2013年广东高考数学标准答案详解

2013年广东省高考数学试卷（理科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）设集合M={x|x2+2x=0，x∈R}，N={x|x2﹣2x=0，x∈R}，则M∪N=（）A．{0}B．{0，2}C．{﹣2，0}D．{﹣2，0，2}2．（5分）定义域为R的四个函数y=x3，y=2x，y=x2+1，y=2sinx中，奇函数的个数是（）A．4 B．3 C．2 D．13．（5分）若复数z满足iz=2+4i，则在复平面内，z对应的点的坐标是（）A．（2，4） B．（2，﹣4）C．（4，﹣2）D．（4，2）4．（5分）已知离散型随机变量X的分布列为X123P则X的数学期望E（X）=（）A．B．2 C．D．35．（5分）某四棱台的三视图如图所示，则该四棱台的体积是（）A．4 B．C．D．66．（5分）设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的是（）A．若α⊥β，m⊂α，n⊂β，则m⊥n B．若α∥β，m⊂α，n⊂β，则m∥n C．若m⊥n，m⊂α，n⊂β，则α⊥βD．若m⊥α，m∥n，n∥β，则α⊥β7．（5分）已知中心在原点的双曲线C的右焦点为F（3，0），离心率等于，则C的方程是（）A．B．C．D．8．（5分）设整数n≥4，集合X={1，2，3，…，n}．令集合S={（x，y，z）|x，y，z∈X，且三条件x＜y＜z，y＜z＜x，z＜x＜y恰有一个成立}．若（x，y，z）和（z，w，x）都在S中，则下列选项正确的是（）A．（y，z，w）∈S，（x，y，w）∉S B．（y，z，w）∈S，（x，y，w）∈S C．（y，z，w）∉S，（x，y，w）∈S D．（y，z，w）∉S，（x，y，w）∉S二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．9．（5分）不等式x2+x﹣2＜0的解集为．10．（5分）若曲线y=kx+lnx在点（1，k）处的切线平行于x轴，则k=．11．（5分）执行如图所示的程序框图，若输入n的值为4，则输出s的值为．12．（5分）在等差数列{a n}中，已知a3+a8=10，则3a5+a7=．13．（5分）给定区域D：．令点集T={（x0，y0）∈D|x0，y0∈Z，（x0，y0）是z=x+y在D上取得最大值或最小值的点}，则T中的点共确定条不同的直线．14．（5分）（坐标系与参数方程选做题）已知曲线C的参数方程为（t为参数），C在点（1，1）处的切线为l，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则l的极坐标方程为．15．如图，AB是圆O的直径，点C在圆O上，延长BC到D使BC=CD，过C作圆O的切线交AD于E．若AB=6，ED=2，则BC=．三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．16．（12分）已知函数f（x）=cos（x﹣），x∈R．（Ⅰ）求f（﹣）的值；（Ⅱ）若cosθ=，θ∈（，2π），求f（2θ+）．17．（12分）某车间共有12名工人，随机抽取6名，他们某日加工零件个数的茎叶图如图所示，其中茎为十位数，叶为个位数．（1）根据茎叶图计算样本均值；（2）日加工零件个数大于样本均值的工人为优秀工人．根据茎叶图推断该车间12名工人中有几名优秀工人？（3）从该车间12名工人中，任取2人，求恰有1名优秀工人的概率．18．（14分）如图1，在等腰直角三角形ABC中，∠A=90°，BC=6，D，E分别是AC，AB上的点，，O为BC的中点．将△ADE沿DE折起，得到如图2所示的四棱椎A′﹣BCDE，其中A′O=．（1）证明：A′O⊥平面BCDE；（2）求二面角A′﹣CD﹣B的平面角的余弦值．19．（14分）设数列{a n}的前n项和为S n，已知a1=1，，n∈N*．（1）求a2的值；（2）求数列{a n}的通项公式；（3）证明：对一切正整数n，有．20．（14分）已知抛物线C的顶点为原点，其焦点F（0，c）（c＞0）到直线l：x ﹣y﹣2=0的距离为，设P为直线l上的点，过点P作抛物线C的两条切线PA，PB，其中A，B为切点．（1）求抛物线C的方程；（2）当点P（x0，y0）为直线l上的定点时，求直线AB的方程；（3）当点P在直线l上移动时，求|AF|•|BF|的最小值．21．（14分）设函数f（x）=（x﹣1）e x﹣kx2（k∈R）．（1）当k=1时，求函数f（x）的单调区间；（2）当时，求函数f（x）在[0，k]上的最大值M．2013年广东省高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）（2013•广东）设集合M={x|x2+2x=0，x∈R}，N={x|x2﹣2x=0，x∈R}，则M∪N=（）A．{0}B．{0，2}C．{﹣2，0}D．{﹣2，0，2}【分析】根据题意，分析可得，M={0，﹣2}，N={0，2}，进而求其并集可得答案．【解答】解：分析可得，M为方程x2+2x=0的解集，则M={x|x2+2x=0}={0，﹣2}，N为方程x2﹣2x=0的解集，则N={x|x2﹣2x=0}={0，2}，故集合M∪N={0，﹣2，2}，故选D．2．（5分）（2013•广东）定义域为R的四个函数y=x3，y=2x，y=x2+1，y=2sinx中，奇函数的个数是（）A．4 B．3 C．2 D．1【分析】根据函数奇偶性的定义及图象特征逐一盘点即可．【解答】解：y=x3的定义域为R，关于原点对称，且（﹣x）3=﹣x3，所以函数y=x3为奇函数；y=2x的图象过点（0，1），既不关于原点对称，也不关于y轴对称，为非奇非偶函数；y=x2+1的图象过点（0，1）关于y轴对称，为偶函数；y=2sinx的定义域为R，关于原点对称，且2sin（﹣x）=﹣2sinx，所以y=2sinx为奇函数；所以奇函数的个数为2，故选C．3．（5分）（2013•广东）若复数z满足iz=2+4i，则在复平面内，z对应的点的坐标是（）A．（2，4） B．（2，﹣4）C．（4，﹣2）D．（4，2）【分析】由题意可得z=，再利用两个复数代数形式的乘除法法则化为4﹣2i，从而求得z对应的点的坐标．【解答】解：复数z满足iz=2+4i，则有z===4﹣2i，故在复平面内，z对应的点的坐标是（4，﹣2），故选C．4．（5分）（2013•广东）已知离散型随机变量X的分布列为X123P则X的数学期望E（X）=（）A．B．2 C．D．3【分析】利用数学期望的计算公式即可得出．【解答】解：由数学期望的计算公式即可得出：E（X）==．故选A．5．（5分）（2013•广东）某四棱台的三视图如图所示，则该四棱台的体积是（）A．4 B．C．D．6【分析】由题意直接利用三视图的数据求解棱台的体积即可．【解答】解：几何体是四棱台，下底面是边长为2的正方形，上底面是边长为1的正方形，棱台的高为2，并且棱台的两个侧面与底面垂直，四楼台的体积为V==．故选B．6．（5分）（2013•广东）设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的是（）A．若α⊥β，m⊂α，n⊂β，则m⊥n B．若α∥β，m⊂α，n⊂β，则m∥n C．若m⊥n，m⊂α，n⊂β，则α⊥βD．若m⊥α，m∥n，n∥β，则α⊥β【分析】由α⊥β，m⊂α，n⊂β，可推得m⊥n，m∥n，或m，n异面；由α∥β，m⊂α，n⊂β，可得m∥n，或m，n异面；由m⊥n，m⊂α，n⊂β，可得α与β可能相交或平行；由m⊥α，m∥n，则n⊥α，再由n∥β可得α⊥β．【解答】解：选项A，若α⊥β，m⊂α，n⊂β，则可能m⊥n，m∥n，或m，n 异面，故A错误；选项B，若α∥β，m⊂α，n⊂β，则m∥n，或m，n异面，故B错误；选项C，若m⊥n，m⊂α，n⊂β，则α与β可能相交，也可能平行，故C错误；选项D，若m⊥α，m∥n，则n⊥α，再由n∥β可得α⊥β，故D正确．故选D．7．（5分）（2013•广东）已知中心在原点的双曲线C的右焦点为F（3，0），离心率等于，则C的方程是（）A．B．C．D．【分析】设出双曲线方程，利用双曲线的右焦点为F（3，0），离心率为，建立方程组，可求双曲线的几何量，从而可得双曲线的方程．【解答】解：设双曲线方程为（a＞0，b＞0），则∵双曲线C的右焦点为F（3，0），离心率等于，∴，∴c=3，a=2，∴b2=c2﹣a2=5∴双曲线方程为．故选B．8．（5分）（2013•广东）设整数n≥4，集合X={1，2，3，…，n}．令集合S={（x，y，z）|x，y，z∈X，且三条件x＜y＜z，y＜z＜x，z＜x＜y恰有一个成立}．若（x，y，z）和（z，w，x）都在S中，则下列选项正确的是（）A．（y，z，w）∈S，（x，y，w）∉S B．（y，z，w）∈S，（x，y，w）∈S C．（y，z，w）∉S，（x，y，w）∈S D．（y，z，w）∉S，（x，y，w）∉S【分析】特殊值排除法，取x=2，y=3，z=4，w=1，可排除错误选项，即得答案．【解答】解：方法一：特殊值排除法，取x=2，y=3，z=4，w=1，显然满足（x，y，z）和（z，w，x）都在S中，此时（y，z，w）=（3，4，1）∈S，（x，y，w）=（2，3，1）∈S，故A、C、D 均错误；只有B成立，故选B．直接法：根据题意知，只要y＜z＜w，z＜w＜y，w＜y＜z中或x＜y＜w，y＜w＜x，w＜x ＜y中恰有一个成立则可判断（y，z，w）∈S，（x，y，w）∈S．∵（x，y，z）∈S，（z，w，x）∈S，∴x＜y＜z…①，y＜z＜x…②，z＜x＜y…③三个式子中恰有一个成立；z＜w＜x…④，w＜x＜z…⑤，x＜z＜w…⑥三个式子中恰有一个成立．配对后有四种情况成立，第一种：①⑤成立，此时w＜x＜y＜z，于是（y，z，w）∈S，（x，y，w）∈S；第二种：①⑥成立，此时x＜y＜z＜w，于是（y，z，w）∈S，（x，y，w）∈S；第三种：②④成立，此时y＜z＜w＜x，于是（y，z，w）∈S，（x，y，w）∈S；第四种：③④成立，此时z＜w＜x＜y，于是（y，z，w）∈S，（x，y，w）∈S．综合上述四种情况，可得（y，z，w）∈S，（x，y，w）∈S．故选B．二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．9．（5分）（2013•广东）不等式x2+x﹣2＜0的解集为（﹣2，1）．【分析】先求相应二次方程x2+x﹣2=0的两根，根据二次函数y=x2+x﹣2的图象即可写出不等式的解集．【解答】解：方程x2+x﹣2=0的两根为﹣2，1，且函数y=x2+x﹣2的图象开口向上，所以不等式x2+x﹣2＜0的解集为（﹣2，1）．故答案为：（﹣2，1）．10．（5分）（2013•广东）若曲线y=kx+lnx在点（1，k）处的切线平行于x轴，则k=﹣1．【分析】先求出函数的导数，再由题意知在1处的导数值为0，列出方程求出k 的值．【解答】解：由题意得，y′=k+，∵在点（1，k）处的切线平行于x轴，∴k+1=0，得k=﹣1，故答案为：﹣1．11．（5分）（2013•广东）执行如图所示的程序框图，若输入n的值为4，则输出s的值为7．【分析】由已知中的程序框图及已知中输入4，可得：进入循环的条件为i≤4，即i=1，2，3，4．模拟程序的运行结果，即可得到输出的S值．【解答】解：当i=1时，S=1+1﹣1=1；当i=2时，S=1+2﹣1=2；当i=3时，S=2+3﹣1=4；当i=4时，S=4+4﹣1=7；当i=5时，退出循环，输出S=7；故答案为：7．12．（5分）（2013•广东）在等差数列{a n}中，已知a3+a8=10，则3a5+a7=20．【分析】根据等差数列性质可得：3a5+a7=2（a5+a6）=2（a3+a8）．【解答】解：由等差数列的性质得：3a5+a7=2a5+（a5+a7）=2a5+（2a6）=2（a5+a6）=2（a3+a8）=20，故答案为：20．13．（5分）（2013•广东）给定区域D：．令点集T={（x0，y0）∈D|x0，y0∈Z，（x0，y0）是z=x+y在D上取得最大值或最小值的点}，则T中的点共确定6条不同的直线．【分析】先根据所给的可行域，利用几何意义求最值，z=x+y表示直线在y轴上的截距，只需求出可行域直线在y轴上的截距最值即可，从而得出点集T中元素的个数，即可得出正确答案．【解答】解：画出不等式表示的平面区域，如图．作出目标函数对应的直线，因为直线z=x+y与直线x+y=4平行，故直线z=x+y过直线x+y=4上的整数点：（4，0），（3，1），（2，2），（1，3）或（0，4）时，直线的纵截距最大，z最大；当直线过（0，1）时，直线的纵截距最小，z最小，从而点集T={（4，0），（3，1），（2，2），（1，3），（0，4），（0，1）}，经过这六个点的直线一共有6条．即T中的点共确定6条不同的直线．故答案为：6．14．（5分）（2013•广东）（坐标系与参数方程选做题）已知曲线C的参数方程为（t为参数），C在点（1，1）处的切线为l，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则l的极坐标方程为ρcosθ+ρsinθ﹣2=0（填或也得满分）．【分析】先求出曲线C的普通方程，再利用直线与圆相切求出切线的方程，最后利用x=ρcosθ，y=ρsinθ代换求得其极坐标方程即可．【解答】解：由（t为参数），两式平方后相加得x2+y2=2，…（4分）∴曲线C是以（0，0）为圆心，半径等于的圆．C在点（1，1）处的切线l的方程为x+y=2，令x=ρcosθ，y=ρsinθ，代入x+y=2，并整理得ρcosθ+ρsinθ﹣2=0，即或，则l的极坐标方程为ρcosθ+ρsinθ﹣2=0（填或也得满分）．…（10分）故答案为：ρcosθ+ρsinθ﹣2=0（填或也得满分）．15．（2013•广东）如图，AB是圆O的直径，点C在圆O上，延长BC到D使BC=CD，过C作圆O的切线交AD于E．若AB=6，ED=2，则BC=．【分析】利用AB是圆O的直径，可得∠ACB=90°．即AC⊥BD．又已知BC=CD，可得△ABD是等腰三角形，可得∠D=∠B．再利用弦切角定理可得∠ACE=∠B，得到∠AEC=∠ACB=90°，进而得到△CED∽△ACB，利用相似三角形的性质即可得出．【解答】解：∵AB是圆O的直径，∴∠ACB=90°．即AC⊥BD．又∵BC=CD，∴AB=AD，∴∠D=∠ABC，∠EAC=∠BAC．∵CE与⊙O相切于点C，∴∠ACE=∠ABC．∴∠AEC=∠ACB=90°．∴△CED∽△ACB．∴，又CD=BC，∴．三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．16．（12分）（2013•广东）已知函数f（x）=cos（x﹣），x∈R．（Ⅰ）求f（﹣）的值；（Ⅱ）若cosθ=，θ∈（，2π），求f（2θ+）．【分析】（1）把x=﹣直接代入函数解析式求解．（2）先由同角三角函数的基本关系求出sinθ的值以及sin2θ，然后将x=2θ+代入函数解析式，并利用两角和与差公式求得结果．【解答】解：（1）（2）因为，所以所以，所以=17．（12分）（2013•广东）某车间共有12名工人，随机抽取6名，他们某日加工零件个数的茎叶图如图所示，其中茎为十位数，叶为个位数．（1）根据茎叶图计算样本均值；（2）日加工零件个数大于样本均值的工人为优秀工人．根据茎叶图推断该车间12名工人中有几名优秀工人？（3）从该车间12名工人中，任取2人，求恰有1名优秀工人的概率．【分析】（1）茎叶图中共同的数字是数字的十位，这是解决本题的突破口，根据所给的茎叶图数据，代入平均数公式求出结果；（2）先由（1）求得的平均数，再利用比例关系即可推断该车间12名工人中有几名优秀工人的人数；（3）设“从该车间12名工人中，任取2人，恰有1名优秀工人”为事件A，结合组合数利用概率的计算公式即可求解事件A的概率．【解答】解：（1）样本均值为；（2）抽取的6名工人中有2名为优秀工人，所以12名工人中有4名优秀工人；（3）设“从该车间12名工人中，任取2人，恰有1名优秀工人”为事件A，所以，即恰有1名优秀工人的概率为．18．（14分）（2013•广东）如图1，在等腰直角三角形ABC中，∠A=90°，BC=6，D，E分别是AC，AB上的点，，O为BC的中点．将△ADE沿DE折起，得到如图2所示的四棱椎A′﹣BCDE，其中A′O=．（1）证明：A′O⊥平面BCDE；（2）求二面角A′﹣CD﹣B的平面角的余弦值．【分析】（1）连接OD，OE．在等腰直角三角形ABC中，∠B=∠C=45°，，AD=AE=，CO=BO=3．分别在△COD与△OBE中，利用余弦定理可得OD，OE．利用勾股定理的逆定理可证明∠A′OD=∠A′OE=90°，再利用线面垂直的判定定理即可证明；（2）方法一：过点O作OF⊥CD的延长线于F，连接A′F．利用（1）可知：A′O ⊥平面BCDE，根据三垂线定理得A′F⊥CD，所以∠A′FO为二面角A′﹣CD﹣B的平面角．在直角△OCF中，求出OF即可；方法二：取DE中点H，则OH⊥OB．以O为坐标原点，OH、OB、OA′分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系．利用两个平面的法向量的夹角即可得到二面角．【解答】（1）证明：连接OD，OE．因为在等腰直角三角形ABC中，∠B=∠C=45°，，CO=BO=3．在△COD中，，同理得．因为，．所以A′O2+OD2=A′D2，A′O2+OE2=A′E2．所以∠A′OD=∠A′OE=90°所以A′O⊥OD，A′O⊥OE，OD∩OE=O．所以A′O⊥平面BCDE．（2）方法一：过点O作OF⊥CD的延长线于F，连接A′F因为A′O⊥平面BCDE．根据三垂线定理，有A′F⊥CD．所以∠A′FO为二面角A′﹣CD﹣B的平面角．在Rt△COF中，．在Rt△A′OF中，=．所以．所以二面角A′﹣CD﹣B的平面角的余弦值为．方法二：取DE中点H，则OH⊥OB．以O为坐标原点，OH、OB、OA′分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系．则O（0，0，0），A′（0，0，），C（0，﹣3，0），D（1，﹣2，0）=（0，0，）是平面BCDE的一个法向量．设平面A′CD的法向量为n=（x，y，z），．所以，令x=1，则y=﹣1，．所以是平面A′CD的一个法向量设二面角A′﹣CD﹣B的平面角为θ，且所以所以二面角A′﹣CD﹣B的平面角的余弦值为19．（14分）（2013•广东）设数列{a n}的前n项和为S n，已知a1=1，，n∈N*．（1）求a2的值；（2）求数列{a n}的通项公式；（3）证明：对一切正整数n，有．【分析】（1）利用已知a1=1，，n∈N*．令n=1即可求出；（2）利用a n=S n﹣S n﹣1（n≥2）即可得到na n+1=（n+1）a n+n（n+1），可化为，．再利用等差数列的通项公式即可得出；（3）利用（2），通过放缩法（n≥2）即可证明．【解答】解：（1）当n=1时，，解得a2=4（2）①当n≥2时，②①﹣②得整理得na n=（n+1）a n+n（n+1），即，+1当n=1时，所以数列{}是以1为首项，1为公差的等差数列所以，即所以数列{a n}的通项公式为，n∈N*（3）因为（n≥2）所以=．当n=1，2时，也成立．20．（14分）（2013•广东）已知抛物线C的顶点为原点，其焦点F（0，c）（c＞0）到直线l：x﹣y﹣2=0的距离为，设P为直线l上的点，过点P作抛物线C的两条切线PA，PB，其中A，B为切点．（1）求抛物线C的方程；（2）当点P（x0，y0）为直线l上的定点时，求直线AB的方程；（3）当点P在直线l上移动时，求|AF|•|BF|的最小值．【分析】（1）利用焦点到直线l：x﹣y﹣2=0的距离建立关于变量c的方程，即可解得c，从而得出抛物线C的方程；（2）先设，，由（1）得到抛物线C的方程求导数，得到切线PA，PB的斜率，最后利用直线AB的斜率的不同表示形式，即可得出直线AB的方程；（3）根据抛物线的定义，有，，从而表示出|AF|•|BF|，再由（2）得x1+x2=2x0，x1x2=4y0，x0=y0+2，将它表示成关于y0的二次函数的形式，从而即可求出|AF|•|BF|的最小值．【解答】解：（1）焦点F（0，c）（c＞0）到直线l：x﹣y﹣2=0的距离，解得c=1，所以抛物线C的方程为x2=4y．（2）设，，由（1）得抛物线C的方程为，，所以切线PA，PB的斜率分别为，，所以PA：①PB：②联立①②可得点P的坐标为，即，，又因为切线PA的斜率为，整理得，直线AB的斜率，所以直线AB的方程为，整理得，即，因为点P（x0，y0）为直线l：x﹣y﹣2=0上的点，所以x0﹣y0﹣2=0，即y0=x0﹣2，所以直线AB的方程为x0x﹣2y﹣2y0=0．（3）根据抛物线的定义，有，，所以=，由（2）得x1+x2=2x0，x1x2=4y0，x0=y0+2，所以=．所以当时，|AF|•|BF|的最小值为．21．（14分）（2013•广东）设函数f（x）=（x﹣1）e x﹣kx2（k∈R）．（1）当k=1时，求函数f（x）的单调区间；（2）当时，求函数f（x）在[0，k]上的最大值M．【分析】（1）利用导数的运算法则即可得出f′（x），令f′（x）=0，即可得出实数根，通过列表即可得出其单调区间；（2）利用导数的运算法则求出f′（x），令f′（x）=0得出极值点，列出表格得出单调区间，比较区间端点与极值即可得到最大值．【解答】解：（1）当k=1时，f（x）=（x﹣1）e x﹣x2，f'（x）=e x+（x﹣1）e x﹣2x=x（e x﹣2）令f'（x）=0，解得x1=0，x2=ln2＞0所以f'（x），f（x）随x的变化情况如下表：0（0，ln2）ln2（ln2，+∞）x（﹣∞，0）f'（x）+0﹣0+f（x）↗极大值↘极小值↗所以函数f（x）的单调增区间为（﹣∞，0）和（ln2，+∞），单调减区间为（0，ln2）（2）f（x）=（x﹣1）e x﹣kx2，x∈[0，k]，．f'（x）=xe x﹣2kx=x（e x﹣2k），f'（x）=0，解得x1=0，x2=ln（2k）令φ（k）=k﹣ln（2k），，所以φ（k ）在上是减函数，∴φ（1）≤φ（k）＜φ，∴1﹣ln2≤φ（k ）＜＜k．即0＜ln（2k）＜k所以f'（x），f（x）随x的变化情况如下表：x（0，ln（2k））ln（2k）（ln（2k），k）f'（x）﹣0+f（x）↘极小值↗f（0）=﹣1，f（k）﹣f（0）=（k﹣1）e k﹣k3﹣f（0）=（k﹣1）e k﹣k3+1=（k﹣1）e k﹣（k3﹣1）=（k﹣1）e k﹣（k﹣1）（k2+k+1）=（k﹣1）[e k﹣（k2+k+1）]∵，∴k﹣1≤0．对任意的，y=e k的图象恒在y=k2+k+1下方，所以e k﹣（k2+k+1）≤0所以f（k）﹣f（0）≥0，即f（k）≥f（0）所以函数f（x）在[0，k]上的最大值M=f（k）=（k﹣1）e k﹣k3．。

2013年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）B数学（文科）一、选择题1、设集合22{|20,},{|20,}S x x x x R T x x x x R =+=∈=-=∈，则S T ⋂= A 、 {0} B 、 {0,2} C 、 {2,0}- D 、 {2,0,2}-2、函数lg(1)1x y x +=-的定义域是 A 、 (1,)-+∞ B 、 [1,)-+∞ C 、 (1,1)(1,)U -+∞ D 、 [1,1)(1,)U -+∞ 3、若()34,,i x yi i x y R +=+∈，则复数x yi +的模是 A 、2 B 、3 C 、4 D 、54、已知51sin()25πα+=，则cos α= A 、25- B 、15- C 、15 D 、255、执行如图1所示的程序框图，若输入n 的值为3，则输出s 的值是 A 、1 B 、2 C 、4 D 、7图2216、某三棱锥的三视图如图2所示，则该三棱锥的体积是 A 、16 B 、13 C 、23D 、1 7、垂直于直线1y x =+且与圆221x y +=相切于第一象限的直线方程是A、0x y += B 、10x y ++= C 、10x y +-= D、0x y += 8、设l 为直线，,αβ是两个不同的平面，下列命题中正确的是 A 、若||,||l l αβ，则||αβ B 、若,l l αβ⊥⊥，则||αβ C 、若,||l l αβ⊥，则||αβ D 、若,||l αβα⊥，则l β⊥ 9、已知中心在原点的椭圆C 的右焦点为(1,0)F ，离心率为12，则C 的方程是 A 、22134x y += B、2214x += C 、22142x y += D 、22143x y += 10、设a 是已知的平面向量且0a ≠，关于向量a 的分解，有如下四个命题： ①给定向量b ，总存在向量c ，使a b c =+；②给定向量b 和c ，总存在实数λ和μ，使a b c λμ=+；③给定单位向量b 和正数μ，总存在单位向量c 和实数λ，使a b c λμ=+ ④给定正数λ和μ，总存在单位向量b 和单位向量c ，使a b c λμ=+ 上述命题中的向量b 、c 和a 在同一平面内且两两不共线，则真命题的个数是 A 、1 B 、2 C 、3 D 、4二、填空题（一）必做题（11~13题）11、设数列{}n a 是首项为1，公比为2-的等比数列，则1234||||a a a a +++=__________. 12、若曲线2ln y ax x =-在点(1,)a 处的切线平行于x 轴，则a =___________.13、已知变量x ，y 满足约束条件30111x y x y -+≥⎧⎪-≤≤⎨⎪≥⎩，则z x y =+的最大值是___________.（二）选做题（14~15题，考生只能从中选做一题） 14、（坐标系与参数方程选做题）已知曲线C 的极坐标方程为2cos ρθ=，以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴建立直角坐标系，则曲线C 的参数方程为________________________.图3DCBA15、（几何证明选讲选做题）如图3，在矩形ABCD中，AB =3BC =，BE AC ⊥，垂足为E ，则ED=________.三、解答题16、（满分12分）已知函数()),12f x x x R π=-∈.（1）求()3f π的值； （2）若33cos ,(,2)52πθθπ=∈，求()6f πθ-.（1）根据频数分布表计算苹果的重量在[90,95)的频率；（2）用分层抽样的方法从重量在[80,85)和[95,100)的苹果中共抽取4个，其中重量在[80,85)的有几个？（3）在（2）中抽出的4个苹果中，任取2个，求重量在[80,85)和[95,100)中各有1个的概率. 18、（满分14分）如图4，在边长为1的等边三角形ABC 中，D 、E 分别是AB 、AC 上的点，AD=AE ，F 是BC 的中点，AF 与DE 交于点G ，将ABF ∆沿AF 折起，得到如图5所示的三棱锥A BCF -，其中BC =. （1）证明：DE//平面BCF ；（2）证明：CF ⊥平面ABF ；（3）当AD=23时，求三棱锥F DEG -的体积F DEG V -.图5图4CB B19、（满分14分）设各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足2*1441,n n S a n n N +=--∈，且2514,,a a a 构成等比数列. （1）证明：2a =（2）求数列{}n a 的通项公式； （3）证明：对一切正整数n ，有1223111112n n a a a a a a ++++<.20、（满分14分）已知抛物线C 的顶点为原点，其焦点(0,)(0)F c c>到直线:20l x y --=P 为直线l 上的点，过点P 作抛物线C 的两条切线PA ，PB ，其中A ，B 为切点.（1）求抛物线C 的方程；（2）当点00(,)P x y 为直线l 上定点时，求直线AB 的方程； （3）当点P 在直线l 上移动时，求|AF|·|BF|的最小值.21、（满分14分）设函数32()()f x x kx x k R =-+∈. （1）当1k =时，求函数()f x 的单调区间；（2）当0k <时，求函数()f x 在[,]k k -上的最小值m 和最大值M .2013广东高考文科数学答案1-5 DAADC 6-10 BCBCD11 [)()1,00,-+∞; 1214; 13 1,1,3,3; 14 (2,1); 1516. 解：（1）cos cos 312642f A A A ππππ⎛⎫⎛⎫=+===⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得2A = （2）43042cos 2cos 2sin 336217f πππαπααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++=+=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，即15sin 17α= 2842cos 2cos 3665f ππβπββ⎛⎫⎛⎫-=-+== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即4cos 5β=因为0,2παβ⎡⎤,∈⎢⎥⎣⎦，所以8cos 17α==，3sin 5β== 所以8415313cos()cos cos sin sin 17517585αβαβαβ+=-=⨯-⨯=- 17. 解：（1）依题意得，10(20.020.030.04)1a +++=，解得0.005a = （2）这100名学生语文成绩的平均分为：550.05650.475⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=（分）（3）数学成绩在[50,60)的人数为：1000.055⨯=数学成绩在[60,70)的人数为：11000.4202⨯⨯= 数学成绩在[70,80)的人数为：41000.3403⨯⨯=数学成绩在[80,90)的人数为：51000.2254⨯⨯=所以数学成绩在[50,90)之外的人数为：100520402510----= 18. 解：（1）证明：因为AB ⊥平面PAD ， 所以PH AB ⊥因为PH 为△PAD 中AD 边上的高 所以PH AD ⊥因为AB AD A = 所以PH ⊥平面ABCD （2）连结BH ，取BH 中点G ，连结EG因为E 是PB 的中点， 所以//EG PH因为PH ⊥平面ABCD 所以EG ⊥平面ABCD则1122EG PH ==， 111332E BCF BCF V S EG FC AD EG -∆=⋅=⋅⋅⋅⋅=12（3）证明：取PA 中点M ，连结MD ，ME因为E 是PB 的中点，所以1//2ME AB =因为1//2DF AB = 所以//ME DF =所以四边形MEDF 是平行四边形 所以//EF MD 因为PD AD = 所以MD PA ⊥ 因为AB ⊥平面PAD ， 所以MD AB ⊥因为PA AB A = 所以MD ⊥平面PAB ，所以EF ⊥平面PAB19. 解：（1）当1n =时，1121T S =-因为111T S a ==，所以1121a a =-，求得11a =（2）当2n ≥时，221112[2(1)]2221n n n n n n n S T T S n S n S S n ---=-=----=--+ 所以1221n n S S n -=+- ① 所以1221n n S S n +=++ ② ②-①得 122n n a a +=+ 所以122(2)n n a a ++=+，即1222n n a a ++=+(2)n ≥求得123a +=，226a +=，则21222a a +=+ 所以{}2n a +是以3为首项，2为公比的等比数列，所以1232n n a -+=⋅ 所以1322n n a -=⋅-，*n ∈N20. 解：（1）因为椭圆1C 的左焦点为1(1,0)F -，所以1c =，点(0,1)P 代入椭圆22221x y a b +=，得211b =，即1b =，所以2222a b c =+=，所以椭圆1C 的方程为2212x y +=. （2）直线l 的斜率显然存在，设直线l 的方程为y kx m =+，2212x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，消去y 并整理得222(12)4220k x kmx m +++-=因为直线l 与椭圆1C 相切，所以2222164(12)(22)0k m k m ∆=-+-= 整理得22210k m -+= ①24y xy kx m⎧=⎨=+⎩，消去y 并整理得222(24)0k x km x m +-+= 因为直线l 与抛物线2C 相切，所以222(24)40km k m ∆=--= 整理得1km = ②综合①②，解得2k m ⎧=⎪⎨⎪=⎩或2k m ⎧=-⎪⎨⎪=⎩ 所以直线l的方程为y x =y x = 21. 解：（1）令2()23(1)6g x x a x a =-++229(1)4893093(31)(3)a a a a a a ∆=+-=-+=--① 当103a <≤时，0∆≥，方程()0g x =的两个根分别为1x =，2x =所以()0g x >的解集为(()-∞+∞因为12,0x x >，所以D A B ==()+∞② 当113a <<时，0∆<，则()0g x >恒成立，所以D A B==(0,)+∞综上所述，当103a <≤时，D =3333(0,)()44a a +++∞； 当113a <<时，D =(0,)+∞ （2）2()66(1)66()(1)f x x a x a x a x '=-++=--，令()0f x '=，得x a =或1x =① 当103a <≤时，由（1）知D =12(0,)(,)x x +∞ 因为2()23(1)6(3)0g a a a a a a a =-++=->，(1)23(1)6310g a a a =-++=-≤ 所以1201a x x <<<≤，所以(),()f x f x '随x 的变化情况如下表：所以()f x 的极大值点为x a =，没有极小值点 ② 当113a <<时，由（1）知D =(0,)+∞ 所以(),()f x f x '随x 的变化情况如下表：所以()f x 的极大值点为x a =，极小值点为1x = 综上所述，当103a <≤时，()f x 有一个极大值点x a =，没有极小值点； 当113a <<时，()f x 有一个极大值点x a =，一个极小值点1x =。

2013年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学（文科A 卷）解析从今以后，不再是大学特学综合科，而是大学特学数学科了！让别的科扼杀学生的能 力吧，数学出基础题就好一一感恩广东今年数学出题老师一一湛江 -农垦-小徐注 （QQ:808068）本试卷共4页，21小题，满分150分.考试用时120分钟.1锥体的体积公式： V 1 Sh .其中S 表示锥体的底面积，h 表示锥体的高.3一、选择题：本大题共 10小题，每小题5分，满分50分，在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的.1.设集合 S {x|x 2 2x 0,x R} , T {x|x 2 2x 0,x R}，则 S TA . {0}B- {0, 2}C. { 2,0} D . { 2,0, 2} 【解析】：先解两个一元二次方程，再取交集，选A , 5分到手，妙!2 .函数f (x) lg( x ——9的定义域是x 1A . ( 1,) B . [ 1, ) C. ( 1,1) (1, )D . [ 1,1) (1,【解析】： 对数真数大于零, 分母不等于零，目测C !3 .若 i(x yi) 3 4i ,x, y R ，则复数xyi 的模是A . 2B . 3C. 4D . 54,y模为5，选D.4 .已知sin(2)—, 那么cos21C 1A .B. C. -555【解析】考 查 三角5 S "(2)sin(2 +—) si n —2 2cos1—，选 C.55.执行如图1所示的程序框图，若输入n的值为3，则输出s的值是A. 1B. 2C. 4D. 7【解析】选C•本题只需细心按程序框图运行一下即可.正视图侧视图俯视图6.某三棱锥的三视图如图 2所示，则该三棱锥的体积是【解析】由三视图判断底面为等腰直角三角形，三棱锥的高为 选B.排除B 、C ;相切于第一象限排除 D ,选A •直接法可设所求的直线方程为:①给定向量b ，总存在向量c ，使a b c ； ②给定向量b 和c ,总存在实数 和，使a b③给定单位向量 b 和正数 ，总存在单位向量 c 和实数④给定正数和，总存在单位向量b 和单位向量c ，使a b c ;1 A .61 B.3C. 23D. 12=3，7 .垂直于直线.. 2 2y x 1且与圆x y 1相切于第一象限的直线方程是A . x yB .C . x yD .【解析】本题考查直线与圆的位置关系,直接由选项判断很快，圆心到直线的距离等于再利用圆心到直线的距离等于r 1，求得k 2 .&设I 为直线, 是两个不同的平面，下列命题中正确的是 A .若 I//, I //，则 // B .若I ,I ，则 //C .若 I , I //，则 //D .若,I// ，则【解析】基础题，在脑海里把线面可能性一想，就知道选9.已知中心在原点的椭圆C 的右焦点为2 2x y .A.————22x yB .— 1 4 3C .D .【解析】基础题，c1,a 2,b3，选 D.10.设a 是已知的平面向量且’a ；0，关.于向量 a 的分解, 有如下四个命，使a b上述命题中的向量b, c和a在同一平面内且两两不共线，则真命题的个数是D. 4A. 1B. 2C. 3【解析】本题是选择题中的压轴题， 主要考查平面向量的基本定理和向量加法的三角形法则 利用向量加法的三角形法则，易的①是对的； 利用平面向量的基本定理，易的②是对的；以 a 的终点作长度为 的圆，这个圆必须和向量 b 有交点，这个不一定能满足，③是错的; 利用向量加法的三角形法则，结合三角形两边的和大于第三边，即必须a ，所以④是假命题•综上，本题选B •平面向量的基本定理考前还强调过,不懂学生做得如何•【品味选择题】 文科选择题答案：ACDCC BABD 选择题3322再次出现！今年的选择题很基 础，希望以后高考年年出基础题！二、填空题：本大题共 5小题•考生作答4小题•每小题5分，满分20分. （一）必做题（11〜13题）11 •设数列｛a n ｝是首项为1，公比为 2的等比数列, 【解析】这题相当于直接给出答案了 15212.若曲线y ax In x 在点（1,a ）处的切线平行于标系，则曲线C 的参数方程为【解析】本题考了备考弱点x 1 cos1，易的则曲线 C 的参数方程为（为参数）则 a 1 |a 21 a s |a 41x 轴,【解析】本题考查切线方程、方程的思想.依题意y2ax1 ',y x 1 2a 1 x13.已知变量x, y 满足约束条件 x 1，则 z 1最大值是【解析】画出可行域如图，最优解为1,4，故填5（二）选做题（14、15题，考生只能从中选做一题） 14.（坐标系与参数方程选做题） 已知曲线C 的极坐标方程为2cos .以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴建立直角坐.讲参数方程的时候，参数的意义要理解清楚•先化成直角坐标方程X 1 2 y 2y sin15.（几何证明选讲选做题）如图3,在矩形ABCD中，AB 3, BC 3, BE AC，垂足为E，则ED⑵用分层抽样的方法从重量在[80,85）和[95,100）的苹果中共抽取4个，其中重量在【解析】本题对数值要敏感，由AB 3, BC 3，可知 BAC 60从而AE 计，CAD 30，【品味填空题】 选做题还是难了点，比理科还难些•三、解答题：本大题共 6小题，满分80分•解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16. （本小题满分12分）已知函数 f(x) 2 cos x 一 , x R . 12(1)求f 的值;333⑵若cos -,——,2 ，求f 526 【解析】(1) fcos - —v 2 cos -13 3 12441 Vcos3 3,2sin2cos5 25f=2 cos2 cos cossin sin —1644 45【解析】这个题实在是太简单，两角差的余弦公式不要记错了17. （本小题满分13分）从一批苹果中，随机抽取 50个，其重量（单位：克）的频数分布表如下:分组（重量） [80,85)[85,90)[90,95)[95,100)频数（个）5102015（1）根据频数分布表计算苹果的重量在 [90,95）的频率;DEAE 2 AD 2 2AE AD cos3021 2图3［80,85）的有几个?⑶ 在（2）中抽出的4个苹果中，任取2个，求重量在［80,85）和［95,100）中各有1个的概率.20【解析】（1）苹果的重量在 90,95的频率为20 =0 4 ；505（2） ------------------------- 重量在80,85的有4 =1个；5+15（3）设这4个苹果中80,85分段的为1， 95,100分段的为2、3、4,从中任取两个，可 能的情况有：（1，2）（ 1,3）（ 1 ,4）（ 2, 3）（2,4）（ 3, 4）共 6 种；设任取 2 个，重量在 80,85 和 95,1003 1 中各有1个的事件为A ,贝U 事件A 包含有（1, 2）（ 1 , 3）（ 1, 4）共3种，所以p （A ） 3 '.6 2【解析】这个基础题，我只强调：注意格式！18. （本小题满分13分）如图4,在边长为1的等边三角形 ABC中，D,E 分别是AB, AC 边上的点，AD AE , F是BC 的中点，AF 与DE 交于点G ，将 ABF 沿AF 折起，得到如图A BCF ，其中 BC（1）证明：DE //平面BCF ;⑵证明：CF 平面ABF ;⑶当AD —时，求三棱锥F3 DEG 的体积V【解析】（1）在等边三角形ABC 中， AD AEADAE，在折叠后的三棱A BCF 中DB EC 1 1也成立， DE / /BC ., DE 平面 BCF ,5所示的三棱锥G图5BC 平面BCF , DE // 平面BCF ；（2）在等边三角形ABC中，F是BC的中点，所以AF BC①，BF CF 1.2在三棱锥A BCF中，BC BC2BF2CF2CF BF ②（2）两问是已知S n 求a n , a n 是等差数列，第（3）问只需裂项求和即可，估计不少学生猜出通项公式，跳过第（易错点在分成n 1，n 2来做后，不会求印，没有证明q 也满足通项公式. 20.（本小题满分14分） 已知抛物线C 的顶点为原点，其焦点 F 0,c c 0到直线I : X y 2 o 的距离为3 2.设P 为直线I 上的点，过点P 作抛物线C 的两条切线PA,PB ，其中代B 为切点. 2（1）求抛物线C 的方程;（2）当点P X o ,y °为直线l 上的定点时，求直线 AB 的方程;⑶ 当点P 在直线I 上移动时，求|AF | |BF |的最小值.抛物线C 的方程为X 2 4y ； (2)设点 A(X 1, y 1),B(X 2,y 2),C 在点A 处的切线PA 的方程为y 力 ；（x X 1）,11 1 12 2n 121 2n 1 2n 1【解析】（1）依题意d-&2，解得c 1 （负根舍去）2由X 24y ,即卩 y - x 2,得 y4【解析】本题考查很常规, 2）问，作出第（3）问•本题P(x o , y o ),•••抛物线X 1—X 21 2y12X1.?X * . •••点P(x o , y o )在切线I 1 上，• y oX 1刁《y 「同理，y°qx。

2013年广东省高考数学试卷（理科）2013年广东省高考数学试卷（理科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）（2013•广东）设集合M={x|x2+2x=0，x∈R}，N={x|x2﹣2x=0，x∈R}，则M∪N=（）A．{0} B．{0，2} C．{﹣2，0} D．{﹣2，0，2}2．（5分）（2013•广东）定义域为R的四个函数y=x3，y=2x，y=x2+1，y=2sinx中，奇函数的个数是（）A．4B．3C．2D．13．（5分）（2013•广东）若复数z满足iz=2+4i，则在复平面内，z对应的点的坐标是（）A．（2，4）B．（2，﹣4）C．（4，﹣2）D．（4，2）4．（5分）（2013•广东）已知离散型随机变量X的分布列为X 1 2 3P则X的数学期望E（X）=（）A．B．2C．D．35．（5分）（2013•广东）某四棱台的三视图如图所示，则该四棱台的体积是（）A．4B．C．D．66．（5分）（2013•广东）设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的是（）A．若α⊥β，m⊂α，n⊂β，则m⊥n B．若α∥β，m⊂α，n⊂β，则m∥nC．若m⊥n，m⊂α，n⊂β，则α⊥βD．若m⊥α，m∥n，n∥β，则α⊥β7．（5分）（2013•广东）已知中心在原点的双曲线C的右焦点为F（3，0），离心率等于，则C的方程是（）A．B．C．D．8．（5分）（2013•广东）设整数n ≥4，集合X={1，2，3，…，n}．令集合S={（x ，y ，z ）|x ，y ，z ∈X ，且三条件x ＜y ＜z ，y ＜z ＜x ，z ＜x ＜y 恰有一个成立}．若（x ，y ，z ）和（z ，w ，x ）都在S 中，则下列选项正确的是（ ） A ． （y ，z ，w ）∈S ，（x ，y ，w ）∉S B ． （y ，z ，w ）∈S ，（x ，y ，w ）∈S C ． （y ，z ，w ）∉S ，（x ，y ，w ）∈S D ． （y ，z ，w ）∉S ，（x ，y ，w ）∉S二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分． 9．（5分）（2013•广东）不等式x 2+x ﹣2＜0的解集为 _________ ． 10．（5分）（2013•广东）若曲线y=kx+lnx 在点（1，k ）处的切线平行于x 轴，则k= _________ ． 11．（5分）（2013•广东）执行如图所示的程序框图，若输入n 的值为4，则输出s 的值为 _________ ．12．（5分）（2013•广东）在等差数列{a n }中，已知a 3+a 8=10，则3a 5+a 7= _________ ．13．（5分）（2013•广东）给定区域D ：．令点集T={（x 0，y 0）∈D|x 0，y 0∈Z ，（x 0，y 0）是z=x+y 在D上取得最大值或最小值的点}，则T 中的点共确定 _________ 条不同的直线． 14．（5分）（2013•广东）（坐标系与参数方程选做题） 已知曲线C 的参数方程为（t 为参数），C 在点（1，1）处的切线为l ，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则l 的极坐标方程为 _________ ． 15．（2013•广东）（几何证明选讲选做题）如图，AB 是圆O 的直径，点C 在圆O 上，延长BC 到D 使BC=CD ，过C 作圆O 的切线交AD 于E ．若AB=6，ED=2，则BC= _________ ．三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．16．（12分）（2013•广东）已知函数，x∈R．（1）求的值；（2）若，，求．17．（12分）（2013•广东）某车间共有12名工人，随机抽取6名，他们某日加工零件个数的茎叶图如图所示，其中茎为十位数，叶为个位数．（1）根据茎叶图计算样本均值；（2）日加工零件个数大于样本均值的工人为优秀工人．根据茎叶图推断该车间12名工人中有几名优秀工人？（3）从该车间12名工人中，任取2人，求恰有1名优秀工人的概率．18．（14分）（2013•广东）如图1，在等腰直角三角形ABC中，∠A=90°，BC=6，D，E分别是AC，AB上的点，，O为BC的中点．将△ADE沿DE折起，得到如图2所示的四棱椎A′﹣BCDE，其中A′O=．（1）证明：A′O⊥平面BCDE；（2）求二面角A′﹣CD﹣B的平面角的余弦值．19．（14分）（2013•广东）设数列{a n}的前n项和为S n，已知a1=1，，n∈N*．（1）求a2的值；（2）求数列{a n}的通项公式；（3）证明：对一切正整数n，有．20．（14分）（2013•广东）已知抛物线C的顶点为原点，其焦点F（0，c）（c＞0）到直线l：x﹣y﹣2=0的距离为，设P为直线l上的点，过点P作抛物线C的两条切线PA，PB，其中A，B为切点．（1）求抛物线C的方程；（2）当点P（x0，y0）为直线l上的定点时，求直线AB的方程；（3）当点P在直线l上移动时，求|AF|•|BF|的最小值．21．（14分）（2013•广东）设函数f（x）=（x﹣1）e x﹣kx2（k∈R）．（1）当k=1时，求函数f（x）的单调区间；（2）当时，求函数f（x）在[0，k]上的最大值M．2013年广东省高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）（2013•广东）设集合M={x|x2+2x=0，x∈R}，N={x|x2﹣2x=0，x∈R}，则M∪N=（）A．{0} B．{0，2} C．{﹣2，0} D．{﹣2，0，2}考点：并集及其运算．专题：计算题．分析：根据题意，分析可得，M={0，﹣2}，N={0，2}，进而求其并集可得答案．解答：解：分析可得，M为方程x2+2x=0的解集，则M={x|x2+2x=0}={0，﹣2}，N为方程x2﹣2x=0的解集，则N={x|x2﹣2x=0}={0，2}，故集合M∪N={0，﹣2，2}，故选D．点评：本题考查集合的并集运算，首先分析集合的元素，可得集合的意义，再求集合的并集．2．（5分）（2013•广东）定义域为R的四个函数y=x3，y=2x，y=x2+1，y=2sinx中，奇函数的个数是（）A．4B．3C．2D．1考点：函数奇偶性的判断．专题：函数的性质及应用．分析：根据函数奇偶性的定义及图象特征逐一盘点即可．解答：解：y=x3的定义域为R，关于原点对称，且（﹣x）3=﹣x3，所以函数y=x3为奇函数；y=2x的图象过点（0，1），既不关于原点对称，也不关于y轴对称，为非奇非偶函数；y=x2+1的图象过点（0，1）关于y轴对称，为偶函数；y=2sinx的定义域为R，关于原点对称，且2sin（﹣x）=﹣2sinx，所以y=2sinx为奇函数；所以奇函数的个数为2，故选C．点评：本题考查函数奇偶性的判断，属基础题，定义是解决该类题目的基本方法，要熟练掌握．3．（5分）（2013•广东）若复数z满足iz=2+4i，则在复平面内，z对应的点的坐标是（）A．（2，4）B．（2，﹣4）C．（4，﹣2）D．（4，2）考点：复数代数形式的乘除运算．专题：计算题．分析：由题意可得z=，再利用两个复数代数形式的乘除法法则化为4﹣2i，从而求得z对应的点的坐标．解答：解：复数z满足iz=2+4i，则有z===4﹣2i，故在复平面内，z对应的点的坐标是（4，﹣2），故选C．点评：本题主要考查两个复数代数形式的乘除法，虚数单位i的幂运算性质，复数与复平面内对应点之间的关系，属于基础题．4．（5分）（2013•广东）已知离散型随机变量X的分布列为X 1 2 3P则X的数学期望E（X）=（）A．B．2C．D．3考点：离散型随机变量的期望与方差．专题：概率与统计．分析：利用数学期望的计算公式即可得出．解答：解：由数学期望的计算公式即可得出：E（X）==．故选A．点评：熟练掌握数学期望的计算公式是解题的关键．5．（5分）（2013•广东）某四棱台的三视图如图所示，则该四棱台的体积是（）A．4B．C．D．6考点：棱柱、棱锥、棱台的体积．专题：计算题．分析：由题意直接利用三视图的数据求解棱台的体积即可．解答：解：几何体是四棱台，下底面是边长为2的正方形，上底面是边长为1的正方形，棱台的高为2，并且棱台的两个侧面与底面垂直，四楼台的体积为V==．故选B．点评：本题考查三视图与几何体的关系，棱台体积公式的应用，考查计算能力与空间想象能力．6．（5分）（2013•广东）设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的是（）A．若α⊥β，m⊂α，n⊂β，则m⊥n B．若α∥β，m⊂α，n⊂β，则m∥nC．若m⊥n，m⊂α，n⊂β，则α⊥βD．若m⊥α，m∥n，n∥β，则α⊥β考点：命题的真假判断与应用；空间中直线与平面之间的位置关系；平面与平面之间的位置关系．专题：空间位置关系与距离．分析：由α⊥β，m⊂α，n⊂β，可推得m⊥n，m∥n，或m，n异面；由α∥β，m⊂α，n⊂β，可得m∥n，或m，n异面；由m ⊥n ，m ⊂α，n ⊂β，可得α与β可能相交或平行；由m ⊥α，m ∥n ，则n ⊥α，再由n ∥β可得α⊥β．解答： 解：选项A ，若α⊥β，m ⊂α，n ⊂β，则可能m ⊥n ，m ∥n ，或m ，n 异面，故A 错误；选项B ，若α∥β，m ⊂α，n ⊂β，则m ∥n ，或m ，n 异面，故B 错误；选项C ，若m ⊥n ，m ⊂α，n ⊂β，则α与β可能相交，也可能平行，故C 错误； 选项D ，若m ⊥α，m ∥n ，则n ⊥α，再由n ∥β可得α⊥β，故D 正确． 故选D点评： 本题考查命题真假的判断与应用，涉及空间中直线与平面的位置关系，属基础题．7．（5分）（2013•广东）已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为F （3，0），离心率等于，则C 的方程是（ ） A ．B ．C ．D ．考点： 双曲线的标准方程．专题： 压轴题；圆锥曲线的定义、性质与方程． 分析：设出双曲线方程，利用双曲线的右焦点为F （3，0），离心率为 ，建立方程组，可求双曲线的几何量，从而可得双曲线的方程．解答：解：设双曲线方程为（a ＞0，b ＞0），则∵双曲线C 的右焦点为F （3，0），离心率等于 ， ∴，∴c=3，a=2，∴b 2=c 2﹣a 2=5∴双曲线方程为 ．故选B ．点评： 本题考查双曲线的方程与几何性质，考查学生的计算能力，属于基础题． 8．（5分）（2013•广东）设整数n ≥4，集合X={1，2，3，…，n}．令集合S={（x ，y ，z ）|x ，y ，z ∈X ，且三条件x ＜y ＜z ，y ＜z ＜x ，z ＜x ＜y 恰有一个成立}．若（x ，y ，z ）和（z ，w ，x ）都在S 中，则下列选项正确的是（ ） A ． （y ，z ，w ）∈S ，（x ，y ，w ）∉S B ． （y ，z ，w ）∈S ，（x ，y ，w ）∈S C ． （y ，z ，w ）∉S ，（x ，y ，w ）∈S D ． （y ，z ，w ）∉S ，（x ，y ，w ）∉S考点： 进行简单的合情推理． 专题： 证明题；压轴题．分析： 特殊值排除法，取x=1，y=2，z=4，w=3，可排除错误选项，即得答案． 解答： 解：特殊值排除法，取x=1，y=2，z=4，w=3，显然满足（x ，y ，z ）和（z ，w ，x ）都在S 中， 此时（y ，z ，w ）=（2，4，3）∈S ，（x ，y ，w ）=（1，2，3）∈S ，故A 、C 、D 均错误； 只有B 成立，故选B点评： 本题考查简单的合情推理，特殊值验证法是解决问题的关键，属基础题．二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分． 9．（5分）（2013•广东）不等式x 2+x ﹣2＜0的解集为 （﹣2，1） ．考点：一元二次不等式的解法．专题：不等式的解法及应用．分析：先求相应二次方程x2+x﹣2=0的两根，根据二次函数y=x2+x﹣2的图象即可写出不等式的解集．解答：解：方程x2+x﹣2=0的两根为﹣2，1，且函数y=x2+x﹣2的图象开口向上，所以不等式x2+x﹣2＜0的解集为（﹣2，1）．故答案为：（﹣2，1）．点评：本题考查一元二次不等式的解法，属基础题，深刻理解“三个二次”间的关系是解决该类题目的关键，解二次不等式的基本步骤是：求二次方程的根；作出草图；据图象写出解集．10．（5分）（2013•广东）若曲线y=kx+lnx在点（1，k）处的切线平行于x轴，则k=﹣1．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：导数的综合应用．分析：先求出函数的导数，再由题意知在1处的导数值为0，列出方程求出k的值．解答：解：由题意得，y′=k+，∵在点（1，k）处的切线平行于x轴，∴k+1=0，得k=﹣1，故答案为：﹣1．点评：本题考查了函数导数的几何意义应用，难度不大．11．（5分）（2013•广东）执行如图所示的程序框图，若输入n的值为4，则输出s的值为7．考点：程序框图．专题：图表型．分析：由已知中的程序框图及已知中输入4，可得：进入循环的条件为i≤4，即i=1，2，3，4．模拟程序的运行结果，即可得到输出的S值．解答：解：当i=1时，S=1+1﹣1=1；当i=2时，S=1+2﹣1=2；当i=3时，S=2+3﹣1=4；当i=4时，S=4+4﹣1=7；当i=5时，退出循环，输出S=7；故答案为：7．点评：本题考查的知识点是程序框图，在写程序的运行结果时，我们常使用模拟循环的变法，但程序的循环体中变量比较多时，要用表格法对数据进行管理．12．（5分）（2013•广东）在等差数列{a n}中，已知a3+a8=10，则3a5+a7=20．考点：等差数列的通项公式．专题：计算题；等差数列与等比数列．分析：根据等差数列性质可得：3a5+a7=2（a5+a6）=2（a3+a8）．解答：解：由等差数列的性质得：3a5+a7=2a5+（a5+a7）=2a5+（2a6）=2（a5+a6）=2（a3+a8）=20，故答案为：20．点评：本题考查等差数列的性质及其应用，属基础题，准确理解有关性质是解决问题的根本．13．（5分）（2013•广东）给定区域D：．令点集T={（x0，y0）∈D|x0，y0∈Z，（x0，y0）是z=x+y在D 上取得最大值或最小值的点}，则T中的点共确定6条不同的直线．考点：简单线性规划的应用．专题：不等式的解法及应用．分析：先根据所给的可行域，利用几何意义求最值，z=x+y表示直线在y轴上的截距，只需求出可行域直线在y 轴上的截距最值即可，从而得出点集T中元素的个数，即可得出正确答案．解答：解：画出不等式表示的平面区域，如图．作出目标函数对应的直线，因为直线z=x+y与直线x+y=4平行，故直线z=x+y过直线x+y=4上的整数点：（4，0），（3，1），（2，2），（1，3）或（0，4）时，直线的纵截距最大，z最大；当直线过（0，1）时，直线的纵截距最小，z最小，从而点集T={（4，0），（3，1），（2，2），（1，3），（0，4），（0，1）}，经过这六个点的直线一共有6条．即T中的点共确定6条不同的直线．故答案为：6．点评：本题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，属于基础题．14．（5分）（2013•广东）（坐标系与参数方程选做题）已知曲线C的参数方程为（t为参数），C在点（1，1）处的切线为l，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则l的极坐标方程为ρcosθ+ρsinθ﹣2=0（填或也得满分）．考点：参数方程化成普通方程；点的极坐标和直角坐标的互化．专题：压轴题．分析：先求出曲线C的普通方程，再利用直线与圆相切求出切线的方程，最后利用x=ρcosθ，y=ρsinθ代换求得其极坐标方程即可．解答：解：由（t为参数），两式平方后相加得x2+y2=2，…（4分）∴曲线C是以（0，0）为圆心，半径等于的圆．C在点（1，1）处的切线l的方程为x+y=2，令x=ρcosθ，y=ρsinθ，代入x+y=2，并整理得ρcosθ+ρsinθ﹣2=0，即或，则l的极坐标方程为ρcosθ+ρsinθ﹣2=0（填或也得满分）．…（10分）故答案为：ρcosθ+ρsinθ﹣2=0（填或也得满分）．点评：本题主要考查极坐标方程、参数方程及直角坐标方程的转化．普通方程化为极坐标方程关键是利用公式x=ρcosθ，y=ρsinθ．15．（2013•广东）（几何证明选讲选做题）如图，AB是圆O的直径，点C在圆O上，延长BC到D使BC=CD，过C作圆O的切线交AD于E．若AB=6，ED=2，则BC=．考点：与圆有关的比例线段．专题：压轴题；直线与圆．分析：利用AB是圆O的直径，可得∠ACB=90°．即AC⊥BD．又已知BC=CD，可得△ABD是等腰三角形，可得∠D=∠B．再利用弦切角定理可得∠ACE=∠B，得到∠AEC=∠ACB=90°，进而得到△CED∽△ACB，利用相似三角形的性质即可得出．解答：解：∵AB是圆O的直径，∴∠ACB=90°．即AC⊥BD．又∵BC=CD，∴AB=AD，∴∠D=∠ABC，∠EAC=∠BAC．∵CE与⊙O相切于点C，∴∠ACE=∠ABC．∴∠AEC=∠ACB=90°．∴△CED ∽△ACB ． ∴，又CD=BC ，∴．点评： 本题综合考查了圆的性质、弦切角定理、等腰三角形的性质、相似三角形的判定与性质等基础知识，需要较强的推理能力．三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（12分）（2013•广东）已知函数，x ∈R ．（1）求的值；（2）若，，求．考点：二倍角的正弦；两角和与差的余弦函数． 专题： 三角函数的求值；三角函数的图像与性质． 分析：（1）把x=﹣直接代入函数解析式求解． （2）先由同角三角函数的基本关系求出sin θ的值以及sin2θ，然后将x=2θ+代入函数解析式，并利用两角和与差公式求得结果． 解答：解：（1）（2）因为，所以所以所以=点评： 本题主要考查了特殊角的三角函数值的求解，考查了和差角公式的运用，属于知识的简单综合，要注意角的范围． 17．（12分）（2013•广东）某车间共有12名工人，随机抽取6名，他们某日加工零件个数的茎叶图如图所示，其中茎为十位数，叶为个位数．（1）根据茎叶图计算样本均值；（2）日加工零件个数大于样本均值的工人为优秀工人．根据茎叶图推断该车间12名工人中有几名优秀工人？ （3）从该车间12名工人中，任取2人，求恰有1名优秀工人的概率．考点：众数、中位数、平均数；茎叶图；古典概型及其概率计算公式．专题：概率与统计．分析：（1）茎叶图中共同的数字是数字的十位，这是解决本题的突破口，根据所给的茎叶图数据，代入平均数公式求出结果；（2）先由（1）求得的平均数，再利用比例关系即可推断该车间12名工人中有几名优秀工人的人数；（3）设“从该车间12名工人中，任取2人，恰有1名优秀工人”为事件A，结合组合数利用概率的计算公式即可求解事件A的概率．解答：解：（1）样本均值为（2）抽取的6名工人中有2名为优秀工人，所以12名工人中有4名优秀工人（3）设“从该车间12名工人中，任取2人，恰有1名优秀工人”为事件A，所以，即恰有1名优秀工人的概率为．点评：本题主要考查茎叶图的应用，古典概型及其概率计算公式，属于容易题．对于一组数据，通常要求的是这组数据的众数，中位数，平均数，题目分别表示一组数据的特征，考查最基本的知识点．18．（14分）（2013•广东）如图1，在等腰直角三角形ABC中，∠A=90°，BC=6，D，E分别是AC，AB上的点，，O为BC的中点．将△ADE沿DE折起，得到如图2所示的四棱椎A′﹣BCDE，其中A′O=．（1）证明：A′O⊥平面BCDE；（2）求二面角A′﹣CD﹣B的平面角的余弦值．考点：用空间向量求平面间的夹角；直线与平面垂直的判定；二面角的平面角及求法．专题：空间位置关系与距离；空间角；空间向量及应用．分析：（1）连接OD，OE．在等腰直角三角形ABC中，∠B=∠C=45°，，AD=AE=，CO=BO=3．分别在△COD与△OBE中，利用余弦定理可得OD，OE．利用勾股定理的逆定理可证明∠A′OD=∠A′OE=90°，再利用线面垂直的判定定理即可证明；（2）方法一：过点O作OF⊥CD的延长线于F，连接A′F．利用（1）可知：A′O⊥平面BCDE，根据三垂线定理得A′F⊥CD，所以∠A′FO为二面角A′﹣CD﹣B的平面角．在直角△OCF中，求出OF即可；方法二：取DE中点H，则OH⊥OB．以O为坐标原点，OH、OB、OA′分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系．利用两个平面的法向量的夹角即可得到二面角．解答：（1）证明：连接OD，OE．因为在等腰直角三角形ABC中，∠B=∠C=45°，，CO=BO=3．在△COD中，，同理得．因为，．所以A′O2+OD2=A′D2，A′O2+OE2=A′E2．所以∠A′OD=∠A′OE=90°所以A′O⊥OD，A′O⊥OE，OD∩OE=O．所以A′O⊥平面BCDE．（2）方法一：过点O作OF⊥CD的延长线于F，连接A′F因为A′O⊥平面BCDE．根据三垂线定理，有A′F⊥CD．所以∠A′FO为二面角A′﹣CD﹣B的平面角．在Rt△COF中，．在Rt△A′OF中，．所以．所以二面角A′﹣CD﹣B的平面角的余弦值为．方法二：取DE中点H，则OH⊥OB．以O为坐标原点，OH、OB、OA′分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系．则O（0，0，0），A′（0，0，），C（0，﹣3，0），D（1，﹣2，0）=（0，0，）是平面BCDE 的一个法向量．设平面A′CD的法向量为n=（x，y，z），．所以，令x=1，则y=﹣1，．所以是平面A′CD的一个法向量设二面角A′﹣CD﹣B的平面角为θ，且所以所以二面角A′﹣CD﹣B的平面角的余弦值为点评：本题综合考查了等腰直角三角形的性质、余弦定理、线面垂直的判定与性质定理、三垂线定哩、二面角、通过建立空间直角坐标系利用法向量的夹角求二面角等基础知识与方法，需要较强的空间想象能力、推理能力和计算能力．19．（14分）（2013•广东）设数列{a n}的前n项和为S n，已知a1=1，，n∈N*．（1）求a2的值；（2）求数列{a n}的通项公式；（3）证明：对一切正整数n，有．考数列与不等式的综合；等差数列与等比数列的综合．点：等差数列与等比数列．专题：分（1）利用已知a1=1，，n∈N*．令n=1即可求出；析：（2）利用a n=S n﹣S n﹣1（n≥2）即可得到na n+1=（n+1）a n+n（n+1），可化为，．再利用等差数列的通项公式即可得出；（3）利用（2），通过放缩法（n≥2）即可证明．解解：（1）当n=1时，，解得a2=4答：（2）①当n≥2时，②①﹣②得整理得na n+1=（n+1）a n+n（n+1），即，当n=1时，所以数列{}是以1为首项，1为公差的等差数列所以，即所以数列{a n}的通项公式为，n∈N*（3）因为（n≥2）所以=点评： 熟练掌握等差数列的定义及通项公式、通项与前n 项和的关系a n =S n ﹣S n ﹣1（n ≥2）、裂项求和及其放缩法等是解题的关键．20．（14分）（2013•广东）已知抛物线C 的顶点为原点，其焦点F （0，c ）（c ＞0）到直线l ：x ﹣y ﹣2=0的距离为，设P 为直线l 上的点，过点P 作抛物线C 的两条切线PA ，PB ，其中A ，B 为切点． （1）求抛物线C 的方程；（2）当点P （x 0，y 0）为直线l 上的定点时，求直线AB 的方程； （3）当点P 在直线l 上移动时，求|AF|•|BF|的最小值．考点：抛物线的标准方程；利用导数研究曲线上某点切线方程；抛物线的简单性质． 专题：压轴题；圆锥曲线的定义、性质与方程． 分析：（1）利用焦点到直线l ：x ﹣y ﹣2=0的距离建立关于变量c 的方程，即可解得c ，从而得出抛物线C 的方程； （2）先设，，由（1）得到抛物线C 的方程求导数，得到切线PA ，PB 的斜率，最后利用直线AB 的斜率的不同表示形式，即可得出直线AB 的方程； （3）根据抛物线的定义，有，，从而表示出|AF|•|BF|，再由（2）得x 1+x 2=2x 0，x 1x 2=4y 0，x 0=y 0+2，将它表示成关于y 0的二次函数的形式，从而即可求出|AF|•|BF|的最小值． 解答：解：（1）焦点F （0，c ）（c ＞0）到直线l ：x ﹣y ﹣2=0的距离，解得c=1所以抛物线C 的方程为x 2=4y（2）设，由（1）得抛物线C 的方程为，，所以切线PA ，PB 的斜率分别为，所以PA ：①PB ：②联立①②可得点P 的坐标为，即，又因为切线PA 的斜率为，整理得直线AB 的斜率所以直线AB 的方程为 整理得，即因为点P （x 0，y 0）为直线l ：x ﹣y ﹣2=0上的点，所以x 0﹣y 0﹣2=0，即y 0=x 0﹣2所以直线AB 的方程为 （3）根据抛物线的定义，有，所以=由（2）得x 1+x 2=2x 0，x 1x 2=4y 0，x 0=y 0+2 所以=所以当时，|AF|•|BF|的最小值为点评： 本题以抛物线为载体，考查抛物线的标准方程，考查利用导数研究曲线的切线方程，考查计算能力，有一定的综合性．21．（14分）（2013•广东）设函数f （x ）=（x ﹣1）e x ﹣kx 2（k ∈R ）． （1）当k=1时，求函数f （x ）的单调区间； （2）当时，求函数f （x ）在[0，k ]上的最大值M ．考点： 利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值． 专题： 压轴题；导数的综合应用．分析： （1）利用导数的运算法则即可得出f ′（x ），令f ′（x ）=0，即可得出实数根，通过列表即可得出其单调区间；（2）利用导数的运算法则求出f ′（x ），令f ′（x ）=0得出极值点，列出表格得出单调区间，比较区间端点与极值即可得到最大值．解答： 解：（1）当k=1时，f （x ）=（x ﹣1）e x ﹣x 2f'（x ）=e x +（x ﹣1）e x ﹣2x=x （e x ﹣2）令f'（x ）=0，解得x 1=0，x 2=ln2＞0 所以f'（x ），f （x ）随x 的变化情况如下表： x （﹣∞，0） 0 （0，ln2） ln2 （ln2，+∞） f'（x ） + 0 ﹣ 0 +f （x ） ↗ 极大值 ↘ 极小值↗ 所以函数f （x ）的单调增区间为（﹣∞，0）和（ln2，+∞），单调减区间为（0，ln2）（2）f （x ）=（x ﹣1）e x ﹣kx 2，x ∈[0，k ]，．f'（x ）=xe x ﹣2kx=x （e x ﹣2k ）f'（x ）=0，解得x 1=0，x 2=ln （2k ） 令φ（k ）=k ﹣ln （2k ），，所以φ（k ）在上是减函数，∴φ（1）≤φ（k ）＜φ，∴1﹣ln2≤φ（k ）＜＜k ．即0＜ln （2k ）＜k 所以f'（x ），f （x ）随x 的变化情况如下表： x （0，ln （2k ）） l n （2k ） （ln （2k ），k ） f'（x ） ﹣ 0 +f （x ） ↘ 极小值↗f（0）=﹣1，f（k）=（k﹣1）e k﹣k3f（k）﹣f（0）=（k﹣1）e k﹣k3+1=（k﹣1）e k﹣（k3﹣1）=（k﹣1）e k﹣（k﹣1）（k2+k+1）=（k﹣1）[e k﹣（k2+k+1）]因为，所以k﹣1≤0对任意的，y=e x的图象恒在y=k2+k+1下方，所以e k﹣（k2+k+1）≤0所以f（k）﹣f（0）≥0，即f（k）≥f（0）所以函数f（x）在[0，k]上的最大值M=f（k）=（k﹣1）e k﹣k3.点评：熟练掌握导数的运算法则、利用导数求函数的单调性、极值与最值得方法是解题的关键．参与本试卷答题和审题的老师有：孙佑中；minqi5；wyz123；gongjy；wubh2011；caoqz；qiss；lincy（排名不分先后）菁优网2014年5月16日。

M N=-{2,0,2}z①，x②，y③三个式子中恰有一个成立；x④，z⑤，w⑥+=条不同的直线．故可确定51612AB DE=，【提示】观察图形，根据已知条件，利用圆的性质，通过相似三角形求距离．cos45OC CD︒=，所以OD OE O⊥交CDCD-的平面角．CD B中点，故OH5A H'5所以(0,3,CA '=，(1,2,DA '=-设(,,)n x y z =00n CA n DA ⎧'=⎪⎨'=⎪⎩，即⎩，得(1,1,n =-由（Ⅰ）知，(0,0,OA '=315,5||||35n OA n OA n OA ''==='22211111111111111434423341n a n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++=+++++<++-+-++- ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭14244n n =++-=-< 174n a ++<项的关系式和首项，求第二项；根据题设条件，利用递推公式求通项公1(AF BF y =联立方程24x y⎨=⎪⎩12|||AF BF y y =02y =+，|||AF BF 取得最小值，且最小值为根据两直线的交点，联立两直线求直线方程；由直线与抛物线的位置关系得到关系式，求最小值．ln 21ln ≤-=k <，所以(0,ln(2))k 时，),)k +∞时，max{(0),f f 3e 30-<(1)e ϕ⎫⎛=⎪ ⎭⎝所以存在01,12x ⎛∈ ⎝【考点】利用导数求函数的单调区间，利用函数单调性求最值。

2013年普通高等学校招生全国统一考试(广东卷)参考公式：台体的体积公式h S S S S V )(312121++=，S 1，S 2表示台体的上、下底面积，h 表示台体的高．一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．1．设集合M ={x |x 2+2x =0,x ∈R}，N ={x |x 2-2x =0,x ∈R}，则N M ⋃=（ ）A ．{0}B ．{0，2}C ．{-2,0}D ．{-2,0,2}2．定义域为R 的四个函数y =x 3，y =2x ，y =x 2+1，y =2sin x 中，奇函数的个数是（ ）A ． 4B ．3C ．2D ．13．若复数z 满足i z =2+4i ，则在复平面内，z 对应的点的坐标是（ ）A ．（2,4）B ．（2,-4）C ． (4,-2)D ．(4,2)4．已知离散型随机变量X 的分布列为则X 的数学期望E （X ）=（ ）A ．23错误！未找到引用源。

B ．2C ．25错误！未找到引用源。

D ．35．某四棱台的三视图如图1所示，则该四棱台的体积是（ ）A ．4B ．314错误！未找到引用源。

C ．316错误！未找到引用源。

D ．66．设m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的是（ ） A ．若βαβα⊂⊂⊥n m ,,，则n m ⊥ B ．若βαβα⊂⊂n m ,,//，则n m // C ．若βα⊂⊂⊥n m n m ,,，则βα⊥ D ．若βα//,//,n n m m ⊥，则βα⊥7．已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为F （3，0），离心率等于32，则C 的方程是（ ）A ．15422=-y xB ．15422=-y xC ．15222=-y xD ．15222=-y x8．设整数n ≥4，集合X ={1，2，3…，n }．令集合S ={（x ,y ,z ）|x ，y ，z ∈X ，且三条件x <y <z ，y <z <x ，z <x <y 恰有一个成立}，若（x ，y ，z ）和（z ，w ，x ）都在S 中，则下列选项正确的是（ ）A ．（y ，z ，w ）∈S ，（x ，y ，w ）∉SB ．（y ，z ，w ）∈S ，（x ，y ，w ）∈SC ．（y ，z ，w ）∉S ，（x ，y ，w ）∈SD ．（y ，z ，w ）∉S ，（x ，y ，w ）∉S侧视图图1二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5（一）必做题（9~13题）9．不等式x 2+x-2<0的解集为 ．10．若曲线y =kx +ln x 在点（1，k ）处的切线平行于x 轴，则k 11．执行如图2所示的程序框图，若输入n 的值为4，则输出s 12．在等差数列{a n }中，已知a 3+ a 8=10，则3a 5+ a 7=_______13．给定区域D ：⎪⎩⎪⎨⎧≥≤+≥+0444x y x y x ，令点集T ={(x 0，y 0)∈D |x 0，y 0∈Z}在D 上取得最大值或最小值的点，则T 中的点共确定____（二）选做题（14-15题，考生只能从中选做一题）14．（坐标系与参数方程选做题）已知曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧==ty x sin 2（t 为参数），C 在点（1,1）处的切线为L ，一座标原点为极点，x 轴的 正半轴为极轴建立极坐标，则L 的极坐标方程为_________________．15．（几何证明选讲选做题）如图3，AB 是⊙O 的直径，点C 在⊙O 上，延长BC 到D 是BC =CD ，过C 作⊙O 的切线交AD 于E ．若AB =6，ED =2，则BC =______．三、解答题：本大题共6小题，满分80分．16．（本小题满分12分）已知函数R x x x f ∈-=),12cos(2)(π．（1）求)6(π-f 的值； （2）若)2,23(,53cos ππθθ∈=，求)32(πθ+f ．17．（本小题满分12分）某车间共有12名工人，随机抽取6名，他们某日加工零件 个数的茎叶图如图4所示，其中茎为十位数，叶为个位数． （1）根据茎叶图计算样本均值；（2）日加工零件个数大于样本均值的工人为优秀工人．根据茎叶图推断该车间12名 工人中有几名优秀工人？（3）从该车间12名工人中，任取2人，求恰有1名优秀工人的概率．图318．（本小题满分14分）如图5，在等腰直角三角形ABC 中，∠A =90°，BC =6，D ，E 分别是AC ，AB 上的点，2==BE CD 错误！未找到引用源。

2013年广东省高考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．222．（5分）（2013•广东）函数的定义域是（），的定义域是（﹣3i|==53i|==54．（5分）（2013•广东）已知，那么cosα=（）B++（．5．（5分）（2013•广东）执行如图所示的程序框图，若输入n的值为3，则输出s的值是（）6．（5分）（2013•广东）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积是（）BV==．7．（5分）（2013•广东）垂直于直线y=x+1且与圆x2+y2=1相切于第一象限的直线方程是B±，，解之得±﹣时，可得切点坐标（﹣，﹣时，可得切点坐标（，﹣，直线方程为9．（5分）（2013•广东）已知中心在原点的椭圆C的右焦点为F（1，0），离心率等于，则C的方程是（）B解：由题意设椭圆的方程为，又离心率等于所以椭圆的方程为．10．（5分）（2013•广东）设是已知的平面向量且，关于向量的分解，有如下四个命题：①给定向量，总存在向量，使；②给定向量和，总存在实数λ和μ，使；③给定单位向量和正数μ，总存在单位向量和实数λ，使；④给定正数λ和μ，总存在单位向量和单位向量，使；上述命题中的向量，和在同一平面内且两两不共线，则真命题的个数是（）不一定能用两个单位向量的组合表示出来．和，只需求得其向量差即为所求的向量，使，故，当向量，和在同一平面内且两两不共线时，向量，，取=，λ都平行于μ成立，根据平行四边形法则，向量μ的纵坐标一定为使等式成立，故为正数，所以和不一定能用两个单位向量的组合表示出来，成立，故二、填空题：本大题共3小题．每小题5分，满分15分．（一）必做题（11～13题）11．（5分）（2013•广东）设数列{a n}是首项为1，公比为﹣2的等比数列，则a1+|a2|+a3+|a4|= 15．12．（5分）（2013•广东）若曲线y=ax2﹣lnx在点（1，a）处的切线平行于x轴，则a=．，，故答案为：．13．（5分）（2013•广东）已知变量x，y满足约束条件，则z=x+y的最大值是5．得选做题（14、15题，考生只能从中选做一题）14．（5分）（2013•广东）（坐标系与参数方程选做题）已知曲线C的极坐标方程为ρ=2cosθ．以极点为原点，极轴为x轴的正半轴建立直角坐标系，则曲线C的参数方程为（θ为参数）．，得的参数方程为故答案为15．（2013•广东）（几何证明选讲选做题）如图，在矩形ABCD中，，BC=3，BE⊥AC，垂足为E，则ED=．AC=2AC EC=CD=AB=EC=+3﹣，．故答案为：四、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．16．（12分）（2013•广东）已知函数．（1）求的值；（2）若，求．直接代入函数解析式求解．﹣）∵，17．（13分）（2013•广东）从一批苹果中，随机抽取50个，其重量（单位：克）的频数分（2）用分层抽样的方法从重量在[80，85）和[95，100）的苹果中共抽取4个，其中重量在[80，85）的有几个？（3）在（2）中抽出的4个苹果中，任取2个，求重量在[80，85）和[95，100）中各有1个的概率．）的频率为18．（13分）（2013•广东）如图1，在边长为1的等边三角形ABC中，D，E分别是AB，AC边上的点，AD=AE，F是BC的中点，AF与DE交于点G，将△ABF沿AF折起，得到如图2所示的三棱锥A﹣BCF，其中BC=．（1）证明：DE∥平面BCF；（2）证明：CF⊥平面ABF；（3）当AD=时，求三棱锥F﹣DEG的体积V F﹣DEG．，可得．在三棱锥中，由，运算求得结果．中，=19．（14分）（2013•广东）设各项均为正数的数列{a n}的前n项和为S n，满足4S n=a n+12﹣4n ﹣1，n∈N*，且a2，a5，a14构成等比数列．（1）证明：a 2=；（2）求数列{a n}的通项公式；（3）证明：对一切正整数n，有．）对于利用时，时，满足，且，构成等比数列，∴，）可知，，∴）可得式．20．（14分）（2013•广东）已知抛物线C的顶点为原点，其焦点F（0，c）（c＞0）到直线l：x﹣y﹣2=0的距离为，设P为直线l上的点，过点P作抛物线C的两条切线PA，PB，其中A，B为切点．（1）求抛物线C的方程；（2）当点P（x0，y0）为直线l上的定点时，求直线AB的方程；（3）当点P在直线l上移动时，求|AF|•|BF|的最小值．）先设，）根据抛物线的定义，有，的距离）设，的方程为，的斜率分别为，①：的坐标为，即，的斜率为，整理得的斜率的方程为，整理得，即）根据抛物线的定义，有，=所以当的最小值为21．（14分）（2013•广东）设函数f（x）=x3﹣kx2+x（k∈R）．（1）当k=1时，求函数f（x）的单调区间；（2）当k＜0时，求函数f（x）在[k，﹣k]上的最小值m和最大值M．，且过（，且过（，即）当，即解得：。

图 2俯视图侧视图正视图2013年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学（文科A 卷）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合2{|20,}S x x x x R =+=∈，2{|20,}T x x x x R =-=∈，则S T = A ．{0} B ．{0,2} C ．{2,0}- D ．{2,0,2}- 2．函数lg(1)()1x f x x +=-的定义域是 A ．(1,)-+∞ B ．[1,)-+∞ C ．(1,1)(1,)-+∞ D ．[1,1)(1,)-+∞ 3．若()34i x yi i +=+，,x y R ∈，则复数x yi +的模是 A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 4．已知51sin()25πα+=，那么cos α= A ．25-B ．15-C ．15D ．255．执行如图1所示的程序框图，若输入n 的值为3，则输出s 的值是A ．1B ．2C ．4D ．76．某三棱锥的三视图如图2所示，则该三棱锥的体积是 A ．16 B ．13 C ．23D ．17．垂直于直线1y x =+且与圆221xy +=相切于第一象限的直线方程是A ．0x y +-=B ．10x y ++=C ．10x y +-=D ．0x y +=图 18．设l 为直线，,αβ是两个不同的平面，下列命题中正确的是A ．若//l α，//l β，则//αβB ．若l α⊥，l β⊥，则//αβC ．若l α⊥，//l β，则//αβD ．若αβ⊥，//l α，则l β⊥ 9．已知中心在原点的椭圆C 的右焦点为(1,0)F ，离心率等于21，则C 的方程是 A ．14322=+y x B ．13422=+y x C ．12422=+y x D ．13422=+y x10．设 a 是已知的平面向量且≠0 a ，关于向量a 的分解，有如下四个命题：①给定向量 b ，总存在向量 c ，使=+a b c ；②给定向量 b 和 c ，总存在实数λ和μ，使λμ=+a b c ；③给定单位向量 b 和正数μ，总存在单位向量 c 和实数λ，使λμ=+a b c ；④给定正数λ和μ，总存在单位向量 b 和单位向量 c ，使λμ=+a b c ；上述命题中的向量 b ， c 和a 在同一平面内且两两不共线，则真命题的个数是A ．1B ．2C ．3D ．4二、填空题：本大题共5小题．考生作答4小题．每小题5分，满分20分． （一）必做题（11～13题）11．设数列{}n a 是首项为1，公比为2-的等比数列，则1234||||a a a a +++= 12．若曲线2ln y ax x =-在点(1,)a 处的切线平行于x 轴，则a = ．13．已知变量,x y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≤≤-≥+-11103y x y x ，则z x y =+的最大值是．（二）选做题（14、15题，考生只能从中选做一题） 14．（坐标系与参数方程选做题）已知曲线C 的极坐标方程为2cos ρθ=．以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴建立直角坐标系，则曲线C 的参数方程为 ． 15．（几何证明选讲选做题）如图3，在矩形ABCD中，AB =3BC =，BE AC ⊥，垂足为E ，则ED = ．图 3三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（本小题满分12分）已知函数(),12f x x x R π⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭．(1) 求3f π⎛⎫⎪⎝⎭的值； (2) 若33cos ,,252πθθπ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭，求6f πθ⎛⎫- ⎪⎝⎭．17．（本小题满分13分）从一批苹果中，随机抽取50个，其重量（单位：克）的频数分布表如下：(1) 根据频数分布表计算苹果的重量在[90,95)的频率；(2) 用分层抽样的方法从重量在[80,85)和[95,100)的苹果中共抽取4个，其中重量在[80,85)的有几个？(3) 在（2）中抽出的4个苹果中，任取2个，求重量在[80,85)和[95,100)中各有1个的概率．图 4如图4，在边长为1的等边三角形ABC 中，,D E 分别是,AB AC 边上的点，AD AE =，F 是BC 的中点，AF 与DE 交于点G ，将ABF∆沿AF 折起，得到如图5所示的三棱锥A BCF -，其中BC =(1) 证明：DE //平面BCF ； (2) 证明：CF ⊥平面ABF ；(3) 当23AD =时，求三棱锥F DEG -的体积F DEG V -．19．（本小题满分14分）设各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足21441,,n n S a n n N *+=--∈且2514,,a a a 构成等比数列．(1) 证明：2a =(2) 求数列{}n a 的通项公式； (3) 证明：对一切正整数n ，有1223111112n n a a a a a a ++++< ．已知抛物线C 的顶点为原点，其焦点()()0,0F c c >到直线:20l x y --=的距离为．设P 为直线l 上的点，过点P 作抛物线C 的两条切线,PA PB ，其中,A B 为切点． (1) 求抛物线C 的方程；(2) 当点()00,P x y 为直线l 上的定点时，求直线AB 的方程； (3) 当点P 在直线l 上移动时，求AF BF ⋅的最小值．21．（本小题满分14分）设函数x kx x x f +-=23)( ()R k ∈．(1) 当1=k 时,求函数)(x f 的单调区间；(2) 当0<k 时,求函数)(x f 在[]k k -,上的最小值m 和最大值M ．参考答案及解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分． 1．【解析】：先解两个一元二次方程，再取交集，选A ， 2．【解析】：对数真数大于零，分母不等于零，目测C ！3．【解析】：复数的运算、复数相等，目测4,3x y ==-，模为5，选D. 4．【解析】：考查三角函数诱导公式，51sin()sin(2+)sin cos 2225πππαπααα⎛⎫+=+=+== ⎪⎝⎭，选C. 5．【解析】选C.本题只需细心按程序框图运行一下即可.6．【解析】由三视图判断底面为等腰直角三角形，三棱锥的高为2，则111=112=323V ⋅⋅⋅⋅，选B.7．【解析】本题考查直线与圆的位置关系，直接由选项判断很快，圆心到直线的距离等于1r =，排除B 、C ；相切于第一象限排除D ，选 A.直接法可设所求的直线方程为：()0y x k k =-+>，再利用圆心到直线的距离等于1r =，求得k =8．【解析】基础题，在脑海里把线面可能性一想，就知道选B 了.9．【解析】基础题，1,2,c a b === D.10．【解析】本题是选择题中的压轴题，主要考查平面向量的基本定理和向量加法的三角形法则.利用向量加法的三角形法则，易的①是对的；利用平面向量的基本定理，易的②是对的；以a 的终点作长度为μ的圆，这个圆必须和向量λb 有交点，这个不一定能满足，③是错的；利用向量加法的三角形法则，结合三角形两边的和大于第三边，即必须=+λμλμ+≥b c a ，所以④是假命题.综上，本题选B.二、填空题：本大题共5小题．考生作答4小题．每小题5分，满分20分． （一）必做题（11～13题）11．【解析】这题相当于直接给出答案了1512．【解析】本题考查切线方程、方程的思想.依题意''1112,210,2x y ax y a a x ==-=-=∴=13．【解析】画出可行域如图，最优解为()1,4，故填 5 ； （二）选做题（14、15题，考生只能从中选做一题） 14．【解析】本题考了备考弱点.讲参数方程的时候，参数的意义要理解清楚.先化成直角坐标方程()2211x y -+=，易的则曲线C 的参数方程为1cos sin x y θθ=+⎧⎨=⎩ （θ为参数）15．【解析】本题对数值要敏感，由AB =3BC =，可知60BAC ∠=从而30AE CAD =∠= ，DE ==【品味填空题】选做题还是难了点，比理科还难些.三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（本小题满分12分） 【解析】(1)133124f ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-==⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ （2）33cos ,,252πθθπ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭，4sin 5θ==-，1cos cos sin sin 64445f ππππθθθθ⎛⎫⎛⎫⎫∴--=+=- ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎭．【解析】这个题实在是太简单，两角差的余弦公式不要记错了.17．（本小题满分13分）【解析】（1）苹果的重量在[)95,90的频率为20=0.450； （2）重量在[)85,80的有54=15+15⋅个； （3）设这4个苹果中[)85,80分段的为1，[)100,95分段的为2、3、4，从中任取两个，可图 3能的情况有：（1，2）（1，3）（1，4）（2，3）（2，4）（3，4）共6种；设任取2个，重量在[)85,80和[)100,95中各有1个的事件为A ，则事件A 包含有（1，2）（1，3）（1，4）共3种，所以31(A)62P ==. 【解析】这个基础题，我只强调：注意格式！18．（本小题满分13分）【解析】（1）在等边三角形ABC 中，AD AE =AD AEDB EC∴=,在折叠后的三棱锥A BCF -中 也成立，//DE BC ∴ ,DE ⊄ 平面BCF ，BC ⊂平面BCF ，//DE ∴平面BCF ；（2）在等边三角形ABC 中，F 是BC 的中点，所以AF BC ⊥①，12BF CF ==.在三棱锥A BCF -中，BC =222BC BF CF CF BF ∴=+∴⊥② BF CF F CF ABF ⋂=∴⊥ 平面；（3）由（1）可知//GE CF ，结合（2）可得GE DFG ⊥平面.11111113232333F DEG E DFGV V DG FG GF --⎛∴==⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅= ⎝【解析】这个题是入门级的题，除了立体几何的内容，还考查了平行线分线段成比例这个平面几何的内容.19．（本小题满分14分）【解析】（1）当1n =时，22122145,45a a a a =-=+，20n a a >∴=（2）当2n ≥时，()214411n n S a n -=---，22114444n n n n n a S S a a -+=-=--()2221442n n n n a a a a +=++=+,102n n n a a a +>∴=+∴当2n ≥时，{}n a 是公差2d =的等差数列.2514,,a a a 构成等比数列，25214a a a ∴=⋅，()()2222824a a a +=⋅+，解得23a =, 由（1）可知，212145=4,1a a a =-∴=21312a a -=-= ∴ {}n a 是首项11a =,公差2d =的等差数列.∴数列{}n a 的通项公式为21n a n =-. （3）()()1223111111111335572121n n a a a a a a n n ++++=++++⋅⋅⋅-+ 11111111123355721211111.2212n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅-+-+-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎡⎤=⋅-<⎢⎥+⎣⎦【解析】本题考查很常规，第（1）（2）两问是已知n S 求n a ，{}n a 是等差数列，第（3）问只需裂项求和即可，估计不少学生猜出通项公式，跳过第（2）问，作出第（3）问.本题易错点在分成1n =，2n ≥来做后，不会求1a ，没有证明1a 也满足通项公式. 20．（本小题满分14分） 【解析】（1）依题意d ，解得1c =（负根舍去） ∴抛物线C 的方程为24x y =；（2）设点11(,)A x y ,22(,)B x y ，),(00y x P ，由24x y =,即214y x ,=得y '=12x . ∴抛物线C 在点A 处的切线PA 的方程为)(2111x x x y y -=-， 即2111212x y x x y -+=. ∵21141x y =， ∴112y x x y -= .∵点),(00y x P 在切线1l 上, ∴10102y x x y -=. ① 同理， 20202y x x y -=. ②综合①、②得，点1122(,),(,)A x y B x y 的坐标都满足方程 y x xy -=002. ∵经过1122(,),(,)A x y B x y 两点的直线是唯一的， ∴直线AB 的方程为y x xy -=002，即00220x x y y --=； （3）由抛物线的定义可知121,1AF y BF y =+=+， 所以()()121212111AF BF y y y y y y ⋅=++=+++联立2004220x y x x y y ⎧=⎨--=⎩，消去x 得()22200020y y x y y +-+=， 2212001202,y y x y y y y ∴+=-= 0020x y --=()222200000021=221AF BF y y x y y y ∴⋅=-++-+++220019=22+5=2+22y y y ⎛⎫++ ⎪⎝⎭∴当012y =-时，AF BF ⋅取得最小值为92【解析】2013广州模直接命中了这一题，广一模20题解法2正是本科第（2）问的解法，并且广一模大题结构和高考完全一致. 紫霞仙子：我的意中人是个盖世英雄，有一天他会踩着七色云彩来娶我，我只猜中了前头，可是我却猜不中这结局……形容这次高考，妙极！21．（本小题满分14分） 【解析】：()'2321fx x kx =-+(1)当1k =时()'2321,41280fx x x =-+∆=-=-<()'0f x ∴>,()f x 在R 上单调递增.（2）当0k <时，()'2321fx x kx =-+，其开口向上，对称轴3kx =，且过()01，（i ）当(241240k k k ∆=-=+-≤，即0k ≤<时，()'0fx ≥，()f x 在[],k k -上单调递增，从而当x k =时，()f x 取得最小值()m f k k == ,当x k =-时，()f x 取得最大值()3332M f k k k k k k =-=---=--.（ii ）当(241240k k k ∆=-=>，即k <时，令()'23210f x x kx =-+=解得：12x x ==,注意到210k x x <<<, (注：可用韦达定理判断1213x x ⋅=，1223k x x k +=>,从而210k x x <<<；或者由对称结合图像判断) ()(){}()(){}12min ,,max ,m f k f x M f k f x ∴==-()()()()32211111110f x f k x kx x k x k x -=-+-=-+>()f x ∴的最小值()m f k k ==,()()()()()232322222222=[1]0f x f k x kx x k k k k x k x k k --=-+---⋅-+-++< ()f x ∴的最大值()32M f k k k =-=--综上所述，当0k <时，()f x 的最小值()m f k k ==,最大值()32M f k k k =-=-- 解法2（2）当0k <时，对[],x k k ∀∈-，都有32332()()(1)()0f x f k x kx x k k k x x k -=-+-+-=+-≥，故()()f x f k ≥32332222()()()(221)()[()1]0f x f k x kx x k k k x k x kx k x k x k k --=-++++=+-++=+-++≤故()()f x f k ≤-，而 ()0f k k =<，3()20f k k k -=-->所以 3max ()()2f x f k k k =-=--，min ()()f x f k k ==【解析】：看着容易，做着难！常规解法完成后，发现不用分类讨论，奇思妙解也出现了：结合图像感知x k = 时最小，x k =-时最大，只需证()()()f k f x f k ≤≤-即可，避免分类讨论.本题第二问关键在求最大值，需要因式分解比较深的功力，这也正符合了2012年高考年报的“对中学教学的要求——重视高一教学与初中课堂衔接课”.。

2013年广东高考理科数学试题解答（一）广东佛山市三水区三水中学 吴超20．已知抛物线C 的顶点为原点，焦点),0(c F （0>c ），焦点F 到直线l ：02=--y x 的距离为223，设P 为直线l 上的点，过点P 作抛物线C 的两条切线PA 、PB ，其中A 、B 为切点．（1）求抛物线C 的方程；（2）当点),(00y x P 为直线l 上的定点时，求直线AB 的方程；（3）当点P 在直线l 上移动时，求||||BF AF ⋅的最小值．分析：（1）由题意得2232|20|=--c ，即3|2|=+c ，解得1=c 或5-=c （舍） ，所以1=c ，从而得抛物线C 的方程是y x 42=；（2）方法一（利用导数研究切线） 设)4,(211x x A 、)4,(222x x B （不失一般性，设21x x <），x y 21='，121x k PA =，所以切线PA 的方程为)(21411121x x x x y -=-，即2114121x x x y -=，同理切线PB 的方程2224121x x x y -=，解得)4,2(2121x x x x P +，从而得0212x x x =+，0214y x x =，即0212x x x =+，0214y x x =，直线AB 的方程为)(444121222121x x x x x x x y ---=-，即442121x x x x x y -+=，所以002y x x y -=，即02200=--y y x x ，又),(00y x P 为直线l 上的点，所以0200=--y x ，所以直线AB 的方程022)2(00=--+y y x y方法二（利用判别式和韦达定理（不过广东对韦达定理不做要求））显然切线PA 的斜率1k 、PB 的斜率2k 存在，设PA 、PB 的方程为)(00x x k y y -=-，与y x 42=联立方程组，得0444002=-+-y kx kx x ，因为PA 、PB 与抛物线相切，所以0)44(416002=--=∆y kx k ，即0002=+-y kx k ，1k 、2k 是0002=+-y kx k 的两个根，所以021x k k =+，021y k k =，解0444002=-+-y kx kx x 的根为k x 2=，所以),2(211k k A ，),2(222k k B ，直线AB 的方程为)2(22121222121k x k k k k k y ---=-，即 21212k k x k k y -+=，从而002y x x y -=，又),(00y x P 为直线l 上的点，所以0200=--y x ，所以直线AB 的方程022)2(00=--+y y x y ；（3）由（2）知)4,2(2121x x x x P +，它在直线l 上，所以02422121=--+x x x x ，即 08)(22121=--+x x x x ，8)(22121+=+x x x x ，抛物线准线为1-=y ，根据抛物线定义得1416)()14)(14(||||22212212221+++=++=⋅x x x x x x BF AF 142)(16)(21221221+-++=x x x x x x 16168)(4)(21221221+-++=x x x x x x 16168)8()(21221221+-++=x x x x x x 8404)(21221++=x x x x 836)2(221++=x x ，当221-=x x 时，||||BF AF ⋅取得最小值29，由221-=x x ，08)(22121=--+x x x x 得 321=+x x ，所以当点P 运动到)21,23(-时，||||BF AF ⋅取得最小值29．。