河北017中考数学复习专题复习二函数解答题第6课时函数建模试题.

二次函数的图象及性质二次函数的图象及性质1．(2020·河北中考)如图，现要在抛物线y＝x(4－x)上找点P(a，b)，针对b 的不同取值，所找点P的个数，三人的说法如下，甲：若b＝5，则点P的个数为0；乙：若b＝4，则点P的个数为1；丙：若b＝3，则点P的个数为1.下列判断正确的是()A．乙错，丙对B．甲和乙都错C．乙对，丙错D．甲错，丙对2．(2018·河北中考)对于题目“一段抛物线L：y＝－x(x－3)＋c(0≤x≤3)与直线l：y＝x＋2有唯一公共点．若c为整数，确定所有c的值．”甲的结果是c ＝1，乙的结果是c＝3或4，则()A.甲的结果正确B．乙的结果正确C．甲、乙的结果合在一起才正确D．甲、乙的结果合在一起也不正确3．(2017·河北中考)如图，若抛物线y＝－x2＋3与x轴围成封闭区域(边界除外)内整点(点的横、纵坐标都是整数)的个数为k，则反比例函数y＝kx(x＞0)的图象是()二次函数图象与性质的综合4．(2019·河北中考)如图，若b是正数，直线l：y＝b与y轴交于点A；直线a：y＝x－b与y轴交于点B；抛物线L：y＝－x2＋bx的顶点为C，且L与x轴右交点为D.(1)若AB＝8，求b的值，并求此时L的对称轴与a的交点坐标；(2)当点C在l下方时，求点C与l距离的最大值；(3)设x0≠0，点(x0，y1)，(x0，y2)，(x0，y3)分别在l，a和L上，且y3是y1，y2的平均数，求点(x0，0)与点D间的距离；(4)在L和a所围成的封闭图形的边界上，把横、纵坐标都是整数的点称为“美点”，分别直接写出b＝2 019和b＝2 019.5时“美点”的个数．考点解析二次函数的概念及表达式1.已知二次函数图象经过原点，对称轴是y轴，且经过点(－2，－8)，则这个二次函数的表达式为y＝；2.已知抛物线的顶点坐标为点M(1，－2)，且经过点N(2，3)，则此二次函数的表达式为y＝；3.已知二次函数图象经过点P(3，4)且与x轴两个交点的横坐标为1和－2，则这个二次函数的表达式为y＝.二次函数的图象及性质4.(2020·秦皇岛市一模)二次函数y＝x2＋2x＋2的图象是一条抛物线，则下列说法不正确的是()A．抛物线开口向上B．抛物线的顶点坐标是(1，1)C．抛物线与x轴没有交点D．当x＞－1时，y随x的增大而增大5.(2020·石家庄市模拟)已知点A(1，y1)，B(2，y2)在抛物线y＝－(x＋1)2＋2上，则下列结论正确的是()A ．2＞y 1＞y 2B ．2＞y 2＞y 1C ．y 1＞y 2＞2D ．y 2＞y 1＞26.若二次函数y ＝kx 2＋2x －1的图象与x 轴仅有一个公共点，则常数k 的值为( )A ．1B ．±1C ．－1D ．－12 二次函数图象的平移7.将抛物线y ＝12 x 2＋1绕顶点旋转180°，则旋转后的抛物线的解析式为( )A ．y ＝－2x 2＋1B ．y ＝－2x 2－1C ．y ＝－12 x 2＋1D ．y ＝－12 x 2－18.(2020·河北一模)在平面直角坐标系中，有两条抛物线关于x 轴对称，且它们的顶点相距6个单位长度，若其中一条抛物线的函数表达式为y ＝－x 2＋4x ＋2m ，则m 的值是( )A ．－72B ．－12C ．1D ．－12 或－72二次函数与一元二次方程、不等式的关系9.若二次函数y ＝x 2＋bx 的图象的对称轴是经过点(2，0)且平行于y 轴的直线，则关于x 的方程x 2＋bx ＝5的解为x 1＝ ，x 2＝ ．10.(2020·石家庄市模拟)二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的部分对应值如下表：利用二次函数的图象可知，当函数值y＞0时，x的取值范围是．考点专练1.(2020·河北模拟)已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，且a≠0)的图象如图所示，则一次函数y＝cx＋b2a与反比例函数y＝abx在同一坐标系内的大致图象是()2.(2020·石家庄市模拟)如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c的顶点为B(－1，3)，与x轴的交点A在点(－3，0)和(－2，0)之间，以下结论：①b2－4ac＝0；②a＋b＋c＞0；③2a－b＝0；④c－a＝3.其中正确的是()A．①②B．③④C．②③D．①③3.．(2020·石家庄市模拟)二次函数y＝x2－2的图象是一条抛物线，下列关于该抛物线的说法正确的是()A．抛物线开口向下B．当x＝0时，函数的最大值是－2C．抛物线的对称轴是直线x＝2D．抛物线与x轴有两个交点4．一次函数y＝ax＋b与反比例函数y＝cx的图象如图所示，则二次函数y＝ax2＋bx＋c的大致图象是()5．(2020·唐山路北区一模)已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，对称轴是直线x＝1.下列结论：①abc＞0；②2a＋b＝0；③b2－4ac＜0；④4a＋2b ＋c＞0.其中正确的是()A．①③B．②C．②④D．③④6．(2020·石家庄长安区模拟)已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，对称轴为直线x＝1，且过点(3，0)，则下列结论：①abc＜0；②方程ax2＋bx＋c＝0的两个根是x1＝－1，x2＝3；③2a＋b＝0；④4a＋2b＋c＜0.其中正确结论的序号是．5．(2020·秦皇岛市一模)如图，将抛物线y＝12x2平移得到抛物线m，抛物线m经过点A(－6，0)和点O(0，0)，它的顶点为P，它的对称轴与抛物线y＝12x2交于点Q.(1)点P的坐标为；(2)图中阴影部分的面积为．7.(2020·石家庄28中一模)如图，已知二次函数y＝x2＋ax＋3的图象经过点P(－2，3).(1)求a的值和图象的顶点坐标；(2)点Q(m，n)在该二次函数图象上．①当m＝2时，求n的值；②若点Q到y轴的距离小于2，请根据图象直接写出n的取值范围；③直接写出点Q与直线y＝x＋5的距离小于2时m的取值范围．8．将抛物线y＝x2－2x＋3先沿水平方向向右平移1个单位，再沿竖直方向向上平移3个单位，则得到的新抛物线的解析式为()A．y＝(x－2)2＋3 B．y＝(x－2)2＋5C．y＝x2－1 D．y＝x2＋49．(2020·唐山市一模)如图，已知二次函数L：y＝mx2＋2mx＋k(其中m，k 是常数，k为正整数)．(1)若L经过点(1，k＋6)，求m的值．(2)当m＝2时，若L与x轴有公共点且公共点的横坐标为非零的整数，确定k的值；(3)在(2)的条件下将L：y＝mx2＋2mx＋k的图象向下平移8个单位，得到函数图象M，求M的解析式；(4)将M的图象在x轴下方的部分沿x轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象N，请结合新的图象解答问题，若直线y＝12x＋b与N有两个公共点时，请直接写出b的取值范围．二次函数的图象及性质二次函数的图象及性质1．(2020·河北中考)如图，现要在抛物线y＝x(4－x)上找点P(a，b)，针对b 的不同取值，所找点P的个数，三人的说法如下，甲：若b＝5，则点P的个数为0；乙：若b＝4，则点P的个数为1；丙：若b＝3，则点P的个数为1.下列判断正确的是(C)A．乙错，丙对B．甲和乙都错C．乙对，丙错D．甲错，丙对2．(2018·河北中考)对于题目“一段抛物线L：y＝－x(x－3)＋c(0≤x≤3)与直线l：y＝x＋2有唯一公共点．若c为整数，确定所有c的值．”甲的结果是c ＝1，乙的结果是c＝3或4，则(D)A.甲的结果正确B．乙的结果正确C．甲、乙的结果合在一起才正确D．甲、乙的结果合在一起也不正确3．(2017·河北中考)如图，若抛物线y＝－x2＋3与x轴围成封闭区域(边界除外)内整点(点的横、纵坐标都是整数)的个数为k，则反比例函数y＝kx(x＞0)的图象是(D)二次函数图象与性质的综合4．(2019·河北中考)如图，若b是正数，直线l：y＝b与y轴交于点A；直线a：y＝x－b与y轴交于点B；抛物线L：y＝－x2＋bx的顶点为C，且L与x轴右交点为D.(1)若AB ＝8，求b 的值，并求此时L 的对称轴与a 的交点坐标； (2)当点C 在l 下方时，求点C 与l距离的最大值；(3)设x 0≠0，点(x 0，y 1)，(x 0，y 2)，(x 0，y 3)分别在l ，a 和L 上，且y 3是y 1，y 2的平均数，求点(x 0，0)与点D 间的距离；(4)在L 和a 所围成的封闭图形的边界上，把横、纵坐标都是整数的点称为“美点”，分别直接写出b ＝2 019和b ＝2 019.5时“美点”的个数．解：(1)当x ＝0时，y ＝x －b ＝－b ，∴B (0，－b ). 又∵AB ＝8，A (0，b )， ∴b －(－b )＝8.∴b ＝4.∴L 的表达式为y ＝－x 2＋4x ，a 的表达式为y ＝x －4. ∴L 的对称轴为x ＝2. 当x ＝2时，y ＝x －4＝－2.∴L 的对称轴与a 的交点坐标为(2，－2)；(2)∵y ＝－x 2＋bx ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －b 22＋b 24 ，∴L 的顶点为C ⎝ ⎛⎭⎪⎫b 2，b 24 .∵点C 在l 下方，∴点C 与l 的距离为b －b 24 ＝－14 (b －2)2＋1≤1. ∴点C 与l 距离的最大值为1；(3)由题意，得y 3＝y 1＋y 22 ，即y 1＋y 2＝2y 3，得b ＋x 0－b ＝2(－x 20 ＋bx 0). 解得x 0＝0或x 0＝b －12 .又x 0≠0，∴x 0＝b －12 . 对于L ，当y ＝0时，即0＝－x 2＋bx ，∴0＝－x (x －b ). 解得x 1＝0，x 2＝b .∵b ＞0，∴右交点D 为(b ，0). ∴点(x 0，0)与点D 的距离为b －⎝ ⎛⎭⎪⎫b －12 ＝12 ；(4)4 040；1 010.考点解析二次函数的概念及表达式 例如，(1)已知二次函数图象经过原点，对称轴是y 轴，且经过点(－2，－8)，则这个二次函数的表达式为y ＝－2x 2；(2)已知抛物线的顶点坐标为点M (1，－2)，且经过点N (2，3)，则此二次函数的表达式为y ＝5(x －1)2－2；(3)已知二次函数图象经过点P (3，4)且与x 轴两个交点的横坐标为1和－2，则这个二次函数的表达式为y ＝25 x 2＋25 x －45 .二次函数的图象及性质 例如，(1)(2020·秦皇岛市一模)二次函数y ＝x 2＋2x ＋2的图象是一条抛物线，则下列说法不正确的是(B )A．抛物线开口向上B．抛物线的顶点坐标是(1，1)C．抛物线与x轴没有交点D．当x＞－1时，y随x的增大而增大(2)(2020·石家庄市模拟)已知点A(1，y1)，B(2，y2)在抛物线y＝－(x＋1)2＋2上，则下列结论正确的是(A)A．2＞y1＞y2B．2＞y2＞y1C．y1＞y2＞2 D．y2＞y1＞2例如，(1)根据二次函数的大致图象得出结论：(2)若二次函数y ＝kx 2＋2x －1的图象与x 轴仅有一个公共点，则常数k 的值为(C )A ．1B ．±1C ．－1D ．－12 二次函数图象的平移(5)将抛物线y ＝12 x 2＋1绕顶点旋转180°，则旋转后的抛物线的解析式为(C )A ．y ＝－2x 2＋1B ．y ＝－2x 2－1C ．y ＝－12 x 2＋1D ．y ＝－12 x 2－1(6)(2020·河北一模)在平面直角坐标系中，有两条抛物线关于x 轴对称，且它们的顶点相距6个单位长度，若其中一条抛物线的函数表达式为y ＝－x 2＋4x ＋2m ，则m 的值是(D )A ．－72B ．－12C ．1D ．－12 或－72二次函数与一元二次方程、不等式的关系 例如，(1)若二次函数y ＝x 2＋bx 的图象的对称轴是经过点(2，0)且平行于y 轴的直线，则关于x 的方程x 2＋bx ＝5的解为x 1＝－1，x 2＝5．(2)(2020·石家庄市模拟)二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的部分对应值如下表：利用二次函数的图象可知，当函数值y＞0时，x的取值范围是－1＜x＜3．二次函数的综合考点专练二次函数的图象与性质及与各项系数的关系【例1】(2020·河北模拟)已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，且a≠0)的图象如图所示，则一次函数y＝cx＋b2a与反比例函数y＝abx在同一坐标系内的大致图象是(B)【解析】根据二次函数图象与系数的关系，由抛物线对称轴的位置(在y轴右侧)确定ab＜0，由抛物线与y轴的交点位置(在x轴下方)确定c＜0.对于一次函数y＝cx＋b2a，由于c＜0，图象必经过第二、四象限，又0＜－b2a＜1，即b2a＜0，图象与y轴的交点在x轴下方；对于反比例函数y＝abx，ab＜0，图象分布在第二、四象限．【例2】(2020·石家庄市模拟)如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c的顶点为B(－1，3)，与x轴的交点A在点(－3，0)和(－2，0)之间，以下结论：①b2－4ac＝0；②a＋b＋c＞0；③2a－b＝0；④c－a＝3.其中正确的是(B)A．①②B．③④C．②③D．①③【解析】∵抛物线y＝ax2＋bx＋c的顶点为B(－1，3)，与x轴的交点A在点(－3，0)和(－2，0)之间，∴抛物线与x轴的另一个交点在点(0，0)和(1，0)之间．∴b2－4ac＞0，故①错误；当x＝1时，y＝a＋b＋c＜0，故②错误；由－b2a＝－1，得b＝2a，2a－b＝0，故③正确；当x＝－1时，y＝a－b＋c＝a－2a＋c＝－a＋c ＝3，即c－a＝3，故④正确.1．(2020·石家庄市模拟)二次函数y＝x2－2的图象是一条抛物线，下列关于该抛物线的说法正确的是(D)A．抛物线开口向下B．当x＝0时，函数的最大值是－2C．抛物线的对称轴是直线x＝2D．抛物线与x轴有两个交点2．一次函数y＝ax＋b与反比例函数y＝cx的图象如图所示，则二次函数y＝ax2＋bx＋c的大致图象是(A)3．(2020·唐山路北区一模)已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，对称轴是直线x＝1.下列结论：①abc＞0；②2a＋b＝0；③b2－4ac＜0；④4a＋2b ＋c＞0.其中正确的是(C)A．①③B．②C．②④D．③④4．(2020·石家庄长安区模拟)已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，对称轴为直线x＝1，且过点(3，0)，则下列结论：①abc＜0；②方程ax2＋bx＋c＝0的两个根是x1＝－1，x2＝3；③2a＋b＝0；④4a＋2b＋c＜0.其中正确结论的序号是①②③．5．(2020·秦皇岛市一模)如图，将抛物线y ＝12 x 2平移得到抛物线m ，抛物线m 经过点A (－6，0)和点O (0，0)，它的顶点为P ，它的对称轴与抛物线y ＝12 x 2交于点Q .(1)点P的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－3，－92；(2)图中阴影部分的面积为272 ． 二次函数表达式的确定及综合【例3】(2020·石家庄28中一模)如图，已知二次函数y ＝x 2＋ax ＋3的图象经过点P (－2，3).(1)求a 的值和图象的顶点坐标； (2)点Q (m ，n )在该二次函数图象上． ①当m ＝2时，求n 的值；②若点Q 到y 轴的距离小于2，请根据图象直接写出n 的取值范围； ③直接写出点Q 与直线y ＝x ＋5的距离小于2 时m 的取值范围．【解答】解：(1)将P (－2，3)代入y ＝x 2＋ax ＋3，得 3＝(－2)2－2a ＋3，解得a ＝2.∴y ＝x 2＋2x ＋3＝(x ＋1)2＋2. ∴顶点坐标为(－1，2)；(2)①将x ＝2代入y ＝x 2＋2x ＋3，解得y ＝11. ∴当m ＝2时，n ＝11；②2≤n ＜11；③－1－72 ＜m ＜－1或0＜m ＜－1＋72. 6．将抛物线y ＝x 2－2x ＋3先沿水平方向向右平移1个单位，再沿竖直方向向上平移3个单位，则得到的新抛物线的解析式为(B )A ．y ＝(x －2)2＋3B ．y ＝(x －2)2＋5C ．y ＝x 2－1D ．y ＝x 2＋47．(2020·唐山市一模)如图，已知二次函数L ：y ＝mx 2＋2mx ＋k (其中m ，k 是常数，k 为正整数)．(1)若L 经过点(1，k ＋6)，求m 的值．(2)当m ＝2时，若L 与x 轴有公共点且公共点的横坐标为非零的整数，确定k 的值；(3)在(2)的条件下将L ：y ＝mx 2＋2mx ＋k 的图象向下平移8个单位，得到函数图象M ，求M 的解析式；(4)将M 的图象在x 轴下方的部分沿x 轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象N ，请结合新的图象解答问题，若直线y ＝12 x ＋b 与N 有两个公共点时，请直接写出b 的取值范围．解：(1)将点(1，k ＋6)代入y ＝mx 2＋2mx ＋k ，解得m ＝2； (2)当m ＝2时，y ＝mx 2＋2mx ＋k ＝2x 2＋4x ＋k . 令y ＝0，即2x 2＋4x ＋k ＝0.由题意，得Δ＝b 2－4ac ＝16－8k ≥0.解得k ≤2.又k 为正整数，且k ＝1时，方程没有整数解，故舍去． ∴k ＝2；(3)在m ＝2，k ＝2时，y ＝2x 2＋4x ＋2，向下平移8个单位，平移后M 的表达式为y ＝2x 2＋4x ＋2－8＝2x 2＋4x －6；(4)－12 ＜b ＜32 或b ＞27332 .[由(3)知，M 的表达式为y ＝2x 2＋4x －6.① 则翻折后抛物线的表达式为y ′＝－2x 2－4x ＋6.② 设直线m 为y ＝12 x ＋b .③Ⅰ)当直线m 与翻折后的图象有一个交点(点H )时，如图，联立②③并整理得2x 2＋92 x ＋b －6＝0.则Δ＝814 －8(b －6)＝0.解得b ＝27332 ；Ⅱ)当直线m 过点A (－3，0)时，将点A 的坐标代入③，得0＝12 ×(－3)＋b .解得b ＝32 ；Ⅲ)当直线m 过点B (1，0)时，同理可得，b ＝－12 .综上所述，直线y ＝12 x ＋b 与N 有两个公共点时，b 的取值范围为－12 ＜b ＜32 或b ＞27332 .]21 / 21。

专题复习（二）函数解答题函数部分是河北中考的重点，本文从一次函数、反比例函数二次函数进行总结。

一次函数在河北近七年中考中，每年设置两道题，题型为选择题或解答题，本节常考的知识点有： 1.一次函数的图像及性质；2一次函数的解析式的确定；3一次函数实际应用；4一次函数和几何图 形结合。

反比例函数在河北近七年中考中，每年设置一道题，其中选择题 4次，解答题 3次。

本节常考的 知识点有：1反比例函数的图像及性质；2反比例函数的综合应用。

二次函数在河北近七年中考中，每年设置两道题，题型为选择题或解答题，每年设置 1或 2题。

本节常考的知识点有：1. 二次函数的图像及性质；2二次函数中系数 a,b,c 的意义；3二次函数图 像平移的规律；4二次函数的实际应用；5二次函数与几何图形综合题。

下面将从七方面对函数专题进行解析。

类型 1．一次函数及一次函数应用例 1、如图，过点(0，－2)的直线 l 1：y 1＝kx ＋b(k≠0)与直线 l 2：y 2＝x ＋1交于点 P(2，m)． (1)写出使得 y 1＜y 2的 x 的取值范围；(2)求点 P 的坐标和直线 l 1的解析式． 解：(1)当 x ＜2时，y 1＜y 2.(2)把 P(2，m)代入 y 2＝x ＋1，得 m ＝2＋1＝3.∴P(2，3)．2k ＋b ＝3，把 P(2，3)和(0，－2)分别代入 y 1＝kx ＋b ，得{b ＝－2.)5k ＝ ，解得{b ＝－2.)25 ∴直线 l 1的解析式为 y 1＝ x －2.2例 2．(2016唐山开平区一模)为了迎接世园会在某市召开，花园小区计划购买并种植甲、乙两种树 苗共 300株．已知甲种树苗每株 60元，乙种树苗每株 90元． (1)若购买树苗共用 21 000元，问甲、乙两种树苗应各买多少株？(2)据统计，甲、乙两种树苗每株树苗对空气的净化指数分别为 0.2和 0.6，问如何购买甲、乙两种 树苗才能保证该小区的空气净化指数之和不低于 90而且费用最低？解：(1)设甲种树苗买x株，则乙种树苗买(300－x)株．60x＋90(300－x)＝21 000，解得x＝200.则300－x＝100.答：甲种树苗买200株，乙种树苗买100株．(2)∵买x株甲种树苗，∴0.2x＋0.6(300－x)≥90.解得x≤225.此时费用y＝60x＋90(300－x)＝－30 x＋27 000.∵y是x的一次函数，y随x的增大而减小，∴当x最大＝225时，y最小＝－30×225＋27 000＝20 250(元)．即买225株甲种树苗，75株乙种树苗时，该小区的空气净化指数之和不低于90，费用最低为20 250元．例3．(2016保定一模)已知某商品每件的成本为20元，第x天(x≤90)的售价和销量分别为y元/件和(180－2x)件，设第x天该商品的销售利润为w元，请根据所给图像解决下列问题：(1)求出w与x的函数关系式；(2)问销售该商品第几天时，当天销售利润最大？最大利润是多少？(3)该商品在销售过程中，共有多少天当天的销售利润不低于4 200元？解：(1)当1≤x≤50时，设y与x的函数关系式为y＝kx＋b，∵当x＝1时，y＝31，当x＝50，y＝80，k＋b＝31，∴{50k＋b＝80.)k＝1，解得{b＝30.)∴y＝x＋30.∴当1≤x≤50时，w＝(x＋30－20)(180－2x)＝－2x2＋160x＋1 800；当50≤x≤90时，w＝(80－20)(180－2x)＝－120x＋10 800.(2)当1≤x≤50时，w＝－2x2＋160x＋1 800＝－2(x－40)2＋5 000，∴当x＝40时，W最大5 000.当50≤x≤90时，w＝－120x＋10 800，∵w随x的增大而减小，∴x＝50时，w最大＝4 800.综上所述，该商品第40天时，当天销售利润最大，最大利润是5 000元．(3)当1≤x＜50时，y＝－2x2＋160x＋1 800＝4 200，解得x＝20或60.因此利润不低于4 200元的天数是20≤x＜50，共30天．当50≤x≤90时，y＝－120x＋10 800＝4 200，解得x＝55.因此利润不低于4 200元的天数是50≤x≤55，共6天．∴该商品在销售过程中，共有36天当天的销售利润不低于4 200元．针对性训练1．(益阳)如图，直线l上有一点P1(2，1)，将点P1先向右平移1个单位，再向上平移2个单位得到像点P2，点P2恰好在直线l上．(1)写出点P2的坐标；(2)求直线l所表示的一次函数的表达式；(3)若将点P2先向右平移3个单位，再向上平移6个单位得到像点P3.请判断点P3是否在直线l上，并说明理由．2．(2016河北模拟经典四)如图1所示，某乘客乘高速列车从甲地经过乙地到丙地，列车匀速行驶，图2为列车离乙地的路程y(千米)与行驶时间x(小时)的函数关系图像．(1)甲、丙两地距离1_050千米；(2)求高速列车离乙地的路程y与行驶时间x之间的函数关系式，并写出x的取值范围．3．(2016河北考试说明)煤炭生产企业需要对煤炭运送到用煤单位所产生的费用进行核算并纳入企业生产计划．某煤矿现有1 000吨煤炭要全部运往A，B两厂，通过了解获得A，B两厂的有关信息如下表(表中运费栏“元/(吨千米)”表示：每吨煤炭运送1千米所需的费用)：运费/[元/厂别路程/千米需求量/吨(吨千米)]A 0.45 200 不超过600B a(a为常数) 150 不超过800(1)写出总运费y(单位：元)与运往A厂的煤炭量x(单位：吨)之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；(2)请你运用函数有关知识，为该煤矿设计总运费最少的运送方案，并求出最少的总运费(可用含a的代数式表示)．4．(2016保定模拟)甲、乙两列火车分别从A，B两城同时相向匀速驶出，甲车开往终点B城，乙车开往终点A城，乙车比甲车早到达终点，如图是两车相距的路程d(千米)与行驶时间t(小时)的函数的图像．(1)经过2小时两车相遇；(2)A，B两城相距600千米路程；(3)分别求出甲、乙两车的速度；(4)分别求出甲车距A城s甲，乙车距A城的路程s乙与t的函数关系式(不必写出t的范围)；(5)当两车相距200千米路程时，求t的值．5．(2016保定模拟)有甲、乙两个探测气球同时出发且匀速上升，甲气球从海拔5m处出发，上升速度为1 m/min，乙气球从海拔15 m处出发，上升速度为0.5 m/min.设气球上升时间为x min，气球的海拔高度为y m.(1)分别写出甲气球的海拔高度y甲、乙气球的海拔高度y乙与x的函数关系式(不必写出x的取值范围)；(2)气球上升多少分钟时，两个气球位于同一高度？(3)气球上升多少分钟时，两个气球所在位置的海拔高度相差5 m?(4)若甲气球由于燃料消耗过快，上升40min后，减速为0.3m/min继续匀速上升，乙气球速度保持不变，设两个气球的海拔高度差为h，请确定当40≤x≤80时，h最多为多少米？答案1、解：(1)P2(3，3)．(2)设直线l所表示的一次函数的表达式为y＝kx＋b(k≠0)，∵点P1(2，1)，P2(3，3)在直线l上，2k＋b＝1，k＝2，∴{3k＋b＝3. )解得{b＝－3.)∴直线l所表示的一次函数的表达式为y＝2x－3.(3)点P3在直线l上．由题意知点P3的坐标为(6，9)，∵2×6－3＝9，∴点P3在直线l上2、解：当0≤x≤3时，设高速列车离乙地的路程y与行驶时间x之间的函数关系式为y＝kx＋b，b＝900，{3k＋b＝0.)把(0，900)，(3，0)代入得k＝－300，解得{b＝900. )∴y＝－300x＋900.高速列车的速度为900÷3＝300(千米/小时)，150÷300＝0.5(小时)，3＋0.5＝3.5(小时)．∴当3＜x≤3.5时，设高速列车离乙地的路程y与行驶时间x之间的函数关系式为y＝k1x＋b1，3k1＋b1＝0，{3.5k1＋b1＝150.)把(3，0)，(3.5，150)代入得k1＝300，解得{b1＝－900.)∴y＝300x－900.－300x＋900（0 ≤x ≤3），∴y＝{300x－900（3＜x ≤3.5）. )3、解：(1)总运费y元与运往A厂的煤炭量x吨之间的函数关系式为y＝(90－150a)x＋150 000a，其中200≤x≤600.(2)当0＜a＜0.6时，90－150a＞0，y随x的增大而增大．∴当x＝200时，y最小＝(90－150a)×200＋150 000a＝120 000a＋18 000.此时，1 000－x＝1 000－200＝800.当a＝0.6时，y＝90 000，此时，不论如何，总运费是一样的．当a＞0.6时，90－150a＜0，y随x的增大而减少．又∵运往A厂总吨数不超过600吨，∴当x＝600时，y最小＝(90－150a)×600＋150 000a＝60 000a＋54 000.此时，1 000－x＝1 000－600＝400.答：当0＜a＜0.6时，运往A厂200吨，B厂800吨时，总运费最低，最低运费(120 000a＋18 000)元；当a＞0.6时，运往A厂600吨，B厂400吨时，总运费最低，最低运费(60 000a＋54 000)元；当a＝0.6时，不论如何，总运费是一样的．4、解：(3)设甲车的速度为v甲，乙车的速度为v乙．600此题意，得v甲＝＝120(千米/时)．5600∴v乙＝－v甲＝180(千米/时)．2(4)s甲＝120t，s乙＝600－180t.4(5)①当两车相遇前，两车相距200千米时，则有300t＝600－200，解得t＝，38②当两车相遇后，两车相距200千米/时，则有300t＝600＋200，解得t＝.34 8∴当两车相距200千米路程时，t的值为或.3 35、解：(1)y甲＝x＋5，y乙＝0.5x＋15.(2)当y甲＝y乙时，x＋5＝0.5x＋15.解得x＝20.∴气球上升20 min时，两个气球位于同一高度．(3)当乙气球在上方时，y乙－y甲＝5，即0.5x＋15－(x＋5)＝5.解得x＝10.当甲气球在上方时，y甲－y乙＝5，即x＋5－(0.5x＋15 )＝5.解得x＝30.∴气球上升10 min或30 min时，两个气球所在位置的海拔高度相差5 m.(4)设减速后甲气球的高度为y甲减．当x＝40时，y甲＝x＋5＝45，∴y甲减＝0.3(x－40)＋45＝0.3x＋33(x≥40)．由0.3x＋33＝0.5x＋15，解得x＝90，故出发90 min两气球再次位于同一高度．∴40≤x≤80时，甲气球一直在乙气球的上方．∴h＝y甲减－y乙＝(0.3x＋33)－(0.5x＋15)＝－0.2x＋18.∵－0.2＜0，∴函数值h随x的增大而减少．当x＝40时，h＝－0.2x＋18＝－0.2×40＋18＝10.∴当40≤x≤80时，两气球的海拔高度差h最多为10 m.类型2一次函数应用综合例1．(石家庄模拟)将如图所示的长方体石块(a＞b＞c)放入一圆柱形水槽内，并向水槽内匀速注水，速度为v cm3/s，直至注满水槽为止．石块可以用三种不同的方式完全放入水槽内，如图1至图3所示，在这三种情况下，水桶内的水深h cm与注水时间t s的函数关系如图4至图6所示，根据图像完成下列问题：(1)请分别将三种放置方式的示意图和与之相对应的函数关系图像用线连接起来；(2)求图5中直线CD的函数关系式；(3)求圆柱形水槽的底面积S.解：(1)图1与图4相对应，图2与图6相对应，图3与图5相对应，连线略．(2)由题意可知C点的坐标为(45，9)，D点的坐标为(53，10)，设直线CD的函数关系式为h＝kt＋b，1k＝，9＝45k＋b，8{.)10＝53k＋b.)∴{解得27b＝81 27∴直线CD的函数关系式为h＝t＋.8 8(3)由图4、5和6可知水槽的高为10cm；由图2和图6可知石块的长a＝10cm；由图3和图5可知石块的宽b＝9 cm；由图1和图4可知石块的高c＝6 cm.53v＝10S－540，v＝20，∴石块的体积为abc＝540 cm3，根据图4和图6可得{21v＝6S－540，)解得{S＝160.)∴S＝160 cm2.针对性训练1．(张家口模拟)王老师想骑摩托车送甲、乙两位同学去会场参加演出，由于摩托车后座只能坐一人，为了节约时间，王老师骑摩托车先带乙出发，同时，甲步行出发．已知甲、乙的步行速度都是5km/h，摩托车的速度是45 km/h.预设方案(1)方案1：王老师将乙送到会场后，回去接甲，再将甲送到会场，图1中折线AB－BC－CD和折线AC －CD分别表示王老师、甲在上述过程中，离会场的距离y(km)与王老师所用时间x(h)之间的函数关系．①学校与会场的距离为15km；②求出点C的坐标，并说明它的实际意义；(2)方案2：王老师骑摩托车行驶a(h)后，将乙放下，让乙步行去会场，同时王老师回去接甲并将甲送到会场，图2中折线AB－BC－CD、折线AC－CD和折线AB－BE分别表示王老师、甲、乙在上述过程中，离会场的距离y(km)与王老师所用时间x(h)之间的函数关系．求a的值；(3)你能否设计一个方案，使甲、乙两位同学在最短时间内都赶到会场，请你直接写出这个最短时间，并在图3中画出这个设计方案的大致图像．(不需要写出具体的方案设计)图32.（2016黑龙江齐齐哈尔12分）如图所示，在平面直角坐标系中，过点A（﹣，0）的两条直线分别交y轴于B、C两点，且B、C两点的纵坐标分别是一元二次方程x2﹣2x﹣3=0的两个根（1）求线段BC的长度；（2）试问：直线AC与直线AB是否垂直？请说明理由；（3）若点D在直线AC上，且DB=DC，求点D的坐标；（4）在（3）的条件下，直线BD上是否存在点P，使以A、B、P三点为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请直接写出P点的坐标；若不存在，请说明理由．答案1、解：(1)方法一：设王老师把乙送到会场后，再经过m h与甲相遇．1(45＋5)m＝15－5× .34解得m＝.151 4 3 3 3＋＝(h)，15－5×＝12(km)，即C( ，12)．3 15 5 5 53点C的实际意义为王老师在出发h后，在距离会场12 km处接甲．5方法二：BC对应的函数关系式为y＝45x－15.AC对应的函数关系式为y＝－5x＋15.3BC与AC的交点C的坐标为( ，12)．53点C的实际意义为王老师在出发h后，在距离会场12 km处接到甲．54(2)方法一：设王老师把乙放下后，再经过n h与甲相遇．(45＋5)n＝45a－5a.解得n＝a.由于王老55 4 5 4 5师骑摩托车一共行驶h，可得方程15－5(a＋a)＝45×[－(a＋a)]．解得a＝.6 5 6 5 169方法二：根据题意，得B(a，15－45a)，C( a，15－9a)．∴CD对应的函数关系式为y＝－45x＋72a＋55 515.将( ，0)代入，解得a＝.6 167(3) h．图像如图3所示．92、【解答】（1）∵x2﹣2x﹣3=0，∴x=3或x=﹣1，∴B（0，3），C（0，﹣1），∴BC=4，（2）∵A（﹣，0），B（0，3），C（0，﹣1），∴OA= ，OB=3，OC=1，∴OA2=OBOC，∵∠AOC=∠BOA=90°，∴△AOC∽△BOA，∴∠CAO=∠ABO，∴∠CAO+∠BAO=∠ABO+∠BAO=90°，∴∠BAC=90°，∴AC⊥AB；（3）设直线AC的解析式为y=kx+b，把A（﹣，0）和C（0，﹣1）代入y=kx+b，∴，解得：，∴直线AC的解析式为：y=﹣x﹣1，∵DB=DC，∴点D在线段BC的垂直平分线上，∴D的纵坐标为1，∴把y=1代入y=﹣x﹣1，∴x=﹣2，∴D的坐标为（﹣2，1），（4）设直线BD的解析式为：y=mx+n，直线BD与x轴交于点E，把B（0，3）和D（﹣2，1）代入y=mx+n，∴，解得，∴直线BD的解析式为：y= x+3，令y=0代入y= x+3，∴x=﹣3，∴E（﹣3，0），∴OE=3 ，∴tan∠BEC= = ，∴∠BEO=30°，同理可求得：∠ABO=30°，∴∠ABE=30°，当PA=AB时，如图1，此时，∠BEA=∠ABE=30°，∴EA=AB，∴P与E重合，∴P的坐标为（﹣3，0），当PA=PB时，如图2，此时，∠PAB=∠PBA=30°，∵∠ABE=∠ABO=30°，∴∠PAB=∠ABO，∴PA∥BC，∴∠PAO=90°，∴点P的横坐标为﹣，令x=﹣代入y= x+3，∴y=2，∴P（﹣，2），当PB=AB时，如图3，∴由勾股定理可求得：AB=2 ，EB=6，若点P在y轴左侧时，记此时点P为P1，过点P1作P1F⊥x轴于点F，∴P 1B=AB=2 ，∴EP 1=6﹣2，∴sin∠BEO= ，∴FP1=3﹣，令y=3﹣代入y= x+3，∴x=﹣3，∴P1（﹣3，3﹣），若点P在y轴的右侧时，记此时点P为P2，过点P2作P2G⊥x轴于点G，∴P 2B=AB=2 ，∴EP 2=6+2 ，∴sin∠BEO= ，∴GP2=3+ ，令y=3+ 代入y= x+3，∴x=3，∴P2（3，3+ ），综上所述，当A、B、P三点为顶点的三角形是等腰三角形时，点P的坐标为（﹣3，0），（﹣，2），（﹣3，3﹣），（3，3+ ）．类型3、反比例函数例1．（2016山东省菏泽市3分）如图，△OAC和△BAD都是等腰直角三角形，∠ACO=∠ADB=90°，反比例函数y= 在第一象限的图象经过点B，则△OAC与△BAD的面积之差S△OAC﹣S△BAD【考点】反比例函数系数k的几何意义；等腰直角三角形．【分析】设△OAC和△BAD的直角边长分别为a、b，结合等腰直角三角形的性质及图象可得出点B的坐标，根据三角形的面积公式结合反比例函数系数k的几何意义以及点B的坐标即可得出结论．【解答】解：设△OAC和△BAD的直角边长分别为a、b，则点B的坐标为（a+b，a﹣b）．∵点B在反比例函数y= 的第一象限图象上，∴（a+b）×（a﹣b）=a2﹣b2=6．∴S△OAC﹣S△BAD= a2﹣b2= （a2﹣b2）= ×6=3．故选D．【点评】本题考查了反比例函数系数k的几何意义、等腰三角形的性质以及面积公式，解题的关键是找出a2﹣b2的值．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，设出等腰直角三角形的直角边，用其表示出反比例函数上点的坐标是关键．故选D．例2.（2016福建龙岩4分）反比例函数y=﹣的图象上有P1（x1，﹣2），P2（x2，﹣3）两点，则x1与x2的大小关系。

专题复习(二) 函数解答题第1课时 函数的图像与性质11．(2016·西宁)如图，一次函数y ＝x ＋m 的图像与反比例函数y ＝k x 的图像交于A ，B 两点，且与x 轴交于点C ，点A 的坐标为(2，1)．(1)求m 及k 的值；(2)求点C 的坐标，并结合图像写出不等式组0＜x ＋m ≤k x 的解集．2．(2016·广东)如图，在直角坐标系中，直线y ＝kx ＋1(k ≠0)与双曲线y ＝2x (x ＞0)相交于P(1，m )．(1)求k 的值；(2)若点Q 与点P 关于y ＝x 成轴对称，则点Q 的坐标为Q(2，1)；(3)若过P ，Q 两点的抛物线与y 轴的交点为N(0，53)，求该抛物线的解析式，并求出抛物线的对称轴方程．3．(2016·河北模拟)二次函数y ＝x 2＋bx 的图像如图，对称轴为直线x ＝1.(1)求b 的值；(2)若直线l ∥x 轴，且与二次函数y ＝x 2＋bx 的图像有两个公共点A ，B ，当点A 的横坐标为－2时，求点B 的坐标；(3)若关于x 的一元二次方程x 2＋bx －t ＝0(t 为实数)在－1<x <4的范围内有解，直接写出t 的取值范围．4．如图，已知点A(1，a )是反比例函数y ＝－3x 的图像上一点，直线y ＝－12x ＋12与反比例函数y ＝－3x的图像在第四象限的交点为B.(1)求直线AB 的解析式；(2)动点P(x ，0)在x 轴的正半轴上运动，当线段PA 与线段PB 之差达到最大时，求点P 的坐标．5．(2016·武汉)已知反比例函数y＝4 x.(1)若该反比例函数的图像与直线y＝kx＋4(k≠0)只有一个公共点，求k的值；(2)如图，反比例函数y＝4x(1≤x≤4)的图像记为曲线C1，将C1向左平移2个单位长度，得曲线C2，请在图中画出C2，并直接写出C1平移至C2处所扫过的面积．6．(2016·河北模拟导向二)如图，函数y＝－2x＋6的图像与x轴、y轴分别相交于点A，B，点P在直线AB上，过点P作x轴、y轴的垂线，垂足分别为M，N.(1)若点P为线段AB中点，求PM＋PN的值；(2)若点P在第四象限，且PM＋PN＝12，求点P的坐标；(3)若点P在线段AB上，求PM＋PN的最大值．7．(2016·唐山二模)如图，直角坐标系中，直线l：y＝kx＋k经过A，B两点，B(0，3)．点P以每秒1个单位长度的从原点开始沿y轴的正半轴向上匀速运动，设运动时间为t秒，直线y＝t经过点P，且随P点的运动而运动．(1)求k的值和A点坐标；(2)当t＝1.5秒时，直线y＝t与直线l交于点M，反比例函数y＝nx经过点M，求反比例函数的解析式；(3)若直线y＝t与直线l的交点不在第二象限，求t的取值范围；(4)点C(3，0)关于直线l的对称点在直线y＝t上，直接写出t的值．第2课时函数的图像与性质21．(2016·河南)某班“数学兴趣小组”对函数y＝x2－2||x的图像和性质进行了探究，探究过程如下，请补充完整．(1)自变量x的取值范围是全体实数，x与y的几组对应值列表如下：其中，＝____；(2)根据上表数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点，并画出了函数图像的一部分，请画出该图像的另一部分；(3)观察函数图像，写出两条函数的性质：________________________________(4)进一步探究函数图像发现：①函数图像与x轴有____个交点，所以对应方程x2－2||x＝0有____个实数根；②方程x2－2||x＝2有____个实数根；③关于x的方程x2－2||x＝a有4个实数根时，a的取值范围是_____．．2．(2016·安徽)如图，二次函数y＝ax2＋bx的图像经过点A(2，4)与B(6，0)．(1)求a，b的值；(2)点C是该二次函数图像上A，B两点之间的一动点，横坐标为x(2<x<6)．写出四边形OACB的面积S关于点C的横坐标x的函数表达式，并求S的最大值．3．(2016·唐山路南区模拟)已知二次函数y＝12x2－32x＋m的图像C1与x轴有且只有一个公共点．(1)求m的值；(2)将C1向下平移若干个单位后得抛物线C2，若C2与x轴的一个交点为A(－1，0)，求C2的函数关系式，并求C2与x轴另一个交点B的坐标；(3)①若P(n，y1)，Q(2，y2)是C1上的两点，且y1＞y2，求实数n的取值范围；②若C2与y轴的交点为D，请直接写出∠ADB的度数．4．(2016·福州)已知，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)经过原点，顶点为A(h，k)(h≠0)．(1)当h＝1，k＝2时，求抛物线的解析式；(2)若抛物线y＝tx2(t≠0)也经过A点，求a与t之间的关系式；(3)当点A在抛物线y＝x2－x上，且－2≤h＜1时，求a的取值范围．5．(2016·无锡)已知二次函数y＝ax2－2ax＋c(a＞0)的图像与x轴的负半轴和正半轴分别交于A，B两点，与y轴交于点C，它的顶点为P，直线CP与过点B且垂直于x轴的直线交于点D，且CP∶PD ＝2∶3.(1)求A，B两点的坐标；(2)若tan∠PDB＝54，求这个二次函数的关系式．6．(2016·淮安)如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝－14x2＋bx＋c的图像与坐标轴交于A，B，C三点，其中点A的坐标为(0，8)，点B的坐标为(－4，0)．(1)求该二次函数的表达式及点C的坐标；(2)点D的坐标为(0，4)，点F为该二次函数在第一象限内图像上的动点，连接CD，CF，以CD，CF 为邻边作▱CDEF，设▱CDEF的面积为S.①求S的最大值；②在点F的运动过程中，当点E落在该二次函数图像上时，请直接写出此时S的值．7．(2016·长沙)如图，直线l：y＝－x＋1与x轴、y轴分别交于A，B两点，点P，Q是直线l上的两个动点，且点P在第二象限，点Q在第四象限，∠POQ＝135°.(1)求△AOB的周长；(2)设AQ＝t>0.试用含t的代数式表示点P的坐标；(3)当动点P，Q在直线l上运动到使得△AOQ与△BPO的周长相等时，记作tan∠AOQ＝m，若过点A的二次函数y＝ax2＋bx＋c同时满足以下两个条件：①6a＋3b＋2c＝0；②当m≤x≤m＋2时，函数y的最大值等于2m.求二次项系数a的值．第3课时函数的图像与性质31．(2016·大庆)若两条抛物线的顶点相同，则称它们为“友好抛物线”，抛物线C1：y1＝－2x2＋4x＋2与C2：y2＝－x2＋mx＋n为“友好抛物线”．(1)求抛物线C2的解析式；(2)点A是抛物线C2上在第一象限的动点，过A作AQ⊥x轴，Q为垂足，求AQ＋OQ的最大值；(3)设抛物线C2的顶点为C，点B的坐标为(－1，4)，问在C2的对称轴上是否存在点M，使线段MB 绕点M逆时针旋转90°得到线段MB′，且点B′恰好落在抛物线C2上？若存在求出点M的坐标，不存在说明理由．2．(2016·河北模拟)如图，已知二次函数y1＝x2－2tx＋2t－1(t＞1)的图像为抛物线C1.(1)求证：无论t取何值，抛物线C1与x轴总有两个交点；(2)已知抛物线C1与x轴交于A，B两点(A在B的左侧)，将抛物线C1作适当的平移，得到抛物线C2：y2＝(x－t)2，平移后A，B的对应点分别为D(m，n)，E(m＋2，n)，求n的值；(3)在(2)的条件下，将抛物线C2位于直线DE下方的部分沿直线DE向上翻折后，连同C2在DE上方的部分组成一个新图形，记为图形G，若直线y＝－12x＋b(b＜3)与图形G有且只有两个公共点，请结合图像求b的取值范围．3．(2016·承德模拟)在平面直角坐标系x O y中，过点(0，2)且平行于x轴的直线，与直线y＝x－1交于点A，点A关于直线x＝1的对称点为B，抛物线C1：y＝x2＋bx＋c经过点A，B.(1)求点A，B的坐标；(2)求抛物线C1的表达式及顶点坐标；(3)若抛物线C2：y＝ax2(a≠0)与线段AB恰有一个公共点，结合函数的图像，求a的取值范围．4．(2016·长沙)若抛物线L：y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，abc≠0)与直线l都经过y轴上的一点P，且抛物线L的顶点Q在直线l上，则称此直线l与该抛物线L具有“一带一路”关系，此时，直线l叫做抛物线L的“带线”，抛物线L叫做直线l的“路线”．(1)若直线y＝mx＋1与抛物线y＝x2－2x＋n具有“一带一路”关系，求m，n的值；(2)若某“路线”L的顶点在反比例函数y＝6x的图像上，它的“带线” l的解析式为y＝2x－4，求此“路线”L的解析式；(3)当常数k满足12≤k≤2时，求抛物线L：y＝ax2＋(3k2－2k＋1)x＋k的“带线” l与x轴、y轴所围成的三角形面积的取值范围．5．(2016·张家口模拟)如图，在平面直角坐标系中，已知点A(－1，34)，B(2，0)在抛物线l1：y＝ax2＋bx＋1(a，b为常数，且a≠0)上，直线l2经过抛物线l1的顶点且与y轴垂直，垂足为点D.(1)求l1的解析式，并写出它的对称轴和顶点坐标；(2)设l1有一动点P从点A出发，沿抛物线从左向右运动，点P的纵坐标y p，也随之以每秒2个单位长度的速度变化，设点P运动的时间为t(秒)，连接OP，以线段OP为直径作⊙F.①求y p关于t的表达式，并写出t的取值范围；②当点P在起点A处时，直线l2与⊙F的位置关系是_____；在点P从点A运动到点D的过程中，直线l2与⊙F是否始终保持着上述的位置关系？请说明理由．(3)在(2)中的条件下，当点P开始从点A出发，沿抛物线从左向右运动时，直线l2同时向下平移，垂足D的纵坐标y D以每秒3个单位长的速度变化，当直线l2与⊙F相交时，求t的取值范围．6．(2016·河北考试说明)如图，在平面直角坐标系x O y中，我们把由两条射线AE，BF和以AB为直径的半圆所组成的图形叫作图形C(注：不含AB线段)．已知A(－1，0)，B(1，0)，AE∥BF，且半圆与y轴的交点D在射线AE的反向延长线上．(1)求两条射线AE，BF所在直线的距离；(2)当函数y＝x＋b的图像与图形C恰好只有一个公共点时，写出b的取值范围；当函数y＝x＋b的图像与图形C恰好只有两个公共点时，写出b的取值范围；(3)已知▱AMPQ(四个顶点A，M，P，Q按顺时针方向排列)的各顶点都在图形C上，且不都在两条射线上，求点M的横坐标x的取值范围．答案1．(2016·西宁)如图，一次函数y ＝x ＋m 的图像与反比例函数y ＝kx 的图像交于A ，B 两点，且与x 轴交于点C ，点A 的坐标为(2，1)． (1)求m 及k 的值；(2)求点C 的坐标，并结合图像写出不等式组0＜x ＋m ≤kx 的解集．解：(1)∵点A(2，1)在函数y ＝x ＋m 的图像上， ∴2＋m ＝1，即m ＝－1.∵A(2，1)在反比例函数y ＝kx 的图像上， ∴k2＝1.∴k ＝2.(2)∵一次函数解析式为y ＝x －1，令y ＝0，得x ＝1， ∴点C 的坐标是(1，0)．由图像可知不等式组0＜x ＋m ≤kx 的解集为1＜x ≤2.2．(2016·广东)如图，在直角坐标系中，直线y ＝kx ＋1(k ≠0)与双曲线y ＝2x (x ＞0)相交于P(1，m )． (1)求k 的值；(2)若点Q 与点P 关于y ＝x 成轴对称，则点Q 的坐标为Q(2，1)；(3)若过P ，Q 两点的抛物线与y 轴的交点为N(0，53)，求该抛物线的解析式，并求出抛物线的对称轴方程．解：(1)把P(1，m )代入y ＝2x ，得m ＝2， ∴P(1，2)．把(1，2)代入y ＝kx ＋1，得k ＝1.(3)设抛物线的解析式为y ＝ax 2＋bx ＋c ，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＋c ＝2，4a ＋2b ＋c ＝1，c ＝53， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－23，b ＝1，c ＝53.∴y ＝－23x 2＋x ＋53.∴对称轴方程为直线x ＝－1－23×2＝34. 3．(2016·河北模拟)二次函数y ＝x 2＋bx 的图像如图，对称轴为直线x ＝1. (1)求b 的值；(2)若直线l ∥x 轴，且与二次函数y ＝x 2＋bx 的图像有两个公共点A ，B ，当点A 的横坐标为－2时，求点B 的坐标；(3)若关于x 的一元二次方程x 2＋bx －t ＝0(t 为实数)在－1<x <4的范围内有解，直接写出t 的取值范围．解：(1)∵对称轴为直线x ＝1，∴－b2＝1.∴b ＝－2.(2)∵点A 的横坐标为－2，对称轴为直线x ＝1， ∴点B 的横坐标为2×1－(－2)＝4.∴点B 的纵坐标为42－2×4＝8. ∴点B 的坐标为(4，8)．(3)当x ＝－1时，y ＝3；当x ＝1时，y ＝－1；当x ＝4时，y ＝8.又∵当－1＜x ＜1时，y 随x 的增大而减小，当1≤x ＜4时，y 随x 的增大而增大， ∴在－1＜x ＜4的范围内，－1≤y ＜8. x 2＋bx －t ＝0可变形为x 2＋bx ＝t ， ∴－1≤t ＜8.4．如图，已知点A(1，a )是反比例函数y ＝－3x 的图像上一点，直线y ＝－12x ＋12与反比例函数y ＝－3x 的图像在第四象限的交点为B. (1)求直线AB 的解析式；(2)动点P(x ，0)在x 轴的正半轴上运动，当线段PA 与线段PB 之差达到最大时，求点P 的坐标．解：(1)把A(1，a )代入y ＝－3x 中，得 a ＝－3.∴A(1，－3)．又∵B 是y ＝－12x ＋12与y ＝－3x 在第四象限的交点， ∴B(3，－1)．由A(1，－3)，B(3，－1)代入，解得k ＝1，b ＝－4. ∴直线AB 的解析式为y ＝x －4.(2)当P 为直线AB 与x 轴的交点时，|PA －PB|最大． 由x －4＝0，得x ＝4. ∴P(4，0)．5．(2016·武汉)已知反比例函数y ＝4x .(1)若该反比例函数的图像与直线y ＝kx ＋4(k ≠0)只有一个公共点，求k 的值；(2)如图，反比例函数y ＝4x (1≤x ≤4)的图像记为曲线C 1，将C 1向左平移2个单位长度，得曲线C 2，请在图中画出C 2，并直接写出C 1平移至C 2处所扫过的面积．解：(1)联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝4x ，y ＝kx ＋4，得kx 2＋4x －4＝0. 又∵y ＝4x 的图像与直线y ＝kx ＋4只有一个公共点， ∴42－4·k ·(－4)＝0.∴k ＝－1.(2)如图， C 1平移至C 2处所扫过的面积为6. 6．(2016·河北模拟导向二)如图，函数y ＝－2x ＋6的图像与x 轴、y 轴分别相交于点A ，B ，点P 在直线AB 上，过点P 作x 轴、y 轴的垂线，垂足分别为M ，N.(1)若点P 为线段AB 中点，求PM ＋PN 的值；(2)若点P 在第四象限，且PM ＋PN ＝12，求点P 的坐标； (3)若点P 在线段AB 上，求PM ＋PN 的最大值．解：(1)∵y ＝－2x ＋6与x 轴、y 轴分别交于点A ，B ，∴A(3，0)，B(0，6)． ∵P 为线段AB 中点，∴P(32，3)．∴PM ＝3，PN ＝32.∴PM ＋PN ＝3＋32＝92.(2)设P(x ，－2x ＋6)，则x ＞3.∴PM＋PN＝2x－6＋x＝3x－6＝12，解得x＝6.∴P(6，－6)．(3)设P(m，－2m＋6)，则0≤m≤3.∴PM＝－2m＋6，PN＝m.∴PM＋PN＝－2m＋6＋m＝－m＋6.∵在0≤m≤3时，PM＋PN随m的增大而减小，∴当m＝0时，PM＋PN最大，为6.7．(2016·唐山二模)如图，直角坐标系中，直线l：y＝kx＋k经过A，B两点，B(0，3)．点P以每秒1个单位长度的从原点开始沿y轴的正半轴向上匀速运动，设运动时间为t秒，直线y＝t经过点P，且随P点的运动而运动．(1)求k的值和A点坐标；(2)当t＝1.5秒时，直线y＝t与直线l交于点M，反比例函数y＝nx经过点M，求反比例函数的解析式；(3)若直线y＝t与直线l的交点不在第二象限，求t的取值范围；(4)点C(3，0)关于直线l的对称点在直线y＝t上，直接写出t的值．解：(1)∵直线l：y＝kx＋k经过点B(0，3)，∴k＝3.∴直线l的解析式为y＝3x＋3.令y＝0，则3x＋3＝0，解得x＝－1.∴A(－1，0)．(2)当t＝1.5秒时，∵B(0，3)，∴点P恰好是OB的中点．又∵直线y＝t与x轴平行，∴点M的纵坐标为1.5.又∵点M在直线l上，∴3x＋3＝1.5，解得x＝－1 2.∴M(－12，1.5)．∵M在反比例函数y＝nx上，∴n＝－12×1.5＝－34.∴反比例函数的解析式为y＝－34x，即y＝－34x.(3)t≥3.(4)t＝12 5.第2课时 函数的图像与性质21．(2016·河南)某班“数学兴趣小组”对函数y ＝x 2－2||x 的图像和性质进行了探究，探究过程如下，请补充完整．(1)自变量x 的取值范围是全体实数，x 与y 的几组对应值列表如下：其中，＝0；(2)根据上表数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点，并画出了函数图像的一部分，请画出该图像的另一部分；(3)观察函数图像，写出两条函数的性质：可从函数的最值、增减性、图像的对称性等方面阐述，答案不唯一，合理即可；(4)进一步探究函数图像发现：①函数图像与x 轴有3个交点，所以对应方程x 2－2||x ＝0有3个实数根； ②方程x 2－2||x ＝2有2个实数根；③关于x 的方程x 2－2||x ＝a 有4个实数根时，a 的取值范围是－1＜a ＜0．解：如图所示． 2．(2016·安徽)如图，二次函数y ＝ax 2＋bx 的图像经过点A(2，4)与B(6，0)． (1)求a ，b 的值；(2)点C 是该二次函数图像上A ，B 两点之间的一动点，横坐标为x (2<x <6)．写出四边形OACB 的面积S 关于点C 的横坐标x 的函数表达式，并求S 的最大值．解：(1)将A(2，4)与B(6，0)代入y ＝ax 2＋bx ， 得⎩⎨⎧4a ＋2b ＝4，36a ＋6b ＝0.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－12，b ＝3.(2)过点A 作x 轴的垂线，垂足为D(2，0)，连接CD ，过点C 作CE ⊥AD ，CF ⊥x 轴，垂足分别为E ，S △OAD ＝12OD·AD ＝12×2×4＝4，S △ACD ＝12AD·CE ＝12×4×(x －2)＝2x －4，S △BCD ＝12BD·CF ＝12×4×(－12x 2＋3x )＝－x 2＋6x .则S ＝S △OAD ＋S △ACD ＋S △BCD ＝4＋(2x －4)＋(－x 2＋6x )＝－x 2＋8x . ∴S 关于x 的函数表达式为S ＝－x 2＋8x (2＜x ＜6)． ∵S ＝－(x －4)2＋16，∴当x ＝4时，四边形OACB 的面积S 取最大值，最大值为16.3．(2016·唐山路南区模拟)已知二次函数y ＝12x 2－32x ＋m 的图像C 1与x 轴有且只有一个公共点． (1)求m 的值；(2)将C 1向下平移若干个单位后得抛物线C 2，若C 2与x 轴的一个交点为A(－1，0)，求C 2的函数关系式，并求C 2与x 轴另一个交点B 的坐标；(3)①若P(n ，y 1)，Q(2，y 2)是C 1上的两点，且y 1＞y 2，求实数n 的取值范围； ②若C 2与y 轴的交点为D ，请直接写出∠ADB 的度数．解：(1)由题意，得Δ＝(32)2－4×12m ＝0，即m ＝98.(2)设C 1向下平移n 个单位，则C 2的函数关系式为y ＝12x 2－32x ＋98－n . 又∵C 2过点A(－1，0)， ∴12×(－1)2－32×(－1)＋98－n ＝0.解得98－n ＝－2.∴C 2的函数关系式为y ＝12x 2－32x －2.当y ＝0时，12x 2－32x －2＝0，解得x 1＝4，x 2＝－1. ∴另一交点B 的坐标为(4，0)．(3)①C 1：y ＝12x 2－32x ＋98＝12(x －32)2.对称轴为直线x ＝32，开口向上． 当n ＝1时，y 1＝y 2.∴当y 1＞y 2时，n 的取值范围为n ＜1或n ＞2. ②易知D(0，－2)，又∵A(－1，0)，B(4，0)，∴AD 2＝12＋22＝5，BD 2＝42＋22＝20，AB 2＝52＝25. ∴AD 2＋BD 2＝AB 2. ∴∠ADB ＝90°. 4．(2016·福州)已知，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)经过原点，顶点为A(h ，k )(h≠0)． (1)当h ＝1，k ＝2时，求抛物线的解析式；(2)若抛物线y ＝tx 2(t ≠0)也经过A 点，求a 与t 之间的关系式；(3)当点A 在抛物线y ＝x 2－x 上，且－2≤h ＜1时，求a 的取值范围． 解：(1)根据题意，设抛物线的解析式为y ＝a (x －h)2＋k (a ≠0)． ∵h ＝1，k ＝2，∴y ＝a (x －1)2＋2.又∵抛物线过原点，∴a ＋2＝0，即a ＝－2.(2)∵抛物线y＝tx2经过点A(h，k)，∴k＝t h2. ∴y＝a(x－h)2＋t h2.∵抛物线经过原点，∴a h2＋t h2＝0.又∵h≠0，∴a＝－t.(3)∵点A(h，k)在抛物线y＝x2－x上，∴k＝h2－h.∴y＝a(x－h)2＋h2－h.∵抛物线经过原点，∴a h2＋h2－h＝0.∵h≠0，∴a＝1h－1.分两种情况讨论：①当－2≤h＜0时，由反比例函数性质可知：1h≤－12，∴a≤－32；②当0＜h＜1时，由反比例函数性质可知：1h＞1，∴a＞0.综上所述，a的取值范围是a≤－32或a＞0.5．(2016·无锡)已知二次函数y＝ax2－2ax＋c(a＞0)的图像与x轴的负半轴和正半轴分别交于A，B两点，与y轴交于点C，它的顶点为P，直线CP与过点B且垂直于x轴的直线交于点D，且CP∶PD ＝2∶3.(1)求A，B两点的坐标；(2)若tan∠PDB＝54，求这个二次函数的关系式．解：(1)过点P作PE⊥x轴于点E，∵y＝ax2－2ax＋c，∴该二次函数的对称轴为直线x＝1，∴OE＝1. ∵OC∥BD，∴CP∶PD＝OE∶EB.∴OE∶EB＝2∶3.∴EB＝3 2.∴OB＝OE＋EB＝52.∴B(52，0)．∵A与B关于直线x＝1对称，∴A(－12，0)．(2)过点C作CF⊥BD于点F，交PE于点G. 将x＝1代入y＝ax2－2ax＋c，∴y＝c－a. 将x＝0代入y＝ax2－2ax＋c，∴y＝c.∴PG＝a.∵CF＝OB＝52，∴tan∠PDB＝CFFD.∴FD＝2.∵PG∥BD，∴△CPG∽△CDF.∴PG DF ＝CP CD ＝25.∴PG ＝45.∴a ＝45.∴y ＝45x 2－85x ＋c .把A(－12，0)代入y ＝45x 2－85x ＋c ，解得c ＝－1.∴该二次函数解析式为y ＝45x 2－85x －1.6．(2016·淮安)如图，在平面直角坐标系中，二次函数y ＝－14x 2＋bx ＋c 的图像与坐标轴交于A ，B ，C 三点，其中点A 的坐标为(0，8)，点B 的坐标为(－4，0)． (1)求该二次函数的表达式及点C 的坐标；(2)点D 的坐标为(0，4)，点F 为该二次函数在第一象限内图像上的动点，连接CD ，CF ，以CD ，CF 为邻边作▱CDEF ，设▱CDEF 的面积为S. ①求S 的最大值；②在点F 的运动过程中，当点E 落在该二次函数图像上时，请直接写出此时S 的值．解：(1)y ＝－14x 2＋x ＋8. 令y ＝0，则－14x 2＋x ＋8＝0.解得x 1＝－4(舍去)，x 2＝8.∴C(8，0)．(2)①连接DF ，设F(a ，－14a 2＋a ＋8)．易求得CD 的解析式为y ＝－12x ＋4.过点F 作FG ⊥x 轴，交CD 于点G ，则G(a ，－12a ＋4)． S ＝2S △CDF ＝2×12×FG·OC＝8(－14a 2＋32a ＋4)＝－2a 2＋12a ＋32.当且仅当a ＝3时，S 取最大值． S 最大＝－2×9＋12×3＋32＝50.②构造全等三角形：△EFH ≌△DCO.12∴E(a －8，－14(a －8)2＋a )．∴EH ＝4，即 －14(a －8)2＋a －(－14a 2＋a ＋8)＝4， 解得a ＝7.代入可知S ＝－2×49＋87＋32＝18.7．(2016·长沙)如图，直线l ：y ＝－x ＋1与x 轴、y 轴分别交于A ，B 两点，点P ，Q 是直线l 上的两个动点，且点P 在第二象限，点Q 在第四象限，∠POQ ＝135°. (1)求△AOB 的周长；(2)设AQ ＝t >0.试用含t 的代数式表示点P 的坐标；(3)当动点P ，Q 在直线l 上运动到使得△AOQ 与△BPO 的周长相等时，记作tan ∠AOQ ＝m ，若过点A 的二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 同时满足以下两个条件： ①6a ＋3b ＋2c ＝0；②当m ≤x ≤m ＋2时，函数y 的最大值等于2m .求二次项系数a 的值．解：(1)在函数y ＝－x ＋1中，令x ＝0，得y ＝1， ∴B(0，1)．令y ＝0，得x ＝1， ∴A(1，0)．则OA ＝OB ＝1，AB ＝2，∴△AOB 的周长为1＋1＋2＝2＋ 2.(2)∵OA ＝OB ，∴∠ABO ＝∠BAO ＝45°.∴∠PBO ＝∠QAO ＝135°. 设∠POB ＝x ，则∠OPB ＝∠AOQ ＝135°－x －90°＝45°－x ，∴△PBO ∽△OAQ.∴PB OA ＝BOAQ .∴PB ＝OA·BO AQ ＝1t.过点P 作PH ⊥OB 于H 点，则△PHB 为等腰直角三角形．∵PB ＝1t ，∴PH ＝HB ＝22t ，∴P(－22t ，1＋22t )． (3)由(2)可知△PBO ∽△OAQ ，若它们的周长相等∴PB ＝AQ ＝AO ＝BO.∴1t ＝t . ∵t ＞0.∴t ＝1.同理可得Q(1＋22t ，－22t )，∴m ＝22t1＋22t ＝2－1.∵抛物线经过点A ， ∴a ＋b ＋c ＝0.又∵6a ＋3b ＋2c ＝0， ∴b ＝－4a ，c ＝3a ，∴抛物线对称轴为直线x ＝2.取值范围是2－1≤x ≤2＋1时，函数y 的最大值等于2(2＋1)． ①若a ＞0，则开口向上，由题意，得x ＝2－1时，取得最大值2m ＝22＋2， 即(2－1)2a ＋(2－1)b ＋c ＝22＋2，解得a ＝11＋827； ②若a ＜0，则开口向下，由题意，得x ＝2时，取得最大值22＋2， 即4a ＋2b ＋c ＝22＋2，解得a ＝－22－2. 综上所述，所求a 的值为11＋827或－22－2.第3课时 函数的图像与性质31．(2016·大庆)若两条抛物线的顶点相同，则称它们为“友好抛物线”，抛物线C 1：y 1＝－2x 2＋4x ＋2与C 2：y 2＝－x2＋mx ＋n 为“友好抛物线”．(1)求抛物线C 2的解析式；(2)点A 是抛物线C 2上在第一象限的动点，过A 作AQ ⊥x 轴，Q 为垂足，求AQ ＋OQ 的最大值； (3)设抛物线C 2的顶点为C ，点B 的坐标为(－1，4)，问在C 2的对称轴上是否存在点M ，使线段MB 绕点M 逆时针旋转90°得到线段MB′，且点B′恰好落在抛物线C 2上？若存在求出点M 的坐标，不存在说明理由．解：(1)∵y 1＝－2x 2＋4x ＋2＝－2(x －1)2＋4， ∴抛物线C 1的顶点坐标为(1，4)． ∵抛物线C 1与C 2顶点相同，∴－m－1×2＝1，－1＋m ＋n ＝4.解得m ＝2，n ＝3. ∴抛物线C 2的解析式为y 2＝－x 2＋2x ＋3.(2)如图1所示，设点A 的坐标为(a ，－a 2＋2a ＋3)． ∵AQ ＝－a 2＋2a ＋3，OQ ＝a ，∴AQ ＋OQ ＝－a 2＋2a ＋3＋a ＝－a 2＋3a ＋3＝－(a －32)2＋214.∴当a ＝32时，AQ ＋OQ 有最大值，最大值为214.(3)如图2所示，连接BC ，过点B′作B′D ⊥CM ，垂足为D. ∵B(－1，4)，C(1，4)，抛物线的对称轴为直线x ＝1， ∴BC ⊥CM ，BC ＝2. ∵∠BMB′＝90°，∴∠BMC ＋∠B′MD ＝90°. ∵B′D ⊥MC ，∴∠MB′D ＋∠B′MD ＝90°. ∴∠MB′D ＝∠BMC.在△BCM 和△MDB′中，⎩⎨⎧∠BMC ＝∠MB′D ，∠BCM ＝∠MDB′，BM ＝MB′，∴△BCM ≌△MDB′.∴BC ＝MD ，CM ＝B′D.设点M 的坐标为(1，b )．则B′D ＝CM ＝4－b ，MD ＝CB ＝2.∴点B′的坐标为(b －3，b －2)． ∴－(b －3)2＋2(b －3)＋3＝b －2.整理得b 2－7b －10＝0.解得b ＝2，或b ＝5. 当b ＝2时，M 的坐标为(1，2)； 当b ＝5时，M 的坐标为(1，5)．综上所述，当点M 的坐标为(1，2)或(1，5)时，B′恰好落在抛物线C 2上． 2．(2016·河北模拟)如图，已知二次函数y 1＝x 2－2tx ＋2t －1(t ＞1)的图像为抛物线C 1. (1)求证：无论t 取何值，抛物线C 1与x 轴总有两个交点； (2)已知抛物线C 1与x 轴交于A ，B 两点(A 在B 的左侧)，将抛物线C 1作适当的平移，得到抛物线C 2：y 2＝(x －t )2，平移后A ，B 的对应点分别为D(m ，n )，E(m ＋2，n )，求n 的值；(3)在(2)的条件下，将抛物线C 2位于直线DE 下方的部分沿直线DE 向上翻折后，连同C 2在DE 上方的部分组成一个新图形，记为图形G ，若直线y ＝－12x ＋b (b ＜3)与图形G 有且只有两个公共点，请结合图像求b 的取值范围．解：(1)证明：令y 1＝0，得Δ＝(－2t )2－4(2t －1)＝4t 2－8t ＋4＝4(t －1)2， ∵t ＞1，∴Δ＝4(t －1)2＞0.∴无论t 取何值，方程x 2－2tx ＋(2t －1)＝0总有两个不相等的实数根， ∴无论t 取何值，抛物线C 1与x 轴总有两个交点． (2)解方程x 2－2tx ＋(2t －1)＝0得，x 1＝1，x 2＝2t －1， ∵t ＞1，∴2t －1＞1，得A(1，0)，B(2t －1，0)． ∵D(m ，n )，E(m ＋2，n )，∴DE ＝AB ＝2， 即2t －1－1＝2，解得t ＝2.∴二次函数为y 1＝x 2－4x ＋3＝(x －2)2－1.∴将抛物线C 1向上平移1个单位可得抛物线C 2：y 2＝(x －2)2， 故n ＝1.(3)由(2)得抛物线C 2：y 2＝(x －2)2，D(1，1)，E(3，1)， 翻折后，顶点F(2，0)的对应点为F′(2，2)，如图，当直线y ＝－12x ＋b 经过点D(1，1)时，记为直线l 3，此时b ＝32，图形G 与l 3只有一个公共点；当直线y ＝－12x ＋b 经过点E(3，1)时，记为直线l 2，此时b ＝52，图形G 与l 2有三个公共点；当b ＝3时，y ＝－12x ＋3恰好过F′点，∴52≤b ＜3时，直线y ＝－12x ＋b 与圆弧G 有三个交点．∴当b ＜3时，由图像可以知道，只有当直线l ：y ＝－12x ＋b 位于l 2与l 3之间时，图形G 与直线l 有且只有两个公共点．∴符合题意的b 的取值范围是32＜b ＜52.3．(2016·承德模拟)在平面直角坐标系x O y 中，过点(0，2)且平行于x 轴的直线，与直线y ＝x －1交于点A ，点A 关于直线x ＝1的对称点为B ，抛物线C 1：y ＝x 2＋bx ＋c 经过点A ，B. (1)求点A ，B 的坐标；(2)求抛物线C 1的表达式及顶点坐标；(3)若抛物线C 2：y ＝ax 2(a ≠0)与线段AB 恰有一个公共点，结合函数的图像，求a 的取值范围．解：(1)根据题意，过点(0，2)且平行于x 轴的直线y ＝2，并且与直线y ＝x －1交于点A ，∴将y ＝2代入，得2＝x －1，解得x ＝2＋1＝3，∴点A 的坐标为(3，2)．∵点A 关于直线x ＝1的对称点为B ，根据对称的性质可得，|3－1|＝|x B －1|，由题意，得2＝1－x B ，解得x B ＝－1，∴点B 的坐标 (－1，2)．(2)∵抛物线C 1：y ＝x 2＋bx ＋c 经过点A(3，2)，B(－1，2)，将点代入抛物线，得⎩⎨⎧2＝9＋3b ＋c ，①2＝1－b ＋c.②①－②得，4b ＋8＝0，解得b ＝－2，将其代入①，得2＝9－6＋c ，解得c ＝－1，∴原方程组的解为⎩⎨⎧b ＝－2，c ＝－1.∴抛物线C 1的解析式为y ＝x 2－2x －1.则抛物线的对称轴为直线x ＝1，其顶点坐标为(1，－2)． (3)根据题意，如图所示，当抛物线C 2：y ＝ax 2(a ≠0)过A 点，B 点时为临界情况，将A(3，2)代入y ＝ax 2，得9a ＝2，解得a ＝29，将B(－1，2)代入y ＝ax 2，得(－1)2a ＝2，解得a ＝2.由图可知抛物线过点B 时不符合题意，即此时不能取等号，故29≤a ＜2. 4．(2016·长沙)若抛物线L ：y ＝ax 2＋bx ＋c (a ，b ，c 是常数，abc ≠0)与直线l 都经过y 轴上的一点P ，且抛物线L 的顶点Q 在直线l 上，则称此直线l 与该抛物线L 具有“一带一路”关系，此时，直线l 叫做抛物线L 的“带线”，抛物线L 叫做直线l 的“路线”．(1)若直线y ＝mx ＋1与抛物线y ＝x 2－2x ＋n 具有“一带一路”关系，求m ，n 的值；(2)若某“路线”L 的顶点在反比例函数y ＝6x 的图像上，它的“带线” l 的解析式为y ＝2x －4，求此“路线”L 的解析式；(3)当常数k 满足12≤k ≤2时，求抛物线L ：y ＝ax 2＋(3k 2－2k ＋1)x ＋ k 的“带线” l 与x 轴、y 轴所围成的三角形面积的取值范围．解：(1)令直线y ＝mx ＋1中x ＝0，则y ＝1，即直线与y 轴的交点为(0，1)． 将(0，1)代入抛物线y ＝x 2－2x ＋n 中，得n ＝1. ∴抛物线的解析式为y ＝x 2－2x ＋1＝(x －1)2. ∴抛物线的顶点坐标为(1，0)．将点(1，0)代入到直线y ＝mx ＋1中，得0＝m ＋1， 解得m ＝－1.∴m 的值为－1，n 的值为1.(2)将y ＝2x －4代入到y ＝6x 中有2x －4＝6x，即2x 2－4x －6＝0，解得x 1＝－1，x 2＝3.∴该“路线”L 的顶点坐标为(－1，－6)或(3，2)． 令“带线”L ：y ＝2x －4中x ＝0，则y ＝－4， ∴“路线”L 的图像过点(0，－4)．设该“路线”L 的解析式为y ＝m (x ＋1)2－6或y ＝n (x －3)2＋2， 由题意，得－4＝m (0＋1)2－6或－4＝n (0－3)2＋2，解得m ＝2，n ＝－23.∴此“路线”L 的解析式为y ＝2(x ＋1)2－6或y ＝－23(x －3)2＋2. (3)令抛物线L ：y ＝ax 2＋(3k 2－2k ＋1)x ＋k 中x ＝0，则y ＝k ，即该抛物线与y 轴的交点为(0，k )．抛物线L ：y ＝ax 2＋(3k 2－2k ＋1)x ＋k 的顶点坐标为(－3k 2－2k ＋12a ，4ak －（3k 2－2k ＋1）24a)，设“带线”l 的解析式为y ＝p x ＋k ，∵点(－3k 2－2k ＋12a ，4ak －（3k 2－2k ＋1）24a)在y ＝p x ＋k 上，∴4ak －（3k 2－2k ＋1）24a＝－p·3k 2－2k ＋12a ＋k ，解得p ＝3k 2－2k ＋12.∴“带线”l 的解析式为y ＝3k 2－2k ＋12x ＋k .∴令“带线”l ：y ＝3k 2－2k ＋12x ＋k 中y ＝0，则0＝3k 2－2k ＋12x ＋k ，解得x ＝－2k3k 2－2k ＋1.即“带线”l 与x 轴的交点为(－2k3k 2－2k ＋1，0)与y 轴的交点为(0，k )．∴“带线”l 与x 轴、y 轴所围成的三角形面积S ＝12|－2k3k 2－2k ＋1|×|k |，∵12≤k ≤2， ∴12≤1k ≤2.∴S ＝k 23k 2－2k ＋1＝13－2k ＋（1k ）2＝1（1k －1）2＋2.当1k ＝1时，S 有最大值，最大值为12； 当1k ＝2时，S 有最小值，最小值为13.故抛物线L ：y ＝ax 2＋(3k 2－2k ＋1)x ＋k 的“带线”l 与x 轴、y 轴所围成的三角形面积的取值范围为13≤S≤12. 5．(2016·张家口模拟)如图，在平面直角坐标系中，已知点A(－1，34)，B(2，0)在抛物线l 1：y ＝ax 2＋bx ＋1(a ，b 为常数，且a ≠0)上，直线l 2经过抛物线l 1的顶点且与y 轴垂直，垂足为点D. (1)求l 1的解析式，并写出它的对称轴和顶点坐标；(2)设l 1有一动点P 从点A 出发，沿抛物线从左向右运动，点P 的纵坐标y p ，也随之以每秒2个单位长度的速度变化，设点P 运动的时间为t (秒)，连接OP ，以线段OP 为直径作⊙F. ①求y p 关于t 的表达式，并写出t 的取值范围；②当点P 在起点A 处时，直线l 2与⊙F 的位置关系是相切；在点P 从点A 运动到点D 的过程中，直线l 2与⊙F 是否始终保持着上述的位置关系？请说明理由．(3)在(2)中的条件下，当点P 开始从点A 出发，沿抛物线从左向右运动时，直线l 2同时向下平移，垂足D 的纵坐标y D 以每秒3个单位长的速度变化，当直线l 2与⊙F 相交时，求t 的取值范围．解：(1)将A(－1，34)，B(2，0)代入y ＝ax 2＋bx ＋1中，得⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＋1＝34，4a ＋2b ＋1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－14，b ＝0. ∴l 1的解析式为y ＝－14x 2＋1.对称轴为直线x ＝0，顶点坐标为(0，1)．(2)①当点P 从点A 运动到点D 时，y P ＝34＋2t .若点P 恰好运动到点D ，则34＋2t ＝1，∴t ＝18.故点P 从A 运动到点D 的过程中，y P ＝34＋2t (0≤0＜18)．当点P 从点D 向点B 的方向运动时，y P ＝1－2(t －18)＝54－2t (t ≥18)． ②保持相切，理由如下：如图，设P(x ，34＋2t )，则圆心F(x 2，38＋t )，圆心F 到直线l 2的距离是d ＝1－(38＋t )＝58－t ，圆的半径为r 2＝(x 2)2＋(38＋t )2.又∵P 在抛物线l 上，∴34＋2t ＝－14x 2＋1. ∴x 2＝1－8t .∴r 2＝1－8t 4＋(38＋t )2＝(t －58)2.∵0≤t ＜18，∴r ＝58－t . ∴r ＝d .∴点P 从点A 运动到点D 的过程中，直线l 2与⊙F 是相切的．(3)点P 开始运动时，直线l 2也同时向下平移，此时点D 的纵坐标为y D ＝1－3t .①当0≤t ＜18时，由(2)可知，圆心F 的纵坐标y F ＝38＋t ，半径r ＝58－t .此时圆心F 到直线l 2的距离为d ＝|y F －y D |＝|38＋t －(1－3t )|＝|4t －58|＝58－4t .若直线l 2与⊙F 相交，则58－4t ＜58－t ，解得t ＞0.∴当0＜t ＜18时，直线l 2与⊙F 相交．②当t ≥18时，同理可知圆心F 的纵坐标y F ＝58－t ，半径为r ＝t ＋38.此时⊙F 到直线l 2的距离为d ＝|y F －y D |＝|58－t －(1－3t )|＝|2t －38|. 当18≤t ≤316时，d ＝38－2t .若直线l2与⊙F相交，则d＜r，即38－2t＜t＋38，解得t＞0.∴当18≤t≤316时，直线l2与⊙F相交．当t＞316时，d＝2t－38.若直线l2与⊙F相交，则d＜r，即2t－38＜t＋38，解得t＜3 4.∴当316＜t＜34时，直线l2与⊙F相交．综上可知，当直线l2与⊙F相交时，0＜t＜3 4.6．(2016·河北考试说明)如图，在平面直角坐标系x O y中，我们把由两条射线AE，BF和以AB为直径的半圆所组成的图形叫作图形C(注：不含AB线段)．已知A(－1，0)，B(1，0)，AE∥BF，且半圆与y轴的交点D在射线AE的反向延长线上．(1)求两条射线AE，BF所在直线的距离；(2)当函数y＝x＋b的图像与图形C恰好只有一个公共点时，写出b的取值范围；当函数y＝x＋b的图像与图形C恰好只有两个公共点时，写出b的取值范围；(3)已知▱AMPQ(四个顶点A，M，P，Q按顺时针方向排列)的各顶点都在图形C上，且不都在两条射线上，求点M的横坐标x的取值范围．解：(1)分别连接AD，DB，则点D在直线AE的反向延长线上，如图1，∵点D在以AB为直径的半圆上，∴∠ADB＝90°，∴BD⊥AD.在Rt△DOB中，由勾股定理得BD＝OD2＋OB2＝ 2.∵AE∥BF，∴两条射线AE，BF所在直线的距离为 2.(2)当函数y＝x＋b的图像与图形C恰好只有一个公共点时，b的取值范围是b＝2或－1＜b＜1；当函数y＝x＋b的图像与图形C恰好只有两个公共点时，b的取值范围是1＜b＜ 2.(3)假设存在满足题意的▱AMPQ，根据点M的位置，分以下四种情况讨论：①当点M在射线AE上时，如图2.∵A，M，P，Q四点按顺时针方向排列，∴直线PQ必在直线AM的上方，∴P，Q两点都在AD弧上，且不与A，D重合．∴0＜PQ ＜ 2.∵AM ∥PQ 且AM ＝PQ ，∴0＜AM ＜ 2. ∴－2＜x ＜－1.②当点M 在AD ︵(不包括点D)上时，如图3，∵A ，M ，P ，Q 四点按顺时针方向排列，∴直线PQ 必在直线AM 的下方，此时，不存在满足题意的平行四边形． ③当点M 在DB ︵上时，设DB ︵的中点为R ，则OR ∥BF. 当点M 在DR ︵(不包括点R)上时，如图4.过点M 作OR 的垂线交DB ︵于点Q ，垂足为S ，可得S 是MQ 的中点，连接AS 并延长交BF 于点P.∵O 为AB 的中点，可证S 为AP 的中点，∴四边形AMPQ 为满足题意的平行四边形．∴0≤x ＜22； 当点M 在RB 上时，如图5，直线PQ 必在直线AM 的下方，此时，不存在满足题意的平行四边形． ④当点M 在射线BF(不包括点B)上时，如图6，直线PQ 必在直线AM 的下方，此时，不存在满足题意的平行四边形．∴综上所述，点M 的横坐标x 的取值范围是－2＜x ＜－1或0≤x ＜22. .。

【06.河北】24．（本小题满分12分）利达经销店为某工厂代销一种建筑材料（这里的代销是指厂家先免费提供货源，待货物售出后再进行结算，未售出的由厂家负责处理）．当每吨售价为260元时，月销售量为45吨．该经销店为提高经营利润，准备采取降价的方式进行促销．经市场调查发现：当每吨售价每下降10元时，月销售量就会增加7.5吨．综合考虑各种因素，每售出一吨建筑材料共需支付厂家及其它费用100元．设每吨材料售价为x（元），该经销店的月利润为y（元）．（1）当每吨售价是240元时，计算此时的月销售量；（2）求出y与x的函数关系式（不要求写出x的取值范围）；（3）该经销店要获得最大月利润，售价应定为每吨多少元？（4）小静说：“当月利润最大时，月销售额也最大．”你认为对吗？请说明理由．【07.河北】22．（本小题满分8分）如图13，已知二次函数24y ax x c =-+的图像经过点A 和点B ． （1）求该二次函数的表达式；（2）写出该抛物线的对称轴及顶点坐标；（3）点P （m ，m ）与点Q点关于抛物线的对称轴对称，求m 的值及点Q到x 轴的距离．【08.河北】9．(08河北)如图4，正方形ABCD 的边长为10，四个全等的小正方形的对称中心分别在正方形ABCD 的顶点上，且它们的各边与正方形ABCD 各边平行或垂直．若小正方形的边长为x ，且010x <≤，阴影部分的面积为y ，则能反映y 与x 之间函数关系的大致图象是（ ）图13图4xA ．xB ．xC ．xD ．【08.河北】25．（本小题满分12分）研究所对某种新型产品的产销情况进行了研究，为投资商在甲、乙两地生产并销售该产品提供了如下成果：第一年的年产量为x （吨）时，所需的全部费用y （万元）与x 满足关系式2159010y x x =++，投入市场后当年能全部售出，且在甲、乙两地每吨的售价p 甲，p 乙（万元）均与x 满足一次函数关系．（注：年利润＝年销售额－全部费用）（1）成果表明，在甲地生产并销售x 吨时，11420p x =-+甲，请你用含x 的代数式表示甲地当年的年销售额，并求年利润w 甲（万元）与x 之间的函数关系式；（2）成果表明，在乙地生产并销售x 吨时，110p x n =-+乙（n 为常数），且在乙地当年的最大年利润为35万元．试确定n 的值； （3）受资金、生产能力等多种因素的影响，某投资商计划第一年生产并销售该产品18吨，根据（1），（2）中的结果，请你通过计算帮他决策，选择在甲地还是乙地产销才能获得较大的年利润？ 参考公式：抛物线2(0)y ax bx c a =++≠的顶点坐标是2424b ac b aa ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．【09.河北】22．（本小题满分9分）已知抛物线2y ax bx =+经过点(33)A --，和点P （t ，0），且t ≠ 0． （1）若该抛物线的对称轴经过点A ，如图12，请通过观察图象，指出此时y 的最小值，并写出t（2）若4t =-，求a 、b的值，（3）直．接．【10.河北】11．如图5，已知抛物线c bx x y ++=2的对称轴为2=x ，点A ，B 均在抛物线上，且AB 与x 轴 平行，其中点A 的坐标为（0，3），则点B 的坐标为A ．（2，3）B ．（3，2）C ．（3，3）D ．（4，3）图12 图5【10．河北】26．（本小题满分12分）某公司销售一种新型节能产品，现准备从国内和国外两种销售方案中选择一种进行销售．若只在国内销售，销售价格y （元/件）与月销量x （件）的函数关系式为y =1001-x ＋150，成本为20元/件，无论销售多少，每月还需支出广告费62500元，设月利润为w 内（元）（利润 = 销售额－成本－广告费）．若只在国外销售，销售价格为150元/件，受各种不确定因素影响，成本为a 元/件（a 为常数，10≤a ≤40），当月销量为x （件）时，每月还需缴纳1001x 2元的附加费，设月利润为w 外（元）（利润 = 销售额－成本－附加费）．（1）当x = 1000时，y = 元/件，w 内 = 元； （2）分别求出w 内，w 外与x 间的函数关系式（不必写x 取值范围）； （3）当x 为何值时，在国内销售的月利润最大？若在国外销售月利润的最大值与在国内销售月利润的最大值相同，求a 的值； （4）如果某月要将5000件产品全部销售完，请你通过分析帮公司决策，选择在国内还是在国外销售才能使所获月利润较大？ 参考公式：抛物线2(0)y ax bx c a =++≠的顶点坐标是24(,)24b ac b a a--．【11.河北】26．(本小题满分12分)如图15，在平面直角坐标系中，点P从原点O出发，沿x轴向右以每秒1个单位长的速度运动t（t＞0）秒，抛物线y=x2＋bx＋c 经过点O和点P.已知矩形ABCD的三个顶点为A（1，0）、B（1，－5）、D（4，0）.⑴求c、b（用含t的代数式表示）；⑵当4＜t＜5时，设抛物线分别与线段AB、CD交于点M、N.①在点P的运动过程中，你认为∠AMP的大小是否会变化？若变化，说明理由；若不变，求出∠AMP的值；②求△MPN的面积S与t的函数关系式，并求t为何值时，S=218；③在矩形ABCD的内部（不含边界），把横、纵坐标都是整数的点称为“好点”.若抛物线将这些“好点”分成数量相等的两部分，请直接．．写出t的取值范围.【12.河北】12．如图6，抛物线y 1=a (x +2)2与y 2=12(x -3)2+1交于点A （1,3），过点A 作x 轴的平行线，分别交两条抛物线于点，C ．则以下结论：① 无论x 取何值，y 2的值总是正数； ② a =1；③ 当=0时，y 2- y 1=4；④ 2AB =3AC ．其中正确结论是（ ） A ．①② B ．②③ C ．③④ D ．①④【12.河北】24．（本小题满分9分）某工厂生产一种合金薄板（其厚度忽略不计），这些薄板的形状均为正方形，边长（单位：cm ）在5～50之间．每张薄板的成本价（单位：元）与它的面积（单位：cm 2）成正比例．每张薄板的出厂价（单位：元）由基础价和浮动价两部分组成，其中基础价与薄板的大小无关，是固定不变的，浮动价与薄板的边长成正比例．在营销过程中得到了表格中的数据．（1）求一张薄板的出厂价与边长之间满足 的函数关系式；（2）已知出场一张边长为40cm的薄板，获得的利润是26元（利润=出厂价-成本价）．①求一张薄板的利润与边长之间满足的函数关系式．②当边长为多少时，出厂一张薄板获得的利润最大？最大利润是多少？参考公式：抛物线y =ax 2+bx +c （a ≠0）的顶点坐标是（-b 2a ，4ac -b24a）．图6【13.河北】20．如图12，一段抛物线：y ＝－x(x －3)（0≤x ≤3），记为C 1，它与x轴交于点O ，A 1；将C 1绕点A 1旋转180°得C 2，交x 轴于点A 2； 将C 2绕点A 2旋转180°得C 3，交x 轴于点A 3； ……如此进行下去，直至得C 13．若P （37，m ） 在第13段抛物线C 13上，则m =_________．25．（本小题满分12分）某公司在固定线路上运输，拟用运营指数Q 量化考核司机的工作业绩．Q = W + 100，而W 的大小与运输次数n 及平均速度x （km/h ）有关（不考虑其他因素），W 由两部分的和组成：一部分与x 的平方成正比，另一部分与x 的n 倍成正比．试行中得到了表中的数据．（1）用含x 和n 的式子表示Q ；（2）当x = 70，Q = 450时，求n 的值； （3）若n = 3，要使Q 最大，确定x 的值；（4）设n = 2，x = 40，能否在n 增加m %（m ＞0）同时x 减少m %的情况下，而Q 的值仍为420，若能，求出m 的值；若不能，请说明理由． 参考公式：抛物线y ＝ax 2+bx +c (a ≠0)的顶点坐标是（－b2a ，4ac －b 24a ）次数n 2 1速度x 40 60 指数Q 420 100。

第4课时 函数建模11．(2016·泉州)某进口专营店销售一种“特产”，其成本价是20元/千克，根据以往的销售情况描出销售量y(千克/天)与售价x(元/千克)的关系，如图所示：(1)试求出y 与x 之间的一个函数关系式；(2)利用(1)的结论：①求每千克售价为多少元时，每天可以获得最大的销售利润；②进口产品检验，运输等过程需耗时5天，该“特产”最长的保存期为一个月(30天)，若售价不低于30元/千克，则一次进货最多只能多少千克？解：(1)根据图像可知，它近似地成一条直线，故可设y ＝kx ＋b(k≠0)，把(40，32)(39，34)代入，得⎩⎪⎨⎪⎧40k ＋b ＝32，39k ＋b ＝34.解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－2，b ＝112. ∴y 与x 的关系式为y ＝－2x ＋112.(2)①设每天获得的销售利润为W 元，依题意，得W ＝(x －20)y＝(x －20)(－2x ＋112)＝－2x 2＋152x －2 240＝－2(x －38)2＋648.∵－2＜0，∴当x ＝38时，W 有最大值．即每千克售价为38元时，每天可以获得最大的销售利润．②由y ＝－2x ＋112可知y 随x 的增大而减小．又∵当x ＝30时，y ＝52，∴当x≥30时，y ≤52.∴y 的最大值为52.52×(30－5)＝1 300(千克)．答：每月一次进货最多只能是1 300千克．2．(2016·南京)下图中的折线ABC 表示某汽车的耗油量y(单位：L /km )与速度x(单位：km /h )之间的函数关系(30≤x≤120)，已知线段BC 表示的函数关系中，该汽车的速度每增加1 km /h ，耗油量增加0.002 L /km .(1)当速度为50 km /h ，100 km /h 时，该汽车的耗油量分别为0.13L /km ，0.14L /km .(2)求线段AB 所表示的y 与x 之间的函数表达式；(3)速度是多少时，该汽车的耗油量最低？最低是多少？解：(2)设线段AB 所表示的y 与x 之间的函数表达式为y ＝kx ＋b.∵y ＝kx ＋b 的图像过点(30，0.15)与(60，0.12)．∴⎩⎪⎨⎪⎧30k ＋b ＝0.15，60k ＋b ＝0.12.解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－0.001，b ＝0.18. ∴线段AB 所表示的y 与x 之间的函数表达式为y ＝－0.001x ＋0.18.(3)根据题意，得线段BC 所表示的y 与x 之间的函数表达式为y ＝0.12＋0.002(x －90)＝0.002x －0.06. 由图像可知，B 是折线ABC 的最低点．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－0.001x ＋0.18，y ＝0.002x －0.06，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝80，y ＝0.1. ∴速度是80 km /h 时，该汽车的耗油量最低，最低是0.1 L /km .3．(2015·安徽)为了节省材料，某水产养殖户利用水库的岸堤(岸堤足够长)为一边，用总长为80 m 的围网在水库中围成了如图所示的①②③三块矩形区域，而且这三块矩形区域的面积相等．设BC 的长度为 x m ，矩形区域ABCD的面积为y m 2.(1)求y 与x 之间的函数关系式，并注明自变量x 的取值范围；(2)x 为何值时，y 有最大值？最大值是多少？解：(1)∵三块矩形区域的面积相等，∴矩形AEFD 面积是矩形BCFE 面积的2倍．∴AE ＝2BE.设BE ＝a ，则AE ＝2a ，∴8a ＋2x ＝80.∴a＝－14x ＋10，2a ＝－12x ＋20. ∴y ＝(－12x ＋20)x ＋(－14x ＋10)x ＝－34x 2＋30x.∵a＝－14x ＋10＞0， ∴x ＜40，则y ＝－34x 2＋30x(0＜x ＜40)． (2)∵y＝－34x 2＋30x ＝－34(x －20)2＋300(0＜x ＜40)，且二次项系数为－34＜0， ∴当x ＝20时，y 有最大值，最大值为300平方米．4．(2016·河北模拟经典四)如图1所示，某乘客乘高速列车从甲地经过乙地到丙地，列车匀速行驶，图2为列车离乙地的路程y(千米)与行驶时间x(小时)的函数关系图像． (1)甲、丙两地距离1_050千米；(2)求高速列车离乙地的路程y 与行驶时间x 之间的函数关系式，并写出x 的取值范围．解：当0≤x≤3时，设高速列车离乙地的路程y 与行驶时间x 之间的函数关系式为y ＝kx ＋b ，把(0，900)，(3，0)代入得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝900，3k ＋b ＝0. 解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－300，b ＝900. ∴y ＝－300x ＋900.高速列车的速度为900÷3＝300(千米/小时)，150÷300＝0.5(小时)，3＋0.5＝3.5(小时)．∴当3＜x≤3.5时，设高速列车离乙地的路程y 与行驶时间x 之间的函数关系式为y ＝k 1x ＋b 1，把(3，0)，(3.5，150)代入得⎩⎪⎨⎪⎧3k 1＋b 1＝0，3.5k 1＋b 1＝150. 解得⎩⎪⎨⎪⎧k 1＝300，b 1＝－900. ∴y ＝300x －900.∴y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－300x ＋900（0≤x≤3），300x －900（3＜x≤3.5）. 5．(2015·临沂)新农村社区改造中，有一部分楼盘要对外销售．某楼盘共23层，销售价格如下：第八层楼房售价为4 000元/米2，从第八层起每上升一层，每平方米的售价提高50元；反之，楼层每下降一层，每平方米的售价降低30元，已知该楼盘每套楼房面积均为120米2.若购买者一次性付清所有房款，开发商有两种优惠方案：方案一：降价8%，另外每套楼房赠送a 元装修基金；方案二：降价10%，没有其他赠送．(1)请写出售价y(元/米2)与楼层x(1≤x≤23，x 取整数)之间的函数关系式；(2)老王要购买第十六层的一套楼房，若他一次性付清购房款，请帮他计算哪种优惠方案更加合算．解：(1)当1≤x≤8时，y ＝4 000－30(8－x)＝4 000－240＋30x ＝30x ＋3 760；当8＜x≤23时，y ＝4 000＋50(x －8)＝4 000＋50x －400＝50x ＋3 600.∴所求函数关系式为y ＝⎩⎪⎨⎪⎧30x ＋3 760（1≤x≤8，x 为整数），50x ＋3 600（8＜x≤23，x 为整数）. (2)当x ＝16时，方案一每套楼房总费用：w 1＝120×(50×16＋3 600)×92%－a ＝485 760－a ；方案二每套楼房总费用：w 2＝120×(50×16＋3 600)×90%＝475 200.∴当w 1＜w 2时，即485 760－a ＜475 200时，a ＞10 560；选择方案一合算；当w 1＝w 2时，即485 760－a ＝475 200时，a ＝10 560；两种方案一样；当w 1＞w 2时，即485 760－a ＞475 200时，a ＜10 560.选择方案二合算．6．(2016·河北考试说明)煤炭生产企业需要对煤炭运送到用煤单位所产生的费用进行核算并纳入企业生产计划．某煤矿现有1 000吨煤炭要全部运往A ，B 两厂，通过了解获得A ，B 两厂的有关信息如下表(表中运费栏“元/(吨·千厂别运费/[元/ (吨·千米)] 路程/千米 需求量/吨 A0.45 200 不超过600 B a(a 为常数) 150 不超过800(1)写出总运费y(单位：元)与运往A 厂的煤炭量x(单位：吨)之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；(2)请你运用函数有关知识，为该煤矿设计总运费最少的运送方案，并求出最少的总运费(可用含a 的代数式表示)． 解：(1)总运费y 元与运往A 厂的煤炭量x 吨之间的函数关系式为y ＝(90－150a)x ＋150 000a ，其中200≤x≤600.(2)当0＜a ＜0.6时，90－150a ＞0，y 随x 的增大而增大．∴当x ＝200时，y 最小＝(90－150a)×200＋150 000a ＝120 000a ＋18 000.此时，1 000－x ＝1 000－200＝800.当a ＝0.6时，y ＝90 000，此时，不论如何，总运费是一样的．当a ＞0.6时，90－150a ＜0，y 随x 的增大而减少．又∵运往A 厂总吨数不超过600吨，∴当x ＝600时，y 最小＝(90－150a)×600＋150 000a ＝60 000a ＋54 000.此时，1 000－x ＝1 000－600＝400.答：当0＜a ＜0.6时，运往A 厂200吨，B 厂800吨时，总运费最低，最低运费(120 000a ＋18 000)元；当a ＞0.6时，运往A 厂600吨，B 厂400吨时，总运费最低，最低运费(60 000a ＋54 000)元；当a ＝0.6时，不论如何，总运费是一样的．。

第5课时 函数建模21．(2016·保定模拟)甲、乙两列火车分别从A ，B 两城同时相向匀速驶出，甲车开往终点B 城，乙车开往终点A 城，乙车比甲车早到达终点，如图是两车相距的路程d(千米)与行驶时间t(小时)的函数的图像． (1)经过2小时两车相遇；(2)A ，B 两城相距600千米路程； (3)分别求出甲、乙两车的速度；(4)分别求出甲车距A 城s 甲，乙车距A 城的路程s 乙与t 的函数关系式(不必写出t 的范围)； (5)当两车相距200千米路程时，求t 的值．解：(3)设甲车的速度为v 甲，乙车的速度为v 乙． 此题意，得v 甲＝6005＝120(千米/时)．∴v 乙＝6002－v 甲＝180(千米/时)．(4)s 甲＝120t ，s 乙＝600－180t.(5)①当两车相遇前，两车相距200千米时，则有300t ＝600－200，解得t ＝43，②当两车相遇后，两车相距200千米/时，则有300t ＝600＋200，解得t ＝83.∴当两车相距200千米路程时，t 的值为43或83.2．(2016·南宁)在南宁市地铁1号线某段工程建设中，甲队单独完成这项工程需要150天，甲队单独施工30天后增加乙队，两队又共同工作了15天，共完成总工程的13.(1)求乙队单独完成这项工程需要多少天；(2)为了加快工程进度，甲、乙两队各自提高工作效率，提高后乙队的工作效率是1a ，甲队的工作效率是乙队的m 倍(1≤m≤2)．若两队合作40天完成剩余的工程，请写出a 关于m 的函数关系式，并求出乙队的最大工作效率是原来的几倍？解：(1)设乙队单独完成这项工程需要x 天，根据题意，得1150×(30＋15)＋1x ×15＝13，解得x ＝450，经检验x ＝450是方程的根，答：乙队单独完成这项工程需要450天．(2)根据题意，得(1a ＋m a )×40＝23，∴a ＝60m ＋60.∵60＞0，∴a 随m 的增大而增大．∴当m ＝1时，1a 最大，∴1a ＝1120.∴1120÷1450＝3.75. 答：乙队的最大工作效率是原来的3.75倍．3．(2016·邯郸模拟)某商场秋季计划购进一批进价为每条40元的围巾进行销售．探究：根据销售经验，应季销售时，若每条围巾的售价为60元，则每月可售出400条；若每条围巾的售价每提高1元，月销售量相应减少10条． (1)假设每条围巾的售价提高x 元，那么销售每条围巾所获得的利润是(20＋x)元，每月的销售量是(400－10x)条(用含x 的代数式表示)；(2)设应季销售月利润为y 元，请写y 与x 的函数关系式；并求出应季销售月利润为8 000元时，每条围巾的售价． 拓展：根据销售经验，过季处理时，若定价30元亏本销售，则可售出50条，售价每降低1元，销售量相应增加5条．(3)若剩余100条围巾需要处理，经过降价处理后还是无法销售的只能积压在仓库，损失本金；若使亏损金额最小，售价应是20元；(4)若过季需要处理的围巾共m 条，且100≤m≤300，过季亏损金额最小是(40m －2_000)元．(用含m 的代数式表示)解：依题意得y ＝(20＋x)(400－10x)＝－10x 2＋200x ＋8 000.若y ＝8 000时，即－10x 2＋200x ＋8 000＝8 000， 解得x 1＝0，x 2＝20.∴60＋x ＝60或80.即应季销售月利润为8 000元时．每条围巾的售价为60元或80元．4．(2016·承德模拟)某电脑公司经销甲种型号电脑，受经济危机影响，电脑价格不断下降，今年三月份的电脑售价比去年同期每台降价1 000元，如果卖出相同数量的电脑，去年销售额为10万元，今年销售额只有8万元． (1)今年三月份甲种电脑每台售价多少元？(2)为了增加收入，电脑公司决定再经销乙种型号电脑，已知甲种电脑每台进价为3 500元，乙种电脑每台进价为3 000元，公司预计用不多于5万元且不少于4.8万元的资金购进这两种电脑共15台，有几种进货方案？(3)如果乙种电脑每台售价为3 800台，为打开乙种电脑的销路，公司决定每售出一台乙种电脑，返还顾客现金a 元，要使(2)中所有方案获利相同，a 值应是多少？此时，哪种方案对公司更有利？ 解：(1)设今年三月份甲种电脑每台售价m 元，则 100 000m ＋1 000＝80 000m.解得m ＝4 000.经检验，m ＝4 000是原方程的根且符合题意． 所以甲种电脑今年每台售价4 000元． (2)设购进甲种电脑x 台，则48 000≤3 500x ＋3 000(15－x)≤50 000. 解得6≤x≤10.因为x 的正整数解为6，7，8，9，10，所以共有5种进货方案． (3)设总获利为W 元，则W ＝(4 000－3 500)x ＋(3 800－3 000－a)(15－x)＝(a －300)x ＋12 000－15a. ∴当a ＝300时，(2)中所有方案获利相同．此时，购买甲种电脑6台，乙种电脑9台时对公司更有利．5．(2016·青岛)某玩具厂生产一种玩具，本着控制固定成本，降价促销的原则，使生产的玩具能够全部售出．据市场调查，若按每个玩具280元销售时，每月可销售300个．若销售单价每降低1元，每月可多售出2个．据统计，每个玩具的固定成本Q(元)与月产销量y(个)满足如下关系：(1)写出月产销量y(个)与销售单价x(元)之间的函数关系式；(2)求每个玩具的固定成本Q(元)与月产销量y(个)之间的函数关系式； (3)若每个玩具的固定成本为30元，则它占销售单价的几分之几？(4)若该厂这种玩具的月产销量不超过400个，则每个玩具的固定成本至少为多少元？销售单价最低为多少元？ 解：(1)因为销售单价每降低1元，每月可多售出2个，所以月销售量y(个)与销售单价x(元)之间存在一次函数关系，不妨设y ＝kx ＋b ，则(280，300)，(279，302)满足函数关系式，得⎩⎪⎨⎪⎧280k ＋b ＝300，279k ＋b ＝302.解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－2，b ＝860.产销量y(个)与销售单价x(元)之间的函数关系式为y ＝－2x ＋860(0＜x ＜280)． (2)观察表格可以知道两个变量的乘积为定值，∴固定成本Q(元)与月产销量y(个)之间存在反比例函数关系，不妨设Q ＝my ，将Q ＝60，y ＝160代入得到m ＝9 600，∴Q ＝9 600y.(3)当Q ＝30时，y ＝320，由(1)可以知y ＝－2x ＋860，∴x ＝270，即销售单价为270元． ∵30270＝19，∴固定成本占销售单价的19. (4)若y≤400，则Q≥9 600400，即Q≥24，∴每个玩具的固定成本至少是24元．由400≥－2x ＋860，解得x≥230，即销售单价最低为230元．6．(2016·张家口模拟)某市制药厂需要紧急生产一批药品，要求必须在12天(含12)内完成．为了加快生产，车间采取工人加班，机器不停地生产方式，这样每天药品的产量y(吨)是时间x(天)的一次函数，且满足下表中所对应的数量关系．由于机器满负荷运转产生损耗，平均生产每吨药品的成本P(元)与时间x(天)的关系满足图中的函数图像．(1)求药品每天的产量y(吨)与时间x(天)之间的函数关系式；(2)当5≤x≤12时，直接写出P(元)与时间x(天)的函数关系式是P ＝40x ＋200；(3)若这批药品的价格为1 400元/吨，每天的利润设为W 元，求哪一天的利润最高，最高利润是多少元？(利润＝价格－成本)(4)为了提高工人加班的津贴，药厂决定在(3)中价格的基础上每吨药品加价a 元，但必须满足从第5天到第12天期间，每吨加价a 元后每天的利润随时间的增大而增大，直接写出a 的最小值． 解：(1)设y ＝kx ＋b ，则⎩⎪⎨⎪⎧2k ＋b ＝24，4k ＋b ＝28.解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝2，b ＝20.∴y 与x 的函数关系式为y ＝2x ＋20. (3)当0＜x ＜5时，P ＝400.∴W ＝(1 400－400)(2x ＋20)＝2 000x ＋20 000. ∵W 随x 增大而增大，∴W ＜30 000； 当5≤x≤12时，W ＝[1 400－(40x ＋200)](2x ＋20)＝－80x 2＋1 600x ＋24 000＝－80(x －10)2＋32 000. ∴当x ＝10时，W max ＝32 000.即第10天利润最高，最高利润是32 000元． (4)当加价a 元，5≤x ≤12时，W ＝[1 400＋a －(40x ＋200)](2x ＋20)＝－80x 2＋(1 600＋2a)x ＋2 400＋20a. 当值在5≤x≤12时，W 随x 的增大而增大，则对称轴需满足：1 600＋2a160≥12，解得a≥160.即a 的最小值为160.。

2019年可能还出现在压轴题的位置上解题策略此专题多以压轴题出现，特别最后一问很难，但第(1)(2)两问比较容易得分，学生应该尽力使这两问不丢分．,重难点突破)二次函数的实际应用【例1】(2019石家庄中考模拟)天猫网某店铺销售新疆薄皮核桃，这种食品是健脑的佳品，它的成本价为20元/kg ，经市场调查发现，该产品每天的销售利润w(元)与销售价x(元/kg)有如下关系：w ＝ax 2＋bx －1 600，当销售价为22元/kg 时，每天的销售利润为72元；当销售价为26元/kg 时，每天的销售利润为168元．(1)求该产品每天的销售利润w(元)与销售价x(元/kg)的关系式； (2)当销售价定为24元/kg ，该产品每天的销售利润为多少元？(3)如果该店铺的负责人想要在销售价不超过32元的情况下每天获得150元的销售利润，销售价应定为每千克多少元？(4)如果物价部门规定这种产品的销售价不高于29元/kg ，此店铺每天获得的最大利润为多少元？【解析】(1)根据题意可求出y 与x 的二次函数关系式；(2)将x ＝24代入w ＝－2x 2＋120x －1 600中计算所得利润；(3)将w ＝150代入w ＝－2x 2＋120x －1 600＝150中计算出定价；(4)由二次函数表达式可知w ＝－2x 2＋120x －1 600＝－2(x －30)2＋200，所以当x＝29时利润最大．【答案】解：(1)依题意，把(22，72)，(26，168)代入w ＝ax 2＋bx －160，得⎩⎪⎨⎪⎧72＝a ×222＋b×22－1 600，168＝a×262＋b×26－1 600.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝120. ∴该产品每天的销售利润w(元)与销售价x(元/kg)的关系式为w ＝－2x 2＋120x －1 600；(2)当x ＝24时，有w ＝－2×242＋120×24－1 600＝128.∴当销售价定为24元/kg 时，该产品每天的销售利润为128元；(3)当w ＝150时，有w ＝－2x 2＋120x －1 600＝150.解得x 1＝25，x 2＝35.∵x≤32，∴x ＝25.∴定价为25元/kg ；(4)w ＝－2x 2＋120x －1 600＝－2(x －30)2＋200.又∵物价部门规定这种产品的销售价不高于29元/kg ，当x≤29时，w 随x 的增大而增大，∴当x ＝29元时，利润最大，为w ＝－2(29－30)2＋200＝198(元)．【方法指导】正确建立二次函数模型，利用配方法和二次函数的性质结合自变量的取值范围，求出最佳方案．1．(2019张家口一模)某企业生产的一批产品上市后30天内全部售完，调查发现，国内市场的日销售量y 1(t)与时间t(t 为整数，单位：天)的关系如图①所示的抛物线的一部分，而国外市场的日销售量y 2(t)与时间t(t 为整数，单位：天)的关系如图②所示.(1)求y 1与时间t 的函数关系式及自变量t 的取值范围，并直接写出y 2与t 的函数关系式及自变量t 的取值范围；(2)设国内、国外市场的日销售总量为y t ，直接写出y 与时间t 的函数关系式，当销售第几天时，国内、外市场的日销售总量最早达到75 t?(3)判断上市第几天国内、国外市场的日销售总量y 最大，并求出此时的最大值．解：(1)设y 1＝at 2＋bt ，把点(30，0)和(20，40)代入得，⎩⎪⎨⎪⎧900a ＋30b ＝0，400a ＋20b ＝40.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－15，b ＝6.∴y 1＝－15t 2＋6t(0≤t≤30，t 为整数)．设y 2＝kt ＋b ，当0≤t<20时，y 2＝2t ，当20≤t≤30时，⎩⎪⎨⎪⎧20k ＋b ＝40，30k ＋b ＝0.解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－4，b ＝120，∴y 2＝⎩⎪⎨⎪⎧2t （0≤t<20，且t 为整数），－4t ＋120（20≤t≤30，且t 为整数）；(2)由y ＝y 1＋y 2，得y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－15t 2＋8t （0≤t<20，且t 为整数），－15t 2＋2t ＋120（20≤t≤30，且t 为整数）.由图像可知，销售第20天，y ＝80， ∴y ＝75时，t ＜20，即－15t 2＋8t ＝75，t 2－40t ＋25×15＝0，解得：t 1＝15，t 2＝25>20(舍)．即销售第15天时，国内、外市场的日销售总量最早达到75 t ；(3)当0≤t＜20时，y ＝－15t 2＋8t ＝－ 15(t －20)2＋80.此时，y 随t 的增大而增大．∵t 为整数， ∴当t ＝19时，y 最大，为79.8 t ．当20≤t≤30时，y ＝－15t 2＋2t ＋120＝－15(t －5)2＋125.∵当t ＞75时，y 随t 的增大而减小，∴当t ＝20时，y 的最大，为80 t.综上所述，上市后第20天国内、国外市场日销售总量y 值最大，最大值为80 t.【方法指导】先根据题意列函数关系式，建立二次函数模型，再解决实际问题．二次函数图像综合问题【例2】(2019河北中考)如图，抛物线L ：y ＝－12(x －t)(x －t ＋4)(常数t ＞0)与x 轴从左到右的交点为B ，A ，过线段OA 的中点M 作MP⊥x 轴，交双曲线y ＝kx(k ＞0，x ＞0)于点P ，且OA·MP＝12.(1)求k 值；(2)当t ＝1时，求AB 的长，并求直线MP 与L 对称轴之间的距离；(3)把L 在直线MP 左侧部分的图像(含与直线MP 的交点)记为G ，用t 表示图像G 最高点的坐标； (4)设L 与双曲线有个交点的横坐标为x 0，且满足4≤x 0≤6，通过L 位置随t 变化的过程，直接写出t 的取值范围．【解析】(1)设点P(x ，y)，只要求出xy 即可解决问题；(2)先求出A ，B 两点的坐标，再求出对称轴以及点M 坐标即可解决问题；(3)根据对称轴的位置即可判断，当对称轴在直线MP 左侧，L 的顶点就是最高点，当对称轴在MP 右侧，L 与MP 的交点就是最高点；(4)画出图形求出C ，D 两点的纵坐标，利用方程即可解决问题．【答案】解：(1)设点P(x ，y)，则MP ＝y ，OM ＝x.OA ＝2x.∵OA·MP＝12， M 是OA 的中点，∴2x ·y ＝12，即xy ＝6； ∴k ＝xy ＝6.(2)当t ＝1时，令y ＝0，即0＝－12(x －1)(x ＋3)，解得x ＝1或－3. ∵点B 在点A 左边，∴B(－3，0)，A(1，0)． ∴AB ＝4，∴L 的对称轴是直线x ＝－1，M 的坐标为(12，0)，∵12－(－1)＝32， ∴MP 与L 对称轴之间的距离为32；(3)∵A(t，0)，B(t －4，0)， ∴L 的对称轴为直线x ＝t －2.又∵M ⎝ ⎛⎭⎪⎫t 2，0， 当t －2≤t2，即t≤4时，顶点(t －2，2)就是G 的最高点；当t ＞4时，L 与MP 的交点为最高点．联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－12（x －t ）（x －t ＋4），x ＝t 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t 2，y ＝－t28＋t.即此时的最高点为⎝ ⎛⎭⎪⎫t 2，－t 28＋t ；(4)5≤t≤8－2或7≤t≤8＋ 2.2．(2019天水中考)如图所示，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y ＝ax 2－2ax －3a(a ＜0)与x 轴交于A ，B 两点(点A 在点B 的左侧)，经过点A 的直线l ：y ＝kx ＋b 与y 轴负半轴交于点C ，与抛物线的另一个交点为D ，且CD ＝4AC.(1)求A ，B 两点的坐标及抛物线的对称轴；(2)求直线l 的函数表达式；(其中k ，b 用含a 的式子表示)(3)点E 是直线l 上方的抛物线上的动点，若△ACE 的面积的最大值为54，求a 的值；(4)设P 是抛物线对称轴上的一点，点Q 在抛物线上，以点A ，D ，P ，Q 为顶点的四边形能否成为矩形？若能，求出点P 的坐标；若不能，请说明理由．解：(1)当y ＝0时，ax 2－2ax －3a ＝0，解得：x 1＝－1，x 2＝3，∴A(－1，0)，B(3，0)，对称轴为直线x ＝－1＋32＝1；(2)∵直线l ：y ＝kx ＋b 过A(－1，0)，∴0＝－k ＋b ，即k ＝b ，∴直线l ：y ＝kx ＋k. ∵CD ＝4AC ，点A 的横坐标为－1，∴点D 的横坐标为4，代入抛物线得y ＝5a ， ∴将(4，5a)代入y ＝kx ＋k 得k ＝a ， ∴直线l 的函数表达式为y ＝ax ＋a ；(3)如图①，过E 作EF∥y 轴交直线l 于F ，设E(x ，ax 2－2ax －3a)，则F(x ，a x ＋a)，EF ＝ax 2－2ax －3a －ax －a ＝ax 2－3ax －4a ，∴S △ACE ＝S △AFE －S △CEF ＝12(ax 2－3ax －4a)(x ＋1)－12(ax 2－3ax －4a)x ＝12(ax 2－3ax －4a)＝12a(x －32)2－258a ，∴△ACE 的面积的最大值为－258a.∵△ACE 的面积的最大值为54，∴－258a ＝54，解得a ＝－25； (4)以点A ，D ，P ，Q 为顶点的四边形能成为矩形．由(2)知，D(4，5a)．∵抛物线的对称轴为直线x ＝1，∴设P(1，m)．①如图②，连接AP.若AD 是矩形ADPQ 的一条边，由中点公式可得12(x A ＋x P )＝12(x D ＋x Q )，解得x Q ＝－4，将x ＝－4代入y ＝ax 2－2ax －3a 得y ＝21a ，∴Q(－4，21a)，m ＝21a ＋5a ＝26a ，则P(1，26a)．∵四边形ADPQ 是矩形，∴∠ADP ＝90°，∴AD 2＋PD 2＝AP 2， ∴52＋(5a)2＋32＋(26a －5a)2＝(－1－1)2＋(26a)2，解得a 1＝77(不合题意，舍去)，a 2＝－77.∴P(1，－2677)；②如图③，若AD 是矩形APDQ 的对角线，由中点公式得12(x A ＋x D )＝12(x Q ＋x P )，解得：x Q ＝2，将x Q ＝2代入y ＝ax 2－2ax －3a 得y ＝－3a ，∴Q(2，－3a)，m ＝5a －(－3a)＝8a ，则P(1，8a)．∵四边形APDQ 是矩形，∴∠APD ＝90°，∴AP2＋PD 2＝AD 2，∴(－1－1)2＋(8a)2＋(1－4)2＋(8a －5a)2＝52＋(5a)2，解得a 1＝12(不合题意，舍去)，a 2＝－12. ∴P(1，－4)．综上所述，以点A ，D ，P ，Q 为顶点的四边形能成为矩形，点P 的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫1，－2677或(1，－4)．2019-2020学年数学中考模拟试卷一、选择题1．如图，BD，CE分别是△ABC的高线和角平分线，且相交于点O．若AB＝AC，∠A＝40°，则∠BOE的度数是（）A.60°B.55°C.50°D.40°2．在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝9，点E为线段AD上一点，且DE＝2AE，点G是线段AB上的动点，EF ⊥EG交BC所在直线于点F，连接GF．则GF的最小值是（）A.3B.63．△ABC中，∠A，∠B都是锐角，且sinA，cosB＝12，则△ABC的形状是（）A.直角三角形B.钝角三角形C.锐角三角形D.锐角三角形或钝角三角形4．如图，在等腰直角三角形ABC中，AB＝AC＝2，∠BAC＝90°，点D是AC的中点，点P是BC边上的动点，连接PA、PD．则PA+PD的最小值为（）1 B.2D.35．下列命题是真命题的是（）A．一元二次方程一定有两个实数根B．对于反比例函数y＝2x，y随x的增大而减小C．有一个角是直角的四边形是矩形D．对角线互相平分的四边形是平行四边形6．已知抛物线y ＝3x 2+1与直线y ＝4cos α•x 只有一个交点，则锐角α等于（ ） A ．60°B ．45°C ．30°D ．15°7．已知几个相同的小正方体所搭成的几何体的俯视图及左视图如图所示，则构成该几何体的小正方体个数最多是（ ）A ．5个B ．7个C ．8个D ．9个8．如图，证明矩形的对角线相等知：四边形ABCD 是矩形，求证：AC BD =，以下是排乱的证明过程：①AB CD ∴=，ABC DCB ∠=∠.②BC CB =，③四边形ABCD 是矩形.④AC DB ∴=.⑤ABC ∴≌DCB .证明步骤正确的顺序是（ ）A.③①②⑤④B.②①③⑤④C.②⑤③①④D.③⑤②①④9．如图,AB ∥DC,ED ∥BC,AE ∥BD,那么图中与△ABD 面积相等的三角形有（ ）A.1个B.2个C.3个D.4个10．下面的图案中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ．11．如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝10，AC ＝6，D 、E 、F 分别是△ABC 三边的中点，则△DEF 的周长为（ ）A ．24B ．16C ．14D ．1212．对于反比例函数6y x=-，当10x -<…时，y 的取值范围是（ ） A ．6y …B ．60y -≤<C ．06y <…D ．6y <-二、填空题13．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，∠A ＝60°，AB ＝4，△BCD 为等边三角形，点E 为△BCD 围成的区域（包括各边）内的一点，过点E 作EM ∥AB ，交直线AC 于点M ，作EN ∥AC ，交直线AB 于点N ，则12AN+AM 的最大值为_____．14．从﹣4、﹣3、﹣1、﹣12、0、1这6个数中随机抽取一个数a ，则关于x 的分式方程2ax x -+2322x x x =--的解为整数，且二次函数y ＝ax 2+3x ﹣1的图象顶点在第一象限的概率是____．15在实数范围内有意义，则 x 的取值范围是_______ ． 16．因式分解：3218x x -=______________．17．当a ，b 互为相反数，则代数式a 2+ab ﹣2的值为_____．18．如图，在矩形ABCD 中，过点B 作对角线AC 的垂线，交AD 于点E ，若AB ＝2，BC ＝4，则AE ＝_____．三、解答题19．一张圆形纸片如图，请你至少设计出两种方法找出它的圆心（不必写作法，但要有作图痕迹）．20．在△ABC 中，CA ＝CB ，点D 、E 分别是边AC 、AB 的中点，连接DE ，（1）如图①，当∠CAB ＝60°时，△DAE 绕点A 逆时针旋转得到△D 1AE 1，连接CD 1、BE 1，△DAE 在旋转过程中请猜想：11CD BE （直接写出答案）； （2）如图②，当∠CAB ＝45°时，△DAE 绕点A 逆时针旋转得到△D 2AE 2，连接CD 2、BE 2，△DAE 在旋转过程中请猜想：22CD BE 的比值，并证明你的猜想； （3）如图③，当∠CAB ＝α（0＜α＜90°）时，△DAE 绕点A 逆时针旋转得到△D 3AE 3，连接CD 3、BE 3，请直接写出△DAE 在旋转过程中33CD BE （用含α的代数式表示）21．某体育用品商店用4000元购进一批足球，全部售完后，又用3600元再次购进同样的足球，但这次每个足球的进价是第一次进价的1.2倍，且数量比第一次少了10个． （1）求第一次每个足球的进价是多少元？（2）若第二次进货后按150元/个的价格销售，当售出10个后，根据市场情况，商店决定对剩余的足球全部按同一标准一次性打折售完，但要求这次的利润不少于450元，问该商店最低可打几折销售？ 22．某医药研究所开发一种新的药物，据监测，如果成年人按规定的剂量服用，服药后2小时，每毫升血液中的含药量达到最大值，之后每毫升血液中的含药量逐渐衰减．若一次服药后每毫升血液中的含药量y （单位：微克）与服药后的时间t （单位：小时）之间近似满足某种函数关系，下表是y 与t 的几组对应值，其部分图象如图所示．（1）在所给平面直角坐标系中，继续描出上表中已列出数值所对应的点（t ，y ），并补全该函数的图象；（2）结合函数图象，解决下列问题：①某病人第一次服药后5小时，每毫升血液中的含药量约为_______微克；若每毫升血液中含药量不少于0.5微克时治疗疾病有效，则第一次服药后治疗该疾病有效的时间共持续约_______小时； ②若某病人第一次服药后8小时进行第二次服药，第二次服药对血液中含药量的影响与第一次服药相同，则第二次服药后2小时，每毫升血液中的含药量约为_______微克．23．2019年1月有300名教师参加了“新技术支持未来教育”培训活动，会议就“面向未来的教育”和“家庭教育”这两个问题随机调查了60位教师，并对数据进行了整理、描述和分析．下面给出了部分信息：a ．关于“家庭教育”问题发言次数的频数分布直方图如下（数据分成6组：0≤x＜4，4≤x＜8，8≤x ＜12，12≤x＜16，16≤x＜20，20≤x≤24）：b ．关于“家庭教育”问题发言次数在8≤x＜12这一组的是：8 8 9 9 9 10 10 10 10 10 10 11 11 11 11c ．“面向未来的教育”和“家庭教育”这两问题发言次数的平均数、众数、中位数如下：根据以上信息，回答下列问题： （1）表中m 的值为______；（2）在此次采访中，参会教师更感兴趣的问题是______（填“面向未来的教育”或“家庭教育”），理由是______；（3）假设所有参会教师都接受调查，估计在“家庭教育”这个问题上发言次数超过8次的参会教师有______位．24．（1）解不等式组：4(1)710853x x x x ++⎧⎪-⎨-<⎪⎩…（2）化简：22242442x x xx x x x --+÷-+-25．乒乓球是我国的国球，比赛采用单局11分制，是一种世界流行的球类体育项目，比赛分团体、单打、双打等数种在某站公开赛中，某直播平台同时直播4场男单四分之一比赛，四场比赛的球桌号分别为“T 1”、“T 2”、“T 3”、“T 4”（假设4场比赛同时开始），小宁和父亲准备一同观看其中的某一场比赛，但两人的意见不统一，于是采用抽签的方式决定，抽签规则如下：将正面分别写有数字“1、“2”、“3”、“4”的四张卡片（除数字不同外，其余均相同，数字“1”、“2”、“3”、“4”分别对应球桌号（“T1”、“T2”、“T3”、“T4”（背面朝上洗匀，父亲先从中随机抽取一张，小宁再从剩下的3张卡片中随机抽取一张，比较两人所抽卡片上的数字，观看较大的数字对应球桌的比赛（1）下列事件中属于必然事件的是A．抽到的是小宁最终想要看的一场比赛的球桌号B．抽到的是父亲最终想要看的一场比赛的球桌号C．小宁和父亲抽到同一个球桌号D．小宁和父亲抽到的球桌号不一样（2）用列表法或树状图法求小宁和父亲最终观看“T4”球桌比赛的概率【参考答案】***一、选择题二、填空题13．514．16.15．x≥316．2x（x-3）（x+3）17．﹣2．18．1三、解答题19．见解析【解析】【分析】方法一：作两个顶点在圆上的直角，连接两个直角与圆的交点，两条连线的交点即是所求的圆心.方法二：作弦AB，BC，再作出线段AB，BC的垂直平分线相交于点O，则O点即为所求．【详解】方法一：利用直角作出圆的两条直角AB，CD，AB与CD的交点O即为圆心．方法二：在圆上取A，B，C三点，作线段AB，BC的垂直平分线，两条垂直平分线的交点O即为圆心．【点睛】本题考查的是作图-应用与设计作图，熟知垂径定理和圆周角定理是解答此题的关键．90°的圆周角所对的弦是直径；弦的垂直平分线经过圆心.20．（1）1；（2）222CD BE =，见解析；（3）33CD BE 的比值是定值，3312cos CD BE α=. 【解析】 【分析】（1）如图①中，利用等边三角形的性质证明△D 1AC ≌△E 1AB （SAS ）即可．（2）结论：222CD BE =，证明△AD 2C ∽△AE 2B 即可解决问题． （3）结论：33CD BE 的比值是定值，3312cos CD BE α=．证明方法类似（2）．【详解】 （1）如图①中，∵CA ＝CB ，∠CAB ＝60°， ∴△ACB 是等边三角形， ∵AD ＝DC ，AE ＝EB ，∴△AED ，△AD 1E 1都是等边三角形，∴AD 1＝AE 1，∠D 1AE 1＝∠CAB ＝60°，AC ＝AB ， ∴∠D 1AC ＝∠E 1AB ， ∴△D 1AC ≌△E 1AB （SAS ），∴11CD BE ＝1， 故答案为1． （2）结论：22CD BE理由：如图②中，连接CE ．∵CA ＝CB ，点D ，E 是边AB ，AC 的中点， ∴CE ⊥AB ，AB ＝2AE ＝2AE 2，AC ＝2AD ＝2AD 2， ∴∠AEC ＝90°， 在Rt △AEC 中，∵∠AEC ＝90°，∠CAB ＝45°， ∴AE ＝AC•cos∠CABAC ， ∴AB ＝2AEACAC ，∴AC AB =， ∵∠D 2A E 2＝∠CAB ，∠D 2AC ＝∠D 2A E 2﹣∠CAE 2，∠E 2AB ＝∠CAB ﹣∠CAE 2， ∴∠D 2AC ＝∠E 2AB ， 又∵222222AD AD AC AB AE AE ==， ∴△AD 2C ∽△AE 2B ，∴22CD AC BE AB ==． （3）结论：33CD BE 的比值是定值，33CD BE ＝12cos α．理由：如图③中，连接EC ．∵CA ＝CB ，AE ＝EB ，∴1122cos2cosCA ACAB AE CAEα===∠，同法可证：△AD3C∽△AE3B，∴331 2cosCD ACBE ABα==，【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了等腰三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质全等三角形的判定和性质，锐角三角函数等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形或相似三角形解决问题，属于中考压轴题．21．(1)100元;(2) 7.5折【解析】【分析】（1）设第一次每个足球的进价是x元，则第二次每个足球的进价是1.2x元，根据数量关系：第一次购进足球的数量﹣10个＝第二次购进足球的数量，可得分式方程，然后求解即可；（2）设商店对剩余的足球按同一标准一次性打a折销售时，可使利润不少于450元．先根据（1）中求得的数得到第二次购进足球的数量和价格，再根据数量关系：第一次销售完10个获得的利润+第二次打折销售完足球获得的利润≥450元，列出不等式，然后求解即可得出答案．【详解】（1）设第一次每个足球的进价是x元，则第二次每个足球的进价是1.2x元，根据题意得，400036001.2x x-＝10，解得：x＝100，经检验：x＝100是原方程的根，答：第一次每个足球的进价是100元；（2）设该商店最低可打a折销售，根据题意得，150×10+（36001.2100⨯﹣10）×150×10a﹣3600≥450，解得：a＝7.5答：该商店最低可打7.5折销售．【点睛】本题考查分式方程及一元一次不等式的应用，关键是理解题意，第一问以数量作为等量关系列方程求解，第二问以利润作为不等量关系列不等式求解．22．（1）详见解析；（2）①1.4,8；②4.25.【解析】（1）根据数据先描点，再连成光滑的曲线即可；（2）①根据曲线图和表格数据即可得到答案；②根据表格数据中服药2小时后和10小时后的数据相减，即可得出答案.【详解】（1）根据数据先描点，再连成光滑的曲线，图像如图所示（2）①根据曲线图可以大致估算出某病人第一次服药后5小时，每毫升血液中的含药量约为是1.4微克，根据表格数据数据可知持续约为8小时；②因为第一次服药2小时后，每毫升血液中的含药量4微克，10小时后每毫升血液中的含药量0.25微克，则第二次服药后2小时，每毫升血液中的含药量约为4+0.25=4.25.【点睛】本题考查表格数据和折线图，解题的关键是读懂题中所包含的数据.23．（1）11；（2）家庭教育问题，理由见解析；（3）210位.【解析】【分析】（1）根据频数（率）分布直方图中数据即可得到结论；（2）根据表中数据即可得到结论；（3）所有参会教师人数×在“家庭教育”这个问题上发言次数超过8次的参会教师占在“家庭教育”这个问题上发言的参会教师的人数即可得到结论．【详解】解：（1）根据题意可知关于“家庭教育”问题发言次数的中位数落在8≤x＜12这一组，∴m=11，故答案为：11；（2）在此次采访中，参会教师更感兴趣的问题是家庭教育问题，理由：“家庭教育”的平均数、众数、中位数都高于“面向未来的教育”的平均数、众数、中位数；故答案为：家庭教育，家庭教育”的平均数、众数、中位数都高于“面向未来的教育”的平均数、众数、中位数；（3）300×4260=210位， 答：发言次数超过8次的参会教师有210位． 【点睛】本题考查了频数（率）分布直方图，正确的理解题意是解题的关键． 24．（1）﹣2≤x＜72；（2）22xx - 【解析】 【分析】（1）根据解不等式组的方法可以解答本题； （2）根据分式的除法和加法可以解答本题． 【详解】解：（1）4(1)710853x x x x ++⎧⎪⎨--<⎪⎩①②…， 由不等式①，得 x≥﹣2， 由不等式②，得 x ＜，故原不等式组的解集是﹣2≤x＜72； (2) 22242442x x xx x x x --+÷-+-2(2)(2)(2)1(2)2x x x x x x x+--=+⋅-- 212x x +=+- 222x x x ++-=-22xx =- 【点睛】本题考查分式的混合运算、解一元一次不等式组，解答本题的关键是明确它们各自的解答方法． 25．（1）D;（2）13【解析】 【分析】（1）根据随机随机和必然事件的定义进行判断；（2）画树状图展示所有12种等可能的结果数，找出小宁和父亲最终观看“T4”球桌比赛的结果数，然后根据概率公式求解．【详解】（1）因为父亲先从中随机抽取一张，小宁再从剩下的3张卡片中随机抽取一张，所以小宁和父亲抽到的球桌号不一样，它为必然事件．故选D；（2）画树状图为：共有12种等可能的结果数，其中小宁和父亲最终观看“T4”球桌比赛的结果数为4，所以小宁和父亲最终观看“T4”球桌比赛的概率41 123 ==．【点睛】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率．2019-2020学年数学中考模拟试卷一、选择题1．已知关于x的不等式组314(1)x xx m--⎧⎨⎩无解，则m的取值范围是（）A．m≤3B．m＞3 C．m＜3 D．m≥32．一副学生用的三角板如图放置，则∠AOD的度数为（）A.75°B.100°C.105°D.120°3．3月30日，我区航空经济产业功能区2019年一季度重大项目集中开工仪式在电子科大产业园四期项目用地举行．参加此次集中开工仪式项目共计71个，总投资超过249亿元，未来随着这一波又一波项目的建成投产，必将为双流航空经济插上腾飞之翼，助力双流打造中国航空经济之都．用科学记数法表示249亿元为（）A．249×108元B．24.9×109元C．2.49×1010元D．0.249×1011元4．如图，嘉淇一家驾车从A地出发，沿着北偏东30°的方向行驶30公里到达B地游玩，之后打算去距离A地正东30公里处的C地，则他们行驶的方向是（）A．南偏东60°B．南偏东30°C．南偏西60°D．南偏西30°5．如图，已知直线MN：y＝kx+2交x轴负半轴于点A，交y轴于点B，∠BAO＝30°，点C是x轴上的一点，且OC＝2，则∠MBC的度数为（）A ．75°B ．165°C ．75°或45°D ．75°或165°6．如图，这是健健同学的小测试卷，他应该得到的分数是（ ）A ．40B ．60C ．80D ．1007．如图，点A （m ，1），B （2，n ）在双曲线ky x=（k≠0），连接OA ，OB ．若S △ABO ＝8，则k 的值是（ ）A ．﹣12B ．﹣8C ．﹣6D ．﹣48．已知抛物线223y x mx m =+-（m 是常数），且无论m 取何值，该抛物线都经过某定点H ，则点H 的坐标为A ．3,12⎛⎫-⎪⎝⎭B ．3,12⎛⎫-- ⎪⎝⎭C ．39,24⎛⎫⎪⎝⎭D ．39,24⎛⎫-⎪⎝⎭9．下列图案，既是轴对称图形又是中心对称图形的有( )A.1个B.2个C.3个D.4个10．在边长为2的正方形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，P 是BD 上一动点，过P 作EF ∥AC ，分别交正方形的两条边于点E ，F ．设BP=x ，△BEF 的面积为y ，则能反映y 与x 之间关系的图象为( )A ．B ．C ．D ．11．一个正多边形，它的每一个外角都等于40°，则该正多边形是（ ） A ．正六边形B ．正七边形C ．正八边形D ．正九边形12．如图，已知等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ＝DC ，AC 与BD 相交于点O ，则下列判断不正确的是（ ）A ．△ABC ≌△DCB B ．△AOD ≌△COBC ．△ABO ≌△DCOD ．△ADB ≌△DAC二、填空题13．某学校组织600名学生分别到野生动物园和植物园开展社会实践活动，到野生动物园的人数比到植物园人数的2倍少30人，若设到植物园的人数为x 人，依题意，可列方程为________________． 14．因式分解：222x x -+=______________。

专题07二元一次方程组【专题目录】技巧1：二元一次方程组的五种特殊解法技巧2：二元一次方程组中六种类型数学思想的应用技巧3：二元一次方程(组)的解的五种常见应用【题型】一、二元一次方程组的有关概念【题型】二、用代入法解二元一次方程组【题型】三、用加减法解二元一次方程组【题型】四、用整体消元法解二元一次方程组【题型】五、同解方程组【题型】六、列二元一次方程组【考纲要求】1、了解二元一次方程的概念，能把二元一次方程化为用一个未知数的代数式表示另一个未知数的形式，能举例说明二元一次方程及其中的已知数和未知数；2、理解二元一次方程组和它的解等概念，会检验一对数值是不是某个二元一次方程组的解。

【考点总结】一、二元一次方程组【注意】1.解二元一次方程组的步骤（1）代入消元法①变：将其一个方程化为y =ax +b 或者为x =ay+b 的形式②代：将y =ax +b 或者为x =ay+b 代入另一个方程③解：解消元后的一元一次方程④求：将求得的未知数值代入y =ax +b 或x =ay+b ，求另一个未知数的值⑤答:写出答案（2）加减消元法①化：将原方程组化成有一个未知数的系数相等(互为相反数)的形式,②加减：将变形后的方程组通过加减消去一个未知数③解：解消元后的一元一次方程方程组的解.加减法解二元一次方程组的一般步骤:a .方程组的两个方程中,如果同一个未知数的系数不互为相反数又不相等,就用适当的数去乘方程的两边,使它们中同一个未知数的系数相等或互为相反数;b .把两个方程的两边分别相减或相加,消去一个未知数,得到一个一元一次方程;c.解这个一元一次方程;d.将求出的未知数的值代入原方程组的任意一个方程中,求出另一个未知数,从而得到方程组的解.常见运用题型解应用题的步骤：①审清题意;②找等量关系;③设未知数;④列方程;⑤解方程;⑥验根;⑦作答.工作(或工程)问题：工作量=工作效率×工作时间利息问题：利息=本金×利率×期数;本息和=本金+利息行程问题：路程=速度×时间;其中,相遇问题:s 甲+s 乙=s 总;追及问题：(同地异时)前者走的路程=追者走的路程;(异地同时)前者走的路程+两地间的距离=追者走的路程利润问题：利润=卖价-进价；利润率=进价利润×100%.数字问题：两位数=10×十位数字+个位数字；三位数=100×百位数字+10×十位数字+个位数字④求：将求得的知数的值代入方程组中任意一个方程求另一个未知数的值2.解二元一次方程组的方法选择（1）当方程组中某一个未知数的系数是1或者-1时，选用代入消元法；（2）当方程组中某一个方程的常数项为0时，选用代入消元法；（3）方程组中同一个知数的数相同或互为相反数时，选用加减消无法（4）当两个方程中同一个未知数的系数成整数倍关系时，选用加减消元法【技巧归纳】技巧1：二元一次方程组的五种特殊解法【类型】一、引入参数法解二元一次方程组1．用代入法解方程组：＋y 6＝0，①x －y ）－4（3y ＋x ）＝85.②【类型】二、特殊消元法解二元一次方程组题型1：方程组中两未知数系数之差的绝对值相等2015x ＋2016y ＝2017，①016x ＋2017y ＝2018.②题型2：方程组中两未知数系数之和的绝对值相等3＋14y ＝40，①＋13y ＝41.②【类型】三、利用换元法解二元一次方程组4y ）＋4（x －y ）＝20，－x －y 2＝0.【类型】四、同解交换法解二元一次方程组5．已知关于x ，y －by ＝4，－y ＝5＋by ＝16，－7y ＝1的解相同，求(a －b)2018的值．【类型】五、运用主元法解二元一次方程组6－3y －3z ＝0，－3y －z ＝0(x ，y ，z 均不为0)，求xy ＋2yz x 2＋y 2－z 2的值．技巧2：二元一次方程组中六种类型数学思想的应用【类型】一、整体思想1．先阅读，然后解方程组．－y－1＝0，①（x－y）－y＝5②时，由①，得x－y＝1，③然后再将③代入②，得4×1－y＝5，解得y＝－1，从而进一步求得x＝0.＝0，＝－1.这种方法被称为“整体代入法”．请用这样的方法解下面的方程组：0，2y＝9.2．若x＋2y＋3z＝10，4x＋3y＋2z＝15，求x＋y＋z的值．【类型】二、化繁为简思想3．阅读下面解方程组的方法，然后解决问题：＋18y＝17，①＋16y＝15②时，我们如果直接考虑消元，会很繁琐，而采用下面的解法则是轻而易举的．解：①－②，得2x＋2y＝2，所以x＋y＝1.③③×16，得16x＋16y＝16，④②－④，得x＝－1，将x＝－1代入③，得y＝2.＝－1，＝2.018x＋2017y＝2016，016x＋2015y＝2014.【类型】三、方程思想4．已知(5x－2y－3)2＋|2x－3y＋1|＝0，求x＋y的值．5．若3x2m＋5n＋9＋4y4m－2n－7＝2是二元一次方程，求(n＋1)m＋2018的值．【类型】四、换元思想6＋x－y3＝6，y）－5（x－y）＝2.【类型】五、数形结合思想7．如图，母亲节那天，很多同学给妈妈准备了鲜花和礼盒，从图中信息可知，买5束鲜花和5个礼盒共需多少元？【类型】六、分类组合思想8－y ＝5，＋by ＝－1＋y ＝9，－4by ＝18有公共解，求a ，b 的值．技巧3：二元一次方程(组)的解的五种常见应用【类型】一、已知方程(组)的解求字母的值1．若关于x ，y－y ＝m ，＋my ＝n＝2，＝1，则|m －n|的值为()A ．1B ．3C ．5D ．22＝2，＝3＝－4，＝2是关于x ，y 的二元一次方程2ax －by ＝2的两组解，求a ，b 的值．【类型】二、已知二元一次方程组与二元一次方程同解求字母的值3．已知关于x ，y＋2y ＝3m ，－y ＝9m 的解也是方程3x ＋2y ＝17的解，求m 的值．【类型】三、已知二元一次方程组的解满足某一关系求字母的值4．已知m ，n 互为相反数，关于x ，y＋ny ＝60，－y ＝8的解也互为相反数，求m ，n 的值．【类型】四、已知两个二元一次方程组共解求字母的值5．关于x ，y＋5y ＝－6，－by ＝－4－5y ＝16，＋ay ＝－8有相同的解，求(2a ＋b)2018的值．【类型】五、已知二元一次方程组的误解求字母的值6＋y ＝5，－by ＝13时，由于粗心，甲看错了方程组中的a＝72，＝－2；乙看错了方程组中的b＝3，＝－7.(1)甲把a 错看成了什么？乙把b 错看成了什么？(2)求出原方程组的正解．【题型讲解】【题型】一、二元一次方程组的有关概念例1、若21a b =⎧⎨=⎩是二元一次方程组3522ax by ax by ⎧+=⎪⎨⎪-=⎩的解，则x ＋2y 的算术平方根为（）A．3B．3，－3CD．【题型】二、用代入法解二元一次方程组例2、二元一次方程组224x yx y+=⎧⎨-=⎩的解是()A．2xy=⎧⎨=⎩B．2xy=⎧⎨=⎩C．31xy=⎧⎨=-⎩D．11xy=⎧⎨=⎩【题型】三、用加减法解二元一次方程组例3、由方程组+=43x my m⎧⎨-=⎩可得出x与y之间的关系是()．A．x＋y＝1B．x＋y＝－1C．x＋y＝7D．x＋y＝－7【题型】四、用整体消元法解二元一次方程组例4、若方程组237351m nm n-=⎧⎨+=⎩的解是21mn=⎧⎨=-⎩，则方程组()()()()2132731521x yx y⎧+--=⎪⎨++-=⎪⎩的解是（）A．11xy=⎧⎨=⎩B．11xy=⎧⎨=-⎩C．31xy=⎧⎨=⎩D．33xy=⎧⎨=-⎩【题型】五、同解方程组例5、已知关于x，y的方程组2342x yax by-=⎧⎨+=⎩，与3564x ybx ay-=⎧⎨+=-⎩，有相同的解，则a，b的值为（）A．21ab=-⎧⎨=⎩B．12ab=⎧⎨=-⎩C．12ab=⎧⎨=⎩D．12ab=-⎧⎨=-⎩【题型】六、列二元一次方程组例6、《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，纸书大约在一千五百年前，其中一道题，原文是：“今三人共车，两车空；二人共车，九人步．问人与车各几何？”意思是：现有若干人和车，若每辆车乘坐3人，则空余两辆车：若每辆车乘坐2人，则有9人步行，问人与车各多少？设有x人，y辆车，可列方程组为（）A．2392x yx y⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩B．2392x yx y⎧=-⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩C．2392x yx y⎧=+⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩D．2392x yx y⎧=-⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩二元一次方程组（达标训练）一、单选题1．（2022·广东·深圳外国语学校模拟预测）“绿水青山就是金山银山”，某地准备购买一些松树和柏树绿化荒山，已知购买2棵松树和3棵柏树需要120元，购买2棵松树比1棵柏树多20元，设每棵松树x 元，每棵柏树y 元，则列出的方程组正确的是（）A ．23120220x y x y +=⎧⎨-=⎩B ．23120220x y x y +=⎧⎨+=⎩C ．23120220x y y x +=⎧⎨-=⎩D ．32120220x y x y +=⎧⎨+=⎩2．（2022·天津河北·一模）方程组282x y x y +=⎧⎨=⎩的解是()A ．21x y =⎧⎨=⎩B ．42x y =⎧⎨=⎩C ．12x y =⎧⎨=⎩D ．24x y =⎧⎨=⎩3．（2022·天津红桥·三模）方程组21230x y y x +=-⎧⎨+=⎩的解是（）．A ．11x y =-⎧⎨=⎩B ．12x y =-⎧⎨=-⎩C ．23x y =-⎧⎨=⎩D ．23x y =⎧⎨=-⎩4．（2022·上海杨浦·二模）下列方程中，二元一次方程的是（）A ．1xy =B ．210x -=C ．1x y -=D ．11x y+=5．（2022·山东威海·一模）已知关于x ，y 的二元一次方程组231ax by ax by +=⎧⎨-=⎩的解为11x y =⎧⎨=-⎩，则2a b -的值是（）A ．2-B ．2C ．3D ．3-二、填空题6．（2022·湖南娄底·二模）我国明代数学读本《算法统宗》一书中有这样道题：一支竿子一条索，索比竿子长一托，对折索子来量竿，却比竿子短一托．如果一托为5尺，那么索长与竿子长之和为______尺．7．（2022·江苏无锡·二模）已知方程组26221x y x y +=⎧⎨+=⎩，则x y +的值为______．三、解答题8．（2022·广东·广州市第一二三中学模拟预测）阅读材料：善于思考的小军在解方程组()1045x y x y y --=⎧⎪⎨--=⎪⎩①②时，采用了一种“整体代入”的解法：解：由①得x ﹣y ＝1③将③代入②得：4×1﹣y ＝5，即y ＝﹣1把y ＝﹣1代入③得x ＝0，∴方程组的解为01x y =⎧⎨=-⎩请你模仿小军的“整体代入”法解方程组，解方程232235297x y x y y -=⎧⎪-+⎨+=⎪⎩．二元一次方程组（提升测评）一、单选题1．（2022·广东·江门市新会东方红中学模拟预测）若最简二次根式3aa 、b 的值分别是（）A ．2和1B ．1和2C ．2和2D ．1和12．（2022·福建·平潭翰英中学一模）已知12x y =⎧⎨=⎩是二元一次方程组m −n =8m +n =1的解，则43m n +的立方根为（）A ．±1BC ．±D ．1-3．（2022··二模）我们知道二元一次方程组233345x y x y -=⎧⎨-=⎩的解是31x y =⎧⎨=⎩．现给出另一个二元一次方程组2(21)3(31)33(21)4(31)5x y x y +--=⎧⎨+--=⎩，它的解是（）A ．123x y =-⎧⎪⎨=⎪⎩B ．123x y =-⎧⎪⎨=-⎪⎩C ．123x y =⎧⎪⎨=⎪⎩D ．123x y =⎧⎪⎨=-⎪⎩4．（2022·福建宁德·二模）《九章算术》是人类科学史上应用数学的“算经之首”，书中记载：今有二人共车九人步；三人共车，二车空．问：人与车各几何？译文：若每辆车都坐2人，则9需要步行：若每辆车都坐3人，则两辆车是空的，问：车与人各多少？设有x 辆车，y 人，根据题意，列方程组是（）A ．2932y x y x =+⎧⎨=-⎩B ．293(2)y x y x =+⎧⎨=-⎩C ．2932y x y x =-⎧⎨=-⎩D ．()2932y x y x =-⎧⎨=-⎩5．（2022·广东·揭阳市实验中学模拟预测）如果关于x ，y 的方程组436626x y x my -=⎧⎨+=⎩的解是整数，那么整数m 的值为（）A ．4，4-，5-，13B ．4，4-，5-，13-C ．4，4-，5，13D ．4-，5，5-，13二、填空题6．（2022·江苏南通·二模）我国古代数学名著《孙子算经》中记载了一道题，原文：今有人盗库绢，不知所失几何．但闻草中分绢，人得六匹，盈六匹；人得七匹，不足七匹．问人、绢各几何？注释：（娟）纺织品的统称；（人得）每人分得；（匹）量词，用于纺织品等，（盈）：剩下．若设贼有x 人，库绢有y 匹，则可列方程组为______．三、解答题7．（2022·广东·华南师大附中三模）解下列方程组：(1)1223334m n m n ⎧+=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩；(2)6234()5()2x y x y x y x y +-⎧+=⎪⎨⎪+--=⎩；(3)0.10.3 1.3123x y x y +=⎧⎪⎨-=⎪⎩；(4)23433x y x y ⎧=⎪⎨⎪-=⎩．8．（2022·浙江温州·二模）为促进学生体育活动，学校计划采购一批球类器材，当每班购进5个排球和6个篮球时花费360元；购进10个排球和2个篮球时花费270元．(1)求排球和篮球的单价．(2)为扩充器材室储备，现还需购买120个排球和篮球，其中排球的数量不少于篮球数量的23，如何购买总费用最少．(3)经调查，为满足不同学生的需要，学校准备新增购进进价为每个60元的足球，篮球和排球的仍按需购进，进价不变，排球是篮球的4倍，共花费9000元，则学校至少可以购进多少个球类器材？。

第6课时 函数建模31．(2015·石家庄模拟)将如图所示的长方体石块(a ＞b ＞c)放入一圆柱形水槽内，并向水槽内匀速注水，速度为v cm 3/s ，直至注满水槽为止．石块可以用三种不同的方式完全放入水槽内，如图1至图3所示，在这三种情况下，水桶内的水深h cm 与注水时间t s 的函数关系如图4至图6所示，根据图像完成下列问题：(1)请分别将三种放置方式的示意图和与之相对应的函数关系图像用线连接起来； (2)求图5中直线CD 的函数关系式； (3)求圆柱形水槽的底面积S.解：(1)图1与图4相对应，图2与图6相对应，图3与图5相对应，连线略． (2)由题意可知C 点的坐标为(45，9)，D 点的坐标为(53，10)， 设直线CD 的函数关系式为h ＝kt ＋b ，∴⎩⎪⎨⎪⎧9＝45k ＋b ，10＝53k ＋b.解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝18，b ＝278.∴直线CD 的函数关系式为h ＝18t ＋278.(3)由图4、5和6可知水槽的高为10 cm ；由图2和图6可知石块的长a ＝10 cm ；由图3和图5可知石块的宽b ＝9cm ；由图1和图4可知石块的高c ＝6 cm .∴石块的体积为abc ＝540 cm 3，根据图4和图6可得⎩⎪⎨⎪⎧53v ＝10S －540，21v ＝6S －540，解得⎩⎪⎨⎪⎧v ＝20，S ＝160.∴S ＝160 cm 2.2．(2015·邯郸模拟)某公司经销农产品业务，以3万元/吨的价格向农户收购农产品后，以甲、乙两种方式进行销售，甲方式包装后直接销售；乙方式深加工后再销售．甲方式农产品的包装成本为1万元/吨，根据市场调查，每吨平均销售价格y(单位：万元)与销售量m(单位：吨)之间的函数关系为y ＝－m ＋14(2≤m≤8)；乙方式农产品深加工等(不含进价)总费用S(单位：万元)与销售量n(单位：吨)之间的函数关系是S ＝3n ＋12，平均销售价格为9万元/吨．参考公式：抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c(a≠0)的顶点坐标是(－b 2a ，4ac －b24a)．(1)该公司收购了20吨农产品，其中甲方式销售农产品x 吨，其余农产品用乙方式销售，经销这20吨农产品所获得的毛利润为w 万元(毛利润＝销售总收入－经营总成本)． ①直接写出：甲方式购买和包装x 吨农产品所需资金为4x 万元；乙方式购买和加工其余农产品所需资金为(132－6x)万元； ②求出w 关于x 的函数关系式；③若农产品全部销售该公司共获得了48万元毛利润，求x 的值； ④若农产品全部售出，该公司的最小利润是多少．(2)该公司现有流动资金132万元，若将现有流动资金全部用于经销农产品， ①其中甲方式经销农产品x 吨，则总经销量p 为(13x ＋20)吨(用含x 的代数式表示)；②当x 为何值时，使公司获得最大毛利润，并求出最大毛利润．解：(1)②w＝x(－x ＋14)＋9(20－x)－3×20－x －[12＋3(20－x)]＝－x 2＋7x ＋48.③令－x 2＋7x ＋48＝48，解得x 1＝7，x 2＝0(舍去)，∴x ＝7. ④由w ＝－x 2＋7x ＋48＝－(x －72)2＋6014.对称轴为直线x ＝72，∵2≤x ≤8，∴当x ＝8时，w 最小值＝40.(2) w ＝－x 2＋7x ＋3p －12.把p ＝13x ＋20代入得，w ＝－(x －4)2＋64，当以方式甲销售4吨时，公司能获得最大毛利润64万元．3．(2015·张家口模拟)王老师想骑摩托车送甲、乙两位同学去会场参加演出，由于摩托车后座只能坐一人，为了节约时间，王老师骑摩托车先带乙出发，同时，甲步行出发．已知甲、乙的步行速度都是5 km /h ，摩托车的速度是45 km /h . 预设方案(1)方案1：王老师将乙送到会场后，回去接甲，再将甲送到会场，图1中折线AB －BC －CD 和折线AC －CD 分别表示王老师、甲在上述过程中，离会场的距离y(km )与王老师所用时间x(h )之间的函数关系． ①学校与会场的距离为15km ；②求出点C 的坐标，并说明它的实际意义；(2)方案2：王老师骑摩托车行驶a(h)后，将乙放下，让乙步行去会场，同时王老师回去接甲并将甲送到会场，图2中折线AB －BC －CD 、折线AC －CD 和折线AB －BE 分别表示王老师、甲、乙在上述过程中，离会场的距离y (km)与王老师所用时间x (h)之间的函数关系．求a 的值；(3)你能否设计一个方案，使甲、乙两位同学在最短时间内都赶到会场，请你直接写出这个最短时间，并在图3中画出这个设计方案的大致图像．(不需要写出具体的方案设计)图3解：(1)方法一：设王老师把乙送到会场后，再经过m h 与甲相遇． (45＋5)m ＝15－5×13.解得m ＝415.13＋415＝35(h)，15－5×35＝12(km)，即C (35，12)． 点C 的实际意义为王老师在出发35h 后，在距离会场12 km 处接甲．方法二：BC 对应的函数关系式为y ＝45x －15. AC 对应的函数关系式为y ＝－5x ＋15.BC 与AC 的交点C 的坐标为(35，12)．点C 的实际意义为王老师在出发35h 后，在距离会场12 km 处接到甲．(2)方法一：设王老师把乙放下后，再经过n h 与甲相遇．(45＋5)n ＝45a －5a .解得n ＝45a .由于王老师骑摩托车一共行驶56 h ，可得方程15－5(a ＋45a )＝45×[56－(a ＋45a )]．解得a ＝516.方法二：根据题意，得B (a ，15－45a )，C (95a ，15－9a )．∴CD 对应的函数关系式为y ＝－45x ＋72a ＋15.将(56，0)代入，解得a ＝516.(3)79h ．图像如图3所示． 4．(2016·保定模拟)有甲、乙两个探测气球同时出发且匀速上升，甲气球从海拔5 m 处出发，上升速度为1 m /min ，乙气球从海拔15 m 处出发，上升速度为0.5 m /min .设气球上升时间为x min ，气球的海拔高度为y m . (1)分别写出甲气球的海拔高度y 甲、乙气球的海拔高度y 乙与x 的函数关系式(不必写出x 的取值范围)； (2)气球上升多少分钟时，两个气球位于同一高度？(3)气球上升多少分钟时，两个气球所在位置的海拔高度相差5 m?(4)若甲气球由于燃料消耗过快，上升40 min 后，减速为0.3 m /min 继续匀速上升，乙气球速度保持不变，设两个气球的海拔高度差为h ，请确定当40≤x≤80时，h 最多为多少米？解：(1)y 甲＝x ＋5，y 乙＝0.5x ＋15.(2)当y 甲＝y 乙时，x ＋5＝0.5x ＋15.解得x ＝20. ∴气球上升20 min 时，两个气球位于同一高度．(3)当乙气球在上方时，y 乙－y 甲＝5，即0.5x ＋15－(x ＋5)＝5.解得x ＝10. 当甲气球在上方时，y 甲－y 乙＝5，即x ＋5－(0.5x ＋15)＝5.解得x ＝30. ∴气球上升10 min 或30 min 时，两个气球所在位置的海拔高度相差5 m . (4)设减速后甲气球的高度为y 甲减． 当x ＝40时，y 甲＝x ＋5＝45，∴y 甲减＝0.3(x －40)＋45＝0.3x ＋33(x≥40)．由0.3x ＋33＝0.5x ＋15，解得x ＝90，故出发90 min 两气球再次位于同一高度． ∴40≤x ≤80时，甲气球一直在乙气球的上方．∴h ＝y 甲减－y 乙＝(0.3x ＋33)－(0.5x ＋15)＝－0.2x ＋18. ∵－0.2＜0，∴函数值h 随x 的增大而减少．当x ＝40时，h ＝－0.2x ＋18＝－0.2×40＋18＝10.∴当40≤x≤80时，两气球的海拔高度差h 最多为10 m .5．(2015·邯郸模拟)为了创建全国卫生城市，某社区要清理一个卫生死角内的垃圾，租用甲、乙两车运送．若两车合作，各运12趟才能完成，需支付运费共4 800元；若甲、乙两车单独运完此堆垃圾，则乙车所运趟数是甲车的2倍；已知乙车每趟运费比甲车少200元． (1)分别求出甲、乙两车每趟的运费；(2)若单独租用甲车运完此堆垃圾，需运多少趟；(3)若同时租用甲、乙两车，则甲车运x 趟，乙车运y 趟，才能运完此堆垃圾，其中为x ，y 均为正整数． ①当x ＝10时，y ＝16；当y ＝10时，x ＝13； ②求y 与x 的函数关系式．探究：在(3)的条件下，设总运费为w(元)．①求w 与x 的函数关系式，直接写出w 的最小值；②当x≥10且y≥10时，甲车每趟的运费打7折，乙车每趟的运费打9折，直接写出w 的最小值． 解：(1)设甲、乙两车每趟的运费分别为m 元、n 元，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧m －n ＝200，12（m ＋n ）＝4 800.解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝300，n ＝100. 答：甲、乙两车每趟的运费分别为300元、100元． (2)设单独租用甲车运完此堆垃圾，需运a 趟，由题意得 12(1a ＋12a)＝1，解得a ＝18. 经检验，a ＝18是原方程的解．答：单独租用甲车运完此堆垃圾，需运18趟． (3)②由题意得x 18＋y36＝1，整理，得y ＝36－2x.探究：①w＝300x ＋100y ＝300x ＋100(36－2x)＝100x ＋3 600(0≤x≤18，且x 为正整数)． ∴w 的最小值为3 600元． ②w ＝300×0.7x＋100×0.9y ＝300×0.7x＋100×0.9(36－2x) ＝30x ＋3 240. ∵x ≥10且y≥10，∴10≤x ≤13，且x 为正整数． ∴w 的最小值为3 540元．6．(2016·唐山二模)某乒乓球馆使用发球机进行辅助训练，出球口在桌面中线端点A 处的正上方，假设每次发出的乒乓球的运动路线固定不变，且落在中线上，在乒乓球运行时，设乒乓球与端点A 的水平距离为x(米)，与桌面的高度为y(米)，运行时间为t(秒)，经多次测试后，得到如下部分数据：(1)当t 为何值时，乒乓球达到最大高度？(2)乒乓球落在桌面时，与端点A 的水平距离是多少？(3)乒乓球落在桌面上弹起后，y 与x 满足y ＝a(x －3)2＋k. ①用含a 的代数式表示k ；②球网高度为0.14米，球桌长(1.4×2)米，若球弹起后，恰好有唯一的击球点，可以将球沿直线扣杀到点A ，求a 的值．解：以点A 为原点，桌面中线为x 轴，乒乓球水平运动方向为正方向建立直角坐标系． (1)由表格中数据可知，当t ＝0.4秒时，乒乓球达到最大高度． (2)由表格中数据可判断，y 是x 的二次函数，且顶点为(1，0.45)，∴设y ＝a(x －1)2＋0.45.将(0，0.25)代入，得0.25＝a(0－1)2＋0.45.∴a ＝－0.2.∴y＝－0.2(x －1)2＋0.45.当y ＝0时，－0.2(x －1)2＋0.45＝0， 解得x ＝2.5或x ＝－0.5(舍去)．∴乒乓球落在桌面时，与端点A 的水平距离是2.5米． (3)①由(2)得，乒乓球落在桌面时的坐标为(2.5，0)．将(2.5，0)代入y ＝a(x －3)2＋k ，得0＝a(2.5－3)2＋k ，化简整理，得k ＝－14a.②由题意可知，扣杀路线在直线y ＝110x 上，由①，得y ＝a(x －3)2－14a ，令a(x －3)2－14a ＝110x ，整理，得20ax 2－(120a ＋2)x ＋175a ＝0.当Δ＝(120a ＋2)2－4×20a×175a＝0时，符合题意，解方程，得a 1＝－6＋3510，a 2＝－6－3510.当a ＝－6＋3510时，求得x ＝－352，不合题意，舍去；当a ＝－6－3510时，求得x ＝352，符合题意．∴当a ＝－6－3510时，可以将球沿直线扣杀到点A.。