高中数学 第三章 圆锥曲线与方程 习题课2 抛物线方程及性质的综合应用课件 北师大版选修2-1

点.
(1)设l的斜率为2,求|AB|的大小;
(2)求证: ·是一个定值.
解:(1)依题意得F(1,0),所以直线l的方程为y=2(x-1).
设直线l与抛物线的交点A(x1,y1),B(x2,y2),
= 2(-1),
由 2
消去 y 整理得 x2-3x+1=0,所以 x1+x2=3,x1x 2=1.
方程为y-1=kx.
-1 = ,
由 2
消去 y 得 x2-4kx-4=0,由根与系数的关系,
= 4,
得 x1x2=-4,
于是
21 22
y1y2= ·
4 4
=
(1 2 )2
=1,即
16
y1y2 为定值.
第八页，共32页。
探究
(tànjiū)一
探究(tànjiū)
二
规范(guīfàn)
jì
ng)的圆必与准线相切.
第五页，共32页。
一
二
【做一做1】 抛物线y2=8x上一点(yī diǎn)P到x轴距离为12,则点P到
抛物线焦点F的距离为(
)
A.20 B.8
C.22 D.24

2
解析:设 P(x0,12),则 x0=18,所以|PF|=x0+ =20.
答案(dá àn):A
1
6
【做一做 2】 抛物线 x= y2 的通径的长度等于(
第十一页，共32页。
探究(tànjiū)
一
探究(tànjiū)
二
规范(guīfàn)
解答
解:如图所示,
作PN⊥l于点N(l为准线),作AB⊥l于点B,
则|PA|+|PF|=|PA|+|PN|≥|AB|,当且仅当点P为AB与抛物线的交点时,等

脉
络
抛物线的简单(jiǎndān)性质
y2=2px(p 2
y =-2px(p>0) x2=2py(p>0)
标准方程
>0)
x2=-2py(p>0)
图 形
焦点
几 准线
何
性 范围
质
对称轴
顶点
p
,0
2
p
x=2
x=
p
p
- ,0
2
p
2
p
0,
2
y=-
y=
y≥0,x∈R
y≤0,x∈R
2
x≥0,y∈
x≤0,y∈R
R
设交点A(x1,y1),B(x2,y2)(y1>0,y2<0),
则|y1|+|y2|=2√3,
即 y1-y2=2√3,
由对称性,知 y2=-y1,代入上式,得 y1=√3.
把 y1=√3代入 x2+y2=4,得 x=±1.
∴点 A(1,√3)在抛物线 y2=2px 上,
点 A'(-1,√3)在抛物线 y2=-2px 上.
三
思维辨析
反思感悟解决本题的关键是弦AB为定值,将点P到直线AB的距离的最
值转化为二次函数问题求解.在应用配方法求最值时,一定要注意自变量
的取值范围.
第十八页，共31页。
探究
(tànjiū)一
探究
(tànjiū)二
探究
(tànjiū)三
思维辨析
变式训练3在抛物线y2=2x上求一点P,使P到直线x-y+3=0的距离最短,并
2
1
∴直线方程为 y=2x+1.
2

第26页
(3)假设存在以 EF 为底的等腰△PEF， ∴点 P 在线段 EF 的垂直平分线上，
∴2x3＝－1＋－1－k22，
∴2·k2k－2 2＝－2－k22，解得 k＝±22， ∴△PEF 可以成为以 EF 为底的等腰三角形，此时 k 值为±22.
第27页
坐标法证实抛物线几何性质 过抛物线焦点F直线交抛物线于A，B两点，经过点A 和抛物线顶点直线交抛物线准线于点D，求证：直线DB平行 于抛物线对称轴．
第三章 圆锥曲线与方程
2．2 抛物线简单性质(二)
第1页
第一章 惯用逻辑用语
学习导航
学习 • 1.了解直线与抛物线位置关系．(重点)
目标
•
2．能处理直线与抛物线相关综合问题． (难点)
学法
•
1.把图形直观性与代数推理严密性相结 合，体会数形结合思想应用．
指导 • 2．体会并加深对坐标法了解和应用.
第16页
(2)当 k≠0 时，方程①应有两个相等实根．
由kΔ≠＝00，即k16≠－04k（8＋12k）＝0，
得 k＝13或 k＝－1. ∴直线方程为 y－2＝13(x＋3)或 y－2＝－(x＋3)， 即 x－3y＋9＝0 或 x＋y＋1＝0. 故所求直线有三条，其方程分别为 y＝2，x－3y＋9＝0，x＋y＋1＝0.
第3页
(2)已知点 P(x0，y0)，抛物线 C：x2＝2py(p>0)，则 x20＝2py0⇔点 P 在抛物线 C 上； x20>2py0⇔点 P 在抛物线 C 外； x20<2py0⇔点 P 在抛物线 C 内． (点 P 与抛物线 C：x2＝－2py(p>0)的关系与(2)类似)
第4页
2.直线与抛物线位置关系 设直线l：y＝kx＋m，抛物线：y2＝2px(p>0)，将直线方程与 抛物线方程联立整理成关于x方程：ax2＋bx＋c＝0， (1)若a≠0， 当Δ>0时，直线与抛物线相交，有两个公共点； 当Δ＝0时，直线与抛物线相切，有一个公共点； 当Δ<0时，直线与抛物线相离，无公共点． (2)若a＝0，直线与抛物线有一个公共点，此时直线平行于抛 物线对称轴或与对称轴重合，所以，直线与抛物线有一个公 共点是直线与抛物线相切必要不充分条件．

始终与对称轴垂直,准线与对称轴的交点和焦点关于顶点对称,顶点到焦点
p
的距离等于顶点到准线的距离,大小为2 .
(2)在解决与抛物线的性质有关的问题时,要注意利用几何图形形象、直观
的特点来解题,特别是涉及焦点、顶点、准线的问题.
变式训练1
已知A,B是抛物线y2=2px(p>0)上不同的两点,O为坐标原点,若|OA|=|OB|,
(2)因为抛物线y2=4x的焦点坐标为(1,0),若l与x轴垂直,则|AB|=4,不符合题
意,所以可设所求直线l的方程为y=k(x-1),A(x1,y1),B(x2,y2).
= (-1),
由 2
得 k2x2-(2k2+4)x+k2=0.
= 4,
2 2 +4
则由根与系数的关系,得 x1+x2=
2
故设 A(3,m)(m>0),代入 y2=8x 得 m2=24,所以 m=2√6或 m=-2√6(舍去).
所以 A(3,2√6),B(3,-2√6),|OA|=|OB|=√33,
所以△OAB 的周长为 2√33+4√6.
规律方法
抛物线的几何性质的应用方法
(1)抛物线的焦点始终在对称轴上,顶点就是抛物线与对称轴的交点,准线
第3章
3.3.2 抛物线的简单几何性质
内
容
索
引
01
基础落实•必备知识全过关
02
重难探究•能力素养全提升
03
学以致用•随堂检测全达标
课标要求
1.掌握抛物线的几何性质;
2.掌握直线与抛物线的位置关系的判断及相关问题;
3.能利用方程及数形结合思想解决焦点弦、弦中点等问题.
基础落实•必备知识全过关

1
分别将点P坐标代入上述方程,解得p1=4,p2= .所以,满足条件抛
2
2
2
物线有两条,它们方程分别为y =-8x和x =-y.
15/26
题型一
题型二
题型三
题型三
题型四
焦半径公式的应用
【例3】 已知抛物线顶点在原点,焦点在x轴上,抛物线上点M(3,m)
到焦点距离等于5,求该抛物线方程和m值.
分析:依据已知条件设出抛物线方程,再利用点M在抛物线上和点
2
2
2
方程为y =x;若开口向下,设其方程为x =-2py(p>0),代入点P坐标可
得p=4,此时抛物线方程为x2=-8y.另外,也可采取检验法快速得出正
确答案.
答案:A
23/26
1
3.抛物线y2=ax准线方程为(
A.x=
C.y=

B. =
4

D. =
4
2
3
4
5
)

−4

−4
答案:B
24/26
20/26
题型一
题型二
题型三
题型四
【例 4】 设抛物线 y 2=mx 的准线与直线 x=1 的距离为 3,求抛
物线方程.

4
错解:准线方程为 x=- ,因准线与直线 x=1 的距离为 3,所以准线
方程为

x=-2,所以- =-2,所以
4
m=8,故抛物线方程为 y2=8x.
错因分析:上述解法只考虑了 m>0 的情况,忽视了 m<0 的情况.

,0
2

,它的准线方程是 x=- ,
2
开口方向是向右.

探究二
思想方法
18
2
x1+x2=- 5 ,y1+y2=(x1+2)+(x2+2)=5,
故线段 AB 的中点坐标为
-
9 5
,
1 5
.
(2)设点 O 到直线 y=x+2 的距离为 d,
则 d=|0-02+2| = 2. 又 x1x2=2170,
所以|AB|= 1 + ������2 (������1 + ������2)2-4������1������2
4,
整理得 5x2-8 3x+8=0,
所以|AB|= 1 + ������2|x1-x2|=85. 答案:85
探究一
探究二
思想方法
与椭圆有关的轨迹问题
【例1】 已知两圆C1:(x+4)2+y2=9,C2:(x-4)2+y2=169,动圆P与C1 外切,与C2内切,求圆心P的轨迹.
思维点拨:根据动圆与圆C1,C2的位置关系,得到动圆圆心P满足的 条件,即P与圆C1,C2的圆心的距离的和等于常数,从而结合椭圆的定 义得出轨迹为椭圆,进而求出轨迹方程.
由题意 a=3,c=2 2,于是 b=1,
所以椭圆 C 的方程为���9���2+y2=1. ������ = ������ + 2,
由
������2 9
+
������2
=
得 1,
10x2+36x+27=0.
因为该一元二次方程的Δ>0,所以点A,B不同,
设A(x1,y1),B(x2,y2),则
探究一
(1)求点P的坐标; (2)设M是椭圆长轴AB上的一点,M到直线AP的距离等于|MB|,求椭 圆上的点到点M的距离d的最小值. 分析:(1)设出点P坐标,然后根据点P在椭圆上以及PA⊥PF,建立方 程组求解;(2)根据两点间的距离公式,将椭圆上的点到点M的距离d 表示为点的坐标的函数,借助函数方法求得最值.

(2)当 k≠0 时，方程①应有两个相等实根．
由kΔ≠＝00，即k16≠－04k（8＋12k）＝0，
得 k＝13或 k＝－1. ∴直线方程为 y－2＝13(x＋3)或 y－2＝－(x＋3)， 即 x－3y＋9＝0 或 x＋y＋1＝0. 故所求直线有三条，其方程分别为 y＝2，x－3y＋9＝0，x＋y＋1＝0.
[感悟提高] 用代数方法研究直线与抛物线的位置关系，若 方程组消元后所得方程平方项系数含有字母参数，则需用分 类讨论思想讨论平方项系数是否为零．
的应用
若直线l：y＝(a＋1)x－1与曲线C：y2＝ax恰好有一个 公共点，试求实数a的取值集合．
[解] 因为直线 l 与曲线 C 恰好有一个公共点，所以方程组 yy＝2＝（axa＋1）x－1只有一组实数解． 消去 y，得[(a＋1)x－1]2＝ax，整理得(a＋1)2x2－(3a＋2)x＋1＝0 ①. (1)当 a＋1＝0，即 a＝－1 时，方程①是关于 x 的一元一次方程， 解得 x＝－1，这时，原方程组有唯一解xy＝＝－－11.
与抛物线有关的最值与范围问题
已知抛物线 y2＝2x.
(1)设点 A 的坐标为23，0，求抛物线上距离点 A 最近的点 P
的坐标及相应的距离|PA|； (2)在抛物线上求一点 P，使其到直线 l：x＋y＋4＝0 的距离最 短，并求最短距离．
[解] (1)设抛物线任一点 P 的坐标为(x，y)，则
|PA|2＝x－232＋y2＝x－23 2＋2x ＝x＋13 2＋13.
相交：①有两个交点：AΔ≠>00.，
②有一个交点：A＝0(直线与抛物线的对称轴平行，即相交)；
相切：有一个公共点，即AΔ≠＝00，. 相离：没有公共点：即AΔ≠<00.，

3.2.1
抛物线及其标准(biāozhǔn)方程
第一页，共29页。
学 习 目 标
思 维
1.理解抛物线的定
义及标准方程.
2.了解抛物线的焦
点、准线.
3.掌握抛物线标准
方程的四种形式,并
能说出各自的特点.
4.能准确地画出抛
物线方程对应的图
形.
5.能利用抛物线标
准方程解决相关实
际应用题.
脉 络
第二页，共29页。
a的最小整数值.
思维点拨:要求拱宽a的最小值,需先建立适当的坐标系,写出抛物线的
方程,再利用方程求解.
第十六页，共29页。
探究(tànjiū)
一
探究(tànjiū)
二
探究(tànjiū)
三
思维辨析
解:以拱顶为原点,拱高所在直线为y轴,建立直角坐标系,如图,设抛物

2
线方程为x =-2py(p>0),则点B的坐标为
第十七页，共29页。
探究(tànjiū)
一
探究(tànjiū)
二
探究
(tànjiū)三
思维辨析
反思感悟解决与抛物线有关的实际应用问题时,一般可根据题意(或图
形)建立平面直角坐标系,设出抛物线的标准方程,依据题意得到抛物线上
一点的坐标,从而可求出抛物线的方程,继而利用其几何性质进行推理、
运算.
第十八页，共29页。
(2)若点B的坐标为(3,2),求|PB|+|PF|的最小值.
思维点拨:(1)中将点P到直线x=-1的距离转化为到焦点的距离;(2)中将
点P到点B的距离转化为点P到准线的距离.
第十二页，共29页。
探究(tànjiū)