正态分布(习题课)

1. 若x ～N (0,1),求(l)P (-2.32<x <1.2)；(2)P (x >2). 解：(1)P (-2.32<x <1.2)=Φ(1.2)-Φ(-2.32)=Φ(1.2)-[1-Φ(2.32)]=0.8849-(1-0.9898)=0.8747.(2)P (x >2)=1-P (x <2)=1-Φ(2)=l-0.9772=0.0228. 2利用标准正态分布表，求标准正态总体(1)在N(1,4)下，求)3(F （2）在N （μ，σ2）下，求Ｆ（μ－σ，μ＋σ）； 解：（１）)3(F ＝)213(-Φ＝Φ（1）＝0.8413 （２）Ｆ（μ＋σ）＝)(σμσμ-+Φ＝Φ（1）＝0.8413Ｆ（μ－σ）＝)(σμσμ--Φ＝Φ（－1）＝１－Φ（1）＝１－0.8413＝0.1587 Ｆ（μ－σ，μ＋σ）＝Ｆ（μ＋σ）－Ｆ（μ－σ）＝0.8413－0.1587＝0.6826 3某正态总体函数的概率密度函数是偶函数，而且该函数的最大值为π21，求总体落入区间（－1.2，0.2）之间的概率 Φ（0.2）=0.5793, Φ（1.2）=0.8848]解：正态分布的概率密度函数是),(,21)(222)(+∞-∞∈=--x ex f x σμσπ，它是偶函数，说明μ＝0，)(x f 的最大值为)(μf ＝σπ21，所以σ＝1，这个正态分布就是标准正态分布 ( 1.20.2)(0.2)( 1.2)(0.2)[1(1.2)](0.2)(1.2)1P x -<<=Φ-Φ-=Φ--Φ=Φ+Φ-0.57930.884810.4642=+-=4.某县农民年平均收入服从μ=500元，σ=200元的正态分布 1）求此县农民年平均收入在500520元间人数的百分比；（2）如果要使此县农民年平均收入在（a a +-μμ,）内的概率不少于0.95，则a 至少有多大？[Φ（0.1）=0.5398, Φ（1.96）=0.975] 解：设ξ表示此县农民年平均收入，则)200,500(~2N ξ 520500500500(500520)()()(0.1)(0)0.53980.50.0398200200P ξ--<<=Φ-Φ=Φ-Φ=-=（2）∵()()()2()10.95200200200a a aP a a μξμ-<<+=Φ-Φ-=Φ-≥，()0.975200a ∴Φ≥ 查表知： 1.96392200aa ≥⇒≥1设随机变量(3,1),若,,则P(2<X<4)= ( A)( B)l —pC ．l-2pD ．【答案】 C 因为,所以P(2<X<4)=,选 C ．2．(2010·新课标全国理)某种种子每粒发芽的概率都为0.9，现播种了1 000粒，对于没有发芽的种子，每粒需再补种2粒，补种的种子数记为X ，则X 的数学期望为( )A ．100B ．200C ．300D ．400[答案] B[解析] 记“不发芽的种子数为ξ”，则ξ～B (1 000，0.1)，所以E (ξ)＝1 000×0.1＝100，而X ＝2ξ，故E (X )＝E (2ξ)＝2E (ξ)＝200，故选B.3．设随机变量ξ的分布列如下：其中a ，b ，c 成等差数列，若E (ξ)＝13，则D (ξ)＝( )A.49 B ．－19 C.23 D.59 [答案] D[解析] 由条件a ，b ，c 成等差数列知，2b ＝a ＋c ，由分布列的性质知a ＋b ＋c ＝1，又E (ξ)＝－a ＋c ＝13，解得a ＝16，b ＝13，c ＝12，∴D (ξ)＝16×⎝⎛⎭⎫－1－132＋13⎝⎛⎭⎫0－132＋12⎝⎛⎭⎫1－132＝59. 4．(2010·上海松江区模考)设口袋中有黑球、白球共7个，从中任取2个球，已知取到白球个数的数学期望值为67，则口袋中白球的个数为( )A ．3 B ．4 C ．5 D ．2[答案] A[解析] 设白球x 个，则黑球7－x 个，取出的2个球中所含白球个数为ξ，则ξ取值0,1,2， P (ξ＝0)＝C 7－x 2C 72＝(7－x )(6－x )42，P (ξ＝1)＝x ·(7－x )C 72＝x (7－x )21，P (ξ＝2)＝C x 2C 72＝x (x －1)42，∴0×(7－x )(6－x )42＋1×x (7－x )21＋2×x (x －1)42＝67，∴x ＝3.5．小明每次射击的命中率都为p ，他连续射击n 次，各次是否命中相互独立，已知命中次数ξ的期望值为4，方差为2，则p (ξ>1)＝( )A.255256B.9256C.247256D.764 [答案] C[解析] 由条件知ξ～B (n ，P )，∵⎩⎪⎨⎪⎧ E (ξ)＝4，D (ξ)＝2，∴⎩⎪⎨⎪⎧np ＝4np (1－p )＝2， 解之得，p ＝12，n ＝8，∴P (ξ＝0)＝C 80×⎝⎛⎭⎫120×⎝⎛⎭⎫128＝⎝⎛⎭⎫128， P (ξ＝1)＝C 81×⎝⎛⎭⎫121×⎝⎛⎭⎫127＝⎝⎛⎭⎫125， ∴P (ξ>1)＝1－P (ξ＝0)－P (ξ＝1) ＝1－⎝⎛⎭⎫128－⎝⎛⎭⎫125＝247256.5已知三个正态分布密度函数φi (x )＝12πσie －(x －μi )22σi 2(x ∈R ，i ＝1,2,3)的图象如图所示，则( )A ．μ1<μ2＝μ3，σ1＝σ2>σ3B ．μ1>μ2＝μ3，σ1＝σ2<σ3C ．μ1＝μ2<μ3，σ1<σ2＝σ3D ．μ1<μ2＝μ3，σ1＝σ2<σ3 [答案] D[解析] 正态分布密度函数φ2(x )和φ3(x )的图象都是关于同一条直线对称，所以其平均数相同，故μ2＝μ3，又φ2(x )的对称轴的横坐标值比φ1(x )的对称轴的横坐标值大，故有μ1<μ2＝μ3.又σ越大，曲线越“矮胖”，σ越小，曲线越“瘦高”，由图象可知，正态分布密度函数φ1(x )和φ2(x )的图象一样“瘦高”，φ3(x )明显“矮胖”，从而可知σ1＝σ2<σ3.6①命题“”的否定是:“”;②若,则的最大值为4;③定义在R 上的奇函数满足,则的值为0;④已知随机变量服从正态分布,则;其中真命题的序号是________(请把所有真命题的序号都填上).【答案】①③④ ①命题“”的否定是:“”;所以①正确.②若,则,即.所以,即,解得,则的最小值为4;所以②错误.③定义在R上的奇函数满足,则,且,即函数的周期是4.所以;所以③正确.④已知随机变量服从正态分布,则,所以;所以④正确,所以真命题的序号是①③④.7、在区间上任取两数m和n,则关于x的方程有两不相等实根的概率为___________.【答案】由题意知要使方程有两不相等实根,则,即.作出对应的可行域,如图直线,,当时,,所以,所以方程有两不相等实根的概率为.8、下列命题:` (1);(2)不等式恒成立,则;(3)随机变量X服从正态分布N(1,2),则(4)已知则.其中正确命题的序号为____________.【答案】(2)(3) (1),所以(1)错误.(2)不等式的最小值为4,所以要使不等式成立,则,所以(2)正确.(3)正确.(4),所以(4)错误,所以正确的为(2)(3).2已知某篮球运动员2012年度参加了40场比赛,现从中抽取5场,用茎叶图统计该运动员5场中的得分如图所示,则该样本的方差为（）A．26 B．25 C．23 D．18【答案】D样本的平均数为23,所以样本方差为,选D．3有一个容量为的样本,其频率分布直方图如图所示,据图估计,样本数据在内的频数为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C 样本数据在之外的频率为,所以样本数据在内的频率为,所以样本数据在的频数为,选 C ．4．（2013年临沂市高三教学质量检测考试理科数学）如图所示,在边长为l 的正方形OABC 中任取一点P,则点P 恰好取自阴影部分的概率为 （ ）A ．B ．C ．D ．【答案】 【答案】B 根据积分的应用可知所求阴影部分的面积为,所以由几何概型公式可得点P 恰好取自阴影部分的概率为,选B ．5从集合{}1,2,3,4,5中随机选取3个不同的数,这个数可以构成等差数列的概率为______.【答案】25从集合{}1,2,3,4,5中随机选取3个不同的数有3510C =种.则3个数能构成等差数列的有,1,2,3;2,3,4;3,4,5;1,3,5;有4种,所以这个数可以构成等差数列的概率为42105=.。

正态分布课后练习题正态分布是概率论与统计学中非常重要的一个概念，它在现实生活中的应用非常广泛。

为了更好地掌握正态分布的相关知识，下面我将给大家提供一些正态分布的课后练习题，希望能够帮助大家巩固所学知识。

练习题1：某公司的员工薪资服从正态分布，均值为5000元，标准差为1000元。

请计算以下几个问题：1. 员工薪资在4000元以上的概率是多少？2. 员工薪资在6000元以下的概率是多少？3. 员工薪资在4000元到6000元之间的概率是多少？练习题2：某学校的学生身高服从正态分布，均值为165厘米，标准差为5厘米。

请计算以下几个问题：1. 学生身高在170厘米以上的概率是多少？2. 学生身高在160厘米以下的概率是多少？3. 学生身高在160厘米到170厘米之间的概率是多少？练习题3：某超市的顾客购买的商品金额服从正态分布，均值为50元，标准差为10元。

请计算以下几个问题：1. 顾客购买的商品金额在60元以上的概率是多少？2. 顾客购买的商品金额在40元以下的概率是多少？3. 顾客购买的商品金额在40元到60元之间的概率是多少？练习题4：某地区的降雨量服从正态分布，均值为50毫米，标准差为10毫米。

请计算以下几个问题：1. 降雨量在60毫米以上的概率是多少？2. 降雨量在40毫米以下的概率是多少？3. 降雨量在40毫米到60毫米之间的概率是多少？以上是一些关于正态分布的课后练习题，希望能够帮助大家更好地理解和应用正态分布的知识。

在解答这些问题时，可以利用标准正态分布表或者统计软件进行计算。

同时，在计算过程中要注意将问题转化为标准正态分布的问题，再进行计算，以便得到准确的结果。

正态分布在实际生活中有着广泛的应用，比如在质量控制中，我们可以利用正态分布来判断产品是否合格；在心理学研究中，我们可以利用正态分布来分析人群的智力水平分布；在金融领域，我们可以利用正态分布来分析股票价格的变动情况等等。

因此，掌握正态分布的相关知识对我们的学习和工作都具有重要意义。

7.5 正态分布（分层作业）（夯实基础+能力提升）【夯实基础】一、单选题 1．（2022春·广东潮州·高二统考期末）随机变量ξ服从正态分布()10,4N ξ，则标准差为（ ） A ．2 B ．4C ．10D ．14【答案】A【分析】根据正态分布中的参数意义可知当差为4，进而可得标准差. 【详解】因为ξ服从正态分布()10,4N ξ可知:方差为4，故标准差为2，2．（2022春·江苏常州·高二统考期中）如图是三个正态分布()~0,0.64X N ，()~0,1Y N ，()~0,4Z N 的密度曲线，则三个随机变量X ，Y ，Z 对应曲线的序号分别依次为（ ）.A ．①②③B ．③②①C ．②③①D ．①③②【答案】A【分析】先利用正态分布求出三个变量的标准差，再利用当σ较小时，峰值高，正态曲线“瘦高”进行判定.【详解】由题意，得()0.8X σ=，()1Y σ=，()2Z σ=，因为当σ较小时，峰值高，正态曲线“瘦高”，且()()()X Y Z σσσ<<， 所以三个随机变量X ，Y ，Z 对应曲线的序号分别依次为①，②，③.3．（2022春·安徽安庆·高二安庆市第二中学校考期末）随机变量X 的概率分布密度函数()()()2212x f x x σ--=∈R ，其图象如图所示，设()2P X p ≥=，则图中阴影部分的面积为（ ）A ．pB ．2pC ．12p -D ．12p -A ．两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数r 的绝对值越接近于0B ．若X 是随机变量，则()()()()2121,2141E X E X D X D X +=++=+.C ．已知随机变量()0,1N ξ，若(1)P p ξ>=，则(1)12P p ξ>-=-D ．设随机变量ξ表示发生概率为p 的事件在一次随机实验中发生的次数，则()14D ξ≤某中学参加网课的100名同学每天的学习时间（小时）服从正态分布()29,1N ，则这些同学中每天学习时间超过10小时的人数估计为（ ）. 附：随机变量ξ服从正态分布()2,N μσ，则()0.6826P μσξμσ-<<+=，()220.9544P μσξμσ-<<+=. A ．12 B ．16C ．30D ．32所以每天学习时间超过10小时的人数为1000.158716⨯≈，6．（2023秋·辽宁营口·高二统考期末）正常情况下，某厂生产的零件尺寸X 服从正态分布()22,N σ（单位：m ），()1.90.1P X <=，则()2.1P X <=（ ）A ．0.1B ．0.4C ．0.5D ．0.9【答案】D【分析】根据正态分布概率的对称性求解. 【详解】因为()()1.9 2.10.1P X P X <=>=， 所以()1.9 2.110.10.10.8P X <<=--=，所以()()()2.1 1.9 2.1 1.90.9P X P X P X <=<<+<=，7．（2022·高二课时练习）4月23日为世界读书日，已知某高校学生每周阅读时间（单位：h ）()8,4XN ，则下列说法错误的是（ ）A ．该校学生每周平均阅读时间为8hB ．该校学生每周阅读时间的标准差为2C ．若该校有10000名学生，则每周阅读时间在46h 的人数约为2718D ．该校学生每周阅读时间低于4h 的人数约占2.28% ()8,4N 知)100.6826≤≈46h 的人数约占(62P X -≤，所以C 错误；0.95442.28%=从N （90，2σ），若()90950.3P c ≤≤=，则可估计该班体能测试成绩低于85分的人数为（ ）A ．5B ．10C ．15D ．30则可估计该班体能测试成绩低于85分的人数为500.210⨯=人， 9．（2022春·山西忻州·高二统考期末）随机变量X 服从正态分布()2,N μσ，且(1)(5)P X P X >-=<，则下列说法一定正确的是（ ）A ．3μ=B ．2μ=C ．3σ=D ．2σ=分）服从正态分布()285,N σ，且(8387)0.3,(7883)0.26P P ξξ<≤=<≤=，则(78)P ξ≤=（ ）A ．0.03B ．0.05C ．0.07D ．0.0911．（2022春·江苏苏州·高二校考期末）在网课期间，为了掌握学生们的学习状态，某省级示范学校对高二一段时间的教学成果进行测试．高二有1 000名学生，某学科的期中考试成绩(百分制且卷面成绩均为整数)Z 服从正态分布()282.5,5.4N ，则(人数保留整数) （ ）参考数据：若20.682 7220.954 5()()()Z N P Z P Z μσμσμσμσμσ<≤≈<≤≈～，，则－＋，－＋，330.997 3()P Z μσμσ<≤≈－＋．A ．年级平均成绩为82.5分B ．成绩在95分以上(含95分)人数和70分以下(含70分)人数相等C ．成绩不超过77分的人数少于150D ．超过98分的人数为1 【答案】ABD【分析】根据正态分布的概念可知A 对，根据对称性可知B 对，根据3σ原则和曲线的对称性即可求解C,D.【详解】由()282.5,5.4N Z ～，可知82.5, 5.4μσ==，所以平均分为82.5μ=，故A 对.12．（2022春·重庆沙坪坝·高二重庆八中校考期末）已知121,X N σ~，220,Y N σ~，则下列结论中正确的是（ ）A ．若12σσ=，则()()10P X P Y >>>B ．若12σσ=，则()()101P X P Y >+>=C ．若12σσ>，则()()0211P X P Y ≤≤<-≤≤D ．若12σσ>，则()()0101P X P Y ≤≤>≤≤13．（2022春·云南昭通·高二校联考期末）设随机变量()2,X N μσ，X 的正态密度函数为()22x f x -，则μ=______.14．（2023秋·河南南阳·高二统考期末）已知随机变量ξ服从正态分布()210,N σ，若()310.5P a ξ≤+=，则实数=a ______．【答案】3【分析】由正态分布曲线的特点可知，得正态曲线关于10x =对称，且100.5PX ≤=（），结合题意得到a 的值．【详解】随机变量ξ服从正态分布()210,N σ，正态曲线关于10x =对称，且100.5PX ≤=（）， 由()310.5P a ξ≤+=，可知3110a +=，解得3a =．15．（2022春·重庆·高二校联考阶段练习）已知随机变量X 服从正态分布()2,N μσ，若()260.6P X <<=，()60.2P X ≥=，则μ=______． 【答案】4【分析】先求出()2P X ≤的概率，然后根据正态分布的特征求解即可. 【详解】解：由题意得：∵()()()()2162610.60.20.26P X P X P X P X ≤=-≥-<<=--==≥ ∴2与6关于x μ=对称 ∴4μ=．16．（2023秋·安徽宿州·高二安徽省泗县第一中学校考期末）某学校高二年级有1500名同学，一次数学考试的成绩X 服从正态分布()2110,10N ．已知(100110)0.34P X <≤=，估计高二年级学生数学成绩在120分以上的有__________人．17．（2023秋·辽宁葫芦岛·高二葫芦岛第一高级中学校考期末）随机变量X 服从正态分布，即()10,9X N ~，随机变量23Y X =-，则()E Y =__________，()D Y =__________． 【答案】 17 36【分析】首先根据正态分布的知识得()(),E X D X ，然后可得答案. 【详解】因为()10,9X N ~，所以()()10,9E X D X ==，因为23Y X =-，所以()()2320317E Y E X =-=-=，()()436D Y D X ==， 五、解答题18．（2023秋·河南南阳·高二统考期末）某车间生产一批零件，现从中随机抽取10个，测量其内径的数据如下（单位：mm ）：192，192，193，197，200，202，203，204，208，209．设这10个数据的均值为μ，标准差为σ． (1)求μ和σ；(2)已知这批零件的内径X （单位：mm ）服从正态分布()2,N μσ，若该车间又新购一台设备，安装调试后，试生产了5个零件，测量其内径（单位：mm ）分别为：181，190，198，204，213，如果你是该车间的负责人，以原设备生产性能为标准，试根据3σ原则判断这台设备是否需要进一步调试？并说明你的理由． 参考数据：若()2,XN μσ，则：()0.6826P X μσμσ-<≤+≈，()220.9544P X μσμσ-<≤+≈，()330.9974P X μσμσ-<≤+≈，40.99740.99≈． (200,36N )200180.9974+≈所以五个零件的内径中恰有1态分布()2N 500,5（单位：g ）．(1)求正常情况下，任意抽取一包白糖，质量小于485g 的概率约为多少？。

正态分布应用练习题正态分布（也称为高斯分布）是统计学中一种常见的概率分布。

它是以数学家卡尔·弗里德里希·高斯命名的，因为他在研究测量误差时首先提出了这个分布。

正态分布在实际问题中的应用非常广泛，包括经济学、自然科学、社会科学等领域。

在本文中，我们将通过一些练习题来应用正态分布。

练习题一：考试成绩假设一门考试的平均分为80分，标准差为10分，试求该门考试的成绩分布情况。

解答：根据正态分布理论，我们可以利用正态分布的概率密度函数来计算某个分数的概率。

设考试成绩为X，则X服从正态分布N(80, 10^2)。

现假设有一名学生的考试成绩为90分，我们可以计算该成绩在整个考试成绩中的排名。

根据正态分布的概率密度函数，我们可以得到：P(X ≤ 90) = Φ((90-80)/10)其中，Φ表示标准正态分布的累积分布函数。

查找标准正态分布表可得Φ(1) ≈ 0.8413。

因此，P(X ≤ 90) ≈ 0.8413，也就是说，该学生的考试成绩在所有考试成绩中排名约为84.13%。

练习题二：产品质量控制某公司生产的产品每天的重量符合正态分布，平均重量为500克，标准差为10克。

该公司规定产品的合格范围在490克到510克之间。

现在，我们要求计算该公司生产的产品中，重量符合规定范围的比例。

解答：设产品重量为X，X服从正态分布N(500, 10^2)。

我们可以计算该产品的重量在规定范围内的概率。

P(490 ≤ X ≤ 510) = Φ((510-500)/10) - Φ((490-500)/10)通过查找标准正态分布表，我们可以得到Φ(1) ≈ 0.8413 和Φ(-1) ≈ 0.1587。

因此，P(490 ≤ X ≤ 510) ≈ 0.8413 - 0.1587 ≈ 0.6826。

即该公司生产的产品中，重量在490克到510克之间的比例约为68.26%。

练习题三：房屋租金某城市的房屋租金符合正态分布，平均租金为5000元，标准差为1000元。

课题：正态分布(一)〖教学目标〗(1)深刻理解并掌握正态分布和正态曲线的概念、意义及性质.(2)理解和掌握标准正态总体、标准正态曲线的概念、意义及性质.(3)能用正态分布、正态曲线研究有关随机变量分布的规律.(4)会画有关正态分布的正态曲线和标准正态曲线.(5)会用函数的概念、性质解决有关正态分布的问题.〖教学重点〗正态分布的意义,正态分布的主要性质.〖教学难点〗正态分布的意义及性质,标准正态总体,标准正态曲线的概念.〖教学方法〗探究式教学法〖课时安排〗1课时〖多媒体工具〗多媒体、实物投影仪〖教学过程〗一、复习引入1．复习提问(1)运用多媒体画出(图1－3)频率分布直方图．(2)当n由100增至200时，观察频率分布直方图的变化．(3)请问当样本容量n无限增大时，频率分布直方图变化的情况(频率分布就会无限接近一条光滑曲线——总体密度曲线)(4)样本容量越大，总体估计就越精确．[来源:通过实例，说明正态分布(密度)是最基本、最重要的一种分布．如学生的学习成绩、气象中的平均气温、平均湿度等等，都服从或近似地服从正态分布．二、讲解新课1． 正态分布与正态曲线(1) 总体密度曲线可以用一个函数()y f x =的图象来拟合,我们选用什么样的函数呢换句话讲,由这个曲线,我们可以想到哪类函数与它相近似(2) 如果随机变量ξ的概率密度为()f x =22()22x e μσπσ--(,,x R μσ∈为常数，且σ0>)，称ξ服从参数为,μσ的正态分布,用ξ～()2,N μσ表示,()f x 的表达式可简记为()2,N μσ,它的密度曲线简称为正态曲线.其中：π是圆周率；e 是自然对数的底；x 是随机变量的取值；μ为正态分布的均值；σ是正态分布的标准差例1 下面给出三个正态总体的函数表示式，请找出其均值μ和标准差σ． (1)22()2x f x π-=(2)2(1)8()2x f x π--=(3)22(1)()x f x π-+=(答案：μ＝0，σ＝1；μ＝1，σ＝2；μ＝－1，σ＝2． 正态曲线的性质通过对三组正态曲线分析，得出正态曲线具有的基本特征是两头底、中间高、且关于某条直线对称.结合正态曲线，归纳其以下性质：(1)曲线在x轴的上方，与x轴不相交．[来源:曲线关于直线x ＝μ对称．(3)当x＝μ时，曲线位于最高点．(4)当x＜μ时，曲线上升(增函数)；当x＞μ时，曲线下降(减函数)．并且当曲线向左、右两边无限延伸时，以x轴为渐近线，向它无限靠近．(5)μ一定时，曲线的形状由σ确定．σ越大，曲线越“矮胖”，总体分布越分散；σ越小，曲线越“高”，总体分布越集中；五条性质中前三条学生较易掌握，后两条较难理解，因此在讲授时应运用数形结合的原则，采用对比教学．例2正态总体的函数表示式是22(1) ()xf xπ-+=,(1)求f(x)的最大值．(2)利用指数函数性质说明其单调区间，以及曲线的对称轴．3.标准正态分布与标准正态分布表(1)当μ＝0、σ＝1时，正态总体称为标准正态总体，其相应的函数表示式是22()2xf xπ-=（-∞＜x＜+∞）,记作ξ～(0,1)N.其相应的曲线称为标准正态曲线．标准正态总体N(0，1)在正态总体的研究中占有重要的地位．任何正态分布的概率问题均可转化成标准正态分布的概率问题．(2)标准正态分布的分布函数.若ξ～(0,1)N ,则ξ的分布函数通常用()x Φ表示,且有()x Φ=()P x ξ≤.对于一切0x ≥,()x Φ的值可在标准正态分布表中查到;对于0x <的()x Φ的值,可用()x Φ=1-()x Φ-求出.(3)()P a b ξ<≤的计算.若ξ～(0,1)N ,则()P a b ξ<≤=()()b a Φ-Φ,即通过查标准正态分布表中,x a x b ==时的()x Φ的值,可计算概率()P a b ξ<≤.三.练习[来源:面练习1.习题1.四.小结五.课后作业〖教学反思〗正态分布问题解决的两个途径：(1) 正态分布←正态曲线[来源:正态分布←标准正态总体←标准正态曲线注意μ和σ的几何意义是解决问题的一个重要环节. 研究正态曲线要注意各区间面积的求法及其意义.。

4.2.5 正态分布第一课时 二项分布与正态曲线基础达标一、选择题1.正态分布N (0，1)在区间(－2，－1)和(1，2)上取值的概率为p 1，p 2，则二者大小关系为( )A.p 1＝p 2B.p 1＜p 2C.p 1＞p 2D.不确定解析 根据正态曲线的特点，图像关于x ＝0对称，可得在区间(－2，－1)和(1，2)上取值的概率p 1，p 2相等.答案 A2.已知随机变量ξ服从正态分布N (0，σ2).若P (ξ>2)＝0.023，则P (－2≤ξ≤2)等于( )A.0.477B.0.628C.0.954D.0.977解析 ∵随机变量ξ服从正态分布N (0，σ2)，∴正态曲线关于直线x ＝0对称.又P (ξ>2)＝0.023，∴P (ξ<－2)＝0.023，∴P (－2≤ξ≤2)＝1－P (ξ>2)－P (ξ<－2)＝1－2×0.023＝0.954.答案 C3.若随机变量X 服从正态分布，其正态曲线上的最高点的坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫10，12，则该随机变量的方差等于( )A.10B.100C.2πD.2π解析 由正态分布密度曲线上的最高点为⎝ ⎛⎭⎪⎫10，12知12π·σ＝12，即σ＝22π，∴D (X )＝σ2＝2π.答案 C4.设随机变量X 服从正态分布N (1，σ2)，则函数f (x )＝x 2＋2x ＋X 不存在零点的概率为( )A.14B.13C.12D.23解析 ∵函数f (x )＝x 2＋2x ＋X 不存在零点，∴Δ＝4－4X <0，∴X >1，∵X ～N (1，σ2)，∴P (X >1)＝12.答案 C5.设随机变量X 服从正态分布N (0，1)，若P (X >1)＝p ，则P (－1<X <0)＝( ) A.12＋pB.1－pC.1－2pD.12－p解析 因为随机变量X 服从正态分布N (0，1)，所以正态分布曲线关于直线x ＝0对称，所以P (X >0)＝P (X <0)＝12，P (X >1)＝P (X <－1)＝p ，所以P (－1<X <0)＝P (X <0)－P (X <－1)＝12－p .答案 D二、填空题6.若随机变量X ～N (2，100)，若X 落在区间(－∞，k )和(k ，＋∞)内的概率是相等的，则k 等于________.解析 由于X 的取值落在(－∞，k )和(k ，＋∞)内的概率是相等的，所以正态曲线在直线x ＝k 的左侧和右侧与x 轴围成的面积应该相等，于是正态曲线关于直线x ＝k 对称，即μ＝k ，而μ＝2.所以k ＝2.答案 27.设随机变量ξ服从正态分布N (μ，σ2)，若P (ξ>3)＝P (ξ<－1)，则E (ξ)＝________. 解析 根据题意ξ～N (μ，σ2)，∴μ＝3＋（－1）2＝1，∴E(ξ)＝μ＝1.答案18.已知正态分布N(μ，σ2)的密度曲线是f(x)＝12πσe－（x－μ）22σ2，x∈R，给出以下四个命题：①对任意x∈R，f(μ＋x)＝f(μ－x)成立；②如果随机变量X服从N(μ，σ2)，且F(x)＝P(X<x)，那么F(x)是R上的增函数；③如果随机变量X服从N(108，100)，那么X的期望是108，标准差是100；④随机变量X服从N(μ，σ2)，P(X<1)＝12，P(X>2)＝p，则P(0<X<2)＝1－2p.其中，真命题的序号是________.(写出所有真命题的序号)解析画出正态分布N(μ，σ2)的密度曲线如图：由图可得①图像关于x＝μ对称，故①正确；②随着x的增加，F(x)＝P(X<x)也增加，故②正确；③如果随机变量X服从N(108，100)，那么X的期望是108，标准差是10；④由图像的对称性，可得④正确.故填①②④.答案①②④三、解答题9.某中学在高三上学期期末考试中，理科学生的数学成绩X～N(105，100)，若已知P(90<X≤105)＝0.36，则从该校理科生中任选一名学生，求他的数学成绩大于120分的概率.解∵学生成绩X服从正态分布N(105，100)，∴P(X>105)＝0.5，∵P(90<X≤105)＝0.36，∴P(105<X≤120)＝P(90<X≤105)＝0.36，∴P(X>120)＝0.5－P(105<X≤120)＝0.5－0.36＝0.14.综上，学生数学成绩大于120分的概率为0.14.10.若X～N(μ，σ2)，根据P(μ≤X≤μ＋σ)＝0.341 3，P(μ＋σ≤X≤μ＋2σ)＝0.135 9，写出下列各概率值：(1)P(μ－σ≤X≤μ)；(2)P(μ－2σ≤X≤μ).解(1)根据对称性，P(μ－σ≤X≤μ)＝P(μ≤X≤μ＋σ)＝0.341 3.(2)P(μ－2σ≤X≤μ)＝P(μ≤X≤μ＋2σ)＝P(μ≤X≤μ＋σ)＋P(μ＋σ≤X≤μ＋2σ)＝0.341 3＋0.135 9＝0.477 2.能力提升11.已知随机变量ξ服从正态分布N(μ，σ2)，若P(ξ<2)＝P(ξ>6)＝0.15，则P(2≤ξ<4)等于()A.0.3B.0.35C.0.5D.0.7解析∵P(ξ<2)＝P(ξ>6)＝0.15，∴μ＝2＋62＝4.又P(2≤ξ≤6)＝1－P(ξ<2)－P(ξ>6)＝0.7，∴P(2≤ξ<4)＝P（2≤ξ≤6）2＝0.35，故选B.答案B12.某商场经营的某种包装的大米质量X(单位：kg)服从正态分布N(10，σ2)，且P(X<10.5)＝0.8，从该商场中任意抽取一袋该种大米，求其质量在9.5～10.5之间的概率.解∵X～N(10，σ2)且P(X<10.5)＝0.8，∴P(10<X<10.5)＝P(X<10.5)－P(X<10)＝0.8－0.5＝0.3.∴P(9.5<X<10.5)＝2P(10<X<10.5)＝2×0.3＝0.6.∴大米质量在9.5～10.5之间的概率为0.6.创新猜想13.(多选题)设X～N(μ1，σ21)，Y～N(μ2，σ22)，这两个正态分布密度曲线如图所示.下列结论中不正确的是()A.P(Y≥μ2)≥P(Y≥μ1)B.P(X≤σ2)≥P(X≤σ1)C.对任意正数t，P(X≤t)≥P(Y≤t)D.对任意正数t，P(X≥t)≥P(Y≥t)解析由正态分布密度曲线的性质可知，X～N(μ1，σ21)，Y～N(μ2，σ22)的密度曲线分别关于直线x＝μ1，x＝μ2对称，因此结合题中所给图像可得，μ1<0<μ2，所以P(Y≥μ2)<P(Y≥μ1)，故A错误.又X～N(μ1，σ21)的密度曲线较Y～N(μ2，σ22)的密度曲线“瘦高”，所以σ1<σ2，所以P(X≤σ2)>P(X≤σ1)，B错误.对任意正数t，P(X≤t)≥P(Y≤t)，P(X≥t)≤P(Y≥t)，C正确，D错误.答案ABD14.(多空题)随机变量ξ服从正态分布N(μ，7)，若P(ξ<2)＝P(ξ>4)，则μ＝________，D(ξ)＝________.解析根据对称性，∵P(ξ<2)＝P(ξ>4)，∴μ＝3，D(ξ)＝σ2＝7.答案37。

正态分布公式练习题正态分布是统计学中的一种重要概率分布，也被称为高斯分布或钟形曲线。

它在自然界和社会科学的许多现象中都有广泛应用。

了解正态分布的公式和运用方法对于统计学学习和实践具有重要意义。

本文将针对正态分布的公式进行练习题，并帮助读者加深对该概率分布的理解。

练习题一：某服装店销售的服装裤子的腰围（cm）符合正态分布，均值为80，标准差为5。

计算：1. 高于85cm的裤子的概率是多少？2. 低于75cm的裤子的概率是多少？解答：1. 高于85cm的裤子概率 = 1 - P(X <= 85)其中，X为服装裤子的腰围，符合正态分布，均值为80，标准差为5。

首先将85转化为标准分数（Z-Score）：Z = (X - μ) / σ = (85 - 80) / 5 = 1然后查找标准正态分布表，找到Z为1对应的累积概率为0.8413。

高于85cm的裤子概率 = 1 - 0.8413 = 0.15872. 低于75cm的裤子概率 = P(X < 75)同样地，将75转化为标准分数：Z = (75 - 80) / 5 = -1查找标准正态分布表，找到Z为-1对应的累积概率为0.1587。

低于75cm的裤子概率 = 0.1587练习题二：某班级的学生成绩符合正态分布，均值为75，标准差为10。

计算：1. 该班级有多少学生的成绩在65分以上？2. 该班级有多少学生的成绩在85分以下？解答：1. 成绩在65分以上的学生数量 = 所有学生数量 - 成绩在65分以下的学生数量首先计算成绩在65分以下的学生概率：P(X < 65)将65转化为标准分数：Z = (65 - 75) / 10 = -1查找标准正态分布表，找到Z为-1对应的累积概率为0.1587。

成绩在65分以下的学生概率 = 0.1587成绩在65分以上的学生概率 = 1 - 0.1587 = 0.84132. 成绩在85分以下的学生数量 = 所有学生数量 - 成绩在85分以上的学生数量计算成绩在85分以上的学生概率：P(X > 85)将85转化为标准分数：Z = (85 - 75) / 10 = 1查找标准正态分布表，找到Z为1对应的累积概率为0.8413。

《正态分布》作业设计方案（第一课时）一、作业目标本次作业的主要目标是帮助学生巩固正态分布的基本概念和性质，加深对正态分布曲线的理解，并能运用正态分布解决一些实际问题。

通过作业的完成，学生应能掌握正态分布的期望、方差、概率密度函数等基本知识，并能够利用这些知识进行简单的计算和分析。

二、作业内容1. 基础知识巩固：要求学生复习正态分布的定义、性质和基本公式，包括期望、方差、概率密度函数等，并能够准确表述正态分布曲线的特征。

2. 概念应用：布置一系列与正态分布相关的应用题，包括正态分布在生活中的实例（如身高、体重的分布等），要求学生运用所学知识进行分析和计算。

3. 计算题练习：设计一系列计算题，包括正态分布的概率计算、参数估计等，旨在提高学生的计算能力和对正态分布的理解。

4. 案例分析：提供一个与正态分布相关的实际案例，要求学生进行小组讨论和分析，提出解决方案并写出分析报告。

三、作业要求1. 按时完成：学生应按照教师指定的时间完成作业，不得拖延。

2. 独立完成：作业应由学生独立完成，不得抄袭他人答案。

3. 规范书写：答案应书写规范，步骤清晰，逻辑严谨。

4. 注重过程：除了最终答案外，还应注重解题过程的阐述和思路的展示。

四、作业评价1. 评价标准：根据学生的作业完成情况、答案的正确性、解题过程的规范性等方面进行评价。

2. 评分方式：采用百分制评分，根据评价标准给出相应的分数。

3. 反馈方式：教师将对每位学生的作业进行批改，并给出详细的批注和评分，同时将优秀作业进行展示和表扬。

五、作业反馈1. 课堂讲解：在下一课时中，教师将对本次作业的共性问题进行讲解和答疑，帮助学生解决疑惑。

2. 个别辅导：对于在作业中遇到困难的学生，教师将进行个别辅导，帮助他们解决问题。

3. 总结反思：学生应总结本次作业的收获和不足，为今后的学习提供参考和借鉴。

通过以上作业设计方案，旨在通过多种形式的练习和实际应用，帮助学生全面掌握正态分布的基本知识和应用能力。