴OA ＝OC ，在△AOE 和△COF 中，⎩⎪⎨⎪⎧ ∠EAO ＝∠FCO OA ＝OC∠AOE ＝∠COF， ∴△AOE ≌△COF (ASA )，∴OE ＝OF ，∵OA ＝OC ，EF ⊥AC ，∴四边形AFCE 是菱形．∴AF ＝FC ，设AF ＝x cm ，则CF ＝x cm ，BF ＝(8－x )cm ，∵四边形ABCD 是矩形，∴∠B ＝90°， 第2题解图∴在Rt △ABF 中，由勾股定理得42＋(8－x )2＝x 2，解得x ＝5，即AF ＝5 cm ；(2)解：显然当P 点在AF 上时，Q 点在CD 上，此时A 、C 、P 、Q 四点不可能构成平行四边形；同理P 点在AB 上时，Q 点在DE 或CE 上也不能构成平行四边形．因此只有当P 点在BF 上，Q 点在DE 上时，才能构成平行四边形，∴此时如解图，PC ＝QA ，∵点P 的速度为5 cm/s ，点Q 的速度为4 cm/s ，运动时间为t s ，t ＞1，∴PC ＝PF ＋FC ＝PF ＋AF ＝5t ，QA ＝8－(4t －4)＝12－4t ，∴5t ＝12－4t ，解得t ＝43. ∴当以A 、C 、P 、Q 四点为顶点的四边形是平行四边形时，t ＝43s.3. 解：(1)∵∠DAC ＝30°，∠ACD ＝90°，AD ＝8，∴CD ＝4，AC ＝4 3.又∵四边形ABCD 为平行四边形，∴四边形ABCD 的面积为4×43＝163； 第3题解图①(2)如解图①，当∠EMC ＝90°时，四边形DCEF 是菱形．理由如下：∵∠EMC ＝∠ACD ＝90°，∴DC ∥EF .∵BC ∥AD ，∴四边形DCEF 是平行四边形，∵由(1)可知，CD ＝4，点M 为AC 的中点，EF ∥CD ，∴F 是AD 的中点，∴DF ＝12AD ＝4＝CD ， ∴四边形DCEF 是菱形；(3)点E 在运动过程中能使△BEM 为等腰三角形．理由：如解图②，过点B 作BG ⊥AD 于点G ，过点E 作EH ⊥AD 于点H ，连接DM . ∵DC ∥AB ，∠ACD ＝90°，∴∠CAB ＝90°，∴∠BAG ＝180°－30°－90°＝60°，∴∠ABG ＝30°. 第3题解图②∴AG ＝12AB ＝2，BG ＝2 3. ∵点E 的运动速度为每秒1个单位，运动时间为t 秒，∴CE ＝t ，BE ＝8－t .在△CEM 和△AFM 中，⎩⎪⎨⎪⎧ ∠ECM ＝∠FAM MC ＝AM∠CME ＝∠AMF， ∴△CEM ≌△AFM .∴ME ＝MF ，CE ＝AF ＝t .∴HF ＝HG －AF －AG ＝BE －AF －AG ＝8－t －t －2＝6－2t .∵EH ＝BG ＝23，∴在Rt △EHF 中，ME ＝12EF ＝12EH 2＋HF 2＝1212＋(6－2t ) 2. ∵M 为平行四边形ABCD 对角线AC 的中点，∴D ，M ，B 三点共线，且DM ＝BM .在Rt △DBG 中，DG ＝AD ＋AG ＝10，BG ＝23， ∴BM ＝12BD ＝12102＋（23）2＝12×47＝27， 要使△BEM 为等腰三角形，应分以下三种情况：当EB ＝EM 时，则(8－t )2＝14[12＋(6－2t )2]， 解得t ＝265. 当EB ＝BM 时，则8－t ＝27，解得t ＝8－27.当EM ＝BM 时，由题意可知点E 与点B 重合，此时点B 、E 、M 不构成三角形．综上，当t ＝265或t ＝8－27时，△BEM 为等腰三角形． 4. 解：(1)由折叠的性质，可得OE ＝OA ＝15，AD ＝DE ，在Rt △OCE 中，CE ＝OE 2－OC 2＝12，∴E (12，9)，又∵BE ＝BC －CE ＝3，∴在Rt △BED 中，DE 2＝BE 2＋BD 2，即DE 2＝32＋(9－DE )2，∴DE ＝AD ＝5，∴D (15，5)；(2)存在．如解图①，作点D 关于x 轴的对称点D ′(15，－5)，点E 关于y 轴的对称点E ′(－12，9)，连接D ′E ′，分别交x 轴、y 轴于点M 、N ，则点M 、N 即为所求，设直线D ′E ′的解析式为y ＝kx ＋b (k ≠0)，将D ′(15，－5)、E ′(－12，9)分别代入得⎩⎪⎨⎪⎧ 15k ＋b ＝－5 －12k ＋b ＝9，解得⎩⎪⎨⎪⎧ k ＝－1427 b ＝259， ∴直线D ′E ′的解析式为y ＝－1427x ＋259， 第4题解图①令x ＝0，得y ＝259， 令y ＝0，得x ＝7514， ∴M (7514，0)、N (0，259)， 在Rt △BE ′D ′中，BD ′＝14，BE ′＝27，由勾股定理得D ′E ′＝537，∴四边形MNED 周长最小值＝DE ＋EN ＋MN ＋MD ＝5＋537；(3)若OE 为等腰三角形的腰，当点P 在x 轴的正半轴上，OP 1＝OE ＝15时，点P 1与A 重合，∴P 1(15，0)；当点P 在x 轴的负半轴上时，OP 2＝OE ＝15时，P 2(－15，0)；如解图②，当OE ＝EP 3时，过点E 作EH ⊥OA 于点H ， 第4题解图②∴OH ＝CE ＝HP 3＝12，∴P 3(24，0)；若OE 为等腰三角形的底，当OP 4＝EP 4时，由勾股定理得P 4H 2＋EH 2＝P 4E 2， ∴(12－P 4E )2＋81＝P 4E 2，∴OP 4＝EP 4＝758， ∴P 4(758，0)． 满足条件的P 点有四个，分别是P 1(15，0)，P 2(－15，0)，P 3(24，0)，P 4(758，0)． 5. 解：(1)∵折叠后点A 落在AB 边上的点D 处， ∴EF ⊥AB ，△AEF ≌△DEF .∴S △AEF ＝S △DEF .∵S 四边形ECBF ＝3S △EDF ，∴S 四边形ECBF ＝3S △AEF .∵S △ACB ＝S △AEF ＋S 四边形ECHF ，∴S △ACB ＝S △AEF ＋3S △AEF ＝4S △AEF . ∴14AEF ACB S S =V V . ∵∠EAF ＝∠BAC ，∠AFE ＝∠ACB ＝90°， ∴△AEF ∽△ABC . ∴2()AEF ACB S AE S AB=V V . ∴2()AE AB＝14. 在Rt △ACB 中，∠ACB ＝90°，AC ＝4，BC ＝3， ∴AB 2＝AC 2＋BC 2，即AB ＝42＋32＝5. ∴2()5AE ＝14，∴AE ＝52； (2)①四边形AEMF 是菱形．证明：∵折叠后点A 落在BC 边上的点M 处，∴∠CAB ＝∠EMF ，AE ＝ME ，又∵MF ∥CA ，∴∠CEM ＝∠EMF .∴∠CAB ＝∠CEM .∴EM ∥AF .∴四边形AEMF 是平行四边形．∵AE ＝ME ，∴四边形AEMF 是菱形；②连接AM 交EF 于点O ，如解图①，设AE ＝x ，则ME ＝x ，EC ＝4－x .∵∠CEM ＝∠CAB ，∠ECM ＝∠ACB ＝90°， ∴Rt △ECM ∽Rt △ACB .∴EC AC ＝EM AB ，∵AB ＝5，∴4－x 4＝x 5，解得x ＝209.∴AE ＝ME ＝209，EC ＝169.在Rt △ECM 中，∠ECM ＝90°， 第5题解图① ∴CM 2＝EM 2－EC 2，即CM ＝EM 2－EC 2＝（209）2－（169）2＝43.∵四边形AEMF 是菱形，∴OE ＝OF ，OA ＝OM ，AM ⊥EF .∴S 菱形AEMF ＝4S △AOE ＝2OE ·AO .在Rt △AOE 和Rt △ACM 中，∵tan ∠EAO ＝tan ∠CAM ，∴OE AO ＝CM AC. ∵CM ＝43，AC ＝4，∴AO ＝3OE ， ∴S 菱形AEMF ＝6OE 2. 又∵S 菱形AEMF ＝AE ·CM ，∴6OE 2＝209×43；∴OE ＝2109，∴EF ＝4109；(3)如解图②，过点F 作FH ⊥CB 于点H ，在Rt △NCE 和Rt △NHF 中， ∵tan ∠ENC ＝tan ∠FNH ， ∴EC NC ＝FH NH， ∵NC ＝1，EC ＝47，∴FH NH ＝47，设FH ＝x ，则NH ＝74x ， ∴CH ＝74x －1. 第5题解图②∵BC ＝3，∴BH ＝BC －CH ＝3－(74x －1)＝4－74x .在Rt △BHF 和Rt △BCA 中， ∵tan ∠FBH ＝tan ∠ABC ，∴HF BH ＝AC BC ，即x 4－74x ＝43， 解得x ＝85.经检验，x ＝85是原分式方程的解．∴HF ＝85.∵∠B ＝∠B ，∠BHF ＝∠BCA ＝90°，∴△BHF ∽△BCA .∴HF CA ＝BF BA，即HF ·BA ＝CA ·BF . ∴85×5＝4BF . ∴BF ＝2. ∴AF ＝3. ∴AF BF ＝32. 6. (1)证明：∵∠ECF ＝∠BCD ， ∴∠ECF －∠ECD ＝∠BCD －∠ECD ， 即∠DCF ＝∠BCE . ∵四边形ABCD 是菱形， ∴DC ＝BC ，在△DCF 与△BCE 中， ⎩⎪⎨⎪⎧ CF ＝CE ∠DCF ＝∠BCE DC ＝BC， ∴△DCF ≌△BCE (SAS )． ∴BE ＝DF ；(2)解：65＋6，12；【解法提示】∵点到直线的所有线段中，垂线段最短．如解图①所示，过点B 作BE ⊥DA 交其延长线于点E ，∵四边形ABCD 为菱形， ∴AD ∥BC ，则∠ABC ＝∠BAE ， ∴tan ∠ABC ＝tan ∠BAE ＝2，即BE ＝2AE ，又∵AB ＝65， 第6题解图① ∴BE ＝12，AE ＝6，∴DF 的最小值为12，此时t ＝6＋6 5. (3)解：∵CE ＝CF ， ∴∠CEQ <90°.①当∠EQP ＝90°时，如解图②， ∵∠ECF ＝∠BCD ，BC ＝DC ，EC ＝FC ， ∴△BCD ∽△ECF ， ∴∠CBD ＝∠CEF . ∵∠BPC ＝∠EPQ ，∴∠BCP ＝∠EQP ＝90°. 第6题解图② 在Rt △CDE 中，∠CED ＝90°，∵AB ＝CD ＝65，tan ∠ABC ＝tan ∠ADC ＝2， ∴DE ＝6， ∴t ＝6秒；②当∠EPQ ＝90°时，如解图③，∵菱形ABCD 的对角线AC ⊥BD ， ∴EC 和AC 重合． ∴DE ＝65，∴t ＝6 5 秒． 第6题解图③ 综上，当t 为6或65秒时，△EPQ 是直角三角形． 7. (1)证明：①连接AH ，如解图①， ∵四边形OBFC 是平行四边形，∴BH ＝HC ＝12BC ，OH ＝HF ，∵△ABC 是等边三角形，∴AB ＝BC ，AH ⊥BC ， 第7题解图①在Rt △ABH 中，AH 2＝AB 2－BH 2， ∴AH ＝BC 2－(12BC ) 2＝32BC ， ∵OA ＝AE ，OH ＝HF ， ∴AH 是△OEF 的中位线，∴AH ＝12EF ，AH ∥EF ，∴EF ⊥BC ； ②由①得AH ＝32BC ，AH ＝12EF ， ∴32BC ＝12EF ， ∴EF ＝3BC ；(2)解：EF ⊥BC 仍然成立，EF ＝BC ； 【解法提示】如解图②，连接AH ， ∵四边形OBFC 是平行四边形，∴BH ＝HC ＝12BC ，OH ＝HF ，∵△ABC 是等腰直角三角形，∴AH ⊥BC ，AH ＝BH ＝12BC ，∵OA ＝AE ，OH ＝HF ， 第7题解图② ∴AH 是△OEF 的中位线，∴AH ＝12EF ，AH ∥EF ，∴EF ⊥BC ，EF ＝2AH ＝BC .(3)解：EF ＝4k 2－1 BC .【解法提示】如解图③，连接AH ，∵四边形OBFC 是平行四边形，∴BH ＝HC ＝12BC ，OH ＝HF ， 第7题解图③∵△ABC 是等腰三角形，AB ＝kBC ，∴AH ⊥BC ，在Rt △ABH 中，AH 2＝AB 2－BH 2＝(kBC )2－(12BC )2＝(k 2－14)BC 2，∴AH ＝124k 2－1 BC ，∵OA ＝AE ，OH ＝HF ， ∴AH 是△OEF 的中位线，∴AH ＝12 EF ，AH ∥EF ，∴EF ⊥BC ，124k 2－1 BC ＝12EF ，∴EF ＝4k 2－1 BC .类型三 图形面积问题1. 解：(1)根据题意得，BM ＝2t ，BN ＝BC －3t ，而BC ＝5×tan 60°＝5 3.∴当BM ＝BN 时，2t ＝53－3t ，解得t ＝103－15； ∴t 的值为(103－15)s ；(2)分类讨论：①当∠BMN ＝∠ACB ＝90°时， △MBN ∽△CBA ，∴cos B ＝cos30°＝BMBN，∴2t 53－3t＝32，解得t ＝157. ②当∠BNM ＝∠ACB ＝90°时， △MBN ∽△ABC ，cos B ＝cos 30°＝BNBM， ∴53－3t 2t ＝32，解得t ＝52. 因此当t 是157 s 或52 s 时，△MBN 与△ABC 相似；(3)∵△ABC 的面积是定值，∴当四边形ACNM 的面积最小时，△MBN 的面积最大， ∵BM 边上的高为BN ·sin B ， ∴S △MBN ＝12BM ·BN ·sin B＝12×2t ×(53－3t )×12 ＝－32t 2＋532t ＝－32(t －52)2＋2538， ∵a ＝－32＜0， ∴当t ＝52时，△MBN 的面积最大，最大值为2538，因此四边形ACNM 面积的最小值为12×5×53－2538＝7538cm 2.2. 解：(1)∵四边形ABCD 是矩形， ∴∠ABC ＝90°，由勾股定理得AC ＝AB 2＋BC 2＝62＋82＝10(cm)； (2)由题意可得0≤t ≤8，对t 进行如下分类讨论：①当0≤t ≤5时，点A 、C 、N 三点共线，此时点A 、C 、M 、N 无法构成四边形，因此舍去；②当5≤t ≤6时，点M 在BC 边上，点N 在CD 边上，点A 、C 、M 、N 为顶点的四边形不可能是平行四边形，因此舍去；③当6<t ≤8时，点M 在AB 边上，点N 在CD 边上，AM ∥CN ，∴当AM ＝CN 时，四边形AMCN 为平行四边形，即24－3t ＝2t －10，解得t ＝6.8， 综上所述，当t ＝6.8 s 时，点A 、C 、M 、N 为顶点的四边形是平行四边形；第2题解图① 第2题解图② (3)当t >5时，S 与t 的函数关系式分为两种情况：①如解图①，当5<t ≤6时，点M 在BC 边上，点N 在CD 边上，S △CMN ＝CM ·CN 2＝(3t －10)(2t －10)2＝3t 2－25t ＋50；②如解图②，当6<t ≤8时，点M 在AB 边上，点N 在CD 边上， S △CMN ＝BC ·CN 2＝8(2t －10)2＝8t －40.综上，S ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 3t 2－25t ＋50（5<t ≤6） 8t －40（6<t ≤8）.3. 解：(1)在矩形OABC 中，OA ＝4，OC ＝3， ∴B 点的坐标为(4，3)．如解图①，延长NP ，交OA 于点G ，则PG ∥AB ，OG ＝CN ＝x . ∵PG ∥AB ， ∴△OPG ∽△OBA ，∴PG BA ＝OG OA ，即PG 3＝x 4，解得PG ＝34x ， ∴点P 的坐标为(x ，34x )；(2)在△OMP 中，OM ＝4－x ，OM 边上的高为34 x ， 第3题解图①∴S ＝12(4－x )·34x ＝－38x 2＋32x ，∴S 与x 之间的函数表达式为S ＝－38x 2＋32x .配方，得S ＝－38(x －2)2＋32(0<x <4)，∴当x ＝2时，S 有最大值，最大值为32；(3)存在某一时刻，使△OMP 是等腰三角形．理由如下： ①如解图②，若PO ＝PM ，则OG ＝GM ＝CN ＝x ，即3x ＝4，解得x ＝43，∴M (83，0)；第3题解图② 第3题解图③ 第3题解图④②如解图③，若OP ＝OM ，则OP ＝x 2＋(34x )2＝54x ，即54 x ＝4－x ，解得x ＝169， ∴M ( 209，0)；③如解图④，若OM ＝PM 时，∵PG ＝34x ，GM ＝OG －OM ＝x －(4－x )＝2x －4，∴PM 2＝PG 2＋GM 2＝(34x )2＋(2x －4)2，∵OM ＝4－x ，∴(4－x )2＝(34x )2＋(4－2x )2，解得x ＝12857，∴M (10057，0)．综上，M 的坐标为(83，0)或(209，0)或(10057，0)，且x 的值分别为43，169，12857.4. 解：(1)四边形APQD 是平行四边形；【解法提示】在正方形ABCD 中，AD ＝BC ，AD ∥BC ， 根据平移的性质可得PQ ＝BC ， ∴PQ ＝AD ， ∵PQ ∥AD ，∴四边形APQD 是平行四边形．(2)OP 与OA 的数量关系和位置关系分别为OA ＝OP ，OA ⊥OP .证明：①当PQ 向右移动时，由题意得，∠OBC ＝45°，OQ ⊥BD ，故△BOQ 为等腰直角三角形，则BO ＝OQ ，∠OQB ＝45°，∴在△ABO 和△PQO 中，⎩⎪⎨⎪⎧ AB ＝PQ ∠ABO ＝∠PQO ， BO ＝QO∴△ABO ≌△PQO ， ∴OA ＝OP ，∠AOB ＝∠POQ ，∴∠AOP ＝∠AOB ＋∠BOP ＝∠POQ ＋∠BOP ＝90°， ∴OA ⊥OP ，且OA ＝OP ；②当PQ 向左移动时，由题意得，∠OBC ＝45°，OQ ⊥BD ，故△BOQ 为等腰直角三角形，则BO ＝OQ ，∠OQB ＝45°，∴在△ABO 和△PQO 中，⎩⎪⎨⎪⎧ AB ＝PQ ∠ABO ＝∠PQO ， BO ＝QO∴△ABO ≌△PQO ， ∴OA ＝OP ，∠AOB ＝∠POQ ，∴∠AOP ＝∠AOB －∠POB ＝∠POQ －∠POB ＝∠BOQ ＝90°， ∴OA ⊥OP ，且OA ＝OP ；(3)①当PQ 向右移动时，BQ ＝BP ＋PQ ＝BP ＋BC ＝x ＋2，∴y ＝S △OPB ＝12·x ·x ＋22＝14(x ＋1)2－14(0≤x ≤2)，∴当0≤x ≤2时，y 随x 的增大而增大，故当x ＝2时，y max ＝14×(2＋1)2－14＝2；②当PQ 向左移动时，BQ ＝PQ －BP ＝2－x ，∴y ＝S △OPB ＝12·x ·2－x 2＝－14(x －1)2＋14，故当x ＝1时，y max ＝14.综上，当PQ 向右移动时，且BP ＝x ＝2时，y max ＝2.5. 解：(1)在旋转过程中，BH ＝CK ，四边形CHOK 的面积始终保持不变，其值为△ABC 面积的一半．理由如下：如解图，连接OC ，∵△ABC 为等腰直角三角形，O 为斜边AB 的中点，CO ⊥AB . ∴∠OCB ＝∠B ＝45°，CO ＝BO ， 又∵∠COK 与∠BOH 均为旋转角，。

《中考压轴题全揭秘》第二辑原创模拟预测题 专题37：动态几何之动点形成的等腰三角形存在性问题数学因运动而充满活力，数学因变化而精彩纷呈．动态题是近年来中考的的一个热点问题，以运动的观点探究几何图形的变化规律问题，称之为动态几何问题，随之产生的动态几何试题就是研究在几何图形的运动中，伴随着出现一定的图形位置、数量关系的“变”与“不变”性的试题，就其运动对象而言，有点动、线动、面动三大类，就其运动形式而言，有轴对称（翻折）、平移、旋转（中心对称、滚动）等，就问题类型而言，有函数关系和图象问题、面积问题、最值问题、和差问题、定值问题和存在性问题等．解这类题目要“以静制动”，即把动态问题，变为静态问题来解，而静态问题又是动态问题的特殊情况．以动态几何问题为基架而精心设计的考题，可谓璀璨夺目、精彩四射．动态几何形成的存在性问题是动态几何中的基本类型，包括等腰（边）三角形存在问题；直角三角形存在问题；平行四边形存在问题；矩形、菱形、正方形存在问题；梯形存在问题；全等三角形存在问题；相似三角形存在问题；其它存在问题等．本专题原创编写动点形成的等腰三角形存在性问题模拟题． 在中考压轴题中，动点形成的等腰三角形存在性问题的重点和难点在于应用分类思想和数形结合的思想准确地进行分类．原创模拟预测题1．如图，在平面直角坐标系xOy 中，二次函数24y ax bx =+-（0a ≠）的图象与x 轴交于A （﹣2，0）、B （8，0）两点，与y 轴交于点B ，其对称轴与x 轴交于点D ． （1）求该二次函数的解析式；（2）如图1，连结BC ，在线段BC 上是否存在点E ，使得△CDE 为等腰三角形？若存在，求出所有符合条件的点E 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）如图2，若点P （m ，n ）是该二次函数图象上的一个动点（其中m ＞0，n ＜0），连结PB ，PD ，BD ，求△BDP 面积的最大值及此时点P 的坐标．【答案】（1）213442y x x=--；（2）E 的坐标为（825-，5-）、（0，﹣4）、（112，54-）；（3）28924，P （173，16136-）． （2）由二次函数213442y x x =--可知对称轴x =3，∴D （3，0），∵C （8，0），∴CD =5，由二次函数213442y x x =--可知B （0，﹣4），设直线BC 的解析式为y kx b =+，∴804k b b +=⎧⎨=-⎩，解得：124k b ⎧=⎪⎨⎪=-⎩，∴直线BC 的解析式为142y x =-，设E （m ，142m -）， 当DC =CE 时，22221(8)(4)2ED m m CD =-+-=，即2221(8)(4)52m m -+-=，解得1825m =-2825m =+（舍去），∴E （825-5-； 当DC =DE 时，22221(3)(4)2ED m m CD =-+-=，即2221(3)(4)52m m -+-=，解得30m =，48m =（舍去），∴E （0，﹣4）；当EC =DE 时，222211(8)(4)(3)(4)22m m m m -+-=-+-，解得5m =112，∴E （112，54-）． 综上，存在点E ，使得△CDE 为等腰三角形，所有符合条件的点E 的坐标为（825-5-）、（0，﹣4）、（112，54-）； （3）过点P 作y 轴的平行线交x 轴于点F ，∵P 点的横坐标为m ，∴P 点的纵坐标为：213442m m --， ∵△PBD 的面积BOD PFD S S S S ∆∆=--梯形=221131131[4(4)](3)[(4)]342422422m m m m m m ---------⨯⨯=231784m m -+ =2317289()8324m --+，∴当m =173时，△PBD 的最大面积为28924，∴点P 的坐标为（173，16136-）．考点：二次函数综合题；分类讨论；存在型；动点型；压轴题．原创模拟预测题2．如图，在边长为2的正方形ABCD 中，G 是AD 延长线时的一点，且DG =AD ，动点M 从A 点出发，以每秒1个单位的速度沿着A →C →G 的路线向G 点匀速运动（M 不与A ，G 重合），设运动时间为t 秒，连接BM 并延长AG 于N ．（1）是否存在点M ，使△ABM 为等腰三角形？若存在，分析点M 的位置；若不存在，请说明理由； （2）当点N 在AD 边上时，若BN ⊥HN ，NH 交∠CDG 的平分线于H ，求证：BN =HN ；（3）过点M 分别作AB ，AD 的垂线，垂足分别为E ，F ，矩形AEMF 与△ACG 重叠部分的面积为S ，求S 的最大值．【答案】（1）答案见试题解析；（2）证明见试题解析；（3）当t =238秒时，S 的最大值为38．【解析】 试题分析：（1）当点M 为AC 中点时，有AM =BM ，则△ABM 为等腰三角形； 当点M 与点C 重合时，AB =BM ，则△ABM 为等腰三角形； 当点M 在AC 上且AM =2时，AM =AB ，则△ABM 为等腰三角形；（2）证明：在AB 上取点K ，使AK =AN ，连接KN ．∵AB =AD ，BK =AB -AK ，ND =AD -AN ，∴BK =DN ，又DH 平分直角∠CDG ，∴∠CDH =45º，∴∠NDH =90º+45º=135º，∴∠BKN =180-∠AKN =135º，∴∠BKN =∠NDH ，∵在Rt △ABN 中，∠ABN +∠ANB =90º，又BN ⊥NH ，即∠BNH =90º，∴∠ANB +∠DNH =180º-∠BNH =180º-90º=90º，∴∠ABN =∠DNH ．∴△BNK ≌△NHD （ASA ），∴BN =NH ；∴t t MG FG 22422)24(45cos 0-=⋅-=⋅=，∴ACG CMJ FMG S S SS ∆∆∆=-- =11142222CM CM FG FM ⨯⨯-⨯⨯-⋅=221124(22)(4)222t t ----=234284t t -+-， ∴221t 0t 2243-t 42t-8 22t 424S ⎧<≤⎪⎪=⎨⎪+<<⎪⎩（）（）；②在0＜t ≤22范围内，当t =22时，S 的最大值为222412=⨯）（； 在22＜t ＜24范围内，38)238-t (432+-=S ，当238t =时，S 的最大值为38， ∵823>，∴当t =238秒时，S 的最大值为38．考点：四边形综合题；二次函数综合题；分段函数；二次函数的最值；最值问题；动点型；存在型；压轴题．原创模拟预测题3．如图，已知抛物线2y ax bx c =++经过A （﹣2，0），B （4，0），C （0，3）三点． （1）求该抛物线的解析式；（2）在y 轴上是否存在点M ，使△ACM 为等腰三角形？若存在，请直接写出所有满足要求的点M 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）若点P （t ，0）为线段AB 上一动点（不与A ，B 重合），过P 作y 轴的平行线，记该直线右侧与△ABC 围成的图形面积为S ，试确定S 与t 的函数关系式．【答案】（1）233384y x x =-++；（2）M （0，56）或M （0，313+M （0，313M （0，﹣3）；（3）2233 6 (20)433 6 (04)8t t t S t t t ⎧--+-<<⎪⎪=⎨⎪-+≤<⎪⎩．【解析】试题分析：（1）把A ，B ，C 的坐标代入抛物线2y ax bx c =++，求解即可；（2）分四种情况讨论．①作线段CA 的垂直平分线，交y 轴于M ，交AC 与N ，连结AM 1，则△AM 1C 是等腰三角形，然后求出OM 1得出M 1的坐标，②当CA =CM 2时，则△AM 2C 是等腰三角形，求出OM 2得出M 2的坐标，③当CA =AM 3时，则△AM 3C 是等腰三角形，求出OM 3得出M 3的坐标，④当CA =CM 4时，则△AM 4C 是等腰三角形，求出OM 4得出M 4的坐标；（3）当点P 在y 轴或y 轴右侧时，设直线与BC 交与点D ，先求出ΔBOC S ，再根据△BPD ∽△BOC ，S =ΔBPD S 得出S 的表达式；当点P 在y 轴左侧时，设直线与AC 交与点E ，根据2ΔAPE ΔAOC ()S AP S AO =，得出2ΔAPE 2()32S t +=，求出S =ΔABC ΔAPE S S -=23(2)94t +-，再整理即可．试题解析：（1）把A （﹣2，0），B （4，0），C （0，3）代入抛物线2y ax bx c =++得：30420164c a b c a b c =⎧⎪=-+⎨⎪=++⎩，解得：38343a b c ⎧=-⎪⎪⎪=⎨⎪=⎪⎪⎩，则抛物线的解析式是：233384y x x =-++；（3）如图2，当点P 在y 轴或y 轴右侧时，设直线与BC 交与点D ，∵OB =4，OC =3，∴ΔBOC S =6，∵BP =BO ﹣OP =4﹣t ，∴44BP t BO -=，∵△BPD ∽△BOC ，∴2ΔBDP ΔBOC ()S BP S BO =，∴2ΔBDP 4()64S t -=，∴S =ΔBPD S =23368t t -+（04t ≤<）；当点P在y轴左侧时，设直线与AC交与点E，∵OP=﹣t，AP=t+2，∴22AP tAO+=，∵2ΔAPEΔAOC()S APS AO=，∴2ΔAPE2()32S t+=，∴ΔAPES=23(2)4t+，∴S=ΔABCΔAPES S-=23(2)94t+-=23364t t--+（20t-<<），∴2233 6 (20)433 6 (04)8t t tSt t t⎧--+-<<⎪⎪=⎨⎪-+≤<⎪⎩．考点：二次函数综合题；综合题；压轴题；动点型；存在型；分段函数；分类讨论．原创模拟预测题4．如图，在平面直角坐标系中，抛物线cbxaxy++=2与⊙M相交于A、B、C、D四点，其中A、B两点的坐标分别为（﹣1，0），（0，﹣2），点D在x轴上且AD为⊙M的直径．点E是⊙M与y 轴的另一个交点，过劣弧ED上的点F作FH⊥AD于点H，且FH=1.5．（1）求点D的坐标及该抛物线的表达式；（2）若点P是x轴上的一个动点，试求出△PEF的周长最小时点P的坐标；（3）在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使△QCM是等腰三角形？如果存在，请直接写出点Q的坐标；如果不存在，请说明理由．【答案】（1）D （4，0），223212--=x x y ；（2）P （2，0）；（3）Q 1（23，25），Q 2（23，－25），Q 3（23，﹣4），Q 4（23，－2516）． 【解析】试题分析：（1）首先根据圆的轴对称性求出点D 的坐标，将A 、B 、D 三点代入，即可求出本题的答案； （2）由于点E 与点B 关于x 轴对称，所以，连接BF ，直线BF 与x 轴的交点，即为点P ，据此即可得解； （3）从CM =MQ ，CM =CQ ，MQ =CQ 三个方面进行分析，据此即可得解．试题解析：（1）连接BD ，∵AD 是⊙M 的直径，∴∠ABD =90°，∴△AOB ∽△ABD ，∴AO ABAB AD=，在Rt △AOB 中，AO =1，BO =2，根据勾股定理得：AB 555=AD =5，∴DO =AD ﹣AO =5﹣1=4，∴D （4，0），把点A （﹣1，0）、B （0，﹣2）、D （4，0）代入c bx ax y ++=2可得：021640a b c c a b c -+=⎧⎪=-⎨⎪++=⎩，解得：12322a b c ⎧=⎪⎪⎪=-⎨⎪=-⎪⎪⎩，∴抛物线表达式为：223212--=x x y ；学科网（2）连接FM ，在Rt △FHM 中，FM =25，FH =23，∴MH 2253()()22-=2，OM =AM ﹣OA =512-=23，∴OH =OM +MH =23+2=72，∴F （72，23），设直线BF 的解析式为y kx b =+，则：73222k b b ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩，解得：12k b =⎧⎨=-⎩，∴直线BF 的解析式为：2y x =-，连接BF 交x 轴于点P ，∵点E 与点B 关于x 轴对称，∴点P 即为所求，当y =0时，x =2，∴P （2，0）；③当CQ 4=MQ 4时，过点C 作CR ⊥MQ ，Q 4V ⊥CM ，则：MV =CV =54，Q 4V =242516MQ -，Rt △CRM ∽Rt△Q 4VM ，∴24425165322MQ MQ -=，解得：MQ 4=2516，∴Q 4（23，﹣2516）； 综上可知，存在四个点，即：Q 1（23，25），Q 2（23，－25），Q 3（23，﹣4），Q 4（23，－2516）．考点：二次函数综合题；最值问题；分类讨论；动点型；存在型；综合题；压轴题．原创模拟预测题5．如图，已知Rt △ABC 中，∠C =90°，AC =8，BC =6，点P 以每秒1个单位的速度从A 向C 运动，同时点Q 以每秒2个单位的速度从A →B →C 方向运动，它们到C 点后都停止运动，设点P ，Q 运动的时间为t 秒．（1）在运动过程中，求P ，Q 两点间距离的最大值；（2）经过t 秒的运动，求△ABC 被直线PQ 扫过的面积S 与时间t 的函数关系式；（3）P ，Q 两点在运动过程中，是否存在时间t ，使得△PQC 为等腰三角形？若存在，求出此时的t 值；若不存在，请说明理由（5≈2.24，结果保留一位小数）．【答案】（1）35；（2）S =223 (05)51640 (58)t t t t t ⎧<≤⎪⎨⎪-+-<≤⎩；（3）t =165或t =4011或t =3.4．【解析】试题分析：（1）如图1，过Q 作QE ⊥AC 于E ，连接PQ ，由△ABC ∽△AQE ，得到比例式AQ AE QEAB AC BC==，求得PE =35t ，QE =65t ，由勾股定理求出PQ =355t ，当Q 与B 重合时，PQ 的值最大，于是得到当t =5时，得到PQ 的最大值；（2）由三角形的面积公式即可求得；（3）存在，如图2，连接CQ ，PQ ，分三种情况①当CQ =CP 时，②当PQ =CQ 时，③当PQ =PC 时，列方程求解即可．（2）如图1，△ABC 被直线PQ 扫过的面积=ΔAQP S ， 当Q 在AB 边上时，S =12AP •QE =1625t t ⋅=235t ，（0＜t ≤5） 当Q 在BC 边上时，△ABC 被直线PQ 扫过的面积=S 四边形ABQP ，∴S四边形ABQP=S△ABC﹣S△PQC=12×8×6﹣12（8﹣t）•（16﹣2t）=21640t t-+-，（5＜t≤8）；∴经过t秒的运动，△ABC被直线PQ扫过的面积S与时间t的函数关系式：S=223(05)51640 (58)t tt t t⎧<≤⎪⎨⎪-+-<≤⎩；（3）存在，如图2，连接CQ，PQ，由（1）知QE=65t，CE=AC﹣AE=885t-，PQ=35t，∴CQ=22QE CE+=2268()(8)55t t+-=2322165t t-+，①当CQ=CP时，即：2322165t t-+=8t-，解得；t=165，②当PQ=CQ时，即；355t=2322165t t-+，解得：t=4011，t=8811（不合题意舍去），③当PQ=PC时，即35t=8t-，解得：t=6510-≈3.4；综上所述：当t=165，t=4011，t=3.4时，△PQC为等腰三角形．考点：相似形综合题；分段函数；分类讨论；存在型；动点型；最值问题；压轴题．原创模拟预测题6．如图，在四边形ABCD中，DC∥AB，DA⊥AB，AD=4cm，DC=5cm，AB=8cm．如果点P由B点出发沿BC方向向点C匀速运动，同时点Q由A点出发沿AB方向向点B匀速运动，它们的速度均为1cm/s，当P点到达C点时，两点同时停止运动，连接PQ，设运动时间为t s，解答下列问题：（1）当t为何值时，P，Q两点同时停止运动？（2）设△PQB的面积为S，当t为何值时，S取得最大值，并求出最大值；（3）当△PQB 为等腰三角形时，求t 的值．【答案】（1）5；（2）当t =4时，S 的最大值是325；（3）t =4011秒或t =4811秒或t =4秒． 【解析】试题分析：（1）计算BC 的长，找出AB 、BC 中较短的线段，根据速度公式可以直接求得；（2）由已知条件，把△PQB 的边QB 用含t 的代数式表示出来，三角形的高可由相似三角形的性质也用含t 的代数式表示出来，代入三角形的面积公式可得到一个二次函数，即可求出S 的最值；（3）分三种情况讨论：①当PQ =PB 时，②当PQ =BQ 时，③当QB =BP ．（3）∵cos ∠B =35BE FB BC BP ==，∴BF =35t ，∴QF =AB ﹣AQ ﹣BF =885t -，∴QP 22QF PF +2284(8)()55t t -+=218455t t -+①当PQ =PB 时，∵PF ⊥QB ，∴BF =QF ，∴BQ =2BF ，即：3825t t -=⨯，解得t =4011； ②当PQ =BQ 时，即2184455t t -+8﹣t ，即：211480t t -=，解得：10t =（舍去），24811t =； ③当QB =BP ，即8﹣t =t ，解得：t =4．综上所述：当t =4011秒或t =4811秒或t =4秒时，△PQB 为等腰三角形．考点：四边形综合题；动点型；二次函数的最值；最值问题；分类讨论；压轴题．。

《中考压轴题全揭秘》第二辑原创模拟预测题专题35：动态几何之动点形成的全等、相似三角形存在性问题 数学因运动而充满活力，数学因变化而精彩纷呈．动态题是近年来中考的的一个热点问题，以运动的观点探究几何图形的变化规律问题，称之为动态几何问题，随之产生的动态几何试题就是研究在几何图形的运动中，伴随着出现一定的图形位置、数量关系的“变”与“不变”性的试题，就其运动对象而言，有点动、线动、面动三大类，就其运动形式而言，有轴对称（翻折）、平移、旋转（中心对称、滚动）等，就问题类型而言，有函数关系和图象问题、面积问题、最值问题、和差问题、定值问题和存在性问题等．解这类题目要“以静制动”，即把动态问题，变为静态问题来解，而静态问题又是动态问题的特殊情况．以动态几何问题为基架而精心设计的考题，可谓璀璨夺目、精彩四射．动态几何形成的存在性问题是动态几何中的基本类型，包括等腰（边）三角形存在问题；直角三角形存在问题；平行四边形存在问题；矩形、菱形、正方形存在问题；梯形存在问题；全等三角形存在问题；相似三角形存在问题；其它存在问题等．本专题原创编写动点形成的全等、相似三角形存在性问题模拟题． 在中考压轴题中，动点形成的全等、相似三角形存在性问题的重点和难点在于应用数形结合的思想准确地进行分类．原创模拟预测题1．如图，一次函数4y x =-+的图象与x 轴、y 轴分别相交于点A 、B ，过点A 作x 轴的垂线l ，点P 为直线l 上的动点，点Q 为直线AB 与△OAP 外接圆的交点，点P 、Q 与点A 都不重合．（1）写出点A 的坐标；（2）当点P 在直线l 上运动时，是否存在点P 使得△OQB 与△APQ 全等？如果存在，求出点P 的坐标；如果不存在，请说明理由．（3）若点M 在直线l 上，且∠POM =90°，记△OAP 外接圆和△OAM 外接圆的面积分别是1S 、2S ，求2111S S +的值．原创模拟预测题2．如图，已知抛物线252y ax ax =-+（0a ≠）与y 轴交于点C ，与x 轴交于点A （1，0）和点B ．（1）求抛物线的解析式；（2）求直线BC 的解析式；（3）若点N 是抛物线上的动点，过点N 作NH ⊥x 轴，垂足为H ，以B ，N ，H 为顶点的三角形是否能够与△OBC 相似？若能，请求出所有符合条件的点N 的坐标；若不能，请说明理由．原创模拟预测题3．如图，已知二次函数的图象M 经过A （﹣1，0），B （4，0），C （2，﹣6）三点．（1）求该二次函数的解析式；（2）点G 是线段AC 上的动点（点G 与线段AC 的端点不重合），若△ABG 与△ABC 相似，求点G 的坐标；（3）设图象M 的对称轴为l ，点D （m ，n ）（(12)m -<<）是图象M 上一动点，当△ACD 的面积为278时，点D 关于l 的对称点为E ，能否在图象M 和l 上分别找到点P 、Q ，使得以点D 、E 、P 、Q 为顶点的四边形为平行四边形？若能，求出点P 的坐标；若不能，请说明理由．原创模拟预测题4．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，点D为边CB上的一个动点（点D 不与点B重合），过D作DO⊥AB，垂足为O，点B′在边AB上，且与点B关于直线DO对称，连接DB′，AD．（1）求证：△DOB∽△ACB；（2）若AD平分∠CAB，求线段BD的长；（3）当△AB′D为等腰三角形时，求线段BD的长．原创模拟预测题5．已知：⊙O上两个定点A，B和两个动点C，D，AC与BD交于点E．（1）如图1，求证：EA•EC=EB•ED；AB BC，AD是⊙O的直径，求证：AD•AC=2BD•BC；（2）如图2，若=（3）如图3，若AC⊥BD，点O到AD的距离为2，求BC的长．原创模拟预测题6．如图1，矩形ABCD 的两条边在坐标轴上，点D 与坐标原点O 重合，且AD =8，AB =6．如图2，矩形ABCD 沿OB 方向以每秒1个单位长度的速度运动，同时点P 从A 点出发也以每秒1个单位长度的速度沿矩形ABCD 的边AB 经过点B 向点C 运动，当点P 到达点C 时，矩形ABCD 和点P 同时停止运动，设点P 的运动时间为t 秒．（1）当t =5时，请直接写出点D 、点P 的坐标；（2）当点P 在线段AB 或线段BC 上运动时，求出△PBD 的面积S 关于t 的函数关系式，并写出相应t 的取值范围；（3）点P 在线段AB 或线段BC 上运动时，作PE ⊥x 轴，垂足为点E ，当△PEO 与△BCD 相似时，求出相应的t 值．原创模拟预测题7．如图，已知直线3y x =-+与x 轴、y 轴分别交于A ，B 两点，抛物线2y x bx c =-++经过A ，B 两点，点P 在线段OA 上，从点O 出发，向点A 以1个单位/秒的速度匀速运动；同时，点Q 在线段AB 上，从点A 出发，向点B 2个单位/秒的速度匀速运动，连接PQ ，设运动时间为t 秒．（1）求抛物线的解析式；（2）问：当t 为何值时，△APQ 为直角三角形；（3）过点P 作PE ∥y 轴，交AB 于点E ，过点Q 作QF ∥y 轴，交抛物线于点F ，连接EF ，当EF ∥PQ 时，求点F 的坐标；（4）设抛物线顶点为M ，连接BP ，BM ，MQ ，问：是否存在t 的值，使以B ，Q ，M 为顶点的三角形与以O ，B ，P 为顶点的三角形相似？若存在，请求出t 的值；若不存在，请说明理由．。

中考突破专题训练---第五题：压轴题（3）(时间：40分钟，满分27分)五解答题（本大题共3小题，每小题9分，共27分）请将答案写在答卷相应题号 的位置上。

20如图11，ABC △中，24AB BC AC ===，，E F ，分别在AB AC ，上，沿EF 对折，使点A 落在BC 上的点D 处，且FD BC ⊥． （1）求AD 的长；（2）判断四边形AEDF 的形状，并证明你的结论．21.．如图21，在直角坐标系xOy 中，一次函数y ＝k 1x ＋b 的图象与反比例函数xk y 2=的图象交于A(1，4)、B(3，m)两点。

(1)求一次函数的解析式； (2)求△AOB 的面积。

图11C22.如图12，直角梯形ABCD 中，90643AB CD A AB AD DC ∠====∥，°，，，，动点P 从点A 出发，沿A D C B →→→方向移动，动点Q 从点A 出发，在AB 边上移动．设点P 移动的路程为x ，点Q 移动的路程为y ，线段PQ 平分梯形ABCD 的周长． （1）求y 与x 的函数关系式，并求出x y ，的取值范围； （2）当PQ AC ∥时，求x y ，的值；（3）当P 不在BC 边上时，线段PQ 能否平分梯形ABCD 的面积？若能，求出此时x 的值；若不能，说明理由．ABCD P Q图12中考突破专题训练---压轴题（3）20.解：（1）因为222ACAB BC =+，所以ABC △是直角三角形，90B ∠=，又2AC AB =，所以由FD BC ⊥，得60DFC ∠=又AF DF =，所以30FAD FDA ∠=∠=，所以30DAB∠= ， 4分所以cos30AD AB =，得AD =． （2）四边形AEDF 是菱形． 6分证明：由（1）知，AE FD AF ED ∥，∥，所以AEDF 是平行四边形， 7分又AF FD =，所以四边形AEDF 是菱形．21. AFCDE22解：（1）过C 作CE AB ⊥于E ，则34CD AE CE ===，，可得5BC =，所以梯形ABCD 的周长为18．················································································································· 1分PQ 平分ABCD 的周长，所以9x y +=， ························································································· 2分 因为06y ≤≤，所以39x ≤≤，所求关系式为：939y x x =-+，≤≤．（2）依题意，P 只能在BC 边上，79x ≤≤．126PB x BQ y =-=-，，因为PQ AC ∥，所以BPQ BCA △∽△，所以BP BQBC BA=，得4分12656x y--=，即6542x y -=， 解方程组96542x y x y +=⎧⎨-=⎩， 得87121111x y ==，． （3）梯形ABCD 的面积为18． 7分 当P 不在BC 边上，则37x ≤≤， （a ）当34x <≤时，P 在AD 边上，12APQ S xy =△． 如果线段PQ 能平分梯形ABCD 的面积，则有192xy =8分 可得：918.x y xy +=⎧⎨=⎩，解得36x y =⎧⎨=⎩，；（63x y ==，舍去）．9分（b ）当47x ≤≤时，点P 在DC 边上，此时14(4)2ADPQ S x y =⨯-+． 如果线段PQ 能平分梯形ABCD 的面积，则有14(4)92x y ⨯-+=，可得92217.x y x y +=⎧⎨+=⎩，此方程组无解．所以当3x =时，线段PQ 能平分梯形ABCD 的面积．QBCDP A。