课堂新坐标2014高考数学(理)二轮专题复习第1部分-专题4-第2讲

课时作业(十五)直线与圆1．圆(x＋2)2＋y2＝4与圆(x－2)2＋(y－1)2＝9的位置关系为()A．内切B．相交C．外切D．相离【解析】两圆的圆心分别为(－2,0)，(2,1)，半径分别为r＝2，R＝3，两圆的圆心距离为(－2－2)2＋(0－1)2＝17，则R－r<17<R＋r，所以两圆相交．【答案】 B2．(2013·广东高考)垂直于直线y＝x＋1且与圆x2＋y2＝1相切于第一象限的直线方程是()A．x＋y－2＝0 B．x＋y＋1＝0C．x＋y－1＝0 D．x＋y＋2＝0【解析】与直线y＝x＋1垂直的直线方程可设为x＋y＋b＝0，由x＋y＋b＝0与圆x2＋y2＝1相切，可得|b|12＋12＝1，故b＝±2.因为直线与圆相切于第一象限，故结合图形分析知b＝－2，故直线方程为x＋y－2＝0，故选A.【答案】 A3．(2013·济南调研)已知圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的圆心为抛物线y2＝4x的焦点，且与直线3x＋4y＋2＝0相切，则该圆的方程为()A．(x－1)2＋y2＝6425B．x2＋(y－1)2＝6425C．(x－1)2＋y2＝1 D．x2＋(y－1)2＝1 【解析】因为抛物线y2＝4x的焦点坐标为(1,0)，∴a＝1，b＝0.又根据r＝|3×1＋4×0＋2|32＋42＝1，∴圆的方程为(x－1)2＋y2＝1.【答案】 C4．已知圆的方程为x2＋y2－6x－8y＝0，设该圆中过点(3,5)的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则四边形ABCD的面积是()A．10 6 B．20 6C．30 6 D．40 6【解析】配方可得(x－3)2＋(y－4)2＝25，其圆心为C(3,4)，半径为r＝5，则过点(3,5)的最长弦|AC|＝2r＝10，最短弦|BD|＝2r2－12＝46，且有AC⊥BD，则四边形ABCD的面积为S＝12|AC|×|BD|＝20 6.【答案】 B5．(2013·江西高考)过点(2，0)引直线l与曲线y＝1－x2相交于A，B两点，O为坐标原点，当△AOB的面积取最大值时，直线l的斜率等于()A.33B．－33C．±33D．－ 3【解析】由于y＝1－x2，即x2＋y2＝1(y≥0)，直线l与x2＋y2＝1(y≥0)交于A，B两点，如图所示，S△AOB ＝12·sin ∠AOB≤12，且当∠AOB＝90°时，S△AOB 取得最大值，此时AB＝2，点O到直线l的距离为22，则∠OCB＝30°，所以直线l的倾斜角为150°，则斜率为－3 3.【答案】 B二、填空题6．(2013·浙江高考)直线y＝2x＋3被圆x2＋y2－6x－8y＝0所截得的弦长等于__________．【解析】圆的方程可化为(x－3)2＋(y－4)2＝25，故圆心为(3,4)，半径r＝5.又直线方程为2x－y＋3＝0，所以圆心到直线的距离为d＝|2×3－4＋3|4＋1＝5，所以弦长为2 r2－d2＝2×25－5＝220＝4 5.【答案】 4 57．(2013·湖北高考)已知圆O ：x 2＋y 2＝5，直线l ：x cos θ＋y sin θ＝1⎝ ⎛⎭⎪⎫0<θ<π2.设圆O 上到直线l 的距离等于1的点的个数为k ，则k ＝________.【解析】 ∵圆心(0,0)到直线的距离为1，又∵圆O 的半径为5，故圆上有4个点符合条件．【答案】 48．设圆x 2＋y 2＝2的切线l 与x 轴的正半轴、y 轴的正半轴分别交于点A ，B ，当|AB |取最小值时，切线l 的方程为________．【解析】 设切线l 方程为x a ＋y b ＝1，因为l 与圆相切，则圆心(0,0)到l 的距离d ＝2＝11a 2＋1b 2， 即1a 2＋1b 2＝12，|AB |2＝a 2＋b 2＝2(a 2＋b 2)·⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 2＋1b 2＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋b 2a 2＋a 2b 2≥8. 当且仅当a ＝b 时等号成立，解得a ＝b ＝2，所以x ＋y ＝2.【答案】 x ＋y ＝2三、解答题9．已知点A (－3,0)，B (3,0)，动点P 满足|P A |＝2|PB |.(1)若点P 的轨迹为曲线C ，求此曲线的方程；(2)若点Q 在直线l 1：x ＋y ＋3＝0上，直线l 2经过点Q 且与曲线C 只有一个公共点M ，求|QM |的最小值．【解】 (1)设点P 的坐标为(x ，y )，且|P A |＝2|PB |. 则(x ＋3)2＋y 2＝2(x －3)2＋y 2.化简得曲线C ：(x －5)2＋y 2＝16.(2)曲线C 是以点(5,0)为圆心，4为半径的圆，如图．由直线l 2是此圆的切线，连接CQ ，则|QM |＝|CQ |2－|CM |2＝|CQ |2－16，当CQ ⊥l 1时，|CQ |取最小值，|CQ |＝|5＋3|2＝42，此时|QM |的最小值为32－16＝4. 10．在平面直角坐标系xOy 中，曲线y ＝x 2－6x ＋1与坐标轴的交点都在圆C 上．(1)求圆C 的方程；(2)若圆C 与直线x －y ＋a ＝0交于A ，B 两点，且OA ⊥OB ，求a 的值．【解】 (1)曲线y ＝x 2－6x ＋1与y 轴的交点为(0,1)，与x 轴的交点为(3＋22，0)，(3－22，0)．故可设C 的圆心为(3，t )，则有32＋(t －1)2＝(22)2＋t 2，解得t ＝1. 则圆C 的半径为32＋(t －1)2＝3.所以圆C 的方程为(x －3)2＋(y －1)2＝9.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，其坐标满足方程组⎩⎨⎧x －y ＋a ＝0，(x －3)2＋(y －1)2＝9.消去y ，得方程2x 2＋(2a －8)x ＋a 2－2a ＋1＝0.由已知可得，判别式Δ＝56－16a －4a 2>0.因此x 1,2＝(8－2a )±56－16a －4a 24， 从而x 1＋x 2＝4－a ，x 1x 2＝a 2－2a ＋12.① 由于OA ⊥OB ，可得x 1x 2＋y 1y 2＝0.又y 1＝x 1＋a ，y 2＝x 2＋a ，所以2x 1x 2＋a (x 1＋x 2)＋a 2＝0.②由①②得a ＝－1，满足Δ>0，故a ＝－1.11. (2012·福州模拟)已知过点A (－1，0)的动直线l 与圆C ：x 2＋(y －3)2＝4相交于P ，Q 两点，M 是PQ 的中点，l 与直线m ：x ＋3y ＋6＝0相交于N .图5－1－1(1)求证：当l 与m 垂直时，l 必过圆心C ；(2)当|PQ |＝23时，求直线l 的方程；(3)探索AM →·AN →是否与直线l 的倾斜角有关，若无关，请求出其值；若有关，请说明理由．【解】 (1)证明 ∵l 与m 垂直，且k m ＝－13，∴k l ＝3，故直线l 的方程为y ＝3(x ＋1)，即3x －y ＋3＝0.∵圆心坐标为(0,3)满足直线l 方程，∴当l 与m 垂直时，l 必过圆心C .(2)当直线l 与x 轴垂直时，易知x ＝－1符合题意．当直线l 与x 轴不垂直时，设直线l 的方程为y ＝k (x ＋1)，即kx －y ＋k ＝0，∵PQ ＝23，∴CM ＝4－3＝1，则由CM ＝|－k ＋3|k 2＋1＝1，得k ＝43， ∴直线l ：4x －3y ＋4＝0.故直线l 的方程为x ＝－1或4x －3y ＋4＝0.(3)∵CM ⊥MN ，∴AM →·AN →＝(AC →＋CM →)·AN →＝AC →·AN →＋CM →·AN →＝AC →·AN →. 当l 与x 轴垂直时，易得N (－1，－53)，则AN →＝(0，－53)，又AC →＝(1,3)，∴AM →·AN →＝AC →·AN →＝－5.当l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y ＝k (x ＋1)，则由⎩⎨⎧ y ＝k (x ＋1)，x ＋3y ＋6＝0，得N (－3k －61＋3k ，－5k 1＋3k )，则AN →＝(－51＋3k ，－5k 1＋3k )， ∴AM →·AN →＝AC →·AN →＝－51＋3k ＋－15k 1＋3k＝－5， 综上所述，AM →·AN →与直线l 的斜率无关，且AM →·AN →＝－5.。

课时作业(十三)点、直线、平面之间的位置关系一、选择题1．(2013·浙江高考)设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面() A．若m∥α，n∥α，则m∥nB．若m∥α，m∥β，则α∥βC．若m∥n，m⊥α，则n⊥αD．若m∥α，α⊥β，则m⊥β【解析】可以借助正方体模型对四个选项分别剖析，得出正确结论．A项，当m∥α，n∥α时，m，n可能平行，可能相交，也可能异面，故错误；B项，当m∥α，m∥β时，α，β可能平行也可能相交，故错误；C项，当m∥n，m⊥α时，n⊥α，故正确；D项，当m∥α，α⊥β时，m可能与β平行，可能在β内，也可能与β相交，故错误．故选C.【答案】 C2．(2013·青岛模拟)已知m、n、l是三条不同的直线，α、β、γ是三个不同的平面，给出以下命题：①若m⊂α，n∥α，则m∥n；②若m⊂α，n⊂β，α⊥β，α∩β＝l，m⊥l，则m⊥n；③若n∥m，m⊂α，则n∥α；④若α∥γ，β∥γ，则α∥β.其中正确命题的序号是()A．②④B．②③C．③④D．①③【解析】对于命题①，m、n可能是异面直线，故①错；对于命题③，可能有n⊂α，故③错；故选A.【答案】 A3．(2013·天津模拟)已知l，m是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，有下列五个命题：①若l⊂β，且α∥β，则l∥α；②若l⊥β，且α∥β，则l⊥α；③若l⊥β，且α⊥β，则l∥α；④α∩β＝m，且l∥m，则l∥α；⑤若α∩β＝m，l∥α，l∥β，则l∥m.则所有正确命题的序号是()A．①③⑤B．②④⑤C．①②⑤D．①②④【解析】根据面面平行的性质知，①②正确，⑤中由l∥α，l平行平面α中的某条直线x，同理l平行平面β中的某条直线y，从而x∥y，所以y∥α，进而y∥m，故l∥m，所以⑤正确．故选C.【答案】 C4．(2013·广东高考)设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的是()A．若α⊥β，m⊂α，n⊂β，则m⊥nB．若α∥β，m⊂α，n⊂β，则m∥nC．若m⊥n，m⊂α，n⊂β，则α⊥βD．若m⊥α，m∥n，n∥β，则α⊥β【解析】本题可以依据相应的判定定理或性质定理进行判断，也可以借助于长方体模型，利用模型中的直线和平面进行判断．如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，平面BCC1B1⊥平面ABCD，BC1⊂平面BCC1B1，BC⊂平面ABCD，而BC1不垂直于BC，故A错误．平面A1B1C1D1∥平面ABCD，B1D1⊂平面A1B1C1D1，AC⊂平面ABCD，但B1D1和AC不平行，故B错误．AB⊥A1D1，AB⊂平面ABCD，A1D1⊂平面A1B1C1D1，但平面A1B1C1D1∥平面ABCD，故C错误．故选D.【答案】 D5．(2013·江西高考)如图4－2－8，正方体的底面与正四面体的底面在同一平面α上，且AB∥CD，正方体的六个面所在的平面与直线CE，EF相交的平面个数分别记为m，n，那么m＋n＝()图4－2－8A．8 B．9C．10 D．11【解析】取CD的中点H，连接EH，HF.在四面体CDEF中，CD⊥EH，CD⊥FH，所以CD⊥平面EFH，所以AB⊥平面EFH，所以正方体的左、右两个侧面与EF平行，其余4个平面与EF相交，即n＝4.又因为CE与AB在同一平面内，所以CE与正方体下底面共面，与上底面平行，与其余四个面相交，即m＝4，所以m＋n＝4＋4＝8.【答案】 A二、填空题图4－2－96．如图4－2－9，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，M，N分别是棱C1D1，C1C的中点．以下四个结论：①直线AM与直线CC1相交；②直线AM与直线BN平行；③直线AM与直线DD1异面；④直线BN与直线MB1异面．其中正确结论为________．(注：把你认为正确的结论序号都填上)【解析】由图可知AM与CC1是异面直线；AM与BN也是异面直线；AM 与DD1是异面直线；BN与MB1也是异面直线，故①②错误，③④正确．【答案】 ③④7．(2013·黄冈模拟)给出下列命题：①直线a 与平面α不平行，则a 与平面α内的所有直线都不平行； ②直线a 与平面α不垂直，则a 与平面α内的所有直线都不垂直； ③异面直线a ，b 不垂直，则过a 的任何平面与b 都不垂直； ④若直线a 和b 共面，直线b 和c 共面，则a 和c 共面． 其中错误的命题是________．(只填序号)【解析】 对于命题①②，当直线a 在平面α内时，结论不成立，故命题①②错；对于命题③，假设过a 的一个平面与b 垂直，则异面直线a ，b 垂直与已知矛盾．故命题③正确；对于命题④，当直线a 和b 平行，b 与c 相交时，a 和c 可能是异面直线，故命题④错误．【答案】 ①②④8．(2013·安徽高考)如图4－2－10，正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱长为1，P 为BC 的中点，Q 为线段CC 1上的动点，过点A ，P ，Q 的平面截该正方体所得的截面记为S ，则下列命题正确的是________(写出所有正确命题的编号)．图4－2－10①当0＜CQ ＜12时，S 为四边形； ②当CQ ＝12时，S 为等腰梯形；③当CQ ＝34时，S 与C 1D 1的交点R 满足C 1R ＝13； ④当34＜CQ ＜1时，S 为六边形； ⑤当CQ ＝1时，S 的面积为62.【解析】 ①当0＜CQ ＜12时，如图(1)． 在平面AA 1D 1D 内，作AE ∥PQ ， 显然E 在棱DD 1上，连接EQ ， 则S 是四边形APQE .②当CQ ＝12时，如图(2)． 显然PQ ∥BC 1∥AD 1，连接D 1Q ， 则S 是等腰梯形． ③当CQ ＝34时，如图(3)．作BF ∥PQ 交CC 1的延长线于点F ，则C 1F ＝12.作AE ∥BF ，交DD 1的延长线于点E ，D 1E ＝12，AE ∥PQ ， 连接EQ 交C 1D 1于点R ，由于Rt △RC 1Q ∽Rt △RD 1E ， ∴C 1Q ∶D 1E ＝C 1R ∶RD 1＝1∶2，∴C 1R ＝13.④ 当34＜CQ ＜1时，如图(3)，连接RM (点M 为AE 与A 1D 1交点)，显然S 为五边形APQRM .⑤当CQ ＝1时，如图(4)．同③可作AE ∥PQ 交DD 1的延长线于点E ，交A 1D 1于点M ，显然点M 为A 1D 1的中点，所以S 为菱形APQM ，其面积为12MP ×AQ ＝12×2×3＝62.【答案】 ①②③⑤ 三、解答题9．(2013·江西高考)如图4－2－11，直四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ∥CD ，AD ⊥AB ，AB ＝2，AD ＝2，AA 1＝3，E 为CD 上一点，DE ＝1，EC ＝3.图4－2－11(1)证明：BE ⊥平面BB 1C 1C ； (2)求点B 1到平面EA 1C 1的距离．【解】 (1)证明 过点B 作CD 的垂线交CD 于点F ，则 BF ＝AD ＝2，EF ＝AB －DE ＝1，FC ＝2.在Rt △BFE 中，BE ＝ 3. 在Rt △CFB 中，BC ＝ 6.在△BEC 中，因为BE 2＋BC 2＝9＝EC 2，故BE ⊥BC . 由BB 1⊥平面ABCD ，得BE ⊥BB 1， 所以BE ⊥平面BB 1C 1C .(2)连接B 1E ，则三棱锥E －A 1B 1C 1的体积V ＝13AA 1·S △A 1B 1C 1＝ 2.在Rt △A 1D 1C 1中，A 1C 1＝A 1D 21＋D 1C 21＝3 2.同理，EC 1＝EC 2＋CC 21＝32， A 1E ＝A 1A 2＋AD 2＋DE 2＝23， 故S △A 1C 1E ＝3 5.设点B 1到平面EA 1C 1的距离为d ， 则三棱锥B 1－EA 1C 1的体积V ＝13·d ·S △EA 1C 1＝5d ， 从而5d ＝2，d ＝105.10．(2013·济南模拟)如图4－2－12，斜三棱柱A 1B 1C 1—ABC 中，侧面AA 1C 1C ⊥底面ABC ，底面ABC 是边长为2的等边三角形，侧面AA 1C 1C 是菱形，∠A 1AC ＝60°，E 、F 分别是A 1C 1、AB 的中点．图4－2－12(1)求证：EC ⊥平面ABC ； (2)求三棱锥A 1—EFC 的体积．【解】 证明 (1)在平面AA 1C 1C 内，作A 1O ⊥AC ，O 为垂足．因为∠A 1AC ＝60°，所以AO ＝12AA 1＝12AC ，即O 为AC 的中点，所以OC 綊A 1E .因而EC 綊A 1O .因为侧面AA 1C 1C ⊥底面ABC ，交线为AC ，A 1O ⊥AC ，所以A 1O ⊥平面ABC .所以EC ⊥平面ABC .(2)F 到平面A 1EC 的距离等于B 点到平面A 1EC 距离BO 长度的一半，而BO ＝ 3.所以VA 1—EFC ＝VF —A 1EC ＝13S △A 1EC ·12BO ＝13·12A 1E ·EC ·32＝13·12·3·32＝14.11．(2013·青岛模拟)如图4－2－13，在长方形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝1，E 为CD 的中点，F 为AE 的中点．现在沿AE 将三角形ADE 向上折起，在折起的图形中解答下列问题：图4－2－13(1)在线段AB上是否存在一点K，使BC∥平面DFK？若存在，请证明你的结论；若不存在，请说明理由．(2)若平面ADE⊥平面ABCE，求证：平面BDE⊥平面ADE.【解】(1)线段AB上存在一点K，且当AK＝14AB时，BC∥平面DFK.证明如下：设H为AB的中点，连接EH，则BC∥EH.又因为AK＝14AB，F为AE的中点，所以KF∥EH，所以KF∥BC，∵KF⊂平面DFK，BC⊄平面DFK，∴BC∥平面DFK.(2)证明因为F为AE的中点，DA＝DE＝1，所以DF⊥AE.因为平面ADE⊥平面ABCE，所以DF⊥平面ABCE.因为BE⊂平面ABCE，所以DF⊥BE.又因为在折起前的图形中E为CD的中点，AB＝2，BC＝1，所以在折起后的图形中，AE＝BE＝2，从而AE2＋BE2＝4＝AB2，所以AE⊥BE.因为AE∩DF＝F，所以BE⊥平面ADE，因为BE⊂平面BDE，所以平面BDE⊥平面ADE.。