高中数学4.1坐标系4.1.3球坐标系与柱坐标系知识导航学案苏教版选修

球坐标系概述球坐标系是一种三维坐标系，使用球半径、极角和方位角来描述点在球面上的位置。

相比于直角坐标系，球坐标系更适用于描述球体上的位置和方向，尤其在天文学、地理学和航空航天等领域中得到广泛应用。

本文将介绍球坐标系的定义、转换公式和应用。

定义球坐标系由球心、极轴、极面和方位角组成。

球心是球坐标系的原点，极轴是从球心到球面上的点的连线，极面是与极轴垂直的平面。

球坐标系需要两个角度和一个距离来确定点的位置。

极角（θ）是从极轴与参考平面的交点到点的连线与参考平面的夹角，范围为0到π。

方位角（φ）是从参考方向到点的连线与参考平面的交线所成的角度，范围为0到2π。

球半径（r）则是从球心到点的距离。

转换公式将直角坐标系（x，y，z）转换为球坐标系（r，θ，φ）的公式如下：r = √(x^2 + y^2 + z^2)θ = arccos(z / √(x^2 + y^2 + z^2))φ = arctan(y / x)将球坐标系（r，θ，φ）转换为直角坐标系（x，y，z）的公式如下：x = r * sin(θ) * cos(φ)y = r * sin(θ) * sin(φ)z = r * cos(θ)应用球坐标系在许多领域中具有广泛应用。

天文学中，球坐标系用于描述星体的位置和方向。

通过观测星体的极角和方位角，天文学家可以确定恒星的位置和行星的轨道。

地理学中，球坐标系用于描述地球上的位置和方向。

通过使用经度和纬度来确定地理位置，人们可以准确地定位地点并导航。

航空航天领域中，球坐标系用于导航和控制飞行器。

通过使用航向角和仰角，导航员可以确定飞机的朝向和高度，从而精确地控制飞行器。

此外，球坐标系还在计算机图形学和物理学中得到广泛应用。

在计算机图形学中，球坐标系可用于描述三维物体的位置和旋转。

在物理学中，球坐标系可用于描述电场、磁场和其他物理现象的特征。

结论球坐标系是一种三维坐标系，适用于描述球体上的位置和方向。

通过使用球半径、极角和方位角，可以准确地确定点的位置。

四柱坐标系与球坐标系简介1．柱坐标系图1－4－1如图1－4－1所示，建立空间直角坐标系Oxyz .设P 是空间任意一点．它在Oxy 平面上的射影为Q ，用(ρ，θ)(ρ≥0,0≤θ<2π)表示点Q 在平面Oxy 上的极坐标，这时点P 的位置可用有序数组(ρ，θ，z )(z ∈R )表示．建立了空间的点与有序数组(ρ，θ，z )之间的一种对应关系，把建立上述对应关系的坐标系叫做柱坐标系，有序数组(ρ，θ，z )叫做点P 的柱坐标，记作P (ρ，θ，z )，其中ρ≥0,0≤θ<2π，z ∈R .2．球坐标系图1－4－2建立如图1－4－2所示的空间直角坐标系Oxyz .设P 是空间任意一点，连接OP ，记|OP |＝r ，OP 与Oz 轴正向所夹的角为φ.设P 在Oxy 平面上的射影为Q ，Ox 轴按逆时针方向旋转到OQ 时所转过的最小正角为θ.这样点P 的位置就可以用有序数组(r ，φ，θ)表示．这样，空间的点与(r ，φ，θ)之间建立了一种对应关系．把建立上述对应关系的坐标系叫做球坐标系(或空间极坐标系)．有序数组(r ，φ，θ)叫做点P 的球坐标，记做P (r ，φ，θ)，其中r ≥0,0≤φ≤π，0≤θ＜2π)．3．空间直角坐标与柱坐标的转化空间点P (x ，y ，z )与柱坐标(ρ，θ，z )之间的变换公式为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，z ＝z.4．空间直角坐标与球坐标的关系空间点P (x ，y ，z )与球坐标(r ，φ，θ)之间的变换公式为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r sin φcos θ，y ＝r sin φsin θ，z ＝r cos φ.1．要刻画空间一点的位置，就距离和角的个数来说有什么限制？【提示】 空间点的坐标都是三个数值，其中至少有一个是距离．2．在柱坐标系中，方程ρ＝1表示空间中的什么曲面？在球坐标系中，方程r ＝1分别表示空间中的什么曲面？【提示】 ρ＝1表示以z 轴为中心，以1为半径的圆柱面；球坐标系中，方程r ＝1表示球心在原点的单位球面．3．空间直角坐标系、柱坐标系和球坐标系的联系和区别有哪些？【提示】 (1)柱坐标系和球坐标系都是以空间直角坐标系为背景，柱坐标系中一点在平面xOy 内的坐标是极坐标，竖坐标和空间直角坐标系的竖坐标相同；球坐标系中，则以一点到原点的距离和两个角刻画点的位置．(2)空间直角坐标系、柱坐标系和球坐标系都是空间坐标系，空间点的坐标都是三个数值的有序数组.(2)设点N 的柱坐标为(π，π，π)，求它的直角坐标．【思路探究】 (1)已知直角坐标系中的直角坐标化为柱坐标，利用公式⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，z ＝z ，求出ρ，θ即可．(2)已知柱坐标系中的柱坐标化为直角坐标，利用公式⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，z ＝z ，求出x ，y ，z 即可．【自主解答】 (1)设M 的柱坐标为(ρ，θ，z )，则由⎩⎪⎨⎪⎧ 1＝ρcos θ，1＝ρsin θ，z ＝1，解之得，ρ＝2，θ＝π4.因此，点M 的柱坐标为(2，π4，1)．(2)设N 的直角坐标为(x ，y ，z )，则由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，z ＝z ，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝πcos π，y ＝πsin π，z ＝π，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－π，y ＝0，z ＝π.因此，点N 的直角坐标为(－π，0，π)．1．由直角坐标系中的直角坐标求柱坐标，可以先设出点M 的柱坐标为(ρ，θ，z )，代入变换公式⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，z ＝z ，求ρ；也可以利用ρ2＝x 2＋y 2，求ρ.利用tan θ＝yx，求θ，在求θ的时候特别注意角θ所在的象限，从而确定θ的取值．2．点的柱坐标和直角坐标的竖坐标相同．根据下列点的柱坐标，分别求直角坐标：(1)(2，5π6，3)；(2)(2，π4，5)．【解】 设点的直角坐标为(x ，y ，z )．(1)⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝ρcos θ＝2cos5π6＝－3，y ＝ρsin θ＝2sin 5π6＝1，z ＝3，因此所求点的直角坐标为(－3，1,3)．(2)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ＝2cos π4＝1，y ＝ρsin θ＝2sin π4＝1，z ＝5.故所求点的直角坐标为(1,1,5)．已知点M 的球坐标为(2，4π，4π)，求它的直角坐标．【思路探究】 球坐标――→x ＝r sin φcos θ，y ＝r sin φsin θ，z ＝r cos φ 直角坐标【自主解答】 设点的直角坐标为(x ，y ，z )． 则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2sin 34πcos 34π＝2×22－22＝－1，y ＝2sin 34πsin 34π＝2×22×22＝1，z ＝2cos 34π＝－22＝－ 2.因此点M 的直角坐标为(－1,1，－2)．1．根据球坐标系的意义以及与空间直角坐标系的联系，首先要明确点的球坐标(r ，φ，θ)中角φ，θ的边与数轴Oz ，Ox 的关系，注意各自的限定范围，即0≤φ≤π，0≤θ<2π.2．化点的球坐标(r ，φ，θ)为直角坐标(x ，y ，z )，需要运用公式⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r sin φcos θ，y ＝r sin φsin θ，z ＝r cosφ.转化为三角函数的求值与运算．若例2中“点M 的球坐标改为M (3，56π，53π)”，试求点M 的直角坐标．【解】 设M 的直角坐标为(x ，y ，z )．则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r sin φcos θ＝3sin5π6cos 5π3＝34，y ＝r sin φsin θ＝3sin 5π6sin 5π3＝－334，z ＝r cos φ＝3cos 5π6＝－332.∴点M 的直角坐标为(34，－334，－332)．图1－4－3已知长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，底面正方形ABCD 的边长为1，棱AA 1的长为2，如图1－4－3所示，建立空间直角坐标系Axyz ，Ax 为极轴，求点C 1的直角坐标和球坐标．【思路探究】 先确定C 1的直角坐标，再根据空间直角坐标系与球坐标系的联系，计算球坐标．【自主解答】 点C 1的直角坐标为(1,1，2)．设C 1的球坐标为(r ，φ，θ)，其中r ≥0,0≤φ≤π，0≤θ<2π， 由x ＝r sin φcos θ，y ＝r sin φsin θ，z ＝r cos φ，得r ＝x 2＋y 2＋z 2＝12＋22＋12＝2. 由z ＝r cos φ，∴cos φ＝22，φ＝π4又tan θ＝y x ＝1，∴θ＝π4，从而点C 1的球坐标为(2，π4，π4)1．由直角坐标化为球坐标时，我们可以选设点M 的球坐标为(r ，φ，θ)，再利用变换公式⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r sin φcos θ，y ＝r sin φsin θ，z ＝r cos φ.求出r，θ，φ.2．利用r 2＝x 2＋y 2＋z 2，tan θ＝y x ，cos φ＝z r.特别注意由直角坐标求球坐标时，应首先看明白点所在的象限，准确取值，才能无误．若本例中条件不变，求点C 的柱坐标和球坐标． 【解】 易知C 的直角坐标为(1,1,0)．设点C 的柱坐标为(ρ，θ，0)，球坐标为(r ，φ，θ)，其中0≤φ≤π，0≤θ<2π.(1)由于ρ＝x 2＋y 2＝12＋12＝ 2. 又tan θ＝y x＝1， ∴θ＝π4.因此点C 的柱坐标为(2，π4，0)． (2)由r ＝x 2＋y 2＋z 2＝12＋12＋0＝ 2. ∴cos φ＝z r＝0， ∴φ＝π2.故点C 的球坐标为(2，π2，π4)．已知点P 1的球坐标是P 1(23，3，4)，P 2的柱坐标是P 2(6，6，1)，求|P 1P 2|.【思路探究】 可把两点坐标均化为空间直角坐标，再用空间两点间的距离公式求距离． 【自主解答】 设P 1的直角坐标为P 1(x 1，y 1，z 1)，则⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝23sin π3cos π4＝322，y 1＝23sin π3sin π4＝322，z 1＝23cos π3＝3，∴P 1的直角坐标为(322，322，3)．设P 2的直角坐标为P 2(x 2，y 2，z 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝6cos π6＝322，y 2＝6sin π6＝62，z 2＝1，∴P 2的直角坐标为(322，62，1)．∴|P 1P 2|＝0＋322－622＋3－2＝30－102.柱坐标及球坐标问题可以统一化为直角坐标问题来解决．在球坐标系中，求两点P (3，π6，π4)，Q (3，π6，3π4)的距离．【解】 将P 、Q 两点球坐标转化为直角坐标．设点P 的直角坐标为(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3sin π6·cos π4＝342，y ＝3sin π6sin π4＝342，z ＝3cos π6＝3×32＝323.∴P (324，324，332)．设点Q 的直角坐标为(x ，y ，z )．则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3sin π6cos3π4＝－324，y ＝3sin π6sin 3π4＝324，z ＝3cos π6＝323.∴点Q (－324，324，332)．∴|PQ |＝324＋3242＋324－3242＋332－3322＝322， 即P 、Q 两点间的距离为322.(教材第17页思考1)给定一个底面半径为r ，高为h 的圆柱，建立柱坐标系，利用柱坐标描述圆柱侧面以及底面上点的位置．(2013·长春检测)在柱坐标系中，点M 的柱坐标为(2，23π，5)，则|OM |＝________.【命题意图】 本题主要考查柱坐标系的意义，以及点的位置刻画． 【解析】 设点M 的直角坐标为(x ，y ，z )．由(ρ，θ，z )＝(2，23π，5)知x ＝ρcos θ＝2cos 23π＝－1，y ＝2sin 23π＝ 3.因此|OM |＝x 2＋y 2＋z 2＝－2＋32＋52＝3.【答案】31．在空间直角坐标系中，点P 的柱坐标为(2，π4，3)，P 在xOy 平面上的射影为Q ，则Q 点的坐标为( )A ．(2,0,3)B ．(2，π4，0)C ．(2，π4，3)D ．(2，π4，0)【解析】 由点的空间柱坐标的意义可知，选B. 【答案】 B2．已知点A 的柱坐标为(1,0,1)，则点A 的直角坐标为( ) A ．(1,1,0) B ．(1,0,1) C ．(0,1,1) D ．(1,1,1)【解析】 ∵x ＝ρcos θ＝1·cos θ＝1，y ＝ρsin θ＝0，z ＝1. ∴直角坐标为(1,0,1)，故选B. 【答案】 B3．已知点A 的球坐标为(3，π2，π2)，则点A 的直角坐标为( )A ．(3,0,0)B ．(0,3,0)C ．(0,0,3)D ．(3,3,0)【解析】 ∵x ＝3×sin π2×cos π2＝0，y ＝3×sin π2×sin π2＝3，z ＝2×cos π2＝0，∴直角坐标为(0,3,0)．故选B. 【答案】 B4．设点M 的直角坐标为(1,1，2)，则点M 的柱坐标为________，球坐标为________．【解析】 由坐标变换公式，可得ρ＝x 2＋y 2＝2，tan θ＝y x ＝1，θ＝π4(点(1,1)在平面xOy 的第一象限)，r ＝x 2＋y 2＋z 2＝12＋12＋22＝2.由r cos φ＝z ＝2，得cos φ＝2r ＝22，φ＝π4.∴点M 的柱坐标为(2，π4，2)，球坐标为(2，π4，π4)．【答案】(2，π4，2)(2，π4，π4)(时间40分钟，满分60分)一、选择题(每小题5分，共20分)1．空间直角坐标系Oxyz 中，下列柱坐标对应的点在平面yOz 内的是( )A ．(1，π2，2)B ．(2，π3，0)C ．(3，π4，π6)D ．(3，π6，π2)【解析】 由P (ρ，θ，z )，当θ＝π2时，点P 在平面yOz 内．【答案】 A2．设点M 的直角坐标为(2,0,2)，则点M 的柱坐标为( ) A ．(2,0,2) B ．(2，π，2)C ．(2，0,2)D ．(2，π，2)【解析】 设点M 的柱坐标为(ρ，θ，z )， ∴ρ＝x 2＋y 2＝2，tan θ＝y x＝0， ∴θ＝0，z ＝2.∴点M 的柱坐标为(2,0,2)． 【答案】 A3．在空间球坐标系中，方程r ＝2(0≤φ≤π2，0≤θ＜2π)表示( )A ．圆B ．半圆C ．球面D ．半球面【解析】 设动点M 的球坐标为(r ，φ，θ)，由于r ＝2，0≤φ≤π2，0≤θ＜2π.动点M 的轨迹是球心在点O ，半径为2的上半球面．【答案】 D4．已知点M 的直角坐标为(0,0,1)，则点M 的球坐标可以是( ) A ．(1,0,0) B ．(0,1,0) C ．(0,0,1) D ．(1，π，0)【解析】 设M 的球坐标为(r ，φ，θ)，则r ＝x 2＋y 2＋z 2＝1，θ＝0，又cos φ＝z r＝1，∴φ＝0.故点M 的球坐标为(1,0,0)． 【答案】 A二、填空题(每小题5分，共10分)5．已知点M 的球坐标为(4，π4，3π4)，则点M 到Oz 轴的距离为________．【解析】 设M 的直角坐标为(x ，y ，z )，则由(r ，φ，θ)＝(4，π4，34π)，知x ＝4sin π4cos 34π＝－2，y ＝4sin π4sin 34π＝2，z ＝r cos φ＝4cos π4＝2 2.∴点M 的直角坐标为(－2,2,22)．故点M 到OZ 轴的距离－2＋22＝2 2. 【答案】 2 26．已知点M 的球坐标为(4，π4，3π4)，则它的直角坐标是________，它的柱坐标是________．【解析】 设M 的直角坐标为(x ，y ，z )，柱坐标为(ρ，θ，z )．则x ＝r sin φcos θ＝4×sin π4×cos 3π4＝－2，y ＝r sin φsin θ＝4×sin π4×sin 3π4＝2，z ＝r cos φ＝4×cos π4＝2 2.∴点M 的直角坐标为(－2,2,22)． 又⎩⎨⎧－2＝ρcos θz ＝ρsin θ，z ＝22，解之得ρ＝22，θ＝3π4，z ＝2 2.∴点M 的柱坐标为(22，3π4，22)．【答案】 (－2,2,22) (22，3π4，22)三、解答题(每小题10分，共30分)7．已知点P 的柱坐标为(2，π4，5)，点B 的球坐标为(6，π3，π6)，求这两个点的直角坐标．【解】 设点P 的直角坐标为(x ，y ，z )，则x ＝2cos π4＝2×22＝1，y ＝2sin π4＝1，z ＝5.设点B 的直角坐标为(x ，y ，z )，则x ＝6sin π3cos π6＝6×32×32＝364，y ＝6sin π3sin π6＝6×32×12＝324， z ＝6cos π3＝6×12＝62. 所以点P 的直角坐标为(1,1,5)，点B 的直角坐标为(364，324，62)．8．在柱坐标系中，求满足⎩⎪⎨⎪⎧ρ＝10≤θ<2π0≤z ≤2的动点M (ρ，θ，z )围成的几何体的体积．【解】 根据柱坐标系与点的柱坐标的意义可知，满足ρ＝1,0≤θ<2π，0≤z ≤2的动点M (ρ，θ，z )的轨迹如图所示，是以直线Oz 为轴，轴截面为正方形的圆柱．圆柱的底面半径r ＝1，h ＝2，∴V ＝Sh ＝πr 2h ＝2π.9．经过若干个固定和流动的地面遥感观测站监测，并通过数据汇总，计算出一个航天器在某一时刻的位置，离地面2 384千米，地球半径为6 371千米，此时经度为80°，纬度为75°.试建立适当的坐标系，确定出此时航天器点P 的坐标．【解】 在赤道平面上，选取地球球心为极点，以O 为原点且与零子午线相交的射线Ox 为极轴，建立球坐标系．由已知航天器位于经度为80°，可知θ＝80°＝49π.由航天器位于纬度75°，可知，φ＝90°－75°＝15°＝π12，由航天器离地面 2 384千米，地球半径为6 371千米，可知r ＝2 384＋6 371＝8 755千米．所以点P 的球坐标为(8 755，π12，4π9)．教师备选10．已知在球坐标系Oxyz 中，M (6，π3，π3)，N (6，2π3，π3)，求|MN |.【解】 法一 由题意知，|OM |＝|ON |＝6，∠MON ＝π3，∴△MON 为等边三角形，∴|MN |＝6. 法二 设M 点的直角坐标为(x ，y ，z )则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6sin π3cos π3＝332，y ＝6sin π3sin π3＝92，z ＝6cos π3＝3.故点M 的直角坐标为(332，92，3)， 同理得点N 的直角坐标为(332，92，－3)， ∴|MN |＝323－3232＋92－922＋＋2 ＝0＋0＋62＝6.中国书法艺术说课教案今天我要说课的题目是中国书法艺术，下面我将从教材分析、教学方法、教学过程、课堂评价四个方面对这堂课进行设计。

4.1.1 直角坐标系自主整理1.坐标系是一个______________，它是实现_____________与___________互相转化的基础. 答案:1.参照系几何图形代数形式2.建立坐标系是为了______________，在所创建的坐标系中，应满足：任意一点都有______________与它对应；反之，依据一个点的坐标就能______________.答案:2.确定点的位置确定的坐标确定这个点的位置3.在数轴上，直线上所有点的集合与全体实数的集合建立______________；在平面直角坐标系中，平面上所有点的集合与______________的集合建立一一对应；在空间直角坐标系中，空间所有点的集合与___________________________的集合建立一一对应.确定点的位置就是_______________________.答案:3.一一对应全体有序实数对（x,y）全体由三个实数组成的有序实数组（x,y,z）求出这个点在设定的坐标系中的坐标高手笔记1.坐标系是解析几何的基础.在坐标系中，可以用有序实数对（组）确定点的位置，进而用方程刻画几何图形.为便于用代数的方法刻画几何图形或描述自然现象，需要建立不同的坐标系.2.平面和空间中点的位置都可以用有序数对（组），也就是坐标来刻画，在不同坐标系中，这些数所体现的几何含义不同.同一几何图形在不同坐标系中具有不同的形式.3.坐标系包括直角坐标系、极坐标系、柱坐标系、球坐标系等.对于不同类型的几何图形，选用相应的坐标系可以使建立的方程更加简单.如要确定体育馆内一个位置，建立柱坐标系就比较适合，通过柱坐标我们可以比较精确地找到这个位置的所在地.4.坐标法是在坐标系的基础上，把几何问题转化成代数问题，通过代数运算研究几何图形性质的方法.它是解析几何中最基本的研究方法.例如在平面直角坐标系中，根据确定直线位置的几何要素，我们可以探索并掌握直线方程的几种形式（点斜式、两点式及一般式），体会斜截式与一次函数的关系.在空间坐标系中，通过高次方程的计算，使人们对一些星体的轨迹运动和变化规律有所了解和掌握.5.坐标法解决几何问题的“三步曲”：第一步：建立适当的坐标系，用坐标和方程表示问题中涉及的几何元素，将几何问题转化为代数问题；第二步：通过代数运算，解决代数问题；第三步：把代数运算结果“翻译”成几何结论.6.坐标法在生活中的应用很广泛，如研究台风、寒流、沙暴中心的运动规律，可以帮助人们预防自然灾害的发生等等.名师解惑1.建立坐标系可以解决哪些问题，它是如何体现数学思想的？剖析：坐标系是现代数学中的重要内容，它在数学发展的历史上，起过划时代的作用.坐标系的创建，在代数和几何之间架起了一座桥梁.利用坐标系，我们可以方便地用代数的方法确定平面内一个点的位置，也可以方便地确定空间内一个点的位置.它使几何概念得以用代数的方法来描述，几何图形可以通过代数形式来表达，这样便可将抽象的代数方程用形象的几何图形表示出来，又可将先进的代数方法应用于几何学的研究.建立直角坐标系，数形结合，我们可以解决许多数学问题，如函数问题就常常需要借助直角坐标系来解决.而在其他领域，坐标系与物理、化学等相关学科交织在一起，在日常生活中有着广泛的应用.如飞机航行、炮弹发射问题等等.我们生活中有这样一个例子：教室的墙壁上挂着一块黑板，它的上、下边缘分别在学生的水平视线上方a米和b米，那么学生距墙壁多远时看黑板最清楚（即所张的视角最大）？我们就可以建立一个平面直角坐标系,运用三角的知识加以解决.平面直角坐标系是进一步学习函数、三角及其他坐标系的必备基础知识.我们画函数的图象、定义任意角的三角函数等许多知识都是与坐标系的建立紧密联系的，这就需要我们对各方面的知识扎实掌握，从而能得心应手地解决问题.2.建立直角坐标系的一般规律有哪些？剖析：一般情况下我们有这样一个建立直角坐标系的规律：（1）当题目中有两条互相垂直的直线时,以这两条直线为坐标轴;（2）当题目中有对称图形时，以对称图形的对称轴为坐标轴;（3）当题目中有已知长度的线段时,以线段所在直线为坐标轴，以线段端点或中点为原点.3.利用坐标法解决问题应注意什么？剖析：坐标系建立完后，需仔细分析曲线的特征，注意揭示隐含条件，抓住曲线上任意点有关的等量关系、所满足的几何条件，列出方程.在将几何条件转化为代数方程的过程中，要注意圆锥曲线定义和初中平面几何知识的应用，还会用到一些基本公式，如两点间的距离公式、点到直线的距离公式、直线斜率公式等.另外，在化简过程中，我们要注意运算和变形的合理性与准确性，避免“失解”和“增解”. 讲练互动【例题1】如图，在长方体OABC —D 1A 1B 1C 1中，｜OA ｜=4，｜OC ｜=3，｜OD 1｜=2，AC 与OB 相交于P 点，OB 1与BD 1相交于点M ，建立适当的坐标系，分别写出点P 、M 的坐标.思路分析：以长方体的一个顶点为坐标原点，过此点的三条棱所在的直线为坐标轴建立空间直角坐标系，进而写出点的坐标.解：如右图，以O 为原点，OA 为x 轴，OC 为y 轴，OD 1为z 轴建立空间直角坐标系.∴O（0，0，0），B （4，3，0）.∵P 为OB 中点,∴P 为（240+,230+,200+），即P （2，23，0）. 又∵D 1（0，0，2），M 为BD 1中点， ∴M 为（240+，230+，220+），即M （2，23，1）. 绿色通道建立坐标系应注意图形的特点，恰当建立往往给解决问题带来很大方便.变式训练1.如图，在棱长为1的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别为BB 1、D 1B 1的中点，建立适当的坐标系，并求点E 、F 的坐标.思路分析：建立空间直角坐标系，先作出E 、F 分别在xOy 平面内的射影，由射影确定E 、F 的横、纵坐标，由垂线段的长确定竖坐标.解：建立如下图所示的空间直角坐标系，则E 点在xOy 面上的射影为B （1，1，0），且E 点的竖坐标为21，所以E （1，1，21）.F 点在xOy 面上的射影为BD 的中点G ，F 点的竖坐标为1，所以F （21，21，1）. 【例题2】如图，圆O 1与圆O 2的半径都是1，｜O 1O 2｜=4，过动点P 分别作圆O 1、圆O 2的切线PM 、PN （M 、N 分别为切点），使得PM=2PN ，试建立适当的坐标系，并求动点P 的轨迹方程.思路分析：本题是解析几何中求轨迹方程问题，由题意建立坐标系，写出相关点的坐标，由几何关系式：PM=2PN ，即PN 2=2PN 2，结合图形由勾股定理转化为P 21-1=2(P 22-1），设P （x,y ），由距离公式写出代数关系式，化简整理可得.解：如图，以直线O 1O 2为x 轴，线段O 1O 2的垂直平分线为y 轴，建立平面直角坐标系，则两圆心的坐标分别为O 1（-2，0），O 2（2，0）.设P （x,y ），则PM 2=PO 21-MO 21=（x+2）2+y 2-1.同理，PN 2=（x-2）2+y 2-1.∵PM=2PN ，即PM 2=2PN 2，∴（x+2）2+y 2-1=2［（x-2）2+y 2-1］，即x 2-12x+y 2+3=0，即（x-6）2+y 2=33.这就是动点P 的轨迹方程.绿色通道本题考查解析几何中求点的轨迹方程的方法应用，考查建立坐标系、数形结合思想、勾股定理、两点间距离公式等相关知识点及分析推理、计算化简技能、技巧等，是一道很综合的题目.变式训练2.如图，某城市中的高空观览车的高度是100m,在离观览车约150m 处有一建筑物，某人在离建筑物100m 的地方刚好可以看到观览车，你能根据上述数据求出该建筑物的高度吗？（人的高度不计，眼睛和高空观览车的最低点在同一水平线上，精确到0.01m ）思路分析：由已知条件可知，视线与观览车所在圆是相切关系，可以求得视线所在的直线方程，进而求得建筑物的高度.解：首先，以高空观览车的最低点为坐标原点，原点与高空观览车的中心的连线所在直线为y 轴，建立直角坐标系（如图）.由此可得圆C 的方程为x 2+（y-50）2=502.设看到观览车的视线方程为y=k （x-250）.因为直线BT 与圆C 相切，所以501|25050|2=++k k .解得k=0（舍去）或k=125-.所以直线BT 的方程是y=125-（x-250）.当x=150时，y≈41.67 m.即建筑物的高度约为41.67 m.。

空间坐标知识点总结一、空间坐标的基本概念1.1 经度、纬度和高度经度是指地球表面上一点与子午线的角度差，用来表示地球表面东西方向的位置。

纬度是指地球表面上一点与赤道的角度差，用来表示地球表面南北方向的位置。

高度是指地球表面上一点距离地球椭球体的高度，用来表示该点的海拔高度。

1.2 笛卡尔坐标系笛卡尔坐标系是三维空间中的直角坐标系，由X、Y和Z轴构成。

地球空间坐标也可以用笛卡尔坐标系进行表示，其中X轴指向地球赤道，Y轴指向东方，Z轴指向地球北极。

1.3 大地坐标系大地坐标系是用经度、纬度和高度来表示地球表面上的位置坐标，它更贴近实际地球表面的形状，具有更高的精度和准确性。

二、空间坐标的坐标系统2.1 地心惯性坐标系地心惯性坐标系是将地球看做一个质点，以地球质心为原点建立的坐标系，由于地球的自转、公转和地壳运动等因素的影响，地心惯性坐标系并不是一个固定的坐标系。

2.2 地球固连坐标系地球固连坐标系是以地球为参照物，通过确定地球上的一些固定点来建立坐标系统，该坐标系在地球自转和地壳运动的影响下保持相对稳定。

2.3 WGS84坐标系WGS84坐标系是一种常用的地理坐标系统，它是为了卫星导航系统而建立的全球定位系统坐标系统，由于其高精度和全球范围内的适用性，广泛应用于地图制图、卫星导航、地理信息系统等领域。

2.4 其他坐标系除了上述坐标系外，还有UTM坐标系、国家大地坐标系、局部坐标系等各种不同的坐标系统，它们在不同的地理空间数据处理和分析中具有各自的优势和适用范围。

三、空间坐标的转换方法3.1 大地坐标转笛卡尔坐标大地坐标转笛卡尔坐标的过程是将经纬度坐标进行三维投影转换，将地球表面上的点投影到笛卡尔坐标系中，常用的方法有球面三角法、椭球面投影法等。

3.2 笛卡尔坐标转大地坐标笛卡尔坐标转大地坐标的过程是将三维空间中的点投影到地球表面上，得到经度、纬度和高度的坐标值，常用的方法有大地水准面法、地心坐标法等。

4.1.3 球坐标系与柱坐标系1．球坐标系、柱坐标系的理解．2．球坐标、柱坐标与直角坐标的互化．[基础·初探]1．球坐标系与球坐标(1)在空间任取一点O作为极点，从O点引两条互相垂直的射线Ox和Oz作为极轴，再规定一个长度单位和射线Ox绕Oz轴旋转所成的角的正方向，这样就建立了一个球坐标系．图4­1­5(2)设P是空间一点，用r表示OP的长度，θ表示以Oz为始边，OP为终边的角，φ表示半平面xOz到半平面POz的角，则有序数组(r，θ，φ)就叫做点P的球坐标，其中r≥0,0≤θ≤π，0≤φ＜2π.2．直角坐标与球坐标间的关系图4­1­6若空间直角坐标系的原点O，Ox轴及Oz轴，分别与球坐标系的极点、Ox轴及Oz轴重合，就可以得到空间中同一点P的直角坐标(x，y，z)与球坐标(r，θ，φ)之间的关系，如图4­1­6所示．x2＋y2＋z2＝r2，x＝r sin_θcos_φ，y＝r sin_θsin_φ，z＝r cos_θ.3．柱坐标系建立了空间直角坐标系O ­xyz 后，设P 为空间中任意一点，它在xOy 平面上的射影为Q ，用极坐标(ρ，θ)(ρ≥0,0≤θ＜2π)表示点Q 在平面xOy 上的极坐标，这时点P 的位置可以用有序数组(ρ，θ，z )(z ∈R )表示，把建立上述对应关系的坐标系叫柱坐标系，有序数组(ρ，θ，z )叫做点P 的柱坐标，记作P (ρ，θ，z )，其中ρ≥0,0≤θ＜2π，z ∈R .图4­1­74．直角坐标与柱坐标之间的关系⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，z ＝z .[思考·探究]1．空间直角坐标系和柱坐标系、球坐标系有何联系和区别？【提示】 柱坐标系和球坐标系都是以空间直角坐标系为背景，柱坐标系中一点在平面xOy 内的坐标是极坐标，竖坐标和空间直角坐标系的竖坐标相同；球坐标系中，则以一点到原点的距离和两个角(高低角、极角)刻画点的位置．空间直角坐标系和柱坐标系、球坐标系都是空间坐标系，空间点的坐标都是由三个数值的有序数组组成．2．在空间的柱坐标系中，方程ρ＝ρ0(ρ0为不等于0的常数)，θ＝θ0，z ＝z 0分别表示什么图形？【提示】 在极坐标中，方程ρ＝ρ0(ρ0为不等于0的常数)表示圆心在极点，半径为ρ0的圆，方程θ＝θ0(θ0为常数)表示与极轴成θ0角的射线．而在空间的柱坐标系中，方程ρ＝ρ0表示中心轴为z 轴，底半径为ρ0的圆柱面，它是上述圆周沿z 轴方向平行移动而成的．方程θ＝θ0表示与zOx 坐标面成θ0角的半平面．方程z ＝z 0表示平行于xOy 坐标面的平面，如图所示．常把上述的圆柱面、半平面和平面称为柱坐标系的三族坐标面．[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流： 疑问1：_____________________________________________________ 解惑：_____________________________________________________ 疑问2：_____________________________________________________ 解惑：_____________________________________________________(1)已知点M 的球坐标为⎝⎛⎭⎪⎫2，4，4，则点M 的直角坐标为________． (2)设点M 的柱坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π6，7，则点M 的直角坐标为________．【自主解答】 (1)设M (x ，y ，z )， 则x ＝2sin 3π4·cos 3π4＝－1，y ＝2×sin 3π4×sin 3π4＝1， z ＝2×cos3π4＝－ 2. 即M 点坐标为(－1,1，－2)． (2)设M (x ，y ，z )， 则x ＝2×cos π6＝3，y ＝2×sin π6＝1，z ＝7.即M 点坐标为(3，1,7)．【答案】 (1)(－1,1，－2) (2)(3，1,7) [再练一题]1．(1)已知点P 的柱坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫4，π3，8，则它的直角坐标为________．(2)已知点P 的球坐标为⎝⎛⎭⎪⎫4，3π4，π4，则它的直角坐标为________． 【解析】 (1)由变换公式得：x ＝4cos π3＝2，y ＝4sin π3＝23，z ＝8.∴点P 的直角坐标为(2,23，8)． (2)由变换公式得：x ＝r sin θcos φ＝4sin 3π4cos π4＝2， y ＝r sin θsin φ＝4sin 3π4sin π4＝2， z ＝r cos θ＝4cos3π4＝－2 2. ∴它的直角坐标为(2,2，－22)．【答案】 (1)(2,23，8) (2)(2,2，－22)已知正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1的棱长为1，如图4­1­8建立空间直角坐标系A —xyz ，Ax 为极轴，求点C 1的直角坐标、柱坐标以及球坐标．图4­1­8【思路探究】 解答本题根据空间直角坐标系、柱坐标系以及球坐标系的意义和联系计算即可．【自主解答】 点C 1的直角坐标为(1,1,1)，设点C 1的柱坐标为(ρ，θ，z )，球坐标为(r ，φ，θ)， 其中ρ≥0，r ≥0,0≤φ≤π，0≤θ＜2π，由公式⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，z ＝z及⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r sin φcos θ，y ＝r sin φsin θ，z ＝r cos φ得⎩⎪⎨⎪⎧ρ＝x 2＋y 2，tan θ＝y xx及⎩⎪⎨⎪⎧r ＝x 2＋y 2＋z 2，cos φ＝z r ，得⎩⎨⎧ρ＝2，tan θ＝1及⎩⎪⎨⎪⎧r ＝3，cos φ＝33，结合图形得θ＝π4，由cos φ＝33得tan φ＝ 2.∴点C 1的直角坐标为(1,1,1)，柱坐标为(2，π4，1)，球坐标为(3，φ，π4)，其中tan φ＝2，0≤φ≤π.化点M 的直角坐标(x ，y ，z )为柱坐标(ρ，θ，z )或球坐标(r ，θ，φ)，需要对公式⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，z ＝z以及⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r sin θcos φ，y ＝r sin θsin φ，z ＝r cos θ进行逆向变换，得到⎩⎪⎨⎪⎧ρ＝x 2＋y 2，tan θ＝y xx，z ＝z以及⎩⎪⎨⎪⎧r ＝x 2＋y 2＋z 2，tan φ＝y xx，cos θ＝zr.提醒 在由三角函数值求角时，要先结合图形确定角的范围再求值．[再练一题]2．(1)设点M 的直角坐标为(1,1,1)，求它在柱坐标系中的坐标． (2)设点M 的直角坐标为(1,1，2)，求它的球坐标．【导学号：98990006】【解】 (1)设M 的柱坐标为(ρ，θ，z )，则有⎩⎪⎨⎪⎧1＝ρcos θ，1＝ρsin θ，z ＝1，解之得ρ＝2，θ＝π4.因此，点M 的柱坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4，1. (2)由坐标变换公式，可得r ＝x 2＋y 2＋z 2＝12＋12＋22＝2.由r cos θ＝z ＝2， 得cos θ＝2r＝22，θ＝π4. 又tan φ＝y x ＝1，φ＝π4(M 在第一象限)，从而知M 点的球坐标为⎝⎛⎭⎪⎫2，π4，π4.[真题链接赏析](教材第17页习题4.1第16题)建立适当的球坐标系或柱坐标系表示棱长为3的正四面体的四个顶点．结晶体的基本单位称为晶胞，如图4­1­9(1)是食盐晶胞的示意图(可看成是八个棱长为12的小正方体堆积成的正方体)．图形中的点代表钠原子，如图4­1­9(2)，建立空间直角坐标系O ­xyz 后，试写出下层钠原子所在位置的球坐标、柱坐标．(1) (2)图4­1­9【命题意图】 本题以食盐晶胞为载体，主要考查柱坐标系及球坐标系在确定空间点的位置中的应用．【解】 下层的原子全部在xOy 平面上，它们所在位置的竖坐标全是0，所以这五个钠原子所在位置的球坐标分别为(0,0,0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫1，π2，0，⎝⎛⎭⎪⎫2，π2，π4，⎝ ⎛⎭⎪⎫1，π2，π2，⎝ ⎛⎭⎪⎫22，π2，π4； 它们的柱坐标分别为(0,0,0)，(1,0,0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4，0，⎝ ⎛⎭⎪⎫1，π2，0，⎝ ⎛⎭⎪⎫22，π4，0.1．已知点A 的柱坐标为(1,0,1)，则点A 的直角坐标为________．【解析】 由点A 的柱坐标为(1,0,1)知，ρ＝1，θ＝0，z ＝1，故x ＝ρcos θ＝1，y ＝ρsin θ＝0，z ＝1，所以直角坐标为(1,0,1)．【答案】 (1,0,1)2．设点M 的直角坐标为(－1，－1，2)，则它的球坐标为________． 【解析】 由坐标变换公式，r ＝x 2＋y 2＋z 2＝2. cos θ＝z r ＝22，θ＝π4.∵tan φ＝yx＝1， ∴φ＝54π.故M 的球坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4，5π4.【答案】 ⎝⎛⎭⎪⎫2，π4，5π43．已知点P 的柱坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4，5，点B 的球坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫6，π3，π6，这两个点在空间直角坐标系中点的坐标分别为________．【导学号：98990007】【解析】 设P (x ，y ，z )，则x ＝2cos π4＝1，y ＝2sin π4＝1，z ＝5，∴P (1,1,5)．设B (x ，y ，z )，则x ＝6sin π3cos π6＝6×32×32＝364，y ＝6sin π3sin π6＝6×32×12＝324， z ＝6·cos π3＝6×12＝62. 故B (364，324，62)．【答案】 P (1,1,5)，B (364，324，62)4．把A (4，π6，2)、B (3，π4，－2)两点的柱坐标化为直角坐标，则两点间的距离为________．【解析】 点A 化为直角坐标为A (23，2,2)，点B 化为直角坐标为B ⎝⎛⎭⎪⎫322，322，－2.AB 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23－3222＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2－3222＋(2＋2)2＝12＋92－66＋4＋92－62＋16＝41－6(6＋2)．所以AB ＝41－6＋2.【答案】41－6＋2我还有这些不足：(1)_____________________________________________________ (2)_____________________________________________________ 我的课下提升方案：(1)_____________________________________________________ (2)_____________________________________________________。

球坐标系与柱坐标系【学习目标】1. 了解在柱坐标系、球坐标系中刻画空间中点的位置的方法;2. 了解柱坐标、球坐标与直角坐标之间的变换公式。

【学习过程】一、要点讲解1．球坐标系：2．柱坐标系：二、知识梳理1．球坐标系：在空间任取一点O 作为_____，从O 引_________________________________，再规定________________________________________________，这样就建立了一个球坐标系。

设P 是空间任意一点，用r 表示OP 的长度，θ表示以OZ 为始边，OP 为终边的角，ϕ表示半平面XOZ 到半平面POZ 的角。

那么，__________________就称为点P 的球坐标。

这里，r 是______，ϕ相当于_______，θ相当于________。

当r ≥0，0≤θ≤π，0≤ϕ＜2π时，空间的点（除直线OZ 上的点）与有序数组(,,)r θϕ（0r ≠，0θ≠）建立一一对应关系。

空间点P 的直角坐标(,,)x y z 与球坐标(,,)r θϕ之间的变换关系为：_____________________。

2．柱坐标系：在平面极坐标系的基础上，增加______________________，可得空间柱坐标系。

设P 是空间任意一点，P 在过O 且垂直于OZ 轴的平面上的射影为Q ，取OQ = ρ，xOQ θ∠=，QP = z 。

那么，点P 的柱坐标为_____________。

当ρ≥0，0≤θ<2π， z ∈R 时，空间的点（除直线OZ 上的点）与有序数组(ρ，θ，z )（0ρ≠）建立一一对应关系。

空间点P 的直角坐标(x ，y ，z )与柱坐标(ρ，θ，Z )之间的变换关系为：________________。

三、例题讲解1.（1）建立适当的球坐标系，表示棱长为1的正方体的顶点；（2）建立适当的柱坐标系，表示棱长为1的正方体的顶点。

坐标系的运用标题：坐标系的运用正文：一、引言在数学和物理学领域，坐标系是一种用于描述和定位点、图形和物体的系统，它由坐标轴和刻度组成。

坐标系的运用广泛应用于各个领域，包括几何学、工程学、地理学以及计算机科学等。

本文将探讨坐标系的基本概念、常见的坐标系类型以及它们在现实生活中的应用。

二、坐标系的概念坐标系是由坐标轴和刻度组成的一种数学工具，用于描述和定位空间中的点、图形和物体。

在二维平面上，通常使用直角坐标系，由水平的x轴和垂直的y轴组成。

而在三维空间中，可以使用三维笛卡尔坐标系，它由水平的x轴、垂直的y轴以及竖直的z轴组成。

坐标系中的每个轴上都有刻度，可以通过给定的坐标值来表示一个点的位置。

三、常见的坐标系类型1.直角坐标系直角坐标系是最常见的坐标系类型，适用于二维平面。

在直角坐标系中，x轴和y轴相互垂直，它们的交点被称为原点，用(0,0)表示。

点的位置可以通过横坐标x和纵坐标y来表示，如(3,4)表示在x轴上偏移3个单位，在y轴上偏移4个单位。

2.极坐标系极坐标系是一种使用极径和极角来表示点的位置的坐标系，适用于平面上的极坐标，其中极径表示从原点到点的距离，极角表示与正半轴的夹角。

在极坐标系中，点的位置可表示为(r,θ)，其中r表示极径，θ表示极角。

3.球坐标系球坐标系适用于三维空间中的坐标表示。

它使用距离、极角和方位角来表示点的位置。

与极坐标系类似，球坐标系的点的位置可以表示为(r,θ,φ)，其中r表示距离，θ表示极角，φ表示方位角。

四、坐标系的应用1.地理学在地理学中，使用地理坐标系来确定地球表面上任意位置的经度和纬度。

地理坐标系以赤道为基准，通过经线和纬线的划分来表示点的位置，它在导航、地图制作和地理信息系统中具有重要的应用。

2.工程学坐标系在工程学中广泛应用于测量和定位。

例如，在土木工程中，使用平面直角坐标系来确定建筑物或道路的位置和布局；而在电子工程中，使用笛卡尔坐标系来设计电路板和元器件的布局。

坐标知识点总结坐标是用来确定一个点在空间中的位置的系统。

在数学中，坐标系统是用来描述点、直线、平面和空间中其它几何对象的位置的一种方法。

常用的坐标系统有笛卡尔坐标系、极坐标系、球坐标系等。

在物理和工程学中，坐标系统通常用来描述物体的位置、速度和加速度等。

在计算机图形学和地理信息系统中，坐标系统被用来描述图像和地理位置。

1.1 笛卡尔坐标系笛卡尔坐标系是平面几何中最常见的一种坐标系统，由法国数学家笛卡尔在17世纪提出。

在笛卡尔坐标系中，平面被分成四个象限，横轴和纵轴分别表示横向和纵向的坐标。

点的坐标用一个有序对(x, y)来表示，其中x表示横坐标，y表示纵坐标。

笛卡尔坐标系在解析几何中起着重要的作用，它可以帮助我们理解和描述平面上的几何对象。

1.2 极坐标系极坐标系是一种用半径和角度来表示点的坐标的坐标系统。

在极坐标系中，点的坐标用一个有序对(r, θ)来表示，其中r表示半径，θ表示角度。

极坐标系通常用来描述圆形或者对称的图形，其在计算和理论物理中被广泛应用。

1.3 球坐标系球坐标系是一种用半径、极角和方位角来表示点的坐标的坐标系统。

在球坐标系中，点的坐标用一个有序三元组(r, θ, φ)来表示，其中r表示点到原点的距离，θ表示与正半轴的夹角，φ表示与极平面的夹角。

球坐标系通常用来描述三维空间中的物体和场的分布。

1.4 其它坐标系统除了上述三种常见的坐标系统外，还有许多其它形式的坐标系统，如柱坐标系、三维笛卡尔坐标系、纹理坐标系等。

这些坐标系统在不同领域有着不同的应用。

二、坐标变换坐标变换是指将一个点在一个坐标系中的位置转化为另一个坐标系中的位置的过程。

坐标变换在计算机图形学、地理信息系统和导航系统中有着广泛的应用，它是这些系统中的基本操作之一。

2.1 点的坐标变换点的坐标变换是指将一个点在一个坐标系中的位置转化为另一个坐标系中的位置的过程。

在笛卡尔坐标系中，点的坐标变换可以通过矩阵乘法来实现。

而在极坐标系和球坐标系中，点的坐标变换需要通过三角函数和球面三角函数来实现。

2021年高中数学4.1坐标系4.1.3球坐标系与柱坐标系同步测控苏教版选修同步测控我夯基，我达标1.设点M的直角坐标为（-1，，3），则它的柱坐标是（）A.（2，，3）B.（2，，3）C.（2，，3）D.（2，，3）解析：∵ρ==2，θ=，z=3,∴M的柱坐标为（2，，3）.答案：C2.设点M的直角坐标为（-1，-1，），则它的球坐标为（）A.（2，，）B.（2，，）C.（2，，）D.（2，，）解析：由坐标变换公式，得r==2,cosθ==,∴θ=.tanφ==-=1,∴φ=.∴M的球坐标为（2，，）.答案：B3.已知点M的球坐标为（4，，），则它的直角坐标为______________，它的柱坐标是______________.解析：由坐标变换公式直接得直角坐标和柱坐标.答案：（-2，2，2）（2，，2）.4.设点M的柱坐标为（2，，7），则它的直角坐标为______________.解析：∵ρ=2,θ=,z=7,∴x=ρcosθ=2cos=,y=ρsinθ=2sin=1.∴点M的直角坐标为（，1，7）.答案：（，1，7）5.在球坐标系中，方程r=1表示，方程θ=表示空间的______________.解析：数形结合，根据球坐标的定义判断形状.答案：球心在原点，半径为1的球面顶点在原点，轴截面顶角为,中心轴为z轴的圆锥面6.设地球的半径为R，在球坐标系中，点A的坐标为（R，45°，70°），点B的坐标为（R，45°，160°），求A、B两点的球面距离.思路分析：要求A、B两点间球面距离，要把它放到△AOB中去分析，只要求得∠AOB的度数，AB的长度，就可求球面距离.解：如图，由点A、B的球坐标可知，∠BOO′=45°，∠AOO′=45°，这两个点都在北纬90°-45°=45°圈上.设纬度圈的圆心为O′，地球中心为O，则∠xOQ=70°,∠xOH=160°，∴∠AO′B=160°-70°=90°.∵OB=R，∴O′B=O′A=R.∴AB=R.则AO=BO=AB=R.∴∠AOB=60°.∴=·2πR=R.即A 、B 两点间的球面距离为R.我综合，我发展7.已知点P 的柱坐标为（，，5），点B 的球坐标为（，，），则这两个点在空间直角坐标系中的点的坐标分别为（ ）A.P 点（5，1，1），B 点（，，）B.P 点（1，1，5），B 点（，，）C.P 点（，，），B 点（1，1，5）D.P 点（1，1，5），B 点（，，）解析：此题考查空间直角坐标系与空间柱坐标系、球坐标系的互化.只要我们记住互化公式,问题就能够解决.球坐标与直角坐标的互化公式为⎪⎩⎪⎨⎧===;cos ,sin sin ,cos sin θϕθϕθr z r y r x 柱坐标与直角坐标的互化公式为⎪⎩⎪⎨⎧===.,sin ,cos z z y x θρθρ设P 点的直角坐标为(x,y,z),则x=cos=×=1,y=s in=1,z=5.设B 点的直角坐标为(x,y,z),则x=sincos=××=,y=sinsin=××=,z=cos=×=.所以点P 的直角坐标为(1,1,5),点B 的直角坐标为(,,).选B.答案：B8.如图，在柱坐标系中，长方体ABCO-A 1B 1C 1O 1的一顶点在原点,另两个顶点坐标为A 1（4，0，5），C 1（6，，5），则此长方体外接球的体积为______________.解析：由顶点的柱坐标求出长方体的三边长,其外接球的直径恰为长方体的对角线长. 由长方体的两个顶点坐标A 1(4,0,5),C 1(6,,5),可知OA=4,OC=6,OO 1=5.则对角线长为.那么球的体积为·π·()3=.答案：9.用两平行平面去截球，如图，在两个截面圆上有两个点，它们的球坐标分别为A（25，arctan，θA）、B（25，π-arctan,θB）,求出这两个截面间的距离.思路分析：根据已知可得球半径为25,这样,我们就可以在Rt△AOO1和Rt△BOO2中求出OO1及OO2的长度,从而可得两个截面间的距离O1O2.解：由已知,OA=OB=25,∠AOO1=arctan,∠BOO1=π-arctan,即在△AOO1中,tan∠AOO1==；在△BOO2中,∠BOO2=arctan,tan∠BOO2==.∵OA=25,∴OO1=7；又∵OB=25,∴OO2=20.则O1O2=OO1+OO2=7+20=27，即两个截面间的距离O1O2为27.10.在赤道平面上，我们选取地球球心O为极点，以O为端点且与零子午线相交的射线OX 为极轴，建立坐标系.有A、B两个城市，它们的球坐标分别为A（R，，）、B（R，，），从A到B，飞机应该走怎样的航线最短，其最短航程为多少？思路分析：我们根据A、B两地的球坐标找到地球的半径、纬度、经度,当飞机走A、B两地的大圆时,航线最短,所走的航程实际上是求过A、B两地的球面距离.解：如图所示,因为A(R,,),B(R,,),可知∠AOO1=∠BOO1=.又∠xOC=,∠xOD=,∴∠COD=-=.∴∠AO1B=∠COD=.在Rt△OO1B中,∠O1OB=,OB=R,∴O1B=R.同理，O1A=R.∵∠AO1B=,∴AB=R.在△AOB中,AB=OB=OA=R,∴∠AOB=.则经过A,B两地的球面距离为R.即走经过A、B两地的大圆,飞机航线最短,其最短航程为R.我创新，我超越11.结晶体的基本单位称为晶胞，图（1）是食盐晶胞的示意图（可看成是八个棱长为的小正方体堆积成的正方体），图形中的点代表钠原子，如图（2），建立空间直角坐标系O—xyz 后，试写出全部钠原子所在位置的球坐标、柱坐标.思路分析：在空间直角坐标系中,我们需要找点的x,y,z；在柱坐标系中,需要找到ρ,θ,z；在球坐标系中,需要找到r,θ,φ.解：把图中的钠原子分成下、中、上三层来写它们所在位置的坐标.下层的原子全部在xOy平面上,它们所在位置的竖坐标全是0,所以这五个钠原子所在位置的球坐标分别为(0,0,0),(1,,0),(,,),(1,,),(,,),它们的柱坐标分别为(0,0,0),(1,0,0),(,,0),(1,,0),(,,0)；中层的原子所在的平面平行于xOy平面,与z轴交点的竖坐标为,所以,这四个钠原子所在位置的球坐标分别为(,,0),(arccos,arctan),(,arccos,arctan2),(,,),它们的柱坐标分别为(,0,),(,arctan,),(,arctan2,),(,,)；上层的钠原子所在的平面平行于xOy平面,与z轴交点的竖坐标为1,所以,这五个钠原子所在位置的球坐标分别为(1,0,0),(,,0),(,arctan,),(,,),(,arctan,),它们的柱坐标分别为(0,0,1),(1,0,1),(,,1),(1,,1),(,,1).。

4.1.3 球坐标系与柱坐标系1．球坐标系设M (x ，y ，z )为空间一点，点M 可用这样三个有次序的数r ，φ，θ来确定，其中r 为原点O 到点M 间的距离，φ为有向线段OM 与z 轴正方向所夹的角，θ为从z 轴正半轴看，x 轴正半轴按逆时针方向旋转到有向线段OP 的角，这里P 为点M 在xOy 平面上的投影(如图)．这样的三个数r ，φ，θ构成的有序数组(r ，φ，θ)叫作点M 的球坐标，这里r ，φ，θ的变化范围为0≤r ＜＋∞，0≤φ≤π，0≤θ＜2π.特别地，r ＝常数，表示的是以原点为球心的球面；φ＝常数，表示的是以原点为顶点，z 轴为轴的圆锥面；θ＝常数，表示的是过z 轴的半平面．点M 的直角坐标与球坐标的关系为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝|OP |cos θ＝r sin φcos θ，y ＝|OP |sin θ＝r sin φsin θ，z ＝r cos φ.2．柱坐标系在平面极坐标系的基础上，通过极点O ，再增加一条与极坐标系所在平面垂直的z 轴，这样就建立了柱坐标系(如图)．设M (x ，y ，z )为空间一点，并设点M 在xOy 平面上的投影点P 的极坐标为(r ，θ)，则这样的三个数r ，θ，z 构成的有序数组(r ，θ，z )就叫作点M 的柱坐标，这里规定r ，θ，z 的变化范围为0≤r ＜＋∞，0≤θ＜2π，－∞＜z ＜＋∞.特别地，r ＝常数，表示的是以z 轴为轴的圆柱面；θ＝常数，表示的是过z 轴的半平面；z ＝常数，表示的是与xOy 平面平行的平面．显然，点M 的直角坐标与柱坐标的关系为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r cos θ，y ＝r sin θ，z ＝z .预习交流1．在研究空间图形的几何特征时，应该怎样建立坐标系？提示：我们已经学习了数轴、平面直角坐标系、平面极坐标系、空间直角坐标系、柱坐标系、球坐标系等．坐标系是联系形与数的桥梁，利用坐标系可以实现几何问题与代数问题的相互转化．不同的坐标系有不同的特点，在实际应用时，我们就可以根据问题的特点选择适当的坐标系，借助坐标系方便、简捷地研究问题．当图形中有互相垂直且相交于一点的三条直线时，可以利用这三条直线直接建系． 有些图形虽然没有互相垂直且相交于一点的三条直线，但是图形中有一定的对称关系(如：正三棱锥、正四棱锥、正六棱锥等)，我们可以利用图形的对称性建立空间坐标系来解题．有些图形没有互相垂直且相交于一点的三条直线，但是有两个互相垂直的平面，我们可以利用面面垂直的性质定理，作出互相垂直且相交于一点的三条直线，建立空间坐标系．2．空间直角坐标系、柱坐标系都是刻画点的位置的方法，它们有什么联系和区别？ 提示：在直角坐标系中，我们需要三个长度x ，y ，z ；而在柱坐标系中，我们需要长度，还需要角度，它是从长度、方向来描述一个点的位置，需要r ，θ，z .空间直角坐标：设点M 为空间一已知点．我们过点M 作三个平面分别垂直于x 轴、y 轴、z 轴，它们与x 轴、y 轴、z 轴的交点依次为P ，Q ，R ，这三点在x 轴、y 轴、z 轴的坐标依次为x ，y ，z .于是空间的一点M 就唯一地确定了一个有序数组(x ，y ，z )．这个组数(x ，y ，z )就叫作点M 的坐标，并依次称x ，y 和z 为点M 的横坐标、纵坐标和竖坐标．(如图所示)坐标为(x ，y ，z )的点M 通常记为M (x ，y ，z )．这样，通过空间直角坐标系，我们就建立了空间的点M 和有序数组(x ，y ，z )之间的一一对应关系．如果点M 在yOz 平面上，则x ＝0；同样，zOx 平面上的点，y ＝0；xOy 平面上的点，z ＝0.如果点M 在x 轴上，则y ＝z ＝0；如果点M 在y 轴上，则x ＝z ＝0；如果点M 在z 轴上，则x ＝y ＝0.如果M 是原点，则x ＝y ＝z ＝0等．这两种三维坐标互相不同，互相有联系，互相能够转化，都是刻画空间一点的位置，只是描述的角度不同．一、球坐标与直角坐标互化设点M 的直角坐标为(1,1，2)，求它的球坐标． 思路分析：利用变换公式⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r sin φcos θ，y ＝r sin φsin θ，z ＝r cos φ求解，其中r ＝x 2＋y 2＋z 2，cos φ＝zr，tanθ＝yx. 解：r ＝x 2＋y 2＋z 2＝12＋12＋(2)2＝2. ∵r cos φ＝z ＝2，∴cos φ＝22.由0≤φ≤π，∴φ＝π4.又∵tan θ＝y x ＝1，θ＝π4，∴点M 的球坐标为⎝⎛⎭⎫2，π4，π4.已知点M 的球坐标为⎝⎛⎭⎫2，3π4，3π4，求它的直角坐标． 解：设点M 的直角坐标为(x ，y ，z )，则有⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2sin 3π4cos 3π4＝2×22×⎝⎛⎭⎫－22＝－1，y ＝2sin 3π4sin 3π4＝2×22×22＝1，z ＝2cos 3π4＝2×⎝⎛⎭⎫－22＝－ 2.∴点M 的直角坐标为(－1,1，－2)．由直角坐标化为球坐标时，可设点的球坐标为(r ，φ，θ)，利用变换公式⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r sin φcos θ，y ＝r sin φsin θ，z ＝r cosφ，求出r ，φ，θ即可；也可以利用r 2＝x 2＋y 2＋z 2，tan θ＝y x ，cos φ＝zr来求．要特别注意由直角坐标求球坐标时，要先弄清楚φ和θ所在的范围．二、柱坐标与直角坐标互化设点M 的直角坐标为(1,1,1)，求它在柱坐标系中的坐标． 思路分析：利用⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，z ＝z ，求出ρ，θ即可．解：设点M 的柱坐标为(ρ，θ，z )，则有⎩⎪⎨⎪⎧1＝ρcos θ，1＝ρsin θ，z ＝1.易知，θ在第一象限，∴⎩⎪⎨⎪⎧ρ＝2，θ＝π4，z ＝1.∴点M 的柱坐标为⎝⎛⎭⎫2，π4，1.点M 的柱坐标为⎝⎛⎭⎫2，π6，7，求它的直角坐标． 解：设点M 的直角坐标为(x ，y ，z )，则有⎩⎨⎧x ＝2cos π6＝2×32＝3，y ＝2sin π6＝2×12＝1，z ＝7.∴点M 的直角坐标为(3，1,7)．由直角坐标系中的直角坐标求柱坐标，可设点的柱坐标为(ρ，θ，z )，代入变换公式⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，z ＝z求ρ，也可利用ρ2＝x 2＋y 2求ρ，利用tan θ＝yx求θ，在求θ的时候特别注意该点所在的象限，从而确定θ的值；同理，可由柱坐标转化为直角坐标． 三、求空间一点的坐标一个圆形体育馆，自正东方向起，按逆时针方向等分为十六个扇形区域，顺次记为一区，二区，…，十六区，我们设圆形体育场第一排与体育馆中心的距离为200 m ，每相邻两排的间距为1 m ，每层看台的高度为0.7 m ，现在需要确定第九区第四排正中的位置A ，请建立适当的坐标系，把点A 的坐标求出来．解：以圆形体育馆中心O 为极点，选取以O 为端点且过正东入口的射线Ox 为极轴，在地面上建立极坐标系，则点A 与体育场中轴线Oz 的距离为203 m ，极轴Ox 按逆时针方向旋转2π16×172＝17π16，就是OA 在地平面上的射影，A 距地面的高度为2.8 m ，因此点A 的柱坐标为⎝⎛⎭⎫203，17π16，2.8.建立适当的柱坐标系，表示棱长为3的正四面体的各个顶点的坐标．解：以正四面体的一个顶点B 为原点O ，选取以O 为端点且与BD 垂直的射线Ox 为x 轴，BD 所在射线为y 轴，过O点，与面BCD 垂直的射线为z 轴，建立柱坐标系．过A 作AA ′垂直于平面BCD ，垂足为A ′，则|BA ′|＝323×23＝3， |AA ′|＝32－(3)2＝6， ∠A ′Bx ＝π2－π6＝π3，则A ⎝⎛⎭⎫3，π3，6，B (0,0,0)，C ⎝⎛⎭⎫3，π6，0，D ⎝⎛⎭⎫3，π2，0. 求空间中一点的柱坐标，与求平面极坐标类似，需要确定极径、极角，只是比平面极坐标多了一个量，即点在空间中的高度．1．点P 的柱坐标为⎝⎛⎭⎫16，π3，5，则其直角坐标为__________．答案：(8,83，5)解析：∵ρ＝16，θ＝π3，z ＝5，∴x ＝ρcos θ＝8，y ＝ρsin θ＝83，z ＝5， ∴点P 的直角坐标是(8,83，5)．2．点B 的直角坐标为(1，3，4)，则它的柱坐标是__________．答案：⎝⎛⎭⎫2，π3，4 解析：x ＝1＝r cos θ，y ＝3＝r sin θ，∴tan θ＝ 3.∵0≤θ＜2π，x ＞0，∴θ＝π3，r ＝2，z ＝4，∴点B 的柱坐标为⎝⎛⎭⎫2，π3，4. 3．已知点M 的球坐标为⎝⎛⎭⎫4，π4，3π4，则它的直角坐标为____________，它的柱坐标是____________．答案：(－2,2,22) ⎝⎛⎭⎫22，3π4，22 解析：设点M 的直角坐标为(x ，y ，z )，则x ＝4sin π4cos 3π4＝－2，y ＝4sin π4sin 3π4＝2，z ＝4cos π4＝2 2.所以点M 的直角坐标为(－2,2,22)． 设点M 的柱坐标为(r ，θ，z ′)，则r ＝x 2＋y 2＝22，tan θ＝2－2＝－1，所以θ＝3π4.又z ′＝22，所以点M 的柱坐标为⎝⎛⎭⎫22，3π4，22. 4．将点M (1，－1，6)化成球坐标为__________．答案：⎝⎛⎭⎫22，π6，3π4 解析：设点M 的球坐标为(r ，φ，θ)，则r ＝12＋(－1)2＋(6)2＝22，tan φ＝x 2＋y 2z ＝12＋126＝33，由0≤φ≤π，知φ＝π6，又tan θ＝y x ＝－11＝－1,0≤θ＜2π，x ＞0，∴θ＝3π4.∴M (1，－1，6)的球坐标为⎝⎛⎭⎫22，π6，3π4. 5．用两个平行平面去截球，在两个截面圆上有两个点，它们分别为A ⎝⎛⎭⎫8，π4，θA ，B ⎝⎛⎭⎫8，3π4，θB ，求出这两个截面间的距离． 解：如图，由题意可知，O 1O 2即为两个截面间的距离．∵|OA |＝|OB |＝8，∠AOO 1＝π4，∠BOO 1＝3π4，∴在△AOO 1中，|OO 1|＝|OA |cos π4＝.在△BOO 2中，|OO 2|＝|OB |cos π4＝.则|O 1O 2|＝|OO 1|＋|OO 2|＝＋即两个截面间的距离为。

坐标特征的知识点总结一、坐标系的定义1.1 坐标系的概念坐标系是一种用来描述地理位置的系统，它由一组基准线和单位长度定义。

在地图上，坐标系可以帮助我们准确地定位地理位置，并进行测量和分析。

常见的坐标系包括直角坐标系、极坐标系、经纬度坐标系等。

1.2 坐标系的分类根据坐标轴的数目，坐标系可以分为二维坐标系和三维坐标系。

二维坐标系由两条垂直的坐标轴构成，分别为水平轴和垂直轴，用来描述平面上的地理位置。

三维坐标系由三条相互垂直的坐标轴构成，分别为x轴、y轴和z轴，用来描述空间中的地理位置。

1.3 坐标系的特点不同的坐标系具有不同的特点，例如直角坐标系是以原点为基准，用两个垂直的坐标轴来表示地理位置；经纬度坐标系是以地球赤道和子午线为基准，用经度和纬度来表示地理位置。

不同的坐标系在描述地理位置时采用不同的单位和方法，因此在使用中需要根据具体需求选择合适的坐标系。

二、常用的坐标系2.1 直角坐标系直角坐标系也称为笛卡尔坐标系，它由两条垂直的坐标轴构成，分别为x轴和y轴。

地理位置通过x轴和y轴上的坐标值来表示，例如(x, y)。

直角坐标系常用于描述平面上的地理位置，如城市、道路、建筑物等。

2.2 极坐标系极坐标系是一种用来描述平面极点的坐标系，它由极径和极角两个参数来确定地理位置。

极径表示从极点到地理位置的距离，极角表示地理位置与极轴的夹角。

极坐标系常用于描述圆形、极坐标曲线等地理位置。

2.3 经纬度坐标系经纬度坐标系是一种用来描述地球表面地理位置的坐标系，它由经度和纬度两个参数来确定地理位置。

经度表示地理位置在东西方向上的距离，纬度表示地理位置在南北方向上的距离。

经纬度坐标系常用于描述地球表面的地理位置，如国家、城市、湖泊、河流等。

2.4 其他坐标系除了上述常用的坐标系外，还有许多其他的坐标系，如球面坐标系、等角坐标系、三角坐标系等。

这些坐标系在地理信息系统、地图制图、航空航海等领域都有着重要的应用价值。

湘教版高中数学必修第一册-4.4.1方程的根与函数的零点-学案讲义教材要点要点一方程的根与函数零点的关系状元随笔函数的零点不是一个点，而是一个实数，当自变量取该值时，其函数值等于零．要点二函数零点的判定函数零点存在定理如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上，当x从a到b逐渐增加时，如果f(x)连续变化且有f(a)·f(b)＜0，则存在点x0∈(a，b)，使得f(x0)＝0.如果知道y＝f(x)在区间[a，b]上单调递增或单调递减，就进一步断定，方程f(x)＝0在(a，b)内恰有一个根．状元随笔定理要求具备两条：①函数在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线；②f(a)·f(b)＜0.基础自测1.思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)所有的函数都有零点．()(2)若方程f(x)＝0有两个不等实根x1，x2，则函数y＝f(x)的零点为(x1，0)，(x2，0)．()(3)若函数y＝f(x)在区间(a，b)上有零点，则一定有f(a)·f(b)＜0.()(4)函数y＝2x－1的零点是12.()2．函数f(x)＝ln(x＋1)－2x的零点所在的一个区间是()A．(0，1)B．(1，2)C．(2，3)D．(3，4)3．函数f(x)＝x3－x的零点个数是()A．0B．1C．2D．34．若函数f(x)＝x2－ax－b的两个零点是2和3，则函数g(x)＝bx2－ax－1的零点是________．题型1求函数的零点例1(1)函数f(x)＝2x−2，x≤12+log2x，x＞1的零点是()A．14B．1C．14和1D．0和1(2)如果函数f(x)＝ax＋b有一个零点是2，那么函数g(x)＝bx2－ax的零点是() A．0，2B．0，12C．0，－12D．2，－12方法归纳函数零点的求法求函数y＝f(x)的零点通常有两种方法：其一是令f(x)＝0，根据解方程f(x)＝0的根求得函数的零点；其二是画出函数y＝f(x)的图象，图象与x轴的交点的横坐标即为函数的零点．跟踪训练1(1)函数f(x)＝x－1x的零点是________．(2)函数f(x)＝2x＋x－1的零点为________．题型2函数零点的个数问题角度1判断函数零点的个数例2函数f(x)＝ln x－1x−1的零点个数是()A．0B．1C．2D．3方法归纳判断函数零点的个数的方法主要有：(1)对于一般函数的零点个数的判断问题，可以利用零点存在性定理来确定零点的存在性，然后借助于函数的单调性判断零点的个数．(2)由f(x)＝g(x)－h(x)＝0，得g(x)＝h(x)，在同一坐标系中作出y1＝g(x)和y2＝h(x)的图象，利用图象判定方程根的个数．角度2由函数零点求参数的取值范围例3已知函数f(x)＝1+>−1ݔ+≤−1,若方程f(x)－m＝0有4个不相同的解，则实数m取值范围为()A．(0，1]B．[0，1)C．(0，1)D．[0，1]方法归纳已知函数零点个数求参数范围的常用方法跟踪训练2(1)函数f(x)－x3－2在区间(－1，0)内的零点个数是()A．0B．1C．2D．3(2)若函数f(x)＝24ax2＋4x－1在区间(－1，1)内恰有一个零点，则实数a的取值范围是()A．−1824B．−18∪C．−18，0∪0D．−题型3函数零点所在的区间问题角度1确定零点所在区间例4函数f(x)＝ln x＋2x－3的零点所在的一个区间是()A．(0，12)B．(12，1)C．(1，32)D．(32，2)方法归纳判断函数零点所在区间的三个步骤(1)代入：将区间端点值代入函数求出函数的值．(2)判断：把所得的函数值相乘，并进行符号判断．(3)结论：若符号为正且函数在该区间内是单调函数，则在该区间内无零点，若符号为负且函数连续，则在该区间内至少有一个零点．角度2由函数零点所在区间求参数范围例5若函数f(x)＝3x2－5x＋a的一个零点在区间(－2，0)内，另一个零点在区间(1，3)内，则实数a的取值范围是________________.方法归纳根据零点存在性定理及函数性质列出不等式组，解不等式组即可求出参数的取值范围．跟踪训练3(1)在下列区间中，函数f(x)＝6x－log2x的零点所在区间为()A1B．(1，2)C．(3，4)D．(4，5)(2)已知函数f(x)＝ln x－m的零点位于区间(1，e)内，则实数m的取值范围是________．易错辨析忽视零点存在性定理的条件致误例6(多选)若函数f(x)的图象在R上连续不断，且满足f(0)＜0，f(1)＞0，f(2)＞0，则下列说法错误的有()A．f(x)在区间(0，1)上一定有零点，在区间(1，2)上一定没有零点B．f(x)在区间(0，1)上一定没有零点，在区间(1，2)上一定有零点C．f(x)在区间(0，1)上一定有零点，在区间(1，2)上可能有零点D．f(x)在区间(0，1)上可能有零点，在区间(1，2)上一定有零点解析：由题知f(0)·f(1)＜0，所以根据函数零点存在性定理可得f(x)在区间(0，1)上一定有零点，又f(1)·f(2)＞0，因此无法判断f(x)在区间(1，2)上是否有零点．故选ABD.答案：ABD易错警示易错原因纠错心得易忽略零点存在性定理的条件：函数在闭区间上是连续不断的一条曲线．端点函数值异号，只是一个条件，还要注意零点存在性定理成立的另一个条件，即函数在闭区间上是连续不断的一条曲线．课堂十分钟1．函数f (x )＝2x 2－3x ＋1的零点是()A ．－12，－1B ．12，1C ．12，－1D ．－12，12．函数f (x )＝x 3＋3x －2的零点所在区间为()A ．0B2C D 13．(多选)已知函数ݔ2−4x +2,x ≥013ݔ+1,ݔ쳌0,若函数g (x )＝f (x )－m 恰有3个零点，则m 的取值可能为()A ．13B ．1C ．2D ．524．函数f (x )＝x 2+2x −3，x ≤0，−2+ln x ，x ＞0，零点的个数为________．5．已知函数f (x )＝x 2＋3(m ＋1)x ＋n 的零点是1和2，求函数y ＝log n (mx ＋1)的零点．参考答案与解析新知初探·课前预习要点一交点的横坐标零点[基础自测]1．答案：(1)×(2)×(3)×(4)√2．解析：f(1)＝ln 2－2＜0，f(2)＝ln 3－1＞0，∴f(1)·f(2)＜0，∴函数f(x)的一个零点区间为(1，2).答案：B3．解析：f(x)＝x(x －1)(x ＋1)，令x(x －1)(x ＋1)＝0，解得x ＝0，x ＝1，x ＝－1，即函数的零点为－1，0，1，共3个．答案：D4．解析：由22−2 − 던0,32−3 − 던0,得던5, 던−6,∴g(x)＝－6x 2－5x －1的零点是－12，－13.答案：－12，－13题型探究·课堂解透例1解析：(1)当x ≤1时，由2x －2＝0得x ＝1；当x ＞1时，由2＋log 2x ＝0得x ＝14(舍去)所以函数f(x)的零点是1.故选B .(2)由题意知f(2)＝2a ＋b ＝0，即b ＝－2a ，则g(x)＝bx 2－ax ＝－2ax 2－ax ＝－ax(2x ＋1).由g(x)＝0得x ＝0或x ＝－12，故函数g(x)的零点是0，－12.故选C .答案：(1)B (2)C跟踪训练1解析：(1)令f(x)＝x －1x ＝0，得x ＝±1.∴函数f(x)＝x －1x的零点是±1.(2)在同一平面直角坐标系中作出函数y ＝2x ，y ＝－x ＋1的图象，如图所示，由图可知函数f(x)的零点为0.答案：(1)±1(2)0例2解析：(1)由f(x)＝ln x －1x －1＝0得ln x ＝1x －1，在同一坐标系中画出y ＝ln x 与y ＝1x －1的图象，如图所示，函数y ＝ln x 与y ＝1x －1的图象有两个交点，所以函数f(x)＝ln x －1x －1的零点个数为2.答案：C例3解析：画出函数f(x)的图象，如图所示：若方程f(x)－m ＝0有4个不相同的解，则y ＝m 和f(x)的图象有4个不同的交点，结合图象，0＜m ≤1.答案：A 跟踪训练2解析：(1)因为函数f(x)＝12x－x 3－2为减函数，又f(－1)＝12－1－(－1)3－2＝1>0，f(0)＝12－(0)3－2＝－1<0.故函数f(x)在区间(－1，0)内的零点个数是1.(2)∵f(x)＝24ax 2＋4x －1，∴f(0)＝－1≠0，x ＝0不是函数的零点．∴当x ≠0时，由f(x)＝24ax 2＋4x －1＝0.得a ＝1－4x 24x 2＝1242－16·1x＝1242－16.令t ＝1x，则t ∈(－∞，－1)∪(1，＋∞)，令g(t)＝124(t －2)2－16，则g(－1)＝524，g(1)＝－18，g(2)＝－16.函数f(x)＝24ax 2＋4x －1在区间(－1，1)内恰有一个零点⇔函数y ＝a 的图象与函数y ＝g(t)，t ∈(－∞，－1)∪(1，＋∞)的图象有且只有一个交点，由图可知，a ∈－18，524.答案：(1)B (2)B例4解析：函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，其图象在定义域上为一条不间断的曲线，且f(1)＝－1＜0，＝ln32＞0，由零点存在性定理可知，函数f(x)上存在零点．答案：C例5解析：根据二次函数及其零点所在区间可画出大致图象，如图．（－2）＞0，（0）＜0，（1）＜0，（3）＞0，＋10＋a＞0，＜0，－5＋a＜0，－15＋a＞0，解得－12<a<0.答案：(－12,0)跟踪训练3解析：(1)因为函数f(x)＝6x－log2x是减函数．又f(3)＝2－log23>0，f(4)＝32－2<0，根据零点存在性定理得到函数f(x)在区间(3，4)上存在零点．(2)令f(x)＝ln x－m＝0，得m＝ln x，因为x∈(1，e)，所以ln x∈(0，1)，故m∈(0，1).答案：(1)C(2)(0，1)[课堂十分钟]1．解析：方程2x2－3x＋1＝0的两根分别为x1＝1，x2＝12，所以函数f(x)＝2x2－3x＋1的零点是12，1.故选B.答案：B2．解析：函数f(x)＝x3＋3x－2是连续函数且单调递增，∵f(12)＝18＋32－2＝－38＜0，f(34)＝2 64＋ 4－2＝4364＞0∴f(12)f(34)＜0，由零点判定定理可知函数的零点在区间 12,34)上．故选C.答案：C3．解析：g(x)恰好有3个零点，等价于f(x)＝m有三个不等实根，如图，作出y＝f(x)的图象，可得当13＜m≤2时，f(x)的图象与y＝m有三个交点．故选BC.答案：BC4．解析：x≤0时，令x2＋2x－3＝0，解得x＝－3.x＞0时，f(x)＝ln x－2在(0，＋∞)上递增，f(1)＝－2＜0，f(e3)＝1＞0，∵f(1)f(e3)＜0，∴f(x)在(0，＋∞)上有且只有一个零点．综上，f(x)在R上有2个零点．答案：25．解析：由题可知，f(x)＝x2＋3(m＋1)x＋n的两个零点为1和2.则1和2是方程x2＋3(m＋1)x＋n＝0的两根．＋2＝－3（m＋1），×2＝n，＝－2，＝2.所以函数y＝log n(mx＋1)的解析式为y＝log2(－2x＋1)，要求其零点，令log2(－2x＋1)＝0，解得x＝0.所以函数y＝log2(－2x＋1)的零点为0.。

柱坐标系和球坐标系【学习目标】1．了解在柱坐标系、球坐标系中刻画空间中点的位置的方法。

2．理解柱坐标、球坐标与空间直角坐标的互化关系与公式。

3．体会空间直角坐标、柱坐标、球坐标刻画点的位置的方法的区别。

【学习过程】1．柱坐标系如图1－3－1，建立空间直角坐标系O －xyz 。

设M (x ，y ，z )为空间一点，并设点M 在xOy 平面上的投影点P 的极坐标为(r ，θ)，则这样的三个数r ，θ，z 构成的有序数组(r ，θ，z )就叫作点M 的柱坐标，这里规定r ，θ，z 的变化范围为0≤r ＜＋∞，0≤θ＜2π，－∞＜z ＜＋∞。

1－3－1特别地，r ＝常数，表示的是以z 轴为轴的圆柱面；θ＝常数，表示的是过z 轴的半平面；z ＝常数，表示的是与xoy 平面平行的平面。

2．球坐标系设M (x ，y ，z )为空间一点，点M 可用这样三个有次序的数r ，φ，θ来确定，其中r 为原点O 到点M 间的距离，φ为有向线段O M →与z 轴正方向所夹的角，θ为从z 轴正半轴看，x轴正半轴按逆时针方向旋转到有向线段O P →的角，这里P 为点M 在xOy 平面上的投影(如图1－3－2)。

这样的三个数r ，φ，θ构成的有序数组(r ，φ，θ)叫作点M 的球坐标，这里r ，φ，θ的变化范围为0≤r <＋∞，0≤φ≤π，0≤θ＜2π。

1－3－2特别地，r ＝常数，表示的是以原点为球心的球面；φ＝常数，表示的是以原点为顶点，z 轴为轴的圆锥面；θ＝常数，表示的是过z 轴的半平面。

3．空间中点的坐标之间的变换公式空间直角坐标柱坐标系球坐标系(x ，y ，z )⎩⎨⎧x ＝r cos θy ＝r sin θz ＝z⎩⎨⎧x ＝r sin φcos θy ＝r sin φsin θz ＝r cos φ思考探究1．空间中点的三种坐标各有何特点？提示：设空间中点M 的直角坐标为(x ，y ，z )，柱坐标为(r ，θ，z )，球坐标为(r ，φ，θ)，它们都是有序数组，但意义不同。

四 柱坐标系与球坐标系简介互动课堂重难突破本课时的重点与难点均为对柱坐标系、球坐标系概念的理解及简单应用.一、柱坐标系1.定义：如图,建立空间直角坐标系O —xyz ，设P 是空间任意一点，它在Oxy 平面上的射影为Q ，用(ρ，θ）（ρ≥0,0≤θ〈2π）来表示点Q 在平面Oxy 上的极坐标.这时点P 的位置可用有序数组(ρ,θ,z)（z ∈R ）表示.这样,我们建立了空间的点与有序数组（ρ,θ,z ）之间的一种对应关系,把建立上述对应关系的坐标系叫做柱坐标系，有序数组（ρ,θ，z )叫做点P 的柱坐标，记作P (ρ,θ,z ），其中ρ≥0,0≤θ〈2π，—∞〈z <+∞。

2.空间点P 的直角坐标（x ,y ,z )与柱坐标（ρ,θ,z ）之间的变换公式为⎪⎩⎪⎨⎧===.,cos ,cos z z y x θρθρ二、球坐标系1.定义：如图,建立空间直角坐标系O —xy z ，设P 是空间任意一点,连结OP ，记|OP |=r ,OP 与Oz 轴正向所夹的角为φ，设P 在Oxy 平面上的射影为Q ,Ox 轴按逆时针方向旋转到OQ 时所转过的最小正角为θ。

这样点P 的位置就可以用有序数组（r ，φ,θ）表示。

这样，空间的点与有序数组（r ，φ,θ）之间建立了一种对应关系，把建立上述对应关系的坐标系叫做球坐标系(或空间极坐标系），有序数组(r ,φ，θ）叫做点P 的球坐标，记作P （r ,φ,θ），其中r ≥0,0≤φ≤π,0≤θ〈2π。

2。

空间点P 的直角坐标(x ，y ,z ）与球坐标（r ,φ，θ）之间的变换关系为⎪⎩⎪⎨⎧===.cos ,sin sin ,cos sin ϕθϕρθϕρr z r y r x3.球坐标系在地理学、天文学中有着广泛的应用。

在测量实践中,球坐标中的角θ称为被测点P (r ,φ，θ）的方位角，90°-φ称为高低角.可以看出,球坐标系与柱坐标系都是在空间直角坐标系的基础上建立的. 在直角坐标系中，我们需要三个长度：（x ，y ,z ），而在球坐标系与柱坐标系中,我们需要长度，还需要角度.它是从长度、方向来描述一个点的位置，需要（ρ,θ,z )或者（r ,φ,θ)。

4.1.3 球坐标系与柱坐标系自主整理1.在空间任取一点O 作为______________，从O 引两条______________的射线OX 和OZ 作为______________，再规定一个______________和射线OX 绕OZ 轴旋转所成的角的______________，这样就建立了一个______________.答案:极点 互相垂直 极轴 单位长度 正方向 球坐标系2.设P 是空间一点,用r 表示OP 的长度,θ表示以OZ 为始边,OP 为终边的角,φ表示半平面XOZ 到半平面POZ 的角.那么,有序数组(r,θ,φ)就称为点P 的______________.这里r 是______________,φ相当于______________,θ相当于______________.当r≥0,0≤θ≤______________，0≤φ＜______________时，空间的点（除直线 OZ 上的点）与有序数组（r,θ,φ）(r≠0,θ≠0)建立一一对应关系.答案:球坐标 矢径 经度 纬度 π 2π3.空间点P 的直角坐标（x,y,z ）与球坐标（r,θ，φ）之间的变换关系为：____________________________.答案:⎪⎩⎪⎨⎧===.cos ,sin sin ,cos sin θϕθϕθr z r y r x4.在平面极坐标系的基础上，增加垂直于此平面的OZ 轴，可得______________. 答案:空间柱坐标系5.设P 是空间一点，P 在过O 且垂直于OZ 轴的平面上的射影为Q ，取OQ=ρ，∠XOQ=θ，QP=z.那么，点P 的柱坐标为有序数组（ρ，θ，z ）.当ρ≥0，0≤θ＜2π，z∈R 时，空间的点（除直线OZ 上的点）与有序数组（ρ，θ，z ）（ρ≠0）建立一一对应关系. 高手笔记1.设空间中一点M 的直角坐标为（x,y,z ）,点M 在xOy 坐标面上的投影点为M 0，连结OM 和OM 0.如图所示，设z 轴的正向与向量OM的夹角为θ，x 轴的正向与0OM 的夹角为φ，M 点到原点O 的距离为r,则由三个数r,θ,φ构成的有序数组（r,θ,φ）称为空间中点M 的球坐标.若设投影点M 0在xOy 平面上的极坐标为（ρ，θ），则极坐标中的θ′就是球坐标中的φ，在球坐标中限定r≥0,0≤φ＜2π,0≤θ≤π.2.在空间球坐标系中，方程r=r 0(r 0为正常数)表示球心在原点，半径为r 0的球面；方程φ=φ0（0≤φ0＜2π）表示过z 轴的半平面，它与xOz 坐标面的夹角为φ0；方程θ=θ0（0≤θ0≤π）表示顶点在原点，轴截面顶角为2θ0的圆锥面，且中心轴是z 轴，θ0＜2π时它在上半空间，θ0＞2π时它在下半空间，θ0=2π时它是xOy 平面，如图所示.3.设空间中一点M 的直角坐标为（x,y,z ），M 点在xOy 坐标面上的投影点为M 0，M 0点在xOy 平面上的极坐标为（ρ，θ），如图所示，则三个有序数ρ，θ，z 构成的数组（ρ，θ，z ）称为空间中点M 的柱坐标.在柱坐标中，限定ρ≥0，0≤θ＜2π，z 为任意实数.由此可见，柱坐标就是平面上的极坐标，加上与平面垂直的一个直角坐标.名师解惑在研究空间图形的几何特征时，应该怎样建立坐标系？剖析：我们已经学习了数轴、平面直角坐标系、平面极坐标系、空间直角坐标系、柱坐标系、球坐标系等.坐标系是联系形与数的桥梁，利用坐标系可以实现几何问题与代数问题的相互转化.不同的坐标系有不同的特点，在实际应用时，我们就可以根据问题的特点选择适当的坐标系，借助坐标系方便、简捷地研究问题.当图形中有互相垂直且相交于一点的三条直线时，可以利用这三条直线直接建立空间直角坐标系.有些图形虽然没有互相垂直且相交于一点的三条直线，但是图形中有一定的对称关系（如：正三棱锥﹑正四棱锥﹑正六棱锥等），我们可以利用图形的对称性建立空间坐标系来解题.有些图形没有互相垂直且相交于一点的三条直线，但是有两个互相垂直的平面，我们可以利用面面垂直的性质定理，作出互相垂直且相交于一点的三条直线，建立空间坐标系. 讲练互动【例题1】已知长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的边长为AB=14,AD=6,AA 1=10,以这个长方体的顶点A 为坐标原点，以射线AB 、AD 、AA 1分别为x 、y 、z 轴的正半轴，建立空间直角坐标系，求长方体顶点C 1的空间直角坐标、柱坐标、球坐标.思路分析：此题考查空间直角坐标、柱坐标、球坐标的概念，我们要能借此区分三个坐标，找出它们的相同和不同来.如图，C 1点的x,y,z 分别对应着CD 、BC 、CC 1；C 1点的ρ,θ,z 分别对应着CA 、∠BAC、CC 1；C 1点的（r,θ，φ)分别对应着AC 1、∠A 1AC 1、∠BAC. 解：C 1点的空间直角坐标为(14,6,10)，C 1点的柱坐标为(232,arctan 73,10)，C 1点的球坐标为(332,arccos 33210,arctan 73).绿色通道另外，点B 的空间直角坐标为（14，0，0），柱坐标为（14，0，0），球坐标为（14，2π,0）；点A 1的空间直角坐标为（0，0，10），柱坐标为（0，0，10），球坐标为（10，0，0）. 变式训练1.设点M 的直角坐标为（1，1，2），求它的球坐标.思路分析：利用球坐标与直角坐标的坐标变换公式求解.解：由坐标变换公式，可得r=2)2(11222222=++=++z y x . 由rcosθ=z,得cosθ=r 2=22.∴θ=4π.又tanφ=x y =1,∴φ=4π(M 点在第一卦限)，故M 点的球坐标为（2，4π，4π）. 【例题2】一个圆形体育场看台，自正东方向起，按逆时针方向等分为十六个扇形区域，顺次记为一区，二区,…,十六区，我们设看台第一排与体育场中心的距离为200m ，且与中心水平，每相邻两排的间距为1m ，每层看台的高度为0.7m ，现在需要确定第九区第四排正中的位置A ，请建立适当的坐标系，把点A 的坐标求出来.解：以圆形体育场中心O 为极点，选取以O 为端点且过正东入口的射线为极轴，在地面上建立极坐标系.则点A 与体育场中轴线OZ 的距离为203m ，极轴OX 按逆时针方向旋转1617π,就是OA 在地平面上的射影，A 距地面的高度为2.1 m ，因此点A 的柱坐标为(203,1617π,2.1). 绿色通道找空间中一点的柱坐标，与找平面极坐标是类似的，需要确定极径、极角，只是比平面极坐标多了一个量，即点在空间中的高度.变式训练2.经过若干个固定和流动的地面遥感观测站监测，并通过数据汇总，计算出一个航天器在某一时刻离地面2 384千米，地球半径为6 371千米，此时经度为80°，纬度为75°.试建立适当的坐标系，确定出此时航天器的坐标.思路分析：在赤道平面上，我们选取地球球心为极点，以O 为端点且与零子午线相交的射线OX 为极轴，建立平面极坐标系，在此基础上，取以O 为端点且经过北极的射线OZ （垂直于赤道平面）为另一条极轴，如图建立一个球坐标系.解：在赤道平面上，选取地球球心为极点，以O 为端点且与零子午线相交的射线为极轴，建立球坐标系.由已知航天器位于经度80°处，可知φ=80°.由航天器位于纬度75°处，可知θ=90°-75°=15°.由航天器离地面2 384千米，地球半径为6 371千米，可知r=2 384+6 371=8 755千米.即航天器的球坐标为(8 755,15°,80°).教材链接［P 11思考］在地球同步通讯卫星的问题中，建立适当的球坐标系，并运用球坐标表示三个地球同步通讯卫星的位置.答：以地球球心为极点O ，以O 为端点且经过一颗卫星的射线为OX 轴，垂直于赤道平面的射线为OZ 轴，建立球坐标系.则三颗同步通讯卫星的球坐标分别为（36 000，2π），（36 000，2π,32π）,（36 000，2π，34π）. ［P 13思考］由柱坐标系的意义，你能找出空间一点的柱坐标与直角坐标的关系吗？答：空间点P 的直角坐标（x,y,z ）与柱坐标（ρ，θ，z ）之间的变换公式为⎪⎩⎪⎨⎧===.,sin ,cos z z y x θρθρ。