新教材人教版高中数学B版必修第一册第2章 2.2.4 第2课时 均值不等式的应用 课件

第二章等式与不等式第2课时均值不等式的应用第二章等式与不等式考点证明不等式学习目标会利用均值不等式证明不等式问题核心素养逻辑推理会利用均值不等式解决与函解决实际问题b数关的实际问题数学建模解决恒成立问题会将不等式的恒成立问题,过分离参数转化为均值不等式问题求解逻辑推理、数学运算讲练互动已知a, b9 cW(O, +°°),且a+b+c = l・求证：~~1yr 丿探究点利用均值不等式证明不等式解惑•探究•突破OO【证明】因为a, b, cG(O, +°°), a+b+c = l9所以1=同理A* A*上述三个不等式两边均为正，分别相乘,得当且仅当a=b=c=^f等号成立.互动探究在本例条件下，求证：:+£+*$9.证明：因为 a, b, cG(O, + °°),且 “+方+c = l, 所以++出。

+方+0+"+心+心+。

+〃+(a rM3+2+2+2=9・当且仅当a=〃=c=f 时，等号成立.b=3+件辺0113圈利用均值不等式证明不等式的思路利用均值不等式证明不等式时，要先观察题中要证明的不等式的结构特征，若不能直接使用均值不等式证明，则考虑对代数式进行拆项、变形、配凑等，使之达到能使用基本不等式的形式；若题目中还有已知条件，则先观察已知条件和所证不等式之间的联系，当已知条件中含有“1”时，要注意“1”的代换.另外，解题时要时刻注意等号能否取到.1.已知a, b都是正实数，且ab=2f求证：（l+2a）（l+〃）M9. 证明：因为a, 〃都是正实数，且ab=2f所以寸而=4,所以（l+2«）（l+〃） = l+2a+方+2ab=5+2a+〃M5+4=9・即（1+勿）（1+方）$9・护方2 c22.已知a, b, c>0,求证：牛+7+［纹+方+c.2证明：因为a, b, c>0,所以利用均值不等式可得,+心2a,12 2 2 12 2—+cM2b, —+aM2c,所以〒+—+—+a+〃+cM2«+2方+2c, c a u c d2>22故彳+7+》Ma+b+c,当且仅当a=b=c时，等号成立.探究点酉利用均值不等式解实际应用题每吨面粉的价格为1 800元，面粉的保管费及其他费用为平均某食品厂定期购买面粉, 已知该厂每天需用面粉6吨,每吨每天3元，购买面粉每次需支付运费900元.求该厂多少天购买一次面粉，才能使平均每天支付的总费用最少?【解】 设该厂每兀天购买一次面粉，其购买量为6x 吨. 由题意可知,面粉的保管费等其他费用为3X[6x+6(x-l)+6(x-2) + -+6Xl]=9x(x+l)(元).设平均每天所支付的总费用为y 元，则 J = ~[9x(x + 1) + 900] + 6X1 800 = 9兀 +型+ 10 809M故该厂每10天购买一次面粉，才能使平均每天所支付的总费用 最少.也+10 809=10 989(元),当且仅当％=響即x = 10时，等号成立.利用均值不等式解决实际问题的思路利用均值不等式解决应用问题的关键是构建模型，一般来说, 都是从具体的几何图形，通过相关的关系建立关系式.在解题过程中尽量向模型ax^~^2\[ab(a>09 b>09兀>0)上靠拢•1.某公司购买一批机器投入生产，据市场分析，每台机器生产 的产品可获得的总利润刃单位：万元)与机器运转时间班单位: -X 2 + 18X -25(X EN*),则当每台机器运转解析：每台机器运转x 年的年平均利润为^=18—兀+丁，且 X \ X ) x>0,故［W18-2何=8,当且仅当x=5时等号成立，此时年 平均利润最大，最大值为8万元.答案：5 8年时，年平均利润最大，最大值是 万元•年)的关系为y =25、2・用一段长为36 m的篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形的长.宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少?解：设矩形菜园的长为x m＞宽为ym, 则2(x+j)=36, x+j = 18, 矩形菜园的面积为xjm2.可得巧W81,当且仅当x=j,即x=y=9时，等号成立.因此，这个矩形的长、宽都为9: 面积为81 m2.m时，菜园的面积最大，最大2働［3）不等式9x +1（常数a>0）,对一切正实数x 成立, 求。

2.2.4 均值不等式及其应用课后篇巩固提升合格考达标练1.已知0<x<1,则当x (1-x )取最大值时,x 的值为( )A.13 B.12C.14D.230<x<1,∴1-x>0.∴x (1-x )≤(x+1-x 2)2=14,当且仅当x=1-x ,即x=12时,等号成立.2.(多选题)(2020江苏南京师大附中高一期中)已知a>1,b>1,且ab-(a+b )=1,那么下列结论正确的有( )A.a+b 有最大值2√2+2B.a+b 有最小值2√2+2C.ab 有最大值√2+1D.ab 有最小值2√2+3a+b=s ,ab=t ,由题意可得s>2,t>1,t-s=1,由均值不等式得s ≥2√t ,则t-1≥2√t ,由t>1可得t 2-2t+1≥4t ,则t ≥3+2√2,当且仅当a=b=√2+1时,等号成立;s ≥2√s +1,由s>2可得s 2-4s-4≥0,则s ≥2+2√2,当且仅当a=b=√2+1时,等号成立.故选BD . 3.已知a ,b 是不相等的正数,x=√a+√b√2,y=√a +b ,则x ,y 的关系是( )A.x>yB.x<yC.x>√2yD.y<√2x2=a+b+2√ab2<2(a+b )2=a+b ,y 2=a+b ,所以x 2<y 2,∵x>0,y>0,∴x<y. 4.(多选题)下列不等式一定成立的是( ) A.x 2+14>x (x>0)B.x+1x ≥2(x>0)C.x 2+1≥2|x|(x ∈R )D.1x 2+1>1(x ∈R )中,当x=12时,x 2+14=x ,所以A 不一定成立;B 中,当x>0时,不等式x+1x≥2,当且仅当x=1时,等号成立,所以B 一定成立;C 中,不等式x 2+1-2|x|=(|x|-1)2≥0,即x 2+1≥2|x|恒成立,所以C 一定成立;D 中,因为x 2+1≥1,所以0<1x 2+1≤1,所以D 不成立.5.(2021广东广州第二中学高一期末)已知x<3,则函数f (x )=4x -3+x 的最大值是 .1解析因为x<3,所以f (x )=3-(3-x )+43-x ≤3-2√(3-x )×43-x =3-4=-1.当且仅当3-x=43-x ,即x=1时等号成立.故函数f (x )的最大值是-1.6.已知x>0,y>0,且满足x 3+y 4=1,则xy 的最大值为 ,取得最大值时y 的值为 .2x>0,y>0且1=x3+y4≥2√xy12,所以xy ≤3.当且仅当x3=y4=12,即x=32,y=2时取等号. 7.求函数y=(x+4)(x+9)x(x<0)的最大值. y=(x+4)(x+9)x =x+36x+13,当x<0时,-x>0,-36x >0,(-x )+(-36x )≥2√(-x )(-36x )=12.所以y=13-[(-x )+(-36x)]≤13-12=1. 当且仅当-x=-36x,即x=-6,等号成立, 所以当x=-6时,y max =13-12=1.等级考提升练8.(多选题)下列说法正确的是( )A.x+1x 的最小值为2 B.x 2+1的最小值为1 C.3x (2-x )的最大值为2 D.x 2+7x 2+2的最小值为2√7-2x<0时,x+1x<0,故选项A 错误;∵x 2≥0恒成立,∴x 2+1≥1,故选项B 正确;∵3x (2-x )=-3(x-1)2+3≤3,当x=1时取等号,∴3x (2-x )的最大值为3,故选项C 错误;∵x 2+7x 2+2=(x 2+2)+7x 2+2-2≥2√(x 2+2)×7x 2+2-2=2√7-2,当且仅当x 2+2=7x 2+2时,等号成立,故选项D 正确.故选BD . 9.已知当x=a 时,代数式x-4+9x+1(x>-1)取得最小值b ,则a+b=( ) A.-3 B.2 C.3 D.84+9x+1=x+1+9x+1-5,由x>-1,得x+1>0,9x +1>0,所以由均值不等式得y=x+1+9x+1-5≥2√(x +1)×9x+1-5=1,当且仅当x+1=9x+1,即(x+1)2=9,所以x+1=3,即x=2时,等号成立.所以a=2,b=1,a+b=3.10.已知a>b>c ,则√(a -b )(b -c )与a -c2的大小关系是 .√(a -b )(b -c )≤a -c 2a>b>c ,∴a-b>0,b-c>0,∴a -c2=(a -b )+(b -x )2≥√(a -b )(b -c ).当且仅当b=a+c2时取等号. 11.若正数a ,b ,c 满足1a+4b+9c≤36a+b+c ,则2b+3ca+b+c= .由1a+4b+9c≤36a+b+c ,得(1a +4b +9c )(a+b+c )≤36,即1+b a +c a +4+4a b +4c b +9+9a c +9xc ≤36, 即ba +ca +4ab +4cb +9ac +9bc ≤22.又因为ba +ca +4ab +4cb +9ac +9bc =(ba +4ab )+(4cb +9bc )+(ca +9ac )≥22,当且仅当b=2a ,c=3a 时取等号.所以ba +ca +4ab +4cb +9ac +9bc =22,得b=2a ,c=3a.所以2b+3ca+b+c =4a+9aa+2a+3a =136. 12.已知不等式(x+y )(1x +ay )≥9对任意正实数x ,y 恒成立,求正实数a 的最小值.(x+y )(1x +ay )=1+a+yx +axy ,又x>0,y>0,a>0, ∴y x+ax y ≥2√y x ·axy =2√a , ∴1+a+y x+axy ≥1+a+2√a , ∴要使(x+y )(1x +ay )≥9对任意正实数x ,y 恒成立,只需1+a+2√a ≥9恒成立即可.∴(√a +1)2≥9,即√a +1≥3,∴a ≥4,∴正实数a 的最小值为4.新情境创新练13.若a>0,b>0,且(a+b )√ab =1. (1)求ab 的最大值;(2)是否存在a ,b ,使得12a +13b 的值为√63?并说明理由.∵(a+b )√ab =1,∴(a+b )=√ab. ∵a>0,b>0,∴a+b ≥2√ab ,当且仅当a=b 时取等号, ∴√ab≥2√ab ,∴ab ≤12. 当且仅当a=b 时取等号,∴ab 的最大值为12. (2)不存在.理由如下, ∵a>0,b>0,∴12a +13b ≥2√12a ·13b=√6ab ≥2√33,当且仅当a=b 时,等号成立.∵√63<2√33,∴不存在a ,b 使得12a +13b 的值为√63.。

第二章 2.2 2.2.4 第2课时请同学们认真完成 [练案16]A 级 基础巩固一、单选题(每小题5分，共25分)1．若0<x <12，则y ＝x 1－4x 2的最大值为( C )A ．1B ．12 C ．14D ．18解析：因为0<x <12，所以1－4x 2>0，所以x 1－4x 2＝12×2x ×1－4x 2≤12×4x 2＋1－4x 22＝14，当且仅当2x ＝1－4x 2即x ＝24时等号成立，故选C ． 2．当x >1时，不等式x ＋1x －1≥a 恒成立，则实数a 的取值范围是( D ) A ．(－∞，2] B ．[2，＋∞) C ．[3，＋∞)D ．(－∞，3]解析：由于x >1，所以x －1>0，1x －1>0， 于是x ＋1x －1＝x －1＋1x －1＋1≥2＋1＝3， 当1x －1＝x －1即x ＝2时等号成立， 即x ＋1x －1的最小值为3，要使不等式恒成立，应有a ≤3，故选D ． 3．(2019·江苏南京师大附中高二期中)函数y ＝x 2＋2x ＋2x ＋1(x >－1)的图像的最低点的坐标是( D )A ．(1,2)B ．(1，－2)C ．(1,1)D ．(0,2)解析：∵x >－1，∴x ＋1>0.∴y ＝x ＋12＋1x ＋1＝(x ＋1)＋1x ＋1≥2，当且仅当x ＋1＝1x ＋1，即x ＝0时等号成立，即当x ＝0时，该函数取得最小值 2.所以该函数图像最低点的坐标为(0,2)．4．若对所有正数x ，y ，不等式x ＋y ≤a x 2＋y 2都成立，则a 的最小值是( A ) A ． 2B ．2C ．2 2D ．8解析：因为x >0，y >0，所以x ＋y ＝x 2＋y 2＋2xy ≤2x 2＋2y 2＝2·x 2＋y 2， 当且仅当x ＝y 时等号成立，所以使得x ＋y ≤a x 2＋y 2对所有正数x ，y 恒成立的a 的最小值是 2.故选A ．5．若点A (－2，－1)在直线mx ＋ny ＋1＝0上，其中m ，n 均大于0，则1m ＋2n的最小值为( C )A ．2B ．4C ．8D ．16解析：因为点A 在直线mx ＋ny ＋1＝0上， 所以－2m －n ＋1＝0，即2m ＋n ＝1.因为m >0，n >0，所以1m ＋2n ＝2m ＋n m ＋4m ＋2n n ＝2＋n m ＋4m n＋2≥4＋2·n m ·4mn＝8，当且仅当m ＝14，n ＝12时取等号．故选C ．二、填空题(每小题5分，共15分)6．已知x ≥52，则y ＝x 2－4x ＋52x －4的最小值是__1__.解析：f (x )＝x －22＋12x －4＝x －22＋12x －4＝2x －44＋12x －4≥22x －44·12x －4＝1. 当且仅当2x －44＝12x －4，即x ＝3时取“＝”．7．(2019·辽宁本溪高级中学高二期中)若两个正实数x ，y 满足1x ＋4y ＝1，且不等式x ＋y4<m 2－3m 有解，则实数m 的取值范围是__(－∞，－1)∪(4，＋∞)__.解析：∵不等式x ＋y 4<m 2－3m 有解，∴(x ＋y 4)min <m 2－3m .∵x >0，y >0，且1x ＋4y ＝1，∴x ＋y 4＝(x ＋y 4)(1x ＋4y )＝4x y ＋y4x＋2≥24x y ·y 4x ＋2＝4，当且仅当4x y ＝y4x，即x ＝2，y ＝8时取等号，∴(x ＋y4)min ＝4，∴m 2－3m >4，即(m ＋1)(m －4)>0，解得m <－1或m >4，故实数m 的取值范围是(－∞，－1)∪(4，＋∞)．8．若正数a ，b 满足ab ＝a ＋b ＋3，则ab 的取值范围是__[9，＋∞)__；a ＋b 的取值范围是__[6，＋∞)__.解析：①∵正数a ，b 满足ab ＝a ＋b ＋3， ∴ab ＝a ＋b ＋3≥2ab ＋3，即(ab )2－2ab －3≥0，解得ab ≥3，即ab ≥9，当且仅当a ＝b ＝3时取等号． ∴ab ∈[9，＋∞)．②∵正数a ，b 满足ab ＝a ＋b ＋3，∴a ＋b ＋3＝ab ≤(a ＋b2)2，即(a ＋b )2－4(a ＋b )－12≥0，解得a ＋b ≥6， 当且仅当a ＝b ＝3时取等号， ∴a ＋b ∈[6，＋∞)． 三、解答题(共20分)9．(6分)(2019·湖北华中师大一附中高二检测)已知a ，b ，c 为不全相等的正实数，且abc ＝1.求证：a ＋b ＋c <1a 2＋1b 2＋1c2.解析：因为a ，b ，c 都是正实数，且abc ＝1， 所以1a 2＋1b 2≥2ab＝2c ，1b 2＋1c 2≥2bc ＝2a ，1a2＋1c2≥2ac＝2b ，以上三个不等式相加，得2(1a 2＋1b 2＋1c2)≥2(a ＋b ＋c )，即1a 2＋1b 2＋1c2≥a ＋b ＋c .因为a ，b ，c 不全相等，所以上述三个不等式中的“＝”不都同时成立． 所以a ＋b ＋c <1a 2＋1b 2＋1c2.10．(7分)a >b >c ，n ∈N 且1a －b ＋1b －c ≥n a －c，求n 的最大值． 解析：∵a >b >c ，∴a －b >0，b －c >0，a －c >0. ∵1a －b ＋1b －c ≥n a －c， ∴n ≤a －c a －b ＋a －cb －c. ∵a －c ＝(a －b )＋(b －c )， ∴n ≤a －b ＋b －c a －b ＋a －b ＋b －cb －c，∴n ≤b －c a －b ＋a －b b －c＋2.∵b －c a －b ＋a －bb －c ≥2b －c a －b ·a －bb －c＝2(2b ＝a ＋c 时取等号)． ∴n ≤4.∴n 的最大值是4.11．(7分)已知a ，b ，c 都是正实数，且a ＋b ＋c ＝1， 求证：(1－a )(1－b )(1－c )≥8abc . 解析：∵a ＋b ＋c ＝1，∴(1－a )(1－b )(1－c )＝(b ＋c )(a ＋c )(a ＋b )． 又a ，b ，c 都是正实数， ∴a ＋b2≥ab >0，b ＋c2≥bc >0，a ＋c2≥ac >0.∴a ＋b b ＋ca ＋c8≥abc .∴(1－a )(1－b )(1－c )≥8abc ， 当且仅当a ＝b ＝c ＝13时，等号成立．B 级 素养提升一、单选题(每小题5分，共10分)1．某工厂第一年产量为A ，第二年的增长率为a ，第三年的增长率为b ，这两年的平均增长率为x ，则( B )A ．x ＝a ＋b2 B ．x ≤a ＋b2 C ．x >a ＋b2D ．x ≥a ＋b2解析：由条件知A (1＋a )(1＋b )＝A (1＋x )2， 所以(1＋x )2＝(1＋a )(1＋b )≤[1＋a ＋1＋b 2]2，所以1＋x ≤1＋a ＋b2，故x ≤a ＋b2.2．已知正实数m ，n 满足m ＋n ＝1，且使1m ＋16n 取得最小值．若y ＝5m ，x ＝4n是方程y ＝xα的解，则α＝( C )A ．－1B ．12C ．2D ．3解析：1m ＋16n ＝(1m ＋16n )(m ＋n )＝1＋16m n ＋n m ＋16＝17＋16m n ＋nm≥17＋216m n ·nm＝25.当且仅当16m n ＝nm，又m ＋n ＝1，即m ＝15，n ＝45时，上式取等号，即1m ＋16n 取得最小值时，m ＝15，n ＝45，所以y ＝25，x ＝5,25＝5α. 得α＝2.二、多选题(每小题5分，共10分)3．设a >0，b >0，下列不等式恒成立的是( ABC ) A ．a 2＋1>aB ．(a ＋1a )(b ＋1b)≥4C ．(a ＋b )(1a ＋1b)≥4D ．a 2＋9>6a解析：由于a 2＋1－a ＝(a －12)2＋34>0，∴a 2＋1>a ，故A 恒成立； 由于a ＋1a ≥2，b ＋1b≥2，∴(a ＋1a )(b ＋1b)≥4，当且仅当a ＝b ＝1时，等号成立，故B 恒成立；由于a ＋b ≥2ab ，1a ＋1b ≥21ab，∴(a ＋b )(1a ＋1b)≥4，当且仅当a ＝b 时，等号成立，故C 恒成立；当a ＝3时，a 2＋9＝6a ，故D 不恒成立；故选ABC ． 4．设a ，b ∈R ，且a ≠b ，a ＋b ＝2，则必有( BD ) A ．ab >1 B ．ab <1 C ．a 2＋b 22<1D ．a 2＋b 22>1解析：因为ab ≤(a ＋b2)2，a ≠b ，所以ab <1，又1＝a ＋b24＝a 2＋b 2＋2ab 4<a 2＋b 22，所以a 2＋b 22>1，所以ab <1<a 2＋b 22.三、填空题(每小题5分，共10分)5．如图有一张单栏的竖向张贴的海报，它的印刷面积为72 dm 2(图中阴影部分)，上下空白各宽2 dm ，左右空白各宽1 dm ，则四周空白部分面积的最小值是__56__dm 2.解析：设阴影部分的高为x dm ，则宽为72xdm ，四周空白部分的面积是y dm 2.由题意，得y ＝(x ＋4)(72x ＋2)－72＝8＋2(x ＋144x)≥8＋2×2x ·144x＝56(dm 2)．当且仅当x ＝144x，即x ＝12 dm 时等号成立．6．设a ＋b ＝2，b >0，则12|a |＋|a |b取最小值时a 的值为__－2__. 解析：因为a ＋b ＝2，所以12|a |＋|a |b ＝24|a |＋|a |b ＝a ＋b 4|a |＋|a |b＝a 4|a |＋b 4|a |＋|a |b ≥a 4|a |＋2b 4|a |×|a |b ＝a4|a |＋1， 当且仅当b 4|a |＝|a |b时等号成立．又a ＋b ＝2，b >0，所以当b ＝－2a ，a ＝－2时，12|a |＋|a |b取得最小值． 四、解答题(共10分)7．某厂家拟在2019年举行促销活动，经调查测算，某产品的年销售量(也即该产品的年产量)x 万件与年促销费用m (m ≥0)万元满足x ＝3－km ＋1(k 为常数)，如果不搞促销活动，则该产品的年销售量只能是1万件．已知2019年生产该产品的固定投入为8万元，每生产1万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分资金)．(1)将2019年该产品的利润y 万元表示为年促销费用m 万元的函数． (2)该厂家2019年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？ 解析：(1)由题意知，当m ＝0时，x ＝1， ∴1＝3－k ，即k ＝2，∴x ＝3－2m ＋1， 每件产品的销售价格为1.5×8＋16xx(元)，∴2019年该产品的利润y ＝1.5x ·8＋16x x －8－16x －m ＝－[16m ＋1＋(m ＋1)]＋29(m ≥0)．(2)∵m ≥0，16m ＋1＋(m ＋1)≥216＝8， ∴y ≤－8＋29＝21，当且仅当16m ＋1＝m ＋1，即m ＝3时，y max ＝21.故该厂家2019年的促销费用投入3万元时，厂家的利润最大，最大利润为21万元．。