16年春数学教学论文李国华 (2)

在高中数学课本习题探究中培养学生的思维能力内容摘要：《普通高中数学课程标准》指出：培养和发展学生的思维能力是发展智力、全面培养数学能力的主要途径，因此，高中数学课程应注意提高学生的数学思维能力，这也是数学教育的基本目标之一．课本中的习题是经过编者精心设计的，具有典型性的范例作用，极具开采价值．本文笔者就结合自身的教学实践，挖掘课本习题的潜在价值，让学生对习题进行充分探究，从而启发学生思维，培养他们的数学能力。

关键词：课本习题；探究；思维；能力高中新课改以来，新教材无论是内容设置还是习题编排，都与以往旧教材有了质的变化，旧教材上的习题一般紧扣每一节的知识内容，但是一轮教学结束之后，许多知识又变得陌生，新课标的理念强调知识是一个螺旋上升的过程，课后习题将已学的和将学的知识串在一起，做好知识本身的衔接，这样有利于学生整体上的认识，不但这样，新教材中的习题不再是以封闭类的题目为主，而是涉及“探究式”的问题比较多．目前，还有部分教师在课本习题教学中，就题论题，忽视拓展延伸，甚至有的干脆避过不讲，或者教师自己解决，直接呈现结果，给学生独立思考的时间和自主探索活动的空间很少甚至没有，这种做法严重阻碍了学生思维的发展，打击学生学习数学的积极性．为了改变这种情况，使我们的数学教育更加符合新课程理念要求，使数学习题教学增加趣味性，摆脱枯燥无味之说，这就需要教师在习题教学过程中，除注意增加变式题、综合题外，还应适当留足够时空给学生去做一些探究性较强的习题，从而培养学生思维的深刻性和灵活性，克服学生思维的呆板性．下面笔者就以北师大版必修课本中的习题为例，谈谈自己的一些做法和体会，与同行交流。

一、一题多解，培养学生发散性思维不少教师不太注重一题多解的训练，认为“通法”才是最重要的，不必过多地去探索其他解法，这是十分片面的．事实上，一题多解，不仅可以通过少量的问题去沟通各部分知识间的联系，拓宽解题的思路，而且有利于培养学生创新精神．如必修4 P.101A第3题：已知平行四边形ABCD 的顶点A(1，2)，B(3，1)，C(5，6)，求顶点D的坐标．很多学生都是机械地模仿前面例5中的两种方法，当老师问还有其他解法时，学生跃跃欲试，但是大部分学生摆脱不了用向量方法去思考这种定势思维，无从入手，这时教师正确引导学生，让学生在稿纸上画图，观察平行四边形四个顶点与对角线交点的关系，从中发现，对角线交点既是线段AC的中点又是线段BD的中点，只要由A、C两点坐标求出交点坐标，进而通过中点坐标公式即可求出点D的坐标．第三种解法是对比其他不会做的同学的创新方法，让学生感受到学习的成就感，这种方法从几何特征出发，解题的切入点与用向量方法就有区别，接着又有一位学生想出用直线斜率相等与两点间的距离公式联立方程来解决问题，学生可以比较几种方法选择最优解法，在发现新解法时，巩固了以前所学的知识。

概念教学方法指津发表时间：2013-02-27T13:20:54.903Z 来源：《教师教育研究（教学版）》2012年12月供稿作者：李国华[导读] 夸张的手势，丰富的肢体语言，理解运算所蕴含的意义，区分概念的差别。

河北省武安市活水乡陈家坪小学李国华摘要：概念是枯燥的、乏味的，但却是重要的，不能单纯地依赖教师或家长的“权威”去迫使孩子们去学习，那么就需要我们积极地引领他们，使之学得轻松，学得扎实，让他们体会到数学所散发出的无穷魅力，让概念深入心中，为数学学习服务。

关键词：小学数学概念教学方法指津小学数学第一学段的概念包罗万象，它们有的需要用一定的生活经验为基础，有的需要一定的概括能力，有的又需要一定的抽象思维，掌握起来并不那么容易了。

数学概念是数学思维的细胞，是形成数学知识体系的基本要素，是数学基础知识的核心，是孩子们学习数学的坚固基石。

对于第一学段的孩子来说，正确地理解、掌握数学概念更是孩子学好数学的前提和保障，有利于学生在后来的学习中形成完整的、清晰的、系统的数学知识体系。

怎样让这些枯燥、抽象的概念变得生动有趣，使课堂教学更有效，减轻孩子们的学习负担，让概念在孩子们心中得到完美内化呢？或许我们可以从以下几方面入手。

一、概念的引入讲述宜直观形象针对第一学段孩子的抽象思维能力较弱，对数学语言描述的概念理解较为困难，我们在教学中应该多用形象的描述，创设有趣的问题情境，打些合理的比方等，努力让孩子们理解所学概念，可以采用以下一些方式来进行教学。

夸张的手势，丰富的肢体语言，理解运算所蕴含的意义，区分概念的差别。

在让一年级的孩子认识加减法的时候，我举起双手像音乐指挥家一样，左边一部分，右边一部分，两部分合在一起就用加号，加号就是横一部分，竖一部分组起来的，减法则反过来展示。

孩子们看得有趣，记得形象，不但记住了加减号还明白了加减号的用法。

在教二年级孩子感受厘米和米时，我让孩子们学会用手势来表示1厘米和1米，使得孩子们在估计具体物体的长度时有据可依。

初中数学教学论文《以作业反思为途径，促进学生有效学习》在学生学习的过程中，常会出现：上课听懂了老师的讲课，课堂练习也能独立、正确的完成，而课外作业中的同类题目完成时，却是错误百出或做不出。

学生做错题目，其原因是多种多样的，有粗心大意看错题目的，有笔误写错数字或符号的，有受思维定势影响而出错的，有考虑不周全而出错的，有对数学概念不理解或理解不透彻而出错的。

认知心理学认为：在学习过程中，不论是难以理解的还是熟练掌握的事实、概念、原理和理论，学习者都能够对其产生一个整合的、符合常识的表征或者解释系统。

事实上，由于新知的未知特性，学生的探究活动往往不是一蹴而就的。

这需要有一个不短的学习过程，因此，学生出现上述情况是非常正常的。

这并不可怕，而关键在于我们教师如何引导学生，尽量减少这种情况的发生或缩短这个整合的过程。

《学记》中说：“学然后知不足，教然后知困。

知不足，然后能自反也；知困，然后能自强也。

”它是我国较早提出反思作用的理论之一。

反思是对自己的思维结果进行检验和再认识的过程。

学生作业的出错过程，实际就是知不足、知困的过程。

因此，引导学生在作业后进行反思，是促进学生有效学习的一个重要途径。

作业反思是指在解决了数学作业即数学问题之后，从更深的层面上，对问题特征的审视，解题方法的剖析，解题过程的审阅，解题结果的验证和题形变化的研讨，对问题和问题解决所作的重新思考等。

在解题受阻时，需要及时反思，考虑这些猜想、策略的正确性、可行性，以便及时调整方法，少走弯路；在解题失败时，同样要反思寻找失败的原因，以此为鉴，免蹈覆辙；在解题顺利时，更需要对解题过程再审视、再探索，寻找其中蕴涵的内在规律，可以这样说，问题的解决并不意味着解题思维活动的结束，而往往是深入认识的开始，从感性认识到理性认识，反思在其间正是充当了重要的桥梁角色。

从“终极”或“阶段”意义上而言，解题后的反思，非但不会浪费学生的时间，相反，对完善学生的认知结构、提高学生的思维能力、开发学生的解题的智慧、促进数学研究性学习和培育学生的情感、态度与价值观等都起到事半功倍的作用。

浅析初中数学后进生的转化
李国华
【期刊名称】《读写算（教研版）》
【年(卷),期】2014(000)024
【摘要】在初中数学活动过程中，后进生的存在是无法回避且刻不容缓需要解决的现实问题。

本文分析了初中后进生的形成原因，并对教师教学、学生的自身修养和家庭教育三个方面进行研究，从而提出了后进生的转化策略。

【总页数】1页(P79-79)
【作者】李国华
【作者单位】吴忠市红寺堡区第二中学宁夏吴忠 751900
【正文语种】中文
【中图分类】G632
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构造基本模型妙解最值问题--对一道中考题的探究与思考杨蕴菊【期刊名称】《中学数学月刊》【年(卷),期】2016(000)012【总页数】2页(P56-57)【作者】杨蕴菊【作者单位】江苏省苏州工业园区星海实验中学 215021【正文语种】中文最值问题是初中几何教学的一大难点，也是中考命题中各知识的结合点和能力考查的区分点，学生常常无法建立数学模型，找不到解题切入口.笔者以2016年苏州市中考数学第28题为例，探究最值问题中较为常见的两种类型，试图使学生建立基本的几何模型，用最基本、最重要、最自然的通法来解决问题.题目如图1，直线：y=-3x+3与x轴、y轴分别相交于A，B两点，抛物线y=ax2-2ax+a+4(a<0)经过点B．(1)求该抛物线的函数表达式.(2)已知点M是抛物线上的一个动点，并且点M在第一象限内，连结AM，BM，设点M的横坐标为m，△ABM的面积为S.求S关于m的函数表达式，并求出S 的最大值.(3)在(2)的条件下，当S取得最大值时，动点M相应的位置记为点M′．①写出点M′的坐标.②将直线绕点A按顺时针方向旋转得到直线l′，当直线l′与直线AM′重合时停止旋转.在旋转过程中，直线l′与线段BM′交于点C，设点B,M′到直线l′的距离分别为d1,d2，当d1+d2最大时，求直线l′旋转的角度(即∠BAC的度数)．解析 (1)易得二次函数解析式为y=-x2+2x+3.(2)如图2，过点M作ME⊥y轴于点E，交AB于点D，则有 M(m，-m2+2m+3)，，，所以.因为0<m<3，所以当时，S有最大值，最大值为，M′探究本小题涉及的解题模块是三角形面积的求法，除了传统的方法×底×高)以外，还可以用什么方法呢？为了更透彻地解决这个问题，我们以图3为例加以说明：过△ABC的三个顶点分别作出与水平线垂直的三条直线，外侧两条直线之间的距离叫△ABC的“水平宽”(a)，中间的这条直线在△ABC内部线段的长度叫△ABC的“铅垂高”(h).我们可得出一种计算三角形面积的新方法：，即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半.运用这个方法，最直接的想法是过点A作铅垂高，但由于BM是未知直线，纵向分割三角形，会使过程繁琐、复杂.于是灵活运用，横向分割三角形，用了一个更特殊的技巧去代替现存的常规步骤，体现出了解题的奇异美.由此建立起二次函数模型，利用其性质是求最值的常规方法，但要注意自变量的取值范围和端点值的可取性.拓展研究一个题目，不仅要从多角度研究它的通性通法，还要钻研用这种通法可以解决哪些同类问题，所谓会一题，通一类.比如本题，改变问法，我们还是可以轻松解决.问题改为：点M为x轴上方的抛物线上的一个动点，连结MA，MB，若所得△MAB的面积为S，则S为何取值范围时，相应的点P有且只有2个?点评与原问题相比，变化一是点M的运动范围扩大了，它在整个x轴上方的抛物线上运动，即-1<m<3，所以要分成两部分思考：当-1<m≤0时，△MAB的面积单调递减，易得0<S<3；当0<m<3时，可以用原题的方法求出△MAB的最值，从而得出S的取值范围，0<S≤.变化二是求相应的点M有且只有两个时S的取值范围，我们得分情况讨论：当时，点M有且只有一个；当3≤S<时，相应的点M 有且只有两个；当0<S<3，相应的点M有且只有3个.或者这样问：若点M为x轴上方的抛物线上的一个动点，连结MA，MB，△MAB 的面积S为整数，则这样的△MAB共有个．点评有了上面的基础，解决这个问题就简单多了，当-1<m≤0时，0<S<3，S可取的整数为1和2，对应的点P有两个；当0<m<3时，0<S≤，可取的整数为1,2,3，对应的点M有6个.综上所述，若△MAB的面积S为整数，则这样的△MAB共有8个．(3)直线旋转到如图4所示位置时，分别过点B,M′作BD⊥l′于点D，M′E⊥l′于点E，′，当d1+d2最大时，AC最小，即AC⊥BM′.利用两点间距离公式求出BM′，因为′×××，则.又，，故△ABC为等腰直角三角形，∠BAC=45°.探究运用“垂线段最短”是解决最短路径问题的基本模型之一，它着重考查学生的转化技巧，需要具备一定的图形把控能力.比如本题，这一模型隐藏在三角形里，根据三角形面积一定时，底和高成反比，当d1+d2最大时，AC最短，根据垂线段最短，可知AC⊥BM′，问题得以转化.拓展同一模型植入不同背景，通过变化，引导学生将问题进行归类，探寻本质属性，梳理解决此类问题的通法.下面就以如何转化为“垂线段最短”这一基本模型为线索，着重剖析转化方法，提升学生的转化能力.例1 如图5，在△ABC中，AB=3，AC=4，BC=5，P为边BC上一动点，PE⊥AB 于E，PF⊥AC于F，则EF的最小值为( ).(A)2 (B)2.4(C)2.6 (D)3点评本题以矩形为背景，根据矩形的对角线相等，把所求线段EF转化为AP，而当AP⊥BC时，AP的长最短，问题得以解决.本题答案选B.例2 如图6，⊙O是以原点为圆心、为半径的圆，点P是直线y=-x+6上的一点，过点P作⊙O的一条切线PQ，Q为切点，则切线长PQ的最小值为．点评本题以圆为载体，根据圆的切线的性质定理和勾股定理，得出，因为OQ的长一定，要使PQ的长最小，只要OP的长最小，即OP⊥AB时，转化为基本模型. 本题答案为4.例3 如图7，在直角坐标系中，A(0，1)，C(3，4),拋物线上有一个动点P．求PC+PA的最小值.点评本题放置在抛物线中，可根据抛物线的定义解决：到一个定点的距离等于到一条定直线的距离的点的轨迹是抛物线.本定义涉及高中内容，因此可以设置一个梯度：“设点P到x轴的距离为d1，点P到点A的距离为d2，试说明d2=d1+1”，作一下铺垫，从而得出PA=PH，原问题即求PC+PH的最小值，转化为垂线段最短，向基本模型靠拢.本题答案为5.(1)构造基本的解题模型不同类型的问题有着相同的内在规律，如果学生能够形成基本的解题模型，就能迅速找到这类问题的切入口.比如本题求最值问题时，可以建立二次函数模型，根据其性质解决问题；也可以建立几何模型，利用“垂线段最短”来解决.在利用基本模型解题时，还要进行一题多问的发散、一题多变的尝试，从而实现思维的提升，知识的迁移.(2)注重基本的概念教学李邦河院士说，“数学玩的是概念，而不是纯粹的技巧.因为中小学数学里面的概念比较少，所以就在一些难题、技巧上下工夫，这恰恰是舍本逐末的做法，值得所有数学教育工作者的深思.”所以，教师在教学中应对概念足够重视，深入探究其内涵，挖掘其本质，在解题时从概念出发，思考概念所涉及到的外延，这样往往会水到渠成.本文所涉及的解题方法处处诠释了“概念是思维的启动器”，追根溯源使得思路流畅生成.(3)强调基本的思想方法注意渗透基本的数学思想方法，它是一种“隐性的知识”,是数学的生命和灵魂,是把知识转化成能力的桥梁，直接关系到解题的思路和答题的效率.比如本题，三角形面积问题用函数来解决，体现了数形结合思想，运用二次函数的性质解决最值问题则体现了建模思想，最值问题化归为垂线段最短问题则体现了转化思想.。

任意角的三角函数华北油田第一中学二校区李国华本节内容选自普通高中课程标准实验教科书，人教A版数学必修四，第一章第二节第一小节任意角的三角函数。

教材分析和学情分析教材分析：三角函数是基本初等函数，是中学教学的重要内容之一，也是学习高等数学的基础。

它的认知基础主要是几何中圆的性质、相似形的有关知识。

三角函数是函数的一个特例，与指数函数、对数函数的地位相同，但是在具体的定义方式上又有所不同，应该按照函数概念的体系,纳入到原有的认知结构中，揭示彼此之间的关系，认识新概念的本质属性。

学情分析：学生已经在《数学1》中建立了函数的概念，有了学习指数函数和对数函数的经验。

但是学生对《弧度制》的理解程度往往不够深，对理解三角函数是实数集到实数集的对应关系造成了一定的障碍。

教学目标：知识与技能目标：理解任意角的三角函数的定义，了解终边相同的角的同一三角函数值相等过程与方法目标：1.培养学生应用函数思想学习数学问题的能力2、树立函数观点，正确理解三角函数是以实数为自变量的函数。

情感、态度与价值观目标：通过三角函数定义的学习，在千变万化中，抓住事物的本质属性，不被表面现象所迷惑，从中体会三角函数，像一般函数一样，体现了一般函数的抽象美。

教学重点难点：任意角的正弦、余弦、正切的定义既是本节重点又是难点。

根据函数的概念，判定任意角的三角函数符合函数范畴也是本节的重点。

教法：我采用“创设情境——探索研究——归纳应用”的教学方法，力求体现“主体参与、自主探索、合作交流、指导应用”的教学理念，遵循因材施教、循序渐进的原则，充分发挥学生的主观能动性，注重学生探究能力的培养。

学法：我倡导积极主动、勇于探索、动手实践、合作交流的学习方式，由具体到抽象，激发学生探究热情，使学生真正成为教学的主体，体会成功的喜悦，提高学生主动获取新知识的能力。

教学设计与教学过程在以往的教学中，我始终坚持利用小组合作、分组交流的学习方式，创建高效课堂提高课堂教学的效率。

对于小学数学教学中创设情境的探讨摘要：在小学数学教学中创设情境能使枯燥的课堂变得生动，从而激发学生的学习兴趣。

提出了在小学数学课堂中创设情境时出现的一些问题，并针对这些问题找到相应的解决策略：要创设具有年龄特点的情境，激发学生思维；要让学生在动手操作中发现知识；要创设学生熟悉的教学情境，利于学生思考；要注重教材的二次开发，避免资源的浪费。

关键词：小学数学；创设情境；策略“创设情境”是新课程着力推行的教学策略。

由于文本知识抽象，与现实生活有一定距离，不利于学生理解内化，需要教师将其与学生日常生活沟通，创设情境。

情境，是参与事件相关的整个情景、背景和环境。

鲁永红与叶龙俊在他们的论文中提出：创设情境就是以情境为载体，以探索、交流和建构为手段，通过揭示事物间矛盾引起主体内心的冲突，打破主体已有认知结构的平衡状态，从而理解和生成数学知识，掌握用数学的思想和方法解决问题，最终让学生形成一定的数学能力。

一、小学数学教学中创设情境存在的问题1.创设的数学情境没有年龄划分感兴趣的数学情节能够吸引学生的注意力，激发学生的学习兴趣，这点对于小学数学课堂来说尤为突出，但是对于小学生不同年龄的数学情境创设也不能应用相同的模式。

现在的小学数学课堂中教师往往忽略了学生的年龄特点，一味地追求能够创设出情境，并没有考虑不同年龄段的学生究竟对什么样的数学情境感兴趣，如果设置的内容是学生不感兴趣的，那么就会起到事倍功半的效果。

究竟什么样的数学情节会使学生感兴趣？这要根据不同年龄段的学生来定，不可混为一谈。

一般来说，小学低年级学生更多地关注“有趣、好玩、新奇”的事物，所以低、中年级的数学情境创设可以突出故事性，像童话故事、小游戏都是他们感兴趣的主要对象。

小学中高年级学生开始对“有用”数学感兴趣，所以中高年级的情境创设要多一点现实性，应该尽可能选择一些现实生活中的事例，以现实生活中真实的故事形式呈现。

2.数学情境创设不注重学生的动手操作在小学生数学知识的学习中，许多教师采用“填鸭式”的教学方法，将知识全部灌输给学生，不让学生有动手操作的过程，将一堂应有学生动手操作的数学课讲成了一堂枯燥乏味的语文课。

附件4：Array汉中市电化教育馆全国教育技术研究规划《信息化环境下“翻转课堂”研究与实践》子课题申请·评审书课题名称：申请单位：学科类别：填表日期：汉中市电化教育馆汉中市教育技术研究规划工作领导小组办公室制申请者的承诺与成果使用授权一、本人自愿申报汉中市电化教育馆《信息化环境下“翻转课堂”研究与实践》课题。

本人认可所填写的汉中市电化教育馆规划课题申请·审批书为有约束力的协议，并承诺对所填写的课题申请·审批书所涉及各项内容的真实性负责，保证没有知识产权争议。

同意汉中市电化教育馆有权使用课题申请·审批书所有数据和资料。

课题申请如获准立项,在研究工作中，接受汉中市电化教育馆及其委托部门的管理，并对以下约定信守承诺：1．遵守相关法律法规。

遵守我国《著作权法》和《专利法》等相关法律法规。

遵守我国政府签署加入的相关国际知识产权规定。

遵守《汉中市科学项目研究规划课题管理办法（2011修订）》的规定。

2．遵循学术研究的基本规范。

科学设计研究方案，采用适当的研究方法，如期完成研究任务，取得预期研究成果。

3．尊重他人的知识贡献。

客观、公正、准确地介绍和评论已有学术成果。

凡引用他人的观点、方案、资料、数据等，无论曾否发表，无论是纸质或电子版，均加以注释。

凡转引文献资料，均如实说明。

4．恪守学术道德。

在研究过程中，不以任何方式抄袭、剽窃或侵吞他人学术成果，杜绝伪注、伪造、篡改文献和数据等学术不端行为。

在成果发表时，不重复发表研究成果。

在成果分享时，对课题主持人和参与者的各自贡献均在成果中以明确方式标明。

在成果署名时，不侵占他人研究成果，不在未参与研究的成果中挂名，不为未参与研究工作的人员挂名。

5．维护学术尊严。

保持学者尊严，增强公共服务，维护社会公共利益。

维护汉中市构建区域教育信息化生态环境的研究与实践课题声誉，不以课题名义牟取不当利益。

6．遵循科研规范。

课题研究名称、课题研究组织、研究主体内容、研究成果形式与课题申请书和立项通知书相一致。

2016年上半年湖南省教育信息技术论文评选获奖名单2016年上半年湖南省教育信息技术论文评选获奖名单2016年上半年湖南省教育信息技术论文评选获奖名单2016年上半年湖南省教育信息技术论文评选获奖名单2016年上半年湖南省教育信息技术论文评选获奖名单2016年上半年湖南省教育信息技术论文评选获奖名单2016年上半年湖南省教育信息技术论文评选获奖名单2016年上半年湖南省教育信息技术论文评选获奖名单2016年上半年湖南省教育信息技术论文评选获奖名单2016年上半年湖南省教育信息技术论文评选获奖名单2016年上半年湖南省教育信息技术论文评选获奖名单2016年上半年湖南省教育信息技术论文评选获奖名单2016年上半年湖南省教育信息技术论文评选获奖名单2016年上半年湖南省教育信息技术论文评选获奖名单2016年上半年湖南省教育信息技术论文评选获奖名单2016年上半年湖南省教育信息技术论文评选获奖名单2016年上半年湖南省教育信息技术论文评选获奖名单2016年上半年湖南省教育信息技术论文评选获奖名单2016年上半年湖南省教育信息技术论文评选获奖名单2016年上半年湖南省教育信息技术论文评选获奖名单2016年上半年湖南省教育信息技术论文评选获奖名单2016年上半年湖南省教育信息技术论文评选获奖名单2016年上半年湖南省教育信息技术论文评选获奖名单2016年上半年湖南省教育信息技术论文评选获奖名单2016年上半年湖南省教育信息技术论文评选获奖名单2016年上半年湖南省教育信息技术论文评选获奖名单2016年上半年湖南省教育信息技术论文评选获奖名单2016年上半年湖南省教育信息技术论文评选获奖名单2016年上半年湖南省教育信息技术论文评选获奖名单2016年上半年湖南省教育信息技术论文评选获奖名单2016年上半年湖南省教育信息技术论文评选获奖名单2016年上半年湖南省教育信息技术论文评选获奖名单2016年上半年湖南省教育信息技术论文评选获奖名单2016年上半年湖南省教育信息技术论文评选获奖名单2016年上半年湖南省教育信息技术论文评选获奖名单2016年上半年湖南省教育信息技术论文评选获奖名单2016年上半年湖南省教育信息技术论文评选获奖名单2016年上半年湖南省教育信息技术论文评选获奖名单2016年上半年湖南省教育信息技术论文评选获奖名单2016年上半年湖南省教育信息技术论文评选获奖名单2016年上半年湖南省教育信息技术论文评选获奖名单2016年上半年湖南省教育信息技术论文评选获奖名单2016年上半年湖南省教育信息技术论文评选获奖名单2016年上半年湖南省教育信息技术论文评选获奖名单2016年上半年湖南省教育信息技术论文评选获奖名单2016年上半年湖南省教育信息技术论文评选获奖名单2016年上半年湖南省教育信息技术论文评选获奖名单2016年上半年湖南省教育信息技术论文评选获奖名单2016年上半年湖南省教育信息技术论文评选获奖名单2016年上半年湖南省教育信息技术论文评选获奖名单。

运用多元化高中数学教学方法培养学生的问题解决能力李兆新(江苏省连云港市灌云县第一中学ꎬ江苏连云港２２２０００)摘㊀要:«普通高中数学课程标准(２０１７年版２０２０年修订)»中ꎬ明确提出了 培养学生问题解决能力 的教学要求ꎬ旨在引领学生通过解决数学问题ꎬ促进学科核心素养的形成与发展.但结合调查数据反馈ꎬ问题解决能力依然是学生的 短板 ꎬ严重影响了学生的数学综合能力发展.本论文就聚焦于此ꎬ分析了当前高中生问题解决能力现状ꎬ随即结合数学课堂教学实践ꎬ提出了针对性的课堂教学策略.关键词:高中数学ꎻ问题解决ꎻ能力培养ꎻ核心素养中图分类号:Ｇ６３２㊀㊀㊀文献标识码:Ａ㊀㊀㊀文章编号:１００８－０３３３(２０２３)３０－００５６－０３收稿日期:２０２３－０７－２５作者简介:李兆新(１９７５.３－)ꎬ男ꎬ江苏省灌云人ꎬ本科ꎬ中学一级教师ꎬ从事高中数学教学研究.㊀㊀«普通高中数学课程标准(２０１７年版２０２０年修订)»作为课堂教学的纲领性文件ꎬ对学生的问题解决能力提出了明确的要求ꎬ即: 在教学活动中ꎬ应设计合理的情景和问题ꎬ引导学生在问题解决的过程中ꎬ促进学生数学学科核心素养的形成与发展 .可以说ꎬ问题解决能力与数学核心素养相互呼应ꎬ是内化知识㊁能力提升和思维发展的重要方式.纵观当前高中数学课堂教学现状ꎬ虽然在基础知识㊁技能方面得到了长足的发展ꎬ但学生的问题解决能力相对比较低下ꎬ致使学生在解决问题时ꎬ依然面临着无法理解问题㊁难以解决问题等困窘ꎬ严重阻碍了数学学科核心素养的形成与发展.鉴于此ꎬ高中数学教师作为课堂教学活动的组织者㊁设计者ꎬ必须要以新课程标准为导向ꎬ聚焦 培养学生问题解决能力 这一要求ꎬ科学设计教学模式ꎬ使得学生在思考中探索ꎬ在探索中获得提升与发展.１新课标下高中生问题解决能力现状研究在调查中发现ꎬ当前高中生问题解决能力相对比较低下.学生数学问题解决的意识薄弱ꎬ存在极强的被动性ꎬ习惯等待教师安排ꎻ学生在解决问题时常常受到思维的限制ꎬ致使其在解决问题时难以灵活应变ꎬ甚至无从下手ꎻ学生解决数学问题的质量相对比较低ꎬ仅限于模仿照搬ꎬ思维不够发散ꎬ不会主动归纳与拓展ꎬ仅仅是 做一道题目会一道题目 .导致这一现象的原因主要来源于三个方面:其一ꎬ学科因素.高中数学知识极具抽象性㊁逻辑性.尤其是在解决问题的过程中ꎬ学生需要具备扎实的数学基础知识ꎬ发散和逻辑性的数学思维ꎬ以及较强的知识迁移和应用能力.而鉴于数学学科的特点ꎬ学生在学习中存在诸多不足ꎬ致使其在解题时面临着各种各样的困难.其二ꎬ学生因素.由于学生自身的数学基础知识不够扎实㊁解决数学问题的积极性不高㊁学生反思迁移意识薄弱ꎬ致使学生在接解题中ꎬ面临着诸多困难ꎬ严重制约了学生的问题解决能力.其三ꎬ教师因素.目前ꎬ我国数学课堂教学模式虽然有所改观ꎬ但依然和新课标的要求相差深远.在这种教学模式下ꎬ教师常常借助一套固有的模式和流程开６５展教学ꎬ致使数学问题解决教学中缺乏灵活性㊁创造性.同时ꎬ在当前数学课堂教学中ꎬ教师常常弱化学生的主体地位ꎬ并未在数学课堂中为学生预留自行探究的机会与反思空间[１].可以说ꎬ受到当前高中数学课堂教学模式的束缚ꎬ致使学生问题解决能力停滞不前.２实施多元化教学ꎬ培养学生的问题解决能力２.１夯实基础知识ꎬ奠定解决问题基础新课程标准下ꎬ高中数学课堂教学目标也从 四基 发展到 核心素养 .可以说ꎬ这是一种继承ꎬ也是一种超越.但无论如何变化ꎬ基础知识在整个数学学习中的地位始终没有发生改变.因此ꎬ面对新课程标准下问题解决能力的培养目标ꎬ学生唯有夯实基础知识ꎬ才能灵活㊁综合应用数学基础知识ꎬ对数学问题进行分析和解答.否则ꎬ一旦忽视了数学基础知识ꎬ数学学习就成为 空中楼阁 ꎬ致使数学问题解决成为空谈.例如ꎬ学生在解决指数函数方程９ｘ－２ˑ３ｘ＝６３时ꎬ学生必须要具备扎实的基础知识ꎬ才能将９ｘ进行转化ꎬ使其成为(３ｘ)２ꎬ继而再利用换元法进行解答.反之ꎬ如果学生不了解指数函数的性质ꎬ自然会无从下手.鉴于此ꎬ高中数学教师在培养学生问题解决能力时ꎬ必须要重视基础知识教学ꎬ夯实学生的数学基础知识.这就要求教师在组织数学课堂教学时ꎬ应将数学知识点讲清晰㊁讲透彻ꎬ尤其是针对一些概念性问题ꎬ必须要引领学生经历其推导过程ꎬ使学生在探究中精准把握数学基础知识的内涵.２.２引领学生表征问题ꎬ提升问题解决能力问题表征过程即为完整问题空间的过程.学生在表征数学问题的过程中ꎬ也将外部信息转化为内部信息ꎬ使学生在问题表征的过程中ꎬ明确数学题目中所考查的知识点ꎬ以及问题解决的思路.因此ꎬ高中数学教师在培养学生问题解决能力时ꎬ应围绕具体的题目ꎬ带领学生进行表征ꎬ使学生在表征中辨析数学题目的内在含义ꎬ厘清题目中的条件和数量关系ꎬ并由此形成明确的解题思路[２].例如ꎬ在 设集合Ｓ＝１ꎬ２ꎬ３ꎬ４{}ꎬ那么满足ｆ(ｆ(ｘ))＝ｘ的自然映射ｆ:ｓ的个数为多少? 按照常规的解题思路ꎬ学生必须要读懂题目ꎬ理解题目的含义.而要达到这一目标ꎬ教师即可从题目出发ꎬ带领学生从数学符号的形式进行表征:令ｆ(ｘ)＝ａꎬ则ｆ(ａ)＝ｘꎬ即有ｘңａꎬａңｘꎬ如果ａ＝ｘꎬ即ｘңｘ为自对应ꎻ如果ａʂｘꎬ则ｘңａꎬａңｘ为循环对应.如此一来ꎬ在教师的引导下ꎬ学生通过题目表征过程ꎬ加深了题目内容的理解ꎬ厘清了题目条件和关系ꎬ形成了明确的解题思路.２.３引导学生自主解决问题ꎬ发展问题解决能力波利亚在研究中发现ꎬ最好的学习方式就是亲自发现.在解决数学问题的过程中ꎬ学生唯有在已有条件的支撑下ꎬ通过亲自探究与发现ꎬ最终才能完成问题的解答ꎬ并从中掌握一定的问题解决技能.鉴于此ꎬ教师在培养学生问题解决能力时ꎬ应基于学生的主体地位ꎬ并为其提供外部条件ꎬ使学生在自主思考㊁交流碰撞的过程中ꎬ完成数学问题的解答.例如ꎬ在 指数函数及其性质 教学中ꎬ教师在培养学生的问题解决能力时ꎬ就聚焦指数函数的概念ꎬ为学生设计问题: 细胞在进行分裂的时候ꎬ从１个细胞分裂成分为２个ꎬ之后又从２个细胞分裂为４个ꎬ从３个细胞分裂为８个 ꎬ如此一来ꎬ细胞经过ｘ次分裂之后ꎬ得到了ｙ个细胞.结合所学的知识ꎬ将ｘ和ｙ之间的关系表示出来? 接着ꎬ教师就指导学生以学习小组为载体ꎬ围绕这一问题进行思考㊁探究ꎬ最终得出了ｙ＝２ｘ这一函数关系式.之后ꎬ为了持续强化学生的问题解决能力ꎬ教师又以剪绳子为例ꎬ为学生再次设计问题:现在有一根１米长的绳子ꎬ从中间将其间断ꎬ此时只剩下整条绳子的１２ꎬ之后再从中间将其间断ꎬ剩下整条绳子的１４ꎬ以此类推ꎬ经过ｘ次ꎬ绳子依然剩余ｙ米ꎬ求ｘ㊁ｙ之间的函数关系式:ｙ＝(１２)ｘ.可以说ꎬ在这一过程中ꎬ学生经过两次探究ꎬ不仅深刻理解了指数函数的概念ꎬ也在自主探究的过程中ꎬ促进了问题解决能力的提升与发展[３].２.４引领学生积累数学经验ꎬ升华问题解决能力数学思想是对数学学科知识本质的规律性认识ꎬ常常隐藏于数学知识中.同时ꎬ数学思想还是一７５种有效的解题工具ꎬ可辅助高效解答题目.另外ꎬ数学思想还是强化学生的数学思维能力㊁问题分析能力的重要方式.因此ꎬ教师在培养学生问题解决能力时ꎬ应立足于高中数学中常见的数学思想ꎬ将其渗透到日常教学中ꎬ以便于学生在数学思想的辅助下ꎬ逐渐提升自身的问题解决能力.例如ꎬ在解决 ｙ＝(ｃｏｓθ－ｃｏｓα＋３)２＋(ｓｉｎθ－ｓｉｎα－２)２最大值和最小值 这一数学问题时ꎬ教师在引领学生解决数学问题的过程中ꎬ就基于本题目的内涵ꎬ融入了数形结合思想ꎬ带领学生从数形转化的角度上ꎬ对本题目进行转化ꎬ即:求动点Ｐ(ｃｏｓθꎬｓｉｎθ)㊁Ｑ(ｃｏｓα－３ꎬｓｉｎα＋２)之间的最值?如此ꎬ在数形结合思想的辅助线下ꎬ原本复杂的数学问题即可转化为两个曲线上两个动点的最值问题ꎬ继而在图形(如下图１所示)的辅助下完成了题目的解答.图１㊀曲线动点最值示意图再比如ꎬ在解决 已知函数ｆ(ｘ)＝ｘ＋ａ－１＋ｘ－２ａꎬ当ｆ(１)<３时ꎬ求实数ａ的取值范围? 针对这一不等式问题ꎬ当前学生在解答时ꎬ常常出现漏解㊁少解等现象.鉴于此ꎬ教师在开展课堂教学时ꎬ就融入了分类讨论思想ꎬ引领学生基于实数ａ的取值范围ꎬ展开分类讨论ꎬ最终完成题目的全面分析与解答ꎬ即:当ａ£０时ꎬ即可根据题目得出－ａ＋(１－２ａ)<３ꎻ当０<ａ<１２时ꎬ即可根据题目得出ａ＋(１－２ａ)<３ꎻ当ａȡ１２时ꎬ即可根据题目得出ａ－(１－２ａ)<３.２.５开展变式训练ꎬ升华问题解决能力新课程标准视域下ꎬ变式训练也逐渐走进课堂教学中ꎬ已经成为提升学生问题解决能力的重要途径.变式训练属于原问题的拓展和延伸ꎬ旨在通过适当的变化ꎬ使学生在多角度分析问题的过程中ꎬ感悟数学知识的内在联系ꎬ并促进数学知识的迁移和应用.因此ꎬ高中数学教师在培养学生问题解决能力时ꎬ应结合实际教学需求ꎬ积极开展变式训练.例如ꎬ在这一数学问题中:点Ｐ(ｘ０ꎬｙ０)是椭圆ｘ２１５＋ｙ２７＝３６上的一点ꎬ使其与椭圆上的两个焦点Ｑ１㊁Ｑ２的连线相互垂直ꎬ当Ｑ１㊁Ｑ２㊁Ｐ三点为锐角时ꎬ则Ｐ(ｘ０ꎬｙ０)横坐标取值范围?同时ꎬ为了促使学生真正理解这一问题ꎬ教师又基于变式拓展的方式ꎬ对这一题目进行了改变:已知椭圆ｘ２１５＋ｙ２７＝３６上存在一点Ｐ(ｘ０ꎬｙ０)ꎬ要想使得Ｐ(ｘ０ꎬｙ０)与ｘ２１５＋ｙ２７＝３６两个焦点向垂直ꎬ则椭圆中焦点Ｑ１横坐标的取值范围是多少?可以说ꎬ在这一过程中ꎬ通过适当的变式训练ꎬ促使学生在 变式训练 的过程中ꎬ逐渐触及到数学知识的核心ꎬ精准把握了数学知识的本质ꎬ并强化了解题思维训练ꎬ循序渐进提升了学生的数学解题能力[４].综上所述ꎬ高中数学新课程标准视域下ꎬ关注问题解决教学ꎬ培养学生数学问题解决能力ꎬ已经成为数学课堂教学的核心.鉴于此ꎬ高中数学教师唯有聚焦新课程标准下问题解决能力的培养目标ꎬ立足于当前高中生问题解决能力低下的现状ꎬ夯实学生的数学基础知识㊁引领学生表征问题㊁自主解决问题㊁融入数学思想㊁开展变式训练等ꎬ促使学生在多元化的解题教学和解题训练中ꎬ逐渐提升自身的数学问题解决能力.参考文献:[１]贾明瑶.提升高中生问题解决能力的教学策略研究[Ｄ].大连:辽宁师范大学ꎬ２０２２.[２]杨平.数学课堂上高中生问题解决能力培养分析[Ｊ].数理化解题研究ꎬ２０２２(０３):１４－１６.[３]张杰.浅析在高中数学教学中培养学生问题解决能力的策略[Ｊ].考试周刊ꎬ２０２１(３０):５７－５８.[４]刘曼林.数学核心素养下提升高中生数学问题解决能力研究[Ｄ].济南:济南大学ꎬ２０２０.[责任编辑:李㊀璟]８５。

例说新课程标准下中学数学问题的新特点数学与应用数学2010级201044105024 刘美群摘要：数学新课程的数学理念,极大地下冲击了传统数学的价值取向,给传统的初中数学问题(题型)注入了新的活力,使数学题更加注重创设真实的场景、联系生活实际、激活学生知识、强化情感体验.由于构建题目的观念、途径和方法发生了改变,数学题的教育功能和数学文化内涵也发生了深刻变化.这些变化丰富了数学的问题背景,进一步强化了数学的育人功能,昭示数学文化的新切面容.在教学中恰当把握问题的特点对训练学生数学科学精神有很大的重要性.下面以实验教材以及新课程标准为例,谈谈新课程数学题的主要变化和特点.关键词：新课程数学问题新变化新特点新理念前言新课程怎样教，对于新课程中出现的数学新问题我们到底是“以教材为本”还是“以标准为本”？这就要求我们认真分析数学新课程中数学问题的特点。

新课程是一种理念，更是一种行动。

要了解新课程中数学问题的新特点这就要求我们首先了解新课程的理念与它所要达到的目标，明白数学教学内容的价值取向，数学内容的构成与解析，数学内容的组织特点与呈现方式。

1 数学新课程改革的基本理念《课程标准》提出6个方面的基本理念。

这些基本理念主要体现数学教育关注学生发展这样一个总体目标，以及实现这一目标的两个基本的策略。

具体表现在以下几个方面。

1.1 着眼于人的发展的数学课程目标随着社会的发展，数学教育目标在发生变化，由原来过多地关注基础知识和技能转变为在学习基础知识和技能的同时，更加关注学生的情感、态度、价值观，关注学生的一般发展。

数学课程目标的核心是促进学生的发展。

表现在以下几个方面：（1）改变长期以来过分强调知识的掌握、技能的形成，而忽视学生的态度、情感和价值观。

（2）义务教育阶段的数学教育不是培养数学家，不是为培养少数数学精英，而要面向全体学生，使每一个学生都能得到一般的发展。

（3）学生的发展不是同步的，不是一刀切，要使不同的人在数学上得到不同的发展。

彩票中的数学李英雄， 郭松海， 康 慧 指导教师： 蔡吉花 陈兴元 母丽华 (黑龙江科技学院，哈尔滨150001)编者按：本文考虑了单注收益率、彩民心理因素、彩票设置公平度等因素，尽管量化这些因素不一定恰如其分，但以这些因素构造判别函数还是合理的，文章据此判定现行方案的优劣，规划出更优的方案。

正如文章的讨论所述所得优化方案与销售额有关是一个大缺陷。

数模竞赛多年来均提出要注意摘要的质量。

今年的B 题要求作者给报纸写一篇论文供彩民参考，本文的短文是一篇不错的文章、写摘要和短文的能力是竞赛要求的，对科技工作人员也是非常重要的，但今年竞赛论文在这方面仍有很多问题，许多短文并没有为彩民提供恰当的信息，正确认识和分析彩票活动。

摘 要：本模型讨论的是如何评判传统型彩票和乐透型彩票的一般评奖方案的合理性问题。

本文首先根据彩票中奖规则，利用古典概率求出了这两种类型彩票的各种奖项出现的可能性。

把每注彩票中奖与否看成贝努利试验，在假设每期彩票的销售量足够多的前提下，由贝努利大数定律归结为正态分布，从而求出了每注彩票的平均收益率。

在此基础上，结合公平尺度，利用彩民的博彩心理因素构造了评判方案合理性的判别函数，利用MATlAB6．1软件编程计算，判别出题目所给方案的奖金设置的优劣，并且利用这个判别函数，我们建立了求解最优方案的非线性规划模型。

通过求解所建立的模型，找到在给定销售注数下最优方案及奖项和奖金额的设置。

关键词：彩票；二项分布；期望收益率；判别函数分类号：AMS(2000)90C05 中图分类号：0221.1 文献标识码：A1 问题的重述(略)2 模型的假设及符号说明2．1模型的假设1)每注彩票只兑付最高奖级奖金，不可兼得； 2)假设彩票的规则是以公平合理为原则；3)假设彩票的发行费用不计，彩票总奖金比例一般为销售总金额的50％；4)假设高项奖按事先设定的百分比分配，且按当期各奖级实际中奖注数平均分配该奖 5)奖金取决于当期彩票投注额的多少 6)假设彩民大都具有博彩心理。

教学研究208 2016年11月02 数形结合思想在小学数学教学中的实践运用分析王香茹河北省保定市清苑区石桥乡张村小学，河北保定 071100摘要：就数形结合思想而言，其是小学数学教学中较为核心的思想之一，学生有效地掌握这一思想，将有益于拓宽解题思路，降低解题难度，促进学生数学成绩的稳定提升。

立足于小学数学课堂教学现状，主要分析了“数形结合思想在小学数学教学中的实践运用”这一问题。

关键词：数形结合；小学数学；实践运用中图分类号：G623.5 文献标识码：A 文章编号：1671-5861(2016)11-0208-01小学数学中不仅包含了大量的基础知识，同时也涉及较为丰富的数学思想，因此小学数学教师在授课过程中除了要搞好知识教学外，还要有侧重地帮助学生树立数学思想，掌握数学解题技巧，进而为学生今后的数学学习奠定良好的基础。

1 数形结合思想概述数与形分别是小学数学教学过程中两个重要的组成部分，将二者结合在一起，实际上就是通过优势互补的方式减小解题过程中的难度，增加解题的直观性和逻辑性。

数形结合思想产生较早，其最大的特点就是将复杂的问题简单化，在数与形的转换卜，加深解题者对题目的理解，为解题者找到更便捷的解题路径。

通常情况下，数形结合思想主要可以应用在以下两个方面:（1）数与形之间的转换在解决代数问题的过程中，我们可以发现，代数类题目最大的问题就是直观性差，学生要想对题目进行解答就必须具有较好的逻辑思维能力，并能够理清题目中的各类代数关系。

对于小学生来说，单纯依靠代数方法只能解决一些初级的代数习题，如果代数习题的难度有所增加，那么学生在逻辑思维能力、分析能力等方面就会出现缺失，因此需要借助几何图像将代数问题中复杂的关系直观地表现出来，以此来弥补学生解题能力的不足。

（2）形与数之间的转换在实际解题过程中，数与形之问是可以相互转换的，针对部分较难解决的几何问题，学生也可以转换思维，通过逻辑分析的方式，对几何问题进行解答。

关于若干数学思想的中学教学策略研究摘要：数学的基本知识和技能、基本思想和方法对一个人的发展起着潜移默化的作用.课程标准中指出：教师应该帮助学生真正理解和掌握基本的数学知识和技能、数学思想和方法，使学生学会运用数学的思维方式解决问题、认识世界.在新课改和素质教育的大背景下，中学数学课程中强化数学思想教学显得尤为重要，数学思想的教学既能减轻学生学习负担、提高课堂效率，又能提升学生的思维品质、培养创新精神.关键词：数学思想；教学策略；数学能力1引言数学的历史不只是一些新概念和新定理的简单堆砌,它还包含着数学思想和方法的积淀、发展和演进.数学思想，是对数学知识和方法的本质认识，它是数学思维的结晶和概括，它直接支配着数学的实践活动，是解决问题的灵魂.1.1数学思想的概念意义刘黎明老师总结出了数学思想的含义.[1]人们最初的数学活动经验，实际上就是原始的数学思想方法.“数学思想”比一般的“数学概念”具有更高的抽象概括水平，后者比前者更具体、更丰富，而前者比后者更本质、更深刻.“数学思想”是与其相应的“数学方法”的精神实质与理论基础，“数学方法”则是实施相关的“数学思想”的技术与操作程式.数学的思想和方法没有十分明确的界线，与方法相比较，思想具有更高的抽象层次，一般只是提示思考的方向，而没有明确具体的操作步骤，是对数学的概念、原理、方法等本质的认识，是方法的概括和提炼，数学思想常常表现为数学方法的形式.中学数学用到的各种数学方法,都体现着一定的数学思想.1.2数学思想在中学教学中的地位现行教材中蕴含了多种数学思想和方法，宋文媛老师指出中学数学教学应贯穿两条主线：一条是数学知识的教学，另一条是数学思想和方法的教学. [2]数学教师应注重数学思想方法的教学，充分挖掘由数学基础知识所反映出来的数学思想和方法，设计数学思想方法的教学目标，结合教学内容适时渗透、反复强化、及时总结，用数学思想方法武装学生，使学生真正成为数学的主人.不仅教师意识到数学思想在中学中的地位，国家有关部门也出台相应的文件强调数学思想的地位. 郭明星老师指出了新课标中数学思想的内容. [3]2001年7月颁布的《全日制义务教育数学课程标准(实验稿)》，在课程目标的开头就明确要求:“获得适应未来社会生活和进一步发展所必需的重要数学知识(包括数学事实、数学活动的经验) 以及基本的数学思想方法和必要的应用技能……教师应该帮助学生真正理解和掌握基本的数学知识和技能、数学思想和方法”. 2003年4月颁布的《普通高中数学课程标准(实验)》，在第二部分课程目标中指出“获得必要的数学基础知识和基本技能……体会其中所蕴含的数学思想和方法”.1.3中学中常见的数学思想陈静仁老师总结了一些数学思想.[4]在数学发展的历史过程中,国内外数学家都比较重视数学思想的探讨，特别是17世纪以后，形成了许多重要的数学思想，主要有五种：猜证结合思想；分类和分布思想；化归思想；数形结合思想；函数和方程思想.除此之外, 还有：公理化、符号化、极限思想、固本思想等等.中学教材中体现的数学思想方法都是这些大的思想中细化出来的，如代数思想，集合对应思想，数形结合思想，函数方程思想，分类讨论思想，化归与转化思想，数学模型思想.上述数学思想教师都应该在教学中给以体现，在日常的教学中凡是涉及到的数学思想都应该结合具体实例给学上讲解，让学生反复体会，学以致用.数形结合思想，函数方程思想，分类讨论思想，化归与转化思想是中学数学中最常见，贯穿整个中学数学的，故本文特选取这四种数学思想具体分析研究，其他数学思想的教学以此相仿.2数学思想中学教学策略数学思想往往带有理论性的特征，而数学方法具有实践性的倾向.数学中用到的解题方法都体现着一定的数学思想，一定的数学思想要靠数学方法去实现，数学思想和方法常统称为数学思想方法.数学思想方法的教学中应该注意层次性和渐进性、过程性、变式的策略.2.1数形结合思想2.1.1数形结合思想的概念意义数形结合思想是中学数学中的一种重要的数学思想，陆诗荣老师总结了数形结合的含义.[5]所谓数形结合是将数学中抽象的数学语言, 数量关系与具体直观的图像结合起来, 利用抽象思维与形象思维的有机结合, 借助形的具体明确来反应数量之间的关系, 借助数来具体描述形的本质内涵.用这种思想来解决数学问题往往可以使复杂的问题简单化, 抽象问题具体化.数形结合思想既能发挥代数的优势, 又可以充分利用图形的直观性, 从多个角度探索问题, 对思维能力的发展大有裨益.2.1.2数形结合思想教学的必要性我国著名的数学家华罗庚曾写下这样一首诗, 形象生动的阐述了数形结合的意义.“数与形, 本是相倚依, 焉能分作两边飞.数缺形时少直觉, 形缺数时难入微.数形结合百般好, 隔裂分家万事非.切莫忘, 几何代数统一体, 永远联系, 切莫分离.”可见, 数与形二者相辅相成, 缺一不可.数的抽象, 形的具体, 两者珠联璧合, 对于数学解题将有出其不意的效果.2.1.3数形结合思想的教学策略中学教材中很多内容都深刻的体现着数形结合思想，如集合与逻辑部分，把集合运算与韦恩图结合起来使学生很容易理解和掌握；三角函数部分可以用函数图象研究函数的周期、对称轴、单调期间；平面解析几何部分的教学更是离不开数形结合思想，这部分本就是几何问题的代数刻画；除了上述内容外还有许多内容都揭示着数形结合思想.下面选取部分内容作分析：教材中渗透数形结合思想：数、形在一定条件下相互转化是数学中最常见的规律之一，在函数教学中把数和形结合起来研究的方法贯穿始终.在研究函数是，教师要培养学生看见函数式就立即联想到它的图像，结合实际图像来研究学习函数有关知识的思维习惯.函数图像与性质常常有如下对应关系：（1） 定义域、值域——数轴的部分或全体（2） 奇偶性——关于原点或坐标轴对称（3） 单调性——图像的走势升降（4） 最大值、最小值——最高点、最低点（5） 有界性——能否用平行线包围函数图象（6） 周期性——图像能否有规律的重复出现或叠合在高中教材必修4中第一章三角函数的第四节三角函数的图像与性质，开始即指出：遇到一个新函数，非常自然的是画出它的图像，观察图像的形状.看看它有什么特点，并借助图像研究它的性质……本节开始用沙漏的实验做出了一个简谐运动的图像，如图2.1.1简谐运动图像.在此基础上，用正弦线画出比较精确的正弦函数[]y sin ,0,2x x π=∈的图像，如图2.1.2正弦函数图像.然后根据终边相同的角三角函数值相同以及正弦函数与余弦函数的关系，得到了正弦函数y sin ,x x R =∈和余弦函数y cos ,x x R =∈的图像，如图2.1.3正弦函数和余弦函数图像.图2.1.1简谐运动图像图2.1.2正弦函数图像图2.1.3正弦函数和余弦函数图像教材在作完这些图后给出了思考问题：在作出正弦函数的图像时，应抓住哪些关键点？通过分析归纳出了近似的“五点（画图）法”.教材在此基础上安排了一个例题，例 1 画出下列函数的简图：（1）[]y 1sin ,0,2x x π=+∈；（2）[]y cos ,0,2x x π=-∈.再次巩固了绘制函数简图的方法.通过上半节，学习了图像的绘制过程，又学习了函数图象的简单画法，下半节开始结合图形学习函数的性质.这样根据定义，结合图形学生很容易得出了函数性质，如正弦函数y sin x =：定义域是整条数轴，x R ∈；值域是[]1,1y ∈-；函数是奇函数，图像关于原点对称；周期是2π；在()132,2,22k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦上函数单调递减，图像下降；在()112,2,22k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦上函数单调递增，图像上升……练习中强化数形结合思想：我们来看一个例题：两个单位圆的圆心距为1，在第一个圆上取点A .在第二个圆上取关于连心线对称的两个点12,B B ，求2212AB AB +的最小值.解：设两个圆的圆心分别为12,Q Q ；以2Q 为原点，建立平面直角坐标系，如图2.1.4例题图形.则圆1Q ： ()2211x y +=-，圆2Q ：221y x +=； 图2.1.4例题图形令()()()00111211,,,,,A x y B x y B x y -则：()()()()2222221201010101AB AB x x y y x x y y +=-+-+-++()220001220001001012()2421(1)24=2442412x y x x x x x x x x x x x =++-⎡⎤=+--+-⎣⎦+-=+-≥故2212AB AB +的最小值是2. 从以上教材内容片断和例题中，我们能感受到教材的编写意图，也能体会到数形结合的妙处.在此，我结合杨光老师的四点教学策略[6]提出以下几点建议：第一：教师要善于激发学生的“数形结合”兴趣.这要做到以下两点：（1）展现数学美本身所蕴含的数形美感.（2）重视“数形结合”基础阶段的引导.第二：教师要重视对数形结合教材内容的充分挖掘利用，让学生在数形结合的环境中耳濡目染.以下五方面要引起重视：（1）在函数教学中重视数形结合思想.（2）在方程教学中渗透数形结合思想.（3）在不等式的教学中妙用数形结合思想.（4）在复数教学中强化数形结合思想.（5）在解析几何教学中巧用数形结合思想.第三：日常教学中强化数形结合思想的运用是培养学生数形结合思想的关键.第四：在渗透数形结合思想的教学过程中，指明数形结合是应注意的问题是培养数形结合思想的关键.（1）数形转化结合过程中应注意三个原则：转化等价原则，数形互补原则，求解简单原则.（2）要善于观察图形，以揭示图形中蕴含的数量关系.（3）培养学生正确绘制图形的能力，以反映图形中相应的数量关系.（4）确实把握数与形的对应关系，养成见数思形，见形思数的习惯.2.2函数方程思想2.2.1函数方程思想的概念意义李国华老师总结出了函数方程思想的含义.[7]函数与方程思想是中学数学教学的基本思想，函数的思想是用运动和变化的观点，集合与对应的思想去挖掘和分析数学问题中的数量关系建立和构造函数，从而在解题中分析转化和处理问题.方程的思想就是挖掘数学问题中的等量关系构造方程，运用方程的性质去分析转化和解决问题.函数思想与方程思想是密切相关的，函数方程思想就是从问题的数量关系入手，运用数学语言将问题中的条件转化为数学模型（函数，方程，不等式，或方程与不等式的混合组），将问题中的已知量和未知量之间的数量关系通过适当设元建立起方程（组）或者不等式（组）然后通过解方程（组）或者不等式（组）来使问题获解的思维方式，有时还实现函数与方程的相互转化.2.2.2函数方程思想的教学必要性考试中心对考试大纲的说明中指出：“高考把函数与方程的思想作为七种思想方法的重点来考查，使用选择题和填空题考察函数与方程思想的基本运算，而在解答题中，则从更深的层次，在知识的网络的交汇处，从思想方法与相关能力相综合的角度进行考查.”函数和方程式中学数学中两个总要的基本内容，贯穿了整个中学的教学，由此在日常教学和总挖掘和渗透函数方程思想是很有必要的，它既符合考试理念，又能提升学生的思维品质.2.2.3函数方程思想的教学策略函数方程思想在教材中体现在知识网络的交汇点处，如用待定系数法列方程（组）求解函数解析式的待定系数，函数图象与坐标轴焦点与方程根的对应关联，用函数研究方程根与系数的关系，函数方程的观点处理处理数列问题，函数方程与不等式相互转化研究问题……下面选取部分内容做探究：首先我们来看几个例题，然后在分析对应的教学策略.例题：证明不等式()ln 11x x x+>+ (0)x >. 分析：我们用证明不等式的常用方法作差法和作商法都难以解决此问题，再一看，这个不等式中有我们熟悉的初等函数，不妨构造一个函数()()ln 11x f x x x=+-+，利用函数单调性来证明此不等式.此函数在[0,)+∞上连续，则在[0,)+∞上可导，若()0f x '>，则()f x 在[0,)+∞上单调增加，即得证.证明：设函数()()ln 11x f x x x=+-+，因为()f x 在[0,)+∞连续，故当0x >时， ()()2211()0111x x x f x x x x +-'=-=>+++，所以()f x 在区间[0,)+∞上单调增加，又(0)0f =，因此当0x >时恒有()(0)f x f >，即()ln 11x x x +>+，得证. 例题：求证两个相交圆220x y ax by c ++++=和220x y mx ny +++=的公共弦的方程是()()0a m x b n y c -+-+=.证明：设两圆的交点为()11,x y 和()22,x y 则有：22111122111100x y ax by c x y mx ny ⎧++++=⎪⎨+++=⎪⎩两式相减得11()()0a m x b n y c -+-+=；同理得22()()0a m x b n y c -+-+=.故点()11,x y 和()22,x y 是方程()()0a m x b n y c -+-+=的两个解.()11,x y 和()22,x y 是直线()()0a m x b n y c -+-+=上两个相异的点，由两点确定一条直线知道()()0a m x b n y c -+-+=是两个相交圆公共弦的方程.例题：直线m ：1y kx =+和双曲线221x y -=的左支交于,A B 两点，直线l 过点(2,0)P -和线段AB 的中点2b >M ，求l 在y 轴的截距b 的取值范围.解析：b 的变化是由于k 的变化而引起的，即对于k 的任意确定值，b 有确定的值与以之对应，因此b 是k 的函数.本题实际为求此函数的值域.由221(1)1y kx x x y =+⎧≤-⎨-=⎩消去y 得：22(1)220k x kx -++=⊗ 因为直线m 与双曲线的左支有两个交点，所以方程⊗有两个不相等的负实数根.所以22122122=48(1)0201201k k k x x k x x k ⎧⎪∆+->⎪⎪+=<⎨-⎪-⎪⋅=>⎪-⎩解得：1k <<设00(,)M x y 则：01220021111k x x x k y kx k ⎧=+=⎪⎪-⎨⎪=+=⎪-⎩由(2,0)P -，221(,)11k M k k --，(0,)Q b 三点共线不难得出：222b k k =-++. 令22117()222()48f k k k k =-++=--+则()f k在上为减函数，故()(1)f f k f <<且()0f k ≠.所以(2()0f k -<<或0()1f k <<.故2b <或2b >.点评：根据函数思想建立b 与k 的函数关系，根据方程思想运用二次方程模型理论具体求出b 的表达式，是解出此题的两个关键.不少解析几何问题，其中某些因素处于变化中，存在相互联系，相互制约的量.它们之间往往存在函数关系，对直线与曲线的交点问题，往往转化为方程问题，用方程理论解决.从上面例题看出函数方程思想的妙处，要能熟练地运用函数方程思想必须牢牢的掌握一些函数的基本性质和方程理论.对此，在教学中我提出以下几点建议：第一：在函数的教学中让学生深刻理解、掌握基本函数的性质，如：单调性、奇偶性、周期、最值和函数图像.在此基础上掌握函数()y f x =与反函数()y f x '=的性质，这是运用函数思想的关键.第二：日常教学建立起一元二次方程模型，对一元二次方程的基本理论要熟练掌握.密切结合三个“二次”问题：一元二次函数、一元二次方程、一元二次不等式，建立常用模型，熟悉三个“二次”之间的联系，能相互转化应用.第三：在教材内容中充分挖掘，在以下几个内容中充分揭示、渗透函数方程思想：函数性质、方程理论、不等式教学、数列、解析几何、立体几何、二项式定理、三角函数.2.3分类讨论思想2.3.1分类讨论思想的概念意义分类讨论是中学数学中的一种重要的数学思想方法，它是适应数学结论的限制条件而采取的各个击破的解题手段，根据对象相同点和差异点，将数学对象区分为不同种类的一种思想方法.通过它可以把一个变幻不定的数学问题分解成若干个相对稳定的问题来处理， 综合对这些小问题的解答, 便可推证出原问题的结论.其实质是“化整为零, 各个击破, 再积零为整”.解决分类讨论问题的关键是找出分类的动机, 即为什么分类；找出分类的对策, 即怎样分类；分类结论整合，即怎样归纳分类结论.2.3.2分类讨论思想的教学必要性分类讨论思想在高考中占有重要地位，分类讨论题在高考试卷中的比例总体有逐年加重的趋势，原因是：分类讨论题覆盖知识比较多，有利于考查学生掌握的知识面；解分类讨论题，需要学生有一定的分析能力，具有一定的分类思想和技巧，有利于对学生能力的考查；含参数的问题和分类思想与生产实践，高等数学有密切的联系.分类讨论具有明显的逻辑性，能够训练学生思维的条理性和概括性.在教学中, 经常有意渗透分类讨论思想，不仅有助于学生对基本概念，基础知识的全面理解,同时有助于发展学生思维的严密性、逻辑性和深刻性，这种思想在学生的思维发展过程中有着重要的作用.2.3.3分类讨论思想的教学策略分类讨论问题分布于中学数学教学的各章节中，是数学教学的难点之一.其原因在于学生往往不理解在什么情况下需要进行分类讨论，应该怎样进行分类讨论.而教师又不能把分类讨论的有关问题，如引起分类讨论的原因，讨论的步骤及其注意事项系统地给学生讲解，只是就题论题，这样导致学生遇到需讨论的问题时, 无所适从.认识不到应该分类解决或即使感觉到应进行分类讨论，又不知如何分类.因此，在日常教学中，通过实例系统地介绍分类讨论的思想、方法、步骤及注意事项等，并设置环境，启发引导, 讨论示范.有助于培养学生分析问题，解决问题的能力，以逐步养成严谨的思维习惯.我们来看一个例题：设a 为实数，函数2()1,f x x x a x R =+-+∈.（I ）讨论()f x 的奇偶性；（I I ）求()f x 的最小值.分析：本题所给函数的解析式含有参数a ，a 取值的不同，会影响到所研究函数的奇偶性和最值，故需对a 的取值进行分类讨论.注意到()f x -不可能与()f x -相等，只可能与()f x 相等，且仅当0a =时相等，便有了（I ）中对a 分类的依据.（I I ）中要求函数的最小值，需要先去掉绝对值符号化简表达式，这也需要分类讨论.解：（I ）当0a =时，函数2()()1()f x x x f x -=-+-+=，此时()f x 为偶函数.当0a ≠时， 22()1,()21f a a f a a a =+-=++，()(),()()f a f a f a f a -≠-≠-，此时函数()f x 既不是奇函数也不是偶函数.（I I ）当x a ≤时，函数2213()1()24f x x x a x a =-++=-++ （ⅰ）若12a ≤，则函数()f x 在(,]a -∞上单调递减，从而()f x 在(,]a -∞上的最小值是2()1f a a =+.（ⅱ）若12a >，则函数()f x 在(,]a -∞上的最小值是13()24f a =+，且1()()2f f a ≤. 当x a >时，函数2213()1()24f x x x a x a =+-+=+-+. （ⅰ）若12a ≤-，则函数()f x 在[,)a +∞上的最小值为13()24f -=，且1()()2f f a -≤. （ⅱ）若12a >-，则函数()f x 在[,)a +∞上单调递增，从而函数()f x 在[,)a +∞上的最小值为2()1f a a =+.综上，当12a ≤-时，函数()f x 的最小值是34a -；当1122a -<≤时，函数()f x 的最小值是21a +；当12a >时，函数()f x 的最小值是34a +. 注：本题第二问虽然进行了两次分类讨论，但两次所针对的变量是不同的.第一次是为了去掉绝对值符号，针对x 的取值分类；而第二次分类是求最小值，针对参数a 的取值分类.通过上面例题，我们对分类讨论思想有了清晰的认识，对分类讨论的原因，分类讨论的基本方法和步骤，分类的原则有了基本了解.为了在中学数学教学中更好灌输分类讨论的思想方法，在此我提出以下几点建议：第一：对可能引起分类讨论的内容尽可能的让学生理解，给学生明白为什么要分类讨论.陈秀禄老师总结了中学阶段引起分类讨论的原因[8]有以下几种：（1）数学概念引起的分类讨论；（2）由数学中定理、公式、性质等引起的分类讨论；（3）由运算需要引起的分类讨论；（4）由图形位置的不确定性引起的分类讨论；（5）含参数问题中，由参数的不确定性引起的分类讨论；[8]第二：结合具体实例讲解分类讨论问题的方法和步骤，让学生在具体情景中感受分类讨论思想的运用过程.（1）确定是否需要分类讨论；（2）确定需要分类讨论的对象及讨论的范围；（3）确定分类标准，科学合理的分类讨论.在此过程中要注意分类讨论的层次性，当分类的对象是两个以上，或者一次分类不能解决问题是，必须多层次进行分类讨论.每一层次的分类都应有各自统一的标准，且在同一讨论中只能确定一个标准.分类应该做到不重复、不遗漏，尽可能减少分类.（4）逐条讨论，得出各类结果；（5）归纳结论；在逐条讨论后要把各类几轮归结作答，这个步骤中之一题目要求，合理归纳.常见的几种归纳要求为：并列归纳，将分类讨论的结果用并列复句的形式给出；并集归纳，对每类结果求并集作为最后结论；交集归纳，对每类结果求交集作为最后结论.第三：日常教学中，适当引导学生归结题型，建立常用模型.中学中常见的三类分类模型是：（1）对问题中的变量和参数分类讨论；（2）解题过程中，不能独一叙述、一概而论的内容，必须分类讨论；（3）有些几何问题中，元素的形状、位置、方向变化必须分类讨论.2.4化归与转化思想2.4.1化归与转化思想的概念意义化归与转化是数学最基本的思想方法，是数学思想的精髓，更是解决数学问题的灵魂.在解数学问题时，常常要对问题进行转化，使之逐步成为已经解决的问题的模式，就是转化与化归的思想.转化与化归是把不熟悉的问题通过“分析—联想”转化为熟悉的问题，把复杂的问题转化为简单问题，把不规范的问题转化为规范问题，把实际问题转化为数学问题，从而达到圆满解决问题的目的. 2.4.2化归与转化思想的教学必要性在高考中，对化归转化思想的考察往往结合演绎证明，逻辑推理，运算推理，模式构建等理性思维能力的考察进行，考察都是基本知识的变式，可以说大部分题都在考察化归意识和转化能力.化归与转化思想不仅对学习知识有很大作用，在生活中用化归转化思想处理问题也很重要，可以使复杂问题简单化，陌生问题熟悉化，一般问题特殊化或者特殊问题一般化等等.这样既提高了效率，又培养了处理问题的思维能力.2.4.3化归与转化思想的教学策略中学数学教材中很多内容都渗透着化归转化的思想，如函数与方程的转化，解析几何中空间与平面的转化，数与形的转化，函数与不等式的转化，数列与函数的转化，立体几何问题与解三角形的转化等等.化归转化思想涉及范围虽然广，结合它的特点化归转化思想的教学还是有法可依的.以下做具体分析：我们先看几个体现化归与转化思想的例题，在具体情境中体会化归与转化思想，分析相应的教学策略.例题：对满足04t ≤≤的实数t ，使不等式243x tx x t +>+-恒成立的实数x 的取值范围是 .分析：按照常规思想，原不等式为二次不等式，x 为主元，t 为参数.此题若按照一元二次不等式的理论求解则较为复杂，若转化为以x 为参数，t 为主元的一次不等式2(1)430x t x x -+-+>在04t ≤≤上恒成立，求实数x 的取值范围.这样问题就比较简单：解：令[]2()(1)43,0,4f t x t x x t =-+-+∈，则()0f t >的充要条件为：(0)0(4)0f f >⎧⎨>⎩即2243010x x x ⎧-+>⎪⎨->⎪⎩解之得：1x <-或3x >. 故x 的取值范围是(,1)(3,)-∞-+∞ .例题：若动点(,)x y 在曲线22149x y +=上运动，则2x y +的最大值是 . 分析：此题若通过作图，联系函数方程理论来求解则比较麻烦，该曲线是我们熟悉的椭圆，联想到参数方程，用三角函数求最值要简便的多.解：该曲线的参数方程是2cos 3sin x y θθ=⎧⎨=⎩，则24cos 3sin x y θθ+=+，应用辅助角公式故有424cos 3sin ),arctan3x y θθθϕϕ+=++=，所以2x y +的最大值为5.通过以上两个例题对化归与转化思想有了一定的体会，在此我小结出关于化归与转化思想的几个要点：第一：朱柳老师总结了化归与转化思想应遵循的原则[9]：熟悉化原则，即将陌生问题转化为已知问题，用熟知的知识、方法解决有问题；简单化原则，即将复杂问题转化为简单问题，将原问题中比较复杂的形式、关系结构转化为相对简单的问题；直观化原则，即将一些空泛的、抽象的、深奥的问题转化为具体的、直观的、浅显的问题；统一化原则，即当出现多个化归对象、形式多样、目标不明确时，要观察个对象之间的联系，将问题转化为同一类形式；低层次化原则，即解决问题时，尽量将高维问题化为低维问题，高次数问题化为低次数问题.第二：化归与转化的基本方法和途径：函数与方程的转化；数与形的转化；主与次的转化；借助参数转化；空间与平面的转化；一般与特殊的转化.第三：化归与转化过程中应注意的问题：（1）有目的、有意识地进行化归转化，始终抓住目标，化大为小，化繁为。