绝密★启用前2018年山东省济南市初中学业水平考试数学（考试时间120分钟，满分120分）第Ⅰ卷（选择题共48分）一、选择题（本大题共12小题，每小题4分，共48分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.4的算术平方根是（）A.2B.2-C.2±D.22.如图所示的几何体，它的俯视图是（）A B C D3.2018年1月，“墨子号”量子卫星实现了距离达7 600km的洲际量子密钥分发，这标志着“墨子号”具备了洲际量子保密通信的能力.数字7 600用科学记数法表示为（）A.40.7610⨯ B.37.610⨯C.47.610⨯ D.27610⨯4.“瓦当”是中国古建筑装饰檐头的附件，是中国特有的文化艺术遗产，下面“瓦当”图案中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A B C D5.如图，AF是BAC∠的平分线，DF AC∥，若135∠=︒，则BAF∠的度数为（）A.17.5︒B.35︒C.55︒D.70︒6.下列运算正确的是（）A.2323a a a+= B.()23524a a=-C.()()2212a a a a+-=+- D.()222a b a b+=+7.关于x的方程321x m-=的解为正数，则m的取值范围是（）A.12m<- B.12m>-C.12m> D.12m<8.在反比例函数2yx=-图象上有三点()11,A x y、()22B x y，、33C x y（，），若123x x x<<<，则下列结论正确的是（）A.321y y y<< B.132y y y<<C.231y y y<< D.312y y y<<9.如图，在平面直角坐标系中，ABC△的顶点都在方格线的格点上，将ABC△绕点P顺时针方向旋转90︒，得到A B C'''△，则点P的坐标为（）A.()0,4 B.()1,1C.()1,2 D.()2,1（第9题）10.下面的统计图大致反应了我国2012年至2017年人均阅读量的情况.根据统计图提供的信息，下列推断不合理的是（）毕业学校_____________姓名________________考生号_____________________________________________-------------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效----------------数学试卷第1页（共52页）数学试卷第2页（共52页）数学试卷 第3页（共52页） 数学试卷 第4页（共52页）A.与2016年相比，2017年我国电子书人均阅读量有所降低B.2012年至2017年，我国纸质书的人均阅读量的中位数是4.57C.从2014年到2017年，我国纸质书的人均阅读量逐年增长D.2013年我国纸质书的人均阅读量比电子书的人均阅读量的1.8倍还多2012—2017年中国人均阅读（第10题）（第11题）11.如图1，一扇形纸片的圆心角为90︒，半径为6．如图2，将这张扇形纸片折叠，使点A 与点O 恰好重合，折痕为CD ，图中阴影为重合部分，则阴影部分的面积为（ ）A.6πB.6π-C.12π-D.94π 12.若平面直角坐标系内的点M 满足横、纵坐标都为整数，则把点M 叫做“整点”．例如：()1,0P 、()2,2Q -都是“整点”．抛物线()24420y mx mx m m +--=>与x 轴的交点为A 、B ，若该抛物线在点A 、B 之间的部分与线段AB 所围成的区域（包括边界）恰有七个整点，则m 的取值范围是（ ）A.112m ≤< B.112m <≤ C.12m <≤ D.12m <<第Ⅱ卷（非选择题共102分）二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分） 13.分解因式：24m -=___________．14.在不透明的盒子中装有5个黑色棋子和若干个白色做子，每个棋子除颜色外都相同，任意摸出一个棋子，摸到黑色棋子的概率是14，则白色棋子的个数是=___________．15.一个正多边形的每个内角等于108︒，则它的边数是___________．. 16.若代数式24x x --的值是2，则x =___________． 17.A 、B 两地相距20 km ，甲乙两人沿同一条路线从A 地到B 地.甲先出发，匀速行驶，甲出发1小时后乙再出发，乙以2 km/h 的速度匀速行驶1小时后．提高速度并继续匀速行驶，结果比甲提前到达.甲、乙两人离开A 地的距离 km s （）与时间 h t （）的关系如图所示，则甲出发___________小时后和乙相遇．（第17题）（第18题）18.如图，矩形EFGH 的四个顶点分别在矩形ABCD 的各条边上，AB EF =，2FG =，3GC =．有以下四个结论：①BGF CHG ∠=∠；②BFG DHE △≌△；③1tan 2BFG ∠=；④矩形EFGH的面积是其中一定成立的是___________．（把所有正确结论的序号填在横线上）三、解答题（本大题共9小题，共78分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 19.（本小题满分6分）计算：()125sin30π1-+︒+---．20.（本小题满分6分）解不等式组：31233122x x x x ++⎧⎪⎨-⎪⎩＜①＞②，并写出它的所有整数解. 21.（本小题满分6分）如图，在ABCD 中，连接BD ，E F 、分别是DA 和BC 延长线上的点，且AE CF =，连接EF 交BD 于点O ．求证：OB OD =．数学试卷 第5页（共52页）数学试卷 第6页（共52页）（第20题）22.（本小题满分8分）本学期学校开展以“感受中华传统美德”为主题的研学活动，组织150名学生参观历史博物馆和民俗展览馆，每名学生只能参加其中一项活动，共支付票款2000元，票价信息如下：地点 票价 历史博物馆 10元/人 民俗展览馆20元/人请问参观历史博物馆和民俗展览馆的人数各是多少人？若学生都去参观历史博物馆，则能节省票款多少元？ 23.（本小题满分8分）如图AB 是O 的直径，PA 与O 相切于点A ，BP 与O 相交于点D ，C 为O 上的一点，分别连接CB 、CD ，60BCD ∠=︒． （1）求ABD ∠的度数； （2）若6AB =，求PD 的长度．(第23题)24.（本小题满分10分）某学校开设了“3D ”打印、数学史、诗歌欣赏、陶艺制作四门校本课程，为了解学生对这四门校本课程的喜爱情况，对学生进行了随机问卷调查，并将调查结果整理后绘制成如下不完整的统计图表．校本课程频数 频率 A36 0.45 B 0.25 C 16 b D 8 合计a1（第24题）请根据图表中提供的信息回答下列问题：（1）统计表中的a =___________，b =___________； （2）“D ”对应扇形的圆心角为___________度；（3）根据调查结果，请估计该校2000名学生中，最喜欢“数学史”校本课程的人数； （4）小明和小亮参加校本课程学习，若每人从“A ”、“B ”、“C ”三门校本课程中随机选取一门，请用画树状图或列表格的方法，求两人恰好选中同一门校本课程的概率．25.（本小题满分10分）如图，直线2y ax =+与x 轴、y 轴分别相交于点()1,0A ，将线段AB 先向右平移1个单位长度，再向上平移()0t t >个单位长度后得到对应线段CD ，反比例函数ky x=()0x >的图象恰好经过C 、D 两点，连接AC 、BD ． 毕业学校_____________ 姓名________________ 考生号________________ ________________ _____________-------------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效----------------数学试卷 第7页（共52页） 数学试卷 第8页（共52页）（1）求a 和b 的值；（2）求反比例函数的表达式及四边形ABDC 的面积； （3）点N 在x 轴正半轴上，点M 是反比例函数ky x=()0x >图象上的一个点，若CMN △是以CM 为直角边的等腰直角三角形时，求所有满足条件的点M 的坐标．(第25题)26.（本小题满分12分）在ABC 中，AB AC =，120BAC ∠=︒，以CA 为边在ACB ∠的另一侧作ACM ACB ∠=∠，点D 为射线BC 上任意一点，在射线CM 上截取CE BD =，连接AD 、DE 、AE ．（1）如图1，当点D 落在线段BC 的延长线上时，直接写出ADE ∠的度数. （2）如图2，当点D 落在线段BC （不含端点）上时，AC 与DE 交于点F ，请问（1）中的结论是否仍成立？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由. （3）在（2）的条件下，若6AB =，求CF 的最大值．（第26题）27.（本小题满分12分）如图1，抛物线24y ax bx =++过()2,0A 、()4,0B 两点，交y 轴于点C ，过点C 作x 轴的平行线与不等式抛物线上的另一个交点为D ，连接AC 、BC ．点P 是抛物线上一动点，设点P 的横坐标为()4m m >． （1）求该抛物线的表达式和ACB ∠的正切值. （2）如图2，若45ACP ∠=︒，求m 的值.（3）如图3，过点A 、P 的直线与y 轴于点N ，过点P 作PM CD ⊥，垂足为M ，直线MN 与x 轴交于点Q ，试判断四边形ADMQ 的形状，并说明理由.（第27题）5 / 262018年山东省济南市初中学业水平考试数学答案解析1．【答案】A【解析】解：2的平方为4，∴4的算术平方根为2.故选：A ． 【考点】算术平方根． 2．【答案】D【解析】解：从几何体上面看，2排，上面3个，下面1个，左边2个正方形.故选：D ． 【考点】简单几何体的三视图 3．【答案】B【解析】解：37 6007.610=⨯，故选：B ． 【考点】科学记数法—表示较大的数． 4．【答案】D【解析】解：A ．不是轴对称图形，也不是中心对称图形；B ．不是轴对称图形，是中心对称图形；C ．是轴对称图形，不是中心对称图形；D ．是轴对称图形，是中心对称图形．故选：D ． 【考点】轴对称图形；中心对称图形． 5．【答案】B【解析】解：DF AC ∥，135FAC ∴∠=∠=︒，AF 是BAC ∠的平分线，35BAF FAC ∴∠=∠=︒，故选：B ．【考点】平行线的性质，角平分线的性质 6．【答案】C【解析】：A ．错误，不是同类项不能合并；B ．错误，应该是()23624a a =-；C ．正确；D ．错误，应该是()2222a b a ab b +=++；故选：C ．【考点】整式的运算 7．【答案】B【解析】解：解方程321x m -=得：123m x +=，关于x 的方程321x m -=的解为正数，1203m+∴>，解得：12m >-，故选：B ． 【考点】一元一次方程的解；解一元一次不等式． 8．【答案】C6【解析】解：()11,A x y 在反比例函数2y x=-图象上，10x <，10y ∴>，对于反比例函数2y x =-，在第二象限，y 随x 的增大而增大，230x x <<，230y y ∴<<，231y y y ∴<<；故选：C ． 【考点】反比例函数图象的增减性 9．【答案】C【解析】解：由图知，旋转中心P 的坐标为()1,2，，故选：C ．【考点】坐标与图形变化—旋转． 10．【答案】B【解析】解：A ．与2016年相比，2017年我国电子书人均阅读量有所降低，正确；B ．2012年至2017年，我国纸质书的人均阅读量的中位数是4．615，错误；C ．从2014年到2017年，我国纸质书的人均阅读量逐年增长，正确；D ．2013年我国纸质书的人均阅读量比电子书的人均阅读量的1．8倍还多，正确；故选：B ．【考点】折线统计图，中位数． 11．【答案】A【解析】解：连接OD ，如图，扇形纸片折叠，使点A 与点O 恰好重合，折痕为CD ，AC OC ∴=， 23OD OC ∴==，CD ∴==30CDO ∴∠=︒，60COD ∠=︒，∴由弧AD 、线段AC 和CD 所围成的图形的面积7 / 26260π 61 3 π3602S AOD S COD ⋅⋅⋅=-=扇形-∴阴影部分的面积为6π-A ． 【考点】扇形面积的计算；翻折变换（折叠问题）． 12．【答案】B 【解析】解：2244222y mx mx m m x =+-=---（）且0m >，∴该抛物线开口向上，顶点坐标为()2,2-，对称轴是直线2x =． 由此可知点()2,0、点()2,1-、顶点()2,2-符合题意．①当该抛物线经过点()1,1-和()3,1-时（如答案图1），这两个点符合题意． 将()1,1-代入2442y mx mx m +-=-得到1442m m m -=-+-．解得1m =． 此时抛物线解析式为242yx x -=+．由0y =得2420x x +=-．解得120.6x =-≈，22 3.4x =+≈．x ∴轴上的点()1,0、()2,0、()3,0符合题意．则当m=1时，恰好有()1,0、()2,0、()3,0、()1,1-、()3,1-、()2,1-、()2,2-这7个整点符合题意． 1m ∴≤．【注：m 的值越大，抛物线的开口越小，m 的值越小，抛物线的开口越大】答案图1（1m =时）答案图2（12m =时） ①当该抛物线经过点()0,0和点()4,0时（如答案图2），这两个点符合题意． 此时x 轴上的点()1,0、()2,0、()3,0也符合题意．将()0,0代入2442y mx mx m +-=-得到00402m =-+-．解得12m =． 此时抛物线解析式为22y x x =-． 当1x =时，得13121122y =⨯-⨯=-<-．∴点()1,1-符合题意．当3x =时，得y=12×9﹣2×3=﹣32＜﹣1．①点（3，﹣1）符合题意．8综上可知：当12m =时，点()0,0、()1,0、()2,0、()3,0、()4,0、()1,1-、()3,1-、()2,2-、()2,1-都符合题意，共有9个整点符合题意，12m ∴=不符合题；12m ∴>． 综合①①可得：当112m <≤时，该函数的图象与x 轴所围城的区域（含边界）内有七个整点， 故选：B ．【考点】抛物线的顶点坐标，根据点的坐标确定抛物线的位置 13．【答案】()()22m m +-【解析】解：()()2422m m m =+--．故答案为：()()22m m +-． 【考点】因式分解—运用公式法． 14．【答案】15 【解析】解：155154÷-=．∴白色棋子有15个；故答案为：15． 【考点】概率． 15．【答案】5【解析】解：正多边形的每个内角等于108︒，∴每一个外角的度数为18010872︒-︒=︒，∴边数360725=︒÷︒=，∴这个正多边形是正五边形．故答案为：5． 【考点】多边形内角与外角． 16．【答案】6 【解析】解：2=24x x --， 去分母得：()224x x -=-228x x -=- 6x =，经检验：6x =是原方程的解． 故答案为：6． 【考点】解分式方程． 17．【答案】1659 / 26【解析】解：由图象可得：()405y t t =≤≤甲；()()()211291624t t y t t ⎧-≤≤⎪=⎨-<≤⎪⎩乙；由方程组4916y t y t =⎧⎨=-⎩，解得165t =．故答案为165． 【考点】一次函数的应用． 19．【答案】① ② ④【解析】解：90FGH ∠=︒，90BGF CGH ∴∠+∠=︒． 又90CGH CHG ∠+∠=︒，BGF CHG ∴∠=∠，故①正确．同理可得DEH CHG ∠=∠．BGF DEH ∴∠=∠．又90B D ∠=∠=︒，FG EH =，BFG DHE ∴△≌△，故②正确．同理可得AFE CHG ≌．AF CH ∴=，易得BFG CGH △∽△． 设GH 、EF 为a ，BF FG CG GH ∴=．23BF a∴=．6BF a∴=，6AF AB BF a a ∴=-=-．6CH AF a a∴==-．在Rt CGH △中，222CG CH GH +=，22263a a a ∴+-=（）．解得a =GH ∴=6BF a a∴=-在Rt BFG △中，cos BF BFG FG ∠==，30BFG ∴∠=︒．tan tan30BFG ∴∠=︒10矩形EFGH的面积2FG GH =⨯=⨯= 故答案为：① ② ④．【考点】全等三角形的判定与性质；矩形的性质；解直角三角形．19．【答案】解：1025sin 0π1||3-+︒-+--（）．115122=+-+ 6=．【解析】解：1025sin 0π1||3-+︒-+--（）．115122=+-+ 6=．【考点】实数的运算；零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数值． 20．【答案】解：由①，得3231x x -<-．2x ∴<． 由②，得431x x >-，1x ∴>-．∴不等式组的解集为12x -<<．【解析】解：由①，得3231x x -<-．2x ∴<． 由②，得431x x >-，1x ∴>-．∴不等式组的解集为12x -<<． 【考点】解一元一次不等式组． 21.【答案】证明：ABCD 中，AD BC ∴=，AD BC ∥． ADB CBD ∴∠=∠．又AE CF =，AE AD CF BC ∴+=+．ED FB ∴=，又EOD FOB ∠=∠，EOD FOB ∴△≌△，OB OD ∴=．【解析】证明：ABCD 中，AD BC ∴=，AD BC ∥． ADB CBD ∴∠=∠．又AE CF =，AE AD CF BC ∴+=+．11 / 26ED FB ∴=，又EOD FOB ∠=∠，EOD FOB ∴△≌△，OB OD ∴=．【考点】全等三角形的判定与性质；平行四边形的性质．22.【答案】解：（1）设参观历史博物馆的有x 人，参观民俗展览馆的有y 人，依题意，得150********x y x y +=⎧⎨+=⎩，解得10050x y =⎧⎨=⎩答：参观历史博物馆的有100人，则参观民俗展览馆的有50人．（2）200015010500-⨯=（元）．答：若学生都去参观历史博物馆，则能节省票款500元．【解析】解：（1）设参观历史博物馆的有x 人，参观民俗展览馆的有y 人，依题意，得150********x y x y +=⎧⎨+=⎩，解得10050x y =⎧⎨=⎩ 答：参观历史博物馆的有100人，则参观民俗展览馆的有50人．（2）200015010500-⨯=（元）．答：若学生都去参观历史博物馆，则能节省票款500元．【考点】二元一次方程的应用．23.【答案】解：（1）方法一：如图1，连接AD ． BA 是O 直径，90BDA ∴∠=︒．BD BD =，60BAD C ∴∠=∠=︒．90906030ABD BAD ∴∠=︒-∠=︒-︒=︒．方法二：如图2，连接DA 、OD ，则2260120BOD C ∠=∠=⨯︒=︒．OB OD =，()1180120302OBD ODB ∴∠=∠=︒-︒=︒，即30ABD ∠=︒． （2）如图1，AP 是O 的切线，90BAP ∴∠=︒．在Rt BAD 中，30ABD ∠=︒，116322DA BA ∴==⨯=．BD ∴==在Rt BAP 中，cos AB ABD PB∠=，6cos30PB ∴︒==，BP ∴=PD BP BD ∴=-==【解析】解：（1）方法一：如图1，连接AD ． BA 是O 直径，90BDA ∴∠=︒．BD BD =，60BAD C ∴∠=∠=︒．90906030ABD BAD ∴∠=︒-∠=︒-︒=︒．方法二：如图2，连接DA 、OD ，则2260120BOD C ∠=∠=⨯︒=︒．OB OD =，()1180120302OBD ODB ∴∠=∠=︒-︒=︒，即30ABD ∠=︒． （2）如图1，AP 是O 的切线，90BAP ∴∠=︒．在Rt BAD 中，30ABD ∠=︒，116322DA BA ∴==⨯=．BD ∴==在Rt BAP 中，cos AB ABD PB∠=，6cos30PB ∴︒==，BP ∴=PD BP BD ∴=-==13 / 26【考点】圆周角定理；切线的性质；相似三角形的判定与性质．24.【答案】（1）800.2（2）36（3）500（4）A B C AA ，AB ，AC ，A BA ，B B ，BC ，B C A ，C B ，C C ，C共有9种等可能的结果，其中两人恰好选中同一门校本课程的结果有3种，所以两人恰好选中同一门校本课程的概率为：3193=． 【解析】解：（1）360.4580a =÷=，16800.20b =÷=，故答案为：80，0.2；（2）“D ”对应扇形的圆心角的度数为：88036036÷⨯︒=︒，故答案为：36；（3）估计该校2000名学生中最喜欢“数学史”校本课程的人数为：2 0000.25500⨯=（人）；（4）列表格如下：A B C AA ，AB ，AC ，A BA ，B B ，BC ，B C A ，C B ，C C ，C共有9种等可能的结果，其中两人恰好选中同一门校本课程的结果有3种，所以两人恰好选中同一门校本课程的概率为：3193=． 【考点】用样本估计总体；频数（率）分布表；扇形统计图；加权平均数；列表法与树状图法．25．【答案】解：（1）将点()1,0A 代入2y ax =+，得02a =+．2a ∴=-．∴直线的解析式为22y x =-+．将0x =代入上式，得2y =．2b ∴=．（2）由（1）知，2b =，()0,2B ∴，由平移可得：点()2,C t 、()1,2D t +．将点()2,C t 、()1,2D t +分别代入k y x =，得221k t kt ⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩42k t =⎧∴⎨=⎩． ∴反比例函数的解析式为4y x=，点()2,2C 、点()1,4D ． 如图1，连接BC 、AD ． ()0,2B 、()2,2C ，BC x ∴∥轴，2BC =．()1,0A 、()1,4D ，AD x ∴⊥轴，4AD =．BC AD ∴⊥．1124422ABDC S BC AD ∴=⨯⨯=⨯⨯=四边形． （3）①当90NCM ∠=︒、CM CN =时，如图2，过点C 作直线l x 轴，交y 轴于点G ．过点M 作MF ⊥直线l 于点F ，交x 轴于点H ．过点N 作NE ⊥直线l 于点E ．设点(),0N m （其中0m >），则ON m =，2CE m =-．90MCN ∠=︒，90MCF NCE ∴∠+∠=︒．NE ⊥直线l 于点E ，90ENC NCE ∴∠+∠=︒．MCF ENC ∴∠=∠；又90MFC NEC ∠=∠=︒，CN CM =，NEC CFM ∴△≌△．15 / 262CF EN ∴==，2FM CE m ==-．224FG CG CF ∴=+=+=．4M x ∴=．将4x =代入4y x=，得1y =． ∴点()4,1M ；②当90NMC ∠=︒、MC MN =时，如图3，过点C 作直线l y ⊥轴与点F ，则2C CF x ==．过点M 作MG x ⊥轴于点G ，MG 交直线l 与点E ，则MG ⊥直线l 于点E ，2C EG y ==．90CMN ∠=︒，90CME NMG ∴∠+∠=︒．ME ⊥直线l 于点E ，90ECM CME ∴∠+∠=︒，NMG ECM ∴∠=∠．又90CEM NGM ∠=∠=︒，CM MN =，CEM MGN ∴≌．CE MG ∴=，EM NG =．设CE MG a ==，则M y a =，2M x CF CE a =+=+．∴点()2,M a a +．将点()2,M a a +代入4y a =，得42a a=+．解得11a =-，21a =-．21M x a ∴=+=．∴点)1M +． 综合①②可知：点M 的坐标为()4,1或)1+．【解析】解：（1）将点()1,0A 代入2y ax =+，得02a =+．2a ∴=-．∴直线的解析式为22y x =-+．将0x =代入上式，得2y =．2b ∴=．（2）由（1）知，2b =，()0,2B ∴，由平移可得：点()2,C t 、()1,2D t +．将点()2,C t 、()1,2D t +分别代入k y x =，得221k t k t ⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩42k t =⎧∴⎨=⎩． ∴反比例函数的解析式为4y x=，点()2,2C 、点()1,4D ． 如图1，连接BC 、AD ． ()0,2B 、()2,2C ，BC x ∴∥轴，2BC =．()1,0A 、()1,4D ，AD x ∴⊥轴，4AD =．BC AD ∴⊥．1124422ABDC S BC AD ∴=⨯⨯=⨯⨯=四边形． （3）①当90NCM ∠=︒、CM CN =时，如图2，过点C 作直线l x 轴，交y 轴于点G ．过点M 作MF ⊥直线l 于点F ，交x 轴于点H ．过点N 作NE ⊥直线l 于点E ．设点(),0N m （其中0m >），则ON m =，2CE m =-．90MCN ∠=︒，90MCF NCE ∴∠+∠=︒．NE ⊥直线l 于点E ，90ENC NCE ∴∠+∠=︒．MCF ENC ∴∠=∠；又90MFC NEC ∠=∠=︒，CN CM =，NEC CFM ∴△≌△．2CF EN ∴==，2FM CE m ==-．17 / 26224FG CG CF ∴=+=+=．4M x ∴=．将4x =代入4y x=，得1y =． ∴点()4,1M ；②当90NMC ∠=︒、MC MN =时，如图3，过点C 作直线l y ⊥轴与点F ，则2C CF x ==．过点M 作MG x ⊥轴于点G ，MG 交直线l 与点E ，则MG ⊥直线l 于点E ，2C EG y ==． 90CMN ∠=︒，90CME NMG ∴∠+∠=︒．ME ⊥直线l 于点E ，90ECM CME ∴∠+∠=︒，NMG ECM ∴∠=∠．又90CEM NGM ∠=∠=︒，CM MN =，CEM MGN ∴≌．CE MG ∴=，EM NG =．设CE MG a ==，则M y a =，2M x CF CE a =+=+．∴点()2,M a a +．将点()2,M a a +代入4y a =，得42a a=+．解得11a =-，21a =-．21M x a ∴=+=．∴点)1M +． 综合①②可知：点M 的坐标为()4,1或)1+．【考点】反比例函数综合题．26.【答案】解：（1）30ADE ∠=︒．理由如下：AB AC =，120BAC ∠=︒，30ABC ACB ∴∠=∠=︒，ACM ACB ∠=∠，ACM ABC ∴∠=∠，在ABD △和ACE △中，AB AC ABC ACE BD CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，ABD ACE ∴△≌△，AD AE ∴=，CAE BAD ∠=∠，120DAE BAC ∴∠=∠=︒，30ADE ∴∠=︒；（2）（1）中的结论成立，证明：120BAC ∠=︒，AB AC =，30B ACB ∴∠=∠=︒．ACM ACB ∠=∠，30B ACM ∴∠=∠=︒．在ABD △和ACE △中，AB AC ABC ACE BD CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，ABD ACE ∴△≌△．AD AE ∴=，BAD CAE ∠=∠．120CAE DAC BAD DAC BAC ∴∠+∠=∠+∠=∠=︒．即120DAE ∠=︒． AD AE =，30ADE AED ∴∠=∠=︒；（3）AB AC =，6AB =，6AC ∴=，30ADE ACB ∠=∠=︒且DAF CAD ∠=∠，ADF ACD ∴△∽△．=AD AF AC AD∴． 2 AD AF AC ∴=⋅，26AD AF ∴=．26AD AF ∴=． ∴当AD 最短时，AF 最短、CF 最长．19 / 26易得当AD BC ⊥时，AF 最短、CF 最长，此时132AD AB ==． 2233=662AD AF ∴==最短， 39622CF AC AF ∴=-=-=最长最短． 【解析】解：（1）30ADE ∠=︒．理由如下：AB AC =，120BAC ∠=︒，30ABC ACB ∴∠=∠=︒，ACM ACB ∠=∠，ACM ABC ∴∠=∠，在ABD △和ACE △中，AB AC ABC ACE BD CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，ABD ACE ∴△≌△，AD AE ∴=，CAE BAD ∠=∠，120DAE BAC ∴∠=∠=︒，30ADE ∴∠=︒；（2）（1）中的结论成立，证明：120BAC ∠=︒，AB AC =，30B ACB ∴∠=∠=︒．ACM ACB ∠=∠，30B ACM ∴∠=∠=︒．在ABD △和ACE △中，AB AC ABC ACE BD CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，ABD ACE ∴△≌△．AD AE ∴=，BAD CAE ∠=∠．120CAE DAC BAD DAC BAC ∴∠+∠=∠+∠=∠=︒．即120DAE ∠=︒． AD AE =，30ADE AED ∴∠=∠=︒；（3）AB AC =，6AB =，6AC ∴=，30ADE ACB ∠=∠=︒且DAF CAD ∠=∠，ADF ACD ∴△∽△．=AD AF AC AD∴． 2 AD AF AC ∴=⋅，26AD AF ∴=．26AD AF ∴=． ∴当AD 最短时，AF 最短、CF 最长．易得当AD BC ⊥时，AF 最短、CF 最长，此时132AD AB ==． 2233=662AD AF ∴==最短， 39622CF AC AF ∴=-=-=最长最短． 【考点】三角形综合题． 27.【答案】解：（1）将点()2,0A 和点()4,0B 分别代入24y ax bx =++，得424016440a b a b ++=⎧⎨++=⎩，解得：123a b ⎧=⎪⎨⎪=-⎩． ∴该抛物线的解析式为21342y x x -=+． 过点B 作BG CA ⊥，交CA 的延长线于点G （如图1所示），则90G ∠=︒．90COA G ∠=∠=︒，CAO BAG ∠=∠，GAB OAC ∴△∽△．4==22BG OC AG OA ∴=． 2BG AG ∴=．在Rt ABG 中，222BG AG AB +=，21 / 26()22222AG AG ∴+=．解得：AG =BG ∴CG AC AG +=+= 在Rt BCG 中，1tan =3BG ACB CG ∠=． （2）如图2，过点B 作BH CD ⊥于点H ，交CP 于点K ，连接AK ．易得四边形OBHC 是正方形．应用“全角夹半角”可得AK OA HK =+．设()4,K h ，则BK h =，4HK HB KB h =-=-，()246AK OA HK h h =+=+-=-．在Rt ABK 中，由勾股定理，得222AB BK AK +=．()22226h h ∴+=-．解得83h =． ∴点84,3K ⎛⎫ ⎪⎝⎭． 设直线CK 的解析式为4y hx =+． 将点84,3K ⎛⎫ ⎪⎝⎭代入上式，得8443h =+．解得13h =-． ∴直线CK 的解析式为143y x =-+． 设点P 的坐标为(),x y ，则x 是方程21134422x x x +=+--的一个解． 将方程整理，得23160x x -=． 解得1163x =，20x =（不合题意，舍去）． 将1163x =代入143y x =-+，得209y =．∴点P 的坐标为1620,39⎛⎫ ⎪⎝⎭． （3）四边形ADMQ 是平行四边形．理由如下：CD x ∥轴，4C D y y ∴==．将4y =代入21342y x x -=+，得214342x x -=+． 解得10x =，26x =．∴点()6,4D ． 根据题意，得21,342P m m m +-⎛⎫ ⎪⎝⎭，(),4M m ，． 21342PH m m -∴=+，OH m =，2AH m =-，4MH =． ①当46m <<时，6DM m =-，如图3，OAN HAP △∽△，=ON OA PH AH∴． 22=12342ONm m m ∴--+． 2(4)(2)68=422m m m m ON m m m ---+∴==---． ONQ HMP △∽△，=OQ ON HM HQ∴．23 / 26 =4OQ ON m OQ∴-． 4=4OQ m m OQ -∴-，4OQ m ∴=-． ()246AQ OA OQ m m ∴=-=--=-．6AQ DM m ∴==-，又AQ DM ∥，∴四边形ADMQ 是平行四边形．②当6m >时，同理可得：四边形ADMQ 是平行四边形．综上，四边形ADMQ 是平行四边形．【解析】解：（1）将点()2,0A 和点()4,0B 分别代入24y ax bx =++，得424016440a b a b ++=⎧⎨++=⎩，解得：123a b ⎧=⎪⎨⎪=-⎩． ∴该抛物线的解析式为21342y x x -=+． 过点B 作BG CA ⊥，交CA 的延长线于点G （如图1所示），则90G ∠=︒．90COA G ∠=∠=︒，CAO BAG ∠=∠，GAB OAC ∴△∽△．4==22BG OC AG OA ∴=． 2BG AG ∴=．在Rt ABG 中，222BG AG AB +=， ()22222AG AG ∴+=．解得：AG =BG ∴CG AC AG +=+=在Rt BCG 中，1tan =3BG ACB CG ∠=． （2）如图2，过点B 作BH CD ⊥于点H ，交CP 于点K ，连接AK ．易得四边形OBHC 是正方形．应用“全角夹半角”可得AK OA HK =+．设()4,K h ，则BK h =，4HK HB KB h =-=-，()246AK OA HK h h =+=+-=-．在Rt ABK 中，由勾股定理，得222AB BK AK +=．()22226h h ∴+=-．解得83h =． ∴点84,3K ⎛⎫ ⎪⎝⎭． 设直线CK 的解析式为4y hx =+． 将点84,3K ⎛⎫ ⎪⎝⎭代入上式，得8443h =+．解得13h =-． ∴直线CK 的解析式为143y x =-+． 设点P 的坐标为(),x y ，则x 是方程21134422x x x +=+--的一个解． 将方程整理，得23160x x -=． 解得1163x =，20x =（不合题意，舍去）． 将1163x =代入143y x =-+，得209y =． ∴点P 的坐标为1620,39⎛⎫⎪⎝⎭． （3）四边形ADMQ 是平行四边形．理由如下：CD x ∥轴，25 / 264C D y y ∴==．将4y =代入21342y x x -=+，得214342x x -=+． 解得10x =，26x =．∴点()6,4D ． 根据题意，得21,342P m m m +-⎛⎫ ⎪⎝⎭，(),4M m ，． 21342PH m m -∴=+，OH m =，2AH m =-，4MH =． ①当46m <<时，6DM m =-，如图3，OAN HAP △∽△，=ON OA PH AH∴． 22=12342ONm m m ∴--+． 2(4)(2)68=422m m m m ON m m m ---+∴==---． ONQ HMP △∽△，=OQ ON HM HQ ∴． =4OQ ON m OQ∴-． 4=4OQ m m OQ -∴-，4OQ m ∴=-．()246AQ OA OQ m m ∴=-=--=-．∥，∴==-，又AQ DMAQ DM m6∴四边形ADMQ是平行四边形．m>时，同理可得：四边形ADMQ是平行四边形．②当6综上，四边形ADMQ是平行四边形．【考点】二次函数综合题．。
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