特殊平行四边形

第一章特殊的平行四边形考点回顾：1、矩形的性质和判定性质：（1）矩形具有平行四边形的所有性质；（2）矩形的四个角都是直角；（3）矩形的对角线相等；（4）矩形既是轴对称图形，也是中心对称图形．判定：（2）有一个是直角的平行四边形叫矩形；对角线相等的平行四边形是矩形；有三个角是直角的四边形是矩形．2、菱形的性质与判定性质：（1）菱形具有平行四边形的所有性质；（2）菱形的四条边都相等；（3）菱形的对角线互相垂直，且每一条对角线平分一组对角；（4）菱形是轴对称图形，也是中心对称图形．判定：（1）一组邻边相等的平行四边形叫菱形；（2）对角线互相垂直平分的四边形是菱形；（3）四边相等的四边形是菱形．3、正方形有一组邻边相等的矩形是正方形，或有一个角为直角的菱形是正方形．考点精讲精练：例1、如图，在△ABC中，AB＝AC，AD、AE分别是∠BAC和∠BAC的外角的平分线，BE⊥AE．（1）求证：DA⊥AE；（2）试判断AB和DE是否相等？并证明你的结论．证明：（1）∵AE、AD分别平分∠BAF，∠BAC，，∴AD⊥AE．（2）答：AB＝DE．∵AB＝AC，AD平分∠BAC，∴AD⊥BC．∠BDA＝90°．又∵∠BEA、∠DAE都为直角，∴四边形ADBE为矩形．∴AB＝DE．变式练习1、如图，将□ABCD的边DC延长到点E，使CE＝DC，连AE，交BC于F．（1）求证：△ABF≌△ECF；（2）若∠AFC＝2∠D，连AC，BE，求证：四边形ABEC为矩形．证明：（1）∵四边形ABCD为平行四边形，∴AB CD．又∵CE＝CD，∴AB EC，∴四边形ABEC为平行四边形，∴ AF＝EF，BF＝CF，又∠AFB＝∠EFC，∴△ABF≌△ECF．（2）在□ABCD中，∠ABC＝∠D．∵∠AFC＝2∠D＝2∠ABC＝∠ABC＋∠BAF，∴∠ABF＝∠BAF，∴FA＝FB，∵FA＝FE，FB＝FC，∴FA＝FB＝FE＝FC．∴BC＝EA，∴四边形ABEC为矩形．例2、在菱形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，AB＝5，AC＝6，过D点作DE∥AC，交BC的延长线于点E，如图所示．（1）求△BDE的周长；（2）点P为线段BC上的点，连PO并延长交AD于点Q，求证：BP＝DQ．解：（1）在菱形ABCD中，AC⊥BD，且OB＝OD．∵AB＝5，AC＝6，∴OA＝3．．∴BD＝8．∵AD∥BC，∴AD∥CE，∴四边形ACED为平行四边形．∴DE＝AC＝6．BE＝2BC＝2AB＝10．∴△BDE的周长为8＋6＋10＝24．（2）证明：在菱形ABCD中，DA∥BC，∴∠ODQ＝∠OBP，∠OQD＝∠OPB．又OD＝OB，∴△BPO≌△DQO．∴BP＝DQ．变式练习2、如图，DE为□ABCD的∠ADC的平分线，EF∥AD交DC于F．（1）求证：四边形AEFD为菱形；（2）若∠A＝60°，AD＝5，求菱形AEFD的面积．证明：（1）∵DF∥AE，AD∥EF，∴四边形AEFD为平行四边形．∴∠FDE＝∠AED．∵DE为∠ADC的平分线，∴∠ADE＝∠FDE，∴∠ADE＝∠AED，∴□ABCD为菱形．（2）∠A＝60°，AD＝AE，∴△ADE为等边三角形．例3、如图，在△ABC中，点O为AC边上的一个动点，过点O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的平分线于点E，交∠BCA的外角平分线于点F．（1）求证：EO＝FO；（2）当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形？并证明结论；（3）在（2）的条件下，△ABC满足什么条件时，四边形AECF为正方形？证明你的结论．解：（1）∵EF∥BC，∴∠OEC＝∠ECB，∵CE平分∠ACB，∴∠OCE＝∠BCE，∴∠OEC＝∠OCE，∴OE＝OC，同理OF＝OC，∴OE＝OF．（2）当点O为AC的中点时，四边形AECF为矩形．∵OA＝OC＝OE＝OF，∴四边形AECF为矩形．（3）当∠ACB＝90°时，为正方形．∵当∠ACB＝90°时，∵MN∥BC，∴∠AOE＝90°，∴AC⊥EF．∴矩形AECF的对角线互相垂直，∴四边形AECF为正方形．变式练习3、已知，如图，在正方形ABCD中，点E、F分别在BC和CD上，AE＝AF．（1）求证：BE＝DF；（2）连AC交EF于点O，延长OC至点M，使OM＝OA，连EM，FM，判断四边形AEMF是什么特殊四边形？证明你的结论．证明：（1）∵ AB＝AD，∠B＝∠D＝90°，AE＝AF，∴Rt△ABE≌Rt△ADF，∴BE＝DE．（2）四边形AEMF为菱形，∵四边形ABCD为正方形，∴∠BCA＝∠DCA＝45°，BC＝DC．∵BE＝DF，∴BC－BE＝DC－DF．即CE＝CF，∴OE＝OF．∵OM＝OA，∴四边形AEMF为平行四边形．∵AE＝AF，∴□AEMF为菱形．备考模拟一、填空题1、如图，已知方格纸中是4个相同的正方形，则∠1＋∠2＋∠3＝__________．2、如图，菱形ABCD的边长为8cm，∠A＝60°，DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点F，则四边形BEDF 的面积为__________cm2．3、如图，四边形ABCD为矩形，点E在线段CB的延长线上，连DE交AB于点F，∠AED＝2∠CED，点G是DF的中点，若BE＝1，AG＝4，则AB的长为__________．4、如图，正方形ABCD与正三角形AEF的顶点A重合，将△AEF绕其顶点A旋转，在旋转过程中，当BE＝DF时，∠BAE的大小可以为__________．5、如图，将两张等宽的长方形纸条交叉叠放，重叠部分是一个四边形ABCD，若AD＝6cm，∠ABC ＝60°，则四边形ABCD的面积等于__________cm2．6、①如图，在四边形ABCD中，E、F、G、H分别为AB、BC、CD、AD边上的中点，则四边形EFGH 为__________．②若ABCD为平行四边形，则EFGH为__________．③若ABCD为矩形，则EFGH为__________．④若ABCD为菱形，则EFGH为__________．答案：1、135°2、3、4、15°；或165°5、6、①平行四边形；②平行四边形；③菱形；④矩形二、选择题7、如图，四边形ABCD是菱形，△AEF为正三角形，点E、F分别在边BC，CD上，且AB＝AE，则∠B＝（）．A．60°B．80°C．100°D．120°8、如图，将矩形纸片ABCD折叠，使点D与点B重合，点C落在点C′处，折叠为EF，若∠EFC′＝125°，则∠ABE的度数为（）．A．15°B．20°C．25°D．30°9、如图，在菱形ABCD中，对角线AC＝6，BD＝8，点E、F分别为边AB，BC的中点，点P在AC 上运动，在运动过程中，存在PE＋PF的最小值，则这个最小值为（）．A．3 B．4 C．5 D．610、如图，菱形ABCD的周长为20cm，DE⊥AB于E，，则下列结论中正确的个数有（）．①DE＝3cm；②BE＝1cm；③菱形的面积为15cm2；④．A．1个B．2个C．3个D．4个11、如图，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝5，过对角线交点O作OE⊥AC交AD于E，则AE的长为（）．A．1.6 B．2.5 C．3 D．3.47-11 BBCCD三、综合题12、如图，O为矩形ABCD对角线的交点，DE∥AC，CE∥BD．（1）试判断四边形OCED的形状，并证明理由．（2）若AB＝6，BC＝8，求S四边形OCED．解：（1）∵DE∥AC，CE∥BD，∴四边形OCED为平行四边形．又∵矩形ABCD中，OC＝OD，∴四边形OCED为菱形．（2）连OE．则四边形BCEO为平行四边形，∴OE＝BC＝8．．13、如图，边长为4的正方形ABCD中，点P在AB上从A向B运动，连DP交AC于点Q．（1）试证明：无论P运动到AB上何处时，都有△ADQ≌△ABQ；（2）当点P在AB上运动到什么位置时，△ADQ的面积为正方形ABCD面积的？解：（1）∵AD＝AB，∠DAQ＝∠BAQ，AQ＝AQ，∴△ADQ≌△ABQ．（2）△ADQ的面积恰好为正方形ABCD面积的时，过点Q作QE⊥AD于E，QF⊥AB 于F，则QE＝QF，．由△DEQ∽△DAP得，解得AP＝2．∴当AP＝2时，△ADQ的面积是正方形ABCD面积的．14、如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，，∠C＝30°．点D从点C出发沿CA方向以每秒2个单位长的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以每秒1个单位长度的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点随之停止运动，设点D、E运动的时间为t秒，过点D作DF⊥BC于点F，连DE、EF．（1）求证：AE＝DF；（2）四边形AEFD能成为菱形吗？若能，求出相应的t值；若不能，说明理由．解：（1）在△DFC中，∠DFC＝90°，∠C＝30°，DC＝2t，∴DF＝t．又∵AE＝t，∴AE＝DF．（2）能．理由如下：∵AB⊥BC，DF⊥BC，∴AE∥DF．又∵AE＝DF，∴四边形AEFD为平行四边形．∴AC＝2AB＝10．∴AD＝AC－DC＝10－2t．若使□AEFD为菱形，则需AE＝AD＝10－2t，即. 即当时，四边形AEFD为菱形．。

第10讲特殊的平行四边形【学习目标】1. 理解矩形、菱形、正方形的概念.2. 掌握矩形、菱形、正方形的性质定理与判定定理.3. 了解平行四边形、矩形及菱形与正方形的概念之间的从属关系.【要点梳理】要点一、矩形、菱形、正方形的定义有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.有一组邻边相等并且有一个内角是直角的平行四边形叫做正方形.要点二、矩形、菱形、正方形的性质矩形的性质：1.矩形具有平行四边形的所有性质；2.矩形的对角线相等；3.矩形的四个角都是直角；4.矩形是轴对称图形，它有两条对称轴.菱形的性质：1.菱形的四条边都相等；2.菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；3.菱形是轴对称图形，它有两条对称轴.正方形的性质：1.正方形四个角都是直角，四条边都相等.2.正方形的两条对角线相等并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角.3.正方形是轴对称图形，有4条对称轴；又是中心对称图形，两条对角线的交点是对称中心.要点三、矩形、菱形、正方形的判定矩形的判定：1. 有三个角是直角的四边形是矩形.2. 对角线相等的平行四边形是矩形.3. 定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.要点诠释：在平行四边形的前提下，加上“一个角是直角”或“对角线相等”都能判定平行四边形是矩形.菱形的判定：1. 四条边相等的四边形是菱形.2.对角线互相垂直的平行四边形是菱形.3. 定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形.要点诠释：前一种方法是在四边形的基础上加上四条边相等.后两种方法都是在平行四边形的基础上外加一个条件来判定菱形，正方形的判定：1.有一组邻边相等的矩形是正方形. 2.有一个内角是直角的菱形是正方形. 要点四、特殊平行四边形之间的关系要点五、顺次连接特殊的平行四边形各边中点得到的四边形的形状 （1）顺次连接平行四边形各边中点得到的四边形是平行四边形. （2）顺次连接矩形各边中点得到的四边形是菱形. （3）顺次连接菱形各边中点得到的四边形是矩形. （4）顺次连接正方形各边中点得到的四边形是正方形. 要点诠释：新四边形由原四边形各边中点顺次连接而成. （1）若原四边形的对角线互相垂直，则新四边形是矩形. （2）若原四边形的对角线相等，则新四边形是菱形. （3）若原四边形的对角线垂直且相等，则新四边形是正方形. 【典型例题】（基础） 类型一、矩形的性质和判定1、如图所示，矩形ABCD 的两条对角线相交于点O ，∠AOD ＝120°，AB ＝4，则矩形对角线AC 长为________．2、已知：平行四边形ABCD 中，E 、F 分别是AB 、CD 的中点，连结AF 、CE.cm（1）求证：△BEC≌△DFA；（2）连接AC，若CA＝CB，判断四边形AECF是什么特殊四边形？并证明你的结论.举一反三：【变式】如图，平行四边形ABCD中P是AD上一点，E为BP上一点，且AE=BE=EP．（1）求证：四边形ABCD是矩形；（2）过E作EF⊥BP于E，交BC于F，若BP=BC，S△BEF=5，CD=4，求CF．类型二、菱形的性质和判定3、如图所示，在菱形ABCD中，AC＝8，BD＝10．求：(1)AB的长．(2)菱形ABCD的面积．举一反三：【变式】菱形的两条对角线长为6和8，则菱形的边长为________．4、如图所示，在△ABC中，CD是∠ACB的平分线，DE∥AC，DF∥BC，四边形DECF是菱形吗?试说明理由．类型三、正方形的性质和判定5、如图，在一正方形ABCD中．E为对角线AC上一点，连接EB、ED，（1）求证：△B EC≌△DEC；（2）延长BE交AD于点F，若∠DEB＝140°．求∠AFE的度数．举一反三：【变式】已知：如图，E为正方形ABCD的边BC延长线上的点，F是CD边上一点，且CE＝CF，连接DE，BF．求证：DE＝BF．6、如图，矩形ABCD中，AD=6，DC=8，菱形EFGH的三个顶点E，G，H分别在矩形ABCD 的边AB，CD，DA上，AH=2，连结CF．（1）若DG=2，求证：四边形EFGH为正方形；（2）若DG=6，求△FCG的面积．【典型例题】（提高）类型一、矩形的性质和判定1、如图所示，已知四边形ABCD是矩形，△PBC和△QCD都是等边三角形，且点P在矩形上方，点Q在矩形内．求证：(1)∠PBA＝∠PCQ＝30°；(2)PA＝PQ．举一反三：【变式】如图所示，把矩形纸片ABCD 沿EF 折叠，使点B 落在边AD 上的点处，点A 落在点处．(1)求证：；(2)设AE ＝，AB ＝，BF ＝，试猜想之间有何等量关系，并给予证明．2、如图1，已知AB ∥CD ，AB=CD ，∠A=∠D ． （1）求证：四边形ABCD 为矩形；（2）E 是AB 边的中点，F 为AD 边上一点，∠DFC=2∠BCE ． ①如图2，若F 为AD 中点，DF=1.6，求CF 的长度：②如图2，若CE=4，CF=5，则AF+BC=________，AF=_________．B 'A'B E BF '=a b c a b c 、、举一反三： 【变式】已知ABCD 的对角线AC ，BD 相交于O ，△ABO 是等边三角形，AB ＝4，求这个平行四边形的面积.类型二、菱形的性质和判定3、如图所示，菱形ABCD 中，E 、F 分别是BC 、CD 上的点，∠B ＝∠EAF ＝60°，∠BAE ＝18°．求∠CEF 的度数．cm4、矩形ABCD中，O是AC与BD的交点，过O点的直线EF与AB、CD的延长线分别交于E、F两点．(1)求证：△BOE≌△DOF；(2)当EF与AC满足什么条件时，四边形AECF是菱形，并证明你的结论．举一反三：【变式】如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D是AB的中点，AE∥CD，CE∥AB，连接DE交AC于点O．（1）证明：四边形ADCE是菱形；（2）证明：DE=BC；（3）若∠B=60°，BC=6，求菱形ADCE的高（计算结果保留根号）．类型三、正方形的性质和判定5、如图，在正方形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，E、F分别在OD、OC上，且DE＝CF，连接DF、AE，AE的延长线交DF于点M．求证：AM⊥DF．举一反三：【变式】如图四边形ABCD是正方形，点E、K分别在BC，AB上，点G在BA的延长线上，且CE＝BK＝AG．以线段DE、DG为边作DEFG．(1)求证：DE＝DG，且DE⊥DG．(2)连接KF，猜想四边形CEFK是怎样的特殊四边形，并证明你的猜想．6、如图所示，已知矩形ABCD 的各内角平分线AQ 、DF 、BE 、CH 分别交BC 、AD 于点Q 、F 、E 、H ，试证明它们组成的四边形MNPO 是正方形．【巩固练习】 一.选择题1.下列关于矩形的说法中正确的是( )A ．对角线相等的四边形是矩形B ．对角线互相平分的四边形是矩形C ．矩形的对角线互相垂直且平分D ．矩形的对角线相等且互相平分2. 矩形一个角的平分线分矩形一边为1cm 和3cm 两部分，则它的面积为（ ）A.32cmB. 42cmC. 122cmD. 42cm 或122cm 3．已知菱形的周长为40cm ，两条对角线的长度比为3：4，那么两条对角线的长分别为（ ）A ．6cm ，8cm B. 3cm ，4cm C. 12cm ，16cm D. 24cm ，32cm 4.如图，菱形ABCD 中对角线交于点O ，且OE⊥AB，若AC ＝8，BD ＝6，则,OE 的长是（ ） A ．2.5B ．5C ．2.4D ．不确定5.如图，E 是边长为1的正方形ABCD 的对角线BD 上一点，且BE=BC ，P 为CE 上任意一点，PQ⊥BC 于点Q ，PR⊥BE 于点R ，则PQ+PR 的值是（ ）A.B. C. D.6. 如图，四边形ABCD 中，AD ＝DC ，∠ADC＝∠ABC＝90°，DE⊥AB，若四边形ABCD 面积为16，则DE 的长为（ ）A ．3B ．2C ．4D ．8二.填空题7．如图四边形ABCD 中，AB=BC=12，∠ABC=45°，∠ADC=90°，AD=CD ，则BD= ．8．如图，矩形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝3，对角线AC 的垂直平分线分别交AD ，BC 于点E 、F ，连结CE ，则CE 的长______．2312229．如图，菱形ABCD 的边长是2cm ，E 是AB 中点， 且DE ⊥AB ，则菱形ABCD 的面积为______2cm .10．已知菱形ABCD 的周长为20cm ，且相邻两内角之比是1∶2，则菱形的两条对角线的长和面积分别是 ．11.如图，三个边长均为2的正方形重叠在一起，O 1、O 2是其中两个正方形的中心，则阴影部分的面积是_______．12. 如图，平面内4条直线是一组平行线，相邻2条平行线间的距离都是1个单位长度，正方形ABCD 的4个顶点A 、B 、C 、D 都在这些平行线上，其中点Ａ、Ｃ分别在直线和上，该正方形的面积是 平方单位．三.解答题13．如图，AB=AC ，AD=AE ，DE=BC ，且∠BAD=∠CAE．（1）求证：△ABE≌△ACD；（2）求证：四边形BCDE 是矩形．1234l l l l ，，，1l 4l14.如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于O，过点O作直线EF⊥BD，分别交AD、BC于点E和点F，求证：四边形BEDF是菱形.15．如图，在边长为4的正方形ABCD中，点P在AB上从A向B运动，连结DP交AC于点Q．(1)试证明：无论点P 运动到AB 上何处时，都有△ADQ ≌△ABQ ；(2)当点P 在AB 上运动到什么位置时，△ADQ 的面积是正方形ABCD 面积的； (3)若点P 从点A 运动到点B ，再继续在BC 上运动到点C ，在整个运动过程中，当点P 运动到什么位置时，△ADQ 恰为等腰三角形．【课后作业】【巩固练习】一.选择题1．下列命题中不正确的是( )．A.直角三角形斜边中线等于斜边的一半B.矩形的对角线相等C.矩形的对角线互相垂直D.矩形是轴对称图形2．若矩形对角线相交所成钝角为120°，短边长3.6，则对角线的长为( )．A. 3.6B. 7.2C. 1.8D. 14.43．如图，在菱形ABCD 中，E 、F 分别是AB 、AC 的中点，如果EF ＝2，那么菱形ABCD 的周长是( )61cm cm cm cm cmA.4B.8C.12D.164.菱形ABCD 中，∠A ∶∠B ＝1∶5，若周长为8，则此菱形的高等于( )．A. B.4 C.1 D.25.如图，在正方形ABCD 中，△ABE 和△CDF 为直角三角形，∠AEB=∠CFD=90°，AE=FC=5，BE=DF=12，则EF 的长是（ ）A ．7B ．8C ．72D ．736. 如图，在正方形ABCD 的外侧，作等边三角形ADE ，连接BE ，则∠AEB 的度数为（ ）A ．10°B ．15°C ．20°D ．12.5°二.填空题7．矩形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于O ，∠AOB ＝60°，AC ＝10，则AB ＝______，BC ＝______．8. 如图，将边长为2的正方形ABCD 沿其对角线AC 剪开，再把△ABC 沿着AD 方向平移，得到△，若两个三角形重叠部分的面积是1，则它移动的距离等于____.21cm cm cm cm A B C '''2cm AA 'cm9. 如图，边长为2的正方形ABCD的对角线相交于点O，过点O的直线分别交AD、BC于E、F，则阴影部分的面积是_______.10.如图，两条等宽的长方形纸条倾斜的重叠着，已知长方形纸条宽度为3cm，∠ABC=60°，则四边形ABCD的面积为________cm2．11. 如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AB＝13，AC＝10，过点D作DE∥AC交BC的延长线于点E，则△BDE的周长为_____.12.如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的顶点B的坐标为（8，4），则C点的坐标为_______.三.解答题13.如图，在△ABC中，AB=AC，AD是△ABC的角平分线，作AE∥BC，CE∥AD，AE、CE交于点E．（1）证明：四边形ADCE是矩形．（2）若DE交AC于点O，证明：OD∥AB且OD=AB．14．如图，在平行四边形ABCD中，E、F分别为边AB，CD的中点，连接DE、BF、BD．若AD⊥BD，则四边形BFDE是什么特殊四边形？请证明你的结论．15．如图，边长为3的正方形ABCD绕点C按顺时针方向旋转30°后，得到正方形EFCG，EF交AD于H，求DH的长．。

矩形的性质：（1）边：矩形的对边平行且相等。

（2）角：矩形的四个角都是直角。

（3）对角线：矩形的对角线相等且互相平分。

（4）对称性：中心对称图形，轴对称图形（2或4）。

矩形的判定：（1）有一个角是直角的平行四边形是矩形。

（2）对角线相等的平行四边形是矩形。

（3）对角线相等且互相平分的四边形是矩形（4）三个角都是直角的四边形是矩形。

菱形的性质：（1）边：菱形的对边平行，且四条边都相等（2）角：菱形的对角相等，邻角互补。

（3）对角线：菱形的对角线互相垂直平分，并且每一条对角线平分一组对角。

（4）对称性：中心对称图形，轴对称图形（2或4条）（5）菱形的面积＝底×高＝对角线乘积的一半菱形的判定：（1）一组邻边相等的平行四边形是菱形。

（2）对角线互相垂直的平行四边形是菱形。

（3）四边相等的四边形是菱形。

（4）对角线互相垂直平分的四边形是菱形。

正方形的性质：（1）四边都相等，对边平行（2）四个角都是直角（3）对角线相等且互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角。

（4）中心对称图形，轴对称图形（4条对称轴）矩形的判定：（1）一组邻边相等的矩形是正方形（2）对角线互相垂直的矩形是正方形（3）一个角是直角的菱形是正方形（4）对角线相等的菱形是正方形。

（5）对角线相等且互相垂直的平行四边形是正方形中点四边形：对角线相等的四边形中点四边形菱形对角线相等的四边形中点四边形菱形对角线垂直的四边形中点四边形矩形对角线相等且垂直的四边形中点四边形正方形。

特殊的平行四边形
特殊的平行四边形有菱形和矩形。

菱形：特殊的平行四边形之一。

有一组邻边相等的平行四边形。

菱形的性质：
（1）在一个平面内，有一组邻边相等的平行四边形是菱形；
（2）菱形的四条边都相等；
（3）菱形的对角线互相垂直平分且平分每一组对角；
（4）菱形是轴对称图形，对称轴有2条，即两条对角线所在直线；（5）菱形是中心对称图形；菱形的中点四边形总是矩形。

矩形：有一个角是直角的平行四边形。

矩形的判定定理：
（1）判定定义：有一个角是直角的平行四边形是是矩形。

（2）判定定理1：有三个角是直角的四边形是矩形。

（3）判定定理2：对角线相等的平行四边形是矩形。

矩形的性质：
（1）具有平行四边形的一切性质。

（2）矩形的四个角都是直角。

（3）矩形的对角线相等。

（4）矩形既是轴对称图形又是中心对称图形。

矩形的面积：矩形的面积=长×宽特殊的平行四边形。

平行四边形的性质与特征平行四边形是一种特殊的四边形，它具有一些独特的性质和特征。

理解和掌握这些性质和特征对于几何学的学习至关重要。

本文将介绍平行四边形的定义、性质以及与其他几何形状的关系。

一、平行四边形的定义平行四边形是指具有两对对边分别平行的四边形。

简单来说，平行四边形的两对对边是平行的。

在平行四边形中，相邻的两个内角之和为180度，即相邻角互补。

二、平行四边形的性质1. 对边性质：平行四边形的对边长度相等。

这是因为平行四边形的定义中要求两对对边平行，所以对边之间的距离相等。

2. 对角线性质：平行四边形的对角线互相等长，且二分之一对角线相互垂直。

这是因为平行四边形可以看作是一个长方形被一条对角线切分而成，而长方形的对角线是相等的且相互垂直。

3. 内角性质：平行四边形的内角相等。

具体来说，两对相对的内角分别相等。

4. 外角性质：平行四边形的外角相等。

具体来说，平行四边形的内角与其相邻的外角互补，即内角和外角的和为180度。

5. 底角性质：平行四边形的底角相等。

底角是指与底边相邻的内角，它们相等是因为平行四边形中对边之间的距离相等。

6. 对边角性质：平行四边形的对边角互补。

具体来说，平行四边形中相对的对边之间的内角和为180度。

三、平行四边形与其他几何形状的关系1. 矩形：平行四边形的特殊情况之一是矩形。

矩形拥有平行四边形的所有性质，同时它的内角都是直角，即90度。

2. 正方形：正方形是矩形的特殊情况，也是平行四边形的特殊情况。

正方形的四条边相等且垂直，也可以看作是一个特殊的平行四边形。

3. 菱形：菱形是另一种特殊的平行四边形，它拥有平行四边形的部分性质。

菱形的对角线相等且互相垂直，但它的内角并不一定相等。

总结：平行四边形具有两对对边平行的性质，其内角和为180度。

平行四边形的对边相等，对角线互相等长且垂直。

平行四边形可以是矩形、正方形和菱形的特例。

掌握平行四边形的性质与特征，有助于我们更好地理解几何学中的各种形状关系和计算。

特殊的平行四边形高梦麒特殊的平行四边形：有一个内角是直角的平行四边形叫矩形。

有一组邻边相等的平行四边形叫菱形。

有一个角是直角，且一组邻边相等的平行四边形叫正方形。

矩 形1、定义： 有一个角是直角的平行四边形叫矩形。

2、性质：除具有平行四边形的性质外，还有：①四个角都是直角②对角线相等③既是中心对称图形又是轴对称图形。

3、判定： ①有三个角是直角的四边形是矩形；②对角线相等的平行四边形是矩形；③有一个角是直角的平行四边形是矩形。

４、面积公式：S ＝ab （a是一边的长，b 是这边上的高）2如图，E 为矩形ABCD 的边CD 上的一点，AB ＝AE ＝4，BC ＝2，则∠BEC 是（ ）（A ）15° （B ）30° （C ）60° （D ）75°3如图，周长为68的矩形ABCD 被分成7个全等的矩形，则矩形ABCD 的面积为…（ ）（A ）98 （B ）196 （C ）280 （D ）284菱 形1、 定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形。

2、 性质：除具有平行四边形的性质外，还有：①四条边都相等②对角线互相垂直，且每一条对角线平分一组对角 ③既是中心对称图形又是轴对称图形。

3、判定：① 四条边相等的四边形是菱形；②对角线垂直的平行四边形是菱形； ③有一组邻边相等的平行四边形是菱形。

4、面积公式：S ＝ah （a是一边的长，h 是这边上的高）②S ＝21bc （b 、c 为两条对角线的长）小节检测:1. 如图，在菱形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，E 为BC 的中点，则下列式子中一定成立的是（ ） A ．AC=2OE B ．BC=2OE C ．AD=OE D ．OB=OED2. 如图，在菱形ABCD中，不一定成立的（）A.四边形ABCD是平行四边形B.AC⊥BDC.△ABD是等边三角形D.∠CAB＝∠CAD3. 如图，如果要使ABCD成为一个菱形，需要添加一个条件，那么你添加的条件是．4. 菱形的两条对角线长分别是6和8，则菱形的边长为。

九年级数学上册知识点特殊的平行四边形一、平行四边形1.平行四边形的定义:两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。

2.平行四边形的性质（1）平行四边形的对边平行且相等。

（对边）（2）平行四边形相邻的角互补，对角相等（对角）（3）平行四边形的对角线互相平分。

（对角线）（4）平行四边形是中心对称图形，对称中心是对角线的交点。

常用点：（1）若一直线过平行四边形两对角线的交点，则这条直线被一组对边截下的线段的中点是对角线的交点，并且这条直线二等分此平行四边形的面积。

（2）推论：夹在两条平行线间的平行线段相等。

3.平行四边形的判定（1）定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形。

（对边）（2）定理1：两组对边分别相等的四边形是平行四边形。

（对边）（3）定理2：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。

（对边）（4）定理3：两组对角分别相等的四边形是平行四边形。

（对角）（5）定理4：对角线互相平分的四边形是平行四边形。

（对角线）4.两条平行线的距离两条平行线中，一条直线上的任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线的距离。

注意：平行线间的距离处处相等。

5.平行四边形的面积: S平行四边形=底边长×高=ah二、菱形1.菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形2.菱形的性质（1）菱形的四条边相等，对边平行。

（边）（2）菱形的相邻的角互补，对角相等。

（对角）（3）菱形的对角线互相垂直平分，并且每一条对角线平分一组对角。

（对角线）（4）菱形既是中心对称图形又是轴对称图形；对称中心是对角线的交点（对称中心到菱形四条边的距离相等）；对称轴有两条，是对角线所在的直线。

3.菱形的判定（1）定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形。

（2）定理1：四边都相等的四边形是菱形。

（边）（3）定理2：对角线互相垂直的平行四边形是菱形。

（对角线）（4）定理3：对角线垂直且平分的四边形是菱形。

（对角线）4.菱形的面积：S菱形=底边长×高=两条对角线乘积的一半三、矩形1.矩形的定义:有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。

特殊的平行四边形1．平行四边形的性质（1）平行四边形的概念：有两组对边分别____的四边形叫做平行四边形．（2）平行四边形的性质：①边：平行四边形的对边相等．②角：平行四边形的对角相等．③对角线：平行四边形的对角线互相平分．（3）平行线间的距离处处相等．（4）平行四边形的面积：①平行四边形的面积等于它的底和这个底上的高的积．②同底（等底）同高（等高）的平行四边形面积相等．2．平行四边形的判定（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形．符号语言：∵AB∥DC，AD∥BC∴四边行ABCD 是平行四边形．（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形．符号语言：∵AB=DC，AD=BC∴四边行ABCD 是平行四边形．（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．符号语言：∵AB∥DC，AB=DC∴四边行ABCD是平行四边形．（4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形．符号语言：∵∠ABC=∠ADC，∠DAB=∠DCB∴四边行ABCD是平行四边形．（5）对角线互相平分的四边形是平行四边形．符号语言：∵OA=OC，OB=OD∴四边行ABCD 是平行四边形．3．矩形的判定（1）矩形的判定：①矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形；②有三个角是直角的四边形是矩形；③对角线相等的平行四边形是矩形（或“对角线互相_____且_____的四边形是矩形”）（2）①证明一个四边形是矩形，若题设条件与这个四边形的对角线有关，通常证这个四边形的对角线相等．②题设中出现多个直角或垂直时，常采用“三个角是直角的四边形是矩形”来判定矩形．4．矩形的性质（1）矩形的性质①平行四边形的性质矩形都具有；②角：矩形的四个角都是____；③边：邻边垂直；④对角线：矩形的对角线____；⑤矩形是轴对称图形，又是中心对称图形．它有2条对称轴，分别是每组对边中点连线所在的直线；对称中心是两条对角线的交点．（2）由矩形的性质，可以得到直角三角线的一个重要性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的___．5．菱形的性质（1）菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形．（平行四边形 + 一组邻边相等=菱形）①菱形具有平行四边形的一切性质；②菱形的四条边都相等；③菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；④菱形是轴对称图形，它有__条对称轴，分别是两条对角线所在直线．（3）菱形的面积计算①利用平行四边形的面积公式．②菱形面积=ab．（a、b是两条对角线的长度）6．菱形的判定（1）四条边都_____的四边形是菱形．几何语言：∵AB=BC=CD=DA∴四边形ABCD是菱形；（2）对角线互相垂直的平行四边形是菱形（或“对角线互相垂直平分的四边形是菱形”）．几何语言：∵AC⊥BD，四边形ABCD是平行四边形∴平行四边形ABCD是菱形7．正方形的性质（1）正方形的定义：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形．（2）正方形的性质①正方形的四条边都相等，四个角都是_____；②正方形的两条对角线相等，互相垂直平分，并且每条对角线平分一组对角；③正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质．④两条对角线将正方形分成四个全等的等腰直角三角形，同时，正方形又是轴对称图形，有四条对称轴．8．正方形的判定正方形的判定方法：①先判定四边形是矩形，再判定这个矩形有一组邻边相等；②先判定四边形是菱形，再判定这个矩形有一个角为直角．③还可以先判定四边形是平行四边形，再用1或2进行判定．（1）性质：①等腰梯形是轴对称图形，它的对称轴是经过上下底的_____的直线；②等腰梯形同一底上的两个角相等；③等腰梯形的两条对角线相等．（2）由等腰梯形的性质可知，如果过上底的两个顶点分别作下底的两条高，可把等腰梯形分成矩形和两个全等的直角三角形，因此可知等腰梯形是轴对称图形，而一般的梯形不具备这个性质．10．等腰梯形的判定（1）利用定义：两腰相等的梯形叫做等腰梯形；（2）定理：同一底上两个角相等的梯形是等腰梯形．（3）对角线：对角线相等的梯形是等腰梯形．判定一个梯形是否为等腰梯形，主要判断梯形的同一底上的两个角是否相等，可以通过添加辅助线把梯形底上的两个角平移到同一个三角形中，利用三角形来证明角的关系．注意：对角线相等的梯形是等腰梯形这个判定方法不可以直接应用．教学重点：能用综合法来证明特殊的平行四边形的相关结论；教学难点：运用特殊的平行四边形的性质定理和判定定理解决计算问题；1.菱形的性质；平行四边形的性质．【例1】菱形具有而平行四边形不具有的性质是（）A．两组对边分别平行 B．两组对角分别相等C．对角线互相平分 D．对角线互相垂直练1.如图，菱形ABCD中，AC、BD相交于点O，若∠BCO=55°，则∠ADO=°．练2.如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点O作EF⊥AC交BC于点E，交AD于点F，连接AE、CF．则四边形AECF是（）A．梯形 B．矩形 C．菱形 D．正方形2.菱形的性质；坐标与图形性质．【例2】如图，在菱形ABCD中，点A在x轴上，点B的坐标为（8，2），点D的坐标为（0，2），则点C的坐标为．练3.菱形ABCD在平面直角坐标系中的位置如图所示，顶点B（2，0），∠DOB=60°，点P是对角线OC上一个动点，E（0，﹣1），当EP+BP最短时，点P的坐标为．3. 矩形的性质；菱形的判定．【例3】如图，在矩形ABCD中，E，F分别是AD，BC中点，连接AF，BE，CE，DF分别交于点M，N，四边形EMFN是（）A．正方形 B．菱形 C．矩形 D．无法确定练4.下列说法中，正确的是（）A．同位角相等B．对角线相等的四边形是平行四边形C．四条边相等的四边形是菱形D．矩形的对角线一定互相垂直练5.如图，在矩形ABCD中，E，F分别为AD，BC的中点，连结AF，DF，BE，CE，AF与BE 交于G，DF与CE交于H．求证：四边形EGFH为菱形．4．正方形的判定；矩形的性质．【例4】（2014•山东淄博一中期末）如图所示，一张矩形纸片，要折叠出一个最大的正方形，小明把矩形上的一个角沿折痕AE翻折上去，使AB与AD边上的AF重合，则四边形ABEF就是一个大的正方形，他判定的方法是．练6.下列说法中，错误的是（）A．菱形的四条边都相等B．对角线互相垂直的平行四边形是正方形C．四个角都相等的四边形是矩形D．等腰梯形的对角线相等5．直角梯形；平行四边形的性质；等腰梯形的性质．【例5】如图所示，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，AD=24cm，AB=8cm，BC=26cm，动点P从A 点开始沿AD边向D以1cm/s的速度运动，动点Q从C点开始沿CB边向B以3cm/s的速度运动．P，Q分别从A，C同时出发，当其中一点到端点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为t（s），t分别为何值时，四边形PQCD是平行四边形？等腰梯形？练7．已知：如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，点P是腰DC上的一个动点（P与D、C不重合），点E、F、G分别是线段BC、PC、BP的中点．（1）试探索四边形EFPG的形状，并说明理由；（2）若∠A=120°，AD=2，DC=4，当PC为何值时，四边形EFPG是矩形并加以证明．1、下列命题中是真命题的是（ ） A. 对角线互相垂直且相等的四边形是正方形 B.有两边和一角对应相等的两个三角形全等 C. 两条对角线相等的平行四边形是矩形 D.两边相等的平行四边形是菱形2、关于下列结论，正确的是_______________________。

证明三——特殊平行四边形知识要点1．矩形一、性质矩形除具有平行四边形的所有性质外，还具有矩形的四个角都是直角，对角线相等二、判定（1）矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形；（2）矩形的判定定理1：有三个角是直角的四边形是矩形；（3）矩形的判定定理2：对角线相等的平行四边形是矩形．三、推论：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；如果一个三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形2．菱形一、性质：菱形除具有平行四边形的所有性质之外，还具有，菱形的四边相等，对角线互相垂直，并且每条对角线平分一组对角二、判定（1）菱形的定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形；（2）菱形的判定定理1：四边都相等的四边形是菱形；（3）菱形的判定定理2：对角线互相垂直的平行四边形是菱形．3．正方形一、性质：正方形除具有平行四边形所有性质外，还具有，正方形的四个角都是直角，两条对角线相等，并且互相垂直平分,每条对角线平分一组对角二、判定（1）定义：有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形；（2）判定定理1：一组邻边相等的矩形是正方形；（3）判定定理2：一个角是直角的菱形是正方形．（一）菱形、矩形、正方形的有关概念：（二）菱形、矩形、正方形的性质（三）菱形、矩形、正方形的判别：题型归类一、选择题1．下列命题正确的是（ ）A 、有两个角是直角的四边形是矩形B 、两条对角线相等的四边形是矩形C 、两条对角线垂直且相等的四边形是矩形D 、四个角都是直角的四边形是矩形 2．过矩形ABCD 的顶点D ，作对角线AC 的平行线交BA 的延长线于E ，则△DEB 是（ ） A 、不等边三角形 B 、等腰三角形C 、等边三角形D 、等腰直角三角形3．矩形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，则边与对角线组成的直角三角形的个数是（ ） A 、1个 B 、2个 C 、3个 D 、4个 4．如图4-4-1，已知正方形ABCD 的边长为cm 35，E 为DC 边上一点，∠EBC=30°，则BE 的长为（ ）∥ = A 、cm 5B 、cm 52C 、5cmD 、10cm5．如图4-4-2，等边三角形ABE 与正方形ABCD 有一条公共边，则∠AED 等于（ ） A 、10° B 、12.5° C 、15° D 、20° 6．若矩形各角平分线能围成一个四边形，则这个四边形是（ ） A 、平行四边形 B 、矩形 C 、菱形 D 、正方形 7．E 为矩形ABCD 中AB 边上的中点，CE ⊥DE ，那么∠CEB 等于（ ） A 、30° B 、45° C 、60° D 、75° 8．下列命题中错误的是（ ） A 、正方形既是矩形又是菱形 B 、有一个内角是直角的菱形是正方形C 、有一组邻边相等的矩形是正方形D 、两条对角线想到垂直且相等的四边形是正方形 9．正方形具有而矩形不一定具有性质是（ ） A 、对角线互相垂直 B 、对角线相等C 、对角线互相平分D 、对角线互相平分且相等10．如图4-4-3，E 是正方形ABCD 内一点，且△EAB 是等边三角形，则∠ADE 等于（ ） A 、70° B 、72.5° C 、75° D 、77.5° 11．用长为30cm 的一根绳子，围成一个矩形，其面积最大值为（ ）A 、225cm 2B 、112.5cm 2C 、56.25cm 2D 、100cm 2 12．在四边形ABCD 中，O 是对角线的交点，能判定这个边形是正方形的是（ ）A 、AC=BD ，∠A=∠B ，∠C=∠D B 、∠ABD=∠CBD ，AB CD ，∠A=∠BC 、AO=CO ，BO=DO ，∠A=∠BD 、AO=CO ，BO=DO ，AB=BC13．如图4-4-4，设M 、N 是正方形ABCD 的边AB 、AD 的中点，MD 与NC 相交于P ，若△PCD 的面积是S ，则四边形AMPN 的面积是（ ） A 、S 32 B 、S C 、S 34 D 、非上述答案14．如图4-4-4（上题图），若CE=MN ，∠MCE=35°，那么∠ANM 的度数是（ ） A 、45° B 、55° C 、65° D 、35°15．如图4-4-5，正方形ABCD 的边长为3，以CD 为一边向CD 两旁作等边△PCD 和等边△QCD ，那么PQ 的长为（ ） A 、233 B 、332C 、33D 、3616．一个正方形和一个等腰三角形周长相等，等腰三角形两边长为13cm 和6cm ，这个正方形的面积是（ ） A 、64cm 2B 、16625cm 2C 、32cm 2D 、25cm 2图4-4-1 图4-4-2图4-4-3B17．在正方形ABCD 中，E 为BC 上一点，EF ⊥AC ，EG ⊥BD ，垂足为F 、G ，如果AC=10cm ，那么EF+EG 等于（ ） A 、10cm B 、7.5cm C 、5cm D 、2.5cm 18．用两个全等的直角三角形拼下面图形：（1）平行四边形（2）矩形（3）菱形（4）正方形（5）等腰三角形（6）等边三角形，可以拼成的图案是（ ） A 、（1）（4）（5） B 、（2）（5）（6） C 、（1）（2）（3） D 、（1）（2）（5） 19.下列判别错误的是（ ）A 、对角线互相垂直且平分的四边形是菱形B 、有一条对角线平分对角的四边形是菱形C 、对角线互相垂直的平行四边形是菱形D 、邻边相等的平行四边形是菱形20.在菱形ABCD 中，AE ⊥BC 于E ，若S 菱形ABCD =24cm 2，且AE=4cm ，则菱形ABCD 的边长为（ ） A 、4cm B 、5cm C 、6cm D 、7cm 21.在菱形ABCD 中，AE ⊥BC ，AF ⊥CD ，且BE=EC ，CF=FD ，则∠AEF 等于（ ）A 、120°B 、45°C 、60°D 、150° 22.已知菱形的周长是40cm ，一条对角线的长是12cm ，那么这个菱形的面积是（ ） A 、190cm 2 B 、96cm 2 C 、48cm 2 D 、40cm 2 23.菱形的周长等于它的高的8倍，则它的相邻两个角的度数是（ ） A 、20°和160° B 、60°和120° C 、45°和135° D 、30°和150° 24.菱形中，两条对角线相交于一点，则这个图形中，面积相等的三角形有（ ） A 、8对 B 、12对 C 、15对 D 、16对 25.菱形ABCD 中，若∠ABC=120°，则BD ：AC 的值是（ ） A2BC 、1:2D26.如图4-3-1，等边△AEF 与菱形ABCD 有一个公共顶点A ，且边长相等；△AEF 的顶点E 、F 分别在菱形的边BC 、CD 上，则BAD 等于（ ） A 、80° B 、90° C 、100° D 、120°二、填空题1．已知矩形的周长为72cm ，一边中点与对边的两个端点连线的夹角是直角。

平行四边形的判定、性质及特殊平行四边形介绍
一、平行四边形判定（5条）
1、两组对边分别平行的四边形是平行四边形。

2、两组对边分别相等的四边形是平行四边形。

3、两组对角分别相等的四边形是平行四边形。

4、两条对角线互相平分的四边形是平行四边形。

5、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。

具体证明可见下图所示：
二、平行四边形的性质
1、如果一个四边形是平行四边形，那么这个四边形的两组对边分别相等。

2、如果一个四边形是平行四边形，那么这个四边形的两组对角分别相等。

3、如果一个四边形是平行四边形，那么这个四边形的邻角互补。

4、夹在两条平行线间的平行的高相等。

5、如果一个四边形是平行四边形，那么这个四边形的两条对角线互相平分。

6、连接任意四边形各边的中点所得图形是平行四边形。

7、平行四边形的面积等于底和高的积。

8、过平行四边形对角线交点的直线，将平行四边形分成全等的两部分图形。

9、平行四边形是中心对称图形，对称中心是两对角线的交点。

10、平行四边形不是轴对称图形，但平行四边形是中心对称图形。

矩形和菱形是轴对称图形。

三、特殊平行四边形介绍
特殊平行四边形包括矩形，菱形，正方形。

具体见下图所示：。

平行四边形概念、知识点概念：同一平面内，两组对边分别平行的四边形称为平行四边形。

性质：1.平行四边形对边分别相等;2.平行四边形对边分别平行;3.平行四边形对角分别相等;4.平行四边形对角线互相平分;5.平行四边形邻角互补6.夹在两条平行线间的平行的高相等。

(简述为“平行线间的高距离处处相等”)7.连接任意四边形各边的中点所得图形是平行四边形。

8平行四边形的面积等于底和高的积。

(可视为矩形).9过平行四边形对角线交点的直线，将平行四边形分成全等的两部分图形。

10 平行四边形不是轴对称图形。

矩形和菱形是轴对称图形。

11 平行四边形对角线把平行四边形面积分成四等份。

判定方法：1.两组对边分别平行的四边形是平行四边形(定义判定法);2.一组对边平行且相等的四边形是平行四边形;3.两组对边分别相等的四边形是平行四边形;4.对角线互相平分的四边形是平行四边形;5.两组对角分别相等的四边形是平行四边形;6.所有邻角都互补的四边形是平行四边形; (不可以直接用)特殊的平行四边形：矩形定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形性质：(1)矩形的四个角都是直角(2)矩形的对角线相等(3) 矩形具备平行四边形的所有性质判定：(1)有一个角是直角的平行四边形是矩形(定义)(2)对角线相等的平行四边形是矩形(3)三个角是直角的四边形是矩形特殊的平行四边形：菱形定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形性质：(1)菱形的四条边都相等(2)菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角(3) 菱形具备平行四边形的所有性质判定：(1)一组邻边相等的平行四边形是菱形(定义)(2)对角线互相垂直的平行四边形是菱形(3)四边相等的四边形是菱形(4) 对角线互相垂直平分的四边形是菱形特殊的平行四边形：正方形定义：有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形性质：(1) 正方形的四个角都是直角(2) 正方形的四条边都相等(3)正方形的对角线互相垂直平分且相等(4)正方形既具有平行四边形的所有性质，还具备矩形和菱形的所有性质判定：1：对角线相等的菱形是正方形。

平行四边形的性质平行四边形是一种特殊的四边形，具有一些独特的性质。

本文将探讨平行四边形的性质，包括其定义、内角和、对角线、对边关系等。

一、定义平行四边形是指有四个边两两平行的四边形。

它的特点在于两组对边都是平行的，可以表示为ABCD。

二、内角和平行四边形的相邻内角互补，也就是相邻内角和等于180度。

例如，对于平行四边形ABCD，∠A + ∠B = ∠C + ∠D = 180°。

三、对角线平行四边形的对角线相互等分，并且交点处的两条对角线互相垂直。

换句话说，对角线AC和BD相等，且彼此互相垂直。

四、对边关系平行四边形的对边相等且平行。

也就是说，AB = CD，AD = BC，并且AB与CD平行，AD与BC平行。

五、高度平行四边形的高度是从一个边到其对边的垂直距离。

所有的高度长度相等。

六、面积平行四边形的面积可以通过底边长度与高度的乘积得到。

面积公式为S = 底边长度 ×高度。

七、重心平行四边形的重心是连接对边中点的线段的交点。

这个交点是平行四边形的对称中心，也是平行四边形中心的位置。

八、特殊情况特殊情况下，平行四边形还可以分为矩形、正方形和菱形。

矩形是一种特殊的平行四边形，它的内角都是直角，相邻边相等；正方形是一种特殊的矩形，它的四条边都相等；菱形是一种特殊的矩形，它的对角线相等且互相垂直。

总结：平行四边形是一种具有特殊性质的四边形，它具有两组平行的边，内角和等于180度，对角线相等且互相垂直，对边也相等且平行。

通过应用这些性质，我们可以解决与平行四边形相关的问题，如计算面积、寻找重心等。

同时，特殊情况下的矩形、正方形和菱形也是平行四边形的特例。

了解这些性质将有助于我们更好地理解和应用平行四边形的概念。