二阶线性常微分方程的级数解法

二阶线性常微分方程的幂级数解法从微分方程学中知道，在满足某些条件下，可以用幂级数来表示一个函数。

因此，自然想到，能否用幂级数来表示微分方程的解呢？ 例1、求方程''0y xy -=的通解解：设2012n n y a a x a x a x =+++++……为方程的解，这里(0,1,2,,,)i a i n =……是待定常系数，将它对x 微分两次，有 将y ，'y 的表达式代入方程，并比较的同次幂的系数，得到x -∞<<∞2210a ⋅=，30320,a a ⋅-= 41430,a a ⋅-= 52540,a a ⋅-=或一般的可推得32356(31)3k a a k k =⋅⋅⋅⋅⋅-⋅，13134673(31)k a a k k +=⋅⋅⋅⋅⋅⋅+，其中1a ，2a 是任意的，因而代入设的解中可得：这个幂级数的收敛半径是无限大的，因而级数的和（其中包括两个任意常数0a 及1a ）便是所要求的通解。

例6 求方程'''240y xy y --=的满足初值条件(0)0y =及'(0)1y =的解。

解 设级数2012n n y a a x a x a x =+++++……为方程的解。

首先，利用初值条件，可以得到00a =， 11a =，因而将y ，'y ，''y 的表达式带入原方程，合并x 的各同次幂的项，并令各项系数等于零，得到 因而 最后得21111(1)!!k a k k k +=⋅=- , 20k a =, 对一切正整数k 成立。

将i a (0,1,2,)i =的值代回2012n n y a a x a x a x =+++++……就得到 这就是方程的满足所给初值条件的解。

是否所有方程都能按以上方式求出其幂级数解？或者说究竟方程应该满足什么条件才能保证它的解可用幂级数来表示呢？级数的形式怎样？其收敛区间又如何?这些问题，在微分方程解析理论中有完满的解答，但因讨论时需要涉及解析函数等较专门的知识，在此我们仅叙述有关结果而不加证明，若要了解定理的证明过程，可参考有关书籍。

二阶常微分方程解的存在问题分析摘要本文首先介绍了二阶常系数齐次线性微分方程的一般解法——特征方程法及二阶常系数非齐次线性微分方程的待定系数法，然后又介绍了一些可降阶的微分方程类型。

接着，讨论了二阶变系数微分方程的幂级数解法并论述了如何利用变量代换法将某些变系数方程化为常系数方程。

另外，本文还介绍了求解初值问题的另一种方法——拉普拉斯变换法。

最后，给出了二阶微分方程的存在唯一性定理的证明以及它在科学研究、工程技术以及数学建模中解决实际问题的一些应用。

1.引言1.1常微分方程的发展过程与研究途径二阶线性微分方程是常微分方程中一类很重要的方程。

这不仅是因为其一般理论已经研究地比较清楚，而且还因为它是研究非线性微分方程的基础，在工程技术和自然科学中有着广泛的应用。

在科学研究、工程技术中，常常需要将某些实际问题转化为二阶常微分方程问题。

因此，研究不同类型的二阶常微分方程的求解方法及探讨其解的存在唯一性问题是十分重要的。

常微分方程已有悠久的历史，而且继续保持着进一步发展的活力，主要原因是它的根源深扎在各种实际问题之中。

牛顿最早采用数学方法研究二体问题，其中需要求解的运动方程就是常微分方程。

他把两个物体都理想化为质点，得到3个未知函数的3个二阶方程组，经简单计算证明，可化为平面问题，即两个未知函数的两个二阶微分方程组。

用现在叫做“首次积分”的办法，完全解决了它的求解问题。

17世纪就提出了弹性问题，这类问题导致悬链线方程、振动弦的方程等等。

20世纪30年代直至现在，是常微分方程各个领城迅速发展、形成各自相对独立的而又紧密联在一起的分支学科的时期。

1927－1945年间定性理论的研究主要是跟无线电技术联系在一起的。

第二次世界大战期间由于通讯等方面的要求越来越高，大大地激发了对无线电技术的研究，特别是非线性振动理论的研究得到了迅速的发展。

40年代后数学家们的注意力主要集中在抽象动力系统的拓扑特征, 如闭轨是否存在、结构是否稳定等, 对于二维系统已证明可以通过奇点及一些特殊的闭轨和集合来判断结构稳定性与否；而对于一般系统这个问题尚未解决。

第九章二阶常微分方程级数解法•§9.1 特殊函数常微分方程•§9.2 常点邻域上的级数解法•§9.3 正则奇点邻域上的级数解法•§9.4 施图姆-刘维尔本征值问题•前面讨论的都是两个自变量的偏微分方程，涉及到的本征函数都是三角函数，除了圆形泊松问题外，大多是反射对称的问题；•从现在开始，我们要讨论三维的定解问题。

实际的边界问题可能具有其它对称性，比如球或柱对称边界，这时的本征函数采用三角函数就不方便了，我们将发现新的本征函数和本征值，并且用它们做级数展开来求解偏微分方程。

•本章主要讨论拉普拉斯方程、亥姆霍兹方程等在球坐标系、柱坐标系满足的常微分方程及其定解。

我们依然采用分离变量法。

§9.2 常点邻域上的级数解法•前面我们通过分离变量法得到了一些特殊的二阶常微分方程，本节讨论这些方程在特定的边界条件下的定解问题。

•这些二阶常微分方程大多不能用通常的方法，比如直接积分的方法求解；•通常采用幂级数解法，即在某一选定的点的邻域上将待求的解表示成系数待定的级数，得到系数之间的递推关系，然后利用边界条件确定所有系数的值。

•级数求解问题的关键在于收敛性。

•考虑一般的复变函数w(z)的线性二阶常微分方程：w’’+p(z)w’+q(z)w=0, w(z 0)=C 0, w’(z 0)=C 1. 其中z 为复变数，z 0为选定的点。

•（一）方程的常点和奇点：在z 0邻域，如果p(z)和q(z)是解析的，则z 0称作方程的常点；如果p(z)和q(z)是奇异的，则z 0称作方程的奇点。

•（二）常点邻域上的级数解：如果线性二阶常微分方程的系数p(z)和q(z)在点z 0的邻域|z-z 0|<R 是解析函数，则方程在这个圆中存在满足初值条件的唯一解析解。

•因此可以把解表示成此邻域上的泰勒级数形式：•后面的任务就是确定这些级数解的系数a k ，通常会得到它们之间的一些递推关系。

二阶常系数线性微分方程特解的微分算子法原 迦摘 要 微分算子法是求解常系数非齐次线性微分方程特解的有效方法, 基于算子多项式的理论, 针对二阶常系数线性微分方程, 论文给出了非线性项为指数函数、三角函数、幂函数及其混合函数的微分算子特解公式, 实例表明特解公式在解题中具有可应用性、有效性和简捷性。

关键词 线性微分方程 常系数 微分算子 特解常系数线性微分方程是常微分方程中的重点内容之一，其求解方法通常是先求对应的齐次 线性方程的通解，再求一特解。

前者用特征方程法容易得到，难点是特解的求法。

多数教材中采用的是待定系数法求其特解, 这不仅要根据非线性项的不同情况做相应的处理, 而且计算过程中需要求导运算和求解线性方程组。

因此, 微分算子法成为求解不同类型的常系数非齐次线性微分方程特的有效方法, 基于上述考虑, 文章针对非线性项的不同情况, 给出微分算子法求 二阶常系数非齐次线性微分方程的特解公式, 具有记忆方便, 计算简单的特点。

二阶常系数非齐次线性微分方程的一般形式为()y py qy f x '''++=， （1）其中,p q 为常数.为了文中需要，我们给出通常教材中所给出的求特解的待定系数法 见下表表中()n R x 为待定的n 次多项式，()k R x , ()k S x 为系数待定的k 次多项式，max k ={},n m .引入微分算子,dD dx= 222,d D dx =则有,dyy Dy dx'== 222,dy y D y dx ''==于是式（1）可化为()()2D pD q y f x ++= （2）令()2,F D D pD q =++称为算子多项式，则式（2）即为()()F D y f x =，其特解为()()1,y f x F D =这里，()1F D 称为逆算子.1．算子多项式1.1 算子多项式的性质引理[]61 设算子多项式()F D 如上定义，()f x ,()g x 为可微函数，则有 (1)()()()()()()()F D f x g x F D f x F D g x αβαβ+=+⎡⎤⎣⎦; (2) 设 ()()()12F D F D F D =; 则有()()()()()()1221F D F D f x F D F D f x =⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦；(3) 设()()()12F D F D F D =+，则有()()()()()()12F D f x F D f x F D f x =+.证明略.1.2算子多项式的公式引理[]72 设算子多项式()F D 如上定义，,k a 为任意实数, ()v x 为二阶可导函数，则有下列结论成立（1） ()()kx kx F D e e F k =；（2） ()()22sin sin F D ax axF a =-； ()()22cos cos F D ax axF a =-； （3） ()()()()kx kx F D e v x e F D k v x =+; （4）()()()()()()F D xv x xF D v x F D v x '=+. 证明略.1.3逆算子多项式的性质引理[]73 设算子多项式()F D 如上定义，,R αβ∈，()f x ,()g x 为可微函数，则有 （1）()()()()1F D f x f x F D =； （2）()()()()()()()111f xg x f x g x F D F D F D αβαβ+=+⎡⎤⎣⎦ ； （3）设 ()()()12F D F D F D =， 则有()()()()()()()()122111111f x f x f x F D F D F D F D F D ⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦.2. 特解公式利用上述性质，可以得到下面的特解公式。

§2.3 常微分方程在正则奇点邻域的级数解法对于二阶常微分方程如果0x x =是()()x q x p 、的极点或本性奇点，可以证明方程（1）的解()x y 具有负幂项。

（证明略）如果方程的解只有有限个负幂项，则0x x =称为方程的正则奇点。

本章只考虑最常见的正则奇点：0x x =为()x p 不超过一阶的极点，同时为()x q 的不超过二阶的极点。

此时，方程（1）的两个线性独立解为()()()()∑∞=−−=01011n nns x x c x x x y （2）()()()()()()()()()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=−−−+−=≠−−−∑∑∞=∞=)4(,ln ')3(,120020010210202222整数整数s s x x c x x x x x y x y s s x x c x x x y n n n s n n n s β其中，21,s s 是指标方程的两个解。

指标方程是x 最低次幂系数为零构成的方程。

一、Bessel方程的级数解任意实数0>m （5） ()()222,1xm x x q xx p −== 因此，0=x 为方程的正则奇点。

令其中一个特解为 ()∑∑∞=+∞===0n ns nn n nsxc x c x x y代入方程（5）中，得()()()()()()()0101020200220122=−+++−++⇒=−+++−++∑∑∑∑∑∑∑∞=+∞=++∞=+∞=+∞=+∞=−+∞=−+n n s n n n s n n n s n n n s n n ns n n s n n n n s n x c m x c x n s c x n s n s c xc mx xn s c x xn s n s c xx 的最低次幂项s x 项的系数所满足方程()010200=−+−c m s c s s c 指标方程其解为：m s m s −==21,1+s x 项的系数所满足方程 ()()0111211=−+++c m s c s s c其解为：01=cn s x +项的系数所满足方程()()()()()m n s m n s c c c m c n s c n s n s c n n n n n n −+++−=⇒=−+++−++−−22201令k n 2=，则()()()()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==−+++++−=−+++−=−+−0,012122211212222c m k s m k s c c m k s m k s c c k k k k Q当m s =时，()()kk m ck k m c c k k k +−=+−=−−2222222222 下面，利用归纳法推导k c 2的递推关系()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()k kkkkkk k c k m k m c k m k m k m k m k m c k k m c c k k m m m c m m c m m c c k m m c m c m m c c k m c c k 2020202222604022464020222420221!112!!!1!1121212312322122332133231212212222122221121++Γ+Γ−=+−=+−++−=+−==⋅⋅+++−=+++−=+−==⋅++=++=+−==⋅+−==−L MM 时，当时，当时，当时，当其中()()()!1,!1m m k m k m =+Γ+=++Γ 所以，Bessel 方程的其中一个特解为：()()()()∑∑∑∑∞=+∞=+∞=+∞=+++Γ+Γ−====022002200121!11k km kkk km k n nm n n ns n x c k m k m x c xc xc x y令常数()1210+Γ=m c m()()()()x J x k m k x y m k km k=⎟⎠⎞⎜⎝⎛++Γ−=∑∞=+02121!11是Bessel 方程的一个特解，()x J m 称为Bessel 函数。